precalculo6

6Sequências e progressões

Antes de ler o capítuloOs tópicos apresentados nessecapítulo envolvem funções (Se-ção 3.5), com destaque para afunção linear (Seção 3.7) e aexponencial (Seção 5.2). Alémdisso, manipularemos equa-ções, particularmente as explo-radas nas Seções 2.4, 2.10 e 5.4.

O que a disposição das cadeiras em uma sala de concertos circular e os empréstimosbancários têm em comum? Ambos formam sequências, ou listas de números com umacerta ordem.

Nesse capítulo, apresentaremos as sequências, dando ênfase aos dois tipos princi-pais: as progressões aritméticas e geométricas. Além disso, introduziremos a notaçãode somatório, que facilitará a soma dos termos das sequências, bem como a definiçãode série.

As sequências têm muitas aplicações, tanto em nosso cotidiano como dentro daprópria matemática. Para concluir esse capítulo, analisaremos as aplicações financei-ras, um assunto de grande impacto em um país como o Brasil, no qual as taxas dejuros costumam ser elevadas.

6.1 Sequências

No Capítulo 5, o exemplo que usamos para introduzir a função exponencial envolviao cálculo de uma dívida bancária. Voltaremos, agora, ao problema para dizer que, defato, a função exponencial não é a melhor alternativa para representar o aumento dadívida.

Exemplo 1. Dívida bancária

Como vimos no Exemplo 1 do Capítulo 5, se uma pessoa contrai uma empréstimode R$ 1.000,00 com um banco que cobra uma taxa de juros de 6% ao mês, então adívida após x meses pode ser calculada usando-se a função

d(x) = 1000 ⋅ 1,06x.

Entretanto, essa função só fornece o valor correto da dívida quando o valor de x é umnúmero inteiro não negativo. Ou seja, não podemos dizer que, passados quatro mesese meio da data do empréstimo, a dívida seja igual a

d(4,5) = 1000 ⋅ 1,064,5 = R$ 1299,80. Errado!

Na verdade, como o banco só atualiza a dívida uma vez por mês, o valor devido apósquatro meses e meio é igual àquele obtido após quatro meses, isto é

d(4) = 1000 ⋅ 1,064 = R$ 1262,48.

Já que o argumento x da função só pode assumir valores inteiros, podemos apresentá-lo como um subíndice, em lugar de mostrá-lo entre parênteses. Assim, atribuindo ax os números naturais 1,2,3, . . ., nessa ordem, o valor da dívida a partir do primeiromês pode ser descrito pela lista

450 Capítulo 6. Sequências e progressões

d1 = 1000 ⋅ 1,061 = 1060,00;d2 = 1000 ⋅ 1,062 = 1123,60;d3 = 1000 ⋅ 1,063 = 1191,02;d4 = 1000 ⋅ 1,064 = 1262,48;d5 = 1000 ⋅ 1,065 = 1338,23;

⋮

Essa lista ordenada forma o que chamamos de sequência dos valores mensais dadívida.

Como vimos no exemplo acima, uma lista de números que possuem uma ordempode ser representada por meio de uma sequência, que nada mais é que uma funçãoque só admite números naturais como argumento.

Em alguns casos, é conveniente co-meçar a sequência pelo termo a0, demodo que precisamos incluir o zerono domínio.

SequênciaUma sequência é uma função a cujo domínio é o conjunto de númerosnaturais N = {1,2,3, . . .}. Se n é um número natural, o valor da função em né expresso por an (em lugar de a(n)).

Como os números naturais são ordenados, podemos representar os valoresda função por meio da lista de termos

a1, a2, a3, . . . , an, . . .

Assim, a1 (o valor da função em 1) é o primeiro termo, a2 (o valor em 2) é osegundo termo, e an é o enésimo termo da sequência.

Se o domínio da sequência é composto apenas pelos primeiros n números natu-rais, ou seja, D = {1,2,3, . . . , n}, dizemos tratar-se de uma sequência finita. Casocontrário, a sequência é dita infinita.

Nesse livro, estamos interessados apenas nas sequências que possuem um padrão,ou lei de formação. Um exemplo simples desse tipo de lista é dado no exemplo aseguir.

Exemplo 2. Múltiplos de 3

A lista3,6,9,12,15,18,21, . . .

é a sequência dos múltiplos de 3. As reticências ao final indicam que a lista é infinita.Observando os quatro primeiros termos da sequência, notamos que

a1 = 3 ⋅ 1 = 3 a2 = 3 ⋅ 2 = 6 a3 = 3 ⋅ 3 = 9 a4 = 3 ⋅ 4 = 12 a5 = 3 ⋅ 5 = 15

Com base nesses termos, podemos intuir facilmente que o enésimo termo é dado por

an = 3n.

Esse enésimo termo, chamado termo geral, é o que define a lei de formação dasequência. Com ele conseguimos calcular, por exemplo, o milésimo e o milionésimotermo, como mostrado abaixo.

a1000 = 3 ⋅ 1000 = 3000 e a1000000 = 3 ⋅ 1000000 = 3000000.

Seção 6.1. Sequências 451

Problema 1. Escrevendo termos da sequência a partir do termo geral

Ache os cinco primeiros termos e o vigésimo termo das sequências dadas por

a) ai = 5i − 100

b) ai =1i

c) ai = 2i

d) ai =(−1)i

4i

Solução.

a) Para ai = 5i − 100, temos

a1 = 5 ⋅ 1 − 100 = −95 a4 = 5 ⋅ 4 − 100 = −80a2 = 5 ⋅ 2 − 100 = −90 a5 = 5 ⋅ 5 − 100 = −75a3 = 5 ⋅ 3 − 100 = −85 a20 = 5 ⋅ 20 − 100 = 0

b) Para ai =1i, temos

a1 =11= 1 a4 =

14

a2 =12

a5 =15

a3 =13

a20 =120

c) Para ai = 2i, temos

a1 = 21 = 2 a4 = 24 = 16a2 = 22 = 4 a5 = 25 = 32a3 = 23 = 8 a20 = 220 = 1.048.576

d) Para ai =(−1)i

4i, temos

a1 =(−1)1

4 ⋅ 1 = −14

a4 =(−1)4

4 ⋅ 4 = 116

a2 =(−1)2

4 ⋅ 2 = 18

a5 =(−1)5

4 ⋅ 5 = − 120

a3 =(−1)3

4 ⋅ 3 = − 112

a20 =(−1)20

4 ⋅ 20= 1

80

Note que, nesse problema, os termos da sequência têm sinais alternados, já que,

(−1)i = { −1, se i é ímpar;1, se i é par.

O termo (−1)i aparece, explícita ou implicitamente, em todas a sequências comsinais alternados.

Agora, tente o exercício 1.


Por serem funções, as sequências podem ser facilmente representadas no plano Car-tesiano, bastando para isso que associemos ao i-ésimo termo o par ordenado (i, ai).A Figura 6.1a mostra o gráfico da sequência com sinais alternados do Problema 1(d).Os pares ordenados associados à

sequência do Problema 1(d) são

(1,−14) ,(2, 1

8) ,(3,− 1

12) , . . .

Note que, como o domínio da função só inclui números naturais, os valores da sequên-cia são representados por pontos isolados no plano, não sendo adequado ligá-los.

Outra opção para a representação gráfica de sequências – particularmente aquelasnas quais todos os termos são positivos – é o emprego de gráficos de barras, comomostrado na Figura 6.1b, que retrata a sequência do Problema 1(b).

(a) ai = (−1)i/(4i) (b) ai = 1/i

Figura 6.1: Gráficos de sequências.

∎ Sequências definidas recursivamenteJá vimos como definir uma sequência apresentando o termo geral an como uma funçãode n. Como alternativa, também é possível definir uma sequência fornecendo o termogeral com relação a um ou mais termos anteriores.

Como exemplo, a sequência apresentada no Problema 1(a) também pode ser de-finida por

AtençãoCuidado para não confundirai−1 com ai − 1. Você conse-gue explicar a diferença que háentre essas duas expressões?

ai = ai−1 + 5,

em que ai−1 é o termo da sequencia imediatamente anterior a ai. Nesse caso, dizemosque a sequência é definida recursivamente.

Observe, entretanto, que as sequências recursivas não podem ser definidas apenaspelo termo geral, já que a lei de formação acima gera tanto

−95,−90,−85,−80,−75, . . .

como

5,10,15,20,25, . . .

Para que a definição de uma sequência recursiva seja única, também é preciso definirum ou mais termos iniciais. Assim, a primeira sequência acima tem a1 = −95, enquantoa segunda tem a1 = 5.

Problema 2. Sequência definida recursivamente

Calcule o décimo segundo termo da sequência definida por

ai = 2ai−1 e a1 = 2.


Solução.

Se ai = 2ai−1 e a1 = 2, então temos

a1 = 2 a5 = 32 a9 = 512a2 = 4 a6 = 64 a10 = 1024a3 = 8 a7 = 128 a11 = 2048a4 = 16 a8 = 256 a12 = 4096


Como vimos no exemplo acima, as sequências recursivas têm a grande desvantagemde não permitirem que calculemos um termo sem conhecer os anteriores. Ainda assim,há sequências importantes que só são definidas recursivamente, como mostram osexemplos abaixo.

Exemplo 3. Fatorial

Considere a sequência definida por

an = n ⋅ an−1

com a1 = 1. Os primeiros termos dessa sequência, que cresce muito rapidamente, são

a2 = 2 ⋅ a1 = 2 ⋅ 1 = 2 a5 = 5 ⋅ a4 = 5 ⋅ 24 = 120a3 = 3 ⋅ a2 = 3 ⋅ 2 = 6 a6 = 6 ⋅ a5 = 6 ⋅ 120 = 720a4 = 4 ⋅ a3 = 4 ⋅ 6 = 24 a7 = 7 ⋅ a6 = 7 ⋅ 720 = 5040

Como essa sequência é muito usada em matemática, ela recebe o nome particularde fatorial, e seu enésimo termo ter uma notação especial: n!. Assim,

1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720, 7! = 5040, . . .


FatorialO fatorial de um número inteiro não negativo n é dado por

n! = n ⋅ (n − 1)! ou n! = n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ ⋯ ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1.

Além disso, convenciona-se que 0! = 1.

Exemplo 4. Sequência de Fibonacci

Leonardo Bonacci era filho de Guglielmo dei Bonacci, um rico mercador Pisano.Da corruptela de filius Bonacci surgiu o cognome pelo qual esse matemático do séculoXIII acabou conhecido: Fibonacci. Seu livro mais importante, denominado LiberAbaci, escrito em 1202, introduziu na Europa o sistema de numeração hindu-arábicoou de base 10, que usa os algarismos 0–9 e a notação posicional.

Nos dias de hoje, Fibonacci é mais conhecido pela sequência que usou para descre-ver o crescimento de uma população de coelhos. A sequência de Fibonacci é formada


partindo-se de a1 = 1 e a2 = 1 e definindo-se o n-ésimo termo como a soma dos doistermos imediatamente anteriores, ou seja,Embora tivesse sido descrita séculos

antes pelos indianos, a sequência deFibonacci acabou recebendo o nomede seu ilustre divulgador no ocidente.

an = an−1 + an−2.

Assim, temos

a3 = a2 + a1 = 1 + 1 = 2 a7 = a6 + a5 = 8 + 5 = 13a4 = a3 + a2 = 2 + 1 = 3 a8 = a7 + a6 = 13 + 8 = 21a5 = a4 + a3 = 3 + 2 = 5 a9 = a8 + a7 = 21 + 13 = 34a6 = a5 + a4 = 5 + 3 = 8 a10 = a9 + a8 = 32 + 21 = 55

Apesar de essa sequência ter vários usos em matemática, nos deteremos apenasem sua aplicação mais divertida, que é a geração de uma espiral encontrada comfrequência na natureza, denominada espiral de Fibonacci.

Para construir essa espiral, dispomos lado a lado dois quadrados de lado 1. Emseguida, desenhamos um quadrado de lado 2 que tem uma aresta comum com os doisquadrados anteriores. Continuando esse processo com quadrados cujos lados têm asmesmas medidas dos números de Fibonacci, obtemos a pilha de blocos mostrada naFigura 6.2. Finalmente, usando arcos de circunferência para unir vértices opostos decada quadrado, traçamos a espiral preta que aparece na mesma figura.

Figura 6.2: Espiral de Fibonacci. Cada termo da sequência de Fibonacci é igual àmedida do lado do quadrado correspondente.

∎ Determinação do termo geralHá situações em que não conhecemos a lei de formação da sequência, mas apenasalguns de seus termos. Considere, por exemplo, a lista ordenada abaixo, da qual sãoconhecidos os quatro primeiros termos:

3,9,27,81, . . .

Observando essa lista, somos tentados a supor que se trata da sequência das potênciasde 3, já que

31 = 3, 32 = 9, 33 = 27, 34 = 81.Assim, uma possível expressão para o termo geral seria an = 3n.


Entretanto, se definíssemos

an = −15 + 32i − 18i2 + 4i3

obteríamos a mesma sequência. Dessa forma, não há uma fórmula única para o termoDado qualquer número finito de nú-meros reais, a1, a2, a3, . . . , an, sempreé possível encontrar um polinômioque passe pelos pontos

(1, a1), (2, a2), (3, a3), . . . , (n,an).

geral de uma sequência cujos primeiros quatro termos são 3, 9, 27 e 81. De fato, épossível afirmar que

Não se pode definir de forma única o termo geral de uma sequência da qual seconhece uns poucos termos iniciais.

Ainda assim, há casos em que a determinação de uma possível expressão para otermo geral é útil. O problema abaixo mostra como esse termo geral pode ser obtidopara sequencias simples. Voltaremos a esse assunto nas Seções 6.3 e 6.4, nas quaistrataremos das progressões aritméticas e geométricas.

Problema 3. Determinação do termo geral

Encontre um possível termo geral para as sequências cujos primeiros termos sãodados abaixo.

a) 2, 8, 14, 20, 26, . . . b) −1, 14, −1

9,

116, − 1

25, . . .

Solução.

a) Observando a sequência, notamos que cada termo pode ser obtido somando seisunidades ao termo anterior, ou seja, an = an−1 + 6. De fato,

a1 = 2

a2 = a1 + 6 = 2 + 6

a3 = a2 + 6 = 2 + 6±a2

+ 6 = 2 + 2 ⋅ 6

a4 = a3 + 6 = 2 + 2 ⋅ 6´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

a3

+ 6 = 2 + 3 ⋅ 6

a5 = a4 + 6 = 2 + 3 ⋅ 6´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

a4

+ 6 = 2 + 4 ⋅ 6

Reparando, então, que o valor que multiplica 6 em cada termo (número destacadoNote que, neste problema, fornece-mos duas fórmulas para o termo ge-ral an, uma recursiva (ou seja, envol-vendo an−1) e outra direta (ou seja,envolvendo apenas n).

em vermelho) é igual ao índice do termo (em verde) menos 1, também podemosescrever o termo geral como

an = 2 + (n − 1) ⋅ 6.

b) Nesse exemplo, vamos examinar em separado o valor absoluto e o sinal de cadatermo. No que diz respeito ao valor absoluto, observamos que

∣a1∣ =11, ∣a2∣ =

14= 1

22 , ∣a3∣ =19= 1

32 , ∣a4∣ =116

= 142 , ∣a5∣ =

125

= 152 .

Portanto, temos ∣an∣ = 1/n2. Além disso, notamos que o sinal dos termos alterna,sendo negativo nos termos ímpares e positivo nos termos pares. Assim, a exemplodo que vimos no Problema 1, podemos multiplicar o valor absoluto do termo geralpor (−1)n, obtendo

an = (−1)n 1n2 .



Exercícios 6.1

1. Escreva os cinco primeiros termos de cada sequência(supondo que n começa em 1).

a) an = 50 − 5ib) n3

c) 3n

d) an = ( 12)n

e) an = 1 − 1n

f) an = (−1)n ⋅ ( nn+1)

g) an = (−3)n−1

h) an = π2 + 2π(n − 1)

i) an = n2+n2

j) an =√

2nk) an = 2 ⋅ (−1)n + 2l) an = 4 ⋅ 2−bn

2. Usando os valores que você obteve no Exercício 1, es-boce os gráficos das sequências dadas por

a) an = 50 − 5i

b) an = 1 − 1n

c) an = (−1)n ⋅ ( nn+1)

d) an = n2+n2

3. Escreva os cinco primeiros termos das sequênciasabaixo.a) a1 = 2, ai = ai−1 + 4b) a1 = 50, ai = ai−1 − 3c) a1 = 5, ai = 2ai−1

d) a1 = 1, ai = −2ai−1

4. Escreva uma fórmula para o termo geral de cadasequência do Exercício 3.

5. Escreva os cinco primeiros termos de cada sequência(supondo que n começa em 1).

a) an = 1n! b) an = n!

n2 c) an = (−1)n(2n)!

6. Simplifique as expressões abaixo.

a) 6!4!

b) 5!8!

c) 7!4!⋅3!

d) 8!⋅3!4!⋅6!

e) n!(n+1)!

f) (n+1)!(n−1)!

7. Determine os décimo quinto termo da sequência de Fi-bonacci.

8. Conforme visto no Exercício 12 da Seção 1.9, dado umnúmero real positivo b, os termos da sequência definidarecursivamente por

ak+1 =a2k + b2ak

fornecem estimativas cada vez melhores de√b. Assim,

é possível obter um valor aproximado para√b partindo

de um termo inicial qualquer (por exemplo, a1 = 1) ecalculando os termos seguintes da sequência até que adiferença entre ak+1 e ak seja pequena.Determine os oito primeiros termos da sequência obtidaaplicando-se esse método para calcular

√100, partindo

de a1 = 1.

Respostas dos Exercícios 6.1

1. a) 45, 40, 35, 30, 25b) 1, 8, 27, 64, 125c) 3, 9, 27, 81, 243d) 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32e) 0, 1/2, 2/3, 3/4, 4/5f) −1/2, 2/3, − 3/4, 4/5, − 5/6g) 1, − 3, 9, − 27, 81h) π/2, 5π/2, 9π/2, 13π/2,17π/2i) 1, 3, 6, 10, 15j)

√2, 2, 2

√2, 4, 4

√2

k) 0, 4, 0, 4, 0l) 22−b, 22−2b, 22−3b, 22−4b, 22−5b

2. a)

b)

c)

d)

3. a) 2, 6, 10, 14, 18b) 50, 47, 44, 41, 38c) 5, 10, 20, 40, 80d) 1, −2, 4, −8, 16

4. a) an = 2 + 4(n − 1)b) an = 50 − 3(n − 1)c) an = 5 ⋅ 2n−1

d) an = (−2)n−1

5. a) 1, 12 ,

16 ,

124 ,

1220

b) 1, 12 ,

23 ,

32 ,

245

c) − 12 ,

124 , −

1720 ,

140320 , −

13628800

6. a) 30b) 1

336c) 35

d) 14e) 1

n

f) n(n + 1)

7. 610

8. 1; 50,5; 26,24009901; 15,02553012;10,84043467; 10,03257851; 10,00005290;10,00000000

Seção 6.2. Somatórios 457

6.2 Somatórios

Para introduzir a notação de somatório, vamos usar como exemplo uma curva espiralA definição formal da semicircunfe-rência será dada no segundo volumedesse livro, em um capítulo dedicadoà geometria plana. Por hora, é su-ficiente saber que ela corresponde àmetade da circunferência.

composta por semicircunferências.

