Proff Matemática e Suas Tecnologias - editoralt.com.br fileProff Ciências da Natureza, Matemática e Suas Tecnologias Manual do Professor de Matemática Volume 2

Proff

Ciências da Natureza, Matemática e

Suas TecnologiasManual do Professor deMatemática Volume 2

Manual do Professor de Matemática Volume 22

Apresentação

O material didático da Coleção EJA Educação Profissional foi elaborado a par-tir do documento base do Programa Nacional de Integração da Educação Profissional com a Educação Básica na modalidade de Educação de Jovens

e Adultos, tendo como pressupostos alguns princípios e fundamentos pedagógicos: compreensão do trabalho como princípio educativo; pesquisa como fundamento da for-mação, por entendê-la como modo de produção de conhecimentos e de entendimento da realidade, além de contribuir para a construção da autonomia intelectual dos educandos; integração do currículo; valorização dos diferentes saberes no processo de ensino e apren-dizagem; e o trabalho como princípio educativo.

Nos livros que compõem a coleção, as abordagens das áreas dos conhecimentos são embasadas na perspectiva de complexos temáticos, ou seja, em temas gerais comuns liga-dos entre si. Temas que abrangem os conteúdos mínimos a serem abordados sob o enfoque de cada área do conhecimento; possibilitam a compreensão do contexto em que os alunos vivem; atendem às condições intelectuais e sociopedagógicas dos alunos; garantem um aprofundamento progressivo ao longo do material; e promovem o aprofundamento e a ampliação do conhecimento do aluno.

A abordagem dos materiais didáticos é centrada em resoluções de problemas, ou seja, no início da unidade são propostos os problemas, dilemas reais vividos pela sociedade e, a partir da disciplina, são fornecidos dados e fatos buscando a solução dos problemas propostos.

Para efetivar a integração das diferentes áreas do conhecimento, articulando-as ao mundo do trabalho, são utilizados grandes temas integradores: sociedade e trabalho; ciên-cia e tecnologia e trabalho; saúde e trabalho; linguagens e trabalho; entre outros.

Em cada volume da coleção, a disciplina é dividida em unidades que, por sua vez, são separadas em capítulos. Cada unidade conta com seção inicial de abertura, em que é colocado o problema gerador; conteúdos desenvolvidos de modo a propiciar a construção de soluções para o problema inicial por meio de atividades, propostas de reflexão, aná-lise de situações, simulação de cenários para tomada de decisão que são intercalados ao conteúdo em estudo; atividades de reflexão, de análise, de pesquisa e de produção (oral e escrita); seção final de sistematização da unidade, retomando o percurso de aprendizagem e relacionando-o ao problema inicial.

Com a intenção de desenvolver ideias e conceitos, ampliando os conhecimentos do educando de maneira estimulante e participativa, as obras contam ainda com sugestões de livros e sites, nos quais o aluno poderá realizar pesquisas para explorar as conexões entre as áreas do conhecimento.

Por meio da participação de todos os envolvidos no processo educacional, o material foi desenvolvido de modo que o trabalho dos alunos se desenvolva de maneira prazerosa e significativa.


Orientações aos Professores

Orientações aos Professores

Orientações Gerais do VolumeCaro (a) professor (a), ao escrever esse livro procuramos aproximar a realidade do mundo

em que vivemos de situações-problema em sala de aula, para que o aluno possa compreender que a matemática é uma ferramenta que utilizamos para resolver situações do nosso cotidiano. É impor-tante que o aluno perceba que não é necessário decorar diversas fórmulas, pois o conhecimento e a experiência na resolução de várias questões são adquiridos por meio de um processo gradual, que o levará a traduzir um problema textual em uma linguagem algébrica.

Nós, professores, temos que entender que o processo de compreensão da modelagem matemá-tica ocorre em tempos diferentes para cada pessoa, uma vez que o modo de raciocínio varia de uma pessoa para outra. Vivemos em uma sociedade culturalmente mista, na qual cada um compreende e interpreta as situações de maneiras diferentes. Diante do exposto, como poderíamos esperar que nas ciências exatas todos pensassem igual?

O aluno tem que ter a percepção do processo que o levou a um determinado resultado, com-preender todas as etapas desse processo e, também, saber argumentar a respeito da resposta final obtida. Se esse ciclo for claro para o aluno, o aprendizado será garantido de forma sistemática e aplicada.

Vale ressaltar que, o aluno que utilizará esse livro está em processo de inclusão educacional e de integração da educação básica à formação profissional. Nossa responsabilidade com esse educando é grande, pois esse é o momento de incluí-lo à vida escolar novamente. Dessa forma, temos o dever de ajudá-lo a resgatar sua dignidade, respeitando suas particularidades e necessidades. Nós, professores, somos coparticipantes, então dependerá muitas vezes de nossas interferências e estratégias de ensino para chegarmos juntos ao sucesso dessa jornada.

Bom trabalho a todos.

