PEDAGÓGICA - diaadiaeducacao.pr.gov.br · por Grando (2000) que, resumidamente, são: familiarização com o material do jogo, reconhecimento das regras, jogar para garantir regras,

FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO DA PRODUÇÃO DIDÁTICO – PEDAGÓGICA

TURMA - PDE/2012

Título: Jogos e Investigação Matemática numa Trajetória de Ensino e Aprendizagem.

Autor José Mario Lenartovicz.

Disciplina/Área (ingresso no PDE)

Matemática.

Escola de Implementação do Projeto e sua localização

Colégio Estadual Rosa Delucia Calsavara – Ensino Fundamental e Médio.

Município da escola Cambira.

Núcleo Regional de Educação

Apucarana.

Professora Orientadora Magna Natalia Marin Pires.

Instituição de Ensino Superior

Universidade Estadual de Londrina – UEL.

Resumo

A proposta deste estudo é a de experimentar uma alternativa de método de trabalho que permita estimular a aprendizagem dos conteúdos matemáticos. A alternativa a ser empregada é o uso de jogos e investigações matemáticas como estratégias de ensino e de aprendizagem e o principal objetivo desse trabalho é oportunizar o desenvolvimento do raciocínio matemático por meio dessas estratégias. De acordo com os autores citados nesse trabalho, estas estratégias poderão favorecer o envolvimento dos alunos, desenvolver o pensamento lógico, estimular a compreensão das regras estabelecidas, auxiliando na construção do conhecimento matemático. A questão central desse trabalho é: de que maneira os jogos e/ou as tarefas de investigação podem ser condutores de conteúdos matemáticos na sala de aula? As tarefas investigativas foram elaboradas a partir dos jogos “Torre de Hanói” e “Ponto a Ponto”. Durante o trabalho com jogos nas aulas de Matemática, utilizaremos as etapas sugeridas por Grando (2000) que, resumidamente, são: familiarização com o material do jogo, reconhecimento das regras, jogar para garantir regras, intervenção pedagógica verbal, registro do jogo, intervenção escrita e jogar com “competência.

Palavras-chave Jogos Matemáticos, Investigações Matemáticas, Trajetória de Ensino e Aprendizagem.

Formato do Material Didático

Unidade didática.

Público Alvo

Alunos do 9º ano do Ensino Fundamental da rede pública.

PARANÁ

GOVERNO DO

ESTADO

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO – SEED SUPERINTENDENCIA DA EDUCAÇÃO – SUED DIRETORIA DE POL. E PROG. EDUCACIONAIS - DPPE PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE LONDRINA - UEL

JOGOS E INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA NUMA TRAJETÓRIA DE

ENSINO E APRENDIZAGEM

1 PROCEDIMENTOS/MATERIAL DIDÁTICO

1.1 TRAJETÓRIA DE ENSINO E APRENDIZAGEM

A presente trajetória será desenvolvida com alunos do 9º ano do Ensino

Fundamental do Colégio Estadual Rosa Delucia Calsavara – Ensino Fundamental e

Médio, localizado no município de Cambira/PR, explorando jogos por meio de

tarefas de investigação matemática.

A sala de aula será organizada em duplas e durante o uso de jogos nas aulas

de Matemática, utilizaremos as etapas sugeridas por Grando (2000).

1ª Familiarização com o material do jogo: os alunos entram em contato com o

material do jogo, experimentando-o por meio de simulações de possíveis jogadas.

2ª Reconhecimento das regras: pode ser realizada de diversas formas como,

por exemplo, explicadas pelo orientador da ação ou lidas, ou, ainda, identificadas

por meio da realização de partidas-modelo.

3ª Jogar para garantir regras: este é o momento do jogo espontâneo,

possibilitando ao aluno compreender as regras.

4ª Intervenção pedagógica verbal: nesta etapa os alunos passam a jogar com

as intervenções orais do professor durante o movimento do jogo. Neste momento,

procura-se relacionar os procedimentos criados pelos alunos na resolução dos

problemas do jogo à conceitualização matemática.

5ª Registro do jogo: podem ser registrados os procedimentos e cálculos

utilizados pelos alunos durante o jogo como uma forma de sistematização e

formalização por meio da linguagem matemática.

6ª Intervenção escrita: esta é a etapa em que os alunos resolvem situações-

problema de jogo elaboradas pelo professor que direcionará para os conceitos

matemáticos a serem trabalhados. Nesse momento o registro do jogo também se

faz presente;

7ª Jogar com “competência”: nesse último momento o aluno irá retornar à

ação do jogo, executando as estratégias definidas e analisadas durante a resolução

das situações-problema.

1.2 TAREFAS INVESTIGATIVAS

Jogos: “Torre de Hanói” e “Ponto a Ponto”.

1.3 INTENÇÕES

- Oportunizar um ambiente de socialização por meio do compartilhamento de

ideias;

- Propiciar um ambiente que possa vir a despertar o interesse do aluno pelo

conteúdo matemático, tornando as aulas de matemática mais interessantes e

desafiadoras;

- Oportunizar o desenvolvimento do raciocínio matemático por meio de jogos

e tarefas investigativas;

- Fazer uso de tarefas que colaborem para que os alunos desenvolvam o

raciocínio, a iniciativa, o espírito explorador, a criatividade e a independência.

1.4 OBJETIVOS

- Fazer com que os alunos desenvolvam determinadas estratégias para

analisar situações desconhecidas;

- Desenvolver esquemas mentais: estimular o pensamento, a ordenação de

tempo e espaço;

- Favorecer condutas cognitivas e desenvolvimento de habilidades como

coordenação, abstração e concentração;

- Explorar os conceitos matemáticos por meio de atividades que fazem parte

do dia-a-dia do aluno;

- Organizar dados em tabelas;

- Identificar quando uma sequência numérica é uma progressão geométrica;

- Realizar operações fundamentais com números reais;

- Apreender os conceitos de múltiplos e divisores, a partir dos conceitos de

divisão exata e não-exata;

- Adquirir familiaridade com os critérios de divisibilidade;

- Reconhecer quando um número é par ou ímpar;

- Reconhecer quando um número é primo;

- Introduzir noções de probabilidade.

1.5 CONTEÚDOS

1.5.1 Jogo: “Torre de Hanói”.

- Sequências numéricas;

- Progressão geométrica;

- Lei de formação de uma função;

- Operações com números reais: adição, subtração, multiplicação, divisão,

potenciação e radiciação.

1.5.2 Jogo: “Ponto a Ponto”.

- Operações fundamentais com números reais: adição, subtração,

multiplicação, divisão;

- Divisão exata e não-exata;

- Critérios de divisibilidade;

- Números pares e ímpares;

- Números primos;

- Noções de probabilidade.

- Regra de três simples.

1.6 DESENVOLVIMENTO

1.6.1 JOGO: TORRE DE HANÓI

Neste trabalho usaremos uma variação da Torre de Hanói, além disso,

procuraremos articular duas tendências metodológicas da Educação Matemática,

são elas: a Resolução de Problemas e a Investigação Matemática.

A Torre de Hanói foi criada pelo matemático francês Edouard Anatole Lucas,

em 1883. O jogo Torre de Hanói é composto de nove discos de tamanhos diferentes

e três pinos, sendo que, em um dos três pinos encontram-se colocados todos os

discos, dispostos do maior para o menor.

