Praticandomatemtica 9 2 Por Folha

7/25/2019 Praticandomatemtica 9 2 Por Folha

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P R

A T I C A

N D O

Á L V A R O A N D R I N I

M A R I A J O S É V A S C O N C E L L O S M

a t e m á t i c a

C o l e ç ã o P R A T

I C A N D O

M

A T E M Á T I C A

9 E D I Ç Ã O R E N O V A D A

M A T E M Á T I C A

M A N U A L D O P R O F E S S O R

P R A

T I C A N

D O

Á L V A R O A N D R I N

I

M A R I A J O S É V A S

C O N C E L L O S M

a t e m

á t i c a

C o l e ç ã o P R A T I C A N D O

M A T E M Á T I C

A

9 E D I Ç Ã O R E N O V A D A


Á L V A R O A N D R I N I

L i c e n c i a d o e m M a t e m á t i c a .

P ó s - g r a d u a d o e m Á l g e b r a L i n e a r

e E q u a ç õ e s D i f e r e n c i a i s .

F o i p r o f e s s o r e f e t i v o d e M a t e m á t i c a d a r e d e e s t a d u a l d u r a n t e t r i n t a a n o s .

A u t o r d e d i v e r s o s l i v r o s d i d á t i c o s .

M A R I A J O S É V A S C

O N C E L L O S

L i c e n c i a d a e m M a t e m á t i c a .

C o o r d e n a d o r a e p r o f e s s o r a d e M a t e m á t i c a e m e s c o l a d a r e d e p a r t i c u l a r .

C o a u t o r a d e c o l e ç ã o d e M a t e m á t i c a p a r a o E n s i n o M é d i o .

M A N U A L D O P

R O F E S S O R





4

P R A T I C A N D O


“ N ã o h á r a m

o d a M a t e m á t i c a ,

p o r a b s t r a t o

q u e s e j a , q u e n ã o

p o s s a u m d i a v i r a s e r a p l i c a d o

a o s f e n ô m e n o s d o m u n d o r e a l . ”

L o b a c h e v s k y

A g r a d e c e

m o s a o p r o f e s s o r

E d u a r d o

W a g n e r p e l o s c o m e n t á r i o s

e s u g e s t õ

e s q u e c o n t r i b u í r a m

p a r a a m e l h o r i a d e s t e t r a b a l h o .

F e r n a n d o F a v o r e t t o U n i d a d e 1

P o

t e n c i a ç ã o

e r a

d i c i a ç ã o

1 . R e v e n d o a p o

t e n c i a ç ã o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 . P r o p r i e d a d e s

d a s p o t ê n c i a s . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1

3 . R e v e n d o a r a d i c i a ç ã o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5

4 . E x p o e n t e s r a c i o n a i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8

5 . P r o p r i e d a d e s

d o s r a d i c a i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9

6 . S i m p l i f i c a ç ã o

d e r a d i c a i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5

7 . A d i ç ã o e s u b t r a ç ã o d e r a d i c a i s . . . . . . . . . . . . . 2 8

8 . C á l c u l o s c o m

r a d i c a i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1

9 . R a c i o n a l i z a ç ã o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3

S U

M Á R I O

S U

M Á R I O

U n i d a d e 2

E q u a ç õ e s

d o

2 o

g r a u

1 . E q u a ç õ e s . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1

2 . R e s o l v e n d o e q u a ç õ e s d o 2 o g r a u . . . . . . . . 4 3

3 . F o r m a g e r a l d

e u m a e q u a ç ã o

d o 2 o g r a u . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 8

4 . T r i n ô m i o s q u a d r a d o s p e r f e i t o s

e e q u a ç õ e s d o 2 o g r a u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 9

5 . F ó r m u l a g e r a l d e r e s o l u ç ã o d a

e q u a ç ã o d o 2

o g r a u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4

6 . R e s o l v e n d o p

r o b l e m a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 8

7 . S o m a e p r o d u t o d a s r a í z e s d e

u m a e q u a ç ã o

d o 2 o g r a u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2

8 . E q u a ç õ e s f r a c i o n á r i a s q u e r e c a e m e m

e q u a ç ã o d o 2

o g r a u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 8

9 . E q u a ç õ e s b i q u a d r a d a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1

1 0 . E q u a ç õ e s i r r a c i o n a i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2





8

n f a t o r e

s i g u a i s a a

V e j a e x e m p l o s d e c á l c u l o s d e p o t ê n c i a s :

• 1 , 5

2 1 , 5

1 , 5 2 , 2 5

• 8 0 1

• ( 2 ) 5 (

2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 3 2

• ( 2 , 6 ) 0 1

•

3 7 2

3 7

3 7

9 4 9

• 4 3

1 4 3

1 6 4

•

7 9 – 2

9 7

2

8 1 4 9

•

1 5 – 3

( 5 ) 3

1 2 5

Q u a n d o a b a s e

é u m

n ú m e r o n e g a t i v o , é

n e c e s s á r i o e s c r e v ê - l a

e n t r e p a r ê n t e

s e s .

S e m p a r ê n t e s e s , o

s i n a l d e n e g a t i v o s e r á

a p l i c a d o a o r e s u l t a d o

d a p o t e n c i a ç ã o .

V o c ê j á t r a b a

l h o u n o s a n o s a n t e r i o r e s c o m a p o t e n c i a ç ã o e s u a s p r o p r i e d a d e s . V a m o s r e c o r d a r ?

D e f i n i ç õ

e s

C o n s i d e r a n d

o q u e a b a s e é u m n ú m e r o r e a l a e o e x p o e n t e é u m n ú m e r o n a t u r a l n , t e m o s :

a n a a a

a …

a p a r a n 1

a 1 a ; e , p a

r a a 0 :

a 0 1

a n

1 a n

1 a n

O s m a t e m á t i c o s t i v e r a m

v á r i a s r a z õ e s p a r a i n t r o d u z i r

e s s a s d e f i n i ç õ e s . P o r e x e m p l o , a m a n u t e n ç ã o d e p a d r õ e s :

O s e x p o e n t e s d i m i n u e m s e m p r e u m a u n i d a d e .

O q u o c i e n t e e n t r e

o s v a l o r e s s u c e s s i v o s d a s p o t ê n c i a s

é c o n s t a n t e e i g u a l a 3 .

V e j a :

1

7 9

2

1 4

9 8 1

1

8 1

4 9

8 1

4 9

A t e n ç ã o !

3 4

3 3

3 2

3 1

3 0

3 1

3 2

3 3

3 4

8 1

2 7

9

3

1

1 3

1 9

1 2 7

1 8 1

: 3

: 3

: 3

: 3

: 3

: 3

: 3

: 3

I l u s t r a ç õ e s : L á p i s M á g i c o

P O T E N C I A Ç Ã O

E

R A D I C I A Ç Ã O

9

E x

e r c í c i o s

Q u a l q u e r n ú m e r o

n a t u r a l 0 .

5

C a l c u l e .

a ) 2 8

3

b ) 7 4

9 2

c ) 1 0 1

0 0 0 0 4

d ) 0 0

e ) ( 2 ) 3

2 5

f ) ( 2 ) 6

4 6

g ) ( 2 )

1 2 8 7

h ) ( 3 ) 9

2

i ) ( 3 )

2 7 3

j ) ( 1 0 )

1 0 0 0 0 0 5

1

N u m d e p ó s i t o h á 1 0

c a i x a s , c a d a c a i x a

c o n t é m 1 0 p a c o t e s e c a d

a p a c o t e c o n t é m 1 0

p a r a f u s o s . Q u a n t o s p a r a f u s o s h á n o t o t a l ?

1 0 3 1

0 0 0

3

Q u a l é o n ú m e r o m a i o r : 2 2 2 o u 2 2 2 ? 2 2 2

2

Q u a l é o e x p o e n t e ?

4

C o m p l e t e , n o c a d e r n o , a t a b e l a q u e t r a t a d a

á r e a e d o p e r í m e t r o d e 5 q

u a d r a d o s d i f e r e n t e s .

a ) ( 7 ) 2 4

9

b ) 7 2

4 9

O s r e s u l t a d o s s ã o i g u a i s o u d i f e r e n t e s ? P o r q u ê ?

7

U m g a t o c o m e 4 r a t o s p o r d i a . Q u a n t o s r a -

t o s 4 g a t o s c o m e m

e m 4 d i a s ? 6 4 r a t o s

• 4 3 6

4

6

C a l c u l e .

a ) ( 3 ) 4 8

1

b ) 3 4 8 1

c ) 5 3

1 2 5

d ) ( 5 ) 3

1 2 5

e ) ( 1 , 4 ) 2 1 , 9 6

f ) 1 , 4

2

1 , 9 6

8

Q u a l é o v a l o r

d e a ? R e s p o n d a n o c a d e r n o .

9

T r a d u z a p a r a a l i n g u a g e m m a t e m á t i c a :

a ) o q u a d r a d o d e

5 ; 5 2

b ) o d o b r o d o q u a d r a d o d e 5 ; 2 5 2

c ) o c u b o d e 5 ; 5 3

d ) o t r i p l o d o c u b

o d e 5 . 3 · 5 3

a ) a 5 1

1

b ) a 6 0

0

c ) a 3 8

2

d ) a 2 2

5 5 o u ( 5 )

e ) a 4 1

6 2 o u ( 2 )

f ) a 2

9 ( C u i d a d o ! ) N ã o h á .

D i f e r e n t e s . N o i t e m a , o

( – 7 ) e s t á e l e v a d o a o e x p o e n t e 2 , e n q u a n t o n o

i t e m b , o 7 e s t á e l e v a d o

a o e x p o e n t e 2 e o r e s u l t a d o t e m s i n a l n e g a t i v o .

L a d o

3 7

1 , 5

1 2

x

Á r e a

9

P e r í m e t r o

1 4

2 , 2 5

4 9

1 2

2 8

6

2

4 x x 2

1 0 0 0

p a r a f u s o s

A t e n ç ã o !

E m a

l g u n s i t e n s p o d e

h a v e r d u a s r e s p o s t a s .

L á p i s M á g i c o

I l u s t r a C a r t o o n





1 2

U s a n d o e s s a f o r m a

d e r e p r e s e n t a ç ã o , u m a p

e s s o a

q u e n ã o f a l e o n o s s o i d i o m a

, m a s q u e

c o n h e ç a M a t e m á t i c a , s a b

e r á q u e

l i s t a m o s a s p r o p r i e d a

d e s

d a s p o t ê n c i a s !

2 7

3

9

3

3

3

1

2 7 3

3

2 4 3

3

8 1

3

2 7

3

9

3

3

3

1

2 4 3

3 5

A p l i c a n d o

a s p r o p r i e d a d e s d a s

p o t ê n c i a s , e c o n o m i z a m o s

c á l c u l o s e t e m p o !

P o d e m o s

u s a r l e t r a s p a r a g e n e r a l i z a r a s p r o p r i e d a d e s

q u e a c a b a m o s d e r e v e r .

A s b a s e s s ã o n ú m e r o s r e a i s a e b d i f e r e n t e s d e z e r o , e

o s e x p o e n t e s , n ú m e r o s i n t e i r o s m e n .

A g o r a , v o

l t a n d o à n o s s a e x p r e s s ã o . . .

V a m o s v e

r m a i s u m e x e m p l o .

T o m e m o s

a e x p r e s s ã o

2 4 3 3 8

2 7 4

.

S e r i a b a s t a n t e t r a b a l h o s o c a l c u l a r a s p o t ê n c i a s i n d i c a

d a s . N o e n t a n t o , p o d e m o s s i m p l i f i c a r

a e x p r e s s ã o .

P r i m e i r o f a t o r a m o s 2 4 3 e 2 7 :

V o l t a n d o

à e x p r e s s ã o i n i c i a l :

2 4 3 3 8

2 7 4

3 5

3 8

( 3 3 ) 4

3 5 + 8

3 3

4

3

1 3

3 1 2

3 1 3 – 1 2 3

1

3

E n t ã o , 2

4 3 3 8

2 7 4

3 .

a m a

n a

m + n

a m a

n a

m – n

( a m ) n a

m · n

( a b ) m a

m

b m

( a b

) m a

m

b m

F i c o u m a i s f á c i l !



E


1 3

E x

e r c í c i o s

a ) ( 8 3 ) 2 =

8 5

b ) 6 7 :

6 – 5 =

6 2

c ) ( 5 + 3 ) 2 =

5 2 +

3 2

d )

= 1 0 – 1

1 0 4

1 0 5

E E E C

2

4 0 0 :

2 3 9 7

A –

I

B –

I V

C –

I I

D –

I I I

1 6

O d e s e n h o a b a i x o r e p

r e s e n t a o c r u z a m e n -

t o d e l i n h a s h o r i z o n t a i s c o m l i n h a s v e r t i c a i s .

Q u a n t o s p o n t o s h a v e r i a

s e t i v é s s e m o s 1 8 l i -

n h a s h o r i z o n t a i s e 1 8 v e r t i c a i s ? 3 2 4 p o n t o s

1 7

T r a n s f o r m e n u m a ú n i c a p o t ê n c i a :

a ) 5 7

5 2 5

9

b ) a a 4

a a 6

c ) 7 7 3 4 9 7 6

d

) 7 1 0 :

7 4 7

6

e

) 3 2 :

3 5 3

7

f ) 1 0 6 :

1 0 3 : 1 0 1 0 2

1 8

C e r t o o u e r r a d o ? A n o

t e a r e s p o s t a n o c a -

d e r n o .

1 9

N o c h a v e i r o r e p r e s e n t a d o n a f i g u r a , s ã o

g u a r d a d a s a s c h a v e s d e

u m e s t a c i o n a m e n t o .

E m c a d a g a n c h o s ã o c o l o c a d a s 5 c h a v e s . N o

t o t a l , q u a n t a s c h a v e s p o d e

m s e r g u a r d a d a s ?

2 0

C a l c u l e m e n t a l m e n t e o v a l o r d e : 2 3 8

2 1

R e l a c i o n e , n o

c a d e r n o , a s e x p r e s s õ e s q u e

t ê m o m e s m o v a l o

r .

A 7

7 7 7

B (

7 2 ) 4

C

( 5 2 ) 2

D

5 2 5 4

I 7

3

7

I I 5

5 5 5

I I I ( 5

2 ) 3

4 9 4

2 2

S i m p l i f i q u e .

a )

( 7 2 ) 3

( 7 3 ) 2

1

b )

( 3 5 2 ) 3

( 3 2

5 ) 2

3 1

5 4

2 3

C a l c u l e m e n t a l m e n t e o p r o b l e m a . 3 7 :

3 5 3

2

2 4

Q u a n t o é :

a ) o d o b r o d e 2 1 0

? 2 2 1 0 2

1 1

b ) o q u á d r u p l o d e 2 1 0 ? 4 2 1 0 2

1 2

c ) o q u a d r a d o d e

2 1 0 ? ( 2 1 0 ) 2 2

2 0

d ) o c u b o d e 2 1 0 ?

( 2 1 0 ) 3 2

3 0 I V

1 2 5 c h a v e s

• 5 3

1 2 5

E m u m

a c a i x a h á 3 7 l

á p i s . Q u a n -

t o s p a

c o t e s , c o m

3 5

l á p i s e m

c a d a u

m , v o u c o n s e g u i r e m b a l a r ?

( A n o t e

o r e s u l t a d o n o c a d e r n o . )

9 p a c o t e s

I l u s t r a ç õ e s : I l u s t r a C a r t o o n







1 8 4

. E x p o

e n

t e s r a c i o n a

i s

A t é a g o r a t r a b a l h a m o s c o m p o t ê n c i a s c u j o s e x p o e n t e s e r a m n ú m e r o s i n t e i r o s .

E s e o e x p o e

n t e f o r u m n ú m e r o r a c i o n a l ?

P o r e x e m p l o

, q u a l é o s i g n i f i c a d o d e 7

1 2 ? E d e 2 , 8

3 4 ? E 1 6

0 , 2 5 ?

O s e x p o e n t e

s r a c i o n a i s r e l a c i o n a m a p o t e n c i a ç ã o e a r a d

i c i a ç ã o d a s e g u i n t e m a n e i r a :

S e a é u m n ú m e r o p o s i t i v o e m e n s ã o n ú m e r o s n a t u r a i s d i f e r e n t e s d e z e r o , e n t ã o :

a m n n

a m

n a m a

m n

V e j a n u m e x

e m p l o p o r q u e t o m a m o s b a s e p o s i t i v a :

( 2 ) 3 4 4

( 2 ) 3

C o m o ( 2 ) 3

é u m n ú m e r o n e g a t i v o , e s s a r a i z n ã o é u m n ú m e r o r e a l .

A s p o t ê n c i a s d e b a s e p o s i t i v a e

e x p o e n t e r a c i o n a l p o d e m s e r e s c r i t a s n a

f o r m a d e r a d i c a l , e o s r a d i c a i s p o d e m

s e r

e s c r i t o s n a f o r m a d e p o t ê n c i a c o m

e x p o e n t e r a c i o n a l .

E x e m p l o s :

A s p r o p r i e d a

d e s d a s p o t ê n c i a s c o n t i n u a m v a l e n d o p a r a o

s e x p o e n t e s r a c i o n a i s .

O f a t o d e p o t ê n c i a s c o m e

x p o e n t e s r a c i o n a i s p o d e r

e m s e r e s c r i t a s c o m o r a í z e s t a m b é m

t e m s u a s r a z õ

e s . D e n t r o d a i d e i a d e m a n t e r p a d r õ e s . . .

O s v a l o r e s d o s e x p o e n t e s d i m i n u e m s e m p r e

1 2 . D o m e s m

o m o d o c o m o o c o r r e p a r a o s e x p o e n t e s

n a t u r a i s , o s q u

o c i e n t e s e n t r e d o i s v a l o r e s s u c e s s i v o s d e p o t ê n c i a s d e v e m s e r c o n s t a n t e s :

4 x

x 1 x

2 4 x

4

C o m o

x 4

1 2 , t e m o s 4

1 2

4 .

4 1

4 1 2

4 0

4

x ?

1

• 7

1 2 2

7 1

7

• 2 , 8

3 4 4 2

, 8 3

• 1 6 0 , 2 5 1 6

1 4 4

1 6 1 4

1 6

•

5 5

1 2

• 3 4 2 4

2 3

• 5 2 7 2

7 5



E


1 9

1 a

p r o p r i e d a d e

S e m f a z e r c á l c u l o s , M á r c i o e s c r e v e u e m s e u c a d e r n o :

5 .

P r o p r i e d a

d e s

d o s r a

d i c a i s

V e j a c o m o e s c r e v e m o s a f o r m a g e r a l d e s s a p r o p r i e d a d e :

P a r a c a l c u l a r

4

6 2 5 ,

R o g é r i o

f a t o r o u 6 2 5 :

P a r a d e s c o b r i r a m e d i d a d o

l a d o d o q u a d r a d o d e á r e a

5 7 6 c m 2 , P a t r í c i a f e z :

6 2 5

5

1 2 5

5

2 5

5

5

5

1

D e p o i s f e z :

4 6 2 5 4

5 4

5 6 2 5 5 4

C u i d a d o c o m a b a s e n

e g a t i v a d o r a d i c a n d o !

V e j a u m e x e m p l o d o q

u e o c o r r e s e a b a s e f o r n e g a t i v a e o í n d i c e

f o r p a r :

( 3 ) 2

9 3

N e s s e c a s o , ( 3 ) 2

3 .

E s s a p r o p r i e d a d e p o d e

s e r ú t i l n o c á l c u l o d e r a í z e s .

V e j a :

A c o m p a n h e :

•

5 2 5

2 2 5

1 5

• 3

7 3 7

3 3 7

1 7

• 6

3 6 3

6 6 3

1 3

S e a é u m n ú m e r o p o s i t i v o e n é u m n ú m e r o n a t u r a l d i f e r e n t e d e z e r o ,

n

a n a .

E l e v o à q u i n t a

p o t ê n c i a e e x t r a i o

a r a i z q u i n t a : s ã o

o p e r a ç õ e s i n v e r s a s !









2 4

E x e r c í c i o s

4 7

E s c r e v a s o b

a f o r m a d e u m a ú n i c a r a i z .

4 8

L e i a o e x e r c í c i o q u e R e n a t o d e v e r e s p o n d e r :

R e s p o n d a v o c ê

t a m b é m . 8 1

•

x 3

5 0

C a l c u l e , i n d i c a n d o o r e s u l t a d o s e m r a d i c a l .

F a ç a o s c á l c u l o s

e r e s p o n d a e m

s e u c a d e r n o .

5 1

A f i g u r a é c o n s t i t u í d a p o r d u a s p a r t e s r e -

t a n g u l a r e s ( m e d i d a s e m c m ) .

a ) Q u a l é a á r e a d o r e t â n g u l o a z u l ? 4 c m 2

b ) Q u a l é a á r e a d o r e t â n g u l o v e r d e ? 6 c m 2

5 2

C a l c

u l e , u s a n d o a s p r o p r i e d a d e s d o s r a d i -

c a i s a r i t m é t i c o s .

5 3

A f i g u r a m o s t r a u m r e t â n g u l o e n o s e u i n -

t e r i o r u m

q u a d r a d o .

Q u

a l é a á r e a

d a p a r t e h a c h u r a d a

d

a f i g u r a ?

4 5

5 4

É v e

r d a d e q u e

6 4 1 6

6 4 1 6

=

? S i m .

4 9

C e r t o o u e r r a d o ? R e s p o n d a e m s e u c a d e r n o .

a )

5 4 3

5 1 2

b )

2 3 5

2 1 5

c )

3 2

4 3

3 2

1 2

d )

5

5 8

a )

2 1

3

7

=

⋅

C

b )

4 0

4

1 0

3

3

3

=

⋅

C

c )

2

5

1 0

3

⋅

=

E

d )

2

3 5

3 0

⋅

⋅

=

C

a )

3

1 2

⋅

6

b )

2

4

3

3 ⋅

2

c )

8

4

5

5 ⋅

2

d )

1 1

1 1

⋅

1 1

e )

2

5 0

⋅

1 0

f )

8

0 5 ,

⋅

2

g )

0 1

1 0

, ⋅

1

h )

0 5

5

1 0

, ⋅

⋅

5

a )

1 0

2

(

)

1 0

b )

8 3

2

(

)

4

c )

7 3

6

(

)

4 9

d )

3 2

4

(

)

8 1

A r a

i z q u a d r a d a

d a

r a i z

q u a d

r a d a

d e u m n ú m e r o

é i g u a l a

3 . Q u a l é e s s e

n ú m e r o ?

8

2

4 , 5

I l u s t r a ç õ e s : I l u s t r a C a r t o o n D A E


E


2 5

P a r a f a z e r a h i g i e n e p e s s o a l , c o z i n h a r ,

l i m p a r a c a s a , l a v a r a

r o u p a e t c . , c a d a

p e s s o a c o n s o m e e m m

é d i a 2 0 0 l i t r o s d e

á g u a p o r d i a .

U m r e s e r v a t ó r i o c o m

o e s s e s e r i a c a p a z

d e a b a s t e c e r u m g r u p o d

e 5 0 0 p e s s o a s p o r

a p r o x i m a d a m e n t e q u a n t o s d i a s ?

L e m b r e - s e d e q u e 1 m

3 1

0 0 0 L .

A p r o x i m a d a m e n t e 1 7 d i a s .

6 .

S i m p

l i f i c a ç ã o

d e r a

d i c a i s

U m r e s e r v a t ó r i o e m f o

r m a d e c u b o d e v e c o m p o r t a r 1 7 2 8 m 3 d e á g u a . Q u a l d e v e s e r a m e d i d a

d e s u a a r e s t a ?

V a m o s d e s c o b r i r ?

O v o l u m e d o c u b o é :

V a

3 .

C o m o V 1

7 2 8 m 3 , t e m o s a 3

1 7 2 8 .

E n t ã o , a

1 7 2 8

3

.

P o d e m o s d e t e r m i n a r e

s s a r a i z p o r t e n t a t i v a s . T a m b é m p o d e m o s u s a r a s p r o p r i e d a d e s d o s r a d i c a i s

p a r a d e t e r m i n á - l a :

1 7 2 8

2

8 6 4

2

4 3 2

2

2 1 6

2

1 0 8

2

5 4

2

2 7

3

9

3

3

3

1

1 7 2 8 2

6

3 3

1 7 2 8

2

3

2

3

2

2

3

3

6

3

3

6

3

3

3

3

3

3

3

3 3

3

2

2

3

1 2

L o g o , a a r e s t a d e v e m e d i r 1 2 m e t r o s .

A s p r o p r i e d a d e s d o s r a d i c a i s p e r m i t i r a m s i m

p l i f i c a r e c a l c u l a r a r a i z q u e

r e s o

l v i a o p r o b l e m a .

C o n f i r a c a l c u l a n d o s e 1 2 3 = 1 7 2 8 .

• F a t o r a m o s 1 7 2 8

a

a

a

V i c e n t e C o s t a

D A E



















4 2


G r a u d e

u m a e q u a ç ã o

A e q u a ç ã o 2

x 4

8 x

7

0 , q u e a c a b a m o s d e r e s o l v e r , é u m a e q u a ç ã o d o 1 o g r a u , p o i s o

m a i o r e x p o e n t e

d e x é 1 .

A s e q u a ç õ e s

p o d e m s e r c l a s s i f i c a d a s d e a c o r d o c o m o v a

l o r d o m a i o r e x p o e n t e d a i n c ó g n i t a .

N a s e q u a ç õ e

s d o 2 o g r a u , o v a l o r d o m a i o r e x p o e n t e d a i n c ó g n i t a é 2 .

