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Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE
ADRIANA MARTINS DE CAMPOS
CADERNO PEDAGÓGICO:
O ESTUDO DA RAZÃO E PROPORÇÃO VIA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Londrina
2011
ADRIANA MARTINS DE CAMPOS
CADERNO PEDAGÓGICO:
O ESTUDO DA RAZÃO E PROPORÇÃO VIA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Plano de Trabalho Apresentado ao Programa de
Desenvolvimento Educacional
Orientadora: Profª. Ms. Angela Sacamoto.
Londrina 2011
DEDICATÓRIA
A minha família, Daniel, Letícia e Lívia
pelo carinho, apoio, incentivo e
compreensão em todos
os momentos.
AGRADECIMENTOS
A Deus pela vida, pela saúde e pela coragem de enfrentar os obstáculos
encontrados no caminho.
À minha orientadora Angela Sacamoto, pela amizade, dedicação e valorosos
ensinamentos.
À minha irmã Rosangela pelo apoio e incentivo.
Às minhas amigas, Cláudia, Isabel e Rosana pelo companheirismo, troca de
conhecimentos e por todos os momentos em que estivemos juntas.
Aos colegas PDE, pela amizade e troca de experiências.
SUMÁRIO
APRESENTAÇÃO ........................................................................................... 5
1 INTRODUÇÃO .............................................................................................. 6
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ................................................................... 8
2.1 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ................................................................. 8
2.2 RAZÃO E PROPORÇÃO ............................................................................ 10
3 AS ATIVIDADES .......................................................................................... 12
4 OS ALUNOS ................................................................................................ 13
5 O PROFESSOR ........................................................................................... 14
6 ENCAMINHAMENTO METODOLÓGICO .................................................... 15
7 TAREFAS .................................................................................................... 16
REFERÊNCIAS ................................................................................................ 33
5
APRESENTAÇÃO
Este Caderno Pedagógico é uma das atividades do Programa de
Desenvolvimento Educacional – PDE – vinculado à Universidade Estadual de
Londrina – UEL – e fazendo parte do Núcleo Regional de Apucarana. Nele, serão
utilizados recursos didáticos com o intuito de enriquecer o trabalho em sala de aula.
Esta proposta contempla os conteúdos Razão e Proporção Via Resolução de
Problemas tendo como público alvo os alunos da sexta série (sétimo ano) do Ensino
Fundamental do Colégio Estadual Antonio Garcez Novaes da cidade de Arapongas.
6
1 INTRODUÇÃO
A Matemática apresenta-se como uma poderosa ferramenta na
apropriação de conhecimentos e na formação de cidadãos críticos e conscientes.
Quando apresentada de forma descontextualizada e isolada, pode dificultar a
aprendizagem do conhecimento matemático, tornando as aulas muitas vezes
distantes do dia a dia dos alunos.
Segundo as Diretrizes Curriculares da Educação Básica (2008, p.48):
Aprende-se Matemática não somente por sua beleza ou pela consistência de suas teorias, mas, para que, a partir dela, o homem amplie seu conhecimento e, por conseguinte, contribua para o desenvolvimento da sociedade.
Para Imenes,1998, p.7:
Atualmente é consenso entre os educadores matemáticos que, no ensino bem sucedido, os alunos precisam compreender aquilo que aprendem e que essa compreensão é garantida quando eles participam da construção das idéias matemáticas. É uma mudança significativa!
Uma estratégia pedagógica capaz de contribuir no ensino da
Matemática é a estratégia metodológica Resolução de Problemas, podendo tornar
as aulas de Matemática mais dinâmicas e atraentes. Os problemas tendem a
despertar nos alunos questionamentos, elaboração de idéias e construção de
conhecimentos. A tentativa de descobrir a solução para problemas estimula o
raciocínio e abre novos caminhos para aprender Matemática.
Sendo assim, será desenvolvida, neste Caderno Pedagógico a
estratégia Resolução de Problemas, para trabalhar os conteúdos Razão e
Proporção, no intuito de proporcionar um maior envolvimento dos alunos. A
proporcionalidade está presente em muitas áreas do conhecimento e faz parte do
cotidiano de qualquer pessoa. Observamos que muitos alunos apresentam
dificuldades na sua compreensão por não conseguirem associar o conhecimento da
escola com o do seu dia a dia. É preciso dar um tratamento adequado para que o
saber “comum” seja formalizado, construindo o conceito de proporcionalidade e
aplicando-o nos diversos campos da Matemática como na Geometria e na Álgebra.
7
Neste Caderno Pedagógico serão também desenvolvidas algumas
atividades que poderão contribuir na construção de conceitos de Razão e
Proporção, proporcionando reflexão, envolvimento e participação dos alunos.
8
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
2.1 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
A Resolução de Problemas é uma das Tendências em Educação
Matemática que, a partir da década de 70, vem ganhando espaço como metodologia
de ensino.
