PORTFÓLIO MEEC

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- CAMPO ELETROMAGNÉTICO –

ELETROMAGNETISMO / ELETROTECNIA

J. A. Brandão Faria

Na disciplina de Física, no ensino secundário, foram ministrados os rudimentos de

«Eletricidade». Agora, como estudantes do IST e futuros engenheiros eletrotécnicos, vão

necessariamente aprofundar os conhecimentos nessa área; vão aprofundá-los (nos primeiros

anos) mas também aplicá-los, mais adiante, nas disciplinas da especialidade, sejam elas de

Energia, de Eletrónica, de Telecomunicações, ou de Controlo.

1. Introdução

A disciplina de Electromagnetismo e Óptica, do 2.º ano, 1.º semestre, é comum a todos os cursos

de engenharia; fornece os fundamentos teóricos do campo eletromagnético e é lecionada pelo

Departamento de Física. A disciplina de Electrotecnia Teórica, do 2.º ano, 2.º semestre, não

obstante o seu nome, está já virada para as aplicações da engenharia eletrotécnica; de facto, a

disciplina é lecionada pelo Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores.

Em ambas as disciplinas, a ferramenta ou linguagem utilizada é a da Matemática,

designadamente, a Análise Diferencial e Integral bem como a Análise Vetorial. Uma preparação

deficiente nestas ‘linguagens’ pode, decerto, comprometer o sucesso na aprendizagem das

matérias lecionadas em Electromagnetismo e Óptica, e em Electrotecnia Teórica. Fica o alerta!

Este curto texto, concebido no âmbito da disciplina de Portfólio, pretende despertar/incentivar o

interesse dos estudantes para o tema do Electromagnetismo/Electrotecnia. A tarefa não é fácil,

pois, como referimos, a linguagem própria do tema (análise matemática) ainda não está à vossa

disposição. De toda a maneira vamos tentar...

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As primeiras contribuições de natureza científica para o eletromagnetismo devem-se sobretudo a

Andrè-Marie Ampère (1775-1836) e a Michael Faraday (1791-1867). Há, porém, um nome

incontornável que deve ser retido na memória, o de James Clerk Maxwell (1831-1879), físico

escocês, que formulou a teoria moderna do eletromagnetismo1, unificando a eletricidade, o

magnetismo e a óptica — ciências até então consideradas distintas.

De facto, foi em 1873 que Maxwell publicou a sua obra Treatise on Electricity and Magnetism,

onde são apresentadas as equações que governam o campo eletromagnético — as chamadas

Equações de Maxwell, que mais adiante apresentaremos — ver (5). No que respeita a essas

equações há pelo menos quatro factos notáveis que merecem realce:

Primeiro: A sua longevidade. Apesar de estabelecidas há quase 150 anos, não houve ainda

qualquer evidência experimental que as pusesse em causa.

Segundo: O conteúdo das equações permite, por via puramente dedutiva, prever a existência

de ondas eletromagnéticas (de que a luz é um caso particular). A demonstração experimental da

existência de ondas eletromagnéticas2 foi feita por Hertz em 1889.

Terceiro: As equações são intrinsecamente relativistas. Verificou-se, a posteriori, que elas

estão de acordo com os resultados da Teoria da Relatividade desenvolvida por Einstein em 1905.

Quarto, e talvez mais importante: As equações de Maxwell aplicam-se indistintamente a todos

os fenómenos macroscópicos do eletromagnetismo (fenómenos lentos ou rápidos, fenómenos

com corpos em repouso ou em movimento). Em verdade, com base nessas equações é possível

explicar e analisar todos os fenómenos do campo eletromagnético que interessam à Engenharia

Eletrotécnica, por exemplo, o funcionamento de motores e geradores elétricos (Fig. 1), a

1 Maxwell é também conhecido pela sua contribuição para a Teoria Cinética dos Gases, teoria que veio a revelar-se

importante no desenvolvimento da Termodinâmica Estatística e posteriormente da Mecânica Quântica. 2 Também conhecidas por ondas Hertzianas.

