PrepApp - SPE ER15 MDEM01 MAT ALprepapp.positivoon.com.br/.../SPE_ER15_MDEM_MAT_01_AL.pdf · 2019-08-29 · Unidade 1: Matemática Básica Aritmética 5 Potenciação 10 Notação

APRESENTAÇÃO

Este módulo faz parte da coleção intitulada MATERIAL MODULAR, destinada às três

séries do Ensino Médio e produzida para atender às necessidades das diferentes rea-

lidades brasileiras. Por meio dessa coleção, o professor pode escolher a sequência que

melhor se encaixa à organização curricular de sua escola.

A metodologia de trabalho dos Modulares auxilia os alunos na construção de argumen-

tações; possibilita o diálogo com outras áreas de conhecimento; desenvolve as capaci-

dades de raciocínio, de resolução de problemas e de comunicação, bem como o espírito

crítico e a criatividade. Trabalha, também, com diferentes gêneros textuais (poemas,

histórias em quadrinhos, obras de arte, gráficos, tabelas, reportagens, etc.), a fim de

dinamizar o processo educativo, assim como aborda temas contemporâneos com o ob-

jetivo de subsidiar e ampliar a compreensão dos assuntos mais debatidos na atualidade.

As atividades propostas priorizam a análise, a avaliação e o posicionamento perante

situações sistematizadas, assim como aplicam conhecimentos relativos aos conteúdos

privilegiados nas unidades de trabalho. Além disso, é apresentada uma diversidade de

questões relacionadas ao ENEM e aos vestibulares das principais universidades de cada

região brasileira.

Desejamos a você, aluno, com a utilização deste material, a aquisição de autonomia

intelectual e a você, professor, sucesso nas escolhas pedagógicas para possibilitar o

aprofundamento do conhecimento de forma prazerosa e eficaz.

Gerente Editorial

Matemática Básica

© Editora Positivo Ltda., 2013Proibida a reprodução total ou parcial desta obra, por qualquer meio, sem autorização da Editora.

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Ruben FormighieriEmerson Walter dos SantosJoseph Razouk JuniorMaria Elenice Costa DantasCláudio Espósito GodoyAdilson LongenÂngela Ferreira Pires da Trindade / Vanderlei NemitzCintia Cristina Bagatin LapaRose Marie WünschGiselle Alice Pupo / Tatiane Esmanhotto KaminskiTassiane SauerbierAngela Giseli de SouzaMarilu de Souza / Talita Kathy BoraDivanzir Padilha (Divo) / Theo / Angela Giseli / Roberto Carlos LopesO2 ComunicaçãoDanielli Ferrari Cruz© iStockphoto.com/Jorge Delgado; © iStockphoto.com/Dario Sabljak; LatinStock/Corbis/DK Limited; Mary Evans Picture Library; © 2001-2009 HAAP Media Ltd/Klaus Post; P.Imagens/PitthEditora Positivo Ltda.Rua Major Heitor Guimarães, 17480440-120 Curitiba – PRFone: (0xx41) 3312-3500 Fax: (0xx41) 3312-3599Gráfica Posigraf S.A.Rua Senador Accioly Filho, 50081300-000 Curitiba – PRFone: (0xx41) 3212-5452E-mail: [email protected]@positivo.com.br

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L852 Longen, Adilson.Ensino médio : modular : matemática : matemática básica / Adilson Longen ; ilustrações

Divanzir Padilha (Divo) ... [et al.]. – Curitiba : Positivo, 2013.

: il.

ISBN 978-85-385-7433-0 (livro do aluno)ISBN 978-85-385-7434-7 (livro do professor)

1. Matemática. 2. Ensino médio – Currículos. I. Padilha, Divanzir (Divo). II. Título.

CDU 373.33

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Acesse o Portal e digite o código na Pesquisa Escolar.

@MAT809Cubos

@MAT809

SUMÁRIO

Unidade 1: Matemática Básica

Aritmética 5

Potenciação 10

Notação científica 13

Radiciação 15

Produtos notáveis 21

Fatoração 25

Equações do 1o. grau 28

Sistemas de equações do 1o. grau 33

Equações do 2o. grau 37

Relação entre coeficientes e raízes 42

Equações especiais 45

Números proporcionais – I 49

Números proporcionais – II 57

Matemática Básica4


O abandono da matemática traz dano a todo o conhecimento, pois aquele

que a ignora não pode conhecer as outras ciências ou coisas do mundo.

Roger Bacon

BOYER, Carl B. História da matemática. Tradução de Elza F. Gomide.

São Paulo: Edgard Blücher, 1996. p. 169.

Ensino Médio | Modular 5

MATEMÁTICA

Aritmética

1. Considerando um ano 0, escreva a sequência que representa o número de anos que decorrem para que os planetas Júpiter, Saturno e Urano completem 1, 2, 3, 4, ... períodos em torno do Sol. Escreva essas sequências até encontrar um número que seja comum às três sequencias.

2. O que foi possível observar quanto ao número comum às três sequências?

Os planetas Júpiter, Saturno e Urano têm perío-dos de revolução em torno do Sol de aproximada-mente 12, 30 e 84 anos, respectivamente. Após uma observação, quanto tempo decorrerá para que esses três planetas voltem a ocupar simultaneamente as mesmas posições ocupadas nessa observação?

O problema apresentado terá como solução a quantidade em anos correspondente ao mínimo múltiplo comum entre os números 12, 30 e 84.

Esta aula tem por objetivo o estudo de tópicos importantes da Aritmética básica.

Div

anzi

r Pad

ilha

Múltiplos de um númeroMúltiplo de um número natural não nulo é qualquer número natural resultante da multiplicação

de um natural pelo número dado. Representando por M(4) o conjunto formado por todos os naturais que são múltiplos de 4, temos:

M(4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; ...}

4 . 0 4 . 2 4 . 4 4 . 6

4 . 1 4 . 3 4 . 5 4 . 7

Observação: um número que é múltiplo de 4 é divisível por 4.Assim:

Números

primos e

compostos

@MAT2916

Decomposição

em fatores

primos

@MAT2784

28 é múltiplo de 4 equivale a dizer que 28 é divisível por 4.

Divisores de um número

Números primosQuando um número natural admitir apenas dois divisores naturais diferentes (o número 1 e o próprio

número), será denominado número primo.O quadro abaixo contém os números primos que são menores que 100:

2 3 5 7 11

13 17 19 23 29

31 37 41 43 47

53 59 61 67 71

73 79 83 89 97

Representando por D(n) o conjunto dos divisores de um número natural, temos, como exemplos:

D(2) = {1; 2}D(3) = {1; 3}D(5) = {1; 5}D(7) = {1; 7}

Observações

o número 0 (zero) não é primo;

o número 1 (um) não é primo.

Decomposição em fatores primos

Qualquer número natural diferente de zero que possui mais do que dois divisores naturais é chamado de número composto.

ExemploO número 20 é composto, pois D(20) = {1; 2; 4; 5; 10; 20}Todo número natural composto pode ser decomposto

em fatores primos. Essa decomposição se faz por meio de sucessivas divisões por números primos.

Observe os exemplos a seguir:Exemplo 1Decompor em fatores primos o número 60:

60 = 6 . 10

60 = 2 . 3 . 5 . 2 60 = 22 . 3 . 5

60 = 30 . 2 60 = 15 . 2 . 2 60 = 3 . 5 . 2 . 2 60 = 22 . 3 . 5


Portanto:60 = 22 . 3 . 5

Existe um mecanismo prático que indica as divisões su-cessivas:

60 2 60 : 2 = 30

30 2 30 : 2 = 15

15 3 15 : 3 = 5

5 5 5 : 5 = 1

1

60 = 22 . 3 . 5Exemplo 2Decompor em fatores primos o número 84:

84 2

42 2

21 3

7 7

1

84 = 22 . 3 . 7

fatores primos

Como encontrar os divisores naturais de um número natural?Quando o número natural é pequeno, encontrar seus

divisores não representa nenhuma dificuldade: pode ser por tentativa. Entretanto, uma maneira interessante e prática é por meio da decomposição em fatores primos.

Antes de mostrar esse mecanismo prático, vamos observar os produtos das potências de fatores primos do número 60:

60 = 22 . 3 . 5ou

60 = 22 . 31 . 51

Considere as potências contidas em cada coluna:20

30 50

21

31 51

22

Vamos multiplicar os elementos três a três, sendo um de cada coluna:

20 . 30 . 50 = 1 20 . 30 . 51 = 520 . 31 . 50 = 320 . 31 . 51 = 1521 . 30 . 50 = 221 . 30 . 51 = 10

divisores de 6021 . 31 . 50 = 621 . 31 . 51 = 3022 . 30 . 50 = 422 . 30 . 51 = 2022 . 31 . 50 = 12

22 . 31 . 51 = 60

Agora, vamos pela decomposição:

Decompomos o número em fatores primos:60 2

30 2

15 3

5 5

1

Multiplicamos cada fator primo pelos números que estão à direita e acima dele no dispositivo:

1

60 2 2

30 2 4

15 3 3; 6; 12

5 5 5; 10; 20; 15; 30; 60

1

Portanto:D(60) = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60}

Theo

Cor

deiro

Você verá que, a partir dos fatores

primos de um número, podemos encontrar

todos os seus divisores naturais.

Uma dona de casa compra mensalmente 16 kg de feijão, 24 kg de arroz e 8 kg de lentilha. Ela separa esses alimentos em porções individuais com a mesma quantidade em cada uma e cada porção tem apenas um tipo de alimento. Qual é a menor quantidade de porções que ela pode ter e quantos quilogramas tem em cada porção?

Máximo divisor comum

Ensino Médio | Modular

FÍSICA

7

FÍSICAMATEMÁTICA

O máximo divisor comum de dois ou mais números natu-rais é obtido pela intersecção entre os conjuntos dos divisores desses números. O maior número natural nessa intersecção é o máximo divisor comum.

Existe uma maneira prática de se obter o

máximo divisor comum de números naturais?

The

Cord

eiro

Vamos observar duas outras maneiras de chegarmos ao máximo divisor comum.

Exemplo: Obter o máximo divisor comum dos números 36 e 24.

1o. modo:

1

36 2 2

18 2 4

9 3 3; 6; 12

3 3 9; 18; 36

1

divisores de 36

D(36) = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36}

1

24 2 2

12 2 4

6 2 8

3 3 3; 6; 12; 24

1

D(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}

Assim:

mdc {36; 24} = máximo {D(36) ∩ D(24)}

mdc {36; 24} = máximo {1; 2; 3; 4; 6; 12}

mdc {36; 24} = 12

2o. modo:

O mdc é obtido multiplicando-se os fatores primos comuns e com os menores expoentes.

24 = 23 . 31

36 = 22 . 32

mdc {24; 36} = 22 . 31 = 12

Agora vamos utilizar o mecanismo prático, que nada mais é do que a decomposição simultânea em fatores primos:

24; 36 2

12; 18 2

6; 9 2

3; 9 3

1; 3 3

1

dividemsimultaneamente

mdc {24; 36} = 2 . 2 . 3 = 12

Você vai observar que esse mesmo

processo serve para se obter o mínimo múltiplo comum.

Theo

Cor

deiro

ObservaçãoQuando dois números naturais possuem como único divi-

sor comum a unidade (número 1), são denominados números primos entre si.

Mínimo

múltiplo comum

O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números natu-rais é obtido pela intersecção entre os conjuntos dos múltiplos não nulos desses números. O menor número natural nessa intersecção é o mínimo múltiplo comum.

Exemplo:Obter o mínimo múltiplo comum dos números 12 e 18.

1o. modo:

M(12) = {12; 24; 36; 48; 60; 72; 84; 96; 108; ...}

M(18) = {18; 36; 54; 72; 90; 108; ...}

Assim:

mmc {12; 18} = mínimo {M(12) ∩ M(18)}

mmc {12; 18} = mínimo {36; 72; 108; ...}

mmc {12; 18} = 36

2o. modo:

O mmc é o produto de todos os fatores primos dos números, considerados uma única vez, apenas os de maior expoente.


1. (CESGRANRIO – RJ) O máximo divisor comum de 20 e 32 é:

a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 16

2. (FUVEST – SP) Sabendo-se que mdc (360, 300) = a e mmc (360, 300) = b, então o produto a . b é igual a:

Observação: mmc (x, y) . mdc (x, y) = x . y

a) 1 080 000 b) 108 000 c) 1 080

d) 10 800 e) 108

3. (Olimpíada de Matemática – SP) Um número pri-mo tem:

a) só dois divisores;

b) nenhum divisor;

c) apenas um divisor;

d) mais do que dois divisores;

e) 3 divisores.

4. (MAPOFEI – SP) O mdc dos números 36, 40 e 56 é:

a) 4 b) 6 c) 8 d) 9 e) 2

5. (UNIMONTES – MG) Cada um dos números intei-ros a = 22 . 3x . 5y e b = 2z . 32 admite 18 diviso-

res positivos e o mdc (a, b) = 12. Os valores de a e b são, respectivamente:

a) 300 e 288 b) 300 e 144

c) 144 e 288 d) 600 e 576

e) 288 e 300

6. (UCPel – RS) Dado o conjunto {5, 10, 20, 40, 80, ...}, seus elementos podem ser descritos por:

a) { x ∈ R | x = 5n}, n ∈ N*

b) { x ∈ R | x = 5n – 1}, n ∈ N

c) { x ∈ R | x = 5 . 2n – 1}, n ∈ N*

d) { x ∈ R | x = 2 . 5n – 1}, n ∈ N*

e) { x ∈ R | x = 2 . 5n}, n ∈ N

7. (UNESP – SP) Imagine os números inteiros não negativos formando a seguinte tabela:

0 3 6 9 12...

1 4 7 10 13...

2 5 8 11 14...

a) Em que linha da tabela se encontra o número 319? Por quê?

b) Em que coluna se encontra esse número? Por quê?

12 = 22 . 3

18 = 2 . 32

mmc {12; 18} = 22 . 32 = 36

E como seria o mmc {60; 18}?

60 = 22 . 3 . 5

18 = 2 . 32

mmc { 60; 18} = 22 . 32 . 5 = 180

Há também um mecanismo prático que possibilita a obtenção do mmc pela decomposição simultânea em fatores primos dos números considerados. O produto de todos esses fatores é o mmc:

12; 18 2

6; 9 2

3; 9 3

1; 3 3

1

mmc {12; 18} = 22 . 32 = 36

Vamos, agora, obter a solução do problema apresentado na introdução desta aula:

12; 30; 84 2

6; 15; 42 2

3; 15; 21 3

1; 5; 7 5

1; 7 7

1

mmc {12; 30; 84} = 22 . 3 . 5 . 7mmc {12; 30; 84} = 420

Portanto, 420 anos após a observação.

1 (CESGRANR


FÍSICA

9

FÍSICAMATEMÁTICA

Potenciação

Observe a situação a seguir, envolvendo o lançamento de 1 dado, 2 dados, 3 dados e, assim, sucessivamente.

No lançamento de um dado, existem 6 resultados possíveis:

No lançamento de dois dados, existem 36 resultados possíveis:

Na tabela ao lado, complete a segunda coluna com o número de resultados a partir do número de

dados da primeira coluna:

Número de dados Número de resultados

1234...


Observe que o número de resultados possíveis é uma potência de seis:

6 = 61

36 = 62

216 = 63

1 296 = 64

…Como o expoente indica o número de dados lançados

em cada situação considerada, podemos generalizar tal re-sultado:

O número de resultados possíveis no lançamento de n dados pode ser representado por 6n.

PotenciaçãoCertos cálculos aritméticos são resolvidos por meio de

procedimentos que demandam muito tempo. É possível, en-tretanto, simplificar esses cálculos. Para ilustrar, observe que podemos calcular os resultados de certas divisões mediante uma simples subtração.

Vamos considerar as potências do quadro abaixo.

416 = 4 294 967 296

49 = 262 144

47 = 16 384

Como você faria, sem calculadora, para obter o quociente do número 4 294 967 296 por 16 384? Certamente, proce-deria usando o algoritmo da divisão, que demandaria certo esforço e paciência. Se você conhecesse uma propriedade da potenciação, bastaria, diante dos dados fornecidos, efetuar a subtração 16 – 7 = 9 e, a seguir, apontar a resposta 262 144.

A potenciação utiliza propriedades básicas que minimi-zam os cálculos. Podemos até dizer que uma multiplicação é transformada numa adição, e uma divisão, numa subtração.

Dado um número real a qualquer e sendo n um número natural diferente de zero, a potência an é de-finida como an = a . a . a . (...) . a, ou seja, o produto

de n fatores iguais ao número a.n fatores

Exemplo202 = 20 . 20 = 400(– 3)4 = (– 3) . (– 3) . (– 3) . (– 3) = 810,15 = 0,1 . 0,1 . 0,1 . 0,1 . 0,1 = 0,00001

Observações1. Por definição, considera-se que a1 = a, pois não há produto

com um único fator.

2. Na potenciação an = b, temos os seguintes termos:

a: base; n: expoente; b: potência.

3. Embora na definição tenha sido considerado o expoente como sendo um número natural, intuitivamente podemos trabalhar com expoentes inteiros. Assim, veja se você con-segue completar os valores das potências, substituindo a interrogação por número:

25 = 3224 = 1623 = 8 22 = 4

21 = 2 20 = ? 2–1 = ?2–2 = ?

2–3 = ?2–4 = ?2–5 = ?

Uma consequência da

propriedade 1, que você verá a seguir,

pode explicar melhor como proceder com expoente negativo.

Theo

Cor

deiro

As propriedades a seguir são consequências da definição apresentada de potenciação. Essas propriedades serão muito utilizadas na simplificação de cálculos.

Propriedade 1

Na multiplicação de potências de mesma base, a potência resultante é obtida conservan-do-se a base e adicionando-se os expoentes:

am . an = am + n

Exemplo:56 . 53 = (5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5) . (5 . 5 . 5)56 . 53 = 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 556 . 53 = 59 = 56 + 3

Convenção:

O valor de a0 pode agora ser validado conforme a pro-priedade 1 vista anteriormente, ou seja:

a0 . a1 = a0 + 1 = a1

Portanto, a0 . a1 = a1, então a0 precisa ser igual a 1, o que justifica a convenção a0 = 1.