Objetivos Gerais do VolumeEste volume da coleção de matemática para a Educação de Jovens e Adultos – EJA na área

da ciências da natureza, matemática e suas tecnologias é a continuidade do volume 1, mesmo tra-zendo novos contextos, conceitos e situações-problema. Ele partilha os objetivos gerais do Ensino Fundamental e também objetiva:

• Contribuir para a formação cidadã do aluno.

• Contribuir na formação dos alunos inseridos nesta modalidade da educação.

• Compreender e reconhecer o uso dos conceitos matemáticos no cotidiano.


• Produzir informações relevantes e interpretá-las criticamente.

• Entender a interdependência das grandezas ao nosso redor.

• Estimular o interesse, a curiosidade e o espírito de investigação dos alunos da EJA.

Princípios Pedagógicos Gerais do VolumeEsta coleção foi elaborada seguindo as orientações das Diretrizes Curriculares Nacionais para

a Educação de Jovens e Adultos, ou seja, a metodologia de ensino deve ser diferenciada de um Ensino Médio regular. Essa distinção ocorre porque é necessário levar em consideração que o aluno tem uma história e que em algum momento afastou-se da escola devido a fatores sociais, econômicos, políticos e/ou culturais. Por isso, devemos aproveitar o conhecimento prévio e a experiência dos edu-candos para criar um clima de debate sobre o conteúdo a ser abordado, na qual o aluno consiga falar, representar, perceber e construir o conhecimento junto com os colegas e com o professor.

Articulação do conteúdoNeste volume, os eixos da geometria e das funções procuram se relacionar com o cotidiano dos

alunos. A geometria (plana e espacial) tem sua origem no mundo real e encontramos aplicações em diversas áreas do conhecimento, assim como em nossa vida diária, como na indústria, no comércio, na agricultura, nos utensílios domésticos, nas esculturas, confecção de objetos de decoração, core-ografia, planta baixa de uma casa e mapas. Podemos utilizar estes exemplos para contextualizar a geometria em sala de aula, aproximando o conteúdo do cotidiano do aluno.

O eixo das funções aborda as sequências e progressões, bem como as funções logarítmicas, exponencial e trigonométrica. Todas essas grandezas estão intimamente relacionadas a situações do dia a dia. Na área da matemática, temos os juros em aplicações financeiras; na geografia essas grande-zas podem ser utilizadas para medir o crescimento populacional; na biologia podem ser empregadas para quantificar o crescimento de culturas bacteriológicas; a física pode aplicá-las para medir a ener-gia liberada em um terremoto. Esses são apenas alguns exemplos do emprego desse conhecimento.

A trigonometria também é muito utilizada na construção civil e no cálculo do projeto estrutu-ral, e na física em estudos da eletricidade, da mecânica, da música, da topografia, etc. Deste modo, as ciências utilizam linguagens comuns para apresentação e sistematização do conhecimento.

Diante do exposto, sugere-se a criação de projetos interdisciplinares com temas integradores para articular os conteúdos programáticos das disciplinas. Assim, os alunos serão protagonistas de uma teia de conhecimento. Individualmente, os educandos descobrirão habilidades particulares e talvez inéditas de produção intelectual isolada e, ao mesmo tempo, em grupo.

Atividades ComplementaresSugerimos a utilização de materiais concretos como mapas das cidades, jogos, sólidos geo-

métricos, talão de água, vídeos, software, sites e blogs. Lembrando que o docente deverá levar em consideração as questões culturais, o trabalho desenvolvido pelos alunos no dia a dia e o tempo para a realização das atividades que visam complementar e contextualizar os conteúdos.

Exemplo: O jogo “Tira de propriedade”, disponível no site <www.mathema.com.br>, trabalha as propriedades das figuras planas. O jogo permite o reconhecimento de propriedades geométricas simples de figuras relativas a ângulos, lados de polígonos, paralelismo e perpendicularismo e, tam-bém, o desenvolvimento da linguagem geométrica relativa à geometria plana.


Sugestão de PlanejamentoEste livro foi elaborado para apoiar os processos de ensino e aprendizagem da disciplina de

matemática, ao longo do período letivo, pelo professor na modalidade de Educação de Jovens e Adultos e Educação Profissional de Jovens e Adultos – Ensino Médio. Nesse sentido, sugerimos que os conteúdos do livro sejam distribuídos de maneira uniforme durante todo o curso, com uma avaliação ao final de cada unidade.

A distribuição dos conteúdos ao longo do curso deve priorizar a qualidade e não a quantidade de conteúdo a ser trabalhado, a fim de proporcionar aos educandos situações diversas de aprendizagem.

Sugestões de LeituraAs sugestões de leitura apresentadas neste volume servem para o professor trabalhar os con-

teúdos de forma contextualizada, reforçando a relação existente entre os conceitos matemáticos estudados e o contexto social dos educandos. Para tanto, sugerimos livros, revistas e sites com o intuito de estimular a pesquisa e o diálogo entre os educandos, os professores e a comunidade na qual estes estão inseridos.

