PROF. 3o ANO MATEMÁTICA PADRÃO VOL. I · de aprendizagem. Estes resumem o que queremos que você aprenda. Quando chegar no final do ... é o pico do gráfico, que ocorre no fim

PROF. 3o ANOMATEMÁTICA PADRÃO VOL. I

Direção Executiva:Fabio Benites

Gestão Editorial:Maria Izadora Zarro

Diagramação, Ilustração de capa e Projeto Gráfico:Alan Gilles MendesAlex FrançaDominique CoutinhoErlon Pedro PereiraEstevão CavalcantePaulo Henrique de Leão

Estagiários:Amanda SilvaFabio Rodrigues Gustavo MacedoLucas Araújo

Irium Editora LtdaRua Desembargador Izidro, no114 - Tijuca - RJCEP: 20521-160Fone: (21) 2560-1349www.irium.com.br

É proibida a reprodução total ou parcial, por qual-quer meio ou processo, inclusive quanto às caracte-rísticas gráficas e/ou editoriais. A violação de direitos autorais constitui crime (Código Penal, art. 184 e §§, e Lei nº 6.895, de 17/12/1980), sujeitando-se a busca e apreensão e indenizações diversas (Lei nº 9.610/98).

Biologia: Filosofia:Física:Geografia: História: Leitura e Produção:

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Matemática: Química:Sociologia:

Biologia: Geografia:História:Língua Espanhola: Química:

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Leandro MaiaGustavo BertocheWilmington CollyerDuarte VieiraMontgomery Miranda / Bernardo PadulaLeila Noronha / Marcelo BeauclairMizael Souza Jaqueline HalackLeila Noronha / Marcelo BeauclairLeila Noronha / Marcelo BeauclairJoão Luiz / Gláucio PitangaWendel MedeirosAnne Nunes

Cid Medeiros Thiago Azeredo Guilherme BragaKarina PaimRenata Galdino

Apresentação:Olá, querido aluno.O material da Irium Educação foi elaborado por professores competentes e comprometidos com

uma proposta de educação exigente e plural.Neste livro, você encontrará uma teoria na medida certa, focada nas informações mais importantes

hoje em dia, e muitos exercícios para fortalecer sua aprendizagem e preparação para os desafios futuros.Vamos conhecer um pouco mais sobre este livro?Todo capítulo inicia com uma capa, onde você encontrará uma imagem ilustrativa e os objetivos

de aprendizagem. Estes resumem o que queremos que você aprenda. Quando chegar no final do capítulo, se você quiser saber se aprendeu o que é realmente importante, volte na capa e verifique se alcançou cada um dos objetivos propostos.

Antes de entrarmos na teoria, em cada capítulo, você encontrará uma contextualização. Ela funcio-na para mostrar para você porque o assunto é importante e como você poderá usar esse conhecimento no seu dia a dia.

No meio do caderno, quando estiver estudando, você encontrará inserções com informações rele-vantes e que “conversam” com portais da Irium Educação. É o caso do box Como pode cair no ENEM?, que trazem temas conectados ao assunto do capítulo e propõem questões do ENEM ou com o estilo da prova. Você poderá resolver os exercícios no seu caderno ou acessar o portal comopodecairnoenem.com.br. Lá você também encontrará todas essas questões resolvidas em vídeo.

Outra inserção interessante, que visa oferecer mais conhecimento relevante, é o 4News. Nessa se-ção, será possível acessar notícias recentes que conectam o tema do capítulo com uma informação importante para a sua formação e para os diversos vestibulares. Na apostila, essas informações estão resumidas, mas poderá acessar esse conteúdo, produzido pela nossa equipe de professores, na ínte-gra, através do portal 4newsmagazine.com.br ou utilizando o QR code inserido no box.

Uma das principais marcas dos livros da Irium Educação são os exercícios, que primam pela quan-tidade e qualidade. Para ajudar os alunos a tirarem suas dúvidas, existem inúmeras questões com soluções gravadas em vídeo. Elas aparecem com uma câmera e um código. Para acessar a solução, utilize o código no campo de busca no espaço destinado (videoteca) no nosso site irium.com.br/videoteca ou até mesmo no Youtube.

Para finalizar, que tal encontrar um conteúdo ideal para aquelas revisões na véspera de provas e concursos? Essa é a proposta da seção Resumindo, na última página de cada capítulo. Aqui, você en-contrará uma síntese com as principais informações do capítulo, como as fórmulas mais importantes, que você não pode esquecer.

A equipe da Irium Educação acredita em uma formação exigente, completa e divertida. Esperamos que este livro possa proporcionar isso a você.

#vamboraaprender

“A Educação é a arma mais poderosa que você pode usar para mudar o mundo.”

(Nelson Mandela)

Fabio BenitesDiretor-geral

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TRABALHANDO CONJUNTOS E ESTRUTURANDO O PROCESSO ESTATÍSTICO

1

ORIENTADOR METODOLÓGICO

Trabalhando conjuntos e estruturando o processo estatístico

Conteúdo:• Introdução a Conjuntos;• Conjuntos Numéricos;• Intervalos Reais;• Tabelas e Gráficos• Frequência absoluta e frequência relativa;• Médias;• Moda;

• Mediana;• Variância;• Desvio Padrão.

Objetivos de aprendizagem:• Reconhecer a necessidade de organizar in-

formações em conjuntos;• Assimilar técnicas, notações e operações de

conjuntos;• Representar e interpretar dados agrupados

em tabelas e gráficos;• Compreender os conceitos básicos da for-

mação do processo estatístico;• Calcular medidas estatísticas de tendência

central e dispersão.

Praticando 1) B – Perceba que a região hachurada pertence ao conjunto M depois de retirarmos a união de N e P.

2) C – Deve-se somar as quantidades que culti-vam cada cultura e diminuir da interseção.

3) DJornal Revista

7 – 5

6 – 55–

LivrosAgora para sabermos quantas pessoas leem

apenas uma das modalidades de leitura, pega-mos o valor de cada modalidade e retiramos a soma das interseções pertencentes a cada mo-dalidade.

J15 R17

2

14 – 6

15 – 7 17 – 8

15–

L14

J R

2

8

8 9

15–

L8 + 2 + 9 + 5 + 1 + 8 = 33Total – 33 = nenhuma35 – 33 = 2

4) A

D F

14 – x15 – 7

20 – xx

8 – X

DC

Agora para sabermos quantas pessoas tem apenas um dos sintomas, pegamos o valor de cada sintoma e retiramos a soma das interse-ções pertencentes a cada sintoma.

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D62 F62

14 – x

72 – (28 – x)

62 –(D2 – x)

62 –(34 – x)

20 – xx

8 – X

DC72

D F

14 – x

44 + x

90 + x 28 + x

20 – x8 – xx

DC

40 + x + 14 – x + x + 8 – x + 28 + x + 20 – x + 44 + x = 160

x + 154 = 160x – 160 – 154x = 6

5) Como são 3 marcas de sucos, chamaremos uma de A, outra de B e a última de C.

Quem consome os sucos A e B são AB e assim por diante:

A

Total 100

B

AB

C

A B

BCACABC

C

N

A + B + C + AB + AC + BC + ABC = 83A + B + C = 57AB + AC + BC = 19

a) 100 – 83 = 17b) 83-(57+19) = 7

6) A – Como a turma tem 40 alunos, então A + B + O + AB = 40.

Como 23 não são do grupo A, então B + O + AB = 23, portanto encontramos A fazendo 40 – 23 = 17.

Como 36 não são do grupo AB, então A+B+O=36, como sabemos que A=17 e B=15, te-mos O=4.

7) E – Como sabemos que os números são con-secutivos, logo y=x+1a) 2x + 3y

2x + 3(x+1)=2x+3x+3=5x+3Lembre-se da tabuada do 5, se x por par, 5x

será par, mas ao somar com 3, o resultado será ímpar.

Já se x for ímpar, 5x será ímpar, mas ao somar com 3, o resultado será par.b) 2xy + 22x(x+1)+2=2x2+2x+2

Tanto faz o x ser par ou ímpar, o resultado será sempre par.c) 3x + 2y

3x+2(x+1)=3x+2x+2=5x+2Lembre-se da tabuada do 5, se x por par, 5x

será par, mas ao somar com 2, o resultado será par.

Já se x for ímpar, 5x será ímpar, mas ao somar com 2, o resultado será ímpar.d) x + y + 1

x + x + 1 + 1= 2x + 2Tanto faz o x ser par ou ímpar, o resultado

será sempre par.e) xy + 1.

A multiplicação de um número par com ímpar será um número par, ao somar com 1, teremos um número ímpar.

8) Ex = 0,444...10x = 4,444...10x – x= 49x = 4 x = 4/9

Logo √4/9 = 2/3 = 0,666...

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9) B – Quando é dito que o real esteve mais des-valorizado, significa dizer que é quando se preci-sa de mais reais para comprar um dólar, ou seja, é o pico do gráfico, que ocorre no fim do ano de 2002.

jan 2002 jan 2003 jan 2004 jan 2005

4.00

3.60

3.202.802.402.001.80

1.20

10) B – Perceba que a escala do gráfico é de 5 anos e para sabermos quando a população era igual a de 1975, devemos fazer o seguinte:

Veja que o outro ano que a população equiva-le a de 1975 é entre 1960 e 1965, sendo a única opção possível 1963.

11) C.número de homens com irmãos = 100número de mulheres com irmãos = 120número de homens com irmãos correspon-

de, do número de mulheres com irmãos = 100 / 120 = 10 / 12 = 5 / 6

12) CVendasEdu = 12000 – 3000 = 9000Fred = 20000 – 2000 = 18000Gil = 15000-6000 = 9000Perceba que Fred contribui com metade do

total vendido e Edu e Gil contribuem com um quarto cada um do total vendido, logo o único gráfico que apresenta essa situação é o terceiro.

13) D

14) C – Devemos verificar qual país está mais a direita no gráfico, pois perceba que o tempo de estudo é o eixo horizontal.

Finlândia

600

550

450

400

300

Holanda

Média

Austrália

Portugal

México

Israel

ItáliaRússia

Japão

Coreia do Sul

NOTA DO PISA

HORAS DE ESTUDO (dos 7 aos 14 anos)

4.500 5.000 5.500 6.000 6.500 7.000 7.500 8.000 8.500 9.000

15) BSequência na ordem: 181.419 – 181.796 –

204.804 – 209.425 – 212.952 – 246.875 – 266.415 – 298.041 – 299.415 – 305.068

Como temos 10 dados, devemos pegar os dois termos centrais, no caso o quinto (10/2) e o sexto e calcular a média entre eles:

212.952 + 246.875 = 459827/2 = 229913,5

16) BMédia: (4 x 1 + 2 x 1+ 4 x 2 + 5 x 2 +6 x 1) / 10

= 30 / 10 = 3Mediana: Como são 10 lançamentos, deve-

mos pegar o quinto (10/2) e sexto lançamento e fazer a média entre eles: 2 + 4 = 6/2 = 3

Moda: 1.

17) EX = média = (5 x 0 + 3 x 1 + 4 x 2 + 3 x 3 + 4 x 2

+ 2 x 5 + 1 x 7) = 4/20 = 2,25Y = mediana = como são 20 dados, devemos

pegar o décimo dado (20/2) e décimo primeiro dado = 2 + 2 = 4/2 = 2

Z = moda = 0 golsZ<Y<X

18) C – A moda será 2, pois ela aparece 3 vezes e assim terá a maior frequência entre 5 dados.

Para calcular a mediana, devemos aplicar a fórmula da média em primeiro lugar para saber quais os valores de C e D.

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(2 x 3 + C + D) /5 = 2(6 + C + D) /5 = 26 + C + D = 10C + D =10 – 6C + D = 4Sendo que C e D podem ser 0 e 4, 1 e 3 e 2 e 2.0 e 4 = 0 2 2 2 41 e 3 = 1 2 2 2 32 e 2 = 2 2 2 2 2Veja que nos 3 casos a mediana será 2.

19) C – Como é dito no enunciado que a equipe campeã é aquela em que o tempo dos participan-tes mais se aproxima do tempo fornecido pelos or-ganizadores em cada etapa, então devemos ver a equipe com menor desvio padrão.

20) B – Segundo o enunciado em caso de empate na média, o desempate seria em favor da pontu-ação mais regular, ou seja, aquele candidato que tiver o menor desvio padrão.

Aprofundando:21) B

Para saber quantos fazem apenas Francês, devemos somar quem só faz inglês com quem faz as duas línguas (49+12)=61 e diminuir do to-tal: 76-61=15.

Como a pergunta é saber quantos quiseram francês, devemos somar as pessoas que fazem os dois idiomas com quem só faz francês, ou seja, 12+15=27.

22) 204 alunos.

23) D – O conjunto B está contido no conjunto A e o conjunto C tem uma interseção apenas com o conjunto A, mas nenhuma com o conjunto B.

24) E – Devemos somar a quantidade de atletas que fazem natação, corrida e nenhum desses es-portes: 135 + 200 + 40 = 375. Como temos ape-nas 245 atletas, basta fazer a diferença 375 – 245 = 130 fazem os dois esportes.

