Principais Modelos DiscretosPrincipais Modelos Discretos

Josemar RodriguesJosemar Rodrigues

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2

Principais modelos probabilísticos discretos

1. Modelo Bernoulli

Na prática muitos experimentos admitem apenas dois resultados

Exemplo:

1. Uma peça é classificada como boa ou defeituosa;

2. O resultado de um exame médico para detecção de uma doença é positivo ou negativa.

3. Um entrevistado concorda ou não com a afirmação feita;

4. No lançamento de um dado ocorre ou não face 6;

5. No lançamento de uma moeda ocorre cara ou coroa.

Situações com alternativos dicotômicas, podem ser representadas genericamente por resposta do tipo sucesso-fracasso.

Esses experimentos recebem o nome de Ensaio de Bernoulli e originam uma v.a. com distribuição de Bernoulli.

3

1.2 Aleatória De Bernoulli

É uma variável aleatória X que apenas assume apenas dois valores 1 se ocorrer sucesso (S) e 0 se ocorrer fracasso (F), e, sendo p a probabilidade de sucesso, 0 < p <1. Isto é, se X(S)=1 e X(F)=0. Logo a distribuição de probabilidade é dado por:

x

P(X=x)

0 1

1-p p

Notação: X~Bernoulli (p), indica que a v.a. X tem distribuição de Bernoulli.Se X~Bernoulli(p) pode-se mostrar que:

E(X)=p

Var(X)=p(1-p).

Repetições independentes de um ensaio de Bernoulli dão origem ao modelo Binomial.

cc

xppxXPxf

xx

.;0

1,0;)1()()(

1

4

2. Modelo Binomial

Exemplo 1: Suponha que uma moeda é lançada 3 vezes e probabilidade de cara seja p em cada lançamento. Determinar a distribuição de probabilidade da variável X, número de caras nos 3 lançamentos.Denotemos, S: sucesso, ocorrer cara (c) e F:fracasso, ocorrer coroa(k).

O espaço amostral para o experimento de lançar um moeda 3 vezes é:

={FFF.FFS, FSF,SFF,FSS, SFS, SSF,SSS}

Seja, Xi é uma variável aleatória Bernoulli (i=1,2,3). Então a variável X=X1+X2+X3, representa o número de caras nos 3 lançamentos.

Probabilidade X1 X2 X3 X=X1+X2+X3

FFF (1-p)3 0 0 0 0 FFS (1-p)2p 0 0 1 1 FSF (1-p)2p 0 1 0 1 SFF (1-p)2p 1 0 0 1 FSS (1-p)p2 0 1 1 2 SFS (1-p)p2 1 0 1 2 SSF (1-p)p2 1 1 0 2 SSS P3 1 1 1 3

5

3

2

2

3

})({)3(

)1(3}),,({)2(

)1(3}),,({)1(

)1(})({)0(

pSSSPXP

ppSSFSFSFSSPXP

ppSFFFSFFFSPXP

pFFFPXP

Daí temos que:

A distribuição de probabilidade da v.a. X é dada por:

3223 )1(3)1(3)1()()(

3210

ppppppxXPxf

x

O comportamento de X , pode ser representado pela seguinte função:

)!3(!

!33

.,0

3,2,1,0,)1(3

)(3

xxxonde

cc

xppxxf

xx

6

Definição[Distribuição Binomial]

Considere a repetição de n ensaios de Bernoulli independentes e todos com a mesma probabilidade de sucesso p. A variável aleatória que conta o número total de sucessos nos n ensaios de Bernoulli é denominada de variável aleatória Binomial com parâmetros n e p e sua função de probabilidade é dado por:

Binomial. ecoeficient o representa,)!(!

!

.,0

,,1,0,)1()(

xnx

n

x

nonde

cc

nxppx

nxf

xnx

Notação, X~B(n,p), para indicar que v.a. X tem distribuição Binomial com parâmetros n e p.

