PROFESSOR : ALEXANDRE PORTELA

MATÉRIA: MATEMATICA

ASSUNTO: PROPORCIONALIDADE

REQUISITO BÁSICO: FRAÇÕES

Assim, por exemplo, se tivermos uma pizza inteira e a

dividimos em tres partes iguais, cada parte representará

uma fração da pizza.

RAZÃO:

Na matemática, a razão é uma relação entre

duas grandezas proporcionais (qualquer

dimensão ), e algumas vezes representada

aritmeticamente como um quociente adimensional

das duas quantidades (não necessariamente

um inteiro).

EXEMPLO:

Os índios Baniwa fazem parte do complexo cultural de 22

povos indígenas da Amazônia brasileira. Somam cerca

de 12 mil pessoas, das quais 4 mil vivem no Brasil e o

restante, na Colômbia e na Venezuela. A razão entre o

número de índios Baniwa que vivem no Brasil e que

vivem no exterior é:

(A) 1 / 2 (B) 1 / 3 (C) 1 / 4 (D) 2 / 3 (E) 3 / 4

SOLUÇÃO:

SOLUÇÃO:

PROFESSOR : ALEXANDRE PORTELA

MATÉRIA: MATEMATICA

ASSUNTO: TEORIA DE CONJUNTOS

Teoria dos conjuntos é o ramo

da matemática que estuda conjuntos, que

são coleções de elementos. No estudo de

Conjuntos, trabalhamos com alguns

conceitos primitivos, que devem ser

entendidos e aceitos sem definição.

2. Notação e Representação

A notação dos conjuntos é feita mediante a

utilização de uma letra maiúscula do nosso

alfabeto e a representação de

um conjunto pode ser feita de diversas

maneiras:

EXEMPLOS:

FORMA TABULAR:

1º) Seja A o conjunto das cores da bandeira brasileira, então:

A = {verde, amarelo, azul, branco}

2º) Seja B o conjunto das vogais do nosso alfabeto, então:

B = {a, e, i, o, u}

3º) Seja C o conjunto dos algarismos do sistema decimal de

numeração, então:

C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Propriedade de seus elementos:

A = {x / x possui uma determinada propriedade P}

Exemplos

1º) Seja B o conjunto das vogais do nosso alfabeto, então:

B = {x / x é vogal do nosso alfabeto}

2º) Seja C o conjunto dos algarismos do sistema decimal

de numeração, então:

C = {x/x é algarismo do sistema decimal de numeração}

Diagrama de Euller-Ven:

Exemplo

Importante – A relação de pertinência relaciona um

elemento a um conjunto e a relação de inclusão refere-

se, sempre, a dois conjuntos.

Número de Elementos do conjunto de

partes

Exemplo: Em uma sala existem 6 lâmpadas que podem

ser ligadas por 6 interruptores independentes. De

quantas formas podemos iluminar essa sala com pelo

menos uma dessas lâmpadas?

Diferença entre dois conjuntos. –

Dados dois conjuntos A e B chama-se conjunto

diferença ou diferença entre A e B o conjunto formado

pelos elementos de A que não pertencem a B.

O conjunto diferença é representado por A – B.

Exemplo 1:

A = {1,2,3,4,5} e B = {3,4,5,6,7} a diferença dos

Conjuntos é:

A – B = {1,2}

Exemplo 2:

A = {1,2,3,4,5} e B = {8,9,10} a diferença

dos conjuntos é:

A – B = {1,2,3,4,5}

PROFESSOR : ALEXANDRE PORTELA

MATÉRIA: MATEMATICA

ASSUNTO: DIVISÃO PROPORCIONAL E REGRAS DE TRES

DIVISÃO PROPORCIONAL

Definição:

Podemos definir uma DIVISÃO PROPORCIONAL,

como uma forma de divisão no qual determinam-

se valores que, divididos por quocientes

previamente determinados, mantêm-se uma razão

que não tem variação.

A divisão proporcional pode ser:

- Direta

- Inversa

- Direta e Inversa ao mesmo tempo.

Divisão em partes diretamente proporcionais

O total dos números a ser dividido está para a

soma dos proporcionais, assim como o número

proporcional está para a parte que a representa.

EXEMPLO:

As famílias de duas irmãs, Alda e Berta, vivem na

mesma casa e a divisão das despesas mensais é

proporcional ao número de pessoas de cada

família. Na família de Alda são três pessoas e na

de Berta, cinco. Se a despesa, num certo mês, foi

de R$ 1 280,00, quanto pagou, em reais, a família

de Alda?

(A) 320,00 (B) 410,00 (C) 450,00

(D) 480,00 (E) 520,00

SOLUÇÃO:

EXEMPLO:

João vai dividir R$24.000,00 com seus primos, em

3 partes diretamente proporcionais a 1, 2 e 3,

respectivamente. Sabendo-se que o mais velho é o

que receberá o maior valor, a parte deste

corresponderá, em reais, a

(A) 12.000,00 (B) 10.000,00 (C) 8.000,00

(D) 4.000,00 (E) 3.000,00

SOLUÇÃO:

DIVISÃO EM PARTES INVERSAMENTE

PROPORCIONAIS:

Para decompor um número em partes inversamente

proporcionais é decompor este número em partes

diretamente proporcionais aos inversos das constantes

dadas.

EXEMPLOS:

Dois funcionários receberam a incumbência de catalogar

153 documentos e os dividiram entre si, na razão inversa de

suas respectivas idades: 32 e 40 anos. O número de

documentos catalogados pelo mais jovem foi

(A) 87 (B))85 (C) 70 (D) 68 (E) 75

SOLUÇÃO:

EXEMPLO:

As 1430 latas de suco de um supermercado foram

distribuídas em 3 caixas de tamanhos diferentes, de forma

que as quantidades de latas nas caixas fossem

inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4. Quantas

latas a caixa maior recebeu?