CHEVALLARD, Y.; BOSCH, M.; GASCÓN, J. Estudar matemáticas: o elo perdido entre o ensino e a aprendizagem. Porto Alegre: Artmed, 2001.

COLEÇÃO TENDÊNCIAS EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA. Belo Horizonte: Autêntica Editora, 2002.

DICIONÁRIO ILUSTRADO SÓ MATEMÁTICA. Porto Alegre: Grupo Virtuous, 2011.

ENZENSBERGER, H. M. O diabo dos números. São Paulo: Companhia das Letras, 1997.

NIEDERAUER, J.; AGUIAR, M. F. C. Desafios e enigmas. São Paulo: Novatec, 2007.

SMOLE, K. S.; DINIZ, M. I. Ler, escrever e resolver problemas: habilidades básicas para aprender matemática. Porto Alegre: Artmed, 2001.

CÁLCULO: matemática para todos. São Paulo: Editora Segmento.

NOVA ESCOLA. São Paulo: Editora Abril.

EUREKA: revista da olimpíada brasileira de matemática. São Paulo: OBM, 1998.

MATEMÁTICA FÁCIL. São Paulo: Editora Minuano.

BOLEMA: boletim de educação matemática. São Paulo: Unesp, 1985.

ZETETIKÉ: revista de educação matemática. Campinas: Unicamp.

<www.matematicamuitofacil.com/>.

<www.somatematica.com.br/>.

<www.matematiques.com.br>.

<www.brasilescola.com/matematica/>.

<professorwaltertadeu.mat.br>.

<www.mundovestibular.com.br /Matematica>.

<www.sbem.com.br>.

<www.mathema.com.br>.


<www.anped.org.br>.

<www.ime.usp.br/caem>.

<www.rpm.org.br>.

<www.educacaofinanceira.com.br/>.

<www.brasil.gov.br/economia-e-emprego/2011/08/planilha-para-controle-do-orcamento-familiar>.

<www.bmfbovespa.com.br/pt-br/educacional/iniciativas/tv-educacao-financeira.aspx?idioma=pt-br>.

<http://mdmat.mat.ufrgs.br/anos_iniciais/>.

<http://www.gyplan.com/pt/logar_pt.html>.

Orientações Didáticas

Unidade 1

Orientações GeraisA aprendizagem, em qualquer área do conhecimento, se dá de forma coletiva e individual, isto

é, o professor deverá privilegiar as atividades em grupos, exposições orais, pesquisas e orientar os alu-nos sobre a importância de realizar as atividades destinadas para casa. O momento de aprendizagem individual é necessário para o aluno organizar as ideias e conceitos aprendidos ao longo das aulas.

Nessa unidade, Formas Geométricas Unidimensionais e Bidimensionais, o professor pode trazer slides que facilitam a visão abstrata dessa parte da geometria euclidiana e estimular os alunos a utili-zar instrumentos que auxiliam a desenhar de forma mais técnica.

Objetivos Gerais• Identificar e resolver problemas que envolvam posição de pontos, medidas de segmentos e

áreas de polígonos no plano cartesiano.

• Identificar e resolver problemas que envolvam posição, representação, da reta no plano carte-siano, as formas de representá-las algebricamente e as relações entre ponto e retas.

• Identificar as vistas: superior, inferior e laterais.

• Compreender as propriedades fundamentais dos triângulos, quadriláteros, trapézios e paralelogramos.

• Calcular a área de figuras planas.

• Identificar raio, corda e diâmetro da circunferência.

• Calcular o perímetro da circunferência.

• Conceituar simetria de translação e de rotação.

• Reconhecer os eixos de simetria.

• Desenhar a figura simétrica de uma figura dada – rotação e translação.


Conteúdos Privilegiados• Geometria.

• Noções de ponto, reta e plano.

• Medidas de comprimento.

• Distância entre dois pontos.

• Escalas.

• Polígonos.

• Medidas de superfície.

• Perímetro e área de figuras planas.

• Simetria de figuras planas.

Orientações Específicas e Respostas das Atividades

Página 11

Abertura

Qualquer aluno precisa de motivação para aprender, para isso é impor-tante ressaltar a utilidade da teoria das formas geométricas unidimensionais e bidimensionais e instigá-los a responder às perguntas iniciais: Você conhece essas noções? Seria capaz de desenhar um mapa simplificado de sua sala de aula ou da rua em que você mora?

Além de ser uma boa introdução de conteúdo, o aluno perceberá que alguma coisa dessa teoria ele já conhece, facilitando desse modo o aprendizado.

Página 14

Análise

É importante falar para os alunos sobre a diferença de um desenho técnico e de um esboço, enfatizando que a execução de um bom desenho técnico depende do material de boa qualidade e do uso de técnicas adequadas para a utilização desse material. O desenho técnico deve ser executado obedecendo aos padrões estabelecidos pela ABNT (Associação Brasileira de Normas Técnicas), comente que existem diversas normas relativas ao desenho, algumas gerais e outras específicas, de cada área do conhecimento.


