PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLIDA DE SÃO PAULO Sergio... · após a utilização da calculadora, verbalizar e escrever regras para a adição e subtração de números fracionários

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLIDA DE SÃO PAULO

PUC/SP

ANTONIO SÉRGIO DOS SANTOS OLIVEIRA

UMA ENGENHARIA DIDÁTICA PARA O ENSINO DAS

OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS POR MEIO DE

CALCULADORA PARA O QUINTO ANO DO ENSINO

FUNDAMENTAL

DOUTORADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

SÃO PAULO 2015

ANTONIO SÉRGIO DOS SANTOS OLIVEIRA

UMA ENGENHARIA DIDÁTICA PARA O ENSINO DAS

OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS POR MEIO DE

CALCULADORA PARA O QUINTO ANO DO ENSINO

FUNDAMENTAL

Tese apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como exigência para obtenção do título de DOUTOR EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, sob a orientação da Professora Doutora Maria José Ferreira da Silva.

PUC-SP 2015

Banca Examinadora

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Autorizo,exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou

parcial desta tese por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos

Assinatura: ________________________________Local e Data: _______________

À minha família: motivação para continuar sempre

A todos que de forma direta ou indireta me ajudaram a chegar até aqui

AGRADECIMENTOS

A Deus, por tudo o que Ele significa na minha vida.

A minha orientadora, professora doutora Maria José Ferreira da Silva.

Aos professores da PUC.

Aos professores doutores Gilson Bispo de Jesus e Marco Aurélio Kalinke que gentilmente

aceitaram participar da Banca, e que muito contribuíram com seus valiosos

conhecimentos, para o enriquecimento desse trabalho. Sem as suas contribuições,

certamente este trabalho não teria sido concretizado.

Ao Dr. Saddo Ag Almouloud, coordenador do programa, que a todo o momento criou

condições para que eu pudesse concluir este grande desafio.

À minha família, que sempre me incentivou e me apoiou nesta árdua caminhada.

Aos colegas da UEPA, pelo incentivo e amizade verdadeira.

A todas as pessoas que fizeram parte da minha trajetória acadêmica e que de algum modo

contribuíram para a realização deste trabalho.

RESUMO

O presente trabalho teve por objetivo levar um grupo de estudantes do quinto

ano do ensino fundamental a construir significado para as regras operatórias

fundamentais com números fracionários a partir da utilização de calculadoras

científicas com representação fracionária. Com esse intuito, desenvolvemos uma

sequência de ensino com quatro alunos de uma escola pública situada na

periferia de Belém/PA e como aporte teórico utilizamos a Teoria das Situações

Didáticas (TSD) e a Teoria de Registros de Representação Semiótica, e a

Engenharia Didática como metodologia. A TSD nos auxiliou na elaboração,

experimentação e análise dos resultados da sequência, enquanto a Teoria de

Registros de Representação Semiótica na articulação entre registros numéricos

e figurais. Na análise das atividades verificamos que os alunos conseguiram,

após a utilização da calculadora, verbalizar e escrever regras para a adição e

subtração de números fracionários com mesmo denominador, para a

multiplicação de quaisquer números fracionários e para a divisão de números

fracionários que apresentavam tanto os numeradores, quanto os denominadores

múltiplos. No entanto, não conseguiram, apenas utilizando a calculadora

perceber as regras para a adição e divisão de números fracionários quaisquer.

Entendemos que a calculadora permitiu que os alunos buscassem relações e

não tratassem os números fracionários apenas como dois números naturais,

mas faltou, provavelmente, relacioná-la a outros recursos didáticos para que

percebessem as relações entre numeradores e denominadores para as

operações de adição e subtração.

Palavras-chave: Números fracionários. Operações com números fracionários.

Calculadora científica com representação fracionária.

ABSTRACT

This paper had the objective of making a group of students from the fifth grade to

build meaning to the fundamental operatorial rules with fractional numbers by

using scientific calculators with fractional representation. With this in mind, we

developed a sequence of teaching with four students of a public school located

in the suburb of Belém-PA. We based our theories on the Theory of Didactic

Situations (TDS) (Teoria das Situações Didáticas-TSD) and the Theory of Record

of Semiotic Representation and the Didactic Engineering as methodology. The

TDS helped us to elaborate, experiment and analyze the results of the sequence,

while the Theory of Record of Semiotic Representation helped us to articulate

among the figure and numeric records. In the analysis of the activities, we verified

that the students after using the scientific calculator, they managed to verbalize

and write rules to the addition and subtraction of fractional numbers with the same

denominator to a multiplication of any fractional numbers and to the division of

fractional numbers that presented not only the numerators but also the multiple

denominators. However, the students managed not only by using the calculator

to perceive the rules for the addition and division of any fractional numbers. We

understand that the calculator allowed the students to search for relations and

dot not treat the fractional numbers only as two natural numbers. We also should

probably have related to other didactic resources so that they could have

perceived the relations between numerators and denominators for the addition

and subtraction operations.

Keywords:Fractional numbers. Operations with fractional numbers. Scientific

calculator with fractional representation.

LISTA DE FIGURAS

FIGURA 1 – REPRESENTAÇÃO FIGURAL PARA NÚMERO FRACIONÁRIO .......................................................................... 41

FIGURA 2 – REPRESENTAÇÃO FIGURAL E NUMÉRICA PARA SITUAÇÕES NA CONCEPÇÃO PARTE TODO .................................. 51

FIGURA 3 – CONCEPÇÃO DE MEDIDA ................................................................................................................... 53

FIGURA 4 – CONCEPÇÃO QUOCIENTE, GRANDEZA CONTÍNUA .................................................................................... 54

FIGURA 5 – CONCEPÇÃO QUOCIENTE - GRANDEZA CONTÍNUA ................................................................................... 54

FIGURA 6 – EXEMPLO DE RAZÃO ENTRE GRANDEZA DE MESMA NATUREZA ................................................................... 56

FIGURA 7 – CONCEPÇÃO DE OPERADOR, GRANDEZA CONTÍNUA, REDUÇÃO DE UM QUADRADO ........................................ 56

FIGURA 8 – ESTADOS DA CONCEPÇÃO DE OPERADOR - CASO CONTÍNUO ..................................................................... 57

FIGURA 9 – COMPOSIÇÃO DE OPERADORES - GRANDEZA CONTÍNUA ........................................................................... 57

FIGURA 10 – ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES – MESMO DENOMINADOR – L1 ......................................................... 69

FIGURA 11 – SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES – MESMO DENOMINADOR – L1 ...................................................................... 69

FIGURA 12 – SÍNTESE DAS OPERAÇÕES DE ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO - MESMO DENOMINADOR - L1 ..................................... 70

FIGURA 13 – ADIÇÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS - DENOMINADORES DIFERENTES - L1 ............................................... 71

FIGURA 14 – TRATAMENTO PARA OBTENÇÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS EQUIVALENTES – L1...................................... 71

FIGURA 15 – FORMALIZAÇÃO DA REGRA PARA ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO – DENOMINADORES DIFERENTES – L1 ...................... 72

FIGURA 16 – MULTIPLICAÇÃO DE NÚMERO NATURAL POR NÚMERO FRACIONÁRIO – L1 ................................................. 72

FIGURA 17 – MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS – L1 .............................................................................. 73

FIGURA 18 – SÍNTESE DA MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS – L1 .............................................................. 73

FIGURA 19 – NÚMEROS INVERSOS – L1 ............................................................................................................... 74

FIGURA 20 – DIVISÃO DE NÚMERO FRACIONÁRIO POR NÚMERO NATURAL – L1 ........................................................... 74

FIGURA 21 – DIVISÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS – L1 ......................................................................................... 75

FIGURA 22 – UMA REGRA PRÁTICA PARA DIVISÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS – L1 .................................................... 76

FIGURA 23 – REGRA PARA DIVISÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS – L1 ....................................................................... 76

FIGURA 24 – ADIÇÃO COM NÚMEROS FRACIONÁRIOS DE MESMO DENOMINADOR – L2 ................................................. 77

FIGURA 25 – SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS COM MESMO DENOMINADOR – L2 ........................................... 78

FIGURA 26 – ADIÇÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS COM DENOMINADORES DIFERENTES – L2 ......................................... 78



FIGURA 29 – FRAÇÃO DE FRAÇÃO – L2 ................................................................................................................ 80

FIGURA 30 – FRAÇÃO DE UM NÚMERO – L2 ......................................................................................................... 81

FIGURA 31 – DIVISÃO DE FRAÇÕES – L2 ............................................................................................................... 82

FIGURA 32 – RESPOSTA DO GRUPO 2 PARA O ITEM 1.1 DA ATIVIDADE 1 ..................................................................... 89

FIGURA 33 – RESPOSTA DO GRUPO 2 PARA OS ITENS 1.2 E 1.3 DA ATIVIDADE 1 .......................................................... 89









FIGURA 42 – RESPOSTA DO GRUPO 1 PARA O ITEM 5.1 DA ATIVIDADE 5 ................................................................... 100




FIGURA 46 – RESPOSTA DO GRUPO 1 PARA O ITEM (A) DA ATIVIDADE 7 ................................................................... 102

FIGURA 47 – RESPOSTA DO GRUPO 2 PARA O ITEM (A) DA ATIVIDADE 7 ................................................................... 102










FIGURA 57 – RESPOSTA DO GRUPO 2 PARA O ITEM 31 DA ATIVIDADE 3 .................................................................... 112



FIGURA 60 - RESPOSTA DO GRUPO 1 PARA O ITEM 3.3 DA ATIVIDADE 3 ................................................................... 113


SUMÁRIO

INTRODUÇÃO ...................................................................................................................... 15

1 PROBLEMÁTICA ................................................................................................................ 19

1.1 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ................................................................................................. 19

1.2 JUSTIFICATIVA ................................................................................................................. 23

1.3 DELIMITAÇÃO DO PROBLEMA ......................................................................................... 26

1.4 METODOLOGIA DE PESQUISA E PROCEDIMENTOS ......................................................... 29

1.5 REFERENCIAL TEÓRICO .................................................................................................... 34

1.5.1 Teoria das Situações Didáticas – TSD ...................................................................... 34

1.5.2 A Noção de Registro de Representação Semiótica .................................................. 38

2 ANÁLISES PRELIMINARES .................................................................................................. 45

2.1 O USO DE NOVAS TECNOLOGIAS NA ESCOLA .................................................................. 45

2.2 OS DIFERENTES SIGNIFICADOS DE NÚMERO FRACIONÁRIO............................................ 49

2.2 AS OPERAÇÕES COM OS NÚMEROS FRACIONÁRIOS ....................................................... 57

2.3 O USO DE CALCULADORAS NA ESCOLA ........................................................................... 63

2.4 AS OPERAÇÕES COM NÚMEROS FRACIONÁRIOS EM LIVROS DIDÁTICOS ....................... 68

3 A PESQUISA ...................................................................................................................... 85

3.1 A ESCOLA E OS SUJEITOS DA PESQUISA ........................................................................... 85

3.2 DESCRIÇÃO DA APLICAÇÃO ............................................................................................. 85

3.3 ANÁLISES DA SEQUÊNCIA DE ENSINO .................................................................................... 87

CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................................................... 115

REFERÊNCIAS ..................................................................................................................... 119

APÊNDICE A – A SEQUÊNCIA DE ENSINO ............................................................................ 123


15

INTRODUÇÃO

Trabalhando como professor de matemática a mais de trinta anos desde os

tempos de estudante de graduação, quando após concluir o nível básico do curso,

a universidade nos fornecia uma autorização provisória para lecionar, acabei

trabalhando em todos os níveis de ensino da rede pública em Belém. Tal

experiência me fez perceber que a própria palavra matemática, simplesmente, já

consegue provocar em alunos do nível fundamental e médio, as mais diversas

reações e sentimentos, que podem ser de aversão, antipatia ou até mesmo

empolgação que, de um modo geral, estão ligados ou relacionados à influência

escolar ou familiar no aluno.

Segundo Silva (1997), muitos fatores são apontados e considerados como

causas do fracasso do processo de ensino, entretanto a dificuldade relacionada

com as estratégias de ensino e conhecimentos específicos dos docentes tem uma

relação direta com a formação profissional docente que, de certa forma, se encontra

em uma situação estática e de total conformismo com o modelo de educação

vigente. O autor acrescenta que, para muitos pesquisadores em educação, esse

fator apontado e outros mais, faz com que a educação se encontre em uma situação

preocupante com relação a qualidade do ensino que é oferecido em nossas

escolas.

Como professor de ensino fundamental durante vários anos e, também,

como professor em cursos de formação de professores de matemática, considero

de grande importância, a realização de estudos e pesquisas que tratem dos fatores

que acarretam dificuldades no ensino, com o objetivo de provocar uma reflexão

profunda a respeito do modelo de educação de nossas escolas hoje. Além disso,

esses estudos podem contribuir para a construção de outros paradigmas para os

processos de ensino e de aprendizagem e, ainda para os processos formativos do

profissional docente.

Para se ter efetivamente um novo perfil de educador, Mercado (1999, p.15)

afirmam que: “repensar a educação não é somente acatar propostas de

modernização, mas repensar a dinâmica do conhecimento de forma ampla e, como

consequência, o papel do educador como mediador desse processo”. Para os

Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN (BRASIL, 1997b, p. 15) a Matemática

16

tem papel fundamental na solução de problemas da vida cotidiana, “tem muitas

aplicações no mundo do trabalho e funciona como instrumento essencial para a

construção de conhecimentos em outras áreas curriculares” além de interferir

“fortemente na formação de capacidades intelectuais, na estruturação do

pensamento e na agilização do raciocínio dedutivo do aluno.

Com relação ao uso de novos recursos que possam contribuir com o ensino

de matemática ao nível fundamental, os Parâmetros Curriculares Nacionais

(BRASIL 1997b, p. 19) salientam que:

A calculadora é um dos recursos didático que tem um papel importante no processo de ensino e aprendizagem da matemática, no ensino fundamental, e que precisa estar integrada a situações que levem ao exercício da análise e reflexão.

Nesse sentido, o uso de calculadora como recurso didático, poderá ser de

grande valia para facilitar cálculos, explorar e construir conhecimentos, além de

contribuir para desenvolver o raciocínio e explorar conteúdos. Segundo Karrer

(1999) os estudos feitos a respeito do uso da calculadora, têm mostrado que sua

utilização em sala de aula traz benefícios para o aluno como agilidade nos cálculos,

verificação de resultados, precisão nos cálculos, e a integração do aluno com a

tecnologia.

Por outro lado, Vieira (2005) afirma que os professores sentem dificuldade

em estabelecer relação entre número fracionário e número decimal e da falta de

materiais didáticos que auxiliem o desenvolvimento de suas atividades. Dessa

forma, entendemos que a calculadora poderia ser um desses materiais ou recursos,

pois no mercado já encontramos calculadoras, que podem ser adquiridas pela rede

pública estadual, tais como as calculadoras científicas Casio fx-82ES, fx-82ESplus,

e ainda um modelo da Texas, que apresentam as duas representações

simultaneamente, decimal e fracionária.

Muitos pesquisadores têm se manifestado com relação à utilização de

calculadoras em sala de aula, dentre eles podemos destacar o professor Ubiratan

D’Ambrósio que em 2003, afirmava que em todas as escolas já se deveria utilizar

a calculadora pelos alunos como mais uma ferramenta de grande importância para

contribuir nos processos de ensino e de aprendizagem.

De acordo com Mocrosky (1997)

17

O ensino da disciplina Matemática está caracterizado pelo peso demasiado no cálculo e memorização de regras e fórmulas pré-fabricadas, sendo que estes dois aspectos, de certa forma, acabam distorcendo a arte do raciocínio e da criatividade, tão esquecida nos programas dessa disciplina em benefício do currículo a ser cumprido. (MOCROSKY, 1997, p. 20).

Mocrosky (1997) destaca que a introdução da calculadora como recurso

didático poderá propiciar condições para que possamos ter atividades

investigativas e interessantes. Ela pode de alguma forma dar uma contribuição para

a melhoria da qualidade do ensino da matemática, conduzindo os alunos para um

aprendizado desprendido de memorização de fórmulas e facilitando a realização

de cálculos longos e complicados que só fazem tomar o tempo precioso do aluno.

O que nos leva a tentar mostrar a possível viabilidade de se trabalhar as

operações com números fracionários com alunos do quarto ano, quinta série do

ensino fundamental, utilizando uma calculadora científica que realiza os cálculos

diretamente com as frações, é por acreditar que os alunos dessa série, já iniciaram

os estudos sobre os números fracionários, e com isso, acreditamos que os mesmos

tenham condições suficientes para trabalharem esses conhecimentos.

A faixa etária dos alunos na quarta série, é de mais ou menos, dez a treze

anos, idades em que esses alunos deveriam ter bastante habilidades no manuseio

de vários recursos tecnológicos, inclusive da calculadora, pois a mesma se

encontra presente em todos os aparelhos celulares, que de certo modo, quase

todos sabem utilizar corretamente, por fazer parte de seu mundo. Trabalhar as

operações com frações utilizando uma calculadora pode ser considerado como

uma extensão das operações numéricas, mas uma extensão carregada de rupturas

em relação ao significado das estruturas aditivas e multiplicativas para os números

naturais.

De acordo com Silva (1997) um dos obstáculos epistemológicos a respeito

das frações é aceita-las como números e outro é o conhecimento dos números

naturais que as crianças procuram aplicar quando trabalham com as frações.

Assim, nossa proposta é construir uma sequência didática envolvendo operações

com frações, utilizando uma calculadora científica que trabalha com números

fracionários. O intuito é possibilitar que alunos do quinto ano do ensino fundamental

descubram as regras das operações com frações, e consequentemente sua

sistematização. Levantamos a hipótese de que a utilização de uma calculadora

18

científica com representação fracionária pode ajudar os alunos a superar o

obstáculo epistemológico que os naturais impõem à aprendizagem dos números

fracionários, em particular, dos números racionais. Esperamos com essa escolha

contribuir significativamente para o ensino das operações com números

fracionários.

A partir desse proposito, definimos nossa questão de pesquisa: Qual seria

a contribuição de uma sequência didática que envolve uma calculadora

científica com representação fracionária para os processos de ensino e de

aprendizagem das operações com números fracionários para alunos do 5º

ano do ensino fundamental?

Para responder nossa questão de pesquisa, elaboramos uma sequência

didática apoiando-se nos princípios da Engenharia Didática (ARTIGUE, 1996), na

Teoria das Situações Didáticas (BROUSSEAU, 1996) e na Teoria dos Registros de

Representação Semiótica, (DUVAL, 2009).

Vale destacar que, neste trabalho, apoiando-se em Silva (2005), optamos

por distinguir fração e número fracionário. Uma fração é a forma de representar um

número racional na forma 𝑎

𝑏, a e b sendo números inteiros não nulos. Chamamos

número fracionário, neste trabalho, o número racional representado por uma fração.

Em nossa revisão bibliográfica, referirmo-nos a número fracionário quando os

autores revisitados falam de fração.

No que segue apresentamos a estrutura de nosso trabalho. No capítulo 1

são apresentadas a justificativa, a revisão bibliográfica, a delimitação do problema,

o referencial teórico, e a metodologia adotada para o desenvolvimento da

investigação que nos propomos desenvolver. No capítulo 2 abordaremos os

diferentes significados de número fracionário, o uso de tecnologias em sala de aula,

e também uma breve análise de livros didáticos, focando o ensino de números

fracionários. Finalmente, no capítulo 3, apresentamos nossa sequência didática, os

sujeitos da pesquisa e a análise a priori e a posteriori de cada uma das situações

de ensino.

19

1 PROBLEMÁTICA

Neste capítulo apresentamos nosso problema de pesquisa, nossa revisão

bibliográfica, a justificativa, a delimitação do problema, o referencial teórico, a

metodologia adotada e seus procedimentos.

1.1 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Para o desenvolvimento do trabalho de pesquisa, foi escolhido como ponto

de referência o trabalho da pesquisadora Moreira (2010) que realizou sua pesquisa

utilizando uma calculadora virtual para mostrar se os alunos da 5ª série

conseguiriam elaborar as regras das operações com números fracionários. A razão

de termos escolhido este único trabalho como revisão bibliográfica foi pelo fato de

não termos encontrado nenhum outro que tenha trabalhado com alunos do ensino

fundamental associando operações sobre números fracionários e calculadora.

Nossa busca voltada para pesquisas que se interessam pelo uso de

calculadora em sala de aula, nos levou às seguintes pesquisas: Jucá (2008) que

trabalhou com calculadora e as operações com números decimais, Melo (2008a)

que trabalhou o ensino de potência e raízes com auxílio da calculadora e Guinther

(2009) que analisou o desempenho de alunos do ensino fundamental em jogos com

uso da calculadora nas aulas de matemática.

O trabalho desenvolvido por Moreira (2010) teve como principal objetivo

investigar a viabilidade do ensino das operações com números fracionários por

meio de atividades desenvolvidas a partir de situações-problema mediadas por uma

calculadora virtual e jogos com alunos do 6º ano (5ª série) do ensino fundamental.

A pesquisadora iniciou seu trabalho com uma análise prévia acerca dos

conhecimentos dos alunos sobre operações com números fracionários a partir de

um teste diagnóstico constituído de vinte situações-problema envolvendo essas

operações.

A proposta da referida pesquisadora é verificar se os alunos conseguem

descobrir as regras das operações com números fracionários com o auxílio da

calculadora virtual. Para conseguir atingir os objetivos da pesquisa, a pesquisadora

realizou um estudo a respeito dos processos de ensino e de aprendizagem de

20

operações com números fracionários, focando o uso da calculadora nesses

processos, observando vantagens e desvantagens de sua utilização para a

formação do aluno. O mesmo foi feito a respeito de resolução de problemas e o uso

de jogo.

Com relação a fundamentação teórica Moreira (2010) trabalhou com a

Teoria das Situações Didáticas de Brousseau e como metodologia utilizou a

Engenharia Didática e a Técnica da Redescoberta, pois segundo ela, possibilita

aos alunos o desenvolvimento de certas habilidades tais como: observar, analisar,

pesquisar, avaliar, inferir, testar, planejar medir e concluir.

A pesquisadora apresentou ainda uma revisão de investigações a respeito

de número fracionário focando os diferentes significados de número fracionário, as

propostas de estratégias de ensino e práticas docentes para o ensino de números

fracionários, o ensino das operações com números fracionários, além do uso de

recursos tecnológicos no ensino de frações.

A sequência didática foi constituída por uma atividade contendo nove

conjuntos de situações-problema para que o aluno utilizasse uma calculadora

virtual para a construção das regras das operações com números fracionários que

foram trabalhadas em treze encontros. Utilizou ainda três jogos para fixação desses

conteúdos. A sequência foi aplicada a 45 alunos de uma turma do 6° ano do Ensino

Fundamental de uma escola da rede estadual, situada na cidade de Ananindeua

estado do Pará.

A pesquisadora realizou também uma consulta, por meio de um

questionário, a 100 professores do município de Belém do Pará, com o objetivo de

caracterizar suas concepções a respeito do ensino de números fracionários e

conhecer o saber docente do professor a partir de suas crenças, valores,

suposições a respeito da disciplina e seu ensino, conteúdo curricular, alunos,

aprendizagem etc.

De acordo com Moreira (2010), após a análise dos erros e acertos do pré

e pós-teste, houve uma melhoria considerável nas resoluções dos alunos e,

consequentemente, na construção dos algoritmos.

