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PTC
245
6 –
Pro
c. S
inai
s B
iom
édic
o F
iltro
s FI
R
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie
Filtros do tipo FIR
Finite Impulse Response
Prof. Sérgio S Furuie
Referência específica: cap. 4 do Semmlow
PTC
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6 –
Pro
c. S
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s B
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édic
o F
iltro
s FI
R
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 2
Plano de aula
• Motivação • Exemplos em sinais e imagens • Ruído • Características de filtros • Filtros tipo FIR • Analisando filtros FIR • Projetando filtros FIR
PTC
245
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Pro
c. S
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s B
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iltro
s FI
R
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie
ECG com ruído: o que fazer?
3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-5
0
5
ECG
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-5
0
5
p.baixa
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-2
0
2
4
p.alta
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-2
0
2
4
notch
< 70 Hz > 0.05 Hz exclusão 60, 180,
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-5
0
5
ECG
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-5
0
5
p.baixa
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-2
0
2
4
p.alta
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-2
0
2
4
notch
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-5
0
5
ECG
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-5
0
5
p.baixa
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-2
0
2
4
p.alta
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-2
0
2
4
notch
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-5
0
5
ECG
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-5
0
5
p.baixa
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-2
0
2
4
p.alta
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-2
0
2
4
notch
PTC
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Pro
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iom
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s FI
R
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 4
Motivação / Importância de filtros – restauração de sinais e imagens – Melhoria da relação Sinal/Ruído (SNR)
• Quantificação • Análise • Reconhecimento de padrões
PTC
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Pro
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R
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 5
Medidas: bandas e faixas Parâmetro Faixa Banda(Hz) Transdutor
Fluxo sang. 1-300 ml/s dc-20 Ultrasom,FEM
Pressão arterial 10-400 mmHg dc-50 Piezo-el.,strain-gage,
ECG (superf.) 0.5 – 4 mV .01 – 250 eletrodos
Potenciais emnervos
0.01 – 3 mV Dc – 10000 eletrodos
Respiração 2 – 50 r/min 0.1 – 10 Strain gage,termistor, ..
PTC
245
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Pro
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R
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 6
Filtros analógicos
• Passa-baixa – Z1=R1 – Z2=R2 // C2
• Passa-alta – Z1= R1 + C1
– Z2=R2
• Passa-faixa – Z1= R1 + C1 – Z2=R2 // C2
+
-
C2
R1 S
R2
)1()()(
221
2
CjwRRR
jwEjwS
+−=
Para evitar aliasing => filtro analógico (se necessário) antes do processamento digital
2
PTC
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Pro
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R
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie
Exemplos de sinais ruidosos
14
PTC
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R
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie
SNR negativo
15
PTC
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Pro
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R
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 16
Plano de aula
• Motivação • Exemplos em sinais e imagens • Ruído • Características de filtros • Filtros tipo FIR • Analisando filtros FIR • Projetando filtros FIR
PTC
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Pro
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iltro
s FI
R
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie
Filtros: características ?
• Características principais – Tipo: passa-baixa, passa-alta, passa-faixa, – Banda passante de frequencia: frequencia de
corte – Características de atenuação: ordem do filtro,
taxa de atenuação (efeito Gibbs,..) – Fase linear e não-linear
17
PTC
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Pro
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R
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 19
Filtros lineares invariantes (LTI)
• O que significa ser linear e invariante ao tempo?
• Filtros lineares e invariantes (LTI) – são suficientemente caracterizados pela
resposta ao impulso – possibilita tratamento matemático simplificado
• convolução => resposta do sistema • análise no domínio da frequência
LTI=> aplicável convolução => Y=HX (TDF)
PTC
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Pro
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iltro
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R
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie
O que desejamos dos filtros?
