unesp UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA CAMPUS DE GUARATINGUET FACULDADE DE ENGENHARIA

PONTES DE CONCRETO

Notas de aulas

Prof. Yzumi Taguti

2002

1.

1

NDICE

pginas

Captulo I -Critrios de avaliao e bibliografia do curso ........................................... 1.2 Captulo II - Introduo ao curso de pontes................................................................... 2.1 Captulo III - Elementos de Projetos ........................................................................... 3.1 Captulo IV - Cargas em Pontes...................................................................................... 4.1 Captulo V - Exemplo de Pontes em Vigas Independentes ........................................... 5.1 Captulo VI - Clculo das Vigas Principais .................................................................... 6.1 Captulo VII - Clculo das Transversinas ........................................................................ 7.1 Captulo VIII - Clculo das Lajes ...................................................................................... 8.1 Captulo IX - Clculo dos Pilares ................................................................................... 9.1

1.

1CAPTULO I (2002)

CURSO DE PONTES E CONCRETO PROTENDIDO

AVALIAO

=

=

=

=

testesde notas melhores 05 das MdiaMTMT a e Provas 4 as entre notas melhores 4 das MdiaMP

entoaproveitam de NotaNAMPNA

Pontes: 2 provas e 3 testes Protendido: 2 provas e 3 testes

Calendrio de Pontes: a) provas : P1 ; P2 ; 1a. poca: ; 2a. poca: b) testes : T1 ; T2 ; T3

Calendrio de Protendido: a) provas : P3 ; P4 ; 1a. poca: ; 2a. poca: b) testes : T4 ; T5 ; T6

Bibliografia

Normas: NBR-7188 - Carga mvel em pontes rodovirias e passarelas de pedestres - 1984. NBR-7189 - Carga mvel em pontes ferrovirias - 1985 NBR-6118 - Projeto e execuo de obras de concreto armado - 1978 NBR-7187 - Projeto e execuo de pontes de concreto armado e protendido -

1986 (reviso) NBR-8681 - Aes e segurana nas estruturas - 1984

Livros: -LEONHARDT, F. Construes de concreto, vol 6 1979 -PFEIL, N. Pontes de concreto armado, 2v. 1979 -O'CONNOR C. Pontes, 2 vol, 1975 -MASON, J. Pontes em concreto armado e protendido 1977

Apostilas: -EL DEBS, M.K. & TAREYA, T. Pontes de concreto - notas de aula - 5 fascculos - EESC-USP-1990.

-MARTINELLI, D.A.D. Pontes de concreto - EESC-USP-1971. -FREITAS, M. Introduo Geral. Pontes - EPUSP-1981 -BERNARDO, GRAULO - Pontes - Grmio Politcnico-1980. -HANAI, J.B. - Fundamentos do Concreto Protendido - Notas de Aulas, EESC-

USP, 1991

2.1

CAPTULO II (2002)

2. CONCEITOS GERAIS

2.1. Definies

Ponte: obra necessria para manter a continuidade de uma via qualquer, atravs de um obstculo natural ou artificial.

PONTE, VIADUTO, GALERIA, PASSARELAS

2.2. Requisitos a) Funcionalidade . permitir trfego atual com previses para seu incremento. . escoamento das guas sob ponte com o mnimo de perturbao. b) Segurana . considerar as tenses, deformaes e durao. c) Esttica . atender a boa aparncia sem criar grandes contrastes com o ambiente. d) Economia . objetivo da engenharia, apresentar uma soluo de menor custo.

2.3. Elementos Constituintes

Superestrutura

estrutura principal estrutura secundria

Aparelhos de apoios

Infra-estrutura

suportes {

fundaes

pPilares eEncontros

a) Superestrutura: elemento suporte direto ( ver Fig. 2.1) .Estrutura principal: - funo de vencer o vo livre - recebe as cargas que atuam na ponte Ex: vigas, lajes, prticos, arcos, pnseis estaiadas .Estrutura secundria: .Recebe a ao direta das cargas e a transmite estrutura principal

Ex: tabuleiro, pendurais, tmpanos, passeios

2.2

b) Aparelhos de apoio . Elementos colocados entre a infra e a superestrutura. Transmite reaes de apoio e permite determinados movimentos da superestrutura. Fixo e mvel.

viaduto de acesso ponte viaduto de acesso

aparelhos deapoio

superestrutura

infra-estrutura

aterroencontro

pilar

fundao

aterro

VISTA LONGITUDINAL(infra e superestrutura)

. . ...

...

..

.

. . ...

.

. .

defensaguarda-corpo

transversina longarina viga principal

passeioestrado = laje superfcie de rolamento

CORTE TRANSVERSAL(superestrutura)

Fig. 2.1 - Elementos constituintes de uma ponte

laje em balano

N.A.

aterroaterro

pista de rolamento

L

l l

ll

h

h

1 2

3

5

4l

c

l

Fig. 2.2 - Elementos geomtricos de uma ponte

c) Infra-estrutura . Recebe as cargas e as transmite ao solo

2.3

Fundaes - tem por finalidade transmitir ao solo as reaes provenientes dos diversos carregamentos da ponte.

2.4. Elementos Geomtricos ( ver Fig. 2.2 )

2.5. Sistema Estrutural

a) Isosttica ou Hiperesttica (estr. principal)

Vigas

- Simplesmente apoiada- Contnua- Gerber

c / balanos / balano

Lajes

- Simplesmente apoiada- Contnua- Em prtico

c / balanos / balano

- Prtico - Arcos e abbodas

- Pontes com sustentao por cabos{pnseisestaiadas

b) Seo Transversal

- Lajes

- macia - at 15m

- vazada - protendida at 35m

2.4

- fcil execuo formas e montagem das armaduras - peso prprio elevado

- Viga

- aberta { - vigas

- grelha > tabuleiro solidrio

- celular lminas solidrias e rgido toro>- trelia (metlica)

3.1

CAPTULO III (2002)

3. ELEMENTOS NECESSRIOS PARA A ELABORAO DO PROJETO DE UMA PONTE

3.1. Introduo

A elaborao de um projeto de pontes envolve o conhecimento de uma srie de dados sobre as particularidades locais, tais como, condies topogrficas, hidrolgicas e geotcnicas.

Tais informaes so fundamentais no processo de escolha do local de colocao dos pontos, as quais devem respeitar algumas normas gerais. Estas visam:

a) alcanar o menor custo para a obra b) obter condies de boas fundaes c) no interferir no regime lquido ou, se preciso, alterar o mnimo possvel d) travessia perpendicular ao eixo do rio e sem pilares intermedirios e) escolher o local de modo que o rio tenha a menor largura

3.2 - Fases principais para a elaborao do Projeto

Projeto de uma ponte um conjunto de estudos, clculos e grficos que permitem definir, justificar e construir uma ponte: definir, quanto ao sistema esttico e materiais a empregar; justificar, quanto s dimenses adotadas para o vo, outras partes da estrutura e o custo; construir, de acordo com os detalhes grficos e especificaes do memorial descritivo.

As fases, em geral, dos projetos so as seguintes:

a) Estudos preliminares

Fundamentados nos estudos geolgicos, hidrolgicos e topogrficos, definem-se o vo da ponte e sua localizao.

b) Ante-projeto

Aqui so formuladas as vrias solues tcnicas que permitam respeitar as condies indicadas nos estudos preliminares. Estas solues so acompanhadas de oramento estimativo e do tempo necessrio para a execuo. Nesta fase a experincia, o conhecimento de outras obras e a intuio profissional do projetista exercem significativa relevncia.

c) Projeto definitivo

Entre os diversos ante-projetos procede-se a escolha daquele que melhor atenda os aspectos de economia, esttica e execuo.

3.3 Documentos de Projeto

Em geral so os seguintes:

a) Planta de situao do local da travessia, indicando as cidades ou regies habitadas mais prximas (1:1000 a 1:2000);

3.2

b) Corte do conjunto estrada-ponte com escalas diferentes: alturas (1:100) e comprimentos (1:1000);

c) Corte transversal indicando o sub-solo, com detalhes de sondagens; d) Elevao da ponte, podendo ser metade em vista e metade em corte longitudinal (1:50 a

1:100); e) Sees transversais da superestrutura e plantas das mesmas (1:20 a 1:50); f) Plantas e elevaes da mesoestrutura e infra-estrutura; g) Detalhes de construo (plantas de forma, de ferragem etc.); h) Memorial descritivo acompanhado da parte de clculos estticos e hidrulicos etc.) i) Oramento j) Projeto de execuo

4.1

CAPTULO IV (2002)

4. CARGAS EM PONTES (NBR-8681; NBR-7188; NBR-7189)

4.1 INTRODUO

Para a anlise da resistncia e da estabilidade de uma estrutura, em geral, necessitam-se: a) conhecer todas as foras que atuam ou podero ser aplicadas na estrutura b) determinar as reaes destas foras e verificar se resulta em equilbrio estvel c) determinar as tenses solicitantes e verificar se so admissveis para o material que

constitui a pea

As cargas externas podem ser agrupadas em: * Aes permanentes * Aes variveis * Aes excepcionais

4.2 AES PERMANENTES

So aquelas que, uma vez, construda a ponte, mantm-se atuantes.

4.2.1 Peso prprio

- peso prprio dos elementos estruturais - peso prprio dos elementos, tais como, pavimentao, passeios, guarda-corpo, trilhos,

lastros etc.

O peso prprio dos elementos estruturais avaliado em funo do material a empregar, por meio de frmulas empricas, pela observao de estruturas anteriormente projetadas. Este procedimento conhecido por PR-DIMENSIONAMENTO.

As variaes entre o peso prprio no dimensionamento final e aquele do pr-dimensionamento, de acordo com a norma brasileira, so as seguintes:

Ao ............ 3% Concreto ........... 5% Madeira ............10%

4.2.2) EMPUXOS DE TERRA E GUA

- Empuxo de terra

Determinados conforme os princpios da Mecnica dos solos.

solo mido

peso especfico 18kN / mngulo de atrito interno 30

3

o

Considerar os empuxos ativos e de repouso nas situaes mais desfavorveis e o empuxo passivo quando sua ocorrncia for garantida ao longo da vida til da obra.

4.2

- Empuxo da gua

estudo dos nveis mximo e mnimo do curso d'gua e do lenol fretico empuxo d'gua considerado se no houver sistema de drenos adequados.

4.2.3 FORA DE PROTENSO

Consideradas de acordo com a NBR 7197 relativo s obras de concreto protendido. 4.2.4 DEFORMAES IMPOSTAS

a)

Fluncia (deformao lenta) b) Retrao de concreto protendido, por causarperdas de proteno - NBR 7197

Importantes em concreto

- estruturas isostticas - permitem a deformao - estruturas hiperestticas - acrscimos de tenses devido ao impedimento das deformaes

c) Deslocamentos de apoio (recalques)

um dos critrios para a escolha do sistema estrutural. Quando so previstos recalques excessivos, evita-se estruturas hiperestticas.

4.3 AES VARIVEIS

So as que ocorrem com valores que apresentam variaes significativas em torno de sua mdia, durante a vida da construo.

4.3.1 FORA CENTRFUGA

Ocorrncia - pontes de eixo curvo, atravs do atrito das rodas com o pavimento. C = fora centrfuga para cada eixo do veculo

C MvR

=

2

R = raio de curvatura do eixo da estrada v = Velocidade do veculo M = massa do veculo

C QvR

=

0 0077 2,

onde, Q = peso do veculo (kN) v = km/h R = m

Na prtica admite-se, segundo a NBR-7187, as seguintes foras centrfugas, uniformemente distribuda:

a) pontes rodovirias C = 0,25 do peso do veculo-tipo para R 300 m.

C = R75

do peso do veculo-tipo para R > 300 m.

