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PRODUÇÃO DIDÁTICO PEDAGÓGICA
ARLENI ELISE SELLA
CASCAVEL
2008
Secretaria de Estado da Educação
Superintendência da Educação Departamento de Políticas e Programas Educacionais
Coordenação Estadual do PDE
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DADOS DE IDENTIFICAÇÃO:
Professor PDE: Arleni Elise Sella
Área PDE: Matemática
NRE: Cascavel
Professor Orientador IES: Dra. Patrícia Sândalo Pereira
IES vinculada: UNIOESTE – Foz do Iguaçu
Escola de Implementação: Colégio Estadual Marilis Faria Pitotelli - EFM
Público objeto da intervenção: Alunos da 8ª série B, matutina.
TEMA DE ESTUDO:
Mídias tecnológicas e investigações matemáticas em sala de aula.
TÍTULO:
Possibilidades de investigações matemáticas relacionadas ao número e a proporção
áurea.
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INTRODUÇÃO
Tendo em vista as demandas do plano de trabalho do professor PDE cujas atividades
consistem, entre outras em, com o devido acompanhamento de seu Orientador, elaborar uma
produção didático-pedagógica pertinente ao seu objeto de estudo/problema devidamente
sistematizado no Projeto de Intervenção Pedagógica na Escola, e de acordo com a sua
área/disciplina de ingresso no Programa, procedeu-se reunindo artigos, e o material disponível
para tal.
Como o Documento síntese do PDE 2008 já salientava, as produções didático-
pedagógicas devem ser consideradas como material didático a ser utilizado pelo Professor
PDE em situações específicas e planejadas, como subsídio ao trabalho a ser desenvolvido
junto a alunos e/ou professores. Nessa perspectiva, irá além de auxiliar na compreensão da
realidade objetiva contribuir para a sua transformação.
Na análise do Documento acima mencionado, com o qual concordamos integralmente,
neste movimento, é de extrema importância a fundamentação teórica do professor para que
possa situar-se pedagogicamente, tendo em vista os objetivos aos quais se destina a sua
produção – a escola pública.
Pretende-se implementar a intervenção pedagógica em uma sala de oitava série do
ensino fundamental, do período matutino, com 34 alunos do Colégio Estadual Marilis Faria
Pirotelli, no município de Cascavel. A escola é a de lotação dos dois padrões da professora
PDE. O Colégio possui no momento 1326 alunos e 62 professores, sendo desses 8 de
Matemática. Possui um laboratório de informática com 20 monitores conectados à Internet no
sistema Paraná Digital. Recentemente o colégio recebeu 17 aparelhos de TV que permitem a
conexão utilizando pendrive. Portanto a estrutura física e os equipamentos disponíveis
permitem a realização das atividades que se propõe desenvolver visando atingir os objetivos
propostos.
Na realização do trabalho outro ponto importante é o envolvimento do professor
regente da classe nas tarefas a serem desempenhadas. Por isso realizou-se uma reunião com a
direção, a equipe pedagógica e os professores de matemática optando-se, por desenvolvê-lo
com a turma por eles indicada, já que no momento o professor PDE não tem turmas próprias e
precisa, por ser titulado, concluir seu plano de trabalho em um ano. Os objetivos dessa
reunião vão além da tomada de decisões, se deseja que, com base no diálogo, no compromisso
coletivo, na co-responsabilidade, a atuação do Professor PDE, possa ser cada vez mais
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ampliada.
Esta unidade didática visa servir de auxílio aos professores e futuros professores em
sua prática docente, haja vista, tratar de um tema que abrange vários conteúdos matemáticos
que podem, através do mesmo, ser tratados de forma diferenciada e melhorada facilitando
assim sua aprendizagem.
A unidade trata da história do número áureo, trata também acerca das aplicações e
propriedades desse número nas figuras geométricas, na Natureza fazendo em seguida um
passeio em diversas obras arquitetônicas e artísticas que fizeram uso dessa proporção. Na
seqüência são trazidas diversas atividades a serem trabalhadas em sala de aula.
Nesse período da intervenção pedagógica, se procurará explorar algumas maneiras de
mediar o processo de ensino-aprendizagem da Matemática envolvida nas relações entre os
números áureo e plástico, através de atividades diversas (dobraduras, recortes, construções
com régua e compasso, medidas do corpo e de objetos) além das realizadas no ambiente da
Geometria Dinâmica.
Pretende-se dedicar para a implementação do projeto na escola 32 horas entre a
preparação e desenvolvimento efetivo de atividades com os alunos, no decorrer dos meses de,
setembro, outubro e novembro de 2008.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
A proporção, o número áureo e os irracionais
A idéia de escolher esse tema se deve a uma reflexão feita há muito tempo quando
ainda eram ministradas aulas de Desenho Geométrico nas séries finais do ensino fundamental.
Nelas já se despertava para a forte relação entre a matemática, a geometria, a arquitetura bem
como as demais manifestações artísticas da humanidade. Na escolha por material motivador
para essas aulas, que reunissem elementos que pudessem combinar prazer, paixão e reflexão
encontrou-se o clássico filme “Donald no mundo da Matemágica”1, uma excelente fonte de
possibilidades e inspiração. Sensível para o tema gravou-se um programa Globo Ciência que
se deteve em explorar essas mesmas relações. Foi se formando um acervo de material que
1 O filme Donald in Mathmagic Land , de Walt Disney, escrito e produzido por Milt
Banta, Bill Berge e Dr. Heiz Haber, apesar de datado em 1959, continua atraente e
inspirador nos dias de hoje.
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detonou o trabalho com as proporções e o número áureo.
De modo similar ao da criança, o homem primitivo manifestou sua curiosidade através
de desenhos e inscrições. Enquanto se embrenhava na Natureza e a transformava na árdua
busca pela sobrevivência se deslumbrava com suas formas recorrentes e se perguntava sobre
seus porquês. A necessidade e a curiosidade humanas se aliaram à percepção das semelhanças
e dos padrões, procurando relacionar geometria (formas) com aritmética (números). Buscando
na história da Matemática pode-se perceber que mesmo o desenvolvimento da geometria
pelos gregos foi provocado pela procura da racionalidade, estética e beleza, como sustenta
Vitti (1999, p.81).
A história da Proporção Áurea se perde na Antiguidade pois já se observa utilizações
desta proporção em obras grandiosas como a Pirâmide de Quéops em Gisé. Acredita-se, que a
razão entre o apótema (altura de uma face) e a metade da base da grande pirâmide seja Φ
(DOCZI, 1990). Outro exemplo nos leva ao Papiro de Rhind (Egípcio), datado cerca de 1650
a.C. que se refere a uma “razão sagrada” - o número de ouro.
A escultura grega Doryphoros, pertencente ao séc. V a.C., criada por Policleto, já
demonstrava em suas medidas o interesse de seu criador pelas proporções áureas no corpo
humano. Atribui-se a ele inclusive um tratado sobre o tema.
Figura 1: Doryphoros, o portador de lança obra de Polykleitos.( 450~440 a.C.)
Fonte: http://academic.reed.edu/humanities/110tech/BodyLanguage/html/doryphoros1.html
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Outra bela materialização das proporções ideais é a escultura Vênus de Milo, de autor
desconhecido, mas que também se submete as proporções do número de ouro. Edificações
como o Parthenon de Atenas, construído ao redor de 447 a.C. contém a razão de Ouro em sua
fachada, segundo afirmação de Doczi(1990).
