Primeiro Teste de C alculo In nitesimal I - dma.im.ufrj.brcassio/cursos/antigos/Calc1-03-1.pdf · Universidade Federal do Rio de Janeiro Centro de Ci^encias Matem aticas e da Natureza

Universidade Federal do Rio de Janeiro

Centro de Ciencias Matematicas e da Natureza

Instituto de Matematica

Primeiro Teste de Calculo Infinitesimal I

28 de Marco de 2003

Cassio Neri Marco Cabral

Instrucoes:

• Todas as questoes devem ter suas respostas justificadas.

• Nao use somente sımbolos matematicos, explique os passos da solucao em Por-

tugues claro e sucinto.

• Todas figuras devem ser acompanhadas de textos explicativos.

• E proibido o uso de calculadora.

Questao 1 [2,5 pontos] Calcule os limites abaixo quando existirem:

a) limx→1

x3 − x

x2 − 3x + 2b) lim

x→2

x2 − 4x + 4

x3 − 3x2 + 4

Questao 2 [3,75 pontos] Considere a funcao f dada por

f(x) =

x + 1 se x ≤ 0,

2x + 1 se 0 < x < 1,

−x + 2 se x ≥ 1.

Calcule os limites abaixo quando existirem:

a) limx→0

f(x) b) limx→

1

2

f(x) c ) limx→1

f(x)

Questao 3 [3,75 pontos] Considere a funcao f(x) = x3 − x.

a) Determine a equacao da reta tangente ao grafico da funcao f no ponto(x0, x

3

0− x0).

b) Usando (3.a) determine os valores de a e b onde f assume seus valoresmaximo e mınimo, respectivamente, no intervalo (−1, 1).

-1 a b 1 x

y

-1 a b 1 x

y

-1 a b 1 x

y

BOA SORTE !




Segundo Teste de Calculo Infinitesimal I

4 de Abril de 2003


Instrucoes:






Questao 1 [7,5 pontos] Para cada uma das funcoes abaixo, determine ovalor de a, se for possıvel, de modo que a funcao seja contınua.

a)

f(x) =

x3 − 4x2 + 5x − 2

x3 − 2x2 + xse x 6= 1,

a se x = 1.

b)

f(x) =

2x + 5 se x < −1,

a se x = −1,

x2 − 3 se x > −1.

c )

f(x) =

x2 + 2 se x < 0,

a se x = 0,

√x + 4 se x > 0.

Questao 2 [2,5 pontos] De exemplo de polinomios p(x) e q(x) tais que

a funcao racional f(x) =p(x)

q(x)tenha grafico semelhante ao esbocado abaixo.

-1 1 2 x

y

-1 1 2 x

y

-1 1 2 x

y

-1 1 2 x

y

-1 1 2 x

y

BOA SORTE !




Terceiro Teste de Calculo Infinitesimal I

11 de Abril de 2003


Instrucoes:






Questao 1 [2 pontos] Calcule:

limx→2

(x − 2) sen

(

x2 + 3x + 7

x2 − 3x + 2

)

.

Questao 2 [6 pontos] Seja f uma funcao contınua tal que f(1) = 2, f(2) = 3,f(3) = −1 e f(4) = 2. Diga se e verdadeiro ou falso:

a) Pode-se afirmar que f nao tem raiz em [1, 2].b) Pode-se afirmar que f tem pelo menos duas raızes em [1, 4].c ) Pode-se afirmar que f tem exatamente uma raiz em [2, 3].

Questao 3 [2 pontos] A funcao parte inteira de x, denotada por bxc edefinida como sendo o unico inteiro n tal que n ≤ x < n + 1. Exemplos:b1, 5c = 1, b1c = 1 e b−1, 5c = −2. Calcule o limite abaixo, se ele existir:

limx→∞

x

⌊

1

x

⌋

.

BOA SORTE !




Quarto Teste de Calculo Infinitesimal I

09 de Maio de 2003


Instrucoes:






Questao 1 [4 pontos] Considere um triangulo retangulo de catetos de com-primentos 5 e 12. Entre todos os retangulos inscritos neste triangulo que temum de seus lados sobre um cateto, determine os lados daquele que tem areamaxima.