C atua na superfcie de rolamento.

b) pontes ferrovirias - bitola larga (1,60 m) C = 0,15 da carga mvel para R 1200 m

4.3

C = 180R

da carga mvel apara > 1200 m

- bitola estreita (1,0 m) C = 0,10 da carga mvel para R 750 m

C = R75

da carga mvel para R > 750 m

C atua no centro de gravidade do trem (suposto 1,60 m acima do topo do trilho).

CC

Me M = C . e

seo transversal fora C transferida ao C.G. da seo

Fig. 4.1 - Efeitos da fora centrfuga

Efeito da fora centrfuga sobre a ponte - no caso, haver aumento de solicitao nas vigas direita da seo, e uma diminuio nas vigas situadas esquerda.

solicitao vertical pequena, exceto para estruturas leves. solicitao horizontal requer contraventamento lateral, dada pela laje ou tabuleiro.

4.3.2 IMPACTO LATERAL

Surge apenas nas pontes ferrovirias devido folga entre o friso das rodas e o boleto do trilho.

I = 20% da carga do eixo mais pesado.

Carga concentrada contra o topo do trilho na situao mais desfavorvel.

4.3.3 EFEITO DA FRENAGEM E DA ACELERAO

So foras horizontais ao longo do eixo da ponte. Flexo na infra-estrutura Frao das cargas mveis

pontes rodovirias(o maior dos dois)

5% do carregamento total mvel na pista de rolamento30% do peso do veculo - tipo

pontes ferrovirias(o maior dos dois)

15% de carga mvel para a frenagem25% do peso dos eixos motores p / a acelerao

4.3.4 VARIAO DE TEMPERATURA (NBR 7187 - pg. 9)

variao uniforme C15ot = = 10-5/oC - coeficiente de dilatao trmica

efeitos uniforme

alterao dos comprimentos dos elementosvariao ao longo da altura da seo flexo

4.4

4.3.5 AO DO VENTO (NBR 6123)

A ao do vento traduzida por carga uniformemente distribuda horizontal, normal ao eixo da ponte.

Duas situaesponte descarregada p = 1,5 / mponte carregada p = 1,0 kN / m pontes

p = 0,7 kN / m passarelas

2

2

2

kN

No caso de ponte de laje dispensa-se a considerao da ao do vento, pois, a rea exposta pequena e por haver grande rigidez ao horizontal.

rea de atuaodo vento

egada projeo da estrutura sobreplano normal ao do vento

ponte carregada Aquela projeo acresc ida de uma faixa limitada superiorm

linha paralela ao estrado, distante da superfcie de rolamento de 3,50m, 2,00m, 1,70m, respectivamente, para pontes ferrovirias, rodovirias e pe -

destres

ponte carr

ente por

PRESSO DO VENTO SOBRE PONTES - NBR 6123 (ver Fig.4.2 )

PRESSO DE VENTO SOBRE PONTES . NBR 6123

..

. ...

..

.

.

.

.

..

. . . .. .

.

.

..

..

..

. ...

..

.

.

.

.

..

. . . .. .

.

.

..

..

a) b) c)

d) e)

Fig. 4.2 - Presso de vento sobre pontes, segundo a NB2, para vigas de alma cheia :a) ponte rodoviria descarregada ;b) ponte rodoviria carregada ;c) passarela de pedestres, carregada ;d) ponte ferroviria descarregada ;e) ponte ferroviria carregada.

3,50m

0,7 kN/m21,0 kN/m2

1,5 kN/m2

1,0 kN/m2

1,5 kN/m2

2,00 m1,70 m

4.5

4.3.6 - EMPUXO DE TERRA PROVOCADO POR CARGAS MVEIS

A passagem de um veculo sobre um aterro, vizinho entrada da ponte, produz, na superfcie vertical de encontros e cortinas, uma presso lateral uniforme, dada por Ka. q , produzindo um empuxo:

( )E K qbh q

q qq a

v p

p= =

+ ;

. , . ,3 0 3 0

onde, p = largura da ponte Ka = coeficiente de empuxo ativo qv = carga uniformemente distribuda, resultante da diviso do peso total do veculo-tipo pela

rea (3 x 6 m2) b,h = dimenses da cortina ou encontro q = cargas dos demais veculos

3,0m

p

q qqv

Fig. 4.3 - Esquema para o clculo da carga q equivalente

q

qKa.h

encontro

q

qKa.h

cortina

Fig. 4.4 - Empuxo de terra provocado por cargas mveis

4.3.7 PRESSO D'GUA EM MOVIMENTO (NBR - 7187 - pg. 13)

Esta solicitao deve ser considerada em pilares e elementos de fundao.

q = K .v2 onde,

q = presso esttica equivalente em kN/m2 v = velocidade da gua em m/s K = um coeficiente dimensional determinado experimentalmente

4.6

45 o

direo de fluxo

K = 0,34 K = 0,71 K = 0,54

Fig. 4.5 - Coeficiente de fluxo d'gua

4.3.8 CARGAS DE CONSTRUO

Equipamentos e estruturas provisrias de montagem e lanamento de elementos estruturais.

4.3.9 AES EXCEPCIONAIS

So aes de curta durao e baixa probabilidade de ocorrncia: choque de veculos contra elementos estruturais, exploses, enchentes, sismos etc.

4.3.10 CARGAS MVEIS

4.3.10.1 - INTRODUO

A transposio de obstculos pelos veculos a funo principal das pontes ou dos viadutos. Como se sabe, existem vrios tipos de veculos transitando nas estradas. Por motivos econmicos, as pontes so construdas para determinadas classes de veculos. Fica a critrio dos rgos governamentais, fundamentadas em dados sobre a circulao de veculos, a escolha da classe das pontes. Para cada classe de ponte, esses mesmos rgos estabelecem cargas mximas por eixo, na chamada "lei da balana".

A ABNT fixa as cargas mveis a serem consideradas no clculo de pontes, por meio das seguintes normas:

Pontes rodovirias NBR 7188 Pontes ferrovirias NBR 7189

4.3.10.2 - PONTES RODOVIRIAS ( Ver Figs. 4.6 e 4.7)

Segundo a NBR-7188 as cargas de veculos utilizadas no clculo de pontes so de trs classes:

classe 45 . veculo-tipo de trs eixos com peso total de 450 kN, sendo 150 kN por eixo. . carga uniformemente distribuda em toda a pista de rolamento, inclusive no

acostamento, e exceto na rea ocupada pelo veculo-tipo igual a q = 5kN/m2

classe 30 . veculo-tipo de trs eixos com peso total de 300 kN, sendo 100 kN por eixo. . carga uniformemente distribuda q = 5 kN/m2

classe 12 . veculo-tipo de dois eixos, com peso total de 120kN, sendo 40 kN para o eixo dianteiro e 80 kN para o eixo traseiro.

. carga uniformemente distribuda q = 4 kN/m2

OBS.: . Todos os veculos tipos tm 3m de largura e 6m de comprimento . O conjunto das cargas do veculo-tipo e a carga "q" denominada TREM-TIPO.

4.7

. Nos passeios das pontes considera-se uma carga uniformemente distribuda q' = 3 KN/m2, relativos a multido, desde que essa carga produza efeitos desfavorveis no elemento estudado.

IMPORTANTE - O veculo tipo, q e q' sero colocados na posio mais desfavorvel para o clculo do elemento estrutural, no considerando a poro do carregamennto que provoque reduo das solicitaes

veculo-tipo2 ou 3 eixos

6,0 m

3,0 m

6,0 m

3,0 m

q

q

q

qA A PLANTA

o o o

qq

cargas por eixo do veculo-tipo

CORTE A-A

Fig. 4.6 - Trem - tipo de ponte rodoviria

1,50 1,50 m1,50 m1,50 m

2,0m

0,5m

0,5m

6,0 m

3,0 m

0,2 m 0,2 m 0,2 m

150 kN100 kN

150 kN100 kN

150 kN100 kN

( classe 45 )( classe 30 )

1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m

40 kN 80 kN

2,0m

0,5m

0,5m

6,0 m

3,0 m

0,2 m 0,2 m 0,2 m

1,5 m 3,0 m 1,5 m

0,2 0,3 m

0,3 m0,2

( classe 12 )

Fig. 4.7 - Veculo- tipo rodovirio - NBR - 7188

b

b

; b = 0,50m; b = 0,40m

CARGAS RODOVIRIAS EXCEPCIONAIS

So constitudas por carretas de grandes dimenses, destinadas a transportes de turbina, transformadores, e os caminhes "fora de estradas" com cargas totais entre 1000 kN a 2000 kN. (ver exemplos em PFEIL - VOL.1)

4.3.10.3 - PONTES FERROVIRIAS ( Ver Fig. 4.8)

A norma NBR-7189 estabelece quatro classes de trens brasileiros:

4.8

TB 360 - Ferrovias para transportes de minrios ou equivalentes (cimento areia) TB 270 - Ferrovias para transportes de cargas em geral TB 240 - adotado para verificao e projeto de reforo de obras existentes TB 170 - Ferrovias para transportes de passageiros em regies urbanas ou suburbanas.

Q Q Q Qq'

q q q'

a b c b a

Q = carga por eixo da locomotivaq e q' = cargas dos vages carregados e descarregados, respectivamente

Fig. 4.8 - Trem- tipo ferrovirio

CARACTERSTICAS DAS CARGAS FERROVIRIAS

TB Q (kN) q (kN/m) q' (kN/m) a (m) b (m) c (m) 360 360 120 20 1,00 2,00 2,00 270 270 90 15 1,00 2,00 2,00 240 240 80 15 1,00 2,00 2,00 170 170 25 15 11,00 2,50 5,00

4.3.10.4 PASSARELAS

Carga uniformemente distribuda q = 5 kN/m2

4.3.10.5 - COEFICIENTE DE IMPACTO ( Efeito dinmico das cargas mveis)

O deslocamento das cargas ao longo de uma estrutura produz oscilaes desfavorveis sua estabilidade. As causas, em geral, so as irregularidades das pistas e a aplicao bruscas das cargas.

Embora, a anlise dos efeitos deva ser feita pela teoria da dinmica das estruturas, permite-se majorar as cargas mveis, atravs do coeficiente de impacto, e consider-las como se fossem aplicadas estaticamente.

A NBR 7187 adota as seguintes expresses empricas do coeficiente de impacto:

Pontes rodovirias

= 1 4 0 007 1 0, , , com em metros

para =1, tem-se =57m

Pontes ferrovirias

( ) = + 0 001 1600 60 2 25 1 2, , , com em metros

p/ = 1,2, tem-se = 169 m

onde:

4.9

a) viga simplesmente apoiada = vo terico

b) viga contnua

Se xm nm 70,0 , ento, usa-se a mdia dos comprimentos dos tramos, caso contrrio, = vo terico de cada tramo

l l l l l1 2 3 4 5

Fig. 4.9 - Fixao do vo " l " , relativo ao coeficiente ,,,, para vigas contnuas

51, = vos tericos dos balanos 42a = vos tericos dos tramos internos

c) vigas em balano = o dobro do vo terico do balano

d) lajes com vnculos nos quatro lados = menor vo terico, a favor da segurana

O coeficiente de impacto desconsiderado nos seguintes casos: - Nos passeios - Nos clculos das fundaes - Empuxo de terra provocado por cargas mveis - macio atenua os efeitos dinmicos

4.4 COMBINAO DAS AES

4.4.1 INTRODUO

Um conjunto de aes atuando sobre uma estrutura, em geral, tem probabilidade no desprezvel de atuarem simultaneamente, durante o perodo de sua vida til.

A fim de que possam ser determinados os efeitos mais desfavorveis para a estrutura, aquelas aes devem ser combinadas corretamente.

Segundo a NBR 8681, consideram-se, para as combinaes ltimas, os seguintes critrios:

a) Aes permanentes Devem figurar em todas as combinaes

b) Aes variveis Em cada combinao ltima, uma das aes variveis considerada como a principal,

admitindo-se que ela atue com seu valor caracterstico FK; as demais aes variveis so consideradas como secundrias, admitindo-se que elas atuam com seus valores reduzidos de combinao 0 FK.

