SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO Superintendência da Educação

Diretoria de Políticas e Programas Educacionais Programa de Desenvolvimento Educacional

PROFESSORA PDE

MÁRCIA APARECIDA BALDIM

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS COMO METODOLOGIA DE

ENSINO E APRENDIZAGEM DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU

Artigo Cientifico - apresentado ao Programa de Desenvolvimento Educacional, realizado na Universidade Estadual de Londrina, área curricular Matemática, sob orientação do Prof. Dr. Túlio Oliveira de Carvalho.

Londrina - 2009

2

Resolução de Problemas como metodologia de ensino

aprendizagem de equação do primeiro grau

Márcia Aparecida Baldim1

Túlio Oliveira de Carvalho2

Resumo

O presente trabalho apresenta os resultados de uma investigação

usando a metodologia de Resolução de Problemas para o ensino-

aprendizagem de equações do primeiro grau. O objetivo deste trabalho é,

incitando o entusiasmo, empenho e troca de ideias dos educandos, capacitar os

alunos na resolução e elaboração de problemas. Além disto, objetivou-se

fundamentalmente induzir os alunos a perceberem que o uso dos símbolos nas

equações tem o seu significado e em muitos casos este facilita a solução de

problemas. Os resultados mostram a evolução na resolução dos problemas por

desenhos e cálculos aritméticos, pela capacidade de generalizar e de usar a

linguagem algébrica nas suas generalizações.

Palavras-chave: resolução de problemas, equação do 1º grau.

___________

1 Professora da Rede Pública do Estado do Paraná, participante do Programa de Desenvolvimento da Educação (PDE). E-mail: mcbaldim@hotmail.com.

2 Professor Orientador. Departamento de Matemática, Universidade Estadual de Londrina – PR. E-mail: tcarvalho@uel.br.

3

Abstract

This work reports on results on the application of the methodology of

Problem Solving for the teaching and learning of linear equations on one

unknown. The aim of the work is, promoting enthusiasm, commitment and

exchange of views of the students, to enable them to solve and elaborate math

problems. We also aimed at diminishing the fundamental lack of skill of the

students on dealing with symbols on equations, emphasizing their meaning,

which may ease the solution of many problems. We have observed the students

development on solving problems with the use of drawings, arithmetic

calculations and some ability to generalize with the algebraic symbolic language.

Keywords: problem solving, linear equations in one unknown.

4

1. Introdução

O uso da metodologia de Resolução de Problemas no ensino da

matemática é ideia que tem sido bastante defendida nos últimos anos. As

pesquisas procuram mostrar que há um maior envolvimento dos alunos, com a

consequente compreensão das situações problema apresentadas. Neste

trabalho, desenvolvemos uma aplicação desta metodologia ao tema de

equações do 1º Grau com uma incógnita na 6ª série do Ensino Fundamental.

O objetivo é avaliar a capacidade dos alunos em resolver problemas

dando sentido ao pensamento algébrico e evitando a prática repetitiva comum

em alguns livros texto. A meta deste trabalho é tirar proveito da linguagem

verbal e escrita, a fim de mostrar ao aluno o quanto ele já sabe de álgebra,

conduzindo-o progressivamente a usar o simbolismo algébrico.

Para tal fim, selecionamos problemas que possam proporcionar aos

alunos experiências de aprendizagem significativas, visando capacitá-los a

representar relações simbolicamente e compreender questões no tema de

equações do 1º grau. É possível ainda avaliar as dificuldades mais frequentes

dos alunos no tema de equações do 1º grau e identificar as etapas de

aprendizado da álgebra na 6ª série.

Este trabalho está dividido em 5 seções. Na segunda seção,

apresentamos uma revisão da metodologia de Resolução de Problemas. Na

terceira seção, descrevemos como efetivamente realizamos esta abordagem

em sala de aula. Na quarta seção, apresentamos os resultados da discussão de

um problema específico. Na quinta seção apresentamos nossas conclusões.

5

2. Sobre a metodologia de Resolução de Problemas

Garbi (2007) relata que entre todos os documentos contendo

problemas matemáticos da antiguidade que temos conhecimento nos dias de

hoje, os mais famosos são o Papiro de Rhind de 1650 a. C. com 85 problemas

e o Papiro de Moscou de 1850 a. C. com 25 problemas. Neles, o registro é

verbal, por não disporem da simbologia à qual estamos atualmente habituados.

