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PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICOFICHA PARA CATÁLOGO
Título: Resolução de problemas: Uma proposta metodológica para o ensino de geometria plana.
Autor: Rosani Edir Bogoni
Escola de Atuação: Colégio Enira Moraes Ribeiro – EFM
Município da escola: Paranavaí
Núcleo Regional da Educação: Paranavaí
Orientador: Prof. Ms. Carlos Ropelatto Fernandes
Instituição de Ensino Superior: Universidade Estadual do Paraná – Campus de Paranavaí.
Disciplina/Área : Matemática
Produção Didático-pedagógica: Unidade Didática
Relação Interdisciplinar: Não
Público Alvo: Alunos
Localização: Rua Luis Durigan, 191. Jardim Iguaçu
Apresentação:
Trabalhar o pensamento geométrico através da resolução de problemas favorece significativamente a aprendizagem do conteúdo, e da ênfase ao processo de construção de um conceito, além de desenvolver a capacidade de resolver problemas do aluno, tanto na Matemática quanto em sua vida. O objetivo desse projeto é utilizar a resolução de problemas como recurso facilitador para o ensino da Geometria Plana, nas 8ª séries do período matutino, mais especificamente, área e perímetro. O que se espera e fazer com que os alunos, frente a uma situação problema, possam analisar e compreender a situação por inteiro, decidindo qual a melhor estratégia para resolvê-lo, argumentar, expressar, fazer registro, mobilizar as informações adquiridas, os procedimentos aprendidos e os combinar na busca de uma resolução satisfatória. A metodologia, será às etapas propostas por Polya (1977), que é compreender o problema; elaborar um plano, executar o plano e verificar se a resolução satisfaz as condições do problema. O enfoque abordado será a comunicação, onde os alunos serão encorajados a se comunicar matematicamente, assim terão a oportunidade para explorar, organizar e relatar seus pensamentos, seus novos conhecimentos e os diferentes pontos de vista sobre um mesmo assunto.
Palavras-chave: Resolução de problemas;geometria plana;comunicação
PRODUÇÃO DIDÁTICO PEDAGÓGICA
UNIDADE DIDÁTICA
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: UMA PROPOSTA METODOLÓGICA PARA O ENSINO DE GEOMETRA PLANA
Área: MatemáticaProfessor PDE: Rosani Edir BogoniIES: Universidade Estadual do Paraná – Campus de ParanavaíOrientador: Profº M. Sc. Carlos Ropelatto Fernandes
Paranavaí 2011
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃOPROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO
EDUCACIONAL - PDE
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE DESENVOLVIMDENTO EDUCACIONAL - PDE
ROSANI EDIR BOGONI
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: UMA PROPOSTA METODOLÓGICA PARA O ENSINO DE GEOMETRA PLANA
Material Didático Pedagógico no formato de Unidade Didática, apresentado ao Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE da Secretaria de Estado da Educação do Paraná, sob orientação do Professor Mestre Carlos Ropelatto Fernandes.
Paranavaí 2011
1- DADOS DE IDENTIFICAÇÃO
1.1. Professora PDE: Rosani Edir Bogoni
1.2.Área PDE: Matemática
1.3. NRE: Paranavaí
1.4. Professor Orientador IES: Profº M. Sc. Carlos Ropelatto Fernandes
1.5. IES vinculada: Universidade Estadual do Paraná – Campus Paranavaí
1.6. Escola de Implementação: Colégio Estadual Enira Moraes Ribeiro-EFM
1.7. Público objeto de intervenção: Alunos 8ª Série/9º Ano
2 TEMA DE ESTUDO: A Resolução de Problemas como Recurso Facilitador para o Ensino da
Geometria.
3 TÍTULO:
Resolução de Problemas: Uma Proposta Metodológica para o Ensino de Geometria Plana
4 JUSTIFICATIVA:
A geometria está presente em diversas situações da vida cotidiana: na
natureza, nos objetos que se usa, nas brincadeiras infantis, nos jogos, nas artes, nas
construções, entre outros. Ela faz parte da vida do ser humano. Muitas dessas
formas fazem parte da natureza, outras já são resultados das ações do homem. De
acordo com Pitágoras: “Tudo está organizado segundo os números e as formas
geométricas”.
O ensino de geometria no ensino fundamental, se bem direcionado, comprova
como um formador do pensamento, facilitando sua representação. Nele, conhecer
estrema importância às discussões voltadas para as temáticas ambientais, para que
às informações sejam socializadas de forma local e global, orientando sobre as
relações natureza-sociedade (CARVALHO, 2008).
