1

MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA

Apresentação

É importante o conhecimento dos conceitos da matemática financeira, pois sua

aplicabilidade ocorre constantemente no seu cotidiano.

A matemática financeira é um instrumento fundamental nas tomadas de decisões, e sua

aplicação traz maior rentabilidade, possibilitando o processo de maximização de

resultados.

Os conteúdos estão organizados de forma a possibilitar uma compreensão gradativa e

completa dos assuntos.

Neste guia, estão relacionados exercícios propostos para facilitar a compreensão

dos assuntos que serão relatados aqui, como Aritmética Racional, Juro Simples,

Desconto Simples, Juro composto, Desconto Composto, Capitalização/

Amortização Composta e Empréstimos.

Esses conteúdos serão desenvolvidos totalmente em sala de aula,

acompanhados pela calculadora HP12c, contudo, para facilitar o aprendizado,

disponibilizaremos de outros meios de comunicação que serão mostrados o

decorrer do curso.

Finalmente pretendemos que este trabalho venha contribuir para seu

aprendizado e, conseqüentemente, para sua formação acadêmica.

Saudações Educacionais,

Anicio Bechara Arero

Unidade I – Aritmética Racional

Conteúdo: Razão, Proporção, Grandezas Proporcionais, Regra de Sociedade,

Regra de Três, Porcentagem e Operações Sobre Mercadorias.

Objetivo da Unidade: Desenvolver habilidades para resolver problemas que

envolvam os conteúdos acima citados.

2

1- Razões

1.1- Razão de dois números: a razão entre dois números a e b 0, nessa ordem,

é o quociente de a por b.

a/b ou a : b (lê-se “a está para b”)

a e b: elementos da razão

a → antecedente

b → consequente

Exemplo:

1- Calcule a razão entre o primeiro e o segundo número:

a) 6 e 15 b) 2I3 e 4I5

Solução:

1.2- Razão de duas grandezas: é a razão entre a medida da primeira grandeza e a

medida da segunda.

Exemplos:

a) Calcule a razão entre 600 metros e 3 quilômetros. ( grandezas de mesma

espécie)

)5" para está "2 se-(lê4,05:25

2)3(:

15

6) ououa

)6" para está "5 se-(lê6

52:

12

10

4

5.

3

2

5

4

3

2

) b

5

1)6(:

30

6

000.3

600

3

600

m

m

km

m

3

b) Determinado município tem uma área de 543 km2 e uma população em torno

de 65.160 habitantes. Encontre a razão entre o número de habitantes e a área

desse município (densidade demográfica) e interprete o resultado . (grandezas de

espécies diferentes)

2- Proporção: é uma igualdade entre duas razões.

- Termos da proporção: a, b, c, d

- Antecedentes: a e c

- Consequentes: b e d

- Extremos da proporção: a (1o termo), d (4o termo)

- Meios da proporção: b (2o termo), c (3o termo)

2.1- Propriedade Fundamental das Proporções: em toda proporção o produto

dos meios é igual ao produto dos extremos (vice-versa).

Exemplos:

a) Encontre o valor de x na proporção 2 : 5 :: (3x-2) : 10.

b) A maquete de um prédio foi feita na escala de 1 : 150. Encontre a altura do

prédio, sabendo que a maqueta tem 60 cm de altura.

habiantes. 120 temos ,km cada Para/120543

65160 22

2 kmhab

km

hab

d). para está c como assim b, para está a :se-(lê:::: dcbaoud

c

b

a

dacbd

c

b

a

2301520101510.2)23.(510

23

5

2

xxxx

x

mcmxxx

90100:000.960.150.160

150

1

4

3- Proporção Múltipla ou Série de Razões Iguais.

3.1- Propriedade Fundamental: em uma série de razões iguais, a soma dos

antecedentes está para a soma dos consequentes assim como cada antecedente

está para seu consequente.

Exemplo:

- Calcule x, y e z na série de razões iguais 864

zyx , de modo que x + y + z =

459.

n

m

f

e

d

c

b

a ...

n

m

f

e

d

c

b

a ...

n

m

f

e

d

c

b

a

nfdb

meca

...

...

...

459

864

zyx

zyx

8645,25

86418

459

864864

zyxzyxzyxzyx

2045,25.85,258

1535,25.65,256

1025,25.45,254

zx

yy

xx

5

4- Grandezas proporcionais

4.1- Grandezas diretamente proporcionais: duas grandezas são diretamente

proporcionais quando variam sempre na mesma proporção.

Produto (cm3) 100 200 300 1200

Produto (g) 270 540 810 3240

4.2- Grandezas inversamente proporcionais: duas grandezas são

inversamente proporcionais quando variam sempre na razão inversa da outra.

Considere uma distância de 1200 km.

Móvel (km/h) 100 200 300 1200

Período (h) 270 540 810 3240

Exemplos:

1) Divida o número 6.500 em partes diretamente proporcionais a 5, 7 e 8 .

2) Três rapazes cobraram $ 600,00 para limpar um terreno. Como devem repartir

essa quantia, se o primeiro trabalhou 6 horas, o segundo 8 horas e o terceiro 10

horas, sendo a divisão diretamente proporcional ao tempo de serviço?

500.6

875

zyx

zyx

875325

87520

500.6

875875

zyxzyxzyxzyx

2600325.83258

2275325.73257

1625325.53255

zz

yy

xx

600

1086

zyx

zyx

6

3) Divida o número 1.400 em partes inversamente proporcionais aos números 2,

3/2 e 6.

Solução:

a) Invertemos a seqüência 2, 3/2 e 6: 1/2, 2/3 e 1/6.

b) Reduzimos ao mesmo denominador: 3/6, 4/6 e 1/6.

c) Eliminamos o denominador: 3, 4 e 1 (são os números usados)

5- REGRA DE SOCIEDADE

I) Os capitais são iguais e empregados durante o mesmo tempo.

C (iguais) e T (iguais)

II) Os capitais são desiguais e empregados durante o mesmo tempo.