25) C

26) C

27) C

28) D

M80 A35

80 + 35 – 115%Como só pode ser 100%, então 115% – 100 – 15%Logo

M80

65 2015

A35

100% –––––––– 50015% –––––– x100x = 750x = 7500

100

x = 75Letra D

29) E

30) D.a) O produto de dois números irracionais é sem-pre um número irracional = Falso, esse produto pode dar um número racional, por exemplo, 3 x 3 = 3.b) A soma de dois números irracionais é sempre um número irracional = Falso, 3 + (- 3 )=0.c) Entre os números reais 3 e 4 existe apenas um número irracional = Falso, temos infinitos, por exemplo, 10, 11, 12.d) Entre dois números racionais distintos existe pelo menos um número racional = Verdadeiroe) A diferença entre dois números inteiros ne-gativos é sempre um número inteiro negativo = Falso, pois podemos ter –1–(-5) = –1+ 5 = 6

31) E

6=

3= 0,75 =

75= 75%

8 4 100

32) D

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33) D

34) Da) O número de porções consumidas de óleo e gorduras é o triplo do número recomendado;

Falso, o recomendado é 1 e o consumido é 2,1.b) O número de porções consumidas de leite, queijo e iogurte está acima do número recomen-dado;

Falso, está abaixo, pois o recomendado é 3 e o consumido é 2,5.c) Os alunos consomem doze porções de açúca-res e doces para cada porção de verduras e legu-mes consumida;

Falso, eles consomem 7,9 de açúcares e do-ces e 1,1 de verduras e legumes.d) Os adolescentes consomem, em quatro dos oito grupos alimentares citados, mais do que o dobro do recomendado pelos nutricionistas;

Verdadeiro, isso ocorre em açúcares e doces, carnes e ovos, feijões e leguminosas e em óleos e gorduras.e) O número de porções consumidas de carnes e ovos e de feijões e leguminosas supera o núme-ro de porções consumidas de arroz, pães, mas-sa, batata e mandioca.

Falso, a soma de carnes e ovos e de feijões e leguminosas é 2, enquanto que a soma de de arroz, pães, massa, batata e mandioca é 6,5.

35) B24.000,00 ------ 100%x ------ 16,4 – 12,3%24.000,00 ------ 10%x ----- 4,1%100 x = 24,000,000 x 4,1

x =24,000,000 . 4,1

100x = x 10.000

x =98,4

x 1000010

x = 984000 ≅ 1.000,000

36) C

2000 2,382010 1,902020 1,90 x 0,8 = 1,52

1,9= 0,79 = 0,8

2,38

37) D

38) C

39) A – Lembre-se que a moda é o dado com maior frequência, logo será 9 anos.

40) C

3 x 0 + 10 x 1 + 15 x 2 + 12 x 340

0 + 10 + 30 + 36=

76= 1,9

40 40

41) C – pois o atleta vencedor seria aquele que fosse mais regular, ou seja, tivesse menor desvio padrão.

42) A

43) 77,5 km/h

44) C – Como são 200 hotéis, então devemos fa-zer a média entre o preço do centésimo (200/2) e o centésimo primeiro hotel.

Logo, colocando na ordem, temos 50 hotéis A, 50 hotéis B, 80 hotéis C e 20 hotéis D.

Veja que o centésimo é um hotel B e o cen-tésimo primeiro hotel é C, portanto fazemos a média de 300+400=700/2=350.

45) BColocando em ordem: 13,5 – 13,5 – 13,5 – 13,5

– 14 – 15,5 – 16 – 18 – 18 – 18,5 – 19,5 – 20 – 20 -20 – 21,5

Mediana será o termo central, ou seja, 15/2 = 7,5 = 8 termo, que é 18.

Moda: 13,5

46) 1,80.

47) 360 graus ------ 20x graus ---------920x = 360 x 9X = 3240/20X = 162 graus

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48) E

49) Resposta: 240

50) a) 1.500.000 ------100%

x --------------------- 53%100x = 1.500.000 x 53X = 15000x53X = 795.000

b) 35 + 25 = 60%795.000 ------ 100%x --------------- 60%100x = 795.000 x 60X = 7950 x 60X = 477.000

Desafiando:51) A

52) E

53) A

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CONHECENDO E APLICANDO MATEMÁTICA FINANCEIRA

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Praticando 1) 1) a) 30.000 ----100%

x ------------15%100x = 30.000 x 15X = 300 x 15X = 4500 reais

b) 30.000 – 4.500 = 25.500 reais

2) 150 –------------------ 100%180 – 150 = 30 ------ x%150x = 3000X = 3000/150X = 20%

3) A.Vamos usar números aproximados:TvA + TvB + TvC + TvD + Nenhum35 + 35 + 20 + 100 + 18= 208208 ------> 100%35 -----> x208.x = 3500x = 3500/208X =16,8Portanto, aproximadamente 15%.

4) B.Votos brancos e nulos= 9% + 11%=20%Votos válidos=80% do total51% foram dados ao candidato vencedor =

51% de 80% = 0,80 x 0,51 = 0,408 = 41%

5) C10 kg – 95% de água, logo 9,5 kg de água e 0,5

kg de massa sólida.10 ----100%x ------ 95%100x = 950X = 9,5Como a parte sólida não se altera, e sabe-

mos que agora ela representa 10%, pois a água é 90%, temos:

0,5kg -----10%x-----------100%10x = 50X = 5 kg

6) B. Se 40% foi curado, logo 60% não foram com-

pletamente curados.Dividindo os 60 em dois grupos de 30%Primeiro tratamento inovador= 35% dos pa-

cientes foram curados= 0,3x0,35=10,5% pacien-tes curados

Segundo tratamento inovador= 45% foram curados = 0,3 X 0,45 = 13,5% curados.

10,5% + 13,5% = 24%7) A

Janeiro: Suponha que sejam 100 ovos: 50 ovos brancos e 50 ovos vermelhos

Fevereiro: Ovos brancos diminuíram 10%, ou seja, 50 –

10% x 50 = 50 – 5 = 45Ovos vermelhos aumentaram 20%, ou seja,

50 + 20% x 50 = 50 + 10 = 60Março:Ovos brancos diminuíram 10%, ou seja, 45–

10% x 45 = 45 – 4,5 = 40,5Ovos vermelhos aumentaram 20%, ou seja,

60 + 20% x 60 = 60 + 12 = 72Ovos vermelhos

=72

=72

= 0,64 = 64%Total de ovos em março 72 + 40,5 112,5


Conhecendo e Aplicando Matemática financeira

Conteúdo:• Porcentagem;• Juros Simples;• Juros Compostos.

Objetivos de aprendizagem:• Conhecer o significado da representação de

uma porcentagem;• Calcular porcentagens e aprender a utilizar

fatores de atualização;• Diferenciar porcentagens em relação a ba-

ses diferentes de valores;• Aprender os conceitos e diferenças entre

juros simples e juros compostos;• Identificar e calcular o valor do dinheiro no

tempo através dos juros.

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8) D

RPC = PIBPOP

PIB diminuiu 4%=1PIB – 0,04PIB = 0,96PIBPopulação aumentou 2% por ano = 1,02 x

1,02POP = 1,0404POP

RPC = 0,96PIB

= 0,922RPC = 92%RPC1,0404POP

Se a renda per capita agora representa 92% da renda per capita original, então diminuiu aproximadamente 8%.

9) J = CitJ = 400 x 0,04 x 3J = 48M = C + JM = 400 + 48M = 448

10) a) 740 --- 100%703 --- x%740x = 70300X = 70300/740X = 95%Se 703 reais representa 95% do valor inicial,

foi dado um desconto de 5%.b) J = 740 x 0,0025 x 20

J = 37M = 740 + 37M = 777 reais

11) M=C.(1+ i)t

M = 1000.(1 + 0,1)3

M =1000.(1,1)3

M = 1000.(1,1)3

M = 1331 reaisJ = M – CJ = 1331 – 1000J = 331 reais

12) a) M = 7400.(1+0,006)11

M = 7400 . (1,006)11

M = 7400 . 1,068M = 7400.(1+0,06)11

M = 7903,20

b) M=10.000.(1-0,02)11

M = 10.000.(0,98)11

M = 8007,31c) Não poderá comprar, pois tem R$ 7903,20, mas a moto custará R$8007,31, ou seja, Antônio necessita de R$104,11 para fazer essa compra.

13) a) Tem-se desconto de 3%, então compra re-presentará 97% do valor original, ou seja, 2400 x 0,97 = 2328 reais.b) Como o valor à vista é R$2328,00 e foi feita uma entrada de 1200,00, faltaria ser pago R$1128,00. Mas será pago outra parcela de R$1200,00. Ou seja, o valor q faltava sofre um juros no tempo igual 1 mês

M = C + J1200 = 1128 + 1128xix172 = 1128xix172 / 1128=i0,064 = iI = 6,4%

Aprofundando:14) a) 40.000x0,05 = 2000 reaisb) 40.000-2.000 =38.000 reais

15) Basta dividir 650/500=1,3, ou seja, aumento de 30%

16) B – Vamos usar dados aproximados para sa-ber a paricipação percentual da energia elétrica para energia total:

1970:energia elétrica

=2x106 tep

= 10%energia total 2x106 tep

195:energia elétrica

=2x106 tep

= 60,6%energia total 2x106 tep

17) CTamanho original x 50 = 1,53 mTamanho original = 1,53/50Tamanho original = 0,0306 m = 3,06 cm

18) DComo a cada prestação o saldo devedor se

reduz em 500 reais, antes do pagamento da dé-cima prestação teremos 500 x 9 = 4500, ou seja, 180.000-4.500=175.500 de saldo devedor.

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9

Valor da prestação mensal é de R$ 500,00 mais juro de 1% sobre o saldo devedor=500+175.500x0,01=500+1755=2255 reais

19) BL = P – cL = 34 – 26L = 8.000x0,15 = 1200

20) ERemarcação = 50 x 0,8 = 40 reaisCom cartão fidelidade = 40 x 0,9 = 36 reais, ou

seja, teria um desconto de 4 reais.

21) D14.900 x 0,56 = 8344 pessoas.

22) D – Devemos calcular 90% do preço de cada produto tipo A, caso esse valor seja superior ao valor do tipo B, escolhe-se o tipo B, caso contrá-rio, o tipo A.

Arroz 90% x 2,00 = 1,80 > 1,70 (tipo B)Feijão 90% x 4,50 = 4,05 < 4,10 (tipo A)Soja 90% x 3,80 = 3,42 < 3,50 (tipo A)Milho 90% x 6,00 = 5,40 > 5,30 (tipo B)

23) CProdução do Brasil e Estados Unidos é 88%.Estados Unidos produziram em 2009 metade

da produção de 2006, ou seja, 22,5%.Produção do Brasil deve aumentar de 43%

para 65,5%, aumento este que equivale a 65,5% / 43% = 1,523 – 1 = 52,3%.

24) M = C + JM = C + Cit2C = C + Cx0,05t2C – C= Cx0,05tC = Cx0,05tc/c = 0,05t1 = 0,05t1 / 0,05 = tT = 20 meses

25) C2 meses = M = 20000 (1 + 0,02) 2 = 20000 x

1,022 = 20.8083 meses = 20.808 x 1,02 = 21224,16, perceba

que sobra 224,16, aproximadamente 225 reais.

26) CQuantia aplicada = xPrimeiro mês = x – 0,3x = 0,7xSegundo mês = 0,7x + 0,2 x 0,3x = 0,76x = 3800Logo x = 3800/0,76 = 5000

27) CA é a arrecadação.40% de A = 0,4A=pagamentos dos professoresAumento de 5% das mensalidades = 1,05AAumento de 5% dos professores = 1,05.(0,4A)

= 0,42AQuanto corresponde o aumento dos profes-

sores no total: 0,42A – 0,4A = 0,02A, correspon-dendo a 2%.

Os pais tem razão em discordar do índice de 5% de aumento, pois o aumento dos professores corresponde em um aumento de apenas 2%.

28) E – r4 = (1,1r)4 = 1,4641r4

1,4641 – 1 = 0,4641 = 46,41%

29) ASe a taxa de cobertura da malha é 75%, então

pode passar 25% da luz incidente.O quadrado de dimensões (d-1)x(d-1) permite

a passagem de luz, ou seja, a divisão entre a área desse quadrado que permite a passagem de luz com o quadrado total, de dimensões dxd é igual a 25%:

(d – 1)2

= 5%d2

(d – 1)2

= 25 = 1d2 100 4

(d – 1)2

= 1 d – 1 = 1d2 4 d 4

d – 1 = 1d 2

D = 2 D – 22D – D = 2

D = 2

EM3M

AT02


10

30) ERendimentos da população: (101,8 × 106) ×

R$1.202,00 = R$122363,6 × 106.Rendimentos mensais dos 10% mais pobres:

(R$ 122363,6 × 106 )× 0,011 = R$ 1345,9996 × 106 Rendimento de um brasileiro mais pobre:

1345,9996 × 106

=1345,9996

= 132,22101,8 × 106× 0,1 10,18

Rendimentos mensais dos 10% mais ricos: (R$ 122363,6 × 106 )× 0,445 = R$ 54451,802 × 106

Rendimento de um brasileiro mais rico:

54451,802 × 106

=54451,802

= 5.348,9101,8 × 106× 0,1 10,18

Diferença: 5.348,90 – 132,22 = 5.216,68.