(A) 660 (B) 440 (C) 330 (D) 220 (E) 110

SOLUÇÃO:

DIVISÃO EM PARTES DIRETAMENTE E INVERSAMENTE

PROPORCIONAIS:

Sejam x, y, z números tais que x é diretamente proporcional

a 2, y é diretamente proporcional a 3 e z é inversamente

proporcional a 4. Se x + y + z = 210 , o valor de xy / z é:

A) 720 B) 810 C) 900 D) 960 E) 980

SOLUÇÃO:

REGRAS DE TRÊS:

A proporcionalidade, para a matemática, a química e

a física, é a mais simples e comum relação entre

grandezas. A proporcionalidade direta é um conceito

matemático amplamente difundido na população leiga pois

é bastante útil e de fácil resolução através da “Regra de

Três".

REGRAS DE TRÊS SIMPLES DIRETA:

Quando existe proporcionalidade direta, a razão (divisão)

entre os correspondentes valores das duas grandezas

relacionadas é uma constante, e a esta constante dá-se o

nome de constante de proporcionalidade.

Exemplo :

Para fazer 600 pães, são gastos, em uma padaria, 100 Kg

de farinha. Quantos pães podem ser feitos com 25kg de

farinha?

Estabelecemos a seguinte relação:

600 -------------- 100

x -------------- 25

Podem ser feitos 150 pães.

REGRAS DE TRÊS SIMPLES INVERSA:

Quando existe proporcionalidade inversa, a razão (divisão)

entre os correspondentes valores das duas grandezas

relacionadas são inversas, quando uma divide a outra

multiplica na mesma constante proporcional.

EXEMPLO:

Doze pedreiros trabalhando juntos conseguem construir um

certo muro em 6 horas de trabalho. Se ao invés de doze,

fossem dezoito pedreiros, em quantas horas tal muro

poderia ser construído?

SOLUÇÃO:

Regra de três composta:

A regra de três composta é utilizada em problemas com

mais de duas grandezas, direta ou inversamente

proporcionais.

EXEMPLO:

Para fabricar 12 máquinas de empacotar remédios, 5

operários trabalham durante 10 dias. O número de

operários que devem trabalhar para que uma encomenda

de 48 máquinas possa ser entregue em 8 dias é igual a:

A) 15 B) 20 C) 25 D) 30 E) 35

SOLUÇÃO:

PROFESSOR : ALEXANDRE PORTELA

MATÉRIA: MATEMATICA

ASSUNTO: JUROS SIMPLES E COMPOSTOS.

PORCENTAGEM OU PERCENTAGEM

Percentagem ou Porcentagem (do latim per centum, significando "por

cento", "a cada centena") é uma medida de razão com base 100 (cem).

É um modo de expressar uma proporção ou uma relação entre 2 (dois)

valores (um é a parte e o outro é o inteiro) a partir de uma fração cujo

denominador é 100 (cem), ou seja, é dividir um número por 100 (cem).

Observação1:

Todo percentual depende de referencial.

Exemplo:

Segundo dados do IBGE, a média de ocupação de

um domicílio no Brasil caiu de 5 pessoas, nos anos

70, para 3,5, nos dias atuais. Em relação aos anos

70, a média de ocupação de um domicílio brasileiro

foi reduzida em:

(A) 15% (B) 30% (C) 40% (D) 55% (E) 70%

SOLUÇÃO:

Observação2:

Todo percentual depende de referencial . Quando

não houver referencial use o valor 100, porque:

18% de 100kg = 18kg

27,5litros são 27,5% de 100 litros

Uma empresa tem, em sua tabela de preços de

venda de produtos aos clientes, o valor sem

desconto (cheio) para pagamento à vista de seus

produtos. No mês de janeiro de 2008, a empresa

deu aos clientes um desconto de 50% sobre o

valor da tabela. Já em fevereiro, o desconto

passou a 40%. No mês de fevereiro,

comparativamente a janeiro, houve, em relação

aos preços,

(A)aumento de 20% (B) aumento de 10%

(C) redução de 10% (D) redução de 20%

(E) redução de 25%

Uma empresa tem, em sua tabela de preços de

venda de produtos aos clientes, o valor sem

desconto (cheio) para pagamento à vista de seus

produtos. No mês de janeiro de 2008, a empresa

deu aos clientes um desconto de 50% sobre o

valor da tabela. Já em fevereiro, o desconto

passou a 40%. No mês de fevereiro,

comparativamente a janeiro, houve, em relação

aos preços,

(A)aumento de 20% (B) aumento de 10%

(C) redução de 10% (D) redução de 20%

(E) redução de 25%

SOLUÇÃO:

MONTANTE OU RESGATE:

No final de n períodos, é claro que o capital será igual ao

capital inicial adicionado aos juros produzidos no período. O

capital inicial adicionado aos juros do período é

denominado MONTANTE (M). Logo, teríamos:

M = C + J

M = montante final

C = capital

J = juros

EXEMPLO:

Um capital de R$ 15.000,00, aplicados a 5% ao

ano, durante 8 anos, qual o juros produzido?

A) 7.000,00 B) 6.000,00 C) 8.000,00

D) 9.000,00 E) 10.000,00

SOLUÇÃO:

EXEMPLO:

Se uma pessoa deseja obter um rendimento de R$

27 000,00 dispondo de R$ 90 000,00 capital, a que

taxa de juros simples quinzenal o dinheiro deverá

ser aplicado no prazo de 5 meses:

A) 10% B) 5% C) 6% D) 3% E) 4%

SOLUÇÃO:

EXEMPLO:

Hugo emprestou certa quantia a Inácio a juros simples, com

taxa mensal de 6%. Inácio quitou sua dívida em um único

pagamento feito 4 meses depois. Se os juros pagos por

Inácio foram de R$ 156,00, a quantia emprestada por Hugo

foi

(A) menor do que R$ 500,00.

(B) maior do que R$ 500,00 e menor do que R$ 1.000,00.

(C) maior do que R$ 1.000,00 e menor do que R$ 2.000,00.

(D) maior do que R$ 2.000,00 e menor do que R$ 2.500,00.

(E) maior do que R$ 2.500,00.