C (desiguais) e T (iguais)

108625

108624

600

10861086

zyxzyxzyxzyx

00,25025.102510

00,20025.8258

00,15025.6256

zz

yy

xx

400.1

143

zyx

zyx

143200

1437

1400

143143

zyxzyxzyxzyx

200200.12001

800200.42004

600200.32003

zz

yy

xx

7

III) Os capitais são iguais e empregados durante tempos desiguais.

C (iguais) e T (desiguais)

IV) Os capitais são desiguais e empregados durante tempos também desiguais.

C (desiguais) e T (desiguais)

Exemplo:

- Após 1 ano de sociedade, três sócios obtiveram um lucro $60.000,00. Sabendo

que o 1o entrou para a sociedade com o capital de $8.000,00, o 2o, com

$10.000,00 e o 3o, com $ 7.000,00. Qual o lucro de cada sócio?

6- REGRA DE TRÊS

- Chamamos de regra de três os problemas nos quais figura uma grandeza que é

direta ou inversamente proporcional a uma ou mais grandezas.

7- TIPOS DE REGRA DE TRÊS

1- REGRA DE TRÊS SIMPLES: apresenta apenas duas grandezas, onde uma é

direta ou inversamente proporcional a outra.

60

7108

zyx

zyx

71084,2

710825

60

71087108

zyxzyxzyxzyx

00,800.161000.8,167.4,24,27

00,000.241000.2410.4,24,210

00,200.191000.2,198.4,24,28

zz

yy

xx

8

Procedimento:

- Coloca-se uma seta numa das colunas (sentido pra cima ou pra baixo). Em

seguida, descobrimos o sentido da outra interpretando o problema. Se os sentidos

coincidirem, as grandezas são diretamente proporcionais. Caso os sentidos não

coincidirem, temos grandezas inversamente proporcionais.

Exemplos:

1) Um profissional, trabalhando 30 dias, recebe $1.800,00. Quanto receberá se

trabalhar 38 dias?

Se trabalhar 30 dias o profissional ganha 1.800,00, portanto, se trabalhar 38 dias,

vai ganhar mais. Isso mostra que a seta da coluna da variável apresenta o mesmo

sentido da primeira coluna, pois, quando uma cresce a outra também cresce

(diretamente).

2) Se 9 voluntários completam um trabalho em 10 dias, em quantos dias 18

voluntários completariam o mesmo trabalho?

Observemos que nesse caso, quando há um aumento no número de mão-de-

obra, acontece uma diminuição no número de dias. Logo, temos grandezas

inversamente proporcionais. Para resolver o problema, devemos colocar as setas

no mesmo sentido.

9

diasxx

518

10910

9

18

2- REGRA DE TRÊS COMPOSTA: apresenta três ou mais grandezas entre si.

Para resolver utilizamos o mesmo processo da simples, ou seja, separam-se duas

em duas colunas, sendo uma sempre a do termo desconhecido. Por exemplo:

- Para pavimentar uma estrada de 5.200 metros de comprimento, 30

trabalhadores gastam 15 dias de 8 horas. Quantos dias de 9 horas gastarão 25

trabalhadores para pavimentar 3.900 metros da mesma estrada?

1) Diminuindo o comprimento (5200 para 3900), diminui os dias. Diretamente.

2) Diminuindo o número de trabalhadores (30 para 25), aumenta o número de

dias. Inversamente.

3) aumentando o número de horas (8 para 9), diminui o número de

dias.Inversamente.

10

8- PERCENTAGEM (OU PORCENTAGEM)

Razão centesimal: toda razão que apresenta consequente 100.

Taxa percentual: quando o consequente 100 é substituído pelo símbolo % (por

cento).

- Elementos do cálculo percentual:

a) Taxa centesimal (i)‏: é o valor que representa a quantidade de unidades

tomadas em cada 100.

b) Percentagem (pe): é o valor que representa a quantidade tomada de outra,

proporcionalmente a uma taxa.

c) Principal (Pr)‏: é o valor do qual se determina a percentagem.

Exemplo: 20% de 500,00 é igual a 100,00.

20% é a taxa, 500,00 é o principal e 100,00 a percentagem

Fórmula:

Nota: Podemos resolver problema de percentagem por regra de três simples

direta.

Exemplo:

1) Um revendedor de automóvel recebe $ 2.800,00 pela venda de um carro tipo A,

tendo sido de 3,5% a taxa de comissão. Encontre o valor de venda do produto.

,...100

38,

100

55

%,...38%,55

100P r

ip e

%100Pr

ipe

11

Aplicação da fórmula de percentagem

Aplicação da regra de três

- Taxa Unitária (i): utiliza-se como valor referencial a unidade.

Exemplo:

- Encontre a taxa unitária correspondente a 35%.

9- OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS: São problemas de percentagens

relacionados às operações de compra e venda de mercadorias.

É importante lembrar que podemos vender mercadorias visando lucro ou prejuízo

sobre preço de custo ou de venda. Portanto, vamos verificar os dois casos.

9.1- Vendas com lucro

9.1.1- Lucro sobre o Preço de Custo:

35,0100

35i

)1(.

.

iPcPvPciPcPv

PciL

LPcPv

lucroL

lucrodounitáriataxai

custodepreçoPc

vendadepreçoPv

12

Exemplo:

- Um empresário comprou um produto por $25.800,00. Desejando ganhar 15%

sobre o preço de custo, qual deve ser o preço de venda?

9.1.2- Lucro sobre o Preço de Venda:

Exemplo:

1) Um comerciante comprou um produto por $1.250,00. Desejando ganhar 16,5%

sobre o preço de venda. Qual deve ser este preço?

9.2- Vendas com prejuízo

9.2.1- prejuízo sobre o preço de custo:

Exemplo:

1) Ao adquirir um produto por $12.600,00, um empresário só conseguiu negociá-

lo com um prejuízo de 5% sobre o preço de custo. Por quanto vendeu o produto?

15,010015%15

00,800.25$

?

i

Pc

Pv

00,670.29

)15,01(25800

)1(

Pv

Pv

iPcPv

i

PcPviPvPcPviPvPc

PiL

LPvPcLPcPv

v

1)1(.

.