Página 18

Sistematização

1)a. Planos paralelos são aqueles que não possuem ponto em comum.b. Retas paralelas são aquelas que possuem a mesma declividade e nenhum ponto em

comum.c. Planos secantes são aqueles que se interceptam, ou seja, possuem uma reta em comum.d. Retas concorrentes são aquelas que possuem direções diferentes, isto é, não são parale-

las, portanto têm um único ponto em comum.e. Planos perpendiculares são aqueles que se interceptam formando um ângulo de 90°.f. Retas perpendiculares são retas concorrentes formando um ângulo reto entre elas.g. Retas reversas são aquelas que não possuem ponto em comum e estão em planos dis-

tintos, ou seja, nenhum plano as contêm.h. Retas coplanares são aquelas contidas no mesmo plano.

2)a. (V)b. (V)c. (V)d. (F)e. (F)

Páginas 21-24

Análise

1) a. Rua Itapetininga.b. Rua Belo Horizonte e Rua Porto Alegre.

2) Resposta: alternativa e.

3) Nessa atividade há várias respostas possíveis, disponibilizaremos algumas para cada item.a. AB/GH ; FE/CD ; AG/BHb. AC/CF ; CF/EF ; FG/GHc. GH/BD ; AB/HEd. ABCD/EFGHe. CDEF/BDEH


4) Resposta: alternativa a.

5) Resposta: alternativa b.

6) Resposta: alternativa d.


8) Resposta: alternativa c.


Páginas 28-29

Análise

1)a. Metro.b. Centímetro.c. Quilômetro. d. Milímetro.

2)a. (F)b. (F)c. (V)d. (V)

Justificativas: a. A unidade mil vezes maior que o

metro é o quilômetro.b. A abreviatura do decâmetro é dam.

3) 0,08 metros ou 8 centímetros.


5) 20,15 quilômetros ou 20 150 metros.



Páginas 33-35

Análise







Trabalho Interdisciplinar

O trabalho interdisciplinar é de suma importância, pois muitas vezes o aluno não consegue relacionar que o mesmo estudioso foi importante em diversas áreas, e Renê Descartes foi o filósofo que mais contribuiu para as ciências exatas.

Páginas 38-40

Análise









Página 44

Produção

A produção e a manipulação do material concreto possibilita que o aluno desen-volva experimentações matemáticas que levam ao desenvolvimento do pensa-mento abstrato.

Páginas 49-51

Análise







Páginas 53-54

Análise

1)a. Metro quadrado.b. Centímetros quadrado.c. Quilômetros quadrado.d. Hectare.

2)a. (F)b. (V)c. (V)d. (V)

Justificativas: a. A medida 100 vezes maior que o m² é

o dam².

3) 0,80015 km² e 80 150 m².

4) 50 leivas de grama.



Página 60

Produção

Professor, peça aos alunos muita atenção em relação à precisão das medidas com que será realizada a atividade. Ressalte que o número π não forma uma dízima periódica, portanto pertence ao con-junto dos números irracionais.

Páginas 62-68

Análise


2) 240 cm².

3)a. Aproximadamente 15 cm.b. Aproximadamente 94,2 cm. c. 176,715 cm².d. Aproximadamente 47,1 cm.

4) 18 metros.

5) 14,25 cm².

6) A área do losango ficará 4 vezes maior.


7) Diagonal maior mede 150 cm e diagonal menor mede 75 cm.











Páginas 73-74

Análise

1)a. Reflexão.b. Translação.c. Rotação.



Unidade 2

Orientações GeraisNesta unidade, o design é utilizado com o objetivo de iniciar uma discussão sobre as formas

geométricas de objetos conhecidos e, também, sobre a sua funcionalidade. O professor poderá esta-belecer um tempo para discussões e troca de experiências, atuando como mediador, com o intuito de verificar o conhecimento prévio que os alunos trazem do conteúdo a ser estudado.


Objetivos Gerais• Identificar os sólidos geométricos e suas propriedades.

• Relacionar vértices, arestas e faces de um poliedro.

• Aplicar a relação de Euler.

• Reconhecer poliedros regulares (poliedros de Platão).

• Distinguir entre os sólidos geométricos os poliedros e os corpos redondos.

• Conceituar e classificar os corpos redondos e reconhecer seus elementos.

• Calcular área e/ou volume de sólidos geométricos.

• Resolver situações-problema envolvendo volumes dos sólidos geométricos.

• Buscar informações do conteúdo estudado em outros meios de comunicação.

Conteúdos Privilegiados• Elementos de um poliedro.• Poliedros convexos e não convexos.• Poliedros regulares.• Prismas.• Pirâmides. • Conceitos de corpos redondos.• Cilindro.• Cone.• Esfera.


Página 75

Abertura

Nesta unidade, utilizamos a lata de refrigerante como exemplo de objeto tridimensional de conhecimento de praticamente todas as pessoas. O professor poderá fazer uma discussão com os alunos a respeito desse objeto, utilizando as questões propostas no texto de abertura.

