PC_2013-1_EP01_Polinomios

7/23/2019 PC_2013-1_EP01_Polinomios

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EP 0120131Polinmios Pr-Clculo

CEDERJ

EP 01

Pr-Clculo______________________________________________________________________

Caro aluno

Este o nosso primeiro Exerccio Programado, que chamaremos de EP. O primeiro de muitos quevamos trabalhar juntos. Espero que as orientaes dadas nos EPs e os exerccios resolvidos e

propostos o ajude nessa caminhada que hoje se inicia. Nesse semestre nosso primeiro tpico ser:POLINMIOS.

Voc encontraresse contedo no Livro de Pr-Clculo, Volume 2, Mdulo 3, aulas 16, 17 e18.

importante tambm, seguir as orientaes apresentadas na Semana 09 do Caderno de Pr-Clculo.

Saber fatorarpolinmios, muito til para os nossos Cursos de Clculo.

Assim como operamos com os nmeros, podemos tambm, operar com os polinmios. importante praticar a diviso entre polinmios. No Mdulo 03, pginas 20 a 23, voc poder lersobre o Algoritmo de Euclidese estudar os exemplos de diviso de polinmios, ali apresentados.O Dispositivo de Briot Rufini um algoritmo eficiente e prtico para a determinao doquociente )(xq e do resto )(xr na diviso euclidiana de um polinmio )(xp por ax . Leiasobre isso na pgina 33 do Mdulo 03.

O material de estudo complementar COMPLETAR QUADRADO(disponvel na semana 1da plataforma)apresenta a tcnica de completar quadrado do trinmio do 2. grau, uma tcnicade simplificao de expresses bastante til, baseada nos seguintes produtos notveis:

222 2)( bababa 222 2)( bababa .

Estude esse material, pois a experincia nos tem mostrado que muitos alunos tm sriasdificuldades com essa tcnica e temos certeza que os exemplos o ajudaro a compreender esseassunto e permitir que voc estude o tpico Polinmios com mais tranqilidade.

O material de estudo complementar FATORAO(disponvel na semana 1 da plataforma)

o leva a saber fatorar alguns tipos de expresses matemticas, a saber simplificar alguns quocientesde expresses matemticas, a saber resolver alguns tipos de equaes polinomiais. Vamos l fazeressa reviso ou se for o caso, vamos l aprender resultados que o permitir a fatorar polinmios,assunto desse EP01.

Como estamos interessados em fatorar polinmios, vamos lembrar alguns resultados importantes.

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Resultado 1:

"Seja 011

1 ....)( axaxaxaxp n

nn

n

um polinmio onde 1n e IRia ,

ni ...,,3,2,1,0 . Dizemos que um nmero real uma raiz do polinmio )(xp se, esomente se, 0)( p ".


2/7


2 de 7

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Resultado 2:

"Todo polinmio 011

1 ....)( axaxaxaxp n

n

n

n

onde 1n , IRia , ni ...,,3,2,1,0 ,

se decompe em fatores lineares e ou fatores quadrticos irredutveis".

Fator linear: bax fator quadrtico: cxbxa 2

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Resultado 3:

Em especial, vamos trabalhar com a fatorao do polinmio quadrtico, polinmio de grau 2,cxbxaxp 2)( onde, IR,, cba , com 0a .

Vamos, inicialmente, resolver a equao 02 cxbxa onde, IR,, cba , com 0a .

As possveis solues dessa equao so razes do polinmio cxbxaxp 2)( .

Multiplicaremos os dois membros da equao por a :

022 caxbaxa , que o mesmo que 022 caxabxa .

Completando o quadrado na varivel x :

04

)4

(022

2222ca

bbxabxacaxabxa

4

4)

2(

4)

2(0

4)

2(

22

22

22 cabbxaca

bbxaca

bbxa

.

Ateno: Caso voc no lembre como se completa o quadrado, veja o texto "Completando oQuadrado", disponvel na plataforma.

Da igualdade4

4)

2(

22 cabb

xa , segue que:

I)Se ,042 cab a equao dada no tem soluo, pois IR,0)2

( 2 xb

xa ,

2)2

( b

xa nunca ser igual a um nmero negativo.

Neste caso o polinmio cxbxaxp 2)( irredutvel em IR, no pode ser escritocomo produto de dois polinmios de grau 1 , com coeficientes reais.

