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Movimento Oscilatório de um Pêndulo Físico

Acadêmicos: Erick Soares Fernandes Oliveira¹, Fernanda Barreto, Vanessa Peter².

Prof. Pedro Dorneles Universidade Federal do Pampa

Travessa 45, n°1650 - Bairro Malafaia - Bagé - RS - CEP: 96413-170

Email: erickfernandes@live.fr¹, vanessinha-peter@ibest.com.br².

Resumo: Esse experimento tem como objetivo estudar o Movimento Oscilatório de um

Pêndulo Físico para posterior constatação do comportamento dinâmico de um corpo

suspenso, bem como para a análise das medidas de grandezas físicas. Foram utilizados

dados obtidos pela vídeo análise e também pelo sensor Photogate, calculando à partir desses

a aceleração gravitacional local. A variação da Energia Mecânica total foi analisada,

percebendo que ela não é constante e tende a zero. Assim, o movimento de um Pêndulo

Físico comporta-se como uma oscilação amortecida.

Palavras chave: Movimento Harmônico, MHS, Pêndulo Físico, Aceleração da Gravidade.

Introdução

Seja um sistema em situação de equilibro

estável. Quando esse sistema é levemente

afastado dessa situação e liberado, passa a

executar um movimento periódico ou

oscilatório em torno da posição de equilíbrio,

chamado de Movimento Harmônico Simples

(MHS), se não existirem forças dissipativas.

Chama-se Pêndulo Físico, qualquer corpo

rígido suspenso por um ponto P, que realiza

um movimento oscilatório num plano

vertical, em torno de um eixo horizontal

passando por P.

Para pequenas oscilações um Pêndulo Físico

realiza um movimento periódico. A

expressão abaixo mostra que o Período da

Oscilação (T) está relacionado como

movimento de Inércia (I) do corpo em

relação ao eixo de rotação, à massa total

(M) e a distância (d) entre o ponto de

suspensão e o centro de massa (CM).

O Pêndulo Físico é usado para medidas

precisas da Aceleração da Gravidade (g).

A relação do período do pêndulo pode ser

usada também para determinar o momento

de Inércia de qualquer formato. As demais

grandezas devem ser conhecidas ou

medidas apropriadamente.

O momento de Inércia (I) em torno de um

eixo passando por P, paralelo ao eixo que

passa pelo cento de massa que, por sua vez,

é perpendicular à peça retangular, é dado

pelo Teorema do Eixo Paralelo, cuja equação

é:

Onde:

Icm – momento de Inércia em torno de um

eixo perpendicular ao plano do objeto e que

passa pelo seu Centro de Massa;

M – massa da placa usada;

x – distância entre o ponto de apoio e o

centro de massa.

Figura 1 – Pêndulo Físico

(1)

(2)

2

Procedimento Experimental

Lista de Equipamentos

Cano PVC com orifícios

Suporte para laboratório com rebite

Rebite

Sensor Fotoelétrico

Cronômetro digital

Paquímetro

Trena Milimetrada

Câmera Digital

Programa de Video Análise:

Logger Pró

Programa de Análise de Dados:

Origin 6.0

Calculadora Científica

Notebook

Descrição do Procedimento

O equipamento utilizado nesse experimento

é um suporte com eixo horizontal, no qual é

pendurado um tubo de PVC, com 11 furos,

sendo o centro de massa o 11º furo e tendo

entre eles uma distancia de

aproximadamente 5,0 cm cada furo. A

distância do CM até o primeiro furo

analisado é de 5,0 cm

O tubo é levemente afastado de sua posição

de equilíbrio, formando um ângulo menor do

que 5º, liberamos o mesmo para oscilar, o

pêndulo foi solto no mesmo instante em que

acionamos o cronômetro manual, enquanto

o sensor fotoelétrico captava os tempos em

10 oscilações, obtivemos o período de

oscilação, repetimos este procedimento para

cada orifício e então fizemos as médias dos

valores de Período encontrados para cada

orifício.

O procedimento experimental foi realizado

da seguinte forma:

1) Com o auxílio de uma trena milímetrada

mediu-se o comprimento total do cano

e a distância entre cada orifício e o

centro de massa.