Questao 2 [6 pontos] Esboce o grafico da funcao f abaixo, explicitandoraızes, pontos de maximo e de mınimo locais e globais, pontos de mudanca deconcavidade e assıntotas horizontais e verticais.

f(x) = e−x2+3x−2.

BOA SORTE !




Primeira Prova de Calculo Infinitesimal I

12 de Maio de 2003


Instrucoes:






Questao 1 [2 pontos] Calcule os limites abaixo, quando existirem.

a) limx→0

3x + tan 5x

sen 2x. b) lim

x→2

(x − 2)(x2 − 4)

x3 − 5x2 + 8x − 4.

Questao 2 [2 pontos] Calcule as derivadas das funcoes abaixo:

a) f(x) = sen(3x + e2x). b) g(x) =3√

x + 1

x2 + 1.

Questao 3 [2 pontos] Seja f(x) = x4 − 2x3 + x2 + 1. Mostre que existea ∈ R tal que f(a) = 10.

Questao 4 [2 pontos] Esboce o grafico da funcao f abaixo, explicitandoraızes, pontos de maximo e de mınimo locais e globais, pontos de mudanca deconcavidade e assıntotas horizontais e verticais.

f(x) =−x3

(x − 1)2(x + 2)+ 2.

Sugestao: pode-se adimitir (sem justificativa) que

f ′(x) =6x2

(x − 1)3(x + 2)2e f ′′(x) =

−6x(3x2 + 2x + 4)

(x − 1)4(x + 2)3.

Questao 5 [2 pontos] Uma cerca de 8m e paralela a um predio alto (vejafigura). Se a cerca esta a 1m do predio, qual o comprimento da menor escadaque alcanca a parede do predio?

��

��

��

��

��

��

PSfrag replacementsescada

cerc

a

1m

8m

BOA SORTE !




Quinto Teste de Calculo Infinitesimal I

23 de Maio de 2003


Instrucoes:






Questao 1 [3 pontos] Calcule os limites abaixo:

a) limx→1

sen(x2 − 2x + 1)

log x,

b) limx→+∞

ex

x2,

c ) limx→2

x2 + 3x − 1

x2 + 2x − 1.

Questao 2 [5 pontos] Determine o ponto do grafico de f(x) =√

x maisproximo ao ponto (2, 0).

Questao 3 [2 pontos] Seja f : [0, +∞) → R tal que

1. f(0) = 0,

2. f e derivavel e f ′ e integravel,

3. f ′(x) ≤ 1, ∀x > 0.

Mostre que f(x) ≤ x, ∀x > 0.

BOA SORTE !




Sexto Teste de Calculo Infinitesimal I

30 de Maio de 2003


Instrucoes:






Questao 1 [4 pontos] Seja

f(x) =

x se 0 < x ≤ 2,

−1 se 2 < x ≤ 4,

x − 2 se 4 < x ≤ 5.

Determine:

a)

∫ 3

0

f(x)dx. b)

∫ 5

1

f(x)dx.

Questao 2 [4 pontos] Calcule, usando o Teorema Fundamental do Calculo,

∫

4

1

(2√

x − 3x3 − 1)dx.

Questao 3 [2 pontos] Diga se sao verdadeiras ou falsas cada uma das afir-mativas abaixo, justificando suas respostas.

a) Se

∫

b

a

f(x)dx = 0, entao f(x) = 0 para todo x ∈ [a, b].

b)

∫

b

a

(

f(x))2

dx =

[

∫

b

a

f(x)dx

]2

.

BOA SORTE !




Setimo Teste de Calculo Infinitesimal I

06 de Junho de 2003


Instrucoes:






Questao 1 [8 pontos] Calcule

a)

∫ex cos(ex + 3)dx

b)

∫sen xecos xdx

c )

∫xex

2

dx

d)

∫e

1

log x

x

dx

e )

∫1

0

x

1 + x2dx

f )

∫x log xdx

g)

∫1

0

x cos2 xdx +

∫1

0

x sen2xdx

h)

∫ex cosxdx

Questao 2 [2 pontos] Calcule

∫log xdx.