4.10

A verificao da segurana feita considerando-se as seguintes combinaes:

Estado limite ltimo (ELU) : Combinaes ltimas das aoes Estado limite de utilizao : Combinaes de utilizao

4.4.2 - COMBINAES LTIMAS DAS AES

Para as combinaes ltimas normais, o valor de clculo vale:

= =

++=m

1i

n

2jk,Qjj0k,1Qqk,Gigid )F.F(F.F

onde, FGi,k = valores caractersticos das aes permanentes.

k1QF = valor caracterstico da ao varivel admitida como principal.

oj QjkF = valor reduzido de combinao de cada uma das demais aes variveis

qgi , = coeficientes de ponderao, respectivamente, das aes permanentes e das aes variveis

4.4.2.1 COEFICIENTES DE PONDERAO DAS COMBINAES LTIMAS NORMAIS

a) Para as aes permanentes formadas pelos pesos prprios

Peso da estrutura < 75% do peso total permanente

g = 1,4 para efeitos desfavorveis g = 0,9 para efeitos favorveis

Peso da estrutura > 75% do peso total permanente (situao mais comum em pontes)

g = 1,3 para efeitos desfavorveis g = 1,0 para efeitos favorveis

b) Para as aes permanentes formadas pelas deformaes impostas (recalque de apoio, retrao, fluncia)

g = = 1,2 para efeitos desfavorveis g = = 1,0 para efeitos favorveis

c) Para as aes variveis

cargas mveis : q = 1,4

4.11

efeitos de temperatura: q = = 1,20

4.4.2.2 - FATORES DE COMBINAO

pontes de pedestres: o = 0,4 pontes rodovirias : o = 0,6 pontes ferrovirias : o = 0,8

OBS.: Nos casos particulares de combinaes ltimas excepcionais, especiais ou de construo, a norma NBR 8681 fornece outros valores de

4.4.3 COMBINAES DE UTILIZAO

4.4.3.1 - INTRODUO

Nestas combinaes no se consideram os coeficientes de majorao g q e, , retratando-se, com estas providncias, as condies reais de utilizao da obra.

Os itens 1.1 e 1.2 do anexo da NBR 6118 estabelecem uma combinao de utilizao para cada verificao do estado limite de utilizao, tais como:

a) Para verificao do estado limite de fissurao (abertura de fissuras) - Combinao frequente de utilizao.

b) Para verificao de estado limite de formao de fissuras - Combinao rara de utilizao. c) Para verificao de estado limite de deformao excessiva (flecha) - Combinao quase-

permanente de utilizao.

4.4.3.2 COMBINAES QUASE-PERMANENTE (longa durao) DE UTILIZAO

k,Qjn

1jj2

m

1ik,Giuti,d FFF

==

+=

4.4.3.3 COMBINAES FREQENTES (QUE SE REPETEM MUITAS VEZES) DE UTILIZAO

k,Qjn

2jj2k,1Q1

m

1ik,Giuti,d FFFF

==

++=

4.4.3.4 COMBINAES RARAS DE UTILIZAO

k,Qjn

2jj2k,1Q

m

1ik,Giuti,d FFFF

==

++=

onde, os valores dos fatores de combinaes so os seguintes:

4.12

pontes de pedestres 2,0e3,0 21 == pontes rodovirias 2,0e4,0 21 == pontes ferrovirias 40e60 21 ,, ==

OBS.: Os fatores de combinao o e, 1 2 levam em conta que muito baixa a probabilidade de ocorrncia simultnea dos valores caractersticos de duas ou mais aes variveis de natureza diferentes.

5.1

CAPTULO V (2002)

EXEMPLO DE PONTE DE CONCRETO ARMADO, COM DUAS VIGAS PRINCIPAIS

ROTEIRO DE CLCULO

I - DADOS

Ponte rodoviria. classe 45 (NBR-7188) Planta, corte e vista longitudinal (Anexo) Frma da superestrutura e da infra-estrutura Concreto : fck = 18 MPa Ao : CA-50 Pesos especficos : concreto simples : 24 kN/m3 concreto armado : 25 kN/m3 pavimentao : 24 kN/m3 recapeamento : 2 kN/m2 Viga principal - pr-dimensionamento : valores do ndice de esbeltez l / h = vo / altura ( Martinelli - 1971)

tipo de ponte concreto armado concreto protendido pedestres 15 a 20 20 a 25 rodoviria 10 a 15 15 a 20 ferroviria 8 a 10 10 a 15

II - CLCULO DAS VIGAS PRINCIPAIS

1 - Clculo dos esforos devidos carga permanente (g) 1.1 - Clculo da carga permanente g 1.2 - Clculo do momento fletor devido a g 1.3 - Clculo do esforo cortante devido a g 1.4 - Clculo das reaes de apoio devidas a g

2 - Clculo dos esforos devidos carga mvel (q) 2.1 - Determinao do trem-tipo para a viga principal 2.2 - Momentos fletores mximo e mnimo devido a q 2.3 - Clculo dos esforos cortantes mximo e mnimo devidos a q 2.4 - Reaes de apoio mxima e mnima devidas a q

3- Esforos totais 3.1 - Momentos fletores extremos 3.2 - Esforos cortantes extremos 3.3 - Reaes de apoio extremas

4- Dimensionamento das armaduras 4.1 - Verificao do pr-dimensionamento da seo 4.2 - Clculo da armadura de flexo 4.3 - Clculo da armadura de cisalhamento 4.4 - Verificao da fadiga da armadura de flexo 4.5 - Verificao da fadiga da armadura de cisalhamento

III - CLCULO DAS TRANSVERSINAS

IV - CLCULO DAS LAJES DO TABULEIRO

5.2

V - CLCULO DA INFRA-ESTRUTURA

VI ANEXO

5.3

Corte e Vista longitudinal da ponte

5.4

Seo Transversal no apoio e no meio do vo

5.5

Vista inferior e Locao da Fundao

5.6

DADOS DO PROJETO DE PONTES (2007) [cm]

GRUPOS

1a. N O T A

2a. N O T A

3a. N O T A

4a. N O T A

C L A S S E

L1

L2

L3

L4

L5

L6

a

b

c

h1

h2

h3

h4

h5

h6

b1

b2

b3

b4

b5

D1

D2

D3

hp1

hp2

0 - Aulas-Apostila 45 1300 610 330 350 250 600 250 500 1000 80 25 225 225 200 120 40 100 30 50 25 100 140 300 500 700 I- 12 700 310 150 165 105 270 140 300 400 60 15 80 50 35 40 30 40 25 30 15 60 100 200 540 600 II- 30 1000 460 260 275 215 490 160 315 450 60 16 80 60 44 50 30 50 25 30 15 65 80 200 580 700 III- 12 750 335 200 212 147 359 150 340 600 62 16 100 65 49 50 24 50 28 30 16 65 80 210 640 900 IV- 30 1030 475 275 289 219 508 170 350 650 64 17 110 70 53 60 28 60 24 30 16 70 90 240 660 850 V- 12 800 360 210 223 173 396 160 350 750 68 19 130 80 61 60 26 65 22 36 18 50 100 250 700 400 VI 30 1050 485 250 263 208 471 180 360 800 70 20 140 85 65 70 26 70 22 36 18 55 110 260 720 450 VII- 12 820 370 200 214 160 374 180 380 900 70 22 160 100 78 70 28 70 24 38 22 54 130 280 760 600 VIII- 30 1080 500 300 316 256 572 200 390 950 72 23 170 110 87 80 32 75 25 38 23 60 140 290 780 650 IX- 12 860 390 240 255 193 448 190 410 1080 72 24 190 130 106 80 30 75 25 40 21 62 100 250 820 950 X- 30 1120 520 320 335 267 602 210 420 1100 74 26 200 140 114 90 30 80 26 42 23 68 140 280 840 920 XI- 12 900 410 260 277 211 488 200 440 1150 80 26 215 150 124 90 34 80 28 42 23 66 90 210 880 700 XII- 30 1150 535 280 298 224 522 220 450 1200 82 27 205 160 133 100 36 85 29 44 24 74 110 230 900 720 XIII- 12 940 430 270 288 208 496 210 470 1300 82 27 200 170 143 100 36 85 31 44 25 80 100 240 940 600 XIV- 30 1180 550 330 349 267 616 230 480 1320 84 28 235 180 152 110 38 90 32 46 26 82 110 260 960 550 XV- 12 960 440 290 309 219 528 220 500 1300 86 29 235 190 161 110 38 90 32 46 26 90 120 270 1000 450 XVI- 30 1200 560 340 359 264 623 240 510 1300 88 30 240 210 180 130 38 95 33 48 27 95 130 280 1040 650

onde, a) hp1 e hp2 so, respectivamente, as alturas dos pilares 1 e 2 b) h3 = altura da viga principal = distncia da face superior da laje at a face inferior da viga c) h4 = altura da transversina = distncia da face superior da laje at a face inferior da transversina d) h2 = espessura da laje e) h5 = h4 - h2 f) os aparelhos de apoio dos pilares 1 e 2 so, respectivamente, de neoprene e de Freyssinet g) as demais dimenses esto indicadas na planta, cortes e vista longitudinal

6.1

CAPTULO VI (2002)

6) CLCULO DAS VIGAS PRINCIPAIS

6.1) REPARTIO DAS CARGAS TRANSVERSALMENTE

No caso de pontes sobre duas vigas principais, h basicamente, trs esquemas estticos de clculo:

Sees transversais monolticas Esquemas de clculo das vigas principais

a

laje

vigas

P

c

laje

vigas

Ptransversina

b

laje

vigas

Ptransversina

P

I vigas independentes

II grelhas

P (1)(1)(1)(1) P

d

P P

III seo celular

P. e

e

e

simplificao satisfatria

simplificao menos satisfatria

Fig. 6.1 - Esquemas de clculo das vigas principais

Obs.: NBR-6118 - sees transversais com trs ou mais vigas principais devem ser calculadas como grelha.

6.2

6.2 CLCULO DAS VIGAS PRINCIPAIS

6.2.1 CLCULO DOS ESFOROS DEVIDO CARGA PERMANENTE

A carga permanente pode ser considerada uniformemente distribuda, igualmente para cada viga, inclusive o peso prprio das transversinas.

Somente o peso prprio da cortina ser considerado como concentrado na extremidade da viga, porm, sem o momento fletor correspondente.

6.2.2 CLCULO DOS ESFOROS DEVIDO S CARGAS MVEIS

Os esforos sero obtidos atravs de clculo como vigas independentes.

P Pp'p'

1 2

1

A LI de R1(reao da viga )

Fig. 6.2 - Esquema de clculo - como vigas independentes

11R = P. + p'. A

1R = P . + p' . A

(parcelas das cargas P e p'suportadas pela viga 1 )

As cargas P e p' atuando sobre o tabuleiro, correspondem s cargas P + p'A sobre um determinado ponto da viga 1 .

Considerando-se todas as sees transversais, ao longo da ponte, obtm-se todas as cargas sobre a viga 1 , correspondentes quelas atuantes sobre o tabuleiro. Esse carregamento obtido sobre a viga 1 denominado TREM-TIPO da viga principal.

6.3

6.2.3 ESQUEMA PARA A DETERMINAO DO TREM-TIPO DAS VIGAS PRINCIPAIS

+ +

+ +

+ +

q

q

q

q'

q'

Q q Q

qq'

q'

A

AAAA

A

12

3

4

5

6.

..

.

.. .

.

1

y y21

QQQ

q

q

q

2

1

2

1

1

1

TREM-TIPO DA VIGA V

A A

BB

C C

V V21

1(devido simetria o trem-tipo da viga V2 igual ao da V1)

PLANTA

SEO TRANSVERSAL

CORTE A-A = CORTE C-C

CORTE B-B

LINHA DE INFLUNCIA ( LI )DOS QUINHES DE CARGA SOBRE A VIGA V1

Q1 =

Q

Q

Q

Q ( y1 y2+ )q1

q2

=

=

q

q (

A1 + q' A6

A2 A3 A4 A5A1 + + + ) + q' ( + A6 )

Fig. 6.3 - Esquema para a determinao do trem-tipo das vigas principais

OBS. Para se obterem os mximos valores de Q q e q1 1 2, , observando a LI, deve-se colocar o veculo-tipo to prximo quanto possvel da viga 1 .