5 y 2 7

y 0

9 x 2 2

5

x 2 2

x 4

3

8 1

0 a a

2 4

a 2 3

a

1

N o q u a d r o h á o i t o e q u a ç õ e s c o m u m a i n -

c ó g n i t a .

R e s p o n d a n o c a

d e r n o .

a ) Q u a i s s ã o e q

u a ç õ e s d o 1 o g r a u ? 2 , 5 e 8

b ) Q u a i s s ã o e q

u a ç õ e s d o 2 o g r a u ? 1 , 4 e 6

c ) Q u a i s s ã o e q

u a ç õ e s d o 3 o g r a u ? 3

d ) Q u a i s s ã o e q

u a ç õ e s d o 4 o g r a u ? 7

2

S e r á a e q u a ç ã o x ² + 3 x = x + 6 + x ² d o

2 o g r a u ? N ã o . A e q

u a ç ã o é d o 1 o g r a u .

3

C o n s i d e r e a e q u a ç ã o d o 2 o g r a u .

a ) 3 é s o

l u ç ã o d e s s a e q u a ç ã o ? N ã o .

b ) 2 é s o

l u ç ã o d e s s a e q u a ç ã o ? S i m .

c ) – 2 é s o l u ç ã o d e s s a e q u a ç ã o ? N ã o .

d ) – 5 é s o l u ç ã o d e s s a e q u a ç ã o ? S i m .

x ² + 3 x – 1 0 = 0

4

P a r a

a e x p r e s s ã o a b a i x o , e x i s t e m d o i s n ú -

m e r o s r e

a i s q u e p o d e m s e r c o l o c a d o s n o l u g a r

d e

. Q

u a i s s ã o e l e s ? 2 e – 4

(

+ 1 ) ² = 9

S ã o e x e m p

l o s d e e q u a ç õ e s d o 2 o g r a u .

1 )

x 2 –

5 x

+ 6 = 0

2 ) 2 x –

7 = 0

3 ) x

3 –

x 2 =

1 0

4 ) 6 x

2 –

x =

0

5 ) 3 x +

4 = 2 0

6 ) 4 x

2 –

2 = 3 4

7 ) 2 x

4 –

8

= 0

8 ) 9 x +

6 = 7 x +

4

R e s

o l v a

“ d e c a

b e ç a ” !

H á e q u a ç õ e s d o 3 o g r a u , 4 o g r a u , 5 o g r a u e t c .

P o r e x e m p l o

, o v a l o r d o m a i o r e x p o e n t e d a i n c ó g n i t a x n a

e q u a ç ã o 8 x x

2 2

x 4 0

é 4 . E n t ã o ,

e s s a e q u a ç ã o é

d o 4 o g r a u .

A t é a g o r a r e

s o l v e m o s s o m e n t e e q u a ç õ e s d o 1 o g r a u .

N e s t a u n i d a d e , r e s o l v e r e m o s e q u a ç õ e s d o 2 o g r a u .


H é l i o S e n a t o r e

E Q U A Ç Õ E S

D O

2 o

G R A U

4 3

1 . R e s o l v e r a e q u a ç ã o x ²

= 4 9 é a m e s m a c o i s a

q u e c a l c u l a r

4 9 ? N ã o ,

p o r q u e x ² = 4 9

x = 7 o u

x = – 7 ; e

4 9 = 7 .

2 . C a l c u l e , m e n t a l m e n t e , o s v a l o r e s d e x .

a ) x ² + 1 = 1 0 3 ; – 3

b ) x ² + 3 = 1 9 4 ; – 4

c ) x ² – 1 = 4 8 7 ; – 7

d ) 3 x ² = 7 5 5 ; – 5

e ) x 2 4 =

9 6 ; – 6

k l l

k l l

E s s a e q u a ç ã o

t e m d u a s s o l u ç õ e s !

I s s o n ã o a c o n t e c i a n a s

e q u a ç õ e s d o

1 o g r a u !

2 .

R e s o

l v e n

d o e q u a ç õ e s

d o

2 o g r a u

V o c ê j á s a b e r e s o l v e r a l g u m a s e q u a ç õ e s d o 2 o g r a u . A c o m p a n h e .

1 . L e i a a p e r g u n t a d a p r o f e s s o r a :

Q u a l é o n

ú m e r

o q u e

e l e v a d o a o q u a d r a d o

r e s u l t a e m n o

v e ?

P a r a r e p r e s e n t a r e s s a

s i t u a ç ã o p o d e m o s c h a m a r o n ú m e r o d e s c o n

h e c i d o d e x e e s c r e v e r u m a

e q u a ç ã o :

x 2 9

H á d o i s n ú m e r o s q u e e l e v a d o s a o q u a d r a d o r e s u l t a m e m n o v e : 3 e

3 .

I n d i c a m o s a s s i m :

x

k l 9

x

3

3 e 3 s ã o a s s o l u ç õ e s d a e q u a ç ã o d o 2 o g r a u x 2 9 .

U s a n d o o u t r a n o m e n c

l a t u r a b a s t a n t e c o m u m : 3 e 3 s ã o a s r a í z e

s d e s s a e q u a ç ã o .

E x p l i q u e s u a

r e s p o s t a .

• P r i m

e i r o p e n s e :

Q u a

n t o v a l e x ² ?

• E m s

e g u i d a :

Q u a

n t o v a l e x ?

I l u s t r a ç õ e s : L á p i s M á g i c o I l u s t r a C a r t o o n



4 4

2 . N u m t e r r e

n o q u a d r a d o f o i c o n s t r u í d a u m a c a s a q u e o c u p a a

á r e a d e u m r e t â

n g u l o d e m e d i d a s 8 m p o r 1 0 m . N a p l a n t a ,

a m e -

d i d a d o l a d o d o

t e r r e n o e s t á i l e g í v e l , m a s s a b e - s e q u e a á r e

a l i v r e

( A t e r r e n o – A

c a s a

) é

d e 3 2 0 m 2 .

Q u a n t o m e d

e o l a d o d o t e r r e n o ?

A á r e a d a c a

s a é A

c a s a 8 1 0 8

0 m 2

O t e r r e n o é

q u a d r a d o . R e p r e s e n t a n d o p o r x a m e d i d a d o s e u

l a d o :

A t e r r e n o x

2

C o m o A t e r r e n o A c a s a 3

2 0 m 2 , t e

m o s :

x 2 8

0 3

2 0

x 2 3

2 0 8

0

x 2 4

0 0

x

4 0 0

x

2 0

A s o l u ç ã o

2 0 n ã o s e r v e , p o i s a m e d i d a d o l a d o d e u m t e r r e n o n ã o p o d e s e r n e g a t i v a .

E n t ã o , o l a d o d o t e r r e n o m e d e 2 0 m .

E x i s t e m

l e i s m u n i c i p a i s q u e r e g u l a m e n t a m a o c u p a ç ã o d o s t e r r e n o s , p r i n c i p a l -

m e n t e o s r e s e r v a d o s a l o t e a m e n t o s e c o n d o m í n i o s . P o r

e x e m p l o , a á r e a c o n s t r u í d a

d e v e r á o c u p a r n o m á x i m o c e r t a p o r c e n t a g e m d a á r e a t o t a l d o t e r r e n o .

N o p r o b

l e m a , a c a s a c o n s t r u í d a o c u p a q u e p o r c e n t a g e m d a á r e a t o t a l d o t e r r e n o ?

A á r e a t o t a l d o t e r r e n o é A 2

0 2 4

0 0 m 2

P a r a r e s p o n d e r à p e r g u n t a , p r e c i s a m o s d e s c o b r i r q u

e p o r c e n t a g e m 8 0 r e p r e s e n t a e m

4 0 0 . C o m p

a r a n d o 8 0 e 4 0 0 p o r m e i o d e u m a r a z ã o :

8 0 4 0 0

2 0 1 0 0 2

0 %

A c a s a o c u p a 2 0 % d a á r e a t o t a l d o t e r r e n o .

3 . E x i s t e u m

n ú m e r o r e a l q u e e l e v a d o a o q u a d r a d o e s o m

a d o a 1 6 r e s u l t a e m z e r o ?

N ã o h á n ú m

e r o r e a l n e s s a s c o n d i ç õ e s . V e j a p o r q u e :

N ú m e r o d e s c o n h e c i d o : x .

E l e v a m o s x a

o q u a d r a d o , s o m a m o s 1 6 e i g u a l a m o s a z e r o , o b t e n d o u m a e q u a ç ã o :

x 2 1

6 0

P a r a q u e t e n

h a m o s x 2 1

6 0

é p r e c i s o t e r x 2

1 6 , m

a s n ã o e x i s t e n ú m e r o r e a l q u e e l e v a d o

a o q u a d r a d o r e

s u l t e e m u m n ú m e r o n e g a t i v o .

A e q u a ç ã o x 2

1

6 0 n ã o t e m s o l u ç ã o , o u n ã o t e m r a í z e s , n o c o n j u n t o d o s n ú m e r o s r e a i s , ® .

10 m

8 m

D A E

E Q U A Ç Õ E S

D O

2 o

G R A U

4 5

4 . V e j a o u t r a s i t u a ç ã o :

Q u a n d o é q u e u m

p r o d u t o é i g u a l a z e r o ?

Q u a n d o p e l o

m e n o s u m d o s

f a t o r e s é i g u a

l

a z e r o .

P e n s e i e m u m n ú m e r o .

E l e v e i - o a o q u a d r a d o e

s o m e i a o p r ó p r i o n ú m e r o .

O b t i v e o t r i p l o

d o n ú m e r o i n i c i a l . E m

q u e n ú m e r o p e n s e i ?

E n t ã o , v a m o s u s a r o u t r o c a m i n h o !

N a e q u a ç ã o x 2 x 3

x , p o d e m o s s u b t r a i r 3 x d e

a m b o s o s m e m b r o s :

x 2 x 3

x 0

x 2 2

x 0

E m s e g u i d a f a t o r a m o s x 2 2

x , c o l o c a n d o x e m e

v i d ê n c i a :

x ( x

2 ) 0

x 2 =

3 x – x

x 2 =

2 x

x = ±

M l l 2 x

O p a !

A s s i m n ã o d á

p a r a a c h a r x .

A e q u a ç ã o c o r r e s p o n d e n t e

a o p r o b l e m a é x 2 +

x =

3 x . V o u

r e s o l v e r d o m o d o c o m o f i z e m o s

n a s e q u a ç õ e s a n

t e r i o r e s . . .

x 2 + x = 3 x

É a l e i d o

a n u l a m e n t o d o p r o d u t o :

S e a

b

0 , e n t ã o

a

0 o u b

0 .












5 4 5

. F ó r m

u l a g e r a

l d e r e s o l u

ç ã o

d a e q u a ç ã o

d o 2

o g

r a u

2 a x

b

2 a x

4 a 2 x 2

2 a b x

b

2 a b x

b 2

x

b

2 a

O c o e f i c i e n t e a p o d e

n ã o s e r u m n ú m e r o

q u a d r a d o p e r f e i t o .

P o r i s s o v a m o s

m u l t i p l i c a r o s

d o i s m e m b r o s d a

e q u a ç ã o p o r 4 a .

N e s s a f ó r m u l a , p r e c i s a m o s e x t r a i r a r a i z q u a d r a d a d e .

S e o v a l o r

d e d e l t a f o r u m n ú m e r o n e g a t i v o , n ã o s e

r á u m n ú m e r o r e a l , e a e q u a ç ã o n ã o

t e r á s o l u ç ã o

n o c o n j u n t o ® .

S e 0 ,

0 , e x

b

2 a

f i c a x

b

2 a e a e

q u a ç ã o t e r á s o m e n t e u m a s o l u ç ã o .

S e o v a l o r d e d e l t a f o r u m n ú m e r o p o s i t i v o , a í a e q u a ç ã o t e r á d u a s s o l u ç õ e s r e a i s .

a x 2 b

x c

0

4 a 2 x 2 4

a b x 4

a c 0

O b s e r v e a f i g u r a . O t e r c e i r o t e r m o d o t r i n ô m i o d e v e s e r b 2 .

V a m o s s o m a

r b 2 a a m b o s o s m e m b r o s d a e q u a ç ã o :

4 a 2 x 2 4

a b x 4

a c b

2 b

2

P a r a q u e n o

p r i m e i r o m e m b r o d a e q u a ç ã o f i q u e s o m e n t e o

t r i n ô m i o q u a d r

a d o p e r f e i t o , v a m o s s u b t r a i r 4 a c d e a m b o s o s

m e m b r o s :

4 a 2 x 2 4

a b x b

2 b

2 4

a c

F a t o r a n d o o

t r i n ô m i o q u a d r a d o p e r f e i t o , o b t e m o s :

@ 2 a x b

# 2

b 2 4

a c

A e x p r e s s ã o

b 2 4

a c s e r á r e p r e s e n t a d a p e l a l e t r a g r e g a

( d e l t a ) .

F a z e n d o

b

2 4

a c n a e q u a ç ã o a c i m a , t e m o s :

@ 2 a x b

# 2

S u p o n d o

0 v e m :

2 a x b

S u b t r a i n d o b d e a m b o s o s m e m b r o s d a

e q u a ç ã o :

2 a x

b

e , f i n a l m e n t e , d i v i d i n d o a m b o s o s m e m b r o s p o r 2 a p a r a e n c o n t r a r x :

H á u m a f ó r m

u l a q u e p e r m i t e r e s o l v e r e q u a ç õ e s d o 2 o g r a u . V a m o s o b t ê - l a a p a r t i r d o m é t o d o

d e c o m p l e t a r q u a d r a d o s .

P a r t i r e m o s d

a e q u a ç ã o g e n é r i c a a x 2 b

x c 0 , c o m

a 0 .

N o s s o o b j e t i v o é o b t e r u m t r i n ô m i o q u a d r a d o p e r f e i t o n o p r i m e i r o m e m b r o d a e q u a ç ã o .


D A E

E Q U A Ç Õ E S

D O

2 o

G R A U

5 5

V a m o s r e s o l v e r e q u a ç õ e s a p l i c a n d o e s s a f ó r m u l a ?

1 . x 2 3

x 1

0 0

a 1

b 3

c 1

0

b

2 4

a c

3

2 4 1

@ 1 0 #

9

4

0 4

9

A g o r a a p l i c a m o s a f ó r m u l a p a r a d e t e r m i n a r o s v a l o r e s d e x :

x

x

L o g o , – 5 e 2 s ã o a s s o l u ç õ e s , o u a s r a í z e s , d a e q u a ç ã o x 2 3 x – 1 0 0 .

2 . 6 x 2 x 1 0

a 6

b 2 4

a c

b 1

1 2 4 6 ( 1 )

c

1

1 2

4 2

5

x

x

L o g o ,

e

s

ã o a s r a í z e s d a e q u a ç ã o 6 x 2 x 1 0 .

3 . 2 x 2 4

x 3 0

a 2

b

4

c 3

b

2 4

a c

(

4 ) 2 4 2 3

1

6 2

4

8

A e q u a ç ã o 2 x 2 4

x 3 0 n ã o t e m r a í z e s r e a i s .

I d e n t i fi c a m o s o s c o e fi c i e n t e s e o t e r m o

i n d e p e n d e n t e n a e q u a ç ã o .

C a l c u l a m o s o v a l o r d e .

b M

2 a

3 7

2

F a z

e n d o a v e r i f i c a ç ã o :

( 5 ) 2 3 ( 5 ) 1

0

2 5 1

5 1

0 0 e

2 2

3 2 1

0 4

6 1

0 0

b M

2 a

1 5

1 2

1 2

1 3

A t e n ç ã o ! N e s t e c a s o

M n ã o é

u m n ú m e r o r e a l .

3 7

2

4 2

x 1

2

3 7

2

1 0

2

x 2

5

1 5

1 2

4 1 2

1 3

x 1

1 5

1 2

6 1 2

1 2

x 2









6 2 7

. S o m

a e p r o

d u

t o d a s r a í z e s

d e u m a

e q u a ç ã o

d o

2 o

g r a u

E s c r e v e m o s d u a s e q u a ç õ e s d o 2 o g r a u e s u a s r a í z e s :

• x 2 5

x 6 0

t e m c o m o r a í z e s x 1 2 e x 2 3

a 1 ; b

5 e c 6

O b s e r v e q u

e :

x 1 x 2 2

3 5 e

x 1 x 2 2 3 6

• x 2 2

x 3 0

t e m c o m o r a í z e s x 1

3 e x 2 1

a 1 ; b

2 e c

3

O b s e r v e q u

e :

x 1

x 2

3 1

2 e

x 1

x 2

3 1

3

F a z e n d o e s s a a t i v i d a d e ,

v o c ê p e r c e b e r á q u e a s o m a d a s r a í z e s

e o p r o d u t o d a s r a í z e s t ê m a l g u m a

r e l a ç ã o c o m o s v a l o r e s d e a , b e c .

V a m o s d e s c o b r i r q u a l é e s s a r e l a ç ã o ?

A c o m p a n h e !

P e l a f ó r m u l a

g e r a l , a s r a í z e s d e u m a e q u a ç ã o d o 2 o g r a u

s ã o :

x 1

b

M

2 a

e x 2

b M

2 a

. E n t ã o ,

• x 1 x 2

b M

2 a

b M

2 a

2 b 2 a

• x 1 x 2

b M

2 a

b M

2 a

( b M

)

( b

M

)

4 a 2

( b ) 2 ( M ) 2

4 a 2

C o m o

b

2 4

a c , t e m o s :

x 1 x 2

b 2 (

b 2 4

a c )

4 a 2

b 2 b

2 4

a c

4 a 2

4 a c 4 a 2

F i n a l m e n t e : x 1 x 2

c a

C o p i e e c o

m p l e t e a t a b e l a , e n c o n t r a n d o p r i m e i r o a s r a í z e s

x 1 e x 2 d e c a d a e q u a ç ã o .

s e a n u l a m

5 3 4

– 2

– 5 1

3

– 2

5

– 1 0

– 1 5 4

F i n a l m e n t e : x 1 x 2

b a

b a b 2

4 a 2

E q

u a ç ã o

x 1

x 2

x 1

x 2

x 1

x 2

x 2 3

x

1 0

0

a

1 ; b

3 e c

1 0

x 2 2

x

1 5

0

a

1 ; b

2 e c

1 5

x 2 5

x

4

0

a

1 ; b

5 e c 4


E Q U A Ç Õ E S

D O

2 o

G R A U

6 3

1 . Q u a i s s ã o a s r a í z e s

d a e q u a ç ã o x 2 4

x 3 0

?

C o m o a 1 , t e m o s q u e S 4 e P 3 .

P r o c u r a m o s d o i s n ú m e r o s q u e s o m a d o s r e s u l t a m e m 4 e m u l t i p l i c a

d o s r e s u l t a m e m 3 .

O s n ú m e r o s s ã o 1 e 3 , p o i s 1 3 4 e 1 3 3 .

D e s c o b r i m o s m e n t a l m

e n t e q u e a s r a í z e s d a e q u a ç ã o x 2 4

x 3 0 s ã o 1 e 3 .

2 . Q u a i s s ã o a s r a í z e s

d a e q u a ç ã o

2 x 2 1

0 x 0

?

a 2 ; b

1 0 e c 0

S

b a

1 0 2

5

P

c a 0

S o m a 5 e p r o d u t o

z e r o . . . J á s e i : a s r a í z e s

s ã o 0 e

5 . 2

e 3 , é c l a r o !

A s r a í z e s d a e q u a ç ã o s ã o

x 1 = 2 e x 2 = 3 .

Q u a i s s ã o o s n ú m e r o s c u j a

s o m a é 5 e o p r o d u t o é 6 ?

S e t i v e r m o s a = 1 , a

e q u a ç ã o p o d e s e r

e s c r i t a c o m o x 2 S x

P 0 .

E s s a s r e l a ç õ e s p o d e m

n o s a j u d a r a r e s o l v e r a l g u m a s e q u a ç õ e s d o 2

o g r a u m e n t a l m e n t e .

V e j a m a i s e x e m p l o s a s e g u i r .

C h a m a n d o d e S a s o m a e d e P o p r o d u t o d a s r a í z e s d e u m a e q u

a ç ã o d o 2 o g r a u q u e t e n h a

r a í z e s r e a i s , t e m o s :

e

N a e q u a ç ã o x 2 5

x

6 0 , t e m o s a 1 .

E n t ã o :

S 5

P 6

S b a

P c a

F i q u e a t e n t o !

N e m s e m p r e é f á c i l d

e s c o b r i r a s r a í z e s m e n t a l m e n t e . P o r e x e m p l o , n a

e q u a ç ã o 2 x 2 5

x 3 0

t e r í a m o s d e d e s c o b r i r n ú m e r o s c u j a s o m a é 5 2 e c u j o p r o d u t o é 3 2

. A í f i c a m a i s f á c i l a p l i c a r a

f ó r m u l a g e r a l p a r a r e s o l v e r a e q u a ç ã o .












7 2

V e j a m a i s u m

e x e m p l o d e r e s o l u ç ã o d e s s e t i p o d e e q u a ç ã o .

R e s o l v e r e m o

s a e q u a ç ã o x 4 3

x 2 4 0 s u b s t i t u i n d o x

2 p o r y :

y 2 3

y 4

0

9

1 6

2

5

y 3

5 2

y 1 4

y 2

1

C o m o x 2 y , t e m o s :

A g o r a d e v e m

o s v e r i f i c a r s e a s o l u ç ã o e n c o n t r a d a s a t i s f a z a e q u a ç ã o o r i g i n a l , p o i s n e m s e m p r e

i s s o a c o n t e c e .

S u b s t i t u i n d o

x p o r 3 :

x 1 2

3 1 2

4 2

2 2

( i g u a l d a d e v e r d a d e i r a )

1 0

. E q u

a ç õ e s

i r r a c i o n a

i s

V a m o s r e s o l v e r a e q u a ç ã o

x 1 2 .

E l e v a r e m o s o s d o i s m e m b r o s d a e q u a ç ã o a o q u a d r a d o :

[ x 1

] 2 2

2

x 1 4

x 4 1

x 3

N ã o h á n ú m e r o r e a l q u e e l e v a d o a o

q u a d r a d o r e s u l t e e m u m n ú m e r o

n e g a t i v o .

V e r i f i c a d o : 3 é a r a i z d a e q u a ç ã o .

P a r a y

4 :

x 2 4

x

2

P a r a y

1 :

x 2

1

E n t ã o , a e q u

a ç ã o t e m c o m o s o l u ç õ e s 2 e 2 .

E q u a ç õ e s q u e t ê m

i n c ó g n i t a n o r a d i c a n d o s ã o

c h a m a d a s d e e q u a ç õ e s

i r r a c i o n a i s .

I n c ó g n i t a n o

r a d i c a n d o . . . A i n d a n ã o

t í n h a m o s v i s t o e q u a ç õ e s

d e s s e t i p o .


E Q U A Ç Õ E S

D O

2 o

G R A U

7 3

A c o m p a n h e m a i s e x e m

p l o s d e r e s o l u ç ã o d e e q u a ç õ e s i r r a c i o n a i s .

1 .

2 x 5 4

3 .

S o m a r e m o s 4 a a m b o s o s m e m b r o s d a e q u a ç ã o :

2 x 5 1

N o p r i m e i r o m e m b r o d a e q u a ç ã o , f i c a m o s s o m e n t e c o m o r a d i c a l . A g o r a e l e v a m o s a m b o s o s

m e m b r o s a o q u a d r a d o :

[ 2 x 5

] 2 1

2

2 x 5 1

2 x 1

5

2 x 6

x 3

É p r e c i s o v e r i f i c a r s e x

3 s a t i s f a z a e q u a ç ã o i n i c i a l :

2 x 5 4

3 ; p

a r a x 3

f i c a :

2 3 5 4 3

6 5 4

3

1 4

3

1 4

3

3

3 ( i g u a l d a d e v e r d a d e i r a )

2 .

x 1

x 5

.

( x 1

) 2 [

x 5 ]

2

x 2 2

x 1 x

5

x 2 2

x 1 x 5 0

x 2 3

x 4 0

( 3

) 2 4 1

( 4 )

9

1

6 2

5

x

3 5 2

C o n c l u í m

o s q u e x 3

é s o l u ç ã o

d a e q u a ç ã o .

x 1

3 5 2

4

x 2

3 5 2

1

x 1

x 5

• P a r a x 4 :

4 1

4

5

3

9

3 3

( V e r d a d

e i r o ! )

• P a r a x 1 :

1 1

1 5

2

4

2 2

( F

a l s o ! )

V o l t a m o s à e q u a ç ã o o

r i g i n a l p a r a v e r i f i c a r a s s o l u ç õ e s :

C o n s i d e r a m o s s o m e n t e a s o l u ç ã o x 4 .











8 2

C o m u m a ú l t i m a i n f o r m a ç ã o d e f i n i m o s a l o c a l i z a ç ã o : s e g

u i n d o p e l a e s t r a d a d a c i d a d e B p a r a a

c i d a d e A , o p o s

t o e s t á a 4 0 k m d a c i d a d e B .

E s e a c r e s c e n t a r m o s u m a

i n f o r m a ç ã o :

o p o s t o e s t á a

4 0 k m d a c i d a d e B ?

M e l h o r o u , m a s t e m o s d u a s

l o c a l i z a ç õ e s p o s s í v e i s p a r a

o p o s t o .

B

A

2 0 k m

E S T R A D A

4 0 k m

4 0 k m

•

•

?

?

