UM POUCO DA HISTÓRIA E CONSTRUÇÃO DOS POLIEDROS

Karla da Silva Pereira

A Humanidade, na sua história, estudou a Matemática em ordem inversa à que foi seguida nas suas escolas, ou quase. De fato a numeração decimal é a primeira coisa que se aprende, mal se vai à escola, e foi, pelo contrário, uma tardia conquista de uma humanidade já doutíssima em geometria. Poder-se-ia dizer que a geometria é em vários milhares de anos mais velha do que a Aritmética. Os gregos tinham um verdadeiro culto pela geometria, que elevaram a um alto grau de perfeição. Consideravam-na uma ciência que habitua a raciocinar, que refina a inteligência; diziam pelo contrário que não era preciso estudá-la com fins práticos, mas para "a honra da mente Humana”.

Platão (sec II a.C.9, o grande filósofo aluno de Sócrates, foi o primeiro matemático a demonstrar que existem apenas cinco poliedros regulares: o cubo, tetraedro, octaedro dodecaedro e o icosaedro. Esses poliedros são designados sólidos de Platão em virtude do texto de platão sagundo o qual:

“Um poliedro é regular quando as faces são polígonos regulares congruentes,todas as arestas são congruentes e todos os vértices são congruentes.Isto significa que existe uma simetria do poliedro que transforma cada face ,cada aresta e cada vértice numa outra face,aresta ou vértice.”

Para Platão o universo era formado por um corpo e uma alma ou inteligência. Na matéria havia porções limitadas por triângulos, formando-se elementos que diferem entre si pela natureza da forma das suas superfícies periféricas. Se forem quadrados temos o cubo- o elemento da terra. Se forem triângulos, formando um tetraedro, teremos o fogo, cuja natureza penetrante está simbolizada na agudeza dos seus vértices.

O ar é formado por octaedros e a água de isocaedros. Platão admitia ainda que por intervenção inteligente, uns se transformavam nos outros à excepção da terra, que se transforma em si própria. O dodecaedro cheio de harmonia simbolizava o próprio universo. No entanto ainda existem dúvidas se o teorema" só há cinco sólidos platónicos" se deve a Platão ou a Pitágoras. Mas provar-se-ia mais tarde que este teorema era falso e Cauchy provou que há nove poliedros regulares e que não existem mais. O erro do teorema de Platão ou de Pitágoras reside no fato de os poliedros regulares por eles considerados não serem obrigatoriamente convexos.

Associação dos Poliedros

o cubo - elemento o cubo - elemento terra. terra.

o tetraedro - o o tetraedro - o elemento fogo.elemento fogo.

o octaedro, - o o octaedro, - o elemento ar.elemento ar.

o icosaedro - o o icosaedro - o elemento água.elemento água.

o dodecaedro - o dodecaedro - simboliza o simboliza o Universo.Universo.

É uma figura plana formada por uma linha poligonal fechada.

Do grego, poli quer dizer vários e gonos significa ângulos.

São sólidos geométricos com quatro ou mais faces em forma de polígonos.

Etmologicamente, poli quer dizer vários e a terminação edro provém da palavra hedra, que em grego significa face.

Os bicos de um poliedro são ângulos poliédricos formados por faces planas, que são polígonos.

Faces: são as figuras planas que limitam o sólido;

Arestas: são os segmentos de reta que limitam as faces;

Vértices: são os pontos de encontro das arestas.

Ângulo Poliédrico é um conjunto de pontos do espaço limitados por três ou mais ângulos planos, não coplanares, em número finito, que têm o mesmo vértice e, dois a dois, um lado comum.

Traduzindo isso para a linguagem menos formal podemos dizer que, em se tratando de poliedros, um ângulo sólido é o ângulo formado pelas faces que chegam a um mesmo vértice.

A medida de um ângulo poliédrico é dada pela soma dos ângulos planos que delimitam este ângulo sólido.