• Analisar o comportamento em frequência – Tipo de filtro: passa-baixa, passa-alta? – Frequências de corte – Produz degradações? (fase não-linear)
• Projetar um filtro com determinado comportamento em frequência
21
3
PTC
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Pro
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R
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 24
Análise/Interpretações • Resposta impulsiva • Resposta em frequência
– Amplitude – Fase – Atraso – Atraso de grupo
• Função de transferência em Z • Zeros-pólos • Expansão em frações parciais
)(.|)(|)( wjewHwH Θ=
dwwd
ww
w
)(
)()(
Θ−
Θ−
Θ
PTC
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iltro
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R
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 26
Ex.Representação de LTI discretos
Δ
x[n] y[n] b0
-a1
y[n]=b0.x[n] – a1.y[n-1]
Vale para qualquer n (LTI)
PTC
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iltro
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R
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 27
Modelos de séries temporais
∑=
−=M
kk knxbny
0][.][
1
][.][
0
00
=
=−∑=
a
kxbknyaN
kk
∑∑==
−=−M
kk
N
kk knxbknya
00][.][
MA: moving average (FIR)
AR: auto regressive (IIR)
ARMA (IIR)
][...]1[][][...]1[][ 101 MnxbnxbnxbNnyanyany MN −++−+=−++−+
PTC
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iltro
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R
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie
Diferenças entre FIR e IIR
FIR • Estável • Fase linear: projetável
IIR • Resposta impulsiva infinita • Menor ordem
28
[ ]001210..][]2[]1[2][][
=
−+−+=
nynxnxnxny
[ ]00001000][ =nx
[ ]...125.025.05.01000.][][]1[5.0][
=
+−=
nynxnyny
PTC
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Pro
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R
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie
FIR: Finite Impulse Response
• Filtros passa-baixa • Filtros passa-alta • Filtros passa-faixa • Filtros rejeita-faixa
29
Exemplos: ∑=
−=M
kk knxbny
0][.][
4]1[][2]1[][ +++−
=nxnxnxny
2]1[]1[][ −−+
=nxnxny
]1[][][ −−= nxnxny
fa/2 fci fcs
PTC
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R
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 30
filtragem digital: MA
0 0.5 1 1.5 2 2.5-1
0
1
2
3
Tempo (s)
ECG
0 0.5 1 1.5 2 2.5-1
0
1
2
3
MA
0 0.5 1 1.5 2 2.5-1
0
1
2
3
filte
r()
4
PTC
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iltro
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EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 31
Filtragem digital: FIR MA=[1 2 1]/4
w
wH
eeXeY
zzXzY
zzzXzY
XzXzXYixixixiy
jwjw
jw
−=
+=
=+=
+=
++=
++=
+−+−=
−
−
−−
−−
ϕ2cos1
4/)1()()(
4/)1()()(
4/)12()()(
4/).2.(4/])[]1[2]2[(][
2
21
12
12
PTC
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Pro
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iltro
s FI
R
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 32
FIR: análise. Resp. Impulsiva
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
n (samples)
Ampl
itude
PTC
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iltro
s FI
R
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 33
zeros
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
2 2
Real Part
Imag
inar
y Pa
rt
PTC
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Pro
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iltro
s FI
R
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 34
Resposta em freq.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-200
-150
-100
-50
0
Normalized Frequency (×π rad/sample)
Phas
e (d
egre
es)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
Normalized Frequency (×π rad/sample)
Mag
nitu
de (d
B)
PTC
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Pro
c. S
inai
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o F
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R
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie
Exercício Repita a análise (ganho e fase no domínio
da frequencia) anterior para um filtro que realiza a média simples, ou seja:
h[n]=(h[n-2]+h[n-1]+h[n])/3 Suponha que a frequencia de amostragem é
de 1000 Hz. 1. Qual a frequencia de corte do filtro em
Hz? 2. Qual o atraso (em s) para 100Hz? E para
200 Hz?
35
PTC
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Pro
c. S
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iltro
s FI
R
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie
Exercício
36
Analisar o filtro abaixo no domínio da frequência: ganho e fase
Passa-alta? Derivada? Passa-faixa?
2]2[][][ −−
=nxnxny
]1[][][ −−= nxnxny
Compare com o filtro abaixo: 2/2
)2/(2)2/(2)(
)()()(
)1()()(
2/
21
21
21
1
w
wsenHwjseneeH
zzzzXzY
zzXzY
jwjw
−=
=
=
−=
−=
−
−−
−
πϕ
w
wsenHwjseneeH jwjw
−=
=
= −
2
)()()(
πϕ
5
PTC
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6 –
Pro
c. S
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s B
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édic
o F
iltro
s FI
R
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 37
Projeto de filtros digitais: síntese
• Requisitos – freq. de corte – ondulações (ripple) de passa-banda – atenuação de stopband – faixa de transição
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-400
-300
-200
-100
0
100
Normalized Frequency (×π rad/sample)
Phas
e (de
grees
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-80
-60
-40
-20
0
20
40
Normalized Frequency (×π rad/sample)
Magn
itude
(dB)
PTC
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6 –
Pro
c. S
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s B
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édic
o F
iltro
s FI
R
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 38
FIR • fase linear possível • estável • hardware eficiente • Métodos:
– Amostragem em freq.
– windowing – LS – arbitrário
∑−
=
−=1
0][].[][
N
kknhkxny
h[k]
x[k] y[k]
∑−
=
−=1
0][].[][
N
kknxkhny
∑−
=
−=1
0].[)(
N
k
kzkhzH
∑−
=
−=1
0].[)()(
N
k
kzkhzXzY
PTC
245
6 –
Pro
c. S
inai
s B
iom
édic
o F
iltro
s FI
R
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie
FIR - Por amostragem em freq.
1. Especificar o ganho e fase linear no dom. da freq. (0 a 2π)
2. Amostrar em L pontos 3. Obter a TFD-1
4. Truncar em N <= L pontos p/ obter a resposta impulsiva
* Pode gerar overshooting no dom. da freq. devido ao truncamento no tempo.
39
PTC
245
6 –
Pro
c. S
inai
s B
iom
édic
o F
iltro
s FI
R
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 44
Projeto de filtros FIR
Especificações no dom. freq. (freq. corte, ...)
Filtro analóg.
Transf. bilinear
Filtro Digital temp.