2) Mediram-se os valores dos raios interno

e externo do cano.

3) Pendurou-se o pêndulo pelo furo mais

próximo ao centro de massa a oscilar

numa amplitude pequena.

4) Para cada furo, obteve-se um vídeo das

oscilações

5) Através dos vídeos, realizou-se a analise

dos dados com o auxílio do Software

Logger Pro.

6) Para a obtenção dos gráficos utilizou-se

o Software Origin.

Dados

Tabela 1 - Dados do Pêndulo Físico

A tabela 1 apresenta dos dados

experimentais obtidos a partir do Pêndulo

Físico; e assim foi realizado o cálculo do

Momento de Inércia para cada um dos

orifícios analisados, através da expressão:

O momento de inércia mede a distribuição

da massa de um corpo em torno de um eixo

de rotação. Quanto maior for o momento de

inércia de um corpo, mais difícil será fazê-lo

girar.

Com o cálculo do Momento de Inércia

realizado (3), utilizamos a expressão abaixo

para calcular o valor experimental dos

Períodos

O Período é o intervalo de tempo decorrido

entre duas passagens consecutivas do

móvel pelo mesmo ponto da trajetória, com

as mesmas características, levando em

consideração o momento de Inércia de cada

orifício em relação à força g que é aplicada

na extensão deste orifício até o CM.

Simbolo Medida Unidade

Raio Interno R1 0,0216 m

Raio Externo R2 0,0135 m

Comprimento da Haste L 1,01 m

Comprimento do CM até a extremidade CM 0,51 m

(3)

(4)

3

Após o cálculo do período, foi necessário

encontrar uma expressão para que fosse

exercida sobre o Pêndulo Físico em cada

Período de oscilação.

Com a análise realizada, pode-se então

montar uma tabela comparativa dos

dados. (tabela 2).

Resultados e Discussões

Com a determinação da Aceleração da

Gravidade (g) através dos dados

experimentais, constatou-se que a partir

do valor teórico já conhecido que esta

medida é de 9,81 m/s² e que os desvios

padrão para as medidas foram:

Vídeo Análise: 9,81 ± 0,38 m/s².

Photogate: 9,81 ± 0,36 m/s².

Tabela 2 – Dados do Período e Aceleração da Gravidade

O gráfico 1, foi obtido dispondo-se dos dados

referentes ao Período obtido pela vídeo análise,

e as respectivas distâncias ao Centro de Massa.

Gráfico 1 – Período - Vídeo Análise– Logger Pro

A disposição dos pontos experimentais

neste gráfico já era esperada, pois em um

Pêndulo Físico quanto mais próximo o pivô

estiver do Centro de Massa, menor será o

período; em contrapartida após este ponto

o período torna aumentar. Portanto, a

disposição dos pontos tende a formar uma

parábola.

Do mesmo modo, elaborou-se o gráfico 2

para que fosse possível a visualização do

comportamento do Período nos orifícios

avaliados.

Gráfico 2 – Período – Photogate - Logger Pro

Obteve-se o gráfico 3, correlacionando os

valores dos Períodos obtidos na Vídeo

Análise e Photogate, com as respectivas

distâncias ao Centro de Massa.

Gráfico 3 – Comparativo de Períodos – Logger Pro

Percebe-se neste gráfico que os pontos

referentes à Vídeo Análise e Photogate

ficaram bem próximos. Porém, há uma

margem de erros, devido a fatores

experimentais.

Através do gráfico 3, pode-se observar

ainda que o menor valor do Período (T) se

dá quando o pivô está localizado na

metade da distância entre a extremidade e

o Centro de Massa. Essa distância

corresponde a 30,0 (cm) e os períodos são

1,5324 segundos de acordo com a Vídeo

(5)

Centro de

Massa

(m)

Período TeóricoPeríodo

Video Análise

Aceleração da

Gravidade (cm/s²)

Período

Photogate

Aceleração da

Gravidade (cm/s²)

0,05 2,6497 2,6564 8,785 2,669 9,185

0,10 1,9618 1,9570 9,872 1,972 8,748

0,15 1,6955 1,6996 9,784 1,7068 9,728

0,20 1,5901 1,5870 9,667 1,5957 9,704

0,25 1,5412 1,5418 9,965 1,5381 9,858

0,30 1,5335 1,5324 10,034 1,5267 9,890

0,35 1,5397 1,5453 9,974 1,5451 9,812

0,40 1,5663 1,5707 9,648 1,5623 9,914

0,45 1,5915 1,6039 9,731 1,599 9,871

0,50 1,6303 1,6425 9,822 1,6375 9,870

Médias 1,7301 1,73366 9,7282 1,73522 9,658

Video Análise Photogate

4

Análise e 1,5267 com o Photogate.

