Pr-Reitoria de Ps-Graduao e Pesquisa (PROPEP) Programa de Ps-Graduao em Ensino das Cincias Mestrado Profissional em Ensino das Cincias na Educao Bsica ENSINO DA FUNO AFIMApostila Autores Carlos Jos Borges Delgado Clicia Valladares Peixoto Friedmann Jacqueline de Cassia Pinheiro Lima Outubro de 2010 2SUMRIO INTRODUO ........................................................................................................................................ 3A AULAS DE REVISO ...................................................................................................................... 5A1 AULA DE REVISO 1 .......................................................................................................................... 5A2 AULA DE REVISO 2 .......................................................................................................................... 7A3 AULA DE REVISO 3 .......................................................................................................................... 8B FUNES ...................................................................................................................................... 12B1 EQUAO DO 1 GRAU ..................................................................................................................... 12B2 EQUAO DO 2 GRAU ..................................................................................................................... 13B3 TEORIA DOS CONJUNTOS ................................................................................................................ 14B3.1 DEFINIO ................................................................................................................................... 14B3.2 CONVENES .............................................................................................................................. 14B3.3 OPERAES COM CONJUNTOS ..................................................................................................... 16B3.4 INTERVALOS REAIS ...................................................................................................................... 17B4 FUNO MATEMTICA ..................................................................................................................... 19B4.1 FORMAS DE REPRESENTAO DE UMA FUNO AFIM .................................................................... 22C FUNO AFIM ............................................................................................................................... 24C1 FUNO AFIM PARTE 1 ................................................................................................................ 24C2 FUNO AFIM PARTE 2 ................................................................................................................ 29C3 FUNO AFIM PARTE 3 ................................................................................................................ 35D APNDICES ................................................................................................................................... 41D1 RESPOSTAS 1 AULA DE REVISO .................................................................................................... 41D2 RESPOSTAS 2 AULA DE REVISO .................................................................................................... 43 3INTRODUO O ensino e aprendizagem da matemtica no uma tarefa simples, tanto para quemensinaquantoparaquemaprende.Desdeosprimeirosanosdoensino fundamental,estendendo-seportodociclobsicoetambmpeloensinosuperior,a matemticacostumaserresponsvelpormuitosobstculosedesafiosaserem transpostospelosalunos.Acausa?Difcilresponder,poisnoapenasumae, possivelmente, no ser encontrado um consenso de todas as causas que contribuem para que isto ocorra. Mas qualquer esforo a fim de descobrir possveis causas de a matemticaserumobstculoparaosalunoseiniciativasparaminimizaras dificuldades no ensino de matemtica so, portanto, bem vindos.O tema Funes Matemticas, por sua complexidade e abrangncia, apresenta dificuldades especificas no ensino e na aprendizagem, sendo que uma delas se refere sdiferentesrepresentaes(lnguanatural,formaalgbrica,formatabulareforma grfica)desseobjetomatemtico,poismuitosalunosoconfundemcomassuas representaes. Ao mesmo tempo importante que o estudante trafegue entre elas paracompreenderoconceitoeaspropriedadesdasfunes,assimcomoassuas aplicaes. Esteprodutoapresentaasvriasrepresentaesdafunoafim(lngua natural, forma algbrica, forma tabular e forma grfica) utilizando para tal os estudos dosregistrosderepresentaosemiticaparaaaprendizagemmatemtica,de RaymondDuval1,quepropeumaabordagemcognitivaparacompreender:a)as dificuldadesdosalunosnacompreensodaMatemtica;b)anaturezadessas dificuldades. Inicialmentesoapresentadosatividadeseexercciosderevisosobre equaesde1e2graus,resoluodesistemadeequaeseTeoriados Conjuntos.OtemaFunoAfimfoisubdivididoemquatroapostilas.Todasasapostilas apresentam,almdocontedotericomnimonecessrioparaotemaenvolvido, exercciosresolvidosecomentados.Aprimeiraapostilaenvolveuaparteterica 1Filsofoepsiclogodeformao,autordetrabalhosenvolvendoapsicologiacognitivaeopapeldosregistrosde representaosemiticaparaaapreensodoconhecimentomatemtico.SuaprincipalobraSmiosisetpensehumaine (1995). 4bsicasobrefunes:conceitodefuno,domnio,imagem,unicidade,variveis, classificao e formas de representao. As trs apostilas restantes so especficas sobreFunoAfim,eenvolvemsempreapresenadeexerccioscontextualizados ouinterdisciplinares.Nasegundaapostilaforamtrabalhadasasduasprimeiras representaesdafunoafim:lnguanaturaleaformaalgbrica.Naterceira,se introduziu a forma tabular e, na quarta a representao grfica. Emtodasasapostilasforamtrabalhadasasconverses(articulaes)entre os vrios registros presentes, bem como os tratamentos necessrios nas resolues dos exerccios resolvidos.