ObservaçãoA potência 00 não está definida.


FÍSICA

11

FÍSICAMATEMÁTICA

Importante

Podemos estender a noção de potência an para n inteiro (positivo ou negativo), mantendo válida a propriedade 1, ou seja:

1 = a0 = a–n + n = a–n . an

Portanto, a potência a–n pode ser considerada como sendo

a–n =

ImportantePodemos estender a noção de potência an para

n inteiro (positivo ou negativo), mantendo válida a propriedade 1, ou seja:

1 = a0 = a–n + n = a–n . an

Portanto, a potência a–n pode ser considerada como sendo

a–n = 1

an

Propriedade 2

Na divisão de potências de mesma base, a potência resultante é obtida conservando-se a base e subtraindo-se os expoentes:

am ÷ an = am – n

Exemplo

57 ÷ 54 = 5

5

7

4

57 ÷ 54 = 5 5 5 5 5 5 5

5 5 5 5

. . . . . .

. . .

57 ÷ 54 = 5 . 5 . 5 = 53 = 57 – 4

Propriedade 3

Na potência de potência, o resultado é obtido con-servando-se a base e multiplicando-se os expoentes:

(am)n = am . n

Exemplo

(54)3 = 54 . 54 . 54

(54)3 = (5 . 5 . 5 . 5) . (5 . 5 . 5 . 5) . (5 . 5 . 5 . 5)

(54)3 = 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5

(54)3 = 512 = 54 . 3

A propriedade 3 é uma consequência

imediata da propriedade 1.

Theo

Cor

deiro

(am)n ≠ amn

Atenção!

Exemplo

234 = 23 . 3 . 3 . 3 = 281

(23)4 = 23 . 23 . 23 . 23 = 23 + 3 + 3 + 3 = 212

Logo, (23)4 ≠ 234

Propriedade 4

A potência de um produto de dois ou mais fatores pode ser calculada elevando-se cada termo do produto ao mesmo expoente:

(a . b)n = an . bn

Exemplo

(3 . 5)4 = (3 . 5) . (3 . 5) . (3 . 5) . (3 . 5)

(3 . 5)4 = (3 . 3 . 3 . 3) . (5 . 5 . 5. 5)

(3 . 5)4 = 34 . 54

Propriedade 5

A potência de um quociente é o quociente das potências:

a

b

a

b

n n

n

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= (Onde b ≠ 0)

Exemplo

5

3

5

3

5

3

5

3

5

3

5

3

5

3

4

4 4

4

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

. . .

ObservaçãoEssa propriedade é consequência da propriedade 4.

Potências de base 10As potências de base 10 aparecem com muita fre quência

na Física e na Química, quando se trabalha com grandezas micro ou macroscópicas.

Observe algumas potências de 10:101 = 10102 = 100103 = 1 000104 = 10 000


105 = 100 000106 = 1 000 000107 = 10 000 000

O expoente da base 10 corresponde ao número de zeros da potência resultante.

Theo

Cor

deiro

Assim:

108 = 100 000 000 8 zeros

Genericamente, podemos dizer que:

10n = 100 000 (...) 000 n zeros

Veja o que ocorre quando o expoente do 10 é um número inteiro negativo:

10–1 = 1

10 = 0,1

10–2 = 1

102 = 0,01

10–3 = 1

103 = 0,001

10–4 = 1

104 = 0,0001

10–5 = 1

105 = 0,00001

10–6 = 1

106 = 0,000001

10–7 = 1

107 = 0,0000001

Agora, o número que está no expoente,

sem o sinal, indica o nú-mero de casas decimais

da potênciaresultante.

Theo

Cor

deiro

Assim:

10–8 = 0,00000001 8 casas decimais

Portanto:

10–n = 1

10n = 0,000(...)001

n casas decimais

Notação científica

A distância média do nosso planeta até o Sol é de 149 600 000 000 m.

Div

anzi

r Pad

ilha

Conversão de

um número

em notação

científica

@MAT961


FÍSICA

13

FÍSICAMATEMÁTICA

Escrever a distância do Sol à Terra e a massa do elétron em notação científica, ou seja, em dois fatores nos quais o 1º. é um número igual ou superior a 1 e menor que 10 e o 2º. fator é uma potência de base 10.

Um número estará escrito na notação científica quando aparecer como a multiplicação de dois números reais, em que:

um dos fatores é um número α pertencente ao intervalo [1, 10);

o outro fator é uma potência de base dez.

α . 10n, 1 ≤ α < 10

Exemplos

7,28 . 1032

4,001 . 10–5

6,05 . 10–34

A massa de um elétron é de aproximadamente 0,000000000000000000000000000911 g.

É muito comum nos meios científicos a manipula-ção de números muito grandes, envolvendo grandezas macroscópicas, ou extremamente pequenos, relacio-nados com grandezas microscópicas.

Por isso, existe a necessidade de uma notação es-pecial para esses números que facilite tanto a escrita quanto os cálculos a eles relacionados. Essa notação especial é chamada notação científica.

1. (UEL – PR) Efetuando-se (0,1)3 x (0,2 : 0,04), obtém-se:

a) 0,005

b) 0,015

c) 0,05

d) 0,15

e) 0,5

2. (EFOA – MG) Qual dos números abaixo é igual a 0,000000375?

a) (0,175 + 0,2) . 10–7

b) 38

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

. 10–5

c) 334

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ . 10–7

d) 37510 6−

e) 375 . 109

3. (UFBA) Simplificando a expressão 6 10 10 10

6 10 10

3 4 8

1 4

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

− −

−, obteremos:

1.1111111 (U(U(((( EEL –– PR)

Ang

ela

Gis

eli


a) 100 b) 10–1 c) 10–2

d) 10–3 e) 10–4

4. (CEFET – PR) Assinale a afirmativa correta:

a) 432= (43)2

b) 432 3)2

c) (43)2 = 49

d) (43)2 2)3

e) 432= 423

5. (CESGRANRIO – RJ) A representação decimal de (0,01)3 é:

a) 0,03 b) 0,0001

c) 0,001 d) 0,000001

e) 0,003

6. (CESCEM – SP) Simplificando a expressão

[29 : (22 . 2)3]–3, obteremos:

a) 2–30 b) 1 c) 2–6

d) 236 e) 2

7. Se b > 0 e se m, p e q são inteiros positivos, então

bpq

m−⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪ é igual a:

a) bqmp b) b

mq pm

− c) 1

b

pmq⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

d) 1b

qmb⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

e) 1b

mq pm⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

−

8. (OSEC – SP) Sabendo-se que a2 = 56, b3 = 57, c4 = 58 e que a e c são dois números reais de mesmo sinal, ao escrever (a b c)9 como potên-cia de base 5, qual o valor do expoente?

9. (MACK – SP) Considere as seguintes afirmações:

1) (0,001)–3 = 109

2) –2–2 = 1/4

3) (a–1 + b–1)–2 = a2 + b2

Associando V ou F a cada afirmação, nesta or-dem, conforme seja verdadeira ou falsa, tem-se

a) V – V – V

b) V – V – F

c) V – F – V

d) F – V – F

e) V – F – F

10. (CEFET – RJ) Das sentenças a seguir, a que não é verdadeira é:

a) (2/3)2 = (3/2)–2

b) (0,1)–2 = 1/100

c) x–1 = x se x = 1

d) (–2)0 = 1

e) (2/3) < (3/2)

Radiciação

Nos cálculos que efetuamos, as operações aritméticas envolvendo números sempre aparecem em duplas, ou seja:

adição e subtraçãomultiplicação e divisão

potenciação e radiciaçãoO que uma delas faz, a outra

correspondente desfaz.

Theo

Cor

deiro

Observe 2 + 7 = 9 é equivalente a 7 = 9 – 2

2 . 10 = 20 é equivalente a 10 = 20 : 2

53 = 125 é equivalente a 5 = 1253

Vamos estudar, nesta unidade, a radiciação de números reais.


FÍSICA

15

FÍSICAMATEMÁTICA

O quadrado abaixo é formado por 256 quadradinhos menores e de mesmo tamanho:

O número de quadradinhos existentes no quadrado pode ser obtido pela potência:

162 = 256Observe que 162 = 16 . 16, ou seja, o número total é o

produto do número de quadradinhos existentes em cada linha pelo número de linhas.

Assim:256 16=

n.o de quadradinhos em cada linha

16

16

A radiciação permite obter o número de quadradinhos

em cada linha ou em cada coluna, conhecendo-se o número total de

quadradinhos existentes.

Theo

Cor

deiro

a) Se um quadrado é dividido em 400 quadradinhos idênticos, quantos quadradinhos existem em cada linha e cada coluna?

b) E se o quadrado tiver 121 quadradinhos idênticos, quantos quadradinhos existem em cada linha e cada coluna?

O estudo de radicais tem a finalidade de complementar o assunto potenciação, uma vez que a radiciação pode ser definida como potenciação com expoente fracionário.

Define-se como raiz de índice n de um número a o número x tal que elevado a n resulta em a, ou seja:

n a = x ⇔ xn = a

ObservaçãoExemplos:3 8 = 2 ⇔ 23 = 85 243 = 3 ⇔ 35 = 243

16 = 4 ⇔ 42 = 16

ImportanteEm todo radical cujo índice é um número par,

a raiz considerada é sempre a positiva.

n a = x

índice

radicando

raiz


Atenção! No conjunto dos números reais, se o radicando for um número negativo e o índice do radical for par, a raiz não é definida.

Quando você estudar números

complexos, terá a oportunida-de de extrair raiz quadrada, por exemplo, de números

negativos.Th

eo C

orde

iro

PropriedadesAssim como a potenciação, a radiciação permite a exis-

tência de algumas propriedades que tornam possível a sim-plificação de cálculos envolvendo radicais.

Propriedade 1

O radical, de uma potência qualquer, quando é definido, pode ser obtido como potência de expoente fracionário:

n am = amn

Exemplos

5 51

2=

5 5232

3=

ObservaçãoComo consequência imediata dessa propriedade, temos:

a a a amxnxmx

nx

m

n mn= = =

a a a annn

n= = =1

Propriedade 2

O radical de um produto pode ser escrito como o produto dos radicais, quando estes forem definidos:

a b a bn n n⋅ = ⋅

Exemplos

16 25 16 25 4 5 20⋅ = ⋅ = ⋅ = 8 27 8 27 2 3 63 3 3⋅ = ⋅ = ⋅ =

Observações1. Em caso de índice par, os radicandos devem ser positivos.

2. Podemos usar a potenciação para justificar essa proprie-dade, ou seja:

a b a b a b a bn n n n n n⋅ = ⋅( ) = ⋅ = ⋅1 1 1

Propriedade 3

O radical de um quociente pode ser escrito como o quociente dos radicais, quando estes forem definidos:

a

b

a

bn

n

n=

Exemplos

16

25

16

25

4

5= =

8

27

8

27

2

33

3

3= =

Observações1. Em caso de índice par, os radicandos devem ser positivos.

2. Podemos utilizar a potenciação para justificar essa pro-priedade, ou seja:

a

b

a

b

a

b

a

bn

n n

n

n

n= ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= =1 1

1

Propriedade 4

O radical de outro radical é obtido por meio de um terceiro radical, cujo índice é o produto dos índices dos radicais dados:

a = amn n . m

Exemplos

10 10 102 2 4= =.

7 7 743 3 4 12= =.

Cálculo da

raiz de uma

raiz

@MAT1675


FÍSICA

17

FÍSICAMATEMÁTICA

Observações1. Em caso de índice par, o radicando deve ser positivo.

2. Podemos utilizar a potenciação para justificar essa pro-priedade, ou seja:

a a a a amn m n m n m n m n= ( ) = = =

1 1 1 1

( ) . .

ImportanteUm número que multiplica um radical pode ser in-

troduzido no radical, desde que fique elevado ao índice:

a b a bn nn⋅ = ⋅

Radicais semelhantes:

adição e subtração

Considere a expressão algébrica: 10x + 2x – 7x + 15x.Como todos os termos dessa expressão são semelhantes,

podemos reduzir a um termo apenas, ou seja:

10x + 2x – 7x + 15x = (10 + 2 – 7 + 15) . x = 20x

reduzindo a um termo

A ideia de termos semelhantes também ocorre quando a expressão contém radicais.

Dois ou mais radicais são classificados como radicais semelhantes se, e somente se, possuírem o mesmo índice e o mesmo radicando.

Exemplos

1. 2 10 8 10 e índice: 2 radicando: 10

2. 7 103 3x e x − índice: 3

radicando: x

É possível reduzir os radicais em uma soma (adição ou subtração) a um radical apenas, desde que eles sejam se-melhantes. Observe os exemplos:

Exemplos

1. 3 5 7 5 8 5

3 7 8 5 2 5

+ − =

= + − =( )

2. 4 3 12 75+ −

Os radicais, a princípio, não são semelhantes. Entretanto,

como 12 2 3 2 3 75 5 3 5 32 2= ⋅ = = ⋅ = e

Então,

4 3 12 75 4 3 2 3 5 3

4 2 5 3 1 3 3

+ − = + − =

= + − = ⋅ =( )

Observação

Em uma soma de radicais, pode ocorrer que:

todos os radicais sejam semelhantes entre si;

os radicais dados não sejam semelhantes a prin-cípio, tornando-se semelhantes ao se retirar um ou mais fatores do radicando;

existam apenas alguns termos semelhantes entre si;

não existam radicais semelhantes.

Se os radicais nãosão semelhantes, não há

o que fazer com eles, a não ser fazer o

cálculo usando uma calculadora.

Theo

Cor

deiro

Exemplo2 3+ = ?

não são radicais semelhantes

Usando calculadora:

2 3 1 4142 1 7321

2 3 3 1463

+ = +

+ ≅

, ,

,

aproximadamente


Multiplicação de radicaisA multiplicação de radicais semelhantes é efetuada

utilizando-se a propriedade estudada na aula anterior:

a b a bn n n⋅ = ⋅

desde que os radicais sejam definidos nos reais.

Exemplos

1. 2 8 2 8 16 4⋅ = ⋅ = =2. 5 2 5 2 103 3 3 3⋅ = ⋅ =

Para se obter o produto de dois ou mais radicais com o mesmo ín-dice, repete-se o índice e multipli-cam-se os radicandos.

E quando os radicais não forem seme-

lhantes?

Theo

Cor

deiro

Para multiplicarmos (ou dividirmos) radicais com índices diferentes, transformamos os radicais num mesmo índice. Observe:

a b23 34; índices diferentes

a a2

3

3

4; expoentes fracionários

a b8

12

9

12; reduzindo ao denominador comum

a b812 912; mesmo índice

Assim:

a b a b23 34 812 912. .=

a b a b23 34 8 912. .=

Racionalização de

denominadoresRacionalizar uma fração consiste em eliminar, por meio de

propriedades algébricas, o radical ou os radicais que estive-rem no denominador. Essa operação é obtida multiplicando--se o numerador e o denominador da fração correspondente pelo fator de racionalização.

Consideram-se três casos de racionalização:

1.º caso:Quando a expressão fracionária apresen-

tar no denominador apenas um radical da forma a :

N

a

N a

a a

N a

a

N a

a= ⋅

⋅= ⋅ = ⋅

2

Exemplos

1. 3

3

3

3

3

3

3 3

33= ⋅ = ⋅ =

2. 2

2 3

2

2 3

3

3

2 3

2 3

6

6= ⋅ = ⋅

⋅=

3. 10

5

10

5

5

5

10 5

52 5= ⋅ = ⋅ =

2 .º caso:Quando a expressão fracionária apresen-

tar no denominador apenas um radical da forma amn , com n > 2:

N

a

N a

a a

N a

amn

n mn

mn n mn

n mn

= =−

−

−.

.

.

Exemplos

1. 1

4

1

4

4

4

4

4

16

43 3

23

23

23

33

3

= = =.

2. 2 2 2 2

37 37

47

47

47

77

47

x x

x

x

x

x

x

x= = =.

. .

Multiplicação

e divisão de

potências

com o

mesmo

expoente

@MAT2164


FÍSICA

19

FÍSICAMATEMÁTICA

3 .º caso:Quando a expressão fracionária apresentar no de-

nominador a adição ou a subtração de radicais:N

a b

N

a b

N

a b

a b

a b

N a b

a b+=

+−−

= −−( )

. ( )

( )

( )

Observação(a + b) (a – b) = a2 – b2

Exemplos

1. 1

2 3

1

2 3

2 3

2 3

2 3

4 32 3

+=

+−−

=−−

= −( )

.( )

( )

( )

2. 20

5 3

20

5 3

5 3

5 3

20 5 3

5 3+=

+−−

= −−

=( )

.( )

( )

. ( )

= − = −20 5 3

210 5 3

. ( )( )

1. (UFES) 8 43 é igual a:

a) 1/16 b) 1/8 c) 1/6

d) 6 e) 16

2. (UEL – PR) Calculando-se −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−1

243

25, obtém-se:

a) –81

b) –9

c) 9

d) 81

e) um número não real

3. (FGV – SP) O valor da expressão

( , ) . ( , )0 064 0 062513

14 é:

a) 0,1

b) 0,2

c) 0,01

d) 0,02

e) 1

4. (PUC – SP) A expressão com radicais 8 18 2 2− + é igual a:

a) 2

b) 12

c) 8

d) –3

e) 3 2

5. (CESGRANRIO – RJ) Racionalizando o denomi-

nador, vemos que a razão 1 3

3 1

+

− é igual a:

a) 2 3

b) 2 2 3

c) 3 2

d) 1 2 3

e) 2 3

6. (UEL – PR) Seja o número real

x =− + −

−

500 3 20 2 2 5

5 1

Escrevendo-se x na forma x a b c= + , tem-se que a + b + c é igual a:

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

7. (UFSM – RS) Simplificando a expressão 92

29

, obtém-se:

a) 11 26

b) 3 2

2 3 c) 85

18

d) 112

e) 11 212

8. (MACK – SP) Se A = + −1 5 5 1. , então o valor de A é:

a) 1 b) 2 c) 2

d) 5 e) 3


Produtos notáveis

As generalizações estão entre os vários objetivos do desenvolvimento e estudo da Álgebra. Ao observarmos, por exemplo, a sequência formada por pequenos quadrados, é possível obtermos o número de quadrados existentes em função da posição da figura na correspondente sequência:

a) Qual a relação que podemos estabelecer quanto à figura e o número de quadrados que a compõem?

b) Quantos quadrados formam a na. figura?

