Paula Alexandra da Costa Figueiredo · Conceções de alunos do 11º ano acerca dos conceitos de taxa de variação e reta tangente ao gráfico ... Segunda aplicação do teste diagnóstico

Universidade do MinhoInstituto de Educação

outubro de 2016

Conceções de alunos do 11º anoacerca dos conceitos de taxa devariação e reta tangente ao gráficode uma função num ponto

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Paula Alexandra da Costa Figueiredo


outubro de 2016

Conceções de alunos do 11º anoacerca dos conceitos de taxa devariação e reta tangente ao gráficode uma função num ponto

Universidade do MinhoInstituto de Educação

Trabalho realizado sob a orientação doDoutor José António Fernandes

Relatório de Estágio Mestrado em Ensino de Matemática no 3º ciclodo Ensino Básico e no Ensino Secundário

iii

AGRADECIMENTOS

Neste relatório quero deixar expresso o meu profundo agradecimento ao meu supervisor de

estágio Professor Doutor José António Fernandes por toda a orientação, apoio e disponibilidade

durante o estágio profissional e na realização deste relatório.

À professora Margarida, orientadora cooperante do estágio agradeço a dedicação e amizade

ao longo deste ano. Agradeço também às minha colegas de estágio, Cláudia e Joana pela amizade

e partilha.

À escola na qual fiz o estágio e seus professores, funcionários e queridos alunos agradeço

o acolhimento e colaboração ao longo de um ano de trabalho.

Não posso deixar de agradecer os meus pais pelo apoio, incentivo e sacrifício ao longo

destes árduos anos na universidade. Aos meus melhores amigos, Paulo e Rita agradeço pela

compreensão, encorajamento e carinho durante todo este percurso.

A todos aqueles que me incentivaram a seguir o meu sonho, obrigada!

v

CONCEÇÕES DE ALUNOS DE 11.º ANO ACERCA DOS CONCEITOS DE TAXA DE VARIAÇÃO E RETA TANGENTE AO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO

Paula Alexandra da Costa Figueiredo Mestrado em Ensino de Matemática no 3.º ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário

Universidade do Minho, 2016 RESUMO

No âmbito do Estágio Profissional do Mestrado em Ensino de Matemática no 3.º Ciclo do

Ensino Básico e no Ensino Secundário foi desenvolvido um projeto em que pretendia analisar as

conceções dos alunos de uma turma do 11º ano de escolaridade relativamente aos conceitos de

reta tangente ao gráfico de uma função e de taxa de variação de uma função num ponto.

Esta investigação estruturou-se a partir dos três seguintes objetivos: (1) identificar

conceções dos alunos acerca da taxa de variação e reta tangente ao gráfico de uma função num

ponto; (2) explorar as conceções dos alunos no ensino do conceito de taxa de variação e (3) avaliar

o impacto do ensino nas conceções dos alunos sobre taxa de variação e reta tangente ao gráfico

de uma função num ponto. Tendo em vista atingir os objetivos propostos, foi realizado um teste

diagnóstico, que foi aplicado no início e no final da intervenção; foi realizada uma intervenção

pedagógica, em que foram feitas gravações em áudio e vídeo das aulas e fotocopiados os cadernos

dos alunos; e, finalmente, avaliaram-se as aprendizagens dos alunos através da realização de uma

questão-aula e algumas questões incluídas num teste sumativo.

Na avaliação diagnóstica constata-se que, geralmente, os alunos apresentaram conceções

erradas acerca do conceito de reta tangente, relacionando-o com o conceito de reta tangente à

circunferência. Após a implementação da intervenção pedagógica observaram-se progressos nos

resultados alcançados, embora alguns alunos continuem a manter as dificuldades antes

identificadas.

Os alunos adquiriram uma noção intuitiva sobre se uma reta é ou não tangente ao gráfico

num ponto, mas, em geral, não visualizaram a reta tangente ao gráfico de uma função num ponto

como o limite de retas secantes traçadas em torno desse ponto, nem associaram o declive da reta

tangente ao valor da derivada no ponto. Relativamente ao conceito de taxa de variação, os alunos

apresentaram dificuldades em interpretar geometricamente o conceito, não recorrendo a uma

visualização gráfica para resolver tarefas ou para confirmar geometricamente os resultados

obtidos.

Em geral, às dificuldades referidas acrescentam-se aquelas que resultaram de relacionar os

diferentes conceitos estudados, o que revela a natureza complexa destes conceitos. Face a estas

dificuldades, a linearização do gráfico da função no ponto pode constituir uma estratégia

complementar ao limite das retas secantes para explorar o conceito de reta tangente.

Palavras-chave: Aprendizagem; Conceções; Reta tangente e taxa de variação; 11.º ano

vii

CONCEPTIONS D’ÉLÈVES DE 11.º ANNÉE À PROPOS DE CONCEPTS DE TAUX DE VARIATION

ET LIGNE TANGENTE AU GRAPHIQUE D’UNE FONCTION SUR UN POINT


Maitrise en Enseignement de Mathématique 3.º cycle de l’Enseignement base et Enseignement

Secondaire

Universidade do Minho, 2016

RÉSUMÉ

Dans le cadre du stage proffissionnel dans le domaine de Maitrise en Enseignement de

Mathématique 3.º cycle de l’Enseignement base et Enseignement Secondaire un projet a été mis

au point, qui vise analyser les conceptions des élèves dans une classe de 11.º année par rapport

aux concepts de la tangente au graphique d'une fonction et au taux de variation d'une fonction en

un point.

Cette recherche a été structuré à partir des trois objectifs suivants: (1) identifier les

conceptions des élèves sur le taux de changement et tangente à une fonction à un tableau de

points; (2) explorer les conceptions des élèves dans l'enseignement sur la notion de taux de

changement et (3) évaluer l'impact de l'éducation dans les conceptions des élèves sur le taux de

croissance et tangente à la représentation graphique d'une fonction en un point. Afin d'atteindre

les objectifs proposés, un test de diagnostic appliqué au début et à la fin de l'intervention a été

effectué; une intervention éducative, ils ont fait des enregistrements audio et vidéo des cours et

photocipié les cahiers des élèves; et enfin on a évalué les apprentissages des élèves en procédant

à une question de classe et quelques questions incluses dans un test sommatif.

Atravers de l'évaluation diagnostique on constate que, en général, les étudiants ont présenté

des idées incorrectes à propos du concept de ligne tangente, reliant à la notion de tangente au

cercle. Après la mise en pratique de l'éducation intervention on a pu observer des progrès dans

les résultats obtenus, bien que certains élèves continuent à manifester les difficultés auparavant

identifiées.

Les étudiants ont acquis un sens intuitif si une ligne est ou non tangente au graphique en

un point, mais en général, ils n’ont pas vu la ligne tangente au graphique d'une fonction en un

point comme le limite de lignes droites autour de ce point, ni associés la pente de la ligne tangente

à la valeur du dérivé au point. En ce qui concerne la notion de taux de changement, les élèves ont

eu des difficultés dans l'interprétation du concept géométriquement, n’ayant eux utiliser une

vuasualisation graphique pour résoudre des tâches ou pour confirmer les résultats obtenus

géométriquement.

En général, ces difficultés sont ajoutées à celles qui ont conduit à relier les différents

concepts étudiés, qui révèle la nature complexe de ces concepts. Compte tenu de ces difficultés,

la fonction de linéarisation graphique au point peut être une stratégie complémentaire à la limite

de lignes sécantes à explorer le concept de la tangente.

Mots-clés: Apprentissage; Conceptions; Linhe tangente et le taux de changement; 11.º

année.

ix

ÍNDICE

DECLARAÇÃO ............................................................................................................................ ii

AGRADECIMENTOS .................................................................................................................. iii

RESUMO ................................................................................................................................... v

RÉSUMÉ ................................................................................................................................. vii

ÍNDICE ..................................................................................................................................... ix

ÍNDICE DE TABELAS ............................................................................................................... xii

ÍNDICE DE FIGURAS ................................................................................................................ xiii

CAPÍTULO I — INTRODUÇÃO .................................................................................................... 1

1.1. Tema e objetivos ............................................................................................................... 1

1.2. Pertinência do Estudo ........................................................................................................ 3

1.3. Estrutura do Relatório ........................................................................................................ 3

CAPÍTULO II — ENQUADRAMENTO TEÓRICO ............................................................................ 5

2.1. O conceito de taxa de variação e o seu ensino ................................................................... 5

2.1.1. Perspetiva histórica do conceito de taxa de variação ................................................... 5

2.1.2. O ensino de conceito de taxa de variação no currículo do Ensino Secundário .............. 6

2.1.3. Significados do conceito de derivada .......................................................................... 8

2.2. O ensino do conceito de reta tangente a uma curva num ponto no currículo escolar ......... 10

2.3. As conceções dos alunos ................................................................................................. 11

CAPÍTULO III — ENQUADRAMENTO CONTEXTUAL .................................................................. 15

3.1. Caracterização da escola ................................................................................................. 15

3.2. Caracterização da turma.................................................................................................. 16

3.3. Estratégias de Intervenção ............................................................................................... 18

3.4. Métodos de recolha de dados .......................................................................................... 19

CAPÍTULO IV —.INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA ......................................................................... 21

x

4.1. Avaliação diagnóstica....................................................................................................... 21

Questão 1 ...................................................................................................................... 21

Questão 2 ...................................................................................................................... 24

4.2. Implementação da intervenção pedagógica ...................................................................... 26

4.2.1. Reta tangente ao gráfico de uma função num ponto ................................................. 28

4.2.2. Taxa de Variação ...................................................................................................... 32

4.2.3. Função derivada ....................................................................................................... 34

4.2.4. Relação entre os intervalos de monotonia de uma função e o sinal da função derivada

.......................................................................................................................................... 36

4.3. Avaliação das aprendizagens ........................................................................................... 40

4.3.1. Questão – Aula ........................................................................................................ 41

Questão 1 ...................................................................................................................... 41

Questão 2 ...................................................................................................................... 42

Questão 3 ...................................................................................................................... 44

4.3.2. Teste de avaliação sumativa ..................................................................................... 47

Questão de escolha múltipla ........................................................................................... 47

Questão de desenvolvimento .......................................................................................... 48

Questão 1.1 ................................................................................................................... 49

Questão 1.2a) ................................................................................................................ 51

Questão 1.2b) ................................................................................................................ 52

4.3.3. Segunda aplicação do teste diagnóstico .................................................................... 53

Questão 1 ...................................................................................................................... 53

Questão 2 ...................................................................................................................... 56

CAPÍTULO V — CONCLUSÕES, IMPLICAÇÕES, RECOMENDAÇÕES E LIMITAÇÕES .................. 59

5.1. Síntese do estudo ............................................................................................................ 59

5.2. Objetivo 1: Conceções dos alunos acerca de reta tangente ao gráfico de uma função num

ponto e de taxa de variação .................................................................................................... 60

xi

5.3. Objetivo 2: Explorar as conceções dos alunos no ensino do conceito de taxa de variação .. 61

5.4. Objetivo 3: Impacto do ensino nas conceções dos alunos ................................................. 63

5.5. Limitações, Recomendações e Implicações ...................................................................... 65

BIBLIOGRAFIA ........................................................................................................................ 69

ANEXO I — Teste diagnóstico .................................................................................................. 73

ANEXO II — Elementos de Avaliação ........................................................................................ 79

Questão-Aula ...................................................................................................................... 81

Teste de avaliação sumativa ............................................................................................... 82

ANEXO III — Pedido de autorização aos Encarregados de Educação ........................................ 85

xii

ÍNDICE DE TABELAS

Tabela 1 – Frequência absoluta das classificações dos alunos no final do 10.º ano e no 1.º, 2.º e

3.º período do 11.º ano .................................................................................................. 17

Tabela 2 — Objetivos e métodos de recolha de dados .............................................................. 20

Tabela 3 – Percentagem dos tipos de resposta e das justificações na questão 1 ..................... 21

Tabela 4 – Percentagem de alunos em cada uma das opções de resposta das alíneas a) e b) da

questão 2 ....................................................................................................................... 25

Tabela 5 – Aulas lecionadas na intervenção pedagógica .......................................................... 27

Tabela 6 — Tipo de justificação apresentada pelos alunos na questão 1 .................................. 42

Tabela 7 — Percentagem de alunos em cada uma das opções de resposta à questão 3 da

questão-aula .................................................................................................................. 45

Tabela 8 — Justificações dos alunos para a exclusão das opções (A), (B) e (C) ......................... 46

Tabela 9 — Percentagens de alunos em cada uma das opções de escolha .............................. 48

Tabela 10 — Tipos de erros cometidos pelos alunos na questão 1.1 ........................................ 49

Tabela 11 – Percentagem dos tipos de resposta e das justificações na questão 1 ................... 53

Tabela 12 – Percentagem de alunos em cada uma das opções de resposta das alíneas a) e b)

da questão 2 .................................................................................................................. 56

xiii

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1. Relação entre uma reta e uma circunferência (Marques & Ferreira, 2012, p. 33). ..... 10

Figura 2. Definição de reta tangente à circunferência recorrendo ao produto escalar (Neves,

Pereira & Silva, 2015a, p. 103). ..................................................................................... 11

Figura 3. Interpretação geométrica de derivada de uma função num ponto (Neves, Pereira &

Silva, 2015b, p. 131). .................................................................................................... 11

Figura 4. Questões do estudo realizado por Castela (1995). .................................................... 13

Figura 5. Resposta do aluno 15A ao gráfico 1 da questão 1. .................................................... 23

Figura 6. Justificação do aluno 2A na alínea b) da questão 2. ................................................. 26

Figura 7. Exemplos apresentados aos alunos. ......................................................................... 28

Figura 8. Representação realizada pelo aluno 3A , no caderno diário. ...................................... 29

Figura 9. Exemplo apresentado aos alunos para determinarem a reta tangente em A . .......... 30

Figura 10. Exemplo apresentado aos alunos para determinarem a reta tangente em A . ........ 31

Figura 11. Resolução da questão 1.3 pelo aluno 5A . .............................................................. 32

Figura 12. Resolução da questão 1.3 pelo aluno 10A . .............................................................. 32

Figura 13. Representação gráfica utilizada para introduzir o conceito de taxa de variação. ....... 33

Figura 14. Representação efetuada pelo aluno 1A no caderno. ............................................... 34

Figura 15. Apontamento efetuado pelo aluno 4A no caderno. ................................................. 35

Figura 16. Resolução efetuada pelo aluno 19A no caderno. ..................................................... 36

Figura 17. Resolução efetuada pelo aluno 6A no caderno. ...................................................... 37

Figura 18. Resolução efetuada pelo aluno 4A no caderno. ...................................................... 40



Figura 21. Resolução da questão 1, da questão-aula, pelo aluno 6A . ...................................... 42





Figura 26. Resolução da questão 3, da questão-aula, pelo aluno 1A . ....................................... 47

xiv

Figura 27. Resolução da questão 1.1, do teste de avaliação, pelo aluno 7A . ............................ 50

Figura 28. Resolução da questão 1.1, do teste de avaliação, pelo aluno 18A . .......................... 51

Figura 29. Resolução da questão 1.2a), do teste de avaliação, pelo aluno 5A . ........................ 52

Figura 30. Resolução da questão 1.2b), do teste de avaliação, pelo aluno 20A . ....................... 52

Figura 31. Resolução da questão 1, gráfico 6, na segunda aplicação do teste diagnóstico, pelo

aluno 20A . ..................................................................................................................... 56

Figura 32. Resolução da questão 2b), na segunda aplicação do teste diagnóstico, pelo aluno

.17A ............................................................................................................................... 57

1

CAPÍTULO I

INTRODUÇÃO

No capítulo inicial, dividido em três secções, são apresentados o tema e objetivos deste

Relatório de Estágio, bem como a sua pertinência e, finalmente, é apresentada também, de forma

sucinta, a estrutura geral do Relatório.

1.1. Tema e objetivos

O tema escolhido para o Projeto de Intervenção Pedagógica Supervisionada centra-se nas

conceções de alunos de uma turma de 11.º ano de Matemática A acerca dos conceitos de taxa

de variação e de reta tangente ao gráfico de uma função num ponto. Assim, a intervenção de

ensino incidirá no Tema II – Introdução ao Cálculo Diferencial I do programa de 11º ano do ensino

secundário (Ministério da Educação, 2002).

A álgebra é um ramo importante da Matemática, e o reconhecimento desta importância é

visível através da ênfase que é dada à álgebra nos programas de ensino básico e secundário.

Assim, “considerando a álgebra como um fio condutor curricular desde os primeiros anos de

escolaridade, os professores poderão ajudar os alunos a construir uma base sólida baseada na

compreensão e nas suas experiências” (NCTM, 2008, p. 39). O que muitas vezes acontece é que

os alunos chegam ao ensino secundário sem esta base sólida, e com conceções erradas ou pouco

fundamentadas sobre determinados objetos matemáticos.

Perceber as conceções dos alunos implica saber “o que a pessoa pensa sobre determinada

coisa, que entendimento tem dessa coisa, qual é a forma como ela a vê ou encara” (Guimarães,

2010, p. 84). Este é um processo extremamente difícil para o professor, principalmente quando

está perante uma turma heterogénea. As conceções de cada aluno sobre determinado objeto são

diferentes já que “os alunos não aprendem apenas um subconjunto do que lhes foi mostrado. Em

vez disso, utilizam nova informação para modificar as suas próprias conceções. Em consequência,

o conhecimento de cada aluno em matemática é único e pessoal” (NCTM, 1994, p. 3).