O arquiteto romano Marcus Vitruvius Pollio ( 70- 25 a.C.) escreveu em suas obras
recomendações expressa para em Templos e outras imponentes edificações se tivesse por base
a analogia do corpo humano bem formado, onde se percebia existir uma harmonia perfeita
entre todas as partes. Quando os cientistas do Renascimento redescobriram as ruínas clássicas
da Grécia e de Roma houve uma retomada dos valores que tanto haviam fascinado os antigos.
O conceito do homem vitruviano, espendidamente ilustrado por Leonardo da Vinci para a
obra de Luca Pacioli, Divina Proportione , publicado em 1509, restauram as proporções de
Vitruvius, estabelecendo vínculos com a secção áurea e resumindo nela seus estudos sobre
essas proporções. Leon Battista Alberti, um renascentista admirador de Platão (428 – 347
a.C.), autor de Tratado da Pintura e um dos pais da perspectiva, esclarecia em 1435, que
proporção é diferente de dimensão. Para ele, dimensões indicam simplesmente alturas,
larguras e superfícies, enquanto que as proporções são relações entre as dimensões segundo
uma teoria.
É inegável o imenso cuidado que as civilizações grega, romana e rescentista tiveram
na obtenção do equilíbrio e da harmonia. Suas obras são uma prova concreta de que a
geometria e a matemática favorecem excelentes resultados.
Foi o matemático grego Euclides (323 – 258 a.C.), autor de Os Elementos, uma obra
fundamental para a geometria durante muitos séculos, que descreveu em seu livro uma
maneira de se buscar o modo mais harmonioso de dividir um segmento de reta. O que ele
chamou de “divisão de um segmento em média e extrema razão”, ou seja, dividir um
segmento de forma que a razão entre as partes menor e maior fosse igual à razão entre a parte
maior e o segmento todo. Por observarem as formas da Natureza os gregos supunham que
somente com “bons compassos e réguas” é que elas poderiam ser reproduzidas.
Assim :“Diz-se que uma linha reta é cortada na razão extrema e média quando, assim
como a linha toda está para o maior segmento, o maior segmento está para o menor”. (LIVIO,
2007, p.14).
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O ponto C divide o segmento AB em média e extrema razão, se a razão entre o maior
e o menor segmento é igual à razão entre o segmento todo e o maior, AC/CB = AB/AC
Se tomarmos o maior e o menor segmento medindo, respectivamente, x e 1 unidade de
comprimento, teremos pela definição de extrema e média razão:
Pela Propriedade Fundamental da Proporção obtemos a equação:
x2
= x + 1
equivalente à equação quadrática
x2
- x - 1 = 0
Que tem como raízes x‟= (1+√5)/2 e x”= (1-√5)/2 .A solução positiva 1,6180339887 é
exatamente o valor da Razão Áurea, que como podemos ver, é um número irracional, pois é a
metade da soma de 1 com a raiz quadrada de 5.
É também derivado desse conceito, o de retângulo áureo cuja razão entre os lados
maior e menor é equivalente ao número ouro [Φ = 1,6180339887]. O retângulo áureo
demonstrou ser um formato importante para produzir uma atrativa família de formas, que são
mensuráveis entre si e com a forma padrão, fornecendo um relacionamento proporcional e
harmônico entre as partes e o todo.
Ao mencionar a proporção áurea depara-se, imediatamente, com a história do
matemático e líder espiritual, Pitágoras. Nascido na ilha de Samos, no mar Egeu, por volta de
570 a.C., Pitágoras teve sua vida envolta em muito mistério sendo atribuída a ele a criação
manutenção e difusão de uma irmandade secreta, permitida somente a homens que agregavam
um misto de filosofia de vida, religião e matemática sem similar na história da humanidade.
Para os pitagóricos, toda a natureza podia ser representada por números, assumindo a forte
afirmação de que o número é a medida de todas as coisas. A ligação de Pitágoras com a
Razão Áurea está no que se acredita ter sido o símbolo da irmandade pitagórica, o
pentagrama. Esta figura, também conhecida como estrela de cinco pontas, possui estreita
relação com o pentágono regular – basta unir os vértices do pentágono por diagonais. Surge
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no pentagrama a seguinte relação com a Razão Áurea: Ao traçarmos diagonais (no
pentágono), estas, formam outro pentágono menor; se unirmos novamente as diagonais desse
novo pentágono, encontraremos um pentagrama ainda menor e esse processo pode ser
repetido infinitamente. Ao examinarmos, na figura, cada segmento em ordem decrescente
infinitamente, (AC, CD, DG, GH,...), encontraremos que “cada segmento é menor que seu
antecessor por um fator que é exatamente a Razão Áurea” (LIVIO, 2007, p.49).Se associado
ao pentágono, também está portanto ao dodecaedro e ao icosaedro. Alguns historiadores
sugerem que foram os pitagóricos os primeiros a descobrirem a razão áurea e a
incomensurabilidade, pois se a diagonal e o lado de um pentágono regular são
incomensuráveis, essa idéia realmente poderia ter sido discutida pelos matemáticos do séc.V
a.C.. Contudo, segundo os relatos históricos, permaneceu escondida em segredo, sendo até
hoje envolta em um mistério quase intransponível para muitos estudantes. Diante da
percepção de que a diagonal de um quadrado de lado 1 era representada por uma grandeza
que podia ser traçada mas não podia ser medida, chamavam-na arrethos ou indivisível, tal
fato causou-lhes um profundo descontentamento pois desfez a relação da Aritmética com a
Geometria, o Universo das formas numéricas quase havia desabado para os discípulos de
Pitágoras. O termo irracional designa em si mesmo essa contradição, ao assumi-lo como uma
negação, um não número racional. Segundo comentário no livro de Gundlach (1992, p.56),
“A descoberta de incomensuráveis resultou na necessidade de estabelecer uma nova teoria das
proporções que independesse da comensurabilidade. Isto foi feito por Eudóxio (c. 370 a.C.).
Seu trabalho a respeito constitui a base do Livro V dos Elementos de Euclides.” Parece que
Eudóxio trabalhou em uma engenhosa teoria das “razões iguais” que provavelmente poderia
ter se tornado a base de um sistema de números reais. Sendo incompreendido por seus
contemporâneos teve seus estudos desvalorizados. (GUNDLACH, 1992, p.19 e 20).Muito
posteriormente, de acordo com Contador (2007, p.58) “No século IX de nossa era, o
matemático e astrônomo árabe Al-Khowarizmi chamou estes números de assam, que significa
surdo, entendendo que um número irracional é aquele que não pode ser dito em palavras
apenas com números.” Em uma contundente afirmação diz Lívio (2007, p.53). “A magnitude
da descoberta da incomensurabilidade e dos números irracionais não pode ser subestimada.”
Mais de dois milênios depois, já no séc. XIX, os matemáticos alemães Georg Cantor (1845-
1918) e Richard Dedekind (1831-1916), retomaram os estudos do ponto onde Eudóxio parara
e trabalhando com seqüências de racionais e os conceitos de “partição” e “corte” dos racionais
em dois conjuntos definiram um número real terminando também por legitimar um espaço
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para os números imaginários e complexos. A publicação de suas pesquisas sobre esses tópicos
se deu em 1872. ( GUNDLACH, 1992, p.19, 20 e 56).
Figura 2:A espiral de quadrados dentro de um retângulo áureo forma números de Fibonacci
Fibonacci
Leonardo Fibonacci (1175 – 1250), conhecido como Leonardo de Pisa tornou-se
famoso ao publicar em 1202 o primeiro trabalho produzido por um matemático cristão a
respeito da utilização dos nove algarismos indianos mais o zephirum ou zero, o Liber Abacci.
