Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1d

8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1d

1/17

UNIVERSIDADE

DE SAO PAULO

ESCOLA DE ENGENH RI DE

SAO

CARLOS

i

t f

m

l l i i l l l l \ J I l l l JJ

0 ~ 6 3 ~ 2 0 0

. . . 11-711,18

0 634

t fm

o )

b )


2/17

UNIVERSIDADE DE SÃO PAU LO

Reitor:

Roberto Leal

Lobo

e

Silva

Filho

Vice Reitor:

Ruv Laurenti

Obra produzida

na Escola

de Engenharia

de

São

Carlos

EESC

Composição

e Edição:

CETEPE

Centro

de

Tecnologia

Educacional para

Engenharia

da

EESC

Impressão:

Serviço Grâfico da

EESC

ª edição 1995

UNIVERSIDADE

DE SÃO PAULO

ESCOLA

OE

ENGENHARIA DE S O CARLOS

PROCESSOS

GER IS

DA

' .

HIPEREST TIC

CL SSIC

JOÃO CARLOS

ANTUNES DE

O E

SOUZA

HELENA M. C. CARMO ANTUNES


3/17

TOOOS 5

DIAEITOS RESERV DOS Nos

termos da

Lei

que resguarda

os

Direitos Autorais, é proibida

a

reprodução total

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de

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processos Kerográficos,

de

fotocó

pia e de gravação -

sell

per•lssão,

por

escrito, do(s) autor(es) .

Catalogação na

Fonte

- Se r

viço de Bibl

i

oteca da

EESC - USP

S729p

SOUZA João

Carlos Antunes de OI

iveira

e

Processos

gerais

da hiperes tát ica

clãs

sica/Joâo

Carlos Antunes

de

OI i

ve

i ra

Souza, Helena Maria Cunha do Carmo

Antu

nes.

São

Carlos:

Escola de Eng

enharia

de

São

Carlos, Serviço Gráfico,

1992.

346p.

ISBN 85 -

85205

-02

- 4

1. Estruturas - Estát ica 1. Ti tulo.

C

- 624 .1 715

PREFÁ IO

Er. te l i v r o

como

o já publicado Processo

de

Cross e os em f a se de preparação Técnicas Computacionais

na Es t á t i c a

das Est ruturas

e I n t rodução à

I so s t á t i

c

a

pre tende t e r um

ca rá t e r didát

i co, apresentando

os tópicos

t r a t ados

se m cornpl cações

desnecessár ias ,

mas

senrlo

en t r e t an t o , c onscientemente prol ixo como muitas v e r.es o

processo

de ensino

ne

c e s s i t a s e r .

Os

proce

s sos

aqui

t ra tados

são

ge r a i s

t an to no

aspecto d apl icabi l idode

a

qua lque r

t i po

de

e s t r u t u r a s quanto no de poderem

s e r

encarados

como

va r i ações duais de

woa

mesma

idé ia ;

correspondem a a lguns d os

temas

abordados

na

d i sc ip l ina

Es t á t i c a das Est ruturas na Escola de Engenharia de São

ca r lo s ,

a

par co

m

processos

de us o r es t r i to , como os de

Cross de Propagação,

an t

ecedendo t odo o desen vo lv imento

m a t r i ~ a l vi sando a programação em computador.

São Carlos março de 1992

Os Autores


4/17

r

N D 1

e

E

1. 1

NT

ROOUÇÃO · · · • · · · · · · · • · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

l

1 . OBJETIVOS l.ERA IS

• • . . . . . . • . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . 1

1 2 . ESTRUTLJRllS LI NF ARF S . . . . . . . . . 2

I .3 .

O MÉTODO

CLÁSS

TCO

2

1 li ~ [ J l F . H P n ~ ; 1 ç i i o IW F

FE

o ~ : 7

2 O PR

NCfP

O DOS

TR

ARALHOS RTLJA1S F SUAS

API

1

CACõFS

9

2 . 1 . CONSTDERAÇÕFS

GF

RAIS

• • • • • •

••

9

2 . 2. o PRINC1

PIO

Dor; THABALHOS VIR fl l l \ IS . . . . . . . . . . . J

2 . 1 . POSSIBILIDADES DE J\PLICAÇÃO DO

PRTNCiPTO

DOS

TRABALllOS V IR Tlll\ I S . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 l

2.1 .1 .

Cálculo

de

deslocamentos em

e s t ru tu ra s

i s o s t á t i c a s

. .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

22

2 . 1 . 2 .

Seleção de

uma equação de

e qu i l í b r i

o

numa

e s t r u t u r a i s o s t á t

i

ca

. . . . . . . . . . . . .

27

2 .1 l

o t eorema

da

r ec ip roc idade

d o s

t rabalh o s

ou

Teorema de

Bet t i

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2 .3

.

4 .