No final do trabalho a pesquisadora afirma que teve a oportunidade de

reconstruir seus conhecimentos e práticas como resultado da interação

21

professor/aluno e considera que os resultados foram favoráveis à utilização da

calculadora virtual, pois os alunos descobriram as regras das operações com

frações sem grandes dificuldades. Da mesma forma considerou as atividades com

jogos muito proveitosas, pois levaram os alunos a outro tipo de postura; como:

discutir os resultados, trabalhar juntos e ajuda mútua, pois procuravam auxiliar os

colegas, quando apresentavam alguma dificuldade. Para a autora esse tipo de

atividade é importante por propiciar aos alunos participação, socialização,

discussão e reflexão de cada questão trabalhada, o que favorece seu

desenvolvimento intelectual e social.

O trabalho de Melo (2008a) teve como finalidade mostrar que o uso da

calculadora poderia proporcionar um ensino dinâmico e investigativo por meio de

situações de aprendizagem significativas para o cálculo exato e aproximado de

potências e raízes para alunos do ensino médio da rede pública do estado de São

Paulo. O ator fez uma análise que seguiu quatro eixos norteadores: manuseio da

calculadora, erros cometidos, atitude investigativa e dinâmica da sala de aula. A

respeito do manuseio da calculadora o pesquisador observou dificuldades de

manuseio das funções básicas da calculadora, falta de interação com a máquina e

fragilidades nos conhecimentos mobilizados de potências e raízes. O autor

observou também que os alunos não tinham uma prática reflexiva e investigativa

ao longo do trabalho, bem como falta de autonomia.

Jucá (2008) procurou investigar, se uma sequência didática desenvolvida

por um conjunto de atividades com a calculadora e jogos apresenta resultado

satisfatório no processo de ensino e aprendizagem das operações com números

decimais na quinta série do ensino fundamental. Para atingir seus objetivos

elaborou uma sequência didática para o ensino de operações com números

decimais que foi aplicada a alunos da quinta série (atual sexto ano) ensino

fundamental para ser resolvida com o auxílio da calculadora no intuito de

enunciarem os algoritmos das operações com números decimais. A sequência foi

elaborada e aplicada à luz da Teoria das Situações Didáticas de Brousseau. Após

a aplicação da sequência o autor trabalhou ainda com um jogo para que os alunos

fixassem os conteúdos aprendidos.

22

De acordo com a pesquisadora o uso da calculadora pelos alunos na

resolução das atividades, constituiu um elemento motivador para o processo de

aprendizagem das operações com números decimais e também contribuiu para que

os alunos descobrissem as regras para essas operações. A atividade com o jogo

também contribuiu para o aprendizado dos alunos, pois permitiu que eles

discutissem os resultados ajudando uns aos outros.

De acordo com a pesquisadora os alunos tiveram bom desempenho nas

operações de adição e subtração com números decimais, entretanto na realização

das operações de multiplicação e divisão com os números decimais, os resultados

não foram tão satisfatórios como o esperado, pois apresentaram dificuldades tanto

na forma de expressar essas regras, como também na sua aplicação. Na operação

de multiplicação a maior dificuldade foi em armar o algoritmo da operação. Destaca

ainda que nem todos os alunos conseguiram formular as regras das operações,

mas que esse problema foi amenizado com a mediação dos colegas e do professor.

A pesquisa realizada por Guinther (2009) teve como objetivo investigar

quais estratégias pedagógicas, considerando o uso da calculadora em sala de aula,

pode tornar mais eficiente a percepção dos erros cometidos na manipulação de

estruturas aditivas e multiplicativas com números decimais, entre alunos do sétimo

ano do ensino fundamental.

O autor utilizou primeiro os jogos matemáticos MAZE e HEX DA

MULTIPLICAÇÃO, para que os alunos registrassem suas jogadas utilizando as

estruturas aditivas e multiplicativas. No segundo momento utilizou a calculadora

para que os alunos verificassem se as operações registradas estavam corretas ou

não.

Após ter analisado as estratégias que foram utilizadas, o pesquisador

concluiu que a calculadora permitiu maior eficiência na percepção dos erros

cometidos pelos alunos, pois permitiu que verificassem os resultados incorretos,

que sem a calculadora acreditavam estar corretos. Além disso, afirma que, de

maneira geral, as maiores dificuldades ocorreram com as operações de

multiplicação de divisão de números decimais e ainda que alguns alunos tinham

mais facilidade em verbalizar o que fizeram do que escrever.

23

Para o pesquisador seria importante a implementação de projetos que

privilegiassem o contato entre professores de diversos níveis de ensino para a

valorização das experiências de cada um e para ampliar a exploração da

calculadora em sala de aula.

1.2 JUSTIFICATIVA

A nossa ideia de querer trabalhar com recurso tecnológico como ferramenta

de aprendizagem, se deve ao fato de buscar associar o uso da calculadora ás

operações com números fracionários. Podemos dizer que essa ideia remonta

desde os anos oitenta ao iniciar o trabalho como professor da rede pública estadual,

do ensino fundamental em Belém do Pará. Um dos conteúdos que são ensinados

nas séries iniciais, que os alunos sentem mais dificuldades de aprendizagem, é o

conteúdo referente ás operações com os números fracionários. Este fato justifica

nosso interesse em desenvolver uma proposta de ensino dessas operações

utilizando uma calculadora como recurso didático. Nosso intuito é contribuir para a

aprendizagem dessas operações de forma significativa.

Na tentativa de procurarmos trabalhos que tratam sobre o uso da

calculadora, encontramos um número bastante reduzido desses trabalhos, e

menos ainda sobre as operações com os números fracionários e calculadora. Desta

forma, de acordo com Melo (2008b), o uso da calculadora tem sido mostrado em

vários trabalhos de pesquisa que relatam que a calculadora, bem usada, pode

favorecer o entendimento de conteúdos por parte dos alunos. Podemos citar dentre

os trabalhos que abordam sobre calculadoras, o de Jucá (2008) que trabalha as

operações com os números decimais com o uso da calculadora. Porém, como

destacamos anteriormente, o trabalho que serviu de referência para o

desenvolvimento de nossa pesquisa, foi o de Moreira (2010) que procurou trabalhar

as operações com os números fracionários com o uso de uma calculadora que foi

programada em computador denominada de “calculadora virtual”. Para o

desenvolvimento de nossa pesquisa, tomamos com referência o trabalho de

Moreira pelo fato da similaridade do que pretendemos pesquisar, no entanto

existem diferenças entre o que foi desenvolvido pela pesquisadora e que

pretendemos pesquisar, pois o trabalho da mesma foi realizado com alunos do

24

sexto ano do ensino fundamental e o nosso, com alunos do quinto ano do ensino

fundamental. Com relação ás atividades desenvolvidas, Moreira trabalhou com o

método da descoberta, a resolução de problemas e situações-problema elaboradas

em sequências de atividades, já em nossa pesquisa, trabalhamos com uma

sequência de atividades cujo propósito é proporcionar aos alunos, sujeitos da

pesquisa, condições favoráveis à apropriação das operações com números

fracionários usando uma calculadora científica não virtual com representação

fracionária.

Sobre a metodologia adotada, os dois trabalhos utilizaram a metodologia

da Engenharia Didática e como referencial teórico, os dois trabalhos utilizaram a

Teoria das Situações Didáticas de Brousseau, porém o nosso trabalho ainda

utilizou a Teoria dos Registros de Representação Semiótica de Duval. A escolha

dessa teoria deve-se à importância das diferentes formas de representar um

número fracionário e dos tratamentos que lhes são associados.

Sobre a calculadora, podemos considerar que não há diferenças

significativas que possamos considerar pois a calculadora utilizada por Moreira é

uma calculadora virtual de um programa de computador, e do nosso trabalho é uma

calculadora científica, mas que na sua forma de operar não há diferença alguma. A

vantagem que vemos no tipo de calculadora que escolhemos é sua portabilidade

em qualquer lugar que o aluno quiser e o fato de os alunos, trabalhando em grupo,

puderam pegar na mão e testar.

As tecnologias no mundo atual globalizado estão sendo inseridas

diretamente ou indiretamente no dia-a-dia da maioria das pessoas. Na educação

não pode ser diferente, visto que a mesma é colocada como elemento integrante

nos currículos de Matemática para todos os níveis de ensino. Entretanto. Essa

tecnologia ainda não foi assimilada adequadamente pela maioria dos professores

que atuam no ensino fundamental.

De acordo com Altoé (2005), diante das transformações constantes da

sociedade, é prudente que a educação promova mudanças em seu paradigma, pois

passou a exigir uso de equipamentos que incorporaram os avanços tecnológicos. Nesse momento, não se pode ignorar que a educação necessita promover alteração em seu paradigma. E mudança de paradigma na sociedade significam mudanças de paradigma também na

25

educação e, por conseguinte, na escola. O tipo de homem necessário para a sociedade de hoje é diferente daquele aceito em décadas passadas (ALTOÉ, 2005, p.39).

Por outro lado, com relação à matemática, os PCN (BRASIL, 1997a) deve-

se buscar a capacitação dos estudantes para a aquisição e o desenvolvimento de

novas competências determinadas por um novo tipo de profissional que deve

utilizar novas tecnologias e linguagens, além de capacidade para a iniciativa e a

inovação. “A educação básica tem assim a função de garantir condições para que

o aluno construa instrumentos que o capacitem para um processo de educação

permanente” (Ibid, p. 28).

Acrescentam que:

Estudiosos do tema mostram que escrita, leitura, visão, audição, criação e aprendizagem são capturados por uma informática cada vez mais avançada. Nesse cenário, insere-se mais um desafio para a escola, ou seja, o de como incorporar ao seu trabalho, apoiado na oralidade e na escrita, novas formas de comunicar e conhecer. Por outro lado, também é fato que o acesso a calculadoras, computadores e outros elementos tecnológicos já é uma realidade para parte significativa da população. (BRASIL, 1997b, p. 34)

Perrenoud (2000) chama a atenção da influência da utilização das

Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC), mostrando que as mesmas

provocam grandes mudanças em boa parte do mundo, e ressalta que a escola não

pode ignorar essas transformações, não apenas na comunicação, mas também na

forma de trabalhar, de pensar, decidir e agir.

Os recursos tecnológicos, de um modo geral, são hoje utilizados como

recurso didático para auxiliar nos processos de ensino e de aprendizagem de quase

todas as disciplinas, dentre elas a matemática.

Para Riccetti (2001, p.18) “desde cedo as crianças participam de uma série

de situações envolvendo números, relações entre quantidades e noções sobre

espaço, utilizando recursos próprios e recorrem a contagem e operações para

resolver problemas cotidianos”. Para a autora, fazer matemática é:

Expor ideias próprias, escutar as dos outros, formular e comunicar procedimentos de solução de problemas, confrontar, argumentar e procurar validar o seu ponto de vista, antecipar resultados e experiências não realizadas, aceitar erros, buscar dados que faltam para resolver problemas, entre outras coisas. (RICCETTI, 2001, p.19).

26

Ainda a respeito do ensino de matemática, Giancaterino (2009) destaca

dois aspectos básicos que consistem em relacionar observações do mundo real

com representações (esquemas, tabelas, figuras) e relacionar essas

representações com princípios e conceitos matemáticos.

1.3 DELIMITAÇÃO DO PROBLEMA

Quando se fala do processo de aprendizagem das operações básicas

envolvendo números fracionários nas séries iniciais do ensino fundamental, de um

modo geral, ponta-se as dificuldades que os alunos encontram na apropriação das

propriedades dessas operações. Entretanto, muitos trabalhos de pesquisa, como

os de Moreira (2010), de Jucá (2008), sobre este assunto têm mostrado o contrário,

ou seja, o que está faltando, são propostas metodológicas e recursos mais

adequados para minimizar essas dificuldades.

A nossa proposta está baseada na pesquisa desenvolvida por Moreira

(2010), realizada com o auxílio de uma máquina de calcular virtual, com alunos da

5ª série (6º ano) do ensino fundamental, para que os mesmos elaborassem as

regras das operações com números fracionários.

Analisando os resultados obtidos por Moreira (2010), podemos concluir que

a proposta de intervenção construída e experimentada parece ter surtido efeitos

positivos no que tange a apropriação das operações com números fracionários

pelos alunos sujeitos da pesquisa. Ela mostra que a dificuldade de aprendizagem

apontada não reside unicamente no aluno, mas também nos processos e

estratégias utilizadas em sala de aula.

Nossa proposta é, portanto, construir, analisar e experimentar atividades

com base nas ideias da pesquisadora para alunos do 5º ano do ensino fundamental.

Usaremos em nossa proposta uma calculadora cientifica que opera diretamente

com números fracionários, para verificar se os alunos, sujeitos da pesquisa,

conseguem compreender os processos que regem as regras dessas operações.

Nosso público alvo é composto de alunos do 5º ano. Escolhemos esses

alunos por ainda não terem estudado as operações com os números fracionários.

27

As regras e princípios de conhecimento matemático são muito importantes

para o processo de compreensão dos diversos conteúdos matemáticos que são

ensinados na escola para as crianças do ensino fundamental. Neste sentido,

podemos dizer que as regras das operações fundamentais envolvendo números

fracionários, também são de grande importância para o aprendizado dessas

operações pelos alunos, aja visto que o domínio e a compreensão dessas

operações contribuem muito para a resolução de muitas situações-problema do dia-

a-dia do aluno e também em outras áreas do conhecimento que seja necessário

utilizar os conhecimentos das operações com números fracionários.

Devido às dificuldades que se apresentam ao se trabalhar com números

racionais, e a grande importância que o mesmo representa como conhecimento

matemático, Romanato (1997) chama a atenção ressaltando que:

o número racional, para a sua efetiva compreensão, deveria ser visto como uma teia de relações nele incidente ou dele emergente, onde se compreende que dos mais variados contextos em que o número racional está presente deve emergir uma teia de relações que possibilitará a sua plena compreensão. (ROMANATO, 1997, p. 101).

Ainda, de acordo com este pesquisador, sobre o processo de ensino e

aprendizagem, a grande importância será a forma de como se conduzirá o trabalho

com essa teia para se obter a almejada compreensão desse conteúdo matemático,

pois quando o mesmo é trabalhado em um determinado contexto, implicará

algumas relações ou nenhuma.

No caso do ensino dos números racionais, o ideal seria que fossem

trabalhadas competências em certo contexto para que o aluno tivesse um bom

desempenho com assuntos da própria matemática, ou com assuntos de outras

disciplinas ou em outros contextos do dia-a-dia.

Para alguns pesquisadores e professores de matemática que atuam no

ensino fundamental, uma das principais dificuldades que os alunos apresentam no

aprendizado dos números racionais, é apontada por Romanatto (1997) que afirma

que essa dificuldade pode estar relacionada à não compreensão das diversas

relações que estão implícitas na notação a/b e as operações que podem ser feitas

com esse número, desde que obedecidas tais relações.

28

Dentre algumas pesquisas realizadas para identificar as dificuldades

apresentados pelos alunos no processo de aprendizagem de números racionais,

apontamos a de Silva (1997), que afirma que esse fato está ligado diretamente à

formação profissional docente, que de certa maneira se encontra de forma estática

e sendo conduzida nos moldes tradicionais. De acordo com Magina e Campos

(2008), os alunos apresentam baixo desempenho em muitos problemas

apresentados que não há evolução com respeito à apropriação do conceito, de uma

série para outra. Com relação aos professores que atuam no ensino fundamental,

as mesmas autoras sinalizam uma possível causa para essa questão, que pode ser

em função da grande maioria dos professores não terem clareza suficiente sobre

os diferentes significados que os números fracionários podem assumir diante de

diversas situações em um determinado contexto, fazendo com que esses

professores apresentem estratégias de ensino aos alunos com a utilização de

materiais concreto e os comuns desenhos que aparecem em qualquer livro de

matemática, somente para facilitar comparações que de um modo geral, não

trazem muita contribuição acerca das concepções referentes à esse conceito.

Considerando-se os resultados das diversas pesquisas realizadas que

apontam e retratam a atual situação em que se encontra os processos de ensino e

de aprendizagem de números fracionários, faz com que esses pesquisadores se

sintam bastante preocupados e talvez até impotentes diante do quadro mostrado,

pois parece que os problemas cada vez mais se arrastam e sem perspectiva de se

chegar a uma solução satisfatória para minimizar os problemas apontados pelos

pesquisadores.

Os estudos e as pesquisas que foram realizadas por pesquisadores, como

Silva (1997), Magina e Campos (2008) e Silva (2009), e outros mais, chamam a

atenção para os fatores que acarretam dificuldades no ensino de números

racionais, como nos processos formativos dos professores que atuam no ensino

fundamental.

Por tudo que foi exposto e comentado anteriormente e tomando como

referência o contexto atual, almejamos responder a seguinte questão de pesquisa:

Qual a contribuição de uma sequência didática que envolve uma calculadora

científica com representação fracionária para os processos de ensino e de

29

aprendizagem das operações com números fracionários para alunos do 5º

ano do ensino fundamental?

Foram elaboradas as seguintes hipóteses, que poderão ser ou não

verificadas, a primeira é que o uso de calculadora científica com representação

fracionária pode se constituir em recurso pedagógico para o ensino de operações

com números fracionários para alunos do quinto ano do ensino fundamental e a

segunda é que a calculadora pode ser uma ferramenta que contribui para a

construção das regras operatórias para números fracionários para nosso público

alvo.

Assim temos como objetivo levar um grupo de alunos do quinto ano do

ensino fundamental a elaborar e construir significado para as regras operatórias

fundamentais com números fracionários a partir da utilização de uma calculadora

científica.

1.4 METODOLOGIA DE PESQUISA E PROCEDIMENTOS

Na realização de uma pesquisa em Educação Matemática o pesquisador

pode utilizar metodologias diversas, de acordo com o que pretende pesquisar,

considerando um caráter qualitativo ou quantitativo em sua abordagem. Em se

tratando de pesquisa qualitativa, tem-se observado um grande esforço para

elaboração de Engenharia Didáticas.

A metodologia de engenharia didática é considerada como uma abordagem

oriunda e com enfoque da didática francesa e que tem como característica básica

e peculiar de organizar os procedimentos metodológicos de pesquisas que vem

sendo desenvolvidas em ambiente escolar em sala de aula.

Propomos desenvolver nossa pesquisa no campo da educação

matemática, utilizando alguns princípios da engenharia didática, que segundo

Artigue (1996, p. 198) “se por ser um esquema experimental baseado em

‘realizações didáticas’ na sala de aula, isto é, na concepção, na realização e na

análise de sequência didáticas”.

Para a autora, durante o processo da Engenharia Didática, deve-se

considerar um conteúdo do sistema de ensino, cujo funcionamento parece, por

30

algum motivo, pouco satisfatório, e faz-se uma análise deste com a intenção de

propor mudanças para um possível funcionamento mais satisfatório.

A denominação de Engenharia Didática atribuída à essa metodologia,

deve-se ao fato de que a mesma tem a característica de desenvolver um trabalho

didático que se assemelha com as ações que são desenvolvidas por um engenheiro

frente a execução e planejamento de um projeto, porém para que o mesmo tenha

sucesso na sua execução e chegue ao final com os resultados satisfatórios

esperados, o mesmo busca se apoiar em conhecimentos científicos para solucionar

problemas de grande complexidade.

A metodologia da Engenharia Didática tem a característica de estabelecer

um elo entre a construção do saber matemático com uma prática reflexiva

investigativa diante de uma sequência didática experimental.

As atividades didáticas utilizando os princípios da engenharia didática são

consideradas como práticas de investigação. Nessa prática, à medida que o

professor vai trabalhando os saberes escolares, estes devem ser colocados em

dúvida e discutidos. É com base nessa abordagem metodológica que ocorre a

concretização da aprendizagem. Na utilização da Engenharia Didática como

metodologia, a atuação pedagógica do professor é transformada em objeto de

investigação.

A engenharia didática caracteriza-se como uma forma viável de proposta

metodológica por considerar as peculiaridades dessa modalidade de pesquisa, pelo

fato de buscar os conhecimentos prévios dos alunos e parte deles para a

construção de um saber autêntico consciente e verdadeiro.

O saber matemático é construído a partir de questionamentos levantados

sobre o próprio objeto matemático que está sendo investigado, assim sendo, há a

necessidade do professor estar preparado para conduzir a sua ação educativa

nessa direção o que exige uma ampla capacidade reflexiva sobre a área de

atuação.

A engenharia didática é composta de quatro fases que elencar a seguir:

análises preliminares ou prévias, elaboração da sequência e análise a priori,

experimentação e aplicação da sequência didática, e por último, é feita uma análise

a posteriori da sequência aplicada, seguida de uma possível validação.

31

De acordo com Artigue (1996) é nas análises preliminares ou prévias

que o pesquisador, ao desenvolver o seu trabalho, deverá reunir informações

preliminares importantes que vão dar subsídios para a elaboração da sequência

didática.

Para a construção da sequência didática, é importante considerarmos

alguns procedimentos que deverão contribuir para que a mesma atinja a sua

eficiência desejada, são eles:

A revisão da literatura com a finalidade de conhecer as dificuldades nos

processos de ensino e de aprendizagem de um determinado tema, e as

propostas de ensino já existentes sobre o mesmo.

Tomar conhecimento da fundamentação teórica que irá dar suporte aos

estudos

Realizar consulta aos profissionais que estão envolvidos na área de

conhecimento que se pretende estudar, com a finalidade de trazer dados

sobre à formação, à metodologia, a concepções dos profissionais

envolvidos, e outros mais.

A aplicação de instrumentos que esclareçam e evidenciem como se

encontra a real situação daquela área de conhecimento que se pretende

estudar.

Em nosso trabalho, realizamos alguns estudos com o intuito de subsidiar a

concepção de nossa Engenharia Didática. Fizemos uma busca nos principais

bancos de teses e dissertações de universidades brasileiras e do exterior, anais de

congressos de Educação Matemática e revistas para constituir nossa revisão

bibliográfica e assim justificar nossa pesquisa. Estudamos as orientações dos PCN,

bem como os livros didáticos a respeito do ensino de operações com números

fracionários. Além disso, buscamos trabalhos que tratassem da utilização de

calculadoras para o ensino de números fracionários.

Quanto à elaboração da sequência e análise a priori, estão presentes duas

fases: a descrição do objeto, problemática referente ao objeto de estudo, e as

hipóteses que deverão ser verificadas no decorrer da prática investigativa da

proposta didática a ser elaborada. A elaboração das hipóteses do trabalho é

32

considerada como um ponto muito importante no trabalho com a engenharia

didática, pois é por intermédio delas que serão traçados os parâmetros de

comparação com os resultados finais da sequência para verificar a validação ou

não da mesma, também é nessa fase que são delineadas as variáveis de controle,

o que faz com que se permita conhecer o que se pretende experimentar. Segundo

Artigue (1996), essas variáveis são classificadas como:

Variáveis globais referem-se ao planejamento geral da engenharia.

Essas variáveis se encontram envolvidas desde a elaboração do pré-

teste, das atividades até a institucionalização dos conteúdos da

sequência.

Variáveis locais são aquelas que dizem respeito ao planejamento

específico de uma sessão da sequência didática, portanto é restrita a

uma fase da pesquisa.

Variáveis de situação se referem à escolha das atividades, à forma de

trabalho e o tempo necessário para trabalhá-las

A elaboração da sequência didática constitui-se de atividades voltadas para

a área de conhecimento escolhida, visando proporcionar aos sujeitos pesquisados

condições para uma melhor compreensão e construção de seu próprio

aprendizado. Para a construção da sequência didática leva-se em conta o campo

de conhecimento sobre o tema determinado e os resultados obtidos nos

instrumentos de pesquisa utilizados para recolhimento de informações.