B

A

2 0 k m

E S T R A D A

4 0 k m

•

R e p a r e q u e ,

a l é m d a d i s t â n c i a , p r e c i s a m o s i n f o r m a r a d i r

e ç ã o e o s e n t i d o .

O b s e r v e , n e s t a i l u s t r a ç ã o , q u e a s p e s s o a s

c a m i n h a m n a

m e s m a d i r e ç ã o , m a s e m s e n -

t i d o s o p o s t o s .

N a s l i n h a s p r e t a s d e s t a f i g u r a ,

q u a n t a s d i r e ç õ e s e q u a n t o s s e n t i d o s

p o d e m

o s i d e n t i f i c a r ? D u a s d i r e ç õ e s e q u a t r o s e n t i d o s . L á p i s M á g i c o



D A E

D A E

S I S T E M A

C A R T E S I A N O

8 3

J a i r é u m t

é c n i c o d e t r á f e g o e m o n i t o r a o t r â n -

s i t o d e u m a c i d a d e p o r m e i o d e c â m e r a s i n s t a l a -

d a s e m d

i v e r s o s p o n t o s

. U m a d a s c â m e r a s m o s -

t r o u u m a c i d e n t e s e m v í t i m a s , c o m o v o c ê v ê n a

i l u s t r a ç ã o a o l a d o . U m a v i a t u r a p o l i c i a l t r a f e g a n a

R u a M a r g a r i d a . Q u e i n f o

r m a ç õ e s J a i r d e v e p a s s a r

p o r r á d i o p a r a q u e a v i a t u r a l o c a l i z e r a p i d a m e n t e

o l o c a l d o a c i d e n t e ?

P a r a c o p i a r e s t e l o g o t i p o , L ú c i o q u a d r i c u l o u o d e s e -

n h o o r i g i n a l , m a r c o u a l g u n s

p o n t o s e n u m e r o u a s l i n h a s

h o r i z o n t a i s e v e r t i c a i s .

N u m a f o l h a d e p a p e l q u a d r i c u l a d o e l e l o c a l i z o u o s

p o n t o s e r e p r o d u z i u o l o g

o t i p o .

P o n t o A : 2 h o r i z o n t a l e 8 v e r t i c a l .

P o n t o B : 6 h o r i z o n t a l e 8 v e r t i c a l . . .

A s

s i m f i c a m a i s f á c i l !

0 •

1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

3

4

5

6

7

8

A

B

C

D E

F

G

H I

J

V i r a r à e s q u e r d a n a R u a S e m e n t e e

à e s q u e r d a n o v a m e n t e n a A v . d o S o l .

0 •

1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

3

4

5

6

7

8

A

B

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

J

C

I

D

H

E

G

F

0 •

1 2 3 4

1

2

3

4

5

6

7

•

•

A

C

• B

1 . N u m a f o l h a d e p a p e l q u a d r i c u l a d o , r e p r o d u z a o l o g o t i p o

l o c a l i z a n d o o s p o n t o s

c o m o L ú c i o f e z .

2 . Q u a l d o s p o n t o s m a r c

a d o s n o q u a d r i c u l a d o a o l a d o c o r r e s -

p o n d e à z e r o n a h o r i z

o n t a l e 2 n a v e r t i c a l ? C



I l u s t r a ç õ e s : D A E



8 4 2

. S i s t e

m a c a r t e s i a n o

E m M a t e m á t i c a h á u m s i s t e m a q u e p e r m i t e l o c a l i z a r p o n

t o s n o p l a n o .

T r a ç a m o s d u a s r e t a s n u m é r i c a s p e r p e n d i -

c u l a r e s q u e s e

i n t e r s e c t a m

n o p o n t o q u e r e -

p r e s e n t a o z e r o

d e c a d a u m a d e l a s . E l a s s e r ã o

c h a m a d a s d e e i x o s .

R e p a r e q u e

a s s e t a s i n d i c a m

o s e n t i d o

c r e s c e n t e d o s n

ú m e r o s q u e s e u s p o n t o s r e p r e -

s e n t a m .

L o c a l i z a m o s

o p o n t o P n o p l a n o :

• 3 n o e i x o x

;

• 4 n o e i x o y

.

A l o c a l i z a ç ã o

d e P é d a d a p e l o p a r o r d e n a d o ( 3 ; 4 ) o n d e 3 e

4 s ã o a s c o o r d e n a d a s d o p o n t o P : 3 é a

a b s c i s s a e 4 é a o r d e n a d a .

E s t a b e l e c e u - s e q u e o p r i m e i r o e l e m e n t o d o p a r s e m p r e s e r á a a b s c i s s a e o s e g u n d o e l e m e n t o ,

a o r d e n a d a d o p o n t o .

( 3 ; 4 ) é o p a

r o r d e n a d o q u e r e p r e s e n t a o p o n t o P n o p l a n o .

E s c r e v e m o s P ( 3 ; 4 ) .

F o r n e c e m o s

o s p a r e s o r d e n a d o s q u e r e p r e s e n t a m o s p o n

t o s A , B e C .

• E i x o h o r i z o

n t a l : é o e i x o d a s a b s c i s s a s ,

o u e i x o x .

• E i x o v e r t i c a l : é o e i x o d a s o r d e n a d a s ,

o u e i x o y .

E s c r e v a

e m s e u c a d e r n o o s p a r e s

o r d e n a d o s

q u e r e p r e s e n t a m o s p o n t o s

D e E , F e G .

D ( 0 ; 2 ) ; E ( 3 ; 3 ) ; F ( 4 ; 2 ) ; e G ( 1 , 7 5 ; 1 , 5 )

A ( 1 ; 2 )

B ( 3 ; 3 )

C ( 4 ; 0 )

( 1 ; 2 ) s ã o a s

c o o r d e n a d a s d e A .

4 3 2 1 0

1

2

3

4

5

x

y

5 4

3 2 1

1 2

3

4

P


4

3 2 1 1

2

3

4 0 1 2 3 4 y

1

2

3

4

x

D

G

F

E

B

C

A


S I S T E M A

C A R T E S I A N O

8 5

E x

e r c í c i o s

1

( S a r e s p ) O b s e r v e a f i g

u r a a b a i x o . E m q u a l

p o s i ç ã o e s t á a r o d a d a f r e

n t e d o c a r r o ?

a ) C 1

b ) D 3

c ) C 3

d ) D 2

2

O b s e r v e a p l a n t a d e u m a s a l a d e a u l a . N e l a ,

h á c a r t e i r a s i n d i v i d u a i s d

i s p o s t a s e m l i n h a s e

c o l u n a s .

a ) Q u a l é a p o s i ç ã o ( c o l u n

a ; l i n h a ) d a c a r t e i r a A ?

b ) Q u a l é a p o s i ç ã o ( c o l u n

a ; l i n h a ) d a c a r t e i r a B ?

( 2 ; 3 )

( 3 ; 2 )

3

D ê a s c o o r d e n a d a s d e c a d a p o n t o d o p l a -

n o c a r t e s i a n o .

A

C y

B

K

L

x

J

I

H

G F

D

E

A ( 5 ; 5 )

B ( 3 ; 2 )

C ( 0 ; 7 )

D ( – 4 ; 3 )

E ( – 7 ; 2 )

F ( – 5 ; 0 )

G

( – 6 ; – 3 )

H

( – 3 ; – 4 )

I

( 0 ; – 6 )

J ( 2 ; – 3 )

K ( 5 ; – 2 )

L ( 8 ; 0 )

4

U s e u m a f o l h a

d e p a p e l q u a d r i c u l a d o e r e -

p r e s e n t e , n o p l a n o c a r t e s i a n o , o s p o n t o s :

5

I n d i q u e q u a l d o s p o n t o s A , B , C , D , E , F

e G , a b a i x o , v e r i f i c a c a d a u m a d a s s e g u i n t e s

a f i r m a ç õ e s : D

E

0

F

B

C

G

A

y

x

a ) A a b s c i s s a é i g u

a l à o r d e n a d a . A

b ) A o r d e n a d a é n

e g a t i v a . D , F

c ) A a b s c i s s a é m e

t a d e d a o r d e n a d a . D

d ) A a b s c i s s a é o d o b r o d a o r d e n a d a . B

e ) A o r d e n a d a é n u l a . E

f ) A a b s c i s s a é n u l a . G

a ) A ( 2 ; 4 )

b ) B 5 ; 7 2

c ) C ( 3 ; 1 )

d ) D

1 2 ; 6

e ) E ( – 2 ; – 7 )

f ) F 0 ;

5 2

6

O s p o n t o s A ( 5 ; 6 ) ; B ( 6 ; 5 ) ; C ( 5 ; 6 ) ; e

D ( 5 ; 6 ) f o r a m m

a r c a d o s n u m s i s t e m a d e c o -

o r d e n a d a s c a r t e s

i a n a s . Q u a l d o s s e g u i n t e s

s e g m e n t o s d e r e t a é p a r a l e l o a o e i x o x ?

a ) A B

b ) C D

c ) B C

d ) A D

4 3 2 1

A

B C

D

E

x

x













9 4

a ) 6

b ) 8

c ) 9

d ) 1 2

x 2 0

( C e e t e s p s - S P ) O p a r o r d e n a d o d e n ú m e r o s

q u e r e p r e s e n t a a r e p r e s a é :

y

Z o o l ó g i c o

E s c o l a

I g r e j a

R e s e r v a t ó r i o d e

á g u a t r a t a d a

x

R e p r e s a

1

3

4

2

1

2

5 4 3

3 2 1 1

2

3

4

a ) ( 5 ; 3 )

b ) ( 3 ; 4 )

c ) ( 5 ; 3 )

d ) ( 4 ; 3 )

x

2 1

D o i s p o n t o s s i m é t r i c o s e m r e l a ç ã o a o e i x o

d a s a b s c i s s a s s ã

o :

a ) A e C

b ) A e D

c ) C e F

d ) C e D

x y

x

C D

2

4

1

3

5

E

F

B

A

2 2

A á r e a d o t r i â n g u l o A B C d a f i g u r a a b a i x o é :

2 3

( S a e

b - M E C ) N u m t a b u l e i r o d e x a -

d r e z , j o g a m o s c o m v á r i a s p e ç a s q u e s e

m o v i m e

n t a m d e m a n e i r a s d i f e r e n t e s . O c a v a l o

s e m o v e

p a r a q u a l q u e r c a s a q u e p o s s a a l c a n -

ç a r c o m

m o v i m e n t o s n a f o r m a d e “ L ” , d e t r ê s

c a s a s . N

a f i g u r a a b a i x o , o s p o n t o s m a r c a d o s

r e p r e s e n

t a m a s c a s a s q u e o c a v a l o p o d e a l c a n -

ç a r , e s t a

n d o n a c a s a D 4 .

D e n t r e a s c a s a s q u e o c a v a l o p o d e r á a l c a n ç a r ,

p a r t i n d o

d a c a s a F 5 e f a z e n d o u m a ú n i c a j o -

g a d a , e s

t ã o :

a ) G 3 o

u D 6

b ) H 5 o

u F 3

c ) H 7 o u D 7

d ) D 3 o u D 7

x 2

4

( V u n

e s p ) A á r e a d a f i g u r a é :

a ) 2 0 c m 2

b ) 2 1 c m 2

c ) 2 2 c m 2

d ) 2 3 c m 2

x

7 0

1

6 5 4 3 2 1

c m

c m

2

3

4

5

6

7

8



A B

C

U n i d a d e

d e m e d i d a

F U N Ç Õ E S

9 5

U N I D A D E 4

U N I D A D E

F u n ç õ e

s

1 .

C o n c e

i t o

d e

f u n ç ã o

A q u a n t i d a d e d e c o m b

u s t í v e l c o n s u m i d a p o r u m

a u t o m ó v e l é f u n ç ã o d a d

i s t â n c i a q u e e l e p e r c o r r e .

N e s s a a f i r m a ç ã o e e m

o u t r a s p r e s e n t e s e m n o s -

s o d i a a d i a , u s a m o s a e x p r e s s ã o “ é f u n ç ã o d e ”

p a r a m o s t r a r q u e a q u a n t i d a d e d e c o m b u s t í v e l

d e p e n d e d o n ú m e r o d e q u i l ô m e t r o s r o d a d o s p e l o

a u t o m ó v e l .

M a s o q u e é f u n ç ã o ?

J á p e r c e b e m o s a l i g a ç ã o

e n t r e a p a l a v r a f u n ç ã o e

a r e l a ç ã o d e i n t e r d e p e n -

d ê n c i a e n t r e o s v a l o r e s d e g r a n d e z a s .

V a m o s d e s c o b r i r m a i s ?

S a n d r a F a n z e r e s

E u d i g o 4 .

V a m o s l á !

V a m o s f a z e r u m a b r i n c a d e i r a :

e u d i g o u m n ú m e r o , v o c ê s

c a l c u l a m o d o b r o

d e l e ,

s o m a m 3 e d i z e m o r e s u l t a d o !

N ó s r e s p o n d e m o s 1 1 .

2 4 3 1

1










1 0 2

2 .

A s f u

n ç õ e s e s u a s a p

l i c a

ç õ e s

P o r q u e a p r e

n d e r f u n ç õ e s ?

N a c i ê n c i a e n a s m a i s v a r i a d a s a t i v i d a d e s h u m a n a s , a s f u n ç õ e s s ã o u s a d a s p a r a d e s c r e v e r e e s t u d a r

a r e l a ç ã o e n t r e g r a n d e z a s .

O g a s t o c o m c o m b u s t í v e l é f u n ç ã o d o n ú m e r o d e l i t r o s c o l o c a d o s n o t a n q u e d o a u t o m

ó v e l .

A d o s e d e r e m é d i o d a d a a u m a c r i a n ç a , m u i t a s v e z e s , é f u n ç ã o d a

m a s s a d a c r i a n ç a .

O j u

r o p a g o p o r u m e m p r é s t i m o é c a l c u l a d o e m f u n ç ã o d a

q u a

n t i a e m p r e s t a d a .

O p r e ç o d e u m a l i g a ç ã o t e l e f ô n i c a i n t e r u r b a n a

f r e q

u e n t e m e n t e é f u n ç ã o d o t e m p o d e c o n v e r s a ç ã o .

R o n C h a p p l e S t u d i o s / D r e a m s t i m e . c o m

D a n W i l t o n / i S t o c k p h o t o . c o m A n s e l m o j r A l e x a n d r e T o k i t a k a / P u l s a r I m a g e n s

F U N Ç Õ E S

1 0 3

x e y s ã o a s v a r i á v e i s d a f u n ç ã o .

O f u n c i o n á r i o d i g i t a n a b a l a n ç a o

p r e ç o d o k g d e c a r n e ( R $ 6 , 0 0 ) .

N o a ç o u g u e …

A b a l a n ç a c a l c u l a a u t o m a t i c a m e n t e

6

x e a p r e s e n t a n o v i s o r o v a l o r a

p a g a r . É o v a l o r d e y .

C o l o c a a c a r n e s o b r e o p r a t o d a

b a l a n ç a q u e r e g i s t r a a m a s s a ( é o

v a l o r d e x ) .

A s f u n ç õ e s t ê m a p l i c a ç õ e s n a s s i t u a ç õ e s d o c o t i d i a n o e d o t r a b a l h o . A c o m p a n h e .

1 . N o a ç o u g u e , o q u i l o g r a m a d e d e t e r m i n a d o t i p o d e c a r n e

c u s t a R $ 6 , 0 0 . O p r e ç o a

p a g a r y é f u n ç ã o d a q u a n t i d a d e d e

c a r n e c o m p r a d a x . V e j a a

t a b e l a :

C a r n e ( k g )

P r e ç o ( R

$ )

x

y

1

6 1 6

2

6 2 1 2

3

6 3 1 8

4

6 4 2 4

A c a d a v a l o r d e x c o r r e s -

p o n d e u m ú n i c o v a l o r d e y .

A l e i d e f o r m a ç ã o d e s s a

f u n ç ã o é y 6

x .

A l e i d e f o r m a ç ã o d a

f u n ç ã o e s t a b e l e c e a r e l a ç ã o m a t e m á -

t i c a e n t r e x e y .

V a m o s a p l i c á - l a p a r a r

e s p o n d e r a a l g u m a s q u e s t õ e s .

• U m a p e s s o a c o m p r o

u 1 , 8 k g d e c a r n e . Q u a n t o p a g o u ?

C o m o y 6

x , p a r a x 1 , 8 t e m o s :

y 6 1 , 8 1

0 , 8 0

A p e s s o a p a g o u R $ 1 0

, 8 0 p o r 1 , 8 k g d e c a r n e .

• C o m R $ 4 , 8 0 , q u a n t o d e c a r n e é p o s s í v e l c o m p r a r ?

A g o r a t e m o s y 4 , 8 0

4 , 8 0 6 x

x

4 , 8 0 6

0 , 8

C o m R $ 4 , 8 0 é p o s s í v e l c o m p r a r 0 , 8 k g d e c a r n e .

O b s e r v e q u e , n e s s e e x

e m p l o d e f u n ç ã o , x n ã o p o d e a s s u m i r

v a l o r e s n e g a t i v o s , p o i s u m

a m e d i d a d e m a s s a n u n c a é n e g a t i v a .

0 , 8 k g 8

0 0 g ,

p o i s 1 k g 1

0 0 0 g

R e s p o n d a u s a n d o c

á l c u l o m e n t a l : q u a n t o s e p a g a p o r

2 , 5 k g d e s s a c a r n e ? R $ 1 5 , 0 0

F e r n a n d o F a v o r e t t o F o t o s : F e r n a n d o F a v o r e t t o















1 1 6 C

o m o s e r á o g r á f i c o d a f u n ç ã o d a d a p o r y

3 x 1

?

M o n t a m o s u

m a t a b e l a a t r i b u i n d o a l g u n s v a l o r e s p a r a x , c a l c u l a m o s o s v a l o r e s d e y p o r m e i o d a l e i

d e f o r m a ç ã o d a

f u n ç ã o e r e p r e s e n t a m o s n o s i s t e m a c a r t e s i a n o

o s p a r e s o r d e n a d o s ( x ; y ) o b t i d o s .

O s p o n t o s o b t i d o s e s t ã o a l i n h a d o s .

Q u a n t o m a i s p a r e s o r d e n a d o s d a f u n ç ã o r e p r e s e n t a r -

m o s , m a i s p o n t

o s a l i n h a d o s o b t e r e m o s .

S ã o i n f i n i t o s

p a r e s o r d e n a d o s , p o i s x p o d e s e r q u a l q u e r

n ú m e r o r e a l .

O g r á f i c o d e

s s a f u n ç ã o é u m a r e t a .

0 1

1

1

2

2

3

3

4

5

1

2

3

4

5

x

3 5 6

y

7 4 2

x

y

3 x

1

( x ; y )

3

1 0

( 3 ; 1 0 )

2

7

( 2 ; 7 )

1

4

( 1 ; 4 )

0

1

( 0 ; 1 )

1

2

( 1 ; 2 )

2

5

( 2 ; 5 )

3

8

( 3 ; 8 ) S

e r á q u e t o d a

f u n ç ã o t e m c o m o

g r á f i c o u m a r e t a ?

A r e s p o s t a é

n ã o . V a m o s m o n t a r u m a t a b e l a c o m a l g u n s

v a l o r e s d e x e d e y p a r a a f u n ç ã o d a d a

p o r y = x 2 +

2 x 1 e r e p r e s e n t a r o s p a r e s o r d e n a d o s ( x ; y ) n

o s i s t e m a c a r t e s i a n o .

x

y

x 2

2

x 1

( x ; y )

4

7

( 4 ; 7 )

3

2

( 3 ; 2 )

2

1

( 2 ; 1 )

1

2

( 1 ; 2 )

0

1

( 0 ; 1 )

1

2

( 1 ; 2 )

2

7

( 2 ; 7 )

V a m o s a t r i b u

i r m a i s v a l o r e s a x n a t a b e l a , o b t e n d o o u t r o s p

a r e s o r d e n a d o s ( x ; y ) d a f u n ç ã o . R e p r e -

s e n t a n d o m a i s p o n t o s n o s i s t e m a c a r t e s i a n o n o s a p r o x i m a r e m

o s m a i s d a f o r m a f i n a l d o s e u g r á f i c o .

O s p o n t o s n ã o e s t ã o a l i n h a d o s , p o r t a n t o n ã o d e t e r m i -

n a m u m a r e t a .

N e s s a f u n ç ã o , x p o d e s e r q u a l q u e r n ú m e r o r e a l . P o d e -

m o s f a z e r x 0 , 5 ; x 1

2 4 ; x

3 5 e t c .

0 1

1

1

2

2

3

3

4

4

5

6

7

8

1

2

3

4

x

3 4 5 6 7 8 9 1 0

y

2



F U N Ç Õ E S

1 1 7

P o d e m o s p r o s s e g u i r a t

r i b u i n d o v a l o r e s a x e l o c a l i z a n d o

a i n d a m a i s p a r e s o r d e n a d o s . T o d o s o s p o n t o s q u e r e p r e s e n -

t a m o s p a r e s o r d e n a d o s d

e s s a f u n ç ã o f o r m a m s e u g r á f i c o .

O g r á f i c o d e s s a f u n ç ã o é

u m a c u r v a c h a m a d a p a r á b o l a ,

c u j a f o r m a v o c ê v ê a b a i x o .

O b s e r v e q u e a p a r á b o l a p o s s u i u m e i x o d e s i m e t r i a .

O p o n t o d a p a r á b o l a q u e p e r t e n c e a o e i x o d e s i m e t r i a

r e c e b e o n o m e d e v é r t i c e ( V ) d a p a r á b o l a .

N o g r á f i c o d e s s a f u n ç ã o

o v é r t i c e t e m c o o r d e n a d a s

( 1 ; 2 ) . A p a r á b o l a q u e

t r a ç a m o s t e m

c o n c a v i d a d e

v o l t a d a p a r a c i m a ( e l a é “ a b e r t a p a r a c i m a ” ) . N o e n t a n t o ,

h á f u n ç õ e s c u j o g r á f i c o é u m

a p a r á b o l a c o m c o n c a v i d a d e

v o l t a d a p a r a b a i x o .

7 6 5 4 3 2 1 0 1

2

3

1

2

3

4

5

x

1

2

3

4

5

y

0 1

1

1

2

2

3

3

4

5

2

3

4

5

x

V

v é r t i c e d a

p a r á b o l a

e i x o d e s i m e t r i a

d a p a r á b o l a

3 5 6

y

7 4 2

1

x

y x

2 2 x

1

( x ; y )

3 , 5

4 , 2 5

( 3 , 5 ; 4 , 2 5 )

2 , 5

0 , 2 5

( 2 , 5 ; 0 , 2 5 )

1 , 5

1 , 7 5

( 1 , 5 ; 1 , 7 5 )

0 , 5

1 , 7 5

( 0 , 5 ; 1 , 7 5 )

0 , 5

0 , 2 5

( 0 , 5 ; 0 , 2 5 )

1 , 5

4 , 2 5

( 1 , 5 ; 4 , 2 5 )

E c o m o e u v o u s a b e r

s e o g r á f i c o d e u m a

f u n ç ã o s e r á u m a r e t a

o u u m a p a r á b o l a ?

O b s e r v a n d o a l e i d e

f o r m a ç

ã o d a f u n ç ã o . L e i a

o q u a d r o a s e g u i r .



















1 3 2

8 5

( C e s g r a n r i o )

O g r á -

f i c o a o l a d o a p r e s e n t a

o p r e ç o d e c u

s t o d e

d e t e r m i n a d o t i p o d e

b i s c o i t o p r o d u z i d o p o r

u m a p e q u e n a f á b r i c a ,

e m f u n ç ã o d a q u a n t i -

d a d e p r o d u z i d a

.

S e o p r e ç o f i n a l d e c a d a p a c o t e é e q u i v a l e n t e

a 8 5 d o p r e ç o d

e c u s t o , u m p a c o t e d e 0 , 5 k g é

v e n d i d o , e m r e a i s , p o r :

a ) 0 , 9 0

c ) 1 , 3 6

b ) 1 , 2 0

d ) 1 , 4 4

x

• 0 , 5 k g 0 , 9 0

• 8 5 0 , 9 0 1 , 4 4

8 6

( C e e t e p s - S P

) N u m a s a l a r e t a n g u l a r d e u m

l a b o r a t ó r i o , a p a r t e c o l o r i d a d a f i g u r a s e r á d e s -

t i n a d a à p e s q u i s a d e c l o n a g e m . A á r e a c o l o r i -

d a y , e m f u n ç ã o

d e x , é d a d a p o r :

a ) y 1

2 x x 2

c ) y 9

6 x x

2

b ) y 8

x x 2

d ) y 2

0 x x

2

x

8 7

( S a r e s p ) O g r á f i c o q u e m e l h o r r e p r e s e n t a a

f u n ç ã o d e f i n i d a p o r y

x 2 é : A l t e r n a t i v a c .

x

y

0

x

y

0

x

y

0

x

y

0

A C

B D

8 8

( C e e

t e p s - S P ) U m p r o j é t i l é a t i r a d o

d o p o n t o 0 , c o m o m o s t r a a f i g u r a , e

d e s c r e v e u m a p a r á b o l a c u j a f u n ç ã o é

y 2

x 2 8

0 x , s e n d o x e y d a d o s e m

m e t r o s . O a l c a n c e d e s s e p r o j é t i l é :

a ) 4 0 m

c ) 8 0 m

b ) 6 0 m

d ) 1 0 0 m

x

x

y

0

a l c a n c e

• y (

1 2 8 ) (

1 2 x

) ( 8 x

)

1 , 0 2 , 0

0

k g

3 , 6 0

1 , 8 0

P r e ç o ( R $ )

D e l f i m M a r t i n s / P u l s a r I m a g e n s

• 2 x 2 8

0 x 0

x 1 0

x 2 4

0

x

x

1 2 m

8 m


N O Ç Õ E S

D E

P R O B A B I L I D A D E

1 3 3

N o ç õ e s

d e

p r o

b a b

i l i d a

d e

1 .