31) B – Como 75% afirma ter esse hábito e 26% é quem faz 3 vezes na semana, queremos 26% dos 75%, logo: 26/100 . 75/100 = 0,195 = 19,5%

32) DVolume original: 40 x 24 x 24 = 23.040Aumento nas dimensões da base em 25%, ou

seja: 24 x 1,25 = 30H x 30 x 30 = 23.040H = 23.040/900H = 25,6Redução: 25,6/40 = 0,64, ou seja, 1 – 0,64 =

0,36 = 36%

33) CConsumo de 150 kWh custa: 150 . 0,5 + 4,5 =

79,50 reaisRedução de 10%, logo, 0,9 . 79,50 = 71,55.Novo consumo será X . 0,5 + 3 = 71,55X = 137,1

34) A – Os juros simples podem ser representa-dos por uma reta crescente.

Desafiando:35) B

V = C + L30 = C + 0,2C30 = 1,2CC = 30/1,2C = 25L = 5Lucro por mês=2000 sapatos por mês = 2000

x 5 = 10.00010.000xt = 120.000T = 120.000/10.000T = 12 meses

36) 20% mais ricos da população brasileira será 16%+47%=63%

Renda per capita: 63% x PIB/20% x população = 0,63 x 2,4 x 1012/ 0,20 x 200 x 106 = 37.800

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AT03

CONSTRUINDO FUNÇÕES E IDENTIFICANDO FUNÇÕES POLINOMIAIS DO 1o GRAU

11

Praticando 1) a) D(f) = {1,3,5}b) CD(f) = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}

c) f(3) =32 – 1

=9 – 1

=8

= 42 2 2

d)

f(1)+ f(5)+24 = 0 + 12 + 24 = 36 =6

= 23 3 3 3

f(1) =12 – 1

= 02

f(5) =52 – 1

=25 – 1

=24

= 122 2 2

e) Im(f) = {0,4,12}

f(1) =12 – 1

= 02

f(3) =32 – 1

=9 – 1

=8

= 42 2 2

f(5) =52 – 1

=25 – 1

=24

= 122 2 2

f) O elemento é 5.

2) a) A = [– 2, 6] b) B = [– 3, 3] c) –2 d) –2 e) 4 f) 1 e 3

g) [-2,1]∪]3,4] h) [4, 6] i) [1, 3]

3) a) P = 40 + 600/200 = 40 + 3 = 43 reaisb) 46 = 40 + 600/n

46 – 40 = 600/n6 = 600/nN = 600/6N = 100 sacas

4) a) meio-dia = 4 horas de trabalhop(4) = 8x + 9x2 – x3p(4) = 8.4 + 9(4)2 – (4)3

p(4) = 32 + 9.16 – 64p(4) = 32 + 144 – 64p(4) = 112

b) Basta fazer a diferença entre a produção até a quarta hora com a produção até a terceira hora.

p(3) = 8.3 + 9(3)2 – (3)3

p(3) = 24 + 9.9 – 27p(3) = 24 + 81 – 27p(3) = 78p(4) – p(3) = 112 – 78 = 34

5) Colocar no aprofundando f(x) = kax

a) (1,6) ---- f(1) = ka1 = 6ka = 6


Construindo Funções e Identificando Funções Polinomiais do 1o Grau

Conteúdo:• Produto Cartesiano;• Relações;• Funções;• Classificação das Funções;• Função Composta;• Função Inversa;• Função Polinomial do 1º grau.

Objetivos de aprendizagem:• Estabelecer o conceito de produto cartesia-

no, e as definições de domínio, contradomínio e imagem;

• Representar produtos cartesianos no plano cartesiano;

• Identificar relações e funções a partir de produtos cartesianos;

• Conceituar e resolver funções compostas e inversas;

• Reconhecer a aplicar funções polinomiais de 1o grau, algébrica e graficamente.

EM3M

AT03


12

(2,12) ---- f(2) = ka2 = 12ka2 = 12kaa = 12, como kA = 66a = 12a = 12/6a = 2Como ka = 6 e a = 22k = 6K = 6/2K = 3

b) f(3) = ka3 = 3. 23 = 3.8 = 24c) f(0) = ka0 = 3. 20 = 3.1 = 3

6) a) f(x) = 5x3 – 40 = 05x3 = 40x3 = 40/5x3 = 8x = 8

3

x = 2b) f(x) = y = 05x3 – 40 = 05x3 = 40x3 = 40/5x3 = 8x = 8

3

x = 2(2,0)c) x = 0f(0) = 5.03 – 40= –40(0, –40)

7) a) –5, –2, 4 e 9b) –5 < x < –2 ou 4 < x < 9 ou x > 9c) x < –5 ou –2 < x < 4d) x = –5, x = –2, x = 4 e x = 9

8) a) x = 3 e x = 9b) Sem solução para f(x) = oc) 0 ≤ x < 3 ou 9 < x ≤ 12d) 0 ≤ x ≤ 3 ou 9 ≤ x ≤ 12e) 3 < x < 9

9) f( 92

) = 2

b) [-2,4]

c) Infinitas, pois é o intervalo [4, 5], podendo ser qual número real entre esses valores.d) Sim.

10) Para que a equação f(x) = c tenha uma única solução deve interceptar o gráfico de f em um único ponto, ou seja, acima do ponto (–2, 2) ou abaixo do ponto (2, –4). Isto é, devemos ter c > 2 ou c < –4.

11) a) 15 minutosb) 5 minutos

12) Af é bijetiva = contradomínio e imagem são

iguais e elementos diferentes do domínio tem imagens diferentes

g é sobrejetiva = contradomínio e imagem são iguaish não é injetiva = elementos diferentes do domí-nio tem imagens iguais, logo não é injetiva.

13) Dg[g (4)] – g [g (–4)]g (–4) = –2g[g (4)] – g [-2]g [–2] = 0g[g (4)] – 0g (4) = 2g[2] – 0g[2] = 2g[g (4)] – g [g (–4)] = 2 – 0 = 2

14) f(x) = x2

(fo[fof])Fof = (x2)2 = x4

(fo[x4])= (x4)2 = x8

(fo[fof]) = x8

15) C 2g(x) + 1 = 6x + 52g(x) = 6x + 5 – 12g(x) = 6x + 4

G(x) = 6x + 4

2G(x) = 3x + 2

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AT03


13

16) a) t = 2v(2) = 4.2 + 1 = 8 + 1 = 9d(9) = 3.92 + 2.9 + 5 = 3.81 + 18 + 5 = 266 m

b) v (t) = 4t + 1d(t) = 3(4t + 1)2 + 2(4t + 1)+ 5d(t) =3(4t2 + 8t +1) + 8t +2 +5d(t) =12t2 + 24t + 3 + 8t + 2 +5d(t) = 12t2 + 32t + 10

17) E – Lembre-se que o gráfico de f–1 é simétrico ao gráfico da função original f em relação à reta y = x.

18) f–1 (2) + f–1 (3) = 3f(1) = 2 – x = 1 e y = 2f(2) = 3 – x = 2 e y =3f(3) = 4 – x = 3 e y = 4f–1 (2) + f–1 (3)f–1 (2) = 1, pois para calcular devemos pegar o

y = 2, pois como é a inversa, queremos o valor de x associado ao y = 2, que é 1.

f–1 (3) = 2, pois para calcular devemos pegar o y=3, pois como é a inversa, queremos o valor de x associado ao y = 3, que é 2.

f–1(2) + f–1(3) = 1 + 2 = 3

19) a) h = fog = 3(2x – 2) + 1 = 6x – 6 + 1 = 6x – 5h(x) = 6x – 5

b) f (x) = 3x + 1 ---- y = 3x + 1f–1 ---- x = 3y + 13y = x – 1

f–1 (x) = Y = x – 13

g (x) = 2x – 2 ---- y = 2x – 2g–1 ---- x = 2y – 22y = x + 2g–1(x) = y = x – 2

2

20) C

F(x) =2x – 3x + 4

y =2x – 3x + 4

f–1 ------ x = 2y – 3y + 4

x(y + 4) = 2y – 3xy + 4x = 2y – 3xy – 2y= –3 – 4xy(x – 2) = –4x – 3

Y =–4x – 3

=–1(4x + 3)

=4x + 3

=4x + 3

x – 2 –1 (–x + 2) –x + 2 2 – x

f–1(x) = 4x + 32 – x

21) DPara não ter prejuízo, faturamento e custo

devem ser iguais.FT(q) = CT(q) 5q = 2q + 125q – 2q=123q = 12Q = 12/3Q = 4

22) BGasolina: 6000 km / 10km = 600L x 2,20 =

1320Gás: 6000 km / 12km = 500m³ x 1,10 = 550Economia:1320 - 550 = 770 por mês3000 /770 = 3,9 meses = 4 meses

23) DJaneiro = 880 605 - 4 300= 876.305Fevereiro = 880 605 Y= Produção de Janeiro + incrementoxY=876.305 + 4300x

24) C Pagamento com atraso = pagamento original

+ multa = 500 + 10 = 51040 centavos por dia de atraso = 0,40 xM(x) = 510 + 0,40x

25) Deveria ser a questão 22, pois tem conceitos básicos de função.a) f(1) = –4.1+ 8 = – 4 + 8 = 4

f(1) = 4

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14

b) (0,b) = (0,8)

(– b

, 0) = (– 8

) = (2, 0

) = (2, 0)a – 4 –x + 2

y

x2

8

26) (0, b) = (0, 20), logo b = 20

(– b

, 0) = (– 4, 0)a

(– 20

, 0) = (– 4, 0)a

– 20= – 4

a

–4a = –20A = –20/–4A = 5Lei de formação: y = ax + bY = 5x + 20

27) BCorrigir as opções b e d, o certo é m3.(15, 15) (20 . 25)Y = ax + b15 = 15a + b25 = 20a + b

Sistema15a + b = 15

20a + b = 25

15a + b = 15 (–1)

20a + b = 25

–15a – b = – 15

20a + b = 25

5a = 10A = 10/5A = 2

15 . 2 + b = 1530 + b = 15B = 15 – 30B = – 15Y = 2x – 15(x, 19)19 = 2x – 1519 + 15 = 2x34 = 2xX = 17

28) CVamos utilizar os anos da seguinte forma:1983 = 11987 = 5Até 2007 = 25Logo (1,239)(25,461)Y = ax+b239 = 1a + b461 = 25a + b

Sistemaa + b = 239

25a + b = 461

a + b = 239 (–1)

5a + b = 461

–a – b = – 239

25a + b = 461

24a = 222A = 9,259,25 + b = 239B = 239 – 9,25B = 229,75Y = 9,25a + 229,75Logo 2011 = 29Y = 9,25.29 + 229,75Y = 268,25 + 229,75Y = 498

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15

Aprofundando:29) a) D(f) = {2,4,6}b) CD(f) = {0,1,2,...,60}

c) F(4) =3 . 42 – 2

=8 – 2

=46

= 232 2 2

d) f(2) + f(6) + 8 = 5 + 53 + 8 = 668 8 8

F(2) =3 . 22 – 2

=12 – 2

=10

= 52 2 2

F(6) =3 . 22 – 2

=108 – 2

=106

= 532 2 2

e) Im(f)={5,23,53}

F(2) =3 . 22 – 2

=12 – 2

=10

= 52 2 2

F(6) =3 . 42 – 2

=48 – 2

=46

= 232 2 2

F(6) =3 . 22 – 2

=108 – 2

=106

= 532 2 2

f) O elemento é 6.

30) a) [–2, 6] b) [–3, 5] c) 2 d) 2 e) 2 f) 5 g) 0 h) 6i) [4,6] j) [–2,1]∪]3,4] k) [1,3]

31) a) P=60+300/150P = 60 + 2P = 62 reais

b) 61 = 60 + 300/n61 – 60 = 300/n1 = 300/nN = 300 sacas

32) S(p) = 111

p100

23

S(8) = 111

8100

23

S(8) = 111

643

100

S(8) = 111

. 4100

S(8) = 111

. 4100

S(8) = 111

100

S(8) = 0,44 m2

b) Superfície duplicou = 0,44 x 2 = 0,88 m2

0,88 = 111

p100

23

0,88 = 1

11p

100 10023

238 = p

23 = p2

(23)3 = p2

29 = p2

p = 29

p = 29 . 2P = 24 . 2P = 16 . 1,4P = 22,4 kg

33) Essa questão deve ser colocada no caderno da função do segundo grau

f(x) = x2 + bx + cf(–2) = –5 e f(2) = 15

a) B e cf(–2) = –5 ----- f(–2)= (–2)2 + b(–2) + c (–2)2 + b(-2) + c = 54 – 2b + c = 5–2b + c = 5 –4–2b + c = 1f(2) = 15 ------- f(2) = (2)2 + b(2) + c4 + 2b + c = 152b + c= 15 – 42b + c = 11

Sistema–2b + c = 1

2b + c = 1

2c=12C=12/2C=6

p23

p23

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16

2b + 6 = 112b = 11 – 62b = 5B = 5/2B = 2,5

b) f(x) = x2 + 2,5x + 6F(0) = 02 + 2,5.0 + 6F(0) = 6

c) f(x)= x2 + 2,5x + 6F(10) = 102 + 2,5.10 + 6F(10) =100 + 25 + 6F(10) = 131

34) a) –1, 3, 5 e 8b) x < –1 ou –1 < x < 3 ou 5 < x < 8c) 3 < x < 5 ou x > 8d) –1, 3, 5 e 8

35) a) 17,5%b) Abril a julho de 2000.c) Setembro e outubro de 2000.

