Praticandomatemtica 7 2 Por Folha

7/25/2019 Praticandomatemtica 7 2 Por Folha

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V o c ê j á d

e v e t e r p e r g u n t a d o a s i m e s m o , o u a s e u p r o f e s s o r :

“ P a

r a q u e e u d e v o e s t u d a r M a t e m á t i c a ? ”

H á t r ê s r e s p o s t a s p o s s í v e i s :

1 .

A M a t e m á t i c a p e r m i t e q u e v o c ê c o n h e ç a m e l h o r a r e a l i d a d e .

2 .

A M a t e m á t i c a p o d e a j u d a r v o c ê a o r g a n i z a r r a c i o c í n i o s .

3 .

A M a t e m á t i c a p o d e a j u d a r v o c ê a f a z e

r d e s c o b e r t a s .

E s t e l i v r o

e a s o r i e n t a ç õ e s d e s e u p r o f e s s o r c o n

s t i t u e m u m p o n t o d e p a r t i d a .

O c a m i n h o p a r a o c o n h e c i m e n t o é v o c ê q u e m

f a z .

O s a u t o r e s

P R E Z A

D O

A L U N O

P R E Z A

D O

A L U N O

4

P R A T I C A N D O

M

A T E M

Á T I C A

“ N ã o h á r a m o d a M a t e m á t i c a ,

p o r a b s t r a t o q u e s e j a , q u e n ã o

p o s s a u m d i a v i r a s e

r a p l i c a d o

a o s f e n ô m e n o s d o m

u n d o r e a l . ”

L o b a c h e v s k y

A g r a d e c e m o s a o p

r o f e s s o r

E d u a r d o W a g n e r p

e l o s c o m e n t á r i o s

e s u g e s t õ e s q u e c o n t r i b u í r a m

p a r a a m e l h o r i a d e s t e t r a b a l h o .





N Ú M

E R O S

N A T U R A I S

7

N o d i c i o n á

r i o e n c o n t r a m o s :

A n t e c e s s o

r : a q u e l e q u e v e m a n t e s .

N a s e q u ê n

c i a d o s n ú m e r o s n a t u r a i s :

7 é o a n t e c e s s o r d e 8 ;

4 2 é o a n t e c e s s o r d e 4 3 .

U N I D A D E 1

N ú m

e r o s n a t u r

a i s

1 .

A s e q u ê n c i a d o s n ú m e r o s n a t u r a i s

U N I D A D E

P o d e m o s s e l e c i o n a r n a s e q u ê n c i a d o s n ú m e r o s n a t u r a

i s

d o i s o u m a i s n ú m e r o s c o n s e c u t i v o s :

8 e 9 s ã o

c o n s e c u t i v o s ;

6 3 , 6 4 e

6 5 s ã o c o n s e c u t i v o s ;

1 3 9 , 1 4 0

, 1 4 1 e 1 4 2 s ã o c o n s e c u t i v o s .

D e s c u b r a , c o m s e u s c o l e g a s ,

q u a i s s ã o o s d o i s n ú m e r o s n a -

t u r a i s c o n s e c u t i v o s q u e s o m a -

d o s r e s u l t a m 9

5 . S ó v a l e c á l c u l o

m e n t a l ! 4 7 e 4 8

o s u c e s s o r d e 4 é 5 ;

o s u c e s s o r d e 2 5 é 2 6 ;

o s u c e s s o r d e 1 0 2 9 é 1 0 3 0 e a s s i m p o r d i a n t e .

M a r c e l o e s t á c o n t a n d o s e u s C D s .

P a r a c o n t a

r u s a m o s o s n ú m e r o s : 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 ,

9 ,

1 0 , 1 1 , . . .

V o c ê s a b e

q u e , c o m

o z e r o , e s s e s n ú m e r o s f o r m a m

a

s e q u ê n c i a d o s n ú m e r o s n a t u r a i s . E s s a s e q u ê n c i a é i n f i n i t

a ,

p o i s t o d o n ú m e r o n a t u r a l t e m u m s u c e s s o r :

0

, 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , . . .

P e n s e e r e s p o n d a :

Q u a l é o a n t e c e s s o r d e 1 0 0 ? 9 9

Q u a l é o

ú n i c o n ú m e r o n a t u r a l

q u e n ã o t e m a n t e c e s s o r ?

O z e r o .

I l u s t r a ç õ e s : H é l i o S e n a t o r e

8

A l é m d a c o n t a g e m , o

s n ú m e r o s n a t u r a i s t ê m o u t r a s a p l i c a ç õ e s . O b s e r v e c a d a f o t o g r a f i a

a b a i x o e r e s p o n d a o r a l m e n t e q u e f u n ç ã o t ê m o s n ú m e r o s n a t u r a i s n e l a a p r e s e n t a d o s .

N o m a r c o i n i c i a l d e u m a e s t r a d a , f o i c o l o c a d a u m a p l a c a e s c r i t o : k m

0 . A p a r t i r d e l a , d e 2 e m

2 q u i l ô m e t r o s , f o r a m c o l o c

a d a s m a i s p l a c a s i n d i c a n d o a d i s t â n c i a p e r c o

r r i d a , o u a p e r c o r r e r .

P a r o u í m p a r ?

A o c o n t a r o s q u i l ô m e t r o s d e 2 e m 2 , a p a r t i r d o z e r o , i n i c i a m o s

a s e q u ê n c i a d o s n ú m e r o s p

a r e s , q u e é i n f i n i t a : 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 1 0 , 1 2 ,

1 4 , 1 6 , 1 8 , 2 0 , 2 2 , . . .

U m

n ú m e r o n a t u r a l é p a r q u a n d o o a l g a r i s m o d a s u n i d a d e s é

i g u a l a 0 , 2 , 4 , 6 , o u 8 .

U m n ú m e r o n a t u r a l é í m p a r q u a n d o o a l g a r i s m o d a s u n i d a d e s é i g u a l a 1 , 3 , 5 , 7 o u 9 .

R e s p o n d a v o c ê :

q u a n d o u m n

ú m e r o

n a t u r a l é í m p a r ?

M i s t o Q u e n t e



M i s t o Q u e n t e G e t t y I m a g e s

I d e n t i f i c a ç ã o d o v e í c u l o .

I d e n t i f i c a ç ã o d e t a m a n h o .

I d e n t i f i c a ç ã o e o r d e m d a s p i s t a s .

I d e n t i f i c a ç ã o d a

l i n h a / c o n t a g e m d o t e m p o .

O r d e m .


L o c a l i z a ç ã o d o s a s s u n t o s .

C o n t a g e m d a s p á g i n a s .

H é l i o S e n a t o r e



















F R A Ç Õ E S

E

N Ú M

E R O S

D E C I M

A I S

2 5

F r a ç

õ e s e n ú m e r o s

d e c i m a i s

1 .

F r a ç ã o e d i v i s ã o

U N I D A D E 2

U N

I D A D E

P e n s e n a s e g u i n t e s i t u a ç ã o :

D u a s b a r r a

s d e c h o c o l a t e d e v e m s e r d i v i -

d i d a s i g u a l m e

n t e e n t r e 5 c r i a n ç a s .

P a r a r e s o l v

ê - l a , p o d e m o s d i v i d i r c a d a b a r r a e m 5 p a r t e s i g u a i s .

C a d a c r i a n ç a r e c e b e

2 5 d a b a r r a d e c h o c o l a t e .

O b s e r v e q u e d i v i d i m o s 2 p o r 5 e o b t i v e m o s

2 5 .

E n t ã o , 2 : 5

2 5 .

E s e t i v é s s e m o s 3 b a r r a s d e c h o c o l a t e p a r a d i v i d i r i g u a l m e n t e e n t r e 2 c r i a n ç a s ?

C a d a c r i a n ç a r e

c e b e r i a

3 2 d a b a r r a d e c h o c o l a t e .

O u s e j a , 3 : 2

3 2 1

1 2

f r a ç ã o

n ú m e r o m i s t o

N a s s i t u a ç õ e s a c i m a e n c o n t r a m o s u m n o v o s i g n i f i c a d o

p a r a a s f r a ç õ e s : o d e q u o c i e n t e e n t r e

n ú m e r o s . P o d

e m o s u s a r o t r a ç o d e f r a ç ã o p a r a i n d i c a r u m

a d i v i s ã o .

D e s a f i o !

Q u e m v a i a o q u a d r o m o s t r a r c o m f i g u r a s q u e 3 : 4

3 4 ?


2 6

J ú l i o p e d i u a o f u n

c i o n á r i o d a m e r c e a r i a

1 4

d e q u i l o ( k g ) d e m u ç a r e l a .

O v i s o r d a b a l a n ç a i n d i c o u 0 , 2 5 k g . P o r q u ê ?

P o r q u e

1 4 1 : 4

0 , 2 5 .

A g o r a , v a m o s e f e t u a r a

d i v i s ã o 2 : 5 .

2

5

2 0

0 , 4

0

E n t ã o , 2 : 5

0 , 4 . O b s e r v e q u e o

q u o c i e n t e é

u m n ú m e r o d e c i m a l .

P o d e m o s r e p r e s e n t a r 2 : 5 a s s i m :

2 5 ( f o r m a f r a c i o n á r i a

)

o u

0 , 4 ( f o r m a d e c i m a l ) .

C o m b a s e n e s s a s i d e i a s

p o d e m o s e s c r e v e r :

1 .

F r a ç õ e s n a f o r m a d e n ú m e r o d e c i m a l

V e j a e x e m p l o s :

1 8 1 : 8 0 ,

1 2 5

3 2 3 : 2 1 ,

5

1 5 3 2 1

5 : 3 2

?

V a m o s f a z e r e s s a ú l t i m a

d i v i s ã o c o m o a u x í l i o d e u m a c a l c u l a d o r a ?

D i g i t a m o s 1 5

3 2

0 , 4 6 8 7 5

L o g o ,

1 5 3 2 0 , 4 6 8 7 5 .

A g o r a o b s e r v e :

5 9 5 : 9 0 , 5 5 5 . . .

U s e a c a l c u l a d o r a p a r a e s

c r e v e r

1 6 1

1 2 5

n a f o r m a d e n ú m e r o d e c i m a l .

1 , 2 8 8

N e s t a d i v i s ã o n ã o é p o s s í v e l c h e g a r a o r e s t o z e r o .

A r e p r e s e n t a ç ã o d e c i m a

l d e

5 9 é u m a d í z i m a p e r i ó -

d i c a . S e u p e r í o d o é 5 .

C o n f i r a !

5

9

5 0

0 , 5

5 5 5

5 0

5 0

5 0

5

C o n f i r a ! 1

8

1 0

0 , 1 2

5

2 0

4 0

0

I l u s t r a ç õ e s : I l u s t r a C a r t o o n







F R A Ç Õ E S

E

N Ú M

E R O S

D E C I M

A I S

3 1

2 .

F r a ç õ e s e q u i v a l e n t e s

E u v o u c o m e r

2 4 d

a p i z z a .

Q u e f o m e !

E u v o u c o m e r

1 2 d

a p i z z a !

C o m e r

1 2

d a p i z z a o u

2 4 d a m e s m a p i z z a d á n o m e s m o , p o r q u e

1 2 e

2 4

s ã o f r a ç õ e s e

q u i v a l e n t e s , o u s e j a , r e p r e s e n t a m a m e s m a q u a n t i d a d e .

E x i s t e m i n f i n i t a s f r a ç õ e s e q u i v a l e n t e s a u m a f r a ç ã o d a d

a . P a r a o b t ê - l a s ,

b a s t a m u l t i p l i c a r o n u m e r a d o r e o d e n o m i n a d o r d a f r a ç ã o p e l o m e s m o

n ú m e r o n a t u r

a l d i f e r e n t e d e z e r o .

C o m a i d e i a d e f r a ç ã o e q u i v a l e n t e , p o d e m o s e c o n o m i z a r d i v i s õ e s n a h o r a

d e e s c r e v e r f r a ç õ e s n a f o r m a d e n ú m e r o d e c i m a l .

V a l é r i a V a z

1 5

2 1 0 0 , 2

2

2

7 2 5

2 8

1 0 0 0 , 2 8

4

4

1 3 7

2 0 0

6 8 5

1 0 0 0 0 , 6 8 5

5

5

H á f r a ç õ e s

q u e r e p r e s e n t a m n ú m e r o s n a t u r a i s . V e j a a l g

u m a s d e l a s :

8 2 8 : 2 4

1 2 4

1

2 : 4 3

1 8 2

1

8 : 2 9 P

a r a u m a f r a ç ã o d e d e n o m i n a d o r 7 , v o c ê

u s a r i a e s s a i d e i a ? P o r q u ê ?

N ã o , p o i s n ã o h á n ú m e r o n a t u r a l q u e m u l t i p l i c a d o p o r 7 r e s u l t e

e m 1 0 , 1 0 0 , 1 0 0 0 e t c .

O b s e r v e :

5

= 1 0 2

= 1 5 3

= 2 0 4

= …

E

s c r e v a :

3 0 5

2 8 4

L e m b r a n d

o . . .

P o d e m o s s i m p l i f i c a r u m a f r a ç ã o d i v i d i n d o n u m e r a d o r e d e n o m i n a d o r p o r u m d i v i s o r c o m u m a e l e s .

E x e m p l o :

N ã o é m a i s p o s s í v e

l s i m p l i f i c a r .

A f r a ç ã o e s t á n a f o r m a i r r e d u t í v e l .

3 0 4 8

5 8

: 6

: 6

3 0 4 8 1

5 2 4

: 2

: 3

: 2

: 3

o u

5 8


3 2

0 , 3

3 3 . . .

d e u m c h o c o l a t e ?

Q u e c o m p l i c a d o ! É m e l h o r

u s a r u m a f r a ç ã o !

E m a l g u m a s s i t u a ç õ e s a

s f r a ç õ e s f a c i l i t a m n o s s a v i d a .

1 . P a r a d i v i d i r i g u a l m e n t

e u m a b a r r a d e c h o c o l a t e e n t r e 3

c r i a n ç a s , b a s t a d i v i d i - l a

e m 3 p a r t e s i g u a i s e d a r

1 3 a c a d a

c r i a n ç a .

N o e n t a n t o , u s a n d o n

ú m e r o s d e c i m a i s , t e m o s :

1 : 3 0 , 3 3 3 … , q u e

é u m a d í z i m a p e r i ó d i c a .

1

3

1 0 1 0

1 0 , 3 3 3

1 0

2 . C o m R $ 7 , 0 0 , q u a n t o

s p a c o t e s d e f i g u r i n h a s d e R $ 0 , 2 5 c a d a u m

p o d e m o s c o m p r a r ?

P a r a d e s c o b r i r , b a s t a f a z e r

7 : 0 , 2

5 .

V e j a e s t a s u g e s t ã o d e

c á l c u l o : 0 , 2 5

1 4 .

7 : 0 , 2 5 7 :

1 4 7 4 2

8

D i v i d i r p o r 0 , 2 5 é o m e

s m o q u e d i v i d i r p o r

1 4 . E d i v i d i r p o r

1 4 é o m e s m o q u e m u l t i p l i c a r p o r 4 .

C o m p a r e e s s a s o l u ç ã o

c o m a q u e m o s t r a m o s a s e g u i r ! R e s p o s t a p e s s o a l .

D e s s e m o d o , c o m

7 r e a i s p o d e m o s c o m p r a r

2 8 p a c o t e s d e f i g u r i n h a s ,

p o i s 7 . 4 2

8 .

E u r e s o l v i a s s i m : s e

c a d a p a c o t e c u s t a

2 5 c e n t a v o s , e n t ã o

4 p a c o t e s c u s t a m

1 r e a l .

I l u s t r a ç õ e s : L á p i s M á g i c o




F R A Ç Õ E S

E

N Ú M

E R O S

D E C I M

A I S

3 3

E x e r c í c i o s

1 7 T r ê s c r i a n ç a s f o r a m à l o u s a e c a d a u m a e s -

c r e v e u u m a f r

a ç ã o .

a ) Q u a i s f r a ç õ e s r e p r e s e n t a m

a m e s m a q u a n -

t i d a d e ?

b ) C o m o s ã o

c h a m a d a s a s f r a ç õ e s q u e r e p r e -

s e n t a m

a m

e s m a q u a n t i d a d e ? F r a ç õ e s e q u i v a l e n t e s .

c ) C o m p r a r 1 2 q u i l o d e c a f é e m

1 p a c o t e d e

1 2 q u i l o o

u 2 p a c o t e s d e

1 4 d e q u i l o é a

m e s m a c o i s a ? S i m .

1 8

C o m p l e t e

n o c a d e r n o e e s c r e v a s u a s c o n -

c l u s õ e s .

a )

b )

c )

d )

1 9 J o ã o d i v i d i u u m

b o l o r e t a n g u l a r e m

8 p a r -

t e s i g u

a i s e c o m e u 4 . Q u a l t e r i a s i d o a f o r m a

m a i s r á p i d a d e f a z e r e s s a d i v i s ã o d e m o d o a

c o m e r a m e s m a q u a n t i d a d e ?

D i v i d i n d o o b o l o e m d u a s p a r t e s i g u a i s .

2 0 E n

c o n t r e u m a f r a ç ã o e q u i v a l e n t e a

1 5 4 5

c o m :

a ) n u m e r a d o r 5 ; 5 1 5

b ) d e n o m i n a d o r 3 0 .

1 0 3 0

2 1 C o n s i d e r e a s f r a ç õ e s :

a ) n ú m e r o s n a t u r a i s ; 6 2 e 1

8 6

b ) n ú m e r o s m e n o r e s q u e 1 ; 1 2 ,

2 7 e

4 8

c ) f r a ç õ e s e q u i v a l e n t e s . 1 2 =

4 8 ,

6 2 =

1 8 6

2 2 C o m p l e t e n o c a d e r n o :

2 3 Q u a l d e s t a s f r a ç õ e s n ã o é e q u i v a l e n t e a 3 8 ?

E s c r e v a - a n o c a d e r n o .

3 0 6 4

9 6

1 2

3 2

2 3

3

3

6 9

6 9

3

3

2 3

6 1 6

2

2

3 8

1 2

7 5

6 2

2 7

1 8 6

4 8

I n d i q u

e a s q u e r e p r e s e n t a m :

a ) 0 , 7

1 0 2 0 2

1 4 0 7 , 1 4 , 3 0 , 2 8

b ) 0 , 5

5 1

1 2 0 4 0 3

3 8 0 5

5 2

2 , 6 0 , 4 4 , 1 0 0

6 1 6

1 5 4 0

2 1 5 6

3 0 6 4

3 3 8 8

1 8 4 8

9 6 e

3 2

I l u s t r a C a r t o o n


I l u s t r a ç õ e s : D A E

5 6

2

2

1 0 1 2

3 4

3 .

F r a ç õ e s e

n ú m e r o s d e c i m a i s

n a r e t a n u m é r i c a

U s a n d o u m a r é g u a , r e a l i z e a a t i v i d a d e a s e g u i r e m s e u c a d e r n o .

1 . T r a ç a m o s u m a r e t a e

m a r c a m o s n e l a o p o n t o c o r r e s p o n d e n t e a z e r o .

2 . U s a n d o s e m p r e a m e s m a u n i d a d e d e m e d i d a ( 4 c m , p o r e x e m p l o ) ,

m a r c a m o s à d i r e i t a d o z e r o

o s p o n t o s c o r r e s p o n d

e n t e s a 1 , 2 , 3 , 4 e a s s i m p o r d i a n t e .

3 . D i v i d i m o s a u n i d a d e d e m e d i d a e m 4 p a r t e s i g u a i s , m a r c a m o s o s

p o n t o s c o r r e s p o n d e n t e s a

1 4 ,

1 2 ,

3 4 ,

5 4 , e e s c r e v e m o s t a m b é m a f o r m a d e c i m a l d e c a d a

f r a ç ã o .

5 4 = 1 1 4

1 . N a r e t a t r a ç a d a e m s e u c a d e r n o , l o c a l i z e o s p o n t o s c o r r e s p o n d e n t e s a

3 2 ,

7 4 , 2 1 4 , e 3 1 4 .

C o l o q u e a s f r a ç õ e s n a f

o r m a d e c i m a l , c o m o f i z e m o s a c i m a . C o n f i r a s u a s r e p r e s e n t a ç õ e s c o m a s d o s

c o l e g a s .

2 . A g o r a , t r a c e o u t r a r e

t a n u m é r i c a . E m s e g u i d a , d i v i d a a u n i d a d e d e m e d i d a e m 5 p a r t e s i g u a i s e

r e s p o n d e n t e a c a d a n ú m e r o l o c a l i z a d o .

T r o q u e s e u c a d e r n o c o m o

d e s e u c o l e g a . V o c ê c o n f e r e a s r e p r e s e n t a ç õ e s d e l e e e l e a s s u a s . P e n s e m ,

c o n v e r s e m e r e s p o n d a m : q

u a l s e r i a o p r o c e d i m e n t o p a r a r e p r e s e n t a r n a r e t a o

n ú m e r o 3 , 7 4 ?

O p r o c e d i m e n t o s e r i a d i v i d i r a u n

i d a d e d e m e d i d a e m 1 0 0 p a r t e s i g u a i s . C a d a p a r t e r e p r e s e n t a r i a 1 c e n t é

s i m o .

0

1 .

1 , 5 3 2

1 , 7 5

7 4

0

1

2

2 1 4

3

2 , 2 5

3 1 4

3 , 2 5

4

2 .

3 1 1 0

0 , 2

0 , 8

0

1

1 , 6 1 , 8

2

2 , 4 2 , 6

3 3 , 1

4

9 5

1 3 5

0

1

2

3

4

0

1

2

3

0 , 2

5

0 , 5

0 , 7

5

1 , 2

5 5 4

3 4

1 2

1 4

4



F R A Ç Õ E S

E

N Ú M

E R O S

D E C I M

A I S

3 5


7 2

2 4 V o c ê j á s a

b e r e p r e s e n t a r n ú m e r o s n a t u r a i s

e m

u m a r e t a .

C o p i e a s r e t a s n u m é r i c a s n o c a -

d e r n o e r e p r e

s e n t e o s n ú m e r o s d e c i m a i s i n d i -

c a d o s p e l a s s e t a s v e r m e l h a s .

a )

9

1 0

b )

1 3

1 4

1 5

c )

1 0

1 1

1 2

2 5 N o c a d e r n o , c o n s t r u a u m a r e t a c o m o e s t a

e r e p r e s e n t e n

e l a a s f r a ç õ e s :

2 6 O b s e r v e a

s j a r r a s d a t i a J a n u á r i a e o q u e h á

e m

c a d a u m a .

r e f r i g e r a n t e

c h á

á g u a

l e i t e

l a r a n j a d a

I n d i q u e a j a r r a q u e c o n t é m :

a ) m e n o s d e 0 , 5 L ; C h á .

b ) e n t r e 1 L e

2 L ; R e f r i g e r a n t e e á g u a .

c ) e n t r e 0 , 5 L

e 1 L ; L e i t e .

d ) u m a q u a n t i d a d e e q u i v a l e n t e a 1 0 4

L . L a r a n j a d a .

2 7 O b s e r v e o

s n ú m e r o s :

0 , 8 3

0 , 8 0 0

0 , 7 9 9

0 , 8

a ) Q u a l d e l e s

é o m a i o r ? 0 , 8 3

b ) Q u a l d e l e s

é o m e n o r ? 0 , 7 9 9

c ) Q u a i s d e s s

e s n ú m e r o s s ã o i g u a i s ? 0 , 8 e 0 , 8 0 0

2 8 V e j a o s i n g r e d i e n t e s d e d o i s b o l o s

e r e s p o n d a :

a ) A s

q u a n t i d a d e s d e f a r i n h a n o s d o i s b o l o s

s ã o

i g u a i s ? S i m .

b ) Q u

a l d o s b o l o s l e v a m e n o s a ç ú c a r ?

c ) Q u

a l d o s b o l o s l e v a m a i s m a n t e i g a ?

O b o l o E s p e t a c u l a r .

O b o

l o D e l í c i a .

2 9 D e s c u b r a o n o m e d e u m o b j e t o c o l o c a n d o

o s n ú m

e r o s i n d i c a d o s e m o r d e m

c r e s c e n t e .

1 1 3

1 5

0 , 5

2 , 9 9

3

E

N

A

A

C T C a n e t a .

3 0 U m

d o s c o r r e d o r e s v e n c e u a m a r a t o n a .

D e s c u

b r a q u e m f o i s a b e n d o q u e o n ú m e r o d e

s u a c a

m i s e t a e s t á c o m p r e e n d i d o e n t r e

1 3 5

e

1 3 4 .