Conceitos como taxa de variação, reta tangente e outros a eles associados, como função

derivada, são fundamentais para a compreensão de várias situações do dia-a-dia. Tal como

salienta o NCTM, “a compreensão da variação é essencial à compreensão das funções e à

compreensão de muitas ideias transmitidas nas notícias” (2008, p. 42); no entanto, refere-se

ainda que este é um conceito que não está devidamente consolidado para a maioria dos alunos.

2

Já Finney, Thomas, Demana e Waits (1994) evidenciam a importância da noção de derivada no

cálculo, reforçando a ideia de que é um conceito com diversas aplicações.

O que me levou a escolher este tema foi a necessidade de entender a forma como os alunos

encaram determinados objetos matemáticos e de que forma podem ser exploradas essas

conceções de modo a tornar o processo de ensino-aprendizagem mais eficaz.

Note-se que, maioritariamente, os professores não conhecem as conceções que os alunos

têm sobre um determinado tema, antes de começarem a sua lecionação. Desta forma, não podem

usar esse conhecimento como ponto de partida no processo de ensino-aprendizagem, de modo a

tirar partido das conceções dos alunos, quer sejam estas corretas ou não.

Guimarães (2010, p. 81) destaca que “não há ensino se não existir aprendizagem,

entendido o ensino como processo de interação entre o professor e o(s) aluno(s), pelo qual o

professor promove e dirige a aquisição e o desenvolvimento do referido conhecimento no(s)

aluno(s)”. Tendo em conta este facto, o que se pretende principalmente é que os alunos

desenvolvam o seu conhecimento, neste caso específico, no que diz respeito ao tema Taxa de

Variação. Desta forma, o professor torna-se responsável por fornecer aos alunos os meios

necessários para que eles sejam capazes de lidar com as suas conceções prévias e com os novos

conhecimentos, de modo a que haja de facto aprendizagem por parte dos alunos. Também

Vrancken e Engler (2014) salientam que:

O ensino deve contribuir para que o estudante desenvolva as suas potencialidades e alcance a formação de um pensamento produtivo, criador e científico. É importante criar no estudante a necessidade de aprender e gerar um ambiente onde se possibilite e se motive a exploração do significado pessoal dos conceitos. (p. 452)

Assim, tendo em conta a importância das conceções dos alunos, especificamente do 11.º

ano, estabeleceram-se para o presente estudo os três objetivos seguintes:

1. Identificar conceções dos alunos acerca da taxa de variação e reta tangente ao gráfico de

uma função num ponto;

2. Explorar as conceções dos alunos no ensino do conceito de taxa de variação;

3. Avaliar o impacto do ensino nas conceções dos alunos sobre taxa de variação e reta

tangente ao gráfico de uma função num ponto.

3

1.2. Pertinência do Estudo

O conceito de taxa de variação, e consequentemente o conceito de reta tangente ao gráfico

de uma função num ponto, que é maioritariamente usado para chegar à definição de Taxa de

Variação num ponto, são conceitos de extrema importância no currículo da Matemática.

Estes dois conceitos têm aplicações em diversas ciências além da Matemática, como a

Física, por exemplo, onde a Taxa de Variação corresponde à velocidade instantânea de um corpo

num determinado momento, ou na Biologia onde é usada para determinar a taxa de crescimento

de bactérias. O conceito de Taxa de Variação também é amplamente utilizado e estudado em

diversos cursos de Ensino Superior, principalmente em cursos de Engenharia e de ciências exatas,

como a Matemática, Física ou Química, entre outros.

Para além das aplicações do conceito de taxa de variação a outras áreas, também do ponto

de vista estritamente matemático, o conceito de taxa de variação mantém relações com outros

conceitos, destacando-se as noções de monotonia, de otimização e de vários aspetos ligados ao

cálculo integral. Assim, as muitas aplicações deste conceito, quer dentro da matemática quer fora,

no âmbito de outras ciências, conferem-lhe uma importância fundamental, que se verifica com

poucos conceitos matemáticos.

Tendo em contas estes aspetos, é imprescindível que os alunos tenham uma correta

compreensão destes conceitos. Segundo Viseu (2000, pp. 4-5) “uma forma de ampliar esta

compreensão é o trabalho com diferentes representações dos conceitos e as relações entre essas

representações, evidenciando que os procedimentos se aprendem não só de uma forma

mecânica, como também conhecendo como funcionam”.

Desta forma, é notável a importância de conhecer e explorar as conceções que os alunos

têm acerca destes dois conceitos, para que construam ideias e conceções corretas e devidamente

estruturadas ao longo do seu percurso escolar.

1.3. Estrutura do Relatório

Este relatório encontra-se dividido em cinco capítulos: Capítulo I — Introdução; Capítulo II —

Enquadramento teórico; Capítulo III — Enquadramento contextual, Capítulo IV — Intervenção

pedagógica e Capítulo V — Conclusões, implicações, recomendações e limitações.

O Capítulo I, de Introdução, que acabámos de apresentar, encontra-se dividido em três

subcapítulos, em que são abordados o tema e objetivos deste projeto, a sua pertinência e, por fim,

a estrutura do mesmo.

4

O Capítulo II, de Enquadramento teórico, encontra-se dividido em três subcapítulos, que são

o suporte teórico deste relatório. Assim, faz-se uma breve referência à evolução histórica à luz da

matemática e dos programas de ensino dos principais conceitos abordados neste relatório, que

são os conceitos de Taxa de Variação, de reta tangente, aborda-se o ensino do conceito de reta

tangente ao gráfico de uma função num ponto no currículo escolar atual e, por último, aborda-se

a problemática das conceções dos alunos.

No Capítulo III, de Enquadramento contextual, dividido em quatro subcapítulos, apresenta-

se a caracterização da escola e da turma onde foi realizada a intervenção pedagógica, bem como

as estratégias de intervenção utilizadas, finalizando com os métodos utilizados para a recolha de

dados usados na realização deste relatório.

O Capítulo IV, da Intervenção pedagógica, sendo o mais amplo, está organizado em três

subcapítulos, especificamente sobre a análise da avaliação diagnóstica, da implementação da

intervenção pedagógica e, por fim, da avaliação das aprendizagens.

No Capítulo V, de Conclusões, implicações, recomendações e limitações, apresentam-se as

conclusões, implicações, recomendações e limitações do estudo realizado, e encontra-se dividido

em cinco subcapítulos que apresentam uma síntese do projeto e dão resposta aos três objetivos

propostos no estudo, finalizando com algumas sugestões e recomendações a partir dos resultados

obtidos.

5

CAPÍTULO II

ENQUADRAMENTO TEÓRICO

Neste capítulo é apresentado o fundamento teórico deste relatório, que se organiza em três

subcapítulos: (1) o conceito de taxa de variação e o seu ensino, (2) o ensino do conceito de reta

tangente ao gráfico de uma função num ponto no currículo escolar e (3) as conceções dos alunos.

2.1. O conceito de taxa de variação e o seu ensino

Este subcapítulo apresenta-se dividido em três secções, sendo a primeira dedicada a uma

perspetiva histórica do conceito de derivada, onde são apresentadas algumas contribuições de

Descartes, Fermat e Newton para o Cálculo. Depois é apresentada a evolução do ensino do

conceito de derivada nos currículos desde que ele foi introduzido, pela primeira vez, em 1905, até

ao programa atual. E finalmente são abordadas algumas representações da taxa de variação, bem

como a sua interpretação gráfica.

2.1.1. Perspetiva histórica do conceito de taxa de variação

Foram vários os autores que contribuíram para a evolução do conceito de derivada, não

sendo claro, na literatura, a atribuição da sua descoberta apenas a uma pessoa.

Um dos matemáticos que contribuiu para o descobrimento deste conceito foi Descartes

(1596 — 1650), que em 1637 escreveu um tratado intitulado “Discurso do método para bem

conduzir a razão e procurar a verdade das ciências”. Este tratado tinha três apêndices, sendo que

o terceiro — “A Geometria” — era dedicado à Matemática. Neste apêndice, ele inclui “uma

classificação de curvas e um método de construir tangentes a curvas” (Santos, 2011, p. 73).

Pela mesma altura, Fermat (1601 — 1665) escreveu o tratado “Método para achar máximos

e mínimos”, no qual mostra que, além da descoberta de um método para determinar máximos e

mínimos de curvas polinomiais, “descobriu como aplicar seu processo de valores vizinhos para

achar a tangente a uma curva algébrica da forma )(xfy ” (Boyer, 1974, p. 255).

Para Boyer (1992, p. 15) “há plena razão para se reconhecer, […] que Fermat foi o

“inventor” do Cálculo Diferencial”, utilizando um método semelhante ao usado atualmente para

determinar o declive da reta tangente ao gráfico de uma função num ponto.

Mais tarde, Newton (1643 — 1727) e Leibniz (1646 — 1716), de forma independente,

também deram grandes contributos para o Cálculo Diferencial.

6

Embora só no século XIX Cauchy introduza formalmente o conceito de limite e o

conceito de derivada, a partir do século XVII, com Leibniz e Newton, o Cálculo

Diferencial torna-se um instrumento cada vez mais indispensável pela sua

aplicabilidade aos mais diversos campos da Ciência. (Viseu, 2000, p. 18)

Segundo Stewart (2006) foi Newton o primeiro matemático a abordar as ideias de limite

como base do Cálculo Diferencial. Por sua vez Leibniz concluiu que para determinar a reta

tangente a uma curva teria de recorrer à razão das diferenças das ordenadas e das abcissas,

quando estas diferenças se tornam infinitamente pequenas (Boyer, 1974). Contudo, o conceito de

limite apresentado por Leibniz e Newton não era muito claro, e só mais tarde surge uma definição

mais desenvolvida de limite apresentada por d’Alembert.

2.1.2. O ensino de conceito de taxa de variação no currículo do Ensino Secundário

A Taxa de Variação é um dos temas integrantes do programa de 11.º ano de Matemática A

do Ensino Secundário.

A breve evolução do ensino do conceito de derivada, aqui apresentada, baseia-se no texto

intitulado “O conceito de derivada no ensino secundário ao longo do século XX”, de Aires e Vásquez

(2004), onde são apresentadas em pormenor as várias reformas implementadas no ensino ao

longo do século passado, focando o conceito de derivada.

Este tema, integrado no capítulo da Álgebra, foi introduzido no programa de Matemática, na

VI classe do curso complementar de Ciências, no ano de 1905, numa reforma feita no ensino

liceal por Eduardo José Coelho, que nessa altura era Ministro e Secretário de Estado dos Negócios

do Reino.

Em 1918, numa reforma feita por Alfredo Magalhães, o Cálculo Infinitesimal ganha

autonomia, passando o tema das derivadas a ser precedido da noção de limite. Anos mais tarde,

em 1936, verifica-se um retrocesso no ensino da Matemática e o tema das derivadas é excluído

do programa de Matemática. Só em 1947 este tema volta a fazer parte do programa.

Na reforma implementada em 1974 foram feitas alterações que visavam a aproximação

entre a Matemática lecionada no Ensino Secundário e no Ensino Superior e o tema Derivadas

passou a ter um capítulo a ele dedicado, tanto no 11.º como no 12.º ano.

A partir daqui foram feitas várias reformas, sempre mantendo o ensino do tema Derivadas

Desde a introdução da noção de derivada no plano de estudo do ensino liceal, no ano

de 1905 até ao final do século XX, com exceção da reforma de Carneiro Pacheco em

7

1936, em que aquela foi suprimida, assistimos a uma afirmação e aumento do

espaço dedicado ao ensino de derivadas. (Aires & Vázquez, 2004, p. 120)

O programa de 11.º ano de Matemática A, de 2002, que esteve em vigor pela última vez

este ano, está dividido em três temas: (1) Geometria no Plano e no Espaço II, (2) Introdução ao

Cálculo Diferencial, Funções racionais e com radicais, Taxa de Variação e Derivada e (3) Sucessões

Reais (Ministério da Educação, 2002).

O subtema Taxa de Variação inclui-se no segundo tema que tem como tempo previsto de

lecionação 30 aulas de 90 minutos, o que representa cerca de um terço do ano escolar.

O programa inclui a introdução do conceito de limite, salientando-se o facto de que ele deve

ser introduzido de forma intuitiva e só no 12.º ano será formalizado. Prosseguindo com a taxa

média de variação, preconiza-se que este conceito seja introduzido através da noção de velocidade

média que os alunos conhecem da Física.

A taxa média de variação de uma função f no intervalo ba, é dada por:

ab

afbfvmt ba

)()(... ,

Posteriormente, introduz-se a taxa de variação, fazendo a sua interpretação geométrica

recorrendo à noção intuitiva de limite. Passa-se depois à função derivada da função afim e de

funções polinomiais de 2.º e 3.º graus, função racional de 1.º grau e função módulo, sugerindo-

se que sejam propostos aos alunos alguns problemas simples envolvendo aplicações das

derivadas. Finaliza-se este subtema relacionando os intervalos de monotonia da função com o

sinal da sua respetiva derivada, sem deixar de apresentar alguns contraexemplos de “funções que

têm derivada nula num ponto sem que nele haja extremo e que há funções com extremo que não

têm derivada real no ponto em que tal acontece” (Ministério da Educação, 2002).

O cálculo diferencial também é um tema de enorme relevância no 12.º ano de escolaridade,

onde representa também cerca de um terço do programa. Neste ano de escolaridade, tal como

no 11.º ano, o ensino do cálculo diferencial é precedido do ensino do conceito de limite. No

entanto, aqui o conceito de limite é introduzido não de forma intuitiva, mas formalmente, sendo

apresentado aos alunos a definição de limite de função segunde Heine. São exploradas as

operações com limites, limites notáveis, indeterminações, assintotas, continuidade e ainda o

Teorema de Bolzano-Cauchy.

8

Prossegue-se com o Cálculo Diferencial onde os alunos aprendem regras de derivação de

diferente tipo de funções, incluindo as funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas, e

ainda a derivada da função composta. Segue-se o ensino da segunda derivada e concavidades, o

que permite aos alunos fazer o estudo de funções em casos simples. É também sugerido no

programa que seja dado aos alunos uma perspetiva histórica do Cálculo Diferencial. Finaliza-se o

tema propondo-se problemas de otimização o mais completo possíveis, devendo salientar-se as

suas aplicações e importância no mundo atual.

2.1.3. Significados do conceito de derivada

O conceito de derivada tem vários significados, quer ao nível teórico, no âmbito da

matemática, quer ao nível prático, no âmbito das suas aplicações a outras ciências, destacando-

se os seguintes significados de derivada da função f em 0x :

O limite h

xfhxfh

)()(lim 00

0

;

O limite 0

0 )()(lim

xx

xfxf

oxx

;

Declive da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 0x ;

O declive da reta que melhor aproxima a função f na vizinhança do ponto 0x ;

A tangente do ângulo que a reta tangente ao gráfico de f no ponto 0x faz com o

eixo horizontal;

Velocidade instantânea em 0x ;

Taxa de crescimento populacional no instante 0x .

Tal (2000) sugere que a abordagem à noção de derivada deve ser planeada de forma a que

sejam abordados o maior número de significados e representações do conceito, de modo a criar

uma imagem concetual rica nos alunos. A este propósito, Dolores (2007) salienta que os alunos

dificilmente reconhecem as ideias associadas ao conceito de derivada na resolução de problemas

sobre variação.

Relativamente à interpretação gráfica do conceito de taxa de variação, são vários os autores

que defendem que “o estudo das funções – Introdução ao Cálculo Diferencial I – deve ser feito

colocando em primeiro plano as abordagens gráficas e intuitivas e relacionando de forma

sistemática abordagens gráficas e analíticas” (Teixeira, Precatado, Albuquerque, Antunes &

Nápoles, 1998, pp. 8-9).

9

Apesar das várias advertências neste sentido, muitas vezes devido ao tempo previsto nos

programas para a abordagem deste tema, privilegia-se a componente analítica em vez da

componente gráfica, introduzindo-se a noção de derivada e realizando-se tarefas sem qualquer

contexto real e sem salientar a importância da sua interpretação gráfica (Pimentel, 1995).

Orton (1983), num estudo com 110 alunos ingleses entre os 16 e os 22 anos, todos com

pelo menos um ano de Cálculo, verificou que a maioria dos alunos aplica corretamente os

algoritmos de derivação, mas não interpreta geometricamente a noção de limite que está na base

do conceito de derivada. Também González e Flores (2016), num estudo realizado com 45 alunos

entre os 17 e os 25 anos, da Licenciatura em Matemática, concluíram que a maioria dos

estudantes tem uma ideia da noção de derivada, enquanto fórmula, mas apenas 15% a identificam

como o declive da reta tangente ou taxa de variação. A partir destes estudos torna-se evidente que

os alunos demonstram facilidade nos procedimentos analíticos, contudo o mesmo não acontece

com a compreensão concetual e geométrica.

Segundo Ferrini-Mundi e Lauten (1993), os alunos apresentam, em termos mais

específicos, dificuldades em entender de que forma as retas secantes ao deslizarem ao longo de

uma curva em torno de um ponto, no limite dão origem à reta tangente à curva nesse ponto.

Outra dificuldade identificada, neste caso num estudo realizado por Viseu (2000), com 19

professores estagiários de matemática, foi uma interpretação incorreta da informação proveniente

do gráfico de uma função para efetuar um possível esboço gráfico da sua derivada ou vice-versa.