Sua contribuição para a história da Proporção Áurea veio a partir de um problema que,
inicialmente não parece com ela relacionado. Ele incluiu em seu livro, entre vários outros, o
seguinte problema:
“Um homem pôs um par de coelhos num lugar cercado por todos os lados por um
muro. Quantos pares de coelhos podem ser gerados a partir deste par em um ano se,
supostamente, todo mês cada par dá à luz um novo par que é fértil a partir do segundo mês”
(LIVIO, 2006, p.116).
Montando com os pares de coelhos uma tabela para seis meses teríamos:
Mês
1 P 1
2 P 1
3 P P1 2
4 P P1 P1 3
5 P P1 P1 P1 P2 5
6 P P1 P1 P1 P1+ P2 P2 + P2 8
A proporção áurea está em concordância direta com a seqüência de Leonardo Pisano
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Fibonacci (1170 - 1250) – 0:1:1:2:3:5:8:13:21:32:55:89:144:233:377. Construída de maneira
que cada número fosse a soma dos dois números precedentes está sempre em relação
proporcional com o número anterior e o seguinte, essa propriedade é expressa
matematicamente como Fn+2
= Fn+1
+ Fn, onde, F
n representa o n-ésimo termo da seqüência,
Fn+1
o seguinte e Fn+2
é o termo que segue Fn+1
. Em forma algébrica pode ser também escrita
assim F( n+1) = F(n) + F(n-1) na qual F(0) = F(1) = 1.
A relação esta seqüência estabelece o número ouro está no fato que divindo-se os
sucessores pelos antecessores nos aproximamos gradativamente da razão áurea. Apesar das
oscilações iniciais é fácil verificar essa tendência 2/1 =2, 3/2 = 1,5, 5/3 = 1, 666..., 8/5 = 1,6,
13/8 = 1,625, 21/13 = 1,6153, 34/21= 1,6190... 89/55= 1,6181... 610/377 = 1,618037... e,
assim por diante. Portanto o número áureo surge como o limite da razão dos sucessivos
números da seqüência de Fibonacci. Em seu livro da coleção Tópicos de História da
Matemática para uso em sala de aula, Gundlach (1992, p.62) sustenta que: “A notável relação
entre a seqüência de Fibonacci e a „razão áurea‟ foi estabelecida pela primeira vez pelo
matemático escocês Robert Simson, em 1753.” Havendo controvérsias entre quem foi o autor
da fórmula que representa o e-nésimo termo da seqüência, às vezes atribuída à Moivre, à
Euler, mas geralmente devida à Jacques Binet (1786-1856), ela permite que dado o respectivo
número de ordem na seqüência se calcule o seu valor.
Segundo Stewart, (1996, p.105) os números que surgem nas flores(a maioria têm
número de pétalas extraídos da série 3, 5, 8, 13, 21, 34,55,89), não apenas nas pétalas mas
também para todos os tipos de características (folhas, frutos, sementes, gemas e novos brotos)
exibem regularidades matemáticas.
O número plástico
Diante das inúmeras citações do número áureo, aparecendo seguidamente em frutos,
esculturas, monumentos e até em galáxias e problemas com coelhos, o número plástico não é
tão famoso, mas nem por isso menos interessante que seu parente mais célebre.
O número áureo é bidimensional possuindo um análogo tridimensional, cujo valor
aproximado é 1,3247179572447460. De acordo com Gustavo Montero Garcia, em artigo
espanhol disponível na web e devidamente referenciado, pode ser representado exatamente
por:
11
Segundo o autor foi descoberto pelo arquiteto e monge beneditino Hans Van der Laan,
em 1928. Ele o empregou como base para a escala que leva seu nome e na qual se apoio para
construir a capela da abadia beneditina de St. Benedictusberg, na
Fonte: http://mindwords.wordpress.com/
Figura 3: Abadia de St. Benedictusberg.
Tanto o número plástico como o número áureo são números ditos mórficos, segundo
GARCIA(2008). Por afirmação do referido autor, Arts, Fokking e Kruijtzer, eminentes
pesquisadores, demonstraram em artigo originalmente intitulado Morphic mumbers, que a
secção ou razão áurea e o número plástico são os únicos números mórficos que existem.
O número plástico é também conhecido como número de Padovan, em homenagem ao
arquiteto Richard Padovan, que segundo Alan St. George apud Stewart, revelou sua glória ao
mundo.(STEWART, 2005, p. 80). A seqüência, apelidada por Stewart (2005, p.83) de
padovana e por ele chamada de P(n), pode ser gerada em forma algébrica por:
P(n+1) = P(n-1) + P(n-2), onde P(0) = P(1) = P(2) = 1,
o que a torna muito semelhante a seqüência de Fibonacci.
Usando uma tabela podemos compará-los melhor:
n F(n)
[Fibonacci]
P(n)
[Padovan]
0 1 1
1 1 1
2 2 1
3 3 2
4 5 2
12
5 8 3
6 13 4
7 21 5
8 34 7
9 55 9
10 89 12
11 144 16
12 199 21
13 343 28
14 542 37
15 885 49
16 1427 65
17 2312 86
18 3739 114
19 6051 151
20 9790 200
Figura 4: A espiral de triângulos forma números padovanos.
O número plástico, de valor aproximado igual a 1,324718, surge como o limite da
razão de sucessivos números padovanos. Sua regra de formação nos conduz à equação cúbica
p= 1/p + 1/p2, que também pode ser escrita como:
p3 – p -1 = 0, sendo p o único número real que a soluciona.
Comparando o crescimento das seqüências se nota que o crescimento da seqüência padovana
é muito mais lento, já que p é muito menor que Φ. Stewart (2005) salienta que há padrões
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muito interessantes na seqüência padovana, demonstrando como os triângulos adjacentes
tendem a se unir em suas bordas 21= 16+ 5, 16 = 12 + 4, 12 = 9 + 3 e assim por diante.
Ocorre que há números que são tanto de Fibonacci quanto padovanos, como 3, 5 e 21,
que juntamente com os triviais 0, 1 e 2 foram provados por Benjamin Weger como sendo os
únicos que pertencem a ambas as seqüências. Quanto a outros números padovanos pode-se
perceber que 9, 16 e 49, que são quadrados perfeitos tem suas respectivas raízes, 3, 4 e 7
também entre os números padovanos. Stewart (2005, p.85) insiste na necessidade de persistir
na investigação, “Isto é uma coincidência ou uma regra geral? Estas perguntas continuam sem
resposta e merecem novos estudos.”
A seqüência de atividades
Inicialmente se deseja familiarizar o grupo, no qual se inclui alunos e professora
quanto ao:
1. O uso da ferramenta computacional no ensino de Matemática.
1.2.A utilização da geometria dinâmica no ensino de Matemática: histórico e
principais programas.
1.3.Introdução ao programa de geometria dinâmica a ser utilizado no projeto:
princípios, menus, recursos, construções fundamentais.
1.4.O uso da geometria dinâmica como recurso similar às construções com régua e
compasso.