Se X~B(n,p) pode-se mostrar que:

E(X)=np

Var(X)=np(1-p).

7

0 2 4 6 8

0.0

0.2

0.4

x

P(X

=x)

p=0,1

0 2 4 6 8

0.00

0.20

x

P(X

=x)

p=0,3

0 2 4 6 8

0.00

0.15

x

P(X

=x)

p=0,5

0 2 4 6 8

0.00

0.20

x

P(X

=x)

p=0,8

Distribuição Binomial com parâmetros n=10 e p

8

0 5 10 15 20

0.00

0.20

x

P(X

=x)

p=0,1

0 5 10 15 20

0.00

0.15

x

P(X

=x)

p=0,3

0 5 10 15 20

0.00

0.10

x

P(X

=x)

p=0,5

0 5 10 15 20

0.00

0.15

x

P(X

=x)

p=0,8

Distribuição Binomial com parâmetros n=20 e p

9

0 10 20 30

0.00

0.15

x

P(X

=x)

p=0,1

0 10 20 30

0.00

0.10

x

P(X

=x)

p=0,3

0 10 20 30

0.00

0.10

x

P(X

=x)

p=0,5

0 10 20 30

0.00

0.15

x

P(X

=x)

p=0,8

Distribuição Binomial com parâmetros n=30 e p

10

O professor da disciplina de Estatística elaborou um prova de múltipla escolha, consistente em 10 questões cada uma com 5 alternativas cada questão. Suponha que nenhum dos estudantes que vão a fazer a prova não vão as aulas e não estudaram para a prova (o que é muito freqüente). O professor estabeleceu que para aprovar deve contestar corretamente ao menos 6 questões. Se 200 alunos se apresentaram, quantos alunos aprovaram a disciplina?.

Solução:Seja a v.a. X: número de questões respondidas corretamente nas 10 questões. Então o evento de interesse é:

S: “questão respondida corretamente”

F:”questão respondida incorretamente”

P(S)=1/5 e P(F)=4/5. Logo, X~B(10,p).

cc

xxxf

xx

.,0

10,,1,0,5

4

5

110)(

10

A probabilidade de aprovar a prova um aluno é:

000637,00,99363061)5(1)6(1)6( FXPXP

Portanto, dos 200 alunos que fizeram a prova aprovariam:200(0,00637)2, alunos

Exemplo 2.

11

x f(x) F(x) 0 0,107374 0,10737 1 0,268435 0,37581 2 0,301990 0,67780 3 0,201327 0,87913 4 0,088080 0,96721 5 0,026424 0,99363 6 0,005505 0,99914 7 0,000786 0,99992 8 0,000074 1,00000 9 0,000004 1,00000 10 0,000000 1,00000

12

0 2 4 6 8 10

0.0

00

.10

0.2

00

.30

x

P(X

=x)

B(10,p=0,20)

13

Na prática muitos experimentos consistem em observar a ocorrência de eventos discretos em um intervalo contínuo (unidade de medida)

Exemplo:

1. Número de consultas a uma base de dados em um minuto.

2. Número de acidentes de trabalho por semana em uma empresa industrial.

3. Número de machas (falhas) por metro quadrado no esmaltado de uma geladeira.

4. Número de chamadas que chegam a uma central telefônica de uma empresa num intervalo de tempo (digamos de 8,0 a 12,0).

5. Número de autos que chegam ao Campus entre 7,0 a.m. a 10,0 a.m.

6. Número de microorganismos por cm cúbico de água contaminada.

Distribuição de Poisson

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Suposições básicas:

Considere que o intervalo pode ser dividido em subintervalos com comprimento suficientemente pequeno tal

• a probabilidade de mais uma contagem em um subintervalo seja zero,

• a probabilidade de uma contagem em um subintervalo seja a mesma para todos os subintervalos e proporcional ao comprimento de subintervalo e

• a contagem em cada subintervalo seja independente de outros subintervalos.