Durante muitos anos, resolver problemas consistia apenas em
aplicar os conteúdos aprendidos. O professor explicava o conteúdo e o aluno
exercitava o que havia aprendido. Nesta visão de ensino o aluno é um ser passivo,
que aprende por repetição e memorização.
A Tendência Resolução de Problemas tem por objetivo construir
conceitos, idéias e procedimentos matemáticos além de motivar, estimular a
curiosidade e atrair a atenção do aluno.
Segundo Schoenfeld (1997), “A resolução de problemas possibilita
compreender os argumentos matemáticos e ajuda a vê-los como um conhecimento
passível de ser apreendido pelos sujeitos do processo de ensino e aprendizagem”.
(IN PARANÁ, 2008, p.63).
Para Branca, (1997, p.4) “Resolução de Problemas é uma expressão
abrangente que pode significar coisas diferentes para diferentes pessoas ao mesmo
tempo e diferentes coisas para as mesmas pessoas em diferentes ocasiões”.
Branca interpreta a Resolução de Problemas como:
uma meta: o objetivo principal de estudar Matemática é resolver
problemas;
um processo: aplicação de procedimentos, métodos e
estratégias na resolução de problemas;
uma habilidade básica: habilidades que todos os alunos
deveriam conhecer para atuarem em uma sociedade.
Através da história da evolução da Resolução de Problemas
encontramos muitas propostas que contribuíram na maneira de como trabalhar com
a Resolução de Problemas na sala de aula. Polya tornou-se uma referência em
Matemática por apresentar um conjunto de métodos e regras específicos para
9
resolução de problemas. Para ele, resolver problemas é uma habilidade que se
aprende por prática e imitação.
Segundo Polya (2006), “O problema pode ser modesto, mas se ele
desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas, quem o resolver
por seus próprios meios experimentará a tensão e gozará o triunfo da descoberta”.
Polya apresenta quatro etapas para a resolução de problemas:
compreensão do problema: nesta etapa o aluno tem que
compreender o problema e também querer resolvê-lo;
estabelecimento de um plano: o aluno baseia-se em
experiências anteriores e vivenciadas para resolver o problema.
Se o plano não funcionar, será preciso reformular o plano de
resolução;
execução do plano: colocar em prática aquilo que foi
estabelecido;
retrospecto: é uma fase importante e instrutiva do trabalho de
resolução. O aluno revisa os procedimentos, buscando possíveis
erros, validando os resultados e sempre que possível
aperfeiçoando a resolução.
Um dos questionamentos mais frequentes dos alunos é: Para que
serve este conteúdo? Ou ainda: Onde vou utilizar no meu dia a dia? Explicar aos
alunos o significado do conteúdo e onde podemos aplicá-lo ajuda a tornar nossas
aulas mais dinâmicas e atraentes. Trabalhando com a Resolução de Problemas
estaremos dando oportunidade aos alunos de como pensar, raciocinar e questionar.
Para Butts (1997, p.48) “Estudar Matemática é resolver problemas.
Consequentemente cabe aos professores de matemática, em todos os níveis,
ensinar a arte de resolver problemas”.
Na Resolução de Problemas, o professor deve escolher problemas
interessantes e desafiadores para que os alunos sintam-se motivados a resolvê-los
e desenvolvam habilidades matemáticas. Deve criar também, um ambiente de
socialização, cooperação, interação e troca de idéias, mostrando que o importante
são os caminhos na busca da solução e não o resultado final.
Na Tendência Resolução de Problemas, o professor deve estar
atento aos obstáculos que deverão surgir durante a resolução, intervindo quando
necessário e deixando que eles utilizem o conhecimento que já possuem para
10
resolvê-los. Quando necessário o professor auxilia os alunos, questionando-os ou
revisando algum conteúdo. Após a resolução, os alunos apresentam e discutem
suas soluções, cabendo ao professor analisar o grau de dificuldade encontrado por
eles, os métodos de resolução e a possibilidade de apresentar um outro problema.
Diante disso, a inclusão de Resolução de Problemas é uma proposta
de trabalho interessante no cotidiano das aulas de Matemática.
2.2 RAZÃO E PROPORÇÃO
No papiro de Rhind de 1650 a.C, um dos documentos da
antiguidade, mostra que naquela época já se utilizavam manipulações equivalentes
à conhecida “regra de três”. Entretanto, foi na China antiga que primeiramente
ocorreu o uso metódico da regra de três, tendo alcançado posteriormente a Arábia
através da Índia. Somente no fim do século XlV foram reconhecidas as ligações com
as proporções (GIOVANNI JUNIOR, José Ruy; CASTRUCCI, Benedicto, 2009).
No ensino tradicional, costuma-se definir razão como quociente da
divisão de dois números e proporção como igualdade entre duas razões. Estas
definições têm suas origens com os matemáticos gregos antes de Cristo, pois
naquela época eles não utilizavam as equações e também contornavam as
dificuldades relacionadas com os números irracionais.