SOLUÇÃO:

EXEMPLO:

Se o capital for igual a 2 / 3 do montante e o prazo de

aplicação for de 2 anos, qual será a taxa de juros simples

considerada?

(A) 1,04% a.m. (B) 16,67% a.m. (C) 25% a.m.

(D) 16,67% a.a. (E) 25% a.a.

SOLUÇÃO:

EXEMPLO:

Marcelo emprestou certa quantia a Augusto, cobrando juros

simples de 4% ao mês. Cinco meses mais tarde, Augusto

pagou o empréstimo, e Marcelo recebeu R$ 420,00. Qual

foi, em reais, a quantia que Marcelo emprestou a Augusto?

(A) 320,00 (B) 336,00 (C) 350,00 (D) 382,00 (E) 400,00

SOLUÇÃO:

EXEMPLO:

O valor, em reais, mais próximo do montante da aplicação

de R$ 2.000,00 a juros compostos de taxa mensal 4% por

dois meses é

(A) 2.040 (B) 2.080 (C) 2.160 (D) 2.163 (E) 2.180

SOLUÇÃO:

EXEMPLO:

Qual é o investimento necessário, em reais, para gerar um

montante de R$ 18.634,00, após 3 anos, a uma taxa

composta de 10% a.a.?

(A) 14.325,00 (B) 14.000,00 (C) 13.425,00

(D) 12.000,00 (E) 10.000,00

SOLUÇÃO:

EXEMPLO:

Uma empresa nordestina produz atualmente 360 toneladas

de óleo de babaçu por ano. Com o aumento das

exportações, essa empresa pretende, nos próximos anos,

aumentar sua produção em 15% ao ano. Sendo assim, qual

será, em toneladas, a produção de óleo de babaçu dessa

empresa daqui a dois anos?

(A) 468,0 (B) 472,2 (C) 476,1 (D) 484,0 (E) 492,3

SOLUÇÃO:

EXEMPLO:

Aplicando-se R$ 5.000,00 a juros compostos, à taxa

nominal de 24% ao ano, com capitalização bimestral, o

montante, em reais, ao fim de 4 meses, será

(A) 5.400,00 (B) 5.405,00 (C) 5.408,00

(D) 6.272,00 (E) 6.275,00

SOLUÇÃO:

EXEMPLO:

Um investimento rende a taxa nominal de 12% ao ano com

capitalização trimestral. A taxa efetiva anual do rendimento

correspondente é,aproximadamente,

(A) 12% (B) 12,49% (C) 12,55%

(D) 13% (E) 13,43%

SOLUÇÃO:

EXEMPLO:

Um capital foi aplicado, sob regime de juros compostos,

durante dois meses, à taxa de juros de 20% ao mês. A taxa

de inflação, durante esse mesmo período, foi de 8%. A

verdadeira taxa de rendimento obtida nessa aplicação é de,

aproximadamente,

(A) 30% (B) 32% (C) 33% (D) 35% (E) 36%

SOLUÇÃO:

COMPARAÇÕES ENTRE OS JUROS SIMPLES E OS

JUROS COMPOSTOS:

MATEMATICA BÁSICA

Professor: Alexandre Portela

Assunto: Progressões e Funções

PROGRESSÕES

Uma progressão aritmética (abreviadamente, P. A.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é

igual à soma do termo anterior com uma constante O número é

chamado de razão.

PROGRESSÕES

Alguns exemplos de progressões aritméticas:

1, 4, 7, 10, 13, ..., é P.A. de razão 3.

-2, -4, -6, -8, -10, ..., é P.A. de r =-2

6, 6, 6, 6, 6, ..., é P.A. de r = 0

PROGRESSÕES Em uma progressão aritmética podemos determinar qualquer

termo com base no valor da razão e do 1º termo. Para tal , basta

utilizar a seguinte expressão do termo geral:

an = a1 + (n – 1) * r

PROGRESSÕES Exemplo 1 Sabendo que o 1º termo de uma PA é igual a 2 e que a razão equivale a 5, determine o valor do 18º termo dessa sequência numérica. a18 = 2 + (18 – 1) * 5 a18 = 2 + 17 * 5 a18 = 2 + 85 a18 = 87 O 18º termo da PA em questão é igual a 87.

PROGRESSÕES Em algumas situações ocorre a necessidade de determinar o somatório dos termos de uma progressão aritmética. Nesses casos a expressão matemática determina a soma dos termos de uma PA.

PROGRESSÕES Exemplo 2

Na sequência numérica (–1, 3, 7, 11, 15, ...), determine a soma dos 20 primeiros termos.

Cálculo da razão da PA

3 – (–1) = 3 + 1 = 4 7 – 3 = 4 11 – 7 = 4 15 – 11 = 4

PROGRESSÕES Determinando o 20º termo da PA

a20 = –1 + (20 – 1) * 4 a20 = – 1 + 19 * 4 a20 = – 1 + 76 a20 = 75

PROGRESSÕES Soma dos termos

PROGRESSÕES

Uma progressão geométrica(ou P.G.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é

igual ao produto do termo anterior por uma constante Esta constante é chamada razão da

progressão geométrica. A letra q foi escolhida por ser inicial da palavra quociente.

PROGRESSÕES

Crescente (q > 0) Na PG crescente, a razão é sempre positiva, e por isto a sequência será formada por números crescentes, como:

(1, 3, 9, 27, 81, …), onde a razão é 3

PROGRESSÕES

Constante Nesta PG, a sequência numérica tem sempre os mesmos números, podendo ter a excessão do primeiro. Para isso, a razão deve ser sempre 0 ou 1:

(4, 0, 0,0,0,0,0,0,0, …) onde a razão é 0 (4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, …) onde a razão é 1

PROGRESSÕES Decrescente As progressões geométricas decrescentes tem a razão sempre positiva e diferente de zero, e os números da sequência são sempre menores do que o número anterior:

(64, 32, 16, 8, 4, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ...) razão = 1/2 (-1, -3, -9, -27, -81, …) onde a razão é 3 (observe que na PG crescente temos um exemplo com a mesma razão, porém o número inicial aqui é negativo, alterando toda a sequência)

PROGRESSÕES

Fórmula do termo geral: an = a1 . qn-1

Exemplo a) Dada a PG (2,4,8,... ), pede-se calcular o décimo termo. Temos: a1 = 2, q = 4/2 = 8/4 = ... = 2. a10 = a1 . q9 = 2 . 29 = 2. 512 = 1024

PROGRESSÕES

Exemplo b) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente é igual a 20 e o oitavo termo é igual a 320. Qual a razão desta PG? Temos a4 = 20 e a8 = 320. Logo, podemos escrever: a8 = a4 . q8-4 . Daí, vem: 320 = 20.q4 Então q4 =16 e portanto q = 2.

