POLIEDROSPOLIEDROS

O que você deve saber sobre

O conhecimento sobre os sólidos geométricos é bastante aplicado na indústria, na engenharia e na arquitetura. Além disso, são utilizados com muita frequência por artistas contemporâneos na produção de suas obras.

• Linha: objeto matemático com apenas uma dimensão, caracterizando um comprimento ao qual podemos associar um número real, que é sua medida de comprimento.• Superfície: objeto matemático com duas dimensões, caracterizando uma área à qual podemos associar um número real, que é sua medida de área. Uma superfície pode ser plana ou não plana.• Sólido: objeto matemático com três dimensões, caracterizando um volume ao qual podemos associar um número real, que é sua medida de volume.

I. Figuras geométricas

POLIEDROS

Podemos separar as figuras espaciais em dois grandes grupos. Para distingui-los, é preciso cortá-los:

• poliedros: fornecem apenas superfícies poligonais;

• corpos redondos: fornecem uma secção não poligonal curva.

I. Figuras geométricas

Regiãodo corte

PoliedroRegião

do corte

CorpoRedondo

POLIEDROS

II. Definição, elementos e classificação

• Faces: superfícies que delimitam o espaço, formando o sólido;

• Arestas: os lados comuns de duas faces;

• Vértices: os pontos comuns a três ou mais arestas.

Vértice

Aresta

Face

POLIEDROS

II. Definição, elementos e classificação

Poliedroconvexo Poliedro

não convexoou côncavo

POLIEDROS

Em todo poliedro convexo, a relação entre o número de faces F,o número de arestas A e o número de vértices V é sempre:

III. Relação de Euler

POLIEDROS

POLIEDROS

São convexos;• Todas as suas faces têm o mesmo número de arestas;• De cada vérticeparte o mesmonumero de arestas;• As faces sãopolígonos regulares.

IV. Poliedros regulares

Representação das cinco classes de poliedros regulares

Tetraedroregular

Hexaedroregular (cubo)

Octaedroregular

Dodecaedroregular

Icosaedroregular

V. Prismas

POLIEDROS

• Bases: as superfícies poligonais convexas P e P’ contidas nos planos

e , respectivamente

• Faces laterais: as demais superfícies (quadriláteros) que formam o prisma.• Arestas laterais: pertencem somente às faces laterais, como CC’.• Arestas das bases: pertencem exclusivamente a uma das bases, como BC.

• Altura: a distância h entre os planos e

a) Classificação

• Oblíquo: a reta r é perpendicular aos planos e .

Reto: a reta r não é perpendicular aos planos e .

• Regular: os polígonos que delimitam as bases são regulares.De acordo com o polígono que delimita sua base, os polígonos podemser triangulares, quadrangulares, pentagonais etc.

V. Prismas

POLIEDROS

b) Área da superfície

• Área da base (Abase): é a área de uma face que é base

• Área lateral (Alateral): é a soma das áreas das faces laterais

• Área total (Atotal): é a soma da área lateral com a área das duas bases:

c) Volume do prismaMedida da porção do espaço que ele ocupa.

VI. Pirâmides

• Vértice: o ponto V• Base: o polígono S• Arestas da base: os lados do polígono S • Faces laterais: os demais polígonos (triângulos) que delimitam

a pirâmide• Arestas laterais: os segmentos com uma das extremidades nos vértices da base

• Altura: a distância h, do vértice até o plano que contém a base

POLIEDROS

a) Classificação

• Retas: a projeção ortogonal do vértice sobre o plano coincide com o centro da base.• Oblíquas: a projeção ortogonal do vértice sobre o plano não coincide com o centro da base.• Regulares: a base é um polígono regular.

VI. Pirâmides

As pirâmides também recebem uma nomenclatura de acordo com o polígono da base, podendo ser triangulares, quadrangulares, pentagonais etc.

POLIEDROS

b) Pirâmides regulares

• Apótema da pirâmide (g): a altura de qualquer um dos triângulos que formam as faces laterais. Eles são sempre isósceles, eventualmente equiláteros.• Apótema da base (m): o raio da circunferência inscrita no polígono da base• Raio da base (r): o raio da circunferência circunscrita ao polígono da base

VI. Pirâmides

Pirâmide regular hexagonal de altura h,

arestas laterais a e arestas da base

POLIEDROS

c) Área da superfície

• Área da base (Abase): área da superfície poligonal que forma

a base

• Área lateral (Alateral): soma das áreas das faces laterais

(superfícies triangulares)

• Área total (Atotal): soma da área lateral com a área da base

d) Volume da pirâmide

VI. Pirâmides

POLIEDROS

(UEL-PR)

Observe a figura. Sobre o armazenamento de mel em colmeias,tem-se que o volume V de cada alvéolo, considerado comoprisma regular hexagonal reto de altura h e arestas da base iguaisa é dado por:

2

POLIEDROS − NO VESTIBULAR

EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS

RESPOSTA: E

(UFRGS-RS) A partir de quatro dos vértices de um cubo de aresta 6, construído com madeira maciça, foram recortadas pirâmides triangulares congruentes, cada uma tendo três arestas de medida 3, conforme representado na figura 1. O sólido obtido após a retirada das pirâmides está representado na figura 2, a seguir.

O volume do sólido obtido é:a) 198. b) 204. c) 208. d) 212. e) 216.

5EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS

RESPOSTA: A

POLIEDROS − NO VESTIBULAR

(UFPE) Uma fábrica de embalagens confecciona caixas na forma de paralelepípedos reto-retângulos com base quadrada.Pretende-se confeccionar caixas com volume 19% menor que o das anteriores, mantendo-se a mesma alturada embalagem e diminuindo-se o lado da base quadrada.

Em qual percentual se deve reduzir o lado da base?

7EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS

RESPOSTA:

POLIEDROS − NO VESTIBULAR

(UFPB) Foram feitas embalagens de presente em forma de prisma regular de altura H = cm e base triangular de lado L = 8 cm, conforme ilustra a figura ao lado.

Sabendo-se que as embalagens não têm tampa e que o custo para a sua produção, por cm2, é de R$ 0,05, o custo total de fabricação de cada unidade é:

(Dado: considere = 1,7)

a) R$ 12,30. b) R$ 13,60. c) R$ 8,16. d) R$ 15,20.e) R$ 17,30.

9EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS

RESPOSTA: B

POLIEDROS − NO VESTIBULAR

36

3

(UFRGS-RS) Na figura ao lado, os vértices do quadrilátero ABCD são pontos médios de quatro das seis arestas do tetraedro regular.

Se a aresta desse tetraedro mede 10, então a área do quadrilátero ABCD é:

a) 25.

b) .

c) 75.

d) .

e) 100.

1EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS15

RESPOSTA: A

POLIEDROS − NO VESTIBULAR

325

350

(UFU-MG) Na figura a seguir, temos um cubo ABCDEFGH de aresta a = 6 cm. Os pontos I, J, K, L, M e N são pontos médiosdas arestas a que pertencem.

Determine o volume da pirâmide de base hexagonal IJKLMN e vértice H.

1EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS17

RESPOSTA:

POLIEDROS − NO VESTIBULAR