165,0100:5,16%5,16

00,250.1$

?

i

Pc

Pv

00.497.1835,0

1250

165,01

1250

1

PvPv

i

PcPv

)1.(.

)(.

iPcPvPciPcPv

prejuízoPciP

PPcPv

?

05,0)100%(:5

00,600.12

Pv

i

Pc

00,970.1195,0.12600

)05,01.(12600

)1.(

PvPv

Pv

iPcPv

13

9.2.2- prejuízo sobre o preço de venda:

Exemplo:

1- Um produto que custou $ 8.400,00 foi vendido com um prejuízo de 9% sobre o

preço de venda. Qual o valor conseguido na venda?

10- ABATIMENTOS SUCESSIVOS

Valor líquido (VL): é o valor a ser calculado quando a fatura sofre abatimentos

sucessivos.

Exemplo:

- Sabe-se que uma fatura de $14.500,00 sofre abatimentos sucessivos de 8%, 6%

e 4%, então, qual o valor líquido?

i

PcPvPciPv

PcPviPv

PcPPv

1)1(

.

?

09,0)100%(:9

00,400.8

Pv

i

Pc

42,706.709,1

8400

09,01

8400

1

PvPv

i

PcPv

faturadavalorVf

iiiVfVnL

)1)...(1).(1(21

?

04,006,0,08,0

00,500.14

321

LV

ieii

Vf

02,038.12

)96,0)(94,0)(92,0(14500

)04,01)(06,01)(08,01(14500

)1)...(1).(1(21

L

L

L

nL

V

V

V

iiiVfV

14

11- AUMENTOS SUCESSIVOS

Preço futuro ( Pf ): é o valor a ser calculado quando a fatura sofre aumentos

sucessivos.

Exemplo:

Sobre um produto de $25.800,00 incide os seguintes impostos: 10% federal, 6%

estadual e 5% municipal. Qual o preço final desse produto?

UNIDADE II – JURO SIMPLES

OBJETIVO: Conhecer e distinguir o regime de capitalização a juro

simples, bem como, aplicar corretamente as suas fórmulas.

CONTEÚDO:

- Juro, capital, taxa de juro, período de capitalização e montante.

- Regimes de capitalização

- Taxas proporcionais e equivalentes

- Juro comercial e juro exato

Juros Simples: é aquele calculado unicamente sobre o capital inicial.

Observe o que acontece com R$ 1500,00 quando aplicada a taxa de 5% ao mês

durante 3 meses.

faturadavalorVf

futuropreçoPf

iiiVfPfn

)1)...(1).(1(21

05,006,01,0

?

00,800.25

mefiii

M

Vf

94,586.31

)05,01)(06,01)(1,01(25800

)1)...(1).(1(21

Pf

Pf

iiiVfPfn

15

Período (mês) juro montante

0 ... $1.500,00

1 $1.500,00 $1.575,00

2 $1.500,00 $1.650,00

3 $1.500,00 $1.725,00

- Fórmula para o cálculo do juro simples ( j ):

- Fórmula para o cálculo do montante (m):

Nota: a fórmula j = C.i.n, bem como nas que virão, taxa e prazo de aplicação

devem estar expressos na mesma unidade de tempo.

Exemplos

1) Um capital de $ 1600,00 foi aplicado, em regime de juros simples, a uma taxa

de 12% ao ano, durante 7 meses. Determine:

a) o juro simples b) o montante

Solução:

Observe que as unidades da taxa e do tempo são diferentes, logo, temos que

transforma pra mesma unidade.

a) j = C.i.n =1600x0,01x7 = 114,00

b) M = C + j = 1600 + 114 = 1714,00

niCj ..

juroj

períodon

unitáriataxai

capitalC

jCtemonM )tan().1(

..

niCM

niCCM

ou

.7

..1,0)100.(:.%1)12%(:12..%12

600.1

mn

mamaaai

C

16

02- Um capital emprestado a 24% ao ano rendeu em 1 ano, 2 meses e 15 dias, o

juro simples de R$ 7 830,00. Calcule o valor do capital que foi inicialmente

emprestado

3) Em quanto tempo um capital triplica de valor, em regime de juro simples, à taxa

de 20% ao ano?

4) Aplicou-se, durante dois anos, um capital de $ 12.000,00, a uma determinada

taxa. Encontre essa taxa, sabendo que no final da aplicação obteve-se $

20.400,00 de juro mais capital.

5) O capital de $ 18.000,00 foi aplicado à taxa simples de 42,6% a.a., durante um

certo período, tendo gerado no final da operação $ 31.419,00. Determine o

período mensal de aplicação.

?

00,7830

4255603601521

..0007,0.%07,036024..%24

C

j

dddddman

dadaaai

33,319.262975,0

7830

2975,0.7830

425.0007,0.7830

..

CC

C

C

niCj

..2,0..%20

23

?

aaaai

qqqj

qC

n

.102,0

2.2,02.2,0.2

..

annnnqq

niCj

?

00,400.20

2

00,000.12

i

M

an

C

..%35..35,02

7,0217,1

217,1

2112000

20400

)2.1(1200020400

).1.(

aaouaaii

i

i

i

niCM

17

Notas:

1a) Juros Simples Ordinário: é aquele em que tanto o prazo como a taxa são expressos considerando a convenção

de ano comercial (1 ano possui 360 dias e 1 mês tem 30 dias)

2a) Juro Simples Exato: é aquele que tanto o prazo como a taxa são expressos considerando o ano civil (1 ano

possui 365 dias ou 366 dias se for bissexto).

3a) Juro Simples Comercial: é aquele em que a taxa é expressa considerando a convenção de ano

comercial, enquanto o tempo é contado em dias exatos do ano civil.

6) Aplicou-se $ 60.000,00 à taxa 45% ao ano no período de 08-03-2014 a 12-04-

2014, determine:

a) Juro Simples Ordinário b) Juro Simples Exato c) Juro Simples Comercial

Solução:

a)

b)

maaaai

M

n

C

0355,012.426,0..%6,42

00,419.31

?

00,000.18

mn

n

n

n

n

niCM

210355,0

7455,0

0355,017455,1

0355,017455,1

0355,0118000

419.31

)426,01(000.18419.31

).1.(

..00125,0360.45,0..%45

?