O ensino de geometria no ensino fundamental, se bem direcionado, comprova
como um formador do pensamento, facilitando sua representação. Nele, conhecer
um objeto ou determinado problema, é agir sobre ele e transformá-lo, aprendendo os
mecanismos dessa transformação e vinculando-os às ações transformadoras.
A Geometria é um tópico natural para encorajar a resolução de problemas e
tem muitas aplicações que aparecem no mundo real. Lorenzato (1995) afirma que a
Geometria tem função essencial na formação dos indivíduos, pois lhes possibilita
uma interpretação mais completa do mundo, ativa as estruturas mentais na
passagem de dados concretos e experimentais, para os processos de abstração e
generalização. No entanto, é abordada, na maioria das vezes, como tópico separado
dos demais conteúdos (LORENZATO, 1995, p. 7).
Trabalhar o pensamento geométrico através da resolução de problemas
favorece significativamente a aprendizagem do conteúdo, e da ênfase ao processo
de construção de um conceito, além de desenvolver a capacidade de resolver
problemas do aluno, tanto na Matemática quanto em sua vida.
APRESENTAÇÃO
Analisando as aulas de matemática, percebia a dificuldade que os alunos
apresentavam em interpretar o que estava sendo solicitado no enunciado dos
problemas, não conseguiam fazer a leitura, a comunicação e a interpretação de
dados. Diante disso, propus utilizar a Resolução de Problemas como recurso
facilitador para o ensino da Geometria Plana, pois a partir de um problema
matemático, os alunos são encorajados a se comunicar matematicamente, assim,
eles têm a oportunidade para explorar, organizar, relatar seus pensamentos, seus
novos conhecimentos e os diferentes pontos de vista sobre um mesmo assunto.
Essa unidade didática esta fundamentada na proposta de George Polya, um
dos pioneiros em pesquisa sobre resolução de problemas e distingue quatro fases
de trabalho diante de um determinado problema:
• Compreender o problema;
• Elaborar um plano;
• Executar o plano;
• Verificar se a resolução satisfaz as condições do problema.
Dessa forma, a primeira atividade a ser trabalhada será uma série de
problemas curiosos, onde o aluno terá que utilizar os quatro passos para chegar a
um resultado. De acordo com Dante (2000) em seu livro “Didática da Resolução de
Problemas de Matemática”, o objetivo principal de ensinar Matemática é fazer com
que o aluno pense produtivamente. Para isso, situações problemas que os envolvam
e os desafiem motivando-os a solucioná-los seria um bom ponto de partida. Ainda
de acordo com o autor, um bom problema desencadeia no aluno a vontade de
pesquisar e faz com que diminua a passividade e o conformismo.
Na sequência serão apresentados problemas envolvendo a geometria,
incentivando a demonstração com figuras, as quais serão úteis na visualização e
poderão contribuir também com problemas de vários tipos. Polya (1977) orienta a
respeito dessa figura, a qual se pode ter em mente ou fazer um desenho, porém, se
o problema fornecer vários dados da figura, o melhor é fazer uma representação em
forma de desenho, a fim de conseguir analisar todos os itens. Porque, se for resolver
o problema e ao mesmo tempo focar na visualização da figura, ficará difícil concluir o
problema, pois pode confundir os dados e o plano de execução também poderá
falhar.
Para concluir haverá sugestões de problemas envolvendo a geometria plana,
já que essa Unidade Didática pode constituir-se como um instrumento de pesquisa à
professores da rede estadual de educação do Estado do Paraná que também
acreditam que quando o aluno pensa por si mesmo, constrói estratégias de
resolução e argumentação, relacionando diferentes conhecimentos e perseverando
na busca de soluções, adquire um aprendizado para o resto de sua vida.
Caro professor, ao ler este material, verá a preocupação de uma professora
de matemática em fazer com que o aluno, frente a uma situação problema, tenha a
capacidade para dizer o que deseja e entender o que se ouve ou lê. Esse é o
resultado que pretendo alcançar ao trabalhar a geometria através da resolução de
problemas.
Observação: Os problemas abaixo foram retirados de um seminário
presencial do Curso a distância, Licenciatura em Matemática da Universidade
Estadual de Ponta Grossa.
Leia os problemas abaixo e siga as fases sugeridas pelo pesquisador para
resolvê-los. Não se preocupe em acertar ou errar, apenas faça!
1- Observe a planificação abaixo. Depois, identifique qual dos cubos ao lado
pode ser obtido a partir dessa planificação.