Q u a

l é a

c h a n c e

?

C o m s u a s e c o n o m i a s ,

R o g é r i o e C é s a r c o m p r a r a m u m a b i c i c l e t a e m s o c i e d a d e .

C o m b i n a r a m q u e a b i c i c l e t a f i c a r i a u m a s e m a n a c o m c a d a u m .

R o g é r i o l a n ç o u o d a d o e o b t e v e 5 .

C é s a r a i n d a n ã o l a n ç o u o d a d o . Q u a l d e l e s v o c ê a c h a q u e t e m m

a i s c h a n c e s d e f i c a r c o m a

b i c i c l e t a n a p r i m e i r a s e m a n a ?

S e r á q u e h á c o m o e x p

r e s s a r m a t e m a t i c a m e n t e q u e a s c h a n c e s d e

R o g é r i o g a n h a r s ã o m a i o r e s

n e s s a s i t u a ç ã o ?

R o g é r i o , c l a r o ! C é s a r s ó g a n h a

s e o b t i v e r 6 n o d a d o . S e d e r 5 ,

e m p a t a ; s e d e r 4 , 3 , 2 o u 1 , o

R o g é r i o g a n h a .

C o m q u e m a b i c i c l e t a

f i c a r á n a p r i m e i r a

s e m a n a ?

V a m o s j o g a r u m d a d o .

A b i c i c l e t a f i c a r á c o m

q u e m t i r a r o m a i o r

n ú m e r o .

U N I D A D E 5

U N I D A D E


























1 5 6

A s r a z õ e s

s ã o i g u a i s .

S e g m e n

t o s p r o p o r c i o n a i s

O b s e r v e a s m

e d i d a s d o s s e g m e n t o s A x B x e C x D x .

A

B

2 c m

Q u a l s e r i a a

r a z ã o e n t r e a m e d i d a d e A x B x e a d e C x D x ?

C

D

4 c m

D i v i d i n d o 2 p o r 4 o b t e m o s a r a z ã o 2 : 4 , o u

2 4 , o u , s i m p

l i f i c a n d o ,

1 2 .

O c o m p r i m e n t o d e C x D x é o d o b r o d o c o m p r i m e n t o d e A x B x . O s c o m p r i m e n t o s e s t ã o n a r a z ã o 1 p a r a 2 .

M e ç a c o m r é g u a o c o m p r i m e n t o d e E x F x e d e G x H x .

E

F

C a l c u l e a r a z ã o

E F G H .

2 , 5 5

1 2

G

H

O b s e r v e q u e

A B e E F t ê m m e d i d a s d i f e r e n t e s . C D e G H t a m b é m .

N o e n t a n t o ,

A B C D

E F G H

1 2 .

D i r e m o s q u e

A x B x e C x D x s ã o p r o p o r c i o n a i s a E F e G H .

D e f o r m a g e

r a l , o s s e g m e n t o s A B e C D s ã o p r o p o r c i o n a i s a o s s e g m e n t o s E F e G H s e s e u s c o m -

p r i m e n t o s d e t e r m i n a m , n e s s a o r d e m , u m a p r o p o r ç ã o :

A B C D

E F G H .

M e ç a o s s e g m e n t o s t r a ç a d o s c o m u m a r é g u a e r e s p o n d a n o

c a d e r n o a s q u e s t õ e s a s e g u i r .

1 . Q u a i s s e g m e n t o s t ê m m e d i d a s n a r a z ã o :

a ) 1 p a r a 3

? E F e A B

b ) 2 3 ? C D e

A B

2 . O s s e g m

e n t o s A B e G H s ã o p r o p o r c i o n a i s a q u a i s s e g m e n t o s ? E s c r e v a a p r o p o r ç ã o .

A B

G H

C D

E F

2 1

C

D

E

F

G

H

A

B

C o n fi r a s u a s r e s p o s t a s

c o m s e u s c o l e g a s

e o p r o f e s s o r .

I l u s t r a ç õ e s : H é l i o S e n a t o r e

T E O R E M A

D E

T A L E S

E

S E M

E L H A N Ç A

D E

T R I Â N G U L O S

1 5 7

N a M a t e m á t i c a

é a s s i m : c o n s t r u í m o s n o v o s

c o n h e c i m e n t o s a p a r t i r d e c o n h e c i m e n t o s

a n t e r i o r e s .


1 a

p r o p r i e d a d e

C h a m a m o s d e f e i x e d

e p a r a l e l a s o c o n j u n t o d e t r ê s o u m a i s r e t a

s p a r a l e l a s e m u m p l a n o .

U m a r e t a d o m e s m o p

l a n o q u e c o r t a e s s a s p a r a l e l a s é u m a t r a n s v e

r s a l a o f e i x e , e o f e i x e d e t e r -

m i n a s e g m e n t o s s o b r e a t r a n s v e r s a l .

D e s e n h a m o s a o l a d o u m f e i x e d e p a r a l e l a s

c o r t a d o p e l a t r a n s v e r s a l t e p e l a t r a n s v e r s a l r .

F i c a r a m d e t e r m i n a d o s

o s s e g m e n t o s A B

e B C s o b r e t e D E e E F s o

b r e r .

V a m o s m o s t r a r q u e s e A B B

C , e n t ã o

D E E

F .

P a r a i s s o , u t i l i z a r e m o s

c o n h e c i m e n t o s s o -

b r e c o n g r u ê n c i a d e t r i â n g u l o s e p r o p r i e d a d e s

d o s p a r a l e l o g r a m o s .

2 .

T e o r e m a

d e

T a l e s

N a i l u s t r a ç ã o a o l a d o

, p e r c e b e m o s

q u e a s a v e n i d a s d a s R o s a s , d a s M a r g a r i -

d a s e d o s L í r i o s s ã o p a r a l e l a s .

A s r u a s d o s P i n h e i r o s e

d o s E u c a l i p t o s

s ã o t r a n s v e r s a i s a e s s a s a v e n i d a s .

S e r á q u e p o d e m o s , c o m a s i n f o r m a -

ç õ e s d e s t a i l u s t r a ç ã o , d e t e r m i n a r a d i s t â n -

c i a e n t r e M a r c o s e D é b o r a

?

A r e s p o s t a é s i m .

V a m o s d e s c o b r i r c o m o

?

A

t

r

a a / / b / / c

b c

D

B

E

C

F


P M A 9

0 0 1

A v . d

a s R o s a s

2 0 0 m

4 0 0 m

4 1 5 m

A v . d a

s M a r g a r i d a s

R u a d o s P i n h e i r o s

R u a d o s E

u c a l i p t o s

A

v . d o s L í r i o s



1 5 8 T r

a ç a m o s o s

s e g m e n t o s

t D G u / / t e

t E H u / / t ,

o b t e n d o o s p a r a l e l o g r a m o s A B G D e B C H E .

O s l a d o s o p o

s t o s d e u m p a r a l e l o g r a m o

s ã o c o n g r u e n t e

s , e n t ã o :

A B D

G e B C E

H .

C o m o A B

B C , v e m q u e D G E

H .

A g o r a o b s e r v e o s t r i â n g u l o s D G E e E H F .

D G E H

( m o s t r a m o s a c i m a ) ( L )

x y

( â n g

u l o s c o r r e s p o n d e n t e s ) ( A )

z w

( â n

g u l o s c o r r e s p o n d e n t e s ) ( A )

u p

( p e

l a s o m a d a s m e d i d a s d o s

â n g u l o s i n t e r n o s d e u m t r i â n g u l o )

P e l o c a s o A L A o s t r i â n g u l o s s ã o c o n g r u e n t e s . E n t ã o , D E E F c o m o q u e r í a m o s m o s t r a r .

P o d e m o s e n u n c i a r a p r o p r i e d a d e :

S e u m f e i x e d e p a r a l e l a s d e t e r m i n a s e g m e n t o s c o n g r u e n t e s s o b r e u m a t r a n s v e r s a l , e n t ã o

d e t e r m i n a s e

g m e n t o s c o n g r u e n t e s s o b r e q u a l q u e r o u t r a t r a n s v e r s a l .

2 a

p r o p r i e d a d e : t e o r e m a d e T a l e s

N a f i g u r a a o

l a d o , o f e i x e d e p a r a l e l a s

d e t e r m i n o u s e g

m e n t o s s o b r e a s t r a n s v e r -

s a i s , m a s A B B

C .

S e r á q u e h á u m a r e l a ç ã o e n t r e o s

s e g m e n t o s d e t e

r m i n a d o s n a s d u a s t r a n s -

v e r s a i s ? A c o m p

a n h e :

S u p o n h a m o s q u e e x i s t e u m a u n i d a d e

d e m e d i d a u t a l q u e A B 2

u e B C 3

u ,

c o m o v e m o s n a

f i g u r a .

N e s s e c a s o ,

A B B C 2

u 3 u

2 3 .

T r a ç a m o s r e t a s p a r a l e l a s à r e t a a , p a s s a n d o p e l o s p o n t o s e

m q u e o s s e g m e n t o s f i c a r a m d i v i d i d o s .

O b s e r v e q u e D E

2

v e E F 3

v .

D E E F

2 v 3 v

2 3

A B B C D

E E F

2 3

C o n c l u í m o s q

u e A

x B x e B

x C x s ã o p r o p o r c i o n a i s a D

x E x e E

x F x e p o d e m o s e n u n c i a r o f a m o s o t e o r e m a d e T a l e s :

A

t

r

a a / / b / / c

b

y w

x z

c

D

B

E

C

F

G

H

A

t

r

a a / / b / / c

b c

D

u

v

v v

v

u

2 u

2 v

3 u

3 v

u u u B

E

C

F

N a d e m o n s t r a ç ã o q u e f i z e m o s , c o n s i d e r a m o s q u e e x i s t e u m a u n i d a d e u

q u e c a b e u m n ú m e r o i n t e i r o d e v e z e s n o s s e g m e n t o s A

x B x e B

x C x . Q u a n d o

i s s o n ã o a c o n t e c e r , a d e m o n s t r a ç ã

o f i c a m u i t o c o m p l i c a d a p a r a v o c ê

p o r e n q u a n t o , m a s f i q u e c e r t o d e q

u e o t e o r e m a d e T a l e s v a l e t a m b é m

n e s s e s c a s o s .

U m f e i x e d e p a r a l e l a s d e t e r m i n a , s o b r e t r a n s v e r s a i s , s e

g m e n t o s q u e s ã o p r o p o r c i o n a i s .

v u

p


T E O R E M A

D E

T A L E S

E

S E M

E L H A N Ç A

D E


1 5 9

A p a r t i r d o t e o r e m a , p

o d e m o s e s c r e v e r o u -

t r a s p r o p o r ç õ e s , c o m o :

A C

A B D

F D E

A C B C D

F E F

A B D E B

C E F

V o c ê d e v e e s t a r

p e n s a n d o : e a d i s t â n c i a e n t r e

D é b o r a e M a r c o s ?

A

t

r

a

a

/ / b

/ / c

b c

D

B

E

C

F

V a m o s v o l t a r a o p r o b l e m a .

T r a ç a m o s u m

m o d e l o m a t e m á t i c o p a r a a

s i t u a ç ã o .

C o m o a s a v e n i d a s s ã o p a r a l e l a s , e a s r u a s ,

t r a n s v e r s a i s a e l a s , a p l i c a r e m o s o t e o r e m a d e

T a l e s :

2 0 0

4 0 0

x 4 1 5

o u , s i m p l i f i c a n d o ,

1 2

x 4 1 5

2 x 4

1 5

x 2

0 7 , 5

A M a r c o s d i s t a 2 0 7 , 5

m d o D é b o r a s e s e g u i r m o s p e l a R u a d o s E u c

a l i p t o s .

r / / s / / t

D é b o r a M

a r c o s

2 0 0 m

4 0 0 m

4 1 5 m

r s

t

x



P M A 9

0 0 1

A v . d a s R o s a s

2 0 0 m

4 0 0 m

4 1 5 m

A v . d a s M a r g a r i d a s

R u a d o s P i n h e i r o s

R u a d o s E

u c a l i p t o s

A v . d o s

L í r i o s



A c o m p a n h e

m a i s d o i s e x e m p l o s d e a p l i c a ç ã o d o t e o r e m a d e T a l e s .

1 . V a m o s d e

t e r m i n a r x n a f i g u r a , s a b e n d o q u e a / / b / / c .

A s m e d i d a s d o s s e g m e n t o s c o r r e s p o n d e n t e s d e t e r m i n a d

o s n a s t r a n s v e r s a i s s ã o p r o p o r c i o n a i s .

x x 3

4 x 8

x ( x 8

) 4

( x 3

)

x 2 8

x 4

x 1

2

x 2 4

x 1

2 0

R e c a í m o s n u

m a e q u a ç ã o d o 2 o g r a u . V a m o s r e s o l v ê - l a .

1

6 4

8 6

4

x 1

4 8

2

2

x

4 8 2

x 2

4 8

2

6

C o m o x é u m

a m e d i d a d e c o m p r i m e n t o , s ó c o n s i d e r a r e m

o s a s o l u ç ã o p o s i t i v a , o u s e j a , x 2 .

2 . U m t e r r e n

o f o i d i v i d i d o e m l o t e s c o m f r e n t e s p a r a

a R u a 1 e p a r a a R u a 2 , c o m o v o c ê v ê n a r e p r e s e n t a ç ã o

a o l a d o . A s l a t e r a i s d o s t e r r e n o s s ã o p a r a l e l a s .

C o m a s i n f o r m a ç õ e s d o d e s e n h o , v a m o s c a l c u l a r a s m e -

d i d a s d a s f r e n t e s d o s l o t e s q u e d ã o p a r a a R u a 2 a p l i c a n d o

o t e o r e m a d e T a

l e s .

4 5

1 0 5

4 x o

u

9 2 5

4 x

4 5

2 0 5

4 z

9 x 1

0 8

9 4 5

4 z

x 1

2

9 z 2

1 6

4 5

1 5 5

4 y o

u

3 1 5

4 y

z 2

4

3 y 5

4

y 1

8

P o r t a n t o , a s

m e d i d a s d a s f r e n t e s p a r a a R u a 2 s ã o : l o t e A

: 1 2 m ; l o t e B : 1 8 m ; l o t e C : 2 4 m .

O t e o r e m a d e T a l e s n o s a j u d a

a r e s o l v e r p r o b l e m a s !

1 6 0

L o t e A

L o t e B

2 0 m

1 5 m

5 4

m 4 5 m

R u a 1

R u a 2

1 0 m

L o t e C z

y

x

4

3

x

8

x

b c a

d

e

x

L á p i s M á g i c o I l u s t r a C a r t o o n D A E

E x

e r c í c i o s

2 8 m

x

2 0 m

2 5 m

y 4 0 m

R u a

A

R u a B

T E O R E M A

D E

T A L E S

E

S E M E L H A N Ç A

D E


1 6 1

1

C a l c u l e x , s a b e n d o q u

e a / / b / / c .

a )

b )

B C 5

0 c m

C E 6

0 c m

C D 7

5 c m

A B / / D E

Q u a l é a d i s t â n c i a e n t r e a s b o l a s A e C ? 4 0 c m

r

s

a

4

2 2

7 b c

x

3 1

x a

6 4

1 , 8

b

c

d e

x

x 2 , 7

6 x

4 1 , 8

x 9

2 x 2

3 x 1

4 7

4

C a l c u l e x , s a b

e n d o q u e a / / b / / c .

a )

b )

2

A p l a n t a a b a i x o m o s t r a

a s m e d i d a s d e t r ê s l o -

t e s q u e t ê m f r e n t e p a r a a R

u a A e p a r a a R u a B .

A s d i v i s a s l a t e r a i s s ã o p e r p

e n d i c u l a r e s à R u a A .

Q u a i s s ã o a s m e d i d a s d e x e

y i n d i c a d a s n a f i g u r a ?

y 5

6

2 5 4 0

3 5 y

x 3

5

2 0 2 5

2 8 x

3

N a f i g u r a e s t á r e p r e s e n t a d a u m a m e s a d e

b i l h a r c o m c i n c o b o l a s : A

, B , C , D e E .

5

E s t a p l a n t a m o s t r a d o i s t e r r e n o s . A s d i v i s a s

l a t e r a i s s ã o p e r p e n

d i c u l a r e s à r u a . Q u a i s s ã o a s

m e d i d a s d a s f r e n t e

s d o s t e r r e n o s q u e d ã o p a r a a

a v e n i d a , s a b e n d o - s e q u e a f r e n t e t o t a l p a r a e s s a

a v e n i d a é d e 9 0 m

e t r o s ? 6

3

6 d

a b c

x

e

x 4

6 x x

3 6 6 1 0

8

d

a b c

x

e

x 4 , 8

1 0 6 6

8 x x

3 0 m

4 5 m

R u a

A v e n i d a

x

y

L o t e 1 : 3 6 m e t r o s

L o t e 2 : 5 4 m e t r o s

x y 9

0

x y

3 0 4 5

x 3

6 e y 5

4

A C 6 0

5 0 7 5

A C 4

0

L o t e 2 : 3 5 m

L o t e 3 : 5 6 m

C

A

B

D

E

I I

I I

I

I

I I I






1 6 4 A

a m p l i a ç ã o

f i c o u p e r f e i t a p o r q u e e l e d o b r o u a s m e d i d a s d o s s e g m e n t o s e c o n s e r v o u a s m e d i d a s

d o s â n g u l o s . O b s e r v e ! A f i g u r a m a n t e v e e x a t a m e n t e a m e s m a f o r m a , s ó a u m e n t o u d e t a m a n h o .

A o c o n s e r v a r a s m e d i d a s d o s â n g u l o s c o n s e r v a m o s a f o r m

a d a f i g u r a , e a m u l t i p l i c a ç ã o d e t o d o s

o s c o m p r i m e n t o s p o r u m m e s m o n ú m e r o g a r a n t e a p r o p o r c i o n a l i d a d e e n t r e o s c o m p r i m e n t o s .

A s f i g u r a s d e s e n h a d a s p o r L u c i a n o s ã o f i g u r a s s e m e l h a

n t e s .

D o i s c í r c u l o s

, p o r e x e m p l o , s e r ã o s e m p r e s e m e l h a n t e s .

M u l t i p l i c a n d

o o d i â m e t r o p o r u m n ú m e r o q u a l q u e r o b t e m o s u m c í r c u l o s e m e l h a n t e a o d a d o .

4 5 °

4 5 °

1 3 5 °

1 3 5 °

4 .

S e m e

l h a n ç a

U s a n d o p a p e l q u a d r i c u l a d o , L u c i a n o a m p l i o u o d i s t i n t i v o

d o s e u t i m e d e f u t e b o l .

d i â m e t r o 2

d i â m e t r o 0 ,

5

d i â m e t r o

D u a s f i g u r a s s ã o s e m e l h a n t e s q u a n d o t o d o s o s c o m p r i m e n t o s d e u m a d e l a s s ã o i g u a i s a o s d a

o u t r a , m u l t i p l i c

a d o s p o r u m n ú m e r o c o n s t a n t e . S e h á â n g u l o s ,

o s â n g u l o s c o r r e s p o n d e n t e s d e d u a s

f i g u r a s s e m e l h a n t e s d e v e m s e r c o n g r u e n t e s .


D A E

T E O R E M A

D E

T A L E S

E

S E M

E L H A N Ç A

D E


1 6 5

S e m e l h a n ç a d e p o l í g o n o s

D o i s p o l í g o n o s s ã o s e m e l h a n t e s s e e x i s t e u m a c o r r e s p o n d ê n c i a e n t r e o s v é r t i c e s d e m a n e i r a

q u e o s â n g u l o s c o r r e s p o

n d e n t e s s ã o c o n g r u e n t e s e o s l a d o s c o r r e s p o

n d e n t e s s ã o p r o p o r c i o n a i s .

O b s e r v e o s p e n t á g o n o

s

I e

I I .

P o d e m o s e s t a b e l e c e r u m a c o r r e s p o n d ê n c i a e n t r e o s v é r t i c e s , p o i s :

• o s â n g u l o s c o r r e s p o n d e n t e s s ã o c o n g r u e n t e s ;

B A

B F B B

B G B C

B H B D

B I

B E B J

• o s l a d o s c o r r e s p o n d e

n t e s s ã o p r o p o r c i o n a i s .

A B F G B

C G H

C D H I

D E I J E

A J F

A B F G 4

, 8 2 , 4

2

B C

G H

3 1 , 5

2

C D H

I 3

, 2 1 , 6

2

D E I J

3 1 , 5

2

E A J F 4

, 8 2 , 4

2

P o r t a n t o , o s p e n t á g o n o s

I e

I I s

ã o s e m e l h a n t e s . A r a z ã o c o n s t a n t e é a r a z ã o d e s e m e -

l h a n ç a . N e s s e c a s o a r a z

ã o d e s e m e l h a n ç a é 2 . O p e n t á g o n o f o i r e d

u z i d o n a r a z ã o d e 2 p a r a 1 .

A d e f i n i ç ã o d e p o l í g o

n o s s e m e l h a n t e s é c o m p a t í v e l c o m a d e f i n i ç

ã o d e f i g u r a s s e m e l h a n t e s .

O b s e r v e q u e o s â n g u l o s s ã o m a n t i d o s e o s c o m p r i m e n t o s s ã o t o d o s m

u l t i p l i c a d o s p o r u m m e s m o

n ú m e r o c o n s t a n t e . N e s s e e x e m p l o , t o d o s o s c o m p r i m e n t o s f o r a m d i v i d i d o s p o r 2 , o q u e e q u i v a l e

a m u l t i p l i c a r p o r 0 , 5 .

A s r a z õ e s s ã o t o d a s

i g u a i s a 2 . I A

D

C

E

B

8 0 o

1 2 0 o

1 2 0 o

1 1 0 o

1 1 0 o

4 , 8 c m

4 , 8 c m

3 c m

3 c m

3 , 2 c m F

I

H

J

G

8 0 o

1 2 0 o

1 2 0 o 1 1 0 o

1 1 0 o

2 , 4 c m

2 , 4 c m

1 , 5 c m

1 , 5 c m

1 , 6 c m

I I




1 6 6

B C

B F

B B

B B E

B A

B D

O s t r i â n g u l o

s A B C e D E F s ã o s e m e l h a n t e s , o u s e j a , A B

C ~ D E F , p o i s o s â n g u l o s c o r r e s p o n -

d e n t e s s ã o c o n g r u e n t e s :

S í m b o l o

d e s e m e l h a n ç a

H á u m s í m b o l o p a r a i n d i c a r s e m e l h a n ç a : ~

N o c a s o d o s

p e n t á g o n o s

I e

I I , e s c r e v e m o s A B C D

E ~ F G H I J ( o p e n t á g o n o A B C D E é s e -

m e l h a n t e a o p e

n t á g o n o F G H I J ) .

V e j a m a i s u m

e x e m p l o :

4 c m

1 , 5 c m

2 , 5 c m

3 c m

1 4 0 º

1 1 0 º

7 0 º

1 1 0 º

7 0 º

1 4 0 º

4 0 º

4 0 º

2 , 5 c m

5 c m

2 c m

4 c m

A 1 0 5 º

4 5 º

3 0 º

4 5 º

1 0 5

º

3 0 º

3 , 0 c m

1 , 6 c m

2 , 2 c m

B

2 , 4 c m

4 , 5

c m

E

3 , 3

c m

D

F

C

O l h e o s p a r a l e l o g r a m o s

q u e e u t r a c e i . D o b r e i a s m e d i d a s

d o s l a d o s , m a s m u d e i o s â n g u l o s .

O s p o l í g o n o s n ã o s ã o s e m e l h a n t e s !

É p r e c i s o v e r i f i c a r a s d u a s c o n d i ç õ e s p a r a a s e m e l h a n ç a .

V e j a o s r e t â

n g u l o s q u e t r a ç a m o s : o s â n g u l o s

c o r r e s p o n d e n t e

s s ã o c o n g r u e n t e s , m a s a s m e d i d a s

d o s l a d o s n ã o s ã

o p r o p o r c i o n a i s . L o g o , o s r e t â n g u l o s

n ã o s ã o s e m e l h

a n t e s .

e a s m e d i d a s d o s l a d o s c o r r e s p o n d e n t e s s ã o p r o p o r c i o n a i s .

A B D E 2

, 2 3 , 3

2 3

B C E

F

3 4 , 5

2 3

C A F D 1

, 6 2 , 4

2 3

A r a z ã o e n t r e a s m e d i d a s d o s

l a d o s c o r r e s p o n d e n t e s é c o n s t a n t e .

A r a z ã o d e s e m e l h a n ç a é

2 3 .

I s s o s i g n i f i c a q u e o t r i â n g u l o A B C f o i a m p l i a d o n a r a z ã o 2 p a r a 3 .



T E O R E M A

D E

T A L E S

E

S E M

E L H A N Ç A

D E


1 6 7

E x

e r c í c i o s

7

Q u a l é a a m p l i a ç ã o d

a f i g u r a A ? A f i g u r a B .

8

O b s e r v e o s p o l í g o n o s r e p r e s e n t a d o s a b a i x o .

9

Q u a l d o s s e g u i n t e s p r o c e s s o s n ã o p e r m i t e

c o n s t r u i r u m a f i g u r a s e m e l h a n t e a o u t r a ?