◆

P a u

l o

◆

R u i

◆

A r i

◆

S í l v i o

◆

M a r c o s

◆

L é o

A r i .

0

1

2

C

A

B

D

9 , 8

1 4 , 5

1 1 , 7 5

A

B

C

D

1 4

3 2

5 4

3 8



3 6

4 .

E x p r e s s õ e s n u m é r i c a s

C l á u d i a e J a i r f o r a m à d o

c e r i a e c o m p r a r a m 1 p a c o t e d e b a l a s p o r R $ 4

, 0 0 e 3 c a i x a s d e b o m b o n s

p o r R $ 5 , 0 0 c a d a . D i v i d i r a m

a d e s p e s a i g u a l m e n t e . Q u a n t o g a s t o u c a d a u m ?

P a r a r e s o l v e r o p r o b l e m a f a r e m o s :

( 4 3 5 ) : 2

O u , u s a n d o o t r a ç o d e f

r a ç ã o p a r a i n d i c a r a d i v i s ã o :

4 3 5

2

L e m b r e - s e d o q u e v o c ê

j á c o n h e c e s o b r e e x p r e s s õ e s e r e s p o n d a :

N a e x p r e s s ã o n u m é r i c a

4 3 5

2

1 . Q u e o p e r a ç ã o d e v e s

e r r e a l i z a d a e m p r i m e i r o l u g a r ? Q u a l é o s e u r e s u l

t a d o ? M u l t i p l i c a ç ã o ; 3 5 1

5 .

2 . Q u e o p e r a ç ã o s e r á r e a l i z a d a e m s e g u i d a e q u a l é o s e u r e s u l t a d o ? A d i ç ã o ; 4 1

5 1

9 .

3 . Q u a l é a ú l t i m a o p e r

a ç ã o a s e r r e a l i z a d a ? Q u a l é o s e u r e s u l t a d o ? D i v i s ã o

; 1 9 : 2 9 , 5 .

4 . Q u a n t o g a s t o u c a d a

u m ? R $ 9 , 5 0

S ã o c o m u n s e x p r e s s õ e s

n u m é r i c a s c o m t r a ç o d e f r a ç ã o i n d i c a n d o d i v i s ã o .

Q u e r v e r m a i s u m e x e m

p l o ?

P o d e m o s e s c r e v e r a e x p r e s s ã o 2 3

–

1 6 : 3 5 u s a n d o o t r a ç o d e f r a ç ã o p a r a i n d i c a r a d i v i s ã o :

2 3 –

1 6

3 5

O r e s u

l t a d o d e 2 3

–

1 6 d e v e s e r d i v i d i d o p o r 3 5

.

U s a n d o a i d e i a d e f r a ç ã o e q u i v a l e n t e , t e m o s :

2 3 =

4 6 .

E n t ã o ,

2 3 –

1 6

3 5

=

4 6

–

1 6 3 5

=

3 6 3 5

=

3 6 1

5 3 1 =

5 6 , q u e é r e s u l t a d o d a e x p r e s s ã o .

É o m

e s m o q u e

3 6

3 5 , q u e é i g u a l a

3 6

5 3 .













































N Ú M

E R O S

N E G A T I V O S

7 9


9 4 C o m p l e t e n o c a d e r n o .

a ) S e 2 3

2

4 9

, e n t ã o 4 9

2 3

b ) S e 5 4

2

, e n t ã o

9 5 Q u a l é a m e d i d a d o l a d o d o q u a d r a d o

r o s a ?

8 4

P o r q u e a

r a i z q u a d r a d a d e 4 0 0 é 2 0 ?

8 5

Q u a l é a r a i z q u a d r a d a ?

P o r q u e 2 0 2 4

0 0 .

1 , 0

1 , 0

8 9

Q u a l é o

n ú m e r o p o s i t i v o q u e m u l t i p l i c a -

d o p o r s i p r ó p

r i o r e s u l t a 8 4 1 ? 2 9

9 0 V e j a o e x e m p l o e c a l c u l e :

a )

0 , 6 4 0 , 8

b )

0 , 0 9 0 , 3

c )

1 , 4 4 1 , 2

d )

2 , 2 5 1 , 5

9 1 Q u a l é m a i o r :

5 0 o u 7 , 1 ? 7 , 1 ; ( 7 , 1 ) 2 5

0 , 4 1

9 2 V o

c ê s a b e q u e

1 6 4 e

2 5 5 . Q u a n -

t o v o c

ê a c h a q u e é o v a l o r d e

1 8 ? E x p l i q u e

s e u r a c i o c í n i o . E s p e r a - s e q u e o a l u n o r e s p o n d a q u e 1 8 é m a i o r d o

q u e 4 ( p o i s 4 2 1

6 ) e m e n o r d o q u e 5 ( p o i s 5 2 2

5 ) ,

o u s e j a : 4 < 1 8 < 5 .

9 3 O

l a d o d e u m q u a d r a d o m e d e e n t r e 2 e 3 c m .

S e a á r e a é d e 5 , 2 9 c m 2 , q u a n t o m e d e o l a d o ?

2 , 3 c m

9 6 Q u a l é a r a i z q u a d r a d a ?

a )

2

5

3

6

5 6

d ) 3 6 6 4

3 4

b )

1

0 0

8

1

1 0 9

e ) 2 5 0

1 5

c )

1

4 7 3

7

f ) 2 1 4

3 2

Á r e a : 1 4

1 , 0

1 , 0

a )

0 0

b )

1 1

c )

8 1 9

d )

1 2 1 1 1

e )

1 6 9 1 3

f )

9 0 0 3 0

8 6

C o n s i d e r e

a s e q u ê n c i a d o s n ú m e r o s i n t e i -

r o s . E x i s t e :

2 5 ? P o r q u ê ?

8 7

C o m p l e t e

n o c a d e r n o .

a ) S e ( 0 , 9 ) 2

0 , 8 1 , e n t ã o

0 , 8 1

. 0 , 9

b ) S e ( 3 , 2 ) 2

, e n t ã o

.

8 8 Q u a l é a

m e d i d a d o l a d o d o q u a d r a d o

v e r d e ? 0 , 8

N ã o , p o i s n e n h u m n ú m e r o i n t e i r o e l e v a d o a o q u a d r a d o r e s u l t a 2 5 .

2 5 1 6 ;

2 5 1 6 ;

5 4

Á r e a : 0 , 6 4

Á r e a :

5 , 2 9 c m 2

1 2

1 , 6 9

1 6 9

1 0 0

1 3 1 0

1 , 3

1 0 , 2 4

1 0 , 2 4

3 , 2


8 0

1 . p a r ê n t e s e s

2 . c o l c h e t e s

3 . c h a v e s

E s s a s r e g r a s c o n t i n u a m

v a l e n d o p a r a e x p r e s s õ e s q u e e n v o l v e m n ú m e r o s n e g a t i v o s .


6 4

5 : ( 9 ) 3 · (

4 )

6

5 1 2

1

1 1

2

1

( 4 ) 2 :

( 2 )

8 1 · ( 5 6

)

1

6 : ( 2

) 9 · (

1 )

8 9

1 7

7 , 8 (

6 , 2 3 , 1 )

0 , 0 4

=

=

=

7

8

2

0

2

5

8

0

2

2 9

, ,

, ,

1 2 .

E x p r e s s õ

e s n u m é r i c a s

P a r a r e s o l v e r u m a e x p r e s s ã o n u m é r i c a , p r e c i s a m o s o b e d e c e r à o r d e m

e s t a b e l e c i d a p a r a a s o p e -

r a ç õ e s . V a m o s r e c o r d a r ?

S e a e x p r e s s ã o t e m p a r ê

n t e s e s , c o l c h e t e s , c h a v e s , f a z e m o s :

Q u e m v a i a o

q u a d r o r e s o l v e r a e x p r e s s ã o a b a i x o ? O s c o l e g a s p o d

e m a

j u d a r !

(

)

,

(

, )

−

⋅ −

2

0 8 1

0 4

3

2

4 5 S

e n ã o

h o u v e s s e u m a o r d e m

e s t a b e l e c i d a , c a d a u m r e s o l v e r i a

a e x p r e s s ã o n a o r d e m q u e q u i s e s s e ,

o b t e n d o r e s u l t a d o s d i f e r e n t e s !

S e r i a u m a c o n f u s ã o …

1 . p o t e n c i a ç õ e s e r a í z e s q u a d r a d a s

2 . m u l t i p l i c a ç õ e s e d i v i s õ e s

3 . a d i ç õ e s e s u b t r a ç õ e s

3 5

1 2

1 3

1 1 0 0

1 1 0

3 5

3 6

2 6

1 1 0

1 1 0

:

:

3 5

1 6

1 1 0

1 1 0

1 1 0

1

1 1 0

1 0

1 0

9 1 0

:

= = = = = =

=

=

=

=

=

[ 2 4 : ( 7 1

5 ) 1

3 ] · ( 1 5

)

[

2 4 : ( 8 ) 1

3 ] · ( 4 )

[ 3 1

3 ] · ( 4 )

( 1 6 ) · ( 4 ) 6

4

2

1










P R O P O R C I O N A L I D A D E

8 7

P r o p o r c i o n a l i d a d e

1 .

O q

u e é g r a n d e z a ?

G r a n d e z a é t u d o o q u e p o d e s e r m e d i d o o u c o n t a d o : c

o m p r i m e n t o , á r e a , t e m p e r a t u r a , m a s s a ,

t e m p o , v e l o c i d a d e , q u a n t i a s e m d i n h e i r o …

U N I D A D E 4

U N

I D A D E

S a n d r a F a n z e r e s M i s t o Q u e n t e

L é o B u r g o s


M a u r i c i o M o r a i s

V e l o c í m e t r o .

T r e n a ,

f i t a m é t r i c a e m e t r o a r t i c u l a d o .

T e r m ô m e t r o .

H i d r ô m e t r o .

B a l a n ç a .

M u i t a s g r a

n d e z a s r e l a c i o n a m - s e d e f o r m a e s p e c i a l . O b s

e r v a n d o a v a r i a ç ã o d e u m a d e l a s , p o d e -

m o s p r e v e r a v a r i a ç ã o d a o u t r a .

A M a t e m á

t i c a e s t u d a a r e l a ç ã o e n t r e g r a n d e z a s , p r o d u z i n d o u m c o n h e c i m e n t o q u e p o d e m o s

u s a r p a r a r e s o

l v e r p r o b l e m a s d e n o s s o d i a a d i a .

F i c o u i n t e r e s s a d o ? E n t ã o v a m o s e m f r e n t e !

8 8

P r a i a d o F r a n c ê s , A L .

N a g i b Z a h r


A s i n s t r u ç õ e s d

o r ó t u l o d a g a r r a f a d i z e m :

“ M i s t u r e 1 p a r t

e d e s u c o c o n c e n t r a d o c o m

5 p a r t e s d e á g u

a . A d o c e a g o s t o ” .

A s i n s t r u ç õ e s d o r ó t u l o

c o m p a r a m a q u a n t i d a d e d e s u c o c o n c e n t r a d o c o m a q u a n t i d a d e d e

á g u a n e c e s s á r i a p a r a o p r e

p a r o : 1 p a r a 5 . D i z e m o s q u e 1 p a r a 5 é a r a z ã o e n t r e a q u a n t i d a d e d e

s u c o e a q u a n t i d a d e d e á g u a .

A r a z ã o p o d e s e r r e p r e s e n t a d a p o r u m q u o c i e n t e . O b s e r v e :

1 p a r a 5

1 : 5 o u

1 5

V e j a a t a b e l a :

P a r a f a z e r q u a l q u e r q u

a n t i d a d e d e r e f r e s c o , b a s t a a u m e n t a r o u d

i m i n u i r a s q u a n t i d a d e s d e

s u c o c o n c e n t r a d o e d e á g u

a d e f o r m a p r o p o r c i o n a l . O q u e i s s o s i g n i f i c a ?

A s q u a n t i d a d e s d e s u c

o c o n c e n t r a d o e d e á g u a m u d a m , m a s a r a z ã o e n t r e e l a s d e v e m

s e r

s e m p r e 1 : 5 ( 1 p a r a 5 ) .

s u c o c o n c e n t r a d o

á g u a

1 5

2 1 0

3 1 5

4 2 0 . . .

F á c i l ! P a r a u m c o p o d e

s u c o c o n c e n t r a d o , c o l o c o c i n c o c o p o s d e

á g u a . P a r a d o i s c o p o s d e s u c o c o n c e n t r a d o ,

c o l o c o d e z c o p o s d e

á g u a , e a s s i m

p o r d i a n t e .

C o p o s d e s u c o

c o n c e n t r a d o

C o p o s d e

á g u a

1

5

2

1 0

3

1 5

4

2 0

R a z ã o

P e n s e n u m l i n d o d i a d e

v e r ã o . . .

L á p i s M á g i c o








9 3

O p r

é d i o p r i n c i p a l t e m 2 4 m d e

a l t u r a . N a

m a q u e t e , s u a a l t u r a

é d e

2 0 c m . Q

u a l f o i a e s c a l a u s a d a ?

A e s c a l a é

1 p a r a 1 2 0 .

D e s c o b

r i n d o a e s c a l a

N o s s o d i r e

t o r m a n d o u f a z e r u m a m a q u e t e d a e s c o l a e a p r o v e i t o u p a r a v e r i f i c a r s e s a b í a m o s

l i d a r c o m e s c a l a s . A c o m p a n h e :

V e j a c o m o

D a n i e l a f e z o c á l c u l o d a e s c a l a :

Q u e m v a i a o q u a d r o r e s o l v e r a s q

u e s t õ e s a b a i x o ?

1 . E s s a e

s c o l a t e m u m p

á t i o r e t a n g u l a r q u e t e m 3

6 m d e c o m p r i m e n t o e 1 8 m d e l a r g u r a . Q u a i s s ã o

a s d i m

e n s õ e s d o p á t i o n e s s a m a q u e t e ? 3 0 c m p o r 1 5 c m

2 . R e s p o

n d a , u s a n d o c á l c u l o m e n t a l , q u a i s s e r i a m a s d i m e

n s õ e s d o p á t i o s e a e s c a l a u t i l i z a d a n a

m a q u e t e f o s s e 1 2 0 0 . 1 8 c m p o r 9 c m

I l u s t r a ç õ e s : L á p i s M á g i c o

9 4 M

a p a s

M a p a s s ã o r e p r e s e n t a ç õ

e s d a s u p e r f í c i e d a T e r r a p o r m e i o d e d e s e n h o s . H á m a p a s d e

p a í s e s , r e g i õ e s , c i d a d e s , b a i r r o s e t c . C o m o a T e r r a é r e d o n d a e o m a p a é p l a n o , a r e p r e s e n t a ç ã o

n ã o é p e r f e i t a , m a s s e a p r o

x i m a m u i t o d a s i t u a ç ã o r e a l .

O s m a p a s u t i l i z a m l i n h a s , c o r e s , s í m b o l o s e , p a r a q u e s e t e n h a u m a r e

p r o d u ç ã o f i e l e m t a m a n h o

r e d u z i d o , u m a e s c a l a .

V e m o s a b a i x o u m m a p a

d o e s t a d o d o R i o G r a n d e d o S u l .

O b s e r v e q u e a e s c a l a e s

t á r e p r e s e n t a d a d e m o d o d i f e r e n t e d o q u e v

i m o s n a p l a n t a b a i x a .

U s a n d o a r é g u a , p e r c e b

e m o s q u e 1 c m c o r r e s p o n d e a 7 0 k m .

C o n s e q u e n t e m e n t e , 2 c m

c o r r e s p o n d e m a 1 4 0 k m , 3 c m a 2 1 0 k m ,

e a s s i m p o r d i a n t e .

O b s e r v e q u e h á u m a e s

t r a d a p r a t i c a m e n t e r e t i l í n e a p e r t o d a s

c i d a d e s d e B a g é e A c e g u á . M e d i n d o c o m r é g u a , o c o m p r i m e n t o

d e s s a e s t r a d a n o m a p a é d

e a p r o x i m a d a m e n t e 0 , 9 c m .

1 c m

7 0 k m

0 , 9 c m

0 , 9 · 7 0 = 6 3 k m

E s t a é a d i s t â n c i a r o d o v i á r i a a p r o x i m a d a

r e p r e s e n t a d a n o m a p a .

0

1

2

3

4

0

7 0 k m

V o c ê s a b i a q u e o t r a b a

l h o c o m e s c a l a s é i m p o r -

t a n t í s s i m o p a r a a s p r o f i s s õ e s d e a r q u i t e t o , e n g e -

n h e i r o , p r o j e t i s t a , a g r i m e n s o r , g e ó g r a f o . . . ?

F o n t e : G o v e r n o

F e d e r a l . M i n i s t é r i o d o s T r a n s p o r t e s . D i s p o n í v e l e m : < w w w 2 . t r a n s

p o r t e s . g o v . b r /

b i t / m a p a s / m a p

c l i c k / b r s / r o d s u l . h t m > . A

c e s s o e m : m a i o 2 0 1 1 .

© D A E / S o n i a V a z

B R

- 4 6 8

B R -

2 8 5

B R

- 2 8 5

B R - 1 1 6

B R - 1

1 6

B R - 3 8

6

B R - 1 0 1

B R - 1 0 1

B R - 1 1 6

O C E A N O

A T L

Â N T I C O

L a g o a d o s

P a t o s

B R

- 2 9 3

B R -

2 9 0

B R - 2

9 0

B R - 1 5 3

B R - 3 9 2

B R - 4 7 1

B R - 2 9 0

B R - 4 7 2

B R - 1 5 3

B R - 1 5 8

B R - 1 5 3

B R

- 2 8 7

B R

- 2 8 7

P a s s o F u n d o

V a c a r i a

C a r a z i n h o

C r u z A l t a

E r e c h i m

F r e d e r i c o

W e s t p h a l e n

S ã o B o r j a

S A N T A C A T

A R I N A

U R U G U A I

A R G E N T I N

A

S a n t a M a r i a

R o s á r i o d o S u l

S a n t a n a d o L i v r a m e n t o B

a g é

U r u g u a i a n a

I t a q u i

A l e g r e t e

C h u í

C a ç a p a v a d o S u l

S a n t a C r u z

d o S u l

C a x

i a s d o S u l

R i o G r a n d e

P e l o t a s

J a g u a r ã o

A c e g u á

Q u a r a í

P o r

t o A l e g r e

R

o d o v i a s f e d e r a i s

p

a v i m e n t a d a s

0

1 4 0 k m

1 c m –

7 0 k m

7 0 N S

O

L

R i o G r a n d

e d o S u l - R o d o v i a s f e d e r a i s

L a g o a

M i r i m

L a g o a

M a n g u e i r a

D A E






9 7

R u i e C a r l o s a d o r a m s u r f e . A l é m d e p r a t i c a r

e s s e e s

p o r t e , e l e s f a b r i c a m p r a n c h a s p a r a v e n -

d e r . P a r a a b r i r s u a p e q u e n a e m p r e s a e c o m p r a r

o m a t e r i a l n e c e s s á r i o , R u i e n t r o u c o m u m c a p i t a l

d e R $ 2

. 4 0 0 , 0 0 e C a r l o s c o m R $ 1 . 6 0 0 , 0 0 . P o r -

t a n t o , a e m p r e s a c o m e ç o u c o m u m c a p i t a l d e

R $ 4 . 0 0 0 , 0 0 ( 2 4 0 0 1

6 0 0 4

0 0 0 ) .

O s a m i g o s c o m b i n a r a m q u e o s l u c r o s c o m a

v e n d a d

a s p r a n c h a s s e r i a m d i v i d i d o s p r o p o r c i o n a l -

m e n t e

a o c a p i t a l i n v e s t i d o . N e s t e m ê s , o l u c r o f o i d e

R $ 8 0 0 , 0 0 . Q u a n t o r e c e b e r á c a d a u m d o s s ó c i o s ?

V a m o s c o m p a

r a r o c a p i t a l d a e m p r e s a e o i n v e s t i m e n t o d e

c a d a u m p o r m e i o d e r a z õ e s :

3 .

R a z õ e s e a

d i v i s ã o d e l u c r o s

R u i r e c e b e r á R

$ 4 8 0 , 0 0 e C a r l o s R $ 3 2 0 , 0 0 .

D i v i s ã o j u s t a ,

g r a ç a s à s r a z õ e s e p r o p o r ç õ e s !

O b s e r v e a s r a z õ e s e n t r e o s c a p i t a i s i n v e s t i d o s e o s l u c r o s o

b t i d o s p e l o s s ó c i o s :

2 4 0 0

1 6 0 0 3 2

e 4 8 0 3 2 0

3 2 ( S ã o i g u a i s ! )

c a p i t a l d a e m p r e s a

i n v e s t i m e n t o

d e R u i

4 0 0 0

2 4 0 0

4 0 2 4

5 3

c a p i t a l d a e

m p r e s a

i n v e s t i m e n t o

d e C a r l o s

4 0 0 0

1 6 0 0

4 0 1 6

5 2

I s

s o s i g n i f i c a q u e , p a r a c a d a

R $ 5 , 0 0 d a e m p r e s a , R $ 3 , 0 0 s ã o

d e R u i e R $ 2 , 0 0 s ã o d e C a r l o s .

A e m p r e s a l u c r o u R $ 8 0 0 , 0 0 , q u e d e v e m s e r d i v i d i d o s d e a c o r d o c o m e s t a s r a z õ e s :

R u i

5 3

8 0 0 x

C a r l o s

8 0 0

4 8 0 3

2 0

5 x 3 8 0 0

5 x 2

4 0 0

x

2 4 0 0 5

x 4

8 0


9 8 4

. C o n t r o l a n d o o c o n s

u m o d e c o m b u s t í v e l

N u m a v i a g e m

d e 1 8 0 k m , o a u t o m ó v e l d o s e n h o r S i q u e i r a c o n s u m i u 2 0 L d e g a s o l i n a . N a s

p r ó x i m a s f é r i a s , e l e f a r á u m

a v i a g e m d e 3 7 8 k m c o m s u a f a m í l i a . Q u a n

t o s l i t r o s d e g a s o l i n a o a u -

t o m ó v e l d e v e r á c o n s u m i r ?

H á p r o p o r c i o n a l i d a d e n e s s a s i t u a ç ã o , p o i s , p a r a o d o b r o d a d i s t â n c i a , o c o n s u m o d e v e d o b r a r ,

p a r a o t r i p l o d a d i s t â n c i a o

c o n s u m o d e v e t r i p l i c a r , e a s s i m p o r d i a n t e .

V e j a e s s e s n ú m e r o s n u m

a t a b e l a :

A l e x a n d r e P e r e g r i n o / F o l h a I m a g e m

x

7 5 6 0

1 8 0

x

4

2

L o g o , s e r ã o c o n s u m i d o s 4 2 L d e g a s o l i n a n a v i a g e m .

D i s t â n c i a

( k m )

C o n s u m o d e

g a s o l i n a ( L )

1 8 0

2 0

3 7 8

x

1 8 0 3 7 8

2 0 x

1 8 0 x 3

7 8 2 0

1 8 0 x 7

5 6 0

R e p a r e q u e a r a z ã o e n t r e a d i s t â n c i a p e r c o r r i d a e o c o n s u m o d e c o m b u s t í v e l é c o n s t a n t e :

1 8 0 k m

2 0 L

9 k m 1 L

o u

9 k m / L

3 7 8 k m

4 2 L

9 k

m

1

L o u 9 k m / L

E s s a r a z ã o ( 9 k m / L ) é

o c o n s u m o d e s s e a u t o m ó v e l . E l e p e r c o r r e 9 k m c o m 1 L d e g a s o l i n a .

Q u a n t o m a i o r e s s a r a

z ã o , m a i s e c o n ô m i c o é o c a r r o . E m t e m p o s d e c o m b u s t í v e i s c a r o s , é

i m p o r t a n t e c o n t r o l a r

o c o n s u m o !

M e u c a r r o f a z 1 0 , 3

k m / L

d e g a s o l i n a . C o m

s e u t a n q u e d e 6 0 L c h e i o , s e r

á q u e p o s s o

p e r c o r r e r 5 0 0 k m s e m p r

e c i s a r a b a s t e c e r ?

E s c l a r e ç a a d ú v i d a d o r a p a z . U s e a r r e d o n d a m e n t o e c á l c u l o m

e n t a l .

S i m , e l e p o d e p e

r c o r r e r a p r o x i m a d a m e n t e 6 0 0 k m s e m p r e c i s a r a b a s t e c e r .