Apesar disto, mostram um conhecimento notável para a época. Este aspecto

histórico coloca-se como uma primeira justificativa para que se tenha uma

atitude mais aberta em relação à produção escrita dos alunos. A metodologia

de Resolução de Problemas vem de encontro a isto, ao considerar que o aluno

possa descrever as atividades verbalmente para depois chegar ao uso de

símbolos.

Desde o início da história escrita, os povos se interessaram em

aplicar a matemática a situações descritas verbalmente. No século

XX também, com um hiato de vinte anos nas décadas de 60 e 70,

uma das metas importantes da matemática escolar tem sido a

solução de aplicações e de problemas. (SCHOEN, 1997, p. 135).

A procura por significados dos símbolos junto com a Resolução de

Problemas faz com que haja algumas diferenças em realizar aulas tradicionais

ou por meio de Resolução de Problemas.

Na tendência tradicional o professor explica a matéria (teoria), mostra

exemplos, propõe “exercícios” semelhantes aos exercícios dados para que os

alunos resolvam, o professor (ou aluno) resolve no quadro os exercícios,

propõe aos alunos outros “exercícios” já não tão semelhantes aos exemplos

que ele resolveu, o professor (ou um aluno) resolve os exercìcios no quadro,

propõe “problemas”, se for o caso, ou mais “exercícios”, que são corrigidos.

Segue-se o curso com outro assunto.

Na tendéncia de Resolução de Problemas, o professor apresenta um

problema escolhido por ele ou pelo(s) aluno(s), e os alunos tentam resolver o

problema com o conhecimento que têm. Quando os alunos encontram algum

6

obstáculo o professor os auxilia, por exemplo, com a revisão do conteúdo.

Resolvido o problema, os alunos discutem sua solução, se necessário, com a

ajuda do professor. Essa discussão envolve todos os aspectos da resolução do

problema, inclusive sobre o conteúdo necessário. Dando continuidade o

professor apresenta outro problema.

Para Lester (1983, apud Buriasco, 1995), “problema” é uma situação

que o individuo ou um grupo quer ou precisa resolver e para a qual não dispõe

de um caminho rápido e direto que o leve à solução. Problemas matemáticos

para a maioria dos alunos são uma barreira que precisam enfrentar no

aprendizado da matemática, pois esses têm dificuldade em identificar o

raciocínio que deve ser utilizado para a sua resolução. A pesquisa em

matemática tem seu esteio em problemas abertos sem solução conhecida, por

outro lado, há problemas que possuem diversas soluções.

Segundo Pólya (2006 p.4), a Resolução de Problemas envolve quatro

fases: Compreensão do Problema, Estabelecimento de um Plano, Execução do

Plano e Retrospecto. Em resumo, estas fases se caracterizam pelos aspectos

que descrevemos.

1. Compreensão do Problema: é preciso que o aluno compreenda

o problema, descrevendo as relações entre dados e incógnitas, podendo usar

figuras, diagramas ou adotar uma notação que julgue adequada.

2. Estabelecimento de um Plano: baseando-se em conhecimentos

já adquiridos ou considerando problemas auxiliares, o aluno deve procurar

encontrar uma conexão imediata com um problema correlato. É preciso chegar

afinal a um plano de resolução.

3. Execução do Plano: esta pode ser a parte mais fácil do processo

desde que as fases anteriores estejam corretas. Por outro lado, somente

executando seu plano, verá o aluno a necessidade de correções às etapas

anteriores.

7

4. Retrospecto: examinar a solução obtida, nesta fase poderá ser

revisado todo o processo e perceber se existe um modo diferente para o

problema ser resolvido.

Há diferenças entre fazer uma aula apresentando a solução de

exercícios e a metodologia de Resolução de Problemas. Enquanto na resolução

de exercícios os estudantes dispõem de mecanismos e técnicas que os levam,

de forma padronizada, à solução, na Resolução de Problemas isto não ocorre,

porque, muitas vezes, é preciso entender os problemas, traçar um plano,

executar e testar. Desta forma, uma mesma situação pode ser fácil para alguns

e mais difícil para outros, dependendo do conhecimento que cada aluno tem.