F i g u r a s s e m

e l h a n t e s

C o n g r

u e n t e s

A m p l i a ç ã o

R e d u ç

ã o

x L e i a o t e x t o d a l o u s a .

1 0

S í l v i a a m p l i o u u m a f o t o g r a f i a d e s e u s d o i s

f i l h o s p a r a c o l o c a

r n u m p o r t a - r e t r a t o s .

6

U t i l i z e p a p e l q u a d r i c u l a d o p a r a a m p l i a r

p a r a o d o b r o a f i g u r a d a d

a .

Q u a i s s ã o o s p a r e s d e

f i g u r a s c o m a m e s m a

f o r m a ? A e G ; B e D ; C e H ; E e F .

a ) A f o t o c ó p i a .

b ) A f o t o c ó p i a a m

p l i a d a .

c ) A f o t o c ó p i a r e d

u z i d a .

d ) O s e s p e l h o s p l a n o s .

e ) O s e s p e l h o s e s f é r i c o s .

f ) A m p l i a ç ã o o u

r e d u ç ã o d e u m a f i g u r a p o r

c o n t a g e m d e q

u a d r a d i n h o s .

A f o t o g r a f i a o r i g

i n a l e r a u m r e t â n g u l o c o m

1 4 c m × 8 c m e S í l v i a p e d i u u m a a m p l i a ç ã o

d e 5 0 % . Q u a i s

s ã o a s d i m e n s õ e s d a f o t o

a m p l i a d a ? 2 1 c m ×

1 2 c m

D i g i t a l V i s i o n

A

C

H

G

F

E

D

A

C

B

E

D

B







1 7 0

E

A

B

D

C

8

x

2

3

4

y

U s a n d o a p r o p o r c i o n a l i d a d e d a s m e d i d a s d o s l a d o s c o r r e s

p o n d e n t e s , p o d e m o s d e t e r m i n a r x e y .

O b s e r v e n a

f i g u r a u m a n o t a ç ã o b a s t a n t e c o m u m

p a r a i n d i c a r a c o n g r u ê n c i a d o s â n g u l o s

c o r r e s p o n d e n t e s .

A C

B B

E D

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

T e m o s q u e :

A B E C B D

C o n s t r u a

e m s e u c a d e r n o p a r e s d e t r i â n g u l o s q u e t e n h a m

l a d o s c o m m e d i d a s r e s p e c t i v a m e n t e

p r o p o r c i o n a i s

. P o r e x e m p l o , u m t r i â n g u l o c o m l a d o s d e m e d i d a

s 4 c m , 3 c m e

2 c m e o u t r o c o m l a d o s

d e m e d i d a s 8

c m , 6 c m e

4 c m .

R e s p o n d a :

1 . O s â n g u

l o s c o r r e s p o n d e n t e s s ã o c o n g r u e n t e s ? S i m .

2 . V o c ê c o n s t r u i u p a r e s d e t r i â n g u l o s s e m e l h a n t e s ? S i m .

3 . D o i s t r i â n g u l o s q u e a p r e s e n t a m l a d o s c o r r e s p o n d e n t e s p r o p o r c i o n a i s s ã o s e m e l h a n t e s ? S i m .

L e m b r e - s e d a i m p o r

t â n c i a d a

o r d e m d o s v é r t i c e s !

C o n s t r u í u m t r i â n g u l o A B C , s e n d o

A B 4 c m ; Â 5

0 ˚ e B ̂ 3

0 ˚ . C o n s t r u a e m

s e u c a d e r n o u m t r i â n g u l o s e m e l h a n t e a e

s t e .

P o r e x e m p l o , D E F , s e n d o D E 8 c m ;

B D 5

0 º e B E 3

0 º .

A

B

C

4 c m

3 0 º

5 0 º

x 8

2 4

4 x 1

6

x 4

3 y

2 4

2 y 1

2

y

6



T E O R E M A

D E

T A L E S

E

S E M

E L H A N Ç A

D E


1 7 1

N e s t e e x e m p l o , v a m o s d e s c o b r i r a m e d i d a d e A

x D x .

C o m o D

x E x e B

x C x s ã o p a r a l e l o s , t e m o s q u e :

• o s â n g u l o s d e m e d i d a s d e b s ã o c o n g r u e n t e s , p o i s s ã o c o r r e s p o n d e n t e s .

• o s â n g u l o s d e m e d i d a s e e c s ã o c o n g r u e n t e s , p o i s s ã o c o r r e s p o n d e n t e s .

A i n d a p o d e m o s a c r e s c e n t a r q u e o â n g u l o d e m e d i d a a é c o m u m a

o s d o i s t r i â n g u l o s .

O s t r i â n g u l o s A B C e A

D E s ã o s e m e l h a n t e s . C o n s e q u e n t e m e n t e , o s l a d o s c o r r e s p o n d e n t e s t ê m

m e d i d a s p r o p o r c i o n a i s .

A B A D B

C D E

R e p r e s e n t a n d o A D p o

r x e s u b s t i t u i n d o a s m e d i d a s c o n h e c i d a s n a

p r o p o r ç ã o a c i m a , t e m o s :

x 2 x

5 3

5 x 3

( x 2

)

5 x 3

x 6

2 x 6

x 3

N ã o , v o c ê v a i v e r q u e é f á c i l ! P a r t i r e m o s

d a i n f o r m a ç ã o d e q u e o s e g m e n t o D E é

p a r a l e l o a o s e g m e n t o B C .

I h ! C o m p l i c o u !

V a m o s e x a m i n a r o s â n

g u l o s d o s t r i â n g u l o s A B C e A D E .

Q u a n d o t r a ç a m o s u m s e g m e n t o p a r a l e l o a u m d o s l a d o s d e u m

t r i â n g u l o , o b t e m o s u m t r i â n g u l o s e m e l h a

n t e a o p r i m e i r o . E s s a p r o -

p r i e d a d e v a l e p a r a q u a l q u e r t r i â n g u l o .

A

B

C

H

D

E

G

F

D a n i e l d e s e n h o u u m h e x á g o n o A B C D E F e t r a ç o u G H p a r a l e l o

a E D . O b s e r v o u q u e f i c o u

d e t e r m i n a d o o u t r o h e x á g o n o : A B C H G F .

P e n s e e r e s p o n d a j u

s t i f i c a n d o : o s d o i s h e x á g o n o s s ã o s e -

m e l h a n t e s ? N ã o . O s l a d o s c o

r r e s p o n d e n t e s n ã o s ã o p r o p o r c i o n a i s .

A

B

C

D

E

3 5 a

x d

e

b

c

2





1 7 2


2 1

N a f i g u r a , t e m o s D E / / B C .

4

3

5

6

x

y

x 3

6 e y 1

2

3 0

1 5

2 4 y

x 1 8

A

x

C 1 0

1 5

1 8

D

E

B

R

S

U

V

T

2 1

5

1 5 x

x 1

2

1 8 1 5

x 1 0

x 8

x 4 x

1 2 6

1 2

y 2

4

1 2 6

1 2

y 1 6

P 1

2 2

4 1

8 5

4

P 8

1

6 1

2 3

6

P 4

2

4 6

1

6 5

0

x 1

0

y 8

x 5

6 3

y 4

6 3

1 7

D e t e r m i n e x e y , s a b e n d o q u e o s t r i â n g u -

l o s s ã o s e m e l h a

n t e s .

1 8

O e s q u a d r o q u e a p r o f e s s o r a u s a n o q u a d r o é

u m a a m p l i a ç ã o d

o e s q u a d r o d a V e r a n a r a z ã o 3 .

a ) D e t e r m i n e a

m e d i d a d o s t r ê s â n g u l o s d o e s -

q u a d r o d a p r o f e s s o r a . 9 0 o , 6 0 o e

3 0 o

b ) D e t e r m i n e a m e d i d a d o s t r ê s l a d o s d o e s q u a -

d r o d a p r o f e s

s o r a . 2 8 , 5 c m , 4 8 c m e 5 5 , 8 c m

c ) D e t e r m i n e a m e d i d a d o s t r ê s l a d o s d e u m e s -

q u a d r o s e m e l h a n t e a o d a V e r a e m q u e a r a z ã o

s e j a 3 2 .

1 9

D e t e r m i n e x e y , s a b e n d o q u e o s t r i â n g u -

l o s s ã o s e m e l h a n t e s .

2 0

S e o s â n g u l o s c o m

“ m a r c a s i g u a i s ” s ã o

c o n g r u e

n t e s , d e t e r m i n e x .

a )

b )

a ) Q u a l

é o v a l o r d e x ?

b ) Q u a l

é o v a l o r d e y ?

c ) Q u a l

é o p e r í m e t r o d o A B C ?

d ) Q u a l

é o p e r í m e t r o d o A D E ?

e ) Q u a l é o p e r í m e t r o d o t r a p é z i o D B C E ?

x 7

2 1 x

1 5 5

1 4 , 2 5

c m , 2 4 c m e 2 7 , 9 c m

3 0

x

1 5

1 8 y 2 4

B

3 0 °

A C 6 0 °

9 , 5 c m

1 8 , 6

c m

1 6 c m

x

D

4 B

1 2

6

y

A

1 6

E

C

O b s e r v a ç ã o : a s f i g

u r a s n ã o r e s p e i t a m a s m e d i d a s u t i l i z a d a s .


H é l i o S e n a t o r e I l u s t r a ç õ e s : D A E

T E O R E M A

D E

T A L E S

E

S E M

E L H A N Ç A

D E


1 7 3

E s s e s t r i â n g u l o s s ã o s e

m e l h a n t e s , p o i s :

B Q 9 0 º ( o p o s t e e o b a s t ã o s ã o p e r p e n d i c u l a r e s a o s o l o ) ;

C R ( o s r a i o s d o S o l s ã o p a r a l e l o s ) .

A g o r a é s ó u s a r a p r o

p o r c i o n a l i d a d e e n t r e a s m e d i d a s d o s

l a d o s c o r r e s p o n d e n t e s d o

s d o i s t r i â n g u l o s :

x 1

3 , 2 0 , 8

0 , 8 x 3 , 2

x

3 , 2 0 , 8

x 4

V a m o s u s a r a s e m e l h a n ç a

d e t r i â n g u l o s p a r a c a l c u l a r a

a

l t u r a a p r o x i m a d a d o m a s t r o

d a b a n d e i r a ?

C o n s i d e r a

n d o o s r a i o s d o S o l

a p r o x i m a d a m e

n t e p a r a l e l o s , p o d e m o s

i m a g i n a r d o i s t r i â n g u l o s q u e r e p r e s e n t a m

m a t e m a t i c a

m e n t e e s s a s i t u a ç ã o .

É i s s o , p e s s o a l ! O p o s t e t e m

a l t u r a a p r o x i m a d a d e 4 m .

6 .

A p

l i c a n d

o a s e m e

l h a n ç a

d e t r i â n g u

l o s

1 . O p r o f e s s o r J o r g e f i x o u

u m b a s t ã o d e m a d e i r a c o m 1 m e t r o d e c o m

p r i m e n t o a o l a d o d o m a s t r o

d a B a n d e i r a N a c i o n a l q u e

f i c a n o p á t i o d a e s c o l a . V e j a a i l u s t r a ç ã o :

E m s e g u i d a , o p r o f e s s o r p e d i u a o s a l u n o s q u e m e d i s s e m o c o m p r i m e n t o d a s o m b r a d o m a s t r o

e d a s o m b r a d o b a s t ã o .

3 , 2 m

s o m b r a

d o m a s t r o

0 , 8 m

s o m b r a

d o b a s t ã o

1 m

A B x

1 m

3 , 2 m

0 , 8 m

C

Q P

R

ˆ

ˆ ˆ

ˆ L á p i s M á g i c o





D A E



1 7 4 S

e o s t r i â n g u

l o s s ã o s e m e l h a n t e s , a s m e d i d a s d o s l a d o s c

o r r e s p o n d e n t e s s ã o p r o p o r c i o n a i s :

1 8 1 2

h 3

1 2 h 5

4

h 5

4 1 2 9 2

4 , 5

A c o l u n a t e m 4 , 5 m d e a l t u r a .

2 . N u m

t e r r e n o

e m

d e c l i v e f o i c o n s t r u í d a u m a

r a m p a p l a n a , e

u m a p l a t a f o r m a é s u s t e n t a d a

p o r d u a s c o l u n

a s p a r a l e l a s , c o m o v o c ê v ê n a

i l u s t r a ç ã o a o l a d o .

A p l i c a n d o a

s e m e l h a n ç a d e t r i â n g u l o s , é p o s -

s í v e l c a l c u l a r a m

e d i d a h d a a l t u r a d a c o l u n a , q u e

f i c o u f a l t a n d o n

o d e s e n h o .

P r i m e i r o , a p r

e s e n t a m o s o m o d e l o m a t e m á t i c o

p a r a a s i t u a ç ã o :

B r i n c a n

d o c o m s

o m b r a s

M a r i a n a t e m

1 , 4 0 m

d e a l t u r a . E l a m e d i u o

c o m p r i m e n

t o d a s u a s o m b r a c o m o v e m o s n a i l u s -

t r a ç ã o .

C a l c u l e

o c o m p r i m e n t o d a s o m b r a d e a l g u n s

d o s a m i g o s d e l a n o m e s m o d i a e à m e s m a h o r a .

N o m e

M a r c o s

A d r i a n a

R a f a e l

A l t u r a

1 , 6 0 m

1 , 4 8 m

1 , 5 6 m

J u n t e a l g u n s a m i g o s e b r i n q u e m c o m a s s o m -

b r a s , c o m o

a M a r i a n a !

1 , 7 5 m

1 , 4 0 m

2 m

1 , 8 5 m

1 , 9 5 m

Q u a n d o t r a ç a m o s u m a p a r a l e l a a u m d o s l a d o s d e u m t r i â n g u l o , o b t e m o s u m t r i â n g u l o s e m e l h a n t e

a o o r i g i n a l . É i s s

o o q u e o c o r r e n e s s a s i t u a ç ã o : a s c o l u n a s s ã o

p a r a l e l a s , o u s e j a , B

x C x é p a r a l e l o a D

x E x .

T e m o s e n t ã o

A B C ~

A D E .

r a m p a

1 2 m

1 8 m

3 m

h

3 m

h B C

A

1 8 m

1 2 m

E D



D A E

T E O R E M A

D E

T A L E S

E

S E M

E L H A N Ç A

D E


1 7 5

E x

e r c í c i o s

3 0 0 m e t r o s 1

, 2 0 m

x 2 x

4 1 , 5 0

1 0 0 4 0 0

7 5 x

x 3

0 0

2 2

O s c o m p r i m e n t o s d o s

l a d o s d e u m t r i â n g u -

l o s ã o 3 c m , 4 c m e 5 c m

. C a l c u l e o s c o m p r i -

m e n t o s d o s l a d o s d e u m t r i â n g u l o s e m e l h a n t e

c u j o p e r í m e t r o é 1 8 c m . 4 , 5 c m ; 6 c m e 7 , 5 c m

2 3

Q u a l é a a l t u r a d a á r v o r e , d e a c o r d o c o m a

f i g u r a ? 2 2 , 5 m

4 3 0

3 x

2 4

U m e d i f í c i o p r o j e t a u

m a s o m b r a d e 1 0 m

a o m e s m o t e m p o q u e u m

p o s t e d e 1 2 m p r o -

j e t a u m a s o m b r a d e 4 m . Q u a l é a a l t u r a d o

e d i f í c i o , s a b e n d o q u e o e

d i f í c i o e o p o s t e s ã o

p e r p e n d i c u l a r e s a o s o l o ? 2 4 m

x 1 2

8 4

2 5

C e r t a n o i t e , u m a m o ç a d e 1 , 5 0 m d e a l t u r a

e s t a v a a 2 m d e d i s t â n c i a d e u m p o s t e v e r t i c a l

d e 4 m d e a l t u r a c o m u m a l u z n o t o p o . Q u a l é o

c o m p r i m e n t o d a s o m b r a d a m o ç a n o c h ã o ?

2 6

( C e f e t - R S ) D o i s t o p ó g r a f o s , a o m e d i r e m a

l a r g u r a d e u m r i o , o b t i v e r a m a s m e d i d a s m o s -

t r a d a s n o d e s e n h o

a b a i x o .

2 7

Q u a l é a a l t u r a d e u m a e s t á t u a q u e p r o j e t a

u m a s o m b r a d e 6

m , s a b e n d o - s e q u e s e u p e -

d e s t a l d e 1 , 5 m p

r o j e t a u m a s o m b r a d e 2 m ?

R e s o l v a e m s e u c a d e r n o .

4 , 5 m

Q u a l é a m e d i d a d a l a r g u r a d o r i o ?

x 1 , 5

6 2

1 , 5 2

4 m

1 2 m

8 m

x

7 5 m

4 0 0 m

1 0 0 m

4 m

1 , 5 0 m

2 m

x

3 0 m

4 m

3 m



I l u s t r a ç õ e s : I l u s t r a C a r t o o n

1 , 5 m

x

2 m

6 m








1 8 0

A u t o a v a l i a ç ã o

A n o t e , e m

s e u c a d e r n o , o n ú m e r o d o e x e r c í c i o

e a l e t r a c o r r e s p o n d e n t e à r e s p o s t a c o r r e t a .

5 1

( S a r e s p ) D o i s t e r r e n o s r e t a n g u l a r e s s ã o s e -

m e l h a n t e s , e a r a z ã o d e s e m e l h a n ç a é 2 5 . S e o

t e r r e n o

m a i o r t e m 5 0 m d e f r e n t e e 1 5 0 m d e

c o m p r i m

e n t o , q u a i s s ã o a s d i m e n s õ e s d o t e r -

r e n o m e

n o r ?

a ) 2 5 m

e 7 5 m

b ) 2 0 m

e 6 0 m

c ) 2 5 m

e 3 0 m

d ) 5 m e 1 5 m

4 7

O v a l o r d e x n a f i g u r a a b a i x o é :

a ) 2 8

b ) 2 9 , 5

c ) 3 3 , 8

d ) 3 6 , 5

5 2

( S a r

e s p ) T r ê s t e r r e n o s t ê m f r e n t e s p a r a a

r u a A e

f u n d o s p a r a a r u a B , c o m o n a f i g u r a .

A s d i v i s a s l a t e r a i s s ã o p e r p e n d i c u l a r e s à r u a A .

S a b e n d o - s e q u e a s o m a d a s m e d i d a s d o s f u n -

d o s d e s s e s t e r r e n o s é 1 8 0 m , q u a l a m e d i d a d o

f u n d o d

e c a d a t e r r e n o ?

x

1 3 x

1 0 2 6

x x

R u a

5 0 m

1 5 0 m

5 0

2

0

1 5 0

6

0

2 5 2 5

x

y

x

R u a B

R u a A

2 0 m

3 0 m

4 0 m

x 1 8 0

4 0 9 0

y 1 8 0

3 0 9 0

z 1 8 0

2 0 9 0

1 3

1 0

2 6

x

4 8

( E T F - S P ) D o i s l o t e s e s t ã o r e p r e s e n t a d o s n a f i -

g u r a a b a i x o . C a l c u l a r a s m e d i d a s d e f r e n t e p a r a a

r u a R d e c a d a u m

d o s t e r r e n o s , r e s p e c t i v a m e n t e .

a ) 1 5 m e 2 6 m

c ) 2 2 m e 3 3 m

b ) 2 1 m e 3 2 m

d ) 2 3 m e 3 4 m

4 9

A s o m b r a d

e u m a á r v o r e m e d e 4 , 5 m .

À

m e s m a h o r a , a s o m b r a d e u m b a s t ã o d e 0 , 6 m ,

m a n t i d o n a v e r

t i c a l , m e d e 0 , 4 m . A a l t u r a d a

á r v o r e é :

a ) 3 m

c ) 4 , 8 m

b ) 5 m

d ) 6 , 7 5 m

5 0

( F u v

e s t - S P ) A s o m b r a d e u m p o s t e v e r t i c a l ,

p r o j e t a d

a p e l o S o l s o b r e u m c h ã o p l a n o , m e d e

1 2 m . N

e s s e m e s m o i n s t a n t e , a s o m b r a d e u m

b a s t ã o v

e r t i c a l d e 1 m d e a l t u r a m e d e 0 , 6 m .

A a l t u r a

d o p o s t e é :

x 1

1 2 0 , 6

x 2

0

a ) 1 2 m

c ) 7 2 m

b ) 2 0 m

d ) 7 , 2 m

x x

r / / s / / t

x 0 , 6

4 , 5 0 , 4

x 6 , 7 5

s t r

2 0 3 0

x x 1

1

x

x

1 1

2 0 m

R u a

R

R u a P

3 0 m

a ) 6 0 m

, 9 0 m , 3 0 m

c ) 7 0 m , 5 0 m , 6 0 m

b ) 6 5 m

, 6 5 m , 5 0 m

d ) 8 0 m , 6 0 m , 4 0 m

4 , 5 m

0 , 4

m

0 , 6 m

1 2 m

0 , 6 m

1 m

O b s e r v a ç ã o : n a s a t i v i d a d e s 4 9 e 5 0 , a s m e d i d a s n ã o s ã o

p r o p o r c i o n a i s a o s v a l o r e s i n d i c a d o s .

x

x




R E L A Ç Õ E S

M É T R I C A S

N O S


R E T Â N G U L O S

1 8 1

U N I D A D E 7

U N I D A D E

F e r n a n d o F a v o r e t t o

R e

l a ç õ e s m

é t r i c a s

n o s

t r i â n g u

l o s r e

t â n g u

l o s

1 .

O t e o r e m

a d e

P i t á g o r a s

O b s e r v e o e s p a ç o a o s e u r e d o r . I d e n t i f i q u e â n g u l o s r e t o s n o s o b j e t o s e c o n s t r u ç õ e s .

O s â n g u l o s r e t o s t ê m i m p o r t â n c i a f u n d a m e n t a l , n ã o é ?

D e s d e m u i t o c e d o e m

s u a h i s t ó r i a , a h u m a n i d a d e u t i l i z a â n g u l o s

r e t o s p a r a d e m a r c a r t e r r a s ,

c o n s t r u i r c a s a s , t e m p l o s e t c .

H o j e c o n s t r u í m o s â n g u l o s r e t o s d e v á r i a s f o r m a s :

A n s e l m o J r


D A E








1 8 6 3

. U m a p o r t e i r a d e f a z e n d a t e r á a f o r m a d e r e t â n g u l o . P

a r a d a r r i g i d e z à e s t r u t u r a , u m a b a r r a

d e m a d e i r a s e r á c o l o c a d a n a d i a g o n a l d o r e t â n g u l o , c o m o v

o c ê v ê n o p r o j e t o d o c a r p i n t e i r o .

C o m a s m e d i d a s d a d a s , p o d e m o s c a l c u l a r o c o m p r i m e n t o d a b a r r a u s a n d o o t e o r e m a d e P i t á g o r a s :

a ?

b 2 m

c 1 , 5 m

a 2 2

2 1 , 5

2

a 2 4

2 , 2 5 6 , 2 5

a

6 , 2 5

a 2 , 5 m

a

1 c m

2 c m

a 2

1 2 1

2

a 2

2

a

2 c m a

1 c m

1 c m a

1 c m

2 c m

A b a r r a d e v e

t e r 2 , 5 m d e c o m p r i m e n t o .

4 . V o c ê s a b e

q u e

2 é u m n ú m e r o i r r a c i o n a l : t e m i n f i n i t

a s c a s a s d e c i m a i s e n ã o a p r e s e n t a p e -

r í o d o . D i a n t e d i s s o , c o m o c o n s t r u i r u m s e g m e n t o d e r e t a d e m e d i d a

2 c m ?

O t e o r e m a d

e P i t á g o r a s n o s a j u d a n e s s a t a r e f a :

T r a ç a m o s u m

t r i â n g u l o r e t â n g u l o e m q u e a m b o s o s c a t e t o s m e d e m 1 c m .

A h i p o t e n u s a d e s s e t r i â n g u l o m e d e

2 c m .

N a r e t a n u m

é r i c a . . .

. . . a p l i c a n d o

e s s a i d e i a , l o c a l i z a m o s , c o m a u x í l i o

d o c o m p a s s o , o p o n t o q u e r e p r e s e n t a o n ú m e r o

i r r a c i o n a l 2 .

1

0

1 1

2

P a r a t r a ç a r u m s e g m

e n t o d e m e d i d a

3 c m , t r a n s p o r t a m o s

c o m c o m p a s s o o s e g m

e n t o d e m e d i d a

2 c m , c o n s t r u í m o s

o t r i â n g u l o r e t â n g u l o c u j o s c a t e t o s m e d e m

2 c m e 1 c m . A

h i p o t e n u s a d e s s e t r i â n

g u l o m e d e

3 c m .

a 2 1 2

(

2 ) 2

a 2 3

a 3

c m

C o m b a s e

n o s e x e m p l o s a c i m a , d e t e r m i n e e m s e u c a d e r n o u

m s e g m e n t o d e m e d i d a

5 c m .

a 2 1

2 2

2

a 2 5

a

5 c m

2

2

2 m

a ?