• As latinhas de refrigerante são cilindros de alumínio?

Questionar os alunos quanto ao tipo de material utilizado nas embalagens de refrigerantes. No caso do metal, sua produção teve início no século XIX, por Nicolas Appert, e tinha como objetivo conservar o alimento por um período mais longo. Os primeiros recipientes metálicos confeccionados eram feitos com ferro e estanho. Professor, há mais informações sobre esse tema no site a seguir:

• <http://www.respostatecnica.org.br/dossie-tecnico/downloadsDT/NTY0MQ==>.

• Mas não poderiam ser paralelepípedos com a mesma altura? Qual dos dois formatos têm capacidade maior?


Quanto ao formato, confeccionar junto com os alunos um paralelepípedo de mesma altura e questionar a sua facilidade de manuseio e estocagem da embalagem em relação ao cilindro. Verificar se um paralelepípedo de dimensões aproximadas as de um cilindro também tem a mesma capacidade.

• Em qual dos dois formatos seria gasto menos material?

Construa um cilindro e um paralelepípedo com a mesma altura e se possível com a mesma capacidade. Determine o gasto de material para cada construção.

Sugestão: com uma folha de papel cartão, quantos paralelepípedos podem ser construídos? Se for cilindro, quantos podem ser construídos?

O professor poderá sugerir que os alunos façam uma pesquisa em relação ao alumínio utilizado nas embalagens de refrigerantes, por exemplo: custo e benefício; vantagens e desvantagens para o consumidor e para o meio ambiente; composição do alumínio, proporcionando, assim, um momento de reflexão ao aluno enquanto consumidor.

Página 79

Análise

Poliedro V A F V – A + F = 2

a. Cubo 8 12 6 8 – 12 + 6 = 2

b. Tetraedro 4 6 4 4 – 6 + 4 = 2

c. Dodecaedro 20 30 12 20 – 30 + 12 = 2

d. Prisma de base pentagonal 10 15 7 10 – 15 + 7 = 2

e. Prisma de base triangular 6 9 5 6 – 9 + 5 = 2

f. Tronco de pirâmide retangular 8 12 6 8 – 12 + 6 = 2

Páginas 81-82

Análise

1)a. Seis faces, sendo uma identificada como base e cinco faces laterais.b. Dez.c. Seis.d. Cinco faces laterais triangulares e uma face também identificada como base pentagonal.e. Três arestas.f. Cinco arestas.g. Sim, pois as suas faces laterais são iguais.


2) O poliedro é um tronco de pirâmide de base quadrangular, possui 12 arestas e 8 vértices. Esse poliedro é convexo, pois, ao ligar dois pontos quaisquer contidos nele, o segmento obtido está contido no poliedro, veja o desenho abaixo.


4) a. Nome: dodecaedro. Faces: 12. Arestas: 30. Vértices: 20.b. Nome: Octaedro. Faces: 8. Arestas: 12. Vértices: 6.


6) Utilizando a Relação de Euler, temos um poliedro que possui 8 faces.

Páginas 93-95

Análise

1) a. 3 faces retangulares.b. 12 arestas.c. 2 faces.d. As arestas laterais de um prisma oblíquo não são perpendiculares

ao plano das bases.e. As arestas laterais de um prisma reto são perpendiculares aos pla-

nos das bases.


2)

Prisma Número de faces (F)

Número de vértices (V)

Número de arestas (A)

Pentagonal 7 10 15

Cubo 6 8 12

Quadrangular 6 8 12

Triangular 5 6 9


4) V = 16 3 m3 .

5) V = 138 240m3.


7) 4 m.

8) 12 cm.


Produção

Para resolver esta situação algebricamente, sugerimos usar Regra de Três Simples, isto é, 1 m3 é equivalente a 1 000 L, então quantos m3 terá uma caixa com capacidade para 1 L ?

Volume da caixa(m3) Capacidade da caixa (L) 1 1 000 x 1 1 000 · x = 1 x = 11 000 x = 0,001

Logo o volume será de 0,001 m3.

Como o volume do cubo possui todas as arestas com a mesma medida, ao extrairmos a raiz cúbica do resultado acima temos a medida da aresta da caixa, portanto:

30,001 m3 = 0,1 m

Assim, a medida da aresta do cubo deve ser igual a 0,1 m.


Observação: construa com os alunos a caixa e faça a experiência conforme indi-cação da atividade, depois peça que eles façam no caderno a conversão de 0,1m para cm.

Como o cm está duas casas a direita do m, basta multiplicar por 100.

0,1 · 100 10 0,1 metro é equivalente a 10 centímetro

Portanto, a caixa construída com arestas de 10 cm terá capacidade para 1 litro de água.

Páginas 101-102

Análise

1)a. Cinco faces: sendo 4 faces laterais e

uma face quadrangular identificada como base.

b. As faces laterais são triangulares e a base tem a forma quadrangular.

c. O vértice C é comum a quatro arestas.d. Pirâmide de base quadrada.