Geraldo Ávila (1986, p.2) diz que, dispondo dos números reais
(racionais e irracionais) podemos:
[...] medir todas as grandezas e, em conseqüência, podemos sempre definir a razão de duas delas como o quociente de suas medidas. E não precisamos mais usar a superada teoria geométrica das proporções, muito menos os resquícios que dela ficaram na terminologia, na notação e, sobretudo, na maneira de apresentar fatos, como os problemas de “regra de três”. Estes podem ser ensinados no contexto algébrico de resolução de equações, com a dupla vantagem da simplificação e da unificação do ensino da Matemática. Seria até mais próprio que falássemos em variáveis proporcionais em vez de grandezas proporcionais.
O ensino da proporcionalidade tem se constituído num conjunto de
regras e métodos, que é transmitido via memorização e repetição de exercícios,
levando o aluno a uma aprendizagem mecânica.
11
A aprendizagem da Matemática consiste em criar estratégias que possibilitam ao aluno atribuir sentido e construir significado às idéias matemáticas de modo a tornar-se capaz de estabelecer relações, justificar, analisar, discutir e criar. Desse modo, supera o ensino baseado apenas em desenvolver habilidades, como calcular e resolver problemas ou fixar conceitos pela memorização ou listas de exercícios. (PARANÁ, 2008 p. 45)
No estudo da proporcionalidade, não podemos ignorar os
conhecimentos que os alunos possuem. Deste modo, é necessário organizar esses
conhecimentos, promovendo ações que favoreçam a construção de conceitos e a
formalização destes conteúdos através da aplicação dos mesmos nos diversos
campos da Matemática.
12
3 AS ATIVIDADES
As atividades serão desenvolvidas por meio de contextos que
abordarão temas do cotidiano e curiosidades. Elas serão trabalhadas na 6ª série (7º
ano), em grupos de 3 ou 4 alunos no período vespertino. Serão aplicadas uma vez
por semana em aulas de cinquenta minutos sendo que, as mais extensas, ocuparão
duas aulas.
Inicialmente a professora apresentará as tarefas aos grupos de
maneira que os alunos compreendam seus enunciados e comecem a analisá-las.
Na Resolução de Problemas, o objetivo das tarefas é fazer com que
os alunos troquem idéias, utilizem experiências anteriores, criem estratégias,
formulem conjecturas e conclusões sobre cada atividade. É um trabalho que
promove a interação e a participação dos alunos.
Todas as tarefas serão realizadas pelas equipes por meio de
relatórios e discussões dos resultados. Poderão ocorrer algumas mudanças no
andamento das aulas, caso haja necessidade de revisar ou incluir algum conteúdo
diferente do planejado.
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4 OS ALUNOS
As atividades propostas serão desenvolvidas em grupos
propiciando um trabalho dinâmico e envolvendo a maioria dos alunos.
Durante as aulas os alunos deverão:
trocar idéias e experiências anteriores;
estabelecer planos de ação;
formular e comparar as diferentes conjecturas;
justificar e validar seus resultados.
Ao final de cada tarefa os grupos apresentarão um relatório oral e
escrito sobre suas descobertas e soluções.
Na Resolução de Problemas o aluno é um sujeito ativo que participa
da construção de idéias matemáticas, diferente daquele que aprende por repetição e
memorização.
14
5 O PROFESSOR
Na Resolução de Problemas segundo Onuchic (1999, p.216), “o
papel do professor muda de comunicador de conhecimento para o de observador,
organizador, consultor, mediador, interventor, controlador e incentivador da
aprendizagem”. Primeiramente ele deve escolher problemas que sejam
interessantes e desafiadores para que os alunos sintam-se motivados em resolvê-
los.
Ao apresentar o problema ele observa os alunos, acompanha suas
explorações, faz questionamentos e intervêm quando necessário, deixando que
utilizem experiências anteriores para resolvê-los. O professor deve estar atento às
dificuldades encontradas pelos alunos incentivando-os. Podem ocorrer situações em
que o professor tenha que retomar algum conteúdo ou tenha que alterar algo do que
havia planejado. Na Resolução de Problemas, o professor se preocupa em avaliar
os procedimentos de resolução e não somente a resposta final.
Este tipo de metodologia põe em evidência o aluno, pois ele
participa da construção do conhecimento por meio da orientação do professor,
formalizando os conteúdos e utilizando-os de forma correta. É necessário também
que o professor incentive o aluno a criar situações problema, estimulando o gosto
pela problematização.
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6 ENCAMINHAMENTO METODOLÓGICO
As atividades propostas neste Caderno Pedagógico serão realizadas
com a interação, professor e alunos, pois é essencial para o êxito do trabalho.
Inicialmente, uma explicação será fornecida aos alunos sobre o
projeto a ser implementado. Neste primeiro momento, será proposto o seguinte
procedimento didático na tentativa de manter a disciplina durante o desenvolvimento
do projeto.
sempre que uma pessoa estiver falando, todos os outros
deverão estar em silêncio e prestando a atenção;
sempre que alguém quiser falar algo na sala, deverá erguer a
mão sinalizando que deseja falar;
resolver os problemas propostos, trabalhando em equipe com
cooperação;
respeitar o horário de início e término das aulas, deixando a sala
de aula organizada;
interagir e participar das discussões dos problemas, respeitando
as opiniões dos colegas, nunca expondo ninguém a situações
constrangedoras.