Para confirmar este resultado vamos

derivar a expressão do Período em função

de x, que corresponde à distância.

1) Consideremos:

2) A derivada ficará

3) A partir daí, é extraído o valor de x

E igualando a equação a 0, temos

4) Resolvendo a equação

Como x refere-se ao valor do Centro de

Massa, a expressão acima confirma que

o menor valor do Período diz respeito

ao Centro de Massa aproximadamente

em 29,18 cm (0,2918m), ou Período

igual à 1,5354 (segundos) de acordo

com a Video Análise e 1,5276

(segundos) de acordo com o Photogate,

respectivamente.

Gráfico 4 – Velocidade – Logger Pro

O gráfico 4 mostra a velocidade em função

do tempo quando o centro de massa é

igual a 15,0 cm. A partir desse gráfico é

possível fazer uma análise da Energia

Mecânica Total. Sabe-se que:

Energia Total = Cinética + Potencial.

A Energia Mecânica Total E é relacionada

com a amplitude A do movimento. Quando

o corpo atinge o ponto x=A (deslocamento

máximo a partir da posição de equilíbrio),

ele para momentaneamente e depois

retorna para o seu ponto de equilíbrio.

Então, quando x=A (ou x=-A), v=0. Para

este ponto não há Energia Cinética e a

Energia Total é inteiramente Potencial.

Nesses pontos a partícula para e muda de

sentido. Esses pontos são chamados de

Pontos de Inversão e podem ser

identificados no gráfico da velocidade em

(6)

(7)

5

função do tempo (gráfico 3), quando a curva passa pela origem.

Uma oscilação amortecida é aquela na qual

ocorre uma diminuição da amplitude

provocada por uma força dissipativa. Um

pêndulo é um Oscilador Harmônico Simples

e comporta-se como uma Oscilação

Amortecida, porque há uma força de atrito

proporcional a velocidade do corpo que

oscila.

Nas oscilações amortecidas, a força do

amortecimento não é conservativa, a

energia mecânica do sistema não é

constante e diminui continuamente,

tendendo a zero depois de um tempo.

Conclusão

A partir da realização deste experimento

foi possível calcular o valor local da

aceleração da gravidade. Com a análise

dos dados experimentais e dos gráficos

construídos foi possível observar que há

uma variação do Período em relação ao

Centro de Massa. Quanto mais próximo o

pivô estiver da metade da distância entre a

extremidade e o centro de massa, menor

será o Período; ao passar esse ponto o

Período torna a aumentar.

Notou-se, também, que p desvio padrão

dos dados do Vídeo Análise foi maior se

comparado ao desvio dos dados do

Photogate, pois essa técnica é mais

suscetível a erros experimentais.

O gráfico da velocidade em função do

tempo foi analisado também, a partir dele

foi possível chegar à conclusão de que a

Energia Mecânica Total não é constante,

pois há forças dissipativas.

Concluímos assim, que o Movimento

Oscilatório de um Pêndulo aponta para a

realidade de um movimento amortecido.

Referências Bibliográficas

Young, Hung, D., Física II:

Termodinâmica e Ondas/ Hung D. Young.,

Roger A Freedman; tradução e revisão

técnica: Adir Moysés Luiz; 10ª edição –

São Paulo; Person Addison Wesley, 2003.

Tipler, Paul Allan, Física para

cientistas e engenheiros, V.2: Eletricidade

e Magnetismo/ Paul A Tipler, Gene Mosca;

Rio de Janeiro, LTC, 2006.

www.physik.uzh.ch/~matthias/espace-

assistant/anleitung-ev_e.pdf

Acessado em 17/05/2011 às 01:28h.