15

Onde: X: número de eventos discretos em t unidades de medida,

: media de eventos discretos em uma unidade de medida,

t: unidade de medida

= t: media de eventos discretos em t unidades de medida

Notação: X~P(), para indicar que a v.a. X tem distribuição de Poisson com parâmetro .

Definição[Distribuição de Poisson] Uma variável discreta X tem distribuição de Poisson com parâmetro se sua função de probabilidade é dada por:

..;0

,2,1,0!)(

cc

xx

exf

x

16

0 5 10 15 20 25 30

0.0

0.1

0.2

0.3

x

P(X

=x)

P(1)

0 5 10 15 20 25 30

0.00

0.10

0.20

x

P(X

=x)

P(2)

0 5 10 15 20 25 30

0.00

0.10

0.20

x

P(X

=x)

P(4)

0 5 10 15 20 25 30

0.00

0.04

0.08

0.12

x

P(X

=x)

P(8)

17

0 5 10 15 20 25 30

0.0

0.1

0.2

0.3

x

P(X

=x)

P(1)

0 5 10 15 20 25 30

0.00

0.10

0.20

x

P(X

=x)

P(2)

0 5 10 15 20 25 30

0.00

0.10

0.20

x

P(X

=x)

P(4)

0 5 10 15 20 25 30

0.00

0.04

0.08

0.12

x

P(X

=x)

P(8)

18

Exemplo 1. As consultas num banco de dados ocorrem de forma independente e aleatório seguindo a distribuição de Poisson. Suponha que a média de consultas é 3 a cada 4 minutos. Qual é a probabilidade que banco de dados seja consultado no máximo 2 em um intervalo de 2 minutos?

Se X: número de consultas num banco de dados em 2 minutos,

então, X ~P(). Aqui t=2 e =3/4=0,75, então =(0,75)(2)=1,5. Ou seja

X~P(1,5)

....3,2,1,0,!

5,1)(

5,1

xx

exf

x

19

20

.808847,0]2

5,15,11[)2()1()0()2(

....3,2,1,0,!

5,1)(

25,1

5,1

eXPXPXPXP

xx

exf

x

Exemplo 2: O número de pedidos de empréstimos que um banco recebe por dia é uma variável aleatória com distribuição de Poisson com =7,5. Determine as probabilidades de que, em um dia qualquer, o banco receba

(a) Exatamente 2 pedidos de empréstimo;

(b) No máximo 4 pedidos de empréstimo;

(c) No mínimo oito pedidos de empréstimo.

21

X: número de pedidos de empréstimos que um banco recebe por dia

X~P(7,5)

,2,1,0,!

5,7)(

5,7

xx

exf

x

22

0 5 10 15 20 25 30

0.0

00

.05

0.1

00

.15

x

P(X

=x)

P(7,5)

23

x f(x)=P(X=x) 0 0,000553 1 0,004148 2 0,015555 3 0,038889 4 0,072916 5 0,109375 6 0,136718 7 0,146484 8 0,137329 9 0,114440 10 0,085830 11 0,058521 12 0,036575 13 0,021101 14 0,011304 15 0,005652 16 0,002649 17 0,001169 18 0,000487 19 0,000192 20 0,000072 21 0,000026 22 0,000009 23 0,000003 24 0,000001 25 0,000000 26 0,000000 27 0,000000

24

0,0155552

)5,7()2()(

25,7

e

XPa

0,0202567 0,0155550,0041480,000553

)2()1()0()2()(

XPXPXPXPb

0,62185.0,37815 -1

0,136718]0,000553[1

)(1)8(1)8()(7

0

x

xXPXPXPd

25

26

PROPRIEDADES DA DISTRIBUIÇÃO DE POISSON

Se X ~P(), então.

(i) A função de distribuição acumulada é dada por:

0!

00)()(

0

xx

ex

xXPxFx

k

x

(ii) E(X)=, Var(X)= .