Nesta fase da pesquisa foi elaborada uma sequência para o ensino das

operações com números fracionários que será aplicada em um período de onze

encontros, com duração de aproximadamente duas horas cada, no turno da tarde,

pois os alunos sujeitos desta pesquisa estudam no turno da manhã. A concepção

e posterior análise desta sequência será feita à luz da Teoria das Situações

Didáticas a fim de observar os efeitos no processo de ensino e aprendizagem desse

conteúdo. Assim, durante a concepção da sequência realizamos a análise a priori

de cada situação elaborada, como exigência da metodologia.

A experimentação é a fase em que o pesquisador parte para a

experimentação ou aplicação da sequência didática. A aplicação da sequência

33

didática é a etapa da realização experimental da engenharia didática desenvolvida

com a amostra escolhida. Ela se inicia no momento em que se dá o contato do

pesquisador/observador com o professor e os alunos que fazem parte da

investigação. Segundo Almouloud (2007), a experimentação é considerada como a

fase clássica, pois:

é o momento de se colocar em funcionamento todo o dispositivo construído, corrigindo-o quando as análises locais do desenvolvimento experimental identificam essa necessidade, o que implica em retorno à análise a priori, um processo de complementação. Ela é seguida de uma fase de análise a posteriori que se apoia no conjunto de dados recolhidos durante a experimentação. (ALMOULOUD, 2007, p. 177)

A sequência será formada, obedecendo a certas condições que de acordo

com Pais (2002) são:

Explicitação dos objetivos e condição de realização da pesquisa;

Estabelecimento do contrato didático;

Aplicação dos instrumentos de pesquisa (questionários, testes

individuais ou em pequenos grupos), realizados em diversos momentos

do ensino ou no final;

Registros das observações feitas durante a experimentação.

Portanto, cabe aos pesquisadores, diante do posicionamento assumido

frente ao objeto de ensino, elaborar estratégias que sigam os princípios acima

evidenciados.

Na análise a posteriori e validação ocorre o tratamento dos dados que

foram obtidos durante a fase experimental da sequência. Segundo Artigue (1996),

essa fase se apoia no conjunto dos dados recolhidos na experimentação,

observações realizadas nas sessões de ensino, nas produções dos alunos dentro

e fora da sala de aula. Esses dados são completados por dados obtidos de

metodologias externas, tais como: questionários, testes individuais ou em grupos,

realizados em diversos momentos do ensino ou no final.

A fase de validação é feita durante todo o processo de desenvolvimento da

proposta, observando-se uma constante confrontação entre os dados obtidos na

análise a priori e na análise a posteriori. Nessa análise, verifica-se se as hipóteses

feitas no início da pesquisa foram confirmadas, se o aprendizado foi consolidado e

34

se a autonomia intelectual foi alcançada determinando assim a validação, ou não

da sequência didática empregada.

A engenharia didática oferece a oportunidade de pesquisa, reflexão e

correção das sequências trabalhadas sobre os dados coletados, com chance de

nova intervenção, caso o estudo necessite, sempre respaldados pelos confrontos

das diversas etapas que compõem esta metodologia.

Os dados serão coletados por observação, vídeo gravação e material

produzido pelos alunos.

1.5 REFERENCIAL TEÓRICO

Neste tópico apresentaremos as duas teorias que utilizaremos, tanto para

a elaboração da sequência didática bem como para análise dos dados.

1.5.1 Teoria das Situações Didáticas – TSD

A Teoria das Situações didáticas tem como objetivo caracterizar uma

situação em um processo de aprendizagem que ocorre em sala de aula envolvendo

o aluno, o professor e o saber.

A proposta defendida por Brousseau (1996) é de que o trabalho intelectual

do aluno deve ser de caráter investigativo científico, considerando que o aluno deva

ser capaz de formular, provar, construir modelos, linguagem e de trocar essas

informações com outros alunos.

Deve-se ressaltar que o importante não é a memorização de regras,

teoremas e simplesmente fazer a sua aplicação quando for necessário. O mais

importante é propor-se situações problema que valorizem o raciocínio, a

criatividade e dê condições de desenvolver estratégias pessoais de pesquisa,

contribuindo para que o aluno possa produzir conhecimento.

As relações envolvendo o saber, o professor e o aluno em sala de aula,

devem propiciar condições para a consolidação da aprendizagem através das

situações problema que ocorrem no momento em que são desenvolvidas atividades

de sala de aula.

35

De acordo com Brousseau (1996), a Teoria das Situações Didáticas

permite a intervenção, tanto do aluno como do professor.

Segundo Almouloud (2007) a teoria das situações apoia-se em três

hipóteses:

O aluno aprende adaptando-se a um milieu que é fator de dificuldades, de contradição e de desequilíbrio, um pouco como acontece na sociedade humana. Esse saber, fruto da adaptação do aluno, manifesta-se pelas respostas novas, que são a prova da aprendizagem (BROUSSEAU, 1986, p. 49). Esta hipótese é uma referência à epistemologia construtivista de Piaget. O milieu não munido de intenções didáticas é insuficiente para permitir a aquisição de conhecimentos matemáticos pelo aprendiz. Para que aja uma intencionalidade didática, o professor deve criar e organizar um milieu no qual serão desenvolvidas as situações suscetíveis de provocar essas aprendizagens. A terceira hipótese postula que esse milieu e essas situações devem engajar fortemente os saberes matemáticos envolvidos no processo de ensino e aprendizagem. (BROUSSEAU, 1986 apud ALMOULOUD, 2007, p. 32).

Na TSD, a aprendizagem matemática acontece, efetivamente, sempre que

o conhecimento que se aprende tem sentido e significado para o estudante, e

aquele conhecimento aprendido é aplicado em outros contextos. Desta forma

então, a maneira com que os conteúdos matemáticos são apresentados aos

estudantes são de grande importância na significação do saber escolar.

A TSD distingue duas fases importantes no tratamento das situações de

aprendizagem em sala de aula: situação didática que deve ser conduzida pelo

professor e a situação adidática que diz respeito à ação do aluno sob a mediação

do professor.

A situação didática surge, no momento em que o professor tem a intenção

de ensinar um saber com a finalidade de o aluno aprender de forma significativa. É

As situações adidáticas têm como característica colocar o aluno diante de uma

situação para que ele possa produzir o seu próprio conhecimento, o professor tendo

o papel de mediador e orientador. Com isto, é importante que o professor, na

condução da atividade, crie previamente um ambiente favorável para a

aprendizagem do aluno. De acordo com Brousseau (1996), uma situação didática

é:

Um conjunto de relações estabelecidas explicitamente e ou implicitamente entre um aluno ou um grupo de alunos, num certo meio, compreendendo

36

eventualmente instrumentos e objetos, e um sistema educativo (o professor) com a finalidade de possibilitar a estes alunos um saber constituído ou em vias de constituição. (BROUSSEAU, 1996, p.8).

Na teoria das situações didáticas, segundo Almouloud (2007), o elemento

principal é a situação didática que tem como parte essencial a situação adidática

que tem como característica de ser uma situação na qual a intenção de ensinar não

ser revelada ao aprendiz, porém como essa situação tem uma intencionalidade de

atingir os propósitos do professor, então a mesma deve ser pensada, planejada e

construída pelo próprio professor visando proporcionar ao aluno condições

favoráveis para a apropriação do novo saber que visa ensinar.

Com a finalidade de facilitar a análise do processo de aprendizagem, a

teoria das situações didáticas observa e decompõe esse processo em quatro fases

distintas, porém interligadas observando-se fases de tempos dominantes de ação,

de validação, de formulação e de institucionalização. Segundo Almouloud (2007),

em sua primeira versão, a teoria das situações apresentava apenas as três

primeiras etapas, no entanto com o avanço nas discussões e utilização dessa

teoria, foi necessário se acrescentar mais elementos, como as noções de contrato

didático e a etapa da institucionalização.

A Dialética da ação, de acordo com Almouloud (2007, p. 37), consiste em

colocar o aprendiz numa situação, chamada de situação de ação que:

- Coloca um problema para o aluno cuja melhor solução, nas condições propostas, é o conhecimento a ensinar; - o aluno passa agir sobre essa situação e que ela lhe retorne informações sobre sua ação.

Uma boa situação de ação não é somente uma situação de manipulação

livre ou que exija uma lista de instruções para o seu desenvolvimento. Podemos

dizer que nesta etapa, o aluno está comprometido e empenhado para solucionar

um problema, pois o mesmo aprende agindo. Desta forma o aluno tem a

possibilidade de aperfeiçoar ou deixar de lado o modelo na perspectiva de criar

outro, o que faz com que a situação provoque uma aprendizagem por adaptação.

A dialética da formulação, de acordo com Almouloud (2007), consiste em

colocar o aluno diante de uma situação em que ele possa trocar informações com

uma ou várias pessoas, que serão consideradas como emissoras e receptoras,

trocando mensagens escritas, orais ou de outra forma qualquer dependendo da

37

exigência da situação, explicitando as ferramentas que foram utilizadas e as

soluções encontradas. “Como resultado, essa dialética permite criar um modelo

explicito que pode ser formulado com sinais e regras comuns, já conhecidas ou

novas. Segundo Almouloud (2007, p. 38):

O objetivo da dialética da formulação é a troca de informações. Por exemplo, se o aluno deve agir e não dispõe de toda a informação e seu parceiro no jogo dispõe das informações que lhe faltam, pode haver, nessas trocas, julgamentos, debates de validade, sem que isto constitua necessariamente uma situação de formulação.

Finalmente, podemos dizer que a mesma permite verificar se os alunos

conseguem formalizar os conhecimentos, regras e conceitos, por mais que seja de

forma bem simples, sobre coisas que pensam e que registram no papel.

A dialética da validação, de acordo com Almouloud (2007), o aluno deve

mostrar a validade das possíveis soluções dos diversos modelos criados por eles

em linguagem matemática (modelo da situação) submetendo à apreciação e ao

julgamento de seus colegas de grupo ou de sala, onde ele deve mostrar de forma

clara e precisa a pertinência do desenvolvimento do seu modelo, e caso possível,

fazer a sua validação. Com isto, dependendo do caso, os alunos podem pedir mais

explicações e esclarecimentos sobre o que não entenderam, ou simplesmente

rejeitar as mensagens que ficaram com dúvidas ou discorda, justificando assim a

sua rejeição.

Como conclusão final sobre essa dialética, podemos dizer que ela se

desenvolve nos debates e discussões com os alunos, e na certeza dos resultados

apresentados por eles, como milieu de estabelecer provas ou de refutá-las.

A dialética da institucionalização, de acordo com Almouloud (2007), o

professor, no seu papel de educador, deve fazer uma conclusão sobre tudo que foi

apresentado e discutido, realizando então um confronto entre os conhecimentos

apresentados, institucionalizando o saber ensinado. Após ter sido construído e

validado pela sala de aula, este novo conhecimento passa fazer parte do patrimônio

matemático da classe, e deve ser dominado por todos. De acordo com Almouloud

(2007) depois da institucionalização, feita pelo professor, o saber torna-se oficial e

os alunos devem incorporá-lo aos seus esquemas mentais tornando assim

disponíveis para utilização na resolução de problemas matemáticos.

38

Desse modo, nossa proposta deverá proporcionar para o aluno a

oportunidade de vivenciar todas as etapas que compõem uma situação adidática,

ou seja, a dialética da ação, a dialética da formulação, a dialética da validação e a

dialética da institucionalização.

1.5.2 A Noção de Registro de Representação Semiótica

Neste tópico faremos uma breve análise sobre os fundamentos teóricos dos

registros de representação semiótica na visão do psicólogo Raymond Duval, pelo

fato da nossa proposta de trabalhar as operações com os números fracionários

utilizar mais de uma forma de registros, sendo assim a teoria de registros de

representação semiótica servirá para fazer uma análise mais apurada sobre o que

foi trabalhado com os alunos no decorrer do desenvolvimento das atividades.

Sempre que o aluno está estudando algum conteúdo matemático e faz a

sua representação por meio de tabelas, gráficos, desenhos, etc., ele está

caracterizando esse objeto matemático por uma representação com a finalidade de

obter uma melhor compreensão desse objeto. Segundo Duval (2009). Para este

autor,

Basta olhar para a história do desenvolvimento da matemática para ver que o desenvolvimento de representações semióticas foi um elemento essencial que deu grande contribuição para o desenvolvimento da matemática. (DUVAL, 2009, p. 106).

De acordo com Duval (2009)

[...] há uma diferença básica entre a matemática e os outros domínios do conhecimento científico. Objetos matemáticos, em contraste com os fenômenos da astronomia, física, química, biologia, etc. não são acessíveis pela percepção ou por instrumentos (microscópios, telescópios, aparelhos de medição). A única maneira de ter acesso a eles e lidar com eles é usar sinais e representações semióticas. (DUVAL, 2009, p. 107, tradução nossa

Para o autor, não se pode estudar tudo que é referente ao conhecimento

sem recorrer à representação pelo fato da inexistência de conhecimento algum que

possa ser mobilizado por uma pessoa sem uma atividade de representação.

Duval afirma que “[...] basta olhar para a história do desenvolvimento da

matemática para perceber que o desenvolvimento de representações semióticas

era uma condição essencial para o desenvolvimento do pensamento matemático”

(Ibid, p. 106).

39

Os diversos tipos de registros de representação de um objeto matemático

são de grande importância para que o educando consiga realizar a sua apreensão,

pois de acordo com Damm (2008) quanto maior for a mobilidade com registros de

representações diferentes do mesmo objeto matemático, maior será a possibilidade

de apreensão desse objeto.

A utilização de diferentes tipos de registros de representação no processo

de aprendizagem de matemática faz com que o educando tenha a possibilidade de

optar pela forma mais adequada possível de representar uma situação estudada,

contribuindo assim para o seu pleno desenvolvimento intelectual.

Existem vários tipos de representações semióticas a considerar, tais como,

as representações gráficas, as figuras geométricas, a escrita algébrica ou as

línguas. Para Duval (2009) a parte visível representada obedece a leis de

organização que lhe são peculiares e próprias, e que podem permitir outra forma

de representação. As representações semióticas têm dois aspectos: a forma (ou o

representante) e o conteúdo (ou o representado). Duval (2009) denomina de

registro uma maneira típica de representar um objeto matemático, um problema ou

uma técnica. Para um mesmo objeto matemático dispõe-se de diversas formas para

fazer a sua representação. Podemos ver como exemplo, o caso dos números

fracionários: o registro de representação na língua natural: três quintos; o registro

de representação fracionária: 3/5: o registro de representação decimal: 0,6 e

registro de representação figural (um desenho).

No ensino da matemática, de acordo com Duval (2009), não se dá a devida

atenção à dualidade forma/ conteúdo das representações semióticas e à variedade

de registros de representação que se utiliza, pois ainda segundo ele “um objeto

matemático não deve ser confundido com a representação que se faz dele, é o

conteúdo representado que é importante e não a forma sob a qual é representado.

Porém, não podemos nos esquecer de que as representações semióticas, que

consideramos como representações ‘materiais’, são suporte para as

representações mentais”.

Desta forma então se pode perceber que é essencial e fundamental para a

compreensão do conceito de número racional, a mobilização de vários registros de

40

representação: fracionária, decimal, figural, e da língua natural, pois cada uma

destas formas de representação tem suas características próprias.

De acordo com que Duval (2009) vem chamando atenção, é que

pretendemos mostrar que os números racionais e as operações fundamentais com

os mesmos podem ser representados pelas diversas formas de registros que foram

citadas anteriormente, também é importante ressaltar que o conhecimento de um

deles não implica necessariamente, no conhecimento e necessidade de utilização

de outros registros.

Duval (2009) observa que para a compreensão da matemática é importante

que fique bem claro a distinção entre um objeto matemático e seus registros de

representação semiótica: “os objetos matemáticos não devem ser confundidos com

as representações semióticas utilizadas, embora não haja acesso a eles sem as

representações semióticas” (Ibid, p. 126).

Ele considera que os objetos matemáticos não são acessíveis diretamente

pela percepção ou por outra experiência intuitiva, como são os objetos do mundo

real. Os objetos matemáticos necessitam de representações, sendo assim

percebe-se que as representações semióticas merecem uma grande atenção pelo

fato de exercerem um papel fundamental na atividade matemática. Segundo Freitas

(2008), com relação às atividades cognitivas ligadas e vinculadas as

representações semióticas, Duval chama atenção para que um sistema semiótico

seja um registro de representação é necessário que ele permita três atividades

cognitivas fundamentais: a formação de uma representação identificável, o

tratamento e a conversão.

a formação de uma representação identificável como a representação de um registro dado (enunciado de uma frase compreensível em uma linguagem natural, composição de um texto, desenho de uma figura geométrica, elaboração de um esquema ou resumo, escrita de uma fórmula, elaboração de um diagrama ), cuja formação implica na seleção de traçados e dados do conteúdo a representar. Para fazer tal seleção são necessárias regras de formação que são próprias ao registro semiótico. Assim pode-se dar o entendimento de que o registro é comparável com uma tarefa de descrição. As regras de formação garantem as condições de identificação e de reconhecimento da representação e possibilitam a sua utilização para os devidos tratamentos. Tratamento de uma representação é a transformação internamente ao registro na qual ela é formada. Cada registro tem as formas de tratamento que lhe são próprias. Por exemplo, a paráfrase e a inferência são formas de tratamento de registro em língua natural; o cálculo (numérico, algébrico etc.) é uma forma de tratamento da linguagem semiótica. As regras de

41

tratamento, também são próprias de cada registro, por exemplo, as regras de derivação, as regras de coerência temática, etc. A conversão de uma representação é a transformação de uma representação em outra representação de outro registro que conserva a totalidade ou parte do conteúdo da representação inicia. Por exemplo, a ilustração é a conversão de uma representação linguística em outra representação; a descrição é a conversão de uma representação não verbal em uma representação linguística. (FREITAS, 2008, p.178)

O tratamento de uma representação está ligado ao objeto matemático e

consiste da transformação interna a um registro.

Podemos considerar que o número “um meio” pode ter diversas

representações: representação figural, representação na língua natural (verbal ou

escrita), representação fracionária e representação decimal. Para a maioria delas

podemos definir regras operatórias que possibilitarão o tratamento no registro

escolhido. Podemos também fazer a conversão, por exemplo, o registro fracionário

para o registro decimal. A adição representada por 1

5+

1

5=

2

5 pode ser representada

também por 0,2 + 0,2 = 0,4 no registro decimal.

A representação figural é muito utilizada para a introdução da noção de

números fracionários com a ideia de parte todo, isto é, um inteiro que foi dividido

em partes de mesma área das quais algumas são consideradas. Geralmente, estas

são pintadas ou hachuradas para diferenciá-las das outras, como podemos ver na

figura 1, onde o inteiro foi dividido em cinco partes de mesma área e duas foram

consideradas.

Figura 1 – representação figural para número fracionário

Fonte: produção do autor

A importância de se trabalhar com diversos registros conduz a buscar a

representação que permitirá economia de tempo para os cálculos, uma melhor

interpretação da situação que está sendo trabalhada.

De acordo com Duval (2009), as representações mentais recorrem a um

conjunto de imagens, e mais globalmente, às concepções que um indivíduo pode

ter sobre um objeto ou sobre uma situação que está associada a este. Considerar

42

as representações semióticas como um meio de exteriorização de representações

mentais, com o objetivo de comunicação é um raciocínio falho, pois “as

representações não são necessárias apenas para fins de comunicação, são

essenciais para a atividade cognitiva do pensamento. ” (DUVAL, 2009, p. 39).

Para o autor as representações semióticas possuem um papel primordial

em alguns aspectos tais como:

- desenvolvimento de representações mentais: o que depende de uma

interiorização das representações semióticas, do mesmo modo que as imagens

mentais são uma interiorização das percepções;

- na realização de diferentes funções cognitivas: a função de

objetivação (expressão particular), que é independente da de comunicação

(expressão para o outro), e a função de tratamento que não pode ser completada

pelas representações mentais (certas atividades de tratamento são diretamente

ligadas à utilização de sistemas semióticos, por exemplo, o cálculo);

- na produção de conhecimento: as representações semióticas permitem

representações radicalmente diferentes de um mesmo objeto na medida em que

elas podem depender de sistemas semióticos totalmente diferentes. Assim, o

desenvolvimento da ciência está ligado a um desenvolvimento de sistemas

semióticos muito específicos e independentes da linguagem natural.

De acordo com Duval (2009), a coordenação de diversos registros é uma

condição de grande importância e necessária para que o esquema didático da

representação comumente admitida corresponda a um funcionamento eficaz por

parte do aluno. Numerosas observações, em diferentes níveis de escolaridade,

mostram que essa coordenação não se realiza espontaneamente pela maioria dos

sujeitos. Em nossas escolas, o sistema de ensino de matemática normalmente é

organizado como se a coordenação dos diferentes registros de representação

utilizados ocorresse de forma imediata e espontaneamente.

A resolução de problemas depende primeiramente da compreensão do

enunciado e da conversão das informações pertinentes que estão presentes. Há

necessidade então, de se passar de uma descrição discursiva dos objetos

relevantes para uma escrita simbólica para que os tratamentos possam ser

aplicados. Para Duval (2009) não se pode negligenciar ou descartar a linguagem

43

natural no quadro do ensino da matemática, pois ela é um tipo de registro de grande

importância e tão fundamental quanto os outros tipos de registros.

Alguns trabalhos realizados por pesquisadores abordando números

fracionários apontaram dificuldades apresentadas pelos alunos, como podemos

destacar o de Bianchini (2001) que trabalhou explorando a representação figural,

fracionária e decimal e apontou erros cometidos pelos alunos referentes à

representação figural e a leitura reforçando a necessidade de se explorar vários

tipos de registros de representação.

A razão de se querer trabalhar com a teoria dos registros de representação

semióticas, é pelo fato de que iremos trabalhar com as operações com números

fracionários, e para que o aluno possa ter um uma melhor compreensão dessas

operações, é necessário que se trabalhe as mesmas utilizando mais de uma forma

de registro com a finalidade de propiciar uma melhor compreensão para esse aluno,

pois de acordo com (DAMM, 2008, p. 177) “quanto maior for a mobilidade com os

registros de representações diferentes do mesmo objeto matemático, maior será a

apreensão desse objeto”.

44

45

2 ANÁLISES PRELIMINARES

Neste capítulo que constitui a primeira fase da Engenharia Didática,

trataremos sobre o uso das tecnologias na escola, apresentaremos os diferentes

significados de número fracionário na visão de pesquisadores que realizaram

trabalhos de grande importância nesse assunto, as operações com os números

fracionários, o uso da calculadora e as operações em livros didáticos

2.1 O USO DE NOVAS TECNOLOGIAS NA ESCOLA

No mundo de hoje as tecnologias fazem parte da grande maioria das

atividades humanas e são construídas ao longo dos tempos pelo homem que

incessantemente vive em busca de conhecimentos que podem ser transformados

em instrumentos, equipamentos, processos, artefatos e ferramentas que são

denominados de tecnologias. Atualmente vivemos cercados e influenciados pelas

tecnologias, o que faz com que as pessoas da sociedade cada vez mais devam ser

capacitadas para o uso da mesma.

É comum as pessoas fazerem confusão sobre o que é a tecnologia e os

produtos que são produzidos a partir dessa tecnologia. Dessa forma então, Bueno

(1999, apud FEDALTO, 2006, p. 17) chama a atenção sobre as formas incorretas

dos usos de interpretação utilizadas pelas pessoas sobre a palavra tecnologia.

É verdade que há uma tecnologia embutida em qualquer instrumento e implícita em sua fabricação; mas isto não é a razão para se considerar o saber embutido num objeto ou implícito na sua produção, com o próprio objeto da indústria. Um derivado desse mau uso é o emprego da palavra tecnologia para significar a organização, o gerenciamento, e, mesmo, o comércio desses aparelhos. Por uma razão ou outra essa confusão essa confusão apareceu na área da computação e da informática, onde a máquina é tão importante quanto o saber de onde se originou. Há, então, o perigo de se confundir toda a tecnologia, isto é, o conhecimento científico aplicado as técnicas e aos seus materiais e processos com uma particular indústria e comércio.