UNIDADE DIDÁTICA
O INÍCIO
Problemas de raciocínio lógicoGeorge Polyia, um dos pioneiros em pesquisa sobre resolução de
problemas distingue quatro fases de trabalho diante de um determinado problema:
1- “Compreender o problema”2- “elaborar um plano”3- “executar o plano”
4- “verificar se a resolução satisfaz as condições do problema”
Professor, essa atividade permite que o aluno pense por si mesmo, construa estratégias de resolução e argumentação, perseverando na busca de uma solução.
2- Movendo alguns palitos de fósforo da figura I, é possível transformá-la na
figura II
O menor número de palitos de fósforo que deve ser movido para fazer tal
transformação é
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e)7
DICA AO PROFESSOR
Para execução das atividades acima, sugiro que os alunos façam
grupos de três ou quatro alunos e tentem achar uma solução. A
solução encontrada deve ser apresentada ao grupo todo, mostrando
qual o raciocínio utilizado. Só mostrar a resposta caso nenhum grupo
tenha chegado ao resultado.
3- Considere a série seguinte e determine X:
Atividade Complementar: No laboratório de informática, em um site de
busca, pesquise:
• Quem foi Geoge Polya e suas principais obras;
• Conceito de Resulução de problemas;
• Exemplo de um problema curioso ou divertido.
INFORMAÇÃO AO PROFESSOR!!!
Apesar da relevância da Geometria na vida das pessoas, a escola não lhe
vem dando a devida importância, embora Diretrizes Curriculares do Estado do
Paraná sugerirem essa importância. O ensino de Geometria no Brasil permanece
no nível inicial, onde os alunos julgam que o quadrado não é retângulo só porque
possuem aparências diferentes (LORENZATO, 1995).
Para Gálvez (1996) na escola a geometria não é ensinada com o intuito de
dominar as relações com o espaço, mas o seu ensino se restringe a conhecer
apenas uma coleção de objetos definidos.
Quando um conteúdo é apresentado sem a devida contextualização, torna-
se enfadonho e complicado, e é assim que têm sido o ensino da geometria nas
escolas, pois os professores, também não tiveram uma formação específica sobre
o ensino de geometria em sua graduação.
A Geometria é considerada a parte mais difícil de ser aprendida na
matemática. Tanto é que nos livros didáticos ela se apresenta de forma solta,
desarticulada, abordada sucintamente, nos capítulos finais destes livros.
Mas segundo Souza (2001) todos os momentos e lugares do ambiente
escolar (sala de aula, pátio) devem ser aproveitados para trabalhar os conceitos
geométricos. Deve-se ainda aproveitar a confecção de objetos sólidos para estudar
comprimentos, área e volume, dentre outros.
Para que o ensino seja eficiente deve ser realizada uma abordagem informal
através da sistematização dos conteúdos. Entretanto, devem ser evitadas
definições, fórmulas e simbologia desnecessária à construção de conceitos lógicos
matemáticos. (BORGES, 1992, p. 6) salienta a importância em o professor saber o
momento certo de passar da linguagem simbólica para a formal, pois o próprio
aluno sente a necessidade de contemplá-lo.
A geometria pode atuar como fator facilitador na compreensão e solução de questões de outras áreas do conhecimento humano, e não conhecê-la pode tornar incompleta a leitura do mundo, reduzir a comunicação entre as idéias e tornar diminuta a visão matemática (SOUZA, 2001).
PROBLEMAS GEOMÉTRICOS
DICA AO PROFESSOR: De acordo com George Polya em sua obra
“A arte de resolver problemas”, para se ter um plano é necessário
que se tenha uma ideia de quais serão os cálculos necessários para
tentar chegar a um resultado. Nesse ponto, dialogando com os
alunos deve ser montada a estrutura do problema, utilizando a
incógnita e os dados
iniciais. O plano é resolvê-lo através do Teorema de Pitágoras.
Esse problema exemplificará o método de Polya. Passo a passo.
1- Um gato está sobre um muro de 4m de altura quando avista um rato a uma
distância de 8m da base do muro. Quando o rato dirige-se a sua casa (em linha até
o muro) é comido pelo gato, que pula diagonalmente, andando o mesmo
comprimento que o rato tinha andado até então. Qual a distância que cada um
percorreu?
COMPREENDENDO O PROBLEMA:
• Qual é a incógnita?
• Quis são os dados que temos para resolvê-lo?
• Vocês conseguem traçar um desenho para esquematizar o
problema?
ESTABELECENDO UM PLANO:
EXECUTANDO O PLANO:
É o momento de fazer o cálculo.
VERIFICANDO A RESOLUÇÃO:
É possível verificar o resultado? É possível utilizar o resultado em outro
Qual é a incógnita?Quais são os dados fornecidos?Qual a condição que o problema pede?É possível fazer uma figura?É possível fazer uma estimativa da resposta?