6.2.4 VALORES EXTREMOS DOS ESFOROS DEVIDO S CARGAS MVEIS

6.4

Determinado o TREM-TIPO da viga principal, pode-se obter, atravs das linhas de influncias, os valores mximos e mnimos dos esforos solicitantes ( M e V)

Exemplo: Extremos de Mc

C

Q1Q1Q1q1

q2

Q1 Q1 Q1

q1

q2q2

1

-

+

-

C LI de Mc

Posio do trem- tipo para o clculo de

Posio do trem- tipo para o clculo de

Viga principal V 1

( Mc,mn = mximo momento fletor negativo na seo C)

( Mc,mx = mximo momento fletor positivo na seo C)

Fig.6.4 - Linha de influncia do momento fletor na seo C e as posies do trem-

6.3 ENVOLTRIA DE ESFOROS

So os valores mximos e mnimos dos esforos em cada seo transversal da viga. Esses valores so determinados pela combinao das cargas permanentes e mveis.

O nmero de sees adotadas em cada tramo varia com o vo do mesmo, podendo adotar-se:

L = 26 m

vo dividido em 10 partes

Recomenda-se : 5 sees para vo L entre 5 e 10 m

10 sees para vo L entre 20 e 30 m

Fig. 6.5 - Nmero de sees para cada tramo da viga

6.4 CLCULO DAS VIGAS PRINCIPAIS - RESOLUO DO PROJETO (Dados referentes ao grupo "0")

6.5

6.4.1 CLCULO DOS ESFOROS DEVIDO CARGA PERMANENTE

6.4.1.1 Clculo das cargas permanentes - Peso prprio de meia seo transversal

2

1

6

3

4

5404015

5 15 5 15

40 260 cm 40 80 230 cmcm

1225

200 cm

10 cm

Fig. 6.6 - Seo transversal da ponte

5 cm

elemento descrio peso / m 1 alma da viga : 0,40x2,25x25 22,50 2 laje interna : 0,25x3,10x25 19,37 3

msula : 0 10 0 80

225

, ,xx

1,00

4 laje em balano : 0 15 0 35

23 00 25

, ,

,

++++x x

18,75

5

defensa :

0,225x40,0x2

25,015,0

25,325x40,0x2

25,040,0

=

+

=

+

5,25

6 pavimentao :

0 05 0 122

6 10 24 12 44, , , ,++++ ====x x

recapeamento : 6,10x2,00 = 12,2

24,64

7 alargamento da alma : 5,0 m

0,400,60

2,0 m

0 60 5 02

2 0430

25 10 0, , , ,x x x x ====

10,0

6.6

m/kN51,1011g ==

- Peso prprio das transversinas (considerando unif. distrib. ao longo da viga, l = 30m)

50 30 50 cm

200

1025 cm

cm

laje j considerada

Fig.6.7 - Seo transversal da transversina

cm

.

, ,

,

.

alma: 0,30x2,00x3,10x25 = 45,5kN

.msula: 2 0,10x0,502

nos apoios: 0,30x2,00x0,60x25 = 9,00kN total = 3x50,37 - 2x9,00 = 133,11kN

=

x x kN

kN

descontos

310 25 3 8750 37

5,0 m

0,400,60

2,0 m transversina

viga principal

Fig. 6.8 - Desconto nos apoios

carga distribuda ao longo da viga g2 = =13311

304 44, , /kN m

-carga distribuda total m/kN95,105ggg 21 =+= - Peso prprio das cortinas

6.7

0,250,10

2,0 m

2,25 0,25

0,25

0,50 m

1,65 m

0,25

0,50 m

0,25

12,50 m

0,250,25 m

laje j considerada

Ala

cortinaAla

cortina

Fig. 6.9 Dimenses das cortinas e alas

ALA: 0 50 2 252

2 25 0 25 0 50 2 25 0 25 25 26 37, , , , , , , ,+ +

=x x x x x kN

CORTINA: 0 25 0 25 0 25 2 0 0 10 0 502

6 25 25 91 80, , , , , , , ,x x x x kN+ +

=

G = 26,37 + 91,80 = 118,17 kN carga concentrada nas extremidades

dos balanos

- CARGA PERMANENTE TOTAL - Vigas principais

G = 118,17 kN G = 118,17 kNg = 105,95 kN/m

5,0 m 20,0 m 5,0 m

Fig. 6.10 - Cargas permanentes da viga principal

- Sees para clculo dos esforos solicitantes

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

2,5 m 2,5 m 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,5 m2,5 m

Fig. 6.11 - Fixao das sees ao longo da viga principal

6.4.1.2 - REAES DE APOIO

Rg Rg kN2 12 1703 37= = ,

6.8

6.4.1.3 - DIAGRAMA DE Mg : (conveno: trao embaixo: positivo)

- -

+

627

1915

8

1475

2535

31703382

Mg [ kN . m ]

Fig. 6.12 - Diagrama de M devido s cargas permanentes

6.4.1.4 - DIAGRAMA DE Vg (conveno: horrio positivo)

-

-

+

118383

648

1060848

636424

212 +Vg [kN]

Fig. 6.13 - Diagrama de V devido s cargas permanentes

0

6.4.2 - CLCULO DOS ESFOROS DEVIDO S CARGAS MVEIS

6.4.2.1 - Obteno do TREM-TIPO das vigas principais (ver Fig. 6.15)

Hiptese de clculo: vigas independentes

coeficiente de impacto: =1,4 - 0,007 no balano : = 1,4 - 0,007(2x5) = 1,33 no vo central : = 1,4 - 0,007 x 20 = 1,26

6.9

q

V V 21

SEO TRANSVERSAL

CORTE A-A = CORTE C-C

CORTE B-B

LINH A DE INFLUNCIA ( LI )

+ +

0,40 0,40

0,40 2,80 6,60 m 2,80 m 0,40 m

+ +

+ +

+ +

0,40 2,00 m 0,40 m

veculo-tipoclasse 45

++

-

.

...

...

0,97 (w x6,4)1,00 (w x6,6) 1,35 (w x 8,9)

1,48 (w x 9,8)

0,48

w = 1 / 6,60 =

(quinho de carga para a viga V1 )DA REAO DO APO IO 1

Q Q

1,05 (w x6,9)1,42 (w x 9,4)

q

0,4 2,0 m 0,5 6,40 m0,5

9,40 m

3,20 m

CARREG AM ENTO DO TAB ULEIROPLANTA -

Q = 450 / 6 = 75A A

B B

C

C 0,5 2,0 m 0,5

q = 5 kN/m 2

Fig. 6.15 - Esquema para o clculo do TREM -TIPO da viga

q

1,5 m

1,5 m

1,5 m

1,5 m

q = 5 kN/m 2

Q 1

Q 1

Q 1

q 2

q1

q 2

TREM -TIPO

6,4 m6,6 m

6,9 m8,9 m

9,4 m9,8 m

6.10

TREM-TIPO - VIGA PRINCIPAL

Q1 Q1 Q1

q1

q2q2

Fig. 6.16 - TREM-TIPO da viga principal

Q kNCARGAS q kN m

1

1 /

Balano =1,33

vo central =1,26

Q x x1 75 1 35 1 05= + ( , , )

239,40 226,80

q x x x1 50 97 6 40

2= (, , ) 20,64 19,56

q x x x2 51 42 9 40

2= (, , ) 44,38 42,05

6.4.2.2 REAES DE APOIOS

Rq x x x x KN2 239 40 0 10 0 175 0 25 20 640 025 0 25

24 5 44 38 0 025 0 5

2138 74

,, ( , , , ) , , , , , , , ,mn = + +

+

=

A B5,0 m 20,0 m 5,0 m

0 1 2 12 13 147

q1

q2

Q1 Q1 Q1q2

Q1 Q1 Q1 q1

+

-

..

..

..

.. .

1,25

1,1751,10

1,0251,00

0,250,1750,100,025

1,5 1,5 1,50,50 m 0,50 m

1,5 1,5 1,520,0 m

Linha de Influncia da reao do apoio Aou da seo 2 ,

Posicionamento do TREM-TIPO paraa obteno da mxima reao do apoio A ou

Posicionamento do TREM-TIPO paraa obteno da mnima reao do apoio A ou

Viga principal

Fig. 6.17 - Reaes mxima e mnima da viga principal, causadas pelas cargas mveis

R qA,mx

R qA,mn

da seo 2 , Rq2,mx=

R q2,mn=da seo 2 ,

RA = R2

6.11

Rq x x x KN2 239 40 1 25 1175 110 20 641 025 1 25

24 5 42 05 1 025 20 5

21391 33

,, ( , , , ) , , , , , , , ,mx = + + +

+

+

=

6.4.2.3 MOMENTOS FLETORES

Exemplo: seo 1 - balano - = 1,33

A B5,0 m 20,0 m 5,0 m

0 1 2 12 13 147 Viga principal

.

.

1,5 2,51,0

1

2.51,0

-

Linha de influncia do momentofletor da seo 1 , Mq1

Fig. 6.18 - Momentos fletores extremos, causados pelas cargas mveis

Posicionamento do trem-tipo para o clculo de Mq1,mn

239,4 kN20,64 kN

M x kN mM

q mn

q mx

1

1

239 4 2 5 1 0 20 64 2 5 2 52

902 400

,

,

, ( , , ) , ( , , ) , .==== ++++ ==== ====

Momentos fletores Mq (kNm) Seo Mq mx,

Mq mn,

0 0 0 1/13 0 -902,40 2/12 0 -2.774,67 3/11 1.682,21 -2.552,68 4/10 2.952,74 -2.330,68 5/9 3.836,88 -2.108,69 6/8 4.397,61 -1.886,70 7/7 4.590,81 -1.664,71

6.4.2.4 - ESFOROS CORTANTES (Vq)

6.12

Exemplo: seo 1 - balano - = 1,33

A B5,0 m 20,0 m 5,0 m

0 1 2 12 13 147 Viga principal

. .

