Ano lectivo 2008/2009 Matemática A Planificação anual 12º ano

Conteúdos Objectivos Nº de aulas

Tema 1 – Probabilidades e Combinatória 23

Introdução ao cálculo de probabilidades

• Experiência aleatória; conjunto de resultados; acontecimentos.

• Operações sobre acontecimentos.

• Aproximações conceptuais para Probabilidade:

- aproximação frequencista de probabilidade;

- definição clássica de probabidade ou de LAplace;

• definição axiomática de probabilidade (caso finito); propriedades da

probabilidade.

• Probabilidade condicionada e independência; probabilidade da

intersecção de acontecimentos. Acontecimentos independentes.

• Descrever e/ou identificar experiências aleatórias.

• Determinar o espaço amostral de uma experiência aleatória.

• Calcular a probabilidade de um acontecimento.

• Distinguir acontecimentos independentes de acontecimentos dependentes.

• Verificar as propriedades da axiomática aplicadas aos vários conceitos de

probabilidade.

• Aplicar as propriedades das operações com acontecimentos.

• Resolver problemas:

- Partindo de jogos, actividades…, seleccionar e estruturar os dados

importantes para organizar o raciocínio dos alunos.

- Criando estratégicas de contagem – modelos para conduzir à solução.

• Explicar raciocínios, usando correctamente a linguagem específica das

probabilidades.

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Distribuição de frequências relativas e distribuição de

probabilidades

• Variável aleatória; função massa de probabilidade:

- distribuição de probabilidades de uma variável aleatória discreta;

distribuição de frequências versus distribuição de probabilidades;

- média versus valor médio;

- desvio padrão amostral versus desvio padrão populacional.

• Modelo Binomial.

• Modelo Normal; histograma versus função densidade..

• Com base em resultados experimentais sobre uma amostra da População

(em variáveis discretas),

- obter o gráfico da distribuição de frequências;

- calcular a média e o desvio padrão da variável em estudo.

• Definida uma População (variável aleatória discreta)

- obter o gráfico da função massa de probabilidade;

- calcular o valor médio e o desvio padrão populacional.

• Comparar valores obtidos para uma amostra com os correspondentes

valores esperados para a População.

• Com base em resultados experimentais sobre uma amostra (em variáveis

contínuas),

- obter o histograma/polígono de frequências da distribuição;

- calcular a média e o desvio padrão amostral.

• Em distribuições normais de probabilidade,

- efectuar cálculos;

- fazer a análise da curva normal/ tirar conclusões a partir do valor dos

parâmetros.

• Calcular probabilidades em distribuições binomiais.

• Usar a calculadora para:

- simular experiências aleatórias;

- obter gráficos de distribuições binomiais;

- efectuar cálculos relativos a distribuições binomiais.

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Análise Combinatória

• Arranjos completos, arranjos simples, permutações e combinações.

• Triângulo de Pascal.

• Binómio de Newton.

• Aplicação ao cálculo de probabilidades.

• Resolver problemas de contagem, utilizando tabelas, diagramas em árvore,

etc.

• Utilizar as fórmulas do Cálculo Combinatório para simplificar e organizar

melhor as contagens.

• Demonstrar/utilizar as propriedades nCp = nCn-p e nCp + nCp+1 = n+1Cp-1

• Desenvolver potências de um binómio (Binómio de Newton)

• Aplicar as fórmulas do Cálculo Combinatório na determinação de

probabilidades.

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Tema 2 - Introdução ao cálculo diferencial II 45

Funções exponenciais e logarítmicas

• Função exponencial de base superior a um; crescimento

exponencial; estudo das propriedades analíticas e gráficas da família

de funções definidas por:

f(x) = ax com a>1.

• Função logarítmica de base superior a um; estudo das propriedades

analíticas e gráficas da família de funções definidas por:

f(x) = loga x com a>1.

• Regras operatórias de exponenciais e logaritmos.

• Utilização de funções exponenciais e logarítmicas na modelação de

situações reais.

• Interpretar gráfica e analiticamente as propriedades das funções:

- exponencial

- logarítmica

• Aplicar as regras operatórias sobre exponenciais e logaritmos.

• Resolver problemas envolvendo funções exponenciais e logarítmicas.

• Interpretar fenómenos descritos por funções exponenciais e logarítmicas.

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Teoria de limites

• Limite de funções segundo Heine. Propriedades operatórias sobre

limites notáveis (informação). Indeterminações. Assimptotas.

Continuidade.

• Teorema de Bolzano–Cauchy (informação) e aplicações numéricas.

• Calcular limites de funções.

• Usar as regras operatórias sobre limites.

• Levantar indeterminações.

• Determinar assimptotas.

• Estudar a continuidade de uma função.

• Aplicar o teorema de Bolzano- Cauchy ao estudo de funções.

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Cálculo Diferencial

• Funções deriváveis. Regras de derivação (demonstração da regra

da soma e do produto: informação das restantes regras). Derivadas

de funções elementares (informação baseada em intuição numérica

e gráfica). Segunda definição do número e. Teorema da derivada da

função composta (informação).

• Segundas derivadas e concavidades (informação baseada em

intuição geométrica).

• Estudo de funções em casos simples.

• Integração do estudo do Cálculo Diferencial num contexto histórico.

• Problemas de optimização.

• Calcular derivadas.

• Estudar funções usando derivadas.

• Localizar o desenvolvimento do Cálculo diferencial na história da

Matemática.

• Resolver problemas usando funções.

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Tema 3 - Trigonometria e números complexos 16

Funções: seno, co-seno e tangente.

• Estudo intuitivo com base no círculo trigonométrico, tanto a partir de

um gráfico particular, como usando calculadora gráfica ou

computador.

• Estudo intuitivo de:

• Derivadas do seno, co-seno e tangente.

• Utilização de funções trigonométricas na modelação de situações

reais.

• Indicar características de funções trigonométricas (sinal, zeros, monotonia,

paridade, período, continuidade, extremos, gráfico,…)

• Calcular limites aplicando

• Derivar funções trigonométricas.

• Resolver problemas envolvendo funções trigonométricas.

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Números complexos

• Introdução elementar de problemas de resolubilidade algébrica e do

modo como se foram considerando novos números. Apropriação de

um modo de desenvolvimento da Matemática, através da evolução

do conceito fundamental de número. Experimentação da

necessidade de i, à semelhança da aceitação da necessidade dos

números negativos e fraccionários.

• Números complexos. O número i . O conjunto C dos números

complexos.

• A forma algébrica dos complexos. Operações com complexos na

forma algébrica.

• Representação de complexos na forma trigonométrica.

Escrita de complexos nas duas formas, passando de uma para a

outra.

Operações com complexos na forma trigonométrica.

Interpretações geométricas das operações.

• Domínios planos e condições em variável complexa.

• Operar com números complexos na forma algébrica.

• Calcular raízes quadradas de um número real negativo.

• Interpretar geometricamente o produto de um número complexo z por i e por

–i.

• Converter a forma algébrica na trigonométrica e vice-

versa.

• Operar com complexos na forma trigonométrica.

• Representar geometricamente as n raízes de índice n de um complexo.

• Resolver equações simples.

• Identificar domínios planos definidos por condições em z,

com z ∈ C

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