Metodologia
As atividades do projeto de intervenção pedagógica serão oferecidas para os 34 alunos
no laboratório de informática que contém 20 computadores. Será necessário, portanto que
parte dos estudantes trabalhe em duplas, alternando-se na execução das tarefas e agindo
solidária e colaborativamente. Utilizar-se-á o programa de geometria dinâmica GeoGebra,
que já se encontra disponível na plataforma do Paraná Digital , um retroprojetor, um projetor
multimídia, um computador portátil conectado à esse projetor ou a uma unidade da TV
multimídia. As aulas perfarão um total de 16 horas/aula atuando diretamente com os alunos.
Um quarto, 25% da carga horária total das aulas de matemática serão ocupadas no laboratório
de informática ou com atividades referentes ao projeto (das 4 aulas semanais, uma será
dedicada para as atividades de intervenção pedagógica). Os alunos receberão, quando
Formatados: Marcadores enumeração
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necessário, material impresso que os auxiliará no desenvolvimento das atividades. Elas serão,
portanto, realizadas em duplas e com o auxílio da professora PDE, de sua co-orientanda,
também professora PDE e, da professora regente da turma.
UNIDADE DIDÁTICA
Iniciar-se-á com o preparo de uma espécie de Guia ou manual com uma breve
apresentação do programa e uma seqüência de atividades referentes à familiarização com a
ferramenta computacional para o ensino de Matemática. Ele consiste em atividades de
exploração e reconhecimento do software GeoGebra que serão introduzidas com uma
apresentação de slides seguidas da realização das tarefas. Ao explorar algumas atividades
básicas para a familiarização com as principais funções e possibilidades do GeoGebra visa-se
criar uma intimidades com os recursos disponíveis em cada janela do menu. Para que o aluno
seja capaz de investigar utilizando essa ferramenta considera-se essa uma etapa que se torna
imprescindível e adquire uma grande importante para o desenvolvimento das demais tarefas a
serem propostas.
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GeoGebra
Por ser um software gratuito, com versão em português e funcionar na
plataforma Linux, optamos por apresentar neste trabalho atividades matemáticas
utilizando o software GeoGebra. Criado pelo prof. Dr. Markus Hohenwarter da
Flórida Atlantic University, em 2001, o GeoGebra é um software de matemática
dinâmica para ser utilizado em Educação Matemática nas escolas de Ensino
Fundamental, Médio e Superior que reúne, combinando - inclusive simultaneamente,
a geometria dinâmica com álgebra e cálculo. Segundo Hohenwarter (2007) seu
idealizador, o aspecto mais poderoso e interessante é, o fato de permitir um duplo
ponto de vista dos objetos matemáticos: qualquer expressão introduzida na janela
de álgebra corresponde a um objeto na janela de geometria e vice-versa.
O GeoGebra é um software livre acessível na rede para Download,
(disponível em www.geogebra.org), escrito em linguagem Java. Foi traduzido para o
português por J. Geraldes e é objeto de estudos de um ex-aluno da Universidade
Estadual de Maringá, Humberto José Bortollossi.
Por um lado o GeoGebra possui todas as ferramentas tradicionais de um
software de geometria dinâmica: pontos, segmentos, retas e seções cônicas. Por
outro lado, equações e coordenadas podem ser inseridas diretamente. Assim, o
GeoGebra tem a vantagem didática de apresentar, ao mesmo tempo, duas
representações diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si: sua
representação geométrica e sua representação algébrica. É mais um instrumento
que pode oferecer a oportunidade de dinamizar e consolidar o trabalho pedagógico
em matemática.
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A. Depois de iniciar o GeoGebra, aparece a janela seguinte:
Utilizando a barra de ferramentas, pode-se construir na janela de geometria. Ao
mesmo tempo, as coordenadas dos pontos, as equações das retas, etc, vão
sendo "afixadas" na janela de álgebra.
B.Introduzindo, no campo de entrada, coordenadas, equações, comandos, os
correspondentes objetos geométricos são desenhados na janela de
geometria/gráficos.
Apresentaremos algumas atividades básicas para a familiarização com as principais
funções do GeoGebra.
A barra de ferramenta do Geogebra está dividida nas janelas apresentadas abaixo:
Cada janela contém várias ferramentas, para selecionar uma função, devemos clicar
sobre uma das janelas, lado direito inferior sobre a setinha, e arrastar o cursor para
baixo, quando a função desejada estiver selecionada é só dar um clique.
Barra de ferramentas
Campo de entrada
Janela de álgebra
Janela de
geometria/gráficos
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Algumas dicas
O item Desfazer no menu Editar é uma ferramenta muito usada para anular
as últimas operações, pode-se usar também no teclado ctrl+z (desfazer) e
ctrl+y (refazer), esta opção também é encontrada no canto superior da
tela .
Cada vez que selecionamos uma ferramenta, o GeoGebra dá informações de
como proceder para utilizá-la
O menu Exibir – Protocolo de Construção fornece uma tabela listando todos
os passos que você tomou fazendo sua construção. Ele serve para revisar a
construção passo a passo utilizando as teclas de seta.
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Para tornar objetos desenhados visíveis ou invisíveis, clique com o botão
direito e escolha Exibir objeto.
O aspecto dos objetos (cor, tipo de linha, etc.) também é alterado facilmente,
fazendo-se um clique com o botão direito e escolhendo Propriedades.
É possível esconder (ou ativar) a janela de álgebra, o sistema de eixos, a
malha, através do menu Exibir.
Para ampliar ou reduzir as figuras com os botões e
respectivamente, após selecionar os botões é só clicar na área de trabalho,
estará se alterando toda a área de trabalho e não só a figura.
O menu Ajuda apresenta uma lista completa de ajudas.
Apresentaremos algumas atividades básicas para a familiarização com as principais
funções do GeoGebra.
ATIVIDADE 01
1- Nesta atividade serão utilizados a Janela de Álgebra, o Eixo e a Malha. No
menu Exibir aparecem essas três funções, sempre que precisar, você poderá
ativá-las ou desativá-las.
2- Para criar um ponto selecione a ferramenta novo ponto , e dê um clique
na área de trabalho. Marque no plano cartesiano cada um dos seguintes
pontos: A (2, 1); B (8, 1); C (8, -2) e D (2, -2)
3- Mude a cor dos pontos. Para mudar a cor do ponto, clique sobre ele com o
lado direito do mouse e aparecerá uma janela. Selecione a opção
Propriedades e em seguida a opção Cor. No lado esquerdo dessa janela
aparecem os pontos. Clique neles, um a um, e na cor desejada. Para a
operação ser concluída, clique em Fechar.
4- Utilizando a ferramenta polígono , clique sobre os pontos e forme o
Polígono ABCD. Lembre-se de fechar o polígono no ponto A.
5- Para mudar a cor do polígono, repita o procedimento utilizado para mudar a
cor dos pontos, clicando dentro do polígono com o lado direito do mouse.
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6- Observe a janela de álgebra. Os dados do polígono também mudaram de cor.
O objeto Poly1 traz a medida da área do Polígono P. Os objetos a, b, c, d, são
as medidas dos lados deste polígono.
7- A intensidade da cor do preenchimento do polígono pode ser alterada, clique
dentro dele com o lado direito do mouse, a seguir, clique em Propriedades
escolha a opção Estilo, movimente com o mouse a seta de Preenchimento
que pode intensificar ou diminuir sua cor.
8- Para mover ou arrastar um objeto, selecione a ferramenta mover , clique
no polígono e arraste para o local desejado. Agora clique sobre um dos
pontos e mova. Clique sobre um dos lados e mova. Observe que a figura se
altera.
9- Para salvar a atividade realizada, selecione o menu Arquivo clique na opção
Gravar.