Segundo o autor, de um modo geral, os estagiários apresentam dificuldades em relacionar a

monotonia de uma função com o sinal da respetiva derivada em situações gráficas sem dados

concretos.

Riddle (1994) apresenta como principal causa para estas dificuldades o facto de só se

explorarem as representações gráficas na introdução do conceito de taxa de variação, passando-

se posteriormente às regras de derivação. Mais tarde, esta abordagem pode ser geradora de

conflitos cognitivos:

Os alunos aprendem os processos de cálculo (limites, derivadas, etc…) a um nível

puramente algorítmico, com poucas imagens do conceito. (…) Quando se recorre à

visualização, a ligação entre representações visual/ gráfica e analítica/ algébrica é

geradora de conflitos cognitivos (Dreyfus, 1990, p. 125)

Atendendo aos resultados obtidos nos diferentes estudos referidos acima, torna-se evidente

a necessidade de adotar uma metodologia de ensino onde as componentes analítica e gráfica se

10

complementam, proporcionado aos alunos a oportunidade de criarem uma imagem conceptual

de taxa de variação adequada.

2.2. O ensino do conceito de reta tangente a uma curva no currículo escolar

O conceito de reta tangente começa por surgir associado à circunferência e só mais tarde

passa a ser associado a uma curva qualquer. Pensa-se que “foi na civilização grega que

primeiramente surgiu a noção de tangente a uma curva que não a circunferência” (Boyer, 1974,

p. 94). Também Arquimedes e Apolónio determinaram retas tangentes a hipérboles, parábolas e

elipses. Posteriormente, Descartes e Fermat, no século XVII, generalizaram o conceito de tangente

a qualquer curva (Viseu & Almeida, 2003).

O ensino do conceito de reta tangente, segundo o programa de Matemática (Ministério da

Educação, 2002), surge no 9.º ano de escolaridade associado à circunferência (Figura 1).

Figura 1. Relação entre uma reta e uma circunferência (Marques & Ferreira, 2012, p. 33).

Como observamos pela Figura 1, a tangente é considerada como uma reta que tem um

único ponto em comum com a circunferência. Isto é verdade para a relação entre a circunferência

e a reta, mas não pode ser generalizado para qualquer curva. No entanto, em muitos alunos

prevalece esta conceção quando chegam ao Ensino Secundário, a qual se revela correta em certas

situações e errada noutras.

O conceito de tangente é posteriormente abordado no 11.º ano no tema Geometria no Plano

e no Espaço II, mais uma vez relacionado com a circunferência. Nesta altura, é ensinado aos

alunos a determinar a equação da reta tangente à circunferência recorrendo ao produto escalar

(Figura 2).

11

Figura 2. Definição de reta tangente à circunferência recorrendo ao produto escalar (Neves,

Pereira & Silva, 2015a, p. 103).

Ainda no 11.º ano, este conceito é abordado a propósito do conceito de derivada de uma

função num ponto. É feita uma interpretação geométrica do conceito de derivada no ponto, como

sendo o declive da reta tangente ao gráfico da função nesse mesmo ponto (Figura 3).

Figura 3. Interpretação geométrica de derivada de uma função num ponto (Neves, Pereira &

Silva, 2015b, p. 1311).

A interpretação geométrica do conceito de derivada de uma função num ponto pode ser

vantajosa, no sentido em que os alunos podem confirmar geometricamente os resultados obtidos

de forma analítica. No entanto, segundo Tall (1994), os alunos geralmente não fazem ligação entre

o pensamento analítico e o pensamento visual, principalmente por esta ligação ser ignorada no

ensino.

Por outro lado, a interpretação geométrica pode constituir um problema considerando que

os alunos nem sempre conseguem identificar corretamente a reta tangente ao gráfico de uma

função num ponto, além de que “uma compreensão gráfica demasiado viva pode contribuir para

ofuscar aspetos analíticos essenciais dos conceitos” (Almeida & Viseu, 2002).

2.3. As conceções dos alunos

O ensino é fortemente subordinado a aspetos árduos de captar como as conceções dos

professores, mas também das conceções dos alunos face à Matemática, e ao seu ensino e

aprendizagem (Christiansen & Walther, 1986).

As conceções, segundo Barbosa (2011, p. 11) “funcionam como lentes pelas quais os

sujeitos dão significado às suas experiências”. Partindo desta perspetiva, é essencial ter

1 Observa-se que na citação do livro de texto os parênteses curvos não estão corretos, existe um parentese curvo à esquerda a mais.

12

consciência das conceções dos alunos sobre determinados temas matemáticos pois só desta

forma poderemos entender através de que “lentes” os alunos dão significado aos conceitos que

são abordados na sala de aula.

Perceber as conceções dos alunos implica saber “o que a pessoa pensa sobre determinada

coisa, que entendimento tem dessa coisa, qual é a forma como ela a vê ou encara” (Guimarães,

2010, p. 84), o que nem sempre é um processo fácil, devido ao aumento de heterogeneidade das

turmas. Além disso, é importante perceber que as conceções podem decorrer das nossas

experiências ou do confronto com as experiências dos outros (Ponte, 1992). Assim, é preciso

entender a origem das conceções dos alunos para que o processo de ensino-aprendizagem seja

mais eficaz, contrariando possíveis conceções erradas ou fortalecendo conceções corretas

manifestadas pelos alunos (Fernandes, 1990). Guimarães (2010) salienta, ainda, que uma vez

que o aluno desenvolva uma conceção, ela será usada em compreensões futuras e os alunos irão

aplicá-la a novas situações, o que reforça ainda mais a importância da compreensão e análise das

conceções dos alunos.

São vários os autores que abordam questões relacionadas com as conceções dos alunos e

a forma como se desenvolve o seu conhecimento matemático. Cantoral e Montiel (2001, p. v)

referem que

Os alunos constroem conhecimento com certa independência do discurso matemático do ensino. Com frequência, constroem explicações inadequadas e inclusive erradas do ponto de vista matemático, uma vez que descobrem profundas relações entre peças do saber matemático, sem que isso tenha sido parte explícita do seu ensino.

No que diz respeito às conceções dos alunos acerca da reta tangente ao gráfico de uma

função num ponto, muitos alunos têm dificuldades em identificar a reta tangente num ponto de

inflexão ou em entender o significado de uma reta tangente intersetar um gráfico de uma função

em mais do que um ponto, em consequência de não terem construído uma conceção adequada

do conceito de reta tangente num ponto (Biza & Zachariades, 2010). No mesmo sentido, Vinner

(1991) salienta que o conceito de tangente à circunferência tende a prevalecer, mesmo quando

se trata de outro tipo de curvas. Em consequência, “tornam-se geradoras de conflito cognitivo as

situações em que a reta tem vários pontos em comum com a curva, ou em que a reta “corta” a

curva, o que nunca acontece com a circunferência” (Viseu & Almeida, 2003, p. 197).

13

Para Tall (1991) estes conflitos surgem devido ao facto de as abordagens pedagógicas não

levarem em consideração as intuições dos alunos relativamente a este conceito, o que destaca a

importância da avaliação dessas intuições prévias dos alunos.

Num estudo realizado por Vinner (1991), com 278 alunos de Análise, pediu-se aos alunos

para traçar retas tangentes a diferentes gráficos num determinado ponto e conclui-se que 85% dos

alunos apresentou representações erradas, sendo que em 35% dessas representações erradas era

evidente a influência da noção de tangente à circunferência.

Castela (1995), num estudo realizado com alunos do ensino secundário sobre o conceito

de reta tangente a uma curva num ponto, detetou diferentes conceções, o que a levou a questionar-

se sobre a forma como o vocabulário utilizado no ensino pode influenciar essas conceções. A

autora avança ainda com a hipótese de que os alunos têm diferentes capacidades para

contextualizar novos conhecimentos que diferem dos que estabeleceram previamente, devido à

existência de inconsistências entre as antigas conceções, antes adquiridas, e aquelas que se

pretende que adquiram de novo.

Com este estudo, realizado com alunos franceses no decorrer de três anos letivos,

pretendia-se avaliar as conceções dos alunos acerca do conceito de reta tangente a uma curva. O

estudo foi realizado com 228 alunos que já tinham estudado o conceito de derivada e 144 que

nunca o tinham estudado. Aos alunos foi pedido que respondessem a um questionário com oito

questões, onde em cada uma se representava uma curva e uma reta e os alunos tinham que

indicar, justificando, se a reta era ou não tangente à curva no ponto A assinalado na curva (Figura

4).

Figura 4. Questões do estudo realizado por Castela (1995).

14

Relativamente aos resultados dos alunos que nunca tinham estudado derivadas, observou-

se uma baixa taxa de sucesso. Estes apresentaram maiores dificuldades nos gráficos 1, 2, 4 e 6,

onde mais de 50% dos alunos apresentou respostas incorretas. Segundo a autora, as dificuldades

apresentadas devem-se, no gráfico 1, ao facto de a reta cortar a curva; no gráfico 2, ao facto de A

ser um ponto anguloso: no gráfico 4, ao facto de a curva se confundir localmente com a reta; e no

gráfico 6, ao facto de se tratar de um ponto de inflexão.

No que diz respeito aos alunos que já tinham estudado derivadas, nos gráficos 1, 2, 3, 5,

6, 7 e 8 as percentagens de respostas corretas ultrapassou os 75%, o que não se verificou na

questão 4, onde a percentagem de respostas corretas não ultrapassou os 50%. A maioria dos

alunos que errou na questão 4 justificou alegando que a curva se confunde localmente com a reta,

donde não é tangente.

Viseu (2000) utilizou o mesmo questionário, num estudo realizado com 19 professores

estagiários da Licenciatura em Ensino de Matemática da Universidade do Minho, concluindo que

a maioria dos estagiários generalizou a noção de tangente à circunferência a outras situações,

desenvolvendo uma perspetiva global deste conceito. Nas respostas obtidas observa-se a

referência ao número de pontos de interseção entre a curva e a reta e ao facto de a reta “cortar”

ou não a curva, revelando assim uma conceção pouco clara de reta tangente por parte dos

estagiários.

Através dos resultados obtidos nos estudos acima referidos, conclui-se que a maioria dos

alunos apresenta conceções erradas acerca do conceito de reta tangente ao gráfico de uma

função, principalmente devido ao facto de generalizarem o conceito de reta tangente à

circunferência a outras situações.

15

CAPÍTULO III

ENQUADRAMENTO CONTEXTUAL

Neste capítulo será caracterizado o enquadramento contextual da intervenção pedagógica,

onde será apresentada a caracterização da escola onde foi feito o estágio, bem como da turma

onde lecionei. Apresentam-se ainda as estratégias de intervenção utilizadas e os diferentes

métodos de recolha de dados.

3.1. Caracterização da escola

Relativamente ao enquadramento contextual, a intervenção pedagógica foi realizada numa

turma do 11.º ano de escolaridade de uma escola do concelho de Braga.

Esta escola pertence a um agrupamento de escolas constituído por doze estabelecimentos

de ensino, abrangendo cerca de 2277 alunos distribuídos por diferentes níveis de ensino, desde

o ensino pré-escolar até ao ensino secundário, e 235 professores.

Tendo já muitos anos de existência, a escola acumulou um vasto espólio a nível bibliográfico,

biológico e de equipamento científico, que em parte está exposto no museu da escola e na

biblioteca. A escola possui ainda um teatro e uma quinta e foi submetida a uma profunda

remodelação no ano letivo de 2010/2011.

A escola está munida de diversos espaços para os professores e para os alunos, como por

exemplo salas de convívio e salas de trabalho e estudo.

Os pontos fulcrais do Plano Anual de Atividades (PAA) são a promoção do sucesso educativo

e do sentido de pertença ao agrupamento no qual está inserida a escola, a valorização profissional

de docentes e não docentes e o aumento da interação com a comunidade educativa. Neste

sentido, o PAA está repleto de atividades que visam atingir as metas acima descritas.

Aos alunos é disponibilizado apoio educativo às disciplinas que vão ter exame, e o horário

desse apoio consta do horário dos alunos e dos professores. Este apoio consta do Plano de Ação

para a Promoção do Sucesso Educativo elaborado pela escola, o qual salienta a criação de grupos

de trabalho no apoio educativo de acordo com níveis de aprendizagem e graus de dificuldade.

A escola tem em conta a diversidade de estatutos sociais e económicos dos seus alunos,

oferecendo um apoio diversificado e uma oferta educativa variada. Nesta escola podemos

encontrar, essencialmente, um ensino secundário regular, mas também existem cursos

16

profissionais e algumas turmas do ensino básico. Desta forma, a oferta educativa da escola neste

ano letivo inclui os cursos científico-humanísticos de Ciências e Tecnologias, Línguas e

Humanidades, Artes Visuais e Ciências Socioeconómicas. Como cursos profissionais funcionaram

o de Técnico de Gestão e Programação de Sistemas Informáticos, Técnico de Multimédia, Técnico

de Apoio à Infância, Técnico de Receção, Técnico de Eletrónica, Automação e Computadores e

Técnico de Auxiliar Psicossocial. Existem ainda Percursos Vocacionais (de equivalência ao 9.º ano)

e de Educação e Formação de Adultos.

Existem ainda na escola vários projetos como um Clube de Robótica, um Centro de

Criatividade e Mudança, uma Oficina de Leitores, uma Oficina de Teatro, um Programa de

Educação para a Saúde, entre outros.

Esta escola procura ainda aprofundar nos alunos o respeito pelos outros, o espírito de

solidariedade, o humanismo e a convivência democrática. Espera desta forma, formar jovens

cidadãos críticos e interventivos na sociedade. Estes objetivos presentes no Projeto Educativo vêm

seguidos de pontos de partida atuais e planos de melhoria para cada um dos objetivos pretendidos,

bem como dos indicadores a ter em conta para avaliar cada objetivo.

Na avaliação externa, feita à escola em fevereiro de 2010, a escola foi avaliada com o nível

Bom nos cinco critérios: (1) resultados, (2) prestação do serviço educativo, (3) organização e

gestão escolar, (4) liderança e (5) capacidade de autorregulação e melhoria da escola. Numa nova

avaliação feita em 2016, os resultados obtidos melhoraram substancialmente, atingindo o nível

de Muito Bom em todas as categorias.

Por fim, salienta-se a inexistência de casos graves de violência, existindo um bom

relacionamento entre todos os membros da comunidade escolar, com respeito e atenção pelos

direitos e deveres mútuos.

3.2. Caracterização da turma

A turma, na qual realizei a intervenção pedagógica era uma turma de 11.º ano do curso

Científico-Humanístico de Ciências e Tecnologias, constituída por 20 alunos ( 1A , 2A , …, 20A ),

sendo que 13 (65%) eram rapazes e 7 (35%) raparigas, com idades compreendidas entre 16 e 18

anos, e uma média de idades de 16,7 anos. Desta turma faziam parte 10 alunos repetentes, dos

quais 3 já tinham duas retenções e uma aluna com Necessidades Educativas Especiais (NEE).

Relativamente à disciplina de Matemática, num inquérito aplicado no início do ano letivo

apurou-se que 6 alunos obtiveram nota negativa a Matemática no ano passado e 6 alunos

17

referiram que Matemática era a disciplina na qual tinham mais dificuldades. Havia ainda 6 alunos

com explicações a Matemática e salienta-se ainda o facto de que 19 alunos pretendiam ingressar

no ensino superior.

No respeitante ao desempenho da turma no 10.º ano de escolaridade, 35% dos alunos

terminaram o 10.º ano com negativa na disciplina de Matemática. No 1.º período do 11.º ano

houve uma descida das notas, sendo que a média foi 8.5 valores. No segundo e terceiro períodos

as notas subiram ligeiramente, no entanto observando-se uma média final de 11.º ano de apenas

9.5 e a classificação mais elevada de 12 valores.

Tabela 1 – Frequência absoluta das classificações dos alunos no final do 10.º ano e no 1.º, 2.º e 3.º período do 11.º ano

10.º Ano 11.º Ano Classificação 3.º Período 1.º Período 2.º Período 3.º Período

5 0 0 0 1 6 0 1 3 2 7 0 7 4 0 8 3 2 2 5 9 4 5 1 0 10 6 3 7 5 11 2 1 2 2 12 4 0 0 5 13 1 1 1 0

Média 10.2 8.5 8.8 9.5

A turma, além das aulas de Matemática, teve um bloco de 90 minutos de apoio educativo

semanal a esta disciplina, que constava do seu horário. A participação no apoio não era obrigatória,

mas a comparência dos alunos foi razoável ao longo do ano.

No teste diagnóstico realizado pela turma, logo na primeira aula do 1.º período, foram

constatadas diversas dificuldades dos alunos. Evidenciou-se a existência de uma enorme falta de

bases, denotando-se falta de conhecimento de diversos conceitos que já deveriam estar

consolidados.

Durante as aulas, a turma sempre foi bastante apática. Em geral, os alunos não

questionavam o que lhes era dito, nem apresentavam espírito crítico face ao que a professora

ensinava e face à sua própria aprendizagem. A turma mostrou falta de autonomia, e a maioria dos

alunos também não recorria ao professor para esclarecer dúvidas. Salienta-se ainda que, de um

modo geral, eram alunos que demonstravam falta de hábitos de estudo, principalmente em casa,

embora, com o passar das aulas, alguns alunos tenham começado a trabalhar mais, revelando

maior autonomia.

18

Neste contexto, era evidente a necessidade da intervenção pedagógica ser motivadora,

proporcionando aos alunos a possibilidade de, além de desenvolverem trabalho autónomo,

questionarem as suas aprendizagens anteriores, confrontando-os com conceções diferentes

daquelas que já tinham estabelecido.