II) Se ,042 cab ento 0)2

( 2 b

xa , donde 02

bxa e, portanto

a

bx

2 .

Neste casoa

bx

2 a soluo da equao dada e o polinmio cxbxaxp 2)( tem

duas razes reais iguais, e se fatora da seguinte forma:

22

)2()2()2()( a

b

xaa

b

xa

b

xacxbxaxp

.

III) Se ,042 cab ento:


3/7


3 de 7

2

4

24

4)

2(

222 cabbxa

cabbxa

a

cabbx

cabbxa

cabbxa

2

4

2

4

2

4

2

222

N

este caso, a equao dada tem duas solues distintas:

a

cabbx

2

42

1

e

a

cabbx

2

42

2

.

O polinmio cxbxaxp 2)( tm duas razes reais distintas e se fatora daseguinte forma:

)()()( 212 xxxxacxbxaxp .

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Resultado 4:"Todo polinmio 01

11 .....)( axaxaxaxp

n

n

n

n

onde 1n , n impar, IRia ,

ni ...,,3,2,1,0 , tem pelo menos uma raiz real".

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Resultado 5:

"Se uma raiz inteira do polinmio 011

1 .....)( axaxaxaxp n

nn

n

onde 1n , ia

nmeros inteiros, ni ...,,3,2,1,0 , ento um divisor do termo independente 0a ".

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Resultado 6:

"Seq

p, onde p e q so nmeros inteiros, 0q , p e q primos entre si, uma raiz do

polinmio 011

1 .....)( axaxaxaxp n

n

n

n

onde 1n , ia nmeros inteiros,

ni ...,,3,2,1,0 , ento p um divisor do termo independente 0a e q um divisor do

coeficiente na ".

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Resultado 7:

"O resto da diviso de um polinmio )(xp por ax )(ap ".

______________________________________________________________________

Resultado 8:

"Um polinmio )(xp divisvel por ax se, e somente se, 0)( ap ".

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4/7


4 de 7

Resultado 9:

"Se nxxx .......,,, 21 so razes de um polinmio de grau n ,

011

1 ...)( axaxaxaxp n

n

n

n

, ento ))....(()()( 21 nn xxxxxxaxp ".

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Resultado 10:

"Um polinmio )(xp , com nxpgr ))(( divisvel pelos binmios

)(.....,,)(,)( 21 nxxxxxx , onde nxxx ....,,, 21 so todos distintos entre si, se, e somente se,

)(xp divisvel pelo produto

))....(()( 21 nxxxxxx ".

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Vamos fatorar, em IR, alguns polinmios!

Exemplo 1 Fatore, em IR, o polinmio 3434)( 23 xxxxp .

Soluo:

Para fatorar )(xp precisamos conhecer as suas razes.

As possveis razes inteiras de )(xp so os divisores do termo independente 3 , que so:3,3,1,1 .

Note que 120)3(;72)3(;0)1(;0)1( pppp .

Portanto, )(xp tem somente duas razes inteiras, que so 1x e 1x

Se 1x uma raiz de )(xp ento )(xp divisvel por 1)1( xx .

Se 1x uma raiz de )(xp ento )(xp divisvel por 1x .

Logo, )(xp divisvel por 1)1()1( 2 xxx .

Dividindo )(xp por 12 x , obtemos )34()1()( 2 xxxp .

Assim a fatorao procurada )34()1()1()( xxxxp .

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Exemplo 2 Fatore, em IR, o polinmio 3832)( 23 xxxxp .

Soluo:

As possveis razes inteiras de )(xp so os divisores do termo independente 3 , que so:3,3,1,1 .

As possveis razes racionais desse polinmio so os divisores do termo independente3 , que so:3,3,1,1 , divididos pelos divisores do coeficiente do termo de maior grau, que so2,2,1,1 .


5/7


5 de 7

Assim, as possveis razes racionais desse polinmio so:

2

3,

2

3,

2

1,

2

1,3,3,1,1 . Observe que aqui tambm esto includas as razes inteiras,

que tambm so racionais.

Calculando o valor de )(xp nessas possveis razes encontramos:

0)1( p , 12)1( p , 60)3( p , 0)3( p ,2

15)

2

1( p , 0)

2

1( p ,

2

9)

2

3( p

e 15)2

3( p .

Como )(xp um polinmio de grau 3 , ento j encontramos todas as suas razes e assim,

)12()3()1()2

1()3()1(2)( xxxxxxxp .