5A AULAS DE REVISO A1 Aula de Reviso 1 1 Aula de Reviso PARTE 1 NoEnsinoFundamentalsoestudadasequaesdo1graueequaesdo 2grau.Descubraqual(is)dasexpressesabaixosoequaesdo1grauou equaes do 2 grau, quando escritas na forma geral. 1 )x x + = + 4 1 42 ) xxx=6 3 )0 4 ) 1 ( 32= + x x4 )35=+xx 5 )0 8 2 ( + x6)8 5 ) ( + = x x f7)9 32 + x x 8 )) 4 ( 2 10 x =9)4 4 2 ) (2+ = x x x f10 ) 26 8 x x = +11 )x x + , 6 32 12 )0 ) 3 ( 2 ) 3 2 ( = + + x x x13 ) 10 5 + x 14 )6123 2+= x x x Respostas: a)So Equaes do 1 grau as equaes de nmeros: ............................................. b)So Equaes do 2 grau as equaes de nmeros: ............................................. (respostas no final da apostila) 61 Aula de Reviso PARTE 2 1 questo: Uma equao do 1 grau de varivel (incgnita) x tem como forma geral aexpressoax+b=0,coma ebe.Determineosvaloresdeaebparacada uma das equaes abaixo: a)x x + = + 4 1 4 a =.................eb = .................. b)35=+xxa =.................eb = .................. c)) 4 ( 2 10 x = a =.................eb = .................. d)4 3 = x a =.................eb = .................. e)4 2 ) 1 ( 5 = x x a =.................eb = .................. 2 questo: Uma equao do 2 grau de varivel (incgnita) x tem como forma geral a expresso ax2 + bx + c = 0, com a, b e c e . Determine os valores de a, b e c para cada uma das equaes abaixo: a) xxx=6a =..............b = .............. c = ............. b) 26 8 x x = + a =..............b = .............. c = ............. c)0 ) 3 ( 2 ) 3 2 ( = + + x x x a =..............b = .............. c = ............. d)2232= + xa =..............b = .............. c = ............. e)x x x x + = + 5 7 ) 2 ( 4 a =..............b = .............. c = ............. Utilize este espao e o verso da folha para clculos, se necessrio (respostas no final da apostila) 7A2 Aula de Reviso 2 2 Aula de Reviso Tenteencontrarumaequaoquepermitachegarsoluo,emcadauma das questes abaixo. A seguir desenvolva-a at descobrir o resultado final. 1 questo: O triplo da idade de Andr mais 18 igual a 81 anos. Qual a idade de Andr ? 2questo:Asequiaconsideradaaespciedervoremaisaltadomundo.Se multiplicarmospor2aalturaqueumasequiapodeatingireadicionarmos96 metros, obtemos 330 metros. Qual a altura que essa rvore pode atingir ? 3 questo: A soma de dois nmeros consecutivos 37. Quais so esses nmeros? 4questo:Umciclistadesistiudacompetioaocompletar 41dopercursototal. Seeletivessecorridomais2quilmetros,teriacumprido 31dopercursototal. Quantos quilmetros tem o percurso total ? 5questo:NacasadeGeraldotemumjardimdeformatoretangularcom38 metrosdepermetro.Ocomprimentodojardim5metrosmaiorquesualargura. Quais so as dimenses do jardim da casa de Geraldo ? 6questo:AdiferenaatualentreaidadedeCarlosedaBrunade15anos. Daquia5anosaidadedeBrunaserametadedaidadedeCarlos.Quaissoas idades atuais de Carlos e Bruna ? Utilize este espao e o verso da folha para os clculos necessrios (respostas no final da apostila) 8A3 Aula de Reviso 3 3 Aula de Reviso SISTEMAS DE EQUAES DO 1 GRAU COM DUAS INCGNITAS Carolina pergunta a Ana como ela pode escrever na forma de equao o que est pensando: A soma de dois nmeros 7. Quais so esses possveis nmeros? Ana respondeu Carolina: So 2 nmeros, ento primeiro deves representar um nmero por x e, o outro por y. Assim podes escrever a equao que pensou da seguinte forma: x + y = 7. Esta equao tem duas incgnitas, x e y. Chamamos ento de uma equao do 1 grau com duas incgnitas. Entretanto,podemostersituaesqueenvolvemduasequaescomduas incgnitas,emcadauma.Nestecasotemosumsistemadeequaesnaqualos valores de x e y devem satisfazer ao mesmo tempo as duas equaes. Exemplo 1: Dois nmeros tm soma 111 e diferena 33. Quais so esses nmeros ? Sedenominarmosumdosnmerosdexeooutroporyentopodemos construir um sistema de equaes para esta situao. = = +) ( 33) ( 111II y xI y x Temos 2 mtodos principais para chegarmos soluo, vamos v-los. a) Mtodo da Adio QuandoadicionamosmembroamembroasequaesIeII.Eleomais adequado quando o coeficiente de uma das incgnitas da 1 equao (I) o oposto do coeficiente da mesma incgnita da 2 equao (II). Somando as duas equaes eliminamos uma incgnita. Assim somando as equaes I e II temos: 9722144144 0 2_ __________) ( 33) ( 111= = = += = +x y xII y xI y x Com o valor de x=72, basta substitu-lo em qualquerumadasequaesIouIIpara encontrar o valor de y. Substituindo em I: 39 72 111 111 72 111 = = = + = + y y y xAssim chegamos soluo, ou seja, aos nmeros procurados: 39 e 72. Nemsempreosistemadeequaesseapresentaprontoparaaplicarmoso mtododaadiodiretamente.Nestecasodevemosprepar-loparaqueumadas incgnitas tenha o seu simtrico. Vamos a um exemplo. Exemplo 2: A soma entre a idade de Carlos e o dobro da idade de Lcia 125 anos. QualaidadedeCarlosedeLcia,sabendoqueLciatemodobrodaidadede Carlos ? ChamandoaidadedeCarlosdexe,adaLciadey, temos:== +) ( 2) ( 125 2II x yI y x Rearrumando a equao (II), ficamos com: = + = +) ( 0 2) ( 125 2II y xI y x Observamosqueoscoeficientesdasincgnitasnososimtricos.Neste caso,multiplicamosumadasequaesporumnmerointeiroadequado,paraque tenhamoscoeficientessimtricos.Analisandonossosistema,observamosqueos coeficientes de x j possuem sinais contrrios, assim basta multiplicar a equao (I) por 2. = + = +) ( 0 22 ) ( 125 2II y xI y x

= + = +) ( 0 2) ( 250 4 2II y xI y x Podemos agora usar o mtodo da adio no novo sistema de equaes:505250250 5 0_____ __________) ( 0 2) ( 250 4 2= = = += + = +y y xII y xI y x ComoovalordeyaidadedeLcia entoconclumosqueelatem50anos. Substituindo y=50 na equao (I) temos: 252502 50 2 = = = = x x x yResposta: Carlos tem 25 anos e Lcia 50 anos 10Exemplo 3: Encontre a soluo do sistema = += +) ( 160 4 2) ( 90 3II y xI y x Para rearrumar o sistema, podemos multiplicar a equao I por 4, assim: = + = +) ( 160 4 2) 4 ( ) ( 90 3II y xI y x 2010200200 0 10_________ __________) ( 160 4 2) ( 360 4 12== = + = + = x y xII y xI y x Substituindo x = 20 na equao I, temos: 30 60 90 90 60 90 3 = = = + = + y y y x Resposta: x = 20 e y = 30. b) Mtodo da Substituio Nestemtodo,primeiroescolhemosumadasequaeseisolamosumadas incgnitas.Depoissubstitumos,naoutraequao,ovalordaincgnitaisoladae assimencontramosovalordaincgnitaqueestamoscalculando.Substituindoseu valoremumadasduasequaesiniciais,determinamosovalordaincgnitaque isolamosinicialmente.Aplicandoestemtodonosexemplosacima,teremosque encontrar as mesmas solues encontradas pelo mtodo da adio. Exemplo 1: Dois nmeros tm soma 111 e diferena 33. Quais so esses nmeros ? = = +) ( 33) ( 111II y xI y x

Isolando o valor de x na equao (I), temos: x = 111 y. Substituindo o valor de x na equao II:x y = 33;111 y y = 33;111 2y = 33; 2y = 33 111;2y = 78; 39278== ySubstituindo y=39 na equao (I):72 39 111 111 39 111 = = = + = + x x y x Resposta: Os nmeros procurados so 39 e 72. 11Exemplo 2: A soma entre a idade de Carlos e o dobro da idade de Lcia 125 anos. QualaidadedeCarlosedeLcia,sabendoqueLciatemodobrodaidadede Carlos ? Chamando a idade de Carlos de x e, Lcia de y, temos:== +) ( 2) ( 125 2II x yI y x Observequenestecaso,aequao(II)jestcomovalordeumadas incgnitas isolado (y = 2x), basta ento substitu-lo na equao (I). x + 2y = 125; x + 2(2x) = 125; x + 4x = 125; 5x = 125; 255125= = xSubstituindo x=25 na equao (I): x + 2y = 125; 25 + 2y = 125; 2y = 125 25502100100 2 = = = x x Resposta: Carlos tem 25 anos e Lcia 50 anos. Exemplo 3: Encontre a soluo do sistema = += +) ( 160 4 2) ( 90 3II y xI y x Na equao (I), o coeficiente da incgnita y 1, ento ser mais fcil isol-lo. Ficamos com: 3x + y = 90; y = 90 3x Substituindo na equao (II), encontramos o valor de x. 2x+4y = 160;2x+4(90 3x) = 160;2x+36012x = 160; 2x12x = 160360; 10x = 200; 2010200== xSubstituindo x=20 na equao (I), temos: 30 60 90 90 60 90 3 = = = + = + y y y xResposta: x = 20 e y = 30. 