A compreensão correta sobre tecnologia seria o meio utilizado para se

chegar a um produto final, pois é por intermédio da mesma que se constrói um

produto final. De um modo geral, quase tudo que utilizamos em nosso cotidiano, e

que serve para facilitar nossas vidas, é considerado como produtos produzidos a

partir de conhecimentos tecnológicos. Podemos citar como exemplo, o computador,

46

o telefone celular, a calculadora, e outros mais, entretanto todo o conhecimento que

foi produzido pelo homem, é considerado como fruto de uma tecnologia, porém não

é a própria.

Quando os meios de comunicação anunciam a venda de um objeto de

última tecnologia, ao comprarmos esse objeto estamos comprando simplesmente

um fruto da mesma, e não ela própria. Entretanto ela não se restringe simplesmente

a equipamentos e a invenções, porém ainda não se tem uma definição clara com

relação ao que é tecnologia1.

Pela definição de tecnologia, dá para se perceber que é o conhecimento, e

não o objeto que resulta dela, pode-se dizer então que é algo imaterial, e não algo

material que as pessoas possam tocar, manipular e usar.

Podemos dizer que ela deve produzir serviços melhorando a qualidade de

vida das pessoas, com a finalidade de levar o progresso para a sociedade, desta

forma, ela é fruto resultante da interação entre o conhecimento e o ser humano.

De acordo com Melo a tecnologia

não pode ser separada do homem e das questões sociais, de como ele pode aplicar seus conhecimentos, produzindo novas tecnologias, mais conforto e bem-estar. É quase impossível pensar que o advento da tecnologia e de seu progresso não traria bem-estar a todos, mas em alguns casos isso acontece. (MELO, 2008b, p. 22)

Ao criar máquinas e equipamentos oriundos de altas tecnologias, como

computadores, máquina de calcular em empresas, bancos, máquinas agrícolas,

etc. proporcionou mais qualidade e agilidade na execução dos serviços, mas

eliminando a figura de vários outros tipos de profissionais, como datilógrafos,

gráficos, etc., fazendo com que muitas pessoas perdessem seus empregos. De

acordo com Melo (2008b) este fato ocorreu em várias áreas, como a agricultura, a

indústria de produção, e outras tantas. Com isto surge um grande desafio que é de

descobrir um meio de combinar desenvolvimento com emprego, mas como o

mercado de trabalho está exigindo muita mão de obra qualificada, talvez a solução

do problema possa ser o investimento em educação.

1 Ao consultar o dicionário (FERREIRA, 2004, p. 192), sobre o que é tecnologia, o mesmo nos informa que: “é o conjunto de conhecimentos, especialmente princípios científicos, que se aplicam a um determinado ramo de atividade”

47

Os avanços e as conquistas da tecnologia possibilitam ao homem uma

melhor compreensão do mundo em sua volta, dando-lhe melhor capacidade para

manipular a natureza, o mundo em sua volta e os fatos, contribuindo com o aumento

da capacidade de produzir mais e melhor. É importante se destacar sobre a

formação com o uso da Tecnologia para o ensino da matemática pois essa

tecnologia contribuirá com o processo de aprendizagem da matemática.

Alguns pesquisadores que desenvolveram trabalhos com o uso da

tecnologia, chamam atenção sobre a importância da utilização de computadores

através de programas de software que propiciam ao aluno pensar

matematicamente, pois o mesmo tem a possibilidade de realizar experimentos,

testar hipóteses, constrói conceitos diversos, possibilita a criação de estratégias

para resolver problemas.

Podemos dizer que o computador já é considerado como um recurso de

grande importância para a educação, pela sua ampla utilização em sala de aula

como uma ferramenta que promove a aprendizagem. De acordo com Bilac (2008,

p. 23) o computador

não é mais o instrumento que ensina o aprendiz, mas a ferramenta com a qual o aluno desenvolve algo, e, portanto o aprendizado ocorre pelo fato de estar executando uma tarefa por intermédio do computador.

Da mesma forma que foi desencadeado o processo evolutivo da tecnologia,

consequentemente, a calculadora também acompanhou esse processo evolutivo,

e as calculadoras que antes possuíam apenas recursos para atender as operações

básicas, ampliaram a sua capacidade operacional contando com uma série de

recursos e capacidade de realização de muitas funções de grande importância para

facilitar a vida das pessoas, tanto em atividades acadêmicas como em atividades

do cotidiano.

Para que o professor possa realizar um bom trabalho em sala de aula com

o auxílio de qualquer recurso tecnológico, é necessário primeiramente que este

professor tenha sido preparado para isso, para trabalhar com a calculadora também

não é diferente, ou seja, é necessário que o professor faça um bom planejamento,

elabore estratégias e faça um estudo e preparação prévia de atividades, exercícios,

experimentos, etc.; visando o sucesso do trabalho. De acordo com Giancaterino

48

(2009) uma grande causa de equívoco da educação atual é o baixo índice de

aceitação e incorporação da tecnologia no processo educacional.

Desenvolver atividades em sala de aula com o uso da tecnologia exigirá do

professor uma nova postura diante do processo educacional, pois o professor:

deixará de ser o detentor do conhecimento e o aluno um ser passivo que recebe uma gama de conhecimentos que lhe são significados. Quem irá construir o conhecimento será o próprio aluno a partir da relação social mediada pela tecnologia. (VASCONCELOS,1994, p. 83).

É importante que se tenha alguns cuidados quando inserimos em sala de

aula a utilização de um novo instrumento que pode ser às TIC ou outro qualquer,

ou seja, deve-se pensar e planejar como será feita esta aplicação por estratégias e

objetivos muito bem elaborados.

Na maioria de nossas escolas, de um modo geral o único recurso que o

professor tem a seu dispor para desenvolver o seu trabalhar em sala de aula, é o

livro didático, porém esse livro não agrega o uso da calculadora em suas atividades.

De acordo com PCN (BRASIL, 1997a, p.67) “a utilização de materiais diversificados

como jornais, revistas, folhetos, propagandas, computadores, calculadoras, filmes,

faz o aluno sentir-se inserido no mundo à sua volta”. Afirmam ainda que:

Recursos didáticos como jogos, livros, vídeos, calculadoras, computadores e outros materiais têm um papel importante no processo de ensino e aprendizagem. Contudo, eles precisam estar integrados a situações que levem ao exercício da análise e da reflexão, em última instância, a base da atividade matemática. (BRASIL, 1997b, p. 19).

O uso de tecnologias (calculadora) nas aulas de matemática pode se

constituir como um recurso de grande importância para que o aluno trabalhe

conceitos, propriedades, definições e outras atividades.

O ideal seria que o livro didático trouxesse a calculadora atrelada a uma

proposta pedagógica, para que a utilização dessa máquina já tivesse ocorrido a

mais tempo. Alguns livros didáticos já estão trazendo de uma forma bem modesta,

algumas atividades com calculadoras, mostrando que a mesma não serve somente

para realizar cálculos.

49

2.2 OS DIFERENTES SIGNIFICADOS DE NÚMERO FRACIONÁRIO

Kieren faz parte do grupo “Rational Number Project (RNP), que foi fundado

em 1979 e que se dedica a estudar problemas relativos ao processo de

aprendizagem dos números racionais, a sua colaboração para o RNP foi com

relação a estrutura conceitual, afirmando que o domínio matemático dos números

racionais é construído segundo uma visão integrada das concepções: de medida,

de quociente, de operador e de razão, e também das relações existentes entre elas.

De acordo com Martinez (1996, apud RODRIGUES, 2005) Kieren é

considerado como o primeiro pesquisador que chamou a atenção sobre a

complexidade de compreensão do conceito de número fracionário pelos alunos das

séries iniciais e até de séries mais adiantadas, desta forma ele publicou em 1976

um artigo, propondo que a compreensão desse conceito deve considerar sete

interpretações que estão relacionadas entre si e que devem ser consideradas,

segundo as estruturas; matemáticas, cognitivas e as estruturas instrucionais

envolvidas. Para o autor, Kieren propõe substituir o termo interpretações por

“subconstrutos”, onde entendeu a noção de número racional como um construto

teórico que pode se constituir a partir de noções mais simples, chamadas

subconstrutos. Assim, frente a um problema é possível isolar com mais facilidade

as noções essenciais para a construção do conceito. Para Kieren (1993) o conceito

de número racional pode ser construído a partir de quatro subconstrutos:

quociente, operador, medida e razão.

Para o autor as ideias que estão contidas no subconstruto parte-todo, já se

encontram presentes nos construtos quociente, operador e medida, o que faz que

o mesmo não seja considerado como um subconstruto como outros pesquisadores

o consideram.

Kieren (1993) propõe então um modelo teórico para mostrar as possíveis

interconexões existentes entre as ideias que formam o conceito de número racional,

desde as situações contidas no conhecimento intuitivo do aluno, até o estágio de

formalização do conceito, que é apresentado pelos quatro níveis que deve passar

a construção do conceito de número racional:

- o nível dos conhecimentos intuitivos dos subconstrutos.

50

- um terceiro nível, obtido a partir dos subconstrutos em direção a um pensamento multiplicativo mais formal - o conhecimento estruturado dos números racionais, dentro de um conjunto quociente. (KIEREN, 1993, p. 64-65).

Em sua tentativa de fornecer explicações concisas sobre essa evolução do

processo de construção do conceito, o autor considera que a partição e a obtenção

de números fracionários com numerador unitário, da forma 1

𝑏, (com 𝑏 ≠ 0) tem, para

a criança, o mesmo papel de um axioma na construção do número racional como

elemento de um conjunto quociente. Considera ainda que o número racional deve

ser visto primeiramente como um conhecimento humano para depois ser visto

como uma construção lógico formal. Aponta ainda que o número racional assume

simultaneamente um caráter de quociente e de razão. Quando apresenta o caráter

de quociente responde a questão “quanto?” e como razão estabelece uma

propriedade relacional entre a parte e o todo.

Para Behr et al (1992) é importante diferenciar números racionais de

frações e considera os números racionais como elementos de um conjunto infinito

de quocientes formados por infinitas classes de equivalências cujos elementos são

as frações.

Romanatto (1997, p. 72 afirma que Gimenez (1998) analisa as frações

como:

quantidade, medida, razão e taxa. O autor associa essas interpretações a problemas ora estáticos, ora dinâmicos. Na interpretação de quantidade temos um problema associado à ideia de

parte/todo no aspecto estático (3

4 de uma pizza) e à ideia de partição no

aspecto dinâmico (Repartir 3 pizzas entre 4 pessoas. Quanto caberá a cada uma?). Na interpretação de medida temos no aspecto estático um problema que pode ser expresso da seguinte forma: “comprei ¾ de um produto”, e, no aspecto dinâmico, um problema poderia ser: “quantos ¾ têm em dois inteiros?”. Na interpretação envolvendo razão podemos associar problemas no aspecto estático com a ideia de comparação (João tem ¾ de dinheiro mais que José) e no aspecto dinâmico com a ideia de proporção (compro 4, porém pago 3). Por fim, na interpretação relacionada à taxa, no aspecto estático temos problemas do tipo: percorro 3 km a cada 40 minutos, ligado à ideia de um fator, enquanto no aspecto dinâmico, a noção pode ser associada a problemas do tipo: “o preço de 5 lápis equivale ao preço de 3 canetas.”

Silva (2009) baseada na noção de concepção de Artigue (1990) que tem a

função de mostrar diferentes pontos de vista para um objeto matemático, de

51

diferenciar representações e tratamentos associados, entre outros, define as

seguintes concepções de números fracionários: parte-todo, medida, quociente,

razão e operador.

De acordo com Silva (2009, p. 104)

A concepção parte-todo emerge da ação de dividir uma grandeza contínua (comprimento, área, volume,...) em partes equivalentes ou uma grandeza discreta (coleção de objetos) em partes iguais em quantidades de objetos. Usualmente, são manipulados dois tipos de objetos ostensivos: o registro da escrita simbólica a/b, associado ao registro figural em que regiões ou conjunto de figuras, representando elementos discretos, aparecem divididos em partes “iguais”.

Para a autora a mobilização da concepção parte todo sugere (figura 2) que

o aluno deve relacionar um, ou mais registros escritos; uma, ou mais, figuras

divididas de diversas maneiras distintas, e criar relações que possam facilitar a

compreensão dessa concepção.

Figura 2 – representação figural e numérica para situações na concepção parte todo

Fonte: Silva (2009, p. 105)

Para facilitar o entendimento dessa concepção a autora destaca que é

importante o professor trabalhar uma grande diversidade de tarefas e técnicas para

que o aluno construa uma compreensão significativa da mesma.

Nessa concepção a representação 𝑎

𝑏 indica uma partição (divisão em partes

iguais), onde o número b indica o número de partes iguais em que o inteiro foi

dividido, daí a denominação de denominador, ou seja, é quem irá nomear cada uma

dessas partes como meios, terços, quartos, quintos, etc., já o número a indica

quantas dessas partes estão sendo consideradas e por isso que é chamada de

numerador. Acrescenta que a quantidade de partes representada por a, não pode

ser maior que b, ou seja, o número fracionário 𝑎

𝑏 não pode ser maior que um, pois

2

1

3

1

concepção: metade do retângulo foi pintada, porque ele foi dividido em duas partes de mesma área e uma foi considerada

concepção: um terço das bolinhas estão pintadas, porque o total de bolinhas foi dividido em três partes de mesma quantidade e uma foi considerada.

52

para o aluno é difícil compreender que um inteiro tenha sido dividido em, por

exemplo, cinco partes depois sejam consideradas sete.

De acordo com Silva (2009) tarefas que podem mobilizar a concepção

parte-todo e que solicitam a quantificação ou identificação de partes de um inteiro,

em representação figural de grandezas contínuas ou discretas, solicitam apenas a

técnica da dupla contagem das partes, que segundo a pesquisadora tem as suas

limitações. Para essas tarefas a autora afirma que dois conhecimentos são

indispensáveis: a natureza do inteiro e como ele pode ser dividido, e o que será

considerado como parte desse inteiro, pois segundo ela, é disso que dependerá a

construção ou escolha da técnica adequada para a percepção, inclusive, dos limites

da dupla contagem das partes.

Para a autora a atividade de medir é bastante antiga. Desde muito tempo o

homem já buscava estabelecer padrões de medidas, principalmente de

comprimento, além disso afirma que

As tarefas envolvendo medições de comprimentos são apropriadas para a percepção da limitação dos números naturais, como resultado de medições, e da necessidade de novos números para a quantificação adequada de comprimentos. (SILVA, 2009, p.116).

Ainda de acordo com a pesquisadora, as tarefas de medição associam a

concepção de medida exigindo a manipulação de um padrão, chamado de unidade

de medição que depende diretamente da grandeza em jogo. Em seu trabalho a

pesquisadora procurou tratar apenas de tarefas que abordam medidas de

comprimento, por entender que a construção de técnicas apropriadas para tais

tarefas garantirá o desenvolvimento de técnicas para o tratamento de outros tipos

de grandezas. As tarefas associadas à concepção de medida de comprimento,

geralmente podem solicitar a manipulação de três tipos de objetos ostensivos:

A figura de uma reta numérica, ou algum esquema de medida, o número fracionário 1/b que representa uma subunidade, isto é a unidade escolhida foi dividida em b partes para permitir a mediação e o número fracionário a/b que representará o resultado da mediação realizada. (SILVA, 2009, p. 116).

Na tarefa em que a unidade de medida foi escolhida e dividida, será

possível fazer a relação da concepção de medida com a concepção parte-todo. Nas

tarefas em que as atividades utilizam retas numéricas ou retas que foram divididas

53

em segmentos de partes congruente, é necessário que se estabeleça a origem, e

o sentido em que a medição será realizada, como mostra a figura 3, e que

dependendo do problema poderá ser a partir da origem ou de outro ponto qualquer.

Figura 3 – concepção de medida


Uma das dificuldades que o professor enfrenta no ensino dos números

fracionários, é mostrar a representação de frações maiores que o inteiro que na

concepção de medida pode ser facilmente trabalhado.

Quanto à concepção de quociente a autora a firma que tem o seu princípio

associado a ideia de distribuição de grandezas e de divisão. Sobre as tarefas que

mobilizam essa concepção, Silva (2009, p. 120) nos esclarece que:

O ostensivo a/b que representa o resultado de uma distribuição significa que a foi distribuído em b partes, ou seja, a foi dividido em um número b de partes iguais. Diferentes dos tipos de tarefas que associam as concepções tratadas anteriormente, nesta o a pode ser menor, maior ou igual a b e podem representar objetos diferentes como, por exemplo, “crianças e chocolates”.

Essa concepção tem a característica de distribuir ou dividir, a em b partes

iguais, associando ao fracionário𝑎

𝑏 a operação de divisão𝑎 ÷ 𝑏. Acrescenta que em

contextos discretos, a técnica é a divisão de naturais, e no caso de contextos

contínuos, a técnica pede um plano de ação que pode tornar a divisão mais

complexa. Nos dois casos, pode-se considerar que a complexidade da técnica está

relacionada ao aspecto da divisão, que segundo a autora pode ser da seguinte

maneira:

Partitiva, quando são dados a quantidades de inteiros e o número de partes em que se quer dividir essa quantidade e pede-se o valor de cada parte. Por cotas, quando são dados a quantidade de inteiros e o valor de cada parte e pede-se a quantidade de partes possíveis (SILVA, 2009, p.120)

x y

0

1 2 3

54

Por exemplo, na figura 4 podemos ver duas maneiras para representar a

distribuição de cinco pizzas para quatro crianças. Na primeira distribuição cada

pizza é dividida em quatro partes iguais e se distribui cinco dessas partes para cada

criança, concluindo-se que cada uma recebe5

4 do total de pizza, que pode conduzir

o aluno a fazer a divisão 20 ÷ 4 descaracterizando a grandeza contínua e

permitindo a operação de divisão em N. Na segunda distribuição é distribuída uma

pizza inteira para cada criança e apenas a última dividida em quatro partes iguais

o que mostra que cada um recebeu 11

4 de pizza.

Figura 4 – concepção quociente, grandeza contínua


Em um outro exemplo envolvendo grandeza contínua a autora apresenta

uma situação em que se distribui três chocolates de tal forma que cada criança

receba3

5 de um chocolate, como mostra a figura 5. Numericamente a situação pode

ser representada numericamente pela divisão de um número inteiro por um número

fracionário:3 ÷3

5= 5.

Figura 5 – concepção quociente - grandeza contínua


Silva (2009) apresenta ainda um exemplo com grandeza discreta em que

solicita a distribuição de 105 bolinhas de tal forma que cada criança receba 15

bolinhas, que trata da divisão por cotas e que é resolvido por uma divisão com

números naturais, mas que permite perceber que 1

15× 105 = 7 = 105 ÷ 15.

4

15

4

545

4

11

4

1145

1 2 3 4 5

55

Dentre as concepções estudadas a razão tem características diferentes,

pois as tarefas associadas à essa concepção, segundo Silva (2009), não permite

associar a ideia de partição como nas anteriores, mas sim a ideia de comparação

entre medidas de duas grandezas. A representação 𝑎

𝑏 nessa concepção, segundo

a autora, nem sempre pode ser associada à concepção de quociente, mas sim

entendida como um índice comparativo, sem necessariamente transmitir a ideia de

número fracionário. Desta forma ela esclarece que uma representação fracionária

do tipo 2

3, associada à concepção de razão, não permitiria a leitura “dois terços” e,

sim, “dois para três” que nos remete à equivalência de razões e à ideia de

proporcionalidade representada por 𝑎

𝑎=

𝑐

𝑑, ou seja a proporcionalidade nada mais

é que uma igualdade entre números fracionários ou entre razões, importante

técnica para a resolução de problemas.

A respeito de tarefas que associam a concepção de razão, Silva (2009, p.

124) esclarece que:

Podem comparar grandezas de mesma natureza ou não, em contextos contínuos e ou discretos podendo ainda estar associadas a situações do tipo: todo-todo-quando compara as quantidades de dois inteiros; parte-parte – quando compara as quantidades de duas partes de um inteiro ou partes de dois inteiros, ou ainda, parte-todo.

A autora apresenta um exemplo em que a razão é determinada a partir da

grandeza comprimento, como mostra a figura 6. A tarefa proposta pela autora

refere-se a grandezas contínuas de mesma natureza em uma situação do tipo todo-

todo. Sendo a medida da altura da placa A de 5 unidades e a B de 8 unidades que

permite dizer que a razão de A para B é de “5 para 8”, o que caracteriza uma

ampliação. Já a razão de B para A é de “8 para 5”, o que caracteriza uma redução

e que podem ser representadas por 5

8 ou 5:8 e

8

5 ou 8:5.

56

Figura 6 – exemplo de razão entre grandeza de mesma natureza

Tarefa 1:Determinar a razão de ampliação e de redução entre as figuras A e B.

A B


A autora apresenta outros exemplos, que não apresentaremos aqui porque

como nosso objetivo é tratar das operações com números fracionários a ideia de

razão não poderá ser apresentada, por que as representações desta concepção

nem sempre são números, em grande parte representam apenas uma comparação.

Para Silva (2009) os números fracionários que representam a concepção

de operador é:

manipulado como “algo que atua sobre uma quantidade” e a modifica produzindo uma nova quantidade. Essa ação pode ser entendida pela ação de operador fracionário que modifica um estado inicial e produz um estado final. Nessas tarefas, O

fracionário 𝑎

𝑏são manipulados efetivamente como números e

facilitam a compreensão da operação de multiplicação entre fracionários. (SILVA, 2009, p. 134).

Apresenta como um exemplo a transformação de grandezas pela ação de

um operador fracionário que consiste na construção de um quadrado que tenha seu

lado com 2

3 da medida do lado de um quadrado dado, como mostra a figura 7.

Figura 7 – concepção de operador, grandeza contínua, redução de um quadrado


A tarefa apresentada na figura 7 apresenta o operador fracionário agindo

sobre um “quadrado de lado medindo 9” que deve ser transformado pelo operador

2

3 em um “novo quadrado de lado medindo

2

3 de 9, que pode ser representado pelo

0

5

0

8

6 9 3 para 2

57

esquema da figura 8. No entanto, essa mesma transformação pode ser

representada também pela razão 3

2.

Figura 8 – estados da concepção de operador - caso contínuo

Estado Inicial Operador Estado final


A autora apresenta ainda a composição de dois operadores em uma

situação em que solicita a pintura de 1

6 da seção pintada de um disco que apresenta

3

4 de sua região já pintada, como mostra a figura 9.

Figura 9 – composição de operadores - grandeza contínua

Pinte 1/6 da seção pintada do disco, que fração do disco você pintou?


A tarefa apresentada na figura 9 associa a concepção parte todo para a

divisão da parte do disco que já está pintada em seis partes e na percepção de que

a parte que foi pintada representa 1

8 do disco e que o resultado pode ser

representado por 1

6×

3

4=

1

8.

Apresentada as concepções que utilizaremos em nosso trabalho

passamos, no que segue, a estudar as operações com números fracionários.

2.2 AS OPERAÇÕES COM OS NÚMEROS FRACIONÁRIOS

Para falarmos nesta pesquisa sobre as operações fundamentais de adição,

subtração, multiplicação e divisão de números fracionários, fomos buscar

embasamento em alguns trabalhos que desenvolveram pesquisas sobre o referido

assunto. Esperamos que com esses conhecimentos, poderemos ter mais apoio em

3

29

6

58

nossas reflexões para o ensino dessas operações que são de grande importância

na formação de nossos alunos no ensino fundamental.