Os ângulos poliédricos têm uma certa propriedade: sua soma, por maior que seja o número de faces que convergem para o vértice em questão, é sempre menor do que 360°. Isto é, se chamarmos de A a soma dos ângulos compreendidos entre as arestas de um poliedro que chegam a um mesmo vértice, temos que:

A < 360°

Cálculo do número de diagonais de um poliedro convexo

Soma dos ângulos internos de todas as faces de um poliedro

S = 360º. (V – 2)

DEMONSTRAÇÃO:Sabemos que a soma dos ângulos internos de um polígono qualquer é dada por S = 180º. (n – 2). Podemos aplicar essa fórmula a cada uma das F faces do Poliedro. Vejamos:

S1 = 180º.(n1 – 2)

S2 = 180º.(n2 – 2)

...

SF = 180º.(nF – 2)

Somando todas as equações obtidas, teremos:

Sif = 180º.(n1 + n2 + ....+ nF) – 360º. F

Sif = 180º. 2A – 360º. F = 360º. (A – F)

Como V + F = A + 2, temos que (A – F) = (V – 2)

OU Sif = 360º . (V – 2)

Um poliedro é chamado convexo, em relação a uma de suas faces, se está todo contido no mesmo semi-espaço determinado por esta mesma face. Caso contrário ele será não-convexo.

De acordo com o número de faces,os poliedros convexos possuem nomes especiais.

Nº de faces Nome do poliedro4 Tetraedro5 Pentaedro6 Hexaedro7 Heptaedro8 Octaedro

Nº de faces Nome do poliedro9 Eneaedro

10 Decaedro11 Undecaedro12 Dodecaedro13 Tridecaedro14 Tetradecaedro15 Pentadecaedro20 Icosaedro

Se V, A e F denotam o número de vértices, arestas e faces, respectivamente, de qualquer poliedro convexo, então

V – A + F = 2.

Um poliedro convexo é chamado regular se:

As suas faces forem polígonos regulares, todas com o mesmo número de lados;

Os seus ângulos poliédricos possuem a mesma medida.

Existem apenas cinco poliedros regulares Tetraedro Hexaedro ou Cubo Octaedro Dodecaedro Icosaedro

Diz-se que um poliedro é platônico se, e somente se:I. for convexo;

II. em todo vértice concorrer o mesmo número de arestas; (m)

III. toda face tiver o mesmo número de arestas; (n)

IV. for válida a relação de Euler. (F – A + V = 2)

De fato,

Por III. temos que cada umas das F faces tem n arestas ( n≥3 ), e como cada aresta está presente em duas faces, temos

n

AFAFn

2.2. =⇒= (*)

Por II. cada um dos V vértices tem m arestas ( m≥3 ), e como cada aresta tem dois vértices, temos

m

AVAVm

2.2. =⇒= (**)

Por IV. vale a Relação de EulerV −A+F=2

Substituindo (*) e (**) em (***) teremos

Anm

n

AA

m

AFAV

11

2

11

222

2

=+−⇒

⇒=+−⇒=+−

(***)

(i)

Se tivéssemos m e n, simultaneamente, maiores que 3, ocorreria uma contradição em (i), visto que A, representando o número de arestas, deve ser positivo. Observe:

001

01

2

11

2

111

4

1143

4

1143

≤⇒≤⇒

⇒≤+−⇒≤+⇒

≤⇒≥⇒>

≤⇒≥⇒>

AA

nmnm

nnn

mmm

Dessa forma:

Quando m = 3, em (i) teremos:

ou seja, faces triangulares (n=3) ou faces quadrangulares (n=4) ou faces pentagonais (n=5)

601

6

111

6

111

2

1

3

111

2

11 <⇒>+−⇒=+−⇒=+−⇒=+− nnAnAnAnm

Dessa forma:

Quando n = 3, em (i) teremos:

ou seja, vértice com três arestas(m=3) ou quatro arestas (m=4) ou cinco arestas (m=5)

601

6

111

6

11

3

1

2

1111

2

11 <⇒>+−⇒=+−⇒=+−⇒=+− mmAmAmAnm

Dessa maneira analisando as possibilidades teremos:

m n A V F Poliedro

3 3 3 4 4 Tetraedro

3 4 12 8 6 Hexaedro

3 5 30 20 12 Dodecaedro

4 3 12 6 8 Octaedro

5 3 30 12 20 Icosaedro

Já os gregos reconheciam que só podem existir 5 sólidos platônicos, logo só existem também 5 poliedros regulares. Vamos tentar verificar que isso é verdade.