Exemplo 1. Comprimento de uma curva espiral

Uma curva em formato espiral é formada unindo-se semicircunferências cujos raios,em centímetros, são dados pela sequência 1,2,3,4, . . .. A Figura 6.3 mostra os quatroprimeiros arcos que compõem a espiral, identificando-os com cores diferentes. Onúmero que acompanha cada arco indica o raio da semicircunferência correspondente.

Figura 6.3: Espiral do Exemplo 1.

Usando nossos conhecimentos de geometria, definimos o comprimento de umasemicircunferência cujo raio é r através da fórmula πr. Assim, o comprimento daenésima semicircunferência que forma a curva é dado por

an = πn,

e a sequência dos comprimentos de arcos é composta pelos termos

π,2π,3π,4π,5π,6π, . . . , nπ, . . .

Suponha que, nesse exemplo, estejamos interessados em conhecer o comprimentototal, C, da espiral formada pelos primeiros 20 arcos. Naturalmente, o valor de Cpode ser obtido somando-se os termos da sequência acima, ou seja,

C = π + 2π + 3π + 4π + 5π + 6π + 7π + 8π + 9π + 10π + 11π+ 12π + 13π + 14π + 15π + 16π + 17π + 18π + 19π + 20π.

Efetuando essa soma, descobrimos que C = 210π centímetros.

O Exemplo acima evidencia os problemas que encontramos ao calcular a soma dostermos de uma sequência. Além de não ser prático escrever a soma por extenso, ocálculo dessa soma pode ser muito trabalhoso se o número de termos for grande.

Vejamos como minimizar essas dificuldades, começando por definir uma notaçãoVocê sabia?A letra grega sigma, que ori-ginou o nosso “S”, tem umaforma maiúscula, Σ, e duas for-mas minúsculas, σ e ς, dasquais a última só aparece ao fi-nal das palavras.

especial para as somas, que envolve o uso da legra grega Σ (sigma maiúsculo).

SomatórioA soma dos n primeiros termos de uma sequência cujo i-ésimo termo é ai érepresentada por

n

∑i=1ai = a1 + a2 + a3 +⋯ + an,

e é lida como “o somatório de ai, para i (variando) de 1 a n”.

Na notação de somatório,

Figura 6.4: Notação de somatório.

• o Σ representa a soma;

• a expressão que segue o Σ é o termo geral da sequência;

• o índice do primeiro termo da soma aparece abaixo do Σ (quando escrevemosi = 1, por exemplo, a soma começa por a1);

• o índice do último termo da soma é apresentado acima do Σ (no somatório daFigura 6.4, por exemplo, o último termo é an).


Empregando a nova notação, a soma das vinte semicircunferências do Exemplo 1pode ser escrita como

20∑i=1

πi.

Outros exemplos de somatório são dados no problema abaixo.

Problema 1. Somatórios

Calcule os somatórios

a)6∑i=1

i2 b)5∑k=1

12k

Solução.

a) O termo geral desse somatório é ai = i2. Calculando, então,

a1 = 12, a2 = 22, a3 = 32, a4 = 42, a5 = 52, a6 = 62,

obtemos6∑i=1

i2 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 = 91.

b) Nesse caso, devemos somar os cinco primeiros termos da sequência com termogeral ak = 1/(2k). Portanto, temos

5∑k=1

12k

= 12 ⋅ 1 +

12 ⋅ 2 +

12 ⋅ 3 +

12 ⋅ 4 +

12 ⋅ 5 = 1

2+ 1

4+ 1

6+ 1

8+ 1

10= 137

120.


A razão de indicarmos o índice do termo inicial do somatório logo abaixo da letrasigma é que isso nos permite definir somas que começam por am, com m ≠ 1, comomostram os exemplos a seguir.

Exemplo 2. Somatórios que não começam por a1

a)8∑i=4

5 − 2i = (5 − 2 ⋅ 4) + (5 − 2 ⋅ 5) + (5 − 2 ⋅ 6) + (5 − 2 ⋅ 7) + (5 − 2 ⋅ 8) = −35.

b)5∑i=0

2i = 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63.

Você sabia?No Exemplo 2(b), notamos que∑5

i=0 2i = 26 − 1. De uma formamais geral, podemos dizer que,para qualquer inteiro positivo n

n

∑i=0

2i = 2n+1 − 1.A notação sigma é a forma mais prática de representar um somatório, de modo

que é comum converter a essa notação as somas dadas por extenso. Podemos fazeressa conversão usando os conhecimentos que já adquirimos sobre sequências, bastandopara isso que

• encontremos uma fórmula para o termo geral ai;

• determinemos o valor inicial e o valor final de i.

Problema 2. Conversão à notação sigma

Converta à notação de somatório as seguintes somas:


a) 2 + 4 + 6 + 8 +⋯ + 200. b) 1,05 + 1,052 + 1,053 +⋯ + 1,0512.

Solução.

a) Notamos que os termos da soma 2+ 4+ 6+ 8+⋯+ 200 são os números pares entre2 e 200, ou seja,

a1 = 2, a2 = 4, a3 = 6, a4 = 8, ⋯

O termo geral dessa sequência éai = 2i.

Naturalmente, o primeiro termo da soma é a1. Para descobrir o índice i corres-pondente ao último termo, resolvemos a equação ai = 200:

2i = 200 ⇒ i = 200/2 = 100.

Logo, o último índice é 100, de modo que a soma pode ser escrita como

100∑i=1

2i.

b) Os termos da soma 1,05 + 1,052 + 1,053 +⋯ + 1,0512 são

a1 = 1,051, a2 = 1,052, a3 = 1,053, a4 = 1,054, ⋯ a12 = 1,0512

Nesse caso, claramente, devemos somar os doze primeiros termos da sequência cujotermo geral é

ai = 1,05i.

Assim, temos12∑i=1

1,05i.


∎ Propriedades do somatórioAs propriedades da soma e da multiplicação, vistas no Capítulo 1, podem ser empre-gadas para reescrever um somatório de forma a facilitar seu cálculo. Tomando comoexemplo o comprimento da curva espiral do Exemplo 1, que é dada por

C = π + 2π + 3π + 4π + 5π + ⋯ + 16π + 17π + 18π + 19π + 20π,

observamos que todos os vinte termos incluem a constante π, de modo que podemospô-la em evidência, obtendo

C = π(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ⋯ + 16 + 17 + 18 + 19 + 20).

Assim, temos

C =20∑i=1

π ⋅ i = π (20∑i=1

i) .

Generalizando essa propriedade para uma soma na forma ∑ni=1 cai, obtemos umadas três propriedades principais dos somatórios, as quais apresentamos no quadroabaixo.


Propriedades dos somatóriosSejam ai e bi os termos gerais de duas sequências, c uma constante real e num número inteiro positivo. Então,

1.n

∑i=1

(ai + bi) =n

∑i=1

ai +n

∑i=1

bi

2.n

∑i=1

(ai − bi) =n

∑i=1

ai −n

∑i=1

bi

3.n

∑i=1

cai = c (n

∑i=1

ai)

Todas essas propriedades são fáceis de demonstrar expandindo os somatórios. Paraprovar que a Propriedade 1 é válida, por exemplo, basta escrever

Nessa demonstração, usamos duaspropriedades da soma: a comutati-vidade, que diz que a + b = b + a,e a associatividade, segundo a qual(a + b) + c = a + (b + c).

n

∑i=1

(ai + bi) = a1 + b1 + a2 + b2 + a3 + b3 + ⋯ + an−1 + bn−1 + an + bn

= a1 + a2 + a3 +⋯ + an−1 + an + b1 + b2 + b3 +⋯ + bn−1 + bn

=n

∑i=1

ai +n

∑i=1

bi.

Embora o mesmo expediente possa ser usado para provar a Propriedade 2, vamosempregar as Propriedade 1 e 3 para obter a demonstração:

n

∑i=1

(ai − bi) =n

∑i=1

[ai + (−1) ⋅ bi]

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶a−b=a+(−1)⋅b

=n

∑i=1

ai +n

∑i=1

(−1) ⋅ bi´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

Propriedade 1

=n

∑i=1

ai −n

∑i=1

bi

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶Propriedade 3

.

Voltemos, agora, à curva espiral do Exemplo 1, cuja soma, como vimos, foi alteradaconforme descrito abaixo.

C =20∑i=1

πi ⇒ C = π (20∑i=1

i) .

Embora essa mudança pareça sutil, a fórmula da esquerda exige 20 multiplicações e 19somas, enquanto a da direita requer apenas 19 somas e uma multiplicação, permitindouma economia de 19 multiplicações.

Entretanto, seria ainda melhor se conhecêssemos o valor da soma 1 + 2 + 3 + 4 +⋯ + 19 + 20, pois isso nos permitiria calcular C quase sem esforço. Felizmente, osvalores de ∑ni=1 i e de somas semelhantes são conhecidos. Alguns desses somatóriossão apresentados a seguir.

Principais somatórios de potências

1.n

∑i=1

1 = n

2.n

∑i=1

i = n(n + 1)2

3.n

∑i=1

i2 = n(n + 1)(2n + 1)6

4.n

∑i=1

i3 = n2(n + 1)2

4

5.n

∑i=1

i4 =n(n + 1)(2n + 1) (3n2 + 3n − 1)

30


Embora algumas dessas fórmulas sejam difíceis de obter, a demonstração dos doisprimeiros somatórios é simples. Para provar que ∑ni=1 1 = n, por exemplo, bastaexpandir o somatório, como mostrado abaixo.

n

∑i=1

1 = 1 + 1 + 1 + 1 + . . . + 1´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

n termos

= n.

Já para demonstrar que ∑ni=1 i = n(n + 1)/2 adotamos uma estratégia mais enge-nhosa. Nesse caso, supondo que queiramos calcular 2 (∑ni=1 i), definimos

2(n

∑i=1i) =

n

∑i=1i +

n

∑i=1i.

Escrevendo, agora, os termos da primeira soma em ordem crescente e os termos dasegunda em ordem decrescente, e somando termo a termo, obtemos

n

∑i=1i = 1 + 2 + 3 + . . . + (n − 2) + (n − 1) + n

+n

∑i=1i = n + (n − 1) + (n − 2) + . . . + 3 + 2 + 1

2n

∑i=1i = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + . . . + (n + 1) + (n + 1) + (n + 1)

Logo, 2n

∑i=1i = n(n + 1), de modo que

n

∑i=1i = n(n + 1)

2.

Exemplo 3. Comprimento de uma curva espiral

Agora que sabemos que o comprimento da curva espiral da Figura 6.3 é dado porC = π (∑20

i=1 i), podemos usar a Fórmula 2 do quadro acima para calcular o somatório:

C = π (20∑i=1

i) = π [20(20 + 1)2

] = π [20 ⋅ 212

] = 210π cm.

Problema 3. Cálculo de somas

Calcule

a)100∑k=1

8

b)50∑i=1

(3i − 2)

c)30∑k=1

25(k − 10

3)

d)40∑k=1

k2

2

e)15∑i=6

i

Solução.

a) 100∑k=1

8 =100∑k=1

8 ⋅ 1 1 é o elemento neutro da multiplicação.

= 8(100∑k=1

1) Propriedade 3.

= 8 ⋅ 100 Aplicação da fórmula ∑ni=1 1 = n.

= 800 Simplificação do resultado.


b)

n

∑i=1i = n(n + 1)

2e

n

∑i=1

1 = n

50∑i=1

(3i − 2) =50∑i=1

3i −50∑i=1

2 Propriedade 2.

= 3(50∑i=1

i) − 2(50∑i=1

1) Propriedade 3.

= 3 [50(50 + 1)2

] − 2(50) Aplicação de fórmulas.

= 3825 − 100 Cálculo dos produtos.

= 3725 Cálculo da diferença.

c)

n

∑i=1i = n(n + 1)

2e

n

∑i=1

1 = n

30∑k=1

25(k − 10

3) = 2

5[

30∑k=1

(k − 103

)] Propriedade 3.

= 25[

30∑k=1

k −30∑k=1

103

] Propriedade 2.

= 25[

30∑k=1

k − 103

(30∑k=1

1)] Propriedade 3.

= 25[30(30 + 1)

2− 10

3(30)] Aplicação de fórmulas.

= 25[465 − 100] Cálculo dos produtos.


d)

n

∑i=1i2 = n(n + 1)(2n + 1)

6

40∑k=1

k2

2= 1

2(

40∑k=1

k2) Propriedade 3.

= 12(40(40 + 1)(2 ⋅ 40 + 1)

6) Aplicação de fórmula.


e) Observe que o somatório ∑15i=6 i não começa pelo índice i = 1, de modo que não

podemos calculá-lo aplicando diretamente a fórmula apresentada no quadro acima.Entretanto, felizmente, é possível obter o somatório no intervalo correto somandotodos os termos de 1 a 15 e subtraindo do resultado os termos indesejados, ou seja,aqueles com índice de 1 a 5:

15∑i=1i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15

−5∑i=1i = −1 − 2 − 3 − 4 − 5

15∑i=6i = 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15

Usando, então, a fórmula do somatório de i, obtemos


15∑i=6i =

15∑i=1i −

5∑i=1i = 15(15 + 1)

2− 5(5 + 1)

2= 120 − 15 = 105.

n

∑i=1i = n(n + 1)

2


O artifício introduzido no último item do Problema 3 pode ser usado para calcularqualquer soma que comece em um termo am, com m ≠ 1, ou seja,

n

∑i=m

ai =n

∑i=1

ai −m−1∑i=1

ai. oun

∑i=1

ai =m−1∑i=1

ai +n

∑i=m

ai.

Nesse quadro, a fórmula da esquerda mostra como calcular um somatório atravésda diferença de outros dois, enquanto a fórmula da direita mostra como obter umsomatório a partir da soma de outros dois.

Problema 4. Somatório que não começa no termo de índice 1

Calcule60∑k=31

(k3+ 1

4).

Solução.

Usando a fórmula do quadro acima, escrevemos

60∑k=31

(k3+ 1

4) =

60∑k=1

(k3+ 1

4) −

30∑k=1

(k3+ 1

4) .

O cálculo do primeiro somatório é dado abaixo.

n

∑i=1i = n(n + 1)

2e

n

∑i=1

1 = n

60∑k=1

(k3+ 1

4) =

60∑k=1

k

3+

60∑k=1

14

Propriedade 1.

= 13

60∑k=1

k + 14

60∑k=1

1 Propriedade 3.

= 13(60(60 + 1)

2) + 1

4(60) Aplicação de fórmulas.


Aplicando a mesma sequência de passos, obtemos facilmente o segundo somatório:

30∑k=1

(k3+ 1

4) =

30∑k=1

k

3+

30∑k=1

14= 1

330∑k=1

k + 14

30∑k=1

1 = 13(30(30 + 1)

2) + 1

4(30) = 162,5.

Logo,60∑k=31

(k3+ 1

4) = 625 − 162,5 = 462,5.


Exercícios 6.21. Calcule os somatórios abaixo escrevendo os termos e

somando-os.

a) ∑6i=1

13

b) ∑4i=1

14i

c) ∑4i=1 ( 2

i+2)d) ∑20

j=1(−1)j

e) ∑5j=1(−2)j

f) ∑4j=1(−1)j ( j−1

j2+1)g) ∑5

k=1(2k − k2)h) ∑5

i=1i2 [1 + (−1)i]

2. Escreva as somas abaixo usando a notação de somató-rio.a) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ⋯ + 200b) 1

2 + 1 + 32 + 2 + 5

2 + 3 + ⋯ + 1992 + 100

c) 1 +√

2 +√

3 + 2 +√

5 +√

6 + ⋯ + 10d) −1 + 2 − 3 + 4 − 5 + 6 − ⋯ − 199 + 200e) 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 + 81 + 100f) 3 + 9 + 27 + 81 + 243g) 1

1⋅2 +1

2⋅3 +1

3⋅4 +1

4⋅5 +1

5⋅6 +⋯ + 150⋅51

h) 1 + 22

2! +32

3! +42

4! +52

5! + ⋯ + 102

10!i) (3+ 5)+ (3+ 10)+ (3+ 15)+ (3+ 20)+ ⋯ + (3+ 50)

3. Usando as propriedades dos somatórios e os valores co-nhecidos de ∑nk=1 1 e de ∑nk=1 k, calcule as somas.

a) ∑100i=1 (2i − 1)

b) ∑100i=1 2(i − 1)

c) ∑100i=1 ( i2 +

25)

d) ∑80i=1

32(i − 20)

e) ∑80i=21 i

f) ∑100i=50(3i + 1)

g) ∑50i=21 4(i − 2)

h) ∑45i=1 3 (i − 5

9)

i) ∑40i=11 6 (i − 1

4)

4. Calcule a soma dos múltiplos de 5 no intervalo [5,1000].5. Resolva as equações

a) ∑ni=1 i = n+42 b) ∑ni=1(2i − 5) = 10 − n

6. O coeficiente de rendimento (CR) dos alunos da UNI-CAMP é calculado pela fórmula

CR = (∑ni=1NiCi)(10∑ni=1Ci)

,

em que Ni e Ci são, respectivamente, a nota e o nú-mero de créditos relativos à i-ésima disciplina, e n é onúmero de disciplinas cursadas. Usando as notas quevocê acredita que terá ao final do semestre, calcule oseu CR.

Respostas dos Exercícios 6.21. a) 2

b) 25/48c) 19/10

d) 0e) −22f) 3/17

g) 7

h) 6

2. a) ∑200i=1 i

b) ∑200i=1

i2

c) ∑100i=1

√i

d) ∑200i=1 (−1)i i

e) ∑10i=1 i

2

f) ∑5i=1 3i

g) ∑50i=1

1i(i+1)

h) ∑10i=1

i2i!

i) ∑10i=1(3 + 5i)

3. a) 10000b) 9900c) 2565

d) 2460e) 3030f) 11375

g) 4020h) 3030i) 4545

4. 100.500

5. a) 2 b) 5

6. ...

6.3 Progressões aritméticas

Há dois tipos principais de sequências, cada qual associado a uma função real. Oprimeiro deles, chamado progressão aritmética é a versão discreta da função afim (oulinear), como mostra o exemplo abaixo.