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3

transmissão de sinais elétricos nas placas de circuitos eletrónicos (Fig. 2), a transmissão de

energia ao longo das linhas de alta tensão (Fig. 3), a transmissão de sinais luminosos em fibras

ópticas (Fig. 4), a radiação das antenas (Fig. 5), as comunicações no espaço livre (Fig. 6), etc.

etc.

(a) (b)

Fig. 1. Conversão eletromecânica de energia. (a) Motor elétrico. (b) Gerador elétrico. No caso motor a

máquina é alimentada (no estator) por correntes elétricas e a peça móvel no interior (o rotor) adquire

movimento de rotação. No caso gerador ocorre o inverso; o rotor é colocado em movimento de rotação

(via energia hidráulica, eólica, ou outra) e no estator surgem tensões elétricas.

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Fig. 2. Placa de circuito impresso utilizada na montagem de componentes eletrónicos, onde se observa a

complexidade das pistas metálicas que servem de interligação entre componentes. Os sinais elétricos

transmitidos pelas diversas pistas interagem entre si devido ao acoplamento quer elétrico quer magnético.

Fig. 3. Poste e linha de alta tensão. As linhas de alta tensão operam a 50 Hz e podem ter comprimentos de

centenas de km. As correntes e cargas elétricas dos condutores da linha dão origem a um campo

eletromagnético que se propaga ao longo da estrutura, viajando a uma velocidade próxima da velocidade

da luz.

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5

Fig. 4. Conjunto de fibras ópticas truncadas num dos extremos, emitindo luz visível. Nas fibras utilizadas

em comunicação óptica a luz não é visível, pois se situa na zona do infravermelho (com comprimentos de

onda cerca de 1300 nm e 1500 nm, a que correspondem frequências na gama do THz).

Fig. 5. Antena Yagi-Uda utilizada nas bandas de VHF (50 a 200 MHz) e UHF (0,3 a 3 GHz). A radiação

do elemento principal (dipolo dobrado) é reforçada pela presença de hastes refletoras e diretoras, que

conferem a esta antena características direcionais.

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6

Fig. 6. Antena parabólica para comunicações via satélite (3 a 30 GHz). O satélite está colocado numa

órbita geoestacionária cerca de 36 mil km acima do nível do mar. No foco da parábola encontra-se o

elemento emissor ou recetor.

2. Noção de campo vetorial

Para prosseguir, vamos agora falar um pouco sobre a noção de campo, mais propriamente sobre

campo vetorial3 — vetores do espaço 3D cujas componentes variam com as coordenadas de

espaço e tempo.

O conceito de força é já conhecido do ensino secundário.

A Fig. 7 representa um atleta a fazer um lançamento de martelo (um corpo esférico de metal com

7,26 kg de massa). O corpo esférico é tracionado por uma força F exercida pelo atleta que

rodopia. A força é transmitida por um cabo de arame com cerca de 1 m de comprimento.

3 Ao longo deste texto as entidades vetoriais serão representadas por letras em negrito. Por exemplo, a letra F

simboliza uma força (um vetor).

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7

F

Fig. 7. Lançamento de martelo. A força F é transmitida pelo cabo de arame.

Há porém situações em que o movimento dos corpos ocorre sem que haja qualquer força visível

e sem a necessidade dum meio de transmissão (como o referido cabo de arame).

No exemplo da Fig. 8 está representada a passagem de uma sonda espacial perto de um planeta.

A sonda de massa m, liberta de qualquer influência, seguiria uma trajetória retilínea (a tracejado).

No entanto, a presença do planeta de massa M provoca uma alteração dessa trajetória (a traço

cheio). Na vizinhança de M está presente uma força gravitacional atrativa. Essa força manifesta-

se em todos os pontos do espaço e, apesar de ela não ser detetável diretamente pelos nossos

sentidos, podemos inferir da sua existência analisando a trajetória da sonda de massa m —

diremos assim que estamos perante um campo gravitacional G. As linhas de ação desse campo

são radiais, com simetria esférica, e estão representadas na Fig. 9.

M

G r

m

Fig. 8. Trajetória de uma sonda espacial (de massa m) perto de um planeta.

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8

G

M

Fig. 9. Linhas de ação do campo gravitacional G criado pela massa M.