3.3. Estratégias de Intervenção

Ao longo do ano escolar os alunos trabalharam individualmente, pelo que durante a minha

intervenção pedagógica foi mantido esse formato de organização dos alunos, pois considerei que

seria mais vantajoso para o meu estudo. Visto que o que se pretende é identificar as conceções

dos alunos e explorá-las, o trabalho individual é mais indicado, já que assim se diminuem as

interferências entre as possíveis diferentes conceções dos alunos, o que poderá contribuir para

aumentar o rigor e a fiabilidade do estudo. Esta opção também se relacionou com o tempo previsto

para a intervenção pois como a turma já estava um pouco atrasada, de acordo com a planificação

feita pela orientadora no início do ano letivo, o trabalho individual dos alunos constituiu uma forma

de contribuir para o cumprimento da planificação.

Durante o estágio profissional, e em particular durante a intervenção pedagógica, adotei

uma filosofia de ensino construtivista. Tendo como ator principal o aluno, tentei que ao longo das

aulas eles fossem construindo o seu conhecimento, dando-lhes tarefas adequadas e que

apresentassem algum desafio.

O modelo construtivista caracteriza-se pela deteção de conceções existentes no aluno,

colocando-as à prova para as modificar ou construir outras novas. As conceções prévias dos alunos

podem ser problemáticas, uma vez que uma imagem mental contraditória pré-existente na mente

do aluno pode constituir um obstáculo na definição formal (Tall, 2000). Desta forma, esforcei-me

no sentido de conscientizar os alunos para algumas contradições, confrontando-os com conceções

erradas, com as quais me deparei no teste diagnóstico e também no decorrer das aulas.

A intervenção pedagógica iniciou-se com uma tarefa de diagnóstico (ver Anexo I), cujo

objetivo foi permitir conhecer as conceções que os alunos tinham acerca dos conceitos de reta

tangente ao gráfico de uma função num ponto. Esta tarefa foi realizada logo na primeira aula da

intervenção pedagógica e influenciou a posterior implementação da intervenção, no sentido em

que, através da análise das respostas dos alunos, fiquei com informação para adaptar o meu

ensino às conceções estabelecidas pelos alunos e, de seguida, explorá-las nas aulas.

Assim, no seguimento desta tarefa inicial, a exploração das conceções dos alunos foi

realizada ao longo da intervenção pedagógica, confrontando os alunos com novas conceções que

19

contraditavam as suas. Pretendia desta forma, que os alunos interiorizassem novas conceções,

que são fundamentais para futuras aprendizagens.

Outra estratégia usada consistiu em confrontar os alunos com determinados conceitos que

aprenderam em outras disciplinas, mais especificamente na Física, e que estão relacionados com

o tema aqui explorado. Nesse sentido, Sebastião e Silva defende:

De resto o estudo das derivadas deve ser feito em estreita conexão com o dos movimentos,

na física. Introduzir o conceito matemático de derivada sem ter partido do conceito

mecânico de velocidade, e sem depois apresentar as múltiplas concretizações da mesma

ideia na geometria e na física – é um erro grave de pedagogia (1951, p. 4).

Foi aplicada ainda uma questão-aula (ver Anexo II) perto do final da intervenção, para

verificar as aprendizagens dos alunos e dar-lhes algum feedback acerca do seu desempenho.

Finalmente, terminada a intervenção, foi feita a avaliação final, que consistiu num teste de

avaliação sumativa. Este teste, do qual apenas uma parte correspondia à matéria que lecionei (ver

Anexo II), já estava marcado pela professora da turma desde o início do ano letivo e teve por

finalidade avaliar os conhecimentos dos alunos após a intervenção de ensino.

Para finalizar a intervenção pedagógica foi aplicado novamente aos alunos o teste

diagnóstico que realizaram no início da intervenção. Através dos resultados obtidos nestas

avaliações e da sua análise pude avaliar o impacto do ensino nas conceções dos alunos sobre

taxa de variação e reta tangente ao gráfico de uma função num ponto.

3.4. Métodos de recolha de dados

No decorrer da intervenção pedagógica foram várias as formas utilizadas para a recolha dos

dados necessários à execução deste relatório.

Antes de iniciar a intervenção pedagógica foi pedida, através da orientadora, à escola e,

posteriormente aos encarregados de educação dos alunos da turma, por escrito, autorização para

a realização da gravação em vídeo e áudio das aulas a lecionar por mim (ver Anexo III).

Desta forma, em todas as aulas, foi colocada uma câmara de filmar no fundo da sala para

registar a aula. Foi usado também um telemóvel, como gravador áudio, que estava pousado sobre

a mesa do professor ou então levava na mão quando os alunos chamavam por mim para colocar

dúvidas. No final de cada aula, descarregava o ficheiro áudio e vídeo para o meu computador

pessoal.

De salientar que houve dois Encarregados de Educação que não autorizaram a gravação

dos seus filhos e então os respetivos alunos passaram para o fundo da sala de modo a não serem

captados pela máquina de filmar.

20

Uma das fontes de recolha de dados utilizadas para dar resposta ao primeiro objetivo da

intervenção pedagógica foi o teste diagnóstico.

Para dar resposta aos outros dois objetivos propostos, no decorrer das aulas, tendo em

conta que a gestão de tempo é difícil, principalmente numa fase inicial, as minhas colegas de

estágio, bem como a orientadora fizeram observações das minhas aulas.

No final da intervenção pedagógica pedi aos alunos os seus cadernos diários, que fotocopiei

e posteriormente devolvi.

Através dos cadernos, foi possível ter uma ideia mais clara daquilo que os alunos escreviam

nas aulas, que tarefas realizavam em casa, se passavam corretamente o que era escrito no quadro

e também se tiraram apontamentos importantes durante as aulas. Desta forma percebi também

os principais erros e dificuldades sentidas pelos alunos.

Posteriormente, a avaliação das aprendizagens dos alunos foi feita através de: (1) uma

questão-aula, constituída por três questões; (2) parte do teste de avaliação sumativa, constituída

por uma questão de escolha múltipla e uma questão de desenvolvimento com três alíneas; (3) um

teste diagnóstico, aplicado aos alunos no final da intervenção com o intuito de verificar se,

relativamente à sua aplicação antes da intervenção, houve melhoria nas suas respostas após a

intervenção pedagógica.

Na Tabela 2 discriminam-se os diferentes métodos de recolha de dados segundo cada um

dos objetivos da intervenção pedagógica.

Tabela 2 — Objetivos e métodos de recolha de dados

Métodos Objetivos

Teste diagnóstico

Gravação vídeo e áudio

Observação de aulas

Produções dos alunos

Avaliação das aprendizagens

Identificar conceções dos alunos acerca da taxa de variação e reta tangente ao gráfico de uma função num ponto

Explorar as conceções dos alunos no ensino do conceito de taxa de variação

Avaliar o impacto do ensino nas conceções dos alunos sobre taxa de variação e reta tangente ao gráfico de uma função num ponto

21

CAPÍTULO IV

INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA

O Capítulo IV deste relatório, intitulado Intervenção Pedagógica divide-se em três

subcapítulos: (1) Avaliação Diagnóstica, (2) Implementação da Intervenção Pedagógica e (3)

Avaliação das Aprendizagens. Neste capítulo são aprofundadas questões relativas à minha

intervenção pedagógica e tendo em conta que não é possível esmiuçar todos os pormenores, foi

feita uma seleção rigorosa dos elementos mais importantes que deveriam estar presentes neste

relatório.

A escolha dos elementos e partes da intervenção a analisar foi feita tendo em vista os

objetivos propostos para a minha intervenção. Desta forma foram eleitos os elementos que visam

dar resposta a cada um dos objetivos delineados para a intervenção pedagógica.

4.1. Avaliação diagnóstica

Nesta secção será feita uma análise dos resultados obtidos no teste de avaliação

diagnóstica, que foi realizado na primeira aula da intervenção pedagógica (ver Anexo I).

Relativamente ao teste, constituído por duas questões, na questão 1 foi feita uma análise das

respostas corretas (C) e incorretas (I), bem como das justificações apresentadas pelos alunos, e

na questão 2 é apresentada a percentagem de alunos que escolheram cada uma das opções das

alíneas a) e b) e a análise das justificações referentes à alínea b).

Questão 1

Em cada um dos oito gráficos seguintes indica (assinalando uma das opções Sim/Não) e justifica

se a reta r é tangente à curva 𝓒 no ponto A .

Na Tabela 3 apresentam-se as percentagens das respostas dos alunos, bem como as

justificações dessas respostas.

Tabela 3 – Percentagem dos tipos de resposta e das justificações na questão 1

Gráficos Respostas:

Justificações: C I

50 50

Não, porque r interseta C em dois pontos 40

Sim, porque r interseta C na “parte curva” 10

Sim, porque r passa no ponto de máximo da curva

5

Sim, porque r é perpendicular a s * 5

Justificação irrelevante 35 Não justifica 5

22

35 65

Sim, porque r interceta C num só ponto 35

Não, porque r não interseta C numa parte

curva 10



5

Justificação irrelevante 30

Não justifica 15

90 10

Sim, porque r interseta C num só ponto. 10

Não, porque r “atravessa” C 50


Não justifica 10

90 10

Sim, porque r interseta C num só ponto 30

Sim, porque r interseta C numa “parte

curva” 5

Sim porque r é perpendicular a s * 5


5


80 20

Não, porque r interceta C em dois pontos 35

Não, porque r não interceta C na “parte

curva” 20


Não justifica 30

25 75

Sim, porque r interseta C num só ponto 10

Não, porque r “atravessa” a curva C 45


Não justifica 10

60 40

Não, porque r interceta C em dois pontos 30

Sim, porque passa nos pontos de máximo da curva C

10

Sim, porque r interceta C na “parte curva” 5



Não justifica 15

23

90 10

Sim, porque r interceta C num só ponto 35

Sim, porque r interceta C na “parte curva” 5



Não justifica 20

Na questão 1 do teste diagnóstico, é notável que muitos alunos ligam o conceito de reta

tangente ao conceito de reta tangente à circunferência, onde a reta apenas interceta a

circunferência num ponto e não atravessa a curva.

Para muitos alunos a decisão sobre a reta r ser, ou não, tangente à curva C no ponto A

baseou-se exclusivamente no facto de a reta r intersetar a curva C num único ponto, sendo

assim tangente à curva, ou em mais do que um ponto, não sendo tangente à curva. Surgem

também alguns alunos, que usando este critério na maioria das alíneas, nos gráficos 3 e 6 usam

um critério diferente, justificando que r não é tangente á curva C no ponto A porque r

atravessa a curva.

Um dos alunos, nos gráficos onde considera que a reta r é tangente á curva C , desenhou

uma reta s , perpendicular a r , justificando a sua opção de r ser tangente a C com o facto de

r e s serem perpendiculares (Figura 5). Esta opção pode estar também relacionada com o

conceito de reta tangente à circunferência, já que no decorrer deste ano letivo um dos conteúdos

lecionados foi o conceito de reta tangente à circunferência com recurso ao produto escalar.

Figura 5. Resposta do aluno 15A ao gráfico 1 da questão 1.

Tendo em conta esta conceção dos alunos, é natural que a maioria dos alunos responda

corretamente nos gráficos aos quais a noção de reta tangente à circunferência pode ser aplicada,

como por exemplo os gráficos 3, 4 e 8, o que acontece.

Alguns dos alunos que responderam corretamente nos gráficos 2 e 5, apesar de não

referirem explicitamente que não existe reta tangente à curva em pontos angulosos, referem que

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r não pode ser tangente à curva C no ponto A, já que r não passa numa parte curva,

apresentando assim uma justificação mais próxima da noção de reta tangente à curva.

A percentagem de alunos que não justificaram a sua opção varia entre os 5% e os 30%.

Uma das razões para a não justificação poderia ser o facto de serem gráficos onde era mais difícil

perceber se a reta r era tangente à curva ou não, no entanto não parece existir nenhuma relação

destas percentagens com as percentagens de respostas erradas.

As justificações irrelevantes variam entre os 15% e os 40%. Estes alunos justificam as suas

escolhas referindo, por exemplo, que r é tangente a C porque está bem posicionada, ou não é

tangente porque está mal posicionada, ou dizendo que a reta r é tangente porque está na mesma

direção da curva, entre outras.

Questão 2

Velocidade de um carro de corrida. O gráfico seguinte mostra a variação da velocidade de

um carro de corrida num circuito plano de 3 quilómetros, durante a segunda volta.

a) Qual das quatro opções seguintes corresponde, aproximadamente, à distância da linha

de partida até ao início da reta mais longa do circuito?

Resposta: (A) 0,5 km (B) 1,5 km (C) 2,3 km (D) 2,6 km

b) Eis o traçado de cinco circuitos. Em qual deles (A, B, C, D ou E) poderá ter circulado o

carro, para que o gráfico da velocidade seja o apresentado anteriormente?

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Resposta: (A) (B) (C) (D) (E)

Num pequeno texto, apresenta as razões que fundamentam a resposta selecionada.

Na Tabela 4 apresentam-se as frequências (em %) de alunos nas diferentes opções de

resposta de cada uma das alíneas a) e b) desta questão.

Tabela 4 – Percentagem de alunos em cada uma das opções de resposta das alíneas a) e b) da questão 2

Opção Respostas

a) b)

A 0% 15%

B 90% 45%

C 10% 0%

D 0% 5%

E – 35%

Na alínea a) da questão 2 a maioria dos alunos (90%) escolheu a opção B, que é a opção

correta; os dois alunos que erraram esta questão optaram pela opção C. Relativamente à alínea

b), 45 % dos alunos responderam corretamente, elegendo a opção B. Houve sete alunos que

escolheram a opção E, três optaram pela opção A, apenas um aluno elegeu a opção D e ninguém

optou pela C.

Na alínea b) todos os alunos justificaram, de alguma forma, a opção que escolheram, sendo

que apenas dois apresentam uma justificação irrelevante.

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Na opção A, escolhida por 15% dos alunos, dois alunos justificaram a sua escolha com o

facto de o percurso ter que apresentar três curvas. Estes alunos podem ter transportado o gráfico

velocidade-distância para a forma do circuito escolhido.

Dos nove alunos que optaram pelo gráfico B, que é o gráfico que melhor se adequa ao

circuito, as justificações baseiam-se no facto de que como existem três reduções de velocidade,

terão que existir três curvas no circuito. Adicionalmente, como existem mais gráficos que

satisfazem esta condição (gráficos C e D), alguns destes alunos apresentaram razões para excluir

esses gráficos, referindo a acentuação das curvas e o comprimento das retas (Figura 6).

Figura 6. Justificação do aluno 2A na alínea b) da questão 2.

A opção C não foi escolhida por nenhum aluno.

O único aluno que optou pelo circuito D apresenta como justificação as variações de

velocidade, que teriam que ser constante nas retas e variável nas curvas.

Por fim, sete alunos escolheram a opção E com diferentes justificações. Uma delas baseia-

se no facto de que como existem variações de velocidade, então o circuito tem que apresentar

várias curvas. Outros alunos alegaram que como o carro começa com uma diminuição da

velocidade, então o circuito teria que iniciar com uma descida. Houve ainda um aluno que justificou

que como existe uma reta que é maior que as restantes, o único circuito que destaca essa reta é

o E.

4.2. Implementação da intervenção pedagógica

Nesta secção será feita uma análise das aulas lecionadas ao longo da intervenção

pedagógica. A intervenção foi feita ao longo de nove blocos de 90 minutos cada, nos quais foi

lecionado o tema “Taxa de Variação”, incluído no programa de 11.º ano de Matemática A de 2002.

Na Tabela 5 são apresentadas as aulas lecionadas e os conteúdos abordados em cada uma delas.

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Tabela 5 – Aulas lecionadas na intervenção pedagógica

Aulas Conteúdos abordados 1

(4 / 02)

Teste diagnóstico. Taxa média de variação de uma função num intervalo. Interpretação geométrica da taxa média de variação.

2 (11 / 02)

Definição intuitiva de reta tangente a uma curva num ponto. Taxa de variação instantânea/ taxa de variação de uma função num ponto/ derivada de uma função num ponto. Interpretação geométrica da derivada de uma função num ponto.

3 (15 / 02)

Interpretação geométrica da derivada de uma função num ponto para consolidar o conceito de derivada.

4 (16 / 02)

Função derivada da função afim e funções polinomiais.

5 (18 / 02)

Determinação da função derivada de uma função com recurso à calculadora gráfica. Determinação da reta tangente ao gráfico de uma função num ponto com recurso à função derivada e à calculadora gráfica.

6 (22 / 02)

Relação entre os intervalos de monotonia de uma função e o sinal da função derivada. Determinação dos intervalos de monotonia de uma função com recurso ao estudo do sinal da função derivada. Extremos de uma função.

7 (23 / 02)

Conteúdos introduzidos nas aulas anteriores.

8 (25 / 02)

Problemas envolvendo derivadas num contexto de aplicações a situações concretas. Questão – Aula.

9 (01 / 03)

Funções cuja função derivada tem um zero e, nesse ponto, não tem extremo (3

xy ); funções que têm extremo num ponto onde não existe derivada (função

módulo e outras funções definidas por ramos). Segunda aplicação do teste diagnóstico.

