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Principio da Induo Finita (PIF)1) Axioma da Boa Ordem em N: Cada
subconjunto no vazio de N possui um menor( ou primeiro) elemento O
axioma da boa ordem em N afirma que se A um subconjunto do conjunto
N e A ento existe um elemento n0 em A satisfazendo n0 a para cada
inteiro a do conjunto A Teorema : 1. No existe um inteiro n tal que
0 < n < 1; 2. Para cada inteiro m, no existe n tal que m <
n < m + 1; 3. Se m e n so inteiros com m < n ento m + 1 n.
Reciprocamente, se m + 1 < n. Demonstrao: 1. Suponhamos que
existe um inteiro n tal que 0 < n < 1. Tal n um nmero
natural, e, portanto o conjunto A de nmeros naturais caracterizado
por A {x N / 0 x 1} um conjunto no vazio ( visto que n A ).Pelo
axioma da boa ordem,A tem um menor elemento n0 .Porm 0. n0 1 0.n 0
n0 .n0 1.n0 ,ou seja ,
n ento m
0
2 n0
n0 .Temos a uma contradio ,pois 0
2 n0
1
2 n0
A , porm n 0 o
2 menor elemento de A e n0 n0 . 2. Sejam m e n dois inteiros e
suponhamos m < n < m +1.Ento m n5. soluo: a) (1) Para n = 1,
21 = 2 < 21 + 1 = 22 = 4, verdadeiro. (2) Hiptese: 2n < 2n +
1. (1) Provar 2n + 1 < 2n + 2. Demonstrao:
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Por hiptese 2n < 2n + 1
2.2n < 2.2n + 1
2n + 1 < 2 n + 2 .
(1) verdade para n = 5, pois 25 = 32 e 52 = 25. (2) Hiptese: 2n
> n2. (3) Provar 2n + 1 > (n + 1)2 Demonstrao: - Provemos
inicialmente que 2n > 2n + 1, para n > 5. Esta proposio
verdadeira para n = 5, pois 25 > 10 + 1 = 11. Supondo verdadeira
para n, 2n > 2n + 1, devemos ter 2n + 1 > 2(n + 1) + 1 = 2n +
3. Ora, 2n > 2n + 1 e 2n > 2 para n > 1. Somando membro a
membro, 2n + 2n > 2n + 1 + 2 +3 2n+1 > 2n + 3 ( i )
2.2n > 2n
Pela hiptese 2n > n2 e conforme demonstrado, 2n > 2n + 1.
Somando membro a membro essas igualdades, conclumos: 2n + 2n >
n2 + 2n + 1 2n + 1 > (n + 1)2. (expresso a ser demonstrada em
(3).
Exerccios Propostos
1)Demonstrar que 10n + 1 9n
10 um mltiplo de 81 para todo inteiro positivo n 0, o inteiro 9
n 1 divisvel por 8.
2)Mostre que para cada inteiro n, n
3)A seqncia de Fibonacci um exemplo de um seqncia de inteiros
definida indutivamente.Ela definida como a 0 , a1 ,..., sendo a 0
a1 1 e, a n 1 a n a n n 0. [(1 5 ) / 2] n [(1 5) / 2] n a) Prove
por induo sobre n que a n 5 a 1 5 b)Mostre que lim n 1 n an 2
4)prove que o conjunto S 5)Para n 0,mostre que a n
1
para cada
{m11n
Z :72
m
8} vazio.
12 2 n 1 um nmero divisvel por 133.sen sen(i )i 1
n
6)Para
R,
2k e n 1,mostre que
n 2 2
. sen
sen
n 1 2
7)Para n
3,mostre que 2 n 1 um nmero composto se n no uma potncia de
2.
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8)Seja A
cos sen
sen cos
.Determine A n para n 1.n
9)Para n 0 e x ( x i)i
1,mostre que S n ( x)i 0
i! ( x i) i
x x 1
(n 1)! onde ( x 1)( x n) ( n )
( x 1).( x 2)...( x i )
10)Prove que
n5 5
n4 2
n3 3
n um inteiro para n = 0,1,2,.. 30 b .Defina
11)Tome a, b, p1 , p 2 ,..., p n como nmeros reais onde a f ( x)
( p1p1 b b det b b b b a p2 b b b b
x)( p 2a a p3 b b b
x)...( p na a a p4 b b
x) .Prove quea a a a pn b a a a a a pn bf (a ) af (b) b a
1
12)Se A1 ... An 13)Tome f ( x)a1 2a 2
,0
Ai
,i = 1,2,...,n,ento sen A1
sen An
n sen
n
a1 sen x a 2 sen(2 x) ... a n sen(nx). ,onde a1 ,..., a n so
nmeros reais esen x , x R ,prove que1.
onde n um inteiro positivo.Sabendo que f ( x)... na n
14)Prove que
1 a ( a b)
1 1 ... (a b)(a 2b) (a (n 1)b)(a nb)x1 ... x n nn
a a (a nb)x1 ....x n
15)Prove que para x1 , x 2 ,..., x n inteiros no negativos
OBS: Alguns exerccios foram colocados apenas a ttulo de
conhecimento, que esto alm do nvel IME e ITA.
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Bibliografia: 1)Mathematical Circles Dmitri Fomin 2)Manual de
Induo Matemtica Luiz Lopes 3)Introduo lgebra Adilson Gonalves
4)Fundamentos de Matemtica Elementar- Gelson Iezzi 5)Curso de
Anlise- Elon Lages
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