36) D100 g =R$1,70 – 2 cartas de 100g = 1,70x2=

R$3,40200 g =R$2,65 – 3 cartas de 200g = 2,65x3=

R$7,95350 g = R$4,00 – 1 carta de 350g =

4,00x1=R$4,00Total = 3,40 + 7,95 + 4,00 = R$ 15,35

37) EPerceba que entre 0 ≤ x ≤ 4, temos a função

y=x, pois os pontos (0,0) e (4,4) pertencem a essa reta.

Entre 4 < x ≤6, temos sempre y = 4.Entre 6 < x ≤ 8, devemos descobrir a lei de

formação, pois temos os pontos (6,4) e (8,0).y = ax + b4 = 6a + b0 = 8a + b

6a + b = 4

8a + b = 0

6a + b = 4(–1)

8a + b = 0

2a = –4A = –4/2A = –28a + b = 08(–2) + b = 0–16 = –bB = 16Y = –2x + 16

a) ƒ(1) + ƒ(2) = ƒ(3); f(1) = 1f(2) = 2f(3) = 3ƒ(1) + ƒ(2) = ƒ(3)1 + 2 = 33 = 3 Verdadeiro

b) ƒ(2) = ƒ(7); f(2) = 2f(x)= – 2x+16 : f(7)=-2.7+16=-14+16=2ƒ(2) = ƒ(7)2=2 Verdadeiro

c) ƒ(3) = 3ƒ(1); f(1) = 1f(3) = 3ƒ(3) = 3ƒ(1)3 = 3 . 13 = 3 Verdadeiro

d) ƒ(4) – ƒ(3) = ƒ(1);f(4) = 4f(3) = 3f(1) = 1ƒ(4) – ƒ(3) = ƒ(1)4 – 3 = 11 = 1 Verdadeiro

e) ƒ(2) + ƒ(3) = ƒ(5)f(2) = 2f(3) = 3f(5) = 4ƒ(2) + ƒ(3) = ƒ(5)2 + 3 = 4 Falso

38) Letras A, E e Fa) Verdadeiro, pois vemos que os valores de x estão no conjunto dos números reaisb) Falso, a imagem pertence ao intervalo ]-∞,a].

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x

y

-1 1

1

2 3 4

a

a) Falso, a função é crescente no intervalo (-∞,0]b) Falso, existem elementos diferentes do do-mínio com mesma imagem, como os exemplos abaixo.

x

y

-1 1

1

2 3 4

c) VerdadeiraF(1) = 0 – verdadeiroF(5) < 0 – verdadeiro

x

y

-1 1

1

2 3 4

d) Verdadeira

x

y

-1 1

1

2 3 4

39) Letra D

f(n + 1) =2f(n) + 1

2F(1) = 2F(101) = ?f(n + 1) = f(1)n + 1 = 1n = 1 – 1n = 0

f(0 + 1) =2f(n) + 1

= 22

2f(0) + 1 = 42f(0) = 4 – 12f(0) = 3f(0) = 3/2

f(1+1)=2f(1) + 1

=2 . 2 + 1

=5

2 2 2

f(0)=3

= 1,52

F(1) = 2F(2) = 5/2 = 2,5

Percebemos que essa função é uma PA, en-tão para calcular o f(101) = a101 = e r = 2,5 – 2 = 0,5

a101 = 2 + (101 – 1) . 0,5a101 = 2 + 100 . 0,5a101 = 2 + 50a101 = 52

40) Df(x) f(y) = f(x + y) f(1) = 2 e f( 2 ) =4f(3 + 2 ) = f(3) . f( 2 )f(3) = f(2 + 1) = f(2) . f(1)f(3)= f(2) . f(1) = 4.2f(3)=8f(2) = f(1 + 1) = f(1) . f(1)f(2) = f(1) . f(1) = 2 . 2 = 4f(2) = 4f(3 + 2 ) = f(3) . f( 2 ) = 8 . 4f(3 + 2 ) = 32

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18

41) BM1 – F1 e F2M2 – F3, F4 e F5M3 – F6

I) Não é função, porque um elemento do domí-nio (mães) está ligado a imagens diferentes (fi-lhos).

M1F1F2

F3F4

F5F6

M1

M1

II) É função porque todos os elementos do do-mínio (filhos) estão ligados a imagens e cada elemento do domínio está ligado apenas a uma imagem.

M1F1F2

F3F4

F5F6

M1

M1

III) Não é função porque há um elemento do do-mínio (F6) que não está ligado a uma imagem e além disso, um mesmo elemento do domínio tem imagens diferentes.

F1 F1F2 F2

F3 F3F4 F4

F5 F5F6 F6

42) – 2,0 e 5/2x3 – 4x se x ≤1x3 – 4x = 0x(x2 – 4) =0x = 0, pode ser, pois x ≤1.x2 – 4=0x2 = 4x = ± 4x= ± 2, não podemos considerar x = 2, pois x ≤1.

2x – 5 se x > 12x – 5 = 02x = 5X = 5/2, pode ser, pois x > 1.

43) g(f (x)) = (4x + 1) – 3 = 4x + 1 – 3 = 4x – 2

44) g(x) = 6x + 7 / 2f(x) = 2x – 5f(g(x)) = 6x + 22g(x) – 5 = 6x + 22g(x) = 6x + 2 +52g(x) = 6x + 7g(x) = 6x + 7 / 2

45) k= – 1/3f(x) = 1 – 2x g(x) = 2x + kf [g(x)] = g[f (x)]1 – 2(2x + k)= 2(1 – 2x) + k1 – 4x – 2k = 2 – 4x + k–2k – k = 2 – 4x + 4x – 1–3k = 1K = –1/3

46) f(–12 / 15) = 7 g(x) = 2x + 3 g(f(x)) = 2x+5 / x+1)2F(x) + 3 = 2x+5 / x+12f(x) = 2x+5 / x+1 –32f(x) = 2x+5–3 (x+1) / x+12f(x) = 2x+5–3x–3 / x+12f(x) = –x+2 / x+1f(x) = –x+2 / 2(x+1)f(x) = –x+2 / 2x+2

47) Ef(n + 1) = n – 1N + 1 = AN = A – 1f(A) = A – 1 – 1 = A – 2

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19

f(A) = A – 2f(n – 1)= n – 1 – 2f(n–1) = n – 3

48) f(x) = 6x – 1y = 6x – 1troque y por xx = 6y – 1x + 1 = 6yx + 1 / 6 = yf – 1 = x + 1 / 6

49) f – 1(x) = 6x+4 / 2x–1 f(x) = x+4 / 2x–6y = x+4 / 2x–6troque y por xx = y+4 / 2y–6x (2y – 6) = y + 42xy – 6x = y + 42xy – y = 6x + 4Y (2x – 1) = 6x + 4Y = 6x+4 / 2x–1

50) A f(x) = x–1 / x+2y = x–1 / x+2troque y por xx = y–1 / y+2x(y + 2) = y – 1xy + 2x = y – 1xy – y = –2x – 1y(x – 1) = –2x – 1y = –2x–1 / x–1y= –1(2x+1) / –1(–x+1)y = 2x+1 / –x+1y = 2x+1 / 1–x

51) f(x) = 2x + 12Interseção com o eixo y: (0, b) = (0, 12)Interseção com o eixo x:

(– b

, 0) = (– 12

, 0) = (-6,0)a 2

12

x

y

– 6

52)

5

y

x

53) Interseção com o eixo y: (0, b) = (0, 2) – b = 2Interseção com o eixo x: (–2 / a, 0)= (–6, 0)–2 / a = –6–2 = –6aA= –2 / –6A = 1 / 3Y = ax + bY = 1/3 x + 2

54) Interseção com o eixo y: (0, b) = (0,8) – b = 8Interseção com o eixo x: (–8 / a, 0) = (4, 0)–8 /a = 4–8 = 4aA = –8 / 4A = –2Y = ax + bY = –2x + 8

55) Interseção com o eixo y: (0, b) = (0, –5) – b= –5Interseção com o eixo x: (–(–5)) / a, 0) = (–10, 0)5 / a = –105 = –10aA = –5/10A = –1/2Y = ax + bY = –1 / 2 x – 5

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20

56) Interseção com o eixo y: (0,b) = (0,8) – b = 8Interseção com o eixo x: (–(8) / a, 0) = (–2, 0)–8 / a = – 2–8 = –2aA= –8 / –2A = 4Y = ax + bY = 4x + 8

57) Parcela fixa = coeficiente linear = 50Parcela variável = coeficiente angular = 1550 + 15 . 8 = 170 reais140 – 50 = 90 / 15 = 6 horasC(h) = 50 + 15h

58) BQO = – 20 + 4P QD = 46 – 2PQO =QD– 20 + 4P = 46 – 2P4P + 2P = 46 + 206P = 66P = 11

59) CSalário: 300 fixos + 0,50 por metro quadrado

vendidoParte fixa = coeficiente linear = 300Parte variável = 0,50xSalário: 300 + 0,50xPrimeiro mês: 500m x 1,40m = 700 m2

Salário do primeiro mês: 300 + 0,50 . 700 = 300 + 350 = 650 reais

Segundo mês: o dobro de 700 m2 = 1400 m2

Salário do segundo mês: 300 + 0,50 . 1400 = 300 + 700 = 1000 reais

60) Vamos considerar:Julho 2000 – 0 – (0,35,6) – b = 35,6Y = ax + bY = ax + 35,6Julho 2001 – (12,22)22 = 12a + 35,622 – 35,6 = 12a–13,6 = 12aA = –13,6 / 12A = –1,13

Maio 2001 – (10,y)Y = –1,13x + 35,6Y = 1,13.10 + 35,6Y = –11,3 + 35,6Y = 24,3 bilhões de dólares

61) DS = A + Bt + Ct2

Precisamos que c = 0, pois como o gráfico é uma reta, será uma função do primeiro grau.

S = A + BtO A é o coeficiente linear, então A = 12, pois o

ponto é (0,12) = (0,coeficiente linar).S = 12 + BtEscolhemos o ponto (3,0):0 = 12 + B . 3–12 = 3bB = –12/3B = –4A = 12 B = – 4 C = 0

62) DComo é dito que a variação da temperatura

seja, aproximadamente, linear entre cada duas das medições feitas para a profundidade, e 400 m está entre 100m e 500m, então:

100m – 21 – (21,100)400m-x – (x,400)500m-7 – (7,500)Y = ax + b100 = 21a + bB = 100 – 21a400=ax + b500=7a + bB = 500 – 7aB = B100 – 21a = 500 – 7a–21a + 7a = 500 – 100–14a = 400A = 400 / –14A = –28,6B = 100 – 21 (–28,6)B = 100 + 600,6B = 700,6400 = –28,6x + 700,6400 – 700,6 = –28,6x

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21

–300,6 = –28,6xX =300,6 / 28,6X = 10,5

63) DPlano K: 29,90 + 0,20 (x – 200)Plano Z: 49,90 + 0,10 (x – 300)Só montando as equações podemos eliminar

as opções A, B e E.Vamos igualar os planos para saber qual a op-

ção correta:K: 29,90 + 0,20 (x – 200) = 29,90 + 0,20x – 40Z: 49,90 + 0,10 (x – 300) = 49,90 + 0,10x – 3029,90 + 0,20x – 40 = 49,90 + 0,10x – 300,20x – 0,10x = 49,90 + 40 – 30 – 29,900,10x = 20+100,10x = 30X = 30 / 0,10X = 300 (momento em que os dois planos cus-

tam a mesma coisa).400 minutosK: 29,90 + 0,20x – 40 = 29,90 + 0,20 . 400 – 40

= 29,90 + 80 – 40 = 29,90 + 40 = 69,90Z: 49,90 + 0,10x – 30 = 49,90 + 0,10 . 400-30 =

49,90 + 40 – 30 = 49,90 + 10 = 59,90

Desafiando:

64) DPerceba que estamos falando de função com-

posta, e o resultado de f(4) = 5, depois f(5) = 2, f(2) = 1, f(1) = 4 e retorna para f(4) = 5.