1,5 2,51,0

1,0

Linha de influncia do esforocortante da seo 1 , q1

Fig. 6.19 - Esforos cortantes extremos, causados pelas cargas mveis

Posicionamento do trem-tipo para o clculo de V q1,mn

239,4 kN20,64 kN/m

-

1,0

V

ESFOROS CORTANTES Vq (kN) Seo

mx,qV mn,qV

0/-14 0 -239,40 1/-13 0 -530,40 2e/-12d 0 -833,27 2d/-12e 986,45 -138,74 3/-11 850,00 -142,94 4/-10 720,57 -155,15 5/-9 599,58 -199,70 6/-8 487,00 -287,06 7/7 382,82 -382,82

6.4.3 - ESFOROS TOTAIS (ver combinaes de aes)

O peso prprio da estrutura > 75% do peso prprio total, ento,

g ==

=

1 31 01 4

,

,

,

para efeitos desfavorveis para efeitos favorveisg

q

6.4.3.1 - MOMENTOS FLETORES de CLCULO (Md)

M Mg MM Mg M

d g q q

d g q q

, ,

, ,

mx mx

mn mn

= +

= +

Exemplo: seo 1 Mg kN mM M kNmq q

=

= =

626 00 902 4

, /; ,

, ,mx mn

6.13

Md,mx = 1,3 (-626) + 1,4 x 0 = -813,8 kNm Md,mn = 1,3 (-626) + 1,4 (-902,4) = -2077,16 kNm

MOMENTOS FLETORES DE CLCULO Md (kN.m) Seo

Mg Mq mx,

Mq mn,

g

q Md mx,

g

q

Md mn,

0,14 0 0 0 - - 0 - - 0 1/13 -627 0 -902,40 1,3 - -815,10 1,3 1,4 -2078,46 2/12 -1915 0 -2774,67 1,3 - -2489,50 1,3 1,4 -6374,04 3/11 -8 1682,21 -2552,68 1,0 1,4 2347,09 1,3 1,4 -3584,15 4/10 1475 2952,74 -2330,68 1,3 1,4 6051,34 1,0 1,4 -1787,95 5/9 2535 3836,88 -2108,69 1,3 1,4 8667,13 1,0 1,4 -417,17 6/8 3170 4397,61 -1886,70 1,3 1,4 10277,65 1,0 1,4 528,62 7/7 3382 4590,81 -1664,71 1,3 1,4 10823,73 1,0 1,4 1051,41

6.4.3.2 - ESFOROS CORTANTES (Vd)

V V V

V Vd g g q q

g g q q

, ,

,

mx mx

d,mn mnV

= +

= +

ESFOROS CORTANTES DE CLCULO Vd (kN) Seo Vg Vq mx,

Vq mn, g q Vd mx, g q Vd mn,

0 -118 0 -239,440 1,3 1,4 -153,40 1,3 1,4 -488,62 1 -383 0 -530,40 1,3 1,4 -497,90 1,3 1,4 -1240,46 2e -648 0 -833,27 1,3 1,4 -842,40 1,3 1,4 -2008,98 2d 1060 986,45 -138,74 1,3 1,4 2759,03 1,0 1,4 865,76 3 848 850,00 -142,94 1,3 1,4 2292,40 1,0 1,4 647,88 4 636 720,57 -155,15 1,3 1,4 1835,60 1,0 1,4 418,79 5 424 599,58 -199,70 1,3 1,4 1390,61 1,0 1,4 144,42 6 212 487,00 -287,06 1,3 1,4 957,40 1,0 1,4 -189,88 7 0 382,82 -382,82 1,3 1,4 535,95 1,3 1,4 -535,95 8 -212 287,06 -487,00 1,0 1,4 189,88 1,3 1,4 -957,40 9 -424 199,70 -599,58 1,0 1,4 -144,42 1,3 1,4 -1390,61 10 -636 155,15 -720,57 1,0 1,4 -418,79 1,3 1,4 -1835,60 11 -848 142,94 -850,00 1,0 1,4 -647,88 1,3 1,4 -2292,40 12e -1060 138,74 -986,45 1,0 1,4 -865,76 1,3 1,4 -2759,03 12d 648 833,27 0 1,3 1,4 2008,98 1,3 1,4 842,40 13 383 530,40 0 1,3 1,4 1240,46 1,3 1,4 497,90 14 118 239,40 0 1,3 1,4 488,56 1,3 1,4 153,40

6.4.3.3 - REAES DE APOIO (Rd)

kN18,1513)744,138(4,142,1707x0,1kN51,416733,1391x4,142,1707x3,1RdRd

,12,2

=+==

=+==

nm12,nm2,

xmxm

RdRd

6.4.3.4 - ENVOLTRIAS DOS ESFOROS SOLICITANTES (Md e Vd)

6.14

- -

+

Md [ kN . m ]

Fig. 6.20 - Envoltrias dos esforos solicitantes

mnimos

mximos

mximos

mnimos

Vd [kN]488,62

153,40

++

-

-

1240,46

497,90

2008,98

842,40

865,76

2759,03

2292,40

1835,60

1390,61

647,58418,79

144,42

189,88535,95

957,40

1390,61

1835,60

2292,40

2759,03

865,76647,58

189,88

418,79144,42

535,95

153,40488,56

1240,46

2008,98

842,40

497,90

815,10

2078,46

6374,04

2489,50 3584,15

1787,95

417,17

528,621051,41

10823,7310277,65

8667,13

6051,34

2347,09

528,62

417,17

1787,95

3584,15

6374,04

2489,50

2078,46

815,10

2347,09

6051,34

8667,13

10277,65

6.4.4 - DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS

Nas regies submetidas a momentos fletores positivos, trao na alma, as vigas ao se deformarem so acompanhadas pelas lajes. Portanto, as lajes coloboram na resistncia aos esforos de compresso. Conseqentemente, a seo resistente a seo T.

Segundo a NBR-6118, a largura colaborante, bf, da laje dada por:

- Largura colaborante

b

b b bou

b bwb bw

f

a

=

+ +

+

+

1 3

1

3

22

onde,

ba

hb

ba

hf f1

2

3

0 1080 5

0 106

,

,

,

onde, a = , viga simplesmente apoiada

a ====34 , tramo com momento em uma s extremidade

a ====35 , tramo com momento nas duas extremidades

a ==== 2 , viga em balano

6.15

b b b

b b b b

bb

b

b b

b b

f f f

3 1 1 1 3 3

www

a

2

f fh h

Fig. 6.21 - Largura colaborante das lajes

6.4.4.1 - VERIFICAO DO PR-DIMENSIONAMENTO DA SEO

Verificam-se as sees onde ocorrem os mximos esforos solicitantes. No projeto, essas sees so as seguintes:

momento mximo positivo: seo 7 ; Md,mx = 10823,73 kN.m momento mximo negativo: seo 2 ou 12; Md,mx = - 6374,04 kNm cortante mxima : seo 2d ou 12e: Vd,mx = 2759,03 kN

a) Seo 7

Tembaixo traomx = ;m.kN73,10823M ,d

h = 225 cm

hf = 2510 cm

40 cm

10 cm10 cm

120 cm120 cm 60 cm

b2 = 620 - 20 = 600 cm

hf = 25 cm10 cm

10 cm 10 cm

40 cm

120 cm 60 cm 120 cm

Fig. 6.22 - Clculo da largura coraborante

viga V1 viga V2

b

a x x cm

hf x cmb x cm

1

2

0 10 0 10 35

2000 120

8 8 25 2000 5 0 5 600 300

= =

= =

= =

, , | |

, ,

b a cmh cm

b cmf

f

30 10 1206 150

120 60 120 300

=

=

= + + =

, | |

| |

Supondo-se d = 0,9h = 202,5 cm, tem-se:

6.16

37,11373.082.1

)5,202(x300M

dbK2

d

2f

c ===

f MPa tabela xd

x x cm

entao x h cm L N na lajeCK

f

= = = =

< =

18 0 10 0 10 202 50 20 25

25

, , , ,, . .

CA A Kcxd

d cm hd

cm

x

dx x cm h

L N

f

= = = = =

= = = = > =

50 2 4 3001082373

930 9

104

0 6283 0 6283 93 58 43 1 25 31 25

2

lim ,,

, , , , ,

. .

corta a alma.

>

OBS.: A princpio, a altura da seo poderia ser diminuda, entretanto, ser mantida a altura inicial, por se tratar de exerccio didtico.

b) Seo 2: Md,mx = 637.404 kNcm trao em cima seo retangular

verificao inicial : bw = 40 cm (sem alargamento no apoio)

CA Af mPa

K M bwdKc

x kNcmCK

c d

=

= = = =5018

2 4 40 202 52 4

6834382 2

lim ,limlim

,

,

,

.

Md,mx < Md,lim ento, no necessrio alargar a seo,porm, essa concluso vlida somente aps a verificao da cortante mxima.

c) cortante mxima: Vd,mx = 2759,03 kN

Segundo a NBR-6118 item 6.1.4.1 tem-se :

wdd

w

wu

cdVb d

fdo eixo)= =

0 25, (estribos verticais)0,30f (estribos a 45cd o

f f cm

x kN

cdck

wu

= = =

= =

1 41 81 4

1 2857

0 25 1 2857 0 3214

2

,

,

,

, /

, , ,

kN

/ cm2

V b d x xV

du wu w

du

= = =

>

. . , , ,0 3214 40 202 5 2603 57 kNV necessrio alargar a seod,mx

OBS.: As dimenses iniciais, deste exerccio didtico, sero mantidas, porm, nota-se que possvel modific-las. Se, no entanto, forem feitas modificaes deve-se refazer os clculos, desde que a variao do peso prprio seja maior que 5%.

6.4.4.2 - CLCULO DA ARMADURA DE FLEXO

6.17

Para cada seo preestabelecida, calcular-se-o as armaduras. Note-se que, caso os momentos Md,mx e Md,mn forem de sinais contrrios, determinar-se-o duas reas de armaduras.

Exemplo: Seo bw ou

(bf) (cm)

Md+ kN.cm

Md-

(kN.cm) KC KS As1+

(cm2) As2 - (cm2)

3 76 (336)

(234.709) 358.415 8,70

(58,70) 0,024 (0,023)

(27,244) 442,55

Kc bdMd

Ks As Ks Mdd

= =2

tabela

.....

.....

A

A s1

s2

Fig. 6.23 - Armaduras superior e inferiord = 202,5 cm

6.4.4.3 - CLCULO DA ARMADURA DE CISALHAMENTO

d wd c

c ck

wdw

f MPaVd

b d

= >

=

=

115 0

1

,

( )

w =

fydd

w mnimo =, 0,14 % para ao CA-50

onde, 1 0 15= , flexo simples e flexo-trao

1 0 15 1= +

,

,

MM

o

d mxflexo-compresso ou flexo com protenso

1 0= Flexo-trao (LN fora da seo) Mo = momento fletor que anula a tenso normal na borda menos comprimida

Exemplo

6.18

Seo bw ou (cm) Vd (kN) wd

kNcm

( )2 dkNcm

( )2 w (%)

5 40 1391 0,172 0,134 0,31

2c

22

w

dwd

cm/kN0637,0MPa637,01815,0

cm

kNcm/kN172.0

5,202x401391

d.bV

===

===

wd wd c

ydyk

wd

yd

x

ff

fx

==== ==== ====

==== ====

==== ==== ==== ====

1 15 1 15 0 172 0 0637 0 134

1 1550

1 15

0 13450

1 15 0 0031 0 31

, . , , , ,

, ,

,

, , , %

6.4.4.4 - VERIFICAO DA FADIGA DAS ARMADURAS (NORMA ALEM - DIN-1045)

Os ensaios de flexo revelam que aps 2 x 106 de ciclo de flutuaes de carga, a armadura pode romper com tenso inferior medida em ensaio esttico. Este fenmeno denomina-se fadiga de armadura.

- Limites mximos da amplitude das variaes de tenses:

s =18 kN/cm2 para barras retas com pequena curvatura14 kN/cm2 para barras com grandes curvaturas (estribos) 8 kN/cm2 para barras soldadas e emendas com soldas

- Elementos que devem ser verificados fadiga: vigas e lajes do tabuleiro de pontes

- Fator de fadiga

o fator pelo qual devem ser multiplicadas as reas de armadura de uma seo, para atender as flutuaes de tenses.

Fator de fadiga =

s

s

1 0,

Se,

s

s

> 1 0, , ento, corrige-se a armadura calculada,

A As corrig ss

s calculado, ,.=

onde,

6.19

s = variao de tenses calculadas s iao de tenses admissveis= var

OBS.:As tenses s devem ser calculadas com esforos solicitantes de servios, isto , sem major-los com os coeficientes de majorao.

6.4.4.5 - VERIFICAO DA FADIGA DA ARMADURA DE FLEXO

Solicitaes de servio:

M M MM M

g q

g q

mx mx

mn mnM= += +

,

,

Clculo das tenses nas armaduras

- armadura tracionada (As)

sM

ZAs=

;

=

mn

mx

f

Mou

M=M

0) > (m T seo 2

h-d

0)

6.20

cm.kN268.255Mcm.kN221.168M

cm.kN800M

mn,q

mx,q

g

=

=

=

bf = 336 cm bw = 76 cm h = 225 cm hf = 25 cm

Mmx = 167. 421 kN.cm Mmn = - 256.068 kN.cm

.....

.....

A

As1

s2

d = 202,5 cm+

25 cm

200 cm

b f = 336 cm

= 42,55 cm2

C.G.