O

t eo rema da r ec ip roc idade dos des loca

mC ntos

ou

Teorema de

Max

wr l

1 . . . . . . . . . . 34

3. C LCULO DE

DESLOC MENTOS EM

ESTRUTUR S ISOST T IC S

US

UA i S

37

3 . 1 .

CO

NSIDERAÇÕE

S GERAIS

. • . • . . . • . . . . .

• • •

. . . . . • . . . 3 7

3 . 2 . DESLOCAMENTOS

EM TRELIÇAS

PLANAS IDEAIS • . . • . .

38

3 . J .

3 . 2 . 1 . A t r e l i ç a plana

id e a l . . .

. .

. . . . .

38

J .2 .2 .

Exemplo

l

J . 2 .3

.

Exemplo

2

DESLOCAMENTOS EM

USUAIS

E

ST

RU

TURAS

PLANAS FL

ETIDAS

J . J .1 . Es t r u t u r a s p lanas

f l e t i da s

usuais .

. .

l . J . 2 . Exe mp l o l In t eg ração a na l í t i c a . . . . . .

40

4 9

55

55

63


5/17

3

3

3

Exemplo 2

-

In tegração

numér ica .

......

3 3 4 Exemplo

3

In tegração

u t i l iz a n d o t a b e l a s

3

4 DESLOCAMENTOS

M

OUTROS

TIPOS DE ESTRUTURA

. ..

3

4 .1. o u t r o s Tipos

us ua i s

de es t ru tu ra

3 4 2

Exemplo

1

- Pór t i c o a t i r a n t a d o .

.......

3 4 3

Exemplo 2 Viga com

vínculos

e l ás t i co s

3 4 4 Exemplo 1 Gre lha

.

- -

-

.

-

4 O

PRO ESSO

DOS ESFORÇOS • · · • • · • · · • • • • · · · • • • • · • • • • · ·

4 1

CONSIDERAÇÕES GERAIS

............•..

•

.........

4 2 O PROCESSO OOS ESFORÇOS APLICADO

A

VIGAS .....

4 2 1

Detalhes c a r a c t e r í s t i c o s das

v i ga s

• . .

4 2 2 Exemplo

1

.•.•.........................

4 2 2 1

Resolve r

a

viga submetida ao

carregamento

dado . . . . . . . . . . .

4 2 2 2

Resolve r

a

viga

submetida a

uma

66

72

84

84

84

87

90

95

95

101

101

103

104

va r i a ç ã o de

t empera tura

...••.

114

4 2 2 1 Resolver a v i ga submetida are

calques de apoio.............

121

4 2 J Exemplo

2 •.........

...••.. • • ....... .. 128

4 3

O PROCESSO DOS ESFORÇOS APLICADO A PóRTICOS

PLANOS

4 3 1 Detalhes carac t e r í s t i co s

dos

p ó r t i c o s

planos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. .......•....

4 .

3

2 Exemplo 1 ..•....................•.....

4 3 2 1

Resolver o pór t i co submetido ao

carregamento dado

•.•.........

4 3 2 2 Resolve r o pór t i co para e f e i t o

de reca lque de apoio ........

4 1 2 3 Resolver o p ó r t i c o pa r a e fe i t o

de var iação de t empera tura ...

4 . 3 . 3 .

Exemplo

2

•.•................

.

.........

4 4

O PROCESSO DOS ESFORÇOS APLICADO A GREI J{AS ...

134

134

136

138

142

144

149

1

57

4 4 1 .

Deta lhe

s carac t e r í s t i co s das qre lhas .. 157

4 4 2

xemplo

1 . .... . .

.. .

. -

· · · · · · ·

4 4

3

xemplo 2 . . . . ..... - - · · · · · · · · · · · · · · · · ·

4 .

4 4 Cálculo de gre lhas

desprezando a r ig idez

à t o r ç ã o

das

bar

ras

.. .

.

.. .

. .... .

·· ·

· · ·

4 4

5

Exemplo 3 ......... . .... .... .. .... .

4

5

O PROCF.SSO

DOS

F.SFORÇOS APLTCADO

AOS ARC OS . . .

161

165

169

176

181

4 5 1

o

que

c a r a c t e r iza

um arco

. . . .....

181

4 .

;,>.

J

i pos

u ;11;i i s

de

a r-co ;

.

• .

4

5 . 3 .

Exemplo de def in

.i

ção de eixos de a r cos

4 5 4

Fo rmu lár io s pa ra a r

co

s h i perestáL ic os

usua i s .. . .

........ ....

- · · · · · · · · · · · ·

4 5 4 1 Convenções

.. .

. .. . .. .. . .... . . .

4 5 4 . 2 Arco b i a r t i c u l a d o s i mé t r i c o . .

4 5 4 3

.

Arco

a t i ran tado

s i mé t r i c o

. .

4 5 4 4

.

Arco biengas tado s i mé t r i c o

4 5 5

Caso

s usuais

de

in te g

r ação

em

a rcos

4

5

6 .