Problema 1. Poltronas de um teatro

Em um pequeno teatro, a primeira fileira tem 10 poltronas, a segunda fileira tem2 poltronas a mais que a primeira, a terceira tem 2 poltronas a mais que a segunda,e assim por diante. Quantas poltronas tem a sexta fileira? E quantas poltronas temuma fileira n qualquer?

Solução.

O enunciado desse problema descreve uma sequência definida recursivamente, da

Seção 6.3. Progressões aritméticas 465

qual conhecemos o primeiro termo – a1 = 10 – e a fórmula do termo geral, que é

Figura 6.5: Planta do teatro doExemplo 1.

ai = ai−1 + 2, para i ≥ 2.

Aplicando essa fórmula, obtemos

a2 = a1 + 2 = 10 + 2 = 12a3 = a2 + 2 = 12 + 2 = 14a4 = a3 + 2 = 14 + 2 = 16a5 = a4 + 2 = 16 + 2 = 18a6 = a5 + 2 = 18 + 2 = 20

Logo, a sexta fileira tem 20 poltronas.Usando a mesma fórmula recursiva do termo geral, podemos encontrar o número

de poltronas de qualquer fileira n. Entretanto, essa estratégia é inconveniente, poisseu uso para a determinação de an exige o cálculo de todos os termos anteriores, ouseja, de a2, a3, . . . , an−1.

Tentemos, então, definir uma fórmula para o termo geral que dependa apenas dea1 e de n, e não de an−1, seguindo a mesma ideia apresentada no Problema 3 da Seção6.1. Comecemos escrevendo os termos da sequência em relação a a1. Para o segundotermo não há mistério, já que a fórmula recursiva nos diz diretamente que

a2 = a1 + 2.

Para escrever o terceiro termo em função de a1, combinamos a fórmula recursiva coma expressão de a2 dada acima, obtendo

a3 = a2 + 2²fórmularecursiva

= a1 + 2²a2

+ 2 = a1 + 2 ⋅ 2.

Repetindo esse procedimento para os termos a4, a5 e a6, encontramos

a4 = a3 + 2 = a1 + 2 ⋅ 2 + 2 = a1 + 3 ⋅ 2 = 16a5 = a4 + 2 = a1 + 3 ⋅ 2 + 2 = a1 + 4 ⋅ 2 = 18a6 = a5 + 2 = a1 + 4 ⋅ 2 + 2 = a1 + 5 ⋅ 2 = 20

Observando atentamente os números destacados em vermelho nas expressões acima,notamos que cada um deles é exatamente uma unidade menor que o índice do termocorrespondente, de modo que,

a2 = a1 + (2 − 1) ⋅ 2a3 = a1 + (3 − 1) ⋅ 2a4 = a1 + (4 − 1) ⋅ 2a5 = a1 + (5 − 1) ⋅ 2a6 = a1 + (6 − 1) ⋅ 2

Generalizando essa ideia para an, o enésimo termo da sequência – que correspondeao número de poltronas na enésima fileira – obtemos

an = a1 + (n − 1) ⋅ 2.

Logo, a fórmula do termo geral é an = 10 + (n − 1) ⋅ 2.

Sequências nas quais a diferença entre dois termos sucessivos é constante, comoocorre no exemplo acima, são chamadas progressões aritméticas.


Progressão aritméticaUma progressão aritmética é uma sequência na forma

a1, a1 + r, a1 + 2r, a1 + 3r, a1 + 4r, a1 + 5r, ⋯

em que a1 é o primeiro termo e r é a razão da sequência. O termo geral deuma progressão aritmética é

an = a1 + (n − 1)r.

A Figura 6.6 mostra o gráfico da progressão aritmética do Problema 1. Note queo gráfico é formado apenas pelos pontos vermelhos. Além disso, a coordenada verticalde cada ponto fornece o número de cadeiras da fileira do teatro cujo número é dadopela coordenada horizontal:

(1,10), (2,12), (3,14), (4,16), (5,18), (6,20), . . .

A linha tracejada que aparece no gráfico serve apenas para indicar que a progressão

Figura 6.6: Número de poltronasem função da fileira do teatro.

aritmética é a versão discreta da função linear (ou afim), na qual a variável – que aquidenominamos n – só pode assumir os valores inteiros positivos 1, 2, 3, . . .

A razão r da sequência é a forma discreta da inclinação da reta associada à funçãoafim. Conforme indicado em verde na Figura 6.6, o valor de r corresponde à razãoentre a variação do número de cadeiras e a variação do número da fileira do teatro.Uma vez que a variação de uma unidade na horizontal provoca uma variação de duasunidades na vertical, temos

r = ∆a∆n

= 21= 2.

Vejamos, agora, alguns exercícios relacionados a progressões aritméticas.

Problema 2. Progressão com razão e termo inicial dados

Ache o termo geral da progressão que começa em 1 e tem razão 3. Calcule a100.

Solução.

Segundo o enunciado, a1 = 1 e r = 3. Logo,

an = a1 + (n − 1)r = 1 + 3(n − 1).

A partir da expressão acima, encontramos

Você também pode simplificar essaexpressão e escrever an = −2 + 3n.

a100 = 1 + 3(100 − 1) = 1 + 3 ⋅ 99 = 1 + 297 = 298.


Problema 3. Progressão dada pelos dois primeiros termos

Ache o termo geral da progressão aritmética

1024,1012, . . .

e calcule o vigésimo termos da sequência.

Solução.

O enunciado do problema nos fornece a1 = 1024. Para determinar a razão, bastalembrar que a2 = a1 + r, de modo que


r = a2 − a1 = 1012 − 1024 = −12

Assim,an = a1 + (n − 1)r = 1024 − 12(n − 1).

Finalmente, o vigésimo termo da progresão é

a20 = 1024 − 12(20 − 1) = 1024 − 12 ⋅ 19 = 796.


Problema 4. Gráfico de uma progressão aritmética

Um grupo de atletas decidiu criar um clube e espera obter a adesão de 420 sóciosjá no mês de inauguração. Além disso, o grupo pretende atrair sócios a uma taxaconstante até atingir a marca de 2400 pessoas no décimo segundo mês de funciona-mento do clube. Escreva o termo geral da progressão que fornece o número de sóciosdo clube a cada mês (desde sua fundação) e trace o gráfico dessa progressão.

Solução.

Como a taxa de crescimento do número de sócios é constante, podemos modelaro problema usando uma progressão aritmética cujo primeiro termo é a1 = 420. Paraencontrar a razão r, basta dividir a variação do número de sócios pela variação donúmero de meses. Como o número de sócios deverá crescer o equivalente a 2400−420pessoas em 12 − 1 meses, temos

r = ∆a∆n

= 2400 − 42012 − 1

= 198011

= 180.

Logo, espera-se que o clube tenha 180 adesões por mês, o que significa que, no mêsn, o número de sócios será dado por

an = 420 + (n − 1)180.

Figura 6.7: Número de sócios deum clube.

O gráfico que mostra o número de sócios a cada mês do primeiro ano de funcio-namento do clube é dado na Figura 6.7. Observe que inserimos dez termos entre oprimeiro e o décimo segundo termos da progressão, que são conhecidos. A esse tipode problema no qual se introduz termos em um intervalo dá-se o nome de interpolaçãoaritmética.Agora, tente o exercício 7.

Problema 5. Progressão dada por dois termos quaisquer

Ache o termo geral da progressão aritmética cujo quinto termo é 16 e cujo 13otermo é 102.

Solução.

Para escrever o termo geral de uma progressão aritmética, é preciso determinarseu termo inicial, a1, e sua razão, r. Para tanto, podemos usar o fato de que os termosa5 = 16 e a13 = 102 são conhecidos e montar o sistema linear

{ a5 = a1 + (5 − 1)ra13 = a1 + (13 − 1)r ⇒ { a1 + 4r = 16

a1 + 12r = 102


Isolando a1 na primeira equação, obtemos

a1 = 16 − 4r.

Substituindo, então, essa expressão na segunda equação do sistema, chegamos a

(16 − 4r) + 12r = 102 ⇒ 8r = 86 ⇒ r = 86/8 = 10,75.

Finalmente, lembrando que a5 = 16, temos

a1 + 4 ⋅ 10,75 = 16 ⇒ a1 = 16 − 43 = −27,

de modo quean = −27 + 10,75(n − 1).

Agora, tente os exercícios 3 e 4.

Problema 6. Progressão que envolve uma variável

Sabe-se que os três primeiros termos de uma progressão aritmética são

x − 1, 3x + 4 e 6x + 2.

Determine x e o termo geral da progressão.

Solução.

Como os três termos acima estão em progressão aritmética, é correto supor que adiferença entre dois valores sucessivos seja constante e igual à razão r. Logo,

r = (3x + 4) − (x − 1) = (6x + 2) − (3x + 4).

Resolvendo a equação em x obtemos:

(3x + 4) − (x − 1) = (6x + 2) − (3x + 4) ⇒ 2x + 5 = 3x − 2 ⇒ x = 7.

Uma vez descoberto o valor de x, determinamos a1 e r fazendo

a1 = x − 1 = 7 − 1 = 6,

r = (3x + 4) − (x − 1) = 2x + 5 = 2 ⋅ 7 + 5 = 19.

Assim,an = 6 + 19(n − 1).


Problema 7. Progressão a partir de uma soma e um produto

A soma dos três primeiros termos de uma progressão aritmética crescente é iguala 18 e o produto desses termos é 120. Determine esses três números e o termo geralda sequência.

Solução.

Suponhamos que os três primeiros termos da progressão sejam a1, a2 e a3. Segundoo enunciado, temos

{ a1 + a2 + a3 = 18a1 ⋅ a2 ⋅ a3 = 120


Como não conhecemos a razão, r, que define a progressão, reescrevemos os trêsprimeiros termos na forma

a1, a2 = a1 + r, a3 = a1 + 2r.

Substituindo, então, as expressões de a2 e a3 no sistema acima, chegamos a

{ a1 + (a1 + r) + (a1 + 2r) = 18a1 ⋅ (a1 + r) ⋅ (a1 + 2r) = 120

Isolando a1 na primeira equação desse sistema, temos

3a1 + 3r = 18 ⇒ 3a1 = 18 − 3r ⇒ a1 = 6 − r.

Finalmente, substituindo a expressão de a1 na segunda equação do sistema, obtemos

(6 − r) ⋅ (6 − r + r) ⋅ (6 − r + 2r) = 120(6 − r) ⋅ 6 ⋅ (6 + r) = 120

6 ⋅ (36 − r2) = 120216 − 6r2 = 120

6r2 = 96r2 = 16r = ±

√16 = ±4.

Como o anunciado afirma que a progressão é crescente, abandonamos a razãonegativa r = −4 e adotamos r = 4. Assim,

a1 = 6 − r = 6 − 4 = 2a2 = a1 + r = 2 + 4 = 6a3 = a2 + r = 6 + 4 = 10

e o termo geral éan = a1 + r(n − 1) = 2 + 4(n − 1).


Problema 8. Estações de rádio FM

A ANATEL determina que as emissoras de rádio FM utilizem as frequências de87,9 a 107,9 MHz, e que haja uma diferença de 0,2 MHz entre emissoras com frequên-cias vizinhas.

a) Escreva o termo que fornece a frequência da i-ésima rádio.

b) A 86a frequência é reservada a uma rádio comunitária. Determine a frequênciadessa rádio.

c) Determine quantas emissoras FM podem funcionar em uma mesma região.

Solução.

a) As frequências das emissoras FM formam uma progressão aritmética com razãoigual a 0,2 MHz e frequência inicial de 87,9 MHz. Assim,

ai = 87,9 + 0,2(i − 1).

b) a86 = 87,9 + 0,2(86 − 1) = 87,9 + 17,0 = 104,9 MHz.


c) A enésima e última emissora tem frequência an = 107,9 MHz, de modo que

87,9 + 0,2(n − 1) = 107,90,2(n − 1) = 20

n − 1 = 100n = 101.

Logo, podem existir 101 emissoras em cada região.

Observe que há 20/0,2 = 100 inter-valos de 0,2 MHz entre as frequên-cias de 87,9 MHz e 107,9 MHz. Dessaforma, o número de emissoras é iguala 101.


∎ Soma dos termos de uma progressão aritméticaNo Problema 1, o número de poltronas da i-ésima fileira de um teatro era dado pelotermo geral

ai = 10 + 2(i − 1).Nesse caso, se quiséssemos descobrir a capacidade do teatro, supondo que ele tivesse12 fileiras de assentos, teríamos que calcular

12∑i=1

[10 + 2(i − 1)] .

Não seria difícil determinar o valor desse somatório usando as propriedades apre-sentadas na Seção 6.2. Entretanto, como somas desse tipo são muito frequentes, émais prático estabelecer uma fórmula geral para a soma dos primeiros termos de umaprogressão aritmética qualquer e aplicá-la sempre que necessário.

Consideremos, então, a progressão com termo geral

ai = a1 + r(i − 1),

cuja soma dos n primeiros termos é dada porn

∑i=1ai =

n

∑i=1a1 + r(i − 1).

Aplicando as propriedades do somatório, obtemosn

∑i=1a1 + r(i − 1) =

n

∑i=1a1 +

n

∑i=1r(i − 1) Propriedade 1.

= a1 [n

∑i=1

1] + r [n

∑i=1

(i − 1)] Propriedade 3.

= a1 [n

∑i=1

1] + r [n

∑i=1i] − r [

n

∑i=1

1] Propriedade 2.

= a1 ⋅ n + r ⋅n(n + 1)

2− r ⋅ n

Aplicando as fórmulas desomatório.

= 2a1n + rn(n + 1) − 2rn2

Adotando um denomina-dor comum.

= n2[2a1 + r(n + 1) − 2r] Pondo n

2 em evidência.

= n2[2a1 + r(n − 1)] Simplificando o resultado.


n

∑i=1i = n(n + 1)

2e

n

∑i=1

1 = n

O quadro abaixo resume o resultado que acabamos de obter.

Soma dos termos de uma progressão aritméticaA soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética de termo geralai = a1 + (i − 1)r é

Sn =n

2[2a1 + (n − 1)r] ou Sn = n [a1 + an

2] .

Observe que, usando a expressão dean, é fácil obter a segunda fórmula apartir da primeira.

Pronto! Agora que dispomos de uma fórmula geral, podemos aplicá-la ao problemado teatro, bastando para isso que definamos n = 12, a1 = 10, e r = 2:

12∑i=1ai =

122

[2 ⋅ 10 + 2 ⋅ (12 − 1)] = 6 [20 + 2 ⋅ 11] = 252.

Logo, o teatro tem capacidade para 252 espectadores.

Exemplo 1. Soma dos termos de uma progressão aritmética

Para determinar a soma dos 20 primeiros termos da progressão cujo termo geral é

ai = 3 + (i − 1)5,

basta substituir a1 = 3, r = 5 e n = 20 na fórmula acima, o que fornece

S20 =202

[2 ⋅ 3 + (20 − 1) ⋅ 5] = 10 [6 + 19 ⋅ 5] = 1010.

Problema 9. Figuras com palitos

Considere a sucessão de figuras apresentada a seguir. Observe que cada figura éformada por um conjunto de palitos de fósforo.

(1) (2) (3)

Figura 6.8: Figuras formadas com palitos.

a) Suponha que essas figuras representem os três primeiros termos de uma sucessãode figuras que seguem a mesma lei de formação. Suponha também que F1, F2 e F3indiquem, respectivamente, o número de palitos usados para produzir as Figuras6.8(1), 6.8(2) e 6.8(3). Escreva a expressão geral de Fn, que fornece o número defósforos utilizados para formar a enésima figura dessa sucessão.

b) Calcule o número de fósforos da décima figura da sequência.


c) Determine o número de fósforos necessários para que seja possível exibir concomi-tantemente todas as primeiras 50 figuras.

Solução.

a) Contando os palitos mostrados na Figura 6.8, observamos que

F1 = 4, F2 = 3 ⋅ 4 = 12 e F3 = 5 ⋅ 4 = 20.

Concluímos, então, que, entre duas figuras sucessivas, há um aumento de doisquadrados formados por 4 palitos, o que fornece um total de 8 palitos. Sendoassim, o número de palitos da enésima figura será dado pelo termo geral de umaprogressão aritmética de razão 8 e termo inicial 4, ou seja,

Fn = 4 + (n − 1) ⋅ 8.

b) Aplicando a fórmula obtida no item acima, obtemos

F10 = 4 + (10 − 1) ⋅ 8 = 76.

Logo, a décima figura tem 76 palitos de fósforo.

c) A soma do número de palitos empregados para exibir cada uma das primeiras 50figuras é dada por

50∑n=1

Fn =502

[2 ⋅ 4 + (50 − 1)8] = 25[8 + 49 ⋅ 8] = 10000.

Portanto, são necessários 10.000 palitos de fósforo para exibir concomitantementeas 50 figuras.


Problema 10. Soma dos números ímpares

Calcule 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + . . . + 99.

Solução.

Notamos que os valores somados correspondem aos números ímpares de 1 a 99, osquais podem ser descritos pela progressão aritmética que tem termo inicial a1 = 1 erazão 2. Nesse caso, o termo geral é

ai = 1 + (i − 1)2.

Embora saibamos que os termos inicial e final da sequência são, respectivamente,a1 = 1 e an = 99, ainda não conhecemos o valor de n, ou seja não sabemos quantostermos devem ser somados. Felizmente, esse valor pode ser facilmente encontradoigualando a expressão de an a 99:

an = 1+(n−1)2 = 99 ⇒ 1+2n−2 = 99 ⇒ 2n = 100 ⇒ n = 50.

Logo, a soma desejada corresponde a ∑50i=1 1−(n−1)2. Usando, então, segunda fórmula

apresentada no quadro acima, obtemos

Sn = n [a1 + an2

] = 50 [1 + 992

] = 50 ⋅ 50 = 2500.



Problema 11. Número de fileiras de um teatro

Pretende-se construir um teatro de modo que sua sala tenha 10 poltronas naprimeira fila, 12 na segunda, 14 na terceira, e assim por diante. Quantas fileiras oteatro deve ter para que comporte, ao menos, 500 pessoas sentadas?

Solução.

Temos, aqui, um teatro similar àquele apresentado no Problema 1, já que a pri-meira fileira tem 10 poltronas e há um acréscimo de 2 assentos entre fileiras sucessivas.Nesse caso, o número de poltronas da i-ésima fila é dado pelo termo geral da progres-são aritmética com termo inicial a1 = 10 e razão 2, ou seja,

ai = 10 + (i − 1)2.