= 27,24 cm276 cm

y2 = 72,5

y1 = 117,5

85 cm

140 cm

I = 1.1957 x 10 8 cm 4

z = 0,87.d = 176,18 cm

d - h f = 190 cm/ 2

Fig. 6.24 - Caractersticas geomtricas da viga principal

a) armadura superior, As2 a.1) momento, M = Mmx = 167. 421 kN cm (armadura ser comprimida)

282s cm/kN015,15,72x10x1957,1

421.167x10y

IM10 ===

a.2) momento, M = Mn = -256. 068 kN cm (armadura ser tracionada)

2

2s cm/kN16,3455,42x18,176

068.256As.zM

===

a.3) variao das tenses na armadura As2

1818,3516,34015,1 ss =>=+=

2.corrig,2 cm16,8355,42x18

18,35As ==

b) armadura inferior, As1

b.1) momento, M = Mmx = 167. 421 kN cm (armadura ser tracionada)

6.21

2

1s cm/kN35,3224,27x190

421.167As.zM

===

b.2) momento, M = Mn = -256. 068 kN cm (armadura ser comprimida)

281s cm/kN52,25,117x10x1957,1

068.256x10y

IM10 ===

b.3) variao das tenses na armadura As1

2s

2s cm/kN18cm/kN87,3452,235,32 =>=+=

21s

s

scorrig,1s cm.77,5224,27x18

87,34AA ==

=

OBS.: Nos clculos das variaes s , as parcelas foram adicionadas, pois, o que se procura a amplitude total das tenses. Caso os momentos mximos e mnimos forem de mesmo sinal, as parcelas que compem s devem ser subtradas uma da outra.

6.4.4.6 VERIFICAO DA FADIGA DA ARMADURA DE CISALHAMENTO

Solicitao de servio:

V V VV V

g q

g q

mx mx

mn mnV= +

= +,

,

=

=

V1 maior valor em mduloV menor valor em mdulo2

V1 e V2 com mesmo sinal

s w w

V Vd b

=

1 15 1 2, ( ). .

caso contrrio

sc w

w w

V b dd b

=

1 15 1, . .. .

Se s s w corrig wkN cm = =14 2/ , .

Se s s kN cm = 142/

w corrig s

sw, . .=

Exemplo:

seo bw (cm) w (%) V1 (kN) V2 (kN) s kN cm( / )2 w corrig, (%) 5 40 0,31 1023,58 224,30 36,6 0,81

Vmx = 424 + 599,58 = 1023,58 kN = V1 Vmn = 424 - 199,70 = 224,30 kN = V2

2s cm/kN6,360031,0x40x5,202

)30,22458,1023(15,1=

=

6.22

== 31,0x14

6,36.corrig,w 0,0081 0,81%

7.1

CAPTULO VII (2002)

7. CLCULO DAS TRANSVERSINAS

7.1. Clculo dos esforos devidos carga permanente

Calculam-se os esforos solicitantes para cada transversina, tendo como base as seguintes

consideraes:

- carga uniformemente distribuda sobre o tabuleiro;

- os pesos prprios da laje e da pavimentao, suportada pela transversina, so proporcionais sua rea de influncia, obtida a partir das bissetrizes entre a transversina e as vigas principais; - Consideram-se as transversinas como vigas biapoiadas sobre as vigas principais e sem a

considerao da largura colaborante da laje.

7.1.1. reas de influncia

3.2

3.2

6.6

5.0 10.0 10.0 5.0

45 o45o

T1 T2 T3 T4 T5

transversinaviga principal

cortina

rea de influncia da transversina T1

transversina rea de influncia (m2) T1=T5 (6,60+1,60)x2,50/2 =10,25 T2=T4 10,25 + (6,60x3,30)/2 =21,14 T3 2(6,60x3,30)/2 = 21,78

- peso prprio da laje ... 0,25x25 = 6,25 - pavimentao .......... (0,12+0,05)24/2 = 2,04 (altura mdia x peso especfico) - recapeamento = 2,00

total = 10,29kN/m2

- peso prprio da transversina ...0,30x2,0x25 = 15,00kN/m

7.2

7.1.2.Carga uniformemente distribuda ao longo das transversinas

transversina rea de influncia (m2) carga distribuda ao longo da transversina "g"(kN/m)

T1=T5 (cortinas) 10,25 [ (10,25x10,29)/6,60] +15 = 30,98 g=30,98 distribuda em toda a cortina G=26,37kN (peso da ala aplicada em cada extremidade da cortina)

T2=T4 21,14 [ (21,14x10,29)/6,60] +15 = 47,96 T3 21,78 [ (21,78x10,29)/6,60] +15 = 48,96

7.1.3 -Clculo de M e V devidos a "g"

Sees de clculo

Cortina .........

Transversina ....

1.60 1.60 1.65 1.65 1.65 1.65 1.60 1.60m

A B 0 1 2 3 4 C D

0 1 2 3 4

transversina

g(kn/m) seo M(kN.m) V(kN)

T1=T5 g=30,98kn/m

G=26,37kn

A B 0 {

1 2 3 4 {

C D

0,00 -81,85 -243,00

-116,49 -74,32 -116,49 -243,00

-81,85 0,00

-26,37 -75,94 -125,50 V0,esq

.

102,23 V0,dir.

51,11 0,00 -51,11 -102,23 V4,esq

.

125,50 V4,dir.

75,94 26,37

T2=T4 g=47,96kn/m

0 1 2 3 4

0,00 195,86 261,14 195,86 0,00

158,27 79,14 0,00 -79,14 -158,27

T3 g=48,96kn/m

0 1 2 3 4

0,00 200,00 266,59 200,00 0,00

161,57 80,79 0,00 -80,79 -161,57

7.2. Clculo dos esforos devidos carga mvel

7.2.1. Coeficiente de impacto

7.3

= 1,4-0,007x6,60 = 1,354

7.2.2. Clculo do trem-tipo

Hiptese : lajes simplesmente apoiadas sobre as trasnversinas

exemplo: T3

laje

transversina

T1 T2 T3 T4 T5

para o c clculo das reaesEsquema esttico

das transversinas

T2 T3 T4

B B

A A

q q

q2

q1Q1Q1

q2

q

q

PLANTAdo tabuleiro TREM-TIPOda transversina

10.85

0.70laje

q qQ Q Q

CORTE A-ALI DE T3

(regio c/veculo-tipo)

7.00 1.50 1.50 1.50 1.50 7.00

(1*10)/2=5

q

110.00 10.00

CORTE B-BLI DE T3

(regio s/veculo-tipo)

Q1=1,354x75x(1+2x0,85) = 274,2kN q1 =1,354x5x[2x(0,70x7)/2] = 33,17kN/m q2 =1,354x5x[2x(1x10)/2] = 67,7kN/m

7.4

7.2.3. Clculo de M e V Exemplo: seo 1 das transversinas T2 , T3 e T4

0 1 2 3 4

1.65 1.65 1.65 1.65

1.65

1.24

0.860.74

1

0.25

Q1 Q1q 2 q 1q 2

LI de Mq(seo 1 )

Sees deClculo

0.61

1.15 0.50 2.00 0.50 2.45

q 2 Q1

Q1 Q1q 1

q 2q,mn

q,mxp/ V

p/ V

0.250.17

0.45 0.371.00

0.75

0.15++

_

q 1

LI de Vq

(seo 1)

Mq(1)=274,2(1,24+0,74)+33,17[2,5x(1,24+0,61)/2+0,50x(1,24+0,86)/2]+ +67,7[(0,86x1,15)/2+ (0,61x2,45)/2] = 721,10 kN.m

Vq,mx(1)=274,2(0,75+0,45)+33,17x2,50(0,75+0,37)/2+67,7(0,37x2,45)/2=406,16kN Vq,min(1)=-274,2x0,25-33,17x0,50(0,17+0,25)/2-67,7(0,17x1,15)/2=-78,65kN

OBS.: - Construir tabelas idnticas quelas das cargas permanentes

- - Para cada transversina obter o TREM-TIPO correspondente

7.5

7.3. Esforos totais (NBR-8681,tem 5.1.4) Nota-se pelos clculos que:

o peso prprio da transversina < 75%da carga permanente total,

ento,

g = 1,4 ou 0,90 e q = 1,4 Md

= gMg+qMq Vd

= gVg+qVq

OBS.: Elaborar as tabelas de Md

, Vd

com os valores mximos e mnimos

7.4. Envoltria de esforos

Para a envoltria de momentos fletores deve-se considerar nos apoios os seguintes valores:

1/3 Mmx

1/4 Mmx

Mmx M mx

Esta providncia visa a considerar momentos que podem ocorrer,caso as vigas principais tenham

deslocamentos diferentes.

viga principal

transversina

trao

trao

8.1

CAPTULO VIII (2002)

8. CLCULO DAS LAJES DO TABULEIRO

8.1 Introduo

Os esforos solicitantes de lajes so obtidos atravs da Teoria das Placas. Embora as lajes , em geral , tm comportamento anisotrpico , isto , rigidez diferente nas duas direes , considera-se , para efeito de clculo de solicitaes , que seja elstica e isotrpica . Existem tambm o clculo ruptura, onde se abandona o comportamento elstico da laje, e outros procedimentos alternativos que no sero objeto deste curso. Encontram-se na literatura , em forma de tabelas , as solues de placas elsticas , tais como as de Czarny e Marcus . Porm , estas so vlidas apenas para cargas distribudas . No caso de lajes de pontes , as principais solicitaes so provocadas pelas cargas concentradas das rodas dos veculos, que alm de serem preponderantes em relao s outras cargas , so mveis . Com isso , faz-se necessrio outras tabelas. As tabelas , freqentemente utilizada , so as de Rsch , que sero aqu adotadas . Vale salientar que em lajes de pontes , o problema resume-se em encontrar as posies das cargas que produzam as solicitaes mais desfavorveis para as lajes . Este clculo extremamente trabalhoso. Para facilit-lo foram desenvolvidos diversos procedimentos , tal como o de Rsch.

8.2 Esquema Esttico

Adotam-se , para o clculo das lajes do tabuleiro , os esquemas estticos resultantes da diviso do tabuleiro em vrios painis , contornados por vigas principais , transversinas e cortinas . Cada painel ser considerado apoiado sobre estas estruturas lineares(vigas , transversina ,etc.) . Quando houver continuidade da laje , na linha de apoio sobre aquelas estruturas lineares , esta ser considerada engastada na posio desta linha. Para visualizar estas consideraes , observe-se a figura abaixo :

cortina transversina viga principal extremidade livre

A A

B

BPLANTA DO TABULEIRO CORTE B-B

CORTE A-A

L1

L2 L3 L4 L5

L6

L1

L4

L6

L2

L3

L4

L5

Figura 8.1

8.2

Os esquemas estticos foram adotados como lajes isoladas para que se possam utilizar as tabelas de Rsch , que foram elaboradas como tais . Aps os clculos dos esforos solicitantes das lajes isoladas consideram-se a continuidade da estrutura por meio de um coeficiente . Estes coeficientes afetam apenas os esforos devidos s cargas mveis , cujos esforos so preponderantes em relao queles devidos s cargas permanentes.

y

x

l

l

x

y

x = direo da continuidade

Valores de o para momentos de carga mvel e momentos de engastamento MA da viga de borda, para o clculo aproximado de placas contnuas.

Modos de apoio das lajes isoladas

extrema ou marginal

interna

A 1 B 2 CValores para os pontos :

yl xl

MA

constante o

Pontes Placas

0,80

1,00

1,00

1,05

em

vinculadas

= 1,0

1/2 MB

1,05

0,96

1,13

vigas nos quatro

= 1,20

1,07

0,94

1,18

lados

=

1/3 MB

1,10

0,92

1,23

1,00

Pontes

Placas

=

1,10

0,92

1,23

em

vinculadas em

= 1,0

1/3 MB

1,14

0,89

1,30

lajes

dois lados

= 0,50

1,22

0,82

1,45

opostos

= 0,25

calculam-se como vigas contnuas

Correo de ao para vos menores que 20,0 metros :

8.3

1,20 = . o 1 + 0,01 . lx

Conseqentemente , os momentos fletores de clculo sero obtidos da seguinte forma :

M M Md g g q q= + . . .