1 0 1

2 x =

4 7

4 x 1

4

x =

1 4 4

= 3 , 5 . P o r t a n t o , s ã o n e c e s s á r i o s

3 1 2 x í c a r a s d e a

ç ú c a r p a r a 7 o v o s .

1 x =

4 7

4 x 7

x =

7 4 =

1 , 7 5 .

C o m o 0 , 7 5 =

3 4 , d e v e m o s u s a r

1 3 4 d e x í c a r a d e s u c o d e l a r a n j a p a r a 7 o v o s .

O b s e r v e q u e

a p r o p o r ç ã o e n t r e o f e r m e n t o e o s

o v o s é a m e s m a

q u e e n t r e o s u c o e o s o v o s .

E n t ã o , d e v e - s e u s a r

1 3 4 d e c o l h e r d

e s o p a d e f e r m e n t o .

V e j a n a t a b

e l a a b a i x o c o m o f i c a a r e c e i t a c o m p l e t a , a d a p t a d a d e 4 p a r a 7 o v o s .

A ç ú c a r

O v o

( x í c a r a )

( u n i d a d e )

2

4

x

7

S u c o d e l a r a n j a

O v o

( x í c a r a )

( u n i d a d e )

1

4

x

7

F e r m e n t o

O v o

( c o l h e r d e s o p a )

( u n i d a d e )

1

4

x

7

F a r i n h a d e t r i g o

A ç ú c a r

O v o

S u c o d e l a r a n j a

F e r m e n t o

( x í c a r a )

( x í c a r a )

( u n i d a d e )

( x í c a r a )

( c o l h e r d e s o p a )

R e c e i t a o r i g i n a l

p a r a 4 o v o s

3

2

4

1

1

R e c e i t a p a r

a

7 o v o s

5 , 2 5 o u 5 1 4

3 , 5 o u 3 1 2

7

1 , 7 5 o u 1 3 4

1 , 7 5 o u 1 3 4

F o t o s : P . S . S t u d i o

1 0 2

U s a n d o r e g r a s d e t r ê s

J ú n i o r r e s o l v e u u m p r o b l e m a q u e e n v o l v e g r a n d e z a s d i r e t a m e n t e p r o p o r c i o n a i s . A c o m p a n h e :

U m a i m p r e s s o r a i m p r i m

e 4 8 p á g i n a s e m 3 m i n u t o s . Q u a n t a s p á g i n a s

i m p r i m i r á e m 5 m i n u t o s ?

A r e s o l u ç ã o d e P a u l i n h o

e s t á c o r r e t a . E l e e n c o n t r o u o v a l o r p a r a u m

a u n i d a d e b á s i c a ( n o c a s o ,

1 m i n u t o ) e a p a r t i r d a í f i c o u m a i s f á c i l d e s c o b r i r o u t r o s v a l o r e s .

A p r e s e n t a r e m o s a s e g u i r

o u t r a f o r m a d e r e s o l v e r o p r o b l e m a u s a n d o a p

r o p r i e d a d e d a s p r o p o r ç õ e s .

V e j a : H

á p r o p o r c i o n a l i d a d e d i r e t a e n t r e a s g r a n d e z a s . E n t ã o :

4 8 x

3 5

M u l t i p l i c a m o s o s t e r m o s d a p r o p o r ç ã o e m c r u z :

3 x 4

8 5

x

2 4 0 3

8

0

E s s e p r o c e d i m e n t o é c h a m a d o d e r e g r a d e t r ê s e é b a s t a n t e ú t i l n a

r e s o l u ç ã o d e p r o b l e m a s .

P o r q u e e s s e n o m e ? O b s e r v e a t a b e l a c o m a s g r a n d e z a s : c o n h e c e m

o s t r ê s d e l a s e q u e r e m o s

d e t e r m i n a r a q u a r t a . J á u s a m o s e s s e p r o c e d i m e n t o n a s p á g i n a s a n t e r i o r e s p a r a a d a p t a r a r e c e i t a

d o b o l o d e 4 p a r a 7 o v o s , p o r e x e m p l o . A g o r a v o c ê s a b e q u e e l e r e c e b e u m n o m e e s p e c i a l .

P e r c e b a q u e o s d o i s p r o

c e s s o s d e r e s o l u ç ã o e n v o l v e r a m a s m e s m a s o p e r a ç õ e s :

R e s o l u ç ã o d e J ú n i o r :

R e s o l u ç ã o p o

r r e g r a d e t r ê s :

D i v i d i m o s 4 8 p o r 3 e m u

l t i p l i c a m o s

M u l t i p l i c a m o s 4 8 p o r 5 e d i v i d i m o s o

o r e s u l t a d o p o r 5 .

r e s u l t a d o p o r 3

.

D i v i s ã o p o r 3 e m u l t i p l i c a ç ã o p o r 5 .

E x a m i n a n d o o s d a d o s d

e c a d a p r o b l e m a , v o c ê d e c i d i r á q u a l p r o c e d i m e n t o u s a r .

N ú m e r o s d e

p á g i n a s

M i n u t o s

4 8

3

x

5

D r a g a n r / D r e a m s t i m e . c o m

D e s c u b r o q u a n t a s p á g i n a s a

i m p r e s s o r a i m p r i m e e m 1 m i n u t

o

f a z e n d o 4 8 : 3 = 1 6 .

E m 5 m i n u t o s e l a i m p r i m i r á

5 · 1 6 = 8 0 p á g i n a s .

S e d o b r a r m o s o n ú m e r o d e

p á

g i n a s i m p r e s s a s , d o b r a r e m o s

o t e m p o p a r a i m p r i m i - l a s .

3 x 2

4 0

D e s c o b r i m o s

o v a l o r d e x u s a n d o a o p e r a ç ã o i n v e r s a :







1 0 5

2 . F l á v i o t i n h a 1 2 p e r i q u i t o s . U m p a c o t e g r a n d e d e r a ç ã o e r a s u f i c i e n t e p a r a a l i m e n t á - l o s p o r

3 0 d i a s . O n t e m e l e g a n h o u m a i s 3 p e r i q u i t o s , e a g o r a t e m 1 5 p e r i q u i t o s . O m e s m o p a c o t e d e r a ç ã o

v a i a l i m e n t á - l o s p o r q u a n t o s d i a s ?

O n ú m e r o

d e p e r i q u i t o s e o t e m p o e m d i a s q u e d u r a o

p a c o t e d e r a ç ã o s ã o g r a n d e z a s i n v e r s a -

m e n t e p r o p o r

c i o n a i s , p o i s :

d o b r a n d o o n ú m e r o d e p e r i q u i t o s , o p a c o t e d e r a ç ã o

d e v e d u r a r a m e t a d e d o t e m p o ;

t r i p l i c a n d

o o n ú m e r o d e p e r i q u i t o s , o p a c o t e d e r a ç ã

o d e v e d u r a r a t e r ç a p a r t e d o t e m p o , e

a s s i m p o

r d i a n t e .

A s r a z õ e s s ã o i n v e r s a s . P o r t a n t o , p a r a e s c r e v e r a p r o p o r ç ã o e u s a r a r e g r a d e t r ê s , d e v e m o s

i n v e r t e r u m a d e l a s :

N ú m e r o d e

p e r i q u i t o s

T e m p o e m

d i a s

1 2

3 0

1 5

x

A g o r a , c o m

1 5 p e r i q u i t o s , o p a c o t e g r a n d e d e r a ç ã o s ó

s e r á s u f i c i e n t e p a r a 2 4 d i a s .

F a ç a d u p l a c o m u m c o l e g a . R e s p o n d a m à s q u e s t õ e s n o c a d e r n o .

A t a b e l a

a b a i x o m o s t r a c o m o s e r e l a c i o n a m d u a s g r a n d e z a s X e Y .

1 . X e Y s ã o g r a n d e z a s d i r e t a o u i n v e r s a m e n t e p r o p o r c i o n a i s ? J u s t i f i -

q u e s u a r e s p o s t a .

2 . Q u a l d e v e r á s e r o v a l o r d e

Y q u a n d o X = 5 ?

3 . Q u a l d e v e r á s e r o v a l o r d e

X q u a n d o Y = 0 , 2 5 ?

I n v e r s a m e

n t e p r o p o r c i o n a i s , p o i s , q u a n d o X d o b r a , Y c a i p e l a

m e t a d e . Q

u a n d o X q u a d r u p l i c a , Y c a i p e l a q u a r t a p a r t e .

0 , 4

8

X

Y

0 , 5

4

1

2

2

1

1 2 1 5

x 3 0

1 5 x 1

2 3 0

1 5 x 3

6 0

x

3 6 0 1 5

x 2

4


1 0 6

F i q u e e s p e r t o !

E x i s t e m m u i t a s s i t u a ç õ e

s e m q u e n ã o h á p r o p o r c i o n a l i d a d e !

1 . A t a b e l a a b a i x o m o s t

r a a v a r i a ç ã o d a i d a d e e d a a l t u r a d e J o ã o .

I d a d e

( a n o s )

A l t u r a

( m )

1 0

1 , 3 0

1 5

1 , 6 5

2 0

1 , 8 0

2 5

1 , 8 0

3 0

1 , 8 0

E s s a s g r a n d e z a s n ã o s ã o d i r e t a n e m i n v e r -

s a m e n t e p r o p o r c i o n a i s , p o i s n ã o v a r i a m n a

m e s m a r a z ã o , n e m n a r a z ã o i n v e r s a .

2 . N o s p r i m e i r o s 5 m i n u t o s d e u m j o g o d e b a s q u e t e ,

R e n a t o f e z 8 p o n t o s .

Q u a n t o s p o n t o s e l e f a r á

e m 1 0 m i n u t o s d e j o g o ?

T a m b é m a q u i n ã o h á p r

o p o r c i o n a l i d a d e .

N ã o é p o s s í v e l p r e v e r q u a n t o s p o n t o s e l e f a r á !

O b s e r v e a i m a g e m a o l a d o e u s e

o c á l c u l o m e

n t a l p a r a d e s c o b r i r s e h á

p r o p o r c i o n a l

i d a d e e n t r e o n ú m e r o d e

r e f r i g e r a n t e s

e o p r e ç o p a g o p o r e l e s .

N ã o h á p r o p o r c i o n a l i d a d e .

F e r n a n d o F a v o r e t t o

D i s c u t a c o m o s c o l e g a s o u t r o s e x e m p l o s

e s i t u a ç õ e s e m q u e a s g r a n d

e z a s e n v o l v i d a s :

a ) s ã o d i r e t a m e n t e p r o p o r c i o n a i s ;

b ) s ã o i n v e r s a m e n t e p r o p o r c i o n a i s ;

c ) n ã o s ã o p r o p o r c i o n a i s .


R e s p o s t a s p e s s o a i s .


















R A Z Õ E S

E

P O R C E N T A G E N S

1 2 1


1 5 R e s p o n d a

.

a ) S e 1 0 % d e

u m

n ú m e r o é 7 , q u a l s e r á o n ú -

m e r o ? 7 0

b ) S e 4 %

d e

u m

n ú m e r o é 2 3 , q u a n t o s e r á

4 0 % d e s s e

n ú m e r o ? 2 3 0

1 6

S a b e n d o q u e 1 0 6 a l u n o s d e u m a e s c o l a

c o r r e s p o n d e m

a 2 0 % d o t o t a l , q u a n t o s a l u n o s

t e m

e s s a e s c o

l a ? 5 3 0 a l u n o s

1 0 0 = 5 3 0

1 7 S e g u n d o o D e p a r t a m e n t o N a c i o n a l d e I n -

f r a e s t r u t u r a d e T r a n s p o r t e , d e t o d o s o s a c i d e n -

t e s r o d o v i á r i o s q u e o c o r r e m p o r a n o n o B r a s i l ,

2 7 % e n v o l v e

m

c a m i n h õ e s . S e , a n u a l m e n -

t e , s ã o r e g i s t r

a d o s 4 8 6 0 0 a c i d e n t e s r o d o v i á -

r i o s e n v o l v e n d o c a m i n h õ e s , q u a n t o s a c i d e n t e s

o c o r r e m

a n u a

l m e n t e n a s e s t r a d a s n a c i o n a i s ?

6 0 0 : 2 7 1

8 0 0 ;

8 0 0 · 1 0 0 1

8 0 0 0 0

1 8

E m

m a i o ,

C a r l o s p a g o u 2 5 % d e u m a d í -

v i d a ; e m

j u n h

o , p a g o u 4 0 % d a m e s m a d í v i d a

e a i n d a f i c o u

d e v e n d o R $ 2 8 0 , 0 0 . Q u a l e r a o

v a l o r t o t a l d a

d í v i d a d e C a r l o s ? R $ 8 0 0 , 0 0

8

1 0 0 8

0 0

1 9 U m a b i c i c l e t a s o f r e u u m a u m e n t o d e 1 5 % ,

p a s s a n

d o a s s i m a c u s t a r R $ 4 6 0 , 0 0 . Q u a l e r a o

p r e ç o

d e s s a b i c i c l e t a a n t e s d o a u m e n t o ? R $ 4 0 0 , 0 0

2 1 V e

j a o c o m p a r e c i m e n t o a u m

c i n e m a d u -

r a n t e u m

f i m

d e s e m a n a e c o m p l e t e a t a b e l a

e m s e u c a d e r n o .

1 2 6

5 0 %

2 2 5

Q u a l é a

l o t a ç ã o d o

c i n e m a ?

3 0 0 p e s s o a s

N ú m e r o d e

c o m p a r e c i m e n t o s

L o t a ç ã o

5 a - f e i r a

4 2 %

6 a - f e i r a

1 5 0

S á b a d o

7 5 %

D o m

i n g o

2 7 0

9 0 %

2 0 U m a q u a d r a d e e s p o r t e s r e t a n g u l a r d e 2 0 m

d e c o m p r i m e n t o p o r 1 5 m

d e l a r g u r a o c u p a r á

7 5 % d

a á r e a d o t e r r e n o o n d e s e r á c o n s t r u í d a .

Q u a l é , e m

m 2 , a á r e a d e s s e t e r r e n o ? 4 0 0 m 2

3

0 0 ;

4 ;

4

0 0


R e i n h o l d F o e g e r / D r e a m s t i m e . c o m


4

4

0 0


1 2 2

4 .

C á l c u l o d i r e t o d e d e s c o n t o s

e a c r é s c i m

o s

D e s c o n t o s

V o c ê j á s a b e c a l c u l a r o d e s c o n t o e d e s c o b r i r o p r e ç o à v i s t a d e s t a T V

:

1 0 0 %

4 2 0

1 %

4 2 0 : 1 0 0 4 , 2 0

1 5 %

1 5 . 4 , 2 0 6

3

( v a l o r d o d e s c o n t o : R $ 6 3 , 0 0 )

V o c ê t a m b é m p o d e r i a f a z e r :

1 5 % d e R $ 4 2 0 , 0 0 0

, 1 5 . 4 2 0 6

3 ( v a l o r d o d e s c o n t o : R $ 6 3 , 0 0

)

E n t ã o , s e o p a g a m e n t o

f o r à v i s t a o p r e ç o s e r á d e :

M a s h á u m a f o r m a d e c

a l c u l a r d i r e t a m e n t e o p r e ç o d a T V j á c o m o d e s c o n t o .

O p r e ç o d a T V c o r r e s p o

n d e a 1 0 0 % . Q u e m c o m p r a r à v i s t a t e r á 1

5 % d e d e s c o n t o , o u s e j a ,

p a g a r á 1 0 0 % 1

5 % 8

5 % d o p r e ç o d a T V .

E n c o n t r a m o s R $ 3 5 7 , 0 0

, q u e é o p r e ç o à v i s t a d a T V !

O u t r o e x e m p l o :

R $ 4 2 0 , 0 0 R

$ 6 3 , 0 0 R

$ 3 5 7 , 0 0

8 5 % d e R $ 4 2 0 , 0 0 0 , 8 5 . 4 2 0 3

5 7

P a r a o b t e r o p r e ç o

d e u m a m e r c a d o r i a c o m

d e s c o n t o d e 8 % , b a s t a m u l t i p l i c a r

o p r e ç o o r i g i n a l p o r 0 , 9

2 , q u e

c o r r e s p o n d e a 9 2 % .

1 0 0 % 8

% 9

2 %





R A Z Õ E S

E

P O R C E N T A G E N S

1 2 3

A c r é s c i

m o s

A l e x a n d r e

p a g a R $ 1 . 2 0 0 , 0 0 p e l o a l u g u e l d e s u a c a s a

. L e n d o o c o n t r a t o , e l e v e r i f i c o u q u e a

p a r t i r d o p r ó x

i m o m ê s o a l u g u e l s e r á r e a j u s t a d o e m 1 3 % .

A l e x a n d r e

p o d e c a l c u l a r d i r e t a m e n t e o v a l o r d o n o v o a

l u g u e l .

A c o m p a n h

e :

1 0 0 % c o r r e s p o n d e m a o v a l o r a t u a l d o a l u g u e l .

S o m a n d o a p o r c e n t a g e m d e a u m e n t o t e m o s : 1 0 0 % 1

3 % 1

1 3 %

O v a l o r d o

n o v o a l u g u e l c o r r e s p o n d e r á a 1 1 3 % d o v a l o r a t u a l d o a l u g u e l .

1 1 3 % d e R $ 1 . 2 0 0 , 0 0 1 , 1 3 . 1 2 0 0 1

3 5 6

A s s i m , o n o v o a l u g u e l s e r á d e R $ 1 . 3 5 6 , 0 0 .

P a r a c a l c u l a r o n o v o

p r e ç o d e u m a m e r c a d o r i a

q u e t e v e 8 % d e a u m e n t o , b a s t a

m u l t i p l i c a r o p r e ç o o r i g i n a l p o r

1 , 0 8 . V e

j a n o q u a d r o .

L e

m b r e - s e :

1 1

3 %

1 1 3 1 0 0 1 , 1 3

I n v e n t e u m

p r o b l e m a q u e e n v o l v a o c á l c u l o d e d e s c o n t o s o u

a c r é s c i m o s . N ã o é d i f í c i l , p o i s s i t u a ç õ e s

a s s i m s

ã o c o m u n s n o d i a a d i a . T r o q u e d e p o i s o c a d e r n o c o m u

m c o l e g a . C a d a u m r e s o l v e r á o p r o b l e m a

c r i a d o p e l o

o u t r o .

V i n i c i u s R a m a l h o T u p i n a m b a / i S t o c k p h o t o . c o m


1 2 4

E x

e r c í c i o s

E m q u a l d a s l o j a s

s e c o m p r a m a i s b a r a t o ?

P o r q u ê ? N a l o j a A . N a l o

j a B , o p r e ç o f i n a l é d e R $ 3 6 , 4 5 .

D i s c u t a o s p r ó x i m o s e x e r c í c i o s

c o m

s e u s c o l e g a s .

2 2 C a l c u l e m e n t a l m e n t e e

a n o t e o r e s u l t a d o

n o c a d e r n o .

a ) 5 0 % d e R $ 6 2 0 , 0 0 R $ 3 1 0

, 0 0

b ) 2 5 % d e R $ 4 8 0 , 0 0 R $ 1 2 0

, 0 0

c ) 1 0 % d e R $ 2 . 3 0 0 , 0 0 R $ 2 3 0 , 0 0

d ) 3 0 % d e R $ 8 0 0 , 0 0 R $ 2 4 0

, 0 0

2 3 C o p i e e c o m p l e t e o q u a d

r o e m s e u c a d e r n o :

1 0 0 %

1 0 %

1 %

0 , 1

%

0 , 0

1 %

6 0 0 0

2 5 0 0 0

6 0 0 0

6 0 0

6 0

6

0 , 6

2 5 0 0 0

2 5 0 0

2 5

0

2 5

2 , 5

2 5 U m

c o m p u t a d o r c u s t a

R $ 2 . 5 0 0 , 0 0 . S e o

p r e ç o a u m e n t a r 1 0 % a o a n o , q u a n t o c u s t a -

r á n o f i m

d e 2 a n o s ? S e r á

q u e c u s t a r á 2 0 % a

m a i s ? R $ 3 . 0 2 5 , 0 0 . N ã o . C u s t a r á m a i s d

o q u e 2 0 % .

2 6 U m a v e n d e d o r a d e u m a l o j a g a n h a u m s a -

l á r i o f i x o m e n s a l d e R $ 7 5

0 , 0 0 , a c r e s c i d o d e

3 % d o v a l o r d a s v e n d a s e

f e t u a d a s d u r a n t e o

m ê s . Q u a l é o s e u s a l á r i o

q u a n d o v e n d e n o

m ê s R $ 1 6 . 0 0 0 , 0 0 ? R $ 1 . 2 3 0 , 0 0

2 4 U m

l i q u i d i f i c a d o r q u e

c u s t a R $ 6 9 , 0 0 v a i

s o f r e r u m a c r é s c i m o d e 1 2 %

n e s s e v a l o r . Q u a l

s e r á o n o v o p r e ç o ? R $ 7 7 , 2 8

2 7 C o m p r e i u m a g

e l a -

d e i r a p o r R $ 1 . 2 0 0

, 0 0 ,

a s e r e m p a g o s d o m

o d o

i n d i c a d o :

a ) Q u a l é o v a l o r d a

e n -

t r a d a ? R $ 1 8 0 , 0 0

b ) Q u a l é o v a l o r d e c a d a

p r e s t a ç ã o ? R $ 1 7 0 , 0 0

2 8 A l o j a A v e n d e u m

r á d i o d e R $ 4 5 , 0 0 c o m

u m d e s c o n t o d e 2 0 % . A l o j a B v e n d e u m r á d i o

d e i g u a l p r e ç o , m a

s c o m

d o i s d e s c o n t o s , u m

d e 1 0 % s e g u i d o d e

o u t r o , t a m b é m

d e 1 0 % .

2 9 S e o p r e ç o d e

u m a r t i g o b a i x a r 1 0 % e

d e p o i s a u m e n t a r 1 0 % , v o l t a o u n ã o a o p r e ç o

i n i c i a l ? J u s t i f i q u e c o m

u m e x e m p l o .

3 0 S e r e d u z i r m o s

o p r e ç o d e u m

a r t i g o e m

2 0 % e

d e p o i s o a u

m e n t a r m o s e m

2 5 % , v o l -

t a o u n ã o a o p r e ç o

i n i c i a l ? J u s t i f i q u e c o m

u m

e x e m p l o . V o l t a a o p r e ç o

i n i c i a l .

N ã o v o l t a a o p r e ç o i n i c i a l .









C O N

S T R U I N D O

E

I N T E R P R E T A N D O

G R Á F I C O S

1 2 9

U N I D A D E 6

U N

I D A D E

P a r a a n a l i s

a r o d e s e m p e n h o d a t u r m a , a p r o f e s s o r a c a l c

u l o u a p o r c e n t a g e m d e a l u n o s d a c l a s s e

c o m c a d a c o n

c e i t o .

C o n

s t r u i n d o e

i n t e

r p r e t a n d o g r á f i c o s

1 .

P o r c e n t a g e n s e g r á f i c o

s

A p r o f e s s o

r a I n ê s a t r i b u i e s t e s c o n c e i t o s a s e u s a l u n o s :

A : ó t

i m o

B : b o

m

C : r e g u l a r

D : i n s a t i s f a t ó r i o

V e j a n a t a b e l a a b a i x o o n ú m e r o d e a l u n o s q u e o b t e v e c a d a c o n c e i t o n o 7 o a n o A .

C o n c e i t

o

F r e q u ê n c i a

A

8

B

1 8

C

1 0

D

4

T o t a l : 4 0 a l u n o s

N ú m e r

o d e a l u n o s q u e o b t e v e c a d a

c o n c e i t o .

C o n c e i

t o A : 8 e m 4 0 a l u n o s

8 4 0

2 1 0

2 0 1 0 0 2

0 %

C o n c e i

t o B : 1 8 e m 4 0 a l u n o s

1 8

4 0

9 2 0

4 5 1 0 0 4

5 %

C o n c e i t o C : 1 0 e m 4 0 a l u n o s

1 0 4 0

1 4

2 5 1 0 0 2

5 %

C o n c e i t o D : 4 e m 4 0 a l u n o s

4 4 0

1 1 0

1 0 1 0 0 1

0 %


1 3 0

A s p o r c e n t a g e n s o b t i d a s f o r a m o r g a n i z a d a s e m u m q u a d r o .

S o m e n t e 1 0 % d o s a l u n o s t i v e r a m

a p r o v e i t a m e n

t o i n s a t i s f a t ó r i o . V o u

a c o m p a n h á - l o s m a i s a t e n t a m e n t e .

6 5 % d a c l a s s e o b t e v e c o n c e i t o

A o u B , o

q u e

é a n i m a d o r !