Ou seja, os resultados se repetem depois de cada quatro, então:

2004 / 4 = 502 ou seja esses resultados se re-petem 502 e não inicia outro ciclo, então o último resultado é f(1) = 4.

65) D

y (%

de

carg

a)

100

90

75

0 z t (t + 2)

Para resolver essa questão vamos usar seme-lhança de triângulos:

Triângulo com vértices 100, t e 0 com o triân-gulo com vértices 100,75 e x

t–0 / z–0 = 100–0 / 100–75t / z = 100 / 25t / z =4z = t / 4 Triângulo com vértices 90, t+ 2 e 0 com o

triângulo com vértices x, t + 2 e zt+2–0 / t+2–z = 90–0 / 75t+2 / t+2–t / 4 = 90 / 75t + 2 –t / 4 = 4t + 8 – t 4 = 3t+8 / 4t+2 / 3t+8 / 4 = 18 / 1515(t+2) = 18(3t+8) / 415t + 30 = 9(3t+8) / 230t + 60 = 27t + 7230t – 27t = 72 – 603t = 12T = 12 / 3T = 4

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PROPORCIONALIDADE, GRANDEZAS E MEDIDAS

22

Praticando 1) D(2 + 1) (3+1) = 3 x 4 = 12

2) D1 + 3 + 8 + 6 + 1 = 19O próximo múltiplo de 9 é 27, então devemos

fazer 27 – 19 = 8.

3) CPrimeiro = bolaSegundo = chaveiroTerceiro = canetaQuarto = refrigeranteQuinto = sorveteSexto = CDSétimo = bolaOitavo = chaveiroMilésimo cliente = 1000/6=166, resto 4 = Re-

frigerante

4) A60/15 = 4 segundos60/10 = 6 segundosMMC(6,4) = 12 segundos

5) EDevemos fazer o MDC (1350,1224)

1 9 1 2 21350 1224 126 90 36 18126 90 36 18 0

1350 / 18 = 751224 / 18 = 6875 + 68 = 143

6) D1:200 = 1cm ------ 200cmÁrea = (1cm)2 ------ (200cm)2

1cm2 ------ 40000cm2

6cm2 ------ AA = 240.000cm2 = 24 m2

7) EÁrea da praça quadrada = 100 m x 100 m =

10.000 m²10.000 m² ------ 0,08 gx ------------------ 40 g x = 5.000.000m²

8) C

9) D

C = J = x1 13 2

C = x13

C = x12

C =J

x1

J =1

x2

Cx +

1x–

1601 2 13 3 6

2 x + 5x = 9605x = 960


Proporcionalidade, Grandezas e Medidas

Conteúdo:• Fatoração;• Divisibilidade; • Razões;• Proporções.

Objetivos de aprendizagem:• Revisar o processo de fatoração de um nú-

mero e os critérios de divisibilidade;• Definir o significado de razões e propor-

ções;• Utilizar as noções de razão e proporção

para apresentar o conceito de escala;• Estabelecer relações entre grandezas dire-

tamente ou inversamente proporcionais;• Apresentar e aplicar as ferramentas da regra

de três, simples e composta, em problemas.

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23

5x = 960

x = 9605

x = 112Como C = 1

3 x, então C = 192

3 = 64

Como J = 12

X, então J = 1922

= 96

10) D1 kg ------ x0,256 kg -------12,800,256x = 12,80X = 12,80 / 0,256X = 50 reais

11) B

Voluntários Casas Dias50 3.000 480 3.600 X

4=

3000X

80x 3600 50

4=

30X

8x 36 5

4=

5X

8x 5 5

4=

1X

4x 3 1

1=

1X

1x 3 1

X = 3 dias

Aprofundando:12) E

13) A

14) APara atender as condições, devemos ter um

número múltiplo de 4, múltiplo de 100 e não múltiplo de 400.

Para ser múltiplo de 100, deve terminar com 2 zeros, como o último caso foi em 1900, vamos

pensar em 2000, entretanto 2000 não pode ser porque tal número é múltiplo de 400.

Logo, percebemos que é 2100. A soma de seus algarismos é 2+1+0+0=3

15) B

16) A

Cadeiras reservadas=

17Total de cadeiras 70

17) B

Litros de água gasto por dia Litros por descarga

60 15X 6

15x = 60 x 615x = 360X = 360 / 15X = 24 litrosComo serão gastos 24 litros por dia, então

devemos fazer a subtração 60 – 24 = 36 litros serão economizados.

18) B

Habitantes=

20.000.000=

200= 25

Km2 800.000 8

19) C

Capacidade Ralos Horas900 6 6500 X 4

6=

900X

200x 500 8

6=

9X

2x 5 3

6=

3X

2x 5 5

3=

3X

1x 5 1

1=

1X

1x 3 1

X = 5 ralos

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24

20) A

Galão Litros1 3,8

50 xX = 190 litros

Dólar Real1 1,60

152 yY = 243,201 litro de gasolina = 243,20/190=1,28

21) D

Telhas Tijolos1500 1200900 x

1500=

12009000 x

15=

12900 x

5=

4900 x

1=

4180 x

X = 720Significa que ao levar 900 telhas, temos o

equivalente de 720 tijolos. Logo, para saber quantos tijolos ainda pode-se colocar, devemos fazer: 1200 – 720 = 480.

22) DAltura inicial = aLargura inicial = lAltura final = ALargura final = LComo o custo será o mesmo, então as áreas

serão as mesmas.al = ALA altura aumentou em 1/8, logo: A = a + 1 /

8a, A = 9 /8aal = ALal = 9 / 8a x Ll = 9 / 8LL / I = 8/9

23) E

Diâmetro olho humano

=2,1 cm

=1

=1:2000Diâmetro espelho 4200 cm 2000

24) D

Pista do professor

=60 cm

=1

= 1:700.000Pista do

atleta 42000000 cm 700.000

25) D

26) A

S = kDiretamente proporcionais

= kb . d2

Inversamente proporcionais x2

27) D“cubo da área S da superfície de um mamífe-

ro é proporcional quadrado de sua massa M” → s3 = kM2

S = kM23

S = k1/3 M2/3

28) BCimento = xAreia = 4xBrita = 2xX + 4X + 2X = 147X = 14X = 2, logo se cimento = x, então Cimento = 2.

29) C6X + 3x + 2x + 8X + 1x = 4020x = 40X = 2Como o escritório B equivale a 3x, então será

3 x 2 = 6

30) DComo o número de mulheres era 32 mil e

aumentou em 8 mil, significa que aumentou um quarto do total (32 /x = 8, x = 4), logo o número de homens também aumenta em um quarto (28 / 4 =7).

Para saber o total, basta somar 28 + 7 = 35 mil.

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25

31) B

Parte José Carlos PauloPrimeira 6x / 15 5x / 15 4x / 15Segunda 4x / 10 4x / 10 2x / 10Temos que descobrir quem carrega as 50 la-

ranjas a mais, então calculamos o MMC (15,10) = 30 e atualizamos a tabela:

Parte José Carlos PauloPrimeira 12x / 30 10x / 30 8x / 30Segunda 12x / 30 12x / 30 6x / 30Logo, vemos que Carlos levou as 50 laranjas

a mais e assim:12x/30 – 10x / 30 = 50,2x / 30 = 502x = 1500X = 750Para descobrir quando cada um levou na se-

gunda parte, devemos:

Parte José Carlos Paulo

Segunda 12.750 / 30 = 300 12.750 / 30 = 300 6.750 / 30 = 150

32) C

Técnico Páginas Dias4 480 126 600 x

12=

6X

480x 4 600

12=

1X

120x 1 100

12=

1X

12x 1 10

1=

1X

1x 1 10

X = 10

33) B

Cavalos Dias45 2050 x

20=

50x 45

20=

10x 9

2=

1x 9

X = 2 x 9 = 18 dias

Desafiando:34) Lembrar que há uma propriedade em que o resto do produto de dois números é igual ao res-to do produto dos restos, logo o resto da divisão de a . b por 8 é o mesmo que o resto de (7 . 5) / 8 = 35 / 8 = 4 e resto 3.

35) 150 < x < 250.x = 17a + 15x = 11b + 417a + 15 = 11b+ 417a = 11b – 1117ca = 11(b – 1)a = 11(b – 1)/17 e a e b são inteirosb – 1 deve ser múltiplo de 17, b – 1 = 17, b = 18x = 11.18+4=202

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GEOMETRIA PLANA: POLÍGONOS, TRIÂNGULOS E QUADRILÁTEROS

27

Praticando 1) AON = 50, ou seja, 2x + y = 50

NOC = 30, ou seja, y=302x + 30 = 502x = 50 – 302x = 20X = 10AOM = x = 10 graus

2) P

Xxxyy

QO

YR

POY = 50 = 2x + yXOR = 55 = x + 2y

Sistema2x + y = 50

x + 2y = 55

(2x + y = 50(–2)

x + 2y = 55

–4x –2y = –100

x + 2y = 55

5) –3x = –45(–1)3x = 45X = 45 / 3X = 15

2x + y = 502 . 15 + y = 5030 + y = 50Y = 50 – 30Y = 20POR = 2x + 2y = 2 . 15 + 2 . 20 = 30 + 40 = 70

graus

3) EX = 120 + 20 = 140O

4) A = 130, b = 50, c = 70 e d = 60a e 130 são correspondentes, então: a = 130A e (c + d) são alternos internos, então: c + d =

a, logo c + d = 130B, c e d são suplementares, então b + c + d = 180Logo, como c + d = 130 e b + c + d = 180, então

b + 130 = 180, logo b = 180 – 130, b = 50120 e (b + c) são alternos internos, então: b

+ c = 120 e como b = 50, então 50 + c = 120, c = 120 – 50, c = 70

Como c + d = 130 e c = 70, então 70 + d = 130, d = 130 – 70, d = 60

5) ATraçamos a reta r3 que seja paralela às duas

outras retas, dividindo o ângulo de 90 graus em duas partes.

Percebemos que o ângulo α é alterno interno do pedaço superior do ângulo de 90 graus.

O ângulo ao lado do de 130 graus é 50, pois eles são suplementares. Além disso, esse ângulo


Geometria Plana: Polígonos, Triângulos e Quadriláteros

Conteúdo:• Ângulos;• Paralelas cortadas por uma Transversal;• Polígonos;• Triângulos;• Cevianas e Pontos Notáveis do triângulo;• Quadriláteros.

Objetivos de aprendizagem:• Definir elementos e propriedades básicas

da geometria plana;• Conceituar polígono, seus principais exem-

plos e relações;• Estabelecer as principais classificações e

propriedades dos triângulos;• Apresentar e identificar os principais seg-

mentos e pontos notáveis de um triângulo;• Estabelecer as principais classificações e

propriedades dos quadriláteros.

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28

de 50 graus é alterno interno do pedaço inferior do ângulo de 90 graus.

Logo, α + 50 = 90, então α = 90 – 50, α = 40 graus.

6) x = 70 graus

a

b

30o

30o

40o

x

40o

alternosinternos

alternosinternos

colateraisinternos

colateraisinternos

Ao prolongarmos a reta s, dividimos o ângulo x em dois pedaços. Perceba que o pedaço supe-rior de x é alterno interno de 30 graus e o pedaço inferior é alterno interno do ângulo de 40 gruas, logo o x = 30 + 40 = 70 graus.

7) Hexágono = 6 ladosa) n – 3 = 6 – 3 = 3 diagonaisa) n – 3 = 6 – 3 = 3 diagonaisb) d = (n(n – 3)) / 2 = (6(6 – 3)) / 2 = 6 . 3 / 2 = 18 / 2 = 9 diagonaisc) Si = 180(n – 2) = 180(6 – 2) = 180 . 4 = 720 grausd) Se = 360 grause) ai = Si / n = 720 / 6=120 grausf) ae = Se / n = 360 / 6=60 grausg) n / 2 = 6 / 2 = 3 diagonais pelo centro.

8) α = 60 grausCada ângulo interno do hexágono é 120

graus, como todos os lados são iguais, descobri-mos que os dois ângulos do triângulo à esquerda são 30 cada um. Temos esse mesmo raciocínio para o triângulo debaixo.

Se um pedaço do ângulo interno é 30 graus, basta fazermos 120-30=90 graus.

Se o ângulo é 120 graus e temos dividido em três partes e duas delas tem 30 graus cada, então:

30 + 30 + α = 12060 + α=120α = 120 – 60α = 60

90o

90o

∞

30o

30o30o

30o 120o

120o

120o

9) CA soma dos três ângulos dos pentágonos

mais o ângulo agudo do losango devem somar 360 graus.

Ângulo agudo = 360 – 3.108 = 360 – 324 = 36A soma dos ângulos do losango deve ser 360

graus:36 + 36 + x + x = 36072 + 2x = 360 (:2)36 + x = 180x = 180 – 36x = 144 graus

360o – 3 . 108o

360o – 324o = 36o

xx36o

108o

36o

108o

108o

36o

10) CPD=72 grausSi = 180(n – 2) = 180(5 – 2) = 180 . 3 = 540 grausAi = 540 / 5 = 108 grausO triângulo ABC é isósceles e como o ângulo

B é 108 graus, então A = C, pois A + C + 108 = 180, 2A + 108 = 180, 2A = 180 – 108, 2A = 72, A = 72 / 2, A = 36 graus.