Exemplo

1

-

In tegração an a l í t i ca

.....

4 5 7 . Exemplo 2

- In tegração numérica

4 5 8 Exemplo 3

-

Variação imposta de

EI ....

4

5

9 .

Exemplo 4

-

Arco pr ismát ico

por

t rechos

4 5 10 Exemplo 5

-

Adaptação para

pór t i cos

s i mé t r i c o s

4 5 11 0bservações adic iona i s . ..... . .. . . .

4 6 O PROCESSO DOS ESFORÇOS

APLI

CADO ÀS l REI. IÇAS

PLANAS IDEAIS

. ........ .............

.....

.

4 6

. 1 .

Detalhes

ca

r a c t e r í s t i cos

da

t r e l i ç a

plana idea l ..

. . . .

..

.

.

.....

. .. .

.

..

4 .

6 2

Exemplo

l .

.. .

. .

.. ..

. .

.. .

.....

. · · · · · ·

4 7 O PROCESSO

OS

ESFORÇOS APLICADO A ESTRUTURAS

MISTAS

.........

. .

.. .

.....•

...........

.

.....

4 7

l.

Est ru turas mistas usuais . . .. . . ...... . .

4 . 7 . 2 Exemplo l - Viga sobre

apoios

e lá s t i co s

4

7 3

.

Exemplo

2 -

Pór t ico t r e l i ç a d o .. .

. .

··

1 87

188

188

1 90

1 95

199

20

8

209

215

223

229

234

240

246

246

2

48

255

255

255

260


6/17

5. O PROCESSO DOS

DESLOC MENTOS

• • • • · · • • • • • • • • • • · · · · · ·

267

5 1

CONSIDERAÇÕES

GERAIS

5 .

2 .

EXEMPLO DE

APLICAÇÃO

5 . J

EXEMPLO DE

APLICAÇÃO

5 . 4 .

EXEMPLO

DE

APLICAÇÃO

5 .

5 .

EXEMPLO DE

API.ICAÇÃO

.............. .

............

A

VIGAS

. ..................

A

PóRTICOS

.

..............

A

TRELIÇAS

PIANAS

IDEAIS

A

GRELHAS

. .

-

.......

'

267

273

277

284

289

6. O

PROCESSO

M 1STO • . . . . • . . . • • . . . . . . • . • • . . . • . • . • . . . . . 297

6 . 1 . r;oNSIDERAÇÕES GERAIS

•• • •••

297

6 . 2 . EXEMPLO DE

PÓRTICO

PLANO 302

7.

Sltvf>LIFICACOES

DEVID S A SIMETRIA·· · · · · · · · · · · · · · · ·

7 . 1 . CONSIDERAÇÕES GERAIS

• •

7 . 2 .

REDUÇÃO DA

ESTRUTURA • • . • .

7 . 3 . EXEMPLO

1 -

PÓRTICO

PLANO SIMÉTRICO

• • • • • •

.

7 . 4 . EXEMPLO

2 - GRELHA

COM

DOIS EIXOS

DE SIMETRIA.

7 . 5 . EXEMPLO

3 - VIGA VIERENDELL

8.

BIBLIOGR FI

· · · • • · • • · · · · . • . . . . . • . . • . . • • • • •

• • • • • •

309

309

312

318

324

333

339

PROCESSOS GER IS D HIPEREST TIC

CLÁSSIC

C PITULO 1

INTRODUCÃO

1 .

l . OH ,J E

'

I VOS G

ERAJS

Esta

publ icação pretende

t e r

um cará t e r d idát ico

de

in t rodução à h ip eres t á t i ca c l áss i ca

de

es t ru tu ras l i n eares

discut indo

hipóteses

de cá lculo

, c

omportamento

df

es t ru tu ras

e

s impl i f i cações

gera i s

para

es t ru tu ras

usua i s u t i l i zando

process os

de c á l c u l o muito

simples

mas

apl icá ve i s a

qua lquer

t i p o

de

es t ru tu ra l inear .

Os

pro

c

essos

aqui

t r a t ados

,

que poderiam

se r

c

olocad

os

c omo um ún i c o pr oc

esso

gera l

de

solução

de

uma es t ru tu ra a

par t i r

de

out ra su p

o

s t a conhe

c

ida incluem

o

processo dos

esforços

o

dos deslocamentos

o

mist

o . o

pro

c

e ss

o do s

esforços tem um cará t e r apropr iado para

uma in t rodução

à

h ip eres tú t i ca

permi t indo

em sua

ci.plicação mais s imples

reso lver es t ru tu ras h ip eres t á t i cas

reca indo no

c á l c ulo

e lementa r de

es t ru tu ras

i sos tá t i cas .