PROGRESSÕES

Soma dos n primeiros termos de uma PG:

PROGRESSÕES

Exemplo:

Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...) Temos:

Observe que neste caso a1 = 1.

PROGRESSÕES

Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada

Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos considerar

que no limite teremos an = 0. Substituindo na fórmula anterior, encontraremos:

PROGRESSÕES

Exemplo:

Calcule a soma dos termos da P. G. (2, 1, 1/2, 1/4...). Solução: Temos: a1 = 2 , q = 1/2 A soma dos termos dessa P. G. infinita é:

PROGRESSÕES Exemplo: Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100 Ora, o primeiro membro é uma PG de primeiro termo x e razão 1/2. Logo, substituindo na fórmula, vem:

Daí, vem: x = 100 . 1/2 = 50

FUNÇÕES Função é um dos conceitos mais importantes da matemática. Existem várias definições, dependendo da forma como são escolhidos os axiomas. Uma relação entre dois conjuntos, onde há uma relação entre cada um de seus elementos. Também pode ser uma lei que para cada valor x é correspondido por um elemento y, também denotado por ƒ(x).

FUNÇÕES

Existem inúmeros tipos de funções matemáticas, entre as principais temos: função sobrejetora, função injetora, função bijetora, função trigonométrica, Função linear, função modular, função quadrática, função exponencial,função logarítmica, função polinomial, dentre inúmeras outras

FUNÇÕES Injetora ou injetiva:

Cada elemento da imagem está associado a apenas um elemento do domínio, isto é, quando x ≠ y no domínio tem-se f(x) ≠ f(y) no contradomínio.

FUNÇÕES

Sobrejetora ou sobrejetiva :

Todos os elementos do contradomínio estão associados a algum elemento do domínio.

FUNÇÕES

Bijetora ou bijetiva :

São ao mesmo tempo sobrejetoras e injetoras, isto é, cada elemento do domínio está associado a um único elemento do contradomínio e vice-versa.

FUNÇÕES Função de 1º grau

Definição

Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a0.

Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante.

Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:

f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3 f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0

FUNÇÕES

FUNÇÕES Eixo Cartesiano:

FUNÇÕES

f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3

FUNÇÕES f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7

FUNÇÕES

f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0

MATEMATICA BÁSICA

Professor: Alexandre Portela

Assunto: Análise Combinatória e Probabilidade

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

Princípio fundamental da contagem

Princípio Fundamental da Contagem é o mesmo que a Regra do Produto, um princípio combinatório que indica quantas vezes e as

diferentes formas que um acontecimento pode ocorrer.

O acontecimento é formado por dois estágios caracterizados como sucessivos e

independentes:

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

• O primeiro estágio pode ocorrer de m modos distintos.

• O segundo estágio pode ocorrer de n modos distintos.

Desse modo, podemos dizer que o número de formas diferente que pode ocorrer em um acontecimento é igual ao produto m . n.

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

Por exemplo, para montar um computador, temos 3 diferentes tipos de monitores, 4 tipos de teclados, 2

tipos de impressoras e 3 tipos de “CPU”. SOLUÇÃO:

Para saber o numero de diferentes possibilidades de computadores que podem ser montados com essas

peças, somente multiplicamos as opções: 3 x 4 x 2 x 3 = 72

Então, têm-se 72 possibilidades de configurações diferentes.

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

Quantos pratos diferentes podem ser solicitados por um cliente de restaurante,

tendo disponível 3 tipos de arroz, 2 de feijão, 3 de macarrão, 2 tipos de cervejas e 3 tipos de refrigerante, sendo que o cliente não pode

pedir cerveja e refrigerante ao mesmo tempo, e que ele obrigatoriamente tenha de escolher

uma opção de cada alimento?

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

A resolução é simples: 3 x 2 x 3 = 18 , somente pela comida. Como o cliente não pode pedir cerveja e refrigerantes juntos, não podemos multiplicar as opções de refrigerante pelas

opções de cerveja. O que devemos fazer aqui é apenas somar essas possibilidades:

(3 x 2 x 3) x (2 + 3) = 90

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

EXEMPLOS:

Quantos são os números naturais de dois algarismos que são múltiplos de 5?

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

Como o zero à esquerda de um número não é significativo, para que tenhamos um número

natural com dois algarismos ele deve começar com um dígito de 1 a 9, temos

portanto 9 possibilidades.

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

Para que o número seja um múltiplo de 5, o mesmo deve terminar em 0 ou 5, portanto

temos apenas 2possibilidades.

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

A multiplicação de 9 por 2 nos dará o resultado desejado.

Logo:

São 18 os números naturais de dois algarismos que são múltiplos de 5.

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

EXEMPLO:

Eu possuo 4 pares de sapatos e 10 pares de meias. De quantas maneiras poderei me

calçar utilizando um par de meias e um de sapatos?

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

Pelo princípio fundamental da contagem temos que multiplicar 4, que é o número de elementos do primeiro conjunto, por 10 que

corresponde ao número de elementos do segundo conjunto.

Portanto:

Poderei me calçar de 40 maneiras diferentes.

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

EXEMPLO:

De quantas formas podemos dispor as letras da palavra FLUOR de sorte que a última letra

seja sempre a letra R?.

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

Para a última letra, segundo o enunciado temos apenas uma possibilidade que é a

letra R.