Figura 1 - Torre de Hanói Fonte: Gonçalves (2007, p. 16)

O objetivo deste jogo é fazer a troca de todos os discos da haste com o

menor número possível de movimentos e existem algumas regras a serem seguidas,

são elas:

1. somente podemos mover um disco de cada vez;

2. somente podem ser movidos os discos que não tem outro disco colocado

por cima;

3. um disco de diâmetro maior não pode ser colocado sobre outro de

diâmetro menor.

Para que se possa chegar às generalizações, inicialmente estuda-se o jogo

para um, dois, três e quatro discos, buscando encontrar a menor quantidade de

movimentos para transferir a torre de um pino a outro, bem como uma regularidade

entre as jogadas, obtendo uma solução para um número qualquer de discos.

(WATANABE, 2004).

O jogo a ser proposto será composto de cinco peças quadradas,

confeccionadas em EVA, de tamanhos diferentes e um tabuleiro com três casas,

como proposto por Gonçalves (2007, p.16). As peças quadradas poderão ter como

medidas: (4x4) cm; (8x8) cm; dando prosseguimento até obter as 5 peças. Estas

peças quadradas serão as que substituirão os discos, devendo ser enumerados de 1

a 5, da menor para a maior. Para o tabuleiro, utilizaremos uma peça retangular de

EVA com medidas (25x50) cm; neste desenharemos três quadrados com 20 cm de

lado, representando as três casas; que substituirão os pinos. As casas deverão ser

identificadas por A, B e C.

Figura 2 - adaptação da Torre de Hanói Fonte: Gonçalves (2007, p. 16)

TAREFA INVESTIGATIVA TORRE DA HANÓI1

1. Vamos iniciar o jogo fazendo uso de 3 peças, apenas. Colocar as 3

peças na casa A. Em seguida, remover as 3 peças para a casa C, sempre

obedecendo às regras deste jogo que são:

a. mover uma peça de cada vez;

b. mover as peças que não tem outra colocada por cima;

c. uma peça de tamanho maior não pode ser colocada sobre outra de

tamanho menor.

Investigue qual seria o número mínimo de movimentos a serem realizados.

2. Agora, vamos utilizar 4 peças. Colocar as 4 peças na casa A. Em

seguida, remover as 4 peças para a casa C.


3. Investigue qual seria o número mínimo de movimentos a serem

realizados, utilizando 5 peças.

4. Qual seria o número mínimo de movimentos a serem realizados fazendo

uso de 2 peças?

5. E com apenas uma única peça, qual seria o número mínimo de

movimentos a serem realizados?

6. Construa uma tabela, registrando o número de peças utilizadas e o

número mínimo de movimentos investigados nos itens 1, 2, 3, 4 e 5.

1Adaptado de GONÇALVES, Alex Oleandro; GONÇALVES, Claudia Cristine Souza Appel. A Torre de

Hanói: um trabalho com investigações matemáticas, resolução de problemas e a calculadora. In: X CONGRESSO NACIONAL DE EDUCAÇÃO – EDUCERE, 2011, Curitiba. Anais... Curitiba: PUCPR, 2011. p. 13273-13284.

7. Investigue a quantidade de movimentos de cada peça para transportar

uma torre de 1 peça, 2 peças, 3 peças, 4 peças e 5 peças. Acrescente os valores

encontrados em sua tabela.

8. Observar as colunas da tabela referente à quantidade de movimentos das

peças 1, 2, 3, 4 e 5 e, em seguida, as linhas. Investigue o que é possível perceber

em relação a essas linhas e colunas.

9. Em quanto aumentaria a quantidade de movimentos, acrescentando uma

peça à torre?

10. Analisando os dados registrados em sua tabela, investigue a diferença

entre a quantidade de movimento para cada número de peças. A diferença

encontrada representa sempre uma potência de que base? O que representa os

expoentes destas potências?

11. Realize uma investigação para encontrar uma relação entre a quantidade

mínima de movimentos e o número de peças utilizadas.

12. Investigue qual seria a quantidade mínima de movimentos necessários

para transportar a torre, se ao invés de 5 peças tivéssemos 9, como é mais comum

nesse jogo.

13. Investigar qual seria a quantidade mínima de movimentos para

transportar uma torre com 64 peças, como no problema original de Édouard Lucas.

ENCAMINHAMENTO DO TRABALHO EM SALA DE AULA

Nessa trajetória, para fins de orientação, questionamentos que poderão ser

realizados pelo professor estão em negrito, as possíveis respostas dos alunos ou de

seus questionamentos, indagações, entre outros, em itálico, e alguns exemplos de

ações a serem realizadas pelo professor encontram-se em tabelas.

Inicialmente, o professor faz uma explanação a respeito do jogo “Torre de

Hanói”, esclarecendo quem foi seu criador, bem como, sua composição, os

objetivos e as regras do jogo.

Logo após, o professor organiza a turma em duplas, no intuito de

proporcionar o compartilhamento de ideias entre os alunos durante a atividade.

A seguir, o professor distribui o material do jogo para que os alunos possam

manuseá-lo, experimentando-o por meio de simulações de possíveis jogadas, a

fim de que eles consigam se familiarizar com o mesmo. Neste momento, o

professor faz a leitura das regras do jogo com os alunos, esclarecendo eventuais

dúvidas.

Antes de propor as atividades investigativas desse jogo aos alunos, será

oportunizado um tempo para que ocorra o jogo espontâneo, o que possibilitará a

eles compreender as regras. Em seguida serão distribuídas as folhas com a tarefa

1, e os alunos passam a jogar com as intervenções orais do professor durante o

movimento do jogo.

1. Vamos iniciar o jogo fazendo uso de 3 peças, apenas. Colocar as 3 peças na

casa A. Em seguida, remover as 3 peças para a casa C, sempre obedecendo às

regras deste jogo que são:

a. Mover uma peça de cada vez;

b. Mover as peças que não tem outra colocada por cima;

c. Uma peça de tamanho maior não pode ser colocada sobre outra de tamanho

menor.


Professor: Já fizeram a leitura da primeira tarefa investigativa?

Aluno: Sim, professor!

Professor: Após a execução dessa tarefa, peço que vocês registrem em seus

cadernos os procedimentos utilizados na resolução.

Aluno: Está bem, professor!

Professor: E, então, qual é o número mínimo de movimentos a serem

realizados para remover as 3 peças da casa A para a casa C?

Aluno: Eu consegui com 10 movimentos!

Professor: Alguém mais?

Aluno: Eu consegui com 5!

Aluno: Não é isso não, são 7 movimentos!

Professor: Você pode vir à lousa registrar os 7 movimentos que você pensou?

Aluno: Sim.

1º movimento: Peça 1 na casa C.

2º movimento: Peça 2 na casa B.



5º movimento: Peça 1 na casa A.



Professor: Está correto. E você que sugeriu 5 movimentos, conseguiu

perceber onde errou?

Aluno: Sim. Quando as peças 1 e 2 estavam na casa B, movimentei as duas de

uma vez só para a casa C. Por isso é que deu errado, com tantos movimentos

esqueci que devemos transportar uma peça por vez.

Professor: E você que respondeu 10 movimentos, porque a sua resposta foi

essa?

Aluno: Acho que acabei errando na contagem dos movimentos.

Professor: Muito bem! Agora, vamos pensar na segunda tarefa investigativa.

Neste momento, o professor distribui as folhas contendo a tarefa 2,

oportunizando um tempo para a discussão em duplas e o registro escrito dos

movimentos mínimos necessários para transportar as 4 peças.

2. Agora, vamos utilizar 4 peças. Colocar as 4 peças na casa A. Em seguida,

remover as 4 peças para a casa C.


Professor: Nessa tarefa, são necessários mais do que sete movimentos, ou

menos?