O campo gravitacional atuante sobre m é caracterizado por um vetor força Fg cuja orientação é a

das linhas de ação desse campo:

g mF G (1)

O campo G, com as dimensões de uma aceleração (m/s2), originado pela massa M, é

proporcional a M e inversamente proporcional ao quadrado da distância r, isto é,

2( ) r

Mr e

r G (2)

onde é a constante de gravitação universal, 11 2 26,67 10 Nm /kg e re é o vetor unitário da

direção radial.

3. Campo eletromagnético. Equações de Maxwell.

Enquanto os fenómenos gravitacionais são causados por distribuições de massa, os fenómenos

do eletromagnetismo são desencadeados por distribuições de carga elétrica e por distribuições de

corrente elétrica4. Em redor dessas distribuições surge também um campo — o campo

4 As correntes elétricas estabelecem-se em fios de material condutor e correspondem a um movimento caótico de

partículas com carga elétrica negativa (eletrões) em colisão permanente com a estrutura atómica do material de que é

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eletromagnético — o qual, como o campo gravítico, exerce uma força atuante sobre qualquer

partícula com carga elétrica (positiva ou negativa) que fique sob a sua influência.

Contrariamente ao campo gravitacional, o campo eletromagnético requere não um, mas dois

vetores para o caracterizar: o campo elétrico E e o campo de indução magnética B.

A título ilustrativo apresenta-se na Fig. 10 um conjunto de linhas de campo dos vetores E e B

criados ao redor de dois fios condutores cilíndricos paralelos, carregados com carga elétrica Q

e percorridos por correntes elétricas I .

As linhas do campo elétrico E são abertas, nascem e morrem à superfície dos fios (onde se

acumula a carga elétrica); as linhas de B são fechadas, abraçando os fios condutores de corrente.

Também, a título ilustrativo, apresenta-se na Fig. 11 um conjunto de linhas de campo dos vetores

E e B criados por uma antena do tipo dipolo (peça central, na vertical). As linhas de campo quer

de E quer de B são fechadas5.

feito o fio condutor (tipicamente, o cobre). A velocidade média dessas partículas móveis é pequena, da ordem dos

cm/s. 5 A existência de linhas fechadas do campo elétrico só é possível quando o campo de indução magnética B for

variável no tempo (como é o caso numa antena).

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E

B

Fig. 10. Campo eletromagnético dum par de fios condutores cilíndricos paralelos (corte transversal).

Fig. 11. Perspetiva tridimensional do campo eletromagnético radiado por uma antena do tipo dipolo.

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A força F associada ao campo eletromagnético é usualmente decomposta em duas parcelas, a

força elétrica Fe e a força magnética Fm, a primeira dependente do campo elétrico E, a segunda

dependente do campo de indução magnética B.

e m= ( ) + ( )F F E F B (3a)

Quando se coloca uma partícula de massa m, com carga elétrica q, animada de velocidade v,

numa região onde tenha sido estabelecido um campo eletromagnético, observa-se uma alteração

da trajetória dessa partícula causada simultaneamente por Fe e Fm. Essas duas forças calculam-se

através de:

e qF E (3b)

m q F v B (3c)

A força elétrica é de cálculo trivial; de acordo com (3b) tem direção paralela a E se q > 0, e

antiparalela se q < 0. Em todo o caso, a intensidade de Fe é diretamente proporcional à

intensidade do campo elétrico E atuante sobre q.

Por exemplo, se tivermos uma esfera metálica no ar, carregada com uma carga elétrica Q, o

campo E existente em seu redor é radial, com simetria esférica, dado por

2( ) r

Qr e

rE (4)

onde a constante vale 99 10 m/F. Note-se a enorme semelhança entre as equações (1) e

(3b) e também entre (2) e (4).

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A Fig. 12 mostra a trajetória de uma partícula com carga elétrica q positiva quando fica sob a

ação dum campo elétrico E originado por uma esfera carregada com carga Q. A força elétrica é

atrativa se qQ < 0, mas repulsiva se qQ > 0. Repare-se na semelhança entre as Figuras 8 e 12a.