Usamos esse mesmo raciocínio para o triân-gulo BCD e temos B = D = 36 graus e C = 108 graus.

Veja que o segmento CP divide o ângulo de 108 graus em duas partes, como sabemos que a

EM3M

AT12


29

parte da direita vale 36, então a parte da esquer-da é 108 – 36 = 72 graus.

Considere o triângulo CPD, onde D = 36, C = 72, então P será:

P + C + D = 180P + 72 + 36 = 180P + 108 = 180P = 180 – 108P = 72 graus

E

A

B

CD

P

36o

36o

36o

36o

108o

108o

108o – 36o = 72o

x

11) CPercebemos que o ângulo de 45 graus é o

ângulo externo do polígono regular, então para sabermos qual é o polígono, devemos fazer:

ae = Se/n45 = 360/nN = 360 / 45 = 40 / 5 = 8 (octógono regular).

12) ae = Se / n = 360 / 10 = 36Percebemos que a bissetriz externa de B e a

mediatriz formam um triângulo retângulo, então:18 + x + 90 = 18018 + x = 180 – 9018 + x = 90X = 90 – 18X = 72 graus.

13) x = 70 e y = 105Vamos utilizar a propriedade de o ângulo ex-

terno ser a soma dos ângulos internos não adja-centes a ele.

No triângulo ACD, o ângulo externo C é a soma dos ângulos A e D. Os ângulos A e D são iguais porque os lados AC e CD são iguais.

No triângulo ABC, o ângulo externo A é a soma dos ângulos B e C menos o ângulo de 35 graus, pois perceba que o ângulo A de 180 graus é dividido em três partes. Os ângulos B e C são iguais porque os lados AB e AC são iguais.

CB D70o 36o

70 + 70 – 35o

y = 140o – 35o

y = 105o

Ay

70 – 35o + 35o

35o

x = 70o

14) CDE = 21 grausColocar a letra E conforme abaixo

A

D CB

E

A

D

xxz yy

CB

E

Como AB e AC são iguais, os ângulos também serão ambos y.

Como AD e AE são iguais, os ângulos também serão ambos x.

Perceba que no triângulo CDE, o ângulo exter-no E, que vale x, é igual a soma de z e y: x = y + z.

Considerando o triângulo ABD, como o ângu-lo BÂD = 42, a soma dele com o ângulo B é igual ao ângulo externo D, que é x + z: y + 42 = x + z

Substituindo x = y + z em y + 42 = x + z, temos:y + 42 = (y + z) + zy + 42 = y + z + zy – y + 42 = 2z42 = 2zZ = 42 / 2Z = 21, como z = CDE = 21 graus

15) CComo AF = EF, então os ângulos são iguais.

Usamos o teorema do ângulo externo para de-

EM3M

AT12


30

terminar que o ângulo F do triângulo DEF, como EF = DE, então os ângulos são iguais.

Para determinar o ângulo E do triângulo CDE, usamos o teorema do ângulo externo novamen-te, mas devemos nos atentar que o ângulo ex-terno é 4x, mas já temos representado um x no triangulo AEF, por isso o ângulo E do triângulo CDE será 3x. Como DE = CD, então C = 3x no tri-ângulo CDE.

Para determinarmos o ângulo D do triângulo BCD, usamos o teorema do ângulo externo no-vamente, mas devemos nos atentar que o ângu-lo externo é 6x, mas já temos representado um 2x no triangulo DEF, por isso o ângulo D do triân-gulo BCD será 4x. Como CD = BC, então B = 4x no triângulo BCD.

C B

D

E

F

A

4x4x

3x

2x

2x

x

x

x

3x

Como triângulo ABC é isósceles, então o ân-gulo B e C são iguais e o ângulo C do triângulo BCD será x.

Ainda no triângulo ABC, A + B + C = 180, (x) + (4x) + (3x + x) = 180

9x = 180X = 180/9X = 20.

16) Como é pedido os valores inteiros, então: 1,2,3,4,5,6 e 7

| b – c | < a < b + c| 9 – 7 | < 2x+1 < 9 + 72 < 2x+1 < 162 < 2x + 1 2 – 1 < 2x1 < 2x

1/2 < xX > 1/22x + 1 < 162x < 16 – 12x < 15X < 15/21/2 < x < 15/205 < x < 7,5Como é pedido os valores inteiros, então: 1,

2, 3, 4, 5, 6 e 7

17) C

P

10

6 8Y Z

X

y – x < 6 < x + yz – x < 8 < x + zy – z < 10 < z + yy – x + z – x + y – z < 24 < x + y + x + z + z + y2y – 2x < 24 < 2x + 2y + 2zy – x < 12 < x + y + ZA soma x + y + z deve ser maior que 12.

18) A

XY

6

Como x + y + 6 = 17, x + y = 11x – y < 6 < x + yx – y < 6 < 11Números que somam 11:0 e 11 – não pode um lado não pode ser zero,

pois 11 – 0 < 6 < 11, 11 < 6 < 111 e 10 - não pode, pois 10 – 1 < 6 < 11, 9 < 6 <

11 isso é falso.2 e 9 - não pode, pois 9 – 2 < 6 < 11, 7 < 6 < 11

isso é falso

EM3M

AT12


31

3 e 8- pode, pois 8 – 3 < 6 < 11, 5 < 6 < 11 isso é verdadeiro

4 e 7 - pode, pois 7 – 4 < 6 < 11, 3 < 6 < 11 isso é verdadeiro

5 e 6 - pode, pois 6 – 5 < 6 < 11, 1 < 6 < 11 isso é verdadeiro

3 triângulos!

19) B – É o incentro, pois ele é equidistante dos três lados do triângulo.

20) 2p = 7 + 3,5 + 3,5 + 3,5 = 17,5 cm

21) C

22) 105o

23) AComo o triangulo CDE é equilátero, então os

ângulos são de 60 graus.A diagonal BD divide o ângulo de 90 na me-

tade.O triângulo BDE: x+45+60+60=160X + 165 = 180X = 180 – 165X = 15

A

B

D

E

C

x

60o

60o45o

60o

24) DComo o ângulo D tem uma bissetriz, por isso

o ângulo é dividido ao meio.Como CD é paralelo a AB, por isso foi marca-

do o alterno interno e percebemos que os lados são iguais.

O perímetro é 6 + 6 + 9 + 9 = 12 + 18 = 30 .

A E B

CD

36

66

9

25) 140o

26) 160cmAo retirar os dois quadrados perdem-se 14

cm, mas ao ganhar seis segmentos, cada um me-dindo 7cm, ganhando 42 cm, logo 42-14=28cm.

É o perímetro original, que era 2 x 48 + 2 x 18 = 132 + 28 = 160cm.

27) B.

28) EAumento = 12x – 8x = 4x8x ----- 100%4x ----- P8xP = 400x8P = 400P = 400/8P = 50%

2p . 4(2x) = 8x

x

x

x

x

x x

x x

2p . 4(3x) = 12x

x

x

x

x2x2x

2x2x

Aprofundando:29) POR = 90 graus

PXx

xyy

QO

YR

2x + y = 65X + 2y = 703x + 3y = 135 (:3)X + y = 45

EM3M

AT12


32

2(x + y) = 2.452x + 2y = 90

30) 45 graus2x + 2y = 90 (:2)X + y = 45

A

BC

0x

90 + 45 = 135o

xyy

31) São ângulos internos, logo 3x-25=X+153x-x=15+252x=40X=20 graus.

32) x = 9 grausVamos considerar o triângulo, por isso co-

locamos 35 graus dentro do triângulo por ser oposto pelo vértice.

Do lado do ângulo 127 graus é o ângulo su-plementar, ou seja, 180 – 127 = 53.

O terceiro ângulo do triângulo será 180 – (53 + 35)=180 – 88 = 92

Como o ângulo de 92 graus é oposto pelo vér-tice do x, então x = 92

x

92o

35o

35o

53o

127o

33) O ângulo 75 graus e A são correspondentes, então A = 75.

A e B são alternos internos, B = 75.C e 140 são colaterais, logo C + 140 = 180, C =

180 – 140, C = 40B + C + D = 18075 + 40 + D = 180115 + D = 180D = 180 – 115

D = 65.

34) A120 e a soma (2x + 4x) são correspondentes,

logo2x + 4x = 1206x = 120X = 120/6X = 20B e 4x são colaterais, logoB + 4x = 180B + 4.20 = 180B + 80 = 180B = 180 – 80B = 100

35) x = 72 graus

112°40°40°

x = 72o

112 – 40o = 72o

36) α = 10030°

110°

a

110 – 30 = 80

a + 80 = 180a = 80 – 180a = 100

30°

37) EAo traçar paralelas pelos vértices intermedi-

ários, os ângulos desses vértices ficam divididos em duas partes cada um.

Há 3 pares de ângulos colaterais internos (su-plementares) e portanto 3 x 180 = 540.

r

s

a

bγ

δ

EM3M

AT12


33

38) Pentágono = 5 ladosa) n – 3 = 5 – 3 = 2 diagonaisb) d = n(n – 3) / 2 = 5(5 – 3) / 2 = 5 . 2 / 2 = 10 / 2 = 5 diagonaisc) Si = 180 (n – 2) = 180 (5 – 2) = 180.3 = 540 grausd) Se = 360 grause) ai = Si/n = 540 / 5 = 108 grausf) ae = Se/n = 360/5 = 72 grausg) Nenhuma, pois o polígono tem um número ím-par de lados, então nenhuma passa pelo centro.

39) C

a108o 108o

36o 36o

36o 36o

ai = Si/n = 540/5 = 108 graus36 + 36 + α = 10872 + α = 108α = 108 – 72α = 36

40) ABC = 18

A

B C

H

108o

144o

108o

x x

2x + 144 = 1802x = 180 – 1442x = 36x = 18o

41) f = 18 graus

a

b

c

d

f

e

x = 72o

72o

3x2

xa

x

2x+

x+

3x+

x=

3601/2 2 2 1/2 1/2

4x + x + 3x + 2x = 7205x + 5x = 72010 x = 700x = 720 / 10x = 72o

72o + 90 + f = 180162 + f - 180f = 280 – 162f = 18o

42) Eae = Se/n = 360/7 = 51,4 graus

43) Dae = Se/n20 = 360/nn = 360/20 n = 18d = n(n–3) / 2 = 18(18–3) / 2 = 18 . 15 / 2 = 270

/ 2 = 135 diagonais

44) Bn = n(n–3) / 21 = (n–3) / 2n – 3 = 2n = 2 + 3n = 5

45) d = 2d(2d – 3) / 21 = 2(2d – 3) / 22 = 4d – 6

EM3M

AT12


34

4d = 2 + 64d = 8D = 8/4D = 22 = (n – 3) / 24 = n – 3N = 4 + 3N = 7

46) Probabilidade = diagonais que passam pelo centro) / (número de diagonais = n / 2 / n(n – 3) / 2 = n / 2 . 2 / n(n – 3) = 1 / (n – 3)

47) CUsamos o teorema do ângulo externo:

CD

A

EB

A + CB + E

A + B + C + D + E = 180

48) 30 graus

2

10oB

X

O

Y

A

x x

y

y

x – 10x – 10

2x + 2y = 100X + y = 50x – 10 = 10 + yx – y = 10 + 10x – y = 20

X + y = 50x – y = 202x = 70

X = 35X + y = 5035 + y = 50Y = 50 – 35Y = 15BOC = 2y = 2.15 = 30 graus

49) x = 50

40°60°

60°70°

70°

60°x = 50o

x = 180o – 130

50) D

40o

BX

Y

CZ

70o

70o

70o

55o

55o

55o

51) AX + y + 80 = 180X + y = 180 – 80X + y = 100

2x + z = 1802y + z = 180X = yX + y = 100X = y = 502x + z = 1802.50 + z = 180100 + z = 180Z = 180 – 100Z = 80A + B + C = 18080 + B + 80 = 180160 + B = 180B = 180 – 160B =20

EM3M

AT12


35

B

F

E

A C

80º

D

20o

80º 80º

y

y

zxxz

52) D

40º

a

b90 – a

90 – a

90 + 40 + 90 – a – b = 90130 = a + b

53) PM + PN + PS = K

A

M

N

C B

P

S

K33

K3+

K3+

K3= K

3 3 3

K33

K33

K33

K33

K33

54) 29 – 14 < 3x – 1< 29 + 1415 < 3x – 1 < 4315 < 3 x – 115 + 1 < 3x

16 < 3x16 / 3 < xx > 5,3

3x – 1 < 433x < 43 + 13x < 44X < 44 / 3X < 14,65,3 < x < 14,6 Números inteiros: 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14

55) A

xxx

x

x

x

1210

10

12

12

8

10

1

8

10 – 8 < x < 10 + 82 < x < 18

12 – 10 < x < 12 + 102 < x < 22

12 – 8 < x < 12 + 84 < x < 20

22

204

82

4 < x < 18Números inteiros5, 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15, 16, 17.

