Probabilidades e Combinatória

Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2011/2012 1

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis

12º Ano de Matemática – A

Tema I – Probabilidades e Combinatória

1º Teste de avaliação

Grupo I

NOTA: No fim há um formulário sobre distribuições d e probabilidade

1. Num saco estão quatro bolas indistinguíveis ao tato e numeradas de 1 a 4.

Extraem-se ao acaso, e em simultâneo, duas bolas do saco.

Seja X a variável aleatória: “média aritmética dos números das bolas extraídas”.

O valor de ( )2,5=P X é:

(A) 1

12 (B)

16

(C) 13

(D) 23

2. Em cada uma das opções seguintes (A, B, C e D) estão representadas quatro figuras,

constituídas cada uma delas, por quadrados e círculos numerados de 1 a 5. Para cada opção,

considere:

A experiência que consiste na escolha aleatória de um dos cinco elementos que

constituem a figura;

Os acontecimentos: X:”a figura tem número par” e Y:” a figura é um círculo”.

Em qual das opções se tem ( ) 2P X | Y

3= ?

• As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla.

• Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta.

• Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão.

• Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita

for ilegível.

• Não apresente cálculos ou justificações.

• Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos.


3. Seja Ω o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória.

Sejam A e B dois acontecimentos (A⊂ Ω e B⊂ Ω )

Sabe-se que ( )P A 0,5= e que ( )P B 0,7=

Podemos garantir que…

(A) A e B são acontecimentos contrários

(B) A e B são acontecimentos compatíveis.

(C) A está contido em B.

(D) O acontecimento A∪B é certo.

4. Uma variável aleatória X tem a seguinte distribuição de probabilidades:

ix 0 a 2a

( )= iP X x 0,3 0,5 b

Sabe-se que o valor médio do valor da variável aleatória é 2,7

Qual é o valor de a ?

(A) 3 (B) 2,5 (C) 2 (D) 1,5

5. O diâmetro, em milímetros, dos parafusos produzidos por uma certa máquina é uma variável

aleatória X com distribuição normal, de valor médio 15.

Qualquer parafuso produzido por essa máquina passa por um controle de qualidade. Ao

passar por esse controle, o parafuso é aprovado se o seu diâmetro estiver compreendido entre

14,1 e 15,9 milímetros. Caso contrário, é rejeitado.

Sabe-se que 99,73% dos parafusos são aprovados.

Qual é o desvio padrão da variável aleatória X ?

(A) 0,1 (B) 0,3 (C) 0,6 (D) 0,9

Grupo II

Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos

os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias.

Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado,

pretende-se sempre o valor exacto.


1. Num saco há seis bolas, sendo três delas vermelhas, duas azuis e uma preta. Considere a

experiência que consiste na extração aleatória de uma bola e no registo da cor.

1.1. Qual é o espaço amostral?

1.2. Identifique os acontecimentos elementares e indique qual deles tem

maior probabilidade de ocorrer.

1.3. Considere os acontecimentos:

A: “sair bola vermelha”; B: “sair bola verde”;

C: ”não sair bola azul”; D: “não sair bola amarela”

1.3.1. Represente os acontecimentos na forma de conjuntos.

1.3.2. Identifique um acontecimento impossível, um acontecimento elementar, um

acontecimento composto.

1.3.3. Indique a probabilidade de ocorrer cada um dos acontecimentos A, B, C e D.

2. Numa estação de serviço, observou-se que 32% dos seus clientes compram gasolina sem

chumbo 95, 56% preferem sem chumbo 98 e os restantes gastam gasóleo.

Verificou-se ainda que, dos clientes que compram gasolina sem chumbo 95, 20% enchem o

depósito, o mesmo acontece com 60% dos que compram gasóleo e com 25% dos que gastam

gasolina sem chumbo 98.

2.1. Determine a probabilidade de um automobilista abastecer o seu automóvel nesta estação

de serviço, e não encher o depósito.

2.2. Sabe-se que um cliente encheu o depósito do seu carro. Qual é a probabilidade de ter

abastecido com gasolina sem chumbo 98? Apresente o resultado em percentagem

arredondado às décimas.

3. Sejam A e B dois acontecimentos associados a uma experiência aleatória.

3.1. Mostre que, se A e B forem acontecimentos independentes, tem-se:

( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A∪ = + ×

3.2. Admita que A e B são independentes e que ( ) 2P A

3= e ( ) 1

P A B6

∩ = . Determine

( )P A B∪ .

4. Numa caixa há 5 bolas, 2 pretas e 3 azuis. Considere a

experiência aleatória que consiste em retirar da caixa,

simultaneamente e ao acaso, duas bolas e verificar a cor

das mesmas.