C o n s t r u í d a a t a b e l a d e p o r c e n t a g e n s , a p r o -

f e s s o r a f e z u m g r á f i c o d e

b a r r a s p a r a v i s u a l i z a r o s

r e s u l t a d o s .

C o n c e i t o

F r

e q u ê n c i a

A

2 0 %

B

4 5 %

C

2 5 %

D

1 0 %

T o t a l : 1 0 0 %

A m a i o r p a r t e d o s a l u n o s

o b t e v e c o n c e i t o B .

N o 7 o a n o B , q u e t e m

3 2 a l u n o s , 4 d e l e s o b t i -

v e r a m c o n c e i t o A :

4 e m 3 2

4 3 2

1 8 1 : 8 0 , 1 2 5 1

2 , 5 %

S ã o c o m u n s a s p o r c e n t a g e n s n ã o i n t e i r a s !

C o n c e i t o s d o 7 o a

n o A

5 0

4 5

4 0

3 5

3 0

2 5

2 0

1 5

1 0 5 0

A

C o n c e i t o

P o r c e n t a g e m ( % )

B

C

D

P r o c u r e e m j o r n a i s e r e

v i s t a s u m g r á f i c o d e b a r r a s q u e e n v o l v a p o r c e n t a g

e n s .

C o l e - o e m s e u c a d e r n o

e r e s p o n d a .

1 . Q u a l é o a s s u n t o t r a t a d o n o g r á f i c o ?

2 . Q u e i n f o r m a ç õ e s e l e

t r a z ?

2 . M o s t r e s e u t r a b a l h o

a o s c o l e g a s .

R e s p o s t a s d e a c o r d o c o m o g r á f i c o e n c o n t r a d o p e l o

a l u n o .
























S Ó L I D O S

G E O M

É T R I C O S

1 5 1

S ó l i d o s g e o m é

t r i c o s

V e j a n a s i l u s t r a ç õ e s e x e m p l o s d e s ó l i d o s g e o m é t r i c o s .

U N I D A D E 7

U N

I D A D E

S ó l i d o s g e o

m é t r i c o s s ã o f i g u r a s t r i d i m e n s i o n a i s . A e s f e r a , o

c u b o , a p i r â m i d e s ã o e x e m p l o s d e s ó l i d o s

g e o m é t r i c o s .

S ó l i d o s g e o m é t r i c o s t ê m v o l u m e . V a l é r i a V a z

P . S . S t u d i o

M u i t o s o b j e t o s e c o n s -

t r u ç õ e s h u m a n a s t ê m a f o r m a

d e s ó l i d o s g e o

m é t r i c o s .

P o r i s s o , é

i m p o r t a n t e e s -

t u d a r a s c a r a

c t e r í s t i c a s e a s

p r o p r i e d a d e s d e s s a s f i g u r a s .

V i c e n t e C o s t a

1 .

P o l i e d r o s

O s s ó l i d o s g e o m é t r i c o s i l u s t r a d o s

a o l a d o s ã o p o

l i e d r o s .

A s u p e r f í c i e d o s p o l i e d r o s é f o r -

m a d a p o r p o l í g o n o s . E s s e s p o l í g o -

n o s s ã o a s f a c

e s d o p o l i e d r o .

I l u s t r a ç õ e s D A E

1 5 2

O s p o l i e d r o s r e c e b e m n o m e s d e a c o r d o c o m o n ú m e r o d e f a c e s q u e a p r e s e n t a m . V e j a o s e x e m p l o s :

4 f a c e s

t e t r a e d r o

6 f a c e s

h

e x a e d r o

8 f a c e s

o

c t a e d r o

1 2 f a c e s

d

o d e c a e d r o

2 0 f a c e s

i c

o s a e d r o

A p a l a v r a

p o l i e d r o s e o r i g i n a

d a l í n g u a g r e g a .

P o l i e m g r e g

o s i g n i f i c a “ m u i t o s ” .

E d r o e m g r e g o s i g n i f i c a “ f a c e ” .

t e t r a e d r o

d o d e c a e d r o

i c o s a e d r o

A l é m d a s f a c e s , i d e n t i f i c a m o s n o s p o l i e d r o s v é r t i c e s e a r e s t a s .

O p o l i e d r o a b a i x o t e m 1

2 a r e s t a s e 6 v é r t i c e s .

T e m 8 f a c e s t r i a n g u l a r e s : é u m o c t a e d r o .

E s t e s ó l i d o é u m c

i l i n d r o .

O c i l i n d r o é u m p o l i e d r o ?

P o r q u ê ?

N ã o . A s u p e r f í c i e d o s p o l i e d r o s é t o d a

f o r m a d a p o r p o l í g o n o s e a s u p e r f í c i e

l a t e r a l d o c i l i n d r o é c u r v a .

N o e x e r c í c i o 4 v

o c ê v a i n o m e a r p o l i e d r o s !

A r e s t a s s ã o

s e g m e n t o s d e r e t a , e

v é r t i c e s s ã o p o n t o s !

v é r t i c e s

a r e s t a s

O b s e r v e a f

i g u r a e r e s p o n d a .

1 . Q u a l é o n o m e d e s t e p o l i e d r o ? H e x a e d r o .

2 . Q u a n t o s

v é r t i c e s e q u a n t a s a r e s t a s e l e

a p r e s e n t a ? 8 v é r t i c e s , 1 2 a r e s t a s

3 . Q u a l é a f o r m a d e s u a s f a c e s ?

P a r a l e l o g r a m o s .

A i n t e r s e c ç ã o d e :





S Ó L I D O S

G E O M

É T R I C O S

1 5 3


1

V e j a a s f i g

u r a s :

A C

B D F

E G

H

I n d i q u e o s s ó l i d o s :

a ) c o m

s u p e r f í c i e ( s ) f o r m a d a s ( s ) a p e n a s p o r f i -

g u r a s p l a n a s ; B , D , E , F e G

b ) q u e t ê m s u

p e r f í c i e s ( s ) c u r v a s ( s ) ; A , C e H

c ) q u e t ê m f a

c e s q u e s ã o t r i â n g u l o s ; D , E e G

d ) q u e t ê m f a

c e s q u e s ã o r e t â n g u l o s . B e E

2

C o p i e e c o m p l e t e e m

s e u c a d e r n o .

O s s ó l i d o s g e o m é t r i c o s q u e s ã o f o r m a d o s

a p e n a s p o r s u p e r f í c i e s p l a n a s s e c h a m a m

e

e s s a s s u p e r f í c i e s p l a n a s s e c h a m a m

.

p o l i e d r o s ; f a c e s

3

V e

j a o s s ó l i d o s g e o m é t r i c o s r e p r e s e n t a d o s :

F

E

D G

H

I L

K

J I n d i q u

e :

a ) a q u e l e s q u e s ã o p o l i e d r o s ; A , B , C , H , J , K e L

b ) a q u e l e s q u e n ã o s ã o p o l i e d r o s . D , E , F , G e I

4

E m

s e u c a d e r n o , f a ç a a c o r r e s p o n d ê n c i a

d o n ú m e r o c o m

a l e t r a : A - 8 ; B - 6 ; C - 5 ; D - 7

A

D

C

B

8 7 6 5

p e n t a e d r o

h e x a e d r o

h e p t a e d r o

o c t a e d r o

A

B

C


1 5 4

2 .

P r i s m a s e

p i r â m i d e s

P r i s m a s

H á p o l i e d r o s q u e a p r e s e

n t a m p r o p r i e d a d e s e s p e c i a i s , p o r i s s o r e c e b e m n o m e s e s p e c i a i s .

O s p r i s m a s s ã o p o l i e d r o s q u e a p r e s e n t a m a s s e g u i n t e s c a r a c t e r í s t i c a s :

t ê m d u a s f a c e s o p o s t a s p a r a l e l a s c h a m a d a s b a s e s d o p r i s m a . A s b a

s e s s ã o p o l í g o n o s i d ê n t i c o s

q u e p o d e m s e r t r i â n g u l o s , q u a d r i l á t e r o s , p e n t á g o n o s e t c . ;

a s d e m a i s f a c e s s ã o p a r a l e l o g r a m o s . ( N o s e x e m p l o s a b a i x o , s ã o r e t â n g u l o s . L e m b r e - s e : r e t â n -

g u l o s s ã o p a r a l e l o g r a m o s q u e a p r e s e n t a m 4 â n g u l o s r e t o s . )

E s t e é u m p r i s m a d e b a s e s t r i a n g

u l a r e s . S u a s

f a c e s l a t e r a i s s ã o r e t â n g u l o s .

E s t e é u m p r i s m a d e b

a s e s h e x a g o n a i s . C o m o s ã o p o l i e d r o s ,

a l é m d a s f a c e s o s p r i s

m a s a p r e s e n t a m a r e s t a s e v é r t i c e s .

F a ç a e s t a s a t i v i d a d e s c

o m o s c o l e g a s .

1 . E s c r e v a m u m a l i s t a d e o b j e t o s e m f o r m a d e p r i s m a .

V o c ê s v ã o p e r c e b e r q u e o s b l o c o s r e t a n g u l a r e s e o s c u b o s s ã o o s p r i s m a s c u j a s f o r m a s a p a r e c e m

c o m m a i o r f r e q u ê n c i a n o s

o b j e t o s e n a s c o n s t r u ç õ e s p r e s e n t e s e m n o s s o c o t

i d i a n o .

N o s b l o c o s r e t a n g u l a r e

s e n o s c u b o s , q u a i s q u e r d u a s f a c e s o p o s t a s p o d e m

s e r c o n s i d e r a d a s b a s e s .

2 . O b s e r v e m e r e s p o n d

a m : e s t e p o l i e d r o é u m p r i s m a ? P o r q u ê ?

B l o c o s r e t a n g u l a r e s t ê m

6 f a c e s r e t a n g u l a r e s .

O s c u b o s s ã o b l o c o s r e t a n g u l a r e s

c o m 6 f a c e s q u a d r a d a s .

N ã o . S u a s f a c e s s ã o t o d a s p e n t a g

o n a i s .

a r e s t a s l a t e r a i s

b a s e s

a r e s t a s d a b a s e

v é r t i c e s

R e s p o s t a s p e s s o a i s .










S Ó L I D O S

G E O M

É T R I C O S

1 6 1

4 .

C i l i n d r o s , c o n e s e e s f e r

a s

M u i t o s s ó l i d o s , c o m o c i l i n d r o s , c o n e s e e s f e r a s , n ã o s ã o p o l i e d r o s .

S u a s f o r m a s a p a r e c e m c o m f r e q u ê n c i a n o m u n d o r e a l .

V e j a a l g u n s e x e m p l o s :

A b a s e d o

c o n e c i r c u l a r é u m c í r c u l o e s u a s u p e r f í c i e

l a t e r a l é c u r v a . A s s i m c o m o a p i r â m i d e ,

o c o n e a p r e s e

n t a u m v é r t i c e .

V a m o s , e n t ã o , e s t u d a r s u a s c a r a c t e r í s t i c a s .

A s b a s e s d e u m

c i l i n d r o c i r c u l a r s ã o d o i s

c í r c u l o s p a r a l e l o s i d ê n t i c o s . S u a s u p e r f í c i e l a t e r a l

é c u r v a . O c i l i n d r o c o m b i n a f o r m a s p l a n a s e n ã o

p l a n a s .

P a u l o P e p e

v é r t i c e

b a s e

s u p e r f í c i e l a t e r a l

b a s e s

s u

p e r f í c i e l a t e r a l

V i c e n t e C o s t a

c i l í n d r i c o s . V o c ê

s a b e e x p l i c a r p o r q u ê ?

R e s p o s t a p e s s o a l . P o d e - s e o b s e r v a r q u e o c a b o d e v a s s o u r a c i l í n d r i c o s e a d a p t a m e l h o r

à s m ã o s . O s c a n o s c i l í n d

r i c o s e s c o a m á g u a c o m m a i s f a c i l i d a d e .

P . S . S t u d i o


1 6 2

N a n a t u r e z a e n c o n t r a m o s f o r m a s m u i t o

p r ó x i m a s d a e s f e r a .

U m a b o l a m a c i ç a é u m a

e s f e r a .

A s u p e r f í c i e d a e s f e r a é f o r m a d a p o r t o d o s

o s p o n t o s d o e s p a ç o q u e e s t ã o a u m a m e s m a

d i s t â n c i a r d e u m p o n t o O

d a d o .

O é o c e n t r o d a e s f e r a

r é a m e d i d a d o r a i o d

a e s f e r a

S i m o n K r z i c / S h u t t e r s t o c k


E n c o n t r a m o s a o n o s s o r e d o r f o r m a s q u e l e m b r a m c o n e s e t r o n c o s d

e c o n e .

E l e n a I t s e n k o / S h u t t e r s t o c k

S e s e c c i o n a r m o s u m c o n

e p a r a l e l a m e n t e à b a s e , c o m o v e m o s n a f i g u r a a b a i x o , o b t e m o s u m n o v o

c o n e e u m t r o n c o d e c o n e .

c e n t r o

r a i o

r

r

O c o r t e

t r o n c o

d e c o n e n

o v o

c o n e


D A E



S Ó L I D O S

G E O M

É T R I C O S

1 6 3

P l a n i f i c

a n d o a s u p e r f í c i e d e u m c

i l i n

d r o e d e u m c

o n e

S a b e m o s

q u e a s b a s e s d e u m

c i l i n d r o c i r c u

l a r s ã o d o i s c í r c u l o s

p a r a l e l o s e i d

ê n t i c o s .

C o m o s e r á q u e f i c a a p l a n i f i c a -

ç ã o d a s u p e r f í c i e l a t e r a l d o c i l i n d r o ?

F a ç a e s t e e

x p e r i m e n t o e m g r u p o .

C o n s i g a u

m r o l o d e e s p u m a c i -

l í n d r i c o p r ó p r i o p a r a p i n t a r p a r e d e ,

t i n t a g u a c h e e p a p e l .

F o t o s : P . S . S t u d i o

N a f o l h a f i c a r á p i n t a d a a p l a n i f i c a ç ã o d a s u p e r f í c i e l a t e

r a l d o c i l i n d r o .

A p l a n i f i c a

ç ã o d a s u p e r f í c i e l a t e r a l d o c i l i n d r o é u m r e t â n g u l o .

E n c o n t r e u

m o b j e t o e m f o r m a d e c o n e q u e v o c ê p o s s a p

i n t a r c o m g u a c h e , c o m o u m a c a s q u i n h a

d e s o r v e t e , o u

u m c o n e d e l ã v a z i o . U s e o m e s m o p r o c e d i m

e n t o a c i m a p a r a o b t e r a p l a n i f i c a ç ã o d a

s u p e r f í c i e l a t e

r a l d o c o n e . N ã o s e e s q u e ç a d e d a r a p e n a s u m a v o l t a c o m p l e t a !

A n t e s d e o g u a c h e s e c a r , c o l o q u e o c i l i n d r o d e i t a d o s o b r e

u m a f o

l h a d e p a p e l , e , c o m c u i d a d o ,

f a ç a c o m q u e e l e

d ê u m a

v o l t a c o m p l e t a .

P i n t e a s u p e r f í c i e

l a t e r a l d o c i l i n d r o d e e s p u m a c o m g u a c h e .

P l a n i fi c a ç ã o d

a s u p e r f í c i e l a t e r a l d o c o n e .

A f i g u r a o b t i d a é u m a r e g i ã o d o c í r c u l o c h a m a d a

s e t o r c i r c u l a r . F a l a m o s s o b r e e l a q u a n d o c o n s t r u í m o s

g r á f i c o s d e s e t o

r e s , n a U n i d a d e 6 d e s t e l i v r o .

D A E

1 6 4

E x

e r c í c i o s


1 2 Q u a l f r u t a n o s f a z l e m b

r a r u m a e s f e r a ? L a r a n j a .

O l i v e r S u c k l i n g / D r e a m s t i m e . c o m

H e m e r a / T h i n k s t o c k V a l é r i a V a z

1 3 O b s e r v e a f i g u r a e r e s p o n d a n o c a d e r n o .

a ) Q u e s ó l i d o g e o m é t r i c o

l e m b r a a p a r t e e m

v e r d e d o l á p i s ( s e m

a p o

n t a ) ? C i l i n d r o .

b ) E a p o n t a d o l á p i s ( o n d e

a p a r e c e m a m a d e i -

r a e o g r a f i t e ) ? C o n e .

1 4

V e r d a d e i r o o u f a l s o ?

a ) A e s f e r a , o c i l i n d r o e o c

o n e t ê m s u p e r f í c i e s

c u r v a s . V

b ) A s u p e r f í c i e d a e s f e r a é

t o t a l m e n t e c u r v a e

a d o c i l i n d r o e d o c o n e

c o m b i n a m

s u p e r f í -

c i e s p l a n a s e n ã o p l a n a s

. V

c ) D o s t r ê s s ó l i d o s r e p r e s e n t a d o s s ó o c o n e

t e m

u m

v é r t i c e . V

1 5 Q u e s ó l i d o g e o -

m é t r i c o

v o c ê o b t é m

a o

g i r a r a p o r t a d

o

b a n c o ? C i l i n d r o .

1 6

D i g a o n o m e d o s s ó l i d o s g e o m é t r i c o s q u e

c o r r e s p o n d e m à s p l a n i f i c a ç õ e s s e g u i n t e s :

C o n e .

C i l i n d r o .

1 7 V e j a q u e c a d a u m

d o s s ó l i d o s f o i s e r r a d o

e m d u a s p a r t e s :

a ) Q u a i s s ó l i d o s t ê

m

a m e s m a f o r m a a n t e s e

d e p o i s d e s e r r a d

o s ? B , D e E

b ) O q u e s e o b t ê m

d o s ó l i d o A

d e p o i s d e

s e r r a d o ? U m t r o n c o

d e c o n e e u m c o n e .

c ) O q u e s e o b t ê m d o s ó l i d o C

d e p o i s d e

s e r r a d o ? U m t r o n c o

d e p i r â m i d e e u m a p i r â m i d e .

A

D

B E E

C

B

A


D A E


D A E

D A E





S Ó L I D O S

G E O M

É T R I C O S

1 6 7

V a l e a p e n a

l e r

O n d e e

n c o n t r a m o s o s p o l i e d r o s d e P l a t ã o ?

O s c i n c o p o l i e d r o s r e g u l a r e s – c u b o , t e t r a e d r o , o c t a e d r o

, d o d e c a e d r o e i c o s a e d r o – s ã o t a m b é m

c o n h e c i d o s c o

m o p o l i e d r o s d e P l a t ã o , m a t e m á t i c o e f i l ó s o f o g r e g o q u e v i v e u n o p e r í o d o d e 4 2 7 a . C

a 3 4 7 a . C . E s s e s p o l i e d r o s e n c a n t a m p o r s u a b e l e z a . E n c o

n t r a m o s s u a s f o r m a s n a n a t u r e z a e n a s

c o n s t r u ç õ e s h

u m a n a s .

V o c ê s a b i a q u e o s c r i s t a i s d e c l o r e t o d e s ó d i o ( s a l d e c o z i n h a )

t ê m a f o r m a d e c u b o s e d

e t e t r a e d r o s ?

N a f o t o à e s q u e r d a , v e

m o s u m c r i s t a l d e f l u o r i t a c o m a f o r m a

d e o c t a e d r o .

A f l u o r i t a é u m m i n e r a

l u s a d o n a s i d e r u r g i a .

A e s t r u t u r a d a m o l é c u

l a d o g á s m e t a n o é t e t r a é d r i c a , c o m o

v e m o s n a r e p r e s e n t a ç ã o a o l a d o . A b a i x o , t e m o s u m d a d o n a f o r m a

d e d o d e c a e d r o e u m b e l o

i c o s a e d r o d e q u a r t z o .

E m r e l a ç ã o

à f o r m a d o c u b o , n e m é p r e c i s o d i z e r o q u a

n t o e l a é f r e q u e n t e …

A g o r a q u e

v o c ê c o n h e c e o s c i n c o p o l i e d r o s d e P l a t ã o e s

u a s c a r a c t e r í s t i c a s , q u e t a l o b s e r v a r c o m

m a i s a t e n ç ã o

a p r e s e n ç a e a s a p l i c a ç õ e s d e s s a s f o r m a s n o

m u n d o q u e n o s c e r c a ?

D a v i d S c h a r f / S P L / L a t i n S t o c k

S o n i a k / D r e a m s t i m e . c o m

C u b o m á g i c o

.

P u f f .

C u b o v e r m e l h o ,

N o v a Y o r k ,

E U A .

C i n t i a S a n c h e z


S Ó L I D O S

G E O M

É T R I C O S

1 6 7


C h r i s t o p h e r B r a d s h a w / D r e a m s t i m e . c o m


1 6 8

E x

e r c í c i o s

A u

t o a v a l i a ç ã o

A n o t e , e m s

e u c a d e r n o , o n ú m e r o d o e x e r c í c i o

e a l e t r a c o

r r e s p o n d e n t e à r e s p o s t a c o r r e t a .

3 1 ( S a r e s p )

F i g u r a 2

.

F i g u r a 1 .

F i g u r a 3 .

A t e n d a d o í n d i o ( f i g u r a 1 ) , o b l o c o d e c o n s -

t r u ç ã o ( f i g u r a 2 ) e o f u n i l ( f i g u r a 3 ) t ê m

f o r m a s

q u e , e m

G e o m e t r i a , s ã o c o

n h e c i d a s , r e s p e c t i -

v a m e n t e , p e l o s n o m e s d e :

a ) p i r â m i d e , b l o c o r e t a n g u

l a r , c o n e .

b ) p i r â m i d e , c u b o , b l o c o r e t a n g u l a r .

c ) c i l i n d r o , b l o c o r e t a n g u l a r , p i r â m i d e .

d ) e s f e r a , p i r â m i d e , c o n e .

x 3

2 Q u a l q u e r p i r â m i d e t e m

:

a ) p e l o m e n o s 8 v é r t i c e s .

b ) p e l o m e n o s 8 a r e s t a s .

c ) t o d a s a s f a c e s t r i a n g u l a r e s .

d ) o m e s m o n ú m e r o d e f a c

e s e v é r t i c e s .

x 3

3 A o d o b r a r d e f o r m a c o

n v e n i e n t e a s l i n h a s

t r a c e j a d a s d a f i g u r a a b a i x o , v a m o s o b t e r u m

s ó l i d o g e o m é t r i c o d e n o m e

:

a ) p r i s m a .

b ) t e t r a e d r o .

c ) h e x a e d r o .

d ) o c t a e d r o .

x

3 4 ( S a r e s p ) O b s e r v

e o s d i f e r e n t e s t i p o s d e c a i -

x a s u t i l i z a d a s p o r u

m a l o j a d e p r e s e n t e s :

A v e n d e d o r a m o n t a a c a i x a d e a c o r d o c o m

a e s c o l h a d o c l i e n

t e . S e e l a u t i l i z a r o s m o -

d e l o s q u e a p a r e c e m a

b a i x o , v a i o b t e r c a i x a s

d o t i p o :

a ) 1 e 4

b ) 3 e 4

c ) 2 e 3

d ) 1 e 2

x

T i p o 1 .

T i p o 3 .

T i p o

2 .

T i p o 4 .

I l u s t r a ç õ e s I l u s t r a C a r t o o n

1 6 8



S Ó L I D O S

G E O M

É T R I C O S

1 6 9

3 5 O s s ó l i d o

s g e o m é t r i c o s n ã o p o l i e d r o s e s -

t ã o d e s e n h a d o s e m :

a )

b )

c )

3 6 ( S a r e s p ) Q u a l d a s f i g u r a s s e g u i n t e s r e p r e -

s e n t a

c o r r e t a m e n t e a p l a n i f i c a ç ã o d e u m a p i -

r â m i d e r e g u l a r p e n t a g o n a l ?

a )

c )

b )

d )

x 3

7 V e

j a e s t a s e q u ê n c i a . D e q u a n t o s “ p e q u e -

n o s c u

b o s ” v o c ê p r e c i s a r i a p a r a f a z e r a p r ó x i -

m a c o

n s t r u ç ã o ?