Para a primeira, segunda, terceira e quarta letras temos

respectivamente 4, 3, 2 e 1 possibilidades. Assim temos:

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

Podemos dispor as letras da palavra FLUOR de 24 formas diferentes, tal que a última letra

seja sempre a letra R.

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

EXEMPLO: Ao lançarmos uma moeda e um dado temos as

seguintes possibilidades:

Moeda: cara ou coroa (duas possibilidades)

Dado: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (seis possibilidades)

Observando o ocorrido, vemos que o evento tem duas etapas com 2 possibilidades em uma e 6 em outra,

totalizando 2*6 = 12 possibilidades.

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

EXEMPLO: Quantos números de 3 algarismos podemos

escrever com os algarismos 2, 4 e 6, de forma que os algarismos sejam distintos?

Três algarismos distintos: 3 * 2 * 1 = 6 números

de 3 algarismos distintos.

NÚMERO FATORIAL

Fatorial

Considerando n um número natural maior que 1 (um), podemos definir como fatorial desse

número n (n!) o número:

n! = n(n – 1)(n – 2)(n – 3) * ...* 3 * 2 * 1

Lê-se n! como n fatorial ou fatorial de n.

NÚMERO FATORIAL

Veja alguns exemplos: 0!= 1

1! = 1

2! = 1*2

3! = 1*2* 3

4! = 1*2*3*4 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720

PERMUTAÇÃO SIMPLES

Permutação Simples

A cada um dos agrupamentos que podemos formar com certo número de elementos distintos, tal que a diferença entre um

agrupamento e outro se dê apenas pela mudança de posição entre seus elementos,

damos o nome de permutação simples.

PERMUTAÇÃO SIMPLES

Exemplo:

Seja A um conjunto com os elementos {a, b, c}.

As permutações de A são: {(a,b,c);(a,c,b);(b,a,c);(b,c,a);(c,a,b);(c,b,a)}.

PERMUTAÇÃO SIMPLES

Fórmula da Permutação Simples

Pn = n!

PERMUTAÇÃO SIMPLES

EXEMPLO:

Na fila do caixa de uma padaria estão três pessoas. De quantas maneiras elas podem estar posicionadas nesta fila?

Temos que calcular P3, então:

P3 = 3! = 3 . 2 . 1 = 6

Logo:

As três pessoas podem estar posicionas de seis maneiras diferentes na fila.

PERMUTAÇÃO SIMPLES

Um anagrama é uma espécie de jogo de palavras, resultando do rearranjo das letras de uma palavra para produzir outras palavras, utilizando todas as letras originais.

Normalmente as palavras ou frases resultantes são sem significado, como já era de se esperar.

PERMUTAÇÃO SIMPLES

EXEMPLO:

Quantos anagramas a palavra oba possui?

As permutações da palavra dada são: {(oba);(oab);(bao);(boa);(abo);(aob)}

Calculo de permutações por fatorial:

n! = n.(n – 1). (n – 2). (n – 3)…3.2.1 = 6

PERMUTAÇÃO SIMPLES

EXEMPLO:

Quantos anagramas podemos formar a partir da palavra ORDEM?

Como a palavra ORDEM possui 5 letras distintas, devemos calcular o número de

permutações calculando P5. Temos então:

P5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120

Fórmula da Permutação com Elementos Repetidos

Se em um dado conjunto um elemento é repetido a vezes, outro elemento é

repetido b vezes e assim sucessivamente, o número total de permutações que podemos

obter é dada por:

Permutação com Elementos Repetidos

EXEMPLO:

Quantos anagramas podemos obter a partir das letras da palavra PARAR?

Como a palavra PARAR possui 5 letras, mas duas delas são repetidas duas vezes cada, na solução do exemplo vamos calcular P5

(2, 2):

Permutação com Elementos Repetidos

EXEMPLO:

Quantos são os anagramas possíveis com as letras da palavra: ARARA?

A letra A aparece 3 vezes e a letra R aparece 2 vezes.

Resposta: P = 5!/(3!2!)=10

PERMUTAÇÃO CIRCULAR

Na matemática, permutação circular é um tipo de permutação composta por um ou

mais conjuntos em ordem cíclica. Ocorre quando temos grupos com m elementos

distintos formando uma circunferência de círculo.

É definida pela fórmula:

Pc(N) = (N – 1)!

PERMUTAÇÃO CIRCULAR

Exemplo :

Seja um conjunto com 4 pessoas. De quantos modos distintos estas pessoas poderão sentar-

se junto a uma mesa circular para realizar o jantar sem que haja repetição das posições?

P(4) = (4-1)! = 3! = 6

PERMUTAÇÃO CIRCULAR

Exemplo :

5 crianças desejam brincar de roda. De quantos modos distintos estas crianças podem

formar a roda sem que haja repetição?

P(5) = (5-1)! = 4! = 24

ARRANJOS E COMBINAÇÕES SIMPLES

A análise combinatória estuda dois tipos de agrupamentos:

Arranjos e combinações.

Sendo que diferem em arranjos simples, combinações simples.

ARRANJOS E COMBINAÇÕES SIMPLES

Para que tenhamos arranjos simples é preciso ter um conjunto de elementos distintos com uma quantidade qualquer de elementos, sendo que os arranjos simples formados irão possuir n elementos, sendo que essa quantidade será igual ou menor que a quantidade de elementos do conjunto.

ARRANJOS E COMBINAÇÕES SIMPLES

Arranjos são agrupamentos nos quais a ordem dos seus elementos faz a diferença. Por exemplo, os números de três algarismos formados pelos elementos {1, 2 e 3} são: 312, 321, 132, 123, 213, 231 Esse agrupamento é um arranjo, pois a ordem dos elementos 1, 2 e 3 diferem. E é considerado simples, pois os elementos não se repetem. .

ARRANJOS E COMBINAÇÕES SIMPLES

ARRANJOS E COMBINAÇÕES SIMPLES

EXEMPLO:

Dado o conjunto B = {5,6,7}, veja os possíveis agrupamentos formados com 2 elementos de B.

ARRANJOS E COMBINAÇÕES SIMPLES

EXEMPLO:

Quantas “palavras” (com sentido ou não) de 5 letras distintas podemos formar com as 20 primeiras letras do nosso alfabeto?