O trabalho de Nunes et al. (2005), apresenta discussões a respeito da

diferença entre as estruturas aditivas e multiplicativas. Para esses autores o

raciocínio aditivo baseia-se na coordenação de três esquemas de ação: juntar,

separar e colocar em correspondência um a um. Com isso o raciocínio aditivo

refere-se a situações que podem ser analisadas a partir de um axioma básico: “o

todo é igual a soma das partes”. Todas as relações que poderemos ter para obter

o todo ou as partes serão obtidas obedecendo ao axioma citado. Por essa razão,

diz-se que o invariante conceitual do raciocínio aditivo é a relação parte todo.

Os autores destacam que o conceito primitivo de multiplicação se baseia

na ideia de adição repetida de parcelas iguais, porém do ponto de vista conceitual,

existe uma grande diferença entre adição e multiplicação. O invariante conceitual

do raciocínio multiplicativo é a existência de uma relação fixa entre duas variáveis

(ou duas grandezas ou quantidades).

Pela grande complexidade que é trabalhar as operações com os números

fracionários e mais ainda pela dificuldade que os alunos apresentam para sua

compreensão, embasaremos essa questão tomando como referência o artigo dos

pesquisadores Silva e Almouloud (2008) em que fazem uma reflexão a respeito das

operações com números fracionários focalizando a concepção parte-todo. O

trabalho foi conduzido no sentido de dar significado às operações fundamentais

com números fracionários a partir de representações de figuras planas, mobilizando

a concepção parte todo, pois como justificam os autores o ensino privilegia a

representação figural em grandezas contínuas e por isso as operações poderiam

se relacionar a elas.

Os pesquisadores alertam para não utilizar representações para

quantidades maiores que o inteiro, pois não daria para explicar para uma criança

uma representação do tipo, por exemplo, 5

3, na concepção parte todo. Como se

pode obter cinco partes se o inteiro foi dividido num número máximo de três partes

iguais.

Para trabalhar as operações de adição e subtração com números

fracionários os pesquisadores utilizaram vários modelos de figuras e técnicas

59

diversas para tratar de maneira mais prática possível as operações, com a

finalidade de mostrar que quando os números possuem denominadores diferentes,

as partes consideradas também têm denominações diferentes e para a realização

dos cálculos normalmente precisamos transformar esses números fracionários em

equivalentes com mesmo denominador.

Os pesquisadores apresentam em sua proposta algumas sugestões para o

ensino das operações para serem trabalhadas em sala de aula, o que faz com que

se analise o tipo de atividade mais adequado para ser trabalhado com cada grupo

de aluno, dependendo de vários fatores tais como: idade, maturidade, experiências

vividas com matemática, etc.

Dentre as atividades propostas pelos pesquisadores, destacamos umas

que apresentam as figuras divididas em partes, tanto iguais como não iguais, porém

as figuras que não estão divididas em partes iguais, os alunos precisam descobrir

a partir da parte pintada, em quantas partes o todo foi dividido, ou seja, achar a

parte múltipla daquela pintada, e assim encontrar em quantas partes iguais a figura

foi dividida, e com isso fazer a representação das partes e realizar os cálculos de

adição e subtração, isto com denominadores iguais.

Para trabalhar com números fracionários com denominadores diferentes os

pesquisadores citam que é comum utilizar o mínimo múltiplo comum (m.m.c.) para

transformar os números fracionários em outros equivalentes e de mesmo

denominador, e ainda ressaltam que tal procedimento acaba prejudicando a

compreensão da definição de adição e subtração de números fracionários com

denominadores diferentes. Sendo assim, o objetivo das atividades desenvolvidas

por eles, é de conduzir o aluno para que ele perceba que o produto dos

denominadores é uma boa opção para a transformação em frações equivalentes e

para a compreensão das regras para essa operação.

As atividades apresentadas pelos pesquisadores mostram figuras

retangulares divididas e pintadas em quantidades e formas diferentes, mas se

prestarmos bem atenção na forma como foram divididas, dá para se perceber o

retângulo dividido com o número de partes múltipla das iniciais que o mesmo estava

dividido, com isso cada parte passa ter uma nova representação fracionária, mas

com o mesmo denominador, ou seja são representações equivalentes. Desta forma

60

então houve a transformação em frações equivalentes permitindo assim que se

realize a adição ou subtração como na situação anterior com frações de mesmo

denominador.

Para efetuarmos adições que o resultado, dá maior que a unidade, os

pesquisadores recomendam que uma possibilidade, é associar a concepção parte

todo à concepção de medida utilizando retas e segmentos numerados.

Na visão dos pesquisadores, as atividades que foram apresentadas

contribuem para a compreensão da regra operatória da adição e subtração de

números fracionários, embora outras atividades podem ser necessárias e que com

certeza irão contribuir com o aprendizado do aluno, também o importante é que o

aluno compreenda que para adicionar números fracionários com denominadores

diferentes, o produto entre seus denominadores é uma boa opção para se obter as

frações equivalentes e consequentemente chegar expressar uma regra geral

dessas operações.

Segundo Silva e Almouloud (2008)

Dependendo da faixa etária, essa atividade poderia ser respondida por uma descrição dos passos utilizados pelo aluno, ou ser generalizada 𝑎

𝑏+

𝑐

𝑑=

𝑎𝑑+𝑏𝑐

𝑏𝑑, sem que o mínimo múltiplo comum (mmc) entre os

denominadores seja citado. Entendemos que esse procedimento auxilia o aluno a construir um significado para a operação adição com números fracionários, além da compreensão do algoritmo que se utiliza para realizá-la, pois já sabemos que, geralmente o aluno não tem uma compreensão clara do papel do mínimo múltiplo comum nesse tipo de cálculo. (SILVA e ALMOULOUD, 2008, p. 65).

Para trabalhar a operação de multiplicação com números fracionários os

autores recomendam que devemos associar a concepção parte todo ás

concepções de operador e de medida, fazendo analogias com as operações com

os números naturais, já conhecidas pelos alunos.

Sobre a maneira de como se deve iniciar o trabalho com a operação de

multiplicação com números fracionários (Behr et al. apud, SILVA e ALMOULOUD,

2008) acreditam que a mesma pode ser introduzida como uma extensão da

multiplicação de números inteiros, a partir de situações que pedem para seja

encontrada a parte de uma parte, como por exemplo, a metade de um quinto.

61

Inicialmente os alunos deverão fazer uma analogia com a representação

da multiplicação com os números naturais, assim como representa o dobro de cinco

por 2x5, o dobro de um quinto por 2 ×1

5, de acordo com os pesquisadores essa

representação fica mais fácil de ser compreendida através da representação figural

e pela representação com a reta graduada numericamente.

Em situações em que é solicitado pintar uma parte de outra parte de um

segmento, os pesquisadores comentam que a ação de um operador fracionário

sobre um inteiro ou unidade, confunde-se, muitas vezes com a concepção parte

todo de fracionários. Para resolver essa atividade é necessário associar a

concepção parte todo á de medida, já em situações em que é solicitado que se

pinte partes de uma outra parte, de uma figura retangular, essa atividade solicita a

mobilização da concepção de medida, e consequentemente, da utilização de uma

régua para proceder a divisão do lado do retângulo que permitirá identificar as

partes da região pintada e posteriormente identificando o número fracionário que

soluciona a situação.

De acordo com a proposta em questão, em situações em que é solicitado

que se pinte tantas partes de outras partes, os pesquisadores recomendam, por

exemplo, que o aluno deva medir e dividir os dois lados do retângulo em número

das partes envolvidas e pintá-las, com isso mobilizando a concepção parte todo e

a dupla contagem das partes, e o resultado da multiplicação é a área delimitada

pelo produto das duas partes envolvidas (números fracionários envolvidos).

De um modo geral quando trabalhamos com situações que envolvam

formas geométricas retangulares, estamos na realidade trabalhando com a ideia de

área, mas que para o aluno do início do ensino fundamental ainda não tem muito

sentido, e a área do resultado do produto é obtida pela multiplicação das partes

envolvidas no sentido do comprimento e da largura da figura geométrica, com isso

mobilizando a dupla contagem e a concepção parte todo, como já havia sido citado.

Para os pesquisadores, o interesse após terem realizado várias atividades,

é de que o aluno possa elaborar a regra geral para a operação com números

fracionários como sendo o produto dos numeradores sobre o produto dos

denominadores, e dependendo da faixa etária do aluno o mesmo poderá até

mesmo formalizar e generalizar a mesma da seguinte maneira:𝑎

𝑏×

𝑐

𝑑=

𝑎𝑐

𝑏𝑑.

62

Dentre as operações trabalhadas, a operação divisão com números

fracionários é a que os alunos mais apresentam dificuldades, igualmente como na

divisão com os números naturais. Para os pesquisadores sobre essa operação é

necessário dar condições ao aluno para perceber que a regra operatória da divisão

é semelhante à da multiplicação, ou seja, em alguns casos podemos dividir o

numerador de um número fracionário pelo numerador do outro, sobre o

denominador de um sobre o denominador do outro número fracionário, esse tipo

de situação proporciona mais agilidade para o aluno e livrar o mesmo de ter que

decorar mais uma regra.

As atividades propostas a seguir têm a finalidade de contribuir na aplicação

e esclarecimento das ideias comentadas anteriormente. Dentre os diversos tipos

de atividades que podem ser trabalhadas, uma das mais eficiente para essa

operação, é aquela que pede para descobrir quantas partes cabem dentro de um

inteiro ou dentro de outra parte.

Nos exemplos a seguir que perguntam: a) Quantos meios cabem em um

inteiro? e b) Quantos terços cabem em um inteiro? Como o aluno já possui

conhecimentos anteriores, ele consegue perceber que na situação (a) reposta

aponta que cabem dois meios, e na (b) a resposta aponta que cabem três terços.

Concordamos com os pesquisadores que afirmam que de um modo geral os alunos

não sentem dificuldade para compreender as situações apresentadas e que podem

também ser mostradas através de uma figura.

Nos exemplos a seguir em que é dada a representação figural e as

respectivas sentenças matemáticas: a) 1

3÷ 2 e b)

1

4÷ 3 , de acordo com os

pesquisadores, com a ajuda das figuras e da dupla contagem das partes, pode-se

perceber que 1

3÷ 2 =

1

6 , além disso, na realidade na ação sobre a figura (a),

buscamos a metade de um terço, cuja representação, vista anteriormente, é 1

2×

1

3=

1

6. De maneira análoga, na figura (b) obtém-se,

1

4÷ 3=

1

12 e a busca de um terço de

um quarto cuja representação é 1

3×

1

4=

1

12.

Outro tipo de exemplo apresentado pelos pesquisadores muito interessante

é a divisão envolvendo dois números fracionários: Se um quinto de dois terços é

63

representado por 1

5×

2

3e representando por uma figura e utilizando a dupla

contagem, fica fácil de se perceber o resultado, no entanto utilizando

conhecimentos anteriores, de que a divisão é a operação inversa da multiplicação,

como se define com os números naturais, desta forma então podemos sugerir que

os alunos a apliquem no caso dos fracionários, ou seja, se 1

5×

2

3=

2

15 , então

2

15÷

1

5=

2

3 , e

2

15÷

2

3=

1

5.

Na visão dos pesquisadores alguns alunos podem perceber que o produto

em cruz pode nos dar a solução e que esta é equivalente ao produto do primeiro

fracionário pelo inverso do segundo. Também é importante que o educador tome

as devidas precauções para que ele não confunda este procedimento com o

utilizado com o tratamento de proporções.

2.3 O USO DE CALCULADORAS NA ESCOLA

Da mesma forma que foi desencadeado o processo evolutivo da tecnologia,

consequentemente, a calculadora também acompanhou esse processo evolutivo,

e as calculadoras que antes possuíam apenas recursos para atender as operações

básicas, ampliaram sua capacidade operacional contando com uma série de

recursos e capacidade de realização de muitas funções de grande importância para

facilitar a vida das pessoas, tanto em atividades acadêmicas como em atividades

do cotidiano.

Nos anos 70, ao ingressar no ensino técnico médio na Escola técnica

federal do Pará (ETFPA), os alunos iniciavam o curso matriculando-se em um curso

de seis meses para aprender a manusear um instrumento chamado de “régua de

cálculo” para facilitar a realização de cálculos complexos e longos que apareciam

ao longo do desenvolvimento de diversas disciplinas desse curso técnico, aja visto

que até então, a calculadora ainda não estava disponível para o aluno. As

calculadoras científicas disponíveis no mercado hoje operam com números na

forma de notação científica, na forma fracionária, operam em bases binárias, com

representações gráficas, com funções trigonométricas. Em nosso trabalho a

calculadora que iremos usar é da Casio modelos fx-82ES e fx-82ES PLUSbk, que

é um recurso de fácil aquisição pela escola.

64

Para que o professor possa realizar um bom trabalho em sala de aula com

o auxílio de qualquer recurso tecnológico, é necessário primeiramente que este

professor tenha sido preparado para isso. Com a calculadora não é diferente, pois

é necessário que o professor faça um bom planejamento, elabore estratégias e faça

um estudo para a preparação prévia de atividades, exercícios, experimentos, etc.;

visando o sucesso do trabalho.

É importante que se tenha alguns cuidados quando inserimos em sala de

aula a utilização de um novo instrumento que pode ser às TIC ou outro qualquer,

ou seja, deve-se pensar e planejar como será feita esta aplicação por intermédio

de estratégias e objetivos muito bem elaborados.

Na maioria de nossas escolas, de um modo geral, o único recurso que o

professor tem para desenvolver o seu trabalho em sala de aula, é o livro didático,

porém, nem sempre, o livro agrega a utilização da calculadora, apesar da

recomendação feita pelos Parâmetros Curriculares Nacionais em relação ao uso

das tecnologias nas aulas de matemática.

De acordo com os PCN (BRASIL, 1997a, p. 67) “é indiscutível a

necessidade crescente do uso de computadores pelos alunos como instrumento de

aprendizagem escolar, para que possam estar atualizados em relação às novas

tecnologias da informação e se instrumentalizarem para as demandas sociais

presentes e futuras.”

Sobre o uso da calculadora em sala de aula, Melo (2008) afirma que “as

ideias sobre o que é tecnologia nos permite situar e destacar a calculadora no

quadro geral das inovações de tecnologias na sociedade”.

Os PCN (BRASIL, 1997b, p. 19) afirmam que os recursos didáticos devem

“estar integrados a situações que levem ao exercício da análise e da reflexão, em

última instância, a base da atividade matemática”.

Acrescentam que estudos evidenciam a calculadora como um instrumento

que pode contribuir para a melhoria do ensino de Matemática, pelo fato de:

Que ela pode ser usada como um instrumento motivador na realização de tarefas exploratórias e de investigação. Além disso, ela abre novas possibilidades educativas, como a de levar o aluno a perceber a importância do uso dos meios tecnológicos disponíveis na sociedade contemporânea. A calculadora é também um recurso de verificação de

65

resultados, correção de erros, podendo ser um valioso instrumento de auto-avaliação. (BRASIL, 1997b, p. 34).

Um grande número de educadores do ensino fundamental, e até mesmo

de outros níveis de ensino, acham que o uso da calculadora em sala de aula pelos

alunos, afeta negativamente o desenvolvimento do raciocínio, fazendo com que os

alunos não tenham interesse em aprender algoritmos para as operações básicas.

No entanto, muitos pesquisadores como Borba (1999), Rubio (2003), Scchiffl

(2006), Guinther e Bianchini (2009), Borba, Malheiros e Zulatto (2008), D’Ambrósio

(2003) apoiem o uso dessa ferramenta em sala de aula; ainda contamos com

diversas formas de resistência por parte de professores e pais de alunos.

Percebemos que alguns não utilizam por acharem que esse recurso constitui uma

ameaça para o seu trabalho. Para Ponte (1991), como qualquer outro instrumento,

a calculadora pode, simplesmente, ser bem ou mal utilizada.

Ainda com relação ao uso desse recurso, Mocrosky (1997) defende que o

professor deve se inserir nesse mundo tecnológico em vez de se sentir ameaçado

por ele.

Não importa a forma como a calculadora vem sendo utilizada em sala de

aula, o fato que se pode constatar, é que, sempre aparecerão pessoas contrárias

ao seu manuseio. O importante com relação ao uso desse recurso tecnológico, e o

fato de se ter consciência de que, ele pode contribuir no processo de construção

do conhecimento de nossos alunos. A utilização da máquina de calcular em sala

de aula para auxiliar os alunos nas aulas de matemática também é uma maneira

de introduzir e incorporar uma ferramenta de cálculo nas atividades, é importante

lembrar que essa ferramenta tecnológica de cálculo, pode ser um poderoso recurso

no processo de aprendizagem da matemática

Em seu trabalho de pesquisa, a respeito da calculadora em sala de aula,

Oliveira (1999) aponta alguns fatores que levam a não utilização desse recurso em

nossas escolas por parte dos alunos, são eles: A falta de recursos financeiros por

parte dos alunos para adquiri-la; dificuldades em fazer os cálculos a utilizando;

impossibilidade de utilizá-la em certos momentos de sua vida, como no vestibular

ou em concursos públicos; desvantagem de quem não têm, em relação àqueles

que à possuem; necessidade de treinar a tabuada; importância de trabalhar com

materiais concretos no ensino fundamental.

66

Quanto ao raciocínio dos alunos, o autor aponta argumentos como os de

que a calculadora não contribui para seu desenvolvimento e ainda afeta o ensino

de algoritmos, mas apresenta autores que apontam no sentido contrário, que

mostram inclusive que quando os alunos são poupados de realizar cálculos longos

e mecânicos, ganham tempo para desenvolver outras habilidades mais

importantes, ficando mais atentos aos aspectos que são exigidos na solução de

atividades aritméticas.

O autor levanta também os motivos pelos quais os professores não usam

a calculadora e apresenta os seguintes: não sabem como trabalhar com a

calculadora, não tiveram a oportunidade de aprender como trabalhar com a

calculadora, como nunca utilizaram quando eram alunos, acreditam que não devem

usar a calculadora com seus alunos, não veem avanço no seu uso. De acordo com

Giancaterino (2009, p. 70) “o uso adequado das ferramentas tecnológicas pode

subsidiar o professor nos processos de ensino e de aprendizagem, e ainda assim

estará mais próximo da realidade do educando, usuário assíduo dessas

tecnologias.”

O autor aponta ainda que quanto a escola e os pais, a direção da escola

não permite o uso de calculadora e não tem recursos financeiros para adquiri-las,

e os pais simplesmente não concordam com o uso.

Ao trabalhar com a calculadora em atividades de sala de aula, o professor

passa ter outra postura em sala de aula, que ao invés de ser um mero transmissor

de conhecimento, passa a ter um papel de mediador, incentivador da

aprendizagem, elaborador de estratégias e preparador de ambientes de

aprendizagem que conduzem o aluno ainda à aprendizagem coletiva.

Na realização de atividades dessa natureza, Levy (1999, p. 171) afirma que

os professores:

aprendem ao mesmo tempo em que os estudantes atualizam continuamente tanto os seus saberes disciplinares como suas competências pedagógicas... A principal função do professor não ser mais a difusão dos conhecimentos que agora é feita mais eficaz por outros meios. Sua competência deve deslocar-se no sentido de incentivar a aprendizagem e o pensamento.

67

Para D`Ambrósio (1996), a utilização da calculadora em sala como recurso

didático, já deveria ter sido consolidada e fazer parte do currículo de nossas

escolas, pois é um recurso tecnológico simples, e de fácil acesso por quase todos

os estudantes.

Nos trabalhos de alguns pesquisadores que já foram mencionados

anteriormente a respeito da utilização da calculadora como recurso didático em sala

de aula, foram apontadas diversas vantagens e diferentes funções no processo de

ensino e aprendizagem da matemática em nossas escolas, segundo afirma Rubio

(2003, p. 32):

- Recurso de auxílio na resolução de problema, buscando, por tentativas e erros, a solução da situação. - Instrumento de investigação e exploração de conteúdos descobrindo relações nos conteúdos estudados, propiciando um estudo mais aprofundado dos conteúdos. - Verificação de resultados, correção de erros e auto avaliação. - Análise de conteúdos, verificando as relações entre as situações abordadas, podendo apreciar os conceitos matemáticos e partir da construção do conhecimento pelo aluno, e não mais de definições indiscutíveis. - Agente motivador da aprendizagem, uma vez que a tecnologia exerce certo fascínio em nossos alunos. - Os recursos de operações aritméticas, livrando os alunos de contas desnecessárias ao processo de aprendizagem e deixando assim, mais tempo para desenvolver o raciocínio.

Segundo Giancaterino (2009, p. 70), “o professor de Matemática em aula

ministrada com NTIC [Novas Tecnologias da Informação e Comunicação] deve

considerar a tecnologia como meio, a partir do qual o aluno como sujeito constrói

seu conhecimento pela ação e reflexão sobre o próprio processo”.

O importante sobre o que foi mencionado anteriormente sobre a utilização

da calculadora em sala de aula como recurso didático, é no sentido de avançar no

estudo e no entendimento de como seria mais viável possível a integração da

calculadora na organização de uma situação de ensino e aprendizagem objetivando

uma forma mais adequada possível e que seja de grande eficiência.

Em nosso trabalho com as atividades realizadas com o auxílio da

calculadora científica, esperamos que a mesma possa se constituir como um

recurso de grande importância para atingirmos os objetivos desejados.

68

2.4 AS OPERAÇÕES COM NÚMEROS FRACIONÁRIOS EM LIVROS DIDÁTICOS

Com a finalidade de verificar como vem sendo abordado o ensino das

operações com números fracionários em livros didáticos, será feita uma breve

análise de alguns livros didáticos do quinto ano do ensino fundamental entre 1987

e 2011. Buscaremos verificar como é sugerido tal ensino antes e depois da

instituição dos Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997, a,b).

Tal escolha se deve ao fato de os PCN (BRASIL, 1997, b) sugerirem que o

trabalho com representações fracionárias, por serem menos frequentes na vida

cotidiana, se limite a “metades, terços, quartos e mais pela via da linguagem oral

do que das representações” (p.68). Sugerem ainda que as frações sejam tratadas,

no segundo ciclo do ensino fundamental 1, a partir de alguns significados: parte-

todo, quociente, razão e operador. Quanto às operações sugerem, para o segundo

ciclo, o cálculo com números racionais, mas apenas na representação decimal.

Assim, no quadro 1 apresentamos o primeiro grupo de livros, publicados antes dos

PCN, que serão analisados e que foram escolhidos aleatoriamente porque os

possuíamos em nossa biblioteca.

Em 1996 é iniciado pelo MEC a primeira avaliação pedagógica de livros

didáticos que culminou com o primeiro Guia de Livros Didáticos de 1ª a 4ª série.

Assim, buscaremos nesses guias se as operações com números fracionários

continuam sendo apresentadas ou se, como orienta os PCN, foram excluídas.

Quadro 1 – Lista de livros analisados

LIVRO NOME AUTOR ANO SÉRIE EDITORA

L1 A conquista da matemática

José Ruy Giovanni 1989 Quarta FTD

L2 Matemática D’Olim Marote 1992 Quarta Editora Ática

Fonte: construção própria

O livro L1 inicia a seção que trata da operação de adição de números

fracionários, com denominadores iguais, a partir de uma situação de compra de

lotes de um terreno (figura10) que são representados por um retângulo dividido em

12 partes congruentes e é apresentada a adição 5

12+

2

12=

7

12. Como podemos ver a

situação refere-se à concepção parte-todo, a partir de uma representação figural

de grandeza contínua. O aluno deve ler o problema e preencher lacunas em frases

69

com números fracionários fazendo uma conversão de representação figural para

representação numérica. Na página seguinte, apresenta a subtração de números

fracionários com mesmo denominador a partir de uma situação que envolve o

comprimento de uma avenida (figura 11), por meio da representação de um

segmento dividido em 10 segmentos de mesma medida. A concepção mobilizada

na situação é a de medida e a situação representa a subtração 8

10−

5

10=

3

10. Da

mesma forma, que para a adição o aluno deve preencher lacunas a partir da

conversão de representação figural para representação numérica.