3 9 ( S a r e s p ) O

p o l i e d r o d a f i g u r a a b a i x o é f o r -

m a d o

c o l a n d o u m

p r i s m a e u m a p i r â m i d e p o r

m e i o d

e u m a b a s e o c t o g o n a l c o m u m . O n ú m e r o

t o t a l d e f a c e s d o p o l i e d r o é :

S Ó L I D O S

G E O M

É T R I C O S

1 6 9

d )

a ) 1 6

b ) 3 2

c ) 6 4

d ) 8 1

x

a ) 9

b ) 1 5

c ) 1 7

d ) 2 4

x

x

3 8 U m a p i r â m i d e q u e t e m

7 v é r t i c e s é :

a ) p e n t a g o n a l .

b ) h e x a g o n a l .

c ) h e p t a g o n a l .

d ) o c t o g o n a l .

x


1 7 0

4 0

( U F R - R J ) D u r a n t e a a u l a d e a r t e s , R u b i n h o

m o n t o u u m d a d o d e c a r t o l i

n a e i l u s t r o u q u a t r o

d a s s e i s f a c e s c o m

s í m b o l o

s d o b a r a l h o , c o n -

f o r m e d e m o n s t r a a f i g u r a a b a i x o .

o u r o s

c o p a s

e s p a d a s

p a u s

A o c h e g a r a s u a c a s a , R u b i n h o j o g o u s e u d a d o

s o b r e a m e s a e u m a d a s f a c e s n ã o i l u s t r a d a s

f i c o u v o l t a d a p a r a b a i x o , t o

c a n d o a s u p e r f í c i e

d a m e s a . A s i l u s t r a ç õ e s d o d a d o q u e p o d e r i a m

e s t a r v o l t a d a s p a r a c i m a ( n a f a c e p a r a l e l a à

f a c e q u e f i c o u v o l t a d a p a r a

a m e s a ) s ã o :

a ) c o p a s e o u r o s .

b ) e s p a d a s e c o p a s .

c ) e s p a d a s e p a u s .

d ) c o p a s e f a c e s e m

f i g u r a .

x 4

1 T r ê s d a d o s , c a d a u m c o

m f a c e s n u m e r a d a s

d e 1 a 6 , s ã o c o l o c a d o s n u

m a p i l h a , t a l c o m o

m o s t r a a f i g u r a . O

n ú m e r o

t o t a l d e p o n t i n h o s

q u e n ã o s ã o v i s í v e i s n a f i g u

r a é :

4 2 S i l v i n h o

r e c o r t o u

d o i s t r i â n g u l o s e

t r ê s

q u a d r a d o s p a r a c o n s t r u i r u m a c a i x a . A c a i x a

c o n s t r u í d a p o r S i l v i

n h o t e m

a f o r m a d e :

a ) p i r â m i d e t r i a n g u

l a r .

b ) p i r â m i d e q u a d r a

n g u l a r .

c ) p r i s m a t r i a n g u l a r .

d ) p r i s m a q u a d r a n g

u l a r .

x 4

3 ( S a r e s p ) U m a i n d ú s t r i a p r o d u z p e ç a s m a -

c i ç a s d e m a d e i r a c

o m

f o r m a t o d e p r i s m a s . A

s u p e r f í c i e r e p r e s e n t a d a a b a i x o é f o r m a d a p o r :

4 4 U m s ó l i d o g e o m

é t r i c o t e m s e i s f a c e s e s e i s

v é r t i c e s . T r a t a - s e d e

:

a ) p r i s m a t r i a n g u l a r .

b ) p r i s m a q u a d r a n g

u l a r .

c ) p i r â m i d e p e n t a g o n a l .

d ) p i r â m i d e h e x a g o

n a l .

x 4

5 A s f a c e s d e u m p

r i s m a a p r e s e n t a m a s f o r m a s

d a s f i g u r a s a s e g u i r . O s ó l i d o t e m :

a ) 6 f a c e s .

b ) 8 f a c e s .

c )

2 0 a r e s t a s .

d )

1 0 v é r t i c e s .

x

1 7 0

a ) 1 p e n t á g o n o e 3

r e t â n g u l o s .

b ) 2 p e n t á g o n o s e 5 r e t â n g u l o s .

c ) 3 p e n t á g o n o s e 4 r e t â n g u l o s .

d ) 3 p e n t á g o n o s e 3 r e t â n g u l o s .

x

a ) 2 1

b ) 2 2

c )

3 1

d ) 4 1

x





Á R E A S

E

V O L U M

E S

1 7 1

Á r e a s e v o l u m e s

1 .

U m

a ,

d u a s ,

t r ê s d i m e n s õ e s

N o s s o m u n

d o é t r i d i m e n s i o n a l . M a s n e m s e m p r e u t i l i z a

m o s a s t r ê s d i m e n s õ e s d o e s p a ç o .

U N I D A D E 8

U N

I D A D E

A

s l i n h a s s ã o f i g u r a s u n i d i m e n s i o n a i s , p o i s

t ê m

u m a ú n i c a d i m e n s ã o : o c o m p r i m e n t o .

T a m b é m

h á f i g u r a s u n i d i m e n s i o n a i s

n ã o

p l a n a s . V e j a a f i g u r a a o l a d o .

A o t r a ç a r u

m r e t â n g u l o , t r a b a l h a m o s c o m d u a s

d i m e n s õ e s d o

e s p a ç o : c o m p r i m e n t o e l a r g u r a . O

r e t â n g u l o é u m a f i g u r a b i d i m e n s i o n a l .

A s f i g u r a s

b i d i m e n s i o n a i s o c u p a m u m a s u p e r -

f í c i e q u e p o d e s e r m e d i d a – e l a s t ê m á r e a .


1 7 2

M u i t a s o u t r a s s i t u a ç õ e s e n v o l v e m c o m p r i m e n t o s , á r e a s e v o l u m e s . V o c ê

e s e u s c o l e g a s

p o d e m c

i t a r m a i s a l g u m a s ? R e s p o s t a p e s s o a l .

F o t o s : F e r n a n d o F a v o r e t t o

H á fi g u r a s b i d i m e n s i o n a i s n ã o p l a n a s .

T o d a s a s fi g u r a s t r i d i m e n s i o n a i s s ã o n ã o p l a n a s .

O s p o l í g o n o s s ã o e x e

m p l o s d e f i g u r a s b i d i m e n s i o n a i s .

J á o s s ó l i d o s g e o m é t r i c o

s s ã o f i g u r a s t r i d i m e n s i o n a i s – o c u p a m u m l u g a r n o e s p a ç o . A s s i m c o m o

a á r e a é a m e d i d a d a s u p e r f í c i e , o v o l u m e é a m e d i d a d o e s p a ç o o c u p a d

o p o r u m s ó l i d o . O s s ó l i d o s

g e o m é t r i c o s t ê m v o l u m e .

A o c o m p r a r f i o s d e a r a

m e p a r a c e r c a r u m

t e r r e n o , e s t a m o s i n t e r e s s a d

o s n o c o m p r i m e n t o

( a p e s a r , é c l a r o , d e o a r a m e t e r e s p e s s u r a ) .

Q u a n d o o p i s o d

e u m a s a l a v a i s e r a c a r p e -

t a d o , é p r e c i s o c a l c u

l a r a á r e a d e s s e p i s o p a r a

c o m p r a r a q u a n t i d a d e c o r r e t a d e m a t e r i a l .

A c a i x a - d ’ á g u a d e u m a c a s a é e s c o l h i d a d e a c o r d o c o m o v o l u m e d e

á g u a q u e s e r á c o n s u m i d o

p o r s e u s m o r a d o r e s .

N e s t a u n i d a d e , t r a b a l h a

r e m o s c o m c á l c u l o d e á r e a s , d e v o l u m e s e c o

m m e d i d a s d e c a p a c i d a d e .

V a m o s l á ?




Á R E A S

E

V O L U M

E S

1 7 3


2 .

U n i d a d e s d e m e d i d a d e s u p e r f í c i e

P a r a m e d i r

u m a s u p e r f í c i e , é n e c e s s á r i o u s a r o u t r a s u p e r f í c i e c o m o u n i d a d e d e m e d i d a .

S u p e r f í c i e s

d e q u a d r a d o s s ã o u s a d a s c o m o p a d r ã o d e m

e d i d a . V a m o s r e l e m b r a r a s u n i d a d e s d e

m e d i d a d e s u p e r f í c i e d o S i s t e m a M é t r i c o D e c i m a l ?

O c e n t í m

e t r o q u a d r a d o ( c m 2 ) é a s u p e r f í c i e

o c u p a d a

p e l o q u a d r a d o d e 1 c e n t í m e t r o d e l a d o .

1 c m 2

1 c m

1 c m

O m e t r o

q u a d r a d o ( m 2 ) é a s u p e r f í c i e o c u p a d a p e l o q

u a d r a d o d e 1 m e t r o d e l a d o .

E o q u e s e r i a o m i l í m e t r o q u a d r a d o ?

1 . C o m b a s e n o s i g n i f i c a d o d e c m 2 , m

2 , m m 2 , c o n v e r s e c o m

o s c o l e g a s e e x p l i q u e m o r a l m e n t e o q u e

s i g n i f i c a q u i l ô m e t r o q u a d r a d o ( k m 2 ) . É a s u p e r f í c i e o c u p a d a p o r u m q

u a d r a d o d e 1 k m d e l a d o .

2 . N o c o

t i d i a n o , é p r e c i s o m e d i r s u p e r f í c i e s , d a s m e n o r e s

à s m a i o r e s . Q u e u n i d a d e d e m e d i d a d e

s u p e r

f í c i e v o c ê a c h a a d e q u a d a p a r a e x p r e s s a r a á r e a :

a ) d e u m

a s a l a d e a u l a ? m 2

b ) d o e s t a d o d o A m a z o n a s ? k m 2

c ) d e u m a f o l h a d e c a d e r n o ? c m 2

É a s u p e r f í c i e o c u p a d a

p e l o q u a d r a d o d e 1 m m

d e l a d o !

1 c m 2

V e j a a f o t o

g r a f i a a b a i x o .

1 m

1 m

O m 2 a p a r e c e c o m

f r e q u ê n c i a n o c o -

t i d i a n o .

O s q u a

d r a d i n h o s m e n o r e s t ê m

1 m m d

e l a d o .



D A E

1 7 4

E x

e r c í c i o s

1

A d m i t i n d o q u e a á r e a d

e u m

q u a d r a d i n h o

é 1 c m 2 , c a l c u l e :

a ) a á r e a d e A ; 4 5 c m 2

b ) a á r e a d e B ; 2 4 c m 2

c ) a á r e a d e C . 2 7 c m 2

A

a ) I n d i q u e a s f i g u r a s q u e t ê m

á r e a i g u a l à d a

f i g u r a A . B , D e F .

b ) D e s e n h e

e m p a p e l q u a d r i c u l a d o

f i g u r a s

c o m

á r e a i g u a l à

d a f i g u r a C .

c ) D e s e n h e e m

p a p

e l q u a d r i c u l a d o r e t â n g u l o s

c o m á r e a i g u a l à

d a f i g u r a A .

F i g u r a c o m 1 5 q u a d r a d i n h o s d e á r e a .

R e t â n g u l o c o m 1 6 q u a d r a

d i n h o s d e á r e a .

2

O r i g i n á r i o d a C h i n a , o T a n g r a m

é u m

q u a -

d r a d o c o n s t i t u í d o d e 7 p e ç a

s . U s a m o s u m q u a -

d r a d o d e á r e a 1 6 c m 2 p a r a c o m p o r a s p e ç a s d e

u m

t a n g r a m . E s s a s p e ç a s f o

r a m

n u m e r a d a s d e

1 a 7 , c o n f o r m e a f i g u r a .

Q u a l é a á r e a , e m

c m 2 , d a p e ç a d e n ú m e r o 4 ?

2 c m 2

4

N e s t e p a i n e l c a

b e m

e x a t a m e n t e 7 2 a z u l e -

j o s d o t i p o I . P a r a r e v e s t i r e s s e m e s m o p a i n e l

c o m

a z u l e j o s d o t i p o I I , q u a n t a s p e ç a s s e r ã o

u t i l i z a d a s e x a t a m e n

t e ? 3 6 p e ç a s

T i p o I I

T i p o I

N o t a :

O

a z u l e j o m a i o

r p o d e s e r s e c c i o n a d o

p a r a c o m p l e t a r o

r e v e s t i m e n t o .

3

V e j a a s f i g u r a s :

B

C

A

B

C

D

E

F

2

3

4 5

6 7

1




Á R E A S

E

V O L U M

E S

1 7 5

3 .

C o n

v e r s õ e s e n t r e a s u n

i d a d e s

d e m e d i d a d e s u p e r f í c i

e

M e t r o q u a d r a d o e c e n t í m e t r o q u a d r a d o

S a b e m o s q

u e 1 m = 1 0 0 c m .

E 1 m

2 ? Q u a n t o s c m

2 e

l e t e m ?

V e j a a o l a d

o a r e p r e s e n t a ç ã o d e 1 m 2 .

C o m o 1 m 1

0 0 c m , e m 1 m 2 t e m o s 1 0 0 f i l e i r a s

c o m 1 0 0 q u a d r a d i n h o s d e 1 c m 2 c a d a u m .

1 0 0 · 1 0 0 1

0 0 0 0

1 m 2 1 0

0 0 0 c m 2

E n t ã o ,

2 m 2 =

2 · 1

0 0 0 0 = 2 0 0 0 0 c m 2

3 m 2 =

3 · 1

0 0 0 0 = 3 0 0 0 0 c m 2

E a s s i m p o

r d i a n t e .

P a r a

t r a n s f o r m a r u m a m e d i d a d e m 2 p a r a c m 2 , b a

s t a m u l t i p l i c á - l a p o r 1 0 0 0 0 .

C o n s

e q u e n t e m e n t e , p a r a c o n v e r t e r c m 2 e m m 2 d i v i d i m o s a m e d i d a p o r 1 0 0 0 0 .

7 , 8 m 2 =

7 8 0 0 0 c m 2

3 4 0 0 0 c m 2 =

3 , 4 m 2

A c o m p a n h

e a s i t u a ç ã o a s e g u i r :

L u c a s m a n

d o u r e v e s t i r c o m f ó r m i c a o t a m p o d e u m a m

e s a q u a d r a d a d e l a d o 8 0 c m . A p e s s o a

q u e f a r á o s e r v i ç o c o b r a R $ 5 0 , 0 0 p o r m e t r o q u a d r a d o d e

f ó r m i c a c o l o c a d a .

P r e c i s o e x p r e s s a r a

á r e a d o t a m p o e m m e t r o s

q u a d r a d o s , p a r a s a b e r

q u a n t o g a s t a r e i !

N e s t a , e e m

o u t r a s s i t u a ç õ e s , é p r e c i s o s a b e r c o m o c o n v

e r t e r u n i d a d e s d e m e d i d a d e s u p e r f í c i e .

1 m 1

0 0 c m

1 m 1 0 0 c m

0 , 0 3 m 2 =

3 0 0

c m 2

5 7 8 c m 2 =

0 , 0 5 7 8 m 2

1 m

2

1 0 0 c m

1 0 0 c m 1

0 0 0 0 c m

2

Q u e m v a i a o

q u a d r o a j u d a r o L u c a s a

c a l c u l a r s e u g a s t o ?


G a s t a r á R $ 3 2 , 0 0 .


D A E

1 7 6

1 k m 2 1

0 0 0

0 0 0 m 2

1 0 0 0 m . 1 0 0 0 m 1 0

0 0 0 0 0 m 2

o u

1 k m 2

1 k m 1

0 0 0 m

1 k m 1 0 0 0 m

R e l a c i o n a n d o q u i l ô m e t r o q u a d r a d o e m e t r o

q u a d r a d o

I m a g i n e u m q u a d r a d o c

o m 1 k m d e l a d o .

S a b e m o s q u e 1 k m 1

0 0 0 m . E m 1 k m 2 h

á 1 0 0 0

f i l e i r a s d e 1 0 0 0 q u a d r a d o

s d e 1 m 2 c a d a u m .

1 0 0 0 · 1 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0

S e 1 k m 2 1

0 0 0 0 0 0 m 2 , p a r a c o n v e r t e r u m a

m e d i d a d e k m 2 p a r a m 2 b a s t a m u l t i p l i c á - l a p o r

1 0 0 0 0 0 0 . E x e m p l o s :

3 k m 2 =

3 0 0 0 0 0 0 m

2

0 , 0 0 2 6 k m 2 =

2 6 0 0 m 2

1 , 4 5 k m 2 =

1 4 5 0 0 0 0

m 2

P a r a c o n v e r t e r u m a m e d i d a d e m 2 p a r a k m 2 , b a s t a d i v i d i - l a p o r 1 0 0 0 0 0 0 . E x e m p l o s :

2 4 7 0 0 0 m 2 0 , 2 4 7 k

m 2

9 0 0 0 0 0 0 m 2 =

9 k m 2

1 8 0 m 2 =

0 , 0 0 0 1 8 k m

2

F a ç a a a t i v

i d a d e e m g r u p o .

L e m b r a n d o q u e 1 c m =

1 0 m m , d e s c u b r a c o m s e u s c o l e g a s c o m

o t r a n s f o r m a r

c m 2 e m m m 2 e

v i c e - v e r s a . M o s t r e m e x e m p l o s d e c o n v e r s ã o .

M e d i d a s a g r á r i a s

É c o m u m v e r m o s á r e a

s r u r a i s c o m o f a z e n d a s , s í t i o s o u r e s e r v a s a m

b i e n t a i s s e r e m

e x p r e s s a s e m u n i d a d e s d e

m e d i d a c o m o o h e c t a r e e o a l q u e i r e .

S a i b a q u e :

1

0 0 0 0 m 2

2 4 2 0 0 m 2

4 8 4 0 0 m 2

2

7 2 2 5 m 2

F r u t a l ( M G ) V o c

ê j á p e n s o u e m

c o m p r a r u m a F a z e n

d a M o d e l o p e r t o d e

U b e r a b a ? 1 2 0 a l q u e i r e s . C o n t a t o c o m

o

p r o p r i e t á r i o ( 8

8 ) 8 8 8 8 - 8 8 8 8 .

D A E





Á R E A S

E

V O L U M

E S

1 7 9

E x a t a m e n t

e ! N o 6 o a n o d e s c o b r i m o s q u e , p a r a c a l c u l a r a á r e a d e q u a l q u e r r e t â n g u l o , b a s t a

m u l t i p l i c a r a m

e d i d a d o c o m p r i m e n t o p e l a d a l a r g u r a . G e n e

r a l i z a m o s n o s s a d e s c o b e r t a e s c r e v e n d o :

Á r e a d o r e t â n g u l o ( c o m p r i m e n t o ) ( l a r g u r a ) , o u A C

R e p r e s e n t a m o s a á r e a p o r A , o c o m p r i m e n

t o p o r C e a l a r g u r a p o r

.

5 .

Á r e

a d o r e t â n g u l o e d o

q u a d r a d o

Q u a l é a á r e a d o r e t â n g u l o a b a i x o ?

P a r a o

b t e r a

á r e a

d o r e t â n g u l o s e m p r e c i s a r c o n t a r

q u a d r a d i n h o s , f a z e m o s :

A = 4

· 2 = 8 c m ² .

4 c m

2 c m

1 c m 2

1 c m

1 c m

N o q u a d r a

d o , a m e d i d a d o c o m p r i m e n t o é i g u a l à d a l a r g u r a :

A =

·

o u

A =

2

P o r q u e e s

s a g e n e r a l i z a ç ã o é i m p o r t a n t e ? D e t e r m i n a r

a á r e a d e u m r e t â n g u l o c o n t a n d o q u a -

d r a d o s e s c o l h

i d o s c o m o u n i d a d e d e m e d i d a , m u i t a s v e z e s é c o m p l i c a d o . I m a g i n e q u e q u e i r a m o s

c a l c u l a r a á r e a d e u m g r a n d e t e r r e n o r e t a n g u l a r . E s p a l h a r q u a d r a d o s s o b r e a s u p e r f í c i e d o t e r r e n o

e c o n t á - l o s s e

r i a i n v i á v e l !

Q u a n t o s c e n t í m e t r o s q u a d r a d o s t ê m a c a p a d e

s e u l i v r o ?

P r i m e i r o f a ç a u m a e s t i m a t i v a . E m s e g u i d a m e ç a

c o m u m r

é g u a o c o m p r i m e n -

t o e a l a r g u r a d a c a p a e c a l c u l e a á r e a u s a n d o a

r e l a ç ã o A = C · . S u a e s t i m a -

t i v a f i c o u p r ó x i m a d o v a l o r c o r r e t o ? R e s p o s t a p e s s o a

l . L e m b r e i ! T a m b é m

d e s c o b r i m o s c o m o c a l c u l a r

a á r e

a d e u m q u a d r a d o a p a r t i r

d

a m e d i d a d o s e u l a d o !


D A E

D A E

1 8 0

C á l c u l o d e á r e a

p o r d e c o m p o s i ç ã o e c o m p o s i ç ã o d e f i g u r a s

M a r i a n a e J ú l i o c a l c u l a r a m a á r e a d a f i g u r a a b a i x o .

C a d a u m d e l e s r e s o l v e u

o p r o b l e m a u s a n d o u m r a c i o c í n i o d i f e r e n t e . A c o m p a n h e .

R e s o l u ç ã o d a M a r i a n a

: C

o m o s e i c a l c u l a r

a á

r e a d e r e t â n g u l o s ,

d e c

o m p u s a f i g u r a e m

d o i s r e t â n g u l o s !

A á r e a d a f i g u r a é

i g u a l à s o m a d a s

á r e a s d o s d o i s r e t â n g u

l o s :

A = 6 + 2 0 = 2 6 c m

² 7 c m

5 c m

4 c m

2 c m

7 c m

5 c m

4 c m

2 c m

3 c m

3 c m

R e s o l u ç ã o d o J ú l i o :

E u i m a g i n e i u m

r e t â n

g u l o m a i o r e , d a

á r e a d e l e ,

r e t i r

e i a á r e a d o q u a d r a d o d e

l a d o 3 c m .

A = 7 · 5

– 3 ² = 3 5 – 9 = 2 6 c m ²

O s d o i s a c e r t a r a m !

4 c m

5 c m

4 c m

2 c m

3 c m

3 c m

2 c m

3 c m

2 c m

5 c m

2 c m

2 c m

A 3 2 6 c m 2

A

4 5 2

0 c m 2

O b s e r v e b e m a

f i g u r a a o l a d o e s u a s m e d i d a s .

N e s t e p o l í g o n o , o s l a d o s s ã o t o d o s h o r i z o n t a i s o u v e r t i c a i s .

C a l c u l e s u a á r e a u s a n d o c á l c u l o m e n t a l . 4 0 c m 2

H é l i o S e n a t o r e H é l i o S e n a t o r e




Á R E A S

E

V O L U M

E S

1 8 1


1 5

( S a r e s p ) A

b a i x o

v e m o s a

v i s t a

s u p e r i o r

( t a m b é m

c h a m a d a d e p l a n t a b a i x a ) d o a p a r -

t a m e n t o d e M

a r i n a . Q u a l a á r e a d e s t e i m ó v e l ?

1 0 6 m 2

1 6

C a l c u l e a

á r e a d a f i g u r a s o m b r e a d a . 2 8 m 2

1 7

V e j a a p l a

n t a d e u m q u a r t o r e t a n g u l a r c o m

u m

a r m á r i o e

m b u t i d o . F o i p r e c i s o d e s c o n t a r

a á r e a d o a r m

á r i o n o m o m e n t o d e c a l c u l a r a

q u a n t i d a d e d e l a d r i l h o p a r a o p i s o . Q u a n t o s

m e t r o s q u a d r a

d o s d e l a d r i l h o f o r a m g a s t o s ?

9 , 4 0 m 2

1 8

O t a p e t e r

e t a n g u l a r d a f i g u r a t e m u m a p a r -

t e c e n t r a l l i s a

e u m a f a i x a d e c o r a d a c o m

1 m

d e l a r g u r a . Q u a l é a á r e a , e m

m 2 , d a p a r t e l i s a

d o t a p e t e ? 1 5 m

2

7 m

1 9

C a l c u l e m e n t a l m e n t e a á r e a d a f i g u r a , s a -

b e n d o

q u e é f o r m a d a p o r t r ê s r e t â n g u l o s . 1 5 m 2

2 0 U m

s e n h o r q u e r c o n s t r u i r u m

c a n i l r e t a n -

g u l a r c o m

2 4 m 2 d e á r e a . I n d i q u e t r ê s p o s s i b i -

l i d a d e

s d i f e r e n t e s p a r a a s d i m e n s õ e s d o c a n i l

( c o m p

r i m e n t o l a r g u r a ) .

P o r e x e m p l o : 3 m 8 m ; 4 m 6 m ; 2 m 1

2 m .

2 1 N a e s c o l a d e J o s é h á d o i s p á t i o s , u m

d e

f o r m a

q u a d r a d a e o u t r o d e f o r m a r e t a n g u l a r .

