Programa: Estatística Orientador: Prof. Dr. Luiz Renato …cpg/teses/TeseGabrielRibeiroCruzPeixoto.pdf · 2.1 construÇÃo do processo k em Árvores de profundidade finita 5 Proposição

O Processo K em uma árvorede profundidade infinita

Gabriel Ribeiro da Cruz Peixoto

Tese apresentadaao

Instituto de Matemática e Estatísticada

Universidade de São Paulopara

obtenção do títulode

Doutor em Ciências

Programa: EstatísticaOrientador: Prof. Dr. Luiz Renato Gonçalves Fontes

Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu auxílio financeiro da CAPES e CNPq

São Paulo, outubro de 2014

O Processo K em uma árvorede profundidade infinita

Esta é a versão original da tese elaborada pelocandidato Gabriel Ribeiro da Cruz Peixoto, tal como

submetida à Comissão Julgadora.

Resumo

PEIXOTO, G. R. C O Processo K em uma árvore de profundidade infinita. 2014. 48 f. Tese(Doutorado) - Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2014.

Nesse trabalho introduzimos o Processo K em árvores de profundidade infinita. Estes são pro-cessos estocásticos em tempo contínuo que têm sNN˚

˚ como espaço de estados. O principal resultadodesse trabalho consiste em mostrar que, sob condições adequadas, o processo título pode ser obtidocomo limite de Processos K em árvores de profundidade finita, estudados em Fontes et al. [FGG13],quando a profundidade delas cresce para o infinito.

Palavras-chave: Processos K, Limites de processos, GREM.

i

ii

Abstract

PEIXOTO, G. R. C. The K-Process on a tree with infinite depth. 2014. 48 f. Tese (Douto-rado) - Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2014.

We introduce the K-Process on trees with infinite depth. These are stochastic processes in con-tinuous time, having state space sNN˚

˚ . As the main result from this thesis, we prove that, underadequate assumptions, the title process can be obtained as the limit of K-Process on trees withfinite depth, studied in Fontes et al. [FGG13], as the depth of the tree grows to infinity.

Keywords: K-Processes, Limits of Processes, GREM.

iii

iv

Sumário

1 Introdução 11.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Organização do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 O Processo K em uma árvore de profundidade finita 32.1 Construção do Processo K em árvores de profundidade finita . . . . . . . . . . . . . . 3

3 Relógios Limite 133.1 Limites do meio aleatório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2 Relógios modificados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3 Trivialidade dos Relógios Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4 O Processo K em uma Árvore de Profundidade Infinita 274.1 Definição do Processo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2 Convergência dos Relógios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.3 Propriedades do Processo K em uma árvore de profundidade infinita . . . . . . . . . 334.4 Convergência do Processo K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.5 Medida Empírica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5 Conclusões 45

v

vi SUMÁRIO

Capítulo 1

Introdução

Modelos de armadilhas foram introduzidos como um modelo caricatura, usada para tentar en-tender o comportamento a longo prazo de dinâmicas de vidros de spin em baixa temperatura,particularmente o Random Energy Model (REM) e Generalized Random Energy Model (GREM)[Bou92; BD95].

Esses modelos de armadilha normalmente são passeios aleatórios simples em tempo contínuo,com a particularidade de que o tempo médio que o processo passa em cada estado também éaleatório, escolhido a partir de uma distribuição com cauda pesada. Escolhas usuais para essasdistribuições, advindas dos vidros de spin, são leis na bacia de atração de uma distribuição α-estável, com α P p0, 1q. Estas são distribuições com primeiro momento infinito.

Processos K são encontrados como limites de escala desses modelos de armadilhas, numa escalade tempo que permita a visita às armadilhas mais profundas. Eles foram introduzidos por Fontes eMathieu [FM08], como um limite de escala do modelo de armadilhas em um grafo completo, modeloeste que é relacionado ao REM. Os autores também o relacionaram ao exemplo K1 de Kolmogorov[Kol51], de onde o nome Processo K se originou.

Fontes e Lima [FL09] mostraram a convergência da Random Hopping Times dynamics do REMno hipercubo para o Processo K.

Bezerra et al. [Bez+12] introduziram e estudaram o Processo K com pesos como um limitede escalas de modelos de armadilha assimétricos em grafos completos. Fontes e Peixoto [FP13]estudaram esse modelo mais a fundo, descrevendo seu gerador, entre outros resultados [veja tambémPei11].

Jara et al. [JLT12] provaram que Processos K com pesos podem ser obtidos como limites deescala em uma classe grande de grafos, incluindo o hipercubo, o Toro, grafos d-regulares aleatóriose a maior componente conexa do grafo de Erdös-Renyi.

Um tipo particular de modelo de armadilha, relacionado ao GREM e introduzido por Sasakie Nemoto [SN00] foi considerado em Fontes et al. [FGG13]. Neste artigo os autores introduziramum novo tipo de Processo K, que chamaremos de Processo K numa árvore de profundidade finita,e mostraram que ele pode ser obtido como limite de escala desses modelos de armadilha. [vejatambém Gav11]

1

2 INTRODUÇÃO 1.2

1.1 Objetivos

Nesta tese iremos introduzir o Processo K numa árvore com profundidade infinita e provar que,sob condições adequadas, ele é o limite de Processos K em árvores de profundidade finita, quandoa profundidade delas cresce para o infinito.

1.2 Organização do Trabalho

O Capítulo 2 descreve uma construção do Processo K em profundidade finita, que é uma adapta-ção da construção empregada em [FGG13]. Também provamos algumas propriedades básicas desseprocesso que serão úteis para o desenvolver dos nossos resultados.

O Capítulo 3 constrói os relógios limite, processos estocásticos auxiliares que serão fundamentaisna construção do Processo K em uma árvore de profundidade infinita.

Finalmente no Capítulo 4 iremos definir o processo do título, provando algumas de suas pro-priedades básicas e culminando no Teorema 4.15, que dá condições para que os Processos K emárvores de profundidade finita convirjam para o processo em árvores de profundidade infinita.