As atividades deverão ser realizadas em grupos de três ou quatro
alunos, focando problemas do dia a dia e curiosidades. No decorrer das aulas
poderão ocorrer mudanças nos grupos no intuito de promover uma melhor interação
dos alunos.
Os grupos que apresentarem dificuldades na resolução de algum
problema serão auxiliados pela professora. Este auxílio será feito através da leitura
do problema e de perguntas que instiguem os alunos para que entendam o que está
sendo proposto e se interessem em encontrar uma solução. Ao final de cada tarefa,
o grupo apresentará um relatório escrito e oral para os demais colegas expondo
seus resultados, conclusões e estratégias utilizadas na resolução de cada problema,
expressando suas ideias e descobertas.
Os alunos serão avaliados de acordo com os critérios a seguir:
participação e desempenho nos grupos;
apresentação de trabalhos pela equipe;
relatório escrito após a realização de cada atividade.
16
7 TAREFAS:
1ª TAREFA – Bolo de Chocolate1
OBJETIVOS:
identificar se duas grandezas são proporcionais ou não;
levar o aluno a compreender o conceito de proporcionalidade.
Observe atentamente a receita do bolo:
Fotografia: Autora
Bolo de Chocolate
Ingredientes:
2 ovos
1 xícara de achocolatado
3 xícaras de farinha de trigo
2 xícaras de açúcar
1 xícara de óleo
1 xícara de água fervente
1 colher (chá) de bicarbonato
1 colher rasa (sopa) de fermento em pó
Preparo:
1 Atividade adaptada do livro didático Novo Praticando Matemática – volume 2 (ANDRINI, Álvaro;
VASCONCELLOS, Maria José, p. 29-31, 2006).
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Bata as claras em neve e acrescente os ingredientes batendo-os na seguinte ordem:
açúcar, gemas, óleo, farinha, achocolatado, bicarbonato, fermento em pó e por
último a água fervente. Leve ao forno em forma untada por aproximadamente 45
minutos.
Responda:
a) Complete a tabela escrevendo a quantidade de ingredientes necessários para
adaptar as demais receitas à receita original:
Ingredientes Meia
receita
Uma receita
e meia
Dobrando
a receita
Ovos
Achocolatado
Farinha de trigo
Açúcar
Óleo
Água fervente
Bicarbonato
Fermento em pó
Tempo de
cozimento
b) O que você observou após completar a tabela?
CONSIDERAÇÕES SOBRE A TAREFA:
Para a realização desta tarefa a professora levará um bolo de
chocolate pequeno, já fatiado e fará os seguintes questionamentos:
Da maneira que o bolo foi fatiado é possível distribuir um pedaço
para cada aluno?
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O que deveríamos fazer para aumentar ou diminuir a receita
para que o bolo fique com o mesmo padrão de sabor?
Após os questionamentos e respostas dos alunos, escrever no
quadro a receita apropriada que seja suficiente para todos comerem. Pedir para os
alunos anotarem e levá-los na cozinha para preparar o bolo. Enquanto o bolo assa,
os alunos deverão voltar para sala de aula e resolver as atividades seguintes.
Na questão “a” onde os alunos deveriam escrever a quantidade de
ingredientes necessários para adaptar as demais receitas à receita original, pode-se
observar se os alunos têm noção de proporcionalidade ou não (no caso do tempo de
cozimento). É comum terem mais dificuldades para completarem uma receita e meia
do bolo. A questão “b”, que solicita aos alunos que façam comentários/observações
sobre os resultados apresentados na tabela após seu preenchimento, leva os alunos
a concluírem sobre a proporcionalidade.
2ª TAREFA – Ampliação e redução de figuras2
OBJETIVOS:
compreender o conceito de proporcionalidade por meio de ampliação e
redução de figuras;
ampliar e reduzir uma figura a partir de uma constante.
Observe o desenho na malha quadriculada.
Imagem: Autora
2 Atividade adaptada do livro didático Matemática: Imenes & Lellis – 7º ano ( IMENES, Marcio Luiz; LELLIS,
Marcelo, p. 140, 2009).
19
Reproduza o desenho da malha acima nas malhas quadriculadas a seguir:
Malha 1
Malha 2
Malha 3
20
Escreva o que aconteceu com o desenho da:
a) 1ª malha;
b) 2ª malha;
c) 3ª malha;
d) Quais desenhos ficaram melhores e por quê?
CONSIDERAÇÕES SOBRE A TAREFA:
Para ampliar ou reduzir uma figura é importante orientar os alunos.
Pedir para numerar linhas e colunas é uma alternativa para que não se percam no
traçado do desenho.