E s s e s p á t i o s t ê m

a m e s m a á r e a .

a ) Q u a l é o c o m p r i m e n t o d o p á t i o r e t a n g u l a r ?

b ) Q u a l d o s d o i s t e m

m a i o r p e r í m e t r o ? B

1 6 m

2 2 O

s e n h o r P a u l o p o s s u i t r ê s l o t e s q u a d r a -

d o s : u

m

d e l e s t e m

l a d o d e 1 0 m

e o s o u t r o s

d o i s t ê m

l a d o s d e 2 0 m

c a d a . E l e q u e r t r o c a r

o s t r ê

s l o t e s p o r o u t r o

l o t e q u a d r a d o , c u j a

á r e a s e j a a s o m a d a s á r e a s d a q u e l e s t r ê s l o t e s .

Q u a n t o d e v e m e d i r d e l a d o o n o v o l o t e ? 3 0 m

1

0 m

1 0 m

2 0 m

2 0 m

2 0 m

2 0 m

2 m

2 m

2 m

2 m

2 m

2 m

5 , 2

5 m

3 m

1 , 7

5 m

5 m

9 m

1 2 m A

B 1 , 5

m 1 , 5

m

1 , 5

m

2 , 6

0 m

a r m á r i o r e t a n g u l a r

2 , 9 0 m

3 , 5

0 m

1 , 5 0 m

0 , 5

0 m



T o d o s

o s c a n t o s d a f i g u r a s ã o â n g u l o s r e t o s .

4 m

6 m

1 5 m

4 m

1 8 2

6 .

Á r e a d e p

o l í g o n o s

A i d e i a d e d e c o m p o r f i g u

r a s g e o m é t r i c a s é ú t i l n o c á l c u l o d e á r e a d e a l g u n s p o l í g o n o s .

P a r a l e l o g r a m o é t o d o

q u a d r i l á t e r o q u e t e m d o i s p a r e s d e l a d o s o p o s t o s p a r a l e l o s .

Á r e a d o p a r a l e l o g r a m o T r

a ç a m o s u m p a r a l e l o g r a m o , t o m

a m o s u m d o s l a d o s c o m o

b a s e ( b ) e t r a ç a m o s , p o r u m v é r t i c e , u m s e g m e n t o p e r p e n d i c u -

l a r à b a s e , q u e c h a m a m o s d e a l t u r a ( h ) r e l a t i v a à b a s e b . D e s s e

m o d o , o p a r a l e l o g r a m o f o i d e c o m

p o s t o e m d u a s f i g u r a s .

R e p o s i c i o n a n d o o t r i â n g

u l o , c o m p u s e m o s u m r e t â n g u l o d e b a s e ( b ) e

l a r g u r a ( h ) . A á r e a o r i g i n a l

d a f i g u r a n ã o s e m o d i f i c o u

.

A á r e a d o p a r a l e l o g r a m o é i g u a l à d o r e t â n g u l o o b t i d o !

A p a r a l e l o g r a m o b h

P a r a c a l c u l a r a á r e a d o p

a r a l e l o g r a m o , b a s t a c o n h e c e r a m e d i d a d e u m d e s e u s l a d o s e a m e d i d a

d a a l t u r a r e l a t i v a a e l e .

O s p a r a l e l o g r a m o s d e s e n h a d o s a b a i x o t ê m a m e s m a á r e a . V o c ê s a b e e x p l i c a r p o r q u ê ?

T o d o s t ê m a m e s m a b a s e e a m e s m a a l t u r a .

b

b h

a

a

h

b

h

b








Á R E A S

E

V O L U M

E S

1 8 7


2 3

( S a r e s p ) N

u m a p r a ç a s e r á c o n s t r u í d o u m

j a r d i m

c o m o

f o r m a t o d a f i g u r a a b a i x o e p l a n -

t a d a g r a m a n o

s e u i n t e r i o r . O l a d o d o q u a d r a d o

m e d e 2 m e t r o s , e o s t r i â n g u l o s s ã o t o d o s i g u a i s .

Q u a l é , e m m

2 , a á r e a a s e r p l a n t a d a ? 1 2 m 2

2 4

O

d e s e n h

o

a b a i x o

r e p r e s e n t a p a r t e d o s

t e r r e n o s d e u m

l o t e a m e n t o .

a ) Q u a l é a á r e a d o l o t e A ? 1 6 5 , 6 m 2

b ) Q u a l é a á r e a d o l o t e B ? 1 8 4 , 2 m 2

c ) Q u a l é a á r e a d o l o t e C ? 1 2 5 m 2

d ) Q u a l é a á r e a d o l o t e D ? 1 9 0 m 2

2 5

O

s e n h o r

M a n u e l t r o c o u u m

t e r r e n o r e -

t a n g u l a r d e 8 0 m

p o r 6 0 m

p e l o r e p r e s e n t a d o

n a f i g u r a .

N a t r o c a d o s t e r r e n o s , l e v a n d o e m c o n s i d e r a ç ã o

a á r e a , o s e n h o r M a n u e l g a n h o u o u p e r d e u ?

N ã o g a n h o u , n e m p e

r d e u .

2 6

C a l c u l e a s á r e a s d a s f i g u r a s s o m b r e a d a s

( m e d i d a s e m

c e n t í m e t r o s ) :

A 1 =

8 8 2

= 3 2

A 2 =

4 4 2

= 8

A 1 – A 2 = 2 4

2 4 c m 2

a )

b )

2 7 ( C

P I I - R J ) D e s e j a - s e c o n s t r u i r u m a á r e a d e

l a z e r c o n f o r m e o e s b o ç o d e p l a n t a m o s t r a d o a

s e g u i r : 1 0 9 m 2

D e t e r m i n e a á r e a d o t e r r e n o a c i m a u s a n d o a s

m e d i d

a s i n d i c a d a s n a f i g u r a .

Á r e a d e l a z e r

2 m

L 1 =

2 0 1 0

2

= 1 0 0

L 2 =

1 2 6 2

= 3 6

L 1 – L 2 = 6 4

6 4 c m 2

3

5

6

1 0

I l u s t r a ç ã o f o r a d e e s c a l a .

8

8

4

4


A

m b o s o s q u a d r i l á t e r o s s ã o l o s a n g o s .

3 0 m

1 6 0 m

P a r a l e l o g r a m o

6 m

1 2 m

A C

D

E

F

4 m

B

5 m

Á r e a d o r e t â n g u l o : 1 2 6

7 2

Á r e a d o t r i â n g u l o :

5 6 2

1

5

Á r e a d o t r a p é z i o :

( 8 + 3 ) 4

2

2

2

Á r e a d o t e r r e n o : 7 2

1 5

2 2

1 0 9

3 m

8 m

1 8 8

2 8

A f i g u r a r e p r e s e n t a u m

t e r r e n o g r a m a d o .

C a d a m 2 d e g r a m a d e m o r a ,

e m m é d i a , 5 m i n u -

t o s p a r a s e r c o r t a d o . Q u a l é

o t e m p o p r e v i s í v e l

p a r a c o r t a r t o d a a g r a m a ? 1 1 7 0 m i n o u 1 9 h e 3 0 m i n

2 9

( O b m e p ) O s q u a d r a d o s a b a i x o t ê m

t o d o s

o m e s m o t a m a n h o .

E m q u a l d e l e s a r e g i ã o s o m b r e a d a t e m a m a i o r

á r e a ? E m V .

A

E

B

C

D

3 0

P o r q u e o s t r i â n g u l o s A

B C , D B C e E B C d a

f i g u r a t ê m

a m e s m a á r e a ? P o r q u e t ê m b a s e s d e m e s m a m e d i d a e

a l t u r a s d e m e s m a m e d i d a .

3 1

C a l c u l e a á r e a

d a f i g u r a s o m b r e a d a , s u -

p o n d o a s m e d i d a s e m

c e n t í m e t r o s :

A = 6 · 3 = 1 8

A T =

( 3 + 2 ) 4

2

= 1 0

A t o t a l = 1 8 + 1 0 = 2 8

2 8 c m 2

3 2

T e m

u m

v i d r o p

a r t i d o n a v a r a n d a d a c a s a

d a d o n a M a f a l d a .

O m e t r o q u a d r a d o d e s s e v i d r o c u s t a R $ 8 0 , 0 0 .

Q u a n t o v a i c u s t a r e

s s a p e ç a q u e b r a d a ? R $ 6 , 0 0

3 3

N o b a i r r o e m q

u e R u i m o r a , f o i c o n s t r u í -

d o u m

n o v o j a r d i m

d e f o r m a r e t a n g u l a r . P a r a

f a c i l i t a r a p a s s a g e m

d a s p e s s o a s , f o i a b e r t o u m

c a m i n h o c o m o m o s t r a o d e s e n h o .

a ) Q u a l é a á r e a o c u p a d a p e l o c a m i n h o ? 9 8 m 2

b ) Q u a l é a á r e a d a

p a r t e a j a r d i n a d a ? 1 3 0 2 m 2

I

I I

I I I

I V

V

2 m

2

3

6

1 0

5 0 c m

3 0 c m

3 , 5

m

28 m

5 0 m



l o s a n g o



Á R E A S

E

V O L U M

E S

1 8 9

O v o l u m e d e u m c u b o c o m 1 m d e a r e s t a é :

1

m

· 1 m

· 1 m 1 m 3

o u

1

0 d m

· 1 0 d m

· 1 0 d m 1

0 0 0 d m 3

o u a i n d a

1

0 0 c m · 1 0 0 c m · 1 0 0 c m 1

0 0 0 0 0 0 c m 3

E n

t ã o ,

1 m

1 0 d m

1 0 0 c m

1 m

1 0 d m

1 0 0 c m

1 m 1 0 d m 1 0 0 c m

A g o r a , o

b s e r v e :

8 .

R e l a ç õ e s e n t r e a s u n i d a

d e s d e m e d i d a ,

d e v o l u m e e d e c a p a c i d

a d e

R o g é r i o c o

m p r o u u m a q u á r i o d e v i d r o e m f o r m a d e

b l o c o r e t a n g u

l a r . E l e q u e r s a b e r q u a n t o s l i t r o s d e á g u a

s e r ã o n e c e s s á

r i o s p a r a e n c h ê - l o c o m p l e t a m e n t e .

V a m o s a j u d á - l o ?

V i m o s n o l i v r o d o 6 o a n o q u e o v o l u m e d e u m b l o c o

r e t a n g u l a r é o

p r o d u t o d e s u a s t r ê s d i m e n s õ e s .

V c o m p r i m e n t o · l a r g u r a · a l t u r a

o u

V

c

· ·

a

V a q u á r i o = 8

0 · 7 0 · 5 0

2 8 0 0 0 0 c m 3

M a s q u a n t

o i s s o r e p r e s e n t a e m l i t r o s ?

O l i t r o é u

m a m e d i d a d e c a p a c i d a d e .

1 l i t r o “ e n c h e ” c o m p l e t a m e n t e

u m c u b o c o m 1 d m d e a r e s t a :

1

d m 3

1 L

J á c o n s t a t a m o s i s s o

n a p r

á t i c a , n o l i v r o

d o 6 o a n o .

P

a r a m e d i r v o l u m e s u s a m o s c o m o p a -

d

r ã o o v o l u m e d e c u b o s .

P

a r a e n c h e r c o m p l e t a m e n t e o a q u á r i o

s

ã o p r e c i s o s 2 8 0 0 0 0 c u b i n h o s d e 1 c m

d

e a r e s t a .

1

0 0 0

: 1 0 0 0

: 1 0 0 0

1 m

3 1

0 0 0 d m 3 1

0 0 0 0 0 0 c m 3

1

0 0 0

1 c m

1 c m

1 c m

1 c m 3 é o v o l u m e d e u m

c u b o d e 1 c m d e a r e s t a


L á p i s M á g i c o D A E

D A E


1 9 0

D a í p o d e m o s t i r a r r e l a ç õ e s e n t r e a s m e d i d a s d e v o l u m e e d e c a p a c i d

a d e :

1 d m 3 1

L

1 d m 3 1

0 0 0 c m 3

1 m 3 1

0 0 0 d m 3

1 0 0 0

d m 3 1

0 0 0 L

1 L 1

0 0 0 c m 3

1 0 0 0 L 1 m 3

1 . S a b e n d o q u e 1 L = 1 0 0 0

m L e q u e 1 L = 1 0 0 0 c m 3 , d e s c u b r a a r e l a ç ã o e n t r e

m L e c m 3 .

1 m L

1 c m 3

2 . O b s e r v e a s i m a g e n s e r e

s p o n d a :

l i t r o s n e s s a r e s i d ê n c i a ? 1 8 0 0 0 L

O c o n s u m o d e á g u a d e u m a r e s i d ê n

c i a n e s t e m ê s f o i d e 1 8 m 3 .

d e s t a l a t a ,

e m c m 3 ? 3 5 0 c m 3 L é o B u r g o s

O m i l i l i t r o

O u t r a u n i d a d e d e m e d i d a d e c a p a c i d a d e b a s t a n t e f r e q u e n t e é o m i l i l i t r o .

O m i l i l i t r o é a m i l é s i m a p a r t e d o l i t r o .

1 L

1 0 0 0 m L

A g o r a p o d e m o s r e s o l v e r o p r o b l e m a d e R o g é r i o .

O v o l u m e d o a q u á r i o é d e 2 8 0 0 0 0 c m 3 .

C o m o c a d a 1 0 0 0 c m 3 c

o r r e s p o n d e m a 1 L , p a r a e n c h e r c o m p l e t a m

e n t e o a q u á r i o s ã o n e c e s -

s á r i o s 2 8 0 l i t r o s d e á g u a .

2 8 0 0 0 0 : 1 0 0 0 2

8 0




















E Q U A Ç Õ E S

2 0 7

A p l i c a n

d o o q u e a p r e n d e m o s :

P a r a r e s o l v

e r a e q u a ç ã o 3 x 2

x 1

0 0 5

0 , p o d e m o s

i m a g i n á - l a c o m o u m a b a l a n ç a d e p r a t o s

e m e q u i l í b r i o :

V e j a m a i s e x e m p l o s :

3 x

5 x

8 3 x 6

2 x

8 6

3 x

A í , u s a m

o s a s o p e r a ç õ e s i n v e r s a s :

V a m o s s u b t r a i r

3 x d o s d o i s m e m b r o s d a e q u a ç ã o .

D e s c o b r i m o s a m a s s a d o c u b i n h o : 1 5 0 g .

O e q u i l í b r i o s e m a n t é m .

3 x 2

x 1

0 0 5

0

3 x 2

x 1

5 0

V a m o s r e t i r a r a m e s m a m a s s a d o s d o i s p r a t o s :

2 x

6

8

2 x

1

4

x 1

4 2

x 7

S u b s t i t u a x

r a ç õ e s i n d i c a d

a s . V o c ê o b t e v e u m a i g u a l d a d e

v e r d a d e i r a ? S i m

.

5 ( x 3 )

4

( x 2

) 6

P r i m e i r o a p l i c a m o s a p r o p r i e d a d e d i s t r i b u t i v a :

5 x 1

5 4

x 8

6

x 2

1

5

x 1

7

E f e t u a m o s ( 8 6

) :

S u b t r a i n d o 4 x d e a m b o

s o s m e m b r o s d a e q u a ç ã o , t e m o s :

4 x

4 x

5 x 1

5 4

x 2

x 1 5

2

2 x

3 x 2

x 1

5 0

x 1

5 0

2 x


2 0 8

E x

e r c í c i o s

3 1 Q u a i s d a s s e g u i n t e s a

ç õ e s m a n t e r i a m

a

b a l a n ç a e m

e q u i l í b r i o ?

3 2 E s t a b a l a n ç a e s t á e m

e q u i l í b r i o e a s t r ê s

m e l a n c i a s t ê m

o m e s m o p e

s o :

3 3 E s t a s c a i x a s t ê m

o m e s

m o n ú m e r o d e c a -

n e t a s c o l o r i d a s .

3 5 R e s o l v a a s e q u a

ç õ e s .

3 7 R e s o l v a a s e q u a

ç õ e s .

3 4 A s o m a d e t r ê s n ú m e r o s i n t e i r o s c o n s e c u t i -

v o s é 9 3 . Q u a i s s ã o o s n ú

m e r o s ?

3 2 , 3 1 e 3 0 ; x (

x 1

) (

x 2

) –

9 3

3 6 O t r i â n g u l o d a

f i g u r a t e m p e r í m e t r o d e

2 2 c m . D e t e r m i n e

a m e d i d a d o m e n o r l a d o .

5 c m

3 x 1 2

x 1 x 4 2

2

V o c ê d e

s c o b r i u

e m q u e n

ú m e r o e u

p e n s e i ? 1 9

3 8 P e n s e i e m

u m n

ú m e r o ; x

a ) A d i c i o n a r 3 k g e m

c a d a

p r a t o .

b ) T i r a r 5 k g d e c a d a p r a t o .

c ) P a s s a r u m a l a t a d o p r a t o e s q u e r d o p a r a o

p r a t o d i r e i t o .

d ) T i r a r u m a l a t a d e c a d a p

r a t o .

e ) T i r a r d u a s l a t a s d o p r a t o

e s q u e r d o e u m a d o

d i r e i t o .

a ) Q u a l é o p e s o d e c a d a m

e l a n c i a ? 5 k g

b ) Q u a l é a e q u a ç ã o q u e r

e p r e s e n t a e s s a s i t u -

a ç ã o ?

2 m 7 m 1

2

a ) Q u a n t a s c a n e t a s h á e m

c a d a c a i x a ? 6 c a n e t a s

b )

Q u a l é a e q u a ç ã o q u e r

e p r e s e n t a e s s a s i t u -

a ç ã o ? 2 x 2 x 8

a ) 6 x 2

x 1

6 4

b ) 4 x 1

0 2

x

2 6

c ) 2 x 1 4

x 7

4

d ) 3 x 2 4

x 9

1 1

e ) 5 x 4 3

x 2

x 4

0

f ) x x 4 1

7

2

x 1

g ) 3 , 4 x 2 , 6 x 0 , 9 2 0 , 7

h ) 0 , 1 x 3

x 0 , 9

x 1

4 2

x 7

1 1 2

a ) 7 ( x 2

) 5

( x

3 ) 2 9 2

b ) 2 ( x 5

) 4

( x

1 ) 0

c ) 3 ( 2 x 1

) 2

( x 3

)

3 8

d ) 7 ( x 1

) 2

( x

5 ) x 5 2

7 3

s u b t r a í 3 u n i d a d e

s ; x 3

m u l t i p l i q u e i o r e s

u l t a d o p o r 4 ; ( x 3

) 4

s o m e i u m a u n i d a d e ; ( x 3

) 4 1

o r e s u l t a d o d e u 6

5 . ( x 3

) 4 1 6

5

x x x

2 x 1

x 4

3 x 1

















I N E Q U A Ç Õ E S

2 1 9

7 4

7 4

7 1

1

7 1

1

I n e q

u a ç õ e s

1 .

D e s

i g u a l d a d e s – s í m b o l o s e p r o p r i e d a d e s

U N I D

A D E 1 0

U N I D

A D E

V a m o s c o m

p a r a r n ú m e r o s : 7 7

é u m a i g u a l d a d e ;

O s s i n a i s

( m a i o r q u e ) , ( m e n o r q u e ) e (

d i f e r e n t e ) s ã o s i n a i s d e d e s i g u a l d a d e . A i n d a e x i s t e m

o s s i n a i s :

( m a

i o r o u i g u a l ) e ( m e n o r o u i g u a l )

A s s i m c o m

o a s i g u a l d a d e s , a s d e s i g u a l d a d e s p o s s u e m d o i s m e m b r o s :

3 6

5 1

O b s e r v e o s q u a d r o s q u e p a r t e m s e m p r e d e u m a d e s i g u

a l d a d e v e r d a d e i r a :

E s t e s n ã o s ã o e x e m p l o s p a r t i c u l a r e s .

s ã o d e s i g u a l d a d e s .

1 o m e m b r o

2 o m e m b r

o

6 4

6 4

S o m a n d o o u s u b t r a i n d o o m e s m o n ú m e r o d e a m b o s o s m e m b r o s d e u m a

d e

s i g u a l d a d e v e r d a d e i r a , e l a p e r m a n e c e v e r d a d e i r a !

1 , 5 2

é u m a d e s i g u a l d a d e v e r d a d e i r a

1 . S o m e

2 , 5 a a m b o s o s m e m b r o s d a d e s i g u a l d a d e . A d e s i g

u a l d a d e p e r m a n e c e v e r d a d e i r a ? S i m .

2 . S u b t r a i a 0 , 5 d e a m b o s o s m e m b r o s d a d e s i g u a l d a d e . A d

e s i g u a l d a d e p e r m a n e c e v e r d a d e i r a ? S i m .

S u b t r a i n d o 8 d e a m b o s o s m e m b r o s

d a d e s i g u a l d a d e :

6 8

4 8

2

4 ( V e r d a d e i r a ! )

S o m a n d o 3 a a m b o s o s m e m b r o s d a

d e s i g u a l d a d e :

6 3

4

3

9 7

( V e r d a d e i r a ! )

2 2 0

2 8

2

8

A g o r a , a t e n ç ã o :

2

6

2

6

M a i s u m a p r o p r i e d a d e

M u l t i p l i c a n d o o u d i v i d

i n d o a m b o s o s m e m b r o s d a d e s i g u a l d a d e

p o r u m

m e s m o n ú m e r o

p o s i t i v o , a d e s i g u a l d a d e

s e m a n t é m v e r d a d e i r a .

5

3 é u m a d e s i g u a l d a d e v e r d a d e i r a

1 . M u l t i p l i q u e a m b o s o

s m e m b r o s d a d e s i g u a l d a d e p o r ( 2 ) .

A d e s i g u a l d a d e f i c a v e r d a d e i r a ? E s e t r o c a r m o s o s i n a l p e l o s i n a l ?

2 . A g o r a d i v i d a a m b o s o s m e m b r o s d a d e s i g u a l d a d e 5

3 p o r ( 2 ) .

R e l a t e o q u e v o c ê o b

s e r v o u . É p r e c i s o t r o c a r o s i n a l p o r p a r a q u e a d e s i g u a l d a d e f i q u

e v e r d a d e i r a .

S e m u l t i p l i c a r m o s o u d i v i d i r m o s a m b o s o s m e m b r o s d e u m a d e s i g u a l d a d e p o r u m m e s m o

n ú m e r o n e g a t i v o , é p r e c i s o :

p e l o

; o u

p e l o

s i n a l p a r a a d e s i g u a l d a d e f i c a r v e r d a d e i r a . N

ã o . S i m .

M u l t i p l i c a n d o a m b o s o s m e m b r o s d a

d e s i g u a l d

a d e p o r 5 :

2 5 8 5

1 0 4

0 ( V

e r d a d e i r a ! )

D i v i d i n d o a m b o s

o s m e m b r o s d a

d e s i g u a l d a

d e p o r 2 :

2 : 2

8 : 2

1 4

( V e r d a d e i r a ! )

M u l t i p l i c a n d o a m b o s o s m e m b r o s d a

d e s i g u a l d

a d e p o r ( 3 ) :

2 ( 3 ) 6 ( 3 )

6

1 8

( N ã o é v e r d a d e ! )

P a r a a d e s i g u a l d a d e f i c a r v e r d a d e i r a , p r e c i -

s a m o s t r o c a r o s i n a l p e l o s i n a l :

6

1 8 ( V e r d a d e i r a ! )

D i v i d i n d o a m b o

s o s m e m b r o s d a

d e s i g u a l d a

d e p o r ( 2 ) :

2 : ( 2 ) 6 : ( 2 )

1

3 ( N ã o é v e r d a d e ! )

N o e n t a n t o :

1

3 ( V e r d a d e i r a ! )













Â N G U L O S

E

T R I Â N G U L O S

2 3 1

Â n g

u l o s e t r i â n

g u l o s

1 .

R e c o r d a n d o . . .

V o c ê j á s a b

e v á r i a s c o i s a s s o b r e â n g u l o s , p o i s e s t u d a m o s e s s e a s s u n t o n o l i v r o d o 6 o a n o . V a m o s

r e l e m b r a r ?

T r a ç a m o s n

o p l a n o d u a s s e m i r r e t a s d e m e s m a o r i g e m , d i v i d i n d o o p l a n o e m d u a s r e g i õ e s . C a d a u m a

d e s s a s r e g i õ e s

é u m â n g u l o .

o u t r o â n g

u l o

A B u m â n g u l o

O

O A e O B s ã o s e m i r r e t a s

d e o r i g e m n o p o n t o O .