1 , 5 m




R E L A Ç Õ E S

M É T R I C A S

N O S



1 8 7

E x

e r c í c i o s

1

C a l c u l e o v a l o r d e x n o s t r i â n g u l o s r e t â n g u l o s .

a ) x 1

0

c

) x

3

3 x

x 1 2

9

4 x

2 0

b ) x 1

5

d

) x

4

x

4 5

2

A f i g u r a m o s t r a u m e d i f í c i o q u e t e m 1 5 m

d e a l t u r a . Q u a l é o c o m p r i m e n t o d a e s c a d a q u e

e s t á e n c o s t a d a n a p a r t e s u

p e r i o r d o p r é d i o ? 1 7 m

d 2 8

2 1

5 2

d 1

7

3


a ) x

5

b

) x 3

x

4

C a l c u l e o v a l o r

d e x n o s t r i â n g u l o s r e t â n g u l o s .

a ) x

3

b ) x

5

x

2 x

x 5

6

x 3

5

U m a p e s s o a p e r c o r r e a t r a j e t ó r i a d e A a t é C ,

p a s s a n d o p o r B . Q u a l f o i a d i s t â n c i a p e r c o r r i d a ?

5 . ( A B ) 2 3

0 2 4

0 2

A B 5

0

( B C ) 2 6

0 2 8

0 2

B C 1

0 0

E n t ã o : 5 0 1

0 0 1

5 0

1 5 0 m

6

A f i g u r a m o s t r a u m a a n t e n a r e t r a n s m i s s o r a

d e r á d i o d e 7 2 m

d e a l t u r a . E l a é s u s t e n t a d a

p o r 3 c a b o s d e a ç o q u e l i g a m o t o p o d a a n t e n a

a o s o l o , e m p o n t o

s q u e e s t ã o a 3 0 m d o p é d a

a n t e n a . Q u a l é a

q u a n t i d a d e a p r o x i m a d a d e

c a b o , e m m e t r o s ,

q u e s e r á g a s t a p a r a s u s t e n t a r

a a n t e n a ? 2 3 4 m

a 2 7

2 2 3

0 2

a 7

8

3 7 8 2

3 4

2

3

3 3

8 m

6

8 x

3 0 m

3 0

m 3 0

m

4 0 m

8 0 m

3 0 m

6 0 m

6

x

5 3

B

A

C











1 9 2

H á o u t r a s r e l a ç õ e s

e n t r e m e d i d a s n o s

t r i â n g u l o s r e t â n g u l o s .

N ã o d á p a r a c a l c u l a r p e l o

t e o r e m a d e P i t á g o r a s !

V a m o s d e s c o b r i - l a s e

d e p o i s v o l t a r e m o s a o

p r o b l e m a !

3 .

R e l a ç õ e s m

é t r i c a s n o s t r i â n g u

l o s

r e t â n g u

l o s

N e s s a e s t r u t u r a d e t e l h a d o

f e i t a c o m

b a r r a s d e f e r r o , q u a l

d e v e s e r a m e d i d a

d e x ?

P o d e m o s d e s c o b r i r a p l i c a n d o o t e o r e m a d e P i t á g o r a s .

h i p o t e n u s a :

4

c a t e t o s : 3 , 2

e x

4 2 x

2 3 , 2

2

1 6 x

2 1

0 , 2 4

x 2 5 , 7 6

x

5 , 7 6

x 2 , 4

A b a r r a m e d

e 2 , 4 m .

B a r r a s d e r e f o r ç o s e r ã o c o l o c a d a s n a e s t r u t u r a . Q u a l d e v e s e r a m e d i d a d e s s a s b a r r a s ?

3 , 2 m

3 , 2 m

y

y

4 m

4

m

2 2 4 e 3 2 9

5 , 7 6 e s t á e n t r e 2 e 3

.

C o m o o ú l t i m o a l g a r i s m o d e 5 , 7 6 é 6 , e x p e r i m e n t a m o s 2 , 4 .

D e f a t o , 2 , 4

2 5 , 7 6 .

V o c ê t a m b é m p o d e u s

a r c a l c u l a d o r a : d i g i t e 5 , 7 6

4 m 3 ,

2 m

3 , 2 m

x

4 m

3 , 2 m 4

m

x



R E L A Ç Õ E S

M É T R I C A S

N O S



1 9 3

T r a ç a m o s a a l t u r a A H

r e l a t i v a à h i p o t e n u s a d o t r i â n g u l o

r e t â n g u l o A B C . S u a m e d

i d a é h . R e p a r e q u e A H d e t e r m i n a

d o i s s e g m e n t o s s o b r e a

h i p o t e n u s a . E l e s r e c e b e m

n o m e s

e s p e c i a i s :

C H : p r o j e ç ã o d o c a t e t o A C s o b r e a h i p o t e n u s a .

M e d i d a : m

B H : p r o j e ç ã o d o c a t e t o A B s o b r e a h i p o t e n u s a .

M e d i d a : n

V i s u a l i z e o s t r ê s t r i â n g

u l o s q u e a p a r e c e m n e s t a f i g u r a :

V a m o s c o m p a r a r o s t r i â n g u l o s A B C e H B A . P a r a f a c i l i t a r , c o l o c a m

o s o â n g u l o r e t o n a m e s m a

p o s i ç ã o :

A H ( a m b o s s ã o â n g u l o s r e t o s )

B é â n g u l o c o m u m a o

s d o i s t r i â n g u l o s .

O s t r i â n g u l o s a p r e s e n t a m d o i s â n g u l o s c o r r e s p o n d e n t e s c o n g r u e n

t e s . O t e r c e i r o , a u t o m a t i c a -

m e n t e , t a m b é m s e r á . O s t r i â n g u l o s s ã o s e m e l h a n t e s , o u s e j a , a s m e d i d a s d o s l a d o s c o r r e s p o n d e n t e s

s ã o p r o p o r c i o n a i s .

P o d e m o s e s c r e v e r :

a c

c n

M u

l t i p l i c a n d o o s t e r m o s d a p r o p o r ç ã o e m c r u z :

c 2 a n

B B

B

A H

C

B

m

n

b

c

a

h A

C

B

b

c

a

n

A H

B

c

h

A H

C

m b

h

A H

C

B

m

n

b

c

a

h A

C

B

b

c

a

H

A

B

h

n

c






1 9 6


c

b

1 8 m

3 2 m

b )

a )

x 2 9 2 5

x 1

5

5 x 3 4

x 2 , 4

x 2 9 5

x 3

5

2 1


c )

d )

2 2

( S a r e s p ) O c a r t a z r e t a n g u l a r d a f i g u r a f o i p r e -

s o à p a r e d e c o m

a u x í l i o d e u m f i o , c o n f o r m e

i n d i c a d o . Q u a l

é o c o m p r i m e n t o d o f i o ? 5 2 c m

c 2 1

0 2 2

4 2

c 2 6

7 6

c 2

6

• 2 2 6 5

2

2 3

( S a r e s p ) U m a p r a ç a t e m a f o r m a d e u m t r i â n -

g u l o r e t â n g u l o , c o m u m a v i a d e p a s s a g e m p e l o

g r a m a d o , q u e v a i d e u m v é r t i c e d o â n g u l o r e t o

a t é a c a l ç a d a m a i o r , c o m o i l u s t r a d o p e l a f i g u r a

a b a i x o .

S a b e n d o q u e e s t a v i a d i v i d e o c o n t o r n o m a i o r

d o g r a m

a d o e m d o i s p e d a ç o s , u m d e 3 2 m e

o u t r o d e 1 8 m , q u a n t o m e d e , e m m e t r o s , o

c o n t o r n o b ? 4 0 m

2 4

N a f i g u r a a b a i x o , a d i s t â n c i a d a c a s a à e s -

t r a d a é 1 , 2 k m .

a ) Q u a l é a m e n o r d i s t â n c i a d a á r v o r e à c a i x a -

- d ’ á g

u a ? 2 , 5 k m

b ) Q u a l é a m e n o r d i s t â n c i a d a c a s a à á r v o r e ?

c ) Q u a l é a m e n o r d i s t â n c i a d a c a s a à c a i x a -

- d ’ á g

u a ? 2 k m

1 , 5 k m

1 , 2

2 x 1 , 6

x 0 , 9

• 0 , 9 1 , 6 2 , 5

d 2 1 , 2

2 1 , 6

2

d 2

• h 2 1

8 3 2

h 2

4

• b 2 2

4 2 3

2 2 o u b 2 3

2 5 0 1

6 0 0

b 4

0

b 4

0

x 2 4 1 6

x 8

d 2 1 ,

2 2 0 , 9

2

d 1 , 5

2 5

x

9

9

x 5

5 x

3

4

x

4

1 6

1 , 6

k m

1 , 2 k m

1 0 c m

4 8 c m

i s ó s c e l e s P o r f a

v o r , f a ç a

s i l ê n c i o !




R E L A Ç Õ E S

M É T R I C A S

N O S



1 9 7

R e v i s a n d o

d 2 (

1 , 2 ) 2 (

1 , 6 ) 2

d 2

h 2 1

5 2 2

0 2

h 2 2

2 5 4

0 0

h 2 6

2 5

h 2

5

P 2

0 1

5 1

5 2

5 1

5

P 9

0

x 2 3

2 (

0 , 4 ) 2

x 3 ,

0 3 ( a p r o x . )

4 0 c m

6 m

x

2 5

U m

f a z e n d e i r o q u e r

c o l o c a r u m a t á b u a

e m d i a g o n a l n a s u a p o r t e i r a . Q u a l é o c o m p r i -

m e n t o d e s s a t á b u a , s e a f o

l h a d a p o r t e i r a m e d e

1 , 2 m p o r 1 , 6 m ? 2 m

2 6

Q u a l é o p e r í m e t r o d a f i g u r a ? 9 0 c m

2 7

Q u a l é a a l t u r a d o f u n

i l

r e p r e s e n t a d o p e l a f i g u r a ?

1 7 c m

x 2 9

2 1

5 2

x 1

2

1

2 5 1

7

2 8

C a l c u l e o c o m p r i m e n t o x n e s t a e s t r u t u r a d e

t e l h a d o , q u e t e m a f o r m a d e t r i â n g u l o i s ó s c e l e s .

3 , 0 3 m ( a p r o x . )

2 9

D e t e r m i n e o

v a l o r d o s e l e m e n t o s d e s c o -

n h e c i d o s :

a ) x 4

b )

3 0

O b s e r v e a f i g u r a a b a i x o . 1

0 8 1

8

( C E ) 2 1

5 2 1

2 2 C

E =

3 6 9

U m c a r r o a z u l p a r t e d a c i d a d e A p a r a a c i d a d e

C , p a s s a n d o p o r B . U m c a r r o v e r m e l h o p a r t e

d a c i d a d e E i g u a l m e n t e p a r a a c i d a d e C , m a s

c o m o t r a j e t o d i r e

t o . C o n s i d e r e q u e o s c a r r o s

s e d e s l o c a m à m

e s m a v e l o c i d a d e . Q u a l d o s

c a r r o s c h e g a r á p r i m e i r o à c i d a d e C ?

x 3

C B 8

3 6 9 > 1 8

O b s e r v a ç ã o : a s m e d i d a s n ã o s ã o p r o p o r c i o n a i s a o s v a l o r e s i n d i c a d o s .

2 0 c m

1 5 c m 1 5

c m 5 c m

1 5 c m

A

x O

B

6

x

2 1 3

x

x 2

x 1

9 c m

1 , 6 m

1 , 2 m

d = ?






4 k m

1 5 k m

6 k m

1 0 k m

B

D

E

A

C




1 9 8


h 2 (

1 , 2 0 ) 2 (

3 , 2 0 ) 2

• h 2 , 9 7

3 1

U m a e s c a d a t e m 3 , 2 0 m d e a l t u r a q u a n d o

e s t á f e c h a d a . Q u a l é a a l t u r a d a e s c a d a a b e r t a ,

s a b e n d o - s e q u e

a d i s t â n c i a m á x i m a e n t r e o s

s e u s p é s é d e 2 , 4 0 m ? 2 , 9 7 m ( a p r o x . )

3 2

D e t e r m i n e a m e d i d a d o a p ó t e m a e a m e -

d i d a d o l a d o d e

u m h e x á g o n o r e g u l a r i n s c r i t o

n u m a c i r c u n f e r ê n c i a d e r a i o i g u a l a 4 3 c m .

L a d o : 4 3 c m e a p ó t e m a : 6 c m .

2

2

2

4 3

2

4 3

a

• a 6

r a i o

a p ó t e m a

l a d o

A p ó t e m a d

e u m p o l í g o n o r e g u l a r é o

s e g m e n t o c u j o s e x t r e m o s s ã o o c e n t r o d o

p o l í g o n o e o p o n t o m é d i o d e u m l a d o .

3 3

O b s e r v e a t a b e l a d e P i t á g o r a s .

Q u a l é a s o m a d e t o d o s o s n ú m e r o s d a v i g é s i -

m a l i n h a ? 2 4 0

6 0 8

0 1

0 0 2

4 0

3 4

( S a r e s p ) N a f i g u r a a b a i x o t ê m - s e o s q u a -

d r a d o s Q

1 e Q 2 .

x 2 1

2 2

1 5 2

x 9

T

9 1 2 2

5

4

Q u a l é a á r e a d o t r i â n g u l o T , e m m e t r o s q u a -

d r a d o s ?

5 4 m 2

3 5

A c h á c a r a d e Â n g e l a t e m a f o r m a d e u m

t r i â n g u l o r e t â n g u l o e a s d i m e n s õ e s i n d i c a d a s

n a f i g u r a . Q u a l é a d i s t â n c i a e n t r e o p o r t ã o e o

p o ç o ? 4 8 0 m

1 0 0 0 h 6

0 0 8 0 0

h 4

8 0

6 0

2 8

x

x 4

5

y 5

3

7 5

3 6

O b s e r v e o p a p a g a i o d e p a p e l e c a l c u l e x e y .

( u n i d a d e

: c m ) 4 5 c m ; 5 3 c m

y

3 6 9 1 2 …

4 8 1 2 1 6 …

5 1 0 1 5 2 0 …

3 , 2 0 m

2 , 4 0 m

8 0 0 m

6 0 0 m

T

1 5 m

Q 2

1 2 m

Q 1





R E L A Ç Õ E S

M É T R I C A S

N O S



1 9 9

E x

e r c í c i o s

3 7

A p r a t e l e i r a d a s e c r e t á r i a e s t á p e r p e n d i c u -

l a r a o m ó v e l ? J u s t i f i q u e a

r e s p o s t a .

N ã o ,

p o r q u e 3 5 2 2

2 2 2

8 2 .

3 8

D a d a a t a b e l a , l o c a l i z e n o p l a n o c a r t e s i a -

n o , e m f u n ç ã o d e x e y , o s p o n t o s d a d o s ( A , B ,

C e D ) . U n i n d o o s p o n t o s e n

c o n t r a d o s , o b t é m - s e

u m a f i g u r a g e o m é t r i c a . Q u a l é o p e r í m e t r o

d e s s a f i g u r a ? 8 2

x

y

A

2

0

B

0

2

C

2

0

D

0

2

3 9

O b s e r v e a f i g u r a e r e s

p o n d a :

a ) Q u a l é o p e r í m e t r o d a

f i g u r a ? 2 8 c m

b ) Q u a l é a d i s t â n c i a e m l i n h a r e t a d o p o n t o A

a o p o n t o B ? 1 0 c m

4 0

C o n s i d e r e a f i g u r a a b a i x o , o n d e A B C D e

E C G F s ã o q u a d r a d o s .

a ) Q u a n t o m e d e o s e g m e n t o E G ?

b ) Q u a l é a á r e a d o t r i â n g u l o E C G ? 1 8 c m 2

c ) Q u a l é a á r e a d o q u a d r i l á t e r o H B G E ? 6 6 c m 2

d ) C o m o s e c h a m

a o q u a d r i l á t e r o H B G E ?

T r a p é z i o r e t â n g u l o .

4 1

( C e f e t - S P ) N u

m a e m b a l a g e m

c ú b i c a d e

5 0 c m

d e a r e s t a , f o i e n c a i x a d a u m a p l a c a

p l a n a d e p a p e l ã o

p a r a s e p a r a r s e u i n t e r i o r e m

d u a s p a r t e s i g u a i s

, c o m o m o s t r a a f i g u r a .

P a r a t a n t o , g a s t o u

- s e , e m p a p e l ã o , a p r o x i m a -

d a m e n t e :

a ) 0 , 2 0 m 2

b ) 0 , 2 5 m 2

c ) 0 , 3 0 m 2

d ) 0 , 3 5 m 2

x

d 2 5

0 2

5

0 2

d 2 5

0 0

0

d 7 0

A 0 , 7 0

0 , 5 0

A 0 , 3 5

8 c m

6 c m

P 6

8

6

8 2

8

s o m a d a s b a s e s d e

t o d o s o s d e g r a u s

s o m a d a s a l t u r a

s d e

t o d o s o s d e g r a u s

B

A x

y

6 2 c m

R e s p o n d a

n o c a d e r n o .

A B

C

H

G

D E

F

2 c m

6 c m

2 8 c m

2 2 c m

3 5

c m







2 0 2

5 3

( U f l a - M G ) Q

u a l d e v e s e r a a l t i t u d e d o b a -

l ã o p a r a q u e s u

a d i s t â n c i a d o t o p o d o p r é d i o

s e j a d e 1 0 k m ?

x 2 8

2 1

0 2

x 6

6 0 0 0 2

0 0 6

2 0 0

a ) 6 k m

b ) 6 2 0 0 m

c ) 5 k m

d ) 1 1 2 0 0 m

x 5

4

N a f i g u r a a b

a i x o e s t á r e p r e s e n t a d a u m a p a r -

t e d e u m m a p a g e o g r á f i c o d e u m a r e g i ã o p l a n a .

A e B s ã o p o n t o s d e s s a r e g i ã o . Q u a l d a s s e g u i n -

t e s m e d i d a s m a i s s e

a p r o x i m a d o v a l o r

d a d i s t â n c i a e n t r e o s

p o n t o s A e B ?

a ) 3 0 0 m

b ) 5 0 0 m

c ) 4 0 0 m

d ) 6 0 0 m

x 5

5

( S a r e s p ) U m

m o t o r i s t a v a i d a c i d a d e A a t é

a c i d a d e E , p a s s a n d o p e l a c i d a d e B , c o n f o r m e

m o s t r a a f i g u r a .

E l e p e r c o r r e u :

a ) 4 1 k m

b ) 1 5 k m

c ) 9 k m

d ) 3 6 k m

x

h 2 1 6

9

h 1 2

( A B ) 2 1

6 2 1

2 2 o u ( A B ) 2 2

5 1 6

A B 2

0

P 2 0

1

6 3

6

5 6

( U F R

G S - R S ) O l a m p i ã o r e p r e s e n t a d o n a f i g u -

r a e s t á s u s p e n s o p o r d u a s c o r d a s p e r p e n d i c u l a r e s

p r e s a s a o t e t o . S a b e n d o - s e q u e e s s a s c o r d a s m e -

d e m 1 2 e 6 5 , a d i s t â n c i a d o l a m p i ã o a o t e t o é :

a ) 1 , 6 9

b ) 1 , 3

c )

1 2

d )

6 1 3

x x 2

1 2 2

6 5 2

1 3 1 0 h

1 2

6 5

h

6 1 3

x 1

3 1 0

5 7

( P u c

c a m p - S P ) P a r a f a z e r o e n c a n a m e n t o d e

u m a r e s i d ê n c i a , d e v e - s e l i g a r p o r u m c a n o o s

p o n t o s A

e B , d i s t a n t e s 6 m e n t r e s i . C o m o h á

u m a c o n s t r u ç ã o n o m e i o d e s s e p e r c u r s o , r e s o l -

v e u - s e l i g a r A a C e C a B , c o m o m o s t r a a f i g u r a

a o l a d o

. A q u a n t i d a d e

m í n i m a

d e m e t r o s d e

c a n o n e c e s s á r i a p a r a f a -

z e r e s s e

e n c a n a m e n t o é :

a ) 3 2

b ) 6

c ) 6 2

d ) 1 8 2

x 5

8

( U C - B A ) N a s i t u a ç ã o d o m a p a a b a i x o , d e -

s e j a - s e c

o n s t r u i r u m a e s t r a d a q u e l i g u e a c i d a -

d e A à e

s t r a d a B C , c o m o m e n o r c o m p r i m e n t o

p o s s í v e l . E s s a e s t r a d a m e d i r á , e m q u i l ô m e t r o s :

( A C ) 2 4

0 2 5

0 2

A C 3

0

5 0 d 3

0 4 0

d 2

4

5 0 k m

a ) 2 4

b ) 2 8

c ) 3 0

d ) 3 2

x

A

B

C

d

3 2

3 2

6 2

1 0 0 m

1 0 0 m

A

B

8 k m

1 0 k

m

200 m

4 0 k m

A

C

B

4 5 ° 4 5 °

A B

C

O b s e r v a ç ã o : a

f i g u r a n ã o r e s p e i t a a s m e d i d a s i n d i c a d a s .

A

C

E

B

1 6 k m

2 5 k m





D A E

D A E

T R I G O N O M E T R I A N

O T

R I Â N G U L O

R E T Â N G U L O

2 0 3

U N I D A D E 8

U N I D A D E

T r i g o n o m e

t r i a n o

t r i â n g u

l o r e

t â n g u

l o

1 .

A s r a z

õ e s

t r i g o n o m

é t r i c a s

N a U n i d a d e 6 ,

d e t e r m i n a m o s a a l t u r a d o

m a s t r o d e u m a b a n d e i r a

s e m m e d i - l a d i r e t a m e n t e .

L e m b r a m - s e ?

N e s t a u n i d a d e ,

v a m o s t a m b é m

c a l c u l a r a a l t

u r a

d o p r é d i o d a e s c o l a

s e m m e d i - l o

d i r e t a m e n t

e .

V e j a , n a i l u s t r a ç ã o a s e g u i r , o p r o c e d i m e n t o e a s m e d i d a s q u e o p r

o f e s s o r J o r g e a n o t o u .

N a s a l a d e a u l a , e l e d e s e n h o u e s s e t r i â n g u l o :

E s s e t r i â n g u l o é r e t â n g u l o , m a s s ó t e m o s a m e d i d a d e u m â n g u l o e d e u m c a t e t o . N ã o d á p a r a

a p l i c a r a s r e l a ç õ e s m é t r i c a s q u e c o n h e c e m o s .

N o e n t a n t o , h á o u t r a s

r e l a ç õ e s p a r a d e s c o b r i r . P r o s s i g a n a l e i t u r a

d o t e x t o . D e p o i s v o l t a r e m o s

à a l t u r a d o p r é d i o .

O c a t e t o B C é u m

d o s

l a d o s d o â n g u l o d e 4 0 o .

B C é o c a t e t o a d j a c e n t e

a o â n g u l o d e 4 0 o .

O c a t e t o A B é o c a t e t o

o p o s t o a o â n g u l o d e 4 0 o .

4 0 °

1 , 7 0 m

1 5 m

4 0 °

C

A

4 0 °

1 5 m

B x

H é l i o S e n a t o r e I l u s t r a ç õ e s : L á p i s M á g i c o

D A E









2 1 0


c )

1

C o n s i d e r e o

t r i â n g u l o a b a i x o .

a ) Q u a l é a h i p o t e n u s a ? a

b ) Q u a l é o c a t e t o o p o s t o a ? b

c ) Q u a l é o c a t e t o a d j a c e n t e a ? c

d ) Q u a l é o c a t e t o o p o s t o a ? c

e ) Q u a l é o c a t e t o a d j a c e n t e a ? b

2

N o t r i â n g u l o r e t â n g u l o d a f i g u r a , c a l c u l e

o s v a l o r e s d e :

a ) s e n

Å A 6 1 0 0 , 6

b ) c o s

Å A 8 1 0 0 ,

8

c ) t g Å A 6 8

0 , 7 5

d ) s e n

Å C 8 1 0 0 ,

8

e ) c o s

Å C 6 1 0 0 ,

6

f ) t g Å C 8 6

1 , 3 3 3 . . .

3

C o n s u l t e a

t a b e l a t r i g o n o m é t r i c a e c o m -

p l e t e o q u a d r o n o c a d e r n o .

4

C a l c

u l e x e m c a d a u m d o s t r i â n g u l o s r e t â n -

g u l o s .

s e n 2 4 ° x 1 0

x 1

0 0 , 4 0 6 7

x 4 , 0 6 7

t g 4 0 °

x 1 2 0

x 1

2 0 0 , 8 3 9 1

x 1

0 0 , 6 9 2

c o s 2 8 °

x 1 7

x 1

7 0 , 8 8 2 9

x 1

5 , 0 0 9

c o s 4 0 ° x 9

x 9 0 , 7 6 6 0

x 6 , 8 9 4

5

V e j a

a f i g u r a a b a i x o . P o d e - s e t o m b a r a á r v o -

r e e m d i r e ç ã o à c a s a , s e m a t i n g i r a c o n s t r u ç ã o ?

N ã o . A a l t u r a d a á r v o r e é d e 2 5 , 6 m .

t g 5 2 °

x 2 0

x 1 , 2 7 9 9 2 0

x 2

5 , 5 9 8 ( a p r o x . )

2 5

°

s e n o

0 , 6 1 5 7

c o s s e n o

0 , 2 7 5 6

t a n g e n t e

1 , 4 8 2 6

0 , 4 2

2 6

0 , 9 0

6 3

0 , 4 6

6 3

3 8 °

0 , 7 8 8 0

0 , 7 8 1 3

7 4 °

0 , 9 6 1 3

3 , 4 8 7 4

5 6 °

0 , 8 2 9 0

0 , 5 5 9 2

a )

b )

A x B

C

4 0 ° 1 2 0

2 8 °

1 7

C

B

x

A

d )

B A

C

x 9

4 0 °

b

a

c

A

8 c m

B 6 c m

C

2 0 m

5 2 ° 2 4 °

A

1 0

B

C

x




O T

R I Â N G U L O

R E T Â N G U L O

2 1 1

1 , 2 m

4 , 8 m

6

U m a e s c a d a m e d i n d o 3 m p r e c i s a f a z e r

u m â n g u l o d e 4 0 ° c o m a

p a r e d e p a r a q u e n ã o

e s c o r r e g u e . A q u e d i s t â n

c i a o p é d a e s c a d a

p r e c i s a f i c a r d a p a r e d e ? 1

, 9 3 m ( a p r o x i m a d a m e n t e )

s e n 4 0 o x 3

x 0 , 6 4 2 8 3 1 , 9 2 8

7

A t o r r e E i f f e l , a m a i o r

a n t e s d a e r a d a t e l e -

v i s ã o , f o i c o n c l u í d a e m 3 1 d e m a r ç o d e 1 8 8 9 .