Entretanto, o objetivo do problema não é apenas o cálculo do número total de pol-tronas do teatro, mas a determinação de um número de fileiras, n, que faça comque o teatro comporte no mínimo 500 espectadores. Assim, notando que o total depoltronas das n fileiras corresponde a

Sn =n

2[2 ⋅ 10 + (n − 1) ⋅ 2] = n

2[20 + 2n − 2] = 9n + n2,

determinamos o valor de n exigindo que a expressão acima seja maior ou igual aonúmero desejado de poltronas, ou seja,

Sn ≥ 500 ⇒ n2 + 9n ≥ 500 ⇒ n2 + 9n − 500 ≥ 0.

Para resolver essa inequação, determinamos o discriminante da equação n2+9n−500 =0,

∆ = 92 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−500) = 2081

e usamos a fórmula de Bháskara para obter as suas raízes:

n = −9 ±√

20812 ⋅ 1 ≈ −9 ± 45,618

2.

Portanto, as raízes da equação associada são n = 18,309 e n = −27,309.Voltando, então, à inequação original, podemos encontrar sua solução usando a

estratégia apresentada na Seção 4.1, que consiste em esboçar o gráfico da funçãof(n) = n2+9n−500 e, a partir dele, determinar os valores de n para os quais f(n) ≥ 0.

Observando que o termo que multiplica n2 é positivo (ou seja, a > 0), concluímosque o gráfico de f(n) tem concavidade para cima, como mostra a Figura 6.9, de modoque a solução da inequação é dada por

Figura 6.9: Esboço do gráfico def(n) = n2 + 9n − 500.

n ≤ −27,309 ou n ≥ 18,309.

Finalmente, como n deve ser um número inteiro e positivo, concluímos que n ≥ 19, ouseja, a sala precisa ter ao menos 19 fileiras de poltronas.Agora, tente os exercícios 29 e 31.

Exercícios 6.31. O termo inicial e a razão de algumas progressões arit-

méticas são dados abaixo. Escreva o termo geral e de-termine o termo indicado.

a) a1 = 500, r = −25. a21?b) a1 = 1/3, r = 1/6. a35?c) a1 = −100, r = 4. a51?


d) a1 =√

2, r = 3√

2. a18?2. Os dois primeiros termos de algumas progressões arit-

méticas são dados abaixo. Escreva o termo geral e de-termine o termo indicado.

a) 4, 1, . . . a12?b) −12,5; −7; . . . a10?

c) − 32 , 1, . . . a20?

d) 2π, 6π, . . . a25?

3. Determine o termo geral de uma progressão aritméticasabendo que seu quarto termo é 25 e seu décimo termoé 33.

4. Determine o termo geral de uma progressão aritméticasabendo que seu sexto termo é 200 e seu décimo quartotermo é 168.

5. Determine o termo geral de uma progressão aritméticasabendo que seu 100○ termo é 500 e seu 110○ termo é1045.

6. Determine o termo geral de uma progressão aritméticasabendo que seu 10○ termo é 3 e seu 22○ termo é 1.

7. Trace o gráfico da progressão definida por an = 10 −52(n − 1).

8. Trace o gráfico da progressão definida por an = −4 +2(n − 1).

9. Trace um gráfico de barras que represente a progressãodefinida por an = −4 + 2(n − 1).

10. Sabendo que os três primeiros termos de uma progres-são aritmética valem

x, 2x + 3 e 7x − 4,

determine o termo geral da progressão.11. Supondo que os três primeiros termos de uma progres-

são aritmética sejam

5 + 2x, 11 + 4x e 13 + 8x,

determine x e o termo geral da progressão.12. A soma dos três primeiros termos de uma progressão

aritmética decrescente é 22,5 e o produto do primeiropelo terceiro termo é igual a 14. Determine os três pri-meiros termos e o termo geral da sequência.

13. A soma dos três primeiros termos de uma progressãoaritmética crescente é 36 e a soma dos quadrados des-ses termos é 530. Determine os três termos e o termogeral da sequência.

14. A soma dos três primeiros termos de uma progressãoaritmética decrescente é 27 e o produto desses termosé 405. Determine os três termos e o termo geral dasequência.

15. Em uma progressão aritmética crescente, a soma dosdois primeiros termos é igual ao terceiro termo, e oproduto dos dois primeiros termos é 128. Determine otermo geral da sequência.

16. Calcule as somas abaixo.

a) Todos os inteiros pares menores ou iguais a 100.b) Os 100 primeiros inteiros positivos pares.c) Os primeiros 20 termos da progressão aritmética

3, 8, . . .17. No mês corrente, uma empresa registrou uma receita de

R$ 600 mil e uma despesa de R$ 800 mil. Para voltara ter lucro, a empresa pretende manter constante a re-ceita, e reduzir suas despesas, mensalmente, em exatosR$ 45 mil.a) Escreva a expressão do termo geral da progressão

aritmética que fornece o valor da despesa em fun-ção de n, o número de meses transcorridos, consi-derando como mês inicial o corrente.

b) Calcule em quantos meses a despesa será menorque a receita.

18. No centro de um mosaico formado apenas por peque-nos ladrilhos, um artista colocou 4 ladrilhos cinza. Emtorno dos ladrilhos centrais, o artista colocou uma ca-mada de ladrilhos brancos, seguida por uma camadade ladrilhos cinza, e assim sucessivamente, alternandocamadas de ladrilhos brancos e cinza, como ilustra afigura abaixo, que mostra apenas a parte central domosaico.

a) Determine o número de ladrilhos da 10ª camadacinza.

b) Supondo que o mosaico tenha exatamente 10 ca-madas de cada cor, calcule o número de ladrilhosbrancos e o número de ladrilhos cinza empregadosna sua construção.

19. Um site de relacionamento tem 2200 membros e planejaaumentar o número de integrantes usando uma estra-tégia agressiva de propaganda. O site espera que 100novos membros entrem na primeira semana após a pro-paganda, 200 entrem na segunda semana, 300 entremna terceira semana, etc. Caso essa estratégia dê certo,determine em quantas semanas o site terá 10000 mem-bros.

20. Um auditório tem poltronas organizadas em fileiras. Aterceira fileira tem 28 poltronas e a quarta tem 32 pol-tronas. Sabendo que o número de poltronas aumentade forma constante entre fileiras sucessivas, e que o au-ditório tem 30 fileiras de poltronas,a) Determine o número de poltronas da 1a fileira.b) Determine o número de poltronas da n-ésima fi-

leira, em que n é um número natural entre 1 e 30.


c) Determine o número de poltronas do auditório.21. A segunda fileira de um teatro tem 20 poltronas e a

quinta tem 26 poltronas. Sabendo que o número depoltronas aumenta de forma constante entre fileiras su-cessivas e que o auditório possui 740 poltronas, deter-mine o número total de fileiras do auditório.

22. Um barco será usado para recolher 20 boias que foramcolocadas em linha reta, como mostra a figura abaixo.A primeira boia está a 200 m do píer de onde partiráo barco, e cada uma das demais boias está a uma dis-tância de 100 m da anterior. Como o barco é muitopequeno, só é possível transportar uma boia por vez.Desse modo, o barqueiro pegará a primeira boia e re-tornará ao píer. Em seguida, ele buscará a segundaboia, retornando novamente ao píer. Esse processo serárepetido até que todas as boias tenham sido recolhidas.

a) Determine a distância percorrida pelo barco (ida evolta) para buscar cada uma das quatro primeirasboias.

b) Escreva a fórmula do termo geral, an, da progres-são que fornece a distância percorrida pelo barco(ida e volta) para resgatar apenas a n-ésima boia.

c) Determine a distância total percorrida pelo barcopara recolher todas as boias.

23. Um atleta que está se preparando para a maratona pre-tende correr 15 km diariamente na primeira semana detreino, e aumentar a distância em 1,5 km a cada se-mana, até atingir a marca de 42 km.a) Escreva o termo geral da progressão que fornece a

distância diária percorrida pelo atleta na i-ésimasemana.

b) Determine qual será a última semana de prepara-ção do atleta, que é aquela em que ele estará cor-rendo os 42 km.

c) Lembrando que cada semana é composta por 7dias, determine quantos quilômetros o atleta cor-rerá, ao todo, em sua preparação.

24. Considere as figuras apresentadas a seguir, que repre-sentam os três primeiros termos de uma sucessão defiguras formadas por palitos de fósforo.

a) Suponha que F1, F2 e F3 indiquem, respectiva-mente, o número de palitos usados para produziras Figuras 1, 2 e 3. Escreva a expressão geral de Fi(o número de fósforos usados para formar a Figurai) e calcule F10.

b) Suponha que você deseje exibir concomitantementeas figuras dessa sucessão, começando pela primeira.Quantas figuras é possível exibir com 360 fósforos?

25. Uma pessoa emite um som de 60 decibéis em um localem que há eco.a) Se que cada eco tem 3,98 decibéis a menos que o

som anterior, escreva a progressão que descreve a“altura” (em decibéis) do i-ésimo som, começandopelo som original e incluindo os ecos.

b) Se o som mais baixo que o ouvido humano conse-gue perceber tem 0 decibel, quantos ecos o som de60 decibéis produz?

26. Uma pilha de toras de madeira tem 30 troncos na ca-mada inferior, 29 troncos na segunda camada, 28 naterceira, e assim sucessivamente, até a última camada,que tem 12 toras. Calcule o número total de toras dapilha.

27. Os participantes da maratona de Ipatinga têm uma ra-zão a mais para correr: os vultosos prêmios da prova. Oprimeiro colocado fatura R$ 1.500, o segundo recebe R$1.425, o terceiro embolsa R$ 1.350, e assim por diante,até o 20o colocado.a) Escreva o termo geral da progressão que fornece o

prêmio recebido em relação à posição de chegadado participante.

b) Determine o valor a ser recebido pelo 12o colocado.c) Calcule o valor gasto pela organização da prova

para pagar os 20 prêmios.28. Para cobrir o piso de uma sala que tinha formato tra-

pezoidal, João cortou várias tábuas de madeira. A pri-meira tábua tinha 1,2 m de comprimento, a segundatinha 1,4 m, a terceira tinha 1,6 m, e assim por diante.a) Escreva a fórmula de ai, o termo geral da progres-

são, que fornece o comprimento da i-ésima tábua.b) Se João gastou um total de 39 m em tábuas, calcule

o número de tábuas usadas para cobrir o piso.29. Um órgão de proteção do meio ambiente vem acompa-

nhando o ritmo de desmatamento em uma determinadaregião do país. A tabela abaixo fornece a área desma-tada anualmente desde o início do monitoramento.

Ano Área (km2)1 362 483 60

a) Escreva uma progressão que forneça a área desma-tada no ano i, em km2.

b) Sem enumerar o que acontece ano a ano, determinea área desmatada no ano 11.


c) Determine em que ano a área total desmatada (so-mando o desflorestamento ano a ano) atingirá 1800km2.

30. Cada canal de TV UHF tem uma frequência fixa. Afrequência do canal 14, por exemplo, é 471,25 MHz, en-quanto a do canal 15 é 477,25 MHz, e a do canal 16 é483,25 MHz. Com base nesses dados,a) Escreva a fórmula de an, o termo geral da progres-

são que fornece a frequência (em MHz) do canaln.

b) Determine a frequência do canal 25.c) Em breve, a faixa que vai de 700 a 800 MHz será

destinada à telefonia com tecnologia 4G. Sem enu-merar as frequências, determine o primeiro canal deTV UHF que será suprimido quando isso ocorrer.

31. Uma curva é composta por segmentos de reta. A fi-gura abaixo ilustra a parte da curva composta pelos 12primeiros segmentos. Sabe-se que o primeiro segmentomede 1 cm, o segundo mede 1,5 cm, o terceiro mede 2cm, e assim por diante.

a) Quanto mede o i-ésimo trecho da curva?b) Se a curva é formada por 30 segmentos, qual é o

seu comprimento total?

c) Quantos trechos tem uma curva com comprimentototal de 540 cm?

32. Joaquim faz uma revisão de seu carro a cada 10.000km. O custo das revisões do carro de Joaquim varia deacordo com a tabela abaixo.

Revisão Preço (R$)1 2402 2803 320

a) Escreva o termo geral da progressão que fornece ocusto aproximado da n-ésima revisão.

b) Sem enumerar os preços das revisões, determine ocusto da revisão dos 120.000 km.

c) Sem enumerar os preços das revisões, deter-mine com que quilometragem o carro estaráquando o gasto acumulado com as revisões atingirR$ 7.800,00.

33. Em seu primeiro ano de funcionamento, uma empresade ônibus transportou 80 mil passageiros. A partir deentão, a empresa tem conseguido 10 mil novos passa-geiros a cada ano.

a) Escreva o termo geral da progressão que fornece onúmero de passageiros transportados anualmentepela empresa, desde o seu ano de inauguração.

b) Determine em quanto tempo a empresa atingirá amarca de 5 milhões de passageiros transportados,isto é, em quantos anos a soma dos passageirostransportados desde a estreia da empresa atingirá5 milhões.

Respostas dos Exercícios 6.31. a) an = 500 − 25(n − 1), a21 = 0

b) an = 13 + n−1

6 , a35 = 6c) an = −100 + 4(n − 1), a51 = 100d) an =

√2 + 3

√2(n − 1), a18 = 55

√2

2. a) an = 4 − 3(n − 1). a12 = −29b) an = −12,5 + 5,5(n − 1). a10 = 37c) an = − 3

2 + 52 (n − 1). a20 = 46

d) an = 2π + 4π(n − 1). a25 = 102π3. an = 21 + 4

3 (n − 1)4. an = 220 − 4(n − 1)5. an = 500 + 5(n − 1)6. an = 9

2 − n−16

7.

8.

9.

10. an = 52 + 11

2 (n − 1)11. x = 2, an = 9 + 10(n − 1)

12. 14; 7,5; 1 an = 14 − 132 (n − 1)

13. 5, 12, 19 an = 5 + 7(n − 1)14. 15, 9, 3 an = 15 − 6(n − 1)15. an = 8 + 8(n − 1)

16. a) 2550 b) 10100 c) 1010

17. a) an = 800 − 45(n − 1)b) No sexto mês, ou seja, daqui a cinco

meses.18. a) 148

b) 760 ladrilhos cinza e 840 ladrilhosbrancos.

19. O site terá 10000 membros em 12 semanas.20. a) 20 poltronas

b) an = 16 + 4nc) 2340 poltronas

21. 20 fileiras22. a) 400 m, 600 m, 800 m e 1000 m

b) an = 200n + 200c) S20 = 46 km

23. a) ai = 15 + 1,5(i − 1)b) 19 semanasc) 3790,5 km

24. a) Fi = 3i. F10 = 30b) 15 figuras

25. a) ai = 60 − 3,98(i − 1)

Seção 6.4. Progressões geométricas 477

b) 15 ecos, ou seja, o 16○ som.26. 399 toras27. a) an = 1500 − 75(n − 1)

b) R$ 675,00c) R$ 15.750,00

28. a) an = 1,2 + 0,2(n − 1)b) 15 tábuas

29. a) ai = 36 + 12(i − 1)b) 156 km2

c) 15 anos30. a) an = 393,25 + 6(n − 1)

b) 537,25 MHzc) O canal 54

31. a) 1 + 0,5(i − 1) cm

b) 247,5 cmc) 45 segmentos

32. a) ai = 240 + 40(n − 1)b) R$ 680,00c) 150.000 km

33. a) ai = 80 + 10(i − 1)b) Em 25 anos

6.4 Progressões geométricas

Além das progressões aritméticas, que são a versão discreta da função afim, há umsegundo tipo importante de sequência, denominado progressão geométrica, que estáassociado à função exponencial. Essa nova classe de sequências não só possui muitasaplicações científicas, como também forma a base dos modelos usados em finanças,como se verá na Seção 6.5. Para introduzi-la, vamos usar como exemplo um problemaassociado à progressão salarial dos funcionários de uma empresa.

Problema 1. Salário anual

Uma empresa que está contratando funcionários oferece um salário inicial de qua-renta mil reais por ano (incluindo os pagamentos mensais, o décimo terceiro salárioe o adicional de férias). Além disso, a empresa informa que, a cada ano de trabalho,seus funcionários têm um aumento de salário correspondente a 3% do valor recebidono ano anterior (desprezando-se a correção da inflação, que também é consideradano reajuste salarial). Determine o salário anual de um funcionário em cada um dostrês primeiros anos na empresa e calcule o salário que ele receberá no enésimo ano deemprego.

Solução.

Digamos que o salário no ano i seja representado por ai. Como, a cada ano, osalário aumenta 3% em relação ao valor recebido no ano anterior, o salário no segundoano é igual a

a2 = a1 +3

100a1 = a1 ⋅ (1 + 0,03) = 1,03a1 = 1,03 ⋅ 40000 = R$ 41.200,00.

Da mesma forma, como o salário do terceiro ano é 3% maior que o salário do segundoano, o montante recebilo pelo funcionário no terceiro ano de emprego corresponde a

a3 = a2 +3

100a2 = a2 ⋅ (1 + 0,03) = 1,03a2 = 1,03 ⋅ 41200 = R$ 42.436,00.

Observando que a2 = 1,03a1 e a3 = 1,03a2, percebemos que, ao dividir o salário deum ano pelo valor recebido no ano anterior, obtemos um valor constante, ou seja,

a2

a1= a3

a2= 1,03.

Sequências nas quais a razão entre dois termos sucessivos é constante são chamadasprogressões geométricas. Por sua vez, a constante adimensional obtida na divisãoé chamada razão. Nesse exemplo, a razão é igual a 1,03.

Usando a letra r para representar a razão, podemos dizer que, em qualquer ano i,temos

ai = ai−1 ⋅ r,que é a forma recursiva do termo geral da progressão geométrica. Para obter umafórmula equivalente, mas que dependa apenas de r e a1, vamos tentar calcular alguns


termos iniciais da sequência, começando por a3:

a3 = a2 ⋅ r±fórmularecursiva

= a1 ⋅ r±a2

⋅ r = a1 ⋅ r2

Repetindo o procedimento para os três termos seguintes, obtemos

a4 = a3 ⋅ r = a1 ⋅ r2 ⋅ r = a1 ⋅ r3,

a5 = a4 ⋅ r = a1 ⋅ r3 ⋅ r = a1 ⋅ r4,

a6 = a5 ⋅ r = a1 ⋅ r4 ⋅ r = a1 ⋅ r5.

Observando atentamente as fórmulas acima, notamos que, em todas, o expoente der (mostrado em vermelho) é uma unidade menor que o índice do termo. Assim,concluímos que

an = a1 ⋅ rn−1.

Portanto, o salário de um funcionário em seu enésimo ano na empresa é dado por

an = 40000 ⋅ 1,03n−1.

Um resumo do que foi visto nesse problema é apresentado no quadro a seguir.