N a p r á t i c a , m a r c a m o s o â n g u l o q u e v a m o s c o n s i d e r a r ,

u s a n d o u m

p e q u e n o a r c o

, c o m o v o c ê v ê n a f i g u r a .

O s l a d o s d o â n g u l o r e p r e s e n t a d o s ã o a s s e m i r r e t a s O A e O

B . A o r i g e m

c o m u m à s d u a

s s e m i r r e t a s é o p o n t o O , c h a m a d o v é r t i c e

d o â n g u l o .

P o d e m o s n

o m e a r e s t e â n g u l o :

A Ô B ( l e m o

s â n g u l o A O B ) o u

Â ( l e m o s â n g u l o A ) .

S e o s l a d o s

d o â n g u l o f o r e m s e m i r r e t a s o p o s t a s , t e m o s u m â n g u l o d e

m e i a v o l t a , q u

e é c h a m a d o : â n g u l o r a s o :

U N I D

A D E 1 1

U N I D

A D E

S e o s l a d o s d o â n g u l o f o r e m s e m i r r e t a s q u e c o i n c i d e m , t e m o s u m :

O

A

B

â n g u l o n u l o

O

A

B

â n g u l o d e 1 v o l t a

o u

A

O

B

A B

L a d o s

O V é r t i c e

U m â n g u l o t e m

2 l a d o s e 1 v é r t i c e .


2 3 2

M e d i d a d e â n g u l o s

P a r a m e d i r u m â n g u l o , e s c o l h e m o s o u t r o c o m o u n i d a d e d e m e d i d a e

v e r i f i c a m o s q u a n t a s v e z e s

e l e “ c a b e ” n o â n g u l o a s e r m e d i d o .

A u n i d a d e d e m e d i d a m

a i s u s a d a p a r a â n g u l o s é o g r a u , c u j o s í m b o

l o é º . O â n g u l o d e 1 v o l t a

t e m 3 6 0 g r a u s ( 3 6 0 º ) . O b t e m o s o â n g u l o d e 1 º d i v i d i n d o o â n g u l o d e 1 v o l t a e m 3 6 0 â n g u l o s d e

m e s m a m e d i d a .

O t r a n s f e r i d o r é o i n s t r u

m e n t o u s a d o p a r a m e d i r â n g u l o s .

V e j a a s i l u s t r a ç õ e s :

C o m o r e g i s t r a r e m o s a

m e d i d a d e u m â

n g u l o ?

O b s e r v e a i l u s t r a ç ã o a o l a d o p a r a l e m b r a r c o m o

p o s i c i o n a m o s o t r a n s f e r i d o

r p a r a m e d i r u m â n g u l o . A

m e d i d a d o â n g u l o A Ô B é 6

0 º .

E s c r e v e r e m o s : m e d ( A Ô B

) 6

0 º o u m e d ( Ô ) 6

0 º .

E m v á r i a s s i t u a ç õ e s n e s t e l i v r o u s a r e m o s u m a l e t r a m i -

n ú s c u l a p a r a i n d i c a r a m e d

i d a d e u m â n g u l o :

N e s t a i l u s t r a ç ã o , a l e t r a x r e p r e s e n t a a m e d i d a

e m g r a u s d o â n g u l o Â .

1 °

A

x O

â n g u l o d e m e i a v o l t a , o u â n g u l o

r a s o , m e d e 1 8 0 º .

O

â n g u l o d e

1 4 d e v o l t a m e d e 9 0 º .

O

â n g u l o d e 9 0 º c h a m a - s e â n g u l o r e t o .

U s a m o s e

s s e s í m b o l o p a r a

i n d i c a r q u

e o â n g u l o é r e t o .

S e d u a s r e t a s r e s s e c o r t a m f o r m a n d o

4 â n g u l o s d e 9 0

º , d i z e m o s q u e e l a s s ã o

p e r p e n d i c u l a r e s .

N o t a ç ã o : r s

T r a n s f e r i d o r d e 1 8 0 ˚

T r a n s f e r i d o r d e 3 6 0 ˚

O

A

B






Â N G U L O S

E


2 3 5

D e t e r m i n e a

m e d i d a d o â n g u l o A B B D s a b e n d o q u e :

m e d ( A B B C ) 6

0 º e m e d ( D B B C ) 2

0 º 4 0 º

Â n g u l o

s

O s â n g u l o s

P ˆ O Q e R ˆ S T i l u s t r a d o s a o l a d o

t ê m

a m e s m a

m e d i d a . C o n f i r a u s a n d o o

t r a n s f e r i d o r .

E s c r e v e m o s : P Ô Q R ˆ S T s e m e d ( P Ô Q ) m e d ( R ˆ S T )

V e j a c o m o

p o d e m o s t r a ç a r u m â n g u l o P ˆ Q R c o n g r u e n

t e a u m â n g u l o A Ô B d a d o s e m u s a r o

t r a n s f e r i d o r :

1 . T r a ç a m o s u m a r e t a r e

m a r c a m o s o p o n t o Q

s o b r e e l a .

2 . C o m a p o n t a s e c a d o

c o m p a s s o e m O e d e p o i s

e m Q e m e s m a a b e r t u r a ,

t r a ç a m o s d o i s a r c o s ,

d e t e r m i n a n d o o s p o n t o s A ,

B e R c o m o v o c ê v ê n a fi g u r a

.

3 . C o m a p o n t a s e c a d o

c o m p a s s o e m R e a b e r t u r a i g u a l a

d i s t â n c i a e n t r e A e B , f a z e m o s u m

n o v o a r c o , d e t e r m i n a d o o p o n t o P .

T r a ç a m o s a s e m i r r e t a Q P ,

o b t e n d o o â n g u l o P Q R .

M a i s u m a

d e f i n i ç ã o :

D o i s â n g u l o s s ã o c h a m a d o s d e a d j a c e n t e s q u a n d o t ê m

o m e s m o

v é r t i c e e u m l a d o e m c o m u m q u e o s s e p a r a . N a f i g u r a a o

l a d o , C Ô B e

B Ô A s ã o â n g u

l o s a d j a c e n t e s . A i n d a n e s s a f i g u r a , o b s e r v e o

â n g u l o A Ô C .

A m e d i d a d e A Ô C é i g u a l à s o m a d a s m e d i d a s d e C Ô B e B

Ô A .

A C

B

O

C

D A

B

N a f i g u r a a o l a d o , P Ô S m e

d e 1 0 0 º p o i s :

1 5 º 2

0 º 6

5 º 1

0 0 º

O

S

P

R

Q

T

O Q

r

O

Q

A

B P

R

O Q

R A

B

r

r

Â n g u l o s d e m e s m a m e d i d a s ã o â n g

u l o s c o n g r u e n t e s .

m e d ( A Ô C ) m e d ( C Ô B )

m e d ( B Ô A )

ˆ

6 5 °

2 0 ° 1

5 °

P

Q

R

S

O


2 3 6

1 . O b s e r v e n a f i g u r a a o l a d o o s â n g u l o s f o r m a d o s

p e l a A v e n i d a d a s F l o

r e s e a R u a d a s M a r g a r i d a s .

A g o r a r e s p o n d a .

a ) E l e s s ã o s u p l e m e n t a

r e s ? P o r q u ê ?

b ) V o c ê s a b e d i z e r q u a l

d e v e s e r a m e d i d a d o â n g u l o

a s s i n a l a d o e m v e r m

e l h o f o r m a d o p e l a A v e n i d a

d a s F l o r e s e a R u a d o s L í r i o s ? 6 0 º

2 . M a r c o s t r a ç o u u m a r e t a e , u t i l i z a n d o u m d o s s e u s

e s q u a d r o s , t r a ç o u u m

â n g u l o d e 3 0 ° . Q u a l é a m e d i d a d o o u t r o â n g u l o q u

e f i c o u d e t e r m i n a d o ? 1 5 0 °

E s s e s d o i s â n g u l o s s ã o s u p l e m e n t a r e s ? S i m .

S i m , p o i s s u a s m e d i d a s

s o m a m 1 8 0 º .

3 .

Â n g u l o s s u p l e m e n t a r e s

N e s t a r u a f o r a m p i n t a d a s f a i x a s d e e s t a c i o n a m e n t o a 4 5 º .

V a m o s e x a m i n a r o m o d e l o g e o m é t r i c o p r e s e n t e n e s t a s i t u a ç ã o :

R u a d o s L í r i o s

R u a d a s M

a r g a r i d a s

A v e n i d a d a s F l o r e s

1 2 0 º

4 0 º

1 4 0 º

U m a f a i x a f o r m a c o m a

c a l ç a d a o â n g u l o A Ô B , d e 4 5 º .

N o e n t a n t o , f i c a d e t e r m i n a d o t a m b é m o â n g u l o B Ô C .

O b s e r v e q u e a s o m a d a s m e d i d a s d o s â n g u l o s A Ô B e B Ô C é 1 8 0 º .

E n t ã o , o â n g u l o B Ô C m e

d e 1 3 5 º , p o i s 4 5 º 1

3 5 º 1

8 0 º .

O s â n g u l o s A Ô B e B Ô C

s ã o â n g u l o s s u p l e m e n t a r e s . S u a s m e d i d a s

s o m a m 1 8 0 º .

T a m b é m p o d e m o s d i z e r

q u e 1 3 5 º é o s u p l e m e n t o d e 4 5 º .

A

C

B

c a l ç a d a

f a i x a

O

4 5 º

A r q u i v o d o a u t o r

3 0 °

?

J . C . R u z z a

3 0 °

0

6 0 °

o






Â N G U L O S

E


2 3 9

5 .

Â n g

u l o s o p o s t o s p e l o v é r t i c e

O s d e s t a q u

e s f e i t o s e m r o s a n a s f o t o g r a f i a s n o s l e m b r a

m â n g u l o s o p o s t o s p e l o v é r t i c e :

P e l o s m e s m

o s m o t i v o s , C Ô A e D Ô B t a m b é m

s ã o

â n g u l o s o p o s t o s p e l o v é r t i c e .

O q u e

s ã o â n g u l o s o p o s t o s p e l o v é r t i c e ?

T r a ç a m o s d

u a s r e t a s q u e s e i n t e r s e c t a m n o p o n t o O .

O s â n g u l o s

B Ô A e C Ô D t ê m o m e s m o v é r t i c e ( p o n t o O ) ,

e s e u s l a d o s s ã o s e m i r r e t a s o p o s t a s .

B Ô A e C Ô D s ã o â n g u l o s o p o s t o s p e l o v é r t i c e .

A t e n ç ã o !

N a f i g u r

a a o l a d o , t e m o s â n g u l o s q u e t ê m o m e s m o v é r t i c e , p o r é m n

ã o h á

â n g u l o s o p o

s t o s p e l o v é r t i c e . C o n v e r s e c o m s e u s c o l e g a s e e x p

l i q u e m p o r q u ê .

O s l a d o s n ã o s ã o s e m i r r e t a s o p o s t a s .

A

B D

C

O

A

B D

C

O



2 4 0

A Ô B e A Ô C s ã o s u p l e m

e n t a r e s :

A Ô B e B Ô D s ã o s u p

l e m e n t a r e s :

x

+ y

= 1 8 0 °

x

+ z

= 1 8 0

°

E n t ã o , x + y = x + z . S u b t r a i n d o x d e a m b o s o s m e m b r o s d a i g u a l d a d e , o b t e m o s y = z .

O s â n g u l o s A Ô C e B Ô D , q u e s ã o o p o s t o s p e l o v é r t i c e ( o p v ) , t ê m m e

s m a m e d i d a .

V a m o s a p l i c a r e s s a p r o p

r i e d a d e ? O b s e r v e a f i g u r a :

C o n h e c e n d o o â n g u l o d

e 4 0 ° p o d e m o s d e t e r m i n a r

a s m e d i d a s x , y e z d o s â n g u

l o s a s s i n a l a d o s s e m p r e c i s a r

U m a p r o p r i e d a d e i m p o r t a n t e

O b s e r v e o s p a r e s d e â n g u l o s o p o s t o s p e l o v é r t i c e : U

s a n d o o t r a n s f e r i d o r , p o d e m o s v e r i f i c a r q u e :

m e d ( A Ô B ) = m e d ( C Ô D ) = 1 3 0 °

m e d ( A Ô C ) = m e d ( B Ô D ) = 5 0 °

O s â n g u l o s o

p o s t o s p e l o

v é r t i c e t ê m m e s m a m e d i d a .

S e r á q u e t o d o p a r d

e â n g u l o s o p o s t o s p e l o v é r t i c e t e m m e s m a m e d i d a ?

V a m o s m o s t r a r q u e s i m :

C o m o q u e r e m o s m o s t r a

r u m a p r o p r i e d a d e d e f o r m a g e r a l , u s a r e m o s l e t r a s p a r a r e p r e s e n t a r a s

m e d i d a s d o s â n g u l o s .

y = 4 0 ° ( â n g u l o s o p v )

x + 4 0 ° = 1 8 0 ° ( â n g u l o s s u p l e m e n t a r e s )

x = 1 4 0 ° e

z = 1 4 0 ° , p o i s x e z s ã o

a s m e d i d a s d e â n g u l o s o p v .

A C

B D

O

z

x

A C

B D

O

y

x

A C

B

D

O 1 3 0 º

1 3 0 º

5 0 º

5 0 º

x

4 0 º

z

y




Â N G U L O S

E


2 4 1

6 .

Â n g

u l o s , p r o b l e m a s e e q u a ç õ e s

A p r e n d e m o s a r e s o l v e r e q u a ç õ e s .

P o d e m o s u

s a r e s s e s c o n h e c i m e n t o s p a r a r e s o l v e r p r o b l e m a s e m g e o m e t r i a . V e j a e x e m p l o s :

R e s o l v

e n d o a e q u a ç ã o :

9 x + 4

5 ° = 1 8 0 °

9 x = 1

8 0 ° – 4 5 °

9 x = 1

3 5 °

x =

1 3

5 º

9

x = 1 5

°

J á s a b e m o s q u e o s â n g u l o s B Ô A e C Ô B s ã o

s u p l e m e n t a r e s . E n t ã o :

8 x + 2

0 ° + x + 2 5 ° = 1 8 0 °

1 . N a f i g u r

a a o l a d o v a m o s d e s c o b r i r :

o v a l o r d e x ;

a s m e d i d a s d o s â n g u l o s B Ô A e C Ô B .

2 . D e n i s e “

t i r o u d e l e t r a ” o p r o b l e m a q u e o p r o f e s s o r A l m i r p r o p ô s :

D o i s â n g u l o s s ã o

c o m p l e

m e n t a r e s . U m d e l e s

m e d e 2 0 º a m a i s d o q u e o

o u t r o .

Q u a l é a m e d i d a d e

c a d a â n g u l o ?

S e r e p r e s e n t a r m o s a

m e d i d a d e u m d o s â n g u l o s

p o r x ,

a m e d i d a d o o u t r o s e r á x + 2 0 º . C o m o

o s â n g u l o s s ã o c o m p l e m e n

t a r e s ,

x + x + 2 0 º = 9 0 º .

O s â n g u l o s m e d e m

3 5 º e 5 5 º .

A g o r a é

c o m v o c ê !

D o i s â n g u l o s o p o s t o s p e l o v é r t i c e t ê m m e d i d a s r e s p e c t i v a m

e n t e i g u a i s a 3 x + 2 5 ° e 2 x + 4 5 ° . E s c r e v a

e m s e u c a d

e r n o u m a e q u a ç ã o p a r a r e p r e s e n t a r o p r o b l e m a , r e s o l v a - a e d e t e r m i n e a s m e d i d a s d e s s e s

â n g u l o s . 3 x 2

5 º 2

x 4

5 º ; x 2

0 º . E n t ã o 3 x 2

5 º 8

5 º e 2 x 4

5 º 8

5 º .

O

A

C

B

8 x + 2 0 o

x + 2 5 o

m e d ( B Ô

A ) = 8 x + 2 0 o =

8 1 5 + 2 0 o = 1 4 0 o

m e d ( C Ô

B ) = x + 2 5 o =

1 5 o + 2 5 o = 4 0 o


D A E

2 4 2

E x

e r c í c i o s

1 5 Q u a i s l e t r a s c o r r e s p o n

d e m

a m e d i d a s d e

â n g u l o s o p o s t o s p e l o v é r t i c e ? R e s p o n d a n o

c a d e r n o . b e c ; a e m n

1 6 N a f i g u r a , a s l e t r a s r e p r e s e n t a m a s m e d i d a s

d o s â n g u l o s a s s i n a l a d o s . Q

u a i s o s p a r e s c o n -

g r u e n t e s ? a e d ; b e e ; c e f

1 7 C a l c u l e a s m e d i d a s i n d

i c a d a s p e l a s l e t r a s .

a

b

c

m

n

a

b c

d

e f

x 7

2 º , y 7

2 º e z 1

0 8 º

x 1

2 0 º , y 4

5 º e z 6

0 º

1 8

C a l c u l e o v a l o r d e x :

5 x

x 1

0 0 º

x 2

5 º

1 9

O b s e r v e a f i g u r a e r e s p o n d a .

a ) Q u a l é o v a l o r d e x ? 2 0 º

b ) Q u a l é a m e d i d a

d o â n g u l o A Ô B ? 1 2 4 º

c ) Q u a l é a m e d i d a

d o â n g u l o B Ô C ? 5 6 º

2 0

C a l c u l e o v a l o r

d e x : x = 1 0 °

2 1 C a l c u l e o v a l o r

d e x , s a b e n d o q u e o s â n g u -

l o s s ã o c o m p l e m e n

t a r e s .

5 x x 9

0 º ; x 1

5 º

2 x x 1

5 º 9

0 ; x 3

5 º

a )

b )

2 2 C a l c u l e o s v a l o r e s d e x e d e y : x = 3 8 ° e y = 4 6 °

2 3 C a l c u l e a m e d

i d a d e u m

â n g u l o q u e é

i g u a l a o d o b r o d o s

e u c o m p l e m e n t o .

x 2

( 9 0 º x

) ; x 6

0 °

5 x

x

4 5 º

y

x

1 2 0 º

z

A

C

O

5 x 2

4 º

x 3

6 º

B

a )

b )

2 x

3 x 4

0 º

z 1 0 8 º

y

x

2 x

x 1

5 º

2 x 3

0 º

y

3 x 2

0 º

5 x

x 1

0 0 º







Â N G U L O S

E


2 4 5

8 .

B i s s

e t r i z d e u m â

n g u l o

N a f i g u r a a o l a d o , o â n g u l o A Ô B m e d e 6 0 º . A s e m i r r e t a O

M

d i v i d i u e s s e â n

g u l o e m d o i s â n g u l o s c o n g r u e n t e s A Ô M e M Ô

B .

m e d ( A Ô M ) =

3 0 º e m e d ( M Ô B ) = 3 0 º

A s e m i r r e t a O M é a b i s s e t r i z d e A Ô B .

P o r t a n t o , a

b i s s e t r i z d e u m â n g u l o :

é u m a s e

m i r r e t a d e o r i g e m n o v é r t i c e ;

d i v i d e e s s e â n g u l o e m d o i s â n g u l o s c o n g r u e n t e s .

P o d e m o s t

r a ç a r a b i s s e t r i z d e u m â n g u l o u t i l i z a n d o r é g u a e c o m p a s s o . T r a c e u m â n g u l o A Ô B

q u a l q u e r e m s e u c a d e r n o e s i g a o s p a s s o s .

A

B

X Y

O

B

X

C

A

Y

O

O

A

B

X

Y

C

1 . C o l o q u e a p o n t a s e c a d o c o m p a s s o

n o p o n t o d e

v é r t i c e d o â n g u l o

e t r a c e u m a r c o c o m a b e r t u r a

q u a l q u e r , c

o m o

v o c ê

v ê

n a

i l u s t r a ç ã o . O

a r c o c o r t a o s l a d o s

d o â n g u l o n o

p o n t o s X e Y .

2 . C o m

a p o n t a s e c a d o c o m

p a s s o

e m

X , t r a c e u m

n o v o a r c o . S e m

m u d a r a a b e r t u r a d o c o m p

a s s o ,

r e p i t a o p r o c e d i m e n t o c o l o c a

n d o a

p o n t a s e c a e m Y . V o c ê d e t e r m

i n o u

o p o n t o C .

3 . T r a c e c o m r é g u a a s e m i r r e t a O C , q u e

é a b i s s e t r i z d e A Ô B .

N a f i g u r a a

o l a d o , B D é b i s s e t r i z d e C ˆ B A .

C o m e s s a i n f o r m a ç ã o , p o d e m o s a f i r m a r q u e :

m e d ( A

ˆ B D ) = 7 0 º

m e d ( A

ˆ B C ) = 1 4 0 º

B

C

7 5 °

7 5 °

A

O

O C é a b i s s e t r i z d e A Ô B

D

O M é a b i s s e t r i z d e C Ô D

B

M

A

O

2 2 , 5

°

2 2 , 5

°

O

C

M

C

D 7 0 °

A

B



2 4 6

E x

e r c í c i o s

3 8 T r a c e a b i s s e t r i z e m u m

â n g u l o d e 1 3 0 º .

Q u a l é a m e d i d a d o s â n g u l

o s o b t i d o s ? 6 5 º

4 0 N a f i g u r a , O M é

b i s s e t r i z d e A Ô B , q u e é

u m

â n g u l o r e t o . R e s p o n d a

e m s e u c a d e r n o .

A

M

O

B

4 x

4 1 C a l c u l e o v a l o r d e x , e m

c a d a c a s o , s a b e n -

d o - s e q u e O C é b i s s e t r i z d o

â n g u l o d a d o .

A

C

B

O

2 x

1 0 º

b i s s e t r i z

5 x

2 0 º

C x 1 5 º

b i s s e t r i z

2

3 x

B

A

O

4 2 R e p r o d u z a a f i g

u r a e m

s e u c a d e r n o e r e s -

p o n d a .

x w

z

y

C o m p a r e s u a s r e s p o s t a s c o m a s d e s e u s c o l e g a s .

a ) A Ô X ? 2 5 °

d ) Y Ô C ? 1 5 °

b ) X Ô B ? 2 5 °

e ) X Ô Y ? 4 0 °

c ) B Ô Y ? 1 5 °

f ) A Ô Y ? 6 5 °

Q u a n t o m e d e o â n g u l o :

a ) O

q u e v o c ê s a b e

d o s â n g u l o s x e w ?

b ) E d o s â n g u l o s y e z ?

c ) D i v i d a c a d a â n g u

l o a o m e i o ( m e t a d e d a m e -

d i d a ) c o m u m a r e t a . O q u e v o c ê d e s c o b r i u ?

S ã o o p o s t o s p e l o v é r t i c e .

S ã o o p o s t o s p e l o v é r t i c e .

a )

b )

5 x 2

0 º

2 x 1

0 º

x 1

0 º

2 3 x x 1

5 o

x 4

5 o

a ) Q u a l é a m e d i d a d e

A Ô M ? 4 5 º

b ) Q u a l é , e m

g r a u s , o

v a l o r d e x ? 1 1 º 1 5 ’

3 9 A s s e m i r r e t a s O X e O Y

s ã o b i s s e t r i z e s d o s

â n g u l o s A Ô B e B Ô C , r e s p e

c t i v a m e n t e .

G i r o d e 9 0 ° ( 3 6 0 ° : 4 )

G i r o d e 1 2 0 ° ( 3 6 0 ° : 3 )


A s r o t a ç õ e s e m t

o r n o d e u m p o n t o ( o u g i r o s )

p o d e m s e r i n d i c a d a s c o m â n g u l o s . V e j a :

C u r i o s i d

a d e

R o t a ç ã o

d e

1 4 d

e v o l t a ( 9 0 º )

R o t a ç ã o

d e

1 3 d

e v o l t a ( 1 2 0 º )

Y

A

C X

B

5 0 º

3 0 º

O






Â N G U L O S

E


2 4 7

V a l e a p e n a

l e r

Â n g u l o

d e v i s ã o

V o c ê s a b i a

q u e o â n g u l o o u c a m p o d e v i s ã o d o s e r h

u m a n o é d e

1 8 0 ° ? I s s o s i g n i f i c a q u e q u a n d o e s t a m o s c o m a c a b e ç a i m ó v e l , p o d e m o s

e n x e r g a r o q u e e s t á a o n o s s o r e d o r n u m â n g u l o m á x i m o

d e 1 8 0 ° s ó

m o v i m e n t a n d

o o s o l h o s .