A fórmula do

quadrado da

soma

@MAT1765

n2 é uma expressão algébrica.

A Álgebra é a parte da Matemática em que se empregam outros símbolos além dos algarismos. Esses símbolos, ligados convenientemente por operações aritméticas, formam as expressões algébricas.

Existem determinados produtos entre expressões algé-bricas que, devido à sua ampla utilização na Matemática, são conhecidos por produtos notáveis.

Esta aula tem por objetivo estudá-los.

Os produtos notáveisque você estudará são:(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a — b)2 = a2 — 2ab + b2

(a + b) . (a — b) = a2 2

Theo

Cor

deiro

O quadrado de uma somaO quadrado maior, a seguir, foi dividido

em quatro partes – dois quadrados e dois retângulos:


FÍSICA

21

FÍSICAMATEMÁTICA

É possível mostrar este resultado, utilizando a

Álgebra?

Theo

Cor

deiro

O resultado anterior (relação entre as áreas) pode ser comprovado utilizando a propriedade distributiva da multi-plicação em relação à adição.

Observe:(a + b)2 = (a + b) . (a + b)(a + b)2 = a . (a + b) + b . (a + b)(a + b)2 = a2 + ab + ba + b2 → (ab = ba)Reunindo os termos semelhantes, teremos:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

O quadrado da soma de dois termos é o quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.

Exemplos

1. (2 + x)2 = 4 + 4x + x2

2. (x + 2y)2 = x2 + 4xy + 4y2

3. (2 2 + α)2 = 8 + 4 2α+ α2

4. (7 + 2)2 = 72 + 2 . 7 . 2 + 22

92 = 49 + 28 + 4

a) Determine a área do quadrado maior utili-zando a medida do lado a + b.

b) Determine a área do quadrado maior utili-zando as áreas dos dois quadrados menores e os dois retângulos iguais.

c) O que podemos concluir quanto aos resul-tados dos itens a e b?

O quadrado

de uma diferença

A área do quadrado de lado a – b pode ser calculada com base nas áreas das demais figuras geométricas ou pela medida do próprio lado:

a) Determine a área do quadrado S utilizando as medidas a e b.

b) Determine a área do quadrado S utilizando á área do quadrado maior, a área do qua-drado S1 e dos dois retângulos S2.


A fórmula do

quadrado da

diferença

@MAT1764


Este resultado também pode ser obtido pela

Álgebra!

Theo

Cor

deiro

Usando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, teremos:

(a – b)2 = (a – b) . (a – b)(a – b)2 = a . (a – b) – b . (a – b)(a – b)2 = a2 – ab – ba + b2 → (ab = ba)

Reunindo os termos semelhantes, chegaremos ao resul-tado seguinte:

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

O quadrado da diferença de dois termos é o qua-drado do primeiro, menos duas vezes o primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.

Exemplos

1. (2 – x)2 = 4 – 4x + x2

2. (x – 2y)2 = x2 – 4xy + 4y2

3. (2 2 – α)2 = 8 – 4 2α + α2

4. (7 – 2)2 = 72 – 2 . 7 . 2 + 22

52 = 49 – 28 + 4

O produto da

soma pela diferença

O produto da soma pela diferença de dois termos quais-quer é o terceiro caso de produtos notáveis. Novamente, para que você possa visualizar e compreender melhor um resultado algébrico, utilizaremos as áreas de figuras geométricas.

Para calcularmos a área colorida da figura, vamos dividi-la em duas partes: A e B.

Recortando as duas partes, poderemos formar o seguinte retângulo:

a) Determine a área colorida da figura utili-zando as medidas a e b.

b) Determine a área do retângulo de dimen-sões a + b e a – b.


O produto da soma pela diferença de dois termos é o quadrado do primeiro, menos o quadrado do segundo termo.

A fórmula do

produto da

soma pela

diferença

@MAT2720


FÍSICA

23

FÍSICAMATEMÁTICA

Exemplos

1. (2 + x) . (2 – x ) = 4 – x2

2. (x + 2y) . (x – 2y) = x2 – 4y2

3. (2 2 + α) . (2 2 – α) = 8 – α2

4. (7 + 2) . (7 – 2) = 49 – 4

ObservaçãoOs três casos de produtos notáveis aqui estudados são

muito utilizados na Matemática. Embora, como você viu,

possam ser sempre obtidos algebricamente por meio da tão conhecida propriedade distributiva, a sua memorização e compreensão são fundamentais:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b 2

(a + b) . (a – b) = a2 – b2

1. (CESCEM – SP) O desenvolvimento de (2a – 3b)2 é igual a:

a) 2a2 – 3b2

b) 4a2 + 9b2

c) 4a2 – 12ab + 9b2

d) 2a2 – 12ab + 3b2

e) 0

2. (FCC – SP) A expressão (x – y)2 – (x + y)2 é equivalente a:

a) 0

b) 2y2

c) –2y2

d) –4xy

e) 2xy

3. (PUC – SP) A expressão (2a + b)2 – (a – b)2 é igual a:

a) 3a2 + 2b2

b) 3a2 + 6ab

c) 4a2b + 2ab2

d) 4a2 + 4ab + b2

e) 2a2 + b2

4. (UEL – PR) Se a ∈ R e a > 0, a expressão

aa

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

12

é equivalente a:

a) 1

b) 2

c) aa

2 1

d) aa

4

2

1

e) a aa

2 2 1

5. (UPF – RS) A expressão

(a + 2)2 – 5 . (3 – 2a) + (2a – 3)2 é equivalente a:

a) 2a2 + 8a – 2

b) 5a2 + 2a – 2

c) 3a2 – 20a +13

d) 5a2 + 10a – 2

e) 5a2 – 18a + 28

6. Assinale a expressão que não é um trinômio quadrado perfeito:

a) a2 – 2a + 1

b) x4 – 4x2y + 4y2

c) 1 – 2a4 + a8

d) x2 + 2xy + y2

e) x2 + 6x + 16

7. Sendo (a + b)2 = 900 e ab = 200, calcule o valor de a2 + b2:


Fatoração

Revertendo a

aplicação da

propriedade

distributiva

@MAT1735

Uma das características da Matemática é a utilização de operações inversas. Por exemplo, são inversas as seguintes operações:

Adição e SubtraçãoMultiplicação e Divisão

Potenciação e Radiciação

Para ilustrar essa observação, o diagrama a seguir re-presenta, por meio da seta no. 1, que obtemos, a partir de (a + b)2, o resultado a2 + 2ab + b2.

Note que a seta no. 2 indica o procedimento inverso, pelo qual obtemos, a partir de a2 + 2ab + b2, a expressão (a + b)2. Saber esse procedimento inverso representa um passo importante para fatorar expressões algébricas.

Temos que fatorar expressões algébricas para, a seguir, simplificar frações algébricas.

Existem as fatorações

pelo fator comum, por agrupamentos

e por produtos notáveis. Você vai estudar os três casos.

Theo

Cor

deiro

Fator comumA figura a seguir possui um total de 160 quadradinhos

coloridos. Esse número é o resultado da multiplicação do número de quadradinhos existentes em cada fila horizontal pelo número de filas existentes, ou seja:

16 . (3 + 7)

Observando a existência de filas de cores diferentes, poderíamos chegar à quantidade total de quadradinhos, considerando a soma das quantidades de cada cor, ou seja:

16 . 3 + 16 . 7 n.o de quadradinhos verdes n.o de quadradinhos rosaLogo, como os resultados apontam a mesma quantidade,

podemos dizer que:16 . 3 + 16 . 7 = 16 . (3 + 7)

termocomum

termo comum que foi colocado em evidência

O que acabamos de fazer chama-se fatoração, que nada mais é do que transformar uma adição ou subtração, quando admitem termo comum, em um produto. Assim:

a . x + b . x = x . (a + b)ou

a . x – b . x = x . (a – b)

Exemplos1. 2x – 2y = 2(x – y)

2. 4x2 + 3x = x . (4x + 3)

3. x3 + 2x2 + x = x(x2 + 2x + 1)

Fatorar uma expressão algébrica é transformá-la em produto.


FÍSICA

25

FÍSICAMATEMÁTICA

Fatoração por agrupamentoDenominamos fatoração por agrupamento aquela em

que os termos em comum são colocados sucessivamente em evidência.

Observe a expressão algébrica:ax + bx + ay + by

Embora não exista um mesmo fator em comum nos quatro termos, é possível fatorá-los dois a dois, ou seja:

ax + bx + ay + by =

= x . (a + b) + y . (a + b) =

= (a + b) . (x + y)

A expressão (a + b) . (x + y) é a forma fatorada de ax + bx + ay + by.

A fatoração por agrupamento

nada mais é do que a obtenção sucessiva de

termos em comum.

Theo

Cor

deiro

Exemplos

1. 3a2 + 3 + ba2 + b =

= 3(a2 + 1) + b(a2 + 1) =

= (a2 + 1) (3 + b)

2. x3 + 2x2 + x + 2 =

= x2(x + 2) + (x + 2) =

= (x + 2) (x2 + 1)

3. 6x + 6y + ax + ay =

= 6(x + y) + a (x + y) =

= (x + y) (6 + a)

Fatoração por

produtos notáveis

Na aula anterior, você trabalhou os três casos de produtos notáveis. Vamos recordá-los?

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 (a + b) . (a – b) = a2 – b2

Agora, você terá de fazer o caminho inverso, ou seja, a partir do segundo membro dessas igualdades, obter o primeiro membro, que é a forma fatorada:

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 a2 – b2 = (a + b) . (a – b)

Fatore as expressões

a) y2 + 2y + 1

b) 4x2 + 12x + 9

c) 9y2 – 6y + 1

d) x2 – 4

Divisores

comuns e

fatoração por

agrupamento

@MAT1533


É muito importante a compreensão da

fatoração por produtos notáveis.

Theo

Cor

deiro

SimplificaçõesA esta altura, você pode estar se perguntando o motivo

de estudar fatorações. Para que serve a fatoração de uma expressão algébrica?

Dentro da Matemática, a fatoração de expressões algé-bricas é utilizada para simplificar frações algébricas.

Exemplos

1. 2 2 22

x y

x y

x y

x y

−−

=−−

=( )

( )

2. 2 2 22

ax bx

a b

x a b

a bx

++

=++

=( )

( )

3. x

x x

x

x x x

−−

=−−

=1 1

1

12 ( )

4. x + 2x2 – 4

= x + 2

(x + 2)(x – 2) =

1x – 2

5. x2 + 2xy + y2

x2 – y2 = (x + y)2

(x + y)(x – y) = x + y

x – y

6. x2 – 4xy + 4y2

x2 – 4y2 = (x – 2y)2

(x + 2y)(x – 2y) =

x – 2yx + 2y

ImportanteAs simplificações relacionadas a frações algébricas

devem ser efetuadas, respeitando-se a restrição de que o termo simplificado (na verdade, dividido) deve ser diferente de zero.

É bom lembrar que uma divisão por zero não pode ser efetuada.

Theo

Cor

deiro

1. (FAAP – SP) Simplificando a expressão ax ay

x xy y

2 2

2 22−

− +, obtemos:

a) ax y

b) a x yx y( )+−

c) a(x + y)

d) x yx y+−

e) 0

2. (ACAFE – SC) A expressão 36 162 2 3

2y x yx−+( )

é

equivalente a:

a) 2y . (3 – 2x)

b) 2

3 4y

x

c) y(2x – 3)

d) y xx−+2 3

e) 4x – 6

3. (UMC – SP) Simplificando xxy y

x yx xy

2

2

2 2

2−−+

. ,

obtemos:

a) xy

b) yx

c) x yx y−+

d) x yx y+−

e) x

4. (UNICAMP – SP) A expressãoa ab b

a ba ba b

2 2

2 2

2+ +−

÷−+

, para a b, é igual a:

a) 12( )a b

b) ( )a ba b

3

2 2

c) a ba b+−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

d) 1a b

e) 2 22 2a b aba b+−

Simplificação

de frações

algébricas

@MAT1237


FÍSICA

27

FÍSICAMATEMÁTICA

5. (FGV – SP) Simplificando-se a b

a b1 1

, obtemos:

a) 1ab

b) ab

c) a ba b+

− − d) –ab

e) 2ab

6. (UnB – DF) A expressão 3 416

14

42

aa a

a−−

−−

≠ ±( )

é equivalente a:

a) 14a

b) 24a

c) 24a

d) 2a e) a

7. (USF – SP) Se os números reais x e y são tais que

yx

x x x=

−−

+−

25

4253 2 2

, então y é igual a:

a) 25x x( )

b) 55x x( )

c) 25

xx

d) 55

xx

e) xx x( ).( )− +5 5

8. (UEL – PR) Efetuando-se 2 12

3 242

xx

xx

−−

−+−

, para

x –2 e x 2, obtém-se:

a) 2 24

2

2

.( )xx

b) 2 14

2

2

.xx

c) 24

2

2

. xx

d) 12

e) 2

9. (USF – SP) O valor da expressão

x yx y

x xy yx y

2 2 2 22−+

⋅+ +

− para x = 1,25 e y = – 0,75 é:

a) –0,25 b) –0,125 c) 0

d) 0,125 e) 0,25

Equações do 1o. grau

O que significa equacionar um problema? Os problemas possíveis de serem solucionados por meio dos números podem ser, de modo geral, tratados por equações. O termo equacionar está incorporado na linguagem do dia a dia; basta observarmos comentários na imprensa escrita ou falada: “... dessa forma, existe uma necessidade de equacionarmos o problema da miséria que impera nas camadas...”

Qual a razão de as equações matemáticas assumirem em nossa vida um papel de destaque?A busca de respostas dessa e de outras questões similares acaba recaindo na origem da palavra

“equação”, que é proveniente da mesma raiz latina das palavras “igualdade” e “igual”.

A história da Matemática relata, em um antigo documento chamado Papiro de Ahmes ou de Rhind, a utilização de problemas envolvendo números que podem ser resolvidos por equações. Um dos problemas é o seguinte:

Uma quantidade, somada a seus dois terços, mais sua metade e mais sua sétima parte é igual a trinta e três. Qual é esta quantidade?

Esta unidade tem por objetivos o estudo de equações do 1.º grau numa incógnita e a resolução de problemas que podem ser representados por tais equações. O problema citado anteriormente pode ser representado e resolvido por meio de uma equação do 1.º grau na incógnita x, ou seja:

x x x x+ ⋅ + ⋅ + ⋅ =2

3

1

2

1

733


Escreva a equação que representa o problema citado e determine o valor da incógnita.

Assim, são exemplos de equações do 1o. grau na incógnita x:

1. 2x – 10 = 0 6. 2x – 10 = –7

2. –7x + 51 = 0 7. –9x – 7x = 18 – x

3. 4x – 500 = 0 8. − − =4

31

3x

x

4. –0,1 . x + 12 = 0 9. –0,01 + 7x = 2x

5. 3 6 3 0.x + = 10. 9 2 3= −x

Observe que as equações de (1) a (5) estão escritas na forma ax + b = 0, o que não acontece com as de (6) a (10). É possível, entretanto, transformá-las na forma ax + b = 0. Para isso, devem-se compre-ender dois princípios matemáticos relacionados a uma igualdade, os quais podem ser mais facilmente entendidos pela comparação com uma balança de dois pratos em equilíbrio.

Uma balança em “equilíbrio” continuará em “equilíbrio” se colocarmos (ou retirarmos) uma mesma massa nos dois pratos:

Robe

rto

Carlo

s Lo

pes

Numa igualdade matemática:

se adicionarmos (ou subtrairmos) um mesmo número aos dois membros de uma igualdade, obteremos uma igualdade;

Exemplo2x – 10 = 40adicionando 10 aos dois membros:2x – 10 + 10 = 40 + 102x = 50

se multiplicarmos (ou dividirmos) dois membros de uma igualdade por um mesmo número, obteremos uma igualdade.

Exemplo2x = 50multiplicando por 1/2 os membros da igual-dade:

1

2

1

2⋅ = ⋅2 50x

x = 25

Como

resolver

problemas

usando uma

equação

@MAT2904


FÍSICA

29

FÍSICAMATEMÁTICA

Ilust

raçõ

es: T

heo

Cord

eiro

O número que, quando colocado no

lugar de x, torna verdadeira a igualdade é a

solução da equação.

Resolução de uma equação do 1o. grauResolver uma equação do 1o. grau na incógnita x significa obter o valor que pode ser colocado no

lugar de x e que verifica a igualdade correspondente.

Mas como podemos resolver uma equação do 1o. grau?A resolução de uma equação do 1o. grau, com uma incógnita, é feita utilizando-se os princípios

que não alteram uma igualdade. A ideia central é isolar, em um dos membros que compõem a equação, a incógnita. Assim, o número resultante no outro membro será a solução.

Observe o exemplo que utilizamos anteriormente para explicar os princípios que não alteram uma igualdade:

2x – 10 = 40 2x – 10 + 10 = 40 + 10

2x = 50

1

2

1

2. .2 50x =

x = 25O número 25 é a solução da equação.