12B FUNES FUNES Antes de comear a falar de funo em matemtica, apresentarei um resumo de equaes de 1 grau e de 2 grau, assuntos j vistos no ensino fundamental. B1 Equao do 1 grau Uma equao do 1 grau toda equao de incgnita x que tem como forma geral a expresso ax+b=0, com a 0 e, a e b e .Comotodaequaodo1grau,existirumnicovalorparaxquetornara expresso ax + b igual a zero.No existir nenhum outro valor diferente deste que tornar a igualdadeax + b = 0 verdadeira. Exemplo Seja a equao 2x 10 = 0. Vamos determinar o valor de x para que a igualdadesejaverdadeira(soluodaequao)esuarepresentaonareta numrica. Na equao 2x 10 = 0temos a = 2 e b = 10.0 10 2 = xsomando 10 a ambos os lados da igualdade 10 0 10 10 2 + = + x10 2= x dividindo por 2 ambos os lados 21022=x achamos a soluo da equao 5 = x Ao substituir x=5 na equao inicial, verificamos a igualdade 0=0 Prova real: 2x 10 = 0 2 . 5 10 = 010 10 = 0 0=0 O que comprova que x = 5 a soluo da equao 2x 10 = 0 Representao da Soluo da Equao do 1 Grau na Reta Numrica Real Apenasoponto5naretanumricarepresentaasoluodaequaodo1 grau 2x10=0 13B2 Equao do 2 grau Uma equao do 2 grau toda equao de incgnita x que tem como forma geral a expresso ax2 + bx + c = 0, com a 0 e, a, b e c e . Asoluodeumaequaodo2graudependerdovalorde=b2-4ac. Existemtrscasosconsiderados.Chamandox1ex2assoluesdaequao, temos:Se >0 ento h duas solues reais e distintas (x1 x2); Se =0 ento h uma nica soluo real (x1 = x2); Se 4 } 19B4 Funo Matemtica Oconceitodefunoumdosmaisimportantesemmatemtica,est associado anlise da variao entre grandezas. Ao longo da histria, o conceito de funosofreualteraes,somentenoinciodosculoXX,passouaserassociado comorelaesunvocas3entreconjuntos.Adotaremosadefinioapresentadano livro A Matemtica do Ensino Mdio Vol. 1- prof Elon Lages Lima et al, 2005. DadososconjuntosX,Y,umafunof:XY(l-seuma funodeXemY)umaregra(ouconjuntodeinstrues) que diz como associar a cada elemento x e X um elemento y = f(x)eY.OconjuntoXchama-sedomnioeYocontra-domniodafunof.ParacadaxeX,oelementof(x)eY chama-seaimagemdexpelafunof,ouovalorassumido pela funo f no ponto x e X. Escreve-se xf(x) para indicar que f transforma (ou leva) x em f(x). Observaes: 1 Seja a funo f:XY, o conjunto X o domnio da funo; o conjunto Y o contra-domnio e, o conjunto de todos os elementos de Y que esto associados ao conjunto Xoconjuntoimagem.RepresentamosodomnioporD(f);ocontra-domniopor CD(f) e a imagem por Im(f). O conjunto imagem sempre um subconjunto do contra-domnio (Im(f)cCD(f)). 2Umafunonoprecisaserumarelaoentreconjuntosnumricos;relaes entreobjetospodemserassociadoscomfunes.Porexemploarelaoentreas chaves de um chaveiro (domnio) e respectivos cadeados e portas (imagem). Seja X o conjunto que representa as chaves do chaveiro. O conjunto Y (contra-domnio) o conjunto de todos os cadeados e portas.Paracadaelementox(chave)e X estar associado um nico elemento y (cadeado ou porta) em Y. 3 Unvoca: Um elemento do 1 s pode estar associado a um nico elemento no 2 conjunto. 20 XYD(f) = X = {0,1,2,3,4} CD(f) = Y = {0,1,4,5,7,9,11,13,16} Im(f) = {0,1,4,9,16} f: X Y xf(x) = x2 3Emumafuno,cadaumdoselementosxeXdodomniospodeestar associadoaumnicoelementoyeYdocontra-domnio.Entretanto,umelemento do contra-domnio pode estar associado a mais de um elemento do domnio. XYXY f: X Y f: X Y xf(x) = 7xf(x) = x2 4NopodehavernenhumelementoxdodomnioXquenoestejaassociadoa um elemento y do contra-domnio Y. XY f: X Y xf(x) = x + 1 Norepresentaumafunoporqueo elemento5dodomnioXnoest associadoaumelementodocontra-domnio Y. 5Nodevehaverambigidades:acadaelementoxeX,deve-sefazer corresponder um nico f(x) em Y. XY f: X Y Norepresentaumafunoporqueos elementos1e4dodomnioXesto associadosamaisdeumelementono contra-domnio Y. - 2 -1 0 1 2 4 5 7 8 9 11 -2 -1 0 1 2 3 1 0 4 9 0 1 2 3 4 05 17 411 9 13 16 0 1 4 9 -2 -1 0 1 2 3 0 1 2 3 4 5 1 2 7 3 8 4 9 5 216OexemploacimaserumafunoseoconjuntoYforconstitudodevalores maioresouiguaisazero.Comisso,cadaelementoxeXteriacorrespondnciaa um nico elemento y e Y, j que y > 0. 7 Uma funo composta por domnio, contra-domnio e a lei de correspondncia xf(x). Mesmo quando dito apenas a funo f, ficam subentendidos seu domnio X e seu contra-domnio Y. Sem que eles sejam especificados, no existe funo. 8OselementosxeX(domnio)sochamadosdevariveisindependentes, enquantoqueoselementosyeY(contra-domnio)sochamadosdevariveis dependentes. O conjunto imagem o conjunto formado pelos elementos y que esto associadosaumoumaiselementosx.Oconjuntoimagemumsubconjuntodo contra-domnio (Im c CD). 9UmafunopodeserclassificadacomoInjetiva,SobrejetivaouBijetiva.Uma funoinjetiva(ouinjetora)quandoelementosdiferentesdodomnioesto associadosaelementosdiferentesnocontra-domnio,ouseja:noexistenenhum elemento no contra-domnio que seja imagem de mais de um elemento do domnio.Umafunosobrejetiva(ousobrejetora)quandotodososelementosdocontra-domnioestoassociadosapelomenosumelementododomnio.Nestecaso CD(f)=Im(f). Uma funo bijetiva (ou bijetora) quando , ao mesmo tempo injetiva e sobrejetiva. 10Umafuno4,comD(f)ceCD(f)c,crescenteseparadoispontos quaisquer x1 e x2 do domnio, com x1x2, tivermos: x1 > x2 e f(x1) > f(x2) ou x1 < x2 e f(x1) < f(x2). Ser decrescente se x1 > x2 e f(x1) < f(x2) ou x1 < x2 e f(x1) > f(x2). 4Observequeestamosconsiderando,nestecaso,umafunoalgbrica,jquetantoodomnioquantoo contradomniopertencemaoconjuntodosnmerosreais.Noseesqueaqueumafunopodeexpressara relao entre dois objetos, no necessariamente numricos (observao 2). 22B4.1 Formas de Representao de uma Funo Afim Umafunoafimpodeserrepresentadadediversasmaneiras,embora estejamos falando do mesmo objeto matemtico funo e numa mesma situao. a) Lngua Natural aformaescritadeumasituaoqualquerquesecomportacomouma funo. Exemplo: Dona Maria vai ao mercado comprar carne, que est em oferta. Ela decidiu compraralcatraqueestaR$9,00oquilo.Determineummododesecalcularo valor a ser pago pela Dona Maria por uma quantidade qualquer de alcatra. b) Expresses algbricas aformadeescrevermosaleideformao(correspondncia)queassocia cadaelementoxeXacadaumdoselementosyeY,ousejaxf(x).Parao exemploacimadevemosencontrarumaexpressoquerepresenteasituao descrita.fcilperceberquebastamultiplicarmosopreodacarnepelopeso. Chegamos ento expresso f(x) = 9x. Observequef(x)representaovaloraserpago,quedependedaquantidade x de carne comprada, j que o preo por quilo constante (R$ 9,00). Assim x a varivel independente e f(x) a varivel dependente. Aexpressof(x)=9xumafunoquerepresentaasituaodescritano itema:lnguanatural.Estamosrepresentandode2formasdistintasumamesma situao real. c) Tabelas de valores tambmumaformadeapresentarmosumainformao.Escolhemosum valorparaumadasvariveis(xouf(x))edeterminamosovalordaoutravarivel atravs da lei de formao. 23xf(x) = 9xPodemoslercadaumadaslinhasdeduasmaneiras distintas, porm com o mesmo significado. Analisando a 1linhatemos:Secompramos1kgpagamosR$9,00 pelacarneou,sepagamosR$9,00pelacarnesignifica que estamos comprando 1 kg.