4.1. Determine a probabilidade de serem extraídas as duas


bolas pretas. Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

4.2. Admita que a experiência vai ser realizada três vezes, nas mesmas condições.

Seja X a variável aleatória “número de vezes em que as bolas extraídas são pretas”.

Calcule o valor médio da variável X.

Nota: se não resolveu a questão 4.1 tome para valor da probabilidade de as bolas extraídas

serem pretas 25

.

Formulário :

COTAÇÕES DO GRUPOII

QUESTÃO 1.1 1.2 1.3.1 1.3.2 1.3.3 2.1 2.2 3.1 3.2 4.1 4.2

COTAÇÃO 5 10 8 4 8 20 10 20 20 20 25





1º Teste de avaliação

Grupo I

NOTA: No fim há um formulário sobre distribuições d e probabilidade

1. (C) Num saco estão quatro bolas indistinguíveis ao tato e numeradas

de 1 a 4.

Extraem-se ao acaso, e em simultâneo, duas bolas do saco.

Seja X a variável aleatória: “média aritmética dos números das bolas

extraídas”.

( ) 4 12,5

12 3= = =P X

2. (C) Em cada uma das opções seguintes (A, B, C e D) estão representadas quatro figuras,

constituídas cada uma delas, por quadrados e círculos numerados de 1 a 5. Para cada opção,

considere:

A experiência que consiste na escolha aleatória de um dos cinco elementos que

constituem a figura;

Os acontecimentos: X:”a figura tem número par” e Y:” a figura é um

círculo”.

Tem-se ( ) 2P X | Y

3= na opção C por lá termos que a probabilidade e a

figura ter 2 números pares sabendo que a figura é um quadrado. De facto temos 2 dos 3

quadrados com números pares.

3. (B) Seja Ω o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória.

Sejam A e B dois acontecimentos (A⊂ Ω e B⊂ Ω )

Sabe-se que ( )P A 0,5= e que ( )P B 0,7=

Podemos garantir que… A e B são acontecimentos compatíveis.

1 2 3 4 1 1,5 2 2,5 2 1,5 2,5 3 3 2 2,5 3,5 4 2,5 3 3,5


4. (A)Uma variável aleatória X tem a seguinte distribuição de probabilidades:

ix 0 a 2a

( )= iP X x 0,3 0,5 b

Sabe-se que o valor médio do valor da variável aleatória é 2,7.

O valor de b é ( )b 1 0,5 0,3 0,2= − + = e então a é tal que:

0 0,3 a 0,5 2a 0,2 2,7 0,5a 0,4a 2,7 0,9a 2,7 a 3× + × + × = ⇔ + = ⇔ = ⇔ =

5. (B) O diâmetro, em milímetros, dos parafusos produzidos por

uma certa máquina é uma variável aleatória X com

distribuição normal, de valor médio 15.

Qualquer parafuso produzido por essa máquina passa por um

controle de qualidade. Ao passar por esse controle, o

parafuso é aprovado se o seu diâmetro estiver compreendido

entre 14,1 e 15,9 milímetros. Caso contrário, é rejeitado.

Sabe-se que 99,73% dos parafusos são aprovados, pelo que 14,1 é 15 3− σ e 15,9 é 15 3+ σ .

Finalmente dado que 3 0,9 0,3σ = ⇔ σ =

Grupo II

1. Num saco há seis bolas, sendo três delas vermelhas, duas azuis e uma preta. Considere a

experiência que consiste na extração aleatória de uma bola e no registo da cor .

1.1. O espaço amostral é E = vermelho, azul, preto

1.2. Identifiquemos os acontecimentos elementares vermelho, azul e

preto . O que tem maior probabilidade de ocorrer é vermelho

1.3. Considere os acontecimentos:

A: “sair bola vermelha”; B: “sair bola verde”;

C: ”não sair bola azul”; D: “não sair bola amarela”

1.3.1. Representemos os acontecimentos na forma de conjuntos:

A vermelho= B = = ∅ C vermelho,preto=

D vermelho,azul,preto=

1.3.2. B é um acontecimento impossível, A é um acontecimento elementar e C é um

acontecimento composto.


1.3.3. Indiquemos a probabilidade de ocorrer cada um dos acontecimentos A, B, C e D.

( ) 3 1P A

6 2= = ( )P B 0= ( ) 4 2

P C6 3

= = ( )P D 1=

2. Numa estação de serviço, observou-se que 32% dos seus

clientes compram gasolina sem chumbo 95, 56% preferem sem

chumbo 98 e os restantes gastam gasóleo.