V e j a a f i g u r a e d e t e r m i n e

a a l t u r a d e s s a t o r r e .

3 2 4 m

8

U s e a c a l c u l a d o r a . S u g e r i m o s a v o c ê q u e

c a l c u l e o v a l o r d o

s e n o e d o c o s s e n o d e a l g u n s

â n g u l o s e c o m p a r e - o s c o m o s d a t a b e l a a p r e -

s e n t a d a n a p á g i n a

2 0 9 d o l i v r o .

9

O b s e r v e a f i g

u r a e c a l c u l e a m e d i d a d o

â n g u l o q u e a e s c a d a f a z c o m o s o l o . 7 6 °

1 0 V e j a a f i g u r a a b a i x o . A l â m p a d a e s t á a 3 m

d o c h ã o e l a n ç a u m c o n e d e l u z d e “ a b e r t u r a ”

i g u a l a 5 0 ° . Q u a l é

a m e d i d a d o r a i o d o c í r c u l o

d e l u z n o c h ã o ? 3 , 5 7 m

1 1

U m d o s â n g u l o s d e u m t r i â n g u l o r e t â n g u l o

é . S e t g 2 , 4 , a s m e d i d a s d o s l a d o s d e s s e

t r i â n g u l o s ã o p r o p

o r c i o n a i s a :

t g 5 0 ° x 3

x 1 , 1 9 1 8 3 3 , 5 7 5 4

R e s p o n d a n o

c a d e r n o .

a ) 1 2 , 3 5 , 3 7

b ) 3 0 , 4 0 , 5 0

c ) 5 0 , 1 2 0 , 1 3 0

d ) 8 0 , 1 5 0 , 1 7 0

x

2 , 4 2

4 1 0

1 2 0 5 0

t g 7 0 º

x 1 1 7 , 9

x 2 , 7 4 7 5 1 1 7 , 9

x 3

2 4

7 0 °

1 1 7 , 9 m

x 3

m

4 0 o

5 0 ° t g x 4

, 8 1 , 2 t g

x 4 x 7 6 ° I l u s t r a ç õ e s : H é l i o S e n a t o r e



2 1 2 N

a t a b e l a , s e n 4 5 º 0 , 7 0 7 1 .

N u m a c a l c u l a d o r a , d i g i t a n d o

2

2 p a r a c a l c u l a r

2 2 , o b t e m o s 0 , 7 0 7 1 0 6 7 .

0 , 7 0 7 1 é u m

a a p r o x i m a ç ã o r a c i o n a l p a r a s e n 4 5 º e

2 2 é o v a l o r e x a t o d e s e n 4 5 º .

A i n d a n o t r i â n g u l o A B C :

c o s 4 5 º

m e d i d a d o c a t e t o a d j a c e n t e a o â n g u l o d e 4 5 º

m e d i d a d a h i p o t e n u s a

2

1 2

2 2

t g 4 5 º

m e d i d a d o c a t e t o o p o s t o a 4 5 º

m e d i d a d o c a t e t o a d j a c e n t e a 4 5 º

1

2 .

A s r a

z õ e s

t r i g o n o m

é t r i c

a s e o s

â n g u l o

s d e

3 0 o ,

4 5 o

e 6 0 o

H á s i t u a ç õ e s

e m q u e é m e l h o r t r a b a l h a r c o m v a l o r e s e x a t o s d e s e n o e d e c o s s e n o d e 4 5 º .

J á d e s c o b r i m

o s , p e l o t e o r e m a d e P i t á g o r a s , q u e d

2

.

O t r i â n g u l o A B C é r e t â n g u l o . V a m o s c a l c u l a r :

s e n 4 5 º

m e d i d a d o c a t e t o o p o s t o a o â n g u l o d e 4 5 º


s e n 4 5 º

2

1 2 o u

1

2

2

2

2 2

r a c i o n a l i z a n d o o d e n o m i n a d o r

V a l o r e x a t o d e

c o s 4 5 º .

S o b r e a T r i g o n

o m e t r i a

C o m o j á d i s s e m

o s , a p a l a v r a t r i g o n o m e t r i a v e m

d o g r e g o e s i g n i f i c a

“ m e d i d a d e t r i â n g u l o s ” . O d e s e n -

v o l v i m e n t o d e s t e r a m o d a M a t e m á t i c a e s t á l i g a d o a

A s t r o n o m i a , n a v e g a

ç ã o , c a r t o g r a f i a , e n t r e o u t r o s . V o c ê

p r o s s e g u i r á c o m o e s t u d o d a T r i g o n o m e t r i a n o E n s i n o

M é d i o e t e r á a o p o

r t u n i d a d e d e a p l i c a r e s t e s c o n h e c i -

m e n t o s n a F í s i c a , p o r e x e m p l o .

4 5 °

4 5 °

A

D

B

C

d M

2

D A E A d i a g o n a l d

é e i x o d e s i m e t r i a d o q u a d r a d o d e l a d o : d i v i d

e o â n g u l o r e t o e m d o i s â n g u l o s d e 4 5 o .


O T

R I Â N G U L O

R E T Â N G U L O

2 1 3

F a ç a d u p l a c o m u m c o l e g a . D e t e r m i n e m , a p a r t i r d o t r i â n g u l o A H B , o

s v a l o r e s e x a t o s d e s e n 3 0 o ,

c o s 3 0 o e

t g 3 0 o . C o p i e m e c o m p l e t e m a

t a b e l a a b a i x o n o c a d e r n o . L e m b r e m

- s e d a r a c i o n a l i z a ç ã o !

P o d e m o s o b t e r t a m b é

m , a p a r t i r d o t r i â n g u l o e q u i l á t e r o , o s v a l o r e

s e x a t o s d a s r a z õ e s t r i g o n o -

m é t r i c a s p a r a o s â n g u l o s

d e 3 0 o e

d e 6 0 o .

A c o m p a n h e :

• s e n 6 0 o m

e d i d a d o c a t e t o o p o s t o a o â n g u l o d e 6 0 o


c o s 6 0 o

2

2

1

1 2

s e n 6 0 o

3 2

3 2

1

3 2

• c o s 6 0 o m

e d i d a d o c a t e t o a d a j a c e n t e a o â n g u l o d e 6 0 o


• t g 6 0 o

m e d i d a d o c a t e t o o p o s t o a 6 0 o

m e d i d a d o c a t e t o a d j a c e n t e a 6 0 o

U m t r i â n g u l o e q u i l á t e

r o t e m t r ê s â n g u l o s d e 6 0 o . T r a ç a m o s a

a l t u r a A H q u e e s t á n u m d

o s e i x o s d e s i m e t r i a d o t r i â n g u l o e q u i l á -

t e r o d e l a d o , o b t e n d o o

t r i â n g u l o r e t â n g u l o A H B .

L e m b r a n d o q u e a a l t u r a d e u m t r i â n g u l o e q u i l á t e r o d e l a d o

é

h

3 2

, t e m o s :

t g 6 0 o

3 2

2

3 2

2

3

1 2

3

2

â n g u l o

s e n

c o s

t g

3 0 o

4 5 o

2 2

2 2

1

6 0 o

3 2

1 2

3

1 2

A

C

B

6 0 °

6 0 °

6 0 °

h H

2

2

A

C

B

3 0 °

3 0 °

6 0 °

6 0 °

2 3

3 3




2 1 4 V

a m o s u s a r o v a l o r e x a t o d e s e n 6 0 o p a r a e s t a b e l e c e r u m

a r e l a ç ã o m a t e m á t i c a .

C o m r é g u a ,

c o m p a s s o e t r a n s f e r i d o r , f a ç a j u n t o .

A

B

C

r

r

r

1 2 0 ° 1 2 0 °

1 2 0 ° O

O B O

C

r

• T r a

ç a m o s u m a c i r c u n f e r ê n c i a d e c e n t r o O

e r a i o r q u a l q u e r .

• C o

m o 3 6 0 o

3 1

2 0 o , c o n s t r u i n d o t r ê s

â n g u l o s d e 1 2 0 o c o m v é r t i c e e m O , d i v i d i -

m o

s a c i r c u n f e r ê n c i a e m t r ê s p a r t e s i g u a i s

e t r a ç a m o s o t r i â n g u l o e q u i l á t e r o A B C .

E s s e t r i â

n g u l o e s t á i n s c r i t o n a c i r c u n f e r ê n c i a :

s e u s v é r t i c e s s ã o p o n t o s d a c i r c u n f e r ê n c i a . V a m o s

d e s c o b r i r q

u a l é a r e l a ç ã o e n t r e o r a i o r d a c i r c u n -

f e r ê n c i a e a m e d i d a

d o l a d o d o t r i â n g u l o .

O t r i â n g u l o O B C é i s ó s c e l e s d e b a s e B C .

T r a ç a m o s a a

l t u r a O H r e l a t i v a à b a s e . O H e s t á n o

e i x o d e s i m e t r i a

d o t r i â n g u l o O B C .

O b t i v e m o s o

t r i â n g u l o O H B r e t â n g u l o .

H Ô B m e d e 6

0 o ( m e t a d e d e 1 2 0 o ) .

s e n 6 0 o

m e d i d a d o c a t e t o o p o s t o a o â n g u l o d e 6 0 º


P o r e x e m p l o , s e a c i r c u n f e r ê n c i a t i v e r r a i o d e 5 c m , o l a d o

d o t r i â n g u l o e q u

i l á t e r o i n s c r i t o n e s s a c i r c u n f e r ê n c i a m e d i r á

5 3 c m .

3 2

2 r

2

2 r

3

r

3

U m t r i â n g u l o e q u i l á t e r o d e l a d o

4

3 c m e s t á i n s c r i t o n u m a c i r c u n f e -

r ê n c i a d e r a i o r .

D e s c u b r a , u s a n d o c á l c u l o m e n t a l ,

q u a l é a m e d i d a r . 4 c m

O

r

r

C

B

6 0 °

3 0 °

3 0 °

H

2

2



O T

R I Â N G U L O

R E T Â N G U L O

2 1 5

E x

e r c í c i o s

1 2

C a l c u l e o v a l o r d e x e m c a d a u m d o s t r i â n -

g u l o s r e t â n g u l o s .

a )

b )

s e n 3 0 o x 8

1 2

x 8

x 4

c o

s 4 5 o x 1 0

2 2

x 1 0

x 5

2

1 3

Q u a l é a a l t u r a d o p r é

d i o ? 2 0

3 m

1 4

U m a v i ã o l e v a n t a v o o s o b u m â n g u l o d e

3 0 ° e m r e l a ç ã o à p i s t a . Q

u a l s e r á a a l t u r a d o

a v i ã o q u a n d o e s t e p e r c o r r e r 4 0 0 0 m e m l i n h a

r e t a ? 2 0 0 0 m

1 5

U m a e s c a d a d e 8 m é e n c o s t a d a e m u m a

p a r e d e , f o r m a n d o

c o m e l a u m â n g u l o d e 6 0 ° .

A q u e a l t u r a d a p a r e d e a e s c a d a s e a p o i a ? 4 m

t g 3 0 o x 6 0

1 6

P a r a p e r m i t i r

o a c e s s o a u m m o n u m e n t o

q u e e s t á e m u m p e d e s t a l d e 1 , 5 m d e a l t u r a ,

s e r á c o n s t r u í d a u m

a r a m p a c o m i n c l i n a ç ã o d e

3 0 ° c o m o s o l o , c o n f o r m e a i l u s t r a ç ã o .

1 , 5 m

3 0 °

Q u a l s e r á o c o m p

r i m e n t o d a r a m p a ? 3 m

1 7

C a l c u l e o p e r í m e t r o d a f i g u r a , c o n s i d e r a n -

d o

3 1 , 7 . 5 8 , 2

s e n 3 0 º

h 1 2

1 2

h 1 2

h 6

• c o s 6 0 o x 8

1 2

x 8 x 4

3 0 o

8

A B

C

x

s e n 3 0 º

x 4 0 0 0

1 2

x 4 0 0 0

x 2

0 0 0

c o s 3 0 o

a 1 2

3 2 a 1 2

a 6

3

p 1 2

1 5

1 0 ,

2 1 5

6 5 8 ,

2

3 3

x 6 0 x

2

0

3

A

x 4 5 o

B

C

1 0

4 0 0 0 m

3 0 °

x

3 0 o

1 2

h

a

1 5

3 0 o 1 2

3 0 °

6 0 m

6 0 °

8 m



I l u s t r a C a r t o o n I l u s t r a C a r t o o n








2 2 0

a ) 5 3

c ) 1 0 3

b ) 1 0

d ) 2 0

4 0

( E T F - S P ) A s

a l t i t u d e s ( a l t u r a e m r e l a ç ã o

a o n í v e l d o m a r ) e m q u e e s t ã o d o i s p o n t o s A

e B s ã o , r e s p e c

t i v a m e n t e , 8 1 2 m e 1 0 2 0 m .

D o p o n t o A v ê - s e o p o n t o B s o b u m â n g u l o

d e 3 0 ° c o m o

p l a n o h o r i z o n t a l ( c o n f o r m e

f i g u r a ) .

3 9

( U M C - S P ) A

m e d i d a d a f r e n t e p a r a a r u a

A , d o l o t e d e t e

r r e n o s o m b r e a d o n a p l a n t a d a

q u a d r a t r i a n g u l a r d a f i g u r a a b a i x o , e m m e t r o s ,

é i g u a l a :

x

c o s 3 0 º

x

2 0

3 3

1 0 x

2 0 3

A d i s t â n c i a e n t r e o s p o n t o s A e B é :

a ) 4 0 0 m

b ) 4 1 6 m

c ) 2 0 8 M 3 m

d )

m

s e n 3 0 º

A B 4

1 6

2 0 8 A B

4 1 6 M 3 3

x

4 1

( C e f e t - P R ) D u r a n t e u m a t e m p e s t a d e , u m

p o s t e d e 9 m d e a l t u r a q u e b r a - s e e , a o c a i r ,

f o r m a c o m o s o l o u m t r i â n g u l o r e t â n g u l o . A

p a r t e q u

e b r a d a f o r m a c o m o s o l o u m â n g u l o

d e 3 0 ° . O c o m p r i m e n t o d a p a r t e q u e f i c o u f i x a

a o s o l o é , e m m :

a ) 3

c ) 5

b ) 4

d ) 6

x

s e n 3 0 °

x 3

x 9 x

4 2

( C e e t e p s - S P ) A i n f o r m a ç ã o p o d e e v i t a r

d o e n ç a s :

“ P a r a

e v i t a r a c o n t a m i n a ç ã o d a á g u a p e l a

f o s s a ,

d e v e - s e c o n s t r u í - l a d i s t a n t e , n o m í n i m o ,

2 0 m

d o p o ç o d e á g u a . ”

O b s e r v a n d o o e s q u e m a a b a i x o , p o d e m o s

c o n c l u i r q u e a c o n s t r u ç ã o d a f o s s a e d o

p o ç o e s

t á :

C o n s i d e r e :

s e n 3 0 ° 0 , 5

c o s 3 0 ° 0 , 8

t g 3 0 ° 0 , 6

d d

i s t â n c i a d o p o ç o à f o s s a .

a ) c o r r e

t a , p o i s a d i s t â n c i a d o p o ç o à f o s s a é d e

2 0 m

.

b ) i n c o r

r e t a , p o i s a d i s t â n c i a d o p o ç o à f o s s a é

d e 1 5

m .

c ) c o r r e


2 2 m

.

d ) c o r r e


2 5 m

.

x

3 3

3 3

t g 3 0 º

d

2

5

1 5 d

1 5 0 , 6

3 0 °

1 5 m

F O S S A

P O Ç O

d

3 0 °

R u a

A

R u a B

1 0 m

3 0 ° 1 0 x

A

3 0 °

B

3 0 °

x

9 – x

I l u s t r a ç õ e s : H é l i o S e n a t o r e


C Í R C U L O

E

C I L I N D R O

2 2 1

P o n t o O : c e n t r o d a c i r c u n f e r ê n c i a

r : r a i o d a c i r c u n f e r ê n c i a

U N I D A D E 9

U N I D A D E

C í r c u l o

e c i l i n

d r o

1 .

Á r e a

d o c í r c u

l o

R o d a s , b o r d a s d e x í c a r

a s e c o p o s , e n g r e n a g e n s . . . A s f o r m a s c i r c u l a r

e s a p a r e c e m c o m f r e q u ê n c i a

n a s c o n s t r u ç õ e s e n o s o b

j e t o s p r e s e n t e s e m n o s s o m u n d o .

S t o c k b y t e / T h i n k s t o c k

M a u r i c i o M o r a i s

P h o t o d i s c

r

r

O

A M a t e m á t i c a f o r n e c e

c o n h e c i m e n t o s p a r a q u e p o s s a m o s u t i l i z a r m

e l h o r e s s a s f o r m a s e m n o s s o

d i a a d i a .

V o c ê j á s a b e q u e a c i r c

u n f e r ê n c i a é u m a l i n h a f o r m a d a p o r t o d o s o

s p o n t o s d o p l a n o q u e e s t ã o

a u m a m e s m a d i s t â n c i a d

e u m p o n t o f i x o , q u e é o c e n t r o d a c i r c u n f e r ê n c i a .

T o d o s o s p o n t o s d a c i r c u n f e r ê n c i a d i s t a m r d e O .

V o c ê t a m b é m s a b e q u e o c o m p r i m e n t o C d e u m a c i r c u n f e r ê n c i a

d e

r a i o r p o d e s e r c a l c u l a d o

p e l a r e l a ç ã o

C 2

r .

J u n t a n d o à c i r c u n f e r ê n c i a o s p o n t o s d o s e u i n t e r i o r , o b t e m o s u m c í r c u l o .

O c í r c u l o o c u p a u m a s

u p e r f í c i e . A m e d i d a d e s s a s u p e r f í c i e é a á r e a

d o

c í r c u l o .








2 2 6 A

p l i c a r e m o s

a p r o p o r c i o n a l i d a d e e n t r e a á r e a d o c í r c u l o

e a á r e a d o s e t o r c i r c u l a r p a r a c a l c u l a r

a á r e a d o s e t o r

c i r c u l a r d e s t a c a d o n a f i g u r a .

Á r e a d o s e t o

r c i r c u l a r : x

Á r e a d o c í r c u l o o n d e e s t á o s e t o r r 2 1

6

c m 2 .

Â n g u l o c e n t

r a l c o r r e s p o n d e n t e a o s e t o r c i r c u l a r : 4 5 º .

Â n g u l o c e n t

r a l c o r r e s p o n d e n t e a o c í r c u l o : 3 6 0 º .

x 1 6

4 5 º

3 6 0 º

x 1 6

1 8

8 x 1 6

x 1

6 8

x 2

o u x 6 , 2 8

Á r e a d o s e t o

r c i r c u l a r : 6 , 2 8 c m 2

J o a n M i r ó .

A c a r í c i a d e

u m p á s s a r o , 1 9 6 7 .

F u n d a ç ã o M i r ó / B a r c e l o n a

1

1 . D e s m o n t e u

m c

h a p e u z i -

n h o d e f e s t a

c o m o e s t e d a

f o t o g r a f i a . T

o m e c u i d a d o

p a r a n ã o r a s g á - l o . V o c ê

o b t e r á a p l a n i f i c a ç ã o d a

s u p e r f í c i e l a t e r a l d e u m

c o n e , q u e t e m a

f o r m a d e

u m s e t o r c i r

c u l a r .

2 . M e ç a o r a i o

d o c í r c u l o a q u e p e r t e n c e o s e t o r e o

â n g u l o c e n t r a l . U s a n d o a p r o p o r c i o n a l i d a d e , c a l -

c u l e q u a n t o

s c e n t í m e t r o s q u a d r a d o s d e p a p e l s ã o

n e c e s s á r i o s

p a r a c o n f e c c i o n a r o c h a p e u z i n h o .

V a l é r

i a V a

z

r

8

4 5 º 4 c m

V e j a n a f o t o g

r a f i a a o l a d o a s f o r m a s c i r c u l a r e s p r e -

s e n t e s e m u m a o b r a d e a r t e .


C Í R C U L O

E

C I L I N D R O

2 2 7

E x

e r c í c i o s

3

2 8


M o e d a s

D i â m e t r o R a i o

P e r í m e t r o

Á r e a

R $ 0 , 2 5

R $ 0 , 5 0

2 , 5 c m

1 , 2 5 c m

7 , 8 5 c m

4 , 9 1 c m 2

2 , 3 c m

1 , 1 5 c m

7 , 2 2 c m

4 , 1 5 c m 2

A Q 4

2 1

6

A C 3 , 1 4 2 2 1

2 , 5 6

A r 2

8 , 5 6 c m 2

a )

b )

8 m

h 2 6

2 +

8 2 h 1

0

A s c

5 2

2

3

9 , 2 5

F o t o s : A r q u i v o p a r t i c u l a r

2 5 0

3 9 , 2 5 m 2

6 c m

A

3 , 1 4 3 2

2

A 1

4 , 1 3

1 4 , 1 3 c m 2

1

U t i l i z a n d o a u n i d a d e

d e s t a c a d a n o c a n t o

s u p e r i o r , i n d i q u e u m v a l o

r a p r o x i m a d o p a r a a

á r e a d e c a d a f i g u r a c o l o r i d a .

2

U m C D t e m 1 2 c m d

e d i â m e t r o . C a l c u l e

s u a á r e a . 1 1 3 , 0 4 c m 2

3

U t i l i z a n d o a f i g u r a , f a ç a a s m e d i ç õ e s n e -

c e s s á r i a s d a s m o e d a s e c o

m p l e t e a t a b e l a .

4

C a l c u l e a á r e a d o t a m p o d e m a d e i r a d a

m e s a r e p r e s e n t a d o n a f i g u r a . 2 8 , 5 6 c m 2

5

O s d o i s a z u l e

j o s d a f i g u r a s ã o q u a d r a d o s

c o m 2 0 c m d e l a

d o . C a l c u l e a á r e a d a p a r t e

c o l o r i d a e m c a d a

u m d e l e s .

A Q 2

0 2 4

0 0

A C

3 , 1 4 2 0 2

4

3

1 4

A S 4

0 0 – 3 1 4 8

6

8 6 c m 2

a )

A Q 2

0 2 4

0 0

A C 3 , 1 4 1 0 2 3

1 4

A F 4

0 0 3

1 4 8

6

8 6 c m 2

b )

6

Q u a l é a á r e a d

a p a r t e s o m b r e a d a d a f i g u r a ?

4 c m

4 c m

6 c m




2 2 8

a )

b )

7

N u m a p l a c a d e m e t a l r e t a n g u l a r v ã o s e r

r e c o r t a d o s d i s c o s d e 5 0 c m d e r a i o . A p l a c a

t e m 2 m p o r 5 m

. A C 3 , 1 4 0 , 5

2 0 , 7 8 5

A R 2 5 1

0

A F 1

0 1

0 0 , 7 8 5 2 , 1 5

9 0 ° 3

8 , 4 7 c m 2 ( a p r o x . )

1 2 0 ° 5

1 , 2 9 c m 2 ( a p r o x . )

1 5 0 ° 6

4 , 1 0 c m 2 ( a p r o x . )

9 0 ° 1 2 0 °

1 5 0 °

A

1 5 2

8

7 0 6 , 5 8

8

8 , 3 1 ( a p r o x . )

A R 3 4 1

2

A T

3 2

2

3

A S C 1 , 5

2

2

1 , 1 2 5

A 1

2 + 3 + 1 , 1 2 5

1

5 + 1 , 1 2 5 1

8 , 5 3 2 5

4 c m

2 c m

3 c m

A C 2 2 4

3 , 1 4

A Q 2 2 4

A F 8 + 3 , 1 4 1

1 , 1 4

2 m

5 m

1 8 , 5 3 2 5 c m 2

1 1 , 1 4 c m 2


a ) 2 c m 2

b ) c m 2

A

1 4

r 2

A

1 4

2 2

A

1 1 1

1

A

3 4

r 2

3 4 2 2 3

A 2

r 2 1 2

A 3

2

1

1 1 1

a ) Q u a l é o n ú m

e r o m á x i m o d e d i s c o s q u e p o -

d e m s e r r e c o

r t a d o s ? 1 0 d i s c o s

b ) Q u a l é a á r e

a d a p a r t e d a p l a c a d e m e t a l

d e s p e r d i ç a d a ? 2 , 1 5 m 2

8

C a l c u l e a á r

e a d a s f i g u r a s .

1 0

C a l c u l e a á r e a d a p a r t e c o l o r i d a d a f i g u r a ,

s a b e n d o

q u e o r a i o m e d e 2 c m .