Sugestao: use que log x = 1 · log x e integre por partes.

BOA SORTE !




Oitavo Teste de Calculo Infinitesimal I

13 de Junho de 2003


Instrucoes:






Questao 1 [4 pontos] Calcule as areas hachuradas das figuras (a) e (b).

Questao 2 [4 pontos] Calcule o volume do solido de revolucao gerado quandoa regiao hachurada da figura (c) e rotacionada em torno do

a) eixo x b) eixo y.

Questao 3 [2 pontos] Considere um movel preso a uma mola e deslizandosobre uma superfıcie sem atrito (veja figura (d)). Sua aceleracao e dada pora(t) = Aω2 cos(ωt) ∀t ≥ 0 (onde A e ω sao constantes). No instante t = 0o movel esta na posicao x(0) = −A e tem velocidade v(0) = 0. Determine afuncao x(t) que determina a posicao do corpo ao longo do tempo.

PSfrag replacements

xxxxxxxxxxx

yyyyyyyyyyy

00000000000 11111111111

2A

−A

y = x2y = x2y = x2y = x2y = x2y = x2y = x2y = x2y = x2y = x2y = x2

y = x − x2y = x − x2y = x − x2y = x − x2y = x − x2y = x − x2y = x − x2y = x − x2y = x − x2y = x − x2y = x − x2

y = sen(x)y = cos(x)

(a)

PSfrag replacements

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy012A

−Ay = x2

y = x − x2

y = sen(x)y = sen(x)y = sen(x)y = sen(x)y = sen(x)y = sen(x)y = sen(x)y = sen(x)y = sen(x)y = sen(x)y = sen(x)y = sen(x)y = sen(x)y = sen(x)y = sen(x)y = sen(x)y = sen(x)y = sen(x)y = sen(x)y = sen(x)y = sen(x)y = sen(x)

y = cos(x)y = cos(x)y = cos(x)y = cos(x)y = cos(x)y = cos(x)y = cos(x)y = cos(x)y = cos(x)y = cos(x)y = cos(x)y = cos(x)y = cos(x)y = cos(x)y = cos(x)y = cos(x)y = cos(x)y = cos(x)y = cos(x)y = cos(x)y = cos(x)y = cos(x)

(b)

PSfrag replacements

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy

0000000000000000000000 1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2222222222222222222222A

−Ay = x2

y = x − x2


(c)

��

��

� � � � � � � � � � �

��

PSfrag replacements

x

y

0

12

A−A

y = x2

y = x − x2


(d)

BOA SORTE !




Ultimo Teste de Calculo Infinitesimal I - Ufa!

27 de Junho de 2003


Instrucoes:






Questao 1 [2,5 pontos] Calcule a area da superfıcie de revolucao geradapela rotacao do grafico de y = x3 em torno do eixo x com x ∈ [0, 1].

Resposta:π

27(103/2

− 1).

Questao 2 [2,5 pontos] Considere a funcao g dada por

g(x) =

∫ x

3

ds

s∀x > 0.

Mostre que g(ab) = g(a) + g(b) + log 3.

Questao 3 [2,5 pontos] Calcule o comprimento total do perımetro da astroide:x2/3 + y2/3 = 1.Resposta: 6.

PSfrag replacements

−1

−1

1

1

x

y

Questao 4 [2,5 pontos] Uma barraca de camping e construıda sobre umabase quadrada com duas varetas identicas conforme a figura abaixo. No sis-tema de coordenadas mostrado na figura, uma das varetas tem forma dada pelaequacao y = 1 − x2. Calcule o volume da barraca.Resposta: 1.