ATIVIDADE 02
1- Abra um arquivo novo clicando em Arquivo, na janela que surge selecione
Novo.
2- Nesta atividade, não utilizaremos a Janela de Álgebra, Malha e nem o Eixo. A
Janela de Álgebra também pode ser fechada, clicando no x que aparece em
seu canto superior direito.
3- Construa uma reta utilizando a ferramenta Reta definida por dois pontos
, selecione a ferramenta e depois clique em dois lugares quaisquer no
plano.
4- Renomeie os pontos A e B para C e D. Para isso, clique sobre o ponto com o
lado direito do mouse, abrirá uma janela, selecione a opção Renomear. Digite
a letra com a qual você identificará o ponto e clique em Aplicar.
5- Mova a reta. Para isso selecione o botão Mover e clique num dos
pontos e arraste.
6- Nomine a reta como r. Se a letra não aparecer, clique com o lado direito do
mouse sobre a reta e selecione Exibir rótulo.
20
7- Mude a cor da reta. (Use o mesmo procedimento utilizado para mudar a cor
dos pontos e do polígono).
8- Modifique a espessura da reta. Clique sobre ela com o lado direito do mouse,
selecione Propriedades e na função Estilo podemos aumentar ou diminuir a
espessura da reta movendo a seta correspondente. Também nesta janela
pode-se mudar o estilo da reta para pontilhado.
9- Construa um novo ponto fora da reta e represente-o pela letra P.
10-Construa uma reta paralela à reta r passando pelo ponto P. Clique na
ferramenta Reta paralela , a seguir clique na reta r e no ponto P (ou
vice-versa).
11- Movimente a reta r clicando em um de seus pontos e observe o que acontece
com a reta paralela.
ATIVIDADE 03
1- Abra um arquivo novo.
2- Para esta atividade, não utilizaremos a Janela de Álgebra e o Eixo.
3- Selecione a opção Segmento definido por dois pontos e construa o
segmento AB.
4- Caso não esteja aparecendo o rótulo do segmento clique com o lado direito
do mouse sobre ele e selecione a opção Exibir rótulo. Você terá então, o
segmento a.
5- Marque o ponto médio deste segmento. Selecione a opção Ponto médio ou
centro e clique nos pontos A e B.
6- Trace uma reta perpendicular ao segmento AB, passando pelo ponto médio
C. Selecione a ferramenta Reta perpendicular ,clique no segmento e no
ponto C.
7- Selecione o botão Mover e mova os pontos.
Nota: Este trabalho foi inspirado, traduzido e adaptado a partir do manual original do programa Geogebra. (www.geogebra.at) e de apostila disponível em
21
www.es.cefetcampos.br/softmat/atividades1/geogebra.pdf -
Atividades Investigativas
Atividade 01
RAZÃO NA DIVISÃO EM PARTES IGUAIS
Materiais e recursos necessários: Laboratório de Informática, software GeoGebra.
1- Abra um arquivo novo.
2- Para esta atividade, inicialmente, não utilizaremos a Janela de Álgebra e o
Eixo.
3- Selecione a opção Segmento definido por dois pontos e construa o
segmento AB.
4- Marque o ponto médio deste segmento. Selecione a opção Ponto médio ou
centro e clique nos pontos A e B.
5- Caso não esteja aparecendo o rótulo do ponto clique sobre ele com o botão
contrário e exiba seu nome, ponto C, usando o renomear. Ao marcar o ponto
médio C você acabou de dividir o segmento em duas partes. Como são essas
partes?
6- Escolhendo no menu a ferramenta
e usando o recurso da medida da distância ou comprimento, meça,
clicando no ponto A e no ponto C o segmento AC. Repita o procedimento
para o segmento CB, clicando em cada uma das suas extremidades. O que
você observou?
7- Agora, abra a janela de álgebra. E, usando o campo entrada digite as
medidas para calcular a razão (divisão, quociente) entre os comprimentos.
Calcule a razão entre AB e a primeira parte, entre AB e a segunda parte e
entre AC e CB. Mesmo antes de fazer a conta você já imagina o que ocorrerá,
não é? Encontrou o resultado esperado? Por que acha que isso ocorre?
Atividade 02
RAZÃO NA DIVISÃO EM PARTES DESIGUAIS
Materiais e recursos necessários: Laboratório de Informática, software GeoGebra.
22
1- Abra um arquivo novo.
2- Para esta atividade, inicialmente, não utilizaremos a Janela de Álgebra e o
Eixo.
3- Selecione a opção Segmento definido por dois pontos e construa o
segmento DE (Caso não esteja aparecendo o rótulo do ponto clique sobre ele
com o botão contrário e exiba seu nome).
4- Escolha a opção novo ponto e marque o ponto F sobre o segmento,
procurando dividi-lo em duas partes desiguais.
5- Caso não esteja aparecendo o rótulo do ponto clique sobre ele com o botão
contrário e exiba seu nome, ponto F, usando o renomear. Ao marcar o ponto
F você acabou de dividir o segmento em duas partes, como já havia feito
anteriormente. Como são essas partes?
6- Usando o recurso da medida da distância ou comprimento, meça, clicando no
ponto D e no ponto F o segmento DF. Repita o procedimento para o
segmento FE, clicando em cada uma das suas extremidades. O que você
observou?
7- Agora abra a janela de álgebra. E, usando o campo entrada digite as medidas
para calcular a razão (divisão, quociente) entre os comprimentos. Calcule a
razão entre o segmento inteiro DE e cada uma das partes, a parte menor e a
parte maior. Em seguida compare fazendo a divisão entre DF e FE e depois
entre FE e DF. O que você percebeu? Mesmo antes de fazer a conta você já
imaginava o que ocorreria, não é? Encontrou o resultado esperado? Por que
acha que isso ocorreu?
Atividade 03
MEDIDAS DO CORPO
Materiais e recursos necessários: fita métrica e calculadora.
Metodologia sugerida: Divisão da sala em grupos de 4 elementos.
1- Utilizando a fita métrica preencher a tabela abaixo na qual „A‟ corresponde a
altura de cada aluno e „U‟ corresponde a medida do umbigo até o chão. As
23
medidas deverão ser realizadas e registradas, calculando em seguida os
quocientes solicitados.
2- Após um acordo sobre as questões de arredondamento, algarismos
duvidosos e significativos, o que se observa?
3- Discuta com seus colegas do grupo e investigue se no corpo humano há
outras relações similares entre medidas.
Aluno A U U/A A/U
1
2
3
4
Atividade 04
MEDIDAS DE OBJETOS
Materiais e recursos necessários: Régua, calculadora, cartões de crédito, fotografias
diversas, exemplares de jornal formato berliner.
Metodologia sugerida: Divisão da sala em grupos de 4 elementos.
1- Fazer uma atividade de reconhecimento dos objetos, conversando sobre sua
presença familiar em nosso cotidiano.
2- Utilizando a régua realizar as medidas solicitadas, preenchendo a tabela
proposta abaixo:
.Objeto Comprimento Largura C/L L/C
Cartão de
crédito
Fotografia
Folha de jornal
3- O que se pode notar? Há alguma relação entre as medidas realizadas no
corpo e as medidas desses objetos? O que se pode pensar sobre isso?
4- Seria importante fazer então uma pesquisa mais detalhada sobre essa razão
em outros campos da atividade humana. Será que ela aparece na
arquitetura e em outras artes? Essa razão apresenta algumas
24
propriedades estéticas e artísticas que outros homens já utilizaram? E na
natureza, há alguma ocorrência similar? Que coisas do cotidiano mantêm
essas proporções? Procure também em páginas da rede (World Wide
Web), em livros ou outros materiais, todas as informações que
conseguirem recolher a respeito. Faremos em um próximo encontro a
socialização dos dados obtidos.