1 kgR$ 9,00 1,5 kgR$ 13,50 3 kgR$ 27,00 5 kgR$ 45,00 6,35 kgR$ 57,15 Tambm possvel, a partir de uma tabela de dados qualquer determinarmos a(s)lei(s)decorrespondnciaquerepresenta(m)aassociaodasvariveis.Esta situao muito comum em pesquisas estatsticas. d) Representao grfica. maisumaformadeapresentarmosumainformao.Diariamente observamosemjornaiserevistasgrficos,apartirdosquaispodemosdescobrir algumaspropriedadesdasfunesqueelesrepresentam.Observeos2grficos abaixo. AsfunesAfim(grau1)eQuadrtica(grau2)possuemcomportamento prprio e esto demonstrados abaixo. Funo Afim (crescente) Funo Afim (decrescente) Funo Quadrtica 24C FUNO AFIM5 C1 Funo Afim Parte 1 FUNO AFIM - Parte 1 Chama-sefunopolinomialdo1grau,oufunoafim,aqualquerfuno f: dada pela lei de formao f(x) = ax + b, com a 0 e, a e b e .Na funo f(x)=ax+b, o nmero a chamado de coeficiente de x e o nmero b chamado de termo constante. Observe que quando fazemos f(x)=0, a funo afim se transforma em ax+b=0, que uma equao de 1 grau. Nestaapostilatrabalharemoscomapenasduasrepresentaesdefuno: Lngua Natural (forma escrita) e a Forma algbrica (f(x)=ax+b) Exemplos de funo afim: - f(x)= 5x 3 em que a=5e b= 3 -f(x)= 4x + 2 em que a= 4 e b=2 - f(x)= 21x 7 em que a= 21 e b= 7 -f(x)= 3x + 32 em que a= 3 e b=32 Casos Particulares da funo afim6 1. Funo Identidade f: definida por f(x) = x. Neste caso a=1 e b=0. Exemplo: f(x) = x 2. Funo Linear f: definida por f(x) = ax. Neste caso a1 e b=0. Exemplos: f(x) = 41x;f(x) = 8x;f(x) = 4x;f(x) =3 x 5 O item C tem como referencial terico principal Lima, E. L. et al (2005) e Iezzi, G. et al (2005).6 No ser considerada a funo constante (f(x)=b) como um caso particular da funo afim. 25Exemplo1:Expressepormeiodeumaexpressomatemticaafunof: que a cada nmero real x associa: a)o seu triplo; b)a sua tera parte; c)o seu dobro diminudo de 3; d)a sua metade somada com 5. Respostas: A lei de formao de uma funo afim dada por f(x) = ax + b, ento: a) Triplo multiplicar por 3, logo: f(x) = 3x (o termo constante b zero) b) Tera parte dividir por 3, assim: f(x) = 31x(o termo constante b zero) c) Dobro multiplicar por 2. No esquecer em diminuir 3 na expresso: f(x) = 2x 3d) Metade dividir por 2. No esquecer em somar 5 na expresso: f(x) = 21x + 5 Exemplo 2: Um posto de gasolina cobra R$2,50 pelo litro da gasolina e R$1,90 pelo litro do lcool.a)Encontreovaloraserpagoporumclientequecoloca10litrose40litrosde combustvel, respectivamente. b) Encontre a lei de formao para cada um dos combustveis. Respostas: a)Vamoscalcularogastoparacadaumdoscombustveis.Notequeotermo constante b igual a zero. a.1) Gasolina OpreodagasolinaR$2,50/litro,entoosvaloresaserempagospor 10 e 40 litros sero, respectivamente: 10 x 2,50 = R$ 25,00 e 40 x 2,50 = R$ 100,00.a.2) Alcool O preo da alcool R$1,90 / litro, ento os valores a serem pagos por 10 e 40 litros sero, respectivamente: 10 x 1,90 = R$ 19,00 e 40 x 1,90 = R$ 76,00. 26b) A lei de formao Noitemanterior,possvelobservarqueopreopagodependeudopreo por litro e o nmero de litros colocados, assim, o preo representa o coeficiente a de x e o nmero de litros a varivel independente x. O preo final ser o valor calculado, ou seja: f(x). Assim:b.1) Gasolina: f(x) = 2,5 x b.2) lcool: f(x) = 1,9 x Exemplo3:Afrmulaquedonmerodosapato(N)emfunodocomprimento (c) do p, em centmetros, 428 5 +=cN . Calcule: a) o nmero do sapato quando o comprimento do p de 24 cm. b) o comprimento do p de quem cala 40. Respostas: ComoovalordeNdependedovalordec,entoNavariveldependente f(x) e o valor de c a varivel independente x. a) O valor dado foi c=24, substituindo na frmula:374148428 120428 24 5= =+=+ = Nb) Para N=40, temos:cm c c cc4 , 26513228 160 5 28 5 4 40428 540 = = =+ = += Exemplo4:Umafirmaqueconsertatelevisorescobradevisitaumataxafixade R$40,00maisR$10,00porhorademo-de-hora.Sabendo-sequeopreoaser pagopeloconsertodeumtelevisordadoemfunodonmerodehorasde trabalho,encontresualeideformao.Quantopagarumclienteporumconserto que durou 3 horas para ser realizado? Respostas:H a cobrana de uma taxa de visita (R$40,00), valor este que independe do tempo do conserto do televisor. Esta taxa o termo constante b.A varivel x ser o tempo do conserto,assim, o valor de a (coeficiente de x) ser igual a R$10,00 (valor cobrado por hora de mo-de-obra). 27A lei de formao ou funo f(x) ser o valor a ser pago por um conserto. Assim, a lei de formao ser dada pela expresso f(x) = 10x + 40 Um cliente gastar por 3 horas de conserto o valor de: f(x) = 10x + 40f(3) = 10 . 3 + 40f(3) = 30 + 40f(3) = 70Resp.: R$70,00 Exemplo57:(UFMG)OvalorV,emreais,dacontamensaldeenergiaeltrica calculado a partir do consumo C, em kWh. Para consumos inferiores ou iguais a 200 kWh, o valor do kWh de R$0,30. No entanto, para consumos superiores, o valor do kWh acrescido de 50% para a parcela que exceder a 200 kWh.a) Calcule o valor de V correspondente a um consumo de 180 kWh no ms. b) Calcule o valor de V correspondente a um consumo de 500 kWh no ms. Respostas: a) Consumo de 180 kWh no ms O consumo inferior a 200 kWh, ento o valor do kWh de R$0,30. O valor V a ser cobrado de energia eltrica ser dado pela funo f(x) = 0,3x, logo f(x) = 0,3xf(180) = 0,3 . 