Progressão geométricaUma progressão geométrica é uma sequência na forma

a1, a1 ⋅ r, a1 ⋅ r2, a1 ⋅ r3, a1 ⋅ r4, a1 ⋅ r5, ⋯

em que a1 é o primeiro termo e r é a razão da sequência. O termo geral deuma progressão geométrica é

an = a1 ⋅ rn−1.Quando r > 0 e r ≠ 1, a progressãogeométrica é a versão discreta da fun-ção exponencial. Além disso, a pro-gressão é crescente se r > 1 e decres-cente se 0 < r < 1.

Problema 2. Progressão com razão e termo geral conhecidos

Ache o termo geral da progressão que tem razão 3 e começa em 7. Calcule a9.

Solução.

Como a1 = 7 e r = 3, temos

an = a1 ⋅ rn−1 = 7 ⋅ 3n−1.

Além disso, a9 = 7 ⋅ 39−1 = 7 ⋅ 38 = 45927.Agora, tente o exercício 1.

Problema 3. Progressão com os primeiros termos conhecidos

Ache o termo geral da progressão geométrica abaixo e calcule a10.

5,−10,20, . . .


Solução.

Para determinar a razão de uma progressão geométrica, basta dividir um termopelo seu antecessor, de modo queTambém podemos obter r calculando

r = a3

a2= 20−10

= −2. r = a2

a1= −10

5= −2.

Como, além disso, a1 = 5, temos

an = a1 ⋅ rn−1 = 5 ⋅ (−2)n−1.

Finalmente, a10 = 5 ⋅ (−2)10−1 = 5 ⋅ (−2)9 = −2560.Agora, tente o exercício 3.

Figura 6.10: an = 7 ⋅ 3n−1.

Quando r > 0, o gráfico da progressão geométrica é composto pelos pontos dacurva definida pela função exponencial a(n) = a1r

n−1, nos quais n é um númerointeiro positivo. A Figura 6.10 mostra o gráfico da progressão do Problema 2, que écrescente pois r > 1. Note que o gráfico é formado apenas pelos pontos vermelhos.A linha tracejada foi incluída apenas para salientar a relação entre a progressão e afunção exponencial.

Por outro lado, se r < 0, a sequência é oscilante, a exemplo do que vimos noProblema 3. Nesse caso, a coordenada vertical dos pontos do gráfico ora é positiva,ora é negativa, como mostrado na Figura 6.11.

Figura 6.11: an = 5 ⋅ (−2)n−1.

Problema 4. Progressão da qual se conhece dois termos

Ache o termo geral da progressão geométrica cujo 3o termo é 48 e que tem 6otermo igual a 3072.

Solução.

Sabemos que

a3 = a1 ⋅ r3−1 = a1 ⋅ r2 = 48a6 = a1 ⋅ r6−1 = a1 ⋅ r5 = 3072

Dividindo o sexto termo pelo terceiro, obtemos

a1 ⋅ r5

a1 ⋅ r2 = 307248

Cálculo de a6a3

.

r3 = 64 Simplificação da equação.

r = 3√

64 Extração da raiz cúbica.

r = 4 Simplificação do resultado.

Lembrando que a3 = 48, temos

a1 ⋅ 42 = 48 ⇒ a1 =4816

= 3.

Logo, an = 3 ⋅ 4n−1.Agora, tente o exercício 4.


Problema 5. Gráfico de um progressão geométrica

Uma entidade ambientalista vem registrando o declínio acentuado da população dejacarés-de-papo-amarelo em uma região sujeita a desmatamento intensivo. Segundoa entidade, a espécie contava com 1200 jacarés no primeiro ano de acompanhamentoe, desde então, tem sofrido uma redução de 20% dos animais a cada ano.

Trace um gráfico que mostre o tamanho da população em função do ano de mo-nitoramento da espécie, supondo que não haja qualquer ação para conter diminuiçãodo número de jacarés.

Solução.

Tabela 6.1

i ai

1 12002 9603 7684 6145 4926 3937 3158 2529 20110 161

Se o número de jacarés cai 20% a cada ano, então a população no ano i, denomi-nada ai, pode ser definida por

ai = ai−1 − 0,2ai−1 ⇒ ai = 0,8ai−1.

Logo, temos uma progressão geométrica de razão r = 0,8 e termo inicial a1 = 1200. Otermo geral dessa progressão é

ai = 1200 ⋅ 0,8i−1.

Os valores aproximados dos dez primeiros termos da sequência são dados na Tabela6.1. Com base nesses pontos, traçamos o gráfico mostrado na Figura 6.12.

Figura 6.12: ai = 1200 ⋅ 0,8i−1.


Problema 6. Interpolação geométrica

Insira 5 números reais entre 7 e 28.672 de modo a obter uma progressão geométrica.

Solução.

Nesse problema, temos uma progressão com sete termos, dos quais o primeiro eo último são dados, e os cinco intermediários são desconhecidos. Logo, a progressãogeométrica é

7®a1

, a2, a3, a4, a5, a6, 28672²a7

.

À semelhança do que foi feito no Problema 4, encontramos a razão da sequênciadividindo a7 por a1:

an = a1 ⋅ rn−1 a1 ⋅ r6

a1= 28672

7⇒ r6 = 4096 ⇒ r = 6√4096 = 4.

Assim, os temos desejados são

a2 = a1 ⋅ r = 7 ⋅ 4 = 28,a3 = a2 ⋅ r = 28 ⋅ 4 = 112,a4 = a3 ⋅ r = 112 ⋅ 4 = 448,a5 = a4 ⋅ r = 448 ⋅ 4 = 1792,a6 = a5 ⋅ r = 1792 ⋅ 4 = 7168.



Problema 7. Floco de neve

Para construir uma curva “floco de neve”, divide-se um segmento de reta em trêspartes iguais (Figura 6.13a). Em seguida, o segmento central sofre uma rotação eacrescenta-se um novo segmento de mesmo comprimento dos demais, como o queaparece tracejado na Figura 6.13b. Nas etapas seguintes, o mesmo procedimento éaplicado a cada segmento da linha poligonal, como está ilustrado nas Figuras 6.13c e6.13d.

Sabendo que o segmento inicial mede 1 cm, determine o comprimento da curvaobtida na décima figura.

(a) (b)

(c) (d)

Figura 6.13: Etapas da criação de uma curva “floco de neve”.

Solução.

A Figura 6.13 mostra uma sequência de curvas formadas por segmentos de reta.Para facilitar a nossa análise, denominaremos ai o comprimento da i-ésima curva, demodo que a1 = 1 cm é o comprimento da primeira curva da sequência.

Entre a primeira curva e a segunda, o número de segmentos cresce, passando de 1a 4. Por outro lado, o comprimento de cada segmento é reduzido a 1

3 do comprimentooriginal. Dessa forma,

a2 = 4¯Número desegmentos

⋅ (a1

3)

²Comprimentodo segmento

= a1 ⋅43.

Para a construção da terceira curva, o número de segmentos é novamente multi-plicado por quatro, dividindo-se, em contrapartida, cada trecho por três. Logo,

a3 = 4 ⋅ 4°

Número desegmentos

⋅ (a1

3⋅ 13)

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶Comprimentodo segmento

= a1 ⋅42

32 .

Seguindo o mesmo procedimento de multiplicação do número de segmentos porquatro e de divisão de cada segmento em três, obtemos o comprimento da quartafigura, que é dado por

a4 = 4 ⋅ 4 ⋅ 4´¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¶

Número desegmentos

⋅ (a1

3⋅ 13⋅ 13)

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶Comprimentodo segmento

= a1 ⋅43

33 .


Note que cada termo é obtido multiplicando-se o anterior por 43 , de modo que a1,

a2, a3 e a4 formam uma progressão geométrica de razão 43 e termo inicial a1 = 1 cm.

Portanto, o comprimento da curva da enésima figura é igual a

an = a1 ⋅ rn−1 = (43)n−1

cm,

e a curva da décima figura mede

a10 = (43)

9≈ 13,3 cm.


Problema 8. Progressão envolvendo uma variável

Seja dada a progressão geométrica

x + 3, x + 8, x + 14, . . .

Determine o termo geral da sequência.

Solução.

Para determinar o valor do termo inicial, a1, e a razão, r, da sequência, devemoslembrar que

r = a2

a1= a3

a2.

Logo,

x + 8x + 3

= x + 14x + 8

Equação a2a1

= a3a2

.

(x + 3)(x + 14) = (x + 8)2 Produto cruzado.

x2 + 17x + 42 = x2 + 16x + 64 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

x = 22 Simplificação do resultado.

Agora que dispomos do valor de x, podemos calcular

r = a2

a1= x + 8x + 3

= 22 + 822 + 3

= 3025

= 65

ea1 = x + 3 = 22 + 3 = 25.

Portanto, an = 25 ⋅ ( 65)n−1.


∎ Soma dos termos de uma progressão geométricaAssim como ocorre com as progressões aritméticas, é útil conhecer uma fórmula paraa soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica, pois isso evita quetenhamos que efetuar a soma termo a termo.

Vamos tentar encontrar essa fórmula escrevendo, primeiramente, a soma – quedenominamos Sn – na notação usual das progressões geométricas:

Sn = a1 + a1 ⋅ r + a1 ⋅ r2 + a1 ⋅ r3 +⋯ + a1 ⋅ rn−2 + a1 ⋅ rn−1.


Agora, vamos usar um artifício que consiste em definir o produto

Sn ⋅ r = a1 ⋅ r + a1 ⋅ r2 + a1 ⋅ r3 + a1 ⋅ r4 +⋯ + a1 ⋅ rn−1 + a1 ⋅ rn

e, em seguida, calcular Sn ⋅ r − Sn:

Sn ⋅ r = a1 ⋅ r + a1 ⋅ r2 + . . . + a1 ⋅ rn−2 + a1 ⋅ rn−1 + a1 ⋅ rn

− Sn = − a1 − a1 ⋅ r − a1 ⋅ r2 − . . . − a1 ⋅ rn−2 − a1 ⋅ rn−1

Sn ⋅ r − Sn = − a1 + a1 ⋅ rn

Com esse truque, eliminamos todos os termos do lado direito, exceto dois, de modoque

Sn ⋅ r − Sn = a1 ⋅ rn − a1 ⇒ Sn(r − 1) = a1(rn − 1) ⇒ Sn =a1(rn − 1)r − 1

.

O quadro abaixo resume esse resultado, além de apresentar uma fórmula equiva-lente para Sn, levando em conta que an = a1 ⋅ rn−1.

Soma dos termos de uma progressão geométricaA soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica de termo geralai = a1 ⋅ ri−1 é

Sn =a1(rn − 1)r − 1

ou Sn =anr − a1

r − 1.

Exemplo 1. Soma dos salários anuais

No Problema 1, o salário que um funcionário recebia no enésimo ano de trabalhona empresa era dado por

an = 40000 ⋅ 1,03n−1.

Observando que, nessa fórmula, a1 = 40000 e r = 1,03, concluímos que, em seus 20primeiros anos de empresa, um funcionário recebe um total de

S20 =a1(rn − 1)r − 1

= 40000(1,0320 − 1)1,03 − 1

≈ R$ 1.074.814,98.


Problema 9. “Corrente” de mensagens

Bernardo deu início a uma “corrente” de e-mail, enviando uma mensagem a 5colegas, e pedindo que cada um a enviasse a 5 pessoas diferentes, e que esse procedi-mento fosse repetido ad aeternum. Supondo que nenhum destinatário tenha recebidoa mensagem mais de uma vez,

a) determine quantas pessoas receberam a mensagem na enésima geração da corrente;

b) determine o número total de pessoas que receberam a mensagem até a sexta gera-ção da corrente;

c) determine quantas gerações seriam necessárias para que a mensagem atingisse aomenos um milhão de pessoas.


Solução.

a) Como cinco pessoas receberam a mensagem original de Bernardo, temos a1 = 5.Além disso, a cada geração, o número de destinatários da mensagem foi multipli-cado por 5, de modo que r = 5. Usando essas informações, concluímos que, naenésima geração da corrente, a mensagem atingiu

Também podemos escrever an = 5n. an = 5 ⋅ 5n−1 destinatários.

b) Somando todos aqueles que receberam a mensagem da primeira à sexta geraçãoda corrente, obtemos

S6 =5(56 − 1)

5 − 1= 5 ⋅ 15624

4= 19530 pessoas.

c) Para descobrir em que geração a corrente atinge ao menos um milhão de internau-tas, vamos resolver a equação Sn = 1.000.000. Usando, então, nossos conhecimentossobre equações exponenciais, escrevemos

5(5n − 1)5 − 1

= 1000000 Equação original

5n − 1 = 800000 Multiplicando por 4/5

5n = 800001 Isolando a potência

log(5n) = log(800001) Aplicando o logaritmo

n log(5) = log(800001) Propriedade 7 do logaritmo

n = log(800001)/ log(5) Isolando n

n = 8,445 Fazendo as contas

Como n deve ser um número inteiro maior ou igual a 8,445, concluímos que, se acorrente chegar à 9a geração, mais de 1.000.000 pessoas terão recebido o e-mail.


∎ SériesComo boa parte das sequências e progressões com as quais se lida em matemática sãoinfinitas, imagino que o leitor já tenha se perguntado se é possível calcular a somanão dos n primeiros termos, mas de todos os infinitos termos de uma sequência.

Naturalmente, não seríamos capazes de somar os termos um a um, já isso con-sumiria um tempo infinito. Entretanto, curiosamente, há sequências infinitas cujosomatório é um número real finito. Por conta desses casos interessantes, os matemá-ticos decidiram batizar a soma de sequências infinitas com o nome de série.

SérieDada a sequência infinita a1, a2, a3, . . . , ai, . . ., denominamos série infinita –ou simplesmente série – a soma de todo os seus termos, ou seja,

a1 + a2 + a3 +⋯ + ai +⋯ =∞∑i=1ai.


Série (cont.)Além disso, à soma dos n primeiros termos de uma sequência, isto é,

a1 + a2 + a3 +⋯ + an =n

∑i=1ai,

damos o nome de enésima soma parcial.

Exemplo 2. Séries

a) Considere a sequência

0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001; 0,000001; 0,0000001; ⋯

que é equivalente a110,

1100

,1

1000,

110000

,1

100000,

11000000

, ⋯

Notando que essa lista pode ser reescrita como

( 110

)1, ( 1

10)

2, ( 1

10)

3, ( 1

10)

4, ( 1

10)

5, ( 1

10)

6, ⋯

concluímos que o termo geral da sequência é

an = ( 110

)n

.

Somando, então, os infinitos termos da sequência, obtemos a série∞∑n=1

( 110

)n

.

Para verificar se essa série fornece um número real finito, vamos calcular as somasDizer que o resultado é finito é omesmo que afirmar que o valor do so-matório não cresce ou decresce ilimi-tadamente, ou seja, não vai para +∞ou −∞.

parciais passo a passo, observando o que acontece à medida que incluímos um novotermo:

2∑n=1

( 110

)n

= 0,1 + 0,01 = 0,11

3∑n=1

( 110

)n

= 0,1 + 0,01 + 0,001 = 0,111

4∑n=1

( 110

)n

= 0,1 + 0,01 + 0,001 + 0,0001 = 0,1111

5∑n=1

( 110

)n

= 0,1 + 0,01 + 0,001 + 0,0001 + 0,00001 = 0,11111

6∑n=1

( 110

)n

= 0,1 + 0,01 + 0,001 + 0,0001 + 0,00001 + 0,00001 = 0,111111

A sequência de somas acima indica que a adição de um novo termo provoca ainclusão do algarismo 1 à direita do número na forma decimal. Desse modo,somando todos os termos obtemos o número real finito 0,1111111111 . . ., no qualas reticências indicam a existência de infinitos algarismos à direita da vírgula.Lembrando, então, que 0,11111 . . . é a forma decimal do número 1/9, concluímosque

∞∑n=1

( 110

)n

= 19.


b) Como um segundo exemplo, tentaremos somar os termos da sequência

10!,

11!,

12!,

13!,

14!,

15!,

16!,

17!,

18!,

19!, ⋯

cujo termo geral éan =

1n!.

Nesse caso, escrevendo explicitamente os dez primeiros termos do somatório, ob-temos

∞∑n=0

1n!

= 11+ 1

1+ 1

2+ 1

6+ 1

24+ 1

120+ 1

720+ 1

5040+ 1

40320+ 1

362880+⋯

= 2,718281 . . .

Se continuássemos a somar os termos dessa sequência infinita, notaríamos que ovalor obtido se aproxima do número irracional

e ≈ 2,71828182845904523536028747135266249775724709369996...

conhecido como número de Euler. Como vimos nas Seções 5.2 e 5.3, essa constantereal é usada para definir funções exponenciais, além de ser empregada na definiçãodo logaritmo natural. Agora, você já sabe que é possível definir o número de Eulercomo

e =∞∑n=0

1n!.

Você sabia?Apesar de Leonhard Euler tersido o primeiro matemático aempregar a letra e para repre-sentar esse número, no século18, ele já havia sido usado,embora de forma indireta, porJohn Neper no século anterior.Por esse motivo, o número etambém é chamado de cons-tante de Neper.

∎ Séries geométricasConsidere a progressão geométrica definida por

an = (12)n−1

,

na qual temos a1 = 1 e r = 1/2. Calculando a soma dos 5, 10 e 20 primeiros termosdessa progressão, obtemos

Sn = a1(rn − 1)r − 1

= a1(1 − rn)1 − r S5 =

1(1 − 0,55)1 − 0,5

= 1 − 0,031250,5

= 1,9375

S10 =1(1 − 0,510)

1 − 0,5= 1 − 0,0009765625

0,5= 1,998046875

S20 =1(1 − 0,520)

1 − 0,5= 1 − 0,00000095367431640625

0,5= 1,9999980926513671875

Note que o resultado se aproxima de 2 à medida que incluímos termos no soma-tório. De fato, somando os infinitos termos, obtemos

∞∑n=1

(12)n−1

= 2.

Dizemos, então, que a soma converge para 2. Se, por outro lado, a soma não seaproximasse de um número finito, diríamos que ela diverge.

A soma dos termos de uma progressão geométrica infinita é chamada série geo-métrica. A convergência de uma série geométrica ocorre sempre que ∣r∣ < 1, já que,nesse caso, o valor de rn se torna arbitrariamente próximo de zero quando n→∞.


Série geométricaSeja dada a série geométrica

∞∑n=1

a1rn−1 = a1 + a1r + a1r

2 + a1r3 + a1r

4 +⋯

Se ∣r∣ < 1, a série converge para

S = a1

1 − r .

Por outro lado, se ∣r∣ ≥ 1, a série diverge.