4)a. 6 m.b. 10 m.c. 240 m2.d. 144 m2.e. 384 m2.f. 384 m3.


6) 13,59 cm3.

Página 108

Análise

1) Aproximadamente, 1 734,15 cm2.

2) 3, 82 cm, aproximadamente.

3) a. Área da base igual a 16π cm2.b. Área lateral igual a 80π cm2.c. Área total igual a 112π cm2.d. Volume igual a 160π cm3.

4) a. Área da base igual a 36π cm2.b. Área lateral igual a 120π cm2.c. Área total igual a 192π cm2.d. Volume igual a 360π cm3.


6) 50 cm.

Errata: Professor, no livro do aluno há um equívoco, a atividade grafada como 7 é 6.

7) 7 m.

Errata: Professor, no livro do aluno há um equívoco, a atividade grafada como 8 é 7.

Página 112

1)a. A medida da geratriz é igual a 10,7 cm.b. A área lateral é igual a 134,4 cm2.c. A área total é igual a 184,64 cm2.d. O volume é aproximadamente igual a

167,55 cm3.

2) 2π cm3.


3)a. A área lateral é igual a 15π cm2.b. A área da base é igual a 9π cm2.c. A área total é igual a 24π cm2.d. A altura é igual a 4 cm.e. O volume é igual a 12π cm3.


5) 15,44π cm3.


Página 113


As superfícies esféricas são utilizadas na produção de lentes convergentes ou divergentes por apresentarem uma espessura que diminui ou aumenta, do centro para a periferia. Em geral, essas lentes são constituídas de vidro, acrílico ou cristal.

A máquina fotográfica e o projetor de slides são exemplos de objetos que utilizam lentes esféricas para a projeção da imagem. Professor, peça para os alunos pesquisarem alguns instrumentos que utilizam esse tipo de lente para projetar objetos distantes ou muito pequenos que não podem ser observados a olho nu. Exemplo: microscópio e telescópio. Peça ajuda ao professor de física para explicar aos alunos como é formada a imagem ao utilizar uma lente convergente e uma lente divergente.

Páginas 115-118

Análise

1) 400π cm3.

2) 48 cm2.




6)I. Resposta: alternativa e. III. Resposta: alternativa d.II. Resposta: alternativa e. IV. Resposta: alternativa b.


7) a. 36π cm2.b. 8π cm2.c. 16π cm2.

8) 6 dm.

9)a. 972π cm3.b. 13 723π cm3.c. 2 563π dm3.

10) 20π cm3.

Página 119

Sistematização

Considerando os valores aproximados da atividade, temos:

Cilindro (dimensões aproximadas) Volume

12 cm = altura

3 cm = raio da base

V = π ∙ r2 ∙ hV = π ∙ 32 ∙ 12V ≅ 339,29 cm3

Como 1 cm3 = 1ml então a capacidade da latinha para os valores dados são de aproximadamente 339 ml.

Assim o nosso prisma deverá ter uma capacidade igual e/ou próxima de 339 ml. Como a altura do prisma deve ser igual à altura da latinha, então vamos utilizar valores para

a aresta da base próxima do diâmetro da base do cilindro, utilizando valores por tentativa com até uma casa após a vírgula.

Prisma ( V = base x altura x comprimento)

V = 12 x 6 x 5 V = 360 cm3

ou 360 ml de capacidade.

V = 12 x 5,8 x 5 V = 348 cm3

ou 348 ml de capacidade

V = 12 x 5,7 x 5 V = 342 cm3

ou 342 ml de capacidade

12 cm

5 cm 6 cm

12 cm

5 cm 5,8 cm

12 cm

5 cm 5,7 cm

Nesta situação, o prisma está mais próximo da capacidade do cilindro dado, que é de dimen-sões 12cm x 5cm x 5,7cm, assim, temos:


At = 2 ∙ π ∙ r (h + r)At = 2 ∙ π ∙ 3 (12 + 3)At ≅ 282,74 cm2

12 cm = altura

3 cm = raio da base

Área do cilindro

12 cm

5 cm 5,7 cm

At = 2 ∙ Abase + 2 ∙ Aface frontal + 2 ∙ Aface lateral

At = 2 ∙ (5,7 x 5) + 2 ∙ (5,7 x 12) + 2 ∙ (5 x 12)At = 313,8 cm2

Área do prisma

Como a latinha possui área menor, logo o custo para a produção também é menor, no entanto o prisma possui área maior mais também tem capacidade maior que o cilindro. Peça para os alunos fazer a transformação de cm2 para m2 e calcular o custo de cada objeto, neste caso o custo da latinha e do prisma seria aproximadamente R$ 0,28 e R$ 0,31 respec-tivamente por unidade fabricada.