Figura 10 – adição e subtração de frações – mesmo denominador – L1

Fonte: Giovanni, 1989, p. 144

Figura 11 – subtração de frações – mesmo denominador – L1


70

A seguir formaliza as duas situações, como mostra a figura 12,

apresentando a regra em língua natural e quatro exemplos de adição e subtração

resolvidas. Na página seguinte apresenta quatro situações e dois exercícios para

aplicação da regra formalizada das situações anteriores.

Figura 12 – síntese das operações de adição e subtração - mesmo denominador - L1


Para as operações de adição e subtração de números fracionários com

denominadores diferentes, o autor apresenta três situações. Na primeira (figura 13),

apresenta um retângulo dividido em 10 partes congruentes e solicita ao aluno que

pinte 1

2 de verde e

1

5 de azul. A seguir, solicita ao aluno que complete lacunas

mostrando o total da figura que foi pintada e a representando por uma adição em

que os números fracionários são transformados em equivalentes de mesmo

denominador. Nessa situação a concepção mobilizada é parte-todo, em grandeza

contínua e apresenta a conversão de representação figural para representação

numérica.

Na segunda situação o autor ilustra a subtração 1

2−

1

5 a partir da mesma

representação da situação anterior, solicitando também o preenchimento de

lacunas. Na terceira situação ilustra a adição 1

3+

1

4 a partir da representação de um

segmento dividido em doze segmentos de mesma medida, mobilizando a

concepção de medida para números fracionários.

71

Figura 13 – adição de números fracionários - denominadores diferentes - L1


A partir das três atividades, como mostra a figura 14, o autor explicita o

tratamento dos números fracionários dados para a obtenção de equivalentes com

mesmo denominador.

Figura 14 – tratamento para obtenção de números fracionários equivalentes – L1


Na sequência o autor formaliza a regra operatória para adição e subtração

de números fracionários com denominadores diferentes (figura 15) em linguagem

natural focando a redução a números fracionários de mesmo denominador.

72

Figura 15 – formalização da regra para adição e subtração – denominadores diferentes – L1


O autor inicia a seção de multiplicação de números fracionários a partir da

multiplicação de um número natural por um número fracionário (figura 16), em que

a multiplicação é tomada como soma de parcelas iguais. Apresenta a

representação de um segmento dividido em cinco segmentos de mesmo

comprimento, concepção de medida para número fracionário, e a conversão dessa

representação figural para a representação de números fracionários: 1

5+

1

5+

1

5= 3 ×

1

5=

3

5. A seguir apresenta exercícios.

Figura 16 – multiplicação de número natural por número fracionário – L1


Na sequência, o autor apresenta a multiplicação de dois números

fracionários (figura 17) a partir da figura de um quadrado, que representa uma

73

unidade e outras figuras que mostram esse quadrado com partes pintadas para

serem observadas e servirem de referência para o preenchimento de frases com

lacunas por números fracionários. Vemos que a concepção mobilizada, mais uma

vez, é parte-todo e é solicitado a conversão de representações figurais para

representações no registro dos números fracionários.

Figura 17 – multiplicação de números fracionários – L1


Encerra a discussão de multiplicação apresentando uma síntese (figura 18)

em que explicita a regra a partir do produto 3

5×

1

2=

3

10. O autor não formaliza a

multiplicação de números fracionários como sendo o “o produto dos numeradores

sobre o produto dos denominadores”, atem-se apenas a exemplos. Na continuação

apresenta exercícios e discute “fração de uma quantidade”, mobilizando assim o

número fracionário enquanto operador.

Figura 18 – síntese da multiplicação de números fracionários – L1


74

Para iniciar o tópico de divisão de números fracionários o autor define o que

são números inversos, como mostra a figura 19, a partir de exemplos de produtos

iguais a 1.

Figura 19 – números Inversos – L1


A seguir, apresenta a divisão de um número fracionário por um número

natural (figura 20) a partir da representação de um retângulo dividido em quatro

partes congruentes e, a partir da observação do aluno, solicita que preencham

lacunas em frases que diferenciam a parte pintada da parte listada, para a

percepção de que metade da figura foi dividia em duas partes congruentes. Encerra

apresentando a sentença matemática para a divisão representada. Solicita a

repetição do procedimento para um outro retângulo para a percepção de que a

metade da figura foi dividida em três partes, encerrando com a sentença

matemática.

Figura 20 – divisão de número fracionário por número natural – L1


75

Seguindo a mesma ideia, o autor apresenta a divisão de números

fracionários (figura 21) fazendo uma analogia à divisão de números naturais como

sendo a busca de “quantos cabem em determinada quantidade”. Utiliza a

representação de dois retângulos divididos em partes congruentes, frases para

serem preenchidas e as sentenças matemáticas que representam as duas

situações: 4

5:

1

5= 4 e

4

6:

2

6= 2.

Podemos notar que o autor substituiu a notação de divisão utilizada para

os naturais, por dois pontos e que escolheu números fracionários que tivessem

tanto os numeradores, quanto os denominadores como múltiplos.

Figura 21 – divisão de números fracionários – L1


A seguir apresenta dois exercícios de aprendizagem e uma regra prática

como mostra a figura 22. Para que a regra seja percebida, o autor apresenta a

divisão de 1 por ½ e duas divisões de números fracionários por números naturais,

enfatizando o inverso e a multiplicação. Na sequência (figura 23) o autor explicita a

regra de divisão de números fracionários como sendo a “multiplicação do primeiro

número fracionário pelo inverso do segundo número fracionário” e apresenta quatro

exemplos para ilustrar tal regra.

76

Figura 22 – uma regra prática para divisão de números fracionários – L1


Figura 23 – regra para divisão de números fracionários – L1


O autor buscou dar sentido às operações com números fracionários

focando a conversão de representações figurais para representações de números

fracionários e para a língua natural. No entanto, deixou de aproveitar os

conhecimentos adquiridos para a adição, quando foca a equivalência de números

77

fracionários não o mínimo múltiplo comum, e a divisão de número fracionário por

número natural, quando utiliza tanto numeradores, quanto denominadores como

múltiplos, para buscar uma regra para a divisão de números fracionários que fosse

mais significativa para os alunos, ou seja, “o quociente dos numeradores sobre o

quociente dos denominadores”, como apresenta Silva e Almouloud (2008).

O autor do livro L2 inicia a seção que trata das operações de adição e

subtração de números fracionários apresentando a regra geral para a adição de

números fracionários com mesmo denominador (figura 24) e dois exemplos

ilustrativos. O primeiro com representação figural, concepção parte todo, e a

sentença matemática a partir da conversão da representação figural para a

representação numérica. O segundo apresenta apenas a sentença matemática e

uma observação para a simplificação do resultado.

Figura 24 – adição com números fracionários de mesmo denominador – L2

Fonte: Marote, 1992, p. 82

O mesmo acontece para introduzir a operação de subtração de números

fracionários com mesmo denominador, como podemos ver na figura 25.

78

Figura 25 – subtração de números fracionários com mesmo denominador – L2


Para trabalhar a operação de adição de números fracionários com

denominadores diferentes, inicia com a regra operatória (figura 26) em que enfatiza

a redução desses números para equivalentes de mesmo denominador. No entanto,

no exemplo mostra que para essa redução é necessário encontrar o mínimo

múltiplo comum (M.M.C.) a partir do conjunto dos múltiplos de cada um dos

denominadores. Como podemos ver na figura 26, o autor faz um lembrete para o

professor “efetuar subtrações de frações com denominadores diferentes”.

Figura 26 – adição de números fracionários com denominadores diferentes – L2


No que segue o autor apresenta quatro atividades e sete problemas

envolvendo adição e subtração de números fracionários.

79

Para trabalhar a operação de multiplicação de números fraccionários o

autor solicita a observação de três desenhos (figura 27) para ilustrar a multiplicação

de um número natural por um número fracionário, a partir da ideia de multiplicação

como adição de parcelas iguais. Logo a seguir, apresenta a regra geral para

multiplicar um número natural por um número fracionário.



Na sequência apresenta a regra para multiplicar dois números fracionários

(figura 28) seguidos de dois exemplos numéricos com flechas que ilustram a

operação de multiplicação que deve ser realizada, tanto com os numeradores,

quanto com os denominadores. Na sequência propõe uma lista de exercícios de

fixação do que foi trabalhado, que identifica por atividades.



80

Em continuidade ao assunto o autor apresenta o tópico “fração de fração”

(figura 29|) a partir da ilustração de um chocolate que foi dividido em duas partes

e, depois, uma delas foi também dividida em duas partes. Com isso pretende

discutir a ideia de “metade da metade” e introduzir a noção de um número

fracionário como operador. Após a ilustração, apresenta a definição de “fração de

fração” que nada acrescenta à compreensão do que está sendo tratado e, mais que

isso, conduz o aluno a utilizar o termo “fração” tanto para número quanto para uma

figura.

Figura 29 – fração de fração – L2


Seguindo o mesmo princípio apresenta como calcular “fração de um

número” (figura 30) e frações inversas.

81

Figura 30 – fração de um número – L2


Para trabalhar com a operação divisão (figura 31), o autor apresenta duas

representações figurais em que uma representa 1/3 do retângulo e a outra 2/6 do

retângulo para ilustrar a divisão de 1/3 por 2. O autor apresenta a representação

em números fracionários para ilustrar o inverso do número 2 e apresentar a regra

operatória para divisão de dois números fracionários. No que segue apresenta

algumas atividades em que a partir de um modelo o aluno deve efetuar várias

divisões. Apresenta ainda um problema resolvido como modelo e outros problemas

para que o aluno resolva.

Pudemos perceber que, neste livro, o autor enfatiza as regras operatórias

e faz apresentações com o único intuito que o aluno leia. Ler é a única ação do

aluno para construir conhecimento. As representações figurais que apresenta tem

apenas um caráter ilustrativo, em que as conversões para representações

numéricas são explicitadas pelo autor.

Após essa visão do ensino de operações antes dos PCN buscamos, o

ensino ou não das operações com números fracionários, nas avaliações de livros

didáticos feitas pelo PNLD nos últimos guias2, disponíveis no site do FNDE – Fundo

Nacional de Desenvolvimento da Educação. Fizemos então uma análise dos guias

de livros didáticos de matemática, para as séries iniciais, de 2007, 2010 e 2013.

2 Disponíveis em http://www.fnde.gov.br/programas/livro-didatico/guias-do-pnld

82

Figura 31 – divisão de frações – L2


Em 2007 foram aprovados pelo PNLD (BRASIL, 2006) 35 livros ainda

distribuídos como de Matemática da primeira à quarta série do Ensino

Fundamental. A partir da descrição e análise de cada livro apresentada no guia,

procuramos os conteúdos tratados apenas na quarta série. Dos aprovados apenas

4 não tratavam das operações com números fracionários, 17 apresentavam a

adição e subtração embora alguns deles as tratassem apenas com números

fracionários de mesmo denominador e 14 apresentavam as quatro operações

fundamentais com números fracionários de denominadores iguais ou diferentes.

Afirmam que as coleções avaliadas partem de noções intuitivas e tornam-se mais

complexas a partir de vários significados – relação parte-todo, operador, quociente

de naturais, relação parte-parte. Embora todas tratem de números fracionários

muitas optam por não tratar a adição com denominadores diferentes e da

multiplicação e divisão. A respeito da calculadora afirmam que ela “é apresentada

em quase todas as coleções” (Ibid, p. 27).

O PNLD (BRASIL, 2009) avaliou os livros do Ensino Fundamental

categorizando-os de primeiro e segundo anos como Alfabetização Infantil e os de

terceiro, quarto e quinto ano como de Matemática. Buscamos na descrição e

análise de cada livro os conteúdos tratados no quinto ano. Dos 19 livros que foram

83

aprovados, 3 não tratavam das operações com números fracionários, 5 tratavam

das quatro operações com números fracionários de denominadores iguais ou

diferentes, 7 apenas da adição e subtração e deles dois apenas com números de

mesmo denominador, 4 tratavam das quatro operações, mas a divisão apenas de

número fracionário por número natural. Dos livros aprovados 11 apresentavam

atividades com calculadora para diversas atividades. Podemos notar que há uma

diminuição de 40% para 26% dos livros que tratam das quatro operações com

fracionários da avaliação de 2007 para a de 2010.

No último guia do PNLD (BRASIL, 2012), os livros apresentam outra

classificação sendo considerados os de 1º ao 3º anos como de alfabetização

matemática e os de 4º e 5º anos de Matemática. Buscamos as informações na

descrição e análise apresentada no guia apenas para os livros do quinto ano. Nessa

avaliação foram aprovados 23 livros dos quais 5 apresentam as quatro operações

com fracionários de denominadores iguais ou diferentes, 13 apresentam apenas a

adição e subtração e 5 as quatro operações com apenas a divisão de número

fracionário por número natural.

Podemos notar então que, mesmo após dezessete anos dos PCN a maioria

dos autores de livros didáticos continuam a tratar as operações fundamentais com

números fracionários, provavelmente, por não terem clareza do que seguir. Os PCN

ou o PNLD? No último guia do PNLD notamos uma falta de consenso a esse

respeito, pois na avaliação de um determinado livro é dito: “já as operações que

envolvem frações limitam-se, acertadamente, à adição e subtração, no final do

quinto ano” (IBID, p. 204, negrito nosso) e em análise de outro livro: “o trabalho com

frações aprofunda-se até as operações de multiplicação e divisão, o que é

indispensável nesse nível de escolaridade." Ao mesmo tempo que é acertado

ensinar apenas a adição e subtração no final do quinto ano é indispensável

aprofundar esse ensino para as operações de multiplicação e divisão.

A esse respeito, já em 2004 Bertoni (2004, p. 1) afirma que as orientações

dos PCN:

Vão no sentido de eliminar das séries iniciais as operações com números racionais na representação fracionária [...]. Por outro lado, não se nota, de modo geral, nos livros e nas propostas curriculares de 5ª a 8ª série, mudanças no sentido de uma introdução mais cuidadosa às frações e às

84

operações entre elas, visando suprir essa lacuna deixada nas séries iniciais.

Entendemos que as crianças têm sim capacidade de aprender as quatro

operações com números fracionários, ainda no primeiro ciclo, do ensino

fundamental desde que se busquem formas que as conduzam a construir

significado para tais operações e não a memorização e repetição apenas de regras.

85

3 A PESQUISA

Neste capítulo apresentaremos os procedimentos metodológicos que

foram adotados para o desenvolvimento desta investigação que tem como meta

principal, investigar a utilização da calculadora na realização das operações com

frações pelos alunos do 4° ano do ensino fundamental.

3.1 A ESCOLA E OS SUJEITOS DA PESQUISA

Os sujeitos de nossa pesquisa são alunos de uma escola estadual de

ensino fundamental situada no município de Belém localizada na mesma quadra

da Universidade do Estado do Pará e foi escolhida por possuir turmas do 5º ano do

Ensino Fundamental. Essa escola tem 850 alunos divididos em dois turnos;

matutino e vespertino, distribuídos do primeiro ao sexto ano do Ensino

Fundamental.

A escola possui 12 salas de aula, sala de recursos didáticos, sala de vídeo,

biblioteca, uma sala com técnicos para atendimento de alunos com necessidades

especiais, área de laser, quadra de esportes, copa e cozinha. É uma escola bem

arejada e agradável.

Foram sujeitos de nossa pesquisa, a princípio, seis alunos do quinto ano

na faixa etária de 10 a 12 anos, como voluntários e com autorização dos pais. No

decorrer dos encontros dois alunos faltaram e decidimos então analisar a produção

dos quatro que participaram de todos os encontros. Esses alunos já haviam sido

apresentados aos números fracionários no decorrer de 2014, pois a professora

informou que já havia trabalhado a identificação de números fracionários em

figuras, a identificação dos termos numerador e denominador, na representação

numérica, e a leitura. Assim, esses alunos não haviam ainda estudado equivalência

e nem operações.

3.2 DESCRIÇÃO DA APLICAÇÃO

A sequência de ensino foi aplicada pelo próprio pesquisador, auxiliado por

uma aluna do curso de graduação de matemática da UEPA que colaborou com as

86

observações durante a aplicação e filmou cada encontro. Utilizamos uma sala de

aula e contamos com duas calculadoras, distribuídas para cada grupo de três

alunos. No decorrer do desenvolvimento das atividades pudemos contar com os

registros escritos pelos alunos que eram gravados em fotos e vídeos com a

finalidade de se ter o melhor controle possível do que estavam realizando, também

foi permitida a troca de ideias entre os grupos próprios.

As atividades que faziam parte da sequência foram aplicadas em encontros

semanais (Quadro 2) com duração de duas horas e meia ao longo dos meses de

setembro, outubro e novembro de 2014. Durante a aplicação os alunos puderam

utilizar folha de papel, lápis ou caneta, borracha, as fichas com as atividades e a

calculadora.

Quadro 2 - Encontros da experimentação

Encontros Atividades Data Conteúdo Horário

1 Atividade 0 17/09 Familiarização com a calculadora

2 Situação 1 – Atividade 1 24/09 Adição de frações com denominadores iguais com calculadora

15h às 17h30

3 Situação 1 – Atividade 2 01/10 Adição de frações com denominadores iguais sem calculadora

15h às 17h30

4 Situação 1 – Atividade 3 03/11 Adição de frações com denominadores diferentes com calculadora

15h às 17h30

5 Situação 1 – Atividade 5 06/11 Subtração de frações com denominadores iguais com calculadora

15h às 17h30

6 Situação 1 – Atividade 7 07/11 Representação figural das operações: adição e subtração

15h às 17h30

7 Situação 2 – Atividade 1 13/11 Multiplicação de frações com uso da calculadora

9h às11h

8 Situação 2 – Atividade 2 14/11 Multiplicação de frações por representação figural

15h às 17h30

9 Situação 2 – Atividade 3 15/11 Divisão de frações com uso da calculadora

15h às17h30

10 Situação 2 – Atividade 4 16/11 Divisão de frações sem uso da calculadora

15h às17h30

Fonte : Produção do autor

A aplicação da sequência ocorreu em dez encontros, por causa de alguns

problemas que a escola enfrentou, como greve de ônibus e de professores,

reformas no prédio e ainda, com a copa do mundo e as eleições de 2014.

87

3.3 ANÁLISES DA SEQUÊNCIA DE ENSINO

Apresentaremos a análise de cada situação descrevendo cada encontro e

fazendo a análise a priori e a posteriori de cada uma das atividades. Identificamos,

para isso, os alunos do grupo 1 (G1) pela letra A e os alunos do grupo 2 (G2) pela

letra B, acrescentados os índices numéricos 1 ou 2 para cada um dos membros do

grupo. O professor é identificado pela letra P.

Foram trabalhadas doze atividades envolvendo as quatro operações de

adição, subtração, multiplicação e divisão envolvendo números fracionários, sendo

que as atividades de 01 a 07 tratam da adição e da subtração de números

fracionários com denominadores iguais e diferentes, e as atividades de 08 a 12

tratam das operações de multiplicação e divisão de números fracionários.

1º Encontro

Ocorreu no dia 17/09/2014 quando foi apresentada ao grupo de alunos a

máquina de calcular que iriam trabalhar durante as atividades. Este primeiro contato

com a máquina foi um momento de exploração livre para que os alunos realizassem

operações já conhecidas por eles, a princípio, com números naturais. Depois foram

instruídos, pelo professor, como inserir números fracionários.

2º Encontro

No dia 24/09/2014 realizamos o segundo encontro e o iniciamos com a

primeira atividade da situação 1 que tratava de adição e subtração de números

fracionários com. Participaram dessa atividade quatro alunos distribuídos em dois

grupos.

ANÁLISE A PRIORI

Os alunos receberam uma ficha contendo as atividades desta situação que

estão disponíveis na íntegra no anexo A. Essa atividade tem como objetivo verificar

se a utilização da calculadora pode contribuir para a elaboração da regra para a

adição de números fracionários com mesmo denominador pelos alunos.

88

SITUAÇÃO 1: ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS

Atividade 01

1.1 Utilizando a calculadora resolva cada uma das operações abaixo:

a) 3

5+

1

5= b)

1

6+

4

6=

c) 1

4+

2

4= d)

2

7+

1

7=

e) 5

8+

4

8=

1.2 Escreva uma regra para ensinar seu colega de classe a fazer essas operações.

1.3 A regra que você escreveu, serve para a soma de que tipos de frações?

1.4 Faça uma representação através de um desenho de cada operação que foi feita

anteriormente.

O item 1.1 solicita que os alunos resolvam com a calculadora cinco adições

de números fracionários com mesmo denominador. Se não houver qualquer erro

de digitação na calculadora esperamos que completem a ficha com os seguintes

números fracionários: 4

5,

5

6,

3

4,

3

7 e

9

8. A adição do item (e) por um erro de digitação tem

como resultado um número fracionário maior que a unidade, que não

intencionávamos trabalhar, tendo em vista o que será solicitado no item 1.4. No

entanto, deixamos que permanecesse no trabalho e analisaremos o que os dois

grupos fará nesse item.

Para o item 1.2 esperamos que os alunos percebam que os números

fracionários de cada adição solicitada têm mesmo denominador e que escrevam

que para esses a regra será manter o denominador e somar os numeradores.

No item 1.3 queremos reforçar que perceberam que os números

fracionários, para a regra que elaboraram, devem ter mesmo denominador.

Já para o item 1.4 tem como objetivo que os estudantes representem as

adições realizadas no item 1.1 por meio de representações figurais. Acreditamos

que os alunos representem figuras geométricas divididas em partes iguais,

mobilizando a concepção parte-todo, visto que aprenderam números fracionários

dessa forma. Não acreditamos que outras concepções sejam mobilizadas ou que

outros esquemas sejam desenhados.

89

Durante a realização desta tarefa esperamos que os alunos vivenciem as

fases de ação, formulação e validação, conseguindo respostas para as atividades

que sejam consenso no grupo de trabalho.

ANÁLISE A POSTERIORI

No item 1.1 os alunos não apresentaram dificuldades e responderam

corretamente a partir da utilização da máquina de calcular, como se verifica na

resposta do grupo 2 apresentado na figura 32.

Figura 32 – resposta do grupo 2 para o item 1.1 da atividade 1

Fonte: Atividade realizada pelos alunos

Como esperávamos, nos itens 1.2 e 1.3 os alunos verbalizaram e

escreveram corretamente (salvo erros de Português) a regra, como mostra a figura

33. Os dois grupos responderam da mesma forma.

Figura 33 – resposta do grupo 2 para os itens 1.2 e 1.3 da atividade 1


90

Para o item 1.4, como esperávamos, os dois grupos produziram

representações figurais para as adições solicitadas. Esse tipo de representação

eles já haviam utilizado com sua professora. No entanto, ficaram com dúvida a

respeito de qual figura representar, se seria uma pizza, ou uma barra de chocolate

etc., como podemos ver no diálogo que segue.

A1: pode ser pizza?

A2: pode ser barra de chocolate?

A3: pode ser roda?

B1: pode ser triângulo?

P: se você souber dividir em partes iguais, tudo bem!

B3: qualquer um pode?

P: depende do seu desenho, desde que seja dividido em partes iguais!

B2: então pode qualquer desenho

P: sim

A2: podemos pintar?

P: sim, fica melhor para ver as partes que irão ser somadas

A1: eu fiz sem pintar, está certo?

B2:fiz sem pintar, está certo?

