Problemas Resueltosa

Problemas resueltos del Teorema Fundamental del Clculo

Integracin/Nociones bsicas/Teorema fundamental del clculo/Problemas resueltos

Propiedades bsicas de las IntegralesPropiedades Bsicas de las IntegralesA lo largo de todo este tema suponemos que todas las funciones son continuas en un intervalo cerrado I = [a,b]. Debajo, r es un nmero real y tanto f como g son funciones.31254Estas propiedades surgen de la definicin de integral como lmite de una suma de Riemann.Integracin/Nociones bsicas/Teorema fundamental del clculo/Problemas resueltos


Tabla de Integrales Indefinidas1234569781010Integracin/Nociones bsicas/Teorema fundamental del clculo/Problemas resueltos


Teorema Fundamental del ClculoTeoremaSi f una funcin continua entonces la funcin

es una primitiva de la funcin f, es decir, F(x) = f(x).Recprocamente, si F es cualquier primitiva de f entoncesIntegracin/Nociones bsicas/Teorema fundamental del clculo/Problemas resueltos


Hallar las sumas de Riemann para la integral

con 5 subintervalos y tomando en cada subintervalo el extremo izquierdo, el punto medio y el extremo derecho respectivamente..Problemas1Hallar, utilizando la definicin, el rea encerrada por la grfica de la funcin y = x3 y eje X para 0 x 2.2Calcular el lmite , interpretndolo como el rea

de una figura geomtrica conocida y hallando entonces el rea de dicha figura.34Integracin/Nociones bsicas/Teorema fundamental del clculo/Problemas resueltos


Problemas567Encontrar el error en el siguiente clculo de 8Sea f una funcin continua tal que Determinar f(1).9CalcularIntegracin/Nociones bsicas/Teorema fundamental del clculo/Problemas resueltos


Problemas1Hallar, utilizando la definicin, el rea encerrada por la grfica de la funcin y = x3 y eje X para 0 x 2.Suma superior =RespuestaEl rea es 4.Integracin/Nociones bsicas/Teorema fundamental del clculo/Problemas resueltos


Problemas2Calcular el lmite , interpretndolo como el rea

de una figura geomtrica conocida y hallando entonces el rea de dicha figura.SolucinDebemos relacionar la suma dada con una suma aproximada del rea encerrada por la grfica de una funcin.Se observa que:De esta manera resulta obvio que la suma aproxima el rea encerrada por la grfica de x2 para 0 x 1. Dicha rea ya la hemos calculado y da como resultado 1/3. RespuestaIntegracin/Nociones bsicas/Teorema fundamental del clculo/Problemas resueltos


Sumas de RiemannLos puntos de divisin son: {0,/10,(2)/10,(3)/10,(4)/10, /2}.SolucinIntegracin/Nociones bsicas/Teorema fundamental del clculo/Problemas resueltos


Sumas de RiemannLa funcin sen(x) es creciente en el intervalo de integracin. Por lo tanto la suma que obtiene tomando el extremo inferior de cada subintervalo, aproxima la integral por defecto y la suma que se obtiene tomando el extremo superior , aproxima la integral por exceso. La suma obtenida tomando el punto central devuelve la mejor aproximacin, ya que el valor exacto de la integral es 1, que es fcil de calcular gracias al Teorema Fundamental del Clculo.3Comentarios sobre la solucinIntegracin/Nociones bsicas/Teorema fundamental del clculo/Problemas resueltos


Sumas de RiemannLa suma en cuestin a simple vista no parece una suma de Riemann, ya que los sumandos no son de la forma (valor de la funcin)(longitud del subintervalo). Hace falta modificarla.4SolucinIntegracin/Nociones bsicas/Teorema fundamental del clculo/Problemas resueltos


Sumas de RiemannLa conclusin anterior fue queHallar el valor de esta integral utilizando el Teorema Fundamental del Clculo es bastante complicado.Por lo tanto el valor de la integral es el rea pintada en azul.4SolucinIntegracin/Nociones bsicas/Teorema fundamental del clculo/Problemas resueltos


Estimacin de integralesLa integral en cuestin encierra el rea de la regin situada entre la curva roja y el eje X.Por lo tanto el rea encerrada por debajo de la recta azul y=1 es un valor inferior al propio valor de la integral.5SolucinIntegracin/Nociones bsicas/Teorema fundamental del clculo/Problemas resueltos


Uso del Teorema Fundamental del ClculoLa funcin F est definida mediante una integral cuyos lmites de integracin dependen de x. Esto significa que debemos modificarla para poder aplicar el Teorema Fundamental del Clculo.6SolucinIntegracin/Nociones bsicas/Teorema fundamental del clculo/Problemas resueltos


Uso del Teorema Fundamental del ClculoRespuestaLa grfica de la funcin f(x)= 1/x2 puede verse en la figura de arriba. Podemos observar que f(x) no es continua en x=0, por lo que no la podremos hallar la integral empleando el TFC.Este resultado no puede ser correcto ya que la funcin a integrar es positiva y en consecuencia el valor de la integral debera ser tambin positivo.7SolucinEncontrar el error en el siguiente clculo de



Uso del Teorema Fundamental del ClculoHay que derivar la ecuacin dada para obtener la expresin de la funcin f.Por otro lado:Conclusin8SolucinSea f una funcin continua tal que Determinar f(1).Integracin/Nociones bsicas/Teorema fundamental del clculo/Problemas resueltos


Uso del Teorema Fundamental del ClculoIntegracin/Nociones bsicas/Teorema fundamental del clculo/Problemas resueltos


Clculo en una variableAutor: Mika SepplTraduccin al espaol:Flix AlonsoGerardo RodrguezAgustn de la Villa


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