180f(180) = 54O valor V ser de R$54,00 b) Consumo de 500 kWh no ms O consumo superior a 200 kWh, teremos ento dois valores de kWh:R$0,30 para consumos at 200kWh e,R$0,45 (R$0,30 + 50% de R$0,30) para consumos que ultrapassam 200kWh.No item a vimos que a funo correspondente a consumos inferiores ou iguais a 200 kWh f(x)=0,3x. Como o consumo superior a 200kWh, ento este valor ser um valor fixo de f(200)= 0,3 . 200 = R$60,00 O valor a ser pago na conta pelo consumo que ultrapassou os 200 kWh ser deR$0,45okWh.Sechamarmosdexoconsumototal,entooqueultrapassou ser de x 200, logo a funo deste consumo excedente f(x) = 0,45(x 200) A funo, para consumo superior a 200kWh, dada por f(x)=0,45(x200)+60 f(x) = 0,45(x 200) + 60f(500) = 0,45(500 200) + 60f(500) = 0,45 . 300 + 60 f(500) = 135 + 60f(500) = 195O valor V ser de R$195,00 7 GIOVANNI, J.R.; Bonjorno J.R. Matemtica Completa. So Paulo: FTD, 2005, pg. 157. 28Observao: No exemplo 3, aparece o que chamamos de funo definida por mais de uma sentena, porque para intervalos diferentes do domnio, a funo se altera. Noexerccio3,ovalorasercobradodependedafaixadeconsumo.Importante salientarque,nestecaso,odomnio(consumodeenergia)sermaiorouiguala zero (x > 0) porque no existe consumo negativo. Podemos express-la da seguinte maneira: > + s=200 , 60 ) 200 ( 45 , 0200 , 3 , 0) (x se xx se xx f Exemplo6:Duasempresastelefnicas,XeY,prestamserviocidadede Mengolndia. A empresa X cobra, por ms, uma assinatura de R$35,00 mais R$0,50 por minuto utilizado. A empresa Y cobra, por ms, uma assinatura de R$26,00 mais R$0,65porminutoutilizado.Apartirdequantosminutosdeutilizaooplanoda empresa X passa a ser mais vantajoso para os clientes do que o plano da empresa Y ? Resposta:Primeirodevemosdeterminarafunocorrespondenteacadaempresa telefnica. Para no haver confuso, j que teremos uma funo para cada uma das empresas, chamaremos de: f(x) = ax + b a funo da Empresa X eg(x) = cx + d a funo da Empresa Y. AempresaXcobraumaassinaturadeR$35,00maisR$0,50porminuto utilizado,entotemosqueocoeficienteaigualaR$0,50,jqueavarivelx corresponde ao nmero de minutos utilizado. O termo independente b corresponde assinaturacobradadeR$35,00e,afunof(x)representarovalordaconta. Temos ento f(x) = 0,5x + 35 AempresaYcobraumaassinaturadeR$26,00maisR$0,65porminuto utilizado,entotemosqueocoeficientecigualaR$0,65,jqueavarivelx corresponde ao nmero de minutos utilizado. O termo independente d corresponde assinaturacobradadeR$26,00e,afunog(x)representarovalordaconta. Temos ento g(x) = 0,65x + 26 fcilperceberquandooconsumoforzeroqueaempresaYsermais vantajoso, j que cobra menor assinatura. Consumo zero significa x=0. Empresa X: f(0) = 0,5 . 0 + 35 = R$35,00 Empresa Y: g(0) = 0,65 . 0 + 26 = R$26,00 29Pergunta-se: at que consumo a empresa Y ser mais vantajosa ?Para responder a esta pergunta devemos determinar para qual consumo, em minutos, as empresas X e Y cobram o mesmo valor, ou seja X=Y. Para tal igualamos as funes das empresas X e Y, fazendo f(x) = g(x). 0,65x + 26 = 0,5x + 350,65x 0,5x = 35 260,15x = 9 (multiplicando por 100) 15x = 900 x = 60 minutos Temosduasinformaesimportantesagora:Paraconsumozero(x=0)a empresa Y cobra menor valor. Para um consumo de 60 min (x=60) as empresas X e Y cobram o mesmo valor (que no calculamos). Fica fcil perceber ento que, para consumos superiores a 60 min (x > 60) a empresa X cobrar um valor menor que a empresaY.Estasinformaesestonatabelaabaixo.Importantesalientar novamente que, neste caso, o domnio ser maior ou igual a zero (x > 0) porque no existe consumo negativo. Consumo inferior a 60min (0 x < 60) Consumo igual a 60min(x = 60) Consumo superior a 60min(x > 60) Empresa YEmpresa X = Empresa YEmpresa X Resposta: O plano da empresa X passa a ser mais vantajoso do que o plano da empresa Y quando o consumo for superior a 60 minutos. C2 Funo Afim Parte 2 FUNO AFIM - Parte 2 Na apostila Funo Afim Parte 1, trabalhamos 2 formas de representaes no estudo de funo afim: Lngua natural e Expresso algbrica.Introduziremos agora mais uma representao: Tabular (tabela de valores). A tabela de valores uma ferramenta auxiliar para a construo do grfico da funo. A partir dela tambm podemos determinar a lei de formao da funo. No seesqueaquepodemosrepresentarumamesmafunodevriasmaneiras(at agora: lngua natural, expresso algbrica e tabular) e fazer a converso (mudana de uma representao para outra) entre elas. 30A tabela de valores poder ter 2 ou 3 colunas. Na 1 coluna sero colocados os valores da varivel x; na 2 coluna sero os valores da funo f(x); na 3 coluna podero ou no ser colocados os pares ordenados (x,f(x)). Exemplos de representao tabular: a) f(x) = x 3b) O dobro de um nmero mais 4 xf(x) = x 3 (x, f(x))xf(x) = 2x + 4 (x, f(x)) 5f(5) = 5 3 = 8(5 , 8) 3 f(3) = 2.( 3) + 4 = 2( 3 , 2)0f(0) = 0 3 = 3(0 , 3)0f(0) = 2.0 + 4 = 4(0 , 4) 10f(10) = 10 3 = 7(10 , 7)15f(15) = 2.15 + 4 = 34(15 , 34) Exemplo18:ParalevarumacargadecaminhodentrodeumEstado,uma transportadora cobra R$10,00 fixos mais R$0,50 por quilo de carga. O preo do frete (f(x))funodamassaemquilogramas(x)dacarga.Construaumatabelade valores para o transporte de 10 kg, 20 kg, 50kg, 80kg e 100kg. Resposta: Paradeterminarovalordofreteparacadaumadasmassasacima,primeiro temos que achar a lei de formao deste caso. O coeficiente a igual a R$0,50, j queavarivelxcorrespondemassaasertransportada.Otermoindependenteb correspondeaR$10,00e,afunof(x)representarovalordofrete.Temosento f(x) = 0,5x + 10. Massa (kg) x Valor do frete (R$)f(x) = 0,5x + 10 (x, f(x)) 1015(10,15)f(10) = 10 . 