56) DA D

CB

E

2x + 30o = 180o

2x = 180 – 30o

2x = 150o

x = 75o

60o

60o

30o

x

EM3M

AT12


36

57) DPB = 45 grausAD

C B

P

15o

15o

60o

60o

60o

60o

150o

58) BAD = 150 grausA D

CB

I

150°

180 – 30o = 150o

x = 15o

x = 15o

xx

2x + 150 = 1802x = 180 – 1502x = 30x = 15

59) ADE = 10 graus

E

B C

AA

140o

40o

40o63o

10o

10o

360 – (60 + 140)360 – 200 = 160o

60) D – A altura da grade é igual ao comprimento de x tubos, portanto haverá (x + 1) fileiras hori-zontais de tubos = x . (y + 1)

A largura equivale ao comprimento de y tu-bos, portanto haverá (y + 1) fileiras verticais de tubos = y (x + 1)

Total de tubosx . (y+1) + y (x+1)xy + x + yx + y2xy + x + y

Desafiando:61) Considerando AOB = 2x

e BOC = 2yÂngulos da bissetriz OM valem x e x e para

ON valem : y e y OZ bissetriz de MON, ângulos formados va-

lem: (x + y) / 2OT bissetriz de AOC, ângulos formados va-

lem: x+y

BOZ = (x + y) /2 – x = (y – x) /2ZOT = (x + y) /2 – x = (y – x) /2BOT = (y – x) /2 + (y – x ) /2 = (y – x)Como a diferença dos ângulos BOC e AOB

vale 24o

2y – 2x = 24o

y – x = 12o

BOZ = 6o

ZOT= 6o

BOT= 12o

62) AQC = 50 graus

x

x + y80 + y

80o

2y

y

y

y

z

PQ

CA

B

MTeoremado ânguloexterno

Teoremado ânguloexterno

x + x + 80 + y + y = 180 2x + 2y = 180 – 802x + 2y = 100 (–2)x + y = 50 Logo AQC = x + y = 50o

63) Ângulo de 45 graus

bh

B

b

aB – b

2

tg a = hB – b + b

2

hB – b + 2b

2

2B + b

2Tga = 1

a = 45o

B + b

= 1==

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 2017

1

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO

3º ANO – 2016 / 2017

MATEMÁTICA I

1o BIMESTRE

EM3MAT01: Estatística: trabalhando conjuntos e estruturando o processo estatístico• Reconheceranecessidadedeorganizarinformaçõesemconjuntos;• Assimilartécnicas,notaçõeseoperaçõesdeconjuntos;• Representareinterpretardadosagrupadosemtabelasegráficos;• Compreenderosconceitosbásicosdaformaçãodoprocessoestatístico;• Calcularmedidasestatísticasdetendênciacentraledispersão.

EM3MAT02: Matemática Financeira: conceitos e aplicações• Compreenderosignificadodarepresentaçãodeumaporcentagem;• Calcularporcentagenseaprenderautilizarfatoresdeatualização;• Diferenciarporcentagensemrelaçãoabasesdiferentesdevalores;• Aprenderosconceitosediferençasentrejurossimplesecompostos;• Identificarecalcularovalordodinheironotempoatravésdosjuros.

EM3MAT03: Funções: conceitos e funções do 1o grau• Estabeleceroconceitodeprodutocartesiano,easdefiniçõesdedomínio,contradomínioeimagem;• Representarprodutoscartesianosnoplanocartesiano;• Identificarrelaçõesefunçõesapartirdeprodutoscartesianos;• Conceituareresolverfunçõescompostaseinversas;• Reconhecereaplicarfunçõesde1ograu,algébricaegraficamente.

2o BIMESTRE

EM3MAT04: Funções: funções do 2o grau e suas aplicações• Identificarumafunçãodo2ograu,compreendendosuaimportânciaeaplicações;• Calculareanalisarseusprincipaisparâmetroseinterseçõescomoseixoscartesianos;• Determinarraízeserealizarestudosdesinal;• Resolverproblemasdemaximizaçãoeminimizaçãodefunçõesquadráticas;• Determinarconjuntos-soluçãodeinequaçõesprodutoequociente.

2

EM3MAT05: Funções: exponenciais e logarítmicas• Revisarconceitosdepotenciação;• Entenderarepresentaçãoalgébricaegráficadeumafunçãoexponencial;• Compreenderaformaçãodologaritmoesuarelaçãocomapotenciação;• Perceberoprocessodeestruturaçãodeumafunçãologarítmica,baseadanaexponencial;• Representareresolverequações,inequaçõesefunçõesexponenciaiselogarítmicas.

EM3MAT06: Análise Combinatória: calculando possibilidades• Assimilaraimportânciadoprocessodetomadadedecisõeseprincípiosmultiplicativos;• Apresentaraoperaçãofatorialeoseufuncionamento;• IntroduziroPrincípioFundamentaldaContagemcomobaseparaaAnáliseCombinatória;• Estabelecerosconceitosdepermutação,arranjoecombinação,bemcomosuasrestrições;• Aplicarasferramentasdesenvolvidasemproblemascontextualizadoseatuais.

3o BIMESTRE

EM3MAT07: Probabilidades: cálculos e interpretações• EstruturarasnoçõesdeEspaçoAmostral,EventoeProbabilidade;• Resolverproblemasiniciaisdeprobabilidade;• Reconheceradependênciaouindependênciadeeventos;• Percebercomoelasafetamocálculodeprobabilidadescondicionais;• Utilizarconectivos“e”e“ou”paratratardeprobabilidadescommaisdeumevento.

EM3MAT08: Sequências: progressões aritméticas e geométricas• Reconhecerpadrõesnaformaçãodesequênciasnuméricas;• Definirconceitos,propriedadeserelaçõesdeumaProgressãoAritmética;• Definirconceitos,propriedadeserelaçõesdeumaProgressãoGeométrica;• AssimilarasrecorrentesformasdediferenciarumaPAdeumaPG;• Resolverproblemasdesequênciasnuméricasaplicandotaisconceitos.

4o BIMESTRE

EM3MAT09: Matrizes: organizando números e dados em matrizes• Compreenderosignificadodeumamatriz;• Assimilarasdiversaspropriedadesassociadasàsmatrizes;• Realizaroperaçõesenvolvendomatrizes;• Calculardeterminantesdematrizesquadradas;• Utilizarconceitosdematrizesparadeterminarconjuntos-soluçãodesistemaslineares.


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EM3MAT10: Lógica e problemas de raciocínio• Elaborarummodeloqueestrutureoraciocíniodeformalógica,atravésdeproposições;• Utilizarconectivosparaencadearproposições;• Estabeleceratabela-verdadeparaanalisaralógicamatemática;• Conhecereaplicarconceitosdenegação,equivalênciaeaestruturacondicional;• Resolverproblemasdelógicamatemáticaequestõesderaciocíniomatemáticosimples.

MATEMÁTICA II

1o BIMESTRE

EM3MAT11: Razões e proporções: proporcionalidade, grandezas e medidas• Reconheceranecessidadedeorganizarinformaçõesemconjuntos;• Assimilartécnicas,notaçõeseoperaçõesdeconjuntos;• Representareinterpretardadosagrupadosemtabelasegráficos;• Compreenderosconceitosbásicosdaformaçãodoprocessoestatístico;• Calcularmedidasestatísticasdetendênciacentraledispersão.

EM3MAT12: Geometria Plana: polígonos, triângulos e quadriláteros• Definirelementosepropriedadesbásicasdageometriaplana;• Conceituarpolígono,seusprincipaisexemploserelações;• Estabelecerasprincipaisclassificaçõesepropriedadesdostriângulos;• Apresentareidentificarosprincipaissegmentosepontosnotáveisdeumtriângulo;• Estabelecerasprincipaisclassificaçõesepropriedadesdosquadriláteros.

2o BIMESTRE

EM3MAT13: Geometria Plana: semelhanças, relações métricas no triângulo e circunferências

• Relacionarsegmentosproporcionaiseestabelecercritériosparasemelhançadetriângulos;• Construirrelaçõesmétricasentreosprincipaissegmentosdeumtriânguloretângulo;• UtilizaroTeoremadePitágorasemaplicaçõesdiretasdageometria;• Deduzirasleisdosenoedocosseno,válidasparaqualquertriângulo;• Compreender o significado geométrico de uma circunferência, seus elementos e propriedades

métricaseangulares.

EM3MAT14: Geometria Plana: áreas e relações entre circunferências e polígonos• Determinarmecanismosparaocálculodasáreasdosprincipaispolígonos;• Calcularáreadocírculoesuaspossíveisdivisões;• Corresponderáreasdefigurasgeométricassemelhantes,apartirdaproporçãoentresuasmedidas;• Compreenderoconceitodeapótemadeumpolígonoregular;• Relacionarladoseapótemasdepolígonosregularescomcircunferênciasinscritasecircunscritas.

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3o BIMESTRE

EM3MAT15: Geometria Espacial: poliedros, prismas e cilindros• Introduzir os conceitos de geometria espacial a partir da utilização de uma superfície poliédrica

convexa;• Relacionar os principais elementosde um poliedro, bem como o conjunto de poliedros regulares

notáveis;• Definir o que é um prisma, mostrando seus principais elementos, planificações, e deduzindo os

cálculosdeáreasevolume;• Definiroqueéumcilindro,apresentandoseusprincipaiselementos,planificações,eoscálculosde

áreasevolume;• Construircilindrosapartirdarevoluçãodefigurasplanas.

EM3MAT16: Geometria Espacial: pirâmides, cones e esferas• Apresentarosconceitosbásicosdepirâmides,coneseesferas,comsuasreferidasplanificações;• Relacionarseusprincipaiselementos,expandindoapercepçãogeométricadossólidos;• Estabelecerfórmulasdeáreasevolumesparaessessólidos,bemcomorelacionarsólidossemelhantes;• Construirconeseesferasapartirdarotaçãodefigurasgeométricasplanas;• Realizarcortesempirâmideseconeseapresentarasprincipaisnoçõesdetroncos.

4o BIMESTRE

EM3MAT17: Trigonometria: conceitos, círculo trigonométrico e funções• Estabelecerdiferentesmedidasdeângulos,earelaçãoentreelas;• Compreenderosconceitosiniciaisdetrigonometriaapartirdetriângulosretângulos;• Conhecerocírculotrigonométricoesuasprincipaispropriedades;• Utilizarocírculotrigonométricoparadeduzirvalorestrigonométricosparadiversosgruposdeângulos

notáveiserelaçõestrigonométricasfundamentais;• Analisaralgébricaegraficamenteequações,inequaçõesefunçõestrigonométricas.


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ORIENTADOR METODOLÓGICO PADRÃO

ENSINO MÉDIO 2017/2018

O material didático da Irium Educação foi reformulado para o biênio 2017/2018 com o intuito de estar atualizado com as demandas educacionais dos principais concursos do país e alinhado com os pilares educacionais elementares defendidos pela editora.

Além de conter um projeto pedagógico de vanguarda, o projeto gráfico é totalmente inovador. O design de cada página foi projetado para ser agradável para a leitura e atrativo visualmente, favorecendo a aprendizagem. Há uma identidade visual para cada disciplina e as seções são marcadas com foco artístico e acadêmico.

Veja algumas páginas:

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Didaticamente, há um projeto traçado que envolve fundamentos pedagógicos de vanguarda. Além disso, o material impresso dialoga com sites e aplicativos, e vídeos dispostos na videoteca do irium.com.br.

Confira os fundamentos pedagógicos do material e suas justificativas:

Fundamento 01:Apresentar um conteúdo com ementa e nível de acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs), refletidos pelos principais concursos do país do referido segmento.

Descrição: O conteúdo de cada série segue as orientações dos PCNs e conteúdo programático do exame nacional do Ensino Médio (ENEM). Existem duas linhas de material. O pacote Otimizado aborda todo o conteúdo dividido em três anos, enquanto o Padrão encerra todo o conteúdo nos dois primeiros anos, e o terceiro ano funciona como um pré-vestibular abordando toda a ementa do ENEM e dos principais vestibulares do Brasil.

Fundamento 02:Alinhar desde o princípio os objetivos pedagógicos de cada caderno (capítulo).

Descrição: Ainda na capa de cada caderno (capítulo), professores e alunos encontrarão os objetivos a serem alcançados naquela unidade. Dessa forma, pretende-se que docentes e discentes comecem “com o objetivo em mente”, ou seja, que tenham clareza desde o início dos objetivos.

Como funciona na prática? Logo na capa do caderno, sugerimos que o professor apresente os objetivos pedagógicos do caderno, ou seja, o que o aluno deve assimilar e quais competências ele deve desenvolver, quando o caderno estiver com a teoria lecionada e os exercícios realizados.

Na capa do caderno de Hidrostática, ao lado, ao ler os objetivos da unidade, junto com os alunos, o professor deixa claro que visa ensinar, para compreensão dos alunos, compreender os conceitos de pressão, massa específica e densidade de um corpo, assim como o teorema de Stevin, de Arquimedes e o princípio de Pascal.