Deve-se finalmente fazer os alunos assumirem a responsabilidade de serem

capazes de resolver problemas (PARANÁ 2008 p 36).

Butts (1997) classifica o conjunto de problemas matemáticos em

cinco subconjuntos;

1. Exercícios de reconhecimento: são exercícios que lembram um

fato, uma definição ou o enunciado de um teorema.

Ex: Assinale a equação polinomial do 1º grau

a. 6 + 2 = 10 - 2

b. 2x – 4 =12

c. 4x < 3 + 7x

2. Exercícios de algoritmos: São exercícios que podem ser

resolvidos passo a passo, freqüentemente um algoritmo numérico.

Ex: Calcule:

21 ÷ 3 + 4(7 – 6)

Resolva:

4x – 8 = 21

8

3. Problemas de aplicação: são os problemas tradicionais, para a

sua resolução deve-se se fazer sua formulação simbólica e

manipulação simbólica mediante algoritmos diversos.

Ex: O triplo de um número mais cinco é igual a vinte. Qual é esse

número?

4. Problemas de pesquisa aberta: são problemas cujos enunciados

não indicam nenhuma estratégia para solução.

Ex: Uma empresa de correios vende apenas selos de dois tipos: 7

centavos e 9 centavos. Como pode ser postada uma carta de 32

centavos?

5. Situações-problema: não são problemas propriamente ditos, são

situações em que precisamos identificar o problema, e cuja

solução irá melhorá-la.

Ex: Estimar o desperdício causado por uma torneira que está

gotejando.

Resolver problemas só terá significado se a escolha dos problemas

for adequada à prática de sala de aula e ao interesse dos alunos.

Uma grande parte das atividades que constam dos livros

didáticos é das três primeiras categorias. A característica

comum a elas é o fato de conterem a estratégia para sua

resolução nos próprios enunciados. Por essa razão,

apenas os problemas das duas últimas categorias são

considerados problemas de fato (BURIASCO 1995).

Segundo Musser e Shaughnessy (1997), as principais estratégias de

resolução de problemas que podem ser ensinadas nas escolas;

1) Tentativa-e-erro: talvez esta estratégia seja a mais usada para a

resolução de exercícios.

9

2) Padrões: esta estratégia considera casos particulares do problema e

chega-se à solução através da generalização.

3) Resolver um problema mais simples. Esta estratégia pode ser

necessária, mas tem variações: por exemplo, uma suposição extra

pode facilitar o problema, o estudo de casos. Após a solução do

problema simplificado, retorna-se ao original.

4) Trabalhar em sentido inverso.

5) Simulação: a solução de um problema compreende preparar e

realizar um experimento, coletar dados e tomar uma decisão baseada

na análise dos dados.

A procura dos significados dos símbolos e as estratégias de

Resolução de Problemas não se constituem, no entanto, em mais um conjunto

de regras e sim como um processo, que permite extensões para outros tópicos

do aprendizado do aluno.

O grande problema para o professor deve ser o de

articular o seu conhecimento com as hipóteses

elaboradas pelos seus alunos, sem cair no grave erro de

adotar como pressuposto que aquilo que ele acha que

sabe é uma verdade absoluta, ou que não pode ser

pensado de modo diferente... Disposto a ouvir o que têm

a dizer seus alunos, o professor será surpreendido com

as múltiplas interpretações. (VIANNA 2002 p. 401-410)

Será importante respeitar o ritmo da aprendizagem em geral, e

principalmente na Resolução de Problemas levando em conta o conhecimento

prévio dos alunos e sem dar dicas demais, aceitar compreensões parciais e

identificar certos tipos de erros e dificuldades, e a partir daí construir um

conhecimento correto do significado de equações do primeiro grau.

É fundamental que o professor conheça métodos que favoreçam o

ensino deste tema e não levem a uma “técnica automática” de um “simbolismo

extremado”, com vistas ao desenvolvimento do pensamento algébrico dos

10

alunos. Incentivar o aluno a falar ou descrever o problema pode ser uma ponte

para o simbolismo algébrico, o entendimento e a resolução do problema.