Das nove aulas lecionadas, apenas três (aulas n.º 2, 4 e 6) serão analisadas de forma

mais pormenorizada neste relatório, sendo esta escolha baseada nos objetivos propostos para

este projeto e ainda uma tarefa da aula 7, relevante para este estudo. Uma vez que o que se

pretende é identificar as conceções dos alunos acerca do conceito de taxa de variação e reta

tangente ao gráfico de uma função num ponto e explorar estas conceções no ensino do conceito

de taxa de variação, nesta secção serão analisadas as aulas onde os conceitos relacionados com

o tema Taxa de Variação foram introduzidos, ou seja, os conceitos de reta tangente ao gráfico de

uma função num ponto, taxa de variação, função derivada e relação entre a monotonia de uma

função e o sinal da respetiva função derivada.

28

4.2.1. Reta tangente ao gráfico de uma função num ponto

Dentro do tema Taxa de Variação, após a introdução do conceito de taxa média de variação,

que os alunos já conheciam da disciplina de Física, como sendo a velocidade média e com o

intuito de introduzir o conceito de taxa de variação, começou-se por definir de forma intuitiva a

noção de reta tangente ao gráfico de uma função num ponto. A abordagem deste tema na sala de

aula teve em conta as respostas que os alunos deram no teste diagnóstico, procurando esclarecer

algumas conceções erradas que os alunos apresentaram relativamente ao conceito de reta

tangente ao gráfico de uma função num ponto.

Uma das principais ideias que surgiram no teste diagnóstico relaciona-se com a noção de

reta tangente à circunferência que os alunos aprenderam no 9.º ano, prevalecendo a ideia de que

a reta tangente a uma curva num ponto apenas pode intersectar a curva nesse mesmo ponto.

Assim, de modo a combater esta conceção errada foi perguntado, no decorrer desta aula,

aos alunos o que era a reta tangente ao gráfico de uma função num ponto e, tal como se verificou

no teste diagnóstico, vários alunos afirmaram que era uma reta que apenas intersectava o gráfico

da função nesse ponto. Seguidamente foram apresentados aos alunos os seguintes exemplos

(Figura 7):

Figura 7. Exemplos apresentados aos alunos.

No primeiro exemplo, apesar de a reta r só intersectar o gráfico de f num único ponto,

esta não é tangente ao gráfico de f no ponto A . No teste diagnóstico, numa figura semelhante

(gráfico 5), os dois alunos que disseram que r era tangente ao gráfico de f no ponto A

justificaram alegando que a reta r só interseta o gráfico de f num único ponto. Apesar das

dificuldades destes dois alunos, a maioria que afirmou que a reta não era tangente justificou-o

29

com o facto de que a reta corta a curva. Em ambos os tipos de resposta os alunos evidenciaram

a noção de tangente à circunferência.

Quando questionados sobre se r é ou não tangente ao gráfico de f no ponto A , no

exemplo apresentado, a maioria dos alunos afirmou que não.

Relativamente ao segundo exemplo, quando questionados oralmente na aula sobre se r é

ou não tangente ao gráfico de f no ponto A , vários alunos responderam que não, porque a reta

intersetava duas vezes o gráfico da função. Com o intuito de ultrapassar estas conceções, e com

recurso ao GeoGebra, foi introduzida uma noção intuitiva da noção de reta tangente como sendo

o limite para o qual tendem as retas secantes ao deslizarem sobre o gráfico da função em torno

de um ponto. Desta forma, os alunos seriam capazes de determinar geometricamente a reta

tangente ao gráfico de qualquer função num dado ponto. Apresentada esta ferramenta,

posteriormente foi pedido aos alunos para traçarem retas tangentes a diferentes gráficos em

determinados pontos.

Um dos gráficos era semelhante ao gráfico 6 do teste diagnóstico, no qual 75 % dos alunos

erraram. O aluno 3A foi ao quadro representar a tangente no ponto pedido, através da

aproximação das secantes (Figura 8).

Figura 8. Representação realizada pelo aluno 3A , no caderno diário.

Depois da resolução desta tarefa surgiu uma dúvida do aluno 20A , que se relata a seguir:

Professora: Esta vai ser a reta tangente ao gráfico da função no ponto A .

20A : Mas não há uma para o gráfico inteiro?

Professora: Para o gráfico inteiro não! Em cada ponto vai haver uma tangente.

20A : Pois…

Professora: Em cada ponto há uma tangente que vai ser diferente. Por exemplo, para este ponto a tangente é esta (representou a tangente noutro ponto do gráfico).

20A : Essa tangente assim é tangente ao gráfico todo?

30

Professora: É tangente ao gráfico neste ponto!

20A : Mas no teste diagnóstico perguntava se era tangente ao gráfico!

Professora: Perguntava se era tangente à curva no ponto A . E tinha um ponto assinalado em todos, certo?

20A : Sim!

Neste diálogo o aluno 20A revela uma conceção de reta tangente a uma curva num ponto

como uma ideia um tanto difusa, considerando-a uma propriedade da globalidade da curva, e não

uma propriedade local, isto é, relativa a um ponto específico dessa curva.

Outro exemplo apresentado aos alunos foi o gráfico de uma função com um ponto anguloso,

questionando-se os alunos sobre qual seria a tangente nesse ponto (Figura 9).

Figura 9. Exemplo apresentado aos alunos para determinarem a reta tangente em A .

Professora: Qual vai ser a tangente no ponto A ?

16A : Depende do ponto B (refere-se ao outro ponto que com A define a reta

secante): vai ser / ou \ (exemplificou com as mãos). Conforme o B se aproxima por um lado ou outro. Professora: Exatamente! Ou seja, não existe reta tangente neste ponto.

16A : Dá erro na calculadora! Eu meti a função módulo e fui ao ponto 0 (origem)

calcular a tangente e deu erro. Professora: É normal! Então nós dizemos que não existe tangente ao gráfico desta função em A . Isto acontece sempre que temos um ponto anguloso.

No teste diagnóstico, nos gráficos 2 e 5, vários alunos (65% no gráfico 2 e 20% no gráfico

5) consideram qua a reta r era tangente à curva em A , que era um ponto anguloso. No entanto

este cenário alterou-se na segunda aplicação do teste diagnóstico, após a intervenção pedagógica,

conforme pode ser viso adiante.

De um modo geral, os alunos entenderam porque é que não existe reta tangente num ponto

anguloso, mas alguns ainda continuaram a revelar dificuldades em aplicar este conhecimento

noutras tarefas, conforme será visto nos pontos 4.3.2 e 4.3.3.

31

Outro exemplo discutido na sala de aula foi o de uma função descontínua (Figura 10).

Figura 10. Exemplo apresentado aos alunos para determinarem a reta tangente em A .

No diálogo seguinte podemos constatar que os alunos sentiram muitas dificuldades, tendo

de ser a professora a esclarecer a não existência de reta tangente ao gráfico de f no ponto A .

Professora: Aqui temos uma função descontínua. Ela está definida por ramos! Qual acham que vai ser a tangente no ponto A ? Um aluno: É igual ao declive daquela reta (apontando para a reta definida para

)2x .

Professora: De facto, quando o B se aproxima de A por aqui (apontou no quadro o ponto B a percorrer a reta definida para )2x , obtemos esta mesma reta. Mas

quando se aproxima por este lado (apontou no quadro o ponto B a percorrer a reta definida para )2x , o que vai acontecer?

Um aluno: Mas não toca no A . Professora: O B está a aproximar-se de A por valores superiores. Um aluno: Então não tem? (…) Professora: Quando aproximamos o ponto B por aqui (valores superiores a 2, foi traçando as secantes AB ) o declive da reta tangente está a tender para infinito. Ela fica quase vertical. Se isto acontecer num dos lados… se o declive da tangente tender para infinito então não existe tangente nesse ponto.

Estes casos não foram muito explorados na aula, já que no decorrer deste ano os alunos

não trabalham muito com funções descontínuas, donde a apresentação deste exemplo apenas

teve o intuito de dar uma ideia, ainda que breve, da não existência de reta tangente ao gráfico em

pontos de descontinuidade. Adicionalmente, ao explorar com os alunos este exemplo, pretendia-

se proporcionar-lhes ferramentas que posteriormente seriam úteis para a introdução do conceito

de Taxa de Variação.

32

4.2.2. Taxa de Variação

Um dos conceitos mais importantes abordados na intervenção pedagógica foi o de Taxa de

Variação, o qual foi introduzido com a seguinte tarefa:

1. Considere a função 22

5

2

1

4

1)( 23 xxxxg .

1.1. Esboce uma representação gráfica de g .

1.2. Determine a taxa média de variação nos seguintes intervalos da função:

a) [ 2,3 ];

b) [ 5,2;3 ];

c) [ 99,2;3 ];

d) [ 999,2;3 ].

1.3. O que observa nestes intervalos e no valor da taxa média de variação?

A realização do esboço do gráfico foi facilmente obtido recorrendo à calculadora gráfica, o

qual tinha como principal objetivo servir de apoio para a posterior interpretação gráfica do conceito

de taxa de variação.

Os alunos também realizaram facilmente a questão 1.2, visto que já tinham trabalhado o

conceito de taxa média de variação na aula anterior, destacando-se apenas algumas dúvidas

relativas a arredondamentos e ao funcionamento da calculadora gráfica. Nesta tarefa, os alunos

demonstraram mais dúvidas na resolução da questão 1.3, onde apresentaram dificuldades em

interpretar o que se pretendia (Figura 11 e 12).

Figura 11. Resolução da questão 1.3 pelo aluno 5A .

Figura 12. Resolução da questão 1.3 pelo aluno 10A .

Como se constata nas figuras acima, alguns alunos não interpretaram corretamente os

valores obtidos na alínea anterior, deixando a resposta muito aquém do que se pretendia. Mesmo

quando posteriormente foi corrigida a tarefa oralmente, estes alunos não corrigiram nem

completaram a informação no caderno diário.

Professora: O que observam no valor dos intervalos e da taxa média de variação?

15A : A taxa média de variação está a aumentar.

Professora: Ela está a aumentar, conforme acontece o quê?

33

15A : Enquanto o B se aproxima do A (referência à terminologia utilizada na aula

anterior para introduzir o conceito de t. m. v.) Professora: Tínhamos visto na aula passada que geometricamente a taxa média de variação corresponde a quê?

20A : Ao declive.

Professora: Ao declive da reta que passa nos dois pontos… Então é o que temos aqui! (Com recurso ao esboço do gráfico no quadro, foram assinalados os pontos relevantes e as retas secantes ao gráfico). Professora: O declive está a tender para quanto?

15A : Para 3.

Professora: Está a aproximar-se de 2,75. Este valor representa o quê?

20A : O declive da reta tangente.

Professora: Em que ponto?

15A : A reta tangente em 3 .

Posteriormente à realização da tarefa foi introduzido formalmente o conceito de taxa de

variação, generalizando os resultados obtidos na tarefa proposta, o qual os alunos copiaram para

o caderno diário, bem como a interpretação geométrica deste conceito. Para tal recorreu-se a um

PowerPoint que foi projetado na aula.

Foi utilizada uma função quadrática e um ponto genérico dessa função (Figura 13) e

utilizando os conceitos já aprendidos de taxa média de variação, concluiu-se:

Declive da reta AB é h

)f(x-h)+f(x

x

)f(x-h)+f(x=tmv=m 00

00

00,x 00

xh

hx ;

Declive da reta tangente ao gráfico de f em 0x é h

)f(x-h)+f(xlim 00

0h;

Derivada de f em 0x é h

)f(x-h)+f(xlim)(' 00

0h0

xf .

Figura 13. Representação gráfica utilizada para introduzir o conceito de taxa de variação.

34

4.2.3. Função derivada

A passagem da noção de derivada no ponto à função derivada foi o passo seguinte da

intervenção pedagógica.

Com recurso a representações gráficas no quadro, inicialmente foi explorado com os alunos

qual seria a derivada de uma função constante, sendo que facilmente os alunos concluíram que

dava sempre zero. Posteriormente passou-se a uma função do primeiro grau, ou seja, uma função

representada por uma reta não horizontal nem vertical; também neste caso facilmente os alunos

concluíram que dava sempre o mesmo valor, e que este correspondia ao valor do declive da reta.

Prosseguiu-se com uma função quadrática genérica da forma cbxaxxf 2)( , com

cba ,, ℝ e 0a , onde se aplicou a definição de derivada a um ponto genérico x , obtendo-se

baxxf 2)(' . Os alunos facilmente concluíram que a derivada neste caso correspondia a uma

reta.

Alguns exemplos concretos foram explorados de seguida, como, por exemplo, a função

23)( xxf (Figura 14).

Figura 14. Representação efetuada pelo aluno 1A no caderno.

A propósito deste exemplo realizou-se o seguinte diálogo, entre a professora e alguns alunos,

focado no declive da reta tangente em diferentes pontos do gráfico da função.

Professora: Já sabemos que esta é uma parábola com concavidade voltada para baixo, e que o único zero é 0 (representação no quadro). Por exemplo, o declive da tangente neste ponto (vai percorrendo alguns pontos da parábola da esquerda para a direita) é positivo. E aqui? Um aluno: Também é positivo. Professora: Mas é maior ou mais pequeno? Um aluno: É mais pequeno. Professora: E em zero, qual é o declive da tangente? Um aluno: Dá zero! Professora: E neste ponto? O declive passa a ser…

35

Um aluno: Negativo. Professora: Exato, e aqui ainda é mais negativo e assim sucessivamente. (Os valores que representavam os possíveis valores para o declive da tangente em cada ponto foram assinalados de forma a serem pontos sobre uma reta.) Professora: Obtemos então uma reta de declive… Um aluno: Negativo. Professora: E que passa na origem, portanto é uma função… Um aluno: Linear Professora: Então vamos aplicar o resultado que obtivemos anteriormente para verificar aquilo que obtivemos.

Seguidamente, foi apresentada aos alunos a regra prática para a determinação da função

derivada de funções polinomiais de qualquer grau (Figura 15).

Figura 15. Apontamento efetuado pelo aluno 4A no caderno.

Foram realizados alguns exercícios de aplicação para que os alunos pudessem assimilar

adequadamente esta regra, sem que eles demostrassem muitas dificuldades.

O facto de ter sido ensinada a regra prática para a determinação da função derivada de

funções polinomiais, forneceu aos alunos dois métodos distintos de obter a derivada num ponto,

sendo que, apesar de o segundo método ser mais fácil e exigir menos cálculos, o primeiro método

não deve ser esquecido:

20A : Agora não precisamos de utilizar a fórmula.

Professora: Com esta regra que aprendemos é mais fácil e podemos calcular a derivada para todos os pontos. Agora temos dois métodos para calcular a derivada no ponto: utilizando o limite ou através da função derivada.

20A : Imagine que quero a derivada no ponto 2. Primeiro faço a função derivada e

depois calculo para o 2, é isso? Professora: Sim.

20A : Então não preciso usar mais a fórmula com o limite.

Professora: No exame, muitas vezes, pede para calcularem a derivada num ponto pela definição, então temos que usar o limite, não podem usar a função derivada.

Posteriormente foram propostas aos alunos tarefas para consolidarem melhor este novo

conceito, como a que apresenta a seguir:

36

Sabendo que xxh ,2

1)(' ℝ, defina h sabendo que 3)0( h .

Esta tarefa tinha como principal objetivo que os alunos deduzissem que o facto de a derivada

de uma função ser constante, implica que essa função é afim. Os alunos já tinham feito o raciocínio

inverso noutras tarefas e também na exploração deste conceito, e era importante aperceberem-se

que cada função tem uma só função derivada, mas que há funções distintas que têm a mesma

função derivada. Neste caso, o ponto dado permite-nos definir analiticamente a função de modo

único, tal como se verifica na resolução do aluno 19A (Figura 16).

Figura 16. Resolução efetuada pelo aluno 19A no caderno.

4.2.4. Relação entre os intervalos de monotonia de uma função e o sinal da função

derivada

Com a finalidade de os alunos tirarem conclusões acerca da relação entre os intervalos de

monotonia de uma função e o sinal da respetiva função derivada, foi-lhes proposta a seguinte

tarefa:

Por observação das representações gráficas de f , g , h e i , de domínio ℝ, indica, em cada

caso, o domínio e o sinal da função derivada, relacionando-o com os intervalos de monotonia da

respetiva função.

37

A primeira função, f , foi explorada na aula em conjunto, desenvolvendo-se o seguinte

diálogo:

Professora: Vamos começar pelo domínio da função derivada. Onde é que não existe derivada? Um aluno: Em 1. Professora: Então em todos os outros pontos existe derivada? Um aluno: Sim. Professora: Só no ponto de abcissa 1 é que não existe derivada, porque já vimos que não existe derivada em pontos angulosos. Então o domínio da função derivada é ℝ ∖{1}. E relativamente ao sinal da derivada? Por exemplo, em 3x , a derivada neste

ponto é positiva ou negativa? Um aluno: Negativa. (…) Professora: E em 4x ? Qual o sinal da derivada neste ponto? Um aluno: Negativo. Professora: Continua negativa. E se passar para este lado da função (à direita do ponto anguloso)? Um aluno: Positiva. Professora: Então a função derivada vai ser negativa em qualquer ponto de ] 1, [

e vai ser positiva de ] ,1 [ (escreveu no quadro). Então que relação podemos

estabelecer entre o sinal da derivada e a monotonia da função f ? Um aluno: Até 1 ela decresce, e depois de 1 ela cresce. Professora: Então o que isso significa? Que relação estabelecemos entre o sinal da derivada e a monotonia de f ? (Ninguém respondeu) Professora: Quando a função derivada é negativa, o que posso dizer da monotonia de f ? Um aluno: Ela é decrescente. Professora: Exato! E quando a função derivada é positiva, a função f é… Um aluno: Crescente. Professora: Então quando a função f é decrescente a função derivada é negativa e no intervalo em que a função é crescente a derivada é positiva.