Em cada malha quadriculada, o aluno observa o que ocorre com as
dimensões do desenho. Na 1ª malha o desenho dobra de tamanho, na 2ª o desenho
é deformado, pois as medidas não são proporcionais e, na 3ª, o desenho é reduzido
à metade. Com essa visualização torna-se mais fácil o entendimento de
proporcionalidade.
3ª TAREFA: Fanáticos por Futebol3
OBJETIVOS:
trabalhar a noção de razão;
fazer comparações por meio de razões.
Na cidade de Futebolópolis os moradores são fanáticos por futebol. Para cada 15
torcedores do Porinthians há 9 torcedores do Calmeiras.
3 Atividade adaptada do livro didático Matemática: Imenes & Lellis – 7º ano (IMENES, Marcio Luiz; LELLIS,
Marcelo, p. 274, 2009).
21
a) Qual é a relação matemática que podemos estabelecer entre os Porinthianos e o
total de torcedores desta cidade?
b) E quanto aos Calmeirenses em relação ao total de torcedores da cidade?
c) Qual é a relação matemática entre os Calmeirenses e os Porinthianos?
d) Se na cidade há 30 150 Porinthianos, quantos são os Calmeirenses?
CONSIDERAÇÕES SOBRE A TAREFA:
Este problema leva o aluno a estabelecer relações e comparações
entre as grandezas, além de calcular a quantidade de torcedores por meio de
cálculos simples ou utilizando a regra de três. Nessa questão é interessante o
professor introduzir a regra de três.
4ª TAREFA – Homenagem aos alunos4
OBJETIVOS:
resolver problemas que envolvam grandezas usando cálculos simples;
utilizar a porcentagem para mostrar o conceito de razão.
A diretora do Colégio resolveu comprar sorvete para homenagear os alunos
premiados na I Maratona de Matemática – Maramática – promovida pelo
Departamento de Educação do Município, sendo que:
cada pote de sorvete (2 litros) rende 20 bolas e custa R$ 10,90;
cada pessoa toma, em média, 3 bolas de sorvete.
Além da diretora foram convidados a professora de Matemática, 16 alunos, a
coordenadora e os pais dos 3 primeiros colocados.
4 Atividade adaptada do Banco de Questões da Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas –
OBMEP, p.24, 2010.
22
a) Quantos potes de sorvete ela deve comprar para que cada pessoa possa tomar,
pelo menos, 3 bolas?
b) Se cada indivíduo tomar 3 bolas de sorvete, sobrará sorvete?
c) Quanto à diretora vai gastar, se a dona da sorveteria vai dar um desconto de
10%, pois um dos premiados é seu sobrinho?
CONSIDERAÇÕES SOBRE A TAREFA:
Neste problema o aluno deverá estar atento ao número de pessoas
que irão participar da homenagem. Para resolver as questões é possível calcular a
quantidade de sorvete consumido e o valor gasto por meio de cálculos simples ou
regra de três.
5ª TAREFA – Curiosidade sobre os animais5
OBJETIVOS:
reconhecer que a proporcionalidade também está presente na
alimentação dos animais;
desenvolver o pensamento crítico em situações envolvendo questões de
alimentação;
fazer comparações entre as grandezas “peso” e quantidade de alimento
ingerido;
utilizar a porcentagem para mostrar a razão.
Veja o texto abaixo:
5 Atividade adaptada do Programa Gestão da Aprendizagem Escolar – GESTAR II Matemática: Caderno de
Teoria e Prática 1 – TP1: matemática na alimentação e nos impostos (BRASIL, Ministério de Educação Básica p.17 – 21, 2008).
23
Os animais são curiosos pelas suas interessantes dietas e padrões de alimentação.
Veja a seguir algumas informações sobre a quantidade de comida que diferentes
animais comem normalmente:
o urso polar macho pode pesar mais do que 680 kg e poderá
comer cerca 68 kg durante uma refeição de 30 minutos, isto
significa que ele necessita em torno de 11 kg diários, já que faz
suas refeições a cada seis dias;
um morcego pesa cerca de 28g e poderá comer 28 gramas de
comida por dia;
a abelha rainha pesa cerca de 0,113 grama mas poderá comer
cerca de 9 gramas de comida por dia quando está pondo ovos;
em média, um tigre pesa cerca de 227 kg e pode comer cerca de
35 kg de carne numa única refeição. Em compensação, os tigres
esperam vários dias para atacar um animal e fazer uma nova
refeição, então ele utiliza, em média, 6,4 kg de comida para
manter sua energia corporal;
em média um hâmster fêmea pesa cerca de 100g e consome
cerca de 11g de comida por dia;
um elefante normalmente pesa 4,1 toneladas e come cerca de
180 kg de comida por dia;
em média um beija-flor pesa cerca de 3,1g e deve comer cerca
de 10 minutos durante um dia. O beija-flor deverá consumir
aproximadamente 2g de comida por dia.