Capítulo 2

O Processo K em uma árvore deprofundidade finita

Nesse capítulo vamos apresentar o Processo K em uma árvore de profundidade finita, introduzidopor Fontes et al. [FGG13]. Muitos dos elementos dessa construção serão usados quando definirmoso Processo K em árvores de profundidade infinita.

Todos os resultados desse capítulo foram retirados de Fontes et al. [FGG13] e Gava [Gav11]e adaptados quando necessário. O objetivo desse capítulo é contextualizar o leitor, bem comoestabelecer notações e definições sobre as quais vamos basear nossos resultados.

2.1 Construção do Processo K em árvores de profundidade finita

O espaço de estados de um Processo K em uma árvore de profundidade k é sNk˚, onde N˚ “t1, 2, . . .u e sN˚ “ N˚ Y t8u. Aqui trataremos 8 como um símbolo novo a ser adicionado aosnúmeros naturais. Esse símbolo terá uma interpretação natural como infinito quando munirmosesse espaço de uma topologia, que será uma compactificação dos números naturais.

Vamos denotar elementos desse espaço por x|k “ px1, . . . , xkq. Para simplificar a notação, iremosfrequentemente escrever x|k “ x1x2 . . . xk. Iremos ainda usar a notação x|ky para representar aconcatenação de x|k com y, isso é, x|ky “ px1, . . . , xk, yq P Nk`1

˚ .Será útil considerar os elementos de sNk˚ como as folhas de uma árvore de profundidade k. Tal

árvore temH como raiz e um nó xjy é filho de xj . Essa é a árvore no título do processo, representadana Figura 2.1.

H

¨ ¨ ¨2

¨ ¨ ¨22

¨ ¨ ¨222221

21

¨ ¨ ¨212211

1

¨ ¨ ¨12

¨ ¨ ¨122121

11

¨ ¨ ¨112111

Figura 2.1: Representação do espaço de estados por uma árvore

Os parâmetros do processo serão uma sequência 0 ă α1 ă . . . ă αk ă . . . ă 1 de números reais,

3

4 O PROCESSO K EM UMA ÁRVORE DE PROFUNDIDADE FINITA 2.1

tais que αk Ñ 1 quando k Ñ8.Construiremos o processo num espaço de probabilidade que admita as seguintes famílias de

variáveis aleatórias independentes:

• tγkpx|kq : x|k P Nk˚, k P Nu: onde γkpx|k´11q ą γkpx|k´12q ą . . . ą 0 são a estatística de ordemdas marcas de um Processo Pontual de Poisson em R` com medida intensidade µk:

µkpdtq :“ck

t1`αk, t ą 0, ck :“

αk

Γ´

1´ αkαk`1

¯ , (2.1)

Γ é a função Gama tradicional. Essa escolha para as constantes ck foi feita para garantirresultados de convergência. Esses processos são tomados de forma independente;

• tT k,xi : i, k, x P N˚u: uma família de variáveis aleatórias independentes e identicamente distri-buídas (i.i.d.), cada uma com distribuição exponencial de taxa 1;

• tNk,x : k, x P N˚u: uma família de Processos de Poisson independentes, cada um com taxa 1.As marcas de Nk,x serão indicadas por 0 ă σk,x1 ă σk,x2 ă . . ..

Definição 2.1. Vamos nos referir à família tγkpx|kq : x|k P Nk˚, k P Nu como o meio aleatório ondeo Processo K está inserido.

Proposição 2.1. Seja tγi : i P Nu as marcas de um Processo Pontual de Poisson em R` commedida intensidate µpdtq “ c{t1`α, com t ą 0, α P p0, 1q e c ą 0. Sejam tXi : i P Nu uma famíliade variáveis aleatórias i.i.d., positivas e tomadas de maneira independente do Processo de Poisson,tais que EpXα

1 q ă 8.Nessas condições tγiXi : i P Nu é um Processo Pontual de Poisson com medida intensidade

EpXα1 qµ.

Demonstração. Tome S :“ tpγi, Xiq : i P Nu e note que S corresponde às marcas de um ProcessoPontual de Poisson no primeiro quadrante de R2, com medida intensidade π “ µ ˆ ν, onde ν é amedida de probabilidade associada à X1.

Como T px, yq “ xy é uma transformação contínua sem pontos de acumulação fora da origem,segue que tT psq : s P Su “ tγiXi : i P Nu é um Processo Pontual de Poisson [veja Kin93, MappingTheorem, seção 2.3]. Para calcular sua medida intensidade, tome 0 ă a ă b ă 8 e perceba que:

π`

px, yq P R2` : T px, yq P pa, bq

(˘

“

ż 8

0µ ptx P R` : xy P pa, bquq νpdyq

“

ż 8

0

ż b{y

a{y

c

x1`αdxνpdyq

“

ż 8

0c

ˆ

yα

aαýα

bα

˙

νpdyq

“ c

ˆ

1

aα´

1

bα

˙ż 8

0yανpdyq

“ µpa, bqE rXα1 s .

2.1 CONSTRUÇÃO DO PROCESSO K EM ÁRVORES DE PROFUNDIDADE FINITA 5

Proposição 2.2. Se X é uma variável aleatória positiva, com transformada de Laplace φpλq :“

Epe´λXq. Então para todo β P p0, 1q:

EpXβq “ ´1

Γp1´ βq

ż 8

0φ1pλqλ´βdλ (2.2)

Demonstração. Um resultado clássico nos diz que φ1pλq “ ÉrXe´λXs. Podemos verificar esseresultado calculando explicitamente a derivada de φ:

φ1pλq “ limhÑ0

φpλ` hq ´ φpλq

h

“ limhÑ0

E„

e´λXe´hX ´ 1

h

.