Nos apoios internos sero obtidos dois valores de momentos fletores, porm ser utizado ,para dimensionamento, apenas o maior valor , o qual corresponde o caso mais desfavorvel ,pois, este aquele em que somente a laje correspondente ao maior momento sofre a ao do trem-tipo .

OBS. : Na prtica utilizam-se, freqentemente, as transversinas intermedirias desligadas da laje . Neste caso a laje apoia-se apenas nas vigas principais e nas transversinas de extremidade (cortinas) .

8.3 Tabelas de Rsch

As tabelas de Rsch foram obtidas para veculos-tipo com cargas de rodas e cargas uniformemente distribudas unitrias. Ou seja, os esforos solicitantes das tabelas resultaram da aplicao deste carregamento unitrio sobre a superfcie de influncia destes esforos. O conceito de superfcie de influncia o mesmo do de linha de influncia das estruturas lineares, isto , cada ordenada da superfcie ,no ponto de aplicao da carga unitria, o valor do esforo solicitante em uma determinada seo. Graas coincidncia dos trens-tipo da norma brasileira NBR 7188 daqueles da norma alem DIN 1075 ,utilizadas por RSCH, pode-se utilizar as referidas tabelas nas pontes brasileiras. Entretanto, deve-se considerar nestas tabelas a carga distribuda p' = p ,pois na norma brasileira a carga distribuda ao redor do veculo-tipo igual carga p (no curso "q") ,enquanto que na norma alem , atrs e em frente ao veculo-tipo a carga distribuda p e nos lados a carga distribuda p' ., conforme Fig. 8.2 .

NOTA : A nomenclatura utilizada no curso e nas tabelas de Rsch a seguinte :

Tabela 8.2 Nomenclatura carga curso Rsch distribuda na faixa do veculo q p distribuda na faixa lateral do veculo q' p' concentrada da roda Q L permanente g g

+ + +

+ + +

q

qq

q

faixa doveculo

lateral doveculo

lateral do veculo

+ + +

+ + +pp

faixa doveculo

lateral doveculo

lateral do veculo

Norma brasileira(q' apenas no passeio)

Norma alem

p'

p'

- cargas mveis sobre o tabuleiroFigura 8.2

a) b)

8.3.1 Condies de contorno

8.4

As tabelas de Rsch foram obtidas para condies de vinculaes prefixadas, tais como :

borda livreborda apoiada

borda engastada

Identificados o tipo de vinculao, a direo do trfego e determinado a relao ly/lx , localiza-se a tabela correspondente no ndice de tabelas ,ou melhor, no ndice de placas , pois, Rsch colocou nmeros nas placas , conforme a Fig. 8.3 .

y

x l lxy 0,80 direo de trfego

lx

l y

Nm.

86

Figura 8.3

OBS. No existe uma conveno para lx e ly .

8.3.2 Parmetros para a utilizao das tabelas

No uso das tabelas de Rsch so necessrios os parmetros: xla

e ta

, onde ,

a = distncia entre as rodas de um mesmo eixo, no caso dos veculos-tipo brasileiros, a=2,0m , t = lado do quadrado de rea equivalente do retngulo de contato de roda , propagado at a superfcie mdia da placa , Fig.8.4 , lx = vo da laje na direo x .

contato da rodacom a laje

b

0,20m

direo de trfego

superfcie equivalente

quadrada

t'

t'

projeo a 45o

t

45 45 oo h/2h/2

e

t'

laje

pavimentao

t'

t'

t

t

plano mdio

Figura 8.4

planta da projeono plano mdio

Da Fig. 8.4 , tem-se : t ' = 0,20 . b e t = t ' + 2e + h .

Segundo a NBR 7188 a largura "b" do contato da roda com a laje depende da classe da ponte : - classe 45 b = 0,50m - classe 30 b = 0,40m - classe 12 b = 0,20m (roda dianteira) b = 0,30m (roda traseira)

8.5

0,20m

0,50m

2,00m

0,50m

1,50m 1,50m 1,50m 1,50m

0,20m

0,50m

2,00m

0,50m

1,50m 1,50m3,00m

0,20m0,20m

0,30m

Figura 8.5

veculo-tipo / classe 45 e 30 veculo-tipo / classe 12

b

b

No caso de trem-tipo classe 12 (dois eixos, com cargas diferentes) , Rsch considera como efeito mais desfavorvel um segundo veculo-tipo , colocado lateralmente ao existente , porm considerando-se apenas as rodas traseiras(mais pesadas) de ambos os veculos . Isso implica em utilizar somente um valor de t/a , o correspondente ao eixo traseiro .

8.3.3 Clculo dos momentos fletores

8.3.3.1 Momentos provocados por cargas permanentes " g "

So calculados pela expresso , gM = K . g . x2l , sendo ,

K = coeficiente fornecido pela tabela , em sua parte superior , depende da relao ly/lx e dos vnculos , g = carga permanente uniformemente distribuda .

8.3.3.2 Momentos provocados por cargas mveis

As tabelas de Rsch fornecem , conforme o caso , os valores dos momentos no centro , no meio da borda engastada e no meio da borda livre das lajes . Nas tabelas estes valores so fornecidos em trs parcelas : a primeira devida presso unitria de cada roda do veculo-tipo (coluna L da tabela) , a segunda devida carga distribuda unitria na faixa do veculo (coluna p) e a terceira devida carga distribuda unitria na faixa lateral ao veculo (coluna p') . Neste curso, estas parcelas so denominadas , respectivamente , mL , mq

e mq' , por se tratarem de momentos fletores devidos a carregamentos unitrios. Portanto , para se obter o efeito global das cargas do trem-tipo(veculo-tipo mais as cargas distribudas ao redor do veculo-tipo) , num determinado ponto , utiliza-se a seguinte expresso : qM = ( Q . mL + q . mq + q . mq'. )

onde , Mq = momento total devido carga mvel = coeficiente de impacto, Q = carga de uma roda do veculo-tipo ( no caso de ponte classe 12 , roda traseira), q = carga distribuda ao redor do veculo, mL = momento fletor provocado pelo veculo-tipo com cargas das rodas unitrias, mq = momento fletor provocado por carga distribuda unitria na faixa do veculo, mq' = momento fletor provocado por carga distribuda unitria nas faixas laterais do veculo . OBS. : No caso de ponte classe 12 h uma quarta parcela (coluna L' da tabela) ,correspondente ao veculo lateral . Com isso , a expresso anterior fica da seguinte forma :

8.6

qM = Q ( mL + mL' ) + q . mq + q . mq '.[ ] onde , Q = carga de uma roda do eixo traseiro do veculo-tipo, mL = momento fletor provocado pelas cargas unitrias do eixo traseiro do veculo-tipo, mL' = momento fletor provocado pelas cargas unitrias do eixo traseiro do veculo lateral(na realidade idntico ao veculo-tipo), os demais termos tm o mesmo significado da expresso anterior .

A seguir indica-se a forma das tabelas de Rsch que fornecem os extremos dos momentos fletores, devido ao carregamento unitrio , em alguns pontos da laje . Estes extremos so obtidos a partir da posio mais desfavorvel do trem-tipo, composto de cargas unitrias , observando-se a forma da superfcie de influncia . Salienta-se que a tabela abaixo corresponde uma parte das tabela original de uma laje engastada nos bordos , com ly/lx = 1 , j com a nomenclatura do curso .

Tabela 8.3

No

97

Mg = K . g . x2l

x

y

ly/lx = 1

direo de trfegocarga uniforme emtoda placa

- para Mg,xm : K=0,021- para Mg,ym ; K=0,021- para Mg,xe ; K= - 0,053- para Mg,ye ; K= - 0,053

g (m

l

kN2

x em metros

)

Momentos no centro da laje Ponte classe 30 a 60 carga da roda 1,0 kN carga distribuda 1,0 kN/m2 Mq,xm no centro da laje Mq,ym no centro da laje Mq,xm Mq,ym lx/a t/a t/a para todos os valores de t/a 0,125 0,250 0,50 1,00 0,125 0,250 0,50 1,00 mL mL mL mL mL mL mL mL mq mq' mq mq' 0,50 0,157 0,063 0,035 0,010 0,100 0,073 0,039 0,010 - - - - 1,00 0,223 0,116 0,064 0,020 0,160 0,120 0,066 0,022 - - - - 1,50 0,245 0,168 0,100 0,045 0,244 0,180 0,100 0,040 - - - 0,020

Momentos nos centros dos engastes da laje Ponte classe 30 a 60 carga da roda 1,0 kN carga distribuda 1,0 kN/m2 -Mq,xe no centro da laje -Mq,ye no centro da laje - Mq,xe - Mq,ye lx/a t/a t/a para todos os valores de t/a 0,125 0,250 0,50 1,00 0,125 0,250 0,50 1,00 mL mL mL mL mL mL mL mL mq mq' mq mq' 0,50 0,140 0,115 0,072 0,030 0,193 0,180 0,100 0,090 - 0,08 - - 1,00 0,250 0,210 0,140 0,080 0,270 0,235 0,155 0,150 - 0,18 - 0,030 1,50 0,350 0,300 0,225 0,170 0,380 0,330 0,230 0,200 - 0,20 - 0,080

A partir dos mximos momentos calculados no centro e nas bordas , Rsch apresenta diagramas de cobrimento para toda a superfcie da laje , que so necessrios para o detalhamento das armaduras . Na fig. 8.6 apresenta-se um desses diagramas , relativos aos momentos devido carga permanente .

8.7

y

x

Mg,ye

Mg,xe

Mg,xm

0,20 ly

0,20 lxlx

ly

Figura 8.6 - Diagramas de momentos fletores

Diagrama de Mg,x devido a g

y

xMg,xe

Mg,xm

Mg,ym

Vetores dos momentosa) b)

Mg,xe

Mg,ye

8.3.4 Esforos Cortantes

Segundo Rsch, o tipo de apoio , a relao entre os vos da laje tm pequena influncia no valor dos esforos cortantes . Por isso , o esforo cortante produzido pela carga mvel tratado somente para quatro casos caractersticos , apresentados nas tabelas 99,100,101 e 102 . Portanto , deve-se adotar , para a situao de projeto , aquela que mais se aproxima da laje em estudo.

8.4 APLICAO DAS TABELAS DE RSCH

Considere-se as lajes do tabuleiro do projeto proposto :

5,00m 5,00m10,0m10,0m

3,20m

6,60m

3,20m

L1

L2 L3 L4 L5

L6

Figura 8.7

a) carga permanente h = 0,25m (espessura da laje) e = (0,12+0,05)/2 = 0,085m (espessura mdia da pavimentao)

peso prprio da laje : 0,25 . 25 = 6,25 kN/m2 pavimentao : 0,085 . 24 = 2,04 kN/m2 recapeamento : 2,00 kN/m2

g = 10,29 kN/m2 b) carga mvel - ponte classe 45

Q = 75 kN ; q = 5 kN/m2 ; q' = 3 kN/m2 (passeio , se existir )

8.8

coeficiente de impacto : ( ) = = 0 007. menor vao teorico

laje L2=L5 = 1,4 - 0,007 . 5,00 = 1,365 laje L3=L4 = 1,4 - 0,007 . 6,60 = 1,354 laje L1=L6 = 1,4 - 0,007 . (2 . 3,20) = 1,355

8.4.1 Lajes internas ( L2 , L3 , L4 , L5 ) 8.4.1.1 Momentos fletores

8.4.1.1.1 Laje L2=L5 (clculo como laje isolada)

6,60

5,00

direo de trfego0,80=

ndice de placas (pg.78) placa N o_ 86 , pg.58ly / lx = 5,0 / 6,6 = 0,76 ~

y

x

Figura 8.8

contato da roda : classe 45

2,0m

0,2m

0,5m

t' = 0,5 . 0,2 = 0,316m

t = t' + 2.e + h = 0,316 + 2 . 0,085 + 0,25 = 0,736m

t /a = 0,736 / 2,0 = 0,368

lx /a = 6,60 / 2,0 = 3,30

a) Momentos devido carga permanente

M K.g l

M x x kN.m m

M x x kN.m m

M x x kN.m m

g x

g,xm

g,ym

g,ye

=

= =

= =

= =

.