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Exemplo 3 O livro do matemtico rabe al-Khwarizmi, que morreu antes de 850, contm umaextensa discusso sobre problemas de herana. Como escreve C. Boyer no livro Histria da

Matemtica, as complicadas leis rabes que regiam a diviso de heranas parecem ter encorajadoo estudo da lgebra na Arbia. Dentro deste tema, est o seguinte problema:

Um pai deixa a seus filhos uma herana de R$ 1 200 000,00. Trs deles, renunciando a suaspartes, fazem com que cada um dos demais receba, alm do que receberia normalmente, umadicional de R$ 90 000,00. Quantos filhos tinha, no total, este pai?

Soluo:

Considerando x o nmero de filhos, temos que cada um deles deveria receber:

x

R 00,0002001$. Como trs dos seus filhos renunciaram suas partes, cada um dos demais

recebeu:

00,00090$00,0002001$

Rx

R

Pensando de outra forma, como trs dos seus filhos renunciaram suas partes, a herana foi

dividida entre 3x filhos e cada um recebeu:

3

00,0002001$

x

R.

Portanto, o nmero de filhos a soluo da equao:

3

00,0002001$00,00090$

00,0002001$

x

RR

x

R

Dividindo cada membro da equao por 00,00030 temos:


6/7


6 de 7

3

403

40

xx.

Mas,

03

40340

3

40340

3

403

40

xx

x

xx

x

xx

040)3()340(0

)3(

40)3()340(xxx

xx

xxx

040301209304033334040 222 xxxxxxxx .

As razes dessa equao so:

582

133

2

1693

12

)40(14)3(3 2

xouxx

Portanto, o nmero de filhos 8 .

E agora, aos exerccios:

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Exerccio 1:Olivro"Al-Jabr Wal mugbalah" escrito pelo matemtico rabe al-Khwarizmi, que

morreu antes de 850, tem grande importncia na histria da Matemtica. O nome deste autor

originou a palavra algarismo e a primeira palavra do ttulo do livro, cujo significado, no se sabe

ao certo, originou o termo lgebra, pois foi por esse livro que mais tarde a Europa aprendeu o

ramo da Matemtica que hoje tem esse nome. Um dos vrios problemas que ilustram tal livro

pede que se divida o nmero 10em duas partes de modo que " a soma dos produtos obtidos,

mul tipli cando cada parte por si mesma, seja i gual a 58 " .Resolva-o.

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Exerccio 2: Uma fatia com 3 cm de espessura cortada paralelamente a uma das faces de um

cubo, deixando um volume de3

cm196 . Encontre o comprimento do lado do cubo original.

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Exerccio 3: Diga quais das expresses abaixo so polinmios:

a) 22

12)( 35 xxxxp b) 5)( xt c) 53)( 2

1

3

1

xxxq

d) 32)( 134 xxxxs e)5

34)(

3

25

x

xxxr .

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7/7


7 de 7

Exerccio 4: Determine os valores de cba ,, , nmeros reais, que tornam os polinmios )(xp e)(xq iguais:

)1()1()1()1()( xxcxxbxxaxp e 53)( 2 xxq .

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Exerccio 5: Faa as operaes indicadas:

a) 23 )14(2)14( xx b) 44)( xhx .

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Exerccio 6: Determine o quociente e o resto da diviso dos polinmios )(xp e )(xq nosseguintes casos:

a) 3423)( 345 xxxxxp 12)( 3 xxxq

b) 121143)( 2345 xxxxxxp )54()( 22 xxxxq .

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Exerccio 7: Determine a , IRa , de modo que o polinmio

axaxaxaxp 4)23()12()( 23 seja divisvel por 1)( xxq e em seguida,obtenha o quociente da diviso.

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Exerccio 8:Fatore os seguintes polinmios:

a) 352)( 2 xxxp b) 352)( 23 xxxxp

c) 1)( 4 xxp d) 611692)( 234 xxxxxp

e) 158)( 24 xxxp f) 4472)( 234 xxxxxp

g) 1)( 4 xxp .

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Exerccio 9: Ser 3x um fator do polinmio 2187)( 7 xxp ? Justifique sua resposta.

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Exerccio 10: Considerando o que voc aprendeu sobre polinmios, responda: existe algum

nmero racional que seja igual ao seu cubo mais um?

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Bom trabalho!

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