Schoen (1995) destaca no capítulo de “Resolução de Problemas”, a

importância de fornecer um vínculo entre o conteúdo algébrico, e o

desenvolvimento de aptidões para resolvê-los e não apenas para desenvolver

técnicas algébricas, mas para dar um significado para o conteúdo algébrico,

citando seis recomendações básicas para um curso de álgebra:

♦ Basear a aprendizagem de coisas novas no conhecimento e na compreensão

que os alunos já têm.

♦ Conduzir gradualmente o aluno da verbalização ao simbolismo algébrico.

♦ Introduzir os tópicos de álgebra com aplicações.

♦ Ensinar os tópicos de álgebra a partir da perspectiva de como eles podem ser

aplicados.

♦ Ensinar a modelar processos heurísticos específicos como auxiliares para a

compreensão e resolução de problemas.

♦ Comprometer os alunos com a resolução de problemas.

O que nos propomos é romper com a conduta histórica que tem sido

de ensinar a álgebra resumindo-a a procedimentos mecânicos, com a maestria

da linguagem matemática. Apesar de que alguns alunos cheguem a dominar

estes procedimentos, automatizando-os, o que de fato tem importância para o

aprendizado na 6ª série, nossa reflexão é que este se torna mais significativo ao

passar pela interpretação e discussão dos problemas.

11

3. Metodologia

Este trabalho foi desenvolvido em três etapas. Na primeira etapa, que

durou seis aulas, exploramos problemas deixando que os alunos os tentassem

resolver. Na segunda etapa, com quatro aulas, incentivamos a criação de

problemas através de figuras e do interesse do aluno. Na terceira etapa, com

quatro aulas, o objetivo foi induzir o aluno a usar símbolos.

Para o desenvolvimento deste trabalho a turma foi subdividida em

grupos de quatro ou cinco alunos. Na primeira e terceira etapas, os problemas

foram lidos para a turma assim organizada, e os alunos tiveram o restante da

aula para discutirem caminhos para sua solução. Nos minutos finais da aula, os

grupos redigiram um relato do que formularam sobre a solução dos problemas.

Para cada problema, várias leituras foram feitas com o objetivo de

ressaltar a necessidade de compreensão do enunciado. Aos poucos, foi

colocada a estruturação de ataque aos problemas proposta em Pólya (2006):

compreensão, estabelecimento de um plano, execução do plano e retrospecto.

Em uma aula posterior, propusemos uma mudança nos grupos para

troca de informações. A etapa do retrospecto foi feita em seguida, numa aula

dialogada em que toda a turma teve oportunidade de se manifestar. O exercício

(para o professor) é de escutar as estratégias e soluções dos alunos, intervindo,

mas com perguntas, para que o confronto de visões estabeleça uma

perspectiva crítica e ao fim todos cheguem às respostas corretas podendo

haver vários caminhos. É fundamental que não se dê uma solução pronta: tal

procedimento iria contra a prática da Resolução de Problemas.

12

4. Resultados

Para demonstrar os resultados obtidos com base no referencial de

Pólya (2006), relato as etapas desenvolvidas com o grupo de alunos da 6ª série

do Colégio Estadual Unidade Pólo – Ensino Fundamental e Médio, Arapongas –

PR com participação minha como professora e de 38 alunos, sendo 19 meninos

e 19 meninas. O estudo foi realizado por no período matutino em aulas

geminadas sendo que a duração de cada aula é de 50 minutos totalizado 1 hora

e 40 minutos.

1ª Etapa

Os problemas foram distribuídos aos alunos, que em seus grupos e

com interação com os demais grupos procuraram resolver. Ao final de uma

aula, discutiu-se as soluções propostas com todos os alunos, questionando se o

caminho estava certo ou errado.

1ª dia

Informei que a aula de Resolução de Problemas seria uma aula em

que a professora passaria os problemas sem dar qualquer dica de como

resolvê-los. Além disto, destaquei as etapas de Pólya:

♦ Compreender o problema; ♦ Estabelecer um plano para a resolução; ♦ Executar do plano; ♦ Verificar.