(a)

E

Q<0

v

(b)

E

Q>0

v

Fig. 12. Força elétrica. (a) Trajetória da partícula se Q < 0. (b) Trajetória da partícula se Q < 0.

A análise da força magnética Fm, dada por (3c), é um pouco mais complicada.

Na equação (3c) o símbolo v B representa um novo vetor: o chamado produto externo6 de v

com B. O módulo deste vetor calcula-se multiplicando o módulo de v, o módulo de B, e o seno

do ângulo entre esses vetores. A direção do vetor é perpendicular ao plano definido por v e B e

o seu sentido é definido pela «regra dos 3 dedos»7: alinhando o dedo indicador com v, alinhando

o dedo do meio com B, o produto externo fica alinhado com o polegar — ver Fig. 13.

Assim, pode concluir-se que se v e B forem paralelos ou antiparalelos ( 0, 180º ) a força

magnética não se fará sentir; ao contrário, se v e B forem perpendiculares ( 90º ) a força

magnética será máxima.

6 Atenção: o produto externo é anti-comutativo, isto é, v B B v .

7 Da mão direita.

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v × B

B

v

área = vB sen= |vB|

Fig. 13. Produto externo v B .

Na Fig. 14 ilustra-se a trajetória de uma partícula com carga elétrica q positiva, animada de

velocidade v, ao passar no entreferro de ar de um eletroíman onde existe um campo de indução

magnética8 B responsável pela força magnética Fm.

(a)

B N

I

Ferro

d

(b) Plano da trajetória

v

B

Fig. 14. (a) Eletroíman com campo B no entreferro de ar. (b) Trajetória da partícula móvel com

velocidade v sob ação da força magnética originada pelo campo de indução magnética B.

8 No entreferro de ar do eletroíman, a intensidade do campo de indução magnética pode ser calculada

aproximadamente através de 0 /B NI d , onde: 7

0 4π 10 H/m, I é a intensidade de corrente elétrica na bobina

com N espiras, e d é a espessura do entreferro.

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Vamos concluir.

Como referimos logo na Introdução, o comportamento do campo eletromagnético é regido pelas

equações de Maxwell, as quais se escrevem sob a seguinte forma

Equações de Maxwell: 0

rott

div

rott

div

BE

B

DH J

D

(5)

Os alunos irão encontrar as equações de Maxwell já no 2º ano e nos anos subsequentes farão uso

intensivo das mesmas9. Neste momento não nos é possível abordar o significado e alcance das

equações (5); no entanto, podemos, desde já, identificar as grandezas físicas que nelas constam

(mais que não seja para começarem a familiarizar-se com a nomenclatura):

O par E e D é de natureza elétrica. E é o vetor campo elétrico, D é o vetor deslocamento

elétrico10

.

O par H e B é de natureza magnética. H é o vetor campo magnético, B é o vetor campo de

indução magnética11

.

A grandeza escalar representa a densidade de carga elétrica, enquanto J representa o vetor

densidade de corrente elétrica (carga em movimento).

9 Sem pretender ser exaustivo citam-se, a título de exemplo, as seguintes unidades curriculares do 2.º ciclo do MEEC

onde a utilização das equações de Maxwell desempenha papel importante: Máquinas eléctricas (4.º ano); Regimes

transitórios em redes (4.º ano); Microondas (4.º ano); Antenas (4.º ano); Fotónica (4.º ano); Sistemas de

telecomunicações por fibra óptica (4.º ano); Alta tensão (5.º ano); Radiopropagação (5.º ano). 10

Em certas situações os vetores E e D são proporcionais, podendo escrever-se D = E, onde é a permitividade. 11

Em certas situações os vetores B e H são proporcionais, podendo escrever-se B = H, onde é a permitividade.

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O símbolo / t traduz a derivada em ordem ao tempo t.

Os símbolos rot e div (operadores rotacional e divergência) são mais complicados. Para abreviar,

diremos apenas que ambos estão associados a operações de diferenciação em ordem às

coordenadas de espaço, x, y, z.

Podemos, talvez, acrescentar a seguinte informação (que virá a ser útil).

Quanto às equações relativas aos operadores divergência:

0div B revela que as linhas de campo B são, em todas as circunstâncias, linhas fechadas.

div D revela que as cargas elétricas criam campo elétrico.