ARRANJOS E COMBINAÇÕES SIMPLES

COMBINAÇÕES SIMPLES:

Na combinação simples, a ordem dos elementos no agrupamento não interfere. Portanto, se temos um conjunto A formado por n elementos tomados p a p, qualquer subconjunto de A formado por p elementos será uma combinação, dada pela seguinte expressão:

ARRANJOS E COMBINAÇÕES SIMPLES

ARRANJOS E COMBINAÇÕES SIMPLES

Exemplo:

Em um curso de língua estrangeira estudam trinta alunos. O coordenador do curso quer formar um grupo de três alunos para realizar um intercâmbio em outro país. Quantas possíveis equipes podem ser formadas?

ARRANJOS E COMBINAÇÕES SIMPLES

Exemplo:

Com 12 bolas de cores distintas, posso separá-las de quantos modos diferentes em saquinhos, se o fizer colocando 4 bolas em cada saco?

ARRANJOS E COMBINAÇÕES SIMPLES

Exemplo:

Um fabricante de sorvetes possui a disposição 7 variedades de frutas tropicais do nordeste brasileiro e pretende misturá-las duas a duas na fabricação de sorvetes. Quantos serão os tipos de sorvete disponíveis?

ARRANJOS E COMBINAÇÕES SIMPLES

Exemplo:

Uma empresa tem um quadro de funcionários formado por 3 supervisores e 10 técnicos. Todo

dia, é escalada para o trabalho uma equipe com 1 supervisor e 4 técnicos. Quantas turmas

diferentes podem ser escaladas?

(A) 15120 (B) 3780 (C) 840 (D) 630 (E) 510

MATEMATICA BÁSICA

Professor: Alexandre Portela

Assunto: PROBABILIDADE

PROBABILIDADE

A teoria da probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um experimento aleatório.

PROBABILIDADE

Experimento Aleatório

É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados explicados ao acaso.

PROBABILIDADE

Espaço Amostral

É o conjunto de todos os resultados possíveis de um

experimento aleatório. A letra que representa o espaço amostral, é S.

PROBABILIDADE

Ao lançarmos uma moeda não sabemos qual será a face que ficará para cima, no entanto podemos afirmar com toda certeza que ou

será cara, ou será coroa, pois uma moeda só possui estas duas faces. No caso da moeda representamos o seu espaço amostral por:

S = { cara, coroa } Se novamente ao invés de uma moeda, o

objeto a ser lançado for um dado, o espaço amostral será:

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

PROBABILIDADE

Evento

Quando lançamos um dado ou uma moeda, chamamos a ocorrência deste fato de evento. Qualquer subconjunto de um espaço amostral é um evento.

PROBABILIDADE

Classificação de Eventos

Podemos classificar os eventos por vários tipos. Vejamos alguns deles:

PROBABILIDADE

Evento Simples

Classificamos assim os eventos que são formados por um único elemento do

espaço amostral.

A = { 5 } é a representação de um evento simples do lançamento de um dado cuja face para cima é divisível por5. Nenhuma

das outras possibilidades são divisíveis por 5.

PROBABILIDADE

Evento Certo

Ao lançarmos um dado o conjunto A será o conjunto dos eventos múltiplos de 1

O conjunto A = { 2, 3, 5, 6, 4, 1 } representa um evento certo pois ele possui todos os

elementos do espaço amostral S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }.

PROBABILIDADE

Evento Impossível

No lançamento conjunto de dois dados qual é a possibilidade de a soma dos

números contidos nas duas faces para cima, ser igual a 15?

Este é um evento impossível, pois o valor máximo que podemos obter é igual a doze.

Podemos representá-lo por A = {}.

PROBABILIDADE

Conceito de probabilidade

Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis,

então a probabilidade de ocorrer um evento A é:

PROBABILIDADE EXEMPLO: Um dado é lançado. Qual é a probabilidade de obtermos um número divisor de 6? Como vimos acima, o espaço amostral do lançamento de um dado é: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Como estamos interessados apenas nos resultados divisores de 6, o evento E é representado por: E = { 1, 2, 3, 6 } Então n(E) = 4 e n(S) = 6, portanto:

PROBABILIDADE

PROBABILIDADES CONDICIONAIS:

A probabilidade condicional trata da probabilidade de ocorrer um evento A, tendo ocorrido um evento B, ambos do espaço amostral S, ou seja, ela é calculada sobre o evento B e não em função o espaço amostral S.

PROBABILIDADE

EXEMPLO:

No lançamento de dois dados honestos, qual a probabilidade de se obter soma igual a 5?

A) 1 / 8 B) 1 / 9 C) 1 / 16 D) 5 / 36 E) 1 / 6

PROBABILIDADE

EXEMPLO:

Pedro está jogando com seu irmão e vai lançar dois dados perfeitos. Qual a probabilidade de que Pedro obtenha pelo menos 9 pontos ao lançar esses dois dados?

(A)1 / 9 (B) 1 / 4 (C) 5 / 9

(D) 5 / 18 (E) 7 / 36

PROBABILIDADE

EXEMPLO:

Em um grupo de 500 estudantes, 80 estudam Engenharia, 150 estudam Economia e 10 estudam Engenharia e Economia. Se um aluno é escolhido ao acaso, a probabilidade de que ele estude Engenharia ou Economia é igual a:

A) 45% B) 44% C) 46% D) 48% E) 50%

PROBABILIDADE

EXEMPLO:

A turma de Marcelo foi dividida em 4 grupos. Cada grupo deverá fazer um trabalho sobre um derivado do petróleo: diesel, gasolina, nafta ou óleo combustível. Se a professora vai sortear um tema diferente para cada grupo, qual é a probabilidade de que o primeiro grupo a realizar o sorteio faça um trabalho sobre gasolina e o segundo, sobre diesel?