0,5 + 10 = 5 + 10 = R$15,00 2020(20,20)f(20) = 20 . 0,5 + 10 = 10 + 10 = R$20,00 5035(50,35)f(50) = 50 . 0,5 + 10 = 25 + 10 = R$35,00 8050(80,50)f(80) = 80 . 0,5 + 10 = 40 + 10 = R$50,00 10060(100,60) f(100) = 100 . 0,5 + 10 = 50 + 10 =R$60,00 8 VASCONCELLOS, M.J.C. de; et al. Matemtica: Projeto Escola e Cidadania para Todos. So Paulo: Editora do Brasil, 2004, pg. 37. 31Exemplo2:EmumpostodegasolinaopreodagasolinadeR$2,60.Construa umatabelaparaalgumasquantidadesdegasolina.Depoisencontreaexpresso matemtica que relaciona o valor a ser pago em funo do tempo da quantidade de combustvel. Resposta: Quant. (litros) x Valor a Pagar (R$) f(x) = ? (x, f(x)) Observequeforamescolhidas quantidades de litros (x) que facilitaram os clculoseadescobertadaleide formao. No se esqueam que: O valor de x no poderia ser negativo porque no existequantidadenegativae,queovalor dexpoderiaserqualquervalordentrodo campo dos nmeros reais positivo (xe+). 12,60(1 ; 2.6) 25,20(2 ; 5.2) 37,80(3 ; 7.8) 410,40(4;10.4) 513,00(5 ; 13) Comosvaloresescolhidosficoufcilobservarqueovaloraserpagoser igual a quantidade de litros colocados multiplicado pelo preo por litro, logo a funo ser f(x)=2,6x Obs.:Nemsempreserfcilencontrarafunofcomonesteexemplo.Nestes casos teremos que montar um sistema de equaes. Vide exemplos abaixo. Exemplo 39: Complete a tabela abaixo com os valores que esto faltando. xf(x) (x, f(x)) 2 9 ( 2, 9) 1 4 ( 1, 4)01(0,1) 16(1,6) 2(2, ) 3(3, ) 4(4, ) 5(5, ) Resposta: Neste exemplo, no imediata a descoberta da lei de formao (funo) que est presente, nem fcil descobrir os valores que esto faltando. 9 DANTE, L.R. Matemtica, Volume nico. So Paulo: Editora tica, 2008, pg. 47. 32Uma funo afim se expressa na forma algbrica como: f(x)=ax+b, com a,b0. Na tabela acima temos valores de x e f(x), devemos ento descobrir os valores de a e b. Necessitamos construir um sistema de equaes com duas variveis.Podemosutilizarduaslinhasquaisquerdatabelaacima.Comotemosuma linhacomx=0,entoestaserumadasescolhidasparafacilitarosclculos.A segunda linha pode ser qualquer outra que esteja completa. Aplicando os valores da tabela em f(x)=ax + b temos: Na equao (I) temos que b=1 Substituindo b = 1 em (II) temos 6 = a + b 6 = a + 1 a = 5 Substituindo os valores de a = 5 e b = 1 emf(x) = ax + b encontramos f(x) = 5x + 1que a funo procurada.Podemos agora completar a tabelar, calculando os valores que faltam. xf(x)(x, f(x)) 2 9 ( 2, 9) 1 4 ( 1, 4)01(0,1) 1 6 (1,6)2 11 (2,11) f(2) = 5 . 2 + 1 = 11 316(3,16)f(3) = 5 . 3 + 1 = 16 4 21 (4,21) f(4) = 5 . 4 + 1 = 21 5 26 (5,26) f(5) = 5 . 5 + 1 = 26 Exemplo 4: Sabendo que a funo f(x) = ax + b tal que f(1) = 5 e f(2) = 4, determine o valor de f(6). Resposta: A partir da forma algbrica f(x)=ax+b, podemos verificar que se f(1) = 5 ento x=1ef(x)=5.Damesmaformasef(2)=4entox=2ef(x)=4.Para determinarf(6)devemosencontraraleideformao(funo).Construindouma tabela com esses valores, teremos: xf(x) 1 5 2 4 33Montando um sistema de equaes com esses valores: + = + =) ( 3 4) ( 1 5II b aI b a Fazendo (I) (II) temos 5 (4) = a + b (3a + b) 5 + 4 = a + 4a + b b 9 = 5a 59= a Substituindo o valor de a em (I) ou (II) encontramos b b + =595 b = 595 516= b Substituindo os valores de a e b em f(x) = ax + b encontramos 51659) ( + = x x fComo queremos f(6), basta substituir na funo:516659) 6 ( + = f 516554) 6 ( + = f 570) 6 ( = f f(6)=14 Exemplo 510: Bilogos descobriram que o nmero de sons emitidos por minuto por certaespciedegrilosestrelacionadocomatemperatura.Arelaoquase linear. A 20 C, os grilos emitem cerca de 124 sons por minuto. A 28 C, emitem 172 sons por minuto. Encontre a equao que relaciona a temperatura em Celsius C e o nmero de sons n. Resposta: Temperatura (C) x Nmero de Sons f(x) = ? (x, f(x)) Observequeonmerodesonsdepende datemperatura.Avarivelxrepresentaa tempera-turaenquantoqueafunof(x) representaonmerodesonsemitidos pelos grilos. Comonopossvelnmerodesons menores que zero, ento f(x) e +. 20124(20 ; 124) 28172(27 ; 172) Montando um sistema de equaes com esses valores: + =+ =) ( 28 172) ( 20 124II b aI b a 10 DANTE, L.R. Matemtica, Volume nico. So Paulo: Editora tica, 2008, pg. 111. 34Fazendo (II) (I) temos172124=28a+b(20a+b) 48 = 28a 20a + b b 48 = 8a 6848= = a Substituindo o valor de a em (I) ou (II) encontramos b b + = 6 20 124b = 120 124 4 = bSubstituindo os valores de a e b em f(x) = ax + b encontramosf(x) = 6x + 4 ou C = 6n + 4 Exemplo611:(Fuvest-SP)Atabelaabaixomostraatemperaturadasguasdo oceano Atlntico (ao nvel do equador) em funo da profundidade. Profundidade(m) Temperatura (C) Superfcie 2710021 500 71 000 43 0002,8 Admitindoqueavariaodatemperaturasejaaproximadamentelinearentre cadaduasmediesfeitasparaaprofundidade,atemperaturaprevistaparaa profundidade de 400m : a) 16 Cb) 14 Cc) 12,5 Cd) 10,5 Ce) 8 C Resposta: Primeira observao a respeito deste exemplo saber quais valores da tabela devemosutilizarparaaresoluodesteexemplo.Comoqueremosdeterminara temperatura para uma profundidade de 400 m, e este valor est entre 100m e 500m, ento montaremos um sistema com estes valores. Utilizando as linhas 2 e 3 da tabela acima, temos: + =+ =) ( 500 7) ( 100 21II b aI b a