PSfrag replacements

y = 1 − x2

0

x

y




Segunda Prova de Calculo Infinitesimal I

2 de Julho de 2003


Instrucoes:






Questao 1 [2 pontos] Sabendo que

∫ 2

−1

f(x) dx = 5,

∫ 2

−1

g(x) dx = −3 e

∫ 0

−1

f(x) dx = 7,

calcule:

a)

∫

2

−1

(

f(x) + 2g(x))

dx b)

∫

1

−1/2

g(2x) dx

c )

∫

1

1

g(x2) dx d)

∫

2

0

f(x) dx

Questao 2 [2 pontos] Calcule as integrais abaixo.

a)

∫

4π2

π2

sen√

x√

xdx b)

∫

ln 3

ln 2

ex

ex + 4dx c )

∫

sen(ln x) dx

Questao 3 [2 pontos] A regiao plana limitada acima pelo grafico da funcao

f(x) =√

1−ln xx , abaixo pelo eixo x, a esquerda por x = 1 e a direita por x = e, e

girada em torno do eixo x, obtendo-se um solido de revolucao. Calcule o volumedeste solido.Resposta: π/e.

Questao 4 [2 pontos] Determine o comprimento do grafico da funcao f(x) =ln(x +

√x2 − 1) para x ∈ [1, 2].

Resposta:√

3.

Questao 5 [2 pontos] Deseja-se fazer um download de um arquivo de 300.000Kbytes. Iniciando as 23:00h, sabe-se que t segundos depois a velocidade detransmissao e dada, em Kbytes por segundo, por

v(t) = 10 + 2 cos

(

π +πt

2

)

.

Determine se as 8:00h do dia seguinte o download tera terminado.

BOA SORTE !




Prova Final de Calculo Infinitesimal I

11 de Julho de 2003


Instrucoes:






Questao 1 [2 pontos] Calcule os limites abaixo:

a) limx→0+

x ln x b) limx→0

tan 3x

2xc ) lim

x→2

x2 − 3x + 2

x2 − 3x + 5

Questao 2 [2 pontos] Calcule as integrais abaixo:

a)

∫ √2

1

xe−x2

dx b)

∫ 3π/4

0

| cosx| dx c )

∫x(ln x)2 dx

Questao 3 [2 pontos] Esboce o grafico de uma funcao contınua f que sa-tisfaca

• f(0) = 2, f(−2) = 1 e f ′(0) = 0.

• limx→+∞

f(x) = −1 e limx→−∞

f(x) = 0.

• limx→2+

f(x) = +∞ e limx→2−

f(x) = −∞.

• f ′(x) > 0 se x < 0 e f ′(x) < 0 se x > 0.

• f ′′(x) < 0 se |x| < 2 e f ′′(x) > 0 se |x| > 2.

Questao 4 [2 pontos] A pagina de um livro deve ser retangular e ter umaarea de 90 cm2 com margens laterais e superior de 1 cm, e inferior de 1/2 cm.Determine as dimensoes da pagina que permitirao a maior area impressa.

Questao 5 [2 pontos] Determine a area da regiao compreendida entre osgraficos de y = x3 − x e y = sen(πx) com x ∈ [−1, 1].

BOA SORTE !




Segunda Chamada de Calculo Infinitesimal I

16 de Julho de 2003


Instrucoes:






Questao 1 [2 pontos] Um copo de papel em forma de cone deve conter36πcm3. Determine a altura do copo que requer a menor quantidade de papel.

Questao 2 [2 pontos]

a) Mostre que x5 + 10x + 3 = 0 possui exatamente uma raız real.

b) Determine o valor de C de modo que a funcao f abaixo seja contınua emR. Justifique sua resposta.

f(x) =

{

Cx2 − 3 se x ≤ 2,Cx + 2 se x > 2.

Questao 3 [2 pontos] Esboce o grafico da funcao f abaixo, explicitandoraızes, pontos de maximo e de mınimo locais e globais e pontos de mudanca deconcavidade.

f(x) = x(ln x)2 ∀x > 0.

Questao 4 [2 pontos] Calcule as integrais abaixo.

a)

∫

1

−2

|x(x2−1)| dx b)

∫

ln x√x

dx c )

∫

sen(x)√

1 + cos(x) dx

Questao 5 [2 pontos] A regiao plana limitada acima pelo grafico da funcaoy = (ln x)/2, abaixo pelo eixo x e a direita por x = e2, e girada em torno doeixo y, obtendo-se um solido de revolucao. Calcule o volume deste solido.

BOA SORTE !

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