Verificou-se ainda que, dos clientes que compram gasolina sem

chumbo 95, 20% enchem o depósito, o mesmo acontece com

60% dos que compram gasóleo e com 25% dos que gastam

gasolina sem chumbo 98.

2.1. Determinemos a probabilidade de um automobilista

abastecer o seu automóvel nesta estação de serviço, e não

encher o depósito. ( )P E 0,32 0,8 0,56 0,75 0,12 0,4 0,724= × + × + × =

2.2. Sabe-se que um cliente encheu o depósito do seu carro. A probabilidade de ter

abastecido com gasolina sem chumbo 98 é

( ) ( )( )

P SC98 E 0,56 0,25P SC98 |E 0,507

P E 0,32 0,2 0,56 0,25 0,12 0,6

∩ ×= =× + × + ×

≃

( )P SC98 | E 50,7%≃

3. Sejam A e B dois acontecimentos associados a uma experiência aleatória.

3.1. Mostremos que, se A e B forem acontecimentos independentes, tem-se:

( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A∪ = + ×

Ora ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B P A P B P A P B∪ = + − ∩ = + − × =

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )P A P B 1 P A P A P B P A+ × − = + ×

3.2. Admitamos que A e B são independentes e que ( ) 2P A

3= e ( ) 1

P A B6

∩ = . Determinemos

( )P A B∪ começando por calcular ( )P B .

( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ = × leva a que ( ) ( )1 2 1 3 1P B P B P(B)

6 3 6 2 4= × ⇔ = × ⇔ =

Então ( ) 2 1 1 3P A B

3 4 6 4∪ = + − =

32%

12%

56%

20%

80%25%

75%

60%

40%

E

E

E

SC98E

SC95

G

E

E

E


4. Numa caixa há 5 bolas, 2 pretas e 3 azuis. Considere a experiência aleatória que consiste em

retirar da caixa, simultaneamente e ao acaso, duas bolas e verificar a cor das mesmas.

4.1. Determinemos a probabilidade de serem

extraídas as duas bolas pretas.

2 1P

20 10= =

4.2. Admitamos que a experiência vai ser realizada

três vezes, nas mesmas condições.

Seja X a variável aleatória “número de vezes em

que as bolas extraídas são pretas”.

Calculemos

( ) 1P X 0 binompdf 3, ,0 0,728(9)

10 = = =

( ) 1P X 1 binompdf 3, ,1 0,243

10 = = =

( ) 1P X 2 binompdf 3, ,2 0,026(9)

10 = = =

( ) 1P X 3 binompdf 3, ,3 0,001

10 = = =

Para construirmos a tabela de distribuição de probabilidade

Calculemos o valor médio da variável X.

O valor médio é 0,3.

P1 P2 A1 A2 A3

P1 P1P2 P1A1 P1A2 P1A3

P2 P2P1 P2A1 P2A2 P2A3

A1 A1P1 A1P2 A1A2 A1A3

A2 A2P1 A2P2 A2A1 A2A3

A3 A3P1 A3P2 A3A1 AEA2

xi 0 1 2 3

P(X=xi) 0,728(9) 0,243 0,026(9) 0,001





1º Teste de avaliação – Critérios de correcção

Grupo I (50 pontos)

Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos.

1 2 3 4 5

C C B A B

Grupo II (150 pontos)

1. 35

1.1. 5

1.2. 10

•••• V 2

•••• A 2

•••• P 2

•••• V é o mais provável 4

1.3. 20

1.3.1. 8

•••• A 2

•••• B 2

•••• C 2

•••• D 2

1.3.2. 4

•••• Acontecimento impossível 1

•••• Acontecimento elementar 1

•••• Acontecimento composto 2

1.3.3. 8

•••• P(A) 2

•••• P(B) 2

•••• P(C) 2

•••• P(D) 2

2. 30

2.1. 20

•••• Árvore 10


•••• Resposta 10

2.2. 10

3. 40

3.1. 20

•••• Aplicar ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩ 5

•••• Aplicar ( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ = × 5

•••• Completar a demonstração 10

3.2. 20

•••• Calcular ( )P A 10

•••• Calcular ( )P A B∪ 10

4. 45

4.1. 20

•••• Tabela 15

•••• Resultado 5

4.2. 25

•••• Tabela 4

•••• ( )P X 0= 4

•••• ( )P X 1= 4

•••• ( )P X 2= 4

•••• ( )P X 3= 4

•••• Valor médio 5

Total ………………………………………………………………………………………………… 200

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