Embed Size (px)
Citation preview
UNICAMP
D-267
COBEM 79 V CONGRESSO BRASILEIRO DE
ENGENHARIA MECANICA CAM~INAS, 12-13-14 o IS DEZEMBIO 1979
PROCEEDINGS
8 T~ABALHO DE PESQUISA N o ~ESEA~CH PAPER · D-19 P. P. 267 - 276
MODELOS PARA ESTIMATIVA DA CONFIABILIDADE
USANDO A TEORIA DA INTERFERENCIA
Edison da Rosa
Prof. Assist. - Cen tr o TecnolÓgico
CT/UFSC - Florianópolis - SC - Brasil
SUMÁRIO
A partir dos conceitos da teoria da interferência de
duas populações, através de uma generalização no seu cá lcu
lo, foram determinadas curvas que fornecem a probabilidade
de inter ferênci a para diversas combinações de distribuições
probabilísticas. No trabalho são ap r~ sentados os resulta
dos n a forma de d i versos gráficos, bem como um ex empl o de
aplicação,
SUMMARY
Trough the concepts of the interference theory of two
populations, via a generalization in their computation, se
vera! curves were determined, which give the interference
probability for some combinations of probabilistics distri
butions. In this paper the results are presented in a gra f i
~ cal form, and also an illustrative example are given.
D-268
1. Int rodução
O a spe c to de c onfiabilidade vem enco ntrando diversa s
ap l icaç6es, s end o exig~ncia do uso d e s i s temas mais elabor!
dos e disp e ndiosos, onde uma falha p ode ter con s eque~nci a s
d esastrosas . A c onfiabilidade do sistema é espec i ficada a
través d e um a aná lise det a lhada de custo s [ 2 , 8] , envolven
do custo d o co ntrol e de 1ualidad e, pr ojeto, fabrica ção , ma
nut ençã o, bem como os custos devid o à fa lh a do s i s tema. A
c onfi abil idade e s peci f i c ada será a que mi nimi za o custo to -
t a l para o per íod o de vida Útil. Dep endendo da configuraç ã o
do s i st ema é pos s ív e l det erminar a aloca ção 6t ima d a confi!
bilid ade em cada um dos componente s [2 , 8], de modo a mi ni
miz ar os custos. Uma vez de f inida a confiabilidad e C de ca-
da component e e conhecendo- s e o modo de falha característ i-
co des t e, é po s sível determ i nar qual deve ser a probabil i d!
d e de interf e r ~nci a P1 entr e a distr i buição da demanda S e
d a capacidade R do componente, já que a probabi li dade de f !
lha P f(P f = 1 - C) é f unção de PI, [ 3, 4, 6]. A probabi lid!
d e de interfer~ncia, definida c omo P1 = P(R S S), é ca lcul!
da a partir das f unç6es den sidade de prob abilid ad e (FDP) da
~. '
>
d emanda, f 5 (s) e da capacidade, fR ( r ) [2, 4, 7] como j
' r " [ _ FR(>) fs(>) d> ~ onde FR(r) é a função de probabilidade acumulada de R.
O cálcul o de PI ex ige em geral um a integração numéri
c a o que r estringe o valor cal culado para os valores numéri
cos dos parâmetros usados no cá lculo. Para contornar e s te
problema foi u sada uma generalização no cá l culo de P1 , t or
nando possível representar PI em função dos fatores ass int6
ti cos, K0
e K1 , [6].
2 . Mod e l os para c á l culo de P1 A probabi lidade de i nt erfer~ncia depend e d a exp r essa o
de f 5 (s) e d e f R(s), qu e devem ser obtidas se ja ex perim en
t a l, analit icament e ou por simul açã o. Uma vez d e f i nida s as
fDP da c apaci d ad e e d a demanda, é pos sível c alcul a r P1 . O
enfoqu e dado nest e tr aba lho é de projeto do sistema ou com -
f
I I j ···'
D-269
ponc ntc , procurando sinteti z5-lo respeitando a confiabilida
de espe c ificada, at rav ~s da probabilidade de interfer~ncia .
Para este processo de síntese, o modo mais objetivo de re
s olver o problema ~. a partir da probabilidade de interfe
r~ncia obter o fator de projeto n, def in ido como n = ~R/~ 5 ou se j a . a relaç~o entre a m~dia da capacidade e a m~di a da
d emanda . O fator de projeto pod e ser pensado como uma defi
ni ç ão mais rigorosa do coefic i ente de segurança normalmen te
usado em sistemas estrutur ais . O fator d e projeto di o afa!
tamento relativo e ntr e as m~dias da s duas populaç6es, de m~
do que ex ist a um a margem de segurança para compens ar as dis
pers6es inerentes.