O quadro a seguir contém outros exemplos de solução de equações do 1o. grau na incógnita x:

Exemplo 1

2x + 5 = 15

Resolução:

2x + 5 – 5 = 15 – 5 2x = 10

1

2

1

2. .2 10x =

x = 5 (é a solução)

Exemplo 2

3 . (4x – 2) = 5 . (2x + 3) + 3

Resolução:

12x – 6 = 10x + 15 + 3 12x – 6 + 6 = 10x + 18 + 6 12x = 10x + 24 12x – 10x = 10x + 24 – 10x 2x = 24

1

2

1

2. .2 24x =

x = 12 (é a solução)

Exemplo 3

x x− − − =1

4

3

63

Resolução:

mmc (4, 6) = 12

3 . (x – 1) – 2 . (x – 3) = 36 3x – 3 – 2x + 6 = 36 x + 3 = 36 x + 3 – 3 = 36 – 3 x = 33 (é a solução)

*

Resolução de problemasA Matemática possui como característica a busca pela resolução de problemas. Embora o objetivo

desta unidade seja a resolução de problemas que possam ser representados por equações do 1o. grau, existem algumas ideias interessantes que servem para a resolução de problemas de um modo geral.

Podemos dividir a resolução de um problema qualquer em quatro etapas, a saber:

compreender o problema;

encontrar uma ligação entre os dados e a incógnita;

verificar cada etapa, ao executar um plano de resolução;

verificar a solução.

E se estiver

multiplicando, passará para o

outro lado divi-dindo.

Agora entendi: para mudar um número de membro numa igualdade, se ele estiver subtraindo, passará para o outro lado

adicionando.

Formas

diferentes

para resolver

uma equação

@MAT2696

Observe na unidade 1 o procedimento para determinar o mmc.

*


Problemas do 1o. grauComo a própria denominação já esclarece, um problema é identificado como sendo do 1o. grau

quando a sua resolução puder ser efetuada por meio de uma equação do 1o. grau. Para solucionar um problema, é fundamental que, após a leitura de seu enunciado, se execute a resolução evidenciando alguns aspectos, tais como:

identificar a incógnita do problema;

representar o problema por meio de uma equação;

resolver a equação;

interpretar e verificar a solução do problema.Antes de seguirmos adiante, é importante destacar que resolver qualquer tipo de problema, não

necessariamente matemático, significa contornar obstáculos e constitui uma atividade humana fun-damental.

Agora, tente resolver os problemas a seguir utilizando equações do 1o. grau.

Problema 1 (FUVEST – SP) O dobro de um número, mais a sua terça parte, mais a sua quarta parte somam 31. De-termine o número.

Problema 3 (UNICAMP – SP) Roberto disse a Valéria: “pense em um número, dobre esse número, some 12 ao resultado; divida o novo resultado por 2. Quanto deu?” Valéria disse “15”, ao que Roberto imediatamente revelou o número original que Valéria havia pensado. Calcule esse número.

Problema 2 (UFGO) Diminuindo-se 6 anos da idade de minha filha, obtêm-se os 3/5 de sua idade. A idade de minha filha, em anos, é:a) 9 b) 10 c) 12d) 15 e) 18


FÍSICA

31

FÍSICAMATEMÁTICA

Problema 4 Uma quantidade, somada a seus dois terços, mais sua metade e mais sua sétima parte é igual a trinta e três. Qual é essa quantidade?

Theo

Cor

deiro

O problema 4 é aquele

apresentado no início deste

tópico.

1. (ESPM – SP) O valor de x na proporção

213

114

125

−

+=

+

x é:

a) 2815

b) 4813

c) 513

d) 635

e) 7323

2. (UFMG) A raiz da equação2 1

33 2

41

6( ) ( )x x x+

−+

=+

pertence ao intervalo:

a) [0, 2] b) [–3, –1] c) [–2, 0]

d) [–6, –3] e) [2, 6]

3. (UTESC – SC) Se xx

33

15

2 2 4− = + −( ) ,

então o valor de x – 9 é:

a) 9 b) –9 c) 0

d) 2 e) –2

4. (ITE – SP) Se 11

11

1−

−=

−x x, então x é igual a:

a) –2 b) –1 c) 12

d) 2 e) 3

5. (UECE – CE) Uma peça de tecido, após a lava-gem, perdeu 1

10 de seu comprimento e este

ficou medindo 36 metros. Nestas condições, o

comprimento, em m, da peça antes da lavagem era igual a:

a) 44 b) 42 c) 40

d) 38 e) 41

6. (FEI – SP) Uma tarefa foi executada em três dias de trabalho. No primeiro dia, realizou-se um quarto dessa tarefa. No segundo dia, executaram-se dois terços da parte que faltava para completar-se a tarefa. Que fração da tarefa foi realizada no ter-ceiro dia?

a) Um terço.

b) Dois terços.

c) Um quarto.

d) Dois quintos.

e) Três quintos.

7. (UFRGS) Uma tabela tem cinco valores numéri-cos. Observa-se que, com exceção do primeiro, cada valor é 2

3 do valor numérico anterior. Se a

soma total dos valores é 211, o primeiro valor da tabela é:

a) 81 b) 87 c) 90

d) 93 e) 99

8. (ULBRA – RS) Um tanque de gasolina de um carro tem capacidade para 50 litros. O mar-cador de gasolina mostra que o combustível ocupa a quarta parte do tanque. Se o litro da gasolina custa R$ 0,475, o motorista gastará para completar o tanque:

a) R$ 5,93 b) R$ 6,50 c) R$ 16,00

d) R$ 17,81 e) R$ 23,75


9. (PUC – SP) Um feirante compra maçãs ao pre-ço de R$ 0,75 para cada duas unidades e as vende ao preço de R$ 3,00 para cada seis uni-dades. O número de maçãs que deverá vender para obter um lucro de R$ 50,00 é:

a) 40

b) 52

c) 400

d) 520

e) 600

10. (UFF – RJ) Três números naturais e múltiplos consecutivos de 5 são tais que o triplo do me-nor é igual ao dobro do maior. Entre esses nú-meros, o maior é:

a) múltiplo de 3

b) ímpar

c) quadrado perfeito

d) divisor de 500

e) divisível por 4

11. (UFMG) Considere a sequência de operações aritméticas na qual cada uma atua sobre o re-sultado anterior: comece com um número x, subtraia 2, multiplique por 3

5, some 1, multipli-

que por 2, subtraia 1 e finalmente multiplique

por 3 para obter o número 21. O número x per-tence ao conjunto:

a) {1, 2, 3, 4}

b) {–3, –2, –1, 0}

c) {5, 6, 7, 8}

d) {–7, –6, –5, –4}

e) ∅

Sistemas de equações do 1o. grau

Observe o diálogo:Embora seja possível fazer, pela ilustração, uma estimati-

va das idades das pessoas, não podemos precisar as idades devido à falta de mais informações.

Considerando x e y as idades das pessoas, podemos representar a situação pela equação:

x + y = 36

Para obtermos algumas soluções da equação acima, atribuímos valores para a incógnita x (ou para a incógnita y) e calculamos, a seguir, o valor da outra incógnita.

Exemplosx = 12 ⇒ 12 + y = 36 ⇒ y = 24x = 18 ⇒ 18 + y = 36 ⇒ y = 18

x = 21 ⇒ 21 + y = 36 ⇒ y = 15x = 26 ⇒ 26 + y = 36 ⇒ y = 10

…

Agora, vamos acrescentar uma outra informação à situação apresentada:

A somade nossas idades é

igual a 36.

Eu soumais

velho.

A diferençaentre nossas idades

é de 6 anos.

Ilust

raçõ

es: T

heo

Cord

eiro

Sendo x a idade do mais velho e y a idade do mais novo, podemos representar essa nova informação pela equação:

x – y = 6


FÍSICA

33

FÍSICAMATEMÁTICA

A solução do problema, se existir, é um par de valores (x; y) que verifica as duas equações simultaneamente:

x + y = 36 e x – y = 6

⇓ x + y = 36

x – y = 6

As equações acima formam um sistema de duas equações do 1o. grau com duas incógnitas. Obter e discutir soluções para sistemas desse tipo são os objetivos deste tópico.

Métodos de resoluçãoVamos destacar aqui três métodos de resolução de um

sistema de duas equações do 1o. grau com duas incógnitas:

método da substituição

método da adição

método da comparação

Você observará que qualquer um dos três poderá ser utili-zado na resolução de qualquer sistema de duas equações do 1o. grau com duas incógnitas. Entretanto, a escolha depende das equações.

Método da substituiçãoEsse processo consiste em isolar, numa das equações,

uma incógnita em função da outra e, a seguir, substituir a expressão obtida na outra equação: a igualdade resultante será uma equação do 1o. grau com uma incógnita.

Exemplox + y = 36 y = 36 – x

x – y = 6

x – (36 – x) = 6 x – 36 + x = 6 2x = 42 x = 21

Portanto, os valores que satisfazem o sistema são x = 21 e y = 15

ObservaçãoÉ comum representarmos a solução de um sistema por

um par ordenado. No caso, o conjunto-solução é S, onde:S = {(21; 15)}

Eu tenho 21

anos.

Eu, 15anos.

Theo

Cor

deiro

Método da adiçãoO método da adição consiste em fazer uma das incógnitas

“desaparecer”. Por isso, para utilizá-lo, verifique se uma mes-ma incógnita possui coeficientes opostos nas duas equações. Caso esse fato se confirme, basta adicionar as duas igualdades membro a membro.

Exemplox y

x y

x

x

+ =− =

⎧⎨⎩

==

36

6

2 42

21

Substituindo na 1.ª equação (poderia ser na 2.ª equação), obtemos a outra incógnita:

21 + y = 36 y = 36 – 21 y = 15

Portanto: S = {(21; 15)}

E se oscoeficientes

de uma mesmaincógnitanão forem opostos?

Theo

Cor

deiro

Multiplicando os dois membros de uma igualdade por um mesmo número é possível obtermos coeficientes opostos. Observe o exemplo:

2 3 5

5

x y

x y

− =+ = −

⎧⎨⎩

y = 36 – 21y = 15

1

2

3

4

Resolvendo

sistemas de

equações

lineares

@MAT955


Vamos multiplicar a 2ª. equação membro a membro por (–2):

2 3 5

2 2 10

x y

x y

− =− − =⎧⎨⎩

Como os coeficientes de x são opostos, podemos adicionar membro a membro as duas equações:

2 3 5

2 2 10

5 15

3

x y

x y

y

y

− =− − =− == −

Substituindo na 2ª. equação dada (poderia ser na 1ª. equação):

x + y = –5 x – 3 = –5 ⇒ x = –2

Portanto: S = {(–2; –3)}

Método da comparaçãoProcesso de resolução de um sistema de duas equações

do 1o. grau com duas incógnitas que consiste em isolar uma mesma incógnita nas duas equações dadas e, a seguir, com-parar os resultados obtidos.

Vamos ao exemplo:

x y

x y

+ =− =

⎧⎨⎩

36

6

Isolando x na 1ª. equação (poderia ser o y): x + y = 36 x = 36 – y (I)

Isolando x na 2ª. equação: x – y = 6 x = 6 + y (II)

Comparando (I) com (II): 36 – y = 6 + y – y – y = 6 – 36 – 2y = – 30 y = 15

Substituindo em (II): x = 6 + y x = 6 + 15 ⇒ x = 21

Portanto: S = {(21; 15)}

Classificação de um sistemaQuanto ao número de soluções de um sistema de duas

equações do 1o. grau com duas incógnitas, existem três pos-sibilidades:

nenhuma solução;

uma solução apenas;

infinitas soluções.

E eu que pensava que umsistema de duas

equações do 1º. graucom duas incógnitas sempre admitia uma

única solução.

Theo

Cor

deiro

Vamos considerar três situações para evidenciar as pos-sibilidades quanto à solução de um sistema:

1.ª situaçãoEm um estacionamento, há carros e motos num total de

23 veículos e 76 rodas. Quantas motos e quantos carros há no estacionamento?

Theo

Cor

deiro


FÍSICA

35

FÍSICAMATEMÁTICA

3 .ª situaçãoResolva o seguinte sistema de equações do 1o. grau:

2 10

2 9

x y

x y

+ =+ =

⎧⎨⎩

2 .ª situaçãoA soma de dois números é igual a 13. Calcule esses dois

números, sabendo que a soma do dobro do primeiro com o dobro do segundo é igual a 26.

1. (PUC – SP) A solução do sistema 3 12 2 1

x yx y+ =+ =

⎧⎨⎩

é:

a) 014

;⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ b) −⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟

12

0; c) −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12

1;

d) 12

14

;⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ e) 1

414

;⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2. (UEL – PR) Se o par (a; b) é a solução do sistema

x yx y+ =− = −

⎧⎨⎩

53 7 , então é verdade que:

a) a = 3 b) b = –3 c) a . b = 1

d) ab = 8 e) a . b = 9

3. (UNITAU – SP) A solução do sistema de equações

algébricas lineares x yx y− =+ =

⎧⎨⎩

22 1

é dada por:

a) x = 1, y = 1 b) x = 1, y = –1

c) x = –1, y = 1 d) x = –1, y = –1

e) x = y = 0

4. (UCS – RS) Considere o sistema de equações

2 4 23 3 6x yx y− = −+ =

⎧⎨⎩

, no qual x é a primeira variável

e y é a segunda variável.

A afirmação verdadeira sobre esse sistema é:

a) O sistema não tem solução.

b) O sistema tem como única solução o par

ordenado 012

,⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .

c) Qualquer par ordenado de números reais é solução do sistema.

d) Qualquer par ordenado da forma aa

,+⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟

12

com a ∈ R é solução do sistema.

e) As equações do sistema representam duas retas que não se interceptam.

5. (EFEI – MG) Dois números naturais são tais que a sua soma é igual a 209 e o quociente do maior deles pela diferença entre eles é igual a 6. Encontre esses números.

6. (CEFET – RJ) Para que as equações

(m – 2)x – (m – 1) = 0 e 2x – 4 = 0

sejam equivalentes, devemos ter m igual a:

a) 2 b) 3

c) 4 d) 5

e) 3/2


7. (PUC – SP) Um certo número de alunos fazia prova em uma sala. Em um dado momento, re-tiraram-se da sala 15 moças, ficando o número de rapazes igual ao dobro do número de mo-ças. Em seguida, retiraram-se 31 rapazes, fican-do na sala igual número de moças e rapazes. O total de alunos que fazia prova nessa sala era:

a) 96 b) 98 c) 108

d) 116 e) 128

8. (UNICENP – PR) Sabendo que o sistema

ax y bx y+ =− = −

⎧⎨⎩

23 2 4

é possível e indeterminado,

calcule o valor de ea + b:

a) 1 b) zero c) 1e

d) e e) e7

9. (ULBRA – RS) Num estacionamento, existem automóveis e motos. O número total de rodas é 120, e o número de motos é o dobro de au-tomóveis. O número total de veículos que se encontram no estacionamento é:

a) 15 b) 30 c) 36

d) 45 e) 60

Equações do 2o. grau

Na Índia Antiga, havia um passatempo extre-mamente curioso entre os matemáticos, que era a resolução de quebra-cabeças. As soluções apareciam em meio a competições públicas, em que os compe-tidores “bolavam” problemas matemáticos para que outros os resolvessem. Muitos desses problemas atravessavam gerações sem que soluções fossem encontradas. Existia, além disso, uma preocupação em apresentá-los numa linguagem às vezes poética. Versos e problemas matemáticos jorravam nesses concursos populares. Eis um exemplo:

Alegravam-se os macacosDivididos em dois bandos:Sua oitava parte ao quadradoNo bosque brincava.

Com alegres gritos, dozeGritando no campo estão.Sabes quantos macacos háNa manada no total?A resolução desse problema indiano recai sobre

uma equação do 2º. grau numa incógnita. Muito tempo se passou para que os matemáticos descobrissem uma fórmula para a resolução de equações do 2º. grau. Bhaskara Akaria, matemático indiano nascido em 1114, ficou famoso pela descoberta de uma fórmula que resolvia uma equação do 2º. grau. Hoje, sabemos que Bhaskara foi o responsável não pela descoberta, mas, sim, pela divulgação.

Talit

a Ka

thy

Bora

Fonte: IBGE. Atlas geográfico escolar. Rio de Janeiro: IBGE, 2009. Adaptação.

ÍNDIA – território atual


FÍSICA

37

FÍSICAMATEMÁTICA

Vamos terde isolar aincógnita!

Theo

Cor

deiro

Equações completas

Escreva a equação que representa o problema citado e determine o valor da incógnita.

Vamos ver inicialmente o que é uma equação do 2º. grau.

Uma equação, na incógnita x, é denominada do 2o. grau quando puder ser escrita na forma

ax2 + bx + c = 0onde a, b e c são números reais, com a ≠ 0.

Assim, são exemplos de equações do 2º. grau na incógnita x:

(1) 2x2 – 7x + 1 = 0(2) –3x2 + 6x + 2 = 0(3) 7x2 – 7x + 1 = 0(4) 2x2 – 4x = 0(5) 2x2 – 5 = 0(6) x2 = 0

Observe que as três primeiras equações apresentam todos os seus coeficientes não nulos. Tais equações são ditas equações completas, enquanto as outras são incompletas.

Resolver uma equação do 2º. grau, na incógnita x, significa obter, por meio de processos algébricos, o valor ou os valores de x que verifiquem a igualdade correspondente à equação.

Algumas equações podem ser resolvidas utilizando-se trinômios quadrados perfeitos (são os produtos notáveis). Observe o exemplo:

x2 – 4x + 4 = 0Resolução:

Como x2 – 4x + 4 = (x – 2)2, é possível isolar o x no primeiro membro, ou seja:

x2 – 4x + 4 = 0 (x – 2)2 = 0x – 2 = 0 ⇒ x = 2

A partir dos coeficientes a, b e c da equação ax2 + bx + c = 0, é possível de-monstrar a existência de uma relação entre as raízes (valores de x) e aqueles coeficientes. Observe:

ax2 + bx + c = 0

multiplicando por 4a: 4a2x2 + 4abx + 4ac = 0

subtraindo 4ac: 4a2x2 + 4abx = –4ac

somando b2 membro a membro: 4a2x2 + 4abx + b2 = b2 –4ac

E como resolver equações do 2o. grau em que o trinômio não é quadrado perfeito?