Atividade 05
SOCIALIZAÇÃO DO MATERIAL DE PESQUISA E ASSISTÊNCIA À TRECHOS
SELECIONADOS DO FILME “DONALD NO PAÍS DA MATEMÁGICA”
Materiais e recursos necessários: Roteiro para análise da pesquisa e do filme.
Metodologia sugerida: Divisão da sala em grupos de 4 elementos para posterior
preenchimento do roteiro de análise.
1- Fazer uma exposição dos objetos e dos resultados das pesquisas realizadas
por cada grupo, explorando também os materiais trazidos pelo professor e
disponibilizados ao grupo (tais como cópias de obras de arte, livros, fotos,
objetos diversos, plantas e flores);
2- Apresentação e discussão dos trechos selecionados do filme. Solicitar que ao
preencherem no grupo o roteiro de análise, sintetizem o que foi marcante,
o que mais os impressionou tanto na exposição quanto no filme.
Atividade 06
CONSTRUINDO O SEGMENTO ÁUREO
Materiais necessários: régua e compasso.
Metodologia sugerida: Pode-se partir da história, contando que foi o matemático
grego Euclides (323 – 258 a.C.), autor de Os Elementos, uma obra fundamental
para a geometria durante muitos séculos, que descreveu em seu livro uma maneira
de se buscar o modo mais harmonioso de dividir um segmento de reta. O que ele
chamou de “divisão de um segmento em média e extrema razão”, ou seja, dividir um
segmento de forma que a razão entre as partes menor e maior fosse igual à razão
entre a parte maior e o segmento todo.
PROCEDIMENTO (usando régua e compasso):
25
1- Considere um segmento AB de medida “a”. Determine o ponto médio M de
AB.
2- Trace uma reta perpendicular ao segmento AB pela extremidade B e
determine o ponto D na perpendicular construída, tal que BD = BM.
3- Trace uma reta pelos pontos A e D. Com o compasso centrado no ponto D,
trace uma circunferência de raio BD. Determine os pontos E e E‟ de
intersecção entre a reta AD e a circunferência anterior. Então teremos:
AE = AC = (√5 – 1)/2 segmento áureo interno de AB
AE‟ = AC‟ = (√5 + 1)/2 segmento áureo externo de AB
PROCEDIMENTO (Usando o GeoGebra)
Materiais e recursos necessários: Laboratório de Informática, software GeoGebra.
1- Abra um arquivo novo.
2- Para esta atividade, inicialmente, não utilizaremos a Janela de Álgebra e o
Eixo.
3- Selecione a opção Segmento definido por dois pontos e construa o
segmento AB.
4- Marque o ponto médio deste segmento. Selecione a opção Ponto médio ou
centro e clique nos pontos A e B.
5- Nomeie o ponto médio como ponto M.
6- Escolha a ferramenta Reta perpendicular ,clique no segmento e no
ponto B.
7- Usando a ferramenta que funciona como o compasso, Círculo definido pelo
centro e um de seus pontos . Clique no ponto B( que será o centro) e
sobre o ponto M.
8- Com a ferramenta Interseção de dois objetos ativada determine o ponto
D na perpendicular construída(clicando exatamente no ponto de intersecção
ou na circunferência e posteriormente na perpendicular).
9- Usando o botão contrário escolha a opção renomear e identifique-o como
ponto D, tal que BD = BM.
26
10-Construa usando a ferramenta reta definida por dois pontos uma reta que
passe por AD ou um segmento AD .
11-Com o „compasso‟, , centro em D e raio BD construa a circunferência.
Nela, ativando a ferramenta você marcará o ponto E e usando o botão
direito do mouse.
12-Utilizando novamente o compasso com cento em A e abertura até E
encontre o ponto F, sobre o segmento. Esse ponto corresponderá, no
segmento ao ponto áureo interno.(caso o desenho se torne muito poluído e
possível esconder as consruções auxiliares clicando com o botão contrário no
item exibir/esconder objeto).
13-Agora, ativando a distância ou comprimentoe clicando nas extremidades,
meça as distâncias dos segmentos encontrados AB, AF e FB. Digitando
esses valores, usando o ponto para separar os decimais e a barra para
indicar a divisão, calcule as razões entre AF/AB, AF/FB e FB/AB. O que se
nota? Na classe é provável que quase todos tenham construido segmentos
com medidas diferentes, não é? Contudo, apesar de diferentes comprimentos
se conseguiu obter valores diferentes? Como você explica que isso
acontece?
Atividade 07
CONSTRUINDO O RETÂNGULO ÁUREO2
Materiais necessários: régua e compasso.
Metodologia sugerida: Pode-se relacionar essa atividade com a atividade 04 de
medida de objetos ou então contar aos alunos ou ainda pedir que façam uma
pesquisa sobre a proporção áurea na arquitetura. Muitas obras famosas da
arquitetura como o Partenon grego ou templo da deusa Atena, construído no século
V a.C. pelo arquiteto e escultor Fídeas e a Catedral de Notre Dame na França, que é
considerada a rainha das catedrais góticas foram baseadas no retângulo áureo. O
retângulo chama-se áureo ou de ouro quando tem sua base e altura nessa razão.
2 Atividade produzida sob inspiração no Trabalho acadêmico de Priscila Gleden, orientada por Patrícia
sândalo Pereira, em 2006
27
PROCEDIMENTO (usando régua e compasso): 1- Considere um segmento AB de medida “a”. Trace um quadrado ABCD cujo
lado meça “a”.
2- Divida o quadrado pelo segmento MN construindo com centro em N e raio CN um arco DE, repita o procedimento e faça outro arco com centro em M e raio MB.
3 Prolongue o lado AB e o lado CD do quadrado até que esses interceptem os
arcos nos pontos E e F.
4 Levante uma perpendicular EF tal que EF seja perpendicular à AE. 5 Agora meçam os segmentos AE e EF e calculem as razões entre as medidas
AE/EF PROCEDIMENTO (Usando o GeoGebra): Materiais e recursos necessários: Laboratório de Informática, software GeoGebra.
1- Abra um arquivo novo.
28
2- Para esta atividade, inicialmente, não utilizaremos a Janela de Álgebra e o
Eixo.
3- Selecione a opção polígono e clique em dois pontos no plano. Na janela
que se abrirá digite 4, que é o número de lados do quadrado inicial, que dará
origem ao retângulo áureo.
4- Divida o quadrado ao meio utilizando a ferramenta Mediatriz , clicando
no segmento e nas duas extremidades.
5- Nomeie, ativando a ferramenta os pontos médios como pontos N e M.
6- Ativando o compasso, ferramenta círculo definidido pelo centro e um de seus
pontos , com centro em N e raio NC, construa a primeira circunferência.
Repetindo o mesmo procedimento, construa a segunda circunferência com
centro em M e raio MB.
7- Utilizando a ferramenta reta definida por dois pontos , clique em A e em
B e repita depois em C e em D prolongando os lados do quadrado.
8- Ativando a ferramenta clicando na reta e na circunferência marque os
pontos de intersecção E e F.
9- Usando a reta perpendicular e clicando na base do quadrado e no
ponto E, levante a perpendicular que fechará o retângulo áureo AEFC.