Conhece um problema semelhante? Ele será útil para nós?
Qual cálculo poderia ser utilizado aqui?
problema? É possível chegar ao resultado por um caminho diferente?
2- O problema foi retirado e adaptado do ENEM de 2004, com o seguinte
enunciado:
Leia este anúncio:
VENDEDORES JOVENSFábrica de LONAS – Vendas no Atacado
10 vagas para estudantes, 18 a 20 anos, sem experiência.Salário: R$ 300,00 fixo + comissão de R$ 0,50 por m2 vendido.
Na seleção para as vagas deste anúncio, propunha-se aos candidatos uma
questão a ser resolvida na hora. Deveriam calcular seu salário no primeiro mês, se
vendessem 500 m de tecido com largura de 1 m, e no segundo mês, se vendessem
o dobro.
Então vamos resolvê-lo?????
Sigam os passos:
Compreendendo o problema:
DICA AO PROFESSOR: As questões vão sendo feitas até o aluno construir e se apropriar do entendimento do problema.
Estabelecendo um plano:
É possível saber se seu cálculo está correto? Consegue demonstrar que ele está certo?
Executando o plano:
Verificando a resolução:
Agora que já está mais familiarizado com essas etapas, resolva os problemas
abaixo:
3- A direção do Colégio Enira Moraes Ribeiro, tirou uma foto do Colégio, o
retrato é retangular com lados medindo 4,5 m e 3 metros. Para não ser danificado foi
colocado em uma moldura, alterando as dimensões, conforme ilustração abaixo.
Dessa forma questiona-se:
• Que área ocupa o quadro todo?
• A foto sem moldura, ocupa que área?
• Qual a área da moldura?
5 m
3,5 m
É possível verificar o argumento utilizado? Consegue chegar ao mesmo resultado por um caminho diferente?É possível verificar o resultado ou aplicar o método em outro problema?
Antes de iniciar sua resolução, pesquise no
laboratório de informática em um site de
busca, o conceito de paralelepípedo
retangular e exemplos de embalagens que
possuem esse formato.
Para desenvolver essa atividade,
será levado aos alunos a
embalagem, conforme figura ao
lado, para que achem a área total da
mesma.
4- A figura abaixo tem o formato de um paralelepípedo retangular. Quantos
centímetros quadrados tem a embalagem indicada na figura, sabendo que a mesma
tem altura de 17 cm e a base retangular mede 6 e 9 cm respectivamente.
Fonte: O autor
5-
“O problema pode ser modesto, mas se ele desafiar a curiosidade e puser em
jogo as faculdades inventivas, quem o resolver por seus próprios meios,
experimentará a tensão e gozará o triunfo da descoberta” (A arte de Resolver
problemas, POLYA, 1977).
Base retangular
SUGESTÃO DE ATIVIDADE
As embalagens na ilustração ao lado podem ser utilizadas para planificação e cálculos de perímetro e área.
Uma caixa de creme dental com a forma de
um bloco retangular tem as seguintes
dimensões: 3 cm, 4 cm e 18 cm.
Determine a área da caixa planificada.
Fonte: O autor
6- A área de um retângulo é de 60 cm², e sua base excede em 6 cm sua altura.
Determine a altura do retângulo.
7-
Fonte: o Autor
PROFESSOR: Encoraja os alunos a se comunicarem matematicamente, assim terão a oportunidade para explorar, organizar e relatar seus pensamentos e os diferentes pontos de vista sobre um mesmo assunto!
8-
Fonte: O autor
Observe a fachada do Colégio Enira, a diretora por motivos de segurança
vai trocar a grade do portão, por uma outra que fecha todo o espaço. Ajude a
diretora calcular o tamanho da nova grade. Sabendo que a base do portão é um
terço de sua altura e a área total é de 136 m².
Calcule também a área total da fachada. Use uma trena para tirar as
medidas necessárias para esse cálculo.
DICA AO PROFESSOR: Aproveite o ambiente do aluno
para sugerir problemas que envolvem medidas e áreas.
O colégio é uma rica fonte de inspiração, como exemplo:
medida da quadra de esportes, salas de aula,
altura do muro … É só usar a criatividade !!!
1- Os dados abaixo foram organizados em uma sequência lógica. Descubra
qual será o próximo dado dessa sequência e desenhe o número de pontos em suas
faces.
2- Ligue os algarismos indo-arábicos com os símbolos romanos
correspondentes, de forma que as linhas não se cruzem e nem ultrapassem o
retângulo.