Aluno: Mais movimentos.

Professor: Por que são mais movimentos?

Aluno: Porque se com três peças precisamos de sete movimentos para quatro

peças vão ser necessários mais movimentos.

Professor: Conseguiram a resposta para a questão 2?

Aluno: Ainda não, professor! Dá mais um tempo.

Professor: Se preferirem podem se unir a outra dupla, para juntos discutirem e

encontrarem uma solução.

Aluno: Professor, não fale a resposta ainda.

Professor: Já descobriram qual é o número mínimo de movimentos a serem

realizados para remover as 4 peças da casa A para a casa C?

Aluno: São 15 movimentos.

Professor: Isso mesmo! Você pode vir ao quadro apresentar a sua solução?

















Em seguida, são distribuídas as folhas contendo a tarefa 3, oportunizando

um tempo um pouco maior que nas tarefas anteriores, para a discussão em duplas

e o registro escrito dos movimentos mínimos necessários para transportar as 5

peças. Essa aula será realizada no laboratório de informática do colégio, para que

os alunos possam jogar a Torre de Hanói em um simulador desse jogo.

3. Investigue qual seria o número mínimo de movimentos a serem realizados,

utilizando 5 peças.

Professor: Vamos acessar o seguinte endereço eletrônico:

http://www6.ufrgs.br/psicoeduc/hanoi/. Agora podem simular o jogo,

selecionando a opção de 5 peças.

Aluno: Muito interessante!

Professor: Já conseguiram encontrar a solução?

Aluno: Ainda não, precisamos de um tempo maior.

Professor: Procurem ir anotando quais são os movimentos das peças durante

a utilização do jogo. Caso contrário, vocês podem vir a esquecer quais foram

todos os movimentos das cinco peças.


Professor: Alguém já transportou todas as peças para a casa C?

Aluno: Nós já conseguimos, professor! Foram 34 movimentos.

Professor: Será que esse é o número mínimo de movimentos? Joguem mais

algumas vezes, para perceber se esse é o número mínimo de movimentos para

transportar as cinco peças.

Aluno: Professor, nós conseguimos com 31 movimentos. Jogar no computador é

melhor porque já fica registrado o número de jogadas.

Professor: Um de vocês pode vir ao quadro mostrar o esquema elaborado?

Aluno: Sim, professor.











http://www6.ufrgs.br/psicoeduc/hanoi/






















Professor: Muito bem! Trinta e um é o número mínimo de movimentos para

transportar as cinco peças da casa A para a casa C.

Em seguida, são distribuídas as folhas contendo a tarefa 4.

4. Qual seria o número mínimo de movimentos a serem realizados fazendo uso

de 2 peças?

Aluno: Agora é muito fácil!

Professor: Então, qual é a resposta?

Aluno: Bastam 3 movimentos.

Professor: Você pode vir ao quadro desenhar a solução?


Professor: Como vocês esquematizaram a solução? Vocês fizeram o desenho

direto ou usaram outra maneira para a resolução dessa questão?

Aluno: Primeiro simulamos o jogo com a Torre de Hanói, depois anotamos os

movimentos que foram realizados com as peças e, finalmente, desenhamos os

movimentos.

Movimentos realizados:




O professor distribui as folhas contendo a tarefa 5.

5. E com apenas uma única peça, qual seria o número mínimo de movimentos a

serem realizados?

Professor: Vocês sabem qual seria a resposta?

Aluno: 1 movimento.

Professor: Por quê?

Aluno: Porque temos apenas uma única peça para mudar de pino.

Professor: Excelente explicação! Vamos para a próxima tarefa!


Neste momento, são distribuídas as folhas contendo a tarefa 6.

6. Construa uma tabela, registrando o número de peças utilizadas e o número

mínimo de movimentos investigados nos itens 1, 2, 3, 4 e 5.

Professor: Essa tabela deve conter duas colunas. Em uma delas vocês devem

registrar o número de peças de cada torre, representando pela letra P e, na

outra, o número mínimo de movimentos, representando pela letra M.

Aluno: Estes valores nós vamos retirar das atividades anteriores. É isso mesmo,

professor?

Professor: Sim. Vou dar um tempo para vocês construírem a tabela.


Professor: Já terminaram de construir a tabela?

Aluno: Sim.

Professor: Você pode vir ao quadro desenhar a sua tabela?

Aluno: Já estou indo.

Nº DE PEÇAS

DE CADA

TORRE (P)

Nº MÍNIMO DE

MOVIMENTOS

(M)

1 1

2 3

3 7

4 15

5 31

Professor: Você poderia nos explicar os dados da tabela?

Aluno: Sim, professor! Na primeira coluna nós representamos o número de peças

de cada torre e na segunda coluna o número mínimo de movimentos para

transportar a torre. Quando temos a torre com uma peça é necessário apenas um

movimento, com duas peças são necessários três movimentos, com três peças

temos um total de sete movimentos, com quatro peças serão quinze movimentos e

com cinco peças teremos 31 movimentos mínimos para transportar a torre da casa A

para a casa C.

Professor: Muito bem!

A seguir, o professor faz a distribuição das folhas com a tarefa 7.

7. Investigue a quantidade de movimentos de cada peça para transportar uma

torre de 1 peça, 2 peças, 3 peças, 4 peças e 5 peças. Acrescente os valores

encontrados em sua tabela.

Aluno: Eu não entendi muito bem, professor.

Professor: Você já fez a leitura?

Aluno: Sim, várias vezes.

Professor: Vocês devem registrar a quantidade de movimentos mínimos que

cada peça fez. Vou sugerir a vocês, um modelo de tabela e, então, vocês

completam.

Aluno: Certo.

P Quantidade de movimentos mínimos de cada peça M

Peça 1 Peça 2 Peça 3 Peça 4 Peça 5

1

2

3

4

5

O professor solicita o preenchimento da tabela, oportunizando tempo hábil

para isso.

Professor: Vocês já terminaram?

Aluno: Sim.

Professor: Alguém pode vir ao quadro preencher a tabela proposta por mim?

Aluno: Eu vou.


Peça 1 Peça 2 Peça 3 Peça 4 Peça 5

1 1 0 0 0 0 1

2 2 1 0 0 0 3

3 4 2 1 0 0 7

4 8 4 2 1 0 15

5 16 8 4 2 1 31

Professor: Muito bem, vamos para a tarefa 8.

O professor distribui as folhas referente a tarefa 8.

8. Observar as colunas da tabela referente à quantidade de movimentos das

peças 1, 2, 3, 4 e 5 e, em seguida, as linhas. Investigue o que é possível perceber

em relação a essas linhas e colunas.

Professor: Já chegaram a alguma conclusão?

Aluno: Ainda não.

Professor: Primeiramente, observem cada linha da tabela. O que acontece

com os termos das linhas?

Aluno: Estão diminuindo.

Professor: Isso mesmo! Estão decrescendo. Em qual razão?

Aluno: Professor, olhando a última linha é possível perceber que o segundo número

é a metade do anterior. Por exemplo: 8 é a metade de 16; 4 é a metade de 8; e

assim, sucessivamente.

Professor: Muito bem! Então podemos dizer que esses termos estão

decrescendo em razão 2, pois 16/8 = 2. O que mais vocês perceberam?

Aluno: Está difícil, professor!

Professor: O que acontece se somarmos os termos de cada linha?

Aluno: Agora ficou fácil.

16+8+4+2+1=31

Somando todos os termos da última linha, obtemos a quantidade mínima de

movimentos.