(A) 1 / 4 (B) 1 / 6 (C) 1 / 8 (D) 1 / 12 (E) 1 / 16

PROBABILIDADE

EXEMPLO:

Numa urna existem 6 bolas azuis e 4 bolas amarelas. Qual é a probabilidade de se retirarem 2 bolas sucessivamente, sem reposição, sendo a primeira azul e a segunda amarela?

(A)6 / 25 (B) 4 / 25 (C) 4 / 15

(D) 4 / 20 (E) 3 / 25

PROBABILIDADE

EXEMPLO:

Analisando um lote de 360 peças para computador, o departamento de controle de qualidade de uma fábrica constatou que 40 peças estavam com defeito. Retirando-se uma das 360 peças, ao acaso, a probabilidade de esta peça NÃO ser defeituosa é:

(A) 1 / 9 (B) 2 / 9 (C) 5 / 9 (D) 7 / 9 (E) 8 / 9

PROBABILIDADE

EXEMPLO:

Uma moeda é lançada 4 vezes. Qual é a probabilidade de obtermos ao menos uma coroa?

MATEMATICA BÁSICA

Professor: Alexandre Portela

Assunto: FUNÇÕES DE 1º E 2º GRAUS

FUNÇÃO DO 1ºGRAU

EXEMPLO:

Determine a função f(x) = ax + b, sabendo-se que

f(2) = 5 e f(3) = -10.

FUNÇÃO DO 1ºGRAU

EXEMPLO:

A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(3) = 1, então podemos afirmar que f(1) é igual a: a) 2 b) -2 c) 0 d) 3 e) -3

FUNÇÃO DO 1ºGRAU

EXEMPLO:

Sabendo que a função

f(x) = mx + n admite 3 como raiz e f(1) = -8,

calcule os valores de m e n:

a) m = 4 e n = -12

b) m = -4 e n = 10

c) m = 3 e n = 4

d) m = 14 e n = 10

FUNÇÃO DO 1ºGRAU EXEMPLO:

O gráfico a seguir representa a posição de um carro em movimento numa estrada. Determine a posição do carro no instante 7h. a) 90 km b) 105 km c) 110 km d) 120 km

FUNÇÃO DO 2ºGRAU

Uma função para ser do 2º grau precisa assumir algumas características, definida pela

fórmula f(x) = ax2 + bx + c, sendo que a, b e c são números reais com a diferente de zero.

Concluímos que a condição para que uma função seja do 2º grau é que o valor de a, da

forma geral, não pode ser igual a zero.

FUNÇÃO DO 2ºGRAU

Então, podemos dizer que a definição de função do 2º grau é:

f: R→ R definida por f(x) = ax2 + bx + c, com a Є R* e b e c Є R.

Numa função do segundo grau, os valores de b e c podem ser iguais a zero, quando isso ocorrer, a equação do segundo grau

será considerada incompleta.

FUNÇÃO DO 2ºGRAU

Veja alguns exemplos de Função do 2º grau:

f(x) = 5x2 – 2x + 8; a = 5, b = – 2 e c = 8 (Completa)

f(x) = x2 – 2x; a = 1, b = – 2 e c = 0 (Incompleta)

f(x) = – x2; a = –1, b = 0 e c = 0 (Incompleta)

Toda função do 2º grau também terá domínio, imagem e contradomínio.

FUNÇÃO DO 2ºGRAU

Exemplo: Com relação à função f(x) = 3x2 – 5x + m2 – 9,

sabe-se que f(0) = 0. Calcule o valor de m.

FUNÇÃO DO 2ºGRAU

Sua representação gráfica é dada em torno de eixos:

FUNÇÃO DO 2ºGRAU

Concavidade da parábola:

Coeficiente a > 0, parábola com a concavidade voltada para cima

Coeficiente a < 0, parábola com a concavidade voltada para baixo

FUNÇÃO DO 2ºGRAU

Concavidade da parábola:

FUNÇÃO DO 2ºGRAU

Pontos notáveis do gráfico de uma função do 2º grau:

A equação do 2º grau possui duas soluções distintas, isto é, a função do 2º grau terá duas raízes reais e distintas. A parábola

intersecta o eixo das abscissas (x) em dois pontos.

FUNÇÃO DO 2ºGRAU

Pontos notáveis do gráfico de uma função do 2º grau:

Quando o valor do coeficiente a for menor que zero, a parábola possuirá valor máximo.

FUNÇÃO DO 2ºGRAU

Pontos notáveis do gráfico de uma função do 2º grau:

Quando o valor do coeficiente a for maior que zero, a parábola possuirá valor mínimo.

FUNÇÃO DO 2ºGRAU

Pontos notáveis do gráfico de uma função do 2º grau:

Outra relação importante na função do 2º grau é o ponto onde a parábola corta o eixo y. Verifica-se que o valor do coeficiente c na lei de formação da função corresponde ao valor do eixo y onde a parábola o intercepta.

FUNÇÃO DO 2ºGRAU

Raízes e termo independente: Exemplo f(x) = x2 - 4

FUNÇÃO DO 2ºGRAU

Raízes e termo independente: Exemplo f(x) = -x2 + 4

FUNÇÃO DO 2ºGRAU

Raízes e termo independente: Exemplo: y=-x²-4x-3

FUNÇÃO DO 2ºGRAU

Raízes e termo independente: Exemplo: y = f(x) = x²-x+2

MATEMATICA BÁSICA

Professor: Alexandre Portela

Assunto: EQUAÇÕES EXPONENCIAIS

EQUAÇÃO EXPONENCIAL

Para termos uma equação devemos ter uma igualdade, ou seja, alguma coisa igualada à outra. E para ser equação exponencial devemos

ter uma igualdade que tenha uma variável (normalmente X) colocada no expoente

(potência).

EQUAÇÃO EXPONENCIAL

Não existe uma fórmula mágica para resolução de equações exponenciais, existe um objetivo a

ser alcançado. Quando nos deparamos com uma equação exponencial devemos procurar um método de IGUALAR AS BASES A NÚMEROS

PRIMOS de ambos os lados da igualdade.