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Fundamento 03:Transcender o conteúdo tradicional, a partir do diálogo entre este e outros saberes, não previstos na Base Nacional Comum, mas considerados relevantes para a formação do jovem, segundo a visão da Irium Educação.

Descrição: Além do conteúdo tradicional, o material do Ensino Médio é focado em novos saberes essenciais para a formação dos jovens hoje em dia. Saberes como Economia, Noções de Nutrição, Geopolítica e Meio Ambiente são apresentados de forma dialógica com os conteúdos tradicionais. De forma prática, em cada caderno há pelo menos uma inserção transdisciplinar em formato de observação. Essas inserções surgem no material impresso em uma versão reduzida e o artigo na íntegra pode ser acessado no site do projeto 4newsmagazine.com.br.

Como funciona na prática? As inserções são apresentadas em um quadro específico e o conteúdo é exposto pela bandeira interdisciplinar 4NEWS MAGAZINE. Esta é uma revista de atualidades que possui uma linguagem própria da adolescência, o que gera identificação com os alunos. Com isso, terão a oportunidade de ler, entender e debater temas importantes do Brasil e do mundo de uma forma mais interessante para a faixa etária que se encontram. Para os professores, fica a sugestão de utilizar esses artigos transdisciplinares para apresentar como o conteúdo presente “dialoga” com outros, estendendo a aprendizagem e mostrando outras áreas do conhecimento com as quais alguns alunos, com certeza, irão se identificar. Esse fundamento do material didático é uma grande oportunidade para fazer conexões entre os saberes, valorizando cada um e ainda mais a sinergia entre eles. Além do artigo presente na apostila, os educadores podem incentivar os discentes a acessar o conteúdo completo, no site, possibilitando a navegação por outros artigos e, consequentemente, o acesso a mais informações de qualidade. Veja no recorte abaixo, como a notícia sobre a influência da igreja católica na geopolítica mundial foi utilizada para dialogar com o caderno de História do 3º ano “Formação do Brasil colonial”, enriquecendo ainda mais o conhecimento cultural do aluno.

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Fundamento 04:Sugerir contextos para apresentação dos conteúdos a fim de tornar o aprendizado mais prático e concreto para o aluno.

Descrição: Um desafio para os educadores é não cair no “conteudismo” puro, distante da aplicabilidade desses e da realidade dos alunos. Para isso não acontecer, o material traz sugestões de contextualizações para o início do conteúdo, além de outras exemplificações práticas ao longo da apresentação da teoria.

Como funciona na prática? Na segunda página de cada caderno, há uma charge, uma tirinha, uma citação, um meme ou outra representação que o professor pode usar como “gancho” para iniciar a sua aula de forma contextualizada, trazendo mais significado para o aprendizado desde o início da aula. Repare que o texto abaixo (à esquerda) propõe uma reflexão sobre o porquê alguns corpos flutuam e outros não. Essa provocação cabe perfeitamente para o início da exposição, considerando que se pretende explicar o conceito de hidrostática, ou seja, ciência que estuda os líquidos em equilíbrio estático. No outro exemplo (à direita), o autor inseriu uma imagem para criticar a concentração fundiária no Brasil.


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Fundamento 05:Promover uma linguagem mais dialógica e sedutora para o aluno, a fim de sensibilizá-lo para a importância do conteúdo, facilitando o processo de aprendizagem.

Descrição: A forma como as informações são apresentadas é essencial para criar simpatia ou rejeição por parte dos alunos. Pensando nisso, reformulamos a linguagem do material, especialmente no início de cada caderno, na primeira impressão, para que ela fosse mais atrativa para os jovens. Assim, o texto “conversa” com o leitor, favorecendo a apresentação do conteúdo e evitando rejeições devido a forma como ele é apresentado.

Como funciona na prática? Os textos do material não possuem linguagem coloquial, eles são técnicos. Porém, não são puramente técnicos no sentido tradicional. Eles buscam uma aproximação do educando, como se o autor estivesse “conversando” com o leitor. Esse tipo de construção favorece a compreensão, e os professores podem usar isso em exercícios como: reescreva determinado texto com suas palavras, deixando claro o que você entendeu. Nos textos tradicionais, normalmente, os alunos têm dificuldade de entenderem sozinhos. Veja os textos abaixo como são convidativos.

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Fundamento 06:Articular conteúdo e exercícios de forma planejada, a fim de tirar o melhor proveito desses últimos, funcionando como validação dos conceitos básicos trabalhados ou espelhando a realidade dos mais diversos concursos.

Descrição: Há três seções de exercícios “tradicionais”. Os Praticando possuem o aspecto de validação da aprendizagem, os Aprofundando refletem a clássica abordagem dos concursos e os Desafiando (somente na versão Padrão) são os mais difíceis, até mesmo para os principais concursos do país. Existem também, em todas as seções, questões resolvidas em vídeo. Elas estão sinalizadas com um ícone de uma câmera, que indica que há solução gravada, e podem ser localizadas pelo código justaposto. Através desse código, o aluno-usuário deverá acessar a área da Videoteca, localizada em irium.com.br.

Como funciona na prática? Os exercícios Praticando, por serem validações da aprendizagem, permeiam a teoria, ou seja, teoria 1 → praticando 1 → teoria 2 → praticando 2 → ... Os Aprofundando servem como mini simulados de concursos e são recomendados “para casa” para serem corrigidos na aula seguinte. Os Desafiando, por serem os mais difíceis, podem valer pontos extras em atividades a parte.

Fundamento 07:Incentivar o aluno a estender sua aprendizagem além da sala de aula, seja com links para sites e aplicativos ou através de atividades complementares de pesquisa e reflexão.

Descrição: O material possui também atividades não ortodoxas. As questões “tradicionais” são testes para verificar se o aluno consegue reproduzir aquilo que deveria ser aprendido. Na seção Pesquisando, o material propõe exercícios novos, que incentivam a pesquisa on-line e off-line, reflexões sobre escolhas e comportamentos e servem também, para possibilitar a atuação dos responsáveis na educação formal do filho, pois podem ajudá-los nas pesquisas e reflexões sugeridas pela atividade. Para o terceiro ano, não há a sugestão da atividade Pesquisando, mas uma seção denominada Competências e Habilidades onde são informadas e trabalhadas as cento e vinte habilidades da matriz de referência do ENEM.


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Como funciona na prática? A seção Pesquisando é constituída de exercícios “fora da caixinha”, isto é, aqueles que exigem pesquisas e/ou reflexões. Há algumas utilizações pedagógicas interessantes para essa seção. Exemplos: 1) O professor poderia pedir um caderno separado para registro desses exercícios. Ao final ele teria um verdadeiro portfólio da produção dos alunos ao longo de determinado tempo; 2) Os pais poderiam ser convidados a participar da educação formal do filho, ajudando-o ou simplesmente perguntando sobre os temas abordados nesses exercícios, pois são mais fáceis para esse intuito do que os exercícios tradicionais; 3) O aluno poderia exercitar sua oratória apresentando atividades propostas nessa seção; 4) Alguns Pesquisando podem ser usados como temas para debates em sala, desenvolvendo as habilidades de ouvir e compreender o outro, além, obviamente, da capacidade de argumentação.

A seção Competências e Habilidades, presente no material do terceiro ano, informa qual(is) habilidade(s) está(ão) relacionada(s) àquele conteúdo, qualificando o educando nesse conteúdo.

Fundamento 08:Oferecer informações sintetizadas, a fim de atender momentos de revisão do conteúdo.

Descrição: No final de todo caderno, apresentamos uma seção denominada Resumindo, onde é apresentada uma síntese do conteúdo do caderno. O intuito é possibilitar que o aluno tenha um resumo bem construído para uma revisão rápida, quando necessária.

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CONTEÚDO PROGRAMÁTICOENSINO MÉDIO 2017

3o anoMATEMÁTICA I

1o bimestre:

Aula 01Tópico EM3MAT01: Estatística: trabalhando conjuntos e estruturando o processo estatístico

Objetivos Reconhecer a necessidade de organizar informações em conjuntos; Assimilar técnicas, notações e operações de conjuntos.Subtópicos Conceitos iniciais; Representação de um conjunto; Subconjuntos; Igualdade de conjuntos; Operações entre conjuntos; Conjuntos numéricos; Reta real; Intervalos reais.Exercícios Praticando 1 ao 7Para casa Resenha de Interpretação de dados; Medidas de tendência central; e Medidas de dispersão.


Objetivos Representar e interpretar dados agrupados em tabelas e gráficos; Compreender os conceitos básicos da formação do processo estatístico; Calcular medidas estatísticas de tendência central e dispersão.Subtópicos Interpretação de dados; Medidas de tendência central; Medidas de dispersão.Exercícios Praticando 8 ao 20Para casa Aprofundando e Desafiando


Objetivos RevisãoSubtópicos xExercícios Aprofundando e DesafiandoPara casa Aprofundando e Desafiando


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Aula 04Tópico EM3MAT02: Matemática Financeira: conceitos e aplicações

Objetivos Compreender o significado da representação de uma porcentagem; Calcular porcentagens e aprender a utilizar fatores de atualização; Diferenciar porcentagens em relação a bases diferentes de valores.Subtópicos Porcentagem; Fator de atualização; Fator de ganho real.Exercícios Praticando 1 ao 8Para casa Resenha de Juros simples; Juros compostos.


Objetivos Aprender os conceitos e diferenças entre juros simples e compostos; Identificar e calcular o valor do dinheiro no tempo através dos juros.Subtópicos Juros simples; Juros compostos.Exercícios Praticando 9 ao 13Para casa Aprofundando e Desafiando



Aula 07Tópico EM3MAT03: Funções: conceitos e funções do 1o grau

Objetivos Estabelecer o conceito de produto cartesiano, e as definições de domínio, contradomínio e imagem; Representar produtos cartesianos no plano cartesiano; Identificar relações e funções a partir de produtos cartesianos.Subtópicos Produto cartesiano; Relação binária; Domínio e imagem de uma relação; Função; Verificação se uma relação é função a partir do gráfico; Crescimento e decrescimento de uma função; Estudo do sinal.Exercícios Praticando 1 ao 11Para casa Resenha de classificação das funções; Função composta; Função inversa; Funcão constante; Função identidade; Função linear; e Função polinomial do 1o grau.

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Objetivos Conceituar e resolver funções compostas e inversas; Reconhecer e aplicar funções de 1ograu, algébrica e graficamente.Subtópicos Classificação das funções; Função composta; Função inversa; Funcão constante; Função identidade; Função linear; e Função polinomial do 1o grau.Exercícios Praticando 12 ao 22Para casa Praticando 23 ao 32


Objetivos RevisãoSubtópicos XExercícios Aprofundando e DesafiandoPara casa Aprofundando e Desafiando

MATEMÁTICA II

1o bimestre:

Aula 01Tópico EM3MAT11: Razões e proporções: proporcionalidade, grandezas e medidas

Objetivos Revisar o processo de fatoração de um número e os critérios de divisibilidade. Subtópicos Conceitos iniciais; Número primo; Fatoração; Regras de divisibilidade; MDC; MMC.Exercícios Praticando 1 ao 5Para casa Resenha dos subtópicos Razões; Proporções; Regra de três


Objetivos Definir o significado de razões e proporções; Utilizar as noções de razão e proporção para apresentar o conceito de escala; Estabelecer relações entre grandezas diretamente ou inversamente proporcionais; Apresentar e aplicar as ferramentas da regra de três, simples e composta, em problemas.Subtópicos Razões; Proporções; Regra de três.Exercícios Praticando 6 ao 11Para casa Aprofundando e Desafiando


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Aula 04Tópico EM3MAT12: Geometria Plana: polígonos, triângulos e quadriláteros

Objetivos Definir elementos e propriedades básicas da geometria plana.Subtópicos Conceitos iniciais; Ângulo; Lei angular de Tales; Teorema do ângulo externo.Exercícios Praticando 1 ao 6Para casa Resenha de Polígonos


Objetivos Conceituar polígono, seus principais exemplos e relações.Subtópicos PolígonosExercícios Praticando 7 ao 12Para casa Resenha de Triângulos.


Objetivos Estabelecer as principais classificações e propriedades dos triângulos.Subtópicos TriângulosExercícios Praticando 13 ao 19Para casa Praticando 20 ao 22


Objetivos Apresentar e identificar os principais segmentos e pontos notáveis de um triângulo.Subtópicos Cevianas e pontos notáveis de um triângulo.Exercícios Praticando 23 ao 28Para casa Resenha de Quadriláteros.

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Objetivos Estabelecer as principais classificações e propriedades dos quadriláteros.Subtópicos QuadriláterosExercícios Praticando 29 ao 35Para casa Aprofundando e Desafiando



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PROF. 3o ANO MATEMÁTICA PADRÃO VOL. I · de aprendizagem. Estes resumem o que queremos que você aprenda. Quando chegar no final do ... é o pico do gráfico, que ocorre no fim