10-Agora meçam os segmentos AE e EF. Usando o campo entrada e exibindo a
janela de álgebra calculem as razões entre as medidas AE/EF. O que vocês
observaram? As dimensões dos retângulos de seus colegas foram variadas,
através desse procedimento todos conseguiram construir retângulos áureos?
Como se pode ter certeza? Será que existe um cálculo algébrico que
justifique esse procedimento geométrico?
11- Agora que você já conhece o software, já é capaz de sugerir alternativas de
construção usando outras ferramentas e recursos do software?
29
Atividade 08
CONSTRUINDO A ESPIRAL LOGARÍTMICA A PARTIR DO RETÂNGULO ÁUREO Trecho do DVD ESPIRAIS 35 ANOS DO FANTÁSTICO Materiais necessários: régua e compasso, trecho da propaganda do Fantástico salvo em formato .avi. . Metodologia sugerida: Pode-se relacionar essa atividade ao trecho do vídeo
sugerido procurando sensibilizar e despertar nos alunos o interesse pela
investigação e pelas construções. Promover uma reflexão posterior sobre as
características das espirais e a predileção da natureza por essa curva tão especial.
Como sustenta Mario Livio, “A natureza ama espirais logarítmicas”(2007, p.138),
referindo-se ao fato de que podemos encontrá-las na forma das galáxias, girassóis,
conchas do mar, caracóis, redemoinhos e até furacões. A espiral logarítmica possui
a propriedade de não alterar sua forma à medida que seu tamanho aumenta. É
exatamente isso que acontece com o molusco que cresce dentro da concha do
náutilo, construindo câmaras cada vez maiores, vai fechando as menores, que não
mais utiliza. Para permanecer com sua forma inalterada, cada aumento em seu
comprimento é acompanhado de um crescimento proporcional em seu raio, o
mesmo se aplica ao crescimento dos chifres dos carneiros, e às presas dos
elefantes.
O retângulo áureo tem a interessante propriedade de que se o dividirmos em
um quadrado e em um outro retângulo, o novo retângulo será semelhante ao
original, ou seja, também será áureo. Repetindo infinitamente tal procedimento
temos uma seqüência infinita de retângulos áureos. Observe na figura a seguir:
Unindo os vértices dos quadrados onde estes cortam os retângulos na razão
áurea obtém-se uma espiral denominada de “espiral áurea” ou “espiral logarítmica”.
PROCEDIMENTO (usando régua e compasso):
30
1-Usando retângulo áureo construído anteriormente AEFC coloque a ponta
seca do compasso em E e o abra com o raio EF .
2-Marque um ponto G em AE;
3-Agora coloque a ponta do compasso em G e, com abertura(raio)
GE=GH, trace um arco EH;
4-Repita o processo no retângulo AGHC, centrando em C e raio CH, você
deve marcar I em AC.
5-Com centro em J e raio IJ = JH;
6-Repetindo esses processo infinitamente estaremos obtendo a espiral
logarítmica.3
PROCEDIMENTO (Usando o GeoGebra):
Materiais e recursos necessários: Laboratório de Informática, software GeoGebra.
1- Abra um arquivo novo.
2- Para esta atividade, inicialmente, não utilizaremos a Janela de Álgebra e o
Eixo.
3- Agora que vocês já conhecem os recursos e possibilidades do Geogebra que
tal construir a espiral logarítmica sozinhos. Lembrem-se que vocês podem
rever todas as etapas da construção através do protocolo de construção e
conferir nele se alguma etapa do processo pode ser otimizada, isto é,
realizada com um número menor de passos para sua construção.
Atividade 09
CONSTRUÇÃO DO PENTAGRAMA Metodologia sugerida: Pode-se partir da observação da Natureza, afinal flores
ornamentais bem como as da macieira e de outras árvores e arbustos de frutos
comestíveis têm seus frutos crescendo de acordo com o padrão do pentágono ou
pentagrama. Se cortarmos mamões, maçãs, peras no sentido longitudinal, a estrela
aparece na estrutura de suas sementes, vinda do padrão original da flor. (DOCZI,
1990).
Materiais necessários: régua, compasso e transferidor.
PROCEDIMENTO:
3 Atividade sob inspiração no Trabalho de Priscila Gleden, orientada por Patrícia Sândalo Pereira, em 2006.
31
1- Com um raio qualquer, construa um círculo. Com auxílio do transferidor,
divida o ângulo central de 360º em 5 partes 72º cada uma.
2- Marque sobre a circunferência os pontos ABCDE, unindo-os para formar um
pentágono regular.
3- Em seguida trace suas diagonais e se obterá o pentagrama.
4- Meça a diagonal maior DA e meça também o lado do pentágono AB.
5- Encontre a razão entre esses comprimentos. Que razão é essa?
Construção com tira de papel e canudo de refrigerante. Materiais necessários: tira de papel sulfite com aproximadamente 2 cm de largura e um canudo de refrigerante. PROCEDIMENTO:4
1- Dobrem a tira de papel e o canudo de refrigerante formando com eles um nó
plano.
2- Em seguida olhem o nó formado contra a luz. O que vocês observaram? O
que acham desse tipo de construção?
3- Elabore um plano de construção do pentagrama utilizando o software
GeoGebra, escrevendo-o apenas, sem efetivamente realizá-lo.
4- Posteriormente, seguindo as etapas propostas em seu plano efetive a
construção pretendida. Quais foram as alterações? Você saberia justificar a
utilização de cada procedimento?
Atividade 10
TRIÂNGULOS EM UM PENTAGRAMA. 5 Partindo do pentagrama construído na atividade anterior, vamos procurar alguns mistérios envolvidos.
1- Procurem encontrar as medidas de todos os ângulos formados na figura,
evitando o uso do transferidor. Confiram suas respostas com a de seus
colegas.
2- Dentre os triângulos do pentagrama, quantos não são isósceles?
3- Se chamássemos os triângulos de acordo com as medidas de seus ângulos,
alguns triângulos do pentagrama poderiam ser chamados de 36º- 72º - 72º.
4 Atividade produzida sob inspiração na Dissertação de Mestrado de Maira Mendias Lauro, orientada
por Maria Cristina Bonomi Barufi, em 2007
32
Que tal encontrar as outras combinações possíveis? Quantos triângulos
diferentes são possíveis para cada tipo? Listem triângulos de tamanhos
diferentes que você encontrar para cada formato.
4- Escrevam os conjuntos de triângulos congruentes que vocês conseguem
achar na figura.
5- Verifiquem a razão entre os lados de dois triângulos semelhantes. Você
reconhece esse valor?
Atividade 11
INVESTIGANDO A RELAÇÃO ENTRE O NÚMERO ÁUREO E A SEQÜÊNCIA DE FIBONACCI
O PROBLEMA DOS COELHOS
“Um sitiante possui um casal de coelhos de uma certa espécie, em um espaço
murado por todos os lados. Se nenhum coelho morrer, ele quer saber quantos
casais de coelhos existirão ao final de um ano, uma vez que a natureza desses
coelhos é tal que cada casal de coelhos adultos gera um casal de filhotes por mês e
que cada coelho atinge a maturidade após um mês.”
Com a classe dividida em grupos, os alunos devem preencher uma tabela como a
indicada abaixo.
mês 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Casais de coelhos
Após o preenchimento da tabela podemos contar um pouco da história desse
problema que foi proposto por Fibonacci, e que deu origem à seqüência
1,1,2,3,5,5,13,21,34,55,89,144,233,... conhecida como seqüência de Fibonacci,
onde todo termo a partir do segundo é a soma dos dois termos anteriores.
