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calculo
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Primeira Lista de Exercícios - Engenharia Civil
Disciplina Cálculo III - IFSP
1o sem. - 2015
Prof. José Renato
. Revisão. Funções com valores vetoriais.
Exercício 1: Desenhe a imagem.
a) F (t) = (1, t) b) F (t) = (t, t+ 1)
c) F (t) = (t, t3) d) F (t) = (t2, t)
e) F (t) = (cos(t), 2 sen(t)) f) F (t) = (et cos(t), et sen(t)), t ≥ 0
g) F (t) = (sen(t), t)
Exercício 2: Desenhe a imagem.
a) F (t) = (1, t, 1), t ∈ IR b) F (t) = (1, 1, t), t ≥ 0
c) F (t) = (t, t, 1), t ≥ 0 d) F (t) = (1, 0, t), t ∈ IR
e) F (t) = (t, t, 1 + sen(t)), t ≥ 0 f) F (t) = (t, cos(t), sen(t)), t ≥ 0
g) F (t) = (cos(t), sen(t), 2) h) F (t) = (cos(t), sen(t), e−t), t ≥ 0
Exercício 3: Sejam ~F (t) = t~i+ sen(t)~j + 2~k e ~G(t) = 3~i+ t~j + t2 ~k. Calcule.
a) ~F (t) . ~G(t) b) e−t ~G(t)
c) ~G(t)− 2~F (t) d) ~F (t) ∧ ~G(t)
Exercício 4: Calcule ~r(t) ∧ ~x(t), onde ~r(t) = t~i+ 2~j + t2 ~k e ~x(t) = t~i− ~j + ~k.
Exercício 5: Sejam ~F (t) e ~G(t) três funções de�nidas em A ⊂ IR e a valores em IR3.
Veri�que que ~F (t) ∧ ~G(t) = − ~G(t) ∧ ~F (t).
Exercício 6: Calcule.
a) limt→1
~F (t), onde ~F (t) =
(√t− 1
t− 1, t2,
t− 1
t
)
1
b) limt→0
~F (t), onde ~F (t) =
(tg(3 t)
t,e2 t − 1
t, t3)
c) limt→2
~r(t), onde ~r(t) =t3 − 8
t2 − 4~i+
cos(πt
)t− 2
~j + 2 t~k
Respostas:
a) (1
2, 1, 0) b) (3, 2, 0)
c) 3~i+π
4~j + 4~k
Exercício 7: Sejam ~F (t) = (F1, F2, ..., Fn) uma função de uma variável real a valores em
IRn e f uma função de uma variável real a valores reais. Suponha que limt→t0
~F (t) = ~a(t) e
limt→t0
f(t) = L, onde ~a(t) = (a1, a2, ..., an) e L real. Prove que limt→t0
f(t) ~F (t) = L~a(t).
Exercício 8: Calculed~F
dted2 ~F
dt2.
a) ~F (t) =(3 t2, e−t, ln(t2 + 1)
)b) ~F (t) =
3√t2~i+ cos(t2)~j + 3 t~k
c) ~F (t) = sen(5 t)~i+ cos(4 t)~j − e−2 t ~k
Respostas:
a)d~F
dt=
(6 t, −e−t, 2 t
1 + t2
);
d2 ~F
dt2=
(6, e−t,
2− 2 t2
(1 + t2)2
)
b)d~F
dt=
2
3 3√t~i− 2 t sen(t2)~j + 3~k;
d2 ~F
dt2=−2
9 t 3√t~i− (2 sen(t2) + 4 t2 cos(t2))~j
c)d~F
dt= 5 cos(5 t)~i− 4 sen(4 t)~j + 2 e−2 t ~k;
d2 ~F
dt2= −25 sen(5 t)~i− 16 cos(4 t)~j − 4 e−2 t ~k
Exercício 9: Determine a equação da reta tangente à trajetória da função dada, no ponto
dado.
a) F (t) = (cos(t), sen(t), t) e F (π
3)
b) G(t) = (t2, t) e G(1)
c) F (t) =
(1
t,1
t, t2)
e F(2)
2
Respostas:
a) (x, y, z) =
(1
2,
√3
2,π
3
)+ λ
(−√3
2,1
2, 1
), λ ∈ IR
b) (x, y) = (1, 1) + λ (2, 1), λ ∈ IR
c) (x, y, z) =
(1
2,1
2, 4
)+ λ
(−1
4, −1
4, 4
), λ ∈ IR
Exercício 10: Sejam ~F (t) : I → IR3, I intervalo, derivável até a segunda ordem em I.
Suponha que exista um real λ tal que, para todo t em I,d2 ~F (t)
dt2= λ ~F (t). Prove que ~F (t)∧ d
~F (t)
dté constante em I.
Exercício 11: Um ponto se move no espaço de modo que ‖~v(t)‖ = k para todo t, ondek > 0 é uma constante. Prove que ~v(t) .~a(t) = 0 para todo t.
Exercício 12: Calcule.
a)
∫ 1
0[t~i+ et~j] dt; (Resp.:
1
2~i+ (e− 1)~j)
b)
∫ 1
−1[sen(3 t)~i+
1
1 + t2~j + ~k] dt; (Resp.:
π
2~j − 2~k)
Exercício 13: Sejam ~F (t) = t~i+ ~j + et ~k e ~G(t) =~i+~j + ~k. Calcule.
a)
∫ 1
0
~F (t) ∧ ~G(t) dt;
b)
∫ 1
0
~F (t) . ~G(t) dt.
3