Unidade 3

Orientações GeraisNo Ensino Médio, o estudo de sequências numéricas envolve progressões aritméticas e pro-

gressões geométricas, mas o professor pode trazer outros exemplos de progressões para enriquecer o currículo do aluno, como a sequência de Fibonacci, que possui vários exemplos na arquitetura e na própria natureza. É importante relacionar o juro simples com a progressão aritmética, o juro composto com a função exponencial e, depois, a exponencial com a logarítmica, facilitando a com-preensão desses conteúdos.

Objetivos Gerais• Identificar regularidades em situações numéricas e geométricas.

• Identificar e resolver problemas que envolvem progressões aritméticas.

• Identificar e resolver problemas que envolvem progressões geométricas.

• Reconhecer funções exponenciais e logarítmicas.

• Construir, ler e interpretar gráficos de funções exponenciais e logarítmicas.

Conteúdos Privilegiados• Padrões matemáticos em uma sequência.

• Progressão aritmética.

• Progressão geométrica.

• Funções exponenciais.

• Logaritmos.



Página 120

Abertura

Para introduzir esse conteúdo, pode-se pedir aos alunos que tragam, com antecedên-cia, exemplos de sequências lógicas. Podem ser sequências numéricas ou representadas por desenhos, pois, assim, os alunos irão pesquisar com antecedência o que é regularidade de com-portamento. Outra sugestão seria conversar com o responsável pela disciplina de biologia sobre a importância da matemática dentro dessa disci-plina, especificamente quando se trata de mitose e meiose.

Páginas 124-125

Análise





Páginas 129-130

Análise


2) 93,1 metros.

3) 35 550 unidades.

4) Riquinho recebeu R$ 165,00 a mais na

sua mesada.



Páginas 133-134

Análise

1) a. 47 m².b. 335 m².






Página 139

Análise

1) a. 567.b. –327 680.

2) A razão é 4.

3) 162.

4)(F) Justificativa: A P.G. tem 7 termos.

(V) Justificativa: –93

= –3.

(F) Justificativa: A P.G. é decrescente.


(F) Justificativa: Por exemplo, na P.G. (4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512), 4 vezes 256 é diferente de 8 vezes 512.

(F) Justificativa: Pois a razão de 2xx

≠ 3x2x

Página 142

Análise

1) O automóvel custa R$ 12.700,00.


3) 28 461 unidades.

Página 146

Análise

1) Aproximadamente 2,824295 · 1011.

2) 810 unidades.

3) R$ 47.049,28.


Página 150

Análise

1)a. 4.b. 4.c. 2.d. –2.e. 1.

f. 3.g. 0.h. –3.

2)

a. –176

.

b. 10.

3)a. 4 2 .

b. 181

.

c. 3.d. 47.e. 25.




Página 155

Análise

1) 10,37 anos, ou seja, 10 anos 4 meses e 13 dias.

2) Aproximadamente 609,5 m².

3) 8.


Seria interessante chamar o professor de geografia para fazer uma explicação sobre abalos sísmicos.


Unidade 4

Orientações GeraisNesta unidade, a ciência forense é apresentada como uma ferramenta utilizada nas investiga-

ções criminais que faz uso de cálculo trigonométrico para descobrir a área de convergência no local do crime, isto é, um exemplo da matemática a serviço da sociedade. O professor poderá pedir aos alu-nos que falem sobre os diferentes trabalhos que realizam e como a matemática está presente nestes.

Objetivos Gerais• Conceituar seno, cosseno e tangente.

• Construir gráficos de funções trigonométricas.

• Analisar o comportamento das funções trigonométricas por meio das construções de gráficos.

• Reconhecer a importância dos eixos e do ciclo trigonométrico.

Conteúdos Privilegiados• A trigonometria no triângulo retângulo.

• A trigonometria em um triângulo qualquer.

• Arcos e ângulos.

• O ciclo trigonométrico.

• Arcos côngruos.

• As funções: seno, cosseno e tangente no ciclo trigonométrico.


Página 157

Abertura

A ciência forense é uma área que envolve diversas ciências, entre elas a física, biologia, química e matemática, objetivando dar suporte às investigações. No caso de investigação criminal, o objetivo do profissional é confirmar a autoria ou descartar o envolvimento dos suspeitos. Nesta unidade, a ciência forense é apresentada como uma ferramenta utilizada nas investigações criminais que faz uso de cálculo trigonométrico para descobrir a área de convergência no local do crime, isto é, um exemplo da matemática a serviço da sociedade.

O professor poderá pedir aos alunos que falem sobre os diferentes trabalhos que realizam e como a matemática está presente em suas atividades profissionais e, posteriormente, pesquisar sobre a ciência forense, quais tipos de vestígios são recolhidos na cena do crime que podem ser analisados e servir como prova para confirmar e/ou não o envolvimento do suspeito.