Discretiz. -fitting -optim.
IDFT
Resp. impuls.
Filtro digital freq.
Filtro idealiz. IDFT Window
YuleWalker Remez
PTC
245
6 –
Pro
c. S
inai
s B
iom
édic
o F
iltro
s FI
R
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 45
Técnicas de projeto de FIR: janela 1) Função periódica do filtro
ideal desejado no dom. freq.
2) Obter resposta impulsiva discreta no tempo (TFTD-1)
3) Aplicar a janela finita (multiplicar no tempo)
4) A resposta em freq. real= desejado * janela no
dom.freq.
wc
2/)1(,2/)1(
).(][
−−−=
=
NNkkkwsinkh c
π
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-400
-300
-200
-100
0
100
Normalized Frequency (×π rad/sample)
Phase
(degre
es)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-80
-60
-40
-20
0
20
40
Normalized Frequency (×π rad/sample)
Magni
tude (d
B)
Ex.: filtro passa-baixo e janela retangular
PTC
245
6 –
Pro
c. S
inai
s B
iom
édic
o F
iltro
s FI
R
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 46
TFTD
SFTD
SF
w=2πf
Ω=2πf/fa
fa=1/Δ Δ
TF
6
PTC
245
6 –
Pro
c. S
inai
s B
iom
édic
o F
iltro
s FI
R
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 47
Janela (windowing)
∫ Ω= ΩΩπ
π
2
0
).(21][ deeHnh njj ∑
∞
−∞=
Ω−Ω =n
njj enheH ].[)(n Ω
0 20 40 60 80 100 120 1400
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 20 40 60 80 100 120 1400
5
10
15
20
Portanto, o resultado final do filtro FIR será a convolução do H com a função de transferência da janela
Limitando conteudo em freq no tempo, e evitando overshooting:
PTC
245
6 –
Pro
c. S
inai
s B
iom
édic
o F
iltro
s FI
R
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 48
FIR com janela retangular
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 400
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8-10
0
10
20
30
)2(
)2(
)2/()2/()(
.1)(
252/)1(
2/)1(
π
πwsinc
wNsincN
wsinwNsineW
eeW
N
iwR
N
Nn
jwnjwR
=
=
=
=
∑−
−−=
−
Exemplo:
Nπ2
filtro no tempo discreto
filtro na frequencia
Matlab: Fir1() e Fir2()
PTC
245
6 –
Pro
c. S
inai
s B
iom
édic
o F
iltro
s FI
R
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 49
Janela de Hamming
21
21
)2cos()1(][
−≤≤
−−
−+=
NnNNnngHπ
αα
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 250
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50
5
10
15
20
25
30
Ex.: α=0.54 (hanning), N=51
resp. freq.
gH
PTC
245
6 –
Pro
c. S
inai
s B
iom
édic
o F
iltro
s FI
R
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 50
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-400
-300
-200
-100
0
100
Normalized Frequency (×π rad/sample)
Phas
e (d
egre
es)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-80
-60
-40
-20
0
20
40
Normalized Frequency (×π rad/sample)
Mag
nitu
de (d
B)Resposta em freq. do filtro de Hamming em dB
PTC
245
6 –
Pro
c. S
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s B
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o F
iltro
s FI
R
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 51
Projeto de filtros FIR
Especificações no dom. freq. (freq. corte, ...)
Filtro analóg.
Transf. bilinear
Filtro Digital temp.
Discretiz. -fitting -optim.
IDFT
Resp. impuls.
Filtro digital freq.
Filtro idealiz. IDFT Window P
TC 2
456
– P
roc.
Sin
ais
Bio
méd
ico
Filt
ros
FIR
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie
Abordagens para projeto FIR
• Parks-McClellan (Remez) – minimiza erro nas bandas de passagem e rejeição (aproximação de Chebyshev)
• Butterworth – maximamente plana
52
7
PTC
245
6 –
Pro
c. S
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édic
o F
iltro
s FI
R
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 53
Projeto de FIR: otimização Filtro FIR desejado: Hd(w) Filtro resultante : H(w) Desvios tolerados : D(w)
D(w) a sujeito
|)(|min))()(()(
}{wE
wHwHwE
nb
d−=
fa/2
Algoritmo de Parks-McClellan => p. ex. firpmord e firpm (em Matlab) que retorna o filtro FIR (b) em função da ordem, freq. corte, fa, ripple e ganho
PTC
245
6 –
Pro
c. S
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s FI
R
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 61
IIR
PTC
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s FI
R
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie
Bibliografia • Biosignal and Medical Image Processing.
John L. Semmlow.CRC Press,2009 • Apostila de Processamento de Sinais de
Tempo Discreto. C Itiki, V H Nascimento • Biomedical Signal Analysis. R.M.
Rangayyan. Wiley Interscience, 2002 • Signals and Systems (2nd Edition) A.V.
Oppenheim, A. S. Willsky, S. H. Nawab Hardcover: 957 pages. Publisher: Prentice Hall; 1996. ISBN-10: 0138147574.
62