Quanto às equações relativas aos operadores rotacional:

/rot t E B revela que um campo magnético variável no tempo cria campo elétrico.

/rot t H J D revela que correntes elétricas e campos elétricos variáveis no tempo12

dão

origem a campo magnético.

O facto de um campo magnético variável no tempo gerar um campo elétrico variável no tempo e

vice-versa é, precisamente, a razão que conduz à ideia de que o campo eletromagnético é uma

entidade auto-sustentável:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t t t t t t B E B E B E

Uma vez desencadeado um campo eletromagnético variável, este pode sustentar-se a si próprio e

propagar-se a grandes distâncias sob a forma de ondas13

— Fig. 15.

12

A parcela / t D , designada “corrente de deslocamento", tem um papel crucial na teoria do eletromagnetismo

desenvolvida por Maxwell. 13

Ou sob a forma de fotões (na perspetiva quântica).

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~

B B B

E E E

v

. . .

B B

E E E

. . .

v

Fig. 15. Campo eletromagnético auto-sustentável. Ondas eletromagnéticas.

O processo ondulatório não é porém instantâneo, as ondas eletromagnéticas viajam a uma

velocidade finita v que depende do meio onde elas se propagam; no caso de o meio ser o espaço

livre essa velocidade é próxima de 300 000 km/s.

Bibliografia:

- J. Maxwell, A Treatise on Electricity and Magnetism, Dover, 1954.

- K. Simonyi, Foundations of Electrical Engineering, Academic Press, 1950.

- L. Solymar, Lectures on Electromagnetic Theory, Oxford U. Press, 1984.

- S. Ramo, J. Whinnery, T. Duzer, Fields and Waves in Communication Electronics, Wiley, 1965.

- J. Brandão Faria, Electromagnetic Foundations of Electrical Engineering, Wiley, 2008.

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Nota biográfica:

J. A. Brandão Faria iniciou funções docentes no Instituto Superior Técnico em 1975. Doutorou-se em

Engenharia Electrotécnica e de Computadores (EEC) em 1986. É Professor Catedrático desde 1994.

Os seus interesses pedagógicos situam-se na área transversal dos fundamentos de EEC, em particular, nas

aplicações do eletromagnetismo. A sua atividade de investigação científica, centrada nesse tema, mas com

uma diversificação acentuada no domínio da teoria das linhas de transmissão, tem sido desenvolvida em

várias Unidades de I&D do IST. É membro do Instituto de Telecomunicações desde 2011. Anteriormente,

entre 1994 e 2000, foi Presidente do Centro de Eletrotecnia Teórica e Medidas Elétricas do IST.

É autor de quatro livros, dedicados a temas da Engenharia Electrotécnica, designadamente:

Multiconductor Transmission-Line Structures, Wiley, New York, USA, 1993.

Óptica – Fundamentos e Aplicações, Editorial Presença, Lisboa, Portugal, 1995.

Electromagnetic Foundations of Electrical Engineering, Wiley, Chichester, UK, 2008.

Análise de Circuitos, IST Press, Lisboa, Portugal, 2013.

No âmbito do seu trabalho de investigação publicou mais de uma centena de artigos científicos em

revistas internacionais da especialidade. Em reconhecimento dessa atividade, o Institute of Electrical and

Electronics Engineers14

elevou-o à categoria de Fellow em 2010/11.

14

O Institute of Electrical and Electronics Engineers, conhecido pela sigla IEEE, é uma instituição internacional

com sede em New York, USA, com delegações espalhadas por todo o mundo, dedicada ao avanço e disseminação

do conhecimento em todas as áreas da engenharia eletrotécnica e de computadores. O IEEE é o principal

responsável pela organização de conferências técnico-científicas e pela publicação de trabalhos de investigação,

originais e inovadores, na fronteira do conhecimento das diversas especialidades que integram a EEC. Os alunos

devem estar alertados para as publicações do IEEE, porque nelas encontrarão a maior e mais fiável fonte de

informação para as suas atividades, quer como estudantes, quer, mais tarde, como profissionais.