Problema 10. Cálculo de séries geométricas

Calcule as séries geométricas abaixo, caso sejam convergentes.

a)∞∑n=1

1 + 13+ 1

9+ 1

27+⋯ b)

∞∑n=1

6(−15)n−1

c)∞∑n=1

14(4

3)n

Solução.

a) Essa é a série associada à progressão geométrica de termo geral

an = 1 ⋅ (13)n−1

,

na qual a1 = 1 e r = 13 . Uma vez que ∣ 13 ∣ < 1, a série é convergente, e seu valor é

dado porS = 1

1 − 1/3 = 12/3 = 3

2.

b) Nesse caso, temos a1 = 6 e r = − 15 . Como ∣ − 1

5 ∣ < 1, a série é convergente. Alémdisso,

S = 61 − (−1/5) = 6

6/5 = 6 ⋅ 56= 5.

c) Essa série geométrica tem a1 = 14 e r = 4

3 . Como ∣ 43 ∣ > 1, a série diverge, ou seja,não possui um valor real finito.


Muitos números racionais, quando expressos na forma decimal, apresentam depoisda vírgula um grupo de algarismos que se repete indefinidamente, como mostrado noproblema abaixo. Nesse caso, dizemos que o número é uma dízima periódica, epodemos usar séries para convertê-lo à forma fracionária.

Problema 11. Dízima periódica

Converta em fração as dízimas periódicas abaixo.

a) 0,777777 . . . b) 0,0454545 . . . c) 1,5181818 . . .


Solução.

a) Notamos que

0,777777 . . . = 0,7 + 0,07 + 0,007 + 0,0007 + 0,00007 + . . .

= 710

+ 7100

+ 71000

+ 710000

+ 7100000

+ . . .

= 710

+ 710

( 110

)1+ 7

10( 1

10)

2+ 7

10( 1

10)

3+ 7

10( 1

10)

4+ . . .

=∞∑n=1

710

( 110

)n−1

.

Temos, portanto, uma série com termo inicial e razão dados por

a1 =710

e r = 110.

Como ∣r∣ < 1, a série é convergente e vale

S = 7/101 − 1/10

= 7/109/10

= 710

⋅ 109

= 79.

Logo, 0,777777 . . . = 79.

b) Nesse caso, temos

0,0454545 . . . = 0,045 + 0,00045 + 0,0000045 + . . .

= 451000

+ 45100000

+ 4510000000

+ . . .

= 451000

+ 451000

( 1100

)1+ 45

1000( 1

100)

2+ . . .

=∞∑n=1

451000

( 1100

)n−1

.

Essa série tem a1 = 45/1000 e r = 1/100, sendo também convergente. Assim, aforma fracionária da dízima é

S = 45/10001 − 1/100

= 45/100099/100

= 451000

⋅ 10099

= 45990

= 122.

c) Nesse exemplo, é preciso separar a parte do número que é periódica daquela quenão se repete. Assim, escrevemos

1,5181818 . . . = 1,5 + 0,0181818 . . . .

Deixando de lado temporariamente a parte que não se repete, convertemos a parteperiódica na notação de somatório aplicando a mesma estratégia apresentada noitem anterior:


0,0181818 . . . = 0,018 + 0,00018 + 0,0000018 + . . .

= 181000

+ 18100000

+ 1810000000

+ . . .

= 181000

+ 181000

( 1100

)1+ 18

1000( 1

100)

2+ . . .

=∞∑n=1

181000

( 1100

)n−1

.

Observando que essa série tem a1 = 18/1000 e r = 1/100, obtemos

S = 18/10001 − 1/100

= 18/100099/100

= 181000

⋅ 10099

= 18990

= 155.

Finalmente, somando essa fração à parte não periódica do número, concluímos que

0,0181818 . . . = 1,5 + 155

= 1510

+ 155

= 165 + 2110

= 167110

.


Exercícios 6.41. Para cada item abaixo, escreva os quatro primeiros ter-

mos e o termo geral da progressão geométrica cujo pri-meiro termo e cuja razão são dados.

a) a1 = 3, r = 4b) a1 = 2, r = −3

c) a1 = −1, r = 1/2d) a1 = 3, r =

√2

2. Indique quais sequências abaixo são progressões geo-métricas. Para as que forem progressões geométricas,encontre a razão.a) 3, 9, 27, 81, . . .b) 3, 6, 12, 24, 48, . . .c) a, a2, a3, a4, . . .

d) a2, a4, a8, a16, . . .

e) −2a, 2a3, − 2a5, 2a7, . . .

f) 13 ,

16 ,

19 ,

112 , . . .

3. Em cada item abaixo, são dados os primeiros termosde uma progressão geométrica. Escreva o termo geral edetermine o termo indicado.

a) 32 ,

152 , . . . a7?

b) −4,−12, . . . a5?c) 2, − 2, . . . a100?

d) 10, 5, . . . a10?e) 3

2 , − 1, . . . a8?f)

√6, 3

√2, . . . a6?

4. Em cada item abaixo são dados dois termos de uma pro-gressão geométrica. Escreva o termo geral e determineo termo indicado.

a) a2 = 12, a3 = 36, . . . a10?b) a2 = 1, a4 = 25, . . . a7?c) a1 = 2, a4 = − 1

4 , . . . a10?d) a3 = 5

9 , a5 = 581 , . . . a8?

5. Insira 5 termos reais entre 5 e 625 de modo a obter umaprogressão geométrica crescente.

6. Insira 4 termos reais entre 6 e 1458 de modo a obteruma progressão geométrica.

7. Sabendo quex, x + 4, x + 12, . . .

é uma progressão geométrica, determine x e o termogeral da sequência.

8. Seja dada a progressão geométrica

x, 3x, 2x − 14, . . .

Determine x e o termo geral da sequência.9. Sabendo que

x + 5, x + 1, x − 2, . . .

é uma progressão geométrica, determine x e o termogeral da sequência.

10. Determine o termo geral de uma progressão geométricadecrescente sabendo que a soma de seus dois primeirostermos é 24 e o produto desses dois termos é 128.

11. Na figura abaixo, o maior quadrado tem lado a, o se-gundo tem lado b = a

√2

2 e o terceiro tem lado c = a2 .

Determine a medida do lado do décimo quadrado.


12. Encontre os seis primeiros termos e esboce o gráfico dasprogressões geométricas cujos termos gerais são dadosabaixo.

a) an = 3 ⋅ 2n−1

b) an = −3 ⋅ 2n−1

c) an = 3 ⋅ (−2)n−1

d) an = 3 ⋅ ( 12)n−1

13. Calcule a soma dos 10 primeiros termos das progressõesdo Exercício 1

14. Calcule a soma dos primeiros 6 termos das progressõesgeométricas do Exercício 3.

15. Calcule a soma dos primeiros 10 e dos primeiros 20 ter-mos da sequência 1, 1

2 ,14 ,

18 , . . . O que você acha que

acontecerá se somarmos um número cada vez maior determos dessa progressão?

16. Determine o valor de n tal que a soma dos termos daprogressão geométrica

5,15,45, . . .

seja igual a 16400.17. Sabendo que a soma dos 10 primeiros termos de uma

progressão geométrica de razão 2 é igual a 7161, deter-mine o termo inicial.

18. Neste ano, uma empresa espera registrar um lucro deR$ 1,6 milhões. A empresa também espera que, a cadaano, o lucro aumente 10% com relação ao ano anterior.a) Encontre o termo geral da progressão que repre-

senta o lucro a cada ano, começando pelo ano atual.b) Sem contar o número de casos ano a ano, determine

o lucro acumulado em 10 anos, começando peloano atual.

c) Sem contar o número de casos ano a ano, determineem que ano o lucro anual superará R$ 6 milhões.

19. Por norma, uma folha de papel A4 deve ter 210 mm× 297 mm. Considere que uma folha A4 com 0,1 mmde espessura é seguidamente dobrada ao meio, de formaque a dobra é sempre perpendicular à sua maior dimen-são.a) Escreva a expressão do termo geral da progressão

geométrica que representa a espessura do papel do-brado em função do número, k, de dobras feitas.

b) Considere que, idealmente, o papel dobrado tem oformato de um paralelepípedo. Nesse caso, apósdobrar o papel seis vezes, quais serão as dimensõesdo paralelepípedo?

20. Um capital de R$ 5.000,00 é investido em uma aplica-ção financeira que rende 8,1% ao ano. Considerandoque não foram feitas novas aplicações ou retiradas, de-termine o número inteiro mínimo de anos necessáriospara que o capital aplicado seja maior que o dobro docapital inicial.

21. Uma indústria usa uma máquina nova por 1024 dias.Após esse período, a máquina é reformada e reutili-zada. Entretanto, após cada reforma, a máquina só éusada por metade do tempo de uso anterior. Ou seja,antes da primeira reforma, ele é usada por 1024 dias.Antes da segunda reforma, ela é usada por 512 dias.Antes da terceira reforma seu tempo de uso cai para256 dias, e assim por diante.a) Escreva o termo geral, an, da progressão que for-

nece o tempo de uso da máquina antes de cadareforma.

b) A máquina é descartada sempre que o tempo deuso após uma reforma é menor ou igual a 32 dias.Usando a resposta do item (a), determine quantasreformas ela sofrerá até deixar de ser usada.

22. A progressista cidade de Chopotó da Serra conta hojecom 15000 habitantes. Previsões estatísticas indicamque a população da cidade crescerá a uma taxa de 3%ao ano nos próximos anos.a) Escreva a expressão do termo geral da progressão

que fornece o número de habitantes da cidade emrelação a n, o número de anos decorridos a partirde hoje.

b) Sem calcular a população ano a ano, determine apopulação daqui a 10 anos.

c) Sem calcular a população ano a ano, determine emquantos anos a população da cidade será 50% maiorque a atual.

23. Uma empresa pretende contratar técnicos, pagando umsalário inicial de R$ 5.000,00 por mês. Dentre os be-nefícios oferecidos pela empresa, há uma promessa deaumento real de 2% ao ano. Com base nesses dados, edescontando a inflação,a) Escreva a fórmula de an, o termo geral da progres-

são que fornece o salário mensal do técnico após nanos.

b) Determine com quantos anos de serviço o técnicopassará a receber cerca de o dobro de seu salárioinicial.

24. Recém contratado, João recebe um salário mensal deR$ 3000,00. Na empresa de João, todo empregado ga-nha um aumento de 5% a cada 5 anos de trabalho. SeJoão permanecer no mesmo posto nessa empresa, qualdeverá ser seu salário daqui a 30 anos, desprezando ainflação?


25. Uma bola pula-pula foi largada de uma altura de 1,75m. Depois de bater no chão, a bola voltou a subir,atingindo 1,4 m. Esse processo se repetiu várias vezese, em todas elas, a bola subiu apenas 80% da alturaalcançada após a “quicada” anterior.a) Escreva a fórmula de ak, o termo geral da progres-

são que representa a altura alcançada pela bola de-pois de bater k vezes no chão.

b) Determine a altura alcançada pela bola após 20batidas no chão, sem calcular a altura após cada“quicada”.

26. A cidade de Quiproquó vive uma epidemia de dengue,tendo sido registrados 1.000 casos da doença na pre-sente semana. Em decorrência das medidas de com-bate à doença, o prefeito da cidade espera que, a cadasemana, o número de novos infectados seja reduzido a2/3 do número de casos novos registrados na semanaanterior.a) Escreva o termo geral da progressão que fornece o

número aproximado de novas infecções por semana,a partir da semana atual.

b) Determine em que semana, contada a partir daatual, o número de casos novos da doença será re-duzido a menos de 10.

c) Determine o número total (aproximado) de infec-tados entre a semana atual e a primeira na qualteremos menos de 10 casos novos da doença, deter-minada no item (b).

27. Uma reserva florestal possui 100 micos. Em virtude daspolíticas de conservação do local, estima-se que, a cadaano, essa população irá crescer 5%.a) Escreva o termo geral da progressão que fornece o

tamanho da população de micos no ano i, supondoque, no ano corrente, tenhamos i=1.

b) Determine a população de micos daqui a 10 anos.c) Determine em que ano a população de micos atin-

girá 1000 animais.28. Em seu primeiro ano de funcionamento, uma empresa

aérea transportou 200 mil passageiros. Desde então, acada ano, o número de passageiros transportados temsido 12% maior que a quantidade do ano anterior.a) Escreva o termo geral da progressão que fornece o

número de passageiros transportados pela empresano ano i, supondo que i = 1 no primeiro ano.

b) Sem calcular o número de passageiros transporta-dos ano a ano, determine quantos passageiros via-jarão pela empresa em seu vigésimo ano de funcio-namento.

c) Determine quantos passageiros a empresa transpor-tará nos seus primeiros 20 anos de funcionamento.

29. O valor presente, Vp, de uma parcela de um financi-amento, a ser paga daqui a n meses é dado pela fór-mula abaixo, em que r é o percentual mensal de juros(0 ≤ r ≤ 100) e p é o valor da parcela.

Vp =p

[1 + r100]

n

a) Suponha que uma mercadoria seja vendida em duasparcelas iguais de R$ 200,00, uma a ser paga àvista, e outra a ser paga em 30 dias (ou seja, 1mês). Calcule o valor presente da mercadoria, Vp,supondo uma taxa de juros de 1% ao mês.

b) Imagine que outra mercadoria, de preço 2p, sejavendida em duas parcelas iguais a p, sem entrada,com o primeiro pagamento em 30 dias (ou seja, 1mês) e o segundo em 60 dias (ou 2 meses). Su-pondo, novamente, que a taxa mensal de juros sejaigual a 1%, determine o valor presente da merca-doria, Vp, e o percentual mínimo de desconto quea loja deve dar para que seja vantajoso, para o cli-ente, comprar à vista.

30. Calcule as séries geométricas abaixo, caso sejam con-vergentes.

a) ∑∞n=1

32 ( 1

4)n−1

b) ∑∞n=1 9 (− 1

2)n−1

c) ∑∞n=1 3 (− 6

5)n−1

d) ∑∞n=1 7 (− 3

4)n−1

e) ∑∞n=1 −2 ( 7

10)n−1

f) ∑∞n=1 5 ( 2√

2)n−1

31. Calcule as séries geométricas abaixo.a) 1 + 8

9 +6481 +

512729 + . . .

b) 3 + 2 + 43 +

89 + . . .

c) 2 +√

2 + 1 + 1√2 + . . .

32. Converta em fração as dízimas periódicas abaixo.

a) 0,022222222222 . . .b) 0,351351351351 . . .

c) 0,022727272727 . . .d) 2,166666666666 . . .

Respostas dos Exercícios 6.41. a) 3, 12, 48, 192

b) 2, ?6, 18, ?54c) −1, −1/2, −1/4, −1/8d) 3, 3

√2, 6, 6

√2

2. a) É uma p.g. de razão 3b) É uma p.g. de razão 2c) É uma p.g. de razão ad) Não é uma p.ge) É uma p.g. de razão −a2

f) Não é uma p.g

3. a) an = 32 ⋅ 5n−1, a7 = 46875

2

b) an = −4 ⋅ 3n−1, a5 = −324c) an = 2 ⋅ (−1)n−1, a100 = −2d) an = 10 ⋅ ( 1

2 )n−1, a10 = 10

1024 = 5512

e) an = 32 (− 2

3 )n−1, a8 = − 64

729

f) an =√

6 (√

3)n−1, a6 = 27

√2

4. a) an = 4 ⋅ 3n−1, a10 = 78732b) an = ( 1

5 )5n−1, a7 = 3125

c) an = 2 (− 12 )n−1

, a10 = − 1256

d) an = 5 ( 13 )n−1

, a8 = 52187

5. 5,5√

5,25,25√

5,125,125√

5,6256. 6,18,54,162,486,14587. x = 4, an = 4 ⋅ 2n−1

8. x = −2, an = −2 ⋅ 3n−1

9. x = 11, an = 16 ( 34 )n−1

10. an = 16 ( 12 )n−1

11.√

2/16


12. a)

b)

c)

d)

13. a) S10 = 1048575b) S10 = −29524c) S10 = 1023

512

d) S10 = 93 + 93√

214. a) S6 = 5859

b) S6 = −1456c) S6 = 0d) S6 = 315

16 = 19,6875e) S6 = 133

162 = 0,820988f) S6 ≈ 86,9977

15. S10 = 1,9980469, S10 = 1,9999981. Se so-marmos mais termos, obteremos um valorcada vez mais próximo de 2.

16. n = 817. a1 = 718. a) an = 1,6 ⋅ 1,1n−1

b) Cerca de R$ 25,5 milhõesc) Daqui a 15 anos

19. a) an = 0,1 ⋅ 2n

b) 37,125 mm, 26,25 mm e 6,4 mm20. 9 anos

21. a) an = 1024 ( 12 )n

b) 5 reformas

22. a) an = 15000 ⋅ 1,03n

b) a10 = 20159 habitantesc) Em pouco mais de 13 anos

23. a) an = 5000 ⋅ 1,02n−1

b) Em 36 anos

24. R$ 4020,29

25. a) ak = 1,4 ⋅ 0,8k−1

b) 2 cm

26. a) ai = 1000 ( 23 )i−1

b) 13a semanac) 2988 pessoas

27. a) ai = 100 ⋅ 1,05i−1

b) 155 micosc) Em 48 anos

28. a) 200000 ⋅ 1,12i−1

b) 1.722.500 passageirosc) 14.410.488 passageiros

29. a) R$ 398,02b) O desconto não deve ser inferior a

1,5%

30. a) 2b) 6c) Diverge

d) 4e) − 20

3f) Diverge

31. a) 9 b) 9 c) 4+2√

2

32. a) 145 b) 13

37 c) 144 d) 13

6

6.5 Aplicações financeiras

Quando investimos em uma aplicação financeira ou deixamos de pagar em dia umaconta, por exemplo, estamos sujeitos a uma taxa de juros. O que difere as aplicaçõesHá que se mencionar, também, que

as taxas de juros que pagamos pornossas dívidas são muito maiores queas taxas de retorno que recebemosquando aplicamos dinheiro.

das dívidas é o fato de o nosso patrimônio aumentar no primeiro caso e diminuir nosegundo. O cálculo de dívidas e rendimentos financeiros sujeitos a juros é uma dasaplicações mais interessantes das progressões geométricas.

Para introduzir o assunto, vamos supor que tenhamos esquecido de pagar umaconta de R$ 200,00, e que a taxa de juros mensal seja de 4%. Nesse caso, após ummês, nossa dívida aumenta em 0,04 ⋅ 200 = 8 reais, de modo que passamos a deverR$ 208,00.

E o que acontece se deixamos de pagar a conta por mais um mês, será que ela sobeos mesmos R$ 8,00? Definitivamente, não. Nesse caso, os juros não incidem apenassobre o valor original da dívida (R$ 200,00), e sim sobre o valor corrigido, ou seja,sobre R$ 208,00.