Professor: Exatamente! Isso acontece em todas as linhas?


Professor: Você pode vir ao quadro registrar seus cálculos?

Aluno: Sim.

1+0+0+0+0=1

2+1+0+0+0=3

4+2+1+0+0=7

8+4+2+1+0=15

16+8+4+2+1=31

Professor: Certo! Podemos então concluir que a quantidade mínima de

movimentos para cada número de peças é a soma dos termos das respectivas

linhas (soma da PG). Vamos à tarefa 9.

Neste momento, o professor pode abordar o conceito de progressão

geométrica de forma superficial.

Em seguida, distribui as folhas referente a tarefa 9.

9. Em quanto aumentaria a quantidade de movimentos, acrescentando uma

peça à torre?

Professor: Chegaram a alguma conclusão?

Aluno: Ainda não, professor!

Professor: Observem o que acontece com os números da coluna referente à

peça 1. O que vocês podem perceber?

Aluno: O número da segunda linha é o dobro da primeira, o número da terceira linha

é o dobro da segunda, o número da quarta linha é o dobro da terceira e o número da

quinta linha é o dobro da quarta.

Professor: E se existisse mais uma linha, qual seria o número de movimentos

para a peça 1 da torre?

Aluno: Seria o dobro, professor?

Professor: Exatamente. Então, quanto seria?

Aluno: Trinta e dois.

Professor: Então, qual seria a quantidade total de movimentos, para

transportar as seis peças, da casa A para a casa C?

Aluno: Está difícil.

Professor: Vou dar uma dica. Se na tabela vocês acrescentarem na coluna do

número de peças de cada torre o número 6 ficará mais fácil de analisar.

Aluno: É mesmo professor!

Professor: Vou esperar mais um pouco, podem tentar encontrar uma solução.

Aluno: Acho que conseguimos. A resposta seria 63 movimentos?

Professor: Você pode vir ao quadro apresentar sua solução e dar uma

explicação a essa tarefa?

Aluno: Sim. Primeiro, preenchemos a tabela, acrescentando a peça 6.


Peça 1 Peça 2 Peça 3 Peça 4 Peça 5 Peça 6

1 1 0 0 0 0 0 1

2 2 1 0 0 0 0 3

3 4 2 1 0 0 0 7

4 8 4 2 1 0 0 15

5 16 8 4 2 1 0 31

6 32 16 8 4 2 1 63

Analisando a tabela, podemos perceber que a quantidade mínima de

movimentos fica multiplicada por 2, em relação à quantidade mínima de movimentos

anterior.

Professor: Muito bem!

Neste momento, são distribuídas as folhas referente a tarefa 10,

oportunizando um tempo para que ocorram as discussões entre as duplas.

10. Analisando os dados registrados em sua tabela, investigue a diferença entre a

quantidade de movimento para cada número de peças. A diferença encontrada

representa sempre uma potência de que base? O que representa os expoentes

destas potências?

Professor: Já investigaram a diferença entre a quantidade de movimento para

cada número de peças?

Aluno: Isso é fácil! O problema são as outras questões.

Professor: Você poderia registrar seus cálculos no quadro?

Aluno: Sim.

3 – 1 = 2

7 – 3 = 4

15 – 7 = 8

31 – 15 = 16

Professor: Certo! Agora tente representar os resultados em forma de potência.

Aluno: Agora entendi!

Professor: Então, vamos lá. Vá resolvendo e registrando nessa mesma tabela.

Aluno:

3 – 1 = 2 = 21

7 – 3 = 4 = 22

15 – 7 = 8 = 23

31 – 15 = 16 = 24

Professor: Então, a diferença encontrada representa sempre uma potência de

que base?

Aluno: Uma potência de base 2.

Professor: Correto! O que representa os expoentes destas potências?

Aluno: Seria o número de peças da torre?

Professor: É isso mesmo!

O professor distribui as folhas referente a tarefa 11, oportunizando um

tempo para que ocorram as discussões entre as duplas. Após isso, o professor

faz uma orientação para um melhor entendimento da tarefa.

11. Realize uma investigação para encontrar uma relação entre a quantidade

mínima de movimentos e o número de peças utilizadas.

Professor: Conseguiram chegar a alguma conclusão?

Aluno: Não tenho nem idéia.

Professor: Vocês devem pensar no número de peças de cada torre (P) e o

número mínimo de movimentos (M) necessários para transportar a torre.

Aluno: Professor, observando a tabela da atividade 9, se a gente fizer a subtração

dos números que representam o número mínimo de movimentos, ficamos com:

3 – 1 = 2

7 – 3 = 4

15 – 7 = 8

31 – 15 = 16

63 – 31 = 32

Isso tem alguma coisa haver com essa relação?

Professor: Façam a fatoração desses resultados e procurem representá-los em

forma de potência.


Professor: Já conseguiram terminar?

Aluno: Sim.

Professor: Você pode vir ao quadro nos mostrar sua resolução?

Aluno: Já vou, professor!

2 = 21

4 = 2 . 2 = 22

8 = 2 . 2 .2 = 23

16 = 2 . 2 . 2 . 2 = 24

32 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 =25

Professor: Muito bem! Está correto. Agora o que podemos fazer para

obtermos uma relação entre a quantidade mínima de movimentos e o número

de peças utilizadas?

Aluno: Está difícil!

Professor: Então vou sugerir uma tabela para vocês preencherem, o que irá

facilitar encontrar a solução para essa tarefa.

O professor sugere a tabela que segue e solicita aos alunos que a

completem:

Nº de peças de cada

torre (P)

Nº mínimo de

movimentos (M)

Generalização

matemática

1 1 21

2 3 22

3 7 ...

4 15 ...

5 31 ...

6 63 ...

Professor: Quais cálculos devemos fazer com os números da última coluna da

tabela para obtermos o número mínimo de movimentos? O que representa o

expoente das potências? Vocês conseguem perceber? Primeiramente seria

melhor vocês completarem a tabela.

Aluno: Posso ir ao quadro terminar de completar a tabela, professor?

Professor: Com certeza.

Aluno: Então, vamos completar a tabela com as potências:

Nº de peças de

cada torre (P)

Nº mínimo de

movimentos (M)

Generalização

matemática

1 1 21

2 3 22

3 7 23

4 15 24

5 31 25

6 63 26

Observando as potências é possível perceber que os expoentes das

potências representam o número de peças de cada torre. É isso mesmo, professor?

Professor: É isso mesmo. E então, quais cálculos devemos fazer com os

números da última coluna da tabela para obtermos o número mínimo de

movimentos?

Aluno: Professor, se fizermos a conta 26 = 64, se diminuirmos 1, ficamos com 64 – 1

= 63, que é o número mínimo de movimentos.

Professor: Será que isso dá certo para todos? Vamos tentar?

O professor aguarda mais alguns minutos para que os alunos consigam

resolver.

Professor: Já terminaram? Alguém pode vir ao quadro completar a última

coluna com a generalização matemática dessa situação?

Aluno: Eu vou.

Nº de peças de

cada torre (P)

Nº mínimo de

movimentos (M)

Generalização matemática

1 1 21 – 1 = 1

2 3 22 – 1 = 3

3 7 23 – 1 = 7

4 15 24 – 1 = 15

5 31 25 – 1 = 31

6 63 26 – 1 = 63

Professor: Então, qual seria a relação entre a quantidade mínima de

movimentos e o número de peças utilizadas?

Aluno: Ficou fácil! 63 = 26 – 1, então: M = 2p – 1.

Professor: A essa relação denominamos de lei de formação.