O quadrado

perfeito e as

equações de

2.o grau

@MAT2618


fatorando o trinômio no 1.º membro:(2ax + b)2 = b2 – 4ac

2 42ax b b ac+ = ± −

2 42ax b b ac= − ± − isolando x:

xb b ac

a=− ± −2 4

2

Observe que a igualdade obtida permite encontrar o valor de x a partir dos coeficientes da equa-

ção. Então, a equação ax2 + bx + c = 0 pode ser resolvida pela fórmula xb b ac

a= − ± −2 4

2, que é

conhecida como Fórmula de Bhaskara.

Bhaskara foi o último matemático medieval importante da Índia, e sua obra representa a culminação de contribuições hindus anteriores. Em seu tratado mais conhecido, o Lilavati, ele compilou problemas de Brah-magupta e outros, acrescentando observações próprias novas. O próprio título dessa obra pode ser tomado como indicação da qualidade desigual do pensamento hindu, pois o nome do título é o da filha de Bhaskara que, segundo a lenda, perdeu a oportunidade de se casar por causa da confiança de seu pai nas predições astrológicas. Bhaskara tinha calculado que sua filha só poderia casar de modo propício numa hora determi-nada de um dia dado. No dia que deveria ser o de seu casamento a jovem ansiosa estava debruçada sobre um relógio de água quando se aproximava da hora do casamento, quando uma pérola em seu cabelo caiu, sem ser observada, e deteve o fluxo de água. Antes que o acidente fosse notado, a hora propícia passava. Para consolar a infeliz moça, o pai deu seu nome ao livro que estamos descrevendo.

BOYER, Carl B. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blucher, 2008. p. 152.

Alguns exemplos

a) 4x2 – 5x – 6 = 0

b) 2x2 – 18 = 0


FÍSICA

39

FÍSICAMATEMÁTICA

c) Qual é a medida do lado de um quadrado que tem o perímetro numericamente igual à área?

Equações incompletasOs exemplos b e c, apresentados anteriormente, representam equações incompletas do 2º. grau.

Estas são assim conhecidas por não possuírem todos os termos.A solução de equações incompletas pode ser obtida por meio da Fórmula de Bhaskara (observe a

resolução dos exemplos b e c). Entretanto, existem procedimentos algébricos que facilitam a resolução de equações incompletas.

Vamos considerar duas situações:

1ª. situaçãoEquações incompletas da forma ax2 + c = 0Exemplo2x2 – 18 = 0 2x2 = 18x2 = 9 x = ± 9x1 = 3 ou x2 = –3Portanto, S = {–3; 3}.

As equações incompletas do 2º. grau da forma ax2 + c = 0, em que b = 0, são resolvidas isolando-se o x.Antes de observarmos a outra situação de equações incompletas do 2º. grau, procure obter uma

resposta para a seguinte questão:

Quais os valores de x e y que verificam a igualdade x . y = 0?

Uma outra maneira de fazer a pergunta anterior é questionar “quando o produto de dois números reais é igual a zero?”.

2ª. situaçãoEquações incompletas da forma ax2 + bx = 0Exemplo

x2 – 4x = 0Como existe um termo em comum no 1º. membro, é possível colocá-lo em evidência, ou seja:

x . (x – 4) = 0Se um produto vale zero, então, necessariamente, um de seus fatores será igual a zero. Assim:

x = 0 ou x – 4 = 0

x = 0 ou x = 4

Portanto: S = {0; 4}.Equações da forma ax² + bx = 0 podem ser resolvidas colocando o x em evidência.

Basta isolar o x no

primeiro membro da igualdade.

Theo

Cor

deiro

Coeficientes

iguais a zero

da equação

de 2.o grau

@MAT2014


O discriminante é o radicando da

Fórmula de Bhaskara.

Theo

Cor

deiro

DiscriminanteExperimente resolver as três equações do 2.º grau que estão no quadro a seguir:

2x2 – 7x + 10 = 0

x2 – 10x + 25 = 0

x2 – 4x + 3 = 0

Agora, responda:

Quantos elementos tem o conjunto-solução de cada uma dessas equações?

Se você tiver a curiosidade de resolver essas equações com o auxílio da Fórmula de Bhaskara, perceberá que a primeira equação não apresenta solução real, a segunda possui duas soluções iguais e a terceira possui duas soluções distintas.

Porém, não é necessário resolver a equação do 2º. grau para se chegar a essas conclusões. Basta entender o que é discriminante na Fórmula de Bhaskara.

Na Fórmula de Bhaskara, a expressão b2 – 4ac é denominada discriminante.

Representando o discriminante pela letra grega delta, temos:

xb

a=− ± Δ

2

onde Δ = b2 – 4ac. Conforme o valor de Δ, têm-se as seguintes possi-bilidades quanto à natureza das raízes:

Δ > 0: duas raízes reais e distintas;

Δ = 0: duas raízes reais e iguais;

Δ < 0: não admite raízes reais.

Observe os três exemplos a seguir, relacionados à discussão das possibilidades quanto a raízes de uma equação do 2º. grau.

Alguns exemplos

a) Verifique a existência de raízes na equação 2x2 + 4x – 5 = 0.

b) Verifique a existência de raízes na equação x2 – 2x + 6 = 0.

c) Para que valor de m a equação x2 – 4x + m = 0 admite duas raízes reais e iguais?


FÍSICA

41

FÍSICAMATEMÁTICA

1. (UFES) A equação x2 – 10x + 25 = 0 tem as seguintes soluções no conjunto dos números reais:

a) somente 5 b) somente 10

c) –5 d) 5 e 10

e) 0

2. (PUC – SP) As raízes da equação 2x2 – 10 – 8x = 0 são:

a) {1; 5} b) {2; 3} c) {–1; 5}

d) {–1; –5} e) ∅

3. (UNITAU – SP) A solução {x1, x2}, no conjunto dos reais, da equação x2 – x – 6 = 0, é:

a) {3; 2}

b) {–3; 2}

c) {6; –4}

d) {3; –2}

e) {4; –1}

4. (CESGRANRIO – RJ) A maior raiz da equação

–2x2 + 3x + 5 = 0 vale:

a) –1 b) 1 c) 2

d) 2,5 e) 3 194

5. (FUVEST – SP) Se x x.( )114

− = , então:

a) x = 1 b) x12

c) x = 0

d) x14

e) x = 3

6. (PUC – RJ) Quando o polinômio x2 + x – a tem raízes iguais?

7. (UFRGS) Um valor de x na equação

ax2 – (a2 + 3)x + 3a = 0 é:

a) 3a b) a3

c) a3

d) 3a

e) 3a

Relação entre coeficientes e raízes

Neste tópico, você verá que é possível estabelecer relações entre as raízes de uma equação do 2º. grau e seus coeficientes numéricos. Como con-sequência, podem-se obter a soma e o produto das raízes sem determiná-las.

No diagrama abaixo, a seta 1 indica que, a partir da equação do 2º. grau, utilizando-se a Fórmula de Bhaskara, obtêm-se as raízes da equação:

ax2 + bx + c = 0 S = {x1, x2}

(1)

(2)

Acho que isto não é possível.

Eu sei obter a soma e o produto das raízes sem resolver

a equação do 2º. grau.

Theo

Cor

deiro

A seta 2 indica que, conhecendo-se as raízes de uma equação do 2º. grau, pode ser obtida uma equação que as admite. Isso vai ser possível pelo teorema da decomposição, assunto a ser estudado.

Soma das raízesA soma das raízes de uma equação do 2º. grau, na incógnita x, pode ser obtida por meio de dois

coeficientes da correspondente equação.Vamos considerar a equação genérica do 2º. grau e a fórmula resolutiva de Bhaskara:

ax2 + bx + c = 0

xb

a=− ± Δ

2 As raízes x1 e x2 são:

xb

a

xb

a

1

2

2

2

= − + Δ

= − − Δ

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪Matemática Básica42

ax2 + bx + c = 0

xb

a=− ± Δ

2 As raízes x1 e x2 são: x

b

a

xb

a

1

2

2

2

=− + Δ

=− − Δ

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

Vamos obter a soma S dessas raízes:

S = x1 + x2 ⇒ Sb

a

b

a=− + Δ

+− − Δ

2 2 ⇒ S

b b

a=− + Δ − − Δ

2 ⇒ S

b

a=−2

2

Portanto: Sb

a= −

Vamos obter o produto P dessas raízes:

P = x1 . x2

Pb

a

b

a=

− + Δ⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

− − Δ⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟2 2

.

Pb

a=− − Δ( ) ( )2 2

24

Pb b ac

a=

− −2 2

2

4

4

( )

Pac

a

4

4 2

Portanto: Pca

=

Se você resolver a equação

2x2 – 3x – 2= 0 encontrará os

valores 2 e –1/2, cuja soma é 3/2.

Theo

Cor

deiro

Em outras palavras, a soma das raízes de uma equação do 2o. grau é o oposto do coeficiente de x dividido pelo coeficiente de x2. Observe o exemplo a seguir:

Obtenha a soma das raízes da equação:

2x2 – 3x – 2 = 0

Produto das raízesO produto das raízes de uma equação do 2º. grau, na incógnita x, pode ser obtido por meio de dois

coeficientes da correspondente equação.Vamos considerar a equação genérica do 2º. grau e a fórmula resolutiva de Bhaskara:

Em outras palavras, o produto das raízes de uma equação do 2o. grau é o quociente entre o termo independente de x e o coeficiente de x2. Observe o exemplo:

Obtenha o produto das raízes da equação:

2x2 – 3x – 2 = 0

As soluções da equação do exemplo são

2 e –1/2; logo, o produto

é –1.

Theo

Cor

deiro

Obtenção da equaçãoUtilizando as propriedades da soma e do produto das raízes, é possível, a partir delas, a obtenção

da correspondente equação.Observe as operações a seguir, que são efetuadas com base na equação do 2o. grau:

ax2 + bx + c = 0


FÍSICA

43

FÍSICAMATEMÁTICA

multiplicando os dois membros por 1a

:1

a . (ax2 + bx + c) =

1

a . 0

x2 + b

a . x +

c

a = 0

x2 – −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

b

a . x + c

a = 0

substituindo por S e P:

x2 – Sx + P = 0

É esta relação que nos permite obter mentalmente as raízes inteiras de uma equação do 2o. grau.Utilizando essa igualdade, podemos fatorar a equação do 2o. grau. Vejamos:

x2 – Sx + P = 0

x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0

x2 – x1x – x2x + x1x2 = 0

x (x – x1) – x2 (x – x1) = 0

Fatorando (x – x1):

(x – x1) . (x – x2) = 0

Forma fatorada

1. Calcule a soma e o produto das raízes das se-guintes equações na incógnita x:

a) 2x2 – x – 1 = 0

b) 5x2 – 10x – 7 = 0

c) 4x2 – 7x – 4 = 0

d) x2 + 5x – 2 = 0

2. Utilizando as propriedades da soma e do pro-duto, determine as raízes, mentalmente, das seguintes equações do 2o. grau:

a) x2 – 7x + 6 = 0

b) x2 – x – 6 = 0

c) x2 + 4x + 3 = 0

d) x2 – 2x – 35 = 0

e) x2 +10x + 25 = 0

f ) x2 – 8x + 15 = 0

g) x2 – 6x + 9 = 0

h) x2 + 7x + 12 = 0

i ) x2 – 13x + 36 = 0

j) x2 – 6x – 7 = 0

3. (UnB – DF) A soma das raízes da equação

3x2 + 6x – 9 = 0 é igual a:

a) 4 b) 1 c) –2

d) –3 e) –4

4. (PUCPR) A soma e o produto das raízes da equa-ção x2 + x – 1 = 0 são respectivamente:

a) –1 e 0 b) 1 e –1

c) –1 e 1 d) –1 e –1

e) 0 e 0

5. (UFSM – RS) A soma e o produto das raízes da equação 2x2 – 7x + 6 = 0, respectivamente, são:

a) –7 e 6 b) 72

e 3

c) 72

3e d) 72

3e

e) 7 e –6

6. (UFAM) Quais os valores de b e c, para que a equação x2 + bx + c = 0 tenha como raízes 5 e –3?

a) –2 e –15 b) 5 e –3

c) 15 e 3 d) –5 e 3

e) 5 e 5

7. (USU – RJ) Sabemos sobre a equação

ax x c2 2 2 0− + = com coeficientes reais a e c,

são, necessariamente:

a) iguais e inteiras;

b) iguais e racionais;

c) iguais e irracionais;

d) iguais e reais;

e) números imaginários puros.


8. (UNESP – SP) Dada a equação x x2 2 0+ − = , calcule a soma dos inversos de suas raízes.

9. (PUC – MG) Uma das raízes da equação

x2 + mx + m2 – m – 12 = 0 é nula, e a outra é positiva. O valor do parâmetro m é:

a) –4 b) –3 c) 0

d) 3 e) 4

10. (UCPel – RS) As raízes da equação x2 – px + 18 = 0 são números inteiros e positivos. Então, os pos-síveis valores de p são:

a) 2, 9 ou 12

b) 2, 11 ou 12

c) 9, 11 ou 19

d) 3, 6 ou 19

e) 3, 11 ou 12

11. (FEI – SP) Na equação do 2o. grau 4x2 + px + 1 = 0, a soma dos inversos das raízes é –5. O valor de p é:

a) 6 b) 5 c) 4

d) 0 e) –1

12. (UFMA) A soma e o produto das raízes da equação px2 – 2(q – 1) x + 6 = 0 são, respec-tivamente, –3 e 3. O valor de p + q é:

a) 2 b) 4 c) 0

d) –2 e) 1

13. (FEI – SP) A equação x2 – x + c = 0 possui raí-zes reais r e s, tais que r = 2s. Os valores de r e s são:

a) 23

13

e b) 2 e 1 c) 13

16

e

d) –2 e –1 e) 6 e 3

14. (UNITAU – SP) Qual é o valor da soma dos inver-sos dos quadrados das duas raízes da equação x2 + x + 1 = 0?

15. (CESGRANRIO – RJ) Se x1 e x2 são raízes de

x2 + 57x – 228 = 0, então 1 1

1 2x x⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

vale:

a) 14

b) 14

c) 12

d) 12

e) 16

16

ou

16. (UEL – PR) Sabe-se que os números reais α e β são as raízes da equação x2 – kx + 6 = 0, na qual k ∈ R. A equação do 2o. grau que admite raízes α + 1 e β + 1 é:

a) x2 + (k + 2)x + (k + 7) = 0

b) x2 – (k + 2)x + (k + 7) = 0

c) x2 + (k + 2)x – (k + 7) = 0

d) x2 – (k + 1)x + 7 = 0

e) x2 + (k + 1)x + 7 = 0

Equações especiais

A denominação “equações especiais” refere-se a dois tipos de equações que estudaremos:

equações redutíveis às do 2o. grau;

equações irracionais.

Equações redutíveis

às do 2o. grauVocê estudou anteriormente a resolução de equações do

2.º grau por meio da Fórmula de Bhaskara. Assim, uma equação da forma ax2 + bx + c = 0 pode ser resolvida pela fórmula:


FÍSICA

45

FÍSICAMATEMÁTICA

xb b ac

a=− ± −2 4

2

Podemos, usando essa fórmula, resolver outras equações (que não são do 2o. grau). Nenhuma das equações a seguir é do 2o. grau, mas elas podem ser resolvidas usando a fórmula de Bhaskara:

x4 – 17x2 + 16 = 0

x10 – 33x5 + 32 = 0

32x – 12 . 3x + 27 = 0

x x23 3 2 0− − = |x|2 – 4|x| + 3 = 0

Todas as equações apresentadas no quadro são equa-ções redutíveis às do 2º. grau. Tais equações, mediante uma mudança adequada de incógnitas, são transformadas em equações do 2o. grau. Observe:

x4 – 17x2 + 16 = 0

Fazendo x2 = m

m2 – 17m + 16 = 0

Resolvendo a equação do 2o. grau

m = 16 ou m = 1

Desfazendo a troca de incógnitas

x x ou x

ou

x x ou x

2

2

16 4 4

1 1 1

= ⇒ = = −

= ⇒ = = −

⎧

⎨⎪

⎩⎪

Portanto: S = {4; – 4; 1; – 1}

ObservaçãoToda equação da forma ax4 + bx2 + c = 0, onde a, b e c ∈ R,

com a ≠ 0, é conhecida por equação biquadrada.

Alguns exemplos:

a) x10 – 33x5 + 32 = 0

Theo

Cor

deiro

Entendi!Eu faço uma troca

de incógnitas para obter uma equação do

2º. grau.

b) 32x – 12 . 3x + 27 = 0

ObservaçãoA equação 32x – 12 . 3x + 27 = 0 é uma equação expo-

nencial.

c) x x23 3 2 0− − =

d) |x|2 – 4|x| + 3 = 0

Como é possível resolver

uma equação que não

é do 2º. grau usando a Fórmula de

Bhaskara?

Theo

Cor

deiro


Assim como as equações anteriormente resolvidas, exis-tem diversos tipos de equações que são redutíveis às do 2o. grau por meio de troca de incógnitas.

Equações irracionaisQuando conhecemos a área de um quadrado e queremos

obter a medida do correspondente lado, podemos representar tal problema geométrico por uma equação do 2o. grau. Observe o problema:

Qual a medida do lado do quadrado cuja área é 100 cm2?

Equação: x2 = 100

Agora, reciprocamente, quando conhecemos a medida do lado e queremos obter a área, tal problema geométrico pode ser resolvido por uma equação que tem a incógnita no radicando de um radical. Vamos exemplificar:

Qual a área do quadrado cujo lado mede 10 cm?

Como a área do quadrado é o quadrado da medida do lado, bastaria elevar ao quadrado a medida do lado. Entretanto, uma outra possibilidade seria resolver a equação:

x =⇓

10��

Equações que possuem a incógnita sob um ou mais radicais são denominadas de equações irracionais.

A resolução de uma equação irracional consiste na elimi-nação dos radicais. Para que isso ocorra, devemos elevar os membros da igualdade correspondente à equação a potências convenientes.

Assim, o problema geométrico anterior pode ser resol-vido elevando membro a membro ao quadrado na equação irracional:

x 10

Elevando ao quadrado

( )x 2 210 Eliminando o radical

x = 100

Cuidado!