Par a tr ~ s tipos d e FDP exi s te solução an a lítica que
permite obter o fator de projeto a partir da probabilidade
de i nt e r f er ênc ia. Quando ambas as FDP env o lvidas sao expo
ne nciais, o fator de projeto~ dado por [4 ] ,
Para o caso em que tanto a capacidade como a demanda
sa o norm a is, c om co efi ci en tes de di spe rsão VR e v5 , respec
tivamente, o fator d e projeto vale [4]
onde Ó-1
sendo Z a abciss a da cu rva padrão normal que fornece a pro
babilidade de interfer~nc i a. Quando ambas as distribuiç6es
sao lognormal , o fa tor de projeto~ ca lculado por [4]
nLL = [-l_+_V~1) 1/2 exp 1 + vs
[z (ln (1 + V~) (l + V~))]
• onde as vari ive i s envo lvidas sao as mesmas defi nid as no ca
so das distribuiç6es normais.
Outras combinaç6es d e fs e fR exigem a solução numiri
ca e o r esult ado ~ fo rne cid o na fo rm a de grifi cos. As dis -
no •
COMBINACAO S RRW
FATO R
n .. • 511- n.,.> Ow + K
0(1-0wl
DE PROJETO
Or• K,ll-Orl n, = ' n, • ~ u- o,>
EQUACOES DE COMPATlBll.IDADE
_ \!1-.0..,llO,•t'(l-Q,ll- 0.,.(1-Q,)(K 1 -~') Ko-
(Q r+ K1(1- .O,lH1- Owl
= - -~- (nw•\!1-0.,.> !Q,+~'ll-Q,ll-o,] 1<, 1 _ ·0 , Ow•KJl-Owl
102 jl=2
K,f
tO
I -t -~o~ -to·• -tõ• -,çr·.,õ• ,o-2 to-·~
lif---- (3=1
k~~~~ / 1 I
11
13=3
,_u 1 I 1 P,= ,õ• >-- , T-ft-4 -[1-t L~ r:!
K,f
lO
I
lo_ . . r; L· . , A t I r, .P, ro'f[, . J ._ , : ' ! 'p = 16. ' ' . - . i I :-2 I "'i ·-6~ ~y I'P,=IOr-r---Y I : r·-' ,rh, - ,_ 1 ~ .
::l i i r 1[fr l ! 1 i 1
' I I I , · l i I I i
I :'/~ . · ~ r-- 1 _I ! ::
~;?i l i1 J !1 -tõ' I :: -~ - · , I , P1- · 1'
8?tlLH-~~ jT ~ ~ I I I ' I l j !l m,Jr!r 11 1' 11 . 1 : ·to -K.<L ., 1(52 -r62 -tó'•KP -IÕ'
l..W i · !il
IJ 11
j_ .
'I I I
! ! I T ! I I! I :?:1 - :-ti[l I I_ . : ! . c , 1 *+-v ::u__, f- ---=.:;.:;Y'--...;.·1----tt-f-+++H I I I I i~ I .' I · ~~- ~-, ! : I I . ' ' i'
itt-i-t--H+-! t--i--1~: Y.L r.....-Ht- 1 l I i i __ iL'_ ' ' r , I I I I I /í l....f" : IP=tÕ• .L;.-.V I . r I r ' 1 i r'-1VlT : I [ ji : : !_) ! i i . -f*~....-rr·H-l-:= i J P,=tõ'- -L+-!..!-~~: ·H-: ~~../"'Í ': ~- •ti·-+- ----! _ :: I . · 1 I ~ .. . ' ::Ik±:::t::_ I -n ~h-:-:: : p, = I õ2 I I : I I ' ' k!J _L '
' I I 11 -j- ! ' ' I I I O j I • . ·Tr~~~ i I ' j +~,-l i I ~ T i I :I I I ÍP,=IÕ1 I i i! ' ; i [
K,l
lO
11 I li I li I !. i fT1 1 r l_. i I It_ TfG 161 Ko I -tO K ·1 ·to' -to 2 -tó'~rõ 3 ro• 10° Ko I - ~
Figura 1
-----------~- ·- · - · .. .. • ~ .. ~ .. *· · "# >"< ~·r.><vn ,.a , .. . -.•.. ·. --..... ·-:~ -- ·#
o I
N ..... o
.... COMBINACAO SNRW
FATOR OE PROJETO
n ... •~(l-n,.l "o = Ow • K0 (1- Q,.l
n = I 1 • K 1 V5
EQUACÕES DE COMPATISIUOAOE
K _ ( 1 - 0.,) ~ - flw K 1 Vs 0
- (I + K1
V5 )( 1 - Qw)
Kl ( 1- Q111~-~0_l_ V5 (0.,.• K0 (1-0.,ll
K,t
~!_I
IOU ' J(L//V; I I I' ' I I I IIII ll iJ i 11 '1 I !! I /// k,! !, i ' ,, ' I li IOhl-~~ I'!! !.I! :#+(iiA=fj 'I i I ' i I I . ' ' ' . • -.A . ' '
~I Figura 2
IÔ 1 ~I
t::l 1
N ..... .....