Em seguida, o professor distribui as folhas referente a tarefa 12,

oportunizando um tempo para que as duplas encontrem uma solução.

12. Investigue qual seria a quantidade mínima de movimentos necessários para

transportar a torre, se ao invés de 5 peças tivéssemos 9, como é mais comum

nesse jogo.

Professor: Se vocês usarem a lei de formação obtida na tarefa anterior torna-

se fácil resolver. Conseguiram?

Aluno: Só mais um instante.

Professor: E agora, terminaram?

Aluno: Já, professor!

Professor: Pode vir ao quadro?

Aluno: Já estou indo, professor!

M = 2p – 1

M = 29 – 1

M = 512 – 1 = 511

R: 511 movimentos.

Professor: Excelente!

Agora são distribuídas as folhas referente a tarefa 13. O tempo

oportunizado para essa tarefa será bem maior, devido ao grau de dificuldade do

problema.

13. Investigar qual seria a quantidade mínima de movimentos para transportar

uma torre com 64 peças, como no problema original de Édouard Lucas.

Professor: Já conseguiram resolver?

Aluno: Professor, como nós vamos resolver a potência 264?

Professor: Que tal usarmos uma calculadora científica?

Aluno: Está bem! Vamos tentar.

Professor: Pode vir ao quadro, para resolvermos juntos?

Aluno: Estou indo, professor!

M = 2p – 1

M = 264 – 1

M = 1,844674407 x 1019 – 1 = 18446744070000000000 – 1

M = 18 446 744 073 709 551 615

R: 18 446 744 073 709 551 615 movimentos.

Este seria o momento oportuno para se trabalhar com a seguinte lenda:

Em uma de suas obras, Malba Tahan (1974, p. 140) afirma que são

necessários para o transporte dos 64 discos, nada menos que 18 446 744 073 709

551 615 movimentos, necessitando de 584 942 417 355 anos de trabalho

ininterrupto, a um movimento por segundo. O mundo duraria então, mais de 584

milhões de séculos. Isto seria uma previsão otimista para o fim do mundo,

segundo o autor, pois, afirma ele “os astrônomos mais cautelosos, com suas

teorias e seus cálculos, acreditam que o Sol dentro de poucos milhões de séculos

deixará de irradiar luz e calor” (TAHAN; 1974, p. 141).

1.6.2 JOGO: PONTO A PONTO

O jogo intitulado “Ponto a Ponto” é uma adaptação do jogo “Sobrou Resto!”.

Esse jogo é capaz de desencadear um processo de aprendizagem de matemática,

despertando o interesse do aluno pelo conteúdo matemático de forma lúdica.

Para a realização desse jogo, os alunos serão organizados em equipes de 4

alunos. Os materiais utilizados serão: um dado convencional para cada equipe e

uma tabela de pontuação, contendo a pontuação de cada jogador para cada jogada.

Nesse jogo, as regras a serem seguidas são:

1. Em cada rodada, o jogador deve fazer a escolha de um número natural de

6 a 19;

2. O jogador deve comunicar o número escolhido aos demais integrantes da

sua equipe e, em seguida, lançar o dado;

3. O número escolhido deve ser dividido mentalmente pelo número obtido no

lançamento do dado;

4. Se a divisão der exata, o jogador perde um ponto; se sobrar resto, o

jogador ganha um ponto;

5. Vence o jogo aquele que acumular mais pontos ao término de dez

jogadas.

Exemplos de jogadas:

- Número escolhido pelo jogador A: 13.

- Número obtido no dado: 5.

- Divisão mental: 13: 5 = 2 e resto = 3.

- O jogador A marca um ponto na tabela.

- Número escolhido pelo jogador B: 12.

- Número obtido no dado: 3.

- Divisão mental: 12: 3 = 4 e resto 0.

- O jogador B perde um ponto.

As pontuações obtidas deverão ser registradas em uma tabela, como a que

segue.

JOGADA PONTUAÇÃO JOGADOR A

PONTUAÇÃO JOGADOR B

PONTUAÇÃO JOGADOR C

PONTUAÇÃO JOGADOR D

1 +1 -1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

SALDO DE PONTOS

Ao final das dez jogadas, cada equipe será responsável por calcular o saldo

de pontos de cada jogador, determinando assim, o vencedor.

No decorrer das jogadas, os alunos começam a perceber que determinados

números não são boas opções de escolha, ou seja, são números que dificilmente

fazem sobrar resto na operação realizada. Então, os alunos passam a excluir os

números que dificilmente possibilitam sucesso nas jogadas. Construindo uma tabela

com os números de 6 a 19 e os respectivos números do dado que fazem sobrar

resto, é possível uma melhor visualização da situação.

POSSIBILIDADES DE RESTOS

6 : 1 = 6; Resto: 0

6 : 2 = 3; Resto: 0

6 : 3 = 2; Resto: 0

6 : 4 = 1; Resto: 2

6 : 5 = 1; Resto: 1

6 : 6 = 1; Resto: 0

7 : 1 = 7; Resto: 0

7 : 2 = 3; Resto: 1

7 : 3 = 2; Resto: 1

7 : 4 = 1; Resto: 3

7 : 5 = 1; Resto: 2

7 : 6 = 1; Resto: 1

8 : 1 = 8; Resto: 0

8 : 2 = 4; Resto: 0

8 : 3 = 2; Resto: 2

8 : 4 = 2; Resto: 0

8 : 5 = 1; Resto: 3

8 : 6 = 1; Resto: 2

9 : 1 = 9; Resto: 0

9 : 2 = 4; Resto: 1

9 : 3 = 3; Resto: 0

9 : 4 = 2; Resto: 1

9 : 5 = 1; Resto: 4

9 : 6 = 1; Resto: 3

10: 1 = 10 Resto: 0

10: 2 = 5 Resto: 0

10: 3 = 3 Resto: 1

10: 4 = 2 Resto: 2

10: 5 = 2 Resto: 0

10: 6 = 1; Resto: 4

11: 1 = 11 Resto: 0

11: 2 = 5 Resto: 1

11: 3 = 3 Resto: 2

11: 4 = 2 Resto: 3

11: 5 = 2 Resto: 1

11: 6 = 1; Resto: 5

12: 1 = 12; Resto: 0

12: 2 = 6; Resto: 0

12: 3 = 4; Resto: 0

12: 4 = 3; Resto: 0

12: 5 = 2; Resto: 2

12: 6 = 2; Resto: 0

13: 1 = 13; Resto: 0

13: 2 = 6; Resto: 1

13: 3 = 4; Resto: 1

13: 4 = 3; Resto: 1

13: 5 = 2; Resto: 3

13: 6 = 2; Resto: 1

14: 1 = 14; Resto: 0

14: 2 = 7; Resto: 0

14: 3 = 4; Resto: 2

14: 4 = 3; Resto: 2

14: 5 = 2; Resto: 4

14: 6 = 2; Resto: 2

15: 1 = 15; Resto: 0

15: 2 = 7; Resto: 1

15: 3 = 5; Resto: 0

15: 4 = 3; Resto: 3

15: 5 = 3; Resto: 0

15: 6 = 2; Resto: 3

16: 1 = 16; Resto: 0

16: 2 = 8; Resto: 0

16: 3 = 5; Resto: 1

16: 4 = 4; Resto: 0

16: 5 = 3; Resto: 1

16: 6 = 2; Resto: 4

17 : 1 = 17; Resto: 0

17: 2 = 8; Resto: 1

17: 3 = 5; Resto: 2

17: 4 = 4; Resto: 1

17: 5 = 3; Resto: 2

17: 6 = 2; Resto: 5

18: 1 = 18; Resto: 0

18: 2 = 9; Resto: 0

18: 3 = 6; Resto: 0

18: 4 = 4; Resto: 2

18: 5 = 3; Resto: 3

18: 6 = 3; Resto: 0

19: 1 = 19; Resto: 0

19: 2 = 9; Resto: 1

19: 3 = 6; Resto: 1

19: 4 = 4; Resto: 3

19: 5 = 3; Resto: 4

19: 6 = 3; Resto: 1

Analisando a tabela acima podemos observar os números obtidos no dado

que possibilitam sobrar resto e marcar ponto, garantindo sucesso nas jogadas.