Cada ângulo poliédrico (constituído por todas as faces que convergem num vértice) terá de ter menos de 360 graus. Por outro lado, cada um desses ângulos terá de ter pelo menos 3 faces . Logo as faces só podem ser triângulos (âng. interno 60º), quadrados (âng. internos 90º) e pentágonos (âng. interno 108º).

Repare-se que com Hexágonos regulares tal seria um absurdo: a amplitude dos seus ângulos internos é 120º e... 3 vezes 120º dá 360º!!!

Analisemos, individualmente, cada um dos casos:

Triângulos eqüiláteros: Como cada ângulo interno é de 60º pode existir em

cada vértice 3, 4 ou 5 triângulos. Logo:

3 triângulos em cada vértice obtém-se um Tetraedro (1)

4 triângulos em cada vértice obtém-se um Octaedro (2)

5 triângulos em cada vértice obtém-se um Icosaedro (3)

Quadrados: Como cada ângulo interno mede 90º só pode

existir em cada vértice ter 3 quadrados. Logo, tem-se um cubo (4)

Pentágonos: Como cada ângulo interno mede 108º só

podem ter 3 em cada vértice, temos o Dodecaedro (5)

4 Faces4 Vértices6 Arestas

6 Faces 8 Vértices12 Arestas

8 Faces 6 Vértices12 Arestas

12 Faces20 Vértices30 Arestas

20 Faces12 Vértices30 Arestas

O Dual de um Sólido é um outro sólido que se obtém unindo os pontos centrais das faces adjacentes do sólido original.

Dualidade Tetraedro / Tetraedro

Dualidade Cubo / Octaedro

Dualidade Octaedro / Cubo

Dualidade Dodecaedro / Icosaedro

Dualidade Icosaedro / Dodecaedro

O Dual de um sólido Platônico é sempre um sólido Platônico,

O que mostramos antes, põe em evidência uma certa repartição dos 5 poliedros regulares em 3 classes:

Tetraedro (dual de si próprio) Cubo dual do Octaedro Dodecaedro dual do Icosaedro.

Se você comparar o número de faces e de vértices entre os pares duais: Cubo/Octaedro e Dodecaedro/Icosaedro e tetraedro / tetraedro, chegará a uma interessante conclusão, qual?

Em ornamentações, luminárias, prédios, telhados, etc.

As bolas de futebol que são poliedros formados por pentágonos e hexágonos.

Formas naturais de minerais e pedras preciosas.

Alguns vírus (verrugas e poliomielite) têm a forma de um icosaedro.

As colméias das abelhas são prismas hexagonais.

Em obras de artes

Pirâmides - Egito

Telhado Poliédrico - Caracas

Parque Infantil

Alguns poliedros feitos de papel (Origami)

A geometria permite a percepção e a visualização do espaço, o reconhecimento de formas, a abstração de formas e a capacidade de representá-las através do desenho ou da construção do que foi idealizado, habilidades importantes também em outras áreas de conhecimento como a geografia, as ciências, as artes.

Tem muitas aplicações no mundo real, sendo uma parte mais “concreta” da matemática, além de possibilitar outras formas de comunicação.

A geometria é um tópico natural para encorajar a resolução de problemas. A geometria é excepcionalmente ricas em oportunidades para fazer explorações,

representações, construções, discussões, para que o aluno possa investigar, descobrir, descrever e perceber propriedades.

O trabalho com álgebra pode acostumar o indivíduo a operar sem questionamento sobre regras pré-estabelecidas. O efetuado com a geometria pode proporcionar o desenvolvimento de um pensamento crítico e autônomo, já que pode favorecer a análise de fatos e relações, o estabelecimento de ligações entre eles e a dedução.

É um componente importante inclusive no desenvolvimento da aritmética e da álgebra.

Atividade 1 Sugestão para o professor: Embalagens - Alunos e/ou professor trazer embalagens de tamanhos e

formatos diversificados.- Propor que os alunos façam uma classificação em

grupo estabelecendo um critério e apresentando para o restante da sala. (vários modos de classificar sólidos)

- Critérios que podem ser usados ou apresentados pelo professor:

a) o que cabe dentro de cada embalagem (idéia de volume);b) qual a forma de armazenamento considerando a variedade

das formas (usos de diferentes tipos de sólidos e suas vantagens);

c) Quais embalagem gastam mais materiais para serem produzidas.