Estabeleci a formação dos grupos, com o intuito de estabelecer

regras para as aulas. Falei das regras para avaliação, esperei que dessem

opiniões. Como não as houve, informei que avaliaria os seguintes aspectos:

13

♦ Disciplina durante as aulas;

♦ Respeito com os colegas;

♦ Participação efetiva nas questões propostas;

♦ Avaliação por meio de observações dos alunos feitas nas aulas e também

pela análise do material escrito e entregue pelos alunos;

Os problemas distribuídos aos grupos foram os seguintes:

1) (Dante 2005) Com 24 palitos de fósforo, forme 9 quadradinhos, como mostra

a figura abaixo. Como fazer para tirar apenas 4 palitos e deixar 5

quadradinhos?

2) (Obmep 2008) Um terreno retangular foi divido em 4 terrenos, também

retangulares.

As áreas de 3 deles estão dadas na figura em km2. Qual e a área do terreno

que foi dividido?

3) (Obmep 2008) Ana e Beatriz compraram dezoito bombons de mesmo preço.

Ana pagou por oito deles e Beatriz pelos outros dez. Na hora do lanche,

dividiram os bombons com Cecília e cada uma delas comeu seis. Para dividir

igualmente o preço dos bombons. Cecília deveria pagar R$1,80 para Ana e

Beatriz. Ela pensou em dar R$0,80 para Ana e R$1,00 para Beatriz, mas

percebeu que essa divisão estava errada. Quanto ela deve pagar para Beatriz?

14

Ao término da aula, os alunos entregaram o relatório, e observei que

nenhum grupo havia conseguido resolver os problemas.

2ª dia

Ao iniciar a aula, troquei alguns alunos de grupo. Os alunos tentaram

resolver os problemas em uma aula e pude ver que estavam tendo mais

sucesso. Na segunda aula do mesmo dia organizei a turma e começamos a

discutir o que os grupos haviam conseguido em relação ao problema dos

palitos; fiz o desenho dos palitos no quadro e um aluno de cada grupo ia ao

quadro e mostrava como o grupo pensou apagando os palitos. Esta discussão

foi muito interessante, porque a turma demonstrou paciência em discutir a

solução, mesmo porque os alunos que sabiam resolver ficaram quietos

esperando a sua vez de falar. Os que não sabiam resolver ficaram esperando a

solução, demonstrando curiosidade.

3ª dia

Nesta aula, foram discutidos os problemas 2 e 3. Os alunos opinaram

que acharam estes problemas muito difíceis.

No segundo problema eles somavam as áreas 27 + 18 + 72 = 11727 + 18 + 72 = 11727 + 18 + 72 = 11727 + 18 + 72 = 117 e

achavam que era a solução, mas a aluna F. resolveu corretamente e

apresentou a solução no quadro. Eu havia feito uma revisão do cálculo de área

de um retângulo, mostrando que ela é igual ao produto dos comprimentos da

base e da altura. A aluna mostrou que para conseguir as medidas dos lados

deveria usar a “tabuada” e verificou que 3 . 9=27, 3 . 9=27, 3 . 9=27, 3 . 9=27, 3.3.3.3.6=18 e 6 .6=18 e 6 .6=18 e 6 .6=18 e 6 . 12=7212=7212=7212=72 e descobriu

assim que as medidas da base e altura do retângulo cuja área não é dada são 9

e 12. Como 9 .9 .9 .9 . 12=10812=10812=10812=108 somou 27 + 18 + 72 + 108= 22527 + 18 + 72 + 108= 22527 + 18 + 72 + 108= 22527 + 18 + 72 + 108= 225, obtendo assim a área

total.

15

No terceiro problema, a primeira solução exposta consistia em efetuar

a divisão de R$1,80R$1,80R$1,80R$1,80 por 2222, o que implicava que Beatriz deveria pagar R$0,90R$0,90R$0,90R$0,90

para cada uma. A leitura do problema foi feita novamente. Ana pagou por oito

bombons e Beatriz pelos outros dez; perguntei se eles achavam justo

receberem o mesmo, já que Beatriz pagou por mais bombons. Assim os alunos

foram capazes de perceber que teriam que calcular o preço de cada bombom.

Surgiram as seguintes sugestões:

O aluno J. disse que como R$1,80R$1,80R$1,80R$1,80 era o preço de 6666 bombons,

deveríamos somar 1,80 + 1,80 + 1,80 = 5,401,80 + 1,80 + 1,80 = 5,401,80 + 1,80 + 1,80 = 5,401,80 + 1,80 + 1,80 = 5,40 e dividir por 18181818 assim o preço do

bombom é R$R$R$R$0,300,300,300,30.