Página 163

Análise

1)

a. sen = 55

, cos = 2 55

, tg = 12

b. sen ≅ 0,78, cos ≅ 0,44 e tg = 1,75

c. sen ≅ 0,62, cos ≅ 0,75 e tg ≅ 0,83

Páginas 166-168

Produção

O teodolito é um objeto utilizado por engenheiros, agrimensores, topógrafos e antigos navegadores para medir dis-tâncias inacessíveis. Converse com os alunos sobre a história da trigonometria e o uso do teodolito, um instrumento antigo, e como eram utilizadas as medi-das obtidas. Assista ao vídeo no site <www.youtube.com/watch?v=Ab--O_ bsjdE>, sobre a medição do Arco de Nossa Senhora, em Sobral-CE, usando um teodolito artesanal, depois construa com a classe um teodolito e realize algu-mas medições indiretas.

Análise

1) A distância é de 2,3 km.

2) O avião atinge 500 m.

3) O avião atingirá 684 m.

4) O edifício tem altura igual a 114,04 m.

5)a. 4,284 cm.b. 8 cm.c. 20 cm.

6) x = 692,8 m.

7) 565,74 m.

Páginas 173-176

Análise

1)

a. 45

b. 35

c. 43

d. 35

e. 45

f. 34


3) 14,4 cm2.




7) 8 m.

8) 34,53 m, aproximadamente.


Página 180

Análise

1)

a. π6

rad.

b. 37π360

rad.

c. 2π3

rad.

d. 11π

6 rad.

e. π

12 rad.

f. 1 rad.

2) a. 315°.b. 100°.c. 210°.d. 240°.e. 120°.

Página 181


O Sextante é um instrumento antigo, descoberto por volta de 1757 por Campbell, de grande importância para a história da navegação, por isso mesmo é reconhecido como símbolo da navega-ção marítima por mais de dois séculos.

É utilizado para calcular o posiciona-mento global estimado e, também, para calcular a distância com base no tama-nho de objetos aparentes.

Assista ao vídeo indicado no site a seguir: <https://www.youtube.com/watch?v=6- J7yUOwyl8>, o qual apresenta informa-ções do uso de um sextante artesanal. Confeccione esse instrumento com os alunos e realize algumas medidas para testar o seu funcionamento.

Página 184

Análise

1)a. 1º quadrante.b. 2º quadrante.c. 3º quadrante.d. 4º quadrante.e. 4º quadrante.f. 1º quadrante.

Páginas 196-198

Análise

1)a. O ângulo 240° pertence ao terceiro

quadrante, então: cos (180° + x) = – cos x cos (180° +60° ) = – cos 60°

cos 240° = – 12


b. O ângulo 225° pertence ao terceiro

quadrante e cotg x = cos xsen x

, então:

cos (180° + x) = – cos x sen (180° + x) = – sen x

cos (180° + 45°) = – cos 45° sen (180° + 45°) = – sen x

cos 225° = – 22

sen 225° = – 22

Assim, cotg 225° = cos 225°sen 225°

cotg 225° = – – 2 /2

– 2 /2

cotg 225° = 1

c. O ângulo 330° pertence ao quarto quadrante, então:

cos (360°- x) = cos x

cos (360° – 30°) = cos 30°

cos 330° = 32

d. O ângulo 330° pertence ao quarto

quadrante e sec x = 1

cos x

cos (360° – x) = cos x

cos (360° – 30°) = cos 30°

cos 330° = 32

Assim, sec 330° = 1

cos 330°

sec 330° = 13 /2

sec 330° = 2 33

2) Para os itens abaixo fazer a redução ao primeiro quadrante de todos os ângulos que forem necessários, antes de resolver a expressão.

a. y = – 2

b. y = – 3

c. y = 0

d. sen 240° = – 32

e cos 240° = – 12

e. sen 315° = – 22

e cos = 315° = – 22

f. y = 2 – 2

3) Errata – Professor, houve um equívoco na elaboração dessa questão. A alter-nativa a do enunciado também deve ser retirada.

O anúncio correto é: Sabendo que em um triângulo o sen = 0,6 e o cos x = 0,7, determine: a. (retirar).b. 0,85.c. 1,42.d. 1,66.e. 1,16.

4)

4

y

x

321

–2–1

0° 90° 180° 270° 360°

5)

4321

0° 90° 180° 270° 360°

y

x


6)

321

0° 90° 180° 270° 360°–1–2–3

y

x


O movimento ondulatório é um tipo de movimento em que o corpo oscila em torno de uma posição de equilíbrio, ora num sentido ora no outro. Na física, o con-ceito de onda é utilizado em diversos campos. Pesquise sobre as características das ondas sonoras e luminosas que são chamadas de ondas periódicas, pois elas se propagam em espaços iguais.

No site <http://www.estgv.ipv.pt/PaginasPessoais/fmartins/Aluno/Ondas/Fen% C3%B4menos%20ondulat%C3%B3rios.htm>, é possível ver o comportamento de oscilação das ondas quando atiramos uma pedra dentro d’água, uma folha de cor-tiça, uma mola e uma corda presa na maçaneta de uma porta.

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Proff Matemática e Suas Tecnologias - editoralt.com.br fileProff Ciências da Natureza, Matemática e Suas Tecnologias Manual do Professor de Matemática Volume 2