O valor absoluto da variável dentro da esperança pode ser limitado por Xe´λX ď e´1

λ . Dessaforma, aplicando o Teorema da Convergência Dominada, concluímos que:

φ1pλq “ E”

´Xe´λXı

Agora vamos calcular a integral em (2.2). Como o termo integrado é sempre positivo entãopodemos aplicar o Teorema de Fubini para trocar a ordem da integral e da esperança. Depoispodemos fazer uma mudança de variáveis v “ λX, obtendo:

´

ż 8

0φ1pλqλ´βdλ “

ż 8

0E”

Xe´λXı

λ´βdλ

“ E„ż 8

0Xe´λXλ´βdλ

“ E„

Xβ

ż 8

0e´vv´βdv

“ E”

Xβı

Γp1´ βq

Proposição 2.3. Se X é uma variável aleatória positiva, com transformada de Laplace φpλq :“

ećλα, para algum c ą 0 e α P p0, 1q. Então para 0 ă β ă α:

EpXβq “ cβ{αΓ p1´ β{αq

Γp1´ βq

Demonstração. Aplicando a Proposição 2.2, obtemos que:

EpXβq “ ´1

Γp1´ βq

ż 8

0φ1pλqλ´βdλ

“1

Γp1´ βq

ż 8

0cαλα´1ećλ

αλ´βdλ

“1

Γp1´ βq

ż 8

0e´v

´v

c

¯´βαdv

“ cβ{αΓ p1´ β{αq

Γp1´ βq

Definição 2.2. Para k, n P N˚ fixados, k ď n, e x|k P sNk˚ vamos denotar por cilindros baseados em


x|k como:

rx|ksn :“ ty|n P Nn˚ : y|k “ x|ku ,

Ęrx|ksn :“

y|n P sNn˚ : y|k “ x|k(

.

Proposição 2.4. Nossa escolha para tγkpx|kq : k P N˚, x|k P Nk˚u satisfaz quase certamente:

ÿ

x|kPNk˚

sγkpx|kq ă 8, sγkpx|kq :“kź

j“1

γjpx|jq. (2.3)

Além disso, para todo 0 ď j ă k e x|j fixados, podemos calcular a seguinte transformada de Laplace:

E

»

–exp

$

&

%

´λÿ

y|kPrx|js

sγkpy|kq

sγjpx|jq

,

.

-

fi

fl “ exp

$

’

&

’

%

´

»

–

Γp1´ αkq

Γ´

1´ αkαk`1

¯

fi

fl

αj`1{αk

λαj`1

,

/

.

/

-

. (2.4)

Demonstração. Podemos identificar (2.4) como a transformada de Laplace de uma distribuiçãoestável com índice de estabilidade αj`1. Essa variável é portanto finita quase certamente.

Vamos provar (2.4) por indução em j. A base é o caso j “ k´1. Usando o Teorema de Campbell,encontrado, por exemplo, na Seção 3.2 de Kingman [Kin93], podemos calcular:

E

«

exp

#

´λÿ

xkPN˚

γkpx|kq

+ff

“ exp

"

´

ż 8

0p1´ e´λtqµkpdtq

*

“ λαkΓp1´ αkq

Γp1´ αk{αk`1q.

Isso conclui o caso j “ k ´ 1. Para o passo da indução, podemos usar novamente o Teorema deCampbell, junto com as Proposições 2.1 e 2.3, para calcular:

E

»

–exp

$

&

%

´λÿ

y|kPrx|jsk

sγkpy|kq

sγjpy|jq

,

.

-

fi

fl “ E

»

–exp

$

&

%

´λÿ

xj`1

γj`1px|j`1qÿ

y|kPrx|j`1sk

sγkpy|kq

sγjpy|j`1q

,

.

-

fi

fl

“ exp

$

&

%

´

ż 8

0p1´ e´λtqE

»

–

¨

˝

ÿ

y|kPrx|j`1sk

sγkpy|kq

sγjpy|j`1q

˛

‚

αj`1fi

flµj`1pdtq

,

.

-

“ exp

$

’

&

’

%

´

»

–

Γp1´ αkq

Γ´

1´ αkαk`1

¯

fi

fl

αj`1{αk

λαj`1

,

/

.

/

-

.

Observação 2.5. A construção que vamos apresentar para o Processo K em árvores de profun-didade finita faz sentido mesmo quando fazemos uma escolha diferente para tγkpx|kqu, seja essaescolha aleatória ou determinística. Só precisaremos que essa família satisfaça (2.3).

Iremos construir o Processo K e um processo auxiliar, chamado Processo Relógio, simultanea-mente de maneira recursiva. Suponha X0 ” H e defina para t ě 0 e k “ 1, 2, . . .:

Ξkptq :“ÿ

xPN˚

Nk,xptqÿ

i“1

γkpXk´1pσk,xi qxqT k,xi (2.5a)


Xkptq :“

$

&

%

pXk´1pΞk´1ptqq, xq if t P

Ť8i“1

”

Ξkpσk,xi ´q,Ξkpσ

k,xi q

¯

pXk´1pΞk´1ptqq,8q caso contrário,

(2.5b)

onde Ξk´1ptq “ inftr ě 0 : Ξjprq ą tu é a inversa generalizada de Ξk.

Definição 2.3. Xk é o Processo K em uma árvore de profundidade k. Os processos Ξk serãochamados de Processos Relógio.

Observação 2.6. Os Processos relógios são usualmente denotados na literatura pela letra gregagama (Γ). Nós optamos por mudar essa convenção para evitar que estes sejam confundidos com afunção Gama, Γpαq “

ş8

0 e´xxα´1dx.

Definição 2.4. Para k ď n, definimos o relógio composto como:

θnk :“ Ξn ˝ Ξn´1 ˝ ¨ ¨ ¨ ˝ Ξk. (2.6)

Por conveniência, também iremos nos referir a esses processos como relógios.

Proposição 2.7. Para cada k P N˚, t ě 0, Ξkptq é quase certamente finito. Além disso, Ξk é quasecertamente uma função escada, contínua a direita e estritamente crescente e limtÑ8 Ξkptq “ 8.

Demonstração. Vamos provar apenas que Ξkptq é finito q.c. , as demais afirmações dessa proposiçãopodem ser obtidas diretamente da construção.