Assim, podemos elaborar uma tabela associando o número escolhido com os

números no dado que fazem marcar ponto, como a que segue.

Número escolhido Números obtidos no dado que possibilitam

sobrar resto e marcar ponto

6 e 18 4 e 5

7,11,13,17 e 19 2,3,4,5 e 6

8 e 16 3,5 e 6

9 2,4,5 e 6

10 3,4 e 6

12 5

14 3,4,5 e 6

15 2,4 e 6

Observando os dados acima, é possível perceber, por exemplo, que, ao

escolher o número 8, só será possível marcar um ponto se no dado aparecer um dos

números: 3, 5 ou 6. Já, se o número escolhido na jogada for o 12, somente sobrará

resto, se no dado aparecer o 5. Portanto, comparando as possibilidades para os

números 8 e 12, o mais conveniente é escolher o número 8, pois haverá mais

chance de sobrar resto. Partindo dessa análise, poderemos introduzir ou reforçar o

conceito de probabilidade, chegando a seguinte tabela:

Número escolhido em cada

jogada

Número de chances ao lançar

o dado, considerando o total

de possibilidades do dado (6)

Probabilidade de “marcar

ponto” (em%)

7,11,13,17 ou 19 5 em 6 83,3%

9 ou 14 4 em 6 66,6%

8,10,15 ou 16 3 em 6 50%

6 ou 18 2 em 6 33,3%

12 1 em 6 16,6%

TAREFA INVESTIGATIVA JOGO PONTO A PONTO2:

2 Adaptado de RIBEIRO, Flávia Dias. Jogos e Modelagem na Educação Matemática. São Paulo:

Saraiva, 2009. 124 p.

1. Ao escolher o número 8 só será possível marcar um ponto se no dado

aparecer qual (is) número (s)?

2. Se o número escolhido na jogada for o 12 só será possível marcar um

ponto se no dado aparecer qual (is) número (s)?

3. Analisando as respostas das investigações 1 e 2, qual número é mais

conveniente escolher? Justifique sua resposta.

4. Dos números 6 ao 19, investigue qual (is) dele (s) você não deve escolher,

se quiser ter mais chances de ser um vencedor. Quais características podem ser

identificadas nesses números?

5. Ao escolher números de 6 ao 19, investigue qual (is) dele (s) apresenta (m)

menor chance de marcar ponto ao lançar o dado. Comente o seu procedimento

para obter a resposta.

6. Se o número escolhido em uma jogada for o 11, investigue qual seria o

número de chances ao lançar o dado, considerando o total de possibilidades do

dado.

7. Faça a mesma investigação da tarefa 6 para os demais números, ou seja,

do 6 ao 19. Qual é a probabilidade de marcar ponto (em %) para cada número

escolhido em cada jogada.

ENCAMINHAMENTO DO TRABALHO EM SALA DE AULA

Inicialmente, o professor fará uma explanação a respeito do jogo “Ponto a

Ponto”, esclarecendo que ele é uma adaptação do jogo “Sobrou Resto!” e, ainda,

explicará sua composição, os objetivos, bem como as suas regras.

Em seguida, o professor organizará a turma em grupos de 4 alunos que seria

a quantidade ideal nesse tipo de jogo, proporcionando o compartilhamento de

ideias entre os alunos durante a atividade.

Então, o professor distribui o material do jogo para que os alunos possam

manuseá-lo, experimentando-o por meio de simulações de possíveis jogadas, para

que ocorra a familiarização com o mesmo. Logo após, o professor realiza a leitura

das regras do jogo com os alunos, esclarecendo possíveis dúvidas.

O professor proporcionará um tempo para que ocorra o jogo espontâneo, o

que possibilitará a eles compreender as regras. Após essa etapa, existe a

necessidade de se trabalhar com os conteúdos critérios de divisibilidade, divisão

exata e não exata, para depois serem propostas as atividades investigativas desse

jogo aos alunos.

Antes da etapa “jogar com competência”, serão desenvolvidas, com o auxílio

do professor, as tarefas. O professor distribui as folhas com a tarefa 1, e os alunos

passam a jogar com as intervenções orais do professor durante o movimento do

jogo.

1. Ao escolher o número 8 só será possível marcar um ponto se no dado

aparecer qual (is) número (s)?

Professor: Vocês conseguiram compreender a primeira tarefa investigativa?


Professor: Então, já pensaram nas possibilidades de marcar ponto quando a

escolha for pelo número 8?

Aluno: Ainda não, só mais um pouco de tempo.

Professor: Já discutiram quais seriam as possibilidades?

Aluno: Sim, escolhendo o número 8 será possível marcar ponto se no dado

aparecer os números 3, 5 e 6. Observando as divisões do 8 pelos números

possíveis de aparecer no dado, teremos:

8 : 1 = 8; Resto: 0

8 : 2 = 4; Resto: 0

8 : 3 = 2; Resto: 2

8 : 4 = 2; Resto: 0

8 : 5 = 1; Resto: 3

8 : 6 = 1; Resto: 2

Fica fácil perceber com quais números sobra resto: nas divisões pelos

números 3, 5 e 6.

Em seguida, o professor distribui as folhas contendo a tarefa 2 e determina

um tempo para que os alunos compartilhem suas ideias.

2. Se o número escolhido na jogada for o 12 só será possível marcar um

ponto se no dado aparecer qual (is) número (s)?

Professor: Já conseguiram chegar a um consenso a respeito dessa questão?


Professor: Então, já pensaram nas possibilidades de marcar ponto quando o

número escolhido for o 12?

Aluno: Sim, só é possível marcar ponto se aparecer no dado o número 5. Vejam:

12: 1 = 12; Resto: 0

12: 2 = 6; Resto: 0

12: 3 = 4; Resto: 0

12: 4 = 3; Resto: 0

12: 5 = 2; Resto: 2

12: 6 = 2; Resto: 0

No restante das divisões, o resto sempre é zero.

Professor: Então, é aconselhável escolher o número 12, se quisermos ganhar

o jogo? Por quê?

Aluno: Não, professor! Porque só temos uma única chance de marcar ponto.

Imediatamente, o professor distribui as folhas contendo a tarefa 3 e

determina um tempo para que os alunos reflitam sobre a mesma.

3. Analisando as respostas das investigações 1 e 2, qual número é mais

conveniente escolher? Justifique sua resposta.

Aluno: Essa é muito fácil, professor!

Professor: É mesmo? Então qual é sua resposta?

Aluno: O número mais conveniente escolher é o 8, pois existem 3 possibilidades de

marcar ponto, enquanto que para o número 12 teremos uma única chance.

Neste momento, o professor distribui as folhas contendo a tarefa 4,

determinando um tempo maior para que os alunos possam realizar a investigação

proposta e apresentar uma solução.

4. Dos números 6 ao 19, investigue qual (is) dele (s) você não deve

escolher, se quiser ter mais chances de ser um vencedor. Quais características

podem ser identificadas nesses números?