1 1

U m a p i z z a d e f o r m a t o c i r c u l a r f o i d i v i d i d a

e m 8 p e

d a ç o s i g u a i s . S e a p i z z a t e m 3 0 c m d e

d i â m e t r o , q u a l é a á r e a d o s e t o r c i r c u l a r c o r r e s -

p o n d e n t e à s u p e r f í c i e d e c a d a u m a d a s f a t i a s ?

8 8 , 3 1 c m 2 ( a p r o x . )

1 2

C a l c u l e a á r e a d e c a d a s e t o r , s a b e n d o q u e

o r a i o d o g r á f i c o c i r c u l a r é d e 7 c m .

9

( F C M S C - S P ) U m l a g o c i r c u l a r d e 2 0 m d e

d i â m e t r o é c i r c u n d a d o p o r u m p a s s e i o , a p a r t i r

d a s m a r g e n s d o

l a g o , d e 2 m d e l a r g u r a . Q u a l

é a á r e a d o p a s s e i o ? 1 3 8 , 1 6 m 2

A L 1 0 2 1

0 0

A T 1 2 2 1

4 4

A P 1

4 4

1

0 0

4 4

1

3 8 , 1 6

l a g o

p a s s e i o

2 c m

2 c m

2 c m

2 c m

2

c m

2 c m


C Í R C U L O

E

C I L I N D R O

2 2 9

C i t e , j u n t a m e n t e c o m

s e u s c o l e g a s , e x e m p l o s d e o b j e t o s e c o n s t r u ç õ e s o n d e e n c o n t r a m o s a

f o r m a d o c i l i n d r o .

C a r a c t e r í s t i c a s d o c i l i n

d r o c i r c u l a r :

• É u m s ó l i d o g e o m é t r i c o .

• S u a s b a s e s s ã o d o i s c í r c u l o s p a r a l e l o s c o n g r u e n t e s .

• A p r e s e n t a s u p e r f í c i e

l a t e r a l c u r v a .

• A a l t u r a d o c i l i n d r o é a d i s t â n c i a e n t r e s u a s b a s e s .

P o d e m o s s e c c i o n a r u m

c i l i n d r o .

S e c c i o n a r e m M a t e m á

t i c a s i g n i f i c a c o r t a r p o r u m p l a n o .

Q u e f i g u r a s p l a n a s e n c o n t r a m o s q u a n d o s e c c i o n a m o s u m c i l i n d r o ?

2 .

Á r e a

d a s u p e r f í c i e e v o

l u m e

d e u m c i

l i n d r o

S a n d r a F a n z e r e s

b a s e

h ( a l t u r a )

b

a s e

P h o t o d i s c

P . S . S t u d i o


1 . Q u e f i g u r a p l a n a o

b s e r v a m o s q u a n d o s e c c i o n a m o s u m c

i l i n d r o p a r a

l e l a m e n t e à s b a s e s ? C í r c u l o .

2 . Q u e f i g u r a p l a n a o

b s e r v a m o s q u a n d o s e c c i o n a m o s u m c

i l i n d r o p e r

p e n d i c u l a r m e n t e à s b a s e s ?

F o t o s : F e r n a n d o F a v o r e t t o

D A E

R e t â n g u l o .















2 4 2 3

3 2 7 5

0 , 1 2

C o n f i r a o v a l o r

d o q u o c i e n t e c o m a c a l c u l a d o r a !

E u p e n s e i

d i f e r e n t e !

O

q u e v o c ê a c h o u d a s o l u ç ã o

p r o p o s t a p e l a A n a ?

1 2

1 0 0

N a l o j a B , o d

e s c o n t o é d e 1 5 % . O c o m p r a d o r p a g a r á

8 5 % d e R $ 2 8 0 , 0 0 , p o i s :

1 0 0 % 1

5 %

8

5 %

8 5 % 0 , 8 5

8 5 % d e 2 8 0

0 , 8 5 2 8 0 2

3 8

O p r e ç o à v i s t a n a l o j a B é R $ 2 3 8 , 0 0 .

C o n c l u í m o s q u e o m e l h o r p r e ç o à v i s t a p a r a e s s e a p a r e l h o d e s o m é o d a l o j a A .

A l o j a C n ã o

i n f o r m o u n o a n ú n c i o q u a l é a p o r c e n t a g e m d e d e s c o n t o o f e r e c i d a , m a s p o d e m o s

c a l c u l á - l a :

C o m o 2 7 5

2 4 2 3

3 , o d e s c o n t o é d e R $ 3 3 , 0 0 .

• R $ 3 3 , 0 0 c o r r e s p o n d e a q u e p o r c e n t a g e m d o p r e ç o o r i g i n a l d o p r o d u t o , q u e é R $ 2 7 5 , 0 0 ?

P a r a d e s c o b r i r , b a s t a c o m p a r a r e s s e s v a l o r e s p o r m e i o d e

u m a r a z ã o :

1

2 %

A l o j a o f e r e c e

u m d e s c o n t o d e 1 2 % n o p r e ç o d o p r o d u t o

p a r a p a g a m e n t o à v i s t a .

N a c a l c u l a d o r a . . .

P a r a d e t e r m i n a r 8 5 % d e 2 8 0

n a c a l c u l a d o r a , b a s t a d i g i t a r :

2 8 0

8 5 %

A p a r e c e n o v i s o r 2 3 8 .

M e s m o o f e r e c e n d o

u m

a p o r c e n t a g e m m a i o r d e

d e s c o n t o , o p r o d u t o s a i r á

m a i s c a r o n a l o j a B .


P O R C E N T A G E M

E

J U R O

2 4 3

O a l u g u e l d a c a s a

d o s e n h o r L i m a s e r á r e a j u s t a d o e s t e m ê s . A i m

o b i l i á r i a q u e a d m i n i s t r a o

i m ó v e l i n f o r m o u a e l e q u e , p a r a o b t e r o v a l o r d o n o v o a l u g u e l , d e v e r á m

u l t i p l i c a r o v a l o r d o a l u g u e l

a t u a l p o r 1 , 0 7 .

P e n s e , t r o q u e i n f o r m

a ç õ e s c o m o s c o l e g a s e r e s p o n d a :

1 . M u l t i p l i c a r p o r 1 , 0 7 e q u i v a l e a c a l c u l a r o v a l o r d o a l u g u e l c o m u

m a u m e n t o d e q u a n t o s p o r

c e n t o ? 7 %

2 . O v a l o r d o a l u g u e l d a c a s a d o s e n h o r L i m a é d e R $ 8 0 0 , 0 0 . Q u a n t o s e r á c o m o a u m e n t o ? R $ 8 5 6 , 0 0

R o g é r i o A l b u q u e r q u e / F o l h a I m a g e m

C u i d a d o ! S e v o c ê

a c h a q u e é d e 1 0 % ,

s e e n g a n o u !

2 . N o m e r c a d i n h o J J ,

o s p r e ç o s d e t r ê s a r t i g o s d e p e r f u m a r i a s o f r e

r ã o u m a u m e n t o d e 1 2 % .

V a m o s a j u d a r o C a r l o

s , q u e é f u n c i o n á r i o d o m e r c a d i n h o , a c a l c u l a r o s n o v o s p r e ç o s ?

C o m o o a u m e n t o s e r á d e 1 2 % , d e v e m o s s o m a r a o p r e ç o a n t i g o 1 2 % d o s e u v a l o r .

P r e ç o a n t i g o

1 0 0 %

P r e ç o c o m a u m e n t o

1 0 0 % 1

2 % 1

1 2 %

P o d e m o s o b t e r d i r e t a

m e n t e o p r e ç o c o m a u m e n t o c a l c u l a n d o 1 1 2 % d o p r e ç o a n t i g o :

1 1 2 %

1 , 1

2

S a b o n e t e :

1 1 2 % d e 0 , 7 5 1 , 1 2 0 , 7 5 0 , 8 4

R $

0 , 8 4

C r e m e d e n t a l :

1 1 2 % d e 1 , 5 0 1 , 1 2 1 , 5

1 , 6 8

R $

1 , 6 8

D e s o d o r a n t e :

1 1 2 % d e 2 , 4 0 1 , 1 2 2 , 4 0 2 , 6 8 8

R $

2 , 6 9

3 . O g e r e n t e d e u m a

l o j a d e a u t o m ó v e i s r e a j u s t o u o s p r e ç o s d e t o

d o s o s v e í c u l o s e m 2 0 % . E m

s e g u i d a , p u b l i c o u u m a n

ú n c i o o f e r e c e n d o d e s c o n t o d e 3 0 % e m t o d o o e s t o q u e .

C o m o o g e r e n t e s u b i u o s p r e ç o s a n t e s d a p r o m o ç ã o , o d e s c o n t o s

o b r e o p r e ç o i n i c i a l d o s a u t o -

m ó v e i s n ã o s e r á d e 3 0 %

. V a m o s c a l c u l a r o p o r c e n t u a l r e a l d e d e s c o n

t o ?

1 1 2

1 0 0

A r t i g

o

P r e ç o a n t i g o ( R $ )

P r e ç o c o m

a u m e n t o

( R $ )

S a b o n

e t e

0 , 7 5

C r e m e d

e n t a l

1 , 5 0

D e s o d o r a n t e

2 , 4 0

( A r r e d o n d a m o s p a r a

c e n t a v o s . )






















2 6 2 R

e f e

r ê n c i a s

b i b l i o g r á

f i c a s

B O R I N , J ú l i a .

J o g

o s e r e s o l u ç ã o d e p r o b l e m a s : u m a e s t r a t é g i a p a r a a s a u l a s d e M a t e m á t i c a . S ã o P a u l o :

I M E ; U S P , 1 9 9 5 .

B O Y E R , C a r l B . H

i s t ó r i a d a M a t e m á t i c a . S ã o P a u l o : E d g a r d B l ü c h e r , 1 9 9 6 .

B R A S I L . M I N I S T É R I O D A E D U C A Ç Ã O . S e c r e t a r i a d e E d u c a ç ã o

F u n d a m e n t a l . P a r â m e t r o s C u r r i c u l a r e s

N a c i o n a i s d e M a t e m á t i c a . B r a s í l i a : S E F ; M E C , 1 9 9 8 .

C A R D O S O , V i r g í n i a C a r d i a .

M a t e r i a i s d i d á t i c o s p a r a a s q u a t r o o p e r a ç õ e s . S ã o P a u l o : I M E ; U S P , 1 9 9 2 .

C E N T U R I O N , M

a r í l i a .

C o n t e ú d o e m e t o d o l o g i a d a M a t e m á t i c a , n ú m e r o s e o p e r a ç õ e s . S ã o P a u l o :

S c i p i o n e , 1 9

9 4 .

D ’ A M B R Ó S I O , U

b i r a t a n .

D a r e a l i d a d e à a ç ã o – r e fl e x õ e s s o b

r e e d u c a ç ã o e M a t e m á t i c a . S ã o P a u l o :

S u m m u s , 1 9 9 5 .

______________

___ .

E d u c a ç ã o m a t e m á t i c a : d a t e o r i a à p r á t i c a

. C a m p i n a s : P a p i r u s , 1 9 9 6 .

D I N I Z , M a r i a I g n

e z d e S o u z a V i e i r a ; S M O L E , K á t i a C r i s t i n a S t o c

c o .

O c o n c e i t o d e â n g u l o e o e n s i n o d e

g e o m e t r i a . S ã o P a u l o : I M E ; U S P , 1 9 9 2 .

G U E L L I , O s c a r . A

i n v e n ç ã o d o s n ú m e r o s . S ã o P a u l o : Á t i c a , 1 9 9 8 . v . 1 . ( C o l e ç ã o C o n t a n d o a H i s t ó r i a d a

M a t e m á t i c a

) .

I F R A H , G e o r g e s .

N ú m e r o s : a h i s t ó r i a d e u m a g r a n d e i n v e n ç ã o . R i o d e J a n e i r o : G l o b o , 1 9 9 2 .

K A M I I , C o n s t a n c e .

A r i t m é t i c a : n o v a s p e r s p e c t i v a s . I m p l i c a ç õ e s

d a t e o r i a d e P i a g e t . C a m p i n a s : P a p i r u s ,

1 9 9 2 .

K R U L I K , S t e p h e n ; R E Y S , R o b e r t E . ( O r g . ) .

A r e s o l u ç ã o d e p r o b l e m a s n a m a t e m á t i c a e s c o l a r . S ã o P a u l o :

A t u a l , 1 9 9 7

.

L I M A , E l o n L a g e s .

Á r e a s e v o l u m e s . R i o d e J a n e i r o : A o L i v r o T é c n i c o , 1 9 7 5 . ( C o l e ç ã o F u n d a m e n t o s

d a M a t e m á

t i c a E l e m e n t a r ) .

M A C H A D O , N i l s o n J o s é .

C o l e ç ã o M a t e m á t i c a p o r A s s u n t o . S ã

o P a u l o : S c i p i o n e , 1 9 8 8 . v . 1 .

M O I S E , E ; D O W N S , F . L . G e o m e t r i a m o d e r n a . S ã o P a u l o : E d g a r d B l ü c h e r , 1 9 7 1 .

N E T O , E r n e s t o R

o s a .

D i d á t i c a d a M a t e m á t i c a . S ã o P a u l o : Á t i c a

, 1 9 8 7 .

P O L Y A , G e o r g e .

A a r t e d e r e s o l v e r p r o b l e m a s . R i o d e J a n e i r o : I n t e r c i ê n c i a , 1 9 7 8 .

R U B I N S T E I N , C l é a e t a l . M a t e m á t i c a p a r a o c u r s o d e f o r m a ç ã o d e

p r o f e s s o r e s . S ã o P a u l o : M o d e r n a , 1 9 7 7 .

S A N T O S , V â n i a

M a r i a P e r e i r a ( C o o r d . ) .

A v a l i a ç ã o d e a p r e n d i z a g e m

e r a c i o c í n i o e m

M a t e m á t i c a :

m é t o d o s a l t

e r n a t i v o s . R i o d e J a n e i r o : I M - U F R J ; P r o j e t o F u n

d ã o ; S p e c / P A D C T / C a p e s , 1 9 9 7 .

S T R U I K , D i r k J . H

i s t ó r i a c o n c i s a d a s M a t e m á t i c a s . L i s b o a : G r a d

i v a , 1 9 9 7 .

T R O T A , F e r n a n d o

; I M E N E S , L u i z M á r c i o ; J A K U B O V I C , J o s é .

M a t e m á t i c a a p l i c a d a . S ã o P a u l o : M o d e r n a , 1 9 8 0 .

W A L L E , J o h n A .

v a n d e .

M a t e m á t i c a n o E n s i n o F u n d a m e n t a l : f o r m a ç ã o d e p r o f e s s o r e s e a p l i c a ç ã o e m

s a l a d e a u l a

. P o r t o A l e g r e : A r t m e d , 2 0 0 9 .

Z A B A L L A , A n t o n i ( O r g . ) .

A p r á t i c a e d u c a t i v a : c o m o e n s i n a r . P o

r t o A l e g r e : A r t m e d , 1 9 9 8 .

2 6 3

M a

l h a

p a r a a s

a t i v i d a

d e s

M a l h a q u a d r i c u l a d a

C O N S E R V E S E U L I V R O .

T i r e

c ó p i a s d a m a l h a .

D A E







2 6 8

2 1

. x

y 2

x – 3

( x , y )

– 2

– 7

( – 2 ; – 7 )

– 1

– 5

( – 1 ; – 5 )

0

– 3

( 0 ; – 3 )

1

– 1

( 1 ; – 1 )

2

1

( 2 ; 1 )

3

3

( 3 ; 3 )

0 , 5

– 2

( 0 , 5 ; – 2 )

2 2

. d

2 3

. b

2 4 . y x + 4

2 5

. p 2

t + 1

2 6

. b 3

n – 1 , e a f i g u r a 2 0 t e r á 5 9 b o -

l i n h a s

E x e r c í c

i o s

P á g i n a 1 1 3

2 7

. a

) R $ 3 5 , 0 0

b ) R $ 0 , 4 0

c ) R $ 0 , 2 0

2 8

. a

)

1 2 b ) A p e n a s o i t e m

1 é f u n ç ã o .

2 9

. R e s p o s t a p e s s o a l .

3 0

. d

P á g i n a 1 1 4

3 1

. a

) – 1 0 0 m i l r e a i s

b ) 2 0 0 m i l r e a i s

3 2

. d

3 3

. a

) 9 h o r a s

e ) 8 k m

b ) 1 h o r a

f ) 4 k m

c ) 3 h o r a s

g ) 1 h e 3 0 m

d ) S i m , 3 0 m i n .

h ) 1 8 k m

E x e r c í c

i o s

P á g i n a 1 2 2

3 4

. I e B ; I I e D ; I I I e A

; I V e C .

3 5

. a

)

x

y

2

4

1

2

0

0

1

2

2

4

5 4 3 2 1 0 – 1

– 2

– 3

– 4

– 5

5

4

3

2

1

– 1

– 2

– 3

– 4

– 5

x

y

x

0

1

2

4

y

4

0

2

2

x

0

2

4

4

y

2

2

2

– 1

b )

x

y

2

3

1

2

0

1

1

0

2

1

3 2 1 0 – 1

– 2

– 3

– 4

5

4

3

2

1

– 1

– 2

– 3

– 4

– 5

x

y

c )

x

y

2

5

1

4

0

3

1

2

2

1

3

0

5 4 3 2 1 0 – 1

– 2

– 3

5

4

3

2

1

– 1

– 2

– 3

– 4

– 5

x

y

d )

x

y

2

0

1 0

1

1

1 1 2

2

2

2 1 2 1

1

0

2

1

– 1

– 2

x

y 1 2

3 6

. O s g r á f i c o s d a s q u a t r o f u n ç õ e s s ã o r e -

t a s p a r a l e l a s .

3 7

. a

) S i m . R $ 3 , 0 0

c ) R $ 0 , 5 0

b ) N ã o .

d ) y 0 , 5 x + 3

3 8

. a

)

x

0

1

2

3

4

y

0

4

8

1 2

1 6

b ) D u p l i c a .

c ) É d i v i d i d o p o r 3 .

d ) y 4

x

P á g i n a 1 2 3

3 9

. a

) 2 0 m L

b ) 8 6 k g

c ) 2 , 5 m L

4 0

. 6 c m

4 1

. x

– 2

– 1

0

1

2

3

4

5

6

y

7

0

– 5

– 8

– 9

– 8

– 5

0

7

5 4 7 6 3 2 1 0 –

1 –

2 –

3 –

4 –

5 –

6 –

7 –

8 –

9

5

4

3

8

7

6

2

1

– 1

– 2

– 3

– 4

– 5

– 6

x

y

4 2

. x

– 1

0

1

2

3

4

5

y

– 8

– 3

0

1

0

– 3

– 8

5 4 3 2 1 0 – 1

– 2

– 3

– 4

– 5

– 6

– 7

– 8

5

4

3

8

7

6

2

1

– 1

– 2

– 3

– 4

– 5

– 6

– 7

– 8

x

y

4 3

. x

– 1

0

1

2

3

4

5

y

9

4

1

0

1

4

9

1 2

5 4 3 2 9 8 7 6 1 0 – 1

5

4

3

8

7

6

2

1

– 1

– 2

– 3

– 4

– 5

– 6

– 7

– 8

x

y

4 4

. c


2 6 9

R e v i s a n d o

P á g i n a 1 2 4

4 5

. a

) 8

c ) – 3

b ) 0

d ) 2 3

4 6

. a

) 7 0

b ) 2 7 4

c ) 2 ; 5

d ) – 1 ; 8

4 7

. 1 ) a 4 ,

b 6 , c 8 ,

d 7

2 ) a –

3 ,

b 4 , c –

3 ,

d –

1 7

4 8

. a

) R $ 7 5 0 , 0 0

b ) 2 0 0 m 2

c ) O p r e ç o a s e r c o b r a d o é u m a

f u n ç ã o

d a á r e a a s e r p i n t a d a .

4 9

. 1 7 h o r a s

5 0

. a

) 1 7 p a l i t o s

b ) 4 1 p a l i t o s c

) p

4 c + 1

P á g i n a 1 2 5

5 1

. 1 1 l i v r o s

5 2

. Q u a n t i d a d e

P r e ç o a p a g a r ( R $

)

1

0 , 7 0

2

1 , 4 0

3

1 , 4 0

4

2 , 1 0

5

2 , 8 0

6

2 , 8 0

7

3 , 5 0

8

4 , 2 0

9

4 , 2 0

1 0

4 , 9 0

5 3

. a

) 4 0 0 u n i d a d e s

b ) J u n h o ; 1 2 0 0 u n i d a d e s .

c ) D i m i n u i u ; 2 0 0 u n i d a d e s .

5 4

. G r á f i c o C

5 5

. 5 0 0 0 u n i d a d e s

P á g i n a 1 2 6

5 6

.

c )

3 2 1 0 – 1

– 2

– 3

– 4

– 5

5

4

3

2

1

– 1

– 2

– 3

– 4

– 5

x

y

d )

5 7

. a

) y 2

x + 5

b )

x

3

2

1

0

y

1 1

9

7

5

5 4 3 2 9 8 7 1 1

1 0 6 1 0

5

4

3

7

6

2

1

x

y

c ) 4 r e f r i g e r a n t e s

5 8

.

x

0

1

2

3

4

5

6

y

0

5

8

9

8

5

0

x

2

1

0

1

2

y

3

1 , 5

0

1 , 5 3

5 4 3 2 1 0 – 1

– 2

– 3

– 4

5

4

3

2

1

– 1

– 2

– 3

– 4

– 5

x

y

x

2

1

0

1 2

y

7

3

1 5 9

5 4 3 2 9 8 7 6 1 0 –

1 –

2 –

3 –

4 –

5 –

6 –

7 –

8 –

9

5

4

7

6

3

2

1

– 1

– 2

– 3

– 4

– 5

– 6

x

y

b )

x

2

1

0

1 2

y

3 2 1

0

1

x

2

1

0

1 2

y

3 2

1

1 2

0

1 2

– 2

5 4 3 2 1 0 – 1

5

4

3

2

1

– 1

– 3

– 4

– 5

x

y

5 4 3 2 9 8 7 6 1 0 –

1

5

4

3

8

7

6

2

1

– 1

– 2

– 3

– 4

– 5

– 6

– 7

– 8

x

y

5 9

. a

) ( 1 ; 0 ) e ( 5 ; 0 )

b ) ( 0 ; 5 )

c )

x

3

1

5

5 4 0

y

6 0

. a

) C 2

0 + 1 2 t

b ) R $ 5 0 , 0 0

c ) 1 h o r a e 1 5 m i n u t o s

6 1

. a

P á g i n a 1 2 7

6 2

. a

) P 8

x

c ) D 5

x

b ) A 3

x 2

d ) 1 2 c m

6 3

. a

) 1 3 p a l i t o s

c ) 3 1 p a l i t o s

b ) 1 6 p a l i t o s

d ) ( 3 n + 1 ) p a l i t o s

6 4

. 1 5 k m

6 5

. a

) E ;

b ) C ; c ) E ; d ) E ; e

) C

P á g i n a 1 2 8

6 6

. a

) 9 3 m i l h õ e s d e h a b i t a n t e s

b ) 2 3

6 7

. G r á f i c o B .

D e s a f i o s

6 8

. G r á f i c o A .

6 9

. 1 9

A u t o a v a l i a ç ã o

P á g i n a 1 2 9

7 0

. a

7 1

. d

7 2

. c

7 3

. d

7 4

. c

P á g i n a 1 3 0

7 5

. b

7 6

. a

7 7

. b

7 8

. b

P á g i n a 1 3 1

7 9

. c

8 0

. b

8 1

. a

8 2

. b

8 3

. b

8 4

. b

a )








C O L E G A

P R O

F E S S O R

C O L E G A

P R O

F E S S O R

E s t e m a n u a l t e

m d i v e r s o s o b j e t i v o s :

• R e v e l a r i d e i a s p r e s e n t e s n a c o n c e p ç ã o d e s t a c o l e ç ã o d e M a t e m á t i c a ,

e s c l a r e c e n d o

s u a p r o p o s t a p e d a g ó g i c a .

• C o n t r i b u i r p a r a o p r o c e s s o d e f o r m a ç ã o c o n t í n u a

d o d o c e n t e , a p r e s e n -

t a n d o t e x t o s e a r t i g o s c u j a l e i t u r a p r o p i c i a a r e fl e x

ã o s o b r e e d u c a ç ã o e

p r á t i c a s m e t o d o l ó g i c a s .

• F o r n e c e r s u

b s í d i o s p a r a e n r i q u e c e r a s a u l a s o f e

r e c e n d o o r i e n t a ç õ e s

e s p e c í fi c a s p

a r a o t r a b a l h o c o m o L i v r o d o A l u n o ,

s u g e s t õ e s d e t e x t o s ,

a t i v i d a d e s p

r o p o s t a s p a r a a v a l i a ç ã o e i n t e g r a ç ã o

c o m o u t r a s á r e a s d o

c o n h e c i m e n

t o .

• R e fl e t i r s o b r e o p r o c e s s o d e a v a l i a ç ã o e m M a t e m á t

i c a p r o p o n d o i d e i a s e

s u g e r i n d o i n

s t r u m e n t o s e e s t r a t é g i a s q u e p o s s a m l h

e s e r ú t e i s .

E s p e r a m o s q u e e s t e m a n u a l o a u x i l i e e m s e u t r a b a l h o

, c o n t r i b u i n d o p a r a o

s u c e s s o d e s e u s a l u n o s .

O s a u t o r e s























































































































C Ó D I G O D

O L

I V R O :

T I P O :

2 7 4 5 4 C 0 2 2 7

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Praticandomatemtica 9 2 Por Folha