(Caderno de Teoria e Prática 1 – Matemática na alimentação e nos
impostos – PDE/GESTAR ll – p.16)
Atividade 1
De acordo com as informações do texto complete a tabela:
24
Animais menores
Peso
Quantidade de comida ingerida
diariamente
Morcego
Hâmster
Beija-flor
Abelha rainha
Animais maiores
Urso polar
Tigre
Elefante
Observando a tabela e comparando o peso do animal com a quantidade de comida,
responda as seguintes perguntas:
a) Qual animal consome mais alimento? Justifique.
b) Qual animal consome menos alimento? Justifique.
c) Comparando o seu “peso” e a quantidade de comida que você ingere
diariamente, com qual desses animais você se assemelha?
Atividade 2
Vamos calcular qual porcentagem representa um dia de alimentação de cada animal
a partir do seu peso.
25
Animal Peso/médio Comida/dia Porcentual
Morcego 28g 28g x100 = 100%
Hâmster
Beija-flor
Abelha rainha
Urso polar
Tigre
Elefante
CONSIDERAÇÕES SOBRE A TAREFA:
Na atividade 1 é interessante fazer questionamentos sobre o “peso”
dos animais e quanto cada animal come, facilitando o entendimento da proporção de
alimento que ingerem de acordo com o seu tamanho. Na atividade 2 é oportuno
mostrar que a porcentagem é uma razão e pode facilitar a comparação das
grandezas envolvidas. Ao final da realização destas atividades, os alunos
confeccionarão um cartaz com o seguinte título: Alunos da 6ª série (7º ano) do
Colégio Estadual Antonio Garcez Novaes de Arapongas descobrem que uma abelha
rainha come mais que um elefante, após fazerem um estudo sobre
proporcionalidade. Anexarão, então, ao cartaz, atividades realizadas na sala de aula.
6ª TAREFA: Economia de Água6
OBJETIVOS:
utilizar a proporcionalidade para trabalhar a importância da economia de
água para o nosso planeta;
utilizar cálculos simples na resolução das atividades;
despertar o interesse em analisar como pagamos a conta de água;
comparar quantidades por meio de razões e calcular porcentagem.
6 Atividade adaptada da Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas – OBMEP – Nível 1, 2009
26
A água é um recurso natural finito, indispensável à qualidade de vida de todos os
seres vivos.
Fonte: Imagem. Disponível em http://www.google.com.br/search?hl=pt-BR&rlz=1T4ADSA_pt-BRBR423BR423&biw=1280&bih=535&tbm=isch&sa=1&q=economia+de+%C3%A1gua+%22domin%C3%ADo+p%C3%BAblico%22. Acesso em: 30 de junho de 2011.
Zuleika é uma cidadã consciente, que deseja fazer algumas mudanças em casa
para evitar o desperdício de água. Ela fez uma tabela mostrando a quantidade de
água que utilizava em algumas atividades do dia.
Atividade Consumo Frequência
Tomar um banho de 15 minutos
90 litros por banho 1 vez ao dia
Escovar os dentes – 5 minutos
12 litros por escovação 3 vezes ao dia
Dar descarga ao utilizar o banheiro
10 litros por descarga 5 vezes ao dia
Lavar roupa 300 litros por lavagem 3 vezes por semana
Lavar a louça 117 litros com torneira meio aberta por 15 minutos
3 vezes ao dia
Lavar o carro com mangueira
216 litros com torneira meio aberta por 30 minutos
1 vez por semana
Para economizar água, ela reduziu:
o banho diário para 5 minutos;
a escovação dos dentes com 4 copos de água – 1 litro;
a descarga do banheiro 4 vezes ao dia;
27
a lavagem de roupa – 2 vezes por semana;
a lavagem da louça – com água na pia até a metade e torneira
fechada – 20 litros;
a lavagem do carro – com dois baldes de 10 litros, totalizando 20
litros.
a) Calcule quantos litros de água Zuleika passou a economizar semanalmente.
b) Qual é a razão entre a quantidade de água que Zuleika economizou pela
quantidade de água que gastava antes? Isto representa quanto por cento de
economia?
c) Escreva como seu grupo faria para economizar água e quanto economizaria?
d) Você sabe como é cobrada a água que você utiliza em casa? Explique.
CONSIDERAÇÕES SOBRE A TAREFA:
Esta tarefa é uma atividade de comparação e reflexão. Ao calcular
cada item o aluno observa como é possível economizar água nas tarefas rotineiras e
quanto custa o desperdício para o bolso e para a natureza. Na questão “b”, em que
se solicita aos alunos que estabeleçam a razão entre a quantidade de água que
Zuleika economizou pela quantidade de água que gastava antes, e ainda que os
alunos descubram o quanto isto representa em termos de percentual de economia, o
cálculo da porcentagem poderá ser feito com o uso da calculadora. Para responder
a última questão é interessante que o professor peça para os alunos levarem uma
conta de água.
7ª TAREFA – Reciclagem de latinhas
OBJETIVOS:
analisar grandezas por meio de razões;
resolver problemas envolvendo grandezas diretamente proporcionais;
28
conscientizar os alunos sobre a importância da reciclagem para o meio
ambiente.