Essa incidência de juros sobre juros dá origem ao que chamamos de juros compos-tos, que é a forma predominante de aplicação de juros no Brasil. Nessa seção, veremosvárias situações práticas em que estamos sujeitos a juros compostos. Nosso objetivoserá aplicar os conhecimentos sobre progressões geométricas adquiridos na Seção 6.4à resolução de problemas financeiros, adaptando as fórmulas já vistas quando neces-sário.

Nos exemplos apresentados abaixo, vamos considerar que as dívidas e o rendimentodas aplicações financeiras são atualizados mensalmente. Isso não quer dizer que osmesmos conceitos não possam ser aplicados a situações práticas nas quais a variaçãodo crédito ou débito ocorra diariamente, por exemplo. Optamos pela correção mensal

Seção 6.5. Aplicações financeiras 493

apenas porque ela é comumente encontrada nas propagandas e nas notícias de jornaise revistas.

Apesar de a taxa de juros ser geralmente fornecida em porcentagem, é mais fáciltrabalhar com seu valor na forma decimal. Sendo assim, é bom lembrar que uma taxade p porcento pode ser representada por

p% ou p

100ou 0,01 p.

Se quisermos, por exemplo, representar uma taxa de 6% na forma decimal, escre-vemos

6100

= 0,01 ⋅ 6 = 0,06.

∎ Valor futuroQuando depositamos dinheiro em um aplicação financeira – uma caderneta de pou-pança, por exemplo – e mantemos o dinheiro aplicado por vários meses, sem resgatesou novas aplicações, o valor total disponível ao final do período pode ser calculadousando juros compostos. O mesmo acontece quando deixamos de pagar uma contadentro do prazo de vencimento, ou quando tomamos um empréstimo bancário (mesmoque seja através do sistema de cheque especial). Usemos, então, um pequeno exemplopara destacar a ideia por trás dos juros compostos.

Problema 1. Aplicando em um fundo de investimento

Vamos supor que Joaquim tenha acabado de aplicar R$ 500,00 em um fundo deinvestimento que rende 1% ao mês. Quanto dinheiro Joaquim terá daqui a seis meses,se não resgatar parte do investimento ou aplicar qualquer valor adicional?

Solução.

Os R$ 500,00 que Joaquim aplicou hoje são o que chamamos de valor presente doinvestimento, que doravante representaremos abreviadamente por Vp.

Se a aplicação financeira tem uma taxa de retorno de 1%, ou seja, de 0,01 ao mês,ao final de um mês, Joaquim terá

R$ 500,00´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

Vp

+ 0,01 ⋅R$ 500,00´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

rendimento

= R$ 505,00´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

V1

Passado mais um mês, o rendimento de Joaquim não será calculado sobre osR$ 500,00 iniciais (Vp), mas sobre o valor atualizado, V1. Assim, ao final do segundomês, ele terá

R$ 505,00´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

V1

+ 0,01 ⋅R$ 505,00´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

rendimento

= R$ 510,05´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

V2

Pondo em evidência o valor disponível no início de cada mês, obtemos

V1 = Vp + 0,01Vp = Vp ⋅ (1 + 0,01) = 500,00 ⋅ 1,01;

V2 = V1 + 0,01V1 = V1 ⋅ (1 + 0,01) = 505,00 ⋅ 1,01.

Substituindo, agora, o valor de V1 obtido na primeira equação, podemos reescrever aúltima equação como

V2 = V1 ⋅ (1 + 0,01) = Vp ⋅ (1 + 0,01)2 = 500 ⋅ 1,012.


Estendendo esse raciocínio para os meses seguintes, obtemos

V3 = Vp ⋅ (1 + 0,01)3 = 500,00 ⋅ 1,013 ≈ 515,15.

V4 = Vp ⋅ (1 + 0,01)4 = 500,00 ⋅ 1,014 ≈ 520,30.

V5 = Vp ⋅ (1 + 0,01)5 = 500,00 ⋅ 1,015 ≈ 525,51.

V6 = Vp ⋅ (1 + 0,01)6 = 500,00 ⋅ 1,016 ≈ 530,76.

Assim, após 6 meses, Joaquim terá R$ 530,76.

Podemos generalizar a ideia apresentada nesse exercício para qualquer investi-mento feito por um período n, a uma taxa de juros r, como mostra o quadro abaixo.

Lembrando que a fórmula do termogeral de uma progressão geométrica éan = a1q

n−1, observamos que Vf podeser obtido a partir de an, definindo-seq = (1 + r) e a1 = Vp(1 + r).

Valor futuroSe Vp é o valor inicial de um investimento (ou de uma dívida) que crescemensalmente a uma taxa r, então, ao final de n meses, o valor investido (ou adívida) será igual a

Vf = Vp(1 + r)n.

No Problema 1, há uma diferença de apenas R$ 0,76 entre o valor encontrado eaquele que seria obtido somando simplesmente R$ 5,00 (ou seja, 1% de R$ 500,00) acada mês. Essa diferença é pequena porque o período de aplicação é curto e a taxade rendimento da aplicação é baixa.

Como veremos no problema a seguir, é mais fácil perceber o efeito dos juroscompostos trabalhando com dívidas, particularmente aquelas contraída através dosistema de cheque especial.

Problema 2. Entrando no cheque especial

Vamos supor que Fernando esteja passando por dificulades financeiras e sua contabancária tenha acabado de ficar negativa em R$ 1.000,00. Para cobrir suas dívidaspessoais, Fernando recorreu ao sistema de cheque especial de seu banco, pelo qualterá que pagar uma taxa de juros de 8% ao mês. Nesse caso, se não tiver como saldarsua dívida, nem mesmo parcialmente, quanto Fernando deverá ao final de 6 meses?

Solução.

Nessa caso, temos r = 8/100 = 0,08. Seguindo o raciocínio do exercício anterior,após seis meses, a dívida de Fernando será igual a

Vf = Vp(1 + 0,08)6 = 1000,00 ⋅ 1,086 ≈ R$ 1.586,87.

Se o banco não corrigisse a dívida usando juros compostos, Fernando teria quepagar, ao final de seis meses, apenas

1000,00 + 1000,00 ⋅ 0,08 ⋅ 6 = 1000,00 + 80 ⋅ 6 = R$ 1480,00.

Assim, a dívida real é R$ 106,87 superior ao valor que seria pago se os juros fossemaplicados apenas sobre valor original da dívida, ou seja, se Fernando pagasse R$ 80,00a cada mês.Agora, tente o exercício 2.


Problema 3. Depreciação

Uma empresa acaba de adquirir uma máquina de R$ 150.000,00. Sabendo que amáquina perde 25% de seu valor a cada ano, determine o quanto a máquina valeráapós 6 anos.

Solução.

Boa parte dos bens que adquirimos sofre uma depreciação, ou seja, uma perda devalor com o tempo. Isso ocorre porque há um desgaste do bem com o uso, além daobsolescência com o passar dos anos. Para calcular o valor de uma máquina levandoem conta sua depreciação, usamos a mesma fórmula do valor futuro, mas adotamosuma taxa r negativa, indicando que há uma desvalorização do bem.

Nesse exemplo, como há uma perda de 25% ao ano, definimos r = −0,25, de modoque o valor da máquina após seis anos é

Vf = 150000(1 − 0,25)6 = 150000 ⋅ 0,756 = R$ 26.696,78.


Como vimos, há três fatores que determinam Vf , o valor futuro de um investi-mento: o valor aplicado, Vp, a taxa de juros, r, e o período da aplicação, n.

Em muitos problemas práticos, entretanto, a taxa de juros informada por umbanco, financeira ou loja não é aquela efetivamente praticada. Essa diferença podedecorrer tanto da variação mensal dos juros (nos casos em que eles não são prefixados),como da existência de taxas de administração e encargos financeiros. No próximoproblema, vamos usar a fórmula do valor futuro para descobrir qual foi o rendimentoreal de uma aplicação.

Problema 4. Descobrindo o rendimento mensal de uma aplicação

Há exatamente um ano, Lucinda investiu dinheiro em uma aplicação na qual osrendimentos eram atualizados mensalmente. Hoje, o montante disponível é 14% maiorque o valor por ela investido. Qual foi a taxa mensal de retorno da aplicação nesseperíodo?

Solução.

Se o investimento cresceu 14%, então

Vf = Vp + ( 14100

)Vp = 1,14Vp.

Igualando essa expressão à fórmula de Vf dada acima, obtemosVp(1 + r)12 = 1,14Vp

(1 + r)12 = 1,1412√

(1 + r)12 = 12√

1,141 + r = 1,011

r = 1,011 − 1 = 0,011

DicaObserve que não é preciso co-nhecer Vp e Vf , mas apenas arelação entre esses valores.

Para encontrar o rendimento percentual, basta multiplicar r por 100. Logo, aSe r = 0,01p, então p = r/0,01 = 100r.aplicação rendeu 0,011 ⋅ 100 = 1,1% ao mês.Agora, tente o exercício 6.


∎ Valor presenteOutra aplicação interessante da fórmula de juros compostos consiste em encontrar ovalor presente, uma vez conhecido o valor futuro.

Podemos obter trivialmente a formula correta do valor presente, bastando paraisso isolar o termo Vp na fórmula do valor futuro, dada acima.

Valor presenteSe Vf é o valor futuro de um investimento que cresce a uma taxa mensal r,então, para alcançá-lo em n meses, é preciso investir, hoje, o correspondente a

Vp = Vf(1 + r)−n.

Problema 5. Investindo para obter um valor no futuro

Quanto devemos investir, hoje, para que o valor aplicado atinja R$5.000,00 daquia cinco anos? Suponha que não faremos novas aplicações ou resgates e que nossofundo de investimento tenha um rendimento de 1,5% ao mês.

Solução.

Observamos, inicialmente, que cinco anos correspondem a 60 meses. Para obterR$ 5.000,00 em 60 meses, aplicando a uma taxa mensal de 1,5/100 = 0,015, é precisoinvestir

Vp = 5000(1 + 0,015)−60 = R$ 2.046,48.

Assim, se fizermos um depósito de R$ 2.046,48, hoje, teremos a quantia desejadadaqui a exatos 5 anos.Agora, tente o exercício 8.

∎ Valor futuro de um investimento constante mensalNo Problema 5, fizemos uma única aplicação de nosso dinheiro para obter um valorno futuro. Naturalmente, essa não é uma atitude corriqueira. Na maioria das vezes,quando queremos juntar dinheiro para efetuar uma compra futura, poupamos umpouquinho a cada mês. Vejamos, então, um exemplo mais realista.

Problema 6. Poupando a mesma quantia por alguns meses

João pretende guardar 100 reais por mês, durante 6 meses seguidos, a partir dehoje. Para aumentar seus rendimentos, o valor poupado nos 5 primeiros meses serádepositado em uma aplicação financeira com taxa de retorno de 1 % ao mês. QuantoJoão terá ao final do período, se não fizer nenhum resgate?

Solução.

João reservará o dinheiro correspondente à primeira das 6 parcelas ainda hoje, erepetirá esse procedimento no mesmo dia do mês, durante os próximos 5 meses. Emlugar de calcular o valor que João terá a cada mês, o que seria muito trabalhoso,vamos determinar o rendimento que cada parcela terá ao final dos seis meses.

A primeira parcela ficará aplicada por 5 meses. Já a segunda renderá apenaspor 4 meses. A terceira será aplicada por três meses, e assim por diante, até que asexta parcela não terá rendimento algum, pois estamos considerando que o períodode aplicação do dinheiro terminará na data em que ela for depositada por João.


Usando, então, a fórmula do valor futuro com Vp = 100 e r = 0,01, e fazendo nFórmula do valor futuro:

Vf = Vp(1 + r)nvariar de 0 a 5, podemos calcular o valor de cada parcela ao final do período:

1a parcela: V1 = 100 ⋅ 1,015 = R$ 105,10.2a parcela: V2 = 100 ⋅ 1,014 = R$ 104,06.3a parcela: V3 = 100 ⋅ 1,013 = R$ 103,03.4a parcela: V4 = 100 ⋅ 1,012 = R$ 102,01.5a parcela: V5 = 100 ⋅ 1,011 = R$ 101,00.6a parcela: V6 = 100 ⋅ 1,010 = R$ 100,00.

Figura 6.14: Valor futuro de cada parcela do Problema 6.

O valor futuro total será igual à soma dos valores futuros das seis parcelas, comomostrado na Figura 6.14. Somando os valores das parcelas na ordem inversa, ou seja,começando em V6 e terminando em V1, obtemos

100 + 100 ⋅ 1,011 + 100 ⋅ 1,012 + 100 ⋅ 1,013 + 100 ⋅ 1,014 + 100 ⋅ 1,015,

que corresponde à soma dos 6 primeiros termos de uma progressão geométrica cujoFórmula da soma dos n primeiros ter-mos de uma progressão geométrica:

Sn = a1(qn − 1)q − 1

,

em que q = 1 + r.

termo inicial é R$ 100,00, e que tem razão q = 1,01. Logo, o valor futuro total é dadopor

Vf =6∑i=1Vi =

100(1,016 − 1)1,01 − 1

≈ R$615,20.

Assim, a poupança de João renderá R$ 15,20 a mais do que ele obteria deixando odinheiro debaixo do colchão.

Generalizando o procedimento adotado no Problema 6, de modo que ele possa seraplicado a qualquer problema, vamos supor que n parcelas de P reais serão deposita-das mensalmente, a partir de hoje, em uma aplicação financeira que rende r ao mês.Nesse caso, se não houver resgate do dinheiro ao longo do período, os valores futuros


das parcelas serão dados por

V1 = P (1 + r)n−1.

V2 = P (1 + r)n−2.

V3 = P (1 + r)n−3.

⋮Vn−1 = P (1 + r)1.

Vn = P.

O valor futuro da soma de todos esses termos pode ser facilmente encontradoempregando-se a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma progressão geomé-trica que começa por P e tem razão r.

A fórmula ao lado pode ser usadapara depósitos com outra periodici-dade (diária, anual etc), contanto quea taxa de juros se refira ao mesmo pe-ríodo.

Valor futuro de depósitos iguais parceladosDepositando mensalmente n parcelas iguais a P em uma aplicação financeiracom taxa de juros mensal igual a r, o valor total disponível no momento dodepósito da última parcela é igual a

Vf = P[(1 + r)n − 1]

r.

Problema 7. Poupando 300 reais por um ano.

Depositando R$ 300,00 no início de cada mês, por um ano – ou seja, fazendo 12depósitos –, em uma aplicação financeira que rende 1,3% ao mês, quanto teremos aofinal do período, se não fizermos resgates?

Solução.

Na calculadora

3 0 0 ( 1 , 0

1 3 yx 1 2 − 1

) ÷ 0 , 0 1 3

=

Nesse problema, temos P = 300 reais, r = 1,3/100 = 0,013 e n = 12 meses. Logo,

Vf = 300[(1 + 0,013)12 − 1]

0,013≈ 3868,89.

Assim, no momento em que depositarmos a 12a parcela, o valor aplicado atingiráR$ 3868,89.


Problema 8. Poupando para comprar um computador

Simone decidiu juntar dinheiro por dois anos para comprar um computador queela estima que custará R$ 2.500,00. Quanto Simone deve depositar mensalmente,sabendo que sua aplicação financeira favorita rende 1,2% ao mês?

Solução.

Nesse problema, conhecemos o valor futuro – Vf = 2500 reais – e queremos de-terminar a parcela mensal P , sabendo que r = 1,2/100 = 0,012 (%) e que n = 24meses. Vamos, então, usar a fórmula do valor futuro apresentada no quadro acima


para montar uma equação em P :

2500 = P [(1 + 0,012)24 − 1]0,012

2500 = 27,6227P

P = 250027,9542

= 90,51.

Portanto, Simone deve poupar R$ 90,51 por mês, nos próximos 2 anos.Agora, tente o exercício 13.

Problema 9. Contando os meses

Carolina decidiu trocar sua máquina de lavar roupas, mas não quer pagar os juroselevados dos crediários de lojas. Tendo escolhido um modelo que custa R$ 2.240,00,ela pretende aplicar R$ 120,00 por mês até juntar o dinheiro necessário para a compra.Sabendo que a aplicação de Carolina rende 1,2% ao mês, determine quanto tempo elaterá que esperar para atingir seu objetivo.

Solução.

O enunciado do problema nos fornece as seguintes informações:

Vf = 2240 reais, P = 120 reais, e r = 1 + 1,2100

= 1,012.

Substituindo esses valores na fórmula apresentada no quadro acima, obtemos

2240 = 120 [(1 + 0,012)n − 1]0,012

Observe que a única variável não definida nessa equação é justamente a nossa incóg-nita, ou seja, o número de meses que Carolina deverá esperar para conseguir adquirira lavadora. Para encontrar o valor de n, isolamos essa variável na equação, conformemostrado a seguir.

2240 = 10000[1,012n − 1] Dividindo 120 por 0,012.

0,224 = 1,012n − 1 Dividindo ambos os lados por 10000.

1,224 = 1,012n Somando 1 a ambos os lados

log(1,224) = log(1,012n) Extraindo o logaritmo dos dois lados.

log(1,224) = n log(1,012) Aplicando uma propriedade dos logaritmos.

log(1,224)log(1,012) = n Dividindo ambos os lados por log(1,012).

n = 16,9445 Invertendo os lados e simplificando o resultado.

Logo, Carolina deverá poupar por 17 meses para poder comprar a máquina delavar nova.Agora, tente o exercício 15.

∎ Valor presente de prestaçõesPara a aquisição de produtos caros, as lojas sempre oferecem duas opções de paga-mento: à vista ou através do crediário. Para descobrir qual dessas essas alternativas


é a mais vantajosa, ou mesmo para comparar os parcelamentos propostos por lojasdistintas, precisamos determinar o valor presente do bem que queremos adquirir.

Vejamos como usar as progressões geométricas para determinar o valor presentede compras parceladas, tanto nos casos em que o primeiro pagamento é feito no atoda compra, como quando a loja tem um plano sem entrada.

Problema 10. Pagando 100 reais por seis meses, com entrada

Uma loja oferece um produto em seis parcelas mensais de R$ 100,00, exigindoque o primeiro pagamento seja feito no ato da compra. Sabendo que a loja trabalhacom uma taxa de juros de 4% ao mês, determine o valor do bem, ou seja, quanto eledeveria custar se o pagamento fosse feito à vista.

Solução.

Apesar de a loja oferecer o produto em seis parcelas de R$ 100,00, seu valor àvista não é igual a 5 × 100 = R$ 600,00, uma vez que, nas compras parceladas, háembutida uma taxa de juros. Nesse problema, essa taxa corresponde a 4%, de modoque r = 4/100 = 0,04.