34

00,000.60

daaaaai

J

dn

C

00,550.2

3400125,060000

..

j

j

niCj

..001233,0365.45,0..%45

?

35

00,000.60

daaaaai

J

dn

C

30,589.2

35001233,060000

..

j

j

niCj

18

c)

7) Um empresário aplicou $ 20.000,00 durante 1 ano e 4 meses, da seguinte

maneira: no primeiro ano à taxa de 15% ao ano; nos três meses seguintes a 12%

ao ano e no último mês a 18% ao ano. Calcular o montante simples e o juro total

da aplicação.

Solução:

Sabe-se que o montante é o capital mais juro. Porém, neste caso, o juro é a soma

dos três juros aplicados em períodos diferentes à taxas diferentes. Logo:

8) Aplicou-se certo capital a 36% ao ano. Do juro produzido em um trimestre,

destina-se 1/5 para compra de mantimentos e 1/10 para pagamento de colégio,

restando $ 6,300,00. Determine o capital aplicado, o juro recebido

trimestralmente, a quantia paga na compra de mantimentos e a quantia destinada

ao pagamento do colégio.

Solução:

No final do trimestre gastou-se 3/10 (1/5 + 1/10), logo, sobrou 7/10 (1 – 3/10) que

corresponde a $ 6300,00.

Aplicando a regra de três simples encontramos o juro ganho no semestre.

x1

630010/7

9000 x

1- Gasto com mantimento: 1/5 x 9000 = 1800,00

2- Gasto com colégio: 1/10 x 9000 = 900,00

..00125,0360.45,0..%45

?

35

00,000.60

daaaaai

J

dn

C

00,625.2

3500125,060000

..

j

j

niCj

00,900.320000900.2300,900.23

)112

18,03

12

12,0115,01(20000)...1(

...

332211

332211321

jM

nininiCM

nCinCinCiCjjjCjCM

19

3- Cálculo do capital que produziu 9000,00 de juro:

00,000.10009,0

9000

09,09000

3)1236,0(9000

C

C

C

niCJ

9) Que capital deve ser aplicado a 20% a.a. para que, no mesmo tempo, produza

juros simples iguais ao capital de $10.000,00 a 12% a.a.

00,000.62,0

12,0000.10

12,0100002,0

21

21

22

11

C

nnC

niCniC

JJ

niCJ

niCJ

UNIDADE III – DESCONTO SIMPLES

OBJETIVO: Saber realizar as operações de desconto, saber fazer a equivalência

de capitais diferidos e calcular o valor atual de um título de crédito.

CONTEÚDO:

- Títulos de Crédito;

- Desconto Simples Comercial;

- Desconto Simples Racional;

- Taxa de Juro Efetiva; e,

- Equivalência de Capitais Diferidos.

20

Títulos de Crédito

1- Nota Promissória: é um título cambiário que para seu nascimento são

necessárias duas partes: o emitente ou subscritor (devedor), criador da

promissória no mundo jurídico, e o beneficiário ou tomador que é o credor

do título. Pode ser utilizado entre pessoas físicas e pessoas físicas e

jurídicas.

2- Duplicata: é um título de crédito assinado pelo comprador em que há

promessa de pagamento da quantia correspondente à fatura de

mercadorias vendidas a prazo. É utilizado entre pessoas físicas e jurídicas.

3- Letra de Câmbio: é uma espécie de título de crédito, ou seja, representa

uma obrigação pecuniária, sendo desta autônoma. É mais usada em

operações de crédito entre financiadoras e comerciantes, enquanto em

operações mercantis internas a prazo o título mais comum é a duplicata.

Desconto Simples Comercial (d): é o juro simples calculado sobre o valor

nominal do título, no prazo de antecipação.

períodon

unitáriataxai

títulodoalnovalorN

d

niNd

:

:

min:

Comercial Simples Desconto:

Valor Atual Comercial ou Valor Descontado (A):

períodon

unitáriataxai

títulodoalnovalorN

A

niNA

:

:

min:

Comercial Atual Valor:

)1(

Exemplos:

1) Um título, de valor nominal igual a $ 46.000,00, foi descontado 3 meses

antes do seu vencimento. A taxa de juro simples usada na transação foi de

36% ao ano. Determine:

21

a) O desconto simples comercial.

b) O valor atual comercial.

Solução:

mn

mamaaai

N

d

3:

..03,0)100.(:.%312/36..%36:

00,000.46:

?A

?:

00,140.4

303,046000

)

d

d

niNda

00,460.4191,046000

)303,01(46000

)1()

A

A

niNAb

Desconto Simples Bancário (d): é o desconto simples comercial acrescido das

despesas cobradas pela instituição financeira.

2) Um título, de valor nominal igual a $ 46.000,00, foi descontado 3 meses antes

do seu vencimento. A taxa de juro simples usada na transação foi de 36% ao ano.

O banco cobra 1,5% de despesas administrativas e 0,012% a.m. de Imposto

sobre Operações Financeiras (IOF). Calcular:

a) O desconto simples.

b) O valor atual.

Solução:

mn

mamaaai

N

d

3:

..03,0)100.(:.%312/36..%36:

00,000.46:

?A

?:

22

Inicialmente, calculamos o desconto simples comercial. Em seguida avaliamos o valor

das despesas administrativas e o IOF. Após esses procedimentos, devemos adicionar os

três para encontrar o desconto total da operação.

00,140.4

303,046000

)

d

d

niNda

00,69046000015,0:..

56,16

300012,046000

AD

IOF

IOF

56,846.469056,164140 t

d

44,41153

56,484646000

A

A

A

dNt

3) Um título de $ 10.000,00 vai ser descontado à taxa de 3,6% ao mês. Faltando

45 dias para o vencimento do título, determine o valor do desconto comercial e

o valor atual comercial.

?

?