A reciclagem é a transformação de materiais usados em novos produtos. Você
sabia...?
que para reciclar uma tonelada de alumínio, gastam-se somente
5% da energia necessária para produzir a mesma quantidade de
alumínio primário, ou seja, uma economia de 95% de energia;
atualmente com 74 latas são produzidas 1 kg de alumínio;
cada 1000 kg de alumínio reciclado significam 5000 kg de
minério bruto (bauxita) poupados.
De acordo com as informações citadas acima, responda:
a) Quantas latas são necessárias para produzir 1 tonelada de alumínio?
b) Qual é a quantidade de bauxita poupada ao reciclar 10,5 toneladas de alumínio?
CONSIDERAÇÕES SOBRE A TAREFA:
Na questão “a”, quando o aluno é questionado sobre quantas latas
são necessárias para produzir 1 tonelada de alumínio, ele faz a comparação entre o
minério bruto (bauxita) e o alumínio reciclado, e quanto se economiza utilizando a
reciclagem. Já a questão “b”, que questiona sobre quantidade de bauxita poupada
ao reciclar 10,5 toneladas de alumínio, pode ser resolvida com a regra de três ou
cálculos simples. É interessante que o professor pergunte aos alunos a opinião
deles sobre a reciclagem.
8ª TAREFA – O que é mais vantajoso?7
OBJETIVOS:
7 Atividade adaptada do livro didático Matemática: Imenes & Lellis – 7ª série (IMENES, Marcio Luiz; LELLIS,
Marcelo, p. 11, 1998).
29
identificar as situações envolvidas como grandezas proporcionais ou não;
utilizar estratégias para calcular os valores envolvidos e validar seus
resultados.
No supermercado Berona, o mesmo produto tem 3 embalagens: Produto A - 100g
custa R$ 0,80, Produto B - 200g custa R$ 1,70 e Produto C - 350g custa R$ 2,50.
Ajude Dona Marta economizar, calculando qual dos produtos tem o preço mais
baixo?
Imagem: Autora
CONSIDERAÇÕES SOBRE A TAREFA:
Esta atividade é interessante, pois, nos deparamos com este tipo de
problema muitas vezes quando vamos ao mercado. É possível resolvê-lo utilizando-
se regra de três, dedução lógica, calculando o preço de cada embalagem com o
peso da maior para fazer a comparação e descobrindo o preço de 100g do produto.
9ª TAREFA – Corrida de Fórmula 18
OBJETIVOS:
identificar se duas grandezas são diretamente ou inversamente
proporcionais;
resolver problemas envolvendo grandezas inversamente proporcionais.
Ao participar de um treino de Fórmula 1, o competidor Sebastiano Bettel fez o
percurso em 17 segundos, imprimindo velocidade média de 210 km/h. Se a
velocidade média de seu adversário Mewis Ramilton foi de 238 km/h, qual foi o
tempo gasto por ele no percurso?
8 Atividade adaptada do livro didático A conquista da matemática – 7º ano (GIOVANNI JUNIOR, José Ruy;
CASTRUCCI, Benedicto, p. 283, 2009).
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CONSIDERAÇÕES SOBRE A TAREFA:
Nesta questão, o aluno deve identificar que as grandezas envolvidas
são inversamente proporcionais podendo ser resolvida com a utilização da regra de
três.
10ª TAREFA – O problema das galinhas9
OBJETIVOS:
identificar se as grandezas envolvidas são diretamente ou inversamente
proporcionais;
resolver problemas envolvendo grandezas inversamente proporcionais.
Um sitiante possui ração para alimentar 32 galinhas durante 15 dias. Ele vendeu 8
galinhas e quer saber quantos dias a mais vai durar a ração?
Fonte: Imagem. Disponível em http://www.google.com.br/search?hl=pt-BR&rlz=1T4ADSA_pt-BRBR423BR423&biw=1280&bih=535&tbm=isch&sa=1&q=galinhas. Acesso em 30 de junho de 2011.
CONSIDERAÇÕES SOBRE A TAREFA:
Na resolução deste problema o aluno deverá identificar que, após o
sitiante vender as 8 galinhas, a ração deverá dar para mais dias, portanto a
grandeza envolvida é inversamente proporcional. Após calcular para quanto tempo
vai durar a ração terá que descobrir também, quantos dias a mais. É um problema
que exige um pouco mais de raciocínio.
9 Atividade adaptada do Programa Gestão da Aprendizagem Escolar – GESTAR II. Matemática: Atividades de
Apoio à Aprendizagem 2 – AA2: matemática nos esportes e nos seguros (BRASIL, Ministério da Educação, Secretaria de Educação Básica, p.39, 2008).
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11ª TAREFA – Papel reciclado
OBJETIVOS:
identificar se duas grandezas são diretamente ou inversamente
proporcionais;
resolver situações problema envolvendo grandezas diretamente
proporcionais.