Aluno: Agora vai ser mais trabalhoso. Precisamos de um tempo maior, professor!

Professor: Tudo bem! Então, vamos dar início a essa investigação.

Aluno: Professor, nessa tarefa podemos fazer assim?: cada grupo verifica os restos

de dois números e, depois, em um grupo maior, analisamos a resposta para essa

tarefa.

Professor: Pode ser, mas depois de verificarem os restos, podemos registrar

no quadro quantas e quais são as possibilidades de marcar ponto, em forma

de tabela. Depois fazemos a discussão no grande grupo. Certo? Então,

vamos iniciar as investigações.

Aluno: Certo, professor!

Professor: Agora que já terminaram, cada grupo pode vir ao quadro expor as

possibilidades de restos para cada número investigado.

Aluno (grupo 1):

6 : 1 = 6; Resto: 0

6 : 2 = 3; Resto: 0

6 : 3 = 2; Resto: 0

6 : 4 = 1; Resto: 2

6 : 5 = 1; Resto: 1

6 : 6 = 1; Resto: 0

7 : 1 = 7; Resto: 0

7 : 2 = 3; Resto: 1

7 : 3 = 2; Resto: 1

7 : 4 = 1; Resto: 3

7 : 5 = 1; Resto: 2

7 : 6 = 1; Resto: 1

Quando o número escolhido for 6 os números do dado que possibilitam sobrar

resto e marcar ponto são 4 e 5. E para o número 7 são: 2, 3, 4, 5 e 6.

Representando os resultados em uma tabela teremos:

Número escolhido Números do dado que possibilitam


6 4 e 5

7 2,3,4,5 e 6

Aluno (grupo 2):

8 : 1 = 8; Resto: 0

8 : 2 = 4; Resto: 0

8 : 3 = 2; Resto: 2

8 : 4 = 2; Resto: 0

8 : 5 = 1; Resto: 3

8 : 6 = 1; Resto: 2

9 : 1 = 9; Resto: 0

9 : 2 = 4; Resto: 1

9 : 3 = 3; Resto: 0

9 : 4 = 2; Resto: 1

9 : 5 = 1; Resto: 4

9 : 6 = 1; Resto: 3

Quando escolhemos o número 8 os números do dado que possibilitam sobrar

resto e marcar ponto são 3, 5 e 6. E para o número 9 são: 2, 4, 5 e 6.

Em forma de tabela:



8 3, 5 e 6

9 2, 4, 5 e 6

Aluno (grupo 3):

10: 1 = 10 Resto: 0

10: 2 = 5 Resto: 0

10: 3 = 3 Resto: 1

10: 4 = 2 Resto: 2

10: 5 = 2 Resto: 0

11: 1 = 11 Resto: 0

11: 2 = 5 Resto: 1

11: 3 = 3 Resto: 2

11: 4 = 2 Resto: 3

11: 5 = 2 Resto: 1

10: 6 = 1; Resto: 4 11: 6 = 1; Resto: 5

Número escolhido 10: os números que possibilitam marcar ponto são 3, 4 e 6.

Número escolhido 11: os números que possibilitam marcar ponto são 2, 3, 4,

5 e 6.

Nossa tabela:



10 3, 4 e 6

11 2, 3, 4, 5 e 6

Professor: Até agora todos estão corretos. Os próximos grupos podem

esquematizar como fez o grupo 3.

Aluno (grupo 4):

12: 1 = 12; Resto: 0

12: 2 = 6; Resto: 0

12: 3 = 4; Resto: 0

12: 4 = 3; Resto: 0

12: 5 = 2; Resto: 2

12: 6 = 2; Resto: 0

13: 1 = 13; Resto: 0

13: 2 = 6; Resto: 1

13: 3 = 4; Resto: 1

13: 4 = 3; Resto: 1

13: 5 = 2; Resto: 3

13: 6 = 2; Resto: 1

Número escolhido 12: o número que possibilita marcar ponto é o 5.


5 e 6.

Nossa tabela:



12 5

13 2, 3, 4, 5 e 6

Aluno (grupo 5):

14: 1 = 14; Resto: 0

14: 2 = 7; Resto: 0

14: 3 = 4; Resto: 2

14: 4 = 3; Resto: 2

14: 5 = 2; Resto: 4

14: 6 = 2; Resto: 2

15: 1 = 15; Resto: 0

15: 2 = 7; Resto: 1

15: 3 = 5; Resto: 0

15: 4 = 3; Resto: 3

15: 5 = 3; Resto: 0

15: 6 = 2; Resto: 3

Número escolhido 14: os números que possibilitam marcar ponto são 3, 4, 5 e

6.


Nossa tabela:



14 3, 4, 5 e 6

15 2, 4 e 6

Aluno (grupo 6):

16: 1 = 16; Resto: 0

16: 2 = 8; Resto: 0

16: 3 = 5; Resto: 1

16: 4 = 4; Resto: 0

16: 5 = 3; Resto: 1

16: 6 = 2; Resto: 4

17: 1 = 17; Resto: 0

17: 2 = 8; Resto: 1

17: 3 = 5; Resto: 2

17: 4 = 4; Resto: 1

17: 5 = 3; Resto: 2

17: 6 = 2; Resto: 5



5 e 6.

Nossa tabela:



16 3, 5 e 6

17 2, 3, 4, 5 e 6

Aluno (grupo 7):

18: 1 = 18; Resto: 0

18: 2 = 9; Resto: 0

18: 3 = 6; Resto: 0

18: 4 = 4; Resto: 2

18: 5 = 3; Resto: 3

18: 6 = 3; Resto: 0

19: 1 = 19; Resto: 0

19: 2 = 9; Resto: 1

19: 3 = 6; Resto: 1

19: 4 = 4; Resto: 3

19: 5 = 3; Resto: 4

19: 6 = 3; Resto: 1

Número escolhido 18: os números que possibilitam marcar ponto são 4 e 5.


5 e 6.

Nossa tabela:



18 4 e 5

19 2, 3, 4, 5 e 6

Professor: Todos estão corretos. Agora vamos responder: qual (is) dele (s)

você não deve escolher se quiser ter mais chances de ser um vencedor?

Quais características podem ser identificadas nesses números? Alguém já

tem as respostas para essas questões?

Aluno: Está difícil. Professor, se a gente fizer uma única tabela com todos esses

resultados, talvez possa ficar mais fácil de analisar.

Professor: Certo, então vamos fazer isso. Você está disposto a vir ao quadro

fazer isso?

Aluno: Sim, professor.

Número escolhido Números obtidos no dado que possibilitam


6 e 18 4 e 5

7,11,13,17 e 19 2,3,4,5 e 6

8 e 16 3,5 e 6

9 2,4,5 e 6

10 3,4 e 6

12 5

14 3,4,5 e 6

15 2,4 e 6

Professor: Qual (is) dele (s) você não deve escolher, se quiser ter mais

chances de ser um vencedor? Quais características podem ser identificadas

nesses números?

Aluno: O número 12 só sobrará resto se no dado aparecer o 5, então esse é um dos

que não podemos escolher se quisermos aumentar nossas chances de ser um

vencedor.

Professor: Isso mesmo! Seria apenas esse?

Aluno: Não, professor! Temos ainda os números 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16 e 18, que

não teremos as mesmas chances de vencer, comparados com os números 7, 11, 13,

17 e 19.

Professor: Você está certo! Vocês saberiam me dizer quais características

podem ser identificadas nesses números?