Confirmei que estava certo, mas perguntei se não haveria outra forma

de encontrar o preço de um bombom.

O aluno C. sugeriu para dividir R$R$R$R$1,801,801,801,80 primeiro por 2222 e depois por 3333, o

que dá o mesmo resultado. Esta forma de resolver não tem explicação nos

dados.

E a aluna F. falou: “Como no problema se diz que Cecília deveria

pagar R$1,80R$1,80R$1,80R$1,80 para Ana e Beatriz e como Cecília comeu 6666 bombons, é só dividir

R$R$R$R$1,801,801,801,80 por 6666, e a Cecília deve pagar para a Beatriz R$R$R$R$1,201,201,201,20, pois a Beatriz

pagou por dez bombons e deu quatro para Cecília. “

Durante a correção dos problemas alguns alunos questionaram

“porque a professora fica enrolando e não resolve logo os problemas”. Eu

expliquei que o objetivo do trabalho era promover a discussão dos problemas

pelos alunos e que o importante naquele momento era a troca de idéias e todos

juntos chegarem à solução do problema.

16

2ª Etapa

Para o desenvolvimento desta etapa a sala foi dividida em duplas,

sendo que no primeiro dia foi dado aos alunos folhas com figuras para que eles

pudessem desenvolver problemas de seu interesse. Esta atividade foi feita em

duas aulas do mesmo dia. No segundo dia os alunos formaram as mesmas

duplas, as folhas com os problemas que os alunos elaboraram foram trocadas

entre as duplas. Na segunda aula do mesmo dia, eles corrigiram os problemas

resolvidos pelos colegas.

Estes são alguns problemas elaborados pelos alunos com base nas

figuras que foram dadas a eles:

1) (Dante 2005) Elabore um problema para cada uma das seguintes figuras e

resolva:

17

2) (Dante 2005) Observe o cardápio da lanchonete da escola. Com base nele,

invente um problema e o resolva:

Observe-se que o enunciado dos problemas contém erros de

português, mas estes não foram discutidos.

18

3ª Etapa

Nesta etapa o objetivo foi analisar o desempenho e os

procedimentos, corretos ou incorretos dos alunos envolvidos nesta pesquisa.

Lembrando Usiskin (op, cit.1995, p. 13), as diferentes concepções da Álgebra

se traduzem na variedade de usos dos símbolos, em especial, como variável ou

incógnita. As discussões que os problemas a seguir suscitaram propiciaram aos

alunos perceber que o uso de símbolos pode ser necessário para simplificar a

sua solução.

A atividade que considerei muito relevante, porque demonstra a

produção de significados e propicia a generalização através de uma situação do

cotidiano, foi adaptada do livro do Krulik (1997).

No inicio desta etapa foi lembrado mais uma vez aos alunos as fases

de Pólya (2006) e os processos de avaliação como na primeira etapa.

Pedi que formassem grupos de 4 ou 5 alunos, e logo após foi

distribuído aos alunos folhas com o seguinte problema:

Ontem à noite, terminei de fazer a lista de convidados para o jantar que vou dar

no próximo mês. Como haverá trinta pessoas, vou precisar tomar emprestadas

algumas mesas de jogo, de tamanho que permita sentar-se uma pessoa de

cada lado. Quero dispô-las numa longa fileira, encostadas umas nas outras,

Naturalmente, quero tomar emprestado o mínimo de mesas possível. De

quantas mesas de jogo vou precisar?

19

Podemos generalizar conforme a seguinte tabela:

Observando a tabela que você completou, descubra uma relação

entre o número de mesas e o de pessoas que podem ocupá-las. E se fossem

100 convidados quantas mesas seriam necessárias?

Após uma aula de 50 minutos destinada à resolução do problema

pelos grupos, passamos à discussão do que cada grupo havia formulado. A

maioria resolveu usando desenhos. A aluna F. foi ao quadro e apresentou a sua

resolução. Primeiro desenhou os 30 lugares em torno da mesa

Nº de

mesas

Nº de

pessoas

1 4

2 6

20

E depois completou o desenho com as mesas.

E pôde contar 14 mesas.