C u r i o s i d a d e

Q u a n d o s u

r g i r a m o s m o n i t o r e s d e c r i s t a l l í q u i d o

( L C D ) , o s f a b r i c a n t e s e n f r e n t a r a m u m p r o b l e m a : a o

o l h a r l a t e r a l m e

n t e p a r a o m o n i t o r , a i m a g e m p e r d i a

a n i t i d e z e a t é p o d i a d e s a p a r e c e r . I s s o o c o r r i a p o r q u e

a i m a g e m d e

u m L C D s ó e r a v i s t a d e u m â n g u l o

m á x i m o d e 1 4 0 ° , c o m o v e m o s n a f i g u r a . N o v o s

i n v e s t i m e n t o s

e m t e c n o l o g i a p r e c i s a r a m s e r f e i t o s

t o r e s m a i s m o d e r n o s , e s s e p r o b l e m a j á n ã o e x i s t e .

A c o r u j a , a s s i m c o m o n ó s , t e m o s o l h o s n a f r e n t e d a c a b e ç a e

v i s ã o b i n o c u l a r ( e n x e r g a u m

o b j e t o c o m a m b o s o s o l h o s e a o m e s m o

t e m p o ) . N o e n t a n t o , s e u s o l h o s n ã o s e m o v i m e n t a m , o q u e f a z c o m

q u e s e u â n g u l o d e v i s ã o s e j a m e n o r d o q u e o h u m a n o : 1 1 0 ° , s e n d o

s o m e n t e 7 0 ° d e v i s ã o b i n o c u l a r .

M a s a c o r u j a t e m u m a v a

n t a g e m . Q u a n d o n e c e s s i t a o l h a r a l g u m

m e n t a n d o a s s i m o s e u c a m p

o v i s u a l .

J a r n o g z / D r e a m s t i m e . c o m

M c i n i n c h / D r e a m s t i m e . c o m

Â N G U L O S

E


2 4 7


2 4 8

9 .

E x i s t ê n c i a

d e t r i â n g u l o s

L ú c i a f e z u m t r i â n g u l o u s a n d o 3 v a r e t a s d e m a d e i r a .

C o m

e s s a s m e s m a s 3 v a r e

t a s , e l a p o d e r i a t e r f e i t o u m

t r i â n g u l o d i f e r e n t e d e s t e ?

A r e s p o s t a é n ã o . S e f i x a m o s a s m e d i d a s d o s l a d o s d e

u m t r i â n g u l o , e l e f i c a d e f i n i d o , s u a f o r m a n ã o p o d e m u d a r .

V e j a a s m e d i d a s d o s l a d

o s d o t r i â n g u l o q u e L ú c i a m o n t o u .

6 c m

5 c m

4 c m

6 c m

5 c m

4 c m

O l a d o d e m a i o r m e

d i d a t e m 6 c m .

6 < 5 +

4

E m s e g u i d a , e l a t e n t o u m o n t a r u m t r i â n g u l o u s a n d o 3 v a r e t a s c o m c o

m p r i m e n t o s i g u a i s a 2 c m ,

3 c m e 6 c m . V e j a o q u e a c

o n t e c e u :

6 c m

3

c m

2 c m

6 3

2

6 5

6 c m

3 c m

2 c m

F a ç a e s s a e x p e r i ê n c i a : p e g u e 3 v a r e t a s o u p a l i t o s d e s o r v e t e e m o n t e

u m t r i â n g u l o . T e n t e d e f o r m á - l o , m u d a r s u a f o r m a . O t r i â n g u l o é r í g i d o , n ã o

s e d e f o r m a . I s s o n ã o a c o n t e c e c o m q u a d r i l á t e r o s , p e n t á g o n o s , h e x á g o n o s e

o u t r o s p o l í g o n o s .

V e j a : o q u a d r a d o p o d e s e r d e f o r m a d o ; o s â n g u l o s m u d a m d e m e d i d a

, t r a n s f o r m a n d o - o n u m

l o s a n g o !

F o t o s : A n s e l m o J r

N ã o d á p a r a f o r m a r

o t r i â n g u l o !






Â N G U L O S

E


2 4 9


O m e s m o o c o r r e u q u a n d o u s o u 3 v a r e t a s c o m o s c o m p

r i m e n t o s i n d i c a d o s a b a i x o :

4 2

1

4 3 4

c m

1 c m

2 c m

4 c m

2 c m

1 c m

5 3

2

5 5

5 c m

3 c m

2 c m

5 c m

3 c m

2 c m

L ú c i a p e r c e

b e u q u e n e m s e m p r e é p o s s í v e l c o n s t r u i r u m

t r i â n g u l o c o n h e c e n d o a s m e d i d a s d e 3

s e g m e n t o s . H

á u m a c o n d i ç ã o p a r a q u e i s s o a c o n t e ç a .

S ó é p o s s í v e l c o n s t r u i r u m t r i â n g u l o s e a m e d i d a d

o m a i o r l a d o

f o r m e n o

r q u e a s o m a d a s m e d i d a s d o s o u t r o s d o i s l a d o s .


O t r i â n

g u l o c u j o s l a d o s m e d e m 8 c m , 5 c m e 7 c m

e x i s t e , p o i s 8 5

7 .

N ã o e

x i s t e o t r i â n g u l o d e l a d o s c o m m e d i d a s 4 , 5

c m , 3 c m , 1 , 5 c m , p o i s 4 , 5 = 3 + 1 , 5 .

4 3 V e r i f i q u e

s e é p o s s í v e l c o n s t r u i r u m

t r i â n -

g u l o c u j o s l a d

o s m e d e m :

a ) 8 c m , 6 c m

e 7 c m

S i m .

b ) 3 c m , 6 c m

e 5 c m

S i m .

c ) 1 0 c m , 4 c

m

e 6 c m

N ã o .

d ) 3 , 5 c m , 5 , 5 c m

e 2 c m

N ã o .

e ) 7 , 2 c m , 3 , 8 c m

e 5 , 2 c m

S i m .

4 4 C o

r t e c a n u d i n h o s d e r e f r e s c o c o m

o s c o m -

p r i m e n

t o s d e 1 2 c m , 9 c m , 7 c m

e 3 c m . C o m

e l e s p r o c u r e c o n s t r u i r t o d o s o s t r i â n g u l o s p o s s í -

v e i s . Q

u a n t o s t r i â n g u l o s c o n s e g u i u c o n s t r u i r ?

P o d e m o s s a b e r

s e o t r i â n g u l o

e x i s t e a n t e s

m e s m o d e

t e n t a r c o n

s t r u í - l o !

E s s a é a c o n d i ç ã o

d e e x i s t ê n c i a

d e u m t r i â n g u l o .

2 t r i â n g u l o s



2 5 0

1 0 .

C l a s s i f i c a

ç ã o e c o n s t r u ç ã o d e

t r i â n g u l o s

C l a s s i f i c a m o s o s t r i â n g u

l o s :

q u a n t o a o s l a d o s

q u a n t o a o s â n g u l o s

R e n a t o p e n s o u e m

c o n s t r u i r u m t r i â n g u l o c o m d o i s â n g u l o s r e t o s .

E s t e t r i â n g u l o e x i s t e ? N ã o .

E x i s t e u m t r i â n g u l o c o m d o i s â n g u l o s o b t u s o s ? N ã o .

E q u i l á t e r o :

3 l a d o s d e m e s m a m e d i d a

I s ó s c e l e s :

2 l a d o s d e m e s m a m e d i d a

E s c a l e n o :

3 l a d o s d e m e d i d a s d i f e r e n t e s

A c u t â n g u l o :

3 â n g u l o s a g u d o s

O b t u s â n g u l o :

1 â n g u l o o b t u s o

R e t â n g u l o :

1 â n g u l o r e t o

3 c m

3 c m

4 c m

3 c m

3 c m

3 c m

V e j a e x e m p l o s d e c o n s t r u ç ã o d e t r i â n g u l o s d a d a s a s m e d i d a s d e s e u

s l a d o s :

V a m o s t r a ç a r u m t r i â n g u l o A B C d e l a d o s A B 4 c m , B C 3 c m

e A C 2 c m . P a r a f a z e r

t a m b é m e s t a c o n s t r u ç ã o , v

o c ê p r e c i s a r á d e r é g u a e d e c o m p a s s o .

1 . T r a c e u

m d o s l a d o s , p o r e x e m p l o , A B 4 c m .

A

B

4 c m

2 .

p l o , A C 2 c m . C o m a p o n t a s e c a d o c o m p a s s o e

m A , t r a c e u m a r c o , c o m o

v o c ê v ê n a i l u s t r a ç ã o .

A

B

3 c m

4 c m

5 c m






Â N G U L O S

E


2 5 1

3 . U s e a r é

g u a p a r a o b t e r a b e r t u r a i g u a l à m e d i d a d o

t e r c e i r o l a d o , B C = 3 c m . C o m a p o n t a

s e c a d o

c o m p a s s o e m B , t r a c e o a r c o c o m o n a i l u s t r a ç ã o . V o c ê d e t e r m i n o u o p o n t o C .

4 . T r a c e , c o m a u x í l i o d a r é g u a , o s s e g m e n t o s z A C e z B C , o b t e n d o o t r i â n g u l o A B C .

V a m o s c o n s t r u i r o t r i â n g u l o D E F e q u i l á t e r o , d e l a d o 2

c m .

1 . C o m o o

t r i â n g u l o é e q u i l á t e r o , t e m o s D E = D F = E

F = 2 c m . T r a ç a m o s u m

d o s l a d o s , p o r

e x e m p l o

, D E .

2 . C o m a p

o n t a s e c a d o c o m p a s s o e m D , d e p o i s e m E , m

a n t e n d o a b e r t u r a i g u a l à m e d i d a d e D E ,

t r a ç a m o s d o i s a r c o s q u e s e c o r t a m n o p o n t o F . C o m

r é g u a , t r a ç a m o s o s l a d o s z D F e z

t r u i n d o o t r i â n g u l o D E F .

C o n s t r u a c o m a u x í l i o d a r é g u a e d o c o m p a s s o o t r i â n g u l o :

a ) A B

C , s e n d o A B = 5 c m , A C = 3 , 5 c m e

B C = 6 c m .

b ) D E

F , s e n d o D F = E F = 4 c m e

D E = 2 , 5 c m .

c ) G H

I e q u i l á t e r o d e l a d o 5 c m .

F á c i l , n ã o ?

E

D

A

B

C

F

D

E

D

E

D

E

F

C

A

B


2 5 2

1 1 .

S i m e t r i a

n o t r i â n g u l o i s ó s c e

l e s

C o n s t r u a , e m p a p e l s u l f i t e , c o m r é g u a e c o m p a s s o o t r i â n g u l o A B C

i s ó s c e l e s c o m l a d o s A B 4 c m , B C A

C 5 c m , r e p r e s e n t a d o a o l a d o .

M a r q u e e n o m e i e a s m

e d i d a s d o s â n g u l o s , r e c o r t e a f i g u r a c o m

c u i d a d o .

c e l e s . Â e ˆ B s ã o o s â n g u l o s

d a b a s e .

ˆ C é c h a m a d o â n g u l o d o v é r t i c e .

D o b r e o t r i â n g u l o p e l a l i n h a r e p r e

s e n t a d a a o l a d o , f a z e n d o

c o i n c i d i r o s l a d o s A C e B C .

A l i n h a d e d o b r a é o e i x o d e s i m e t

r i a d o t r i â n g u l o . O e i x o d e

s o b r e p õ e m p e r f e i t a m e n t e q u a n d o d o b r a m o s a f i g u r a p o r e s s e e i x o .

T o d o t r i â n g u l o i s ó s c e l e s t e m u m ú n i c o e i x o d e s i m e t r i a .

C o m o o s â n g u l o s ˆ A e ˆ B s e s o b r e p õ

e m p e r f e i t a m e n t e , t e m o s

q u e a b .

E s s a p r o p r i e d a d e v a l e p a r a t o d o t r i â n g u l o i s ó s c e l e s .

A q u i c o n s t a t a m o s s u a v

a l i d a d e u s a n d o d o b r a d u r a s e s i m e t r i a .

N o v o l u m e d o 8 o a n o p r o v a r e m o s q u e e l a é s e m p r e v á l i d a .

A i n d a p o d e m o s e x p l o r a r u m p o u c o m a i s n o s s a f i g u r a : o e i x o d e

s i m e t r i a d i v i d e o â n g u l o ˆ C

e m d o i s â n g u l o s c o n g r u e n t e s .

O e i x o d e s i m e t r i a d e t e r m i n a a b i s s e t r i z d o â n g u l o d o v é r t i c e .

O s â n g u l o s d a b a s e d e u m t r i â n

g u l o i s ó s c e l e s

s ã o c o n g r u e n t e s .

J u n t e - s e a u m c o l e g a p a r a d e s c o b r i r a s m e d i d a s

x e y i n d i c a d a s n a f i g u

r a , s a b e n d o q u e o t r i â n g u l o

R S T é i s ó s c e l e s c o m R

T S

T e q u e t é e i x o d e s i m e t r i a .

x 4

0 º e y 5

0 º

y

t

x

R

S

T

4 0 o

b i s s e t r i z d e ˆ C

C c

a

b

B

A

C

c

a

b

B

A

C c

B

A






Â N G U L O S

E


2 5 5

V i m o s

q u e s e o t r i â n g u l o A B C é e q u i l á t e r o , a = b = c .

P e l a p r o p r i e d a d e a c i m a t e m o s q u e a + b + c = 1 8 0 º .

C o n v e r s e c o m o s c o l e g a s e r e s p o n d a :

Q u a l é

a m e d i d a d e c a d a â n g u l o d e u m t r i â n g u l o e q u i l á t

e r o ? 6 0 º

1 3 .

Â n

g u l o s i n t e r n o s d o s

t r i â n g u l o s

O â n g u l o d e s c o n h e c i d o n e s s e t r i â n g u l o

m e d e 7 0 ° , p o i s 5 0 ° + 6 0 ° = 1 1 0 °

1 8 0 ° –

1 1 0 ° = 7 0 °

C o m e s s a s

a t i v i d a d e s , v e r i f i c a m o s e x p e r i m e n t a l m e n t e u

m a p r o p r i e d a d e m u i t o i m p o r t a n t e :

A

s o m a d a s m e d i d a s d o s â n g u l o s i n t e r n o s d e u m t r i â n g u l o é i g u a l a 1 8 0 ° .

D e s e n h e c o m r é g u a , e m s e u c a d e r n o , u m t r i â n g u l o q u

a l q u e r . M e ç a o s â n g u l o s i n t e r n o s d e s s e

t r i â n g u l o e s o

m e a s m e d i d a s . Q u e s o m a v o c ê o b t e v e ?

S e u s c o l e g a s t a m b é m t r a ç a r a m e m e d i r a m o s â n g u l o s i n t e r n o s d e u m t r i â n g u l o . Q u e v a l o r e l e s

e n c o n t r a r a m p a r a a s o m a d a s m e d i d a s d e s s e s â n g u l o s ?

A g o r a d e s e n h e u m t r i â n g u l o q u a l q u e r n u m a f o l h a d e p

a p e l q u e v o c ê p o s s a r e c o r t a r .

P i n t e o s â n

g u l o s i n t e r n o s d o t r i â n g u l o , r e c o r t e - o s e d e p

o i s j u n t e , c o m o m o s t r a a f i g u r a .

C o m s

e u t r a n s f e r i d o r , m e ç a o s â n g u l o s i n t e r n o s

d e s s e t r i â

n g u l o .

O â n g

u l o B n ó s j á m e d i m o s p a r a v o c ê : 7 0 ° .

S o m e

a s m e d i d a s d o s t r ê s â n g u l o s . Q u a l é o

r e s u l t a d o

o b t i d o ? 1 8 0 º

m e d ( A )

m e d ( B ) m

e d ( C ) 1

8 0 o

ˆ

ˆ

ˆ

S e r g e y G a l u s h k o / D r e a m s t i m e . c o m

A

C

B

A

B

C

A

B

C

A a

b

c

C

B

5 0 º

6 0 º

x


2 5 6

E x

e r c í c i o s

5 4 O b s e r v a n d o a s f i g u r a s , d e t e r m i n e o v a l o r

d e x e m

c a d a u m

d o s t r i â n g u l o s .

a ) 1 0 0 °

b ) 8 8 °

c ) 2 0 °

5 6 O s â n g u l o s d e u m t r i â n g u l o m e d e m 3 x , 4 x

e 5 x . D e t e r m i n e o

v a l o r d e x , e m

g r a u s , e a

m e d i d a d o m e n o r â

n g u l o . x = 1 5 ° ; 4 5 °

5 7 O b s e r v e o r e t â n

g u l o A B C D .

Q u a n t o a o s l a d o s ,

q u e n o m e t e m

o t r i â n g u l o

B O C ? E q u i l á t e r o .

5 8 C a l c u l e a s m e d

i d a s i n d i c a d a s p e l a s l e t r a s .

5 9 D e t e r m i n e o v a

l o r d e x e m

c a d a u m

d o s

t r i â n g u l o s .

2 x

x

x 3

0 º

x 1

4 0 º

6 0 N a f i g u r a , a r e t a v e r m e l h a é u m

e i x o d e

s i m e t r i a d o t r i â n g u l

o . D e t e r m i n e a s m e d i d a s

d e x e y .

x = 4 0 ° ; y = 5 0 °

5 5 C a l c u l e e e s c r e v a n o c

a d e r n o a s m e d i d a s

d o s â n g u l o s i n d i c a d o s c o m

a s l e t r a s x , y e z .

a )

b )

a )

b )

x 4

5 º

y 6

0 º

x 8

0 º

y 1

0 0 º

z 2

0 º

x

y

6 0 º

7 0 º 3

0 º

z A

B

C

D

x 7 5 º

y

3 0 º

A

B

C

D E

x

3 0 º

1 1 0 º

5 0 º

y

x

x = 3 5 ° ; y = 5 5 ° ; z = 7 0 °

2 0 º

z

x

3 5 º

5 5 º

y

1 2 0 º

6 0 º

O

A D

C B

4 5 º

3 5 º

4 6

º

7 0 º

4 6 º

x x

x





Â N G U L O S

E


2 5 7

1 4 .

S o m a d a s m e d i d a s d o s

â n g u l o s i n t e r n o s

d e

u m q

u a d r i l á t e r o

S e r á q

u e o s q u a d r i l á t e r o s t ê m a l g u m a p r o p r i e d a d e

r e l a t i v a a o s s e u s â n g u l o s i n t e r n o s ?

Q u e t a l i n v

e s t i g a r m o s ?

T r a ç a m

o s u m q u a d r i l á t e r o q u a l q u e r A B C D . V a m o s

i d e n t i f i c a r s e u s e l e m e n t o s .

4 l a d o s : A B , B C , C D , D A

4 v é r t i c e s : A , B , C , D

4 â n g u l o s i n t e r n o s : A ˆ , B ̂, C ̂, D ˆ

2 d i a g o n a i s : A C e B D

S e t r a ç a r m o s s o m e n t e a d i a g o n a l A C , o q u a d r i l á t e r o A B C D f i c a d i v i d i d o e m d o i s t r i â n g u l o s .

A s d i a g o n a i s s ã o s e g m e n t o s d e r e t a c u j a s

e x t r e m i d a d e s s ã o v é r t i c e s n ã o c o n s e c u t i v o s d e

u m p o l í g o n o . U m t r i â n g u l o n ã o t e m d i a g o n a i s .

O s q u a d r i l á

t e r o s t ê m d u a s d i a g o n a i s .

D e a c o

r d o c o m a n o s s a f i g u r a , a s o m a d a s m e d i d a s d

o s â n g u l o s i n t e r n o s d e s s e q u a d r i l á t e r o é :

C o m o

A B C D é u m q u a d r i l á t e r o q u a l q u e r , v e r i f i c a m

o s q u e :

D

C

B A

A

B

C

D

1 0 0 º

x

6 0 º

8 0 º

r s

t

u

y

x 3

6 0 º

1 8 0 º

1 8 0 º

A s o m

a d a s m e d i d a s d o s â n g u l o s i n t e r n o s d e u m q

u a d r i l á t e r o é i g u a l a 3 6 0 º .

U s a n d o

e s s a p r o p r i e d a d e p o d e m o s d e s c o b r i r a m e d i d a

d o â n g u l o

d e s c o n h e c i d o n o q u a d r i l á t e r o a o l a d o .

8 0 º 6

0 º 1

0 0 º 2

4 0 º

A m e d i d a d o â n g u l o d e s c o n h e c i d o é o q u e f a l t a p a

r a

c o m p l e t a r

3 6 0 º , o u s e j a , 3 6 0 º 2

4 0 º

1 2 0 º . P o r t a n t o ,

x 1

2 0 º .

D

C

B A

u

t

s r

x

y


2 5 8

E x

e r c í c i o s

6 1

E m c a d a i t e m , v e r i f i q u e

s e a s r e t a s r e s s ã o

o u n ã o p e r p e n d i c u l a r e s .

6 2 Q u a l é o v a l o r d e x ? 5 8 º

6 3

A r e t a v e r m e l h a r e p r e s e n t a u m

e i x o d e s i -

m e t r i a d o q u a d r i l á t e r o A B C

D . O

â n g u l o B A D

m e d e 7 5 º .

Q u a n t o m e d e , e m

g r a u s , o

â n g u l o C A D ? 3 7 , 5 º

6 4

A c r e s c e n t e à f i g u r a d a e s q u e r d a o s d o i s q u a -

d r a d o s , d e m o d o q u e a s f i g u

r a s o b t i d a s t e n h a m :

a ) u m

e i x o d e s i m e t r i a ;

b ) d o i s e i x o s d e s i m e t r i a .


d e x n o s q u a d r i l á t e r o s .


d e x n a f i g u r a .

x

x

1 0 0 º

6 0 º

6 0 º

x

1 1 0 º

1 2 0 º

x 7

0 º

2 x 8

0 º 1

2 0 º 3

6 0 º

x 8

0 º

x x 2

0 º 6

0 º

7 0 º

3

6 0 º

x 1

0 5 º

O s â n g u l

o s n a a r t e

O b s e r v e a

r e p r o d u ç ã o d o

q u a d r o a s e g u

i r :

N e s t a , e e m

o u t r a s o b r a s d e s u a a u -

t o r i a , W a s s i l y K

a n d i n s k y ( 1 8 6 6 - 1 9 4 4 ) ,

u m d o s m a i o r e s p i n t o r e s d o s é c u l o X X ,

e x p l o r a o e m p r e g o d e â n g u l o s .

W a s s i l y K a n

d i n s k y . S o b r e o s p o n t o s ,

1 9 2 8 .

Ó l e o s o b r e t e l a ,

1 4 0 c m × 1 4 0 c m .

a )

b )

a )

b )

2 0 º

x

x 2

0 º

8 0 º

4 0 º

6 3 º

r

s

2 7 º

s

r

3 5 º

5 3 º

3 2 º

x

7 5 º

A

D

B

C

?

S ã o p e r p e n d i c u l a r e s .

N ã o s ã o p e r p e n d i c u l a r e s .

a )

b )

A n d r e a I n n o c e n t i / C u b o I m a g e s / G l o w i m a g e s












2 6 7

C O N S E R V E S E U

L I V R O .

T i r e c ó p i a s d o s m o l d e s e d a m a l h a .

D A E

M o l d e s e m a l h a p a r a

a s a

t i v i d a d e s

1 .

P r i s m

a t r i a n g u l a r

( a t i v

i d a d e M o n t a n d o p r i s m a s e p i r â m i d e s )

2 6 8

2 .

P r i s m a p e n

t a g o n a l


L I V R O .

T i r e c

ó p i a s d o s m o l d e s e d a m a l h a .

D A E



2 6 9

3 .

P r i s m a h e x a g o n a l


L I V R O .


D A E

2 7 0

4 .

P i r â m i d e d e b a s e q u a d r a d a


L I V R O .

T i r e c


D A E



2 7 1

5 .

P i r â m i d e d e b a s e p e n t a g o n

a l


L I V R O .


D A E

2 7 2

t e t r a e d r o

r e g u l a r

6 .

T e t r a e d o r e

g u l a r

( a t i v i d a d e P o l i e d r o s r e g u l a r e s )


L I V R O .


D A E



2 7 3

7 .

C u b o o u h e x a e d r o r e g u l a r


L I V R O .


D A E

2 7 4

8 .

O c t a e d r o r e g u l a r


L I V R O .

T i r e c


D A E



2 7 5

9 .

D o d

e c a e d r o r e g u l a r


L I V R O .


D A E

2 7 6

1 0 .

I c o s a e d r o r e g u l a r


L I V R O .

T i r e c


D A E













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Praticandomatemtica 7 2 Por Folha