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- Processamento digital de sinais –
Capítulo 7 – Filtros IIR
1) Introdução
• Infinite-duration impulse response
– transformação A/D do filtro:
• filtros analógicos + mapeamento = digital
• Formas de projeto:
– Filtros magnitude (nenhum controle sobre fase)2
• Estrutura de um filtro IIR
– Exige menos multiplicações
3
3)a(3)y(n2)a(2)y(n1)a(1)y(n
3)b(3)x(n2)b(2)x(n1)b(1)x(nb(0)x(n)y(n)
−+−+−
+−+−+−+=
• Comparação FIR x IIR
4
2) Filtros analógicos
• O filtro deve satisfazer:
considerando os parâmetros:
• Tipos clássicos de filtros passa-baixas:
– Butterworth; Chebyshev ; Elíptico5
Filtro Butterworth:
• Resposta plana
• Resposta e ordem do filtro:
6
Pontos importantes:
•Em Ω=0, H(j0)2=1 (qualquer N)
•Em Ω= Ωc, H(j Ωc)2=0.5=3dB (qq N)
N
c
a jH2
2
1
1|)(|
Ω
Ω+
=Ω
)/(log2
)]110/()110[(log
10
10/10/
10
sp
ARsp
NΩΩ
−−=
N R
p
cp2 10/
)110( −
Ω=Ω
N A
sc
s2 10/)110( −
Ω=Ω
• Mais equações do filtro
• Pontos importantes:
– Existem 2N polos igualmente distribuídos em círculo raio Ωc com
espaçamento de π/N;
– Polos para N ímpar:
– Polos para N par:
– Os polos são simetricamente localizados em relação eixo jw
– Polos nunca caem no eixo imaginário e caem eixo real se N ímpar
7
12,...1,0k ,/ −=Ω= NepNjk
ck
π
12,...1,0k ,))/()2/(( −=Ω= +Nep
NkNj
ck
ππ
∏ −
Ω=
)()(
k
N
ca
pssH
• Exemplo: projeto um filtro Butterworth para
satisfazer: Ωp=0,2π com ripple de 7dB e Ωs=0,3π
com ripple de 16dB. Solução:
Determinando a ordem:
A partir da ordem, é possível estimar a frequência de corte Ωc usando duas
diferentes fórmulas:
Escolhe-se o valor de 0.5
8
9
Estimação da função geral:
Cálculo dos polos:
Usando a relação geral do filtro:
Considerar somente polos na
esquerda do plano s
3) Transformação s -> z
• Três técnicas:– invariância ao impulso;
– transformação bilinear;
– Métodos otimizados.
• Lembrando Laplace:
– Por que usar Laplace?
10
∫−= dtetfsF st)()(
tjstee
)( ωσ +−− =
)()(
)()()(
01012
2
2 txbdt
tdxbtya
dt
tdya
dt
tyda +=++
)()(
)()( 01
2
2
2
2 txbdt
tdxbeysaeysa stst +=+
01
2
2
01
)(
)()(
asasa
bsb
ex
eysH
st
st
++
+==
•Constante: c=ae0t
•Senoidal: sin=(ejwt-e-jwt)/2j
•Exponencial: eat
•Exponencial variando: eat.cos(wt)
• Transformada de Fourier
Ex.:
11
1
0
1
0
01
0)(
aa
s
ab
asa
bsH
+=
+=
12
13
4) Invariância ao impulso
• “Digitalização do modelo analógico” com T
– w = ΩT
• Passos:
– a) coloque o filtro analógico na forma de frações parciais:
– b) transformar os polos pk em polos digitais epkT tais como
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( ) ∑=
−−=
N
kTp
k
ze
RzH
k
111
( ) ∑= −
=N
k k
ka
ps
RsH
1
• Exemplo: transforme o filtro analógico abaixo em
digital considerando T=0.1
Solução:
Convertendo em frações parciais
Os polos p1=-3 e p2=-2 considerando T=0.1 geram:
15
5) Transformação bilenear
• Envolve um mapeamento do plano s para círculo z:
• Mapeamento das frequências:
16
+
−=
−
−
1
1
1
12
z
z
Ts
+
−=
−
−
1
1
1
12
z
z
Ts
Ω =
2
2Ttg
wΩ =
2
2Ttg
w
Ω= −
22 1 T
tgw
Ω= −
22 1 T
tgw
• Exemplo: transforme o filtro analógico abaixo em
digital considerando T=1
Solução
Usando a relação:
Aplicando a função:
Simplificando:
17