45

..0012,0.12,0)30.(:.%6,3

00,000.10

A

d

dn

dadamai

N

00,540

45.0012,0.10000

..)

d

d

niNda

00,460.9

946,0.10000

00,460.954010000)45.0012,01.(10000

).1.()

A

A

A

dNAouA

niNAb

23

4) Uma letra de câmbio de valor nominal igual a $ 8.400,00 foi resgatada antes

de seu vencimento por $ 7.200,00. Calcule o tempo de antecipação, sabendo

que a taxa de desconto comercial foi de 2% ao mês.

Taxa efetiva: é a taxa efetivamente aplicada em desconto simples comercial ou

bancário, sobre o valor atual do título, a juro simples, gerando um montante igual

ao valor nominal.

)1( niANf

5) Encontre a taxa efetiva cobrada no exemplo 4 do desconto simples comercial.

..%35,2.0235,05,7

176,0

5,71176,1

5,717140

8400

)5,71(71408400

)1(

maoumai

i

i

i

niAN

f

f

f

f

f

Observe que a taxa efetiva (if = 2,35%) é maior que a taxa utilizada (i = 2%a.m.).

6) Um empréstimo de $ 360.000,00 foi concedido a um empresário por uma

instituição financeira. Esse empréstimo deve ser liquidado em três pagamentos

mensais de $ 120.000,00 cada, sendo o primeiro quitado um mês após a

assinatura do contrato do empréstimo. Além de cobrar juros de 2% a.m., a

Instituição adquiri 1,5% de despesas administrativas e 0,5%a.m. de IOF.

Determine:

00,140.7

?

..02,0..%2

00,400.8

A

n

mamai

N

dmoumnn

n

n

n

n

niNA

1575,702,0

15,0

85,01.02,0

.02,0185,0

.02,018400

7140

).02,01.(84007140

).1.(

00,140.7

?

..02,0..%2

00,400.8

A

n

mamai

N

24

a) O desconto simples bancário.

b) O valor líquido recebido pelo empresário.

Solução:

Observe que a taxa de juro e o IOF são aplicados a cada mês, sendo que o

primeiro empréstimo é de $ 360.000,00; o segundo $ 240.000,00 e o terceiro, $

120.000,00.

Desconto

d = (360000x0,02x1) + (240000x0,02x1) + (120000x0,02x1)

d = 7200 + 4800 + 2400 = 14.400,00

Cálculo do IOF

IOF = (360000x0,005x1) + (240000x0,005x1) + (120000x0,005x1)

IOF: 1800 + 1200 + 600 = 3.600,00

Despesas administrativas

DA = 0,015 x 360000 = 5.400,00

Desconto total

dt = Desconto + Cálculo do IOF + Despesas administrativas

dt = 14400 + 3600 + 5400 = $ 23.400,00

Valor líquido recebido pelo empresário

A = 360000 – 23400

A = $ 336.600,00

- Desconto Simples Racional (ou por dentro) (dr): é o juro simples calculado

sobre o valor atual do título, no prazo de antecipação.

25

ni

niNd

ni

NA

niAd

r

r

11

7) Um título, de valor nominal igual a $ 46.000,00, foi descontado racionalmente

3 meses antes do seu vencimento. A taxa de juro simples usada na transação foi

de 36% ao ano. Determine:

a) O desconto simples comercial.

b) O valor atual comercial.

Solução:

mn

mamaaai

N

dr

3:

..03,0)100.(:.%312/36..%36:

00,000.46:

?A

?:

r

16,798.3$09,1

4140

303,01

303,046000

1)

r

r

r

d

d

ni

niNda

84,201.42$

16,379846000

)

A

A

dNAbr

EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS DIFERIDOS

- Capitais Diferidos: são capitais exigíveis em datas diferentes.

Para que dois ou mais capitais diferidos sejam equivalentes, em certa época, é

preciso que seus valores atuais (presentes), nessa época, sejam iguais.

Exemplo:

8) Um título de valor nominal equivalente a $ 2.500,00, vencível em 3 meses, vai

ser substituído por outro, com vencimento para 5 meses. Admitindo-se que esses

títulos podem ser descontados à taxa de 2,5% ao mês, qual o valor nominal do

novo título?

26

9) Um empresário deve dois títulos a uma instituição financeira, o primeiro de

50.000,00 vencível daqui a um mês, e a segunda de 100.000,00 vencível daqui a

dois meses. O empresário comunicou a instituição que só poderia liquidar daqui a

três meses. Quanto deverá pagar se a taxa de juro cobrada é de 2,25% ao mês?

UNIDADE IV – JURO COMPOSTO

OBJETIVO: Conhecer e distinguir o regime de capitalização a juros compostos,

bem como, aplicar corretamente a fórmula fundamental do juro composto no

cálculo do montante, do capital inicial, do período financeiro e da taxa de juro.

CONTEÚDOS:

- Montante

- Fator de Capitalização

- Taxas Equivalentes

- Taxas Nominal, Efetiva, Real e Aparente

..025,0..%5,2

5

?

3

00,500.2

2

2

1

1

mamai

mn

N

mn

N

86,642.2875,0

5,2312875,0.5,2312

)5.025,01()3.025,01(2500

).1().1(

22

2

2211

21

NN

N

niNniN

AA

..0225,0..%25,2

?

5

00,100000

3

00,50000

3

2

2

1

1

mamai

n

mn

N

mn

N

77,742.154933,0

144375

9550048875993,0

)2.0225,0(1100000)1.0225,01(50000)3.0225,01(

).1().1().1(

33

3

3

221133

213

NN

N

N

iNniNniN

AAA

27

Juro Composto: é aquele que em cada período financeiro, a partir do Segundo,

é calculado sobre o montante relativo ao período anterior.

Evolução aproximada de R$ 1.500,00 a juro composto de 5% ao mês:

Período Juro Montante

0 1.500,00

1 75,00 1575,00

2 78,75 1.653,75

3 82,69 1.736,44

4 86.82 1.823,26

Fórmula fundamental dos juros compostos: o cálculo do juro composto é

baseado no resultado final da operação (montante). Logo, para calcular o valor do

juro composto devemos subtrair o montante encontrado do capital utilizado.