K,t
no=
COMBINAÇAO SERW
FATOR DE PROJETO
Ow• 'C,(1- Owl
í2w• K.,{1- Owl n 1 = Q e+ K1( 1 - O e)
EQUAÇÕES DE COMPATIBILIDADE
t_(l- O,.l- Cl10 (Cl 8 + K1 (1- Cl 8 l- 1) Ko= ~~~~~~~~~~~~--
(Qe• K1(1- Q0 )) (1- Clwl
Kt = Clw• 'C,( 1- Ow)- CleíClw• K0 (1 - Clwll
(Qw+ Ko( 1- Owll ( 1- Uel
Kl~
I -1 -IQ~ IÓ1 ~
lO ~ .....-: ___.;..- / I. : ii ' I I I i .I I I 'li ' I ' :I lO
~ . Jm l,i II IJ.&t . .t ttrftri~: • • •• , 1 1 I r
I ' ' __ J_ f- ->
IÕI K I - I I li ' I I I I I I I I I I I I . I I I ~ _ lO Ko -1 • ·161 _ -z '• ! I I I I I ! 1 1 i i ! l j F1gura 3 ~ lO ·õ'•1o
3 10-z · .,L-1--'-l-! 10 ~I I -1 •IQ~
l i
i
• -:;,, • "n ·: ...... . , . - ~~----· -·--~·-· ----------_·
'=' I N ...., N
COMBINAÇÃO SERN
FATOR DE PROJETO
"o= n 1 = n8
+ K ( I - íl9
)
EQUAÇÕES DE COMPATIBILIDADE
Ko= n .. +K,(I-nel-1 <n8 +K 1 (I-J18llVR
30 r-----.--.---r-rr--
1-!l.(l- Kg VR) K, : ,
(I- Ko VR) (I -fie)
P, = IÕ2 _____ L
SERN
30
K,
lO
5
COMBINAÇÃO SRRN
"o= 1-;K0.vR
FATOR OE PROJETO
ílr+K,(I-ílr) n, = n,+ rtl-!lrl
EQUAÇÕES DE COMPATIBILIDADE
_ < 1-n,HK,-n Ko- VR(íl,+K
1(1-J'l,))
K: ~'+n,<KoVR -(') (1-n,l ( 1- KoVR)
r=-~ -----+-------1 P,=IÕ1
5 lO Ko 15 2 o
Figura 4
5 lO Ko 15
t::l I
N .... '-"
D-274
tribuições usad as foram, para a demanda: No rmal, Rayleigh e Exponencial e para a c a pac idade : Normal e Weibull,sendo que
as distribuições de Rayleigh e Exponencial são generaliza
das no sentido de que são definidas para valores superiores
a um limite inferior, não nece s sariamente nulo , [ 7]. As co~
binações entre as FDP da demanda e as FDP da capacidade, ex
cluindo o caso normal-normal, SNRN, são SRRW, SNRW, SRRN e
SERN.
3. Equação de compatibilidade
Nos casos em qu e a integração numérica é u sada no cá l
culo de PI, os r es ult ados são plotados em fun ção dos parâm~
tros assintóticos K0
e K1 nos gráficos que segu em. Para ob
t e r o fa tor de projeto nestes casos é necessári o entrar com
os dad os que carac ter izam as d istr ibuições fR(r) e f 5 (s) e
com a probabilidade de interfer ência des ejada. O modo de ob
ter o fator de projeto é através da equação de compatibili
dade do problema [6], que repr ese nta justament e o aspecto
f ísico do problema. A equação de compatibilidade repr ese nta
uma curva no plano K0
x K1 e a intersecção desta com a cu r
va de PI constante fornece o ponto de so lução do probl ema,
já que a partir das coordenadas do ponto de inter secçã o é
calculado o fat or de projeto. As expres sõ es qu e definem o
fator de projeto em função de K0
ou K1 , bem como as equa
ções de compat i bilidade para cada combinação de distribui
ções estatísticas utilizada constam junto aos gráficos que
fornecem a probabilidade de interferência, figur as l a 4.