Para descobrir o valor presente do bem, precisamos eliminar os juros das parcelas.Para tanto, adotamos uma estratégia similar àquela empregada no Problema 6, coma diferença de que, agora, estamos interessados no valor presente, em lugar do valorfuturo.

Nessa compra parcelada, a loja não cobrará juros sobre a primeira parcela, co-brará um mês de juros sobre a segunda parcela, dois meses sobre a terceira, e assimsucessivamente, até atingir cinco meses de juros sobre a sexta e última parcela. Dessa

Vp = Vf(1 + r)−n forma, aplicando a fórmula do valor presente para eliminar os juros, temos

1a parcela: V1 = 100 ⋅ 1,040 = R$ 100,00.2a parcela: V2 = 100 ⋅ 1,04−1 = R$ 96,15.3a parcela: V3 = 100 ⋅ 1,04−2 = R$ 92,46.4a parcela: V4 = 100 ⋅ 1,04−3 = R$ 88,90.5a parcela: V5 = 100 ⋅ 1,04−4 = R$ 85,48.6a parcela: V6 = 100 ⋅ 1,04−5 = R$ 82,19.

O valor presente do produto é a soma das seis parcelas, depois de descontados osjuros, ou seja,

Vp = 100,00 + 96,15 + 92,46 + 88,90 + 85,48 + 82,19 = R$ 545,18,

Logo, quando comprado à vista, o produto deve custar R$ 54,82 a menos que o valora prazo.

Como mostra a Figura 6.15, o valor presente do produto mencionado no Problema10 é a soma dos 6 primeiros termos de uma progressão geométrica cujo primeiro termoé V1 = 100 e que tem como razão

q = (1 + r)−1 = 1,04−1.

O termo geral dessa progressão é

Vi = V1 ⋅ qi−1 = 100 ⋅ (1,04−1)(i−1) = 100 ⋅ 1,04−(i−1).


Figura 6.15: Valor presente de cada parcela do Problema 10.

Desse modo, temos

n

∑i=1Vi =

V1(1 − qn)1 − q Vp =

6∑i=1Vi =

100 [1 − (1,04−1)6]1 − 1,04−1 = R$ 545,18.

Generalizando o raciocínio adotado acima para qualquer compra parcelada, pode-mos escrever

Vp =P [1 − (1 + r)−n]

1 − (1 + r)−1 ,

em que P é o valor da parcela, n é o número de meses e r é a taxa de juros men-sal. Manipulando essa fórmula para torná-la um pouco mais simples, chegamos aoresultado apresentado no quadro a seguir.

Também nesse caso, pode-se substi-tuir o pagamento mensal por parcelasdiárias, anuais etc,

Valor presente de pagamentos parcelados, com entradaSuponha que um financiamento tenha sido dividido em n parcelas mensaisiguais a P , com o primeiro pagamento na data da contratação. Se a taxamensal de juros empregada é igual a r, então o valor presente do financiamentoé dado por

Vp = P(1 + r)r

[1 − (1 + r)−n].

Problema 11. Comprar à vista ou no crediário?

Rogério pode comprar uma TV por R$ 1.100,00 à vista ou em dez parcelas mensaisde R$120, pagando a primeira no ato da compra. Qual é a melhor opção, supondoque a aplicação financeira favorita de Rogério renda 1,2% ao mês?

Solução.

Para comparar o valor à vista com a compra a crédito, temos que calcular o valorpresente das parcelas, usando a taxa de juros da aplicação favorita de Rogério, que


corresponde a 1,2% ao mês. Nesse caso,

n = 10 meses, r = 1,2100

= 0,012 e P = 120 reais.

Usando, então, a fórmula do valor presente de compras parceladas com entrada,obtemosObserve que, apesar de o valor a

prazo corresponder a 10 × 120 =R$ 1.200,00, Rogério só precisariagastar R$ 1.137,99, pois ele poderiapagar a primeira parcela e aplicar oresto, e o rendimento da aplicação se-ria suficiente para que fossem atingi-dos os R$ 1.200,00.

Vp = 120(1 + 0,012)0,012

[1 − (1 + 0,012)−10] = 10120(1 − 0,88755) = 1137,99.

Portanto, Rogério gastaria R$ 1.137,99 para pagar as 10 parcelas do crediário.Como esse valor é superior a R$ 1.100,00, é preferível comprar à vista.Agora, tente o exercício 18.

Problema 12. Desconto para pagamento à vista

Se sua aplicação favorita rende 1,2% ao mês e uma loja lhe oferece uma máquinafotográfica em 6 parcelas mensais de R$110,00, com o primeiro pagamento no ato dacompra, que desconto você deve pedir para pagar à vista?

Solução.

Segundo o enunciado, temos

n = 6 meses, r = 1,2100

= 0,012 e P = 110 reais.

Assim, o valor presente da compra parcelada é

Vp = 110(1 + 0,012)0,012

[1 − (1 + 0,012)−6] = 9276,67(1 − 0,93093) = 640,74.

Como 6 × R$ 110,00 = R$ 660,00, você deve pedir um desconto de

660,00 − 640,74 = R$ 19,26.

Esse desconto corresponde a 19,26/660 = 2,92% do valor cobrado pelo produto.Agora, tente o exercício 19.

Problema 13. Saindo do cheque especial

Sua conta bancária está negativa em R$ 1.000,00 e você quer quitar essa dívidaem seis parcelas mensais, pagando a primeira hoje mesmo. Se a taxa de juros de seucheque especial é de 9% ao mês, qual será o valor de cada parcela? Qual será o valortotal pago?

Solução.

Nesse caso, conhecemos o valor presente, Vp, e queremos determinar a parcela, P .Substituindo

Vp = 1.000 reais, n = 6 meses e r = 9100

= 0,09

na fórmula de Vp, obtemos

1000 = P (1 + 0,09)0,09

[1 − (1 + 0,09)−6].


Isolando a parcela P nessa equação, chegamos a

1000 = 4,88965P ⇒ P = 10004,88965

= 204,51.

Portanto, você desembolsará R$ 204,51 por mês, de modo que o total pago atingirá6 × 204,51 = R$ 1.227,06.Agora, tente o exercício 21.

Consideremos, agora, as formas de crédito sem entrada, ou seja, que não envolvempagamento no ato da contratação.

Problema 14. Pagando 120 reais por cinco meses, sem entrada

Uma loja oferece um produto em cinco parcelas mensais de R$ 120,00, sem entrada.Sabendo que a loja trabalha com uma taxa de juros de 4% ao mês, determine o valordo bem para pagamento à vista.

Solução.

Assim como fizemos no problema 10, vamos determinar o valor presente do bemcalculando isoladamente o valor presente de cada parcela, usando r = 4

100 = 0,04.Por se tratar de uma compra sem entrada, a loja cobrará um mês de juros sobre

a primeira parcela, dois meses de juros sobre a segunda, e assim sucessivamente, atéatingir cinco meses de juros sobre a quinta parcela.

Vp = Vf(1 + r)−n Aplicando a fórmula do valor presente a cada parcela, obtemos

1a parcela: V2 = 120 ⋅ 1,04−1 = R$ 115,38.2a parcela: V3 = 120 ⋅ 1,04−2 = R$ 110,95.3a parcela: V4 = 120 ⋅ 1,04−3 = R$ 106,68.4a parcela: V5 = 120 ⋅ 1,04−4 = R$ 102,58.5a parcela: V6 = 120 ⋅ 1,04−5 = R$ 98,63.

O valor presente do produto é a soma dos valores presentes das parcelas, ou seja,

Vp = 115,38 + 110,95 + 106,68 + 102,58 + 98,63 = 534,22.

Portanto, o valor do produto corresponde a R$ 534,22, ou R$ 65,78 a menos que ototal parcelado.

No problema acima, obtivemos o valor presente somando os 5 primeiros termos deuma progressão geométrica que tem como primeiro termo

V1 = P (1 + r)−1,

em que P corresponde ao valor da parcela e r é a taxa de juros. Observando que arazão da sequência é q = (1 + r)−1, podemos escrever o termo geral como

Vi = V1 ⋅ qi−1 = P (1 + r)−1 ⋅ (1 + r)−(i−1) = P (1 + r)−i.

n

∑i=1Vi =

V1(1 − qn)1 − q

Somando, então, os n primeiros termos dessa progressão geométrica, chegamos a

Vp =n

∑i=1Vi =

P (1 + r)−1[1 − (1 + r)−n]1 − (1 + r)−1 .

Manipulando essa expressão de modo a simplificar o denominador, obtemos afórmula apresentada abaixo.


Valor presente de pagamentos parcelados, sem entradaSuponha que um financiamento tenha sido dividido em n parcelas mensaisiguais a P , sem pagamento no ato da contratação. Se a taxa mensal de jurosempregada é igual a r, então o valor presente do financiamento é dado por

Vp = P[1 − (1 + r)−n]

r.

Problema 15. Comprar à vista ou no crediário?

Visitando uma loja de eletrodomésticos, Valter recebeu duas propostas para aaquisição de um fogão: pagar R$ 1.300,00 à vista, ou fazer um crediário de 10 parcelasmensais de R$145, sem entrada. Supondo que Valter consiga um rendimento de 1,1%ao mês investindo seu dinheiro em uma aplicação financeira, qual é a melhor opçãode pagamento do fogão?

Solução.

Substituindo

n = 10 meses, r = 1,1100

= 0,011 e P = 145 reais,

na fórmula do valor presente de financiamentos sem entrada, obtemos

Vp = 145 [1 − (1 + 0,011)−10]0,011

= 13181,82(1 − 0,89637) = R$ 1366,00.

Como esse valor é superior a R$ 1.300,00, é preferível adquirir o fogão à vista.Agora, tente o exercício 24.

Problema 16. Parcela mensal de um empréstimo imobiliário

Lívia quer obter um empréstimo de R$50.000,00 para comprar uma casa. Suponhaque o financiamento vá ser feito em 10 anos e que o banco de Lívia cobre uma taxaefetiva de juros de 1% ao mês. Quanto ela terá que pagar mensalmente se todasA taxa efetiva de juros inclui os cus-

tos de administração e seguro. as parcelas tiverem o mesmo valor e o primeiro desembolso ocorrer um mês após oempréstimo?

Solução.

Nesse caso, precisamos determinar o valor da parcela mensal, P , conhecendo

Vp = 50.000 reais, n = 120 meses e r = 1100

= 0,01.

Substituindo os dados acima na fórmula do valor presente de empréstimos sementrada, obtemos

50000 = P [1 − (1 + 0,01)−120]0,01

.

Isolando P nessa equação, temos

50000 = 69,7P ⇒ P = 5000069,7

= 717,36.


Portanto, o banco cobrará de Lívia uma parcela mensal de R$ 717,36, excluída a infla-ção (ou seja, a parcela ainda pode sofrer reajustes periódicos em função da inflação).Agora, tente o exercício 25.

Exercícios 6.51. José aplicou R$ 2.000,00 em um fundo de investimento

que rende 0,9% ao mês. Supondo que José não façaqualquer nova aplicação ou retirada de dinheiro dofundo, determine o montante que José terá após n me-ses?

2. Aplicando R$ 1.200,00 em um fundo de investimentoque rende 1,2% ao mês, quanto dinheiro você esperater após dois anos, se não resgatar ou aplicar qualquervalor adicional? Quanto você “lucrará” neste períodocom a aplicação?

3. Marta possui uma dívida bancária de R$ 500,00. Sa-bendo que o banco de Marta adota uma taxa de jurosde 4,6% ao mês, quanto ela deverá ao final de um ano,caso não consiga saldar sequer uma parte de sua dívida?

4. Paulo acaba de pagar R$ 59.000,00 por um carro novo.Se o modelo adquirido por Paulo sofre uma desvalori-zação de 20% ao ano, quando valerá o carro daqui a 4anos?

5. Um determinado país troca de moeda sempre que a in-flação acumulada ultrapassa 900%. Tendo acabado detrocar a moeda, esse país vem sofrendo com uma infla-ção de 16% ao ano. Nesse caso, em quantos anos haveránova troca de moeda?

6. Há um ano e meio, você investiu dinheiro em uma apli-cação que tem rendimento mensal. Passado este ano,você constatou que seus rendimentos aumentaram em19%. Qual é a taxa mensal de rendimento da aplicação?

7. Rogério adquiriu uma máquina de lavar roupas porR$ 1.600,00 há quatro anos e a vendeu por R$ 400,00após quatro anos de uso. Qual foi a taxa de depreciaçãoanual média da máquina?

8. Em virtude das ações judiciais em que é ré, a pre-feitura de um município estima que terá que pagarR$ 3.250.000,00 daqui a um ano. Para quitar essa dí-vida, a prefeitura pretende usar o dinheiro que tem emcaixa, oriundo do recolhimento de IPTU, fazendo umaaplicação única em um fundo com rendimento de 1,4 aomês. Que valor a prefeitura deve aplicar?

9. Janaína ganhou de sua mãe um anel de ouro que vale,atualmente, R$ 2.250,00. Se o anel foi adquirido hácinco anos e o ouro teve uma valorização média de13,4% ao ano nesse período, qual foi o valor pago peloanel?

10. Mariana vai passar dois anos poupando R$ 200,00 pormês para fazer a viagem de seus sonhos. Supondo que

Mariana aplicará seu dinheiro em um fundo de investi-mento que rende 1,1% ao mês, quanto dinheiro ela terádaqui a 2 anos?

11. A partir de hoje, você pretende passar um ano pou-pando R$ 90,00 por mês para comprar uma TV. Se suaaplicação financeira favorita rende 1,2% ao mês, quantodinheiro você terá ao final dos doze meses?

12. Quanto é preciso aplicar mensalmente em um fundode investimentos que rende 1,05% ao mês para obterR$ 5.000,00 ao final de 3 anos?

13. Quincas pretende pretende poupar um valor fixo mensalpara comprar uma moto de R$ 9.500,00 daqui a quatroanos. Se a caderneta de poupança de Quincas rende0,9% ao mês, quanto ele deve depositar mensalmente?

14. Depositando R$ 210,00 por mês em uma aplicação querende 1,2% ao mês, quanto tempo você gastará parajuntar R$ 7.500,00?

15. Mariano decidiu que pedirá Cristina em casamento nodia em que conseguir comprar as alianças, que custamR$ 1.250,00. Para sua infelicidade, Mariano só conse-gue poupar R$ 80,00 por mês, os quais pretende aplicarem uma caderneta de poupança tem rendimento men-sal de 0,8%. Quanto tempo o noivo terá que aguardarpara fazer o convite?

16. Uma TV custa R$ 1.400,00. Para poder comprá-la emum ano, quanto você deve depositar mensalmente nasua aplicação que rende 1,1% ao mês?

17. Uma loja oferece dois planos de pagamento de uma ge-ladeira: ou o cliente paga R$ 1000,00 à vista ou paga11 prestações de R$ 100,00, com o primeiro desembolsono ato da compra. Se sua aplicação financeira favoritarende 1,2% ao mês, qual é a opção mais vantajosa?

18. Lucas leu uma propaganda que dizia que um aparelhode som custava R$ 1.800,00 à vista, mas que o clientepoderia comprar o mesmo modelo pagando R$ 140,00em 15 parcelas mensais. Sabendo que Lucas possui di-nheiro aplicado em um fundo de investimento que rende1,4% ao mês, determine se ele deve efetuar a compra àvista ou a prazo.

19. A escola da filha de Liliane cobra R$ 780,00 por mês(uma entrada e 11 pagamentos mensais). Se Liliane in-veste seu dinheiro em uma aplicação financeira de rende1,5% ao mês, quanto deve pedir de desconto para pagara anuidade da escola em uma única parcela?

20. Uma loja de computadores vende um notebook em 10prestações de R$ 250,00, sem entrada. Supondo que


nesse preço esteja embutida uma taxa de juros de 2%,determine o desconto que um cliente deve pedir se qui-ser comprar o computador à vista.

21. Uma loja vende um produto por R$ 2.000,00 se o clientepaga à vista. Quanto ela deve cobrar pelo pagamentoem 12 parcelas mensais, com entrada, se sua taxa dejuros corresponde a 3,3% ao mês?

22. Hélio tem uma dívida de R$ 3.600,00 com uma finan-ceira e quer quitá-la em 2 anos, pagando já a primeiraparcela. Se a financeira cobra uma taxa de juros de6,7% ao mês, qual será o valor de cada parcela?

23. Uma loja vende um colar em 10 parcelas de R$ 530,00,sem entrada. Se a loja cobra 3,1% de juros ao mês, qualé o valor do colar.

24. Você recebeu uma propaganda indicando que é possívelcomprar uma moto pagando R$ 2000,00 no ato da com-

pra e financiando o resto em 36 meses. A propagandadiz que as parcelas mensais são de R$ 150,00 e que aloja cobra mensalmente 2% de juros e outras despesas.Calcule o preço à vista da moto. Calcule o total co-brado pelos juros. Dica: some ao valor pago no ato dacompra o valor presente do restante do pagamento.

25. Uma loja que cobra 2,9% de juros ao mês quer ven-der um produto que custa R$ 1.750,00 em 12 parcelasmensais, sem entrada. Qual valor ela deve atribuir àsparcelas?

26. Um produto é vendido em 12 parcelas de R$ 300, como primeiro pagamento à vista, ou em 11 parcelas deR$ 326, sem entrada. Se a taxa de juros mensal cor-responde a 3,4% nos dois casos, qual é a opção maisvantajosa?

Respostas dos Exercícios 6.51. Vf = 2000 ⋅ 1.009n

2. R$ 1.597,77, com um lucro de R$ 397,77.3. R$ 857,734. R$ 24.166,405. Em 14 anos e 10 meses6. 0,971%7. 29,3%8. R$ 2.750.6039. R$ 1.199,82

10. R$ 5.459,1411. R$ 1.154,2112. R$ 115,01

13. R$ 159,1114. R$ 109,7815. 30 meses16. 15 meses17. Comprar à vista é mais vantajoso, pois se

você aplicasse seu dinheiro e pagasse as 11parcelas, mês a mês, desembolsaria, em va-lores atuais, R$ 1037,05.

18. Comprar à vista é mais vantajoso, pois ovalor presenta da compra parcelada corres-ponde a R$ 1908,70.

19. Liliane deve pagar, no máximo, R$8635,47, o que corresponde a um desconto(mínimo) de R$ 724,53.

20. O valor presente da compra parcelada cor-responde a R$ 2290,56, de modo que o cli-ente deve obter um desconto de, no mínimoR$ 209,44.

21. R$ 2376,00 ou 12 parcelas de R$ 198,00.

22. R$ 286,47

23. R$ 4498,02

24. Preço à vista: R$ 5823,33Juros: R$ 1576,67

25. R$ 203,07

26. O pagamento em 12 parcelas, com entrada.

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