Observe a tabela abaixo:
Economia feita com reciclagem
Quantidade de papel Quantidade de água utilizada na sua fabricação
1 tonelada de papel reciclado 2 000 litros
1 tonelada de papel não reciclado 100 000 litros
Calcule quantos litros de água se economiza ao utilizar:
a) 2 toneladas de papel reciclado;
b) 4 toneladas de papel reciclado;
c) 6 toneladas de papel reciclado.
CONSIDERAÇÕES SOBRE A TAREFA:
Nesta atividade é interessante que o aluno faça uma tabela para
calcular a quantidade de água utilizada para fabricar papel reciclado e não reciclado,
para depois, analisar e fazer os cálculos de quanto se pode economizar, além de
observar as grandezas envolvidas.
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12ª TAREFA – Economizando no abastecimento
OBJETIVOS:
explorar situações que envolvam grandezas, construindo estratégias para
resolver problemas de proporcionalidade;
identificar grandezas inversamente proporcionais.
A concorrência é um forte aliado do consumidor. Gabino é um consumidor
consciente e pesquisa o preço de tudo. Esta semana foi abastecer o carro e colocou
40 litros de gasolina, mas antes pesquisou o preço em dois postos.
Posto Etaol: R$ 2,60
Posto Gasol: R$ 2,80
a) Quantos reais Gabino economizou ao abastecer o carro no posto com o
combustível mais barato?
b) Com o mesmo valor gasto no posto com o combustível mais barato, quantos
litros ele conseguiria abastecer no posto com o preço mais caro?
CONSIDERAÇÕES SOBRE A TAREFA:
Este é o tipo de problema que muitos brasileiros se deparam ao
abastecerem seus veículos, sendo importante saber calcular e analisar os
procedimentos corretos para economizar. Nesta atividade o aluno observa que ao
pagar o menor valor mais combustível poderá ser comprado, aplicando a grandeza
inversamente proporcional. Caso haja oportunidade, o professor fará comentários
sobre os cartéis formados por alguns donos de postos e sobre combustíveis
adulterados.
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REFERÊNCIAS:
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ÁVILA, Geraldo. Revista do Professor de Matemática, nº 8, 1º semestre de 1986,
p. 2.
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BRASIL, Ministério da Educação, Secretaria de Educação Básica. Programa Gestão da Aprendizagem Escolar – GESTAR ll. Matemática: Atividade de Apoio à Aprendizagem 2: matemática nos esportes e nos seguros. Brasília: MEC, 2008,
p. 39.
________. Matemática: Caderno de Teoria Prática 1: matemática na alimentação e nos impostos. Brasília: MEC, 2008, p. 16.
________. Matemática: Caderno de Teoria Prática 1: matemática na alimentação e nos impostos. Brasília: MEC, 2008, p. 17-21.
BUTTS, Thomas. Formulando problemas adequadamente. In: KRULIK, S.; REYS, R. E. (Org.) A Resolução de Problemas na Matemática Escolar. São Paulo: Atual,
1997, p. 32-48.
GIOVANNI JUNIOR, José Ruy; CASTRUCCCI, Benedicto. A conquista da matemática,7º ano. São Paulo: FTD, 2009.
________. A conquista da matemática, 7º ano. São Paulo: FTD, 2009, p. 283.
IMENES, Márcio Luiz; LELLIS, Marcelo. Matemática/Imenes & Lellis – Obra em 4
v. para alunos de 5ª a 8ª série. São Paulo: Scipione, 1998, p.7.
________. Matemática: Imenes & Lellis – 7ª série. São Paulo: Scipione, 1998, p. 11.
________. Matemática: Imenes & Lellis – 7º ano. São Paulo: Moderna, 2009, p. 140.
________. Matemática: Imenes & Lellis – 7º ano. São Paulo: Moderna, 2009, p.
274.
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ONUCHIC, Lourdes de La Rosa. Ensino-Aprendizagem de Matemática através da Resolução de Problemas. In: BICUDO, Maria Aparecida Viggiani (Org.). Pesquisa em Educação Matemática, Concepções & Perspectiva. São Paulo: UNESP,
1999, p. 216.
PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Superintendência de Educação. Diretrizes Curriculares da Educação Básica de Matemática. Curitiba: SEED,
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________. Diretrizes Curriculares da Educação Básica de Matemática. Curitiba:
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POLYA, George. A arte de resolver problemas. Tradução e Adaptação de Heitor Lisboa de Araújo. Rio de Janeiro: Editora Interciência, 2006.
SCHOENFELD, A. H. In: PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Superintendência de Educação. Diretrizes Curriculares de Matemática. Curitiba:
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Banco de Questões (OBMEP 2010). Disponível em <http://www.obmep.org.br/bq/bancoobmep2010.pdf>, acesso em 30/07/2011.
5ª Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP 2009). Nível 1 – 1ª fase. Disponível em <http://www.obmep.org.br/provas_static/pf1n1-2009.pdf>, acesso em 30/07/2011.