O p ro

cesso dos

desl oc a me nt os , dua l do an t e r io r ,

tem como maior

v antagem a

sua s i mplic idade o que o

torna

ideal

para

uma

pos te r ior

automatiza

ç

ão

c

omputacional

;

resolve

es t ru tu ras

h i p e r e s t á t i

c

as reca indo

no c

á l

c ul o

de

s t r u t u r ~ s

com

maio

r

grau

de

hiperestat ícidade

mas mais

simples , e ventualmente

a té tabeláveis . O processo misto

tem

apenas o cará t e r

demons t ra t ivo de

uma genera l i z

ação de

idéias , sendo

vantajoso apenas em a lguns c

asos

p ar t i cu l a res .

Todos os inúmeros processos p ar t i

c

ulare

s ,

apl i cáve i s só

1


7/17

8

C PfTULO li

O PRINCIPIO

DOS

TR B LHOS VIRTU IS E SU S PLIC CõES

2.1 . CONSIIJEHAÇÕES GERAIS

O Pr inc ípio

dos Trabalhos Virtua is

ou Teorema

dos

Trabalhos Virtua is doravante apel idado

de P.T.V .

é

o

único

teorema da

energ ia

realmente essencial

ao

desenvolvimento

de

toda

a

es tá t ica

c

l á s s i

c a ;

diversos outros teoremas que

venham, por questão de s ín t e se

a

se r u t i l i z a dos serã

o

demonstrados

a

p a r t i r

dele .

As

condições

de equ

i l i b r io

podem

se r

demonstradas

a

p a r t i r do P.

T. V. ou o

P.

T . V. pode se r

demonstrado,

agora

como teorema

não

como

princ ip io

a p a r t i r

das condições de

equil íbr io ; optar-se -á

por

es ta úl t ima versão,

por

mera

questão de

se

t e r em gera l

uma

previa

ass imilação ,

em

cará te r

mais

in tu i t iv o

das

r e lações

de e qu i l í b r io

.

A

u t i l i da de essencia l do

P.

T.

V.

será

a

de

permit i r

in te ressantes transformações

de problemas eminentemente

geométricos

em

problemas

es tá t ico s

e

vice-versa

fornecendo

alternativas extremamente

simples

e e f i c i e n t e s em diversas

si tuações

.

2.2 . O PRINCÍPIO DOS TR B LHOS VIRTUAIS

Seja

defin ida

uma

e s t ru tu ra

l in ear qualquer e es te jam

defin idas suas

vinculações , i s to

é suas

l igações

in te rnas

e

vínculos

externos .

Seja um es tado de forç

as

a) sobre

essa

e s t r u ~ u r a

com


8/17

CAPíTU O

CÁLCU O DE

OESLOCAtvENTOS

EM

S T R U

ISOSTATICAS

USUAIS

3.1. CONSIDERAÇÕES

GERAIS

Conforme

di scut ido no capi tu lo I I , i tem 2.3 .1 , dado um

es tad o de

hipóteses

deslocamentos

b ) , r ea l

mas

sa t i s fazendo

as

do

Método

deformações dub,

dvb e

coapr imento ds s i tuado

Cláss ico , conhecido a p a r t i r das

d ~ b de um elemento

in f in i te s ima l

de

numa posição genér ica I, provocadas

por

uma

causa f í s i ca

qualquer , é p o ss ív e l u t i l i z a r o

P.T.V.

para ca lcu la r

qualquer t i p o

de

deslocamento

dos

pontos da

e s t r u tu r a .

Para i s so

c r i a -

s e

ua es tado de fo r ças

(a) , com

forças

ex te rn as

convenientes e cri ter iosamente

esco lh id as

de forma

que,

se

s e

impuser

o

es tado

de

deslocamentos

b)

ao

es tad o

de forças ( a ) ,

seu

t r aba lho , o t rabalho

ex te rn o

, s e j a

exatamente i gua l ao deslocamento que se que r medir . Se a

e s t r u tu r a for

i s o s t á t i ca ,

t e r - s e - á waa única dis t r ibu ição de

es forços

in te

:rnos , tendo-se, em

.§.,

N , V• e M .

Do

P.

T. V. ,

então, t e r -se-á :

T

••l

T

l n l

ou:

T

J

N

du

J

V

dv

M

d.b

(3 .1)

•

b

•

b

•

•

l

e •

r

ealr

••tr

O que

se

pretende, em

todo

o t r anscor re r des te

capi tu lo

I I I ,

é

d e t a l h a r a aplicação da expressão (3 .1) , tan to para o

37


9/17

9

CAPITU O

V

O PROCESSO DOS ESFORÇOS

4.1 .

CONSIDERAÇÕES GERAIS

o processo dos esforços é certamente o processo mais

simples

para r e so lve r

es t ru tu r as h ip eres tá t icas

rompendo

a

indeterminação

dos esforços in te rnos

e

es t ru tu r a

das reações nesse

h ip eres tá t ica as

ip o

de es t ru tu r as .