Em seguida peça que cada grupo calcule o quociente entre dois números
sucessivos da seqüência de Fibonacci. Os alunos devem perceber que os
quocientes se aproximam de um valor particular, que era conhecido pelos gregos
como razão áurea ou proporção divina, que tem valor aproximado 0,618. Mostre aos
alunos que podemos encontrar esses números em diversos lugares na natureza, ou
peça-lhes que façam uma pesquisa sobre o tema.
33
Atividade 12 CONHECENDO UM OUTRO NÚMERO MUITO INTERESSANTE Mostrar a figura da espiral de triângulos formada pelos números padovanos e
estimular que os alunos a comparem com a espiral logarítmica e procurem
estabelecer outras relações interessantes. Construir caixas tridimensionais com
faces retangulares e procurar obter deles as razões dessa forma de construção.
Iniciar com um cubóide de lado 1, com outro adjacente a ele. Continuar o processo,
sempre acrescentando cubóides na seqüência a leste, sul para baixo, a oeste, ao
norte, para cima. Em cada estágio o novo cubóide formado terá no todo, como seus
lados, três números padovanos consecutivos. (STEWART, 2005, p.85)
Atividade 13 REFERENTE AOS NÚMEROS IRRACIONAIS6:
1- Construa com lápis, papel e régua dois quadrados iguais de 1cm2 de área
(Antes da construção é necessário encaminhar o estabelecimento de uma
importante relação entre área e lado; se a área é 1cm2, qual é a medida do
lado? A sugestão é fazer uma analogia com outros quadrados ( “_ Veja, se a
área é 36cm2, o lado é_____... Portanto, nesses quadrados, que devem ter
área de 1cm2, o lado vai medir?____.” )
2- Partindo desses dois quadrados iguais, corte-os por suas diagonais e monte
um novo quadrado, como o do desenho a seguir:
A=1cm2 A=1cm2 1c Se a medida da superfície (área) do quadrado original era de 1cm2, qual é a medida
da área do novo quadrado montado com os triângulos dos quadrados anteriores.
Então, se a superfície é _______cm2, qual é a medida do lado do novo quadrado
montado?
3- Usando a régua meçam agora a medida da diagonal do novo quadrado e a
medida do seu lado. Considerando que usamos instrumentos imprecisos de
medida, que valores vocês obtiveram?______. .Através do cálculo e da lógica
6 Atividade sob inspiração do livro projeto Araribá, Editora Moderna, 2006.
1 cm
34
sabemos que a medida é____ cm. Usando a calculadora vamos agora
investigar qual o valor exato desse número. O que ocorreu?
Atividade 14 ESPIRAL CONSTRUÍDA COM A SEQÜÊNCIA DOS NÚMEROS IRRACIONAIS. PROCEDIMENTO (Usando o GeoGebra): Materiais e recursos necessários: Laboratório de Informática, software GeoGebra.
1- Abra um arquivo novo.
2- Para esta atividade, inicialmente, não utilizaremos a Janela de Álgebra e o
Eixo.
3- Construir o primeiro triângulo retângulo isósceles de lado 1cm, utilizando a
ferramenta que constrói o segmento com dado comprimento a partir de um
ponto.
4- Fechar o triângulo utilizando a ferramenta segmento definido por dois pontos
.
5- A partir do vértice C prosseguir a construção ativando a ferramenta ângulo
e usando também a medida, garantindo que o ângulo seja reto.
6- Prossiga repetindo os passos anteriores.
7- Utilize a ferramenta que permite medir o comprimento dos segmentos e meça
as hipotenusas dos triângulos da espiral. De posse dessas medidas o que
você constata? De que outra forma esses comprimentos poderiam ser
expressos?
35
Avaliação
A avaliação dos alunos se desenvolverá no decorrer das atividades. Serão levados em
consideração o comprometimento na realização das atividades e a criatividade na elaboração
de situações para a sala de aula. Logo após o encerramento de cada aula se fará o relato das
atividades desenvolvidas, das situações inesperadas, de como as situações esperadas, de fato
ocorreram, dos pontos positivos e negativos. Ao final do período de trabalho, será distribuída
uma ficha para identificar os conhecimentos construídos e coletar impressões sobre o projeto
de intervenção pedagógica, a atuação dos professores e a avaliação dos materiais e seqüências
didáticas. De modo similar ao que ocorreu no início do projeto, quando da decisão da turma
com quem seria realizado o projeto, se fará uma reunião de avaliação com a direção, a equipe
pedagógica e os professores de matemática visando analisar e socializar os dados obtidos.
Os resultados obtidos no decorrer da implementação desse projeto servirão de subsídio
para redação, na conclusão dos trabalhos do programa PDE de um artigo. O artigo científico é
uma produção de autoria dos Professores PDE, cujo objetivo é a socialização em revistas,
periódicos e outras publicações dos resultados dos estudos realizados e das contribuições que
a comunidade científica pode ter das considerações finais da execução dos projetos.
REFERÊNCIAS
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2007.
DOCZI, G. O poder dos limites: harmonia e proporções na natureza, arte e arquitetura.
Tradução: Maria Helena de Oliveira Tricca e Júlia Bárány Bartolomei. São Paulo:Mercuryo,
1990.
DONALD no país da Matemágica. Produção de Milt Banta, Bill Berg, Dr.Heinz Haber.
Distribuição de Buena Vista Home Video. Califórnia: Walt Disney Co., 1959. 1 fita de
vídeo(30 min.) son., color.
GARCIA, G.M. Las matemáticas Del arte y el arte de las matemáticas. Disponível em <
http://mindwords.wordpress.com/ > Acesso em: 01 de agosto de 2008.
GLEDEN, P. A Proporção áurea presente na Natureza, em Figuras Geométricas e em
Monumentos. Foz do Iguaçu: (versão digital de trabalho acadêmico), 2006.
GUNDLACH, B.H. História dos números e numerais. Trad.Hygino H. Domingues. São
Paulo: Atual, 1992. (Tópicos de história da Matemática para uso em sala de aula; v.1).
36
HOHENWARTER, Markus - GeoGebra Quickstart: Guia rápido de referência sobre o
GeoGebra, disponível em:
<http://www.mtm.ufsc.br/~jonatan/PET/geogegraquickstart_pt.pdf>. Acesso em: 20/06/2008. LAURO, M. M. Percepção – Construção – Representação – Concepção: Os quatro
processos do ensino da geometria: uma proposta de articulação. São Paulo, 2007. 396 p.
Dissertação de Mestrado. Faculdade de Educação da Universidade de São Paulo.
LIVIO, Mario. Razão áurea: a história de Fi, um número surpreendente. Trad. Marco
Shinobu Matsumura. 2ed. Rio de Janeiro: Record, 2007
PROJETO ARARIBÁ: matemática. Editora responsável Juliane Matsubara Barroso. 1
ed.São Paulo: Moderna, 2006.
STEWART, I. Os números da Natureza: a realidade irreal da imaginação
matemática.Tradução de Alexandre Tort. Rio de Janeiro: Rocco, 1996.
_____________. Mania de matemática: diversão e jogos de lógica matemática. Tradução,
Maria Luiza X. de A. Borges. Rio de Janeiro: Jorge Zahar Ed., 2005.
VITTI,C.Mª. Matemática com prazer: a partir da História e da Geometria. 2ed. Piracicaba:
UNIMEP, 1999.