Posteriormente os alunos resolveram as restantes alíneas no caderno diário. Na Figura 17

podemos observar a resolução apresentada pelo aluno 6A para o caso da função g .


38

Como vemos, o aluno, posteriormente à análise feita em conjunto para o primeiro gráfico,

conseguiu realizar o estudo do domínio e do sinal da função derivada para o caso da função g , e

o mesmo aconteceu paras as duas restantes representações gráficas da tarefa.

No entanto, nos apontamentos da outra professora estagiária ela destacou que no gráfico

da função g houve um aluno que considerou que não havia função derivada no intervalo ]0, 2[

por a função ser constante nesse intervalo. Salientou também que houve outro aluno que referiu

que como neste intervalo a derivada era nula, então não podíamos concluir nada acerca da

monotonia da função g . Esta dúvidas foram esclarecidas, no decorrer da aula, pela colega

estagiária, e posteriormente aquando da correção da tarefa no quadro.

Na figura 17 aparece uma pequena incorreção na resolução do aluno, já que não deveria

utilizar o símbolo da reunião de intervalos neste caso pois uma função pode ser, por exemplo,

crescente em cada um de dois intervalos e não o ser na reunião desses intervalos. Apesar de me

ter apercebido no decorrer da aula que vários alunos o usaram, e de ter chamado a atenção os

alunos, houve vários que não corrigiram esse erro nos cadernos diários.

Posteriormente foram introduzidas as tabelas de monotonia, recorrendo a uma função

quadrática, seguida de uma função polinomial de 3.º grau, e foi explicado aos alunos como

construir a tabela de monotonia de uma função recorrendo à função derivada.

Posteriormente foi proposta a seguinte tarefa aos alunos:

Nas figuras seguintes estão representadas as funções f , g , h e as respetivas derivadas 'f ,

'g e 'h , respetivamente. Associe as funções f , g e h às respetivas derivadas.

Nesta tarefa os alunos não apresentaram muitas dificuldades em fazer a correspondência

entre as funções e as respetivas derivadas, tendo alguns feito referência ao declive das tangentes

ao longo do domínio.

Professora: Qual é o gráfico que representa 'f ? Um aluno: É o B .

39

Professora: Porque é que escolheram o B ?

1A : Posso explicar?

Professora: Sim, explica lá porque é o B ?

1A : Como a função é sempre crescente o declive das tangentes é positivo, mas há

um ponto ali no meio que a tangente é assim — (explicou com as mãos referindo que a tangente naquele caso era horizontal) e tem declive zero, que vai ser o zero da função 'f .

Numa aula posterior (aula 7) foram propostas aos alunos tarefas onde era apresentada uma

função e quatro possíveis derivadas, nas quais eles tinham que escolher a opção correta

justificando. Essas tarefas são de grande relevância já que, ao contrário do que acontecia nas

tarefas anteriores onde era dado o gráfico da função e os alunos tinham que escolher o gráfico da

respetiva derivada, agora foi apresentada aos alunos o gráfico da função derivada e estes tinham

que escolher o respetivo gráfico da função. Trata-se de uma aprendizagem diferente dos alunos,

que envolve o que eles antes tinham aprendido, como se ilustra no seguinte exemplo.

1. A função f é derivável em ℝ. Parte do gráfico de 'f está representado na figura seguinte:

1.1. Pela leitura do gráfico de 'f determine o sentido da variação da função f . 1.2. Justifique que )0(f é um mínimo de f .

1.3. Qual dos seguintes poderá ser o gráfico da função f ? Para cada um dos gráficos eliminados apresente uma razão que o justifique.

Nas duas primeiras alíneas desta tarefa, os alunos não demonstraram muitas dificuldades,

conseguindo estabelecer a relação entre o sinal da função derivada e o sentido da variação da

função f e justificaram corretamente que )0(f é um mínimo de f (Figura 18). Na alínea 1.2

houve alunos que recorreram à construção da tabela de variação (Figura 19).

40



No que diz respeito à alínea 1.3, em geral, os alunos conseguiram facilmente excluir as

opções (A) e (B), no entanto apresentaram algumas dificuldades em excluir a opção (D). Contudo,

com a devida ajuda e orientação da professora conseguiram justificar devidamente a exclusão

desta opção, como se mostra na Figura 20.


4.3. Avaliação das aprendizagens

Neste subcapítulo será feita a análise dos elementos de avaliação realizados, no sentido de

verificar as aprendizagens dos alunos ao longo da intervenção pedagógica. Foram utilizados três

formas de avaliação: (1) uma questão-aula, composta por três questões; (2) três questões

relacionadas com a intervenção, incluídas num teste de avaliação sumativa e (3) o teste de

avaliação diagnóstico (ver Anexos I e II) que foi novamente aplicado aos alunos com o intuito de

verificar se houveram melhorias nas suas respostas após a intervenção pedagógica.

41

4.3.1. Questão – Aula

Questão 1

Esta questão pretendia avaliar se os alunos conseguiam associar o conceito de taxa de

variação (derivada no ponto) num determinado ponto como sendo o declive da reta tangente ao

gráfico da função nesse ponto. Havia ainda a dificuldade acrescida da tarefa ter uma conexão com

outro tema que os alunos já tinham estudado nas aulas: a relação entre o declive de retas

perpendiculares. Salienta-se ainda que esta tarefa (apenas com valores diferentes) tinha sido

proposta aos alunos numa das aulas da intervenção.

Relativamente à escolha da opção, doze alunos escolheram a opção correta D, dois alunos

a opção C, um a opção A, um a opção B e os restantes quatro alunos não responderam a esta

questão.

Dos doze alunos que selecionaram a opção correta, nem todos justificaram

adequadamente, tal como podemos observar na tabela seguinte.

Na figura estão representadas:

Parte do gráfico de uma função f ;

A reta r , tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 2 e de equação

4

5

5

2 xy ;

A reta s tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 6.

Sabendo que as retas r e s são perpendiculares, indique o valor de )6('f , derivada da

função f no ponto 6.

(A) 2

3 (B)

5

4 (C)

5

2 (D)

2

5

Justifique a sua resposta.

42

Tabela 6 — Tipo de justificação apresentada pelos alunos na questão 1

Justificação Alunos Correta 20156 ,, AAA

Incompleta 19171613121052 ,,,,,,, AAAAAAAA

Não justifica 3A

Apenas três alunos justificaram de forma correta, apresentando os argumentos previamente

estipulados nos critérios de classificação da questão-aula. Os critérios de classificação previam

que o aluno justificasse que como r e s são perpendiculares, então r

sm

m1

, portanto

2

5Sm . Além disso, deviam justificar que a derivada no ponto corresponde ao declive da reta

tangente ao gráfico de função nesse ponto (Figura 21).

Figura 21. Resolução da questão 1, da questão-aula, pelo aluno 6A .

Os oito alunos que justificaram de forma incompleta só apresentaram um dos argumentos

pedidos. Todos eles concluíram que 2

5Sm , mas não justificaram que o declive desta reta

correspondia à derivada da função no ponto pedido (Figura 22).


Questão 2

Considere a função g , definida por x

xg2

)( . Determine a equação reduzida da reta tangente

ao gráfico de g , no ponto de abcissa 1.

Nesta questão pretendia-se que os alunos derivassem corretamente uma função racional,

calculassem seguidamente o valor da derivada no ponto pedido, justificando que este valor

43

correspondia ao valor do declive da reta tangente, fossem capazes de apresentar as coordenadas

do ponto de tangência e determinassem o valor da ordenada na origem da reta tangente.

Houve apenas um aluno que teve a resposta completamente correta, atingindo os objetivos

propostos para esta tarefa (Figura 23).


Houve quatro alunos que não resolveram esta questão e os restantes resolveram de forma

incompleta a questão. Dos quinze alunos que resolveram incompletamente a questão, salientam-

se os seguintes aspetos:

13 alunos derivaram incorretamente a função g ;

2 alunos não determinaram corretamente o ponto de tangência;

4 alunos apresentaram erros na resolução de equações (na determinação da

ordenada na origem da reta tangente).

Na Figura 24 é apresentada a resolução de um aluno que cometeu dois erros: além de ter

derivado incorretamente a função g , apresenta também erros na resolução da equação de 1.º

grau.

44


Questão 3

Na figura abaixo está representada parte da função polinomial f .

A representação gráfica que pode ser a da função derivada de f é: (A)

(B)

(C)

(D)

45

Num pequeno texto escreva a resposta que considera correta e apresente pelo menos uma

razão que o leva a excluir as outras representações gráficas.

Esta questão tinha como finalidade verificar as relações que os alunos estabelecem entre

as representações gráficas de uma função polinomial e a respetiva derivada, não tendo acesso às

expressões analíticas de cada uma das funções.

Na Tabela 7 são apresentadas as percentagens de alunos que escolheu cada uma das

opções e ainda os alunos que não responderam à questão.

Tabela 7 — Percentagem de alunos em cada uma das opções de resposta à questão 3 da questão-aula

Opção (A) (B) (C) (D) NR Alunos (%) 10 20 10 45 15

Como observamos na tabela, 45% dos alunos, ou seja, nove alunos escolheram

acertadamente a opção (D). Destes nove, apenas um não apresentou qualquer justificação. Os

restantes oito alunos apresentaram justificações para escolher a opção (D) ou para excluir as

restantes, sendo que nem sempre de forma adequada e clara. Apenas três apresentaram

justificações válidas para a exclusão dos gráficos representados nas opções (A), (B) e (C) (Figura

25).


Dos oito alunos que responderam de forma errada, escolhendo as opções (A), (B) ou (C),

alguns apresentam justificações corretas para excluir alguns dos gráficos. Na Tabela 8 estão

representadas as justificações apresentadas por todos os alunos para a exclusão das opções (A),

(B) e (C).

46

Tabela 8 — Justificações dos alunos para a exclusão das opções (A), (B) e (C)

Opção Tipos de justificações Alunos

(A)

A função derivada apresenta três zeros negativos, logo a função f teria que apresentar três extremos negativos, o que não acontece.

132 ,AA

Os zeros da função derivada não correspondem aos extremos da função f . 201912 ,, AAA

Existem intervalos onde f é crescente e a derivada é negativa (não especifica em que intervalos isto acontece).

15A

Para 0x , f é crescente e no gráfico (A) a imagem de 0 é negativa.

1716 ,AA

(B)

A função derivada é sempre positiva, logo f seria sempre crescente, o que não é verdade.

20161342 ,,,, AAAAA

Nos intervalos onde f é decrescente a função derivada é positiva, o que não pode acontecer.

17155 ,, AAA

Os zeros da função derivada não correspondem aos extremos da função f (justificação incorreta).

1912 ,AA

(C)

No início a função f é crescente, logo a sua função derivada teria que começar positiva.

,,,, 6542 AAAA

201613 ,, AAA

Os zeros da função derivada não correspondem aos extremos da função f (justificação incorreta).

12A

Para 0x , f é crescente e no gráfico (C) a imagem de 0 é negativa.

15A

Existem intervalos onde f é crescente e a derivada é negativa (não especifica em que intervalos isto acontece).

17A

De um modo geral, embora tenham surgido algumas incorreções, os alunos conseguiram

apresentar justificações válidas para a exclusão das opções erradas.

Houve ainda três alunos que construíram a tabela de sinal da função derivada recorrendo à

monotonia da função f , embora apenas um destes alunos construiu a tabela corretamente e

escolheu a opção correta (D). Os outros dois alunos que recorreram à construção da tabela

fizeram-no de forma errada uma vez que trocaram a função com a respetiva derivada, ou seja,

tiraram conclusões acerca da monotonia da função derivada recorrendo ao sinal da função f

(Figura 26).

47


4.3.2. Teste de avaliação sumativa

Do teste de avaliação sumativa, apenas duas questões correspondiam à intervenção

pedagógica, uma questão de escolha múltipla e uma questão de desenvolvimento com três

alíneas.

Houve um aluno que faltou ao teste de avaliação e resolveu um teste diferente

posteriormente. Desta forma, na análise destas tarefas constam apenas dezanove alunos.

Questão de escolha múltipla

Na figura, está representada, num referencial o.n. Oxy , parte da representação de uma

função f :

A representação gráfica que corresponde a 'f é:

48

(A) (B)

(C)

(D)

Este tipo de questão já tinha sido incluído na questão-aula (questão 3), embora neste caso

não seja pedido aos alunos que justifiquem a sua escolha. Além disso, enquanto na questão

anterior se apresentava uma função polinomial, neste caso trata-se de uma função definida por

ramos, onde um dos ramos representa parte de uma função afim e o outro ramo representa parte

de uma função quadrática, formando um ponto anguloso para 0x . Desta forma, pretendia-se

que os alunos excluíssem as opções (B) e (C), onde 0x pertence ao domínio de 'f , tendo

posteriormente de analisar a monotonia da função f para concluir que (A) era a opção correta.

Nesta questão nove alunos escolheram corretamente a opção (A), o mesmo número de

alunos que acertou na questão 3 da questão-aula, sem que se trate dos mesmos alunos. Na tabela

9 são apresentadas as percentagens de alunos que escolheram cada uma das opções.

Tabela 9 — Percentagens de alunos em cada uma das opções de escolha

Opção (A) (B) (C) (D) NR Alunos 47,3 15,8 26,3 5,3 5,3

A opção correta foi a mais escolhida, seguindo-se oito alunos que escolheram as opções (B)

ou (C), não considerando o facto de não existir derivada em 0x . Apenas um aluno optou pela

resposta (D), não relacionando corretamente a monotonia da função com o sinal da sua derivada.

Questão de desenvolvimento

1. Na figura, está parte da representação gráfica da função f definida por xxxf 6)( 3 .

Sabe-se que:

A e B são os pontos do gráfico cujas

ordenadas são os extremos relativos de f ;

49

r é a reta tangente ao gráfico de f no ponto

A ;

s é a reta tangente ao gráfico de f no ponto

B ;

P é um ponto que se desloca ao longo da

reta s ;

C é o ponto de interseção da reta r com o

eixo Oy .

1.1. Defina, pelas suas coordenadas, os pontos A e B .

1.2. Seja t a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 2.

a. Mostre que t pode ser definida por 166 xy .

b. Mostre que existe outra reta tangente ao gráfico de f que é paralela à reta t e

defina, pelas suas coordenadas, o ponto de tangência T .

Questão 1.1

Nesta questão pretendia-se que os alunos determinassem as coordenadas dos pontos A e

B analiticamente, com recurso à função derivada e construindo a tabela de monotonia da função

f .

Dos dezanove alunos, seis não responderam a esta questão. Dos treze alunos que

responderam, apenas quatro responderam de forma correta. Os restantes apresentaram erros na

resolução da tarefa (Tabela 10).

Tabela 10 — Tipos de erros cometidos pelos alunos na questão 1.1

Tipos de Erros Alunos Derivar incorretamente a função f 5A

Erros na resolução de equações do 2.º grau (para determinar os zeros de 'f )

107 ,AA

Construir incorretamente a tabela de monotonia da função f 7A

Determinar incorretamente as imagens dos pontos A e B 201815138 ,,,, AAAAA

Ao contrário do que aconteceu na questão 2, da questão – aula, a maioria dos alunos

derivou corretamente a função f . Este facto poderá ser justificado pelo facto de, neste caso, a

função f ser uma função polinomial, enquanto na questão 2 da questão – aula, era pretendido

que os alunos determinassem a função derivada de uma função racional.

Relativamente à resolução da equação do 2.º grau, neste caso incompleta, que era

indispensável para a determinação dos zeros da função derivada, apenas dois alunos

apresentaram o mesmo erro de factorização )0)63(063( 2 xxx .

50

Na construção da tabela de monotonia da função f , houve um aluno que construiu

incorretamente a tabela. Este aluno determinou os zeros da função f e também da respetiva

derivada e na tabela colocou o sinal das duas funções, apresentando conclusões pouco claras,

erradas e incompletas em todo o domínio da função (Figura 27).

Figura 27. Resolução da questão 1.1, do teste de avaliação, pelo aluno 7A .

A confusão evidenciada por este aluno na resolução desta tarefa poderá estar relacionada

com outro conteúdo sobre o qual incidia também parte do teste: resolução de inequações

envolvendo uma função racional. Neste caso os alunos têm que, após passar tudo para o mesmo

membro, determinar os zeros do numerador e do denominador, bem como o sinal de ambos para

resolver a inequação. Foi isso que o aluno aplicou nesta questão, determinando os zeros da função

f e da respetiva função derivada, determinado o sinal de ambos.

Salienta-se ainda que quatro alunos resolveram incompletamente a tarefa, já que não

construíram a tabela de monotonia de f . Estes alunos, após a determinação dos zeros da função

derivada e de calcularem as ordenadas dessas abcissas em f , apresentaram logo as coordenadas

dos pontos A e B sem recorrer à tabela. Esta omissão da tabela pode ser justificada tendo em

conta que a parte da representação gráfica da função f constava do enunciado.

51

Da resolução dos alunos ressalta-se ainda que seis deles demonstraram dificuldades e

cometeram alguns erros na simplificação de operações com radicais, apresentando de forma

errada ou não simplificada as coordenadas dos pontos A e B (Figura 28).

Figura 28. Resolução da questão 1.1, do teste de avaliação, pelo aluno 18A .