11 IEZZI,G.;DOLCE,O.;DEGENSZAJND.;PRIGOR.;ALMEIDAN.de.Matemtica:CinciaeAplicaes.AtualEditora, 2005, pg. 93. 35Fazendo (II) (I) temos721 = 500a + b (100a + b) 14 = 500a 100a + b b 14 = 400a 40014 = a 2007 = aSubstituindo o valor de a em (I) ou (II) encontramos b b + =2007100 21 b +=2721 b + = 5 , 3 21 b = + 5 , 3 21 b = 24,5 Substituindoosvaloresdeaebemf(x)=ax+bencontramos 5 , 242007) ( += x x fqueafunoqueexprimeavariaodetemperaturapara profundidades entre 100 m e 500 m. Aplicando a funo para uma profundidade de 400 m temos 5 , 24 4002007) 400 ( + = f 5 , 24 2 7 ) 400 ( + = f 5 , 24 14 ) 400 ( + = f f(400) = 10,5 CResposta: Letra D C3 Funo Afim Parte 3 FUNO AFIM - Parte 3 NaapostilaFunoAfimPartes1e2,trabalhamostrsformasde representaesnoestudodefunoafim:LnguaNatural,FormasAlgbricae Tabular.Introduziremosagoramaisumaformaderepresentaodafunoafim: Representao Grfica. Arepresentaogrficaumaferramentapoderosanaanlisedeuma funo.Apartirdelapodemosdeterminaraleideformaodafuno,seu comportamento (crescente ou decrescente), sinal etc.O grfico da funo f(x)=ax+b uma reta oblqua em relao aos eixos x e y. necessrio e suficiente apenas 2 pontos, distintos, para determinarmos uma retaeestasernica.Nohaveroutraretaquepassar,aomesmotempo,por estes dois pontos. 36ParaaconstruodogrficoutilizaremosoPlanoCartesiano,e consideraremos y = f(x). Plano Cartesiano Construo do Plano Cartesiano: 1 Passo: desenhamos 2 eixos perpendiculares e usamos a sua interseo O como origem; 2Passo:colocamos2setas,umaemcadaeixo,paramarcamosadireode crescimentodecadaeixo.Noeixohorizontalsernaextremidadedireitada origem O e, no eixo vertical ser na extremidade acima da origem O; 3Passo:Oeixohorizontaloeixodasabscissase,oeixoverticaloeixodas ordenadas. Cada abscissa e ordenada ser representada, respectivamente, por x e y. Marcao de um ponto no Plano Cartesiano: UmpontoPemumplanoCartesianoserdeterminadoporseupar ordenado.Umparordenadooconjuntoformadopordoisnmerosemcerta ordem.Usa-seanotao(x,y)paraindicaroparordenadoemquexoprimeiro elemento e y o segundo. O valor de x ser o valor a ser marcado no eixo horizontal (eixoX)e,ovalordeyserovalorasermarcadonoeixovertical(eixoY). Representaes: P(x,y) ou P(x, f(x)) ou P(xP,yP). Note que os pontos A(1,2) e B(2,1) so pontos distintos pois diferem entre si pela ordem de seus elementos. Para encontrarmos o ponto P(x,y) no plano cartesiano seguimos os seguintes passos: 1 Passo: marcamos no eixo horizontal o ponto x; 2 Passo: marcamos no eixo vertical o ponto y; 3 Passo: traamos por x uma reta r paralela ao eixo vertical y; 4 Passo: traamos por y uma reta s paralela ao eixo vertical x; 5 Passo: a interseo das retas r e s ser o ponto P(x,y). 37Observaes: 1 - Em uma funo, o eixo horizontal o eixo do domnio (valores de x) e o eixo vertical o das imagens (valores de f(x)), que so obtidos a partir da lei de formao (expresso algbrica); 2 - Na origem O, os valores de x e y so iguais a zero: O(0,0).

Plano CartesianoPonto P no Plano Cartesiano Exemplo1:Construa,numsistemadeeixosortogonais,ogrficodasfunes: f(x)=2x3 e f(x)=x+1 Respostas: Ogrficodeumafunoafimumareta.Pordoispontosquaisquerpassa umanicareta.Assimparaconstruirmosogrficodeumafunoafim,basta encontrarmosascoordenadasdedoispontosquepertencemaestafuno.Para determinarmos esses dois pontos construmos uma tabela de valores. Obs.:Normalmenteumdospontosescolhidosodecoordenada(0,y),comx=0, porque est sobre o eixo Y ou, o de formato (x,0), com f(x) = y = 0, que est sobre o eixo X. 38a) f(x) = 2x 3 Tabela de Valores xf(x) = 2x 3(x, f(x)) 0f(0) = 2.0 3 = 3 (0 , 3) 2f(2) = 2.2 3 = 1(2 , 1) Obs.:Osvaloresatribudosaxnatabela(0e2)soaleatrios.Setivssemos escolhido outros dois valores o grfico seria o mesmo. b) f(x) = x +1 Tabela de Valores xf(x) = x + 1(x, f(x)) 0f(0) = 0 + 1 = 1(0,1) 3f(1) = (3) + 1 = 4(3,4) Obs.:Osvaloresatribudosaxnatabela(0e-3)soaleatrios.Setivssemos escolhido outros dois valores o grfico seria o mesmo. 39Exemplo2:Dadoogrficodafunodeem,escrevaafunof(x)=ax+b correspondente. Resposta: Paraencontrarmosafunonecessitamosdedoispontos.Olhandoogrfico podemosobservarqueospontosondearetacortaoseixosxeysofceisde determinarsuacoordenada.Assimospontos,cujosparesordenadosso(3,0)e (0,4), pertencem reta. Repare que podemos represent-los na tabela abaixo: x f(x) = ax + b(x, f(x)) 3f( 3) = 0( 3,0) 0f(0) = 4 (0,4) Osvaloresdexef(x)estoinformadosnatabela,temosqueencontraros valores de a e b. Necessitamos construir um sistema de equaes com duas variveis. Temos:+ =+ =) ( 0 4) ( 3 0II b aI b a De (II) tiramos que b = 4.Substituindo o valor de b em (I) temos:0 = 3a + 4, ou: a = 34 Substituindoosvaloresdeaebemf(x)=ax+bencontramos 434) ( + = x x fquea funo do grfico. No esqueam que a partir da funo, podemos encontrar qualquer valor da funo, ou seja: qualquer ponto sobre a reta da funo. Exemplo3:Construa,numsistemadecoordenadascartesianasortogonais,ogrfico da funo: < +>=0 , 20 , 2) (x se xx sex f 40Resposta: Trata-sedaconstruodogrficodeumafunodefinidapormaisdeuma sentena.Elasecomportademaneiradiferenciadaconformeseudomnio.Neste exemplo temos dois domnios: x > 0 e x< 0. Temos ento 2 funes: f(x) = 2, quando x > 0 e, f(x) = x + 2, quando x < 0.Afunof(x)=2umafunoconstante(a=0),eseugrficoserumareta paralela ao eixo x passando pelo ponto y = 2.Paraafunof(x)=x+2determinaremosdoispontosparatraarmosseu grfico. No esquea dos valores possveis do