, ,29 , , /

, ,29 , , /

, ,29 , , /

2

2

2

2

0 017 10 6 60 7 62

0 030 10 6 60 13 45

0 064 10 6 60 28 69

b) Momentos devido carga mvel ( t/a=0,368 ; lx/a=3,30)

Para esses valores de t/a e lx/a ,inexistentes na tabela , devem ser obtidos os momentos mL , mq

,mq' , por interpolao linear :

Para t/a = 0,250 , tem-se :

3,0 3,3 4,0

0,351

0,2640,087

mL

lx/a

y

y

0,3=

0,087

1y = 0,0261

mL = 0,264 + 0,0261 = 0,2901

8.9

Para t/a = 0,50 , tem-se :

3,0 3,3 4,0

0,284

0,2030,081

mL

lx/a

y

y

0,3=

0,081

1y = 0,0243

mL = 0,203 + 0,0243 = 0,227

Para t/a = 0,368 e lx/a = 3,30 , tem-

0,250 0,368 0,50

0,291

0,227

mL

t/a

y

y

0,132=

0,064

0,250y = 0,0338

mL = 0,227 + 0,0338 = 0,261

0,06

Figura 8.9

Portanto ,

Tabela 8.4 Mq,xm no centro da laje lx/a t/a para todos os

valores de t/a 0,250 0,368 0,500 mL mL mL mq mq' 3,00 0,264 0,203 - 0,120 3,30 0,291 0,261 0,227 0,003 0,168 4,00 0,351 0,284 0,010 0,280

Procedendo-se de forma anloga, para Mq,ym e Mq,ye , tem-se :

Tabela 8.5 Mq,ym no centro da laje lx/a t/a para todos os

valores de t/a 0,250 0,368 0,500 mL mL mL mq mq' 3,00 0,310 0,287 - 0,350 3,30 0,339 0,328 0,315 - 0,485 4,00 0,406 0,380 - 0,800

Tabela 8.6 - Mq,ye no centro da borda lx/a t/a para todos os

valores de t/a 0,250 0,368 0,500 mL mL mL mq mq' 3,00 0,790 0,720 0,05 0,800 3,30 0,856 0,822 0,786 0,065 1,064 4,00 0,1,01 0,940 0,10 1,68

Considerando-se mL, mq, e mq'

para cada momento , tem-se o efeito global , dado por :

8.10

Mq = ( Q . mL + q . mq + q . mq' ) , ento ,

Mq xm x kN m m

Mq ym x kN m m

Mq ye x kN m m

,, ( , , , , , ) , . /

,, ( , , , ) , . /

,, ( , , , , , ) , . /

= + + =

= + =

= + + =

1 365 75 0 261 5 0x0 003 5 0x0 168 27 89

1 365 75 0 328 5 0x0 485 36 89

1 365 75 0 822 5 0x0 065 5 0x1 064 91 86

8.4.1.1.2 Lajes L3

= L4

(clculo como laje isolada)

No ndice de placas, pg.78 , coluna 6 ,encontra-se a seguinte indicao do clculo da placa No. 89 : - carga permanente , Mg,xe K=0,054 ; Mg,ym K=0,039 ; Mg,ye K= -0,105 - carga mvel , calcular como a : placa No.1 (pg 2) , para Mq,xm e Mq,ym , placa No.58 (pg 46) , para Mq,ye .

a) Momentos devido carga permanente

M K.g l

M x x kN.m m

M x x kN.m m

M x kN.m m

g x

g,xm

g,ym

g,ye

=

= =

= =

= =

.

, ,29 , ,20 /

, ,29 , , /

, ,29 , , /

2

2

2

2

0 054 10 6 60 24

0 039 10 6 60 17 48

0 105x10 6 60 47 06

b) Momentos devido carga mvel (lx/a = 3,30 e t/a = 0,368) Note-se que os parmetros lx/a e t/a so os mesmos da laje L2=L5 ,pois, foi adotado a mesma orientao dos eixos e o mesmo veculo-tipo (trata-se da laje da mesma ponte) . Realizandose as interpolaes lineares necessrias , obtm-se :

Tabela 8.7 - Placa No.1 (pg. 2) Mq,xm no centro da laje lx/a t/a para todos os

valores de t/a 0,250 0,368 0,500 mL mL mL mq mq' 3,00 0,690 0,670 1,000 1,350 3,30 0,738 0,727 0,715 1,360 1,800 4,00 0,850 0,820 2,200 2,850

6,60

direo de trfego =

ndice de placas (pg.78) placa N o_ 89

ly / lx = 10,0 / 6,6 = 1,51 ~ x

Figura 10,00m

y

1,50

Esta placa no foi tabelada por Rsch , mas no ndice (pg.78) h indicao para o seu clculo, na coluna 6.

OBS.

8.11

Tabela 8.8 - Placa No. 1 (pg.2) Mq,ym no centro da laje lx/a t/a para todos os

valores de t/a 0,250 0,368 0,500 mL mL mL mq mq' 3,00 0,408 0,361 0,170 0,400 3,30 0,445 0,420 0,394 0,230 0,589 4,00 0,530 0,472 0,370 1,030

Tabela 8.9 - Placa No. 58 (pg.46) - Mq,ye no centro da borda lx/a t/a para todos os

valores de t/a 0,250 0,368 0,500 mL mL mL mq mq' 3,00 0,990 0,960 0,750 1,550 3,30 1,053 1,042 1,029 0,945 2,105 4,00 1,200 1,190 1,400 3,400

Portanto, os efeitos globais so :

Mq xm x x x kN m m

Mq ym x x x kN m m

Mq ye x x x kN m m

,, ( , , , , , ) , . /

,, ( , , , , , ) , . /

,, ( , , , , , ) , . /

= + + =

= + + =

= + + =

1 354 75 0 727 5 0 1 360 5 0 1 800 95 22

1 354 75 0 420 5 0 0 230 5 0 0 589 48 20

1 354 75 1 042 5 0 0 945 5 0 2 105 126 46

8.4.1.1.3 Correo dos momentos devido continuidade das lajes .

Por causa da preponderncia dos momentos devidos carga mvel frente queles devidos carga permanente , faz-se a correo apenas nos primeiros .

Laje L2=L5

Mq,ym =

= 36,89kn.m/m

Mq,xm == 27,89

x

y6,60

5,00m

coordenadas da tabela de continuidade

y'

x'

x' = direo da continuidade

lx' = 5,0m

ly' = 6,6m

ly'

lx'= 1,32

Figura 8.11

Da Tabela 8.1 , referente continuidade das lajes , tem-se :

M M poisllA B By

x

= = = 12

1 07 0 94 1 2001 0; , ; , ; , ,

8.12

como lx' < 20,0m , ento ,

11 20

1 0 01 5 01 07 1 223 1 20

1 0 01 5 00 94 1 074=

+= =

+=

,

, ,

, , ;,

, ,

, ,

xx B

xx

Mq,x'm = 36,89x1,223=45,12 kN.m/m = Mq,ym meio da laje Mq,y'm = sem alterao = 27,89 kN.m/m = Mq,xm meio da laje (pois, no h continuidade de lajes) Mq,x'e = - 91,86x1,074 = - 98,66 kN.m/m = Mq,ye lado engastado Mq,x'a = 1/2 Mq,x'e = - 49,33 kN.m/m = Mq,ya lado apoiado

Portanto ,

Mq,ym =

= 45,12kn.m/m

Mq,xm == 27,68

x

y6,60

5,00m

= - 49,33

Mq,ya =

Mq,ye = - 98,66kn.m/m

onde , Mq,ya = momento negativo no meio do apoiosimples da esquerda .

Figura 8.12 Laje L2=L5 - Momentos corrigidos devidos carga mvel.

Laje L3=L4

y6,60

coordenadas da tabela de continuidadey'

x'

x' = direo da continuidade

lx' = 10,0m

ly' = 6,6m

ly'

lx'= 0,66

10,0m

x

Mq,ye== -126,46 Mq,ye=

= -126,46Mq,ym= 48,20

Mq,xm=95,22

[kn.m/m]

Figura 8.13

Da Tabela 8.1 , referente continuidade das lajes , tem-se :

0 1 00 02 1 05 0 1 00B c= = =, , ; ,;

como lx' < 20,0m , ento ,

11 20

1 0 01 10 01 05 1145 1 20

1 0 01 10 01 00 1 091=

+= = =

+=

,

, ,

, , ;,

, ,

, ,

xx C B x

x

Mq,x'm = 48,20x1,145 = 55,19 kN.m/m = Mq,ym Mq,x'e = -126,46x1,091 = - 137,97kN.m/m = Mq,ye Mq,y'm = sem alterao = 95,22 kN.m/m = Mq,xm

Portanto ,

8.13

y6,60

10,0m

x

Mq,ye== -137,97 Mq,ye=

= -137,97Mq,ym= 55,19

Mq,xm=55,19

[kn.m/m]

Figura 8.14 Laje L3=L4 - Momentos corrigidos devidos carga mvel .

8.4.1.1.4 Envoltria (diagrama) dos momentos fletores

Aps a determinao dos valores extremos dos momentos fletores , no centro e no engaste das lajes , necessrio obter a envoltria dos momentos das lajes , para que se possa retratar as condies reais de vinculao das lajes e ,portanto, possibilitar um melhor detalhamento das armaduras . Rsch fornece envoltrias de momentos fletores ,construdas a partir dos valores extremos obtidos por meio de suas tabelas , para os tipos usuais de vinculao. As envoltrias so fornecidas para momentos devidos carga permanente e carga mvel . Veja a seguir (Fig.515), um exemplo atravs da laje L2 do projeto :

x

y

ly=5,00m

Figura 8.15

x

y

x

y

x

y

Mg,ye= -28,69

Mg,ym=13,45kN.m/

0,5.ly=2,5

0,20.ly=1,00m 0,25.ly=1,25

lx=6,6m

kN.m/m

0,2.lx=1,32m

0,25.ly=1,0m

Mg,xm=7,62

.Mg,xe= Mg,ye== - 0,2x28,69=5,74

kN.m/m

kn.m/m

Mq,ye= - 98,66kN.m/m

Mq,ym=45,12kN.m/m

Mq,ya== - 49,33 0,5.ly

0,3.ly

0,2.ly

Mq,xm=27,89kN.m/m

0,25.ly

0,2 lx

Mq,xe= . Mq,ye== -0.2x98,66== -19,73kN.m/m

a) Mg,y b) Mg,x

c) Mq,y d) Mq,xEnvoltrias(diagramas) de momentos fletores

8.14

Observe-se nas Figs.8.15b e 8.15d que deve-se considerar, no engaste,momentos na direo x, Mg,xe e Mq,xe, que no foram calculados pela tabela. Isto significa que so necessrias armaduras negativas(superior) no engaste, na direo x, alm das principais na direo y. A partir dos diagramas da Fig. 8.15 , possivel fazer a combinao dos momentos, para cada seo prfixada. Entretanto, a combinao dos momentos ser feita somente no centro e nos apoios da laje. No detalhamento das armaduras deve ser considerado o cobrimento dos diagramas de Rsch(envoltrias).

8.4.1.1.5 Momentos finais de clculo

M Mg Mq M corrigidod q= +1 4 1 4, , ( , )

Laje L2=L5

M x x kN m m centro da lajeM x x kN m m centro da lajeM x x kN m m lado engastadoM M