Numa

condições

de

eq u i l íb r io

não

são su f ic ien tes

para determinar

esses esforços in te rnos

e

reações ; existem i n f in i t a s

poss ib i l i da de s de se t e r

eq u i l íb r io donde a

necess idade

de

se ge ra r

equações

a d ic iona i s provenientes de

hipóteses

a d ic iona i s para r e so lve r

o

problema; essas equações

adic iona is se c a ra c t e r i z a rã o no caso da es tá t i ca

c l á s s i c a

como condições

de

compat ib i l idade ou condições de

coerência

de

des locamentos donde a ênfase que se

deu

no c a p í tu lo

an te r io r

ao cá lculo de des locamentos .

O

processo

dos

esforços se

carac te r iza

essencia lmente

por

se

procurar

determinar esforços

em número igual

ao

grau

de indeterminação es tá t i ca ou grau de h ip eres ta t ic id ad e ;

conhecidos esses esforços a rb i t rados como incógni tas

h ip eres tá t icas com as condições de eq u i l íb r io

se

determinam

os diagramas de

esforços

in te rnos

e

as reações .

95


10/17

{

7,875

+

2,200

F

0,567

F o

1 2

-7 ,875

0,567

F

+

1,922 F

o

1 2

donde:

{

-2 ,731

t m

1

f

F

3,292

t m

2

f

e) Montagem de resul tados

Tendo F

1

e F

2

, para quaisquer re su l t ados que se

queira bas ta ana l i sa r o probleaa

i sos tá t i co

da f ig . 4.34.a:

observe-se que, para

efe i to

de cá lcu lo de deslocamentos,

tem-se

que

computar também

os

deslocamentos impostos

à

es t ru tura

i sos tá t i ca

básica.

Na f ig . 4.34.b

es tá

esquematizado o diagrama de

Mr,

devido ao recalque.

3 292

o

1

1b1

Fig

. 4 .

34

-

Montagem

de

resul tados

4. 3. 2.

3.

Resolver o

pór t i co

para e fe i t o de variação de

temperatura

Nos

pórticos, diferentemente

do

caso

das vigas , não

só

144

a diferença

de tempera tura de

uma

face

para

outra

das barras

provoca

f lexão;

também

a var iação

uniforme

é

capaz disso; de

qualquer

forma o encaminhamento da

solução

é o mesmo.

Seja , no exemplo, o

caso

de se computar os

efe i tos

de

um aquecimento uniforme

de

t .t = 60°C.

ou:

a) Esquema de

solução

Consta da f ig .

4.35.

t t

àt

r)

1

1

r)

12

1

l

à t

à t

0 )

Fi g .

4 .35 - Esquema c te

so luçõo

poro variação

c te temperatura

om i s so

se tem, também:

b) Condições

de

coerência

de deslocamentos

o

o

145

+


11/17

ô

+Fô +Fô

o

10 1

11

2 12

ô +Fô +Fô

20 1 21 2 22

o

c)

Cálculo

de deslocamentos

Os dos problemas 1) e 2) j á foram

calculados

no

item

4 .3 .2 .2 e valem, em unidades

coerentes

com

t f

e m:

E I ô

e e 11

2,200

E I 6

e e 22

1,922

E I

6

(_ e 12

E I ô

e t.·

21

-0 ,567

Resta,

então,

calcu lar os

ô , do problema O).

º

No es tado

de

deslocamentos

correspondente

ao problema

O ) ,

sendo

uniforme a var iação

de

temperatura ao

longo da

a l tu ra das

bar ra s ,

tem-se, num

elemento de barra de

comprimento ds, uma única

deformação:

du

a . t i t .ds

o

o

es tado

de forças convenierrte é o própr io

problema

(

j , só

que

agora interessam os esforços ax ia i s N

1

: esses

esforços

ax ia i s

N ,

para

j =

l ; 2 , constam

da

f ig . 4.36.

146

'

'

·

ô

Do P.T.V. :

ô

o

J

e s t

r

N du

1

o

'

'

'

'

..<

...<

ó

ó

F 19 4

36

Esforços

ax

i

ais

J

f : tf

N . a . t i t .ds

l

0,200

'

'

..<

ó

Sendo a e tit constantes

constante

por barra :

para a es t ru tu ra e

sendo

N

ô

Jo

donde:

ô

10

a.t i t

[ N

li

1

10

-

5

60 0+0,12

5 . 5 ,0 -0 ,1 2 5 .5 ,0 ) o

10 -

5

. 6 0 0 , 2 0 0 . 8 , 0 - 0 , 1 2 5 . 5 , 0 + 0 , 1 2 5 . 5 , 0 )

0,000960

Para t e r

todos os deslocamentos

multiplicados

por Ecic:

E I ô

e e 10

o

E I ô

e e 20

2100.10000.10-

4

. 0 ,000960 2,016

Observe-se que

o

cá lcu lo dos ô foi f e i t o

de

maneira

a

j o

mais geral possível , prevendo um t ra tamento semelhante em

si tuações mais complicadas;

no

exemplo, com geometr ia

147


12/17

elementar se

obte r ia esses

deslocamentos

de modo muito mais

s imples .

d Solução

do

s is tema de

equações

Multip licando as equações

por I I e subs t i tu indo:

{

o

2,200

F

0,567

F

o

l 2

2,016

-

0,567

F

1,922

F

o

l

2

donde:

{

-0,293

t m

l

f

F

-1,135

t m

2 f

e

Montagem

de

re su l t ados

Tendo

F

1

e F

2

,

o

problema

cons i s t e

agora

m resolver

a

es t ru tura

i sos tá t i ca

da

f ig .

4.37.a;

é in te re ssan te observar

que

no

cá lcu lo

de

deslocamentos não se

pode

esquecer das

deformações axia is du

0

,

provocadas

pe la

variação

de

temperatura;

essas

não são desprezíveis como as provocadas

por esforço

áx ia l .

Na

f ig . 4.37 .b

es tá

esquematizado

o

diagrama de Mr

1,135

0.293

_._,

lo

l

Fig 4 37 Montagem de resul tados poro vor ioçõo de temperatura

148

4.3.3. Exemplo

2

Determinar os diagramas de esforços internos e também

o

deslocamento

horizontal

do

ponto 4 para o pór t i co com

bar ras de mesma seção

t ransversal

da f ig .

4.38.

5

3m

4m 4m

4m

E I 3

0 0 0

t

f

m

2

4

6

E

N

E

V

Fig

4 36 Exemplo 2 _ s t ru tu ro e carregamento

a

Determinação do grau de hipe res t a t i c idade

É

imediato , no caso:

e 1 b 3c 3 b 6

sobram 3

n

b

Esquema

de

solução

h 3

Recaindo

numa

es t ru tura bás ica t r i a r t i cu l ad a esse

esquema de

solução es tá esquematizado

na f ig .

4.39.

149


13/17

rT l rI n l

EUII:I 1

ITD

l

111

121

F19 4 39 -

Esquema

de soluc;õo

poro

o Exemplo 2

Com esse

esquema,

formalmente se

tem:

c)

Condições de co erên c ia de

deslocamentos

ci

o ci

+ Fc i + Fc i + Fc i

l r

10

1 11 2 12 3 13

ci

o

2r

c i o

ci

+ F . S + F . S + F . S

3r

30

1

31

2

32

3

33

d) Cálculo de

deslocamentos

No

cá lcu lo

de

.SJk' tem-se :

es tado de deslocamentos

es tado

de

forças

Do

P.T .V . :

150

prpblema (k)

problema

( j )

01

131

+

l

1

s

Jk

J

st

.

Sendo EI constante para a es t ru tura :

E H

Jk

MM ds

J

k

Os

momentos f l e t o r e s M

e

Mk

constam

da

f ig . 4.40.

l,000

o

-

o 750

Fi g . 4 .4 - Momentos f le tores nos diversos

problemas

Uti l izando

convenientemente

a T BEL 1:

EI.S

10

1

- 4 , 0 0 . ~ . 1 0 , 5 8 2 . 0 , 8 3 3 + 1 , 0 0 ) +

151

0,250

-1 .000


14/17

8,944 .-} - .15 ,08 .o ,833

+

e ,9 4 4 . -} - .1 8 ,0 0 .0 ,8 3 3

+

+ 4,472. ~ . 2 , 0 0 0 , 8 3 3 + 0 , 4 1 7 ) +

4,472 .- j - - .2 ,00 .0 ,417

+

+ 4,472 .- j - - .15 ,88 .0 ,250 - 4,472 .- j - - .2 ,00 .0 ,250 +

1

+

6 ,0 0 . -3 - .1 5 ,8 8 .0 ,2 5 0

-4 ,646

-4 ,o o . - j - - .1 0 ,5 e .o ,5 -8 ,9 4 4 . .15 ,08 2 .0 ,50+

+l ,o) + 8,944. -}- .18 ,ooco,50+1,0)+4,472. ~ . 2 , 0 0 0 , 5 0 + 0 , 1 5 ) +

+ 4,472.-- j -- .2,00 0,75+1,00) - 4 , 4 7 2 . ~ . 1 5 , 8 8 1 , 0 + 2 . 0 , 7 5 ) +

+

4,412.-- j -- .2,00 1,oo+o,15)

-

6,oo .- j - - .15 ,88 .0 ,75

-30,888

EicS

3

4,oo .- j - - .10 ,58 .0 ,333 + 8,944. - -}- .15 ,08 .0 ,333 +

8 ,9 4 4 . i .1 8 ,0 0 .0 ,3 3 3 - 4,472. ~ . 2 , o o c o , 3 3 3 + 0 , 1 6 1 ) +

4,472 .- j - - .2 ,00 .0 ,161

- 4 , 4 7 2 . ~ . 1 5 , 8 8 . 0 , 5 0 +

+4,472.- j - - .2 ,00 .0 ,50 - 6,00 . .15 ,88 . 2 .0 ,50+1,00)= -37 ,828

EicS

=

4 0 o ~

l , 00

2

+0,833.1 ,00+0,833

2

+

11

1 2 1 2 1

2502

+

8 , 9 4 4 . -

3

- . o , 833 +

4 , 4 7 2 . -

3

-.