Para isso vamos mostrar que, para quase toda realização fixada do meio aleatório, vale que:

E´

θk1ptq¯

“ tÿ

x|kPNk˚

sγkpx|kq. (2.7)

Provaremos isso por indução em k. O caso k “ 1 pode ser verificado diretamente utilizando oteorema de Fubini.

Para k ą 1, observe que θk2 , dentro de um intervalo rΞ1pσk,x1i ´q,Ξ1pσ

k,x1i qq, se comporta exata-

mente como θk´11 para o valor fixado de x1. Dessa forma, se F1 é a σ-álgebra gerada pelas variáveis

usadas na construção no primeiro nível, usando a hipótese de indução, a independência das va-riáveis usadas na construção e o fato de processos de poisson terem incrementos independentes eestacionários, podemos escrever:

E´

θk1ptq¯

“ E”

E´

θk2pΞ1ptqqˇ

ˇ

ˇF1

¯ı

“ E

»

–

ÿ

x1

Ξ1ptqÿ

y|kPrx|1sk

sγkpy|kq

sγ1px|1q

fi

fl

“ tÿ

x|k

sγkpx|kq

Proposição 2.8. A medida de Lebesgue da imagem de Ξk vale zero quase certamente para todo k.

Demonstração. Ξk é uma função escada, isso é, existe um conjunto S Ď R` enumerável e umafunção π : S Ñ p0,8q tal que para todo t ě 0:

Ξkptq “ÿ

sPS,sďt

πpsq.


SejaRptq :“ tΞkpsq : s ď tu. Como Ξk é estritamente crescente, isso é, S é denso em p0,8q, entãopΞkps´q,Ξkpsqq XRptq “ H para todo t ą 0 e s P S. O intervalo pΞps´q,Ξpsqq tem comprimentoπpsq.

Logo, sendo l a medida de Lebesgue, temos que:

lpRptqq “ Ξkptq ´ÿ

sPS,sďt

πpsq “ 0.

Se tomarmos ptnq uma sequência crescente de números reais tais que tn Ñ 8 quanto n Ñ 8,então a imagem de Ξk é dada pela união de lpRptnqq. Como essa é uma união enumerável deconjuntos que têm medida de Lebesgue zero, concluímos que a imagem de Ξk também tem medidade Lebesgue zero.

Lema 2.9. Seja f : R Ñ R uma função monótona não decrescente, tome f´1ptq :“ inftr ě 0 :

fprq ą tu sua inversa generalizada, 0 ă a ă b ă 8 e t ě 0 números reais tais que f seja contínuaem a e b. Nessas condições:

f´1ptq P ra, bq ô t P rfpaq, fpbqq

Demonstração. Defina At “ tr ě 0 : fprq ą tu.Primeiro suponha que t ă fpbq. Como f é contínua em b então existe um ε ą 0 tal que

fpb´ εq ą t. Portanto b´ ε P At ñ b´ ε ě inf At “ f´1ptq. Portanto b ą f´1ptq.Agora suponha que f´1ptq ă b ñ inf At ă b. Como f é não decrescente, isso implica que

b P At ñ fpbq ą t.Com isso mostramos que, para todo b ponto de continuidade de f , t ă fpbq se e somente se

f´1ptq ă b.Como a também é um ponto de continuidade de f , podemos tomar a negação das duas afirma-

ções, substituindo b por a e obteremos que t ě fpaq se e somente se f´1ptq ě a, o que completa aprova.

Proposição 2.10. Para todo t ě 0, i, j, k, x P N˚, j ď k, vale que θkj ptq, θkj pσ

j,xi ´q e θ

kj pσ

j,xi q têm

distribuições absolutamente contínuas em relação à medida de Lebesgue.

Demonstração. Primeiramente vamos mostrar que θkj ptq tem distribuição absolutamente contínuacom relação à medida de Lebesgue.

Podemos escrever θkj ptq como:θkj ptq “

ÿ

i

γ̃iT̃i,

onde as famílias tγ̃iu e tT̃iu são independentes entre si e tTiu são variáveis i.i.d., exponenciais demédia 1. Fazemos isso enumerando as marcas tσk,xi : σk,xi ď θk´1

j ptqu referentes à Ξk e tomando osvalores de γkpx|kq e T

k,xi correspondentes.

Dessa forma, como cada T̃i têm uma distribuição contínua com relação à medida de Lebesgue,concluímos que θkj ptq também têm.

Agora perceba que tanto θkj pσk,xi ´q quanto θkj pσ

k,xi q são obtidas por uma mistura da família

tθkj ptq : t ě 0u. Portanto elas também têm distribuição absolutamente contínua em relação àmedida de Lebesgue.


Proposição 2.11. Se Xk,j é a j-ésima coordenada de Xk, j ď k, então

Xk,jptq “

$

&

%

x se t PŤ8i“1rθ

kj pσ

j,xi ´q, θ

kj pσ

j,xi qq

8 caso contrário.(2.8)

Demonstração. Se j “ k, essa propriedade é obtida diretamente da construção. Dessa maneira ocaso k “ 1 está coberto. Vamos supor daqui para frente que j ă k.

Como hipótese de indução, suponha que (2.8) vale para k ´ 1 e mostra-la para k. Observandoa construção do processo em (2.5b), notamos que, para j ă k:

Xk,jptq “ Xk´1,jpΞ´1k ptqq.

Portanto a hipótese de indução nos diz queXk,jptq “ x se e somente se Ξ´1k ptq P rθ

k´1j pσj,xi ´q, θ

k´1j pσj,xi qq

para algum i P N˚.A Proposição 2.10 nos diz que os dois extremos desse intervalo têm distribuição absolutamente

contínua em relação à medida de Lebesgue. Dessa forma, quase certamente, não há um “empate”entre esses pontos e o conjunto tσk,yi : i, y P N˚u, que são os pontos de descontinuidade de Ξk.

Portanto podemos aplicar o Lema 2.9 para concluir (2.8).