Após resolver uma equação irracional, é necessário veri-ficar se a(s) solução(ões) verifica(m) a equação dada. Quando elevamos uma igualdade a uma potência, podemos introduzir raízes estranhas à equação dada.

Observe alguns exemplos:

a) Resolva a equação:

4 3− =x x

10 cm

10 cm

Transformando

uma equação em

uma equação

de 2.o grau

@MAT2012


FÍSICA

47

FÍSICAMATEMÁTICA

Às vezes, é necessário elevar os mem-bros de uma igualdade mais de uma vez, para conseguir-

mos eliminar os radicais.

Theo

Cor

deiro

b) Resolva a equação:

2 1 33 x + =

c) Resolva a equação:

2 1 2 4 5x x+ + − =

1. (FAAP – SP) O conjunto-solução da equação

q4 – 13q2 + 36 = 0 é:

a) {2; 3}

b) {0; 2; 3}

c) {–3; –2}

d) {–3; –2; 2; 3}

e) {–3; –2; 0; 2; 3}

2. (UFRN) Uma das soluções da equação

x4 – 8x2 + 16 = 0 é:

a) –1 b) –2 c) –3

d) –4 e) –5

3. (FESO – RJ) O número de raízes reais da equa-ção x4 + 3x2 – 4 = 0 é:

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

4. (CESGRANRIO – RJ) O produto das raízes posi-tivas de x4 – 11x2 + 18 = 0 vale:

a) 2 3 b) 3 2 c) 4 3

d) 4 2 e) 5 3

5. Subtraindo-se 3 de um certo número, obtém--se o dobro da sua raiz quadrada. Qual é esse número?

a) 2 b) 3 c) 7

d) 9 e) 1

6. (PUC – MG) A solução da equação ( )x x+ = −2 4 pertence ao intervalo:

a) ]2; 7] b) ]2; 3] c) [0; 1]

d) [–1; 3] e) [–1; 1]

7. A solução da equação x x− + =( )2 2 3 é:

a) 1 b) 2 c) 3

d) 5 e) 7


Números proporcionais – I

Um dos principais conceitos da Matemática é o relacionado à proporção. A esse conceito estão liga-dos outros, tais como: razão, grandezas direta e inversamente proporcionais e, ainda, a utilização de porcentagem.

Fonte: IBGE. Atlas geográfico escolar. Rio de Janeiro: IBGE, 2009. Adaptação.

Mar

ilu d

e So

uza

BRASIL – político


FÍSICA

49

FÍSICAMATEMÁTICA

Como exemplo de aplicação do conceito de proporcionalidade, podemos citar a construção de mapas. Neles, a escala indica uma proporção existente entre a medida da planta e a medida real do que está representado na planta.

Assim, uma escala 1 : 1 000 significa que uma medida real de 1 000 unidades de comprimento é representada no desenho por 1 unidade apenas.

Uma ampliação ou redução de um desenho qualquer, quando não aparecem de-formações, caracteriza-se por manter uma proporcionalidade entre as medidas de comprimento.

ProporçãoAs medidas do comprimento e da largura do retângulo ABCD são, respectivamente, 8 cm e 6 cm.

O retângulo A’B’C’D’ é uma redução do retângulo ABCD. As medidas do comprimento e da largura são 4 cm e 3 cm, respectivamente.

É aí que entra a ideia de proporcionalidade. Vamos tomar dois segmentos correspondentes nas duas figuras e calcular a razão entre as suas medidas:

AB

A B

cm

cm′ ′= = =

8

4

8

42

Razões iguaisAD

A D

cm

cm′ ′= = =

6

3

6

32

Como as razões são iguais, podemos escrever a igualdade:

AB

A B

AD

A D′ ′ ′ ′=

� �� Proporção

Portanto:

Denomina-se proporção a igualdade entre duas ou mais razões. A igualdade

a

b

c

d

é uma proporção que é lida da seguinte forma: a está para b à mesma proporção que c está para d.

Theo

Cor

deiro

Como eu verifico se um desenho é ou não uma redução

do outro?

Equações

na forma de

proporção

@MAT2404


Isto pode ser facilmente

verificado. Observe a seguir!

Theo

Cor

deiro

Observação

Os termos a e c são chamados de antecedentes da proporção, e os termos b e d são os conse-quentes. Outra denominação usual é meios e extremos de uma proporção:

a

b

c

d

Meios

Extremos

Exemplo

Uma planta de uma casa está na escala 1 : 200. Um segmento de 5 cm na planta corresponde a uma medida real x. Calcular x:

PropriedadesA utilização prática da ideia de proporção está, como no exemplo anterior, no cálculo de um dos

termos desconhecidos. Para facilitar a resolução de problemas envolvendo termos desconhecidos numa proporção, observe as duas propriedades a seguir.

1a. propriedade

Verificação:

Vamos considerar a proporção:a

b

c

dmultiplicando por bd

bda

bbd

c

d. .

simplificando

ad = bc

Agora, reciprocamente:

ad = bc

dividindo por bd

ad

bd

bc

bd simplificando

a

b

c

d

2a. propriedade

As proporções se mantêm ao serem adicionados a elas os dois (ou mais) antecedentes e os correspondentes consequentes:

a

b

c

d

a c

b d= =

++

Em uma proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios:

a

b

c

da d b c= ⇒ =. .


FÍSICA

51

FÍSICAMATEMÁTICA

Exemplo

Calcular x e y na proporção x y

4 5, sabendo que x + y = 36:

Teorema de TalesTales foi um matemático que surgiu para a história no sexto século a.C. Ele, como mostraremos

oportunamente, teria calculado a altura da grande pirâmide de Quéops, utilizando semelhança de triângulos (consequência de proporcionalidade).

Observe agora o Teorema de Tales sobre retas paralelas.Um feixe de retas paralelas, intersectando duas retas transversais, determina nessas transversais

segmentos proporcionais.

Assim:

a

x

b

y

c

z

a b

x y

a b c

x y z= = =

++

= =+ ++ +

...


Exemplo

(UFSM – RS) Sendo as retas r, s, t e u paralelas, os valores dos segmentos x e y, na figura abaixo, são, respectivamente:

Grandezas diretamente proporcionaisO perímetro de um quadrado é a medida de seu contorno. Assim, se a medida do lado do quadrado

é x, então a medida de seu perímetro y será 4x:

Perímetro: yy = x + x + x + xy = 4x

Observe que, segundo a tabela abaixo, ao duplicar a medida do lado do quadrado, o perímetro também duplica.

Lado x Perímetro y = 4x

3 12

6 24

9 36

. 3 . 2 . 3. 2

Quando isso ocorre, dizemos que as grandezas são diretamente propor-cionais.

Duas ou mais grandezas são ditas diretamente proporcionais quando, aumentando ou diminuindo uma delas, a outra (ou outras) aumenta(m) ou diminui(em) na mesma proporção.

Triplicando a medida do lado, o

perímetro também triplica.

Theo

Cor

deiro

Proporção

direta –

Consumo de

combustível

@MAT2807


FÍSICA

53

FÍSICAMATEMÁTICA

Voltando ao exemplo do quadrado, observe que o quociente entre o perímetro e a medida do lado é sempre constante, ou seja:

y = 4x ⇒ y

x4

Dessa forma, conforme os valores da tabela:

y

x

12

3

24

6

36

94...

Constante de proporcionalidade

Portanto, duas grandezas são diretamente proporcionais quando o quociente entre os valores correspondentes for constante.

Grandezas inversamente proporcionaisConsidere agora um automóvel percorrendo uma distância em linha reta de 400 km, a uma velo-

cidade constante.Como:

velocidade = espaço percorrido tempo

⇒ vkm

t= 400

⇒ v . t = 400 km

Observe, na tabela a seguir, alguns valores das grandezas velocidade (em km/h) e tempo (em h).

Velocidade (km/h) Tempo (h)

25 16

50 8

100 4

. 4 . 2 ÷4÷ 2

Duplicando a velocidade, o tempo gasto para percorrer a distância fica dividido por dois. Analoga-mente, quadruplicando a velocidade, o tempo necessário para o deslocamento fica dividido por quatro.

Quando isso ocorre, dizemos que tais grandezas são inversamente proporcionais.

Duas ou mais grandezas são ditas inversamente proporcionais quando, aumentando ou diminuindo uma delas, a outra (ou outras) diminui(em) ou aumenta(m) na proporção inversa.

Voltando ao nosso exemplo, temos que o produto das grandezas envolvidas é constante:v . t = 400

Observando alguns valores atribuídos, temos:25 . 16 = 50 . 8 = 100 . 4 = ... = 400 Constante de proporcionalidade

Uma outra maneira de verificar se duas grandezas são inversamente proporcionais é pelo produto de seus correspondentes valores:

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando o produto entre os valores corres-pondentes for constante.

Theo

Cor

deiro

Proporção

inversa – Tempo

necessário para

percorrer 360 km

@MAT2927


Regra de três simplesA regra de três simples é um procedimento prático para resolver problemas relacionados com

grandezas direta ou inversamente proporcionais.

Theo

Cor

deiro

Numa proporção, quando três valores são

conhecidos, a determinação do quarto valor é pela regra

de três simples.

O processo consiste em:

(1) reunir em uma mesma coluna as grandezas de igual espécie e de mesma unidade de medida;(2) verificar se as grandezas envolvidas são direta ou inversamente proporcionais;(3) escrever a proporção correspondente e solucioná-la.

Observe alguns exemplos a seguir.Exemplo 1Se 10 m de um certo tecido custam R$ 60,00, qual o valor de 25 m do mesmo tecido, supondo que

não houve desconto?

Tecido (m) Valor (R$)

10 60

25 x

As grandezas são diretamente proporcionais, pois aumentando-se a quantidade de tecido, o valor aumenta na mesma proporção.

10

25

60

x ⇒ 10 . x = 25 . 60 ⇒ x = 150 Portanto, R$ 150,00.

Exemplo 2

Uma obra é construída por 12 operários em 90 dias. Em quantos dias essa obra seria construída por 36 operários, supondo o caso ideal em que todos eles tenham a mesma capacidade de produção?

Operários Tempo (dias)

12 90

36 x

As grandezas são inversamente proporcionais, pois aumentando-se a quantidade de operários, a quantidade de dias diminui na proporção inversa.

12

36 90

x ⇒ 12 . 90 = 36 . x ⇒ x = 30 Portanto, 30 dias.

Regra de três

– O tempo

necessário

para pintar 17

quartos

@MAT2558


FÍSICA

55

FÍSICAMATEMÁTICA

1. (CESGRANRIO – RJ) As retas r1, r2 e r3 são pa-ralelas, e os comprimentos dos segmentos de transversais são os indicados na figura. Então, x é igual a:

a) 415

b) 152

c) 5

d) 85

e) 6

2. (UFES) A escala da planta de um terreno, na qual o comprimento de 100 m foi representa-do por um segmento de 5 cm, é:

a) 1

200 b)

11000 c)

12 000

d) 1

10 000 e)

1100

3. (PUC – SP) Para que se verifique a igualdade 9

85

20yx

, os valores de x e y devem ser,

respectivamente:

a) 2 e 5 b) 14

e 15

c) 2 e 36

d) 5 e 35 e) 1 e 5

4. (UFRN) Uma gravura de forma retangular, me-dindo 20 cm de largura por 35 cm de compri-mento, deve ser ampliada por 1,2 m de largu-ra. O comprimento correspondente será:

a) 0,685 m

b) 6,85 m

c) 2,1 m

d) 1,35 m

e) 0,135 m

5. (FMJ – SP) A razão entre dois números é 3/8. Se a soma do maior com o dobro do menor é 42, o maior deles é:

a) 9

b) 15

c) 24

d) 30

e) 40

6. (FAAP – SP) Considere as duas figuras A e B a seguir:

O valor de x para que as medidas das bases e das alturas das duas figuras sejam propor-cionais é:

a) 4,3 b) 5,0 c) 3,2

d) 2,0 e) 6,2

7. Se a, b e c são diretamente proporcionais a 3, 4 e 5 e sabendo-se que a + b + c = 17, con-cluímos que 4a + 3b – c é igual a:

a) 8512

b) 17

c) 34

d) 1

e) 32312


Números proporcionais – II

O gráfico ao lado foi publicado em jornais, recentemente, tendo como fon-te a Radiobrás. Ele representa as fontes de recursos em alguns setores, assim divididos:

transportes;

energia;

telecomunicações;

desenvolvimento social;

informação e conhecimento;

meio ambiente.Em cada setor, a fonte de recursos é

pública ou privada.Observe que, nos gráficos, em vez do

uso dos valores em reais, aparecem os percentuais correspondentes.

Vamos observar um dos setores e a partir dele compreender qual o significado do símbolo % e por que as “porcentagens” são muito utilizadas nos levantamentos estatísticos. Tomando o caso do meio ambiente:

Dizer que 80% dos recursos usados no meio am-biente têm como fonte o setor público significa o mes-mo que, de cada R$ 100,00, R$ 80,00 têm origem no setor público.

Analogamente, os 20% indicam que, de cada R$ 100,00, R$20,00 têm origem no setor privado.


FÍSICA

57

FÍSICAMATEMÁTICA

Theo

Cor

deiro

81 centésimos é o mesmo que 81%?

PorcentagemAs razões cujos consequentes são iguais ao número 100 são denominadas razões centesimais.Exemplo

7

1000 07, 7 centésimos

15


81


Porcentagem ou percentagem é uma razão centesimal representada pelo símbolo %, que significa por cento.

Assim:7

1007

1

1007 0 01 7. . , %

15

10015

1

10015 0 01 15. . , %

81

10081

1

10081 0 01 81. . , %

Essa forma de representação (7%, 15%, 81%) denomina-se taxa percentual.

Observação

Os problemas relacionados à porcentagem podem ser resolvidos por meio do processo denominado “regra de três simples”.

Exemplo 1

Em uma pesquisa sobre futebol, foram entrevistadas 840 pessoas. Destas, 25% torcem pelo time A. Quantas pessoas, entre as entrevistadas, torcem pelo time A?

Exemplo 2

Em uma escola com 1 810 alunos, 1 086 são meninas. Qual é o percentual de meninas?


Exemplo 3

Uma fatura de R$ 1.250,00 foi paga com atraso e sofreu uma multa de 3,5%. Calcule o valor total pago.

Regra de três compostaAssim como a regra de três simples, a composta não constitui um conhecimento matemático,

mas, sim, um procedimento prático para resolver problemas que envolvem mais de duas grandezas.Observe os dois exemplos a seguir:Exemplo 1

30 pintores, trabalhando 6 horas por dia, pintam uma escola em 4 dias. Quantos dias serão necessários para que 12 pintores, trabalhando 10 horas por dia, pintem a mesma escola?

Theo

Cor

deiro

Resolução:

no. pintores h/dia dias

30 6 4

12 10 x

inversa

inversa

Assim, o tempo (dias) é inversamente proporcional à quantidade de pintores e ao tempo de horas diárias.

Logo:

4 12

30

10

6x= .

4 2

3xx = 6

Portanto, 6 dias.

fração mantida fração invertida

fração invertida


FÍSICA

59

FÍSICAMATEMÁTICA

Exemplo 2Um vendedor percorre 1 200 km em 5 dias, viajando 8 horas por dia. Em quantos dias ele percorrerá

3 600 km, viajando 12 horas por dia?

Theo

Cor

deiro

Resolução:

distância(km)

dias h/dia

1 200 5 8

3 600 x 12

inversadireta

O número de dias é diretamente proporcional à distância e inversamente proporcional ao número de horas por dia. Assim:

5 1200

3600

12

8x.

fração invertida

5 1

210

xx= ⇒ = Portanto, 10 dias.

1. (CESCEA – SP) A razão 58

pode ser representa-da por:

a) 63% b) 62,5%

c) 64,5% d) 67,5%

e) 6,25%

2. (FGV – SP) Trinta por cento da quarta parte de 6 400 é igual a:

a) 480 b) 640

c) 240 d) 160

e) 120

3. (FUVEST – SP) (10%)2 é igual a:

a) 1% b) 10%

c) 20% d) 100%

e) 1 000%

4. (UFSC) Paguei, com multa, R$ 18.450,00 por uma prestação cujo valor era de R$ 15.000,00. Qual a taxa porcentual da multa?

5. (UDESC – SC) De 150 candidatos que partici-param de um concurso, 60 foram aprovados. Isso significa que:

a) 20% reprovaram;

b) 30% foram aprovados;

c) 40% reprovaram;

d) 50% foram aprovados;

e) 60% reprovaram.

6. (VUNESP – SP) Se um entre cada 320 habi-tantes de uma cidade é engenheiro, então a porcentagem de engenheiros nessa cidade é dada por:

a) 0,32% b) 3,2%

c) 0,3215% d) 0,3125%

e) 3,125%

7. (UNIFOR – CE) Um instrumento para analisar as condições de vida de um país são os grá-ficos de mortalidade. O gráfico a seguir mos-tra a frequência relativa de mortes, no ano de 1998, distribuída por faixa etária e reflete a situação de um país bastante pobre:


De acordo com o gráfico, é verdade que:

a) a maior quantidade de mortes referiu-se a pessoas com idade acima dos 70 anos;

b) entre as pessoas com mais de 60 anos, pou-cas morrem e a maioria sobrevive;

c) mais de 50% da população morre após os 50 anos de idade;

d) o número de mortes aumenta com o au-mento da idade;

e) cerca de 30% das mortes atingiram crian-ças com até 10 anos de idade.