0,2 50 + 6 oo.-

3

- . o ,

5,656

152

1 2 1 2 . 2

EicS =

4

0 0 . - - . 0 ,5 0

+ 8 , 9 4 4 . -

3

- 0 , 50

+0,50.1,00+1,00

)+

22 , 3

+ 4,472 .- j - - .c1 ,00

2

+1,oo.o,15+0,15

2

+ 6,oo .- j - - .0 ,150

2

=10,123

EicS

33

1 2 1 2

4 ,0 0 . -3 - .0 ,3 3 3

+8,944. -3- .0 ,333

+

1

2

1

2 2

+

4 , 4 7 2 . -

3

- . 0 , 5 0 + 6 0o.-

3

- . 1 , 0 0

+l ,0 0 .0 ,5 0 +0 ,5 0 )

1

EI6 = EicS =

4 00.-

6

.0 ,50 1 ,00+2.0 ,833) +

12

21

+

e ,944. - i - - .o ,833 2 .0 ,50+1,oo)

- 4,472. - i - - .0 ,250 1 ,00+

1

+2.0 ,75)

- 6,00 . - 3- . 0 , 75 .0 ,25

2,531

E U

13

1

- 4 , 0 0 . ~ . 0 , 3 3 3 1 , 0 0 + 2 . 0 , 8 3 3 )

+

1 1

8 ,9 4 4 . -3 - .0 ,3 3 3 .0 ,8 3 3 -4 ,4 7 2 . -3 - .0 ,2 5 .0 ,5 0

+

1

6 , 00 , .25( 2 . o ,

50+1,00)

-2 ,105

E U

23

1

-4 ,0 0 . -3 - .0 ,5 0 .0 ,3 3 3 +

1 1

- 8 , 9 4 4 . ~ . 0 , 3 3 3 2 . 0 , 5 0 + 1 , 0 0 ) + 4 , 4 7 2 . ~ . 0 , 5 0 . l , O O +

1

+2.0 ,75) + 6 , 0 0 . ~ . 0 , 7 5 2 . 0 , 5 0 + 1 , 0 0 )

1,217

153

4,351


15/17

e)

Solução

do sis tema

Mult ipl icando as

equações

por EI

e su b s t i tu in d o - se os

valores obtidos:

[

donde:

[

- 4,646 +

5,656

-30,888 +

2,531

-37,828

-

2,105

F

3

4,522

t ,m

0,634

t ,m

10,704

t ,m

F

+

2,531

1

F +

10,123

1

F

+

1,217

1

f Montagem

de

r esu l tad o s

F - 2,105

F

o

2

3

F

+ 1,217

F

o

2

3

F

+ 4,351

z

F

3

o

Tendo

F

1

,

F

2

e

F

3

o

problema

co n s is te em r esó lv er

a

es t ru tura

i s o s t á t i c a

da

f ig .

4.41 .a. Os d iag ra•as de

esforços in ternos constam das f ig . 4.41 .b , c e d .

Para

ca lcu la r

o deslocamento h o r izo n ta l

do

ponto 4,

c r ia - se um estado de forças

(a) • com

uma carga externa

u n i t á r i a

na direção

e

sentido

desse

deslocamento. Sendo

a

es t ru tura h ipe res t á t i ca ex i s t i r i am i n f i n i t a s di s t r ibu ições

de

esforços in ternos, em p a r t i c u l a r de momentos

f le to re s

M ,

•

154

10,704 11 m

M,

4,52211

m

lf

m

1

o)

4,52

-

1 b)

7,512

3,647

3,647

1b

t

Fio

. 4 .

41

- Montooem de resultados

em e q u i l í b r i o com

essa

carga

externa uni t á r i a ;

com qualquer

d e las se

obtem

o mesmo valor para o

deslocamento.