Proposição 2.12. Para todo j ď k, o conjunto dos pontos de descontinuidade de θkj é dado q.c.por tσj,xi : i, x P N˚u.

Demonstração. Se j “ k, então esse é um resultado direto da construção. Assim vamos supor quej ă k.

Por construção, o conjunto dos pontos de descontinuidade de θkj é dado por:

tσj,xi : i, x P N˚u Y ts ě 0 : θljpsq “ σl`1,xi para algum i, x P N˚, j ď l ă ku.

Porém o segundo conjunto dessa expressão é vazio q.c. . Isso porque a Proposição 2.10 noz diz quea medida de Lebesgue da imagem de θlj vale zero q.c. . Dessa forma cada σl`1,x

i tem probabilidadezero de pertencer à essa imagem. Como temos uma quantidade enumerável de σl`1,x

i , então segueque a interseção desses conjuntos é vazia q.c. .

Proposição 2.13. Para todo j ď k ă n:

Xk,jptq “ Xn,j ˝ θnk`1ptq

Demonstração. Fixemos um x P N˚ e vamos mostrar queXk,jptq “ x se e somente seXn,jpθnk`1ptqq “


x. Como θnk`1 é estritamente crescente, podemos aplicar a Proposição 2.11 para obter que:

Xn,jpθnk`1ptqq “ x

ô θnk`1ptq P8ď

i“1

”

θnj pσj,xi ´q, θ

nj pσ

j,xi q

¯

ô θnk`1ptq P8ď

i“1

”

θnk`1pθkj pσ

j,xi ´qq, θ

nk`1pθ

kj pσ

j,xi qq

¯

ô t P8ď

i“1

”

θkj pσj,xi ´q, θ

kj pσ

j,xi q

¯

ô Xk,jptq “ x

Proposição 2.14. Para todo j ă k, a imagem de θkj é o conjunto tt ě 0 : Xk,jptq “ 8u q.c. .

Demonstração. Em vez de mostrar que a imagem de θkj é igual ao conjunto tt ě 0 : Xk,jptq “ 8u,vamos mostrar que os complementares dos dois conjuntos são iguais.

Primeiramente tome t seja tal que Xk,jptq “ x ă 8. Pela Proposição 2.11 temos que existei P N˚ tal que t P rθkj pσ

j,xi ´q, θ

kj pσ

j,xi qq. Como θkj é q.c. estritamente crescente, isso implica que t

não pertence à imagem de θkj .Agora suponha que t não pertença à imagem de θkj . Como θkj é estritamente crescente e

limrÑ8 θkj prq “ 8 q.c. então existe q.c. um s tal que t P rθkj ps´q, θ

kj psqq.

Como s é um ponto de descontinuidade de θkj , a Proposição 2.12 nos diz que s “ σj,xi paraalgum i, x P N˚, então teremos, pela Proposição 2.11, que Xk,jptq “ x ă 8.

Proposição 2.15. Quase certamente, para qualquer j ď k, vale que Xk,j assume um valor finito econstante em qualquer intervalo rΞkpσ

k,xi ´q,Ξkpσ

k,xi qq.

Demonstração. O caso j “ k é obtido diretamente da construção, dessa forma vamos supor quej ă k.

Note que, se t P rΞkpσk,xi ´q,Ξkpσ

k,xi qq, então Ξ´1

k ptq “ σk,xi . Como, pela construção em (2.5b),Xk,jptq “ Xk´1,jpΞ

´1k ptqq “ Xk´1,jpσ

k,xi q, então Xk,j é constante nesse intervalo. Resta mostrar que

esse valor também é finito.Por absurdo suponha que Xk,jptq “ 8. A Proposição 2.14 nos diz que t pertence à imagem de

θkj . Como θkj “ Ξk ˝ θk´1j então a imagem de θkj está contida na imagem de Ξk. Dessa forma existe

um s tal que Ξkpsq “ t. Porém isso contradiz a nossa escolha de t P rΞkpσk,xi ´q,Ξkpσ

k,xi qq.

Proposição 2.16. Para todo k, o conjunto tt ě 0 : PpXkptq R Nk˚q ą 0u tem medida de Lebesguenula.

Demonstração. Para j ď k, a Proposição 2.14 nos diz que o conjunto tt ě 0 : Xk,jptq “ 8u é q.c.a imagem de θkj . Como esses relógios são definidos por composição, temos que:

θk1pR`q Ď θk2pR`q Ď . . . Ď θkkpR`q.

Portanto PpXkptq R Nk˚q “ Ppt P ΞkpR`qq. A Proposição 2.8 nos diz que a essa imagem tem


medida de Lebesgue nula quase certamente. Dessa forma, usando o Teorema de Fubini obtemos:

ż 8

0PpXkptq R Nk˚qdt “

ż 8

0Ppt P ΞkpR`qqdt “ E

„ż 8

0I

t P ΞkpR`q(

dt

“ 0.

Proposição 2.17. Se tγkpx|kq : k P N˚, x|k P Nk˚u são fixados, então θn1 é um subordinador paracada n P N˚. Além disso:

E rθn1 ptqs “ tÿ

x|n

γnpx|nq

Demonstração. O valor esperado foi calculado na prova da Proposição 2.7. Vamos provar que θn1 éum subordinador, isso é, um processo estocástico com incrementos estacionários e independentes.O caso n “ 1 é uma consequência direta da independência e estacionariedade dos incrementos deum Processo de Poisson e o fato que as variáveis exponenciais usadas para construir θ1

1 “ Ξ1 sãoindependentes.

