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- Processamento digital de sinais – Capítulo 7 – Filtros IIR

-Processamento digital de sinais – Capítulo 7 –Filtros IIR · 2) Filtros analógicos • O filtro deve satisfazer: considerando os parâmetros: • Tipos clássicos de filtros

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Page 1: -Processamento digital de sinais – Capítulo 7 –Filtros IIR · 2) Filtros analógicos • O filtro deve satisfazer: considerando os parâmetros: • Tipos clássicos de filtros

- Processamento digital de sinais –

Capítulo 7 – Filtros IIR

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1) Introdução

• Infinite-duration impulse response

– transformação A/D do filtro:

• filtros analógicos + mapeamento = digital

• Formas de projeto:

– Filtros magnitude (nenhum controle sobre fase)2

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• Estrutura de um filtro IIR

– Exige menos multiplicações

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3)a(3)y(n2)a(2)y(n1)a(1)y(n

3)b(3)x(n2)b(2)x(n1)b(1)x(nb(0)x(n)y(n)

−+−+−

+−+−+−+=

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• Comparação FIR x IIR

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2) Filtros analógicos

• O filtro deve satisfazer:

considerando os parâmetros:

• Tipos clássicos de filtros passa-baixas:

– Butterworth; Chebyshev ; Elíptico5

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Filtro Butterworth:

• Resposta plana

• Resposta e ordem do filtro:

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Pontos importantes:

•Em Ω=0, H(j0)2=1 (qualquer N)

•Em Ω= Ωc, H(j Ωc)2=0.5=3dB (qq N)

N

c

a jH2

2

1

1|)(|

Ω

Ω+

)/(log2

)]110/()110[(log

10

10/10/

10

sp

ARsp

NΩΩ

−−=

N R

p

cp2 10/

)110( −

Ω=Ω

N A

sc

s2 10/)110( −

Ω=Ω

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• Mais equações do filtro

• Pontos importantes:

– Existem 2N polos igualmente distribuídos em círculo raio Ωc com

espaçamento de π/N;

– Polos para N ímpar:

– Polos para N par:

– Os polos são simetricamente localizados em relação eixo jw

– Polos nunca caem no eixo imaginário e caem eixo real se N ímpar

7

12,...1,0k ,/ −=Ω= NepNjk

ck

π

12,...1,0k ,))/()2/(( −=Ω= +Nep

NkNj

ck

ππ

∏ −

Ω=

)()(

k

N

ca

pssH

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• Exemplo: projeto um filtro Butterworth para

satisfazer: Ωp=0,2π com ripple de 7dB e Ωs=0,3π

com ripple de 16dB. Solução:

Determinando a ordem:

A partir da ordem, é possível estimar a frequência de corte Ωc usando duas

diferentes fórmulas:

Escolhe-se o valor de 0.5

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Estimação da função geral:

Cálculo dos polos:

Usando a relação geral do filtro:

Considerar somente polos na

esquerda do plano s

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3) Transformação s -> z

• Três técnicas:– invariância ao impulso;

– transformação bilinear;

– Métodos otimizados.

• Lembrando Laplace:

– Por que usar Laplace?

10

∫−= dtetfsF st)()(

tjstee

)( ωσ +−− =

)()(

)()()(

01012

2

2 txbdt

tdxbtya

dt

tdya

dt

tyda +=++

)()(

)()( 01

2

2

2

2 txbdt

tdxbeysaeysa stst +=+

01

2

2

01

)(

)()(

asasa

bsb

ex

eysH

st

st

++

+==

•Constante: c=ae0t

•Senoidal: sin=(ejwt-e-jwt)/2j

•Exponencial: eat

•Exponencial variando: eat.cos(wt)

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• Transformada de Fourier

Ex.:

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1

0

1

0

01

0)(

aa

s

ab

asa

bsH

+=

+=

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4) Invariância ao impulso

• “Digitalização do modelo analógico” com T

– w = ΩT

• Passos:

– a) coloque o filtro analógico na forma de frações parciais:

– b) transformar os polos pk em polos digitais epkT tais como

14

( ) ∑=

−−=

N

kTp

k

ze

RzH

k

111

( ) ∑= −

=N

k k

ka

ps

RsH

1

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• Exemplo: transforme o filtro analógico abaixo em

digital considerando T=0.1

Solução:

Convertendo em frações parciais

Os polos p1=-3 e p2=-2 considerando T=0.1 geram:

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5) Transformação bilenear

• Envolve um mapeamento do plano s para círculo z:

• Mapeamento das frequências:

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+

−=

1

1

1

12

z

z

Ts

+

−=

1

1

1

12

z

z

Ts

Ω =

2

2Ttg

wΩ =

2

2Ttg

w

Ω= −

22 1 T

tgw

Ω= −

22 1 T

tgw

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• Exemplo: transforme o filtro analógico abaixo em

digital considerando T=1

Solução

Usando a relação:

Aplicando a função:

Simplificando:

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