Questão 1.2a)

Nesta questão houve doze alunos que a resolveram corretamente. Sendo esta questão

similar à questão 2, da questão – aula, é evidente a melhoria dos resultados. Dois alunos não

resolveram esta questão e os restantes quatro alunos apresentaram erros na resolução. Destes

quatro alunos, um deles apresentou uma resolução incompleta, apresentando apenas as

coordenadas do ponto de tangência, e os outros três alunos determinaram erradamente o ponto

de tangência. Todos estes alunos utilizaram como ponto de tangência o ponto de coordenadas

))2(',2( f .

Ao contrário do que havia acontecido na questão 2, da questão – aula, nenhum aluno

apresentou erros na resolução de equações, aquando da determinação da ordenada na origem da

reta tangente. Também nenhum aluno apresentou erros na determinação da função derivada de

f .

O único aluno, 5A , que derivou incorretamente a função f na questão anterior, à exceção

de alguns erros na escrita matemática, conseguiu resolver corretamente a tarefa calculando o

52

declive da reta tangente através da definição de derivada no ponto, não tendo assim necessidade

de determinar a função derivada de f (Figura 29).

Figura 29. Resolução da questão 1.2a), do teste de avaliação, pelo aluno 5A .

Questão 1.2b)

Das tarefas propostas aos alunos no teste de avaliação sumativa, referentes à intervenção

pedagógica, esta foi aquela em que os alunos obtiveram piores resultados.

Onze alunos não resolveram esta tarefa e dos oito alunos que a resolveram, seis fizeram-no

de forma incompleta e apenas dois alunos resolveram corretamente a questão (Figura 30).

Figura 30. Resolução da questão 1.2b), do teste de avaliação, pelo aluno 20A .

Dos seis alunos que resolveram de forma incompleta esta questão salienta-se o facto de

que todos terem escrito, de forma implícita ou explícita, que o declive de retas paralelas é o

mesmo. No entanto não escreveram mais nada, deixando assim a resolução incompleta, à exceção

de um aluno que acrescentou ainda uma equação onde iguala o declive à função derivada.

Contudo, este aluno, depois de ter determinado corretamente as soluções, não continuou.

53

4.3.3. Segunda aplicação do teste diagnóstico

Nesta secção será feita a análise dos resultados obtidos na segunda aplicação do teste de

avaliação diagnóstica, que foi realizado no final da intervenção pedagógica. Este teste é o mesmo

que foi realizado no início da intervenção pedagógica e tem como objetivo avaliar o impacto do

ensino nas conceções dos alunos sobre os conceitos de taxa de variação e reta tangente ao gráfico

de uma função num ponto.

Nos dois momentos de aplicação do teste diagnóstico efetuámos a mesma análise de dados

de modo a facilitar a avaliação da evolução das conceções dos alunos. Desta forma, relativamente

à questão 1, foi feita uma análise das respostas corretas (C) e incorretas (I), bem como das

justificações apresentadas pelos alunos. Relativamente à questão 2, é apresentada a percentagem

de alunos que escolheram cada uma das opções das alíneas a) e b) e a análise das justificações

referentes à alínea b).

Questão 1

Em cada um dos oito gráficos seguintes indica (assinalando uma das opções Sim/Não) e justifica

se a reta r é tangente à curva 𝓒 no ponto A .

Na Tabela 11 apresentam-se as percentagens das respostas dos alunos, bem como os tipos

de justificações dessas respostas.

Tabela 11 – Percentagem dos tipos de resposta e das justificações na questão 1

Gráficos Respostas:

Justificações: C I

85 15

Não, porque r interseta C em dois

pontos 15

Sim, porque r não “corta” a curva C 5


5


Não justifica 20

65 35

Sim, porque r interceta C num só

ponto 10

Não, porque r não interseta C numa

parte curva 5

Sim, porque r não “corta” a curva 10 Não, porque se trata de um ponto anguloso

55


Não justifica 5

54

95 5

Sim, porque r interseta C num só

ponto 5

Não, porque r “atravessa/ corta” a curva

40

Não, porque não é essa a tangente (o aluno desenha a tangente)

5


85 15


ponto 25

Não, porque r interseta C em mais do

que um ponto 10

Sim, porque r não “corta a curva” C 5


Não justifica 20

90 10

Não, porque r interceta C em dois

pontos 20

Não, porque r não interceta C na

“parte curva” 5

Não, porque é um ponto anguloso 50



Não justifica 10

50 50


ponto 10

Não, porque r “corta” a curva C 25

Sim, porque se aproximarmos as secantes dá esta reta (desenha as secantes)

5


Não justifica 20

70 30

Não, porque r interceta C em dois

pontos

25

Sim, porque passa nos pontos de máximo da curva C

10

Sim, porque r interceta C na “parte

curva”

5

Sim, porque r não “corta” a curva 5 Sim, porque se aproximarmos as secantes dá esta reta (desenha as secantes)

5


Não justifica 25

55

100 0

Sim, porque r interceta C num só

ponto

20

Sim, porque r interceta C na “parte

curva”

5


Sim, porque se aproximarmos as secantes dá esta reta (desenha as secantes)

5


Na questão 1 é visível que muitos alunos ligam o conceito de reta tangente ao conceito de

reta tangente à circunferência, onde a reta apenas interceta a circunferência num ponto e não

atravessa a curva. No entanto, esta conceção é agora menos evidente do que antes da intervenção.

Relativamente à decisão de a reta r ser ou não tangente à curva C no ponto A , a

percentagem de respostas corretas melhorou consideravelmente em todos os gráficos, à exceção

do gráfico 4 onde houve uma ligeira descida. As melhorias mais notáveis foram nos gráficos 1 e

2, sendo que no gráfico 1 os alunos apresentaram dificuldades em justificar, notando-se ainda nas

justificações uma relação com o conceito de tangente à circunferência. O mesmo não se verificou

no gráfico 2, onde a maioria dos alunos justificou corretamente o facto de r não ser tangente à

curva C por se tratar de um ponto anguloso.

O mesmo se verifica no gráfico 5, onde apesar de a percentagem de alunos a acertar ter

subido ligeiramente, de 80% para 90%, nota-se uma grande melhoria nas justificações dos alunos.

Na primeira aplicação do teste diagnóstico, a justificação mais recorrente dos alunos prendia-se

com o facto de a reta r intersetar mais do que uma vez a curva C , considerando os alunos que

a reta não era tangente à curva no ponto A . Já na segunda aplicação do teste diagnóstico, metade

dos alunos apresenta uma justificação correta, alegando que a reta r não é tangente à curva em

A por tratar-se de um ponto anguloso, onde não existe reta tangente.

Apesar das melhorias no reconhecimento de r ser ou não tangente à curva C no ponto

A , continuam a persistir justificações relacionadas com o conceito de reta tangente à

circunferência em todos os gráficos, embora em menores percentagens.

De entre as justificações apresentadas, destacam-se as justificações do aluno 20A , que

apesar de nem sempre justificar corretamente, em vários gráficos apresenta o desenho das

aproximações das secantes à tangente (Figura 31).

56

Figura 31. Resolução da questão 1, gráfico 6, na segunda aplicação do teste diagnóstico, pelo

aluno 20A .

Questão 2

Tal como é referido na secção 4.1, nesta questão apresenta-se um gráfico mostrando a

variação da velocidade de um carro de corrida num circuito plano de 3 quilómetros, durante a

segunda volta, questionando-se os alunos através de dois itens de escolha múltipla: em a), de

entre quatro distâncias dadas, pretende-se que os alunos identifiquem qual a distância da linha

de partida até ao início da reta mais longa do circuito; em b), de entre cinco circuitos dados,

pretende-se que os alunos identifiquem, justificando, aquele que corresponde ao gráfico da

velocidade apresentado anteriormente.

Na Tabela 12 apresentam-se as frequências (em %) de alunos nas diferentes opções de

resposta de cada uma das alíneas a) e b) desta questão.

Tabela 12 – Percentagem de alunos em cada uma das opções de resposta das alíneas a) e b)

da questão 2

Opção Respostas

a) b)

A 0% 5%

B 100% 60%

C 0% 5%

D 0% 10%

E – 20%

Nesta questão 2 são notáveis as melhorias dos alunos na segunda aplicação do teste

diagnóstico. Na alínea a) todos os alunos responderam acertadamente, enquanto na primeira

aplicação 90% dos alunos acertaram. No caso da alínea b), a percentagem de alunos a acertar

subiu de 45% para 60%. Neste caso, houve ainda quatro alunos a eleger a opção E, dois alunos

optaram pelo gráfico C, um aluno escolheu a opção A e outro escolheu a opção C.

57

Em termos de justificações, na opção A, escolhida apenas por um aluno, a justificação dada

relaciona as curvas dos dois gráficos. Este aluno já tinha escolhido esta opção na primeira

aplicação do teste e parece ter trasladado o gráfico velocidade-distância para a forma do circuito

escolhido.

Dos doze alunos que optaram pelo gráfico B, que é o gráfico que melhor se adequa ao

circuito, um dos alunos não justificou e dois apresentaram uma justificação irrelevante. A maioria

das justificações baseia-se no facto de ao existirem três reduções de velocidade, terão existir três

curvas no circuito. Contudo, esta justificação é insuficiente pois existem mais gráficos que

satisfazem esta condição (gráficos C e D). Tal como aconteceu na primeira aplicação do teste

diagnóstico, alguns alunos apresentaram razões para excluir esses gráficos, referindo a

acentuação das curvas e o comprimento das retas (Figura 32).

Figura 32. Resolução da questão 2b), na segunda aplicação do teste diagnóstico, pelo aluno

.17A

Os alunos que optaram pelos gráficos C e D justificaram afirmando que o gráfico teria que

ter três curvas, o que é verdade, mas insuficiente.

Dos quatro alunos que escolheram a opção E, um não apresenta justificação, outro

apresenta uma justificação irrelevante e os restantes dois alunos justificaram alegando que como

havia muitas variações de velocidade, então o circuito teria que apresentar várias curvas.

59

CAPÍTULO V

CONCLUSÕES, IMPLICAÇÕES, RECOMENDAÇÕES E LIMITAÇÕES

Neste capítulo serão apresentados os principais resultados obtidos no estudo de

implementação da intervenção pedagógica, refletindo também sobre as implicações desses

resultados para o processo de ensino-aprendizagem. Serão apresentadas ainda algumas

recomendações e limitações deste projeto. Contudo, antes apresenta-se uma breve síntese do

estudo, relembrando os objetivos e estratégias utilizadas para atingir cada um desses objetivos.

5.1. Síntese do estudo

O principal objetivo deste projeto de intervenção pedagógica era desenvolver nos alunos as

suas conceções de reta tangente e taxa de variação, tornando-os capazes de reconhecer e aplicar

estes conceitos às mais diversas situações. Para tal, foram propostos três objetivos para atingir o

pretendido:

Objetivo 1 – Identificar as conceções dos alunos acerca de taxa de variação e reta tangente

ao gráfico de uma função num ponto:

Objetivo 2 – Explorar as conceções dos alunos no ensino do conceito de taxa de variação;

Objetivo 3 – Avaliar o impacto do ensino nas conceções dos alunos sobre taxa de variação

e reta tangente ao gráfico de uma função num ponto.

Para avaliar a consecução destes objetivos recorreu-se a diversos métodos de recolha de

dados. No caso do Objetivo 1 foi realizado um teste de avaliação diagnóstica para identificar

conceções dos alunos, relativamente ao Objetivo 2 foram estudadas e preparadas

meticulosamente nove aulas, de noventa minutos cada, para explorar as conceções dos alunos e

para avaliar o Objetivo 3, sobre o impacto de ensino, foram elaboradas e aplicadas três formas de

avaliação: uma questão-aula; duas questões incluídas no teste de avaliação sumativa e ainda a

segunda aplicação do teste diagnóstico (ver Anexos I e II). Para documentar devidamente as

atividades procedeu-se à gravação das aulas em vídeo e áudio, bem como a fotocópias dos

cadernos diários dos alunos.

As estratégias utilizadas tiveram em conta o contexto no qual foi feita a intervenção

pedagógica, sendo também sido feita a leitura cuidadosa de artigos e livros relacionados com o

tema, que permitiram uma adequada preparação e desenvolvimento do projeto. Especificamente,

60

tendo em conta o tipo de projeto, focado nas conceções, os alunos trabalharam individualmente,

foram identificadas as suas conceções antes da intervenção pedagógica e exploradas e discutidas

durante a intervenção pedagógica e, finalmente, foram avaliados no final da intervenção

pedagógica.

De seguida serão apresentados os principais resultados obtidos relativamente a cada um

dos objetivos propostos para o estudo, seguindo-se algumas recomendações e limitações

encontradas.

5.2. Objetivo 1: Conceções dos alunos acerca de reta tangente ao gráfico de uma

função num ponto e de taxa de variação

Para responder ao primeiro objetivo proposto, foi realizado um teste de avaliação

diagnóstica, cuja análise se encontra no ponto 4.1 deste relatório. A análise das respostas dos

alunos permitiu identificar algumas conceções que os alunos tinham acerca do conceito de reta

tangente a uma curva e também acerca da interpretação de gráficos relacionados com a

interpretação gráfica do conceito de taxa de variação.

Através da análise do teste diagnóstico verificou-se que estava muito presente nos alunos a

noção de reta tangente à circunferência, visível através de justificações do tipo: “a reta é tangente

à curva porque só interseta a curva num ponto” ou “a reta não é tangente à curva porque corta a

curva”. Viseu (2000, p. 26) refere que a definição de reta tangente à circunferência “é uma

definição muito simples, quer conceptual quer visualmente, e por isso a tendência para a

generalização é forte”, e o que se verificou foi que, de facto, a maioria dos alunos generalizou o

conceito, decidindo se a reta era tangente ou não à curva tendo em conta o número de pontos de

interseção entre a reta e a curva ou verificando se a reta cortava ou não a curva.

Tal como aconteceu com o estudo realizado por Castela (1995), verificou-se que um elevado

número de alunos apresentava uma conceção errada do conceito de tangente a uma curva,

ligando-o estritamente à noção de tangente à circunferência, não considerando a ideia de que a

tangente é uma propriedade local, e que por isso há necessidade de ter em conta uma vizinhança

suficientemente próxima do ponto.

No estudo realizado por Castela os alunos que nunca tinham trabalhado com derivadas

apresentaram mais erros nos gráficos 1, 2, 4 e 6 (ver Anexo1), exatamente por apresentarem

situações em que a definição de reta tangente à circunferência não se podia aplicar. Na primeira

61

aplicação do teste diagnóstico, no presente estudo, também se obtiveram as maiores

percentagens de respostas incorretas no caso dos gráficos 1, 2 e 6.

Note-se que estes alunos, apesar de alguns deles estarem a repetir o ano, nunca tinham

trabalhado com este objeto matemático, a não ser quando relacionado com a circunferência, no

9.º e 11.º anos de escolaridade. Assim, é natural que esta ideia esteja tão presente nas suas

respostas. No entanto, após a intervenção pedagógica, verificou-se uma melhoria das conceções

dos alunos acerca deste conceito (ponto 5.4).

Relativamente às conceções do conceito de taxa de variação, sendo este um conceito novo

para os alunos, optou-se por introduzir no teste diagnóstico uma questão que incluía a

interpretação gráfica de um gráfico distância-velocidade de um carro num circuito, tendo-se

verificado que os alunos apresentaram muitas dificuldades em retirar e analisar informações deste

tipo de gráfico.

As respostas apresentadas pelos alunos nesta questão do teste diagnóstico mostraram

dificuldades em analisar um gráfico que representa a velocidade de um objeto em cada ponto do

trajeto, para posteriormente poderem fazer uma conjetura sobre a forma possível do circuito. Neste

último caso, as dificuldades dos alunos para identificarem o circuito, de entre vários fornecidos,

foram mesmo mais acentuadas.

Estes resultados vieram reforçar a estratégia, previamente estabelecida, de recorrer à

interpretação geométrica do conceito de taxa de variação sempre que possível quer na abordagem

ao tema, quer na resolução de tarefas, proporcionando, desta forma, ferramentas para que os

alunos compreendessem este conceito em termos analíticos e gráficos. A este respeito, Tall (2000)

sugere que seja apresentado um grande número de visões e representações do conceito para

favorecer uma imagem conceptual rica, que é o que se pretendia neste projeto.

5.3. Objetivo 2: Explorar as conceções dos alunos no ensino do conceito de taxa de

variação

Segundo Ausubel, Novak e Hanesian (1980, p. 137), “o fator que mais influencia a

aprendizagem é aquilo que o aluno já conhece. Descubra o que ele sabe e baseie nisso os seus

ensinamentos”. Foi exatamente por este princípio que começou a intervenção. Após a realização

do teste diagnóstico e de uma primeira análise das respostas, captando as principais conceções

apresentadas pelos alunos, começou-se por explorar essas conceções logo no início da intervenção

de ensino.

62

Sendo o conceito de Taxa de Variação o conceito central do Tema II do programa de

Matemática A do 11.º ano de escolaridade, existia a necessidade de dar aos alunos uma base

consistente da noção de limite e de reta tangente ao gráfico de uma função num ponto, já que

ambos são de extrema importância na definição da noção de derivada num ponto.