Tomando n ě 2, note que para t, s ą 0:

θn1 pt` sq ´ θn1 ptq “

ÿ

x

Nn,xpθn´11 pt`sqqÿ

i“Nn,xpθn´11 ptqq`1

γnpXn´1pσn,xi qxqTn,xi

Fixe 0 “ t0 ă t1 ă . . . ă tk e vamos olhar para a distribuição conjunta de pθn1 ptiq´θn1 pti´1qqi“1,...,k.Variando os valor de i, notamos que θn1 ptiq ´ θn1 pti´1q i, dependem de intervalos disjuntos dos

Processos de Poisson Nn,x. Cada um com comprimento θn´11 ptiq ´ θn´1

1 pti´1q. Pela hipótese deindução esses comprimentos são independentes e cada um tem a mesma lei que θn´1

1 pti ´ ti´1q.A Proposição 2.14 nos diz que, para todo t ą 0, Xn´1pθ

n´11 ptqq “ p8, . . . ,8q q.c. . Este instante

θn´11 ptq é um tempo de renovação, isso é, o que acontece antes dessa renovação é independente doque acontece depois. Além disso, por construção, a lei de Xn´1 logo após uma renovação é a mesmaque a lei logo após o instante zero.

θn1 ptiq´θn1 pti´1q também depende dos valores de Xn´1prq para r P pθn´1

1 pti´1q, θn´11 ptiqq. Ambos

os extremos desses intervalos são renovações, então o que acontece à Xn´1 dentro de um dessesintervalos é independente do que acontece em outros intervalos.

Portanto mostramos que θn1 ptiq ´ θn1 pti´1q depende de quantidades que são independentes ecujas leis não dependem do início do intervalo (ti´1), mas somente do seu comprimento (ti ´ ti´1).Portanto θn1 tem incrementos independentes e estacionários.


Capítulo 3

Relógios Limite

Nesse capítulo vamos construir processos estocásticos θ8k , que serão limites, em algum sentido,dos processos θnk quando n Ñ 8. Esse resultado será melhor especificado e provado no Teorema4.5.

Esses processos permitirão, em analogia à Proposição 2.11, definir o Processo K em uma árvorede profundidade infinita.

3.1 Limites do meio aleatório

Proposição 3.1. Para cada x|k P Nk˚, o seguinte limite existe quase certamente:

W px|kq :“ limnÑ8

ÿ

y|nPrx|ksn

ˆ

sγnpy|nq

sγkpy|kq

˙αn`1

. (3.1)

Além disso, W px|kq tem uma distribuição αk`1-estável, com transformada de Laplace dada por:

E”

e´λW px|kqı

“ expt´λαk`1u. (3.2)

Demonstração. Sem perda de generalidade, vamos tomar k “ 0 e definir as variáveis aleatóriasZnpλq, para λ ą 0:

Znpλq :“ exp

$

&

%

´ÿ

y|nPrx|ksn

pλsγnpy|nqqαn`1

,

.

-

.

Vamos mostrar que essa sequência de variáveis aleatórias, para cada λ ą 0 fixado, formam ummartingal com relação à uma filtração pFnq, onde Fn é a σ-algebra gerada por todos os ProcessosPontuais de Poisson tγjpx|jq : j ď n, x|j P Nj˚u. Isso será feito novamente com o Teorema deCampbell:

13

14 RELÓGIOS LIMITE 3.1

E pZn`1pλq|Fnq “ E

»

–exp

$

&

%

´ÿ

y|n`1

pλsγn`1py|n`1qqαn`2

,

.

-

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

Fn

fi

fl

“ź

y|n

E

«

exp

#

´pλsγnpy|nqqαn`2

ÿ

yn`1

γn`1py|n`1qαn`2

+ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

Fn

ff

“ź

y|n

exp

"

´

ż 8

0p1´ e´pλsγnpy|nqq

αn`2 tαn`2qµn`1pdtq

*

“ź

y|n

exp t´ pλsγnpy|nqqαn`1u

“ exp

$

&

%

´ÿ

y|n

pλsγnpy|nqqαn`1

,

.

-

“ Znpλq

Já que pZnp1qqn é um martingal positivo, podemos aplicar um teorema de convergência demartingais – por exemplo, Teorema 5.2.9 de Durrett [Dur10] – para concluir que Znp1q convergeq.c. . Como Znp1q converge, então o seu expoente deve convergir também.

A segunda afirmação dessa proposição pode ser obtida ao calcular explicitamente a tranformadade Laplace de W px|kq:

E

»

–exp

$

&

%

´λÿ

y|n

sγnpy|nqαn`1

,

.

-

fi

fl “ E”

Znpλ1{αn`1q

ı

(3.3)

“ E”

Z1pλ1{αn`1q

ı

“ expt´λα1{αn`1unÑ8ÝÝÝÑ expt´λα1u.

Proposição 3.2. A família de variáveis aleatórias tW px|kq : x|k PŤ8j“0 N

j˚u satisfaz uma lei de

composição. Para cada x|k P Nk˚ fixado vale que q.c. :

W px|kq “ÿ

xk`1

γk`1px|k`1qW px|k`1q (3.4)

Demonstração. Fixe uma realização tal que (3.1) seja verdade para todo x|k P Y8j“1Nj˚ e fixe um

ε ą 0 arbitrário, então:

W px|kq “ limnÑ8

ÿ

y|nPrx|ksn

ˆ

sγnpy|nq

sγkpx|kq

˙αn`1

“ limnÑ8

ÿ

xk`1

pγk`1px|k`1qqαn`1

ÿ

ynPrx|k`1sn

ˆ

sγnpy|nq

sγk`1px|k`1q

˙αn`1

“ limnÑ8

ÿ

xk`1:γk`1px|k`1qąε

pγk`1px|k`1qqαn`1

ÿ

ynPrx|k`1sn

ˆ

sγnpy|nq

sγk`1px|k`1q

˙αn`1

(3.5)

` limnÑ8

ÿ

xk`1:γk`1px|k`1qďε

pγk`1px|k`1qqαn`1

ÿ

ynPrx|k`1sn

ˆ

sγnpy|nq

sγk`1px|k`1q

˙αn`1

(3.6)

3.2 RELÓGIOS MODIFICADOS 15

Vamos tratar esses dois termos separadamente e mostrar que os seus respectivos limites existemem probabilidade. Em (3.5), já que a soma exterior é finita e αn Ñ 1 quando nÑ8, então:

(3.5) “ÿ


γk`1px|k`1q limnÑ8

ÿ

ynPrx|k`1sn

ˆ

sγnpy|nq

sγkpx|k`1q

˙αn`1

“ÿ


γk`1px|k`1qW px|k`1qεÑ0ÝÝÑ

ÿ

xk`1

γk`1px|k`1qW px|k`1q

Tome Gx|k a σ-álgebra gerada pelos Processos Pontuais de Poisson tγk`1px|k`1q : xk`1 P N˚u.Usando (3.3), podemos calcular a transformada de Laplace de (3.6) como:

E

»

—

—

–

exp

$

’

’

&

’

’

%

´λÿ


pγk`1px|k`1qqαn`1

ÿ

ynPrx|k`1sn

ˆ

sγnpy|nq

sγk`1px|k`1q

˙αn`1

,

/

/

.

