Técnicas de Processamento Imagens

Fourier 1D e 2D

Transformada de Fourier

A Transformada de Fourier– Toda função pode ser escrita como um

somatório de senos e cosenos– A TF consiste em converter uma função

em componentes senos e cosenos– Seja f(t) uma função no tempo, aplicando a

FT, temos F(s) que corresponde a função no espectro (espaço de Fourier).

Uma onda quadrada pode ser expressa como uma série de senos:

A1*sin(x) + A2*sin(3x) + A3*sin(5x) + …

0 1 2 3 4 5 6 7-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Exact1 3 5 7 9

Transformada de Fourier (sinal contínuo)

– Onde s é a função no espectro e t no tempo

Inversa

Observe que estamos trabalhando com números complexos!!!

Exemplos:

Onda quadrada - Pulso

0 1 2 3 4 5 6 7-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Exact1 3 5 7 9

Algumas propriedades da FT

Linearidade

x(t) + y(t) X(f) + Y(f)

Simetria

H(t) h(-f)

Seja h(t) e H(f) pares da transformada de Fourier então:

Escala no tempo e na freqüência

Escala no tempo

Escala na freqüência

h(kt) 1/|k|*H(f/k)

1/|k|*h(t/k) H(kf)

Deslocamentos no tempo e na freqüência Deslocamentos no tempo (fase)

h(t-t0) H( f )e-j2ft0

Deslocamento na freqüência

h(t) ej2f0 H( f -f0)

Convolução

A propriedade mais importante da FT

h(t) H( f ) e g(t) G( f )

(h*g)(t) H( f )G( f )

h(t)g(t) (H * G)( f )

Conservação da energia

Teorema de Parseval

Amplitude e fase

Fase e amplitude

O espaço FT pode ser visualizado diretamente através das suas componentes (real e imaginária)

Ou através da fase e amplitude do spectro

Calculando a fase e a amplitude Amplitude é determinada pelo módulo:

– seja z um número complexo definido como: z = x + yi

– z = |z| = x2 + y2

– | H(f) | = Re[H(f)]2 + Im[H(f)]2

Fase é dada por:

Im[ ( )]( ) arctan

Re[ ( )]

E tt

E t

Transformada Discreta de Fourier

DFT

Transformada Discreta de Fourier Para uma função definida como uma

amostragem constante de pontos no espaço (ou tempo) pode ser utilizada a transformada de Fourier Discreta (DFT)

Seja f[] uma função (vetor) definido por N pontos sua DFT é F[]:

F(u) = (1/N)(x=0:N-1)[f(x) e-j 2ux /N]

f(x) = (u=0:N-1)[F(u) e j2ux /N]

DFT - shifting Quando realizado a DFT de uma onda

quadrada obtemos:

0 1 2 3 4 5 6 70

50

100

150

200

250

300

350

Observe houve um deslocamento

DFT - shifting

A FT é centralizada na origem, mas a DFT é centralizada em N/2 É necessário realizar um deslocamento para corrigir o

resultado.

0 1 2 3 4 5 6 70

50

100

150

200

250

300

350

Sub-amostragem Time sampling too far apart Looks like sine wave of different freq

Over-sampled -- faithful representation

Under-sampled (solid lines)

Outro exemplo de sub-amostragem

Transformada Rápida de Fourier FFT - Fast Fourier Transform A DFT apresenta N2 operações Para reduzir o custo da DFT foi desenvolvido o

algoritmo da FFT. FFT apresenta NlogN operações

– É muito importante, quando N é grande– Muitas aplicações de processamento de sinais (ou imagens)

em tempo real seriam impraticáveis utilizando a DFT

Transformada de Fourier 2D

Contínua

Discreta

Algoritmo 2D de 1D

FFT 1D para cada linha

Matriz A Separar em linhas

Compor linhas em

matriz

Separar em colunas Matriz

FFT 1D para cada coluna

FFT 2D de A

Exemplos de DFT/FFT 2D

2

4

6

8

10

12

14

16Spectra

Pulso / Sync 2D

xy

f(x,y)

A 2D Discrete Fourier Transform

0

2

4

6

8

10

12

14

16

Amplitude e Fase

original

amplitude

fase

|F(u,v)|

F(u,v)

1D Spatial Frequencies

0 1 2 3 4 5 6 7-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1

-0.5

0

0.5

1

2D Spatial Frequencies

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-1

-0.5

0

0.5

1

-1

0

1

2

3

4

5

Propriedades DFT/FFT 2D

Rotação

Combinação Linear (soma)

+

+

=

=

Translação

|F(u,v)| F(u,v)

Expansão

Relação de freqüência espaço/espectro

Alguns pares...

Combinando Amplitude e Fase

As funções complexas podem ser decompostas em suas magnitudes e fases.

f(t) pode ser escrita: f(t) = Mag{f(t)} exp[ i Phase{f(t)}]

Do mesmo modo, F() = Mag{F()} exp[ i Phase{F()}]

Com estas propriedades podemos combinar a amplitude e a fases em imagens.

Pictures reconstructedusing the Fourier phase

of another picture

The phase of the Fourier transform is much more important than the magnitude in reconstructing an image.

Rick Linda

Mag{Linda}Phase{Rick}

Mag{Rick} Phase{Linda}

Combinando Amplitude e Fase