EQUAÇÃO EXPONENCIAL

EXEMPLO:

EQUAÇÃO EXPONENCIAL

EXEMPLO:

EQUAÇÃO EXPONENCIAL

EXEMPLO:

EQUAÇÃO EXPONENCIAL

EXEMPLO:

4x+3(2x+1)=16

.

EQUAÇÃO EXPONENCIAL

EXEMPLO:

22x-12(2x)=-32.

EQUAÇÃO EXPONENCIAL

EXEMPLO:

3x7x=(441)1/4.

EQUAÇÃO EXPONENCIAL

EXEMPLO:

A população de peixes em um lago está diminuindo devido à contaminação de água por resíduos industriais.

A lei n(t) = 5000 – 10.2t–1 fornece uma estimativa do número de espécies vivas (n(t)) em função do número de anos (t) transcorridos após a instalação do parque industrial na região.

EQUAÇÃO EXPONENCIAL

PERGUNTA 1)

Estime a quantidade de peixes que viviam no lago no ano da instalação do parque industrial.

EQUAÇÃO EXPONENCIAL

PERGUNTA 2)

Algum tempo após as indústrias começarem a operar, constatou-se que havia no lago menos de 4920 peixes. Para que valores de t vale essa condição?

EQUAÇÃO EXPONENCIAL

EXEMPLO:

Suponha que, e, 2003, o PIB (Produto Interno Bruto) de um país seja 500 bilhões de dólares. Se o PIB crescer 3% ao ano, de forma cumulativa, qual será o PIB do país em 2023, dado em bilhões de dólares? (Use a aproximação 1,0320= 1,80.)

a) 900 b) 950 c) 1000 d) 1050 e) 1100

MATEMATICA BÁSICA

Professor: Alexandre Portela

Assunto: LOGARITMOS

LOGARITMOS

LOGARITMOS

LOGARITMOS

LOGARITMOS

Exemplo:

LOGARITMOS

Exemplo:

LOGARITMOS

Exemplo:

LOGARITMOS

Exemplo:

LOGARITMOS

Exemplo:

LOGARITMOS

Exemplo:

LOGARITMOS

Propriedades:

a) O logaritmo de um número, na base de valor igual a ele mesmo, é sempre igual a 1.

logb b = 1.

Exemplo: log8 8 = 1.

LOGARITMOS

Propriedades:

b) O logaritmo de 1 em qualquer base é sempre igual a 0.

logb 1 = 0

Exemplo: log9 1 = 0

LOGARITMOS

Propriedades:

c) Logaritmo de uma potência

logb ay = y. logb a

Exemplo: Log2 34 = 4. log2 3

LOGARITMOS

Propriedades:

d) O logaritmo de um número b, na base b, elevado a um expoente x é sempre igual a x.

logb bx = x

Exemplo:

Log3 37 = 7

LOGARITMOS

LOGARITMOS

LOGARITMOS

LOGARITMOS

Propriedades:

g) Logaritmo decimal

Dizemos que o logaritmo é decimal quando a base é 10.

Neste caso, na representação matemática a gente economiza e não escreve o 10, veja:

Exemplo:

Log 100 = 2

LOGARITMOS Exemplos:

Assinale a propriedade válida sempre: a) log (a . b) = log a . log b b) log (a + b) = log a + log b c) log m . a = m . log a d) log am = log m . a e) log am = m . log a (Supor válidas as condições de existências dos logaritmos)?

LOGARITMOS Exemplos:

Se log10123 = 2,09, o valor de log101,23 é: a) 0,0209 b) 0,09 c) 0,209 d) 1,09 e) 1,209

LOGARITMOS Exemplos:

Os valores de x que satisfazem log x + log (x - 5) = log 36 são: a) 9 e -4 b) 9 e 4 c) -4 d) 9 e) 5 e -4

MATEMATICA BÁSICA

Professor: Alexandre Portela

Assunto: EQUAÇÕES DE 2º GRAU E PROBLEMAS

EQUAÇÃO DO 2ºGRAU

DEFINIÇÃO

Uma equação do 2º grau com uma variável tem a forma:

ax² + bx + c = 0

onde os números reais a, b e c são os coeficientes da equação, sendo que a deve ser diferente de zero. Essa equação é

também chamada de equação quadrática, pois o termo de maior grau está elevado ao quadrado

x é a incógnita

a,b, e c números reais, chamados de coeficientes

EQUAÇÃO DO 2ºGRAU Equação Completa do segundo grau

Uma equação do segundo grau é completa, se todos os coeficientes a, b e c são diferentes de zero.

Exemplos:

1) 2 x² + 7x + 5 = 0, onde a = 2, b = 7 e c = 5

2) 3 x² + x + 2 = 0, onde a = 3 , b = 1 e c = 2

EQUAÇÃO DO 2ºGRAU

EQUAÇÃO DO 2ºGRAU

EXEMPLO:

1) x² + 9 x + 8 = 0

EQUAÇÃO DO 2ºGRAU

EXEMPLO:

2) 9 x² - 24 x + 16 = 0

EQUAÇÃO DO 2ºGRAU

EXEMPLO:

3) x² - 2 x + 4 = 0

EQUAÇÃO DO 2ºGRAU

EXEMPLO:

4) 3 x² - 15 x + 12 = 0

PROBLEMAS DO 2ºGRAU

PROBLEMAS DO 2ºGRAU

PROBLEMAS DO 2ºGRAU

PROBLEMAS DO 2ºGRAU

Exemplo:

Um azulejista usou 2000 azulejos quadrados e iguais para revestir 45m2 de parede. Qual é a medida do lado de cada azulejo?

PROBLEMAS DO 2ºGRAU EXEMPLO:

A área de um retângulo é de 64cm2. Nessas condições, determine as dimensões do retângulo sabendo que o comprimento mede (x+6) m e a largura mede (x- 6) m.

PROBLEMAS DO 2ºGRAU EXEMPLO:

Se você multiplicar um número positivo por ele mesmo e , do resultado , subtrair 9, você obterá 112. Qual é o número?

PROBLEMAS DO 2ºGRAU

EXEMO quadrado de um número é igual ao produto desse número por 3, mais 18. Qual é esse numero?