/

/

-

fi

ffi

ffi

fl

“ E

»

—

—

–

ź


E

»

–exp

$

&

%

´λpγk`1px|k`1qqαn`1

ÿ

ynPrx|k`1sn

ˆ

sγnpy|nq

sγk`1px|k`1q

˙αn`1

,

.

-

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

Gx|k

fi

fl

fi

ffi

ffi

fl

“ E

»

—

—

–

ź


exp

"

´pλpγk`1px|k`1qqαn`1q

αk`2αn`1

*

fi

ffi

ffi

fl

nÑ8ÝÝÝÑ E

»

—

—

–

exp

$

’

’

&

’

’

%

´λαk`2ÿ


pγk`1px|k`1qqαk`2

,

/

/

.

/

/

-

fi

ffi

ffi

fl

“ exp

"

´

ż ε

0

´

1´ e´λαk`2xαk`2

¯

µk`1pdxq

*

εÑ0ÝÝÑ 1

Usamos o Teorema de Campbell para a última passagem. Com esse resultado obtemos que (3.6)converge em probabilidade para 0 quando εÑ 0.

Finalmente, note que mostramos que (3.5) ` (3.6) converge em probabilidade tanto paraW px|kqquanto para

ř

xk`1γk`1px|k`1qW px|k`1q quando εÑ 0. Isso implica que estas duas últimas quan-

tidades são iguais quase certamente.

3.2 Relógios modificados

Nosso objetivo nessa seção é definir e provar a existência dos processos θ8k . Provaremos nopróximo capítulo que esses processos são o limite dos processos θnk quando n Ñ 8. Eles serãousados para definir o Processo K em uma árvore de profundidade infinita.

Com esse objetivo em mente, vamos introduzir uma perturbação nos relógios θnk utilizando asvariáveisW px|kq introduzidas na Seção 3.1. Iremos provar no próximo capítulo que essa perturbaçãonão afeta o limite.


θnk`1

(a) Uma realização de θnk`1

θnx|k

(b) Construindo θnx|k a partir de θnk`1

Figura 3.1: Construção de θnx|k

Definição 3.1. Definimos os relógios ajustados como:

rΞjptq :“ÿ

xPN˚

Nj,xptqÿ

i“1

W pXj´1pσj,xi qxqγjpXj´1pσ

j,xi qxqT

ji (3.7)

rθnk :“ rΞn ˝ Ξn´1 ˝ ¨ ¨ ¨ ˝ Ξk.

Também representamos o tempo que o Processo K em uma árvore de profundidade k, Xk, passa emum estado x|k até o instante t por Lkpx|k, tq, isso é:

Lkpx|k, tq “

ż t

0ItXkpsq “ x|kuds. (3.8)

Se fixarmos o meio aleatório tγkpx|kq : k P N˚, x|k P Nk˚u, então θn1 é um subordinador (Propo-sição 2.17). Porém θnk , com k ą 1, não é. Isso cria várias complicações técnicas. Para contorna-lasiremos quebrar θnk em uma soma de funções que são subordinadores.

Definição 3.2. Para n ą k ě 1 fixados, denote por νnk`1 a única medida aleatória nos borelianosde r0,8q que satisfaz νnk`1pr0, tsq “ θnk`1ptq. Para um x|k P Nk˚ fixado, definimos:

θnx|kptq :“ νnk`1 pts P r0,8q : Lkpx|k, sq ď t, Xkpsq “ x|kuq .

A Figura 3.1 ilustra essa definição. Os intervalos marcados na abscissa da Figura 3.1a são aquelesonde Xk “ x|k.

Proposição 3.3. A lei de θnx|k é a mesma que a lei de θn´k1 , com os índices dos α transladados.

Isso é, θnx|k têm a mesma lei que pθn´k`11 , onde este último processo é construído da mesma forma

que θn´k1 , porém tomando ppαiqi como parâmetros, onde pαi “ αi`k para i “ 1, 2, . . ..Vale ainda que os processos θnx|k são independentes para um n fixado e variando x|k. Além disso


a seguinte igualdade é verdade quase certamente:

θnk`1ptq “ÿ

x|k

θnx|kpLkpx|k, tqq

Demonstração. Tomemos νnk`1 como na Definição 3.2, como uma medida é σ-aditiva, é verdadeque:

ÿ

x|k

θnx|k pLkpx|k, tqq “ÿ

x|k

νnk`1 pts P r0,8q : Lkpx|k, sq ď Lkpx|k, tq, Xkpsq “ x|kuq

“ÿ

x|k

νnk`1 pts P r0, ts : Xkpsq “ x|kuq

“ νnk`1

´!

s P r0, ts : Xkpsq P Nk˚)¯

(3.9)

Por construção, θnk`1 é uma função escada e seus incrementos ocorrem q.c. no conjunto tσk`1,xi :

i, x P N˚u (Proposição 2.12). A Proposição 2.15 nos diz ainda que Xk têm todas as coordenadasfinitas nesses pontos, dessa forma obtemos que (3.9) vale νnk`1pr0, tsq “ θnk`1ptq.