CMJ

çãocapitaliza defator i) + (1

período n

unitária taxa i

capital C

i) + (1C = M

n

n

Exemplos:

1) Um comerciante fez uma aplicação de $ 20.400, à taxa de 2,25% ao mês, pelo

prazo de 8 meses, em regime de juro composto. Determine:

a) o fator de capitalização;

b) o montante.

Solução:

mn

mamai

C

M

8

..0225,0)100.(:.%25,2

20400

?

195,1

0225,1

)02250,01(

1)

8

8

c

c

c

n

c

F

F

F

iFa

00,378.24

195,1400.20

0225,1.20400

)02250,01.(20400

)1.()

8

8

M

xM

M

M

iCMbn

28

2) Calcule o capital que gerou um montante de R$ 28.640,00, à taxa composta de

1,5% ao mês, pelo prazo de 1 ano e 3 meses, com capitalização trimestral.

3) Um empresário resolveu aplicar, em regime de juro composto, 30.000,00 numa

instituição financeira. Após o décimo mês, verificou que o seu saldo era de $

36.400,00. Qual a taxa que a instituição aplicou?

4) Um investidor aplicou $ 240.000,00 em uma instituição financeira que paga

24% ao ano em regime de juro composto. Ao final de determinado período,

recebe o montante de $ 320.000,00. Durante quantos meses esse capital foi

aplicado?

tman

tatamai

C

M

531

..045,0)100.(:.%5,43.%5,1

?

28640

55,985.22246,1

28640

246,128640

045,1.28640

)045,01.(28640

)1.(

.

8

5

CC

Cx

C

C

iCM

FcCM

n

?

00,37500

10

00,000.30

i

M

mn

C

.

.%3,2100023,0.023,01023,1

25,11

25,11

125,1

130000

37500

)1.(3000037500

)1.(

10

10

10

10

10

maxoumaii

i

i

i

i

i

iCMn

..02,0)100.(:.%2)12.(:.%24

00,000.320

?

00,000.240

mamaaai

M

n

C

mnLog

Logn

LogLogn

LogiLog

aritmo

iCM

n

n

n

n

n

190086,0

1614,0

02,1

45,1

45,1)02,1(.

45,11

log45,102,1

02,1240000

348000

)02,01.(240000348000

)1.(

29

Taxas Equivalentes: São aquelas que, referindo-se a períodos de tempo

diferentes, fazem com que um capital produza o mesmo montante num mesmo

tempo. Elas não proporcionais.

Exemplo:

- Encontre as taxas trimestral, mensal e diária equivalentes à taxa de 30%a.a.

Taxa Nominal: é aquela cujo período de capitalização, não coincide com o

período a que ela se refere.

Exemplos de taxas nominais:

1- 48% ao ano capitalizados semestralmente.

2- 36% ao ano capitalizados mensalmente.

Taxa de Juro Efetiva: é a taxa anual equivalente a taxa semestral, trimestral,

mensal etc.

36012421

1111)1(dmtsa

iiiii

???

.3,0)100.(:.%30

dmt

a

iii

aaaai

41

1)1(1ta

ii

taxi

iii

t

ttt

.%710007,0

107,13,1113,01 44

..%210002,0

102,13,1113,011)1(2 1212121

maxi

iiiii

m

mmmma

..%073,010000073,0

100073,13,1113,011)1(3 3603603601

daxi

iiiii

d

dddda

çõescapitalizadenk

alnotaxaieefetivataxai

k

ii

o

f

k

f

min11

30

Exemplo:

Uma instituição financeira cobra a taxa 36%a.a. com capitalização trimestral,

encontre a taxa efetiva.

Taxa Real, Taxa de Inflação e Taxa Aparente:

Taxa aparente: é aquela que vigora nas operações correntes.

Quando não há inflação, a taxa aparente é igual à taxa real.

Quando há inflação, a taxa aparente é formada por 2 componentes: um

correspondente a inflação e outro correspondente ao juro real.

Exemplo:

- Uma pessoa adquire uma letra de câmbio em uma época A e a resgata na

época B. O juro aparente recebido foi de 25%a.a. Calcule a taxa de juro real,

sabendo que a taxa de inflação, nesse período, foi de 15%a.a.

UNIDADE V – DESCONTO COMPOSTO

Objetivo: Saber realizar as operações de desconto, resolver problemas que

envolvam equivalência de capitais diferidos e calcular o valor atual de um título de

crédito em regime de capitalização composta.

Conteúdos:

- Desconto composto racional

- Valor atual de um título

- Equivalência de capitais diferidos.

ta

aai

41

36,0)100%(:36..%36..%16,411

4

36,0111

4

aaik

ii

f

k

f

laçãodetaxaI

realtaxar

aparentetaxai

Iri

inf

1.11

?

15,0)100%(:15

25,0)100%(:25

r

I

i

.

.%7,8087,01087.115,1

25,11

15,1.125,1

15,01.125,01

1.11

aaourrr

r

r

Iri

31

Desconto Composto Racional: é o abatimento que obtemos ao saldar um

compromisso antes da data de seu vencimento, isto é, a diferença entre o valor

nominal (valor do compromisso) e o valor atual (valor descontado) de um título. d

= N - A

Cálculo do valor atual: é igual ao juro composto do valor atual racional,

considerado o prazo de antecipação como tempo.

períodon

unitáriataxai

alnovalorN

compostodescontod

iNd

n

min

1

11

Exemplos:

1) Um título de $ 5.600,00, foi resgatado 3 meses antes de seu vencimento, à

taxa de desconto composto de 1,5% ao mês Determine:

a) o valor atual b) o desconto racional

izaçãodescapitaldefatori

i

períodon

unitáriataxai

alnovalorN

atualvalorA

i

NAouiNA

n

n

n

n

1

11

min

11.

?

?

..015,0..%5,1

3

00,600.5

d

A

mamai

mn

N

73,353.5

046,1

5600

015,01

5600

1)

3

A

i

NAa

n

27,24673,53535600) ANdb

32

2) Um título de $ 4.800,00 foi resgatado por $ 4.240,00 com uma taxa composta

de 2,5% ao mês. Qual o tempo de antecipação?

EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS DIFERIDOS

Exemplo:

- Dois títulos, um de $ 6.000,00 vencível em 3 meses, e outro de $ 8.200,00,

vencível em 5 meses, deverão ser resgatados por um só pagamento, dentre de 4

meses. Qual o valor desse resgate, no regime de juros composto, à taxa de 3%

ao mês?

?

..025,0)100(:.%5,2

00,080.4

00,800.4

n

mamai

A

N

mesesn

n

n

LognLog

aritmoaplicando

iNA

n

n

n

n

701,0

07,0

01,0.07,0

)1.(01,0.07,0

025,1.85,0

log025,185,0

025,14800

4080

025,0148004080

1

..03,0..%3

4

?

5

00,200.8

3

00,000.6

321

3

3

2

1

1

2

mamaiiii

mn

N

mn

N

mn

N

11,135.14125,154,12564

125,106,707548,5489

125,1159,1

8200

093,1

6000

03,0103,01

8200

03,01

6000

111

33

3

3

4

3

53

3

3

2

2

1

1

321

311211

NNx

N

N

N

i

N

i

N

i

N

AAA

nnn

33

CAPITALIZAÇÃO E AMORTIZAÇÃO COMPOSTA

Objetivo: Conceituar e classificar Rendas. Calcular os juros, as parcelas, os

montantes e os valores atuais envolvidos nas operações de capitalização e

amortização composta.

Conteúdo:

- Rendas

- Capitalização Composta

- Amortização Composta

RENDAS: é uma sucessão de depósitos ou de prestações realizadas, em épocas

diferentes, objetivando formar um capital ou resgatar uma dívida.

TIPOS DE RENDAS:

I. Rendas certas ou anuidades: ocorrem quando o número de termos, seus

vencimentos e seus respectivo valores podem ser prefixados.(compra de bens a

prazo)

II. Rendas aleatórias: ocorrem quando pelo menos um dos elementos não pode

ser previamente determinado. (pagamento de um seguro de vida)

Em relação ao vencimento do 1o termo, uma Renda Certa pode ser Imediata

(Postecipada), Antecipada ou Diferida.

1a) Renda Imediata: ocorre quando vencimento do 1o termo se dá no fim do 1o

período a contar da data zero.

2a) Renda Antecipada: ocorre quando vencimento do 1o termo se dá na data

zero.

3a) Renda Diferida: ocorre quando vencimento do 1o termo se dá no fim de um

determinado número de períodos, a contar da data zero.

Capitalização Composta: ocorre quando realizamos Investimentos com o

objetivo de constituir um capital.

34

1) Montante de uma Renda imediata (SI):

Exemplo:

- Um trabalhador deposita $ 220,00 no final de cada mês, objetivando a compra

de um bem. Sabendo que seu ganho é de 1,5% ao mês, quanto possuirá em 2

anos?

Montante de uma Renda Antecipada (Sa):

Exemplo:

- Um trabalhador deposita $ 220,00 no início de cada mês, objetivando a compra

de um bem. Sabendo que seu ganho é de 1,5% ao mês, quanto possuirá em 2

anos?

.:

11

cos

tan

11.

icantoneiranSselêS

çãocapitalizadefatori

i

jurodetaxai

períodosdenúmeron

periódidepósitosdosvalorT

imediatarendaumadetemonSS

i

iTSousTS

in

n

inS

Iin

n

Iinin

?

242

..015,0..%5,1

00,220

Iin

SS

man

mamai

T

37,299.6

015,0

1429,1.220

015,0

1015,01.220

11.

.

24

I

I

n

I

inin

S

S

i

iTS

sTS

i

i

iTSsTS

n

ain

a

1

11..

1

38,386.6015,1.015,0

1429,1.220

015,01015,0

1015,01.220

111

.

24

aa

a

n

a

SS

S

ii

iTS

35

Amortização Composta: ocorre quando resgatamos uma dívida, pagando certa

quantia, em épocas distintas.

1) Valor Atual de uma Renda Imediata (AI):

Exemplo:

- Uma loja vende um produto em 6 prestações mensais de $ 480,00 cada, sendo

a primeira um mês após a compra. Sabendo que a loja usa a taxa de 48% ao ano,

capitalizada mensalmente, encontre o valor à vista do produto.

2) Valor Atual de uma Renda Antecipada (Aa):

Exemplo:

- Uma loja vende um produto em 6 prestações mensais de $ 480,00 cada, pagas

mensalmente, sendo a primeira dada como entrada. Sabendo que a loja usa a

taxa de 48% ao ano, capitalizada mensalmente, encontre o valor à vista do

produto.

icantoneiranAselêA

oamortizaçãdefatorii

i

unitáriataxai

períodosdenúmeron

periódipagamentosdosvalorT

imediatarendaumadeatualvalorAA

ii

iTAaTA

in

n

n

Iin

n

n

IinI

:

1

11

cos

1

11..

?

..04,0..%4)12.(:.%48

00,480

6

IA

mamaaai

T

mn

37,061.3265,1.04,0

1265,1480

04,0104,0

104,01480

1

116

II

n

I

AA

ii

iTA

i

ii

iTAiaTA

n

Iina

1

1

11.1..

1

36

Renda Diferida: é a renda que acontece quando a primeira prestação está

programada para depois do primeiro período.

Valor Atual de uma Renda Diferida(Ad): o cálculo do valor atual de uma renda

diferida é dado pela fórmula

Exemplo:

- Um cliente comprou um aparelho de som em uma loja, em 6 prestações mensais

de $ 840,00 cada uma, a primeira 4 meses após a compra. Para vendas a prazo,

a loja usa taxa de 36% ao ano capitalizada mensalmente. Qual o valor à vista do

aparelho?

?

..04,0..%4)12.(:.%48

00,480

6

aA

mamaaai

T

mn

39.614.204,1.265,1.04,0

1265,1480

04,0104,0104,0

104,014801

1

11

6

6

aa

n

n

a

AA

iii

iTA

odiferimentm

iii

iTA

mn

n

d

1

1

1

11

?

..03,0..%3%36

)(314

00,840

6

dA

mamai

odiferimentmm

T

mn

32,162.4093,1

1.