P: sim está!

Percebe-se que o formador, em dois momentos, frisa a questão da

necessidade das “partes terem que ser iguais”, o que talvez não tivesse sido

lembrado pelos alunos. Os alunos, por sua vez, querem saber se podem pintar,

provavelmente, porque sempre que números fracionários são citados, fala-se de

“partes” e “partes pintadas”.

A figura 34, mostra as figuras realizadas pelo grupo 1. Podemos perceber,

que mesmo tendo perguntado e discutido a questão das partes iguais, os alunos

desenharam retângulos a mão livre e fizeram as divisões aleatoriamente. Não

utilizaram e nem solicitaram régua para tentar dividir em partes de mesma área.

Outro ponto que pode ser destacado é que eles identificaram por um número

fracionário cada parte da figura que estavam considerando e, ao lado, repetiram a

adição realizada no item 1.1. Primeiro os representaram em caneta amarela, mas

como ficou difícil de ler, refizeram com caneta esferográfica preta.

É importante notar que para o item (e), cuja soma é um número fracionário

maior que a unidade, que os alunos desse grupo, identificaram na figura as partes

91

correspondentes a 5

8 e a

4

8, sem se preocuparem que uma das partes estava

sobreposta e responderam 9

8, mesmo tendo dividido o inteiro em oito partes. Talvez

para eles não seja natural desenhar mais um inteiro para considerar uma parte.

Para Silva (2005) em situações que solicitam a mobilização da relação parte-todo

não podem ser considerados números fracionários maiores que a unidade.



Na figura 35 estão apresentadas as figuras realizadas pelos alunos do

grupo 2. Diferente do grupo 1, representaram círculos além de retângulos e fizeram

o mesmo procedimento do grupo anterior ao identificar por números fracionários

cada parte da figura considerada e ao não utilizarem régua para tentar garantir a

igualdade das partes. Todas as figuras, inclusive os círculos, foram desenhadas a

mão livre e as divisões foram aleatórias. No entanto, diferente do grupo 1, os alunos

para o item (e) consideraram dois círculos como inteiros e identificaram, no

primeiro, utilizando as cores verde e azul, as frações 4

8 e no segundo pintaram, de

92

azul 1

8, ou seja, identificaram de verde a parte que correspondia a

4

8 e de azul as

partes que correspondiam a 5

8.



A diferença na representação das figuras para o item (e) podem ser

percebidas no diálogo que segue, entre os alunos e o professor.

P: como irão fazer os desenhos?

A1: a letra “e” só dá pra somar quatro partes de cada, como vou fazer?

P: o que vocês acham que podem fazer?

A2: pode aumentar a divisão das partes?

P: tentem fazer e me digam sim ou não

A1: não!

P: e aí

B2: só se fizer outro desenho

P: muito bem, é isso mesmo. e pinta mais quanto

A1: só um

93

P: certo

P: porque deve pintar somente uma?

A1: pra fazer as cinco partes

Notamos que enquanto os alunos do grupo 1, se preocupam em aumentar

a divisão das partes, o aluno B2 arrisca que poderia fazer outro desenho e o

professor prontamente confirma e pergunta quantas partes pintará no novo

desenho. Mas o aluno A1 do grupo 1, acha que deveriam fazer cinco partes, mas

o professor não responde e solicita que construam as figuras.

No final da realização dessa atividade houve uma discussão geral das

soluções, da qual apresentamos o diálogo que segue.

P: conseguiram realizar todos os cálculos das operações?

G1 e G2: sim!

P: o que acharam?

G1e G2: muito fácil?

P: houve alguma dificuldade

G1 E G2: com a calculadora é muito fácil

P: o que vocês observaram na parte de baixo (denominadores) de cada operação?

G1 e G2: todos foram unânimes respondendo que eram iguais.

P: escreveram a regra para essas somas?

A1: soma e repete

A2: o mesmo em baixo e soma em cima

A3: o mesmo da colega

B1: soma de cima repete de baixo

B2: é como falaram

B3: é soma e repete

P: e a regra vocês acham que serve para que tipo de fração?

G1 e G2: quando as partes de baixo são iguais

Percebe-se no diálogo que os alunos atribuem ao uso da calculadora o

sucesso na realização das atividades.

Durante a atividade 1, os dois grupos percorreram as fases de ação,

formulação e validação e fizemos, na discussão mostrada acima, uma

institucionalização local para essa regra. Podemos inferir que a calculadora

científica com representação fracionária facilitou a percepção da regra pelos

alunos. Por outro lado, não tiveram dificuldades na conversão de uma

94

representação numérica para uma representação figural de adições de números

fracionários com mesmo denominador.

3º Encontro

Foi realizado no dia 01/10/2014 com a atividade de adição de números

fracionários com mesmo denominador sem o auxílio da calculadora. As duas duplas

de alunos trabalharam separadamente. E foram orientados a resolver a atividade

utilizando a regra que haviam encontrado na atividade anterior.

ATIVIDADE 02

2.1 Resolva cada uma das operações abaixo sem o auxílio da calculadora.

a) 3

5+

2

5= b)

2

6+

1

6=

c) 1

4+

3

4= d)

2

7+

3

7=

2.2 O que você observou no resultado dessas operações?

2.3 A regra que você encontrou na situação 1 também serve para estes cálculos?

ANÁLISE A PRIORI

Essa atividade tem como objetivo verificar se os alunos aplicam a regra

para adição de números fracionários com mesmo denominador desenvolvida na

atividade anterior para realizar operações sem a utilização da calculadora.

Esperamos que no item 2.1 os alunos apliquem adequadamente a regra e

concluam que os resultados são: 5

5,

3

6,

4

4 e

5

7 e ainda que percebam que podem utilizar

a regra sem o auxílio da calculadora.


Os alunos fizeram a atividade sem problemas e solicitaram, no final, para

utilizar a calculadora para verificar se os resultados estavam corretos. O grupo 01

constatou que os seus cálculos estavam corretos como mostra a figura 36 e o grupo

(02) constatou que os seus estavam todos incorretos. Imediatamente, perceberam

que não haviam somado os numeradores, mas repetido o denominador das frações

nos numeradores. Sem interferência do professor apagaram o que haviam feito e

95

escreveram as respostas corretas afirmando que haviam entendido o erro

cometido.



No item 2.2 os alunos perceberam que os números fracionários dados

tinham mesmo denominador, mas escreveram que “o número de baixo se repetiu”,

como mostra a figura 37.



No item 2.3 um grupo respondeu que sim, e que ficava mais fácil, enquanto

o outro respondeu que sim, e que estava igual ao da máquina. Após a resolução

dos alunos deu-se a seguinte discussão.

P: todos já acabaram?

G1 e G2: já!

P: vamos ver o que cada grupo fez!

P: o grupo (01) fez tudo certo, mas o (02) não, o que foi que vocês fizeram?

B3:repetiu o primeiro e repetiu o de baixo

P: mas é assim a regra?

B1:não!

P: como é então, vamos lembrar a atividade e a regra passada!

B1:soma de cima e repete de baixo

P: então é isto que deverão fazer

B2: é só somar em cima

P: isto mesmo

96

P: vou dar mais um tempo para poderem refazer os exercícios

B1, B2 e B3: já acabamos!

P: ótimo, agora está tudo certo, acho que foi falta de atenção de vocês.

Após a discussão os alunos do grupo 2 perceberam, efetivamente, o que

tinham errado e afirmaram que realmente tinham compreendido como fazer os

cálculos de maneira correta. Podemos perceber que os alunos percorreram as

fases de ação, formulação e validação propostas por Brousseau (1986). No final da

atividade, o professor institucionalizou a regra operatória para adição de números

fracionários com mesmo denominador em discussão coletiva com os alunos.

4º Encontro

Foi realizado no dia 03/11/2014, com a atividade de adição de números

fracionários com denominadores diferentes. As duas duplas trabalharam

separadamente.

ATIVIDADE 3


a) 1

2+

1

3= b)

3

4+

2

6=

c) 3

5+

1

2= d)

2

3+

4

9=

e) 1

3+

1

5= f)

3

4+

2

5=

g) 5

6+

2

4=

3.2 O que você observou sobre os denominadores de cada exemplo anterior?

3.3 Escreva uma regra para ensinar o seu colega de classe a fazer essas

operações.

ANÁLISE A PRIORI

Essa atividade tem como objetivo conduzir os alunos para a elaboração da

regra para a adição de números fracionários com denominadores diferentes

mediada pela máquina de calcular científica com representação fracionária. Para

realizar essas operações, esperamos que os alunos mobilizem conhecimentos já

estudados anteriormente. Os alunos deverão realizar uma discussão entre eles, e

ou entre os grupos visando esclarecer ou tirar alguma dúvida sobre as questões,

97

para facilitar a compreensão das operações e para a percepção da regra geral para

essas operações que deverá ser apresentada ao final.

Para a realização do item 3.1 esperamos que os alunos utilizem a

calculadora e anotem os resultados das operações realizadas, escrevendo, 5

6,

13

12,

11

10,

10

9,

8

15,

23

20 e

4

3. Acreditamos que no item 3.2 os alunos respondam que os números

têm denominadores diferentes, e busquem justificar os resultados encontrados por

uma regra no item 3.3.


No item 3.1 os alunos utilizaram adequadamente a calculadora e

responderam corretamente as operações solicitadas, como mostram as figuras 38

e 39.





98

Para o item 3.2, como previmos, os alunos não tiveram dificuldade em

responder que em todos os casos, os denominadores dos números que estavam

nas operações eram diferentes, como mostram as respostas dos grupos

apresentadas pelas figuras 40 e 41.





No item 3.3 os alunos tiveram bastante dificuldade e nem, com a mediação

do professor conseguiram verbalizar uma regra para as operações.

Entendemos que um dos motivos do insucesso nessa atividade foi o

professor não poder, em sua discussão, solicitar que os alunos mobilizassem a

equivalência de números fracionários, pois os alunos ainda não tinham estudado

tal conteúdo. Além disso, percebemos que não tivemos o cuidado necessário na

elaboração da atividade, pois em várias operações escolhemos números cujos

resultados poderiam ser simplificados e, nesses casos, a calculadora simplifica o

que dificultou os alunos a relacionarem os denominadores dos números

apresentados para operação com o denominador apresentado na resposta. Por

outro lado, poderíamos ter utilizado outros recursos, como figuras por exemplo, que

poderiam, juntamente com a calculadora, ter auxiliado o aluno na percepção da

regra. Não podemos assim, analisar o papel da calculadora nessa atividade.

O professor depois de algumas tentativas informou aos alunos que

aprenderiam tal operação com a professora da sala e passou para a atividade que

envolvia a subtração de números fracionários com mesmo denominador, pois pelo

resultado da atividade 3 eles não teriam condições de resolver a atividade 4.

99

5º Encontro

Essa atividade foi realizada no dia 06/11/2014, com a participação de

quatro alunos distribuídos em dois grupos. O objetivo da atividade foi o de levar os

alunos á elaborarem a regra da subtração de frações com mesmo denominador.

Atividade 05

5.1 Resolva cada uma das operações abaixo com o auxílio da calculadora.

a) 2

3−

1

3= b)

7

8−

4

8=

c) 9

10−

5

10= d)

4

7−

2

7=

e) 7

9−

3

9= f)

5

6−

3

6=

5.2 Escreva uma regra para ensinar os seus colegas de classe a fazer essas

operações.

ANALISE A PRIORI

Essa atividade tem como objetivo verificar se os elaboram uma regra para

a subtração de números fracionários com denominadores iguais a partir da

calculadora. Esperamos que utilizem adequadamente a calculadora e que

escrevam na ficha os resultados corretos para as subtrações solicitadas, ou seja,

3

8,

2

5,

2

7,

4

9 e

1

3. No item 5.2 esperamos que os alunos percebam que os números dados

nas operações têm mesmo denominador e associem a regra já obtida na atividade

1 e respondam que basta manter o denominador e subtrair os numeradores.

ANALISE A POSTERIORI

No item 5.1 os alunos resolveram todos os itens, como mostram as

respostas dos grupos apresentadas nas figuras 42 e 43. No entanto, embora

tenham achado fáceis as operações, os dois grupos erraram o item (b)

respondendo 2

5 em vez de

4

5. Durante a discussão da atividade perceberam o erro e

o corrigiram. Depois da resolução desse item deu-se o seguinte diálogo.

P: vocês têm alguma dificuldade para resolver os cálculos das operações?

G1 e G2: todos responderam que não

P: será que alguém ainda vai errar?

G1 e G2: não

100

A1 e A2: é muito fácil

P: então vamos escrever a regra

B1: pode ser em palavras

P: pode ser





No item 5.2 os alunos dos dois grupos não tiveram dificuldade para

verbalizar a regra geral da operação, como mostram as respostas dos alunos nas

figuras 44 e 45.





101

Podemos perceber que os alunos percorreram as fases de ação,

formulação e validação propostas por Brousseau (1986) durante a realização da

atividade e, no final, o professor institucionalizou a regra operatória para a

subtração de números fracionários com mesmo denominador em discussão

coletiva com os alunos.

6º Encontro

No sexto encontro havíamos programado realizar a atividade 6 que tratava

de subtração de números fracionários com denominadores diferentes, mas depois

do ocorrido com a atividade de adição resolvemos não aplicar a atividade 6 e partir

para a seguinte. Esse encontro ocorreu no dia 07/11/2014, e contou com a

participação de quatro alunos distribuídos em dois grupos.

ATIVIDADE 07

a) Pinte três partes da figura de uma cor e duas outras partes de outra cor.

b) Que partes da figura foram pintadas?

c) Que sentença matemática representa a soma dessas partes?

d) Que sentença matemática representa a diferença entre a maior parte e a menor

parte

ANÁLISE A PRIORI

Está atividade teve como objetivo a conversão de uma representação

figural para a representação numérica, pois de acordo com Duval (1993) a

conversão de representações para registros diferentes pode contribuir

significativamente para o aprendizado do aluno.

Esperamos que os alunos, para a realização dessa atividade, mobilizem a

concepção parte todo e associem para a primeira parte pintada o número

fracionário 3

8 e para a segunda o número

2

8. Para o item (c) esperamos que os alunos

escrevam que a soma será representada por 3

8+

2

8=

5

8 e para o item (d) que

escrevam 3

8−

2

8=

1

8.

102


Para a realização desta atividade, os alunos não apresentaram

dificuldades, pois já haviam realizado várias atividades envolvendo representações

figurais de números fracionários. Após pintarem as partes solicitadas no item (a)

um grupo respondeu para o item (b) “duas partes e três partes”, mas identificou na

figura o número fracionário para cada cor pintada. O outro grupo não respondeu a

questão, mas também identificou na figura o número fracionário correspondente a

cada parte pintada, como mostram as figuras 46 e 47.

Figura 46 – resposta do grupo 1 para o item (a) da atividade 7


Figura 47 – resposta do grupo 2 para o item (a) da atividade 7


103

Para os itens (c) e (d) os alunos apresentaram corretamente as duas

sentenças matemáticas solicitadas.

Durante a realização da atividade surgiram algumas dúvidas como mostra

o diálogo que segue.

A1: pode pintar de qualquer cor?

P: pode sim

B2: o que é a sentença?

P: quem pode dizer

B1: é a continha que vamos fazer

P: todos concordam?

G1 e G2: sim

A2: é uma de mais e outra de menos, não é professor?

P: todos concordam?

G1 e G2: sim

A2: pode fazer um desenho separado para cada conta?

P: se quiser, pode

B1; fica melhor

P: então façam como acharem melhor pra vocês

A1: a diferença é menos, não é professor?

P: sim

Os dois grupos fizeram o que foi solicitado, muito bem e praticamente sem

necessidade de mediação do professor e gostaram da atividade porque envolvia

desenho e pintura.


formulação e validação propostas por Brousseau (1986) e, no final o professor

reforçou as regras operatórias para a adição e subtração de números fracionários

em discussão coletiva com os alunos.

SITUAÇÃO 02: MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS

7º Encontro

Esse encontro foi realizado no dia 13/11/2014 e deu início às atividades

que tratavam das operações de multiplicação e divisão de números fracionários.

A atividade 01, que trata apenas da multiplicação de números fracionários,

está dividida em três partes. Na primeira eles farão as operações utilizando a

104

calculadora, na segunda tentarão elaborar uma regra para a multiplicação de

números fracionários e na última eles deverão resolver as operações, sem a

calculadora, apenas utilizando a regra que elaboraram. O objetivo dessa atividade

é então a elaboração e aplicação de uma regra para obtenção do produto de

números fracionários.

ATIVIDADE 1


a) 1

2×

1

2= b)

2

3×

1

2=

c) 3

5×

2

4= d)

2

3×

1

4=

e) 4

6×

2

5= f)

5

7×

2

3=


operações.

1.3 Resolva as operações abaixo sem o uso da calculadora utilizando a regra que

você descobriu.

a) 1

3×

1

2= b)

4

5×

3

2=

c) 3

6×

2

5= d)

2

7×

4

3=

e) 3

10×

5

4= f) 8 ×

3

4=

ANÀLISE A PRIORI

No item 1.1 os alunos deverão utilizar a calculadora para realizar as

operações e escrever os resultados obtidos na ficha que receberam. Esperamos

que sem problemas deem as seguintes respostas: 1

4,

2

6,

6

20,

2

12,

8

30 e

10

21.

Para o item 1.2 esperamos que os alunos percebam, a partir dos resultados

obtidos na calculadora, que a regra consiste em “multiplicar os numeradores e

multiplicar os denominadores” e que a escrevam.

Já para o item 1.3 esperamos que apliquem corretamente a regra

elaborada no item anterior e resolvam as operações solicitadas.

105


As figuras 48 e 49 mostram as respostas dos dois grupos para o item 1.1

da atividade. Os alunos não apresentaram dificuldade alguma para sua resolução.





Embora a calculadora tenha apresentado respostas com os números

fracionários simplificados os alunos, para o item 1.2, verbalizaram, de forma por

nós considerada correta, a regra para a multiplicação de números fracionários,

como mostram as figuras 50 e 51 que mostram as respostas dos dois grupos.





106

Ao realizarem os cálculos do item 1.3 pudemos observar que os alunos não

apresentaram dificuldades e resolveram as operações aplicando apenas a regra

que haviam formulado no item anterior, como podemos ver nas respostas

apresentadas nas figuras 52 e 53. Podemos observar que, mesmo a calculadora

apresentando os resultados simplificados, os alunos aplicaram a regra e não se

preocuparam em simplifica-las e nem solicitaram para conferir se as respostas

estavam corretas com a calculadora.


formulação e validação propostas por Brousseau (1996). No final da atividade, o

professor institucionalizou a regra operatória para multiplicação de números

fracionários em discussão coletiva com os alunos.





107

8º Encontro

Esse encontro foi realizado no dia 14/11/2014 com a participação de quatro

alunos distribuídos em dois grupos. Nele foi aplicada a atividade 2 da situação 2

que tratava de multiplicação de números fracionários e da conversão de

representações numéricas para representações figurais.

ATIVIDADE 2

2.1 Represente por uma figura, e escreva a sentença matemática que representa

os seus respectivos resultados.

a) 3 ×1

4= b) o dobro de

2

5 .

c) o triplo de 2

4 d) o quádruplo de

1

2

ANÁLISE A PRIORI

Para a realização dessa atividade, os alunos terão que representar cada

item por um desenho, elaborar a sentença matemática e realizar o cálculo da

operação multiplicação para obter os resultados. Como o aluno já realizou os

exercícios anteriores de multiplicação envolvendo frações, é de se esperar que

realizem esses cálculos sem grandes dificuldades e respondam, nas fichas:

3 ×1

4=

3

4, 2 ×

2

5=

4

5, 3 ×

2

4=

6

4 e 4 ×

1

2= 2.

Acreditamos também que representarão figuras, mobilizando a concepção

parte-todo para cada um dos resultados obtidos, pois apresentam um bom domínio

de representações desse tipo.


Os alunos foram orientados a não usar a calculadora na realização dessa

atividade, porém na hora de fazer os cálculos, ficaram com dúvida sobre qual seria

o denominador dos números inteiros e o professor esclareceu que os números

inteiros podem ser representados na forma fracionária, colocando o número 1 no

denominador. Outras dúvidas ocorreram a respeito das figuras que poderiam fazer,

como mostra o diálogo que segue.

108

A2: pode ser uma pizza?

P: o que vocês acham?

A1: acho que sim

P: se tiver dúvida, peça ajuda ao colega

B1: é pra dividir em quantas partes?

P: veja qual a fração de cada exemplo que será multiplicada

A1: é 1

4e

2

5

P: então como será a divisão das partes de cada figura?

B1 e A2: quatro partes

A1: cinco partes

P: das cinco partes, quantas irão representar de início?

A2: duas

P: então vamos fazer

A1: professor já dividimos!

P: certo então o que farão para achar as multiplicações?

B1: pintar o resultado que achamos

A1: pintar a resposta

A2: não entendi muito

P: observe, 3

4 não é o mesmo que:

1

4+

1

4+

1

4

A2: agora sim professor

A1:repetição de 1

4ou multiplicação.

P: todos concordam?

G1 e G2: sim

P: e o outro exemplo?

B2: é o mesmo

P: o mesmo como?

A1: os dois quintos repetidos

P: quantas vezes?

A1: duas

P: muito bem

P: porque o G2 dividiu o seu inteiro em oito partes?

P: porque é o mesmo

P: o mesmo como?

B2: duas partes é um quarto

Observando as figuras 54 e 55, que apresentam as respostas dos alunos

para esta atividade, podemos notar que os dois grupos representaram a

multiplicação, colocando denominador 1 para os números inteiros e, como

esperávamos, mobilizaram a concepção parte todo em figuras de círculos e

retângulos. No entanto não conseguiram responder os itens (c) e (d)

espontaneamente. Na discussão coletiva ficou claro que não associaram ao termo

“triplo” a multiplicação por 3 e ao termo “quadruplo” a multiplicação por 4, embora

não tenham apresentado dificuldade alguma para os termos “dobro” e “triplo”.

109

Durante a discussão o professor foi anotando as sentenças matemáticas e,

a partir de sugestões dos alunos as representações figurais correspondentes, que

os alunos não anotaram em suas fichas (por problemas técnicos, não conseguimos

apresentar aqui as fotos do quadro negro resultante desta atividade).



Além disso, a escolha das variáveis do item (c) foi inadequada porque o

aluno, por entender, neste caso, que a multiplicação é a adição de parcelas iguais,

teria dificuldade em representar figuralmente três vezes, 2/4. Já no item (d) seria

mais fácil visualizar “quatro vezes 1/2”, no entanto eles não perceberam que seria

“quatro metades” e que poderiam representar dois inteiros. Neste caso, não temos

como analisar a influência da calculadora como instrumento mediador de

aprendizagem, pois a falta de análise prévia mais detalhada prejudicou a boa

realização da atividade pelos alunos.

110



Os dois grupos realizaram a atividade depois de terem levantado vários

questionamentos sobre os procedimentos que teriam que fazer para concluir com

sucesso a questão,

9º Encontro

Essa atividade foi realizada no 15/11/2014, com a participação de quatro

alunos distribuídos em dois grupos.

ATIVIDADE 3

3.1. Resolva cada uma das operações abaixo com o auxílio da calculadora

a) 6

4÷

3

2= b)

10

9÷

5

3= c)

8

6÷

4

3=

d) 6

7÷

2

7= e)

5

8÷

5

2= f)

3

4÷

3

4=


operações.

3.3 Resolva cada uma das operações abaixo com o auxílio da calculadora

111

a) 3

5÷

4

6= b)

1

2÷

5

4= c)

7

4÷

2

3=

d) 1

3÷

2

5= e)

6

8÷

3

5= f) 9 ÷

1

3=


operações

ANÁLISE A PRIORI

Essa atividade tem como objetivo verificar se a calculadora auxilia os

alunos na elaboração de uma regra para a divisão de números fracionários.