Uma

p o ss ib i l id ad e , d escar táv e l de imediato

pela

dif icu ldade

i n t r ínseca

da solução, se r ia

r eso lv er a es t ru tura

h ipe res t á t i ca outra vez, impondo as condições de

coerênc ia

de deslocamentos ; outra

se r ia

ob t ida carregando a es t ru tura

b ás ica

i sos tá t ica da

f ig . 4.41 .a,

conforme

f i g . 4.42 .a,

obtendo

o diagrama de Na da f ig . 4.42 .b ,

i s so

em coerênc ia

com

a af i rmação de que o p r o l e m ~ i s o s t á t i c o

expresso

na

f i g . 4 .4 1 . a

é

id ên t ico ao problema rea l h ipe res t á t i co ; outra

p o ss ib i l id ad e

se r ia

car r eg ar com a carga

u n i t á r i a

qualquer

o u t r a es t ru tura

i sos tá t ica

obt ida da rea l pela re t i rada de

vínculos , por

exemplo

a es t ru tura da f ig . 4.42 .c com a qual

se

obtem

a

di s t r ibu ição extremamente s imples de Mª da f ig .

4.42 .d

155


16/17

3 0

l

-

1

bl

1

-

lc

1

Fi 9 . 4

42

- Estados de forças

la

1 interessantes

Com

qualquer dos es tad o s de fo r ças a ) e o estado d•

deslocamentos

r ) ,

tem-se ,

do

P.T.V.:

J

e tr

ou:

EI6

H

o

M

M r ds

EI

M M

ds

a r

Adotando o estado

de

fo r ças (a)

da

f ig . 4.42 .a , com os

momentos f l e t o r e s

da

f ig . 4.42 .b , tem-se , com o uso

conveniente da TABELA 1:

156

EU

H

1 1

= - 4 , 0 . ~ 6 - . 2 , 0 2 . 1 0 , 0 6 - 4 , 5 2 ) - 8 , 9 4 4 . ~ 3 - . 2 , 0 . 1 4 , 5 6 +

1 1

8 , 9 4 4 . ~

- . 2 , 0 . 1 8 , 0 + 4 , 4 7 2 . ~

- . 2 , 0 . ~ , 0 + l , O )

1 1

4 , 4 7 2 . ~ - . 2 , o . 1 , o 4 , 4 7 2 . ~ . 3 , 0 - o , 6 3 + 2 . 1 1 , 1 8 )

1 1

4 , 4 7 2 . ~ 3 - . 3 , 0 . 2 , 0

6 , 0 . ~ . 3 , 0 2 1 1 , 1 8 - 1 0 , 7 0 )

e portanto:

59,4

3000

0,0198 m

59;4

Adotando agora como es tado de forças (a)

o

da f ig .

4.42 .c , com os momentos f le to re s da f i g .

4.42 .d ,

tem-se ,

também

com

o uso conveniente da TABELA 1 :

EU

H4

e portanto:

1

6 , 0 . ~ . 6 , 0 - 1 1 , 1 8 + 2 . 1 0 , 7 0 )

8

8

0,0204 m

61,3

A

ménos

de

imprecisão devida á

d i f e r en ça

no número de

operações

numéricas efe tu ad as ,

ambos

os

resul tados

são

i dênt i cos .

4 .4 . O PROCESSO

DOS

ESFORÇOS APLICADO A GREIJIAS

4.4 .1 .

Deta lhes ca rac te r í s t icos

das g re lh as

Uma g re lh a

é def in ida

como

uma es t ru tura

plana, com

cargas normais ao seu plano, com vinculações

que não

introduzam so l ic i tações no plano, e com

elementos l i nea res

s imétr icos em

r e lação

a planos

que

os

contenham

e

sejam

157


17/17

Fig

4 115 Esforços f inois pedidos

f ig .

266

C PfTULO V

O

PROCESSO DOS

DESLOC MENTOS

5.1. CONSIDER ÇÕES GER IS

O

prqcesso

dos deslocamentos

é

de

cer ta

forma

dual do

processo

dos

esforços; toda a l inha de raciocínio é

mantida

se se t rocar

esforços

por deslocamentos coerência

de

deslocamentos por coerência

de esforços

r e t i r ada

de

vínculos

por introdução de

vínculos

es t ru tu ra básica

estat icamente

determinada

por

es t ru tu ra

básica

geometr icamente determinada e assim sucessivamente.

A idéia essencia l para resolver uma es t ru tu ra

h iperes tá t ica

é a de

adicionar

vínculos para r eca i r numa

es t ru tu ra básica

conhecida

mais ve7.es hiperes tá t ica

mas

mais s imples ; nesta al tu ra dos acontecimentos i s so s e r i a

didaticamente viável

já

que o

processo

dos

esforços permite

a solução de

es t ru tu ras h ipe res t á t i cas

que possam s e r v i r

como

es t ru tu ras básicas no

processo dos deslocamentos. Como

nesse

caso são adicionados vínculos ou anulados

deslocamentos o processo f i ca mais f lex ível por

se

poder

t r aba lha r não com u número f ixo de

incógni tas

mas com u

número mínimo de

incógni tas;

não

ex is te

o

r i sco

ine r en te ao

processo dos

esforços

de a

es t ru tu ra

resu l tar hipos t á t i ca ;

a

única

impl icação de se int roduzir u vínculo a mais é de

se t e r urna incógni ta a mais no

problema.

267

Documents

Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1d