PARA SABER MAISSUGESTÕES DE PROBLEMAS
3- (Enem, 2001) Um fabricante de brinquedos recebeu o projeto de uma caixa
que deverá conter cinco pequenos sólidos, colocados na caixa por uma abertura em
sua tampa. A figura representa a planificação da caixa, com as medidas dadas em
centímetros.
Os sólidos são fabricados nas formas de:
I. um cone reto de altura 1cm e raio da base 1,5cm.
II. um cubo de aresta 2cm.
III. uma esfera de raio 1,5cm.
IV. um paralelepípedo retangular reto, de dimensões 2cm, 3cm e 4cm.
V. um cilindro reto de altura 3cm e raio da base 1cm.
O fabricante não aceitou o projeto, pois percebeu que, pela abertura dessa caixa, só
poderia colocar os sólidos dos tipos
a) I, II e III.
b) I, II e V.
c) I, II, IV e V.
d) II, III, IV e V.
e) III, IV e V.
4- (Prova Brasil 9º ano) O piso de entrada de um prédio está sendo
reformado. Serão feitas duas jardineiras nas laterais, conforme indicado na figura, e
o piso restante será revestido de cerâmica.
Qual é a área do piso que será revestido de cerâmica?
(A) 3 m²
(B) 6 m²
(C) 9 m²
(D) 12 m²
DICA AO PROFESSOR!!! O uso de malhas quadriculadas facilita a visualização das figuras e
permite que diferentes estratégias surjam entre os alunos. Uma atividade
legal pode ser a representação, em escala, de diferentes espaços que há
nas escolas, para que eles calculem o custo para revestir o piso. O
trabalho, além de desenvolver a noção de área de uma superfície, coloca
em prática as noções de escala, a conversão de unidades de medida de
comprimento e área e a questão da proporcionalidade, já que os alunos
deverão estimar o custo total do material utilizado.
DICA AO PROFESSOR!!!
Peça ao aluno que desenhe outra figura, com base no modelo acima,
usando esquadro, compasso, régua e transferidor. Depois restrinja o
material apenas para régua e compasso.
Para resolver esse tipo de atividade o aluno tem que saber que o
quadrado e o retângulo têm dois lados paralelos e todos os ângulos
internos retos. O quadrado é o quadrilátero regular: Todas as medidas
de seus lados são iguais. Esses conhecimentos são essenciais para
encontrar a alternativa correta.
5- (Prova Brasil, 9º ano) O desenho abaixo representa um sólido
Uma possível planificação desse sólido é?
6- ( OBMEP, 2010) Com seis retângulos idênticos formamos um
retângulo maior, com um dos lados medindo 21 cm, como na figura. Qual é a área
do retângulo maior, em cm2?
(a) 210
(b) 280
(c) 430
(d) 504
(e) 588
Endereços Eletrônicos com sugestões de problemas:
http://www.obmep.org.br
http://portal.mec.gov.br
http://diaadiaeducacao.pr.gov.br/educadores/matematica
A avaliação será feita em todos os momentos das atividades propostas, sendo
considerado a participação e o envolvimento dos alunos nos debates e na realização
das atividades solicitadas. Dessa forma, o processo avaliativo ocorrerá a partir da
participação e produção dos alunos.
AVALIAÇÃO
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BORGES, M. M. A. Geometria nos anos iniciais do ensino fundamental: novas perspectivas. Congresso Nacional de Educação – CAJ/UFG, 1992.DANTE, Luiz Roberto. Didática da resolução de problemas de matemática. São Paulo: Ática, 2000.GÁLVEZ, C. A geometria: a psicogênese das noções espaciais e o ensino da geometria na escola primária. Porto Alegre: Artes Médicas, 1996. p. 236 a 258.LORENZATO, S. Por que não ensinar geometria? A Educação Matemática em revista. SBEM, São Paulo nº 4, 1º semestre de 1995 IN: KAKIZAKI, E. Y. Análise e reflexão para uma aprendizagem significativa no estudo da geometria. 2000. Disponível em http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/703-4.pdf?PHPSESSID=2009071515422567> Acesso em novembro 2010.PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação – SEED. Diretrizes Curriculares da Rede Pública de Educação Básica do Estado do Paraná (DCE): Matemática, Curitiba, 2008.POLYA, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciencia, 1977.SOUZA, M. J. A. Informática educativa na educação matemática: Estudo de Geometria no ambiente do software Cabri-Géomètre. Dissertação de Mestrado, Fortaleza: UFC, 2001. Disponível em: <http://ensino.univates.br/~chaet/Materiais/DissertacaoCabri.pdf>. Acesso em: 20/02/2011.