4. Exemplo de aplicação
• "• 1
I •
~ t
I
I ~. f:•
I E um fato reconhecido atualmente que qualquer estrut~
ra de grande porte, principalmente quando é uma estrutura
soldada, apresenta defeitos macroscópicos no material, na
forma de vazios, inclusões ou mesmo pequenas fissuras. Com
a aplicação cÍclica da carga durante a vida da estrutura,
estes defeitos dão origem a tr i ncas que se propagam,até que
eventualmente atingem um tamanho crítico em que ocorre a 1~ ruptura final. A partir do controle de qualidade usado para
detectar os defeitos iniciais e da Mecânica da Fratura é
D-275
po ss ível obter uma estimativa do tamanho das trincas
um período de vida da estrutura.
apos
A solicitação em um elemento trincado pode ser pos ta
em termos do fator de intensidade de tensões K, que forn ece
o nív e l de tensões no extremo da fissura. A ruptura brusca
ocorre quando o fator de intens i dade de tensões atinge um
valor crítico Kc' característico do material.
A distribuição estatístic a para K pode ser estimada
por simulação numérica a partir das distribuições das variá
veis envolvidas ou mesmo analiticamente nos casos mais sim
ples [1]. No presente caso será s uposto que a demanda segue
um a FDP normal, com coeficiente de dispersão Vs = 0, 20, on
de vs = osl~s · O valor crítico do fator de intensidade de tens õe s é
bast a nte afetado por hetero gen ei dades na microestrutu ra ,s e~
do assim bastante disperso. Neste exemplo é considerado que
Kc segue uma distribuição d e We ibull com o expoente 8 = 2 e
coefi c i en te de dispersão VR = 0, 15. Admitindo uma probabill
dad e d e interf erência PI = 10- 4 , deve ser obtido um fa t or
de projeto que leve a esta probabilidade. A figura 2 forne
ce os gráficos para o caso de demanda normal e capac id ad e
Weibull.
Pa r a obter a equação d e compatibilidade é necessário
~w' ~ e VS, onde ~w pode ser obtido a partir de VR, pois no
caso d a distribuição de Weibull [7]
com ~ = r(l+l/8) e ~ 2 r(l+2/8)- r 2( 1+1/8)
e como B = 2, resulta ~w
de compatihjlidade para nw est á traçada no gráfico de
0,688 para VR = 0 , 15. A equ açao
0 , 688, ~ = 0,886 e VS = 0, 20
B = 2 da figura 2. A inter secção
desta equação com
das K0
= -0,733 e
2' 10.
-4 a curva de PI = 10 possui como coo r den a
K1 = 5,50 e as s im resulta n0
Isto significa que o ma ter ial deve possuir um valor
médio de Kc igual a 2,10 vezes o valor médio do fator de i n
tensid ade de tensões pr evi s to para um período de vida do
component e . Des te modo é po ss í ve l se lecionar o mater i a l ou
D-276
o tratamento térmico adequado, ou por outro lado analisar a
influência do controle de qualidade.
5. Conclusões
São apresentados neste trabalho os resultados numéri
cos obtidos para a probabilidade de interferência na forma
de gráficos, para diferentes combinações de distribuições
estatísticas para a demanda e para a capacidade. Em três si
tuações particulares existe uma solução analÍtica para o f~
tor de projeto, enquanto que no caso de uma solução numéri
ca é necessário o conceito de equação de compatibilidade.
Com o enfoque de confiabilidade no projeto é possível
quantificar a influência de diversas variáveis que de outro
modo seriam consideradas de uma forma puramente empírica.No
entanto o processo exige um volume de informações bastante
superior ao processo convencional e na maioria das vezes es
tas informações não são completamente disponíveis.
Bibliografia
[1] Arnett, L.M., Optimization of inservice inspection of pressure vessels, Savannah River Lab. DP-1428, 1976.
[2] Carter, A.D.S., Mechanical reliability, McMillan, 1972
[3] Freudenthal, A.M., Cri ti cal appraisal os safety cri teria and their basic concepts, 8th Congress, Int. Assoe. for Bridge and Struc.Engineers, New York, 1968.
[ 4]
[ 5 J
[ 6 J
[7]
[ 8]
Freudenthal, A.M.; Schveller, G.I., Risikoanalyse von Ingenieurtragwerken, Konstr. Ingenieurbau, 1976,pp. 7-95
Nichols, R. W., The assesment and assurance of pressure vessel realiability, Proc. Instn. Mech. Engrs. Vol. 189 n? 47-75, 1975.
Rosa, E. da., Aplicação da teoria da interferência de duas populações nJ previsão da confiabilidade. IV COBEM
Rosa, E. da, Generalização no cálculo da probabilidade de interferência entre a solicitação e a resistência, em sistemas, Tese, UFSC, 1976.
Siddal, J.N., Analytical decision making in engineering design, Prentice Hall, 1972.
[9] Smith, R. E.; Ayres, D.J., Statistical analysis of charpy-V impaçt properties SA 533 grade B class 1 and SA 516 grade 70 plate material, Journal of Engineering for Industry, February, 1973, pp. 158- 162.
, v•
~ f I
I l ' l
t •
... ft