8. (MACK – SP) Numa loja, o preço de um pro-duto tem um desconto de 15% se for pago à vista ou um acréscimo de 5% se for pago com cartão de crédito. Tendo optado pelo cartão, uma pessoa pagou R$ 80,00 de acréscimo em relação ao que pagaria, com desconto, à vista. Então, a soma dos preços do produto à vista com desconto no cartão é:

a) R$ 740,00

b) R$ 720,00

c) R$ 700,00

d) R$ 780,00

e) R$ 760,00

9. (MACK – SP) Numa faculdade com 48 pro-fessores, apenas 25% são doutores. Foram contratados novos professores sem o título de doutor e, com isso, a porcentagem de pro-

fessores doutores diminuiu para 24%. Nessas condições, o número atual de professores da faculdade é:

a) 84

b) 62

c) 60

d) 52

e) 50

10. (ETFC – CE) Se 10 operários gastam 12 dias para abrir um canal de 20 m de comprimento, 16 operários, para abrir um canal de 24 m de comprimento, gastarão:

a) 1/3 do mês;

b) 2/5 do mês;

c) 1/2 do mês;

d) 3/10 do mês;

e) 1/10 do mês.

11. (COLÉGIO NAVAL) Certa máquina, trabalhan-do 5 horas por dia, produz 1 200 peças em 3 dias. O número de horas que deverá trabalhar no 6.º dia para produzir 1 840 peças, se o regi-me de trabalho fosse 4 horas diárias, seria:

a) 18 h

b) 3,75 h

c) 2 h

d) 3 h

e) nenhuma hora

1. (FFFCMPA – RS) Uma loja estava vendendo um produto e o valor da etiqueta era x reais. Três amigas, na compra desse produto, conseguiram desconto da seguinte forma:

• Ana conseguiu inicialmente 10% de desconto so-bre o valor da etiqueta, e após insistir com a ven-dedora, conseguiu mais 10% sobre o valor a ser pago. No caixa, conseguiu do proprietário mais 10% de desconto sobre o valor que iria pagar;

• Bia conseguiu da vendedora 20% de desconto so-bre o valor da etiqueta e com o proprietário mais 10% de desconto sobre o valor que iria pagar;

• Déa conseguiu, de imediato, 30% de desconto sobre o valor da etiqueta.

Nessas condições, na compra desse produto, pode-se afirmar que:

a) Ana, Bia e Déa pagaram o mesmo valor.

b) Déa pagou o maior valor dentre as três amigas.

c) Bia pagou um valor maior do que o valor pago por Ana.

d) Déa pagou um valor maior do que o valor pago por Bia.

e) Déa pagou um valor menor do que o valor pago por Ana.


FÍSICA

61

FÍSICAMATEMÁTICA

2. (PUC-Rio – RJ) 30% de 30% são:

a) 3 000%. b) 300%.

c) 900%. d) 9%.

e) 0,3%.

3. (ACAFE – SC) Em uma usina de álcool existe um galpão dividido em quatro depósitos e um hall de entrada de 30 m2, conforme a figura abaixo. Os depósitos l, ll, lll e lV serão construídos para o armazenamento de, respectivamente, 80, 60, 40 e 70 fardos de cana-de-açúcar de igual volume, e suas áreas devem ser proporcionais a essas capa-cidades.

III

hall30 m2 III

IV

23 m

10 m

A área do depósito l, em m2, é igual a:

a) 56 b) 70

c) 48 d) 64

e) 60

4. (UPE) Neto e Rebeca fazem diariamente uma ca-minhada de duas horas em uma pista circular. Rebeca gasta 18 minutos para completar uma volta, e Neto, 12 minutos para completar a vol-ta. Se eles partem do mesmo ponto P da pista e caminham em sentidos opostos, pode-se afirmar que o número de vezes que o casal se encontra no ponto P é:

a) 1 b) 2

c) 3 d) 4

e) 5

5. (UFRJ) Em um campeonato de futebol, o vencedor de cada partida ganha 3 pontos, o perdedor não ganha pontos e, em caso de empate, cada time ganha 1 ponto. Todas as equipes jogam o mesmo número de partidas e, se duas ou mais chegam ao final do campeonato com o mesmo núme-ro de pontos, classifica-se na frente a que tiver obtido maior número de vitórias. José Eduardo,

que tem umas ideias um tanto heterodoxas, pro-põe alterar este critério, classificando na frente a equipe com o maior número de derrotas. No fi-nal do campeonato, as equipes X e Y alcançaram o mesmo número de pontos, mas X se classificou na frente de Y. A adoção do critério proposto por José Eduardo mudaria as posições de X e Y na tabela de classificação?

Apresente suas soluções de forma clara, indican-do, em cada caso, o raciocínio que conduziu à resposta.

6. (UPE) Na população de uma espécie rara de 1 000 aves da Floresta Amazônica, 98% tinham cauda de cor verde. Após uma misteriosa epide-mia que matou somente aves com cauda verde, esta porcentagem caiu para 95%. Quantas aves foram eliminadas com a epidemia?

a) 300 b) 400

c) 500 d) 600

e) 700

7. (UFG – GO) Uma pequena empresa, especiali-zada em fabricar cintos e bolsas, produz mensal-mente 1 200 peças. Em um determinado mês, a produção de bolsas foi três vezes maior que a produção de cintos. Nesse caso, a quantidade de bolsas produzidas nesse mês foi:

a) 300 b) 450 c) 600 d) 750 e) 900

8. (PUC Minas – MG) Uma pessoa tem 36 moedas. Um quarto dessas moedas é de 25 centavos, um terço é de 5 centavos, e as restantes são de 10 centavos. Essas moedas totalizam a quantia de:

a) 8,75 b) 7,35 c) 5,45 d) 4,35


9. (UFMG) Um carro bicombustível percorre 8 km com um litro de álcool e 11 km com um litro do combustível constituído de 75% de gasolina e de 25% de álcool, composição adotada, atualmen-te, no Brasil. Recentemente, o governo brasileiro acenou para uma possível redução, nessa mistu-ra, da porcentagem de álcool, que passaria a ser de 20%. Suponha que o número de quilômetros que esse carro percorre com um litro dessa mistu-ra varia linearmente de acordo com a proporção de álcool utilizada. Então, é correto afirmar que, se for utilizado um litro da nova mistura proposta pelo governo, esse carro percorrerá um total de:

a) 11,20 km b) 11,35 km

c) 11,50 km d) 11,60 km

10. (FUVEST – SP) Uma fazenda estende-se por dois municípios A e B. A parte da fazenda que está em A ocupa 8% da área desse município. A parte da fazenda que está em B ocupa 1% da área desse município. Sabendo-se que a área do município B é dez vezes a área do município A, a razão entre a área da parte da fazenda que está em A e a área total da fazenda é igual a:

a) 2/9 b) 3/9 c) 4/9 d) 5/9 e) 7/9

11. (MACK – SP) Na divisão 108 k r 5

, k e r são núme-

ros naturais com 0 r < k. Os possíveis valores de k são em número de:

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

12. (UNOPAR – PR) Dividindo-se um número inteiro D por 64, obtém-se um quociente Q e um resto R. Sabendo-se que o quociente é um número múlti-plo de 30 e o resto, um múltiplo de 18, pode-se afirmar que D é um número:

a) ímpar b) divisível por 6

c) menor que 500 d) múltiplo de 48

e) quadrado perfeito

13. (UEL – PR) Para levar os alunos de certa escola a um museu, pretende-se formar grupos que te-nham iguais quantidades de alunos e de modo que, em cada grupo, todos sejam do mesmo sexo. Se nessa escola estudam 1 350 rapazes e 1 224 garotas e cada grupo deverá ser acompa-nhado de um único professor, o número mínimo de professores necessários para acompanhar to-dos os grupos nessa visita é:

a) 18 b) 68 c) 75 d) 126 e) 143

14. (UNESP – SP) O produto de dois números posi-tivos consecutivos é 240. O dobro do máximo divisor comum desses números é:

a) 1 b) 2 c) 30

d) 240 e) 480

15. (UNIMEP – SP) São dados dois números naturais, não primos entre si, cujo produto é 630. O máxi-mo divisor comum entre eles é:

a) 3 b) 9 c) 90

d) 7 e) 1

16. (UEL – PR) Considere dois rolos de barbante, um com 96 m e outro com 150 m de compri-mento. Pretende-se cortar todo o barbante dos dois rolos em pedaços de mesmo comprimen-to. O menor número de pedaços que poderá ser obtido é:

a) 38 b) 41 c) 43

d) 52 e) 55

17. (UEL – PR) Sobre os números 2, 3, 5, 7 e 11, é verdade que:

a) somente um deles é divisor de 280

b) somente dois deles são divisores de 60

c) somente três deles são divisores de 3 300

d) somente quatro deles são divisores de 1 260

e) todos eles são divisores de 2 100

18. (PUCPR) Qual o menor número natural de três algarismos que verifica as condições seguintes:

I. dividido por 8 dá resto 3

II. o quociente anterior, dividido por 7, dá resto 2

III. o novo quociente, dividido por 5, dá resto 1

a) 515 b) 179 c) 259

d) 355 e) 315

19. (UEM – PR) Para distribuir 105 litros de álcool, 120 litros de azeite e 75 litros de água em barris de mesma capacidade, de modo que a quantida-de de barris seja a menor possível, a capacidade de cada barril, em litros, deve ser de:


FÍSICA

63

FÍSICAMATEMÁTICA

20. (UEM – PR) Um perito foi chamado para desmon-tar uma bomba encontrada na garagem de um prédio. Ao examiná-la, ele constatou que a bom-ba continha um marcador circular graduado, se-melhante a um relógio, com um único ponteiro. O perito verificou, ainda, que a bomba já fora acionada e que explodiria assim que o pontei-ro do marcador retornasse ao ponto de partida, após completar uma volta.

Observou, também, que o ponteiro percorria 12° sempre que 4 lâmpadas piscavam simultanea-mente e que estas piscavam, respectivamente, a cada 1/4 de minuto, 3/20 de minuto, 3/10 de minuto e 1/5 de minuto. Se, no momento em que começou a desativar a bomba, o ponteiro já havia percorrido 60o, o tempo, em minutos, disponível para o perito realizar a tarefa foi de:

21. (UEL – PR) Se x e y são números reais, então:

a) (3x)y = 3xy

b) (2x . 3y)2 = 22x . 32y

c) (2x – 3x)y = 2xy – 3xy = –1xy

d) 5x + 3x = 8x

e) 3 . 2x = 6x

22. (UNISINOS – RS) Dados a e b números reais posi-tivos, considere as afirmações:

I. (ax)y = axy,

A

x, y ∈ R

II. (a . b)x = ax . bx,

A

x ∈ R

III. ax + y = ax . ay,

A

x, y ∈ R

Das afirmações acima:

a) I, II e III são corretas;

b) somente II e III são corretas;

c) somente III é correta;

d) somente I e II são corretas;

e) somente II é correta.

23. (FATEC – SP) Considere que a massa de um pró-ton é 1,7 x 10–27 kg, o que corresponde a cerca de 1 800 vezes a massa de um elétron.

Dessas informações, é correto concluir que a massa de um elétron é, aproximadamente:

a) 9 x 10–30 kg

b) 0,9 x 10–30 kg

c) 0,9 x 10–31 kg

d) 2,8 x 10–31 kg

e) 2,8 x 10–33 kg

24. (FATEC – SP) Se A = (–3)2 – 22, B = – 32 + (–2)2 e C = (–3 – 2)2, então C + A x B é igual a:

a) –150 b) –100 c) 50

d) 10 e) 0

25. (UFMG) A expressão a aa a

− −

−−

19

13

2

2

21⋅( )

÷ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

, com a ≠ 0, é equivalente a:

a) −a59 b) a59

c) − −a 79 d) a79

e) a−79

26. (CESGRANRIO – RJ) O número de algarismos do produto 517 x 49 é igual a:

a) 17 b) 18 c) 26

d) 34 e) 35

27. (EPCAR – MG) Se

A = − −

−5 6

7

3 2

2 e B = − + −

−

5 6

7

3 2

2

( ) ( )( ) ,

então A – B = K49

, onde K é igual a:

a) 250 b) 72 c) –72

d) zero e) 178

28. (UNOPAR – PR) A expressão A = 3 9

3 1 3

2 2

2 2

++.( )

é igual a:

a) 1 b) 3 c) 5

d) 32 e) 5 2


29. (FUVEST – SP)

a) Qual a metade de 222 ?

b) Calcule ( )8 923

30. (PUCCAMP – SP) Simplificando-se a expressão

( )2 31

5 2 62 , obtém-se:

a) 10 b) 25 c) 10 2 6

d) 10 2 6 e) 10 4 6

31. (PUC – RJ) Seja a b ec= − = =12 2 1 4 2 3 3( ), .

Então:

a) a < c < b b) c < a < b

c) a < b < c d) b < c < a

e) b < a < c

32. (UNICAMP – SP) Dados os dois números positivos, 33 e 44 , determine o maior:

33. (UFMG) O valor de

m = + − + −( ). [ ]2 8 3 5 7 2 72 20 4 2 é:

a) 6 b) 6 2 c) 16

d) 18 e) 12/5

34. (UFRGS) A expressão 3 5 5 3/ / é igual a:

a) 815

b) 35

c) 1

d) 3415

e) 8 1515.

35. (PUC – MG) O valor da expressão

( ) ( )2 1 2 1 3 22 23 + − − − é:

a) 232 b) 3

23 c) 6

12

d) 312 e) 2

16

36. (UFV – MG) A expressão 7

7[ ( ) ]+ −a a, onde a é

um número real positivo, equivale a:

a) 7 b) ( )7 a a c) 7

d) 77

e) 1

37. (UI – MG) Simplificando a expressão 9 4 5 , obtém-se:

a) 2 3 5

b) 3 5

c) 3 2 5

d) 2 5

e) 2 2 5

38. (CEFET – RJ) Qual a expressão que deve ser soma-da a x2 – 6x + 5 para que resulte o quadrado de (x – 3)?

a) 3x b) 4x c) 3

d) 4 e) 3x + 4x

39. (ULBRA – RS) Se x = a e y = b é uma solução do

sistema x yx y

2 2 206

+ ==

⎧⎨⎩ .

, então, a + b é igual a:

a) 20 b) 4 2 c) 2

d) 26 e) 3 2

40. (MACK – SP) Se a a12

12 10

3+ =

−

, então a + a–1 vale:

a) 1009

b) 823

c) 829

d) 10082

e) 169

41. (UNIFOR – CE) Se o polinômio 4x2 – 12x + k é um quadrado perfeito, então k é um número:

a) divisível por 2

b) maior que 10

c) divisível por 5

d) menor que 4

e) divisível por 3

42. (FESO – RJ) Se x2 = 2x + 1, então x4 é igual a:

a) 4x + 2 b) 4x + 3 c) 6x + 3

d) 10x + 4 e) 12x + 5

43. (UFSC) Calcule (a – b)2, sendo a e b números reais positivos, sabendo que:

a ba b

2 2 11754

+ =⋅ =

⎧⎨⎪

⎩⎪ Ensino Médio | Modular

FÍSICA

65

FÍSICAMATEMÁTICA

44. (PUC – MG) A diferença entre os quadrados de dois ímpares, positivos e consecutivos, é 40. Es-ses números pertencem ao intervalo:

a) [3, 9] b) [4, 10]

c) [8, 14] d) [10, 15]

e) [11, 14]

45. (FATEC – SP) Sejam os números reais A e B tais que

Axy

yx

e Bxy

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +1

A expressão AB

1 é igual a:

a) 1 b) xy

c) yx

d) ( )yx

1 e) − +( )yx

1

46. (PUCCAMP – SP) Seja x um número real diferente de 2 e –2. Efetuando-se

xx

xx

+−

+ −−

12

2 742

, obtém-se:

a) − +−

( ).( )

xx

12 2

b) xx

+−

22

c) xx

−+

22

d) –4x – 1

e) x xx

2

2

7 44

− +−

47. (UFMS) Reduza à forma mais simples a expressão 11

41

112

+−

+−

−−+

aa a

aa

48. (PUCCAMP – SP) Seja x ∈ R – {0}. Simplificando-

-se a expressão

1 16

13

16

12

32

2

x x x

x x x

− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

, obtém-se:

a) 2127 8

xx

b) 1527 8x

c) 79 4

xx

d) 219 4

xx

e) 35

49. (UEL – PR) Sobre as sentenças

I. −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ( ) = −2

334

22xy abx xy. . abx3y3

II. −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

18

23

112

6 3 6 2a b y a by b:

III. −( ) + ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + −⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =a b ab ab a b2 3 2 32

534

53

= − +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ab ab.

720

23

2

é correto afirmar que somente:

a) I é verdadeira;

b) II é verdadeira;

c) III é verdadeira;

d) I e II são verdadeiras;

e) I e III são verdadeiras.

50. (FATEC – SP) Simplificando-se a expressãom

m nn

m nn

m nm

m n

mn

m nmn

nm

++

−

+−

−

++

+ −+⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

1

14

12( ). ,

com m ∈ R, n ∈

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) [ ( )]53m nmn

+


51. (UFMG) Considere o conjunto e todos os valo-res de x e y para os quais a expressão a seguir está definida.

Neste conjunto, a expressão equivalente a M é

M

xy

yx

x xy y

=−

+ +

2

2

2

2

2 2

1 2 1

a) (x – y)(x + y) b) (x – y)(x2 + y2)

c) (x – y)/(x2 + y2) d) (x – y)/(x + y)

e) (x – y)(x2 + y2)/(x + y)

52. (UEL – PR) O número 625 pode ser escrito como uma soma de cinco números inteiros ímpares e consecutivos. Nessas condições, uma das parce-las dessa soma é um número:

a) menor que 120 b) maior que 130

c) quadrado perfeito d) divisível por 9

e) múltiplo de 15

53. (UNICAMP – SP) Um copo cheio de água pesa

385 g; com 23

de água, pesa 310 g. Pergunta-se:

a) Qual é o peso do copo vazio?

b) Qual é o peso do copo com 35

de água?

54. (UNICAMP – SP) Após ter corrido 27

de um percur-

so e, em seguida, caminhado 511

do mesmo per-

curso, um atleta verificou que ainda faltavam 600 metros para o final do percurso.

a) Qual o comprimento total do percurso?

b) Quantos metros o atleta havia corrido?

c) Quantos metros o atleta havia caminhado?