Aluno: Não, professor!

Professor: Então, vamos analisar!

Este é o momento oportuno para que o professor introduza o conteúdo

números pares, números ímpares e números primos, uma vez que os números

que apresentam menos chances de vencer são os números que não são primos.

Após, o professor conclui a análise com os alunos, fazendo-os perceber que os

números primos 7, 11, 13, 17 e 19 são os que apresentam maiores chances de

vencer.

Em seguida, o professor distribui as folhas contendo a tarefa 5.

5. Ao escolher números de 6 ao 19, investigue qual (is) dele (s) apresenta

(m) menor chance de marcar ponto ao lançar o dado. Comente o seu

procedimento para obter a resposta.

Professor: Como podemos descobrir qual(is) número(s) apresenta(m) menor

chance de marcar ponto ao lançar o dado?

Aluno: É fácil, professor! Basta olhar na tabela. É o número 12.

Professor: Por quê?

Aluno: Somente quando o número 5 aparecer no dado é que poderemos marcar

ponto, pois nesse caso o resto não será zero. Quando os números do dado forem 1,

2, 3, 4 e 6, o resto será zero, portanto não marcamos ponto. Veja:

12 : 1 = 12 Resto 0

12 : 2 = 6 Resto 0

12 : 3 = 4 Resto 0

12 :4 = 3 Resto 0

12 : 6 = 2 Resto 0

Professor: Muito bem, vamos para a próxima tarefa.

6. Se o número escolhido em uma jogada for o 11, investigue qual seria o

número de chances ao lançar o dado, considerando o total de possibilidades do

dado.

Aluno: Eu não entendi o que a tarefa está pedindo. Você pode nos explicar melhor?

Professor: Sim. Vocês podem olhar a tabela anterior e, então, responder qual

é o número de chances ao lançar o dado, considerando o total de

possibilidades do dado. Vale lembrar que o dado apresenta seis diferentes

possibilidades de números 1, 2, 3, 4, 5 e 6.

Aluno: Agora consegui entender.

Professor: Qual seria a resposta?

Aluno: Quando o número escolhido é o 11, os números que fazem marcar ponto

são 2, 3, 4, 5 e 6. Portanto, são 5 chances de um total de 6, ou seja, 5 em 6.

Professor: Exatamente. Vamos para a última tarefa.

Nesse momento, o professor distribui as folhas contendo a tarefa 7.

7. Faça a mesma investigação da tarefa 6 para os demais números, ou

seja, do 6 ao 19. Qual é a probabilidade de marcar ponto (em %) para cada

número escolhido em cada jogada.

Professor: Como vocês pensam em resolver essa tarefa?

Aluno: Podemos iniciar com os valores investigados na atividade anterior. Não

podemos?

Professor: Com certeza, e para encontrar a taxa percentual (%) vocês sabem

como fazer?

Aluno: Não, professor!

Este é o momento oportuno para o professor introduzir o conteúdo de

porcentagem, regra de três simples e noções de probabilidade para, em seguida,

utilizar a resposta da tarefa 6 para explicar como encontrar a taxa percentual,

através de um exemplo de aplicação, fundamental ao elaborar estratégias de jogo

que darão maiores possibilidades de ser um vencedor.

Por exemplo: Quando o número escolhido em uma jogada é o 11, os

números que fazem marcar ponto são 2, 3, 4, 5 e 6. Portanto, são 5 chances de

um total de 6, ou seja, 5 em 6.

Fazendo o cálculo para obter a taxa percentual, teremos:

6 --------- 100%

5 ---------- x %

6 . x = 5 . 100

6 . x = 500

x = 500 : 6

x = 83,3 %

Neste caso em que o número escolhido foi o 11 a probabilidade de marcar

ponto é de 83,3%. Podemos observar que a característica desse número é que

ele é um número primo e, esse tipo de número dá um número maior de

possibilidades de sobrar resto e marcar ponto.

Professor: Agora vocês já podem prosseguir com a investigação e depois

fazer o registro dos dados obtidos em uma tabela, contendo o número

escolhido em cada jogada, o número de chances ao lançar o dado e a

probabilidade de marcar ponto.

Aluno: Certo, professor!

Professor: Vocês já terminaram?

Aluno: Sim.

Professor: Você pode vir ao quadro e fazer o registro de sua tabela?

Aluno: Sim.

Número escolhido em cada jogada

Número de chances ao lançar o dado, considerando o total de possibilidades do dado (6)

Probabilidade de “marcar ponto” (em%)

7,11,13,17 ou 19 5 em 6 83,3%

9 ou 14 4 em 6 66,6%

8,10,15 ou 16 3 em 6 50%

6 ou 18 2 em 6 33,3%

12 1 em 6 16,6%

Professor: O que é possível perceber fazendo uma análise da tabela?

Aluno: Que a probabilidade de marcar ponto será maior quando os números

escolhidos forem 7, 11, 13, 17 ou 19. Neste caso, as chances de ser um vencedor

aumentam.

Professor: O que mais vocês perceberam?

Aluno: Os números 7, 11, 13, 17 e 19, que aumentam as chances de vencer o jogo

são primos, ou seja, são divisíveis apenas por 1 e por ele mesmo.

Professor: Qual o número que não é conveniente escolher, se quisermos ter

mais chances de vencer o jogo?

Aluno: O número 12, pois nesse caso a probabilidade de marcar ponto é de 16,6%

apenas.

Professor: Por quê? Alguém poderia me dizer?

Aluno: Porque o número 12 tem um número maior de divisores, em relação aos

outros.

Professor: Excelente!

Ao término das atividades os alunos irão jogar com “competência”. Nessa

etapa eles retornarão à ação do jogo, executando as estratégias definidas e

analisadas durante a resolução das situações-problema.

Ao final das dez jogadas, cada equipe será responsável por calcular o saldo

de pontos de cada jogador, determinando assim, o vencedor.

REFERÊNCIAS

GONÇALVES, Alex O. A Torre de Hanói em Sala de Aula. Revista do Professor de Matemática, nº 63, p. 16-18. São Paulo: 2007. GONÇALVES, Alex Oleandro; GONÇALVES, Claudia Cristine Souza Appel. A Torre de Hanói: um trabalho com investigações matemáticas, resolução de problemas e a calculadora. In: X CONGRESSO NACIONAL DE EDUCAÇÃO – EDUCERE, 2011, Curitiba. Anais... Curitiba: PUCPR, 2011. p. 13273-13284. GRANDO, R. C. O conhecimento matemático e o uso de jogos na sala de aula. 239 f. Tese (Doutorado em Psicologia Educacional) – Universidade Estadual de Campinas, Campinas, 2000. RIBEIRO, Flávia Dias. Jogos e Modelagem na Educação Matemática. São Paulo: Saraiva, 2009. 124 p. TAHAN, Malba. O Jogo do Bicho à luz da Matemática. Curitiba: Grafipar, 1974. UFRGS.Torre de Hanoi.2005.Disponível em: http://www6.ufrgs.br/psicoeduc/hanoi/. Acesso em: 20 nov.2012. WATANABE, R. Uma lenda: Torre de Hanói. In: Druck, S. (org). Explorando o ensino da Matemática: atividades. v.2. Brasília: Ministério da Educação, Secretaria de Educação Básica, 2004. p. 132-135.

http://www6.ufrgs.br/psicoeduc/hanoi/

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PEDAGÓGICA - diaadiaeducacao.pr.gov.br · por Grando (2000) que, resumidamente, são: familiarização com o material do jogo, reconhecimento das regras, jogar para garantir regras,