Esperamos que manuseando adequadamente a calculadora eles escrevam os

seguintes números como respostas do item 3.1, de (a) até (f): 1, 2

3, 1, 3,

1

4 e 1.

Escolhemos números que tivessem tanto nos numeradores, quanto nos

denominadores naturais que fossem múltiplos, para facilitar a percepção da regra

que queremos que desenvolvam no item seguinte. Para o item 3.2 esperamos que

os alunos percebam uma regra para a divisão de números fracionários e escrevam

algo do tipo: dividir os numeradores e dividir os denominadores. Para o item 3.3

esperamos que os alunos utilizando adequadamente a calculadora escrevam as

seguintes respostas de (a) até (f): 9

10,

2

5,

21

8,

5

6,

5

4 e

27

5. Para o item 3.4 esperamos que

mobilizem conhecimentos de equivalência de números fracionários e mantenham

a regra operatória desenvolvida no item 3.2.


Como podemos observar, na figura 56, o primeiro grupo não utilizou a

calculadora para realizar as operações e as responderam espontaneamente.

Questionados a respeito de como resolveram as operações, justificaram que

dividiram os numeradores e dividiram os denominadores. Dessa forma, onde

deveria constar 1, que seria a resposta da calculadora, eles escreveram: 2

2 e

1

1.

Entretanto, como pudemos ver na situação 1, nenhum dos dois grupos

responderam a adição espontaneamente e por isso, não mobilizaram a adição de

numeradores e adição de denominadores.

Já o grupo 2, utilizou a calculadora para realizar as operações e como

podemos ver na figura 57, responderam como previmos com exceção do item (d)

112

que deveria ter como resposta 3 e eles escreveram 3

7. Embora na discussão coletiva

tenha ficado claro que a resposta deste item seria 3, o grupo não corrigiu a resposta

na ficha.



Figura 57 – resposta do grupo 2 para o item 31 da atividade 3


No item 3.2 os alunos verbalizaram e escreveram corretamente uma regra

para resolver esse tipo de divisão de números fracionários, como mostram as

figuras 58 e 59.





No item 3.3 os alunos não apresentaram dificuldades e com o auxílio da

calculadora escreveram corretamente os resultados de quase todas as operações

realizadas, como podemos ver nas figuras 60 e 61. No entanto, o grupo 1

113

respondeu para o item (d) 8

4 em vez de

5

4 e o grupo 2, escreveu 2 para o item b em

vez de 2

5, provavelmente aproveitaram, sem perceber o número 5, denominador do

item (b) como numerador da resposta do item (d) que estava logo abaixo.

Figura 60 - resposta do grupo 1 para o item 3.3 da atividade 3




No item 3.4 os alunos não conseguiram verbalizar regra alguma que

pudesse justificar os resultados encontrados na calculadora. Embora tivessem

verbalizado e escrito a regra de divisão de números fracionários, no caso em que

o numerador do primeiro número é múltiplo do numerador do segundo número, e o

denominador do primeiro número é múltiplo do denominador do segundo número,

não conseguiram mobilizar conhecimentos suficientes para elaborar uma divisão

qualquer de números fracionários. O primeiro motivo pode ser a falta de

aprendizagem da equivalência de números fracionários que poderia vir para

garantir, a divisão dos denominadores e com isso a percepção de que a divisão dos

numeradores seria o resultado da divisão. Outro motivo, foi a não utilização de

outros recursos, como as figuras por exemplo, que poderiam, juntamente com a

calculadora, auxiliar o aluno na percepção da regra.

114

A partir dos resultados obtidos na atividade 3, o professor desistiu de aplicar

a atividade 4, pois os alunos não conseguiram verbalizar uma regra para a divisão

de números fracionários quaisquer. Dessa forma, o professor encerrou as

atividades e avisou os alunos que eles aprenderiam, de forma adequada, a realizar

essas operações sem a calculadora, com a professora da sala deles.

115

CONSIDERAÇÕES FINAIS

A pesquisa que realizamos teve como objetivo a elaboração e aplicação de

uma sequência de ensino para que um grupo de alunos do quinto ano do ensino

fundamental elaborasse e construísse significado para as regras operatórias

fundamentais com números fracionários a partir da utilização de uma calculadora

científica com representação fracionária.

Procuramos verificar se se esse tipo de calculadora poderia ser um recurso

tecnológico que pudesse contribuir com a aprendizagem das operações com

números fracionários, pois sabemos que a simples utilização do recurso tecnológico

não garanta uma aprendizagem eficaz. Além disso, embora os Parâmetros

Curriculares Nacionais, para as séries iniciais, não recomendem o ensino dessas

operações os livros didáticos continuam a apresenta-las em sua totalidade ou

parcialmente.

As atividades que compõem a sequência de ensino foram elaboradas de

acordo com a Teoria das Situações Didáticas, no sentido de proporcionar aos

alunos a vivência das fases de ação, formulação e validação. Nesse sentido

durante a execução das atividades pelos alunos o pesquisador procurou intervir o

mínimo possível na resolução dos alunos, que aceitaram facilmente a mudança no

contrato didático proposta pelo pesquisador quando passou para os alunos a

responsabilidade da realização das atividades.

A maioria das atividades partiu da representação de números fracionários

e solicitava um tratamento para a resolução de operações. No entanto, em algumas

atividades foi solicitada a conversão de uma representação numérica para uma

representação figural, atendendo às orientações de Duval (1993) a respeito da

importância de os alunos perceberem que um mesmo objeto matemático pode ser

representado de formas distintas.

Durante a aplicação das atividades pudemos perceber que os alunos

ficaram entusiasmados por poderem usar uma calculadora na aula e rapidamente

conseguiram dominar as funções necessárias da calculadora, mostrando que esse

recurso poderia se juntar a outros recursos pedagógicos, como orienta Oliveira

116

(2009) para a integração de tecnologias tradicionais com as novas no sentido de

uma complementar a outra.

Durante a aplicação da sequência pudemos perceber a evolução do aluno

em relação a sua independência de ajuda do professor para resolver as atividades.

Eles perguntaram, questionaram fizeram e refizeram algumas atividades até

chegarem a uma resposta satisfatória para a dupla. Percebemos que passaram a

ter iniciativa própria realizando diversas atividades sem esperar qualquer ordem do

professor, mostrando liberdade para agir, formular e validar ou não suas soluções.

Retomando nossa questão de pesquisa: qual a contribuição de uma

sequência didática que envolve uma calculadora científica com representação

fracionária para os processos de ensino e de aprendizagem das operações com

números fracionários para alunos do 5º ano do ensino fundamental?

Podemos concluir que no que se refere ao ensino a calculadora pode sim

ser um recurso pedagógico para o ensino das operações com fracionários, no

entanto acreditamos que em nossa sequência poderíamos ter agregado outros

recursos, como a utilização de representações figurais, para que os alunos

pudessem perceber algumas relações que a calculadora não permitiu. Além disso,

algumas escolhas numéricas, como números representados por frações impróprias

ou aparentes precisam ser alteradas, pois elas também influenciaram na percepção

das relações necessárias para que chegassem a algumas das regras operatórias,

objeto deste estudo.

Quanto a aprendizagem podemos dizer que os alunos conseguiram

verbalizar e escrever, a partir das operações realizadas com a calculadora, as

regras para a adição e subtração de números fracionários de mesmo denominador,

para a multiplicação de números fracionários quaisquer e para a divisão de

números fracionários em que, tanto os numeradores, quanto os denominadores

fossem múltiplos. Nesses casos, entendemos que a calculadora contribuiu no

sentido de os alunos tratarem as frações como números e não como dois números

naturais independentes. É sabido, que um dos obstáculos epistemológicos para a

aprendizagem dos números fracionários é o conhecimento pelos alunos dos

números naturais, como afirma Silva (1997) e que, muitos trabalhos apontam que

117

os alunos na adição costumam somar numeradores e denominadores, o que não

aconteceu em momento algum quando utilizavam a calculadora.

Por outro lado, não houve sucesso na elaboração de uma regra operatória

para a adição e para a divisão de quaisquer números fracionários, pois os alunos

não conseguiram fazer relações entre os numeradores e denominadores dos

números dados para serem operados com os numeradores e denominadores

obtidos nas respostas. Parte disto se deve à elaboração das atividades que não

previu que a calculadora simplificava os números fracionários das respostas, o que

impedia a percepção do aluno. Acreditamos que devem ser escolhidos números

fracionários em que o produto dos denominadores fique evidente na adição de

números fracionários, por exemplo. Além disso, que seja utilizado também outro

recurso, como representações figurais para a elaboração da regra operatória e,

ainda, que os alunos já tenham domínio de equivalência de números fracionários.

No caso da divisão de dois números fracionários quaisquer também seria

necessário fazer escolhas mais adequadas e a utilização de outros recursos para

que percebessem que a regra que obtiveram na situação em que os numeradores

eram múltiplos e os denominadores também, poderia continuar sendo usada a

partir da obtenção de números equivalentes aos dados na operação.

Dessa forma, acreditamos que a calculadora científica com representação

fracionária pode se constituir em recurso pedagógico para o ensino de operações

com números fracionários para alunos do quinto ano do ensino fundamental e para

a elaboração das regras operatórias para os próprios alunos, desde que os alunos

possuam alguns conhecimentos prévios e que as situações agreguem outros

recursos, além da calculadora.

Assim, ficam esses resultados como contribuição para a área e como

pesquisa futura a elaboração de uma sequência com outros recursos e escolhas

para verificar que alunos do quinto ano podem elaborar e utilizar as regras

operatórias para números fracionários. O retardo desse ensino para as séries

seguintes está provocando uma lacuna, como aponta Bertoni (2004) e além disso

permite que os alunos fiquem mais tempo trabalhando com os números naturais e

fazendo com que estes se tornem um obstáculo mais resistente à aprendizagem

de números fracionários como aponta Silva (1997).

118

119

REFERÊNCIAS

ALMOULOUD, S. A.. Fundamentos da Didática da Matemática. Editora UFPR.

Curitiba.2007.

ALTOÉ, A.. O desenvolvimento da informática aplicada no Brasil. In: ALTOÉ, Anair; COSTA, Maria Luisa Furlan; TERUYA, Tereza Kazuko (org). Educação e novas tecnologias. Formação de Professores – EAD nº 16. Maringá: EDUEM, 2005.

ARTIGUE, M. Engenharia Didática. In: Brun, J.. Didáticas das Matemáticas. Lisboa: Instituto Piaget, 1996, p.193-217. Coleção Horizontes Pedagógicos.

BIANCHINI, B. L.. Estudo sobre a aplicação de uma sequência didática para o ensino de números decimais. Tese (Doutorado em Educação Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. São Paulo. 2001.

BEHR et. Al.. Rational Number, Ratio, and proportion. In: GROUWS, D.A. (Ed.). Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. New York: Macmilan, 1992. P. 296-333.

BERTONI, N. E.. Um novo paradigma no ensino e aprendizagem das frações. In: Encontro Nacional de Educação Matemática. Recife. 2004.

BILAC, C. U.. Possibilidades da aprendizagem de transformações geométricas com o uso do cabri-géomètre. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Matemática), Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2008.

BORBA, M. C. Calculadoras gráficas e educação matemática (Ed.). Rio de Janeiro: Universidade Santa Úrsula. vol 6, Série Reflexão em Educação Matemática, 1999.

BORBA, M. C.; MALHEIROS, A. P. S.; ZULATTO, R. B. A. Educação a Distância online. Belo Horizonte: Autêntica, 2008.

BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental. Introdução aos Parâmetros Curriculares Nacionais. Livro 1. 1997a.

______. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental. PCN - Matemática. Livro 3. 1997b.

______. Ministério da Educação. Guia de livros didáticos PNLD: apresentação / Ministério da Educação. — Brasília: MEC, 2007.


120


BROUSSEAU. G. Fundamentos e métodos da didática da matemática. IN: BRUN, J. Didática da Matemática. Tradução Maria José Figuiredo. Lisboa, Portugal: Instituto Piaget, 1996, p. 35-111.

D’AMBRÓSIO, U. Educação matemática: da teoria à prática. 9ª ed. Campinas: Papirus, 1996.

_____. O uso da calculadora. Disciplina a distância, oferecida pela SBEM, junho 2003. Disponível em: www.ima.mat.br/ubi/pdf/uda_006.pdf. Acesso em: 20 de junho de 2014.

DAMM, R. F.. Registros de Representação. In: Machado, S. D. A. (Org) Educação Matemática: uma nova introdução. 3 ed. revista. São Paulo: EDUC, 2008, p. 167-188.

DUVAL, R.. Semiósis e pensamento humano: registros semióticos e aprendizagens intelectuais (Fascículo I). Tradução: Lênio Fernandez Levy e Maria Roâni Abreu da Silveira, 1ª edição, São Paulo: Editora Livraria da Física, 2009.

FEDALTO, D.L.. O imprevisto futuro das calculadoras nas aulas de Matemática no Ensino Médio. Dissertação (Mestrado) – Programa de Pós-graduação em Educação da Universidade Federal do Paraná, Curitiba, 2006.

FERREIRA, A.B.H. Novo Dicionário Aurélio da Língua Portuguesa. 3ª.ed. São Paulo, Positivo, 2004.

FREITAS, J. I. M. Teoria das Situações Didáticas. In: Machado, S. D. A. (org). Educação Matemática: uma nova introdução. 3 ed. revista. São Paulo: EDUC, 2008, p. 77-111.

GIANCATERINO, R. Matemática sem Rituais. Rio de Janeiro: Editora Wak, 2009.

GIOVANNI, J. R. A conquista da matemática. 4ª série. São Paulo: FTD, 1989.

GUINTHER, A.; BIANCHINI, B.L. Calculadoras nas aulas de Matemática: perspectivas de pais de alunos. In: VI Congresso Iberoamericano de Educación Matemática, 2009, Puerto Montt. VI Congresso Iberoamericano de Educación Matemática. Puerto Montt: Universidad de Los Lagos, 2009. v. 1. p. 1904-1909.

GHINTHER, A.. Análise do desempenho de alunos do ensino fundamental em jogos matemáticos: reflexões sobre o uso da calculadora nas aulas de matemática. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, 2009.

JUCÁ, R. S. Uma sequência didática para o ensino das operações com números decimais. Dissertação (Mestrado em Educaçã). Universidade do Estado do Pará, Belém, 2008.

http://www.ima.mat.br/ubi/pdf/uda_006.pdf

121

KARRER, M.. Logaritmos: proposta de uma sequência de ensino utilizando a calculadora. 238 f. Dissertação. (Mestrado em Educação Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. 1999.

KIEREN, T. E.. Rational and fractional numbers: From quotient fields to recursive understanding. In T. P. Carpenter, E. Fennema & T. A. Romberg (Eds.), Rational numbers: An integration of research (pp. 49-84). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum. 1993.

LEVY, P.. Cibercultura. São Paulo: Ed. 34, 1999.

MAGINA, S. P.; CAMPOS, T. M. M.. A fração na perspectiva do professor e do aluno dos primeiros ciclos do Ensino Fundamental. Bolema, ano 21 n° 31: p.23 a 40. Rio Claro-SP, 2008.

MAROTE, D. Matemática primeiro grau. 4ª série. São Paulo: Ática 1992.

MELO, A. J. F. O ensino de potências e raízes com o auxílio da calculadora: uma experiência investigativa em sala de aula. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. São Paulo, 2008a.

MELO, A. R. F.. A prática do professor de matemática permeada pela utilização da calculadora. Dissertação (Mestrado – em Educação Matemática) – Pontifica Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2008b.

MERCADO, L. P. L. Formação continuada de professores e novas tecnologias. Maceió, EDUFAL;1999, 176f.

MOCROSKY, L. M.. Uso de calculadoras em aulas de Matemática. Dissertação (Mestrado) – Programa de Pós-graduação em Educação Matemática, Universidade Estadual de São Paulo, Rio Claro, 1997.

MOREIRA, I. M. B. O ensino das operações com frações envolvendo calculadoras. Dissertação (Mestrado em Educação), 137f. – Universidade do Estado do Pará, Belém, 2010.

NUNES, T. et al. Educação matemática: números e operações numéricas. São Paulo: Cortez, 2005.

OLIVEIRA, J. G. de O. A visão dos professores de matemática do estado do Paraná em relação ao uso de calculadora em aulas de matemática. Tese (Doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Campinas, 1999.

OLIVEIRA, G. P. Estratégias didáticas em educação matemática: as tecnologias de informação e comunicação como mediadoras. Anais do IV Simpósio Internacional de Pesquisa em Educação Matemática – IV Sipem. Brasilia: SBEM, 2009.

PAIS, L. C.. Didática da Matemática – uma análise da influência francesa. 2ªed. Belo Horizonte: Autêntica, 2002.

122

PERRENOUD, P.. 10 novas competências para ensinar: convite à viagem. Porto Alegre: Artmed, 2000.

PONTE, J. P. Ciências da educação, mudança educacional, formação de professores e novas tecnologias: Contributos para um debate. In A. Nóvoa, B. P. Campos, J. P. Ponte, & Santos M. E. B., Ciências da educação e mudança. Porto: SPCE, 1991, p.69-76.

RICCETTI, V. P. . Jogos em grupo para educação infantil. In: Educação Matemática em revista. Ano 8, nº11, dezembro de 2001, p. 18-25.

RODRIGUES, W. R.. Números racionais: um estudo das concepções de alunos após o estudo formal. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática), Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, 2005.

ROMANATTO, M. C.. Números racionais: relações necessárias a sua compreensão. Tese (Doutorado em Educação) Campinas, SP: Universidade Estadual de Campinas - Faculdade de Educação, 1997

RUBIO, J. A. S. O uso didático da calculadora no Ensino Fundamental: possibilidades e desafios. Dissertação (Mestrado em Educação) – Faculdade de Filosofia e Ciências. Universidade do Estado de São Paulo, Marília, 2003.

SCHIFFL, D.. Um estudo sobre o uso da calculadora no ensino de Matemática. Dissertação (Mestrado Profissionalizante em ensino de Física e Matemática), UNIFRA – Centro Universitário Franciscano, Santa Maria, RS, 133p. 2006.

SILVA, M. J. F.. Sobre a introdução do conceito de número fracionário. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). PUC-SP, 1997.

_____. Investigando saberes de professores sobre do ensino fundamental com enfoque em números fracionários para a quinta séria. Tese de doutorado em Educação Matemática, PUC-SP, 2005

_____. Investigando saberes de professores do ensino fundamental com enfoque em números fracionários para a quinta-série. São Paulo: Blucher Acadêmico, 2009.

SILVA, M. J. F.; ALMOULOUD, S. A.. As operações com os números racionais e seus significados a partir da concepção parte-todo. Bolema. Rio Claro. Ano 21. N 31. 2008, p. 55 a 78.

VASCONCELOS, C. S.. Construção do conhecimento em sala de aula. São Paulo: Cortez, 1994.

VIEIRA, G. B. Números decimais: dificuldades conceituais. Dissertação (Mestrado em Educação). Universidade de Passo Fundo, 2005.

123

APÊNDICE A – A SEQUÊNCIA DE ENSINO

SITUAÇÃO 1: ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS

Atividade 01


a) 3

5+

1

5= b)

1

6+

4

6=

c) 1

4+

2

4= d)

2

7+

1

7=

e) 5

8+

4

8=

1.2 Escreva uma regra para ensinar seu colega de classe a fazer essas operações.

1.3 A regra que você escreveu, serve para a soma de que tipos de frações?

1.4 Faça a representação através de um desenho de cada operação que foi feita

anteriormente.

Atividade 02


a) 3

5+

2

5= b)

2

6+

1

6=

c) 1

4+

3

4= d)

2

7+

3

7=

2.2 O que você observou no resultado dessas operações?

2.3 A regra que você encontrou na situação 1 também serve para estes cálculos?

Atividade 3


a) 1

2+

1

3= b)

3

4+

2

6=

c) 3

5+

1

2= d)

2

3+

4

9=

e) 1

3+

1

5= f)

3

4+

2

5=

g) 5

6+

2

4=

3.2 O que você observou sobre os denominadores de cada exemplo anterior?

3.3 Escreva uma regra para ensinar o seu colega de classe a fazer essas

operações.

124

Atividade 04


a) 2

3+

1

2= b)

2

4+

1

3=

c) 3

5+

1

2= d)

1

3+

1

2=

e) 3

4+

2

5= f)

4

7+

1

2=

4.2 Resolva as operações abaixo através da regra encontrada por vocês.

a) 1

2+

1

3= b)

5

6+

1

2=

c) 3

8+

2

4= d)

2

5+

4

6=

4.3 Faça a representação de cada operação abaixo através de uma figura:

a) 1

3+

1

2= b)

2

3+

1

4=

Atividade 05

5.1Resolva cada uma das operações abaixo com o auxílio da calculadora.

a) 2

3−

1

3= b)

7

8−

4

8=

c) 9

10−

5

10= d)

4

7−

2

7=

e) 7

9−

3

9= f)

5

6−

3

6=


operações.

Atividade 06


a) 1

2−

1

3= b)

3

4−

2

5=

c) 5

6−

3

4= d)

2

3−

3

9=

e) 3

5−

1

2= f)

2

3−

3

5=

g) 3

4−

1

3=

125


operações.

6.3 Resolva cada uma das operações abaixo sem o auxílio da calculadora,

utilizando a regra que você descobriu.

a) 1

2−

2

5= b)

2

3−

1

4=

c) 2

3−

2

6= d)

3

5−

2

4=

e) 2

3−

1

2=

Atividade 07

1a) Pinte três partes da figura de uma cor e duas outras partes de outra cor.

b) Que partes da figura foram pintadas?

c) Que sentença matemática representa a soma dessas partes?

d) Que sentença matemática representa a diferença entre a maior parte e a menor

parte

126

SITUAÇÃO 02: MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS

Atividade 01


a) 1

2×

1

2= b)

2

3×

1

2=

c) 3

5×

2

4= d)

2

3×

1

4=

e) 4

6×

2

5= f)

5

7×

2

3=


operações.

1.3 Resolva as operações abaixo sem o uso da calculadora utilizando a regra que

você descobriu.

a) 1

3×

1

2= b)

4

5×

3

2=

c) 3

6×

2

5= d)

2

7×

4

3=

e) 3

10×

5

4= f) 8 ×

3

4=

Atividade02

3.1 Represente por uma figura, e escreva a sentença matemática que representa

os seus respectivos resultados.

a) 3 ×1

4= b) O dobro de

2

5 .

c) o triplo de 2

4 d) O quádrulo de

1

2

Atividade 03

3.1. Resolva cada uma das operações abaixo com o auxílio da calculadora

a) 6

4÷

3

2= b)

10

9÷

5

3= c)

8

6÷

4

3=

d) 6

7÷

2

7= e)

5

8÷

5

2= f)

3

4÷

3

4=


operações.

3.2 Resolva cada uma das operações abaixo com o auxílio da calculadora

a) 3

5÷

4

6= b)

1

2÷

5

4= c)

7

4÷

2

3=

127

d) 1

3÷

2

5= e)

6

8÷

3

5= f) 9 ÷

1

3=


operações

Atividade 04

4.1 Resolva cada uma das operações abaixo sem o uso da calculadora, utilizando

a regra que você descobriu.

a) 1

2÷

1

3= b)

1

3÷

2=

c) 4 ÷1

2= d)

3

5÷

2

4=

e) 2

8÷

1

4= f)

3

5÷

3

5=

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLIDA DE SÃO PAULO Sergio... · após a utilização da calculadora, verbalizar e escrever regras para a adição e subtração de números fracionários