A exploração das conceções dos alunos acerca do conceito de reta tangente ao gráfico de

uma função num ponto foi feita ao longo da segunda aula, mostrando-se aos alunos exemplos que

contrariavam as suas conceções erradas, e mostrando também exemplos que reforçavam as suas

conceções corretas, como é sugerido por Fernandes (1990). Esta abordagem não ocorreu apenas

nesta aula, mas também em muitas das aulas que se seguiram, em que se pretendia que os

alunos interpretassem geometricamente o conceito de Taxa de Variação.

Segundo Hallet (1991), a compreensão obtida através do processamento de informação

visual e dos processos analíticos complementam-se, logo a aprendizagem deve abranger ambos

os processos. Desta forma, exploraram-se as conceções dos alunos relacionando, sempre que

possível, os processos analíticos e gráficos, permitindo aos alunos criarem uma imagem

conceptual do conceito de reta tangente e de taxa de variação mais rica.

Para Tall (1994), geralmente, os alunos não estabelecem uma relação entre os processos

analíticos e gráficos, devido ao tipo de ensino a que são sujeitos ao longo dos anos. No entanto,

este autor também refere que no caso do conceito de derivada a interpretação visual pode

constituir uma vantagem para a compreensão de relações e de significados implícitos ao conceito.

Com vista a preencher esta lacuna, nas tarefas em que era pedido aos alunos a determinação da

equação da reta tangente ao gráfico de uma dada função, num dado ponto do seu domínio, a

primeira coisa proposta aos alunos era um esboço da representação gráfica da função e da

respetiva tangente ao gráfico no ponto pedido, passando-se posteriormente à resolução analítica

da tarefa. Este processo permitiu aos alunos determinarem tangentes a diferentes tipos de

gráficos, como funções afins, polinomiais e racionais, e também concluírem a não existência de

tangente em pontos angulosos ou de descontinuidade de funções, confrontando-os, assim, com

conceções erradas que demostraram no teste diagnóstico. Além disso, os alunos poderiam

confrontar os resultados obtidos utilizando cada um dos processos, para confirmar resultados ou

detetar possíveis erros cometidos, caso os resultados obtidos através dos dois processos fossem

idênticos ou diferentes, respetivamente.

Na introdução do conceito de função derivada, estando os alunos já na posse da definição

formal de derivada no ponto, tentou-se no contexto da sala de aula que os alunos representassem

63

graficamente os valores da derivada em diferentes pontos dessa função. Posteriormente, os alunos

eram encorajados a estabelecerem uma conjetura sobre o aspeto da função derivada, antes de se

definir de forma analítica a função derivada. Mais uma vez este processo fortaleceu, nos alunos,

o conceito de reta tangente ao gráfico da função num ponto, bem como o uso de diferentes

representações da função derivada.

Quando se passou ao estabelecimento da relação entre os intervalos de monotonia de uma

função e o sinal da respetiva função derivada, mais uma vez foi possível explorar as conceções

dos alunos, partindo inicialmente de uma abordagem gráfica estabelecendo relações entre o sinal

da derivada num intervalo de monotonia, enquanto declive da reta tangente em cada um dos

pontos do intervalo e a monotonia da função nesse intervalo. Seguidamente, passou-se aos

processos analíticos, sem deixar de salientar a importância de uma interpretação gráfica,

principalmente nas tarefas onde apenas se tinha acesso aos esboços dos gráficos das funções e

não à sua expressão analítica. Desta forma, os alunos poderiam através do gráfico de uma função

fazer um esboço da possível função derivada, bem como realizar o processo inverso.

5.4. Objetivo 3: Impacto do ensino nas conceções dos alunos

Com a intervenção pedagógica e através da exploração das conceções dos alunos era

pressuposto que as conceções corretas ficassem mais fortalecidas e que desaparecessem

algumas conceções erradas manifestadas pelos alunos.

O impacto do ensino nas conceções dos alunos acerca da reta tangente ao gráfico de uma

função num ponto e da taxa de variação foi avaliado através de diferentes formas de avaliação,

que revelaram melhorias nas conceções da maioria dos alunos, mas não de todos os alunos.

Mesmo após a intervenção ainda houve alunos que demostraram conceções de reta

tangente estritamente ligadas à noção de reta tangente à circunferência, apesar de em menor

quantidade. Para Orton (1983) a determinação geométrica da reta tangente ao gráfico de uma

função não é uma tarefa fácil, já que os alunos não a relacionam com o limite da posição das

retas secantes, quando um ponto sobre a curva se aproxima do ponto de tangência. Mesmo depois

do ensino, apesar do aumento de respostas corretas na segunda aplicação do teste diagnóstico,

apenas um aluno apresenta esta ideia de limite nas justificações apresentadas. Este resultado

fortalece a opinião manifestada por Tall (1991), Riddle (1994) e Orton (1983) de que a ideia de

que as retas secantes no limite se aproximam da reta tangente não é intuitiva para a maioria dos

alunos.

64

Também Almeida e Viseu (2003) detetaram que a maioria dos estudantes não estabelece

esta ligação, salientando que “a maioria (dos estagiários) deu mais atenção ao número de pontos

de interseção entre a reta e a curva do que à análise do seu comportamento no respetivo ponto”

(p. 214) e que “a maioria não apresentou ligações com conhecimentos de derivadas, de modo

que pudessem analisar as diferentes situações por aproximações locais” (p. 215), tal como

aconteceu neste estudo. Portanto, de um modo geral, conclui-se que as justificações expostas para

a tomada de decisão sobre se a reta é tangente ao gráfico ou não, naquele ponto, continuam a

apresentar muitas conceções inadequadas do conceito de reta tangente e algumas incoerências.

Note-se que em outros estudos, realizados por Vinner (1991), Castela (1995) e Viseu

(2000), com alunos que já tinham trabalhado com este conceito em mais do que um ano escolar,

incluindo alunos do ensino superior, também se detetaram muitas conceções erradas do conceito

de reta tangente, o que mostra a complexidade do conceito e a necessidade de se explorarem

outras formas de trabalhar este conceito, como por exemplo através da linearização.

As situações onde se verificaram melhorias mais notáveis foram aquelas em se que

representavam pontos angulosos, onde a maioria dos alunos respondeu corretamente,

identificando a não existência de reta tangente nesses pontos. Mesmo assim, ainda houve

dificuldades em reconhecer que como não existe reta tangente ao gráfico em pontos angulosos,

também não existe derivada nesses mesmos pontos, tendo alguns alunos considerado estes

pontos no domínio da função derivada. Esta dificuldade foi também detetada por Almeida e Viseu

(2002) num estudo realizado com professores estagiários de Matemática.

Na interpretação gráfica do conceito de taxa de variação os alunos manifestaram diversas

dificuldades em relacionar a monotonia de uma função com o sinal da respetiva função derivada.

No entanto, a maioria associou corretamente os zeros da função derivada aos extremos da função,

apesar de ainda haver alguns alunos que não fizeram corretamente essa correspondência. Almeida

e Viseu (2002) obtiveram resultados semelhantes e apresentam as seguintes causas possíveis

para este desempenho dos estudantes:

Uma capacidade gráfica demasiado pobre, a qual dificulta a identificação do tipo

de uma função dado o seu gráfico;

A incapacidade de interligar múltiplas condições numa mesma questão;

A falta de capacidade de ligar a informação gráfica aos conhecimentos analíticos

(pp.216-217).

65

Apesar de algumas melhorias verificadas, conclui-se que os resultados obtidos não foram

muito satisfatórios quer na conceção de reta tangente, quer na de taxa de variação. Os alunos,

mesmo após a intervenção pedagógica, apresentaram lacunas e algumas conceções erradas ou

pouco consolidadas acerca destes conceitos. Eles melhoraram a noção intuitiva sobre se uma reta

é ou não tangente ao gráfico num ponto, sem, no entanto, a associarem ao limite das retas

secantes ou à derivada nesse ponto.

De um modo geral são evidenciadas dificuldades em relacionar os diferentes conceitos

estudados, ou seja, apesar de os alunos identificarem o declive da reta tangente ao gráfico de uma

função num ponto como sendo a derivada da função nesse ponto, não utilizam esta informação

em diferentes tipos de tarefas.

5.5. Limitações, Recomendações e Implicações

Tendo em conta a pertinência deste projeto e as conclusões retiradas após a aplicação do

mesmo, começa-se por esclarecer algumas limitações à sua execução. A principal limitação foi o

tempo previsto para a aplicação do projeto, que foi de nove blocos de 90 minutos. Este tempo foi

muito reduzido tendo em conta a complexidade do tema e as diversas situações a que pode ser

aplicado e que seria de extrema importância abordar. O tempo estipulado para a realização da

intervenção teve em consideração o extenso programa de Matemática A, do 11.º ano (Ministério

da Educação, 2002), que ainda assim não foi cumprido, não permitindo que se alongasse a

intervenção pelo tempo necessário. As imensas dificuldades apresentadas pelos alunos no

decorrer da intervenção, principalmente no que respeita a matérias anteriores e que eram

necessárias à compreensão do tema lecionado e à realização das tarefas propostas, como a

resolução de equações do 1.º e 2.º graus ou operar com radicais, entre outras, também foi uma

limitação. Outro fator importante, que de alguma forma condicionou o desenvolvimento do projeto

foi o facto de os alunos estarem mais habituados à utilização de processos exclusivamente

analíticos, o que resultou numa capacidade visual pobre, e que constituiu um entrave na

exploração gráfica dos conceitos de reta tangente e de taxa de variação.

Possivelmente, com um período de tempo mais alargado, de modo a ser possível atender

às dificuldades dos alunos e à complexidade e importância do tema estudado, poderiam ter sido

obtidos melhores resultados nas conceções dos alunos acerca do conceito de reta tangente ao

gráfico num ponto e de taxa de variação, além de poderem aprender a dar mais valor e importância

66

aos processos gráficos, que na exploração deste tema são muito vantajosos e permitem criar

conceções mais enriquecidas.

É evidente que a exploração do conceito de taxa de variação deve comtemplar tanto

processos analíticos como gráficos, que foi o que se tentou fazer ao longo da intervenção, mas

não houve tempo para dar a conhecer aos alunos diferentes significados que o conceito de taxa

de variação tem na Matemática e também em outras ciências.

Os principais significados estudados para o conceito de taxa de variação da função f no

ponto de abcissa 0x foi o declive da reta tangente ao gráfico de f em 0x e o

h

xfhxfh

)()(lim 00

0

, tendo ambas por base a noção de limite. No entanto, são vários os autores

que alertam para as limitações associados à introdução do conceito de taxa de variação como um

limite, como Schneider (1992) que afirma que as dificuldades apresentadas pelos alunos

relativamente ao conceito de taxa de variação derivam do facto de este conceito ser apresentado,

no seio da Matemática, como um limite de velocidades médias.

Para Giraldo e Carvalho (2002) a introdução de um conceito deve ter em conta dois aspetos

fundamentais:

Fazer sentido (pelo menos potencialmente) para o estudante;

Possibilitar expansões cognitivas para construções formais e desenvolvimentos

teóricos subsequentes. (p. 105)

Estes autores admitem, ainda, tal como Schneider, que a definição do conceito de derivada

utilizando o conceito de limite não é muito aconselhável já que “o conceito de limite não faz sentido

para a maioria dos estudantes” (p. 105).

Apesar de ser esta a bordagem sugerida pelo programa de matemática A, do 11.º ano

(Ministério da Educação, 2002), é visivelmente necessário procurar e investigar outras abordagens

possíveis, tal como a linearização. Sabendo que a taxa de variação da função f no ponto de

abcissa 0x corresponde ao declive da reta que melhor aproxima a função f na vizinhança do

ponto 0x , esta pode ser uma abordagem com melhores resultados já que utiliza um processo mais

gráfico. Adicionalmente, esta abordagem pode ser desenvolvida com recurso a programas como

o GeoGebra, que têm melhor qualidade gráfica do que uma calculadora, o que poderia ser

interessante e vantajoso numa abordagem ao conceito de taxa de variação recorrendo à

linearização.

67

Outra recomendação é a investigação, tal como foi feito por Almeida e Viseu (2002, 2003)

e Viseu (2000), das conceções que os professores, quer estagiários, quer com diferentes anos de

carreira, apresentam destes dois conceitos de forma a melhorar a sua formação neste tema

matemático.

69

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ANEXO I

Teste diagnóstico

AVALIAÇÃO DIAGNÓSTICA

Nome: _______________________________________ Turma: _______N.º: _______

1. Em cada um dos oito gráficos seguintes indica (assinalando uma das opções Sim/Não) e

justifica se a reta r é tangente à curva 𝓒 no ponto A .

Justificação:

Sim Não

Justificação:

Sim Não

Justificação:

Sim Não

Justificação:

Sim Não

76

Justificação:

Sim Não

Justificação:

Sim Não

Justificação:

Sim Não

Justificação:

Sim Não

77

2. Velocidade de um carro de corrida. O gráfico seguinte mostra a variação da velocidade

de um carro de corrida num circuito plano de 3 quilómetros, durante a segunda volta.

a) Qual das quatro opções seguintes corresponde, aproximadamente, à distância da

linha de partida até ao início da reta mais longa do circuito?

0,5 km 1,5 km 2,3 km 2,6 km

b) Eis o traçado de cinco circuitos. Em qual deles (A, B, C, D ou E) poderá ter circulado

o carro, para que o gráfico da velocidade seja o apresentado anteriormente?

Resposta: A B C D E

Num pequeno texto, apresenta as razões que fundamentam a resposta selecionada.

ANEXO II

Elementos de Avaliação

Questão-Aula

1. Na figura estão representados:

Parte do gráfico de uma função f ;

A reta r , tangente ao gráfico de f no ponto de

abcissa 2 e de equação 4

5

5

2 xy ;

A reta s tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa

6.

Sabendo que as retas r e s são perpendiculares, indique o

valor de )6('f , derivada da função f no ponto 6.

(A)2

3 (B) 5

4 (C)

5

2 (D)

2

5

Justifique a sua resposta.

2. Considere a função g , definida por x

xg2

)( . Determine a equação reduzida da reta

tangente ao gráfico de g , no ponto de abcissa 1.

3. Na figura abaixo está representada parte da função polinomial f .

A representação gráfica que pode ser a da função derivada de f é:

82

(A)

(B)

(C)

(D)

Num pequeno texto escreva a resposta que considera correta e apresente pelo menos uma

razão que o leva a excluir as outras representações gráficas.

Teste de avaliação sumativa

1. Na figura, está representada, num referencial o.n. Oxy , parte da representação de uma

função f :

A representação gráfica que corresponde a 'f é:

(A) (B)

83

(C)

(D)

c) Na figura, está parte da representação gráfica da função f definida por xxxf 6)( 3 .

Sabe-se que:

A e B são os pontos do gráfico cujas ordenadas são

os extremos relativos de f ;

r é a reta tangente ao gráfico de f no ponto A;

s é a reta tangente ao gráfico de f no ponto B;

P é um ponto que se desloca ao longo da reta s ;

C é o ponto de interseção da reta r com o eixo Oy .

2.1. Defina, pelas suas coordenadas, os pontos A e B.

2.2. Seja t a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 2.

a. Mostre que t pode ser definida por 166 xy .

b. Mostre que existe outra reta tangente ao gráfico de f que é paralela à reta 𝑡 e defina,

pelas suas coordenadas, o ponto de tangência T .

ANEXO III

Pedido de autorização aos Encarregados de Educação

Exmo(a) Senhor(a)

Encarregado(a) de Educação

No âmbito do Mestrado em Ensino de Matemática no 3.º ciclo do Ensino Básico e no Ensino

Secundário, da Universidade do Minho, enquanto professora estagiária, pretendo ensinar na turma

da qual faz parte o seu educando os conceitos de taxa de variação e reta tangente ao gráfico de

uma função num ponto, que fazem parte do programa de Matemática do 11º ano. Com esta

experiência de ensino pretende-se atingir os seguintes objetivos:

1. Identificar conceções dos alunos acerca da taxa de variação e reta tangente ao gráfico de uma função

num ponto;

2. Explorar as conceções dos alunos no ensino do conceito de taxa de variação;

3. Avaliar o impacto do ensino nas conceções dos alunos sobre taxa de variação e reta tangente ao

gráfico de uma função num ponto.

A recolha de dados das aulas da intervenção de ensino será feita através da resolução de tarefas

e da observação das aulas de Matemática, que pretendo gravar (em áudio e vídeo), para facilitar

a posterior análise dos dados recolhidos. Para esse fim, venho, desta forma, solicitar a sua

autorização para proceder ao registo em suporte áudio e vídeo das aulas de Matemática em que

decorrerá a intervenção pedagógica. Neste contexto, enquanto única pessoa com acesso aos

dados, comprometo-me a usar todos os dados recolhidos apenas para fins académicos e a não

divulgar, em nenhuma circunstância, o nome da escola e dos alunos.

Certa da melhor atenção, agradeço, desde já, a sua colaboração.

Braga, 28 Janeiro de 2016

A estagiária de Matemática,

__________________________________________________________________

(Paula Alexandra da Costa Figueiredo)

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - --- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Eu, ..............................................................................................................., encarregado de

educação do aluno ............................................................................................do 11º03,

autorizo não autorizo

que sejam registadas, em áudio e vídeo, as atividades de ensino e aprendizagem que envolvam o

meu educando nas aulas de Matemática da intervenção pedagógica, desde que seja

salvaguardado o seu anonimato.

Braga, ………. de janeiro de 2016

O Encarregado de Educação

_______________________________________

Documents

Paula Alexandra da Costa Figueiredo · Conceções de alunos do 11º ano acerca dos conceitos de taxa de variação e reta tangente ao gráfico ... Segunda aplicação do teste diagnóstico