Atividade 2 (Aluno): Escolher algumas embalagens de sólidos regulares para serem reproduzidas de duas maneiras:

a) Desenhando no papel, contornando os lados da embalagem;b) Desmontando as embalagens de papel para desenhá-las no

papel.

Atividade 3: Fazer uma investigação de quantos poliedros podemos fazer com quadrados e triângulos, e os alunos peguem as partes recortadas para montarem.

Material a ser utilizado:

✔ Um metro de barbante;✔ Seis pedaços de canudo de mesma cor e comprimento.

Tome o fio de barbante, passe-o através de três pedaços de canudo, construindo um triângulo e o feche por meio do um nó. Agora, passe o restante do barbante por mais dois pedaços de canudo, juntando-os e formando mais um triângulo com um dos lados do primeiro triângulo. Finalmente, passe o barbante por um dos lados desse triângulo e pelo pedaço que ainda resta, fechando a estrutura com um nó. Essa estrutura representa as arestas de um tetraedro regular e as etapas intermediárias de sua construção estão representadas a seguir:

Material a ser utilizado:

✔ Dois metros de barbante;✔ Doze pedaços de canudo de mesma cor e comprimento.

Com pedaços de canudos e o barbante, construa quatro triângulos e os una, dois a dois, conforme o esquema apresentado abaixo:

Material a ser utilizado:

✔ Dois metros de barbante;✔ Doze pedaços de canudo de mesma cor medindo 8 centímetros cada;✔ Seis pedaços de canudo de mesma cor (cor diferente dos canudos mencionados acima) medindo 11,3 centímetros.

Com os doze pedaços de canudo da mesma cor construa um cubo de 8 cm de aresta. Para isso, passe o fio através de quatro canudos e passe a linha novamente por dentro do primeiro canudo, construindo um quadrado. Considerando um dos lados desse quadrado e passando a linha por mais três canudos, construa mais um quadrado. Observe que ainda faltam dois canudos para completar as arestas do cubo. Prenda-os de maneira a completá-lo. Veja o exemplo a seguir:

Observe que a estrutura construída não tem rigidez própria, pois os seus lados não ficam por si só perpendiculares à superfície da mesa, então é necessário tornar essa estrutura rígida. Nesse processo, notamos que se construirmos triângulos nas faces dessa estrutura ou no seu interior, ela se enrijecerá.

Dando continuidade a esse raciocínio, com os seis pedaços de canudo de cor diferente (11,3 centímetros), construa uma diagonal em cada face, de modo que em cada vértice que determina a diagonal cheguem mais duas diagonais.

Material a ser utilizado:

✔ Três metros barbante;✔ Trinta pedaços de canudo de mesma cor e comprimento.

Construa quatro triângulos seguindo o esquema abaixo e os una obtendo uma pirâmide regular de base pentagonal, como a desenhada na figura b (abaixo). Repita essa construção, obtendo mais uma pirâmide. Una cada uma das pirâmides através dos vértices das bases, por meio de pedaços de canudos, de tal forma que em cada vértice se encontrem cinco canudos.

Observando as construções feitas anteriormente (Tetraedro, Octaedro, Cubo e Icosaedro) , Construam o poliedro que falta para completar os cinco sólidos regulares: O Dodecaedro.

OBS: 1. Um dodecaedro é um poliedro regular de 12 faces2. cada face é formado por um pentágono.3. Possui 20 vértices.4. E possui 30 arestas ao todo.

✔ Lista de materiais:

✔ 30 canudos de comprimento 7 cm para as arestas;✔ 20 canudos de comprimento 9.8 cm, para a estrutura interna;✔ 8 metros de barbante, que corresponde a duas passadas em cada canudo;✔ E muita paciência.

http://geometriadivertida.zip.net/

Referências para essa apresentação:

http://www.uff.br/cdme/platonicos/platonicos-html/dodecaedro.html

Referências:

MC - Construindo “esqueletos” poliédricos de Platão; Encontro Paraibano de Educação Matemática - 2008