Após a sua exposição eu perguntei se algum aluno resolveu de outra

forma, ao que todos responderam negativamente.

Minha intervenção foi para que tentasse resolver com cálculos.

O aluno J. sugeriu que poderíamos dividir 30303030 por 2222 e diminuir um (que

representa um mesa), pois duas pessoas podem sentar-se na ponta. Sugeriu

ainda que se fizéssemos 30 30 30 30 –––– 2 = 282 = 282 = 282 = 28, e depois a divisão por 2, obteríamos a

mesma resposta obtida do desenho.

O aluno E. falou que o número de pessoas é sempre o dobro de

número de mesas mais dois e escreveu:

2 .2 .2 .2 . 14 + 2 = 3014 + 2 = 3014 + 2 = 3014 + 2 = 30

Após esses comentários retomamos a tabela, os alunos já tinham

completado e falavam todos juntos. Neste momento, havia certo alvoroço e

empolgação: a descoberta enunciada foi que “o número de mesas aumentava

de um em um e as pessoas de dois em dois”.

Confirmei que é correta afirmação. Em seguida, lembrei-os que

deveríamos estabelecer uma relação entre o número de mesas e o de pessoas

que podem ocupá-las, justificando que, apesar de não ser impossível, é muito

21

trabalhoso ir escrevendo uma tabela ou desenhando mesas até completar 100

convidados ou mais. Comentei também que eles poderiam olhar os cálculos

que foram feitos e os desenhos. Este é o momento da generalização.

O aluno W. disse: “podemos pegar o número de pessoas menos dois

e dividir o resultado por dois”. Verificamos que esta afirmação estava coerente

com os resultados da tabela.

4444 –––– 2222 ==== 2222 e e e e 2222 :::: 2222 ==== 1111

6666 –––– 2222 ==== 4 4 4 4 e e e e 4444 :::: 2222 ==== 2222

Assim, chegamos a

100 100 100 100 –––– 2 = 982 = 982 = 982 = 98 , que dividido por 2222 dá 49494949.

Após esta explicação eu lembrei mais uma vez que a relação deve

ser entre o número de mesas e o número de pessoas.

E o aluno J. disse: “Professora então a relação é: o dobro do número

de mesas mais dois é igual ao número de pessoas.” Eu disse “vamos ver se na

tabela dá certo.”

E verificamos que;

2 .2 .2 .2 . 1 + 2 = 41 + 2 = 41 + 2 = 41 + 2 = 4 pessoas

2 .2 .2 .2 . 2 + 2 = 62 + 2 = 62 + 2 = 62 + 2 = 6 pessoas e assim por diante..;

E

2 2 2 2 .... 49 + 2 = 4949 + 2 = 4949 + 2 = 4949 + 2 = 49

E partindo desta relação

2 .2 .2 .2 . nº de mesas + 2 (pessoas de cada ponta) = 100nº de mesas + 2 (pessoas de cada ponta) = 100nº de mesas + 2 (pessoas de cada ponta) = 100nº de mesas + 2 (pessoas de cada ponta) = 100

Chegamos à equação

2.m + 2 = 1002.m + 2 = 1002.m + 2 = 1002.m + 2 = 100

22

Que é uma equação do 1º grau.

Os alunos puderam perceber que conforme o número de pessoas

aumentava ficava difícil resolver por desenhos. A equação de primeiro grau à

qual por fim se chegou tornava o cálculo mais fácil.

Foram apresentados outros problemas, que os grupos resolveram

num primeiro momento pelo processo da tentativa para depois serem

formulados em termos de equações, e assim resolver a equação pelas

operações inversas (que foi uma das técnicas por mim utilizada para a

explicação e resolução de equações do primeiro grau).

5. Conclusões

Partindo das estratégias que os alunos adotam para a resolução das

atividades, a Resolução de Problemas desenvolve os conceitos e o uso da

linguagem simbólica a partir da base individualizada do aluno, o que permite um

aprendizado mais significativo, inclusive nas séries iniciais. Neste trabalho,

mostramos alguns caminhos para o ensino da álgebra, no contexto de

equações de 1º grau, tendo como objetivo o desenvolvimento do pensamento

algébrico, evitando a mera aplicação de procedimentos.