domnio (x < 0). xf(x) = x + 2 (x, f(x)) - 1f(-1) = -1 + 2 = 1 (-1,1)- 4f(-4) = -4 + 2 = -2 (-4,-2) Referncias Bibliogrficas LIMA,E.L.;CARVALHO,P.C.P.;WAGNER,E.;MORGADO,A.C.AMatemticado Ensino Mdio. Vol. 1. Rio de Janeiro: SBM, 2005. ZAMPIROLLO,M.J.C.deV.;SCORDAMAGLIO,M.T;CNDIDOS.L.Matemtica: Projeto Escola e Cidadania para Todos. So Paulo: Editora do Brasil, 2004. GIOVANNI, J.R.; Bonjorno J.R. Matemtica Completa. So Paulo: FTD, 2005. IEZZI,G.;DOLCE,O.;DEGENSZAJND.;PRIGOR.;ALMEIDAN.de.Matemtica: Cincia e Aplicaes. Atual Editora, 2005. DANTE, L.R. Matemtica, Volume nico. So Paulo: Editora tica, 2008. DUVAL, R. Registros de representao semiticas e funcionamento cognitivo da compreensoemmatemtica.IN:Machado,SilviaDiasAlcntara(org.). AprendizagememMatemtica:registrosderepresentaosemitica.Campinas,So Paulo. Papirus, p. 11-33, 2 ed, 2005. PAIVA, M. Matemtica, Volume nico. So Paulo: Editora Moderna, 2008. 41D APNDICES D1 Respostas 1 Aula de Reviso 1 Aula de Reviso PARTE 1 Umaequaodo1grauescritanaformageraligualaax+b=0e,uma equao do 2 grau ax2 + bx + c = 0. Transformando cada uma das expresses, temos: Expresso InicialForma Geral Classificao 1 )x x + = + 4 1 4 3x 3 = 0Equao 1 grau 2 ) xxx=6x2 + x 6 = 0Equao 2 grau 3 )0 4 ) 1 ( 32= + x x3x3 + 3x2 4 = 0Equao 3 grau 4 )35=+xx2x 5 = 0Equao 1 grau 5 )0 8 2 ( + x 0 8 2 ( + x Inequao 1 grau 6)8 5 ) ( + = x x f 8 5 ) ( + = x x fFuno 1 grau 7)9 32 + x x 9 32 + x xPolinmio 2 grau 8 )) 4 ( 2 10 x = 2x + 2 = 0Equao 1 grau 9)4 4 2 ) (2+ = x x x f 4 4 2 ) (2+ = x x x f Funo 2 grau 10 ) 26 8 x x = + x2 6x 8 = 0Equao 2 grau 11 )x x + , 6 323x2 x + 6 > 0Inequao 2 grau 12 )0 ) 3 ( 2 ) 3 2 ( = + + x x x 3x2 + 2x + 6 = 0 Equao 2 grau 13 ) 10 5 + x5x +10 Polinmio 1 grau 14 )6123 2+= x x x 6126 6126263 += += x x x x xSentena falsa Respostas: c)So Equaes do 1 grau as equaes de nmeros: .....1, 4, e 8........................... d)So Equaes do 2 grau as equaes de nmeros: .....2, 10, e 12 ...................... 421 Aula de Reviso PARTE 2 1 questo: Uma equao do 1 grau de varivel (incgnita) x tem como forma geral a expresso ax + b = 0, com a e b e . Determine os valores de a e b para cada uma das equaes abaixo: Expresso InicialForma Geral a)x x + = + 4 1 4 3x 3 = 0a =....3.....eb =....- 3..... b)35=+xx2x 5 = 0a =....2 ....eb =....- 5..... c)) 4 ( 2 10 x = 2x + 2 = 0a =....2.....eb =......2... d)4 3 = x 3x 4 = 0a =....3.....eb =....- 4 .... e)4 2 ) 1 ( 5 = x x 7x 1 = 0a =....7.....eb =....- 1..... 2 questo: Uma equao do 2 grau de varivel (incgnita) x tem como forma geral a expresso ax2 + bx + c = 0, com a, b e c e . Determine os valores de a, b e c para cada uma das equaes abaixo: Expresso InicialForma Geral a) xxx=6x2 + x 6 = 0a =...1...b =...1...c =...- 6...b) 26 8 x x = + x2 6x 8 = 0a =...1...b =...- 6...c =...- 8... c)0 ) 3 ( 2 ) 3 2 ( = + + x x x 3x2 + 4x + 6 = 0a =...- 3...b =...4...c =...6... d)2232= + x0212= x a =...1...b =...0...c =...21 ... e)x x x x + = + 5 7 ) 2 ( 4 4x2 + 5 = 0a =...4..b =...0...c =...5.. 43D2 Respostas 2 Aula de Reviso Tente encontrar uma equao que permita chegar soluo, em cada uma das questes abaixo. A seguir desenvolva-a at descobrir o resultado final. 1 questo:OtriplodaidadedeAndrmais18iguala81anos.Qualaidadede Andr ? Fazendo Andr = a e tambm que triplo multiplicar por 3, logo: 3a = 81, ou 3a81=0 anos a a a a 2738181 3 0 81 3 ==== Resp.: Andr tem 27 anos 2questo:Asequiaconsideradaaespciedervoremaisaltadomundo.Se multiplicarmos por 2 a altura que uma sequia pode atingir e adicionarmos 96 metros, obtemos 330 metros. Qual a altura que essa rvore pode atingir ? Fazendo Altura da sequia = s, temos: 2s + 96 = 330, ou 2s 234 = 0 metros s s s s 1172234234 2 0 234 2 ==== Resp.: Sequia tem 117 metros 3 questo: A soma de dois nmeros consecutivos 37. Quais so esses nmeros? Nmeros consecutivos = um nmero sucessor do outro nmero Chamando 1 nmero de n, o 2 nmero ser n + 1.Ento: n + (n+1) = 37 n + n + 1 37 = 0 2n 36 = 01823636 2 0 36 2 ==== n n n n Resp.: Nmeros so 18 e 19 4 questo: Um ciclista desistiu da competio ao completar 41 do percurso total. Se eletivessecorridomais2quilmetros,teriacumprido 31dopercursototal.Quantos quilmetros tm o percurso total ? Chamando Percurso de p:0 21241230 2314131241= + = + = + p p p p p p 121 p+2=0 km p p p p p 24 24 12 ) 2 ( 21210 2121= = = = = + Resp.: Percurso = 24 km 445 questo: Na casa de Geraldo tem um jardim de formato retangular com 38 metros de permetro. O comprimento do jardim 5 metros maior que sua largura. Quais so as dimenses do jardim da casa de Geraldo ? Dados: Permetro = 38 m Comprimento = Largura + 5 m C + L + C + L = 38 2C + 2L = 38 mas C = L + 5, substituindo, temos: 2(L+5) + 2L = 382L + 10 + 2L 38 = 0 4L 28 = 0 L = 428 L = 7 m C = L + 5 = 7 + 5 = 12 m Resp.: Comprimento = 7 m e Largura = 12 m 6 questo: A diferena atual entre a idade de Carlos e da Bruna de 15 anos. Daqui a5anosaidadedeBrunaserametadedaidadedeCarlos.Quaissoasidades atuais de Carlos e Bruna ? Chamando Carlos = c e, Bruna = b += += 25515cbb c = + = ) ( 5 2) ( 15II b cI b c Fazendo (I) + (II)anos b b cII b cI b c10 10 0_____ __________) ( 5 2) ( 15= = + = + = Como o valor de b a idade de Bruna ento conclumos que ela tem 5 anos. Substituindo b=5 na equao (I) temos: anos c c c 25 10 15 15 10 = + = = Resp.: Carlos tem 25 anos e Bruna 10 anos