194,1.03,0

194,0840

03,01

1

03,0103,0

103,01840

1

1

1

11

36

6

dd

d

mn

n

d

AA

A

iii

iTA

37

Exercício de fixação:

- Uma loja tem os seguintes planos de venda a prazo: a) pagamento em 5

prestações mensais iguais, a primeira 1 mês após a compra; b) pagamento em 5

prestações mensais iguais, a primeira paga no ato da assinatura do contrato, e c)

pagamento em 5 prestações mensais iguais, a primeira 3 meses após a compra.

Calcular o valor da prestação de cada plano de um objeto que custa à vista $

2.000,00, se a loja usa a taxa de 36% ao ano capitalizada mensalmente.

UNIDADE VII – EMPRÉSTIMO

OBJETIVO: Conceituar e diferenciar os tipos de empréstimos, e estudar de forma

detalhada os mais usuais sistemas de amortização.

..03,0..%3..%36

00,000.2

?

mamaaai

A

T

59,436$581,4

2000

581,4.200003,0103,0

103,01.2000

1

11.)

5

5

TT

TTii

iTAa

n

n

I

91,423718,4

2000

718,4.200003,0103,0103,0

103,01.20001

1

11.)

5

T

TTiii

iTAb

nn

n

I

64,491068,4

2000

068,4.200003,01

1

03,0103,0

103,01.2000

1

1

1

11)

45

5

T

TTiii

iTAc

mn

n

d

38

CONTEÚDO:

1- Sistema Francês de Amortização (SFA);

2- Sistema de Amortização Constante (SAC);

3- Sistema de Amortização Misto (SAM);

1) Sistema Francês de Amortização(SFA) : o mutuário se compromete a

amortizar o empréstimo com prestações constantes, periódicas e imediatas.

Valor do empréstimo (D): corresponde ao valor de uma renda imediata.

Exemplo:

- Um empresário assume uma dívida de $ 200.000,00 para ser paga pelo Sistema

Francês de Amortização (SFA) em 4 prestações anuais, à taxa de 24% ao ano.

a) Encontre o valor da prestação.

b) Monte a planilha de amortização

Período (n) Prestação

(T)

Juro (J) Amortização

(A)

Saldo

Devedor (D)

0 200.000,00

1 83.195,00 48.000,00 35.195,00 164.805,00

2 83.195,00 39.793,00 43.402,00 121.403,00

3 83.195,00 29.137,00 54.058,00 67.345,00

4 83.508,00* 16.163,00 67.345,00 0

Total 333.093,00 133.093,00 200.000,00

n

nn

n

in

ii

i

DT

ii

iTDaTdívidadavalorD

1

111

11..)(

?

..24,0..%24

4

200000

T

aaaai

an

D

68,194.83404,2

200000

24,0124,0

124,01

200000

1

11

4

4

TT

ii

i

DT

n

n

39

*Feito acerto para zerar o saldo devedor (T=J + A).

Jn = ixDn-1 An = Tn – Jn Dn = Dn-1 - An

UNIDADE VIII – DEPRECIAÇÃO

OBJETIVO: Conceituar e estudar os diferentes métodos de depreciação.

CONTEÚDO: Depreciação Teórica

TIPOS DE DEPRECIAÇÃO:

1- Depreciação Física: ocorre pela ação do tempo ou pelo uso.

2- Depreciação Tecnológica: ocorre em função do avanço tecnológico.

MÉTODOS DE DEPRECIAÇÃO:

1- Método Linear.

2- Método da percentagem constante.

3- Método de Cole.

3- Método da unidade de Trabalho.

4- Método da unidade de Produção.

Método Linear: dividi-se em cotas iguais, durante a vida útil do bem, o Valor a

ser depreciado.

0 Rn

ID 0

R

n

RID

.,:

)(

cot

)(

estimadoútilvidasuadefinalaobemdorevendadevalorresidualvalorR

anosembemdoútilvidan

nanodoodepreciaçãdeaD

depreciadovalorbemnoinvestidovalorI

n

40

Exemplos:

1) Determinado empresário investiu, em sua empresa, $ 10.000,00 na compra de

um bem, cuja vida útil é de 5 anos e valor residual nulo. Calcular a cota anual de

depreciação, pelo método linear.

2) Depreciar em 4 anos, um bem que foi adquirido por $ 2.600,00, nos seguintes

casos:

a) Pelo método linear, sem valor residual.

b) Pelo método linear, com $ 200,00 de valor residual.

SINTESE

De forma simplificada, pode-se dizer que a Matemática Financeira é o

ramo da Matemática Aplicada que estuda o comportamento do dinheiro no

tempo. Ela desenvolveu-se simultaneamente com o sistema econômico

conhecido por “Economia de Mercado”. Dominá-la, por conseguinte, tornou-

se como que obrigatório, quer pelas implicações do trabalho a assalariado,

quer pelas operações de compra e venda, quer pelos investimentos de

capital, daí a sua importância. Sucesso a todos e um feliz aprendizado.

Anicio Bechara Aero.

0

5

00,000.10

R

an

D

I

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anoDn

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10000

.0,200$)0)

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00,000.24$

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n

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IDa /00,650$

4

2600)

anoDn

RIDb /00,600$

4

2400

4

2002600)

41

BIBLIOGRAFIA

ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas aplicações. 7. ed. São Paulo:

Atlas, 2002.

POSSIEDE JUNIOR, Olindo; JOUCOSKI, Emerson. O ensino da matemática financeira:

relato de uma experiência de aprendizagem. Disponível em:

<http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/362-

4.pdf?PHPSESSID=2009051509001987>. Acesso em: 4 dez. 2009.

VERAS, Lilia Ladeira. Matemática Financeira. 4ª ed. São Paulo: Atlas, 2001. VIEIRA SOBRINHO, J

MATHIAS, Washington F. GOMES, José M. Matemática Financeira. 2ª ed. São Paulo: Atlas, 1996.

PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada. 7ª Ed. São Paulo: Saraiva,

2006 osé Dutra. Matemática Financeira. 7ª ed. São Paulo: Atlas, 2006.