A compreensão dos símbolos no trabalho com a álgebra é

fundamental. Algumas das dificuldades dos alunos devem-se ao fato de estes

surgirem em outros contextos com outros significados, como são exemplos os

sinais das operações e o sinal de igual. As letras, além de aparecerem em

outros contextos, assumem também diferentes significados na álgebra de

acordo com as expressões onde estão inseridas. Uma concepção (decerto

limitada) das equações é que se trata de calcular com letras. A letra, porém,

representa uma incógnita. A grande contribuição da metodologia é balizar o

significado da representação simbólica pela interpretação prática no contexto do

problema.

23

O estudo de padrões e regularidades contribuiu para a compreensão

da linguagem algébrica pelos alunos, que se refletiu no trabalho com equações.

Verifiquei que esta abordagem inicial promoveu a compreensão da letra

representando um número.

Para a compreensão do conceito de equação também foi importante

representar e resolver equações explorando situações de balanças em

equilíbrio. Esta abordagem, apesar de ter uma utilização limitada a alguns tipos

de equação, promoveu o entendimento do equilíbrio existente entre os dois

membros de uma equação e dos princípios e regras de equivalência. Neste

aspecto, a compreensão da lei do cancelamento é o passo essencial, por

permitir ao aluno resolver as equações pela transposição de termos com as

operações inversas.

Durante o desenvolvimento do trabalho a impressão que tive pela

indisciplina da turma é de que não chegaria a resultado nenhum, pois uma aula

de Resolução de Problemas em uma turma numerosa pode ser extenuante. No

decorrer da aula, por não serem dadas dicas, os alunos ficam pensando que

estamos “enrolando” e não sabemos resolver os problemas. Entretanto, quando

eu comecei a discutir os problemas com os alunos ocorre a mágica da

participação ativa, alguns grupos haviam resolvido e a turma toda fica

interessada na apresentação dos resultados contribuindo com opiniões. É

muito compensador ver que o aluno se sente empolgado em ter resolvido o

problema sozinho e sem dicas.

24

6. Referências

BURIASCO. Regina L. C. de. Sobre a Resolução de Problemas (II). Nosso

Fazer,ano 1, n.º. 6, Secretaria Municipal de Educação - Londrina, 1995.

BURIASCO, R. L. C. (Docente): A lógica da escola e a avaliação da

aprendizagem.; 2004; Palestra; Moderadora; VIII ENEM; Encontro Nacional de

Educação Matemática; Anais, Recife; BR; Vários.

BUTTS. T. Colocando Problemas Adequadamente. In: KRULIK, S. e REYS, R.

E. A Resolução de Problemas na Matemática Escolar. São Paulo: Atual,

1997.

COXFORD A.; SHULTE A. P. As idéias da álgebra. Tradução de Hygino H.

Domingues, São Paulo Editora atual, 1997.

DANTE, Luiz R. Didática da Resolução de Problemas de Matemática São

Paulo Editora Ática, 2005.

GARBI, Gilberto G. O Romance das Equações Algébricas. 2 ed. São Paulo:

Editora Livraria da Física, 2007.

MUSSER, G. L.; SHAUGHNESSY, J. M. Estratégias de resolução de

problemas na matemática escolar In: KRULIK, S. e REYS, R. E. A Resolução

de Problemas na Matemática Escolar. São Paulo: Atual, 1997.

PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Superintendência de Educação.

Diretrizes Curriculares de Matemática. Curitiba: SEED, versão preliminar,

2007.

POLYA, George. A arte de resolver problemas. Tradução de Heitor Lisboa de

Araújo. Rio de Janeiro: Editora Interciência, 2006.

25

SCHOEN, H. L. Ensinar a álgebra elementar focalizando problemas In: As

idéias da álgebra. Tradução de Hygino H. Domingues, São Paulo Editora

atual, 1997.

USISKIN, Z. Concepções sobre a álgebra da escola média e utilizações das

variáveis In: As idéias da álgebra. Tradução de Hygino H. Domingues, São

Paulo Editora atual, 1997.

VIANNA, Carlos R. Resolução de Problemas, 2002, disponível no site

diaadiaeducacao.pr.gov.br, acessado em 10/11/2008.

OBMEP, Banco de questões. http://www.obmep.org.br, acessado em 20/09/2008.