27

28

x P(X=x) P(Xx) 0 0,000553 0,00055 1 0,004148 0,00470 2 0,015555 0,02026 3 0,038889 0,05915 4 0,072916 0,13206 5 0,109375 0,24144 7 0,136718 0,37815 8 0,146484 0,52464 9 0,137329 0,66197 10 0,114440 0,77641 11 0,085830 0,86224 12 0,058521 0,92076 13 0,036575 0,95733 14 0,021101 0,97844 15 0,011304 0,98974 16 0,005652 0,99539 17 0,002649 0,99804 18 0,001169 0,99921 19 0,000487 0,99970 20 0,000192 0,99989 21 0,000072 0,99996 22 0,000026 0,99999 23 0,000009 1,00000 24 0,000003 1,00000 25 0,000001 1,00000 26 0,000000 1,00000 27 0,000000 1,00000 28 0,000000 1,00000 29 0,000000 1,00000 30 0,000000 1,00000

X~P(7,5)

29

Exemplo 3: Consideremos o exemplo 2,

0,15560,00470-0,02026)2()3()2()( FFXPa

0!

5,700

)()(

0

5,7

xx

ex

xXPxFx

k

x

0,02026)2()2()( FXPb

0,62185.0,378151)7(1

)7(1)8(1)8()(

F

XPXPXPc

30

Exemplo 3. Contaminação é um problema de fabricação de discos ópticos de armazenagem. O número de partículas de contaminação que ocorrem em um disco óptico tem uma distribuição de Poisson e o número médio de partículas por centímetro quadrado da superfície é 0,1. A área do disco em estudo é 100 centímetros quadrados. Encontre a probabilidade de que 12 partículas ocorram na área de um disco sob estudo.

Se X: número de partículas na área de um disco sob estudo,

então, X ~P(). Aqui t=100 e =0,1, então =(100)(0,1)=10. Ou seja

X~P(10)

,2,1,0,!

10)(

10

xx

exf

x

0,09512

)10()12(

1210

e

XP

31

A Distribuição Poisson Como Aproximação da Distribuição Binomial

A distribuição Binomial para x sucessos em n ensaios de Bernoulli ´e dada por:

.,,0,)1()( nxppx

nxXP xnx

Se =np, p=/n, substituindo p na função probabilidade temos

x

n

xxnx

n

nxn

x

nnnnx

nxXP

1

1

!

11

21

111)(

!)(,

x

exXPtemosnFazendo

x

32

33

34

Exemplo 5. 5. A probabilidade de um rebite particular na superfície da asa de uma aeronave seja defeituosa é 0,001. Há 4000 rebites na asa. Qual é a probabilidade de que seja instalados não mais de seis rebites defeituosos?

6

0

400

.8894,0999,0001,04000

)6(x

xx

xXP

Usando a aproximação de Poisson, =4000(0,001)=4 X~P(4)

6

0

4

.889,0!

4)6(

x

x

x

eXP

Se X: número de rebites defeituosos na asa da aeronave. Então, X~B(400,0,001)

35

Teorema: Se nXX ,,

1 são variáveis aleatórias independentes, com

distribuição de Poisson com parâmetros, n

,,1 , spectivamente,

então a variável aleatória, nXXY

1

tem distribuição de Poisson com parâmetro, n

1

.

Exemplo 6. Em uma fabrica foram registradas em três semanas a média de acidentes: 2,5 na primeira semana, 2 na segunda semana e 1,5 na terceira semana. Suponha que o número de acidentes por semana segue um processo de Poisson. Qual é a probabilidade de que haja 4 acidentes nas três semanas?

Seja a variável aleatória, iX : número de acidentes na i-ésima

semana, i=1,2,3. )(~ii

PX , então, a v.a. ,321XXXY tem

distribuição de Poisson com parâmetro, 65,125,2 .

1339,0!4

6)4(

64

e

XP