55. (UNESA – RJ) Guilherme tinha um viveiro com cer-to número de pássaros. Fugiu-lhe a metade dos pássaros mais 6 pássaros. Logo depois, fugiu-lhe a metade dos que sobraram mais 4, ficando en-tão sem qualquer pássaro. Sobre a quantidade de pássaros que Guilherme possuía inicialmente, po-demos afirmar que:

a) é múltiplo de 3

b) é múltiplo de 5

c) é múltiplo de 7

d) é múltiplo de 9

e) é múltiplo de 11

56. (CEFET – PR) Em um cassino, uma pessoa intro-duz em uma máquina um determinado número de fichas e recebe dela o dobro da quantidade original, decrescido de dez unidades. Em uma se-gunda máquina, coloca essa nova quantidade e recebe novamente o dobro, mas agora decrescido de trinta unidades. Finalmente, em uma terceira máquina, coloca a nova quantidade obtida e re-cebe mais uma vez o dobro, menos quarenta uni-dades. Coincidentemente, o valor final é o mesmo que a quantidade introduzida na primeira máqui-na. Essa quantidade original de fichas era de:

a) 5 b) 10 c) 15

d) 20 e) 25

57. (UEM – PR) Uma certa quantia em dinheiro foi deixada para que três pessoas a dividissem igual-

mente. A primeira pessoa pegou 13

do dinheiro;

a segunda, pensando que era a primeira a fazer a

retirada, pegou 13

do dinheiro encontrado; a ter-

ceira, supondo que era a última e encontrando 8 notas de cem reais, pegou todas elas. Nessas condições, é correto afirmar que:

(01) a segunda pessoa foi a mais beneficiada;

(02) a terceira pessoa foi a mais prejudicada;

(04) a quantia inicial foi superior a 2.000 reais;

(08) a quantia restante, após a retirada do di-nheiro pela segunda pessoa, corresponde a 49

da quantia inicial;

(16) a fração correspondente à quantia retirada pelas duas primeiras pessoas é menor que 2

3;

(32) a quantia restante, após a retirada do di-nheiro pela primeira pessoa, corresponde a 60% da quantia inicial.

58. (UERJ – RJ) Nicole pediu a seu irmão João que pensasse em um número e efetuasse as seguin-tes operações, nesta ordem:

1ª. multiplicar o número pensado por 5

2ª. adicionar 6 ao resultado

3ª. multiplicar a soma obtida por 4

4ª. adicionar 9 ao produto

5ª. multiplicar a nova soma por 5

João comunicou que o resultado é igual a K. As operações que Nicole deve efetuar com K, para “adivinhar” o número pensado, equivalem às da seguinte expressão:


FÍSICA

67

FÍSICAMATEMÁTICA

a) (K – 165) : 100 b) (K – 75) : 100

c) K : 100 + 165 d) (K + 165) : 100

e) K – 100

59. (UEM – PR) Uma dívida está sendo paga em par-celas. Ao pagar uma das parcelas, o devedor veri-fica que, para a penúltima parcela, faltam ainda 2/3 do resto da dívida e que, ao quitar a penúlti-ma parcela, ainda restará 1/5 da dívida. Então, é correto afirmar que:

(01) o devedor já pagou mais da metade da dívida;

(02) o devedor já pagou 8/20 da dívida;

(04) o devedor já pagou 3/5 da dívida;

(08) ainda faltam pagar 9/15 da dívida;

(16) ainda falta pagar 1/3 da dívida;

(32) o devedor já pagou 2/3 dos 3/5 da dívida.

60. (UEL – PR) Num bar, paga-se R$ 5,80 por 5 pas-téis e 3 copos de refrigerante. No mesmo local, 3 pastéis e 2 copos de refrigerante custam R$ 3,60. Nesse caso, cada copo de refrigerante custa:

a) R$ 0,70.

b) R$ 0,50.

c) R$ 0,30 a menos do que o preço de cada pastel.

d) R$ 0,20 a mais do que o preço de cada pastel.

e) R$ 0,20 a menos do que o preço de cada pastel.

61. (PUCCAMP – SP) Um artesão está vendendo pul-seiras (a x reais a unidade) e colares (a y reais a unidade). Se 3 pulseiras e 2 colares custam R$ 17,50 e 2 pulseiras e 3 colares custam R$ 20,00, o preço de cada pulseira é:

a) R$ 3,20 b) R$ 3,00

c) R$ 2,70 d) R$ 2,50

e) R$ 2,00

62. (ESPM – SP) José, João e Pedro foram juntos à padaria. José tomou duas médias e comeu três pães com manteiga, pagando R$ 1,74.

João tomou três médias e comeu dois pães com manteiga, pagando R$ 1,96.

Pedro tomou uma média e comeu dois pães com manteiga.

Quanto pagou Pedro?

a) R$ 1,00 b) R$ 1,04

c) R$ 1,08 d) R$ 1,12

e) R$ 1,16

63. (UFSC) Considere o sistema Sx y

x y1

3 02 6 0

:+ =

− − =⎧⎨⎩

e determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) verdadeira(s):

(01) O par ordenado (–15, 5) é uma solução do sistema S1.

(02) O sistema Sx y

x y2

2 6 010 30 0

:+ =

− − =⎧⎨⎩

é equivalente

ao sistema S1.

(04) A solução do sistema S1 é uma reta que não passa pela origem.

(08) O sistema S1 é possível e determinado.

64. (FUVEST – SP) Um casal tem filhos e filhas. Cada filho tem o número de irmãos igual ao núme-ro de irmãs. Cada filha tem o número de irmãos igual ao dobro do número de irmãs. Qual é o total de filhos e filhas do casal?

a) 3

b) 4

c) 5

d) 6

e) 7

65. (UNI-RIO – RJ) Num concurso, a prova de Ma-temática apresentava 20 questões. Para cada questão respondida corretamente, o candidato ganhava 3 pontos e, para cada questão respon-dida erradamente ou não respondida, perdia 1 ponto. Sabendo-se que para ser aprovado de-veria totalizar, nessa prova, um mínimo de 28 pontos, o menor número de questões respon-didas corretamente para que o candidato fosse aprovado era de:

a) 12

b) 13

c) 14

d) 15

e) 16

66. (UNICAMP – SP) Em um restaurante, todas as pessoas de um grupo pediram um mesmo prato principal e uma mesma sobremesa. Com o pra-to principal, o grupo gastou R$ 56,00, e com a sobremesa, R$ 35,00; cada sobremesa custou R$ 3,00 a menos do que o prato principal.

a) Encontre o número de pessoas neste grupo.

b) Qual o preço do prato principal?


67. (MED. CATANDUVA – SP) Eu tenho o dobro da idade que você tinha quando eu tinha a idade que você tem. Quando você tiver a idade que eu tenho, a soma das nossas idades será 72 anos. A minha idade é:

a) 24 anos b) 32 anos

c) 8 anos d) 40 anos

e) 16 anos

68. (UFCE) Se x1 e x2 são as raízes da equação

3x2 – 2x – 8 = 0, sendo x1 < x2, então 3x22 – 2x1 – 8

é igual a:

a) 23

b) 83

c) 163

d) 203

e) 13

69. (UFPE) Se x é um número real positivo, tal que, ao adicionarmos 1 ao seu inverso, obtemos como resultado o número x, qual é o valor de x?

a) 1 52

− b) 1 52

+

c) 1 d) 1 32

+

e) 1 22

+

70. Dê a soma dos itens verdadeiros:

(01) A equação x2 + x = 0 possui duas raízes reais e distintas.

(02) A equação x2 + 4 = 0 não possui raiz real.

(04) As raízes da equação –x2 + 25 = 0 são nú-meros opostos.

(08) Para m = 2, a equação x2 + 3x – 4m = 0 possui duas raízes reais e distintas.

71. (UFOP – MG) Resolva a equação fracionária:2

1 11

112

12

xx

xx x+

−−

+−

+ =

72. (UFF – RJ) Uma das soluções da equação2

112 1

2x xx

+= + é um número inteiro múltiplo de:

a) 2 b) 3 c) 5

d) 7 e) 11

73. (VUNESP – SP) Para todo número real a, o núme-ro –a chama-se oposto de a, e para todo número

real a, a ≠ 0, o número 1a

chama-se inverso de a.

Assim sendo, determine todos os números reais

x, x ≠ 1, tais que o inverso do oposto de (1 – x) seja x + 3:

74. (UEL – PR) Sejam a e b, com a < b, as raízes reais da equação 3x2 – 10x – 8 = 0. Nessas condições, é verdade que:

a) a2 49

b) b− =1 12

c) ab 23

d) b2 = 4 e) a− =1 32

75. (UFV – MG) Dada a equação

(m – 1)x2 + 2mx – (m + 1) = 0, determine m de forma que a equação tenha uma raiz real dupla:

76. O trinômio ax2 + bx + c = 0 tem duas raízes reais e distintas. Então, é correto afirmar:

(01) Se a e b são dois números reais não nulos, então o trinômio

ax bx c

αβ αβ. .2 2 0+ + =

tem duas raízes reais e distintas.

(02) O trinômio ax2 + 2bx + c = 0 tem duas raízes reais e distintas.

(04) Se as raízes representam números opostos, então b = 0.

(08) O trinômio ax bxc2

40+ + = não admite raiz

real.


FÍSICA

69

FÍSICAMATEMÁTICA

77. O conjunto-verdade da equação mostrada a se-guir é:

x x− + − =1 2 2 2

a) V = ∅ b) V = {3}

c) V = {4} d) V = {3, 9}

e) V = {9}

78. (FAC. EVANGÉLICA DE GOIÁS – GO) A soma das raízes da equação |x + 2|2– |x + 2| – 2 = 0 vale:

a) –8 b) –4 c) 0

d) 4 e) 1

79. (FAC. EVANGÉLICA DE GOIÁS – GO) A equação

x x+ + =7 5 tem como solução:

a) uma raiz inteira negativa;

b) uma raiz natural;

c) duas raízes reais;

d) conjunto vazio;

e) uma raiz fracionária.

80. (USS – RJ) Seja A o conjunto dos números reais x que satisfazem x x2 1 1+ = + . Quantos elemen-tos possui o conjunto A?

a) 0 b) 1 c) 2

d) 4 e) infinitos

81. (PUC – MG) A soma das raízes da equação

1 1 2 2− − =x x é:

a) –2 b) –1 c) 0

d) 1 e) 2

82. (UFPI) A soma das raízes da equação

|x|2 + 2 |x| – 15 = 0 é:

a) 0 b) –2 c) –4

d) 6 e) 2

83. (UNITAU – SP) Os valores reais de x que satisfa-zem à equação: |x|2 – 4 |x| + 4 = 0 são dois números:

a) ímpares

b) divisores de 3

c) de mesmo módulo

d) positivos

e) múltiplos de 3

84. (UEL – PR) No universo R, a equação

|x|2 + |x| – 12 = 0:

a) não admite soluções;

b) admite quatro soluções distintas;

c) admite duas soluções positivas;

d) admite duas soluções negativas;

e) admite duas soluções opostas entre si.

85. (MACK – SP) Se o número x é solução da equação

x x+ − − =9 9 33 3 , então x2 está entre:

a) 0 e 25 b) 25 e 55

c) 55 e 75 d) 75 e 95

e) 95 e 105

86. (UPF – RS) Um veículo de transporte coletivo tem capacidade para transportar 30 adultos ou 36 crianças. Se 20 adultos já estão no coletivo, quantas crianças a viatura ainda poderá trans-portar?

a) 18 b) 8 c) 10

d) 12 e) 16

87. (FEI – SP) Duas máquinas que fabricam o mesmo tipo de peças, funcionando em conjunto, produ-zem um lote de peças em 3 horas. Se apenas a máquina A funciona, a produção de um lote de-mora 12 horas. Quanto tempo a máquina B leva para produzir um lote?

a) 4 horas.

b) 3 horas.

c) 2,5 horas.

d) 2 horas.

e) 1 hora.

88. (UFES) Dois pedreiros, trabalhando juntos, fazem um certo trabalho em 15 dias. Um deles faria so-zinho esse trabalho em 24 dias. Quantos dias se-riam gastos pelo outro para executar sozinho o mesmo trabalho?

a) 40

b) 36

c) 30

d) 39

e) 27Matemática Básica70

89. (UFMA) Temos duas plantas de um mesmo terreno retangular, uma na escala 1 : 20 e outra na escala 1 : 25. Qual é a razão entre as áreas dos retângu-los da primeira e da segunda planta?

a) 1625

b) 45

c) 2425

d) 54

e)2516

90. (MACK – SP) Um hospital tem um médico para cada 10 pacientes e 6 enfermeiros para cada 9 mé-dicos. Então, o número de pacientes para cada en-fermeiro é:

a) 12 b) 15 c) 16

d) 18 e) 20

91. (UEM – PR) Para realizar uma expedição científi-ca, um grupo de pesquisadores planejou percor-rer, todos os dias, a mesma quilometragem, de um total de 2 520 km. Como a partida foi atra-sada em 3 dias, o grupo precisou aumentar em 70 km sua quilometragem diária, para chegar na data prevista. Assim, o número de dias utilizados para realizar o percurso foi de:

92. (FAFEOD – MG) Os fazendeiros João e José estão trabalhando sozinhos, cada um em sua planta-ção de soja. A terra em que João está plantando tem 15 hectares de área, ao passo que a de José tem 9 hectares. No dia em que se encontraram, na divisa de suas propriedades, eles verificaram que ambos já haviam plantado uma mesma fra-ção de suas terras. Para plantar a parte restante

delas, resolveram se juntar e contrataram um aju-dante por 200 reais. Assim, os três começaram a trabalhar juntos (em igualdade de condições) e concluíram ambas as plantações. Para pagarem o salário do ajudante, seguindo o critério da pro-porcionalidade, João e José deverão desembolsar as seguintes quantias, em reais, respectivamente:

a) 155 e 45 b) 125 e 75

c) 175 e 25 d) 145 e 55

e) 55 e 35

93. (UNICAMP – SP) Uma torneira enche um tanque em 12 minutos, enquanto uma segunda torneira gasta 18 minutos para encher o mesmo tanque. Com o tanque inicialmente vazio, abre-se a pri-meira torneira durante x minutos: ao fim desse tempo fecha-se essa torneira e abre-se a segunda, a qual termina de encher o tanque em x + 3 minu-tos. Calcule o tempo gasto para encher o tanque.

94. (ENEM) Se compararmos a idade do planeta Ter-ra, avaliada em quatro e meio bilhões de anos (4,5 x 109 anos), com a de uma pessoa de 45 anos, então quando começaram a florescer os primeiros vegetais, a Terra já teria 42 anos. Ela só conviveu com o homem moderno nas últi-mas quatro horas e, há cerca de uma hora, viu-o começar a plantar e a colher. Há menos de um minuto, percebeu o ruído de máquinas e de in-dústrias e, como denuncia uma ONG de defesa do meio ambiente, foi nesses últimos sessenta segundos que se produziu todo o lixo do planeta!

Na Teoria do Big-Bang, o Universo surgiu há cerca de 15 bilhões de anos, a partir da explosão e ex-pansão de uma densíssima gota. De acordo com a escala proposta no texto, essa teoria situaria o início do Universo há cerca de:

a) 100 anos; b) 150 anos;

c) 1 000 anos; d) 1 500 anos;

e) 2 000 anos.

95. (UNISINOS – RS) O Instituto de Pesquisas Tecno-lógicas de São Paulo enviou, em 1995, para as prefeituras brasileiras, um questionário para ave-riguar a questão do lixo. Com base nas respostas,


FÍSICA

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FÍSICAMATEMÁTICA

os pesquisadores ficaram sabendo que 76% do lixo brasileiro é depositado em lixões a céu aberto, 13% é destinado a aterros controlados, 10% aca-ba em aterros sanitários e somente 1% dos resídu-os passa por algum tipo de tratamento. No litoral norte do Rio Grande do Sul, na época de vera-neio, são recolhidas diariamente 300 toneladas de lixo, em valor aproximado. Conforme estes dados, podemos afirmar que, em nosso litoral norte, a quantidade de lixo depositada diariamente a céu aberto, agredindo a natureza, em toneladas, é:

a) 99 b) 128 c) 228 d) 250 e) 293

96. (UNIOESTE – PR) Uma escola divulga um descon-to de 20% no preço das matrículas efetivadas até 30 de janeiro, apresentando a seguinte tabela:

Preço até 30 de janeiro

R$ 110,00 (matrícula e material)

Preço após 30 de janeiro

R$ 126,00 (matrícula e material)

A partir das informações dadas, conclui-se que o preço do material (sobre o qual não há descon-to) é, em reais, igual a:

97. (PUCCAMP – SP) Sabe-se que 5 máquinas, todas de igual eficiência, são capazes de produzir 500 peças em 5 dias, se operarem 5 horas por dia. Se 10 máquinas iguais às primeiras operassem 10 horas por dia durante 10 dias, o número de peças produzidas seria:

a) 1 000

b) 2 000

c) 4 000

d) 5 000

e) 8 000

98. (UnB – DF) Julgue os itens abaixo:

figura I

figura II0N 0C

0 14

100 39

1) Se a escala da figura I é linear, então o valor correspondente ao ponto indicado pela seta é 53,75.

2) Se duas grandezas, X e Y, são inversamente pro-porcionais e X é acrescido de 25%, então Y de-cresce 20%.

3) Considere que, a partir das temperaturas má-xima e mínima na cidade do Rio de Janeiro, construiu-se uma nova escala linear, mostrada na figura II, em que a temperatura é indicada por oN e a correspondência com a escala Cel-sius é mostrada na tabela que segue. Nessas condições, o ponto de ebulição da água, na-quela cidade, é igual a 400 oN.

4) Considere que, em um sistema de aposen-tadoria, um trabalhador pode se aposentar quando a soma de sua idade com o número de anos de serviço totaliza 95 anos. Nesse caso, quem começar a trabalhar com 25 anos só poderá se aposentar com, no mínimo, 65 anos de idade.


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PrepApp - SPE ER15 MDEM01 MAT ALprepapp.positivoon.com.br/.../SPE_ER15_MDEM_MAT_01_AL.pdf · 2019-08-29 · Unidade 1: Matemática Básica Aritmética 5 Potenciação 10 Notação