Fixado um x|k P Nk˚, vamos provar que θnx|k tem a mesma lei que θn´k1 , com os índices αitransladados, por indução em n. Vamos omitir a prova da base da indução, o caso n “ k`1, porqueele pode ser feito de maneira análoga ao passo da indução. Como θnk`1 “ Ξn ˝ θ

n´1k`1 :

θnk`1ptq “ÿ

xPN˚

Nn,xpθn´1k`1 ptqqÿ

i“1


Quando formos construir θnx|k , um incremento em um ponto σn,xi será considerado se ele corres-ponder a um s onde Xkpsq “ x|k e θn´1

k`1 “leve” s à σn,xi . Isso é, ele será considerado se existir um s

tal que σn,xi P rθn´1k`1 ps´q, θ

n´1k`1 psqq e Xkpsq “ x|k.

Se denotarmos por g a inversa generalizada de θn´1k`1 , vale que gpσn,xi q “ s. Utilizando a Propo-

sição 2.13, temos que Xkpsq é igual às primeiras k coordenadas de Xn´1pθn´1k`1 psqq. Dessa forma, se

denotarmos por Xn´1|k as primeiras k coordenadas de Xn´1, então:

θnx|kptq “ÿ

xPN˚

Nn,xpL´1k px|k,θ

n´1k`1 ptqqq

ÿ

i“1

I tXkpgpσn,xi qq “ x|ku γnpXn´1pσ

n,xi qxqTn,xi

“ÿ

xPN˚

Nn,xpL´1k px|k,θ

n´1k`1 ptqqq

ÿ

i“1

I

Xn´1|kpθn´1k`1 pgpσ

n,xi qqq “ x|k

(


“ÿ

xPN˚

Nn,xpL´1k px|k,θ

n´1k`1 ptqqq

ÿ

i“1

I tXn´1|kpσn,xi q “ x|ku γnpXn´1pσ

n,xi qxqTn,xi

Dessa forma somamos somente sobre os pontos onde Xn´1|k “ x|k, ficando essas coordenadassempre constantes e as coordenadas seguintes variando.

Para observar a independência, note que ao variar x|k então θnx|k irá depender de regiões disjuntasnos processos de Poisson que os definem, sendo portanto independentes.


Proposição 3.4. Para n ą k ě 0, a transformada de Laplace de θnk`1ptq e rθnk`1ptq podem sercalculadas como:

E“

exp

´λθnk`1ptq(‰

“ E

»

–exp

$

&

%

´ÿ

x|kPNk˚

Lkpx|k, tqÿ

xk`1

hx|k`1

˜

¨ ¨ ¨ÿ

xn

hx|n pλq ¨ ¨ ¨

¸

,

.

-

fi

fl ,

E”

exp!

´λrθnk`1ptq)ı

“ E

»

–exp

$

&

%

´ÿ

x|kPNk˚

Lkpx|k, tqÿ

xk`1

hx|k`1

˜

¨ ¨ ¨ÿ

xn

hx|n pλW px|nqq ¨ ¨ ¨

¸

,

.

-

fi

fl ,

(3.10)

hx|kpλq :“λγkpx|kq

1` λγkpx|kq.

Aqui adotamos a convenção N0˚ “ tHu e L0pH, tq “ t.

Demonstração. Tome Fn como a σ-álgebra gerada por todas as variáveis aleatórias até o nível ne tome tZx|n : x|n P Nn˚u uma família arbitrária de variáveis aleatrórias positivas e independentes.Vamos supor que essa família seja independente de Fn.

Vamos começar provando que:

E

»

–exp

$

&

%

´ÿ

x|n

Zx|nLnpx|n, θn1 ptqq

,

.

-

fi

fl “ E

«

exp

#

´tÿ

x1

hx|1

˜

¨ ¨ ¨ÿ

xn

hx|n`

Zx|n˘

¨ ¨ ¨

¸+ff

. (3.11)

O caso k “ 0 dessa Proposição será obtido ao tomar Zx|n “ λ e Zx|n “ λW px|nq para θn1 e rθn1respectivamente.

Note que, pela maneira como o Processo K foi construído em (2.5b), e o fato de que um Processode Poisson tem incrementos independentes e estacionários, então:

Lnpx|n,Ξnptqq “

Nn,xn ptqÿ

i“1

ItXn´1pσn,xni q “ x|n´1uγnpx|nqT

n,xni

D“

Nn,xn pLn´1px|n´1,tqqÿ

i“1

γnpx|nqTn,xni

Tomando Gn :“ σpFn´1, Zx|n : x|n P Nn˚q, podemos calcular:

E”

e´Zx|nLnpx|n,θn1 ptqq

ˇ

ˇ

ˇGn

ı

“ E

»

–exp

$

&

%

´Zx|n

Nn,xn pLn´1px|n´1,θn´11 ptqqq

ÿ

i“1

γnpx|nqTn,xni

,

.

-

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

Gn

fi

fl

“ exp

´Ln´1px|n´1, θn´11 ptqqhx|npZx|nq

(

Agora vamos provar (3.11) por indução em n. A base da indução, n “ 1, é obtida por conferência


direta. Supondo que o resultado é válido para n´ 1, podemos escrever:

E

»

–exp

$

&

%

´ÿ

x|n


,

.

-

fi

fl “ E

»

–E

»

–exp

$

&

%

´ÿ

x|n


,

.

-

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

Gn

fi

fl

fi

fl

“ E

»

–

ź

x|n

E“

exp

´Zx|nLnpx|n, θn1 ptqq

(ˇ

ˇGn‰

fi

fl

“ E

»

–exp

$

&

%

´ÿ

x|n´1

Lnpx|n´1, θn´11 ptqq

ÿ

xn

hx|npZx|nq

,

.

-

fi

fl .

Tomando Zx|n´1:“

ř

xnhx|npZx|nq, podemos aplicar a hipótese de indução, obtendo (3.11), de

onde concluímos o caso k “ 0.Para o caso geral vamos usar a Proposição 3.3 para escrever:

E”

e´λθnk`1ptq

ı

“ E

»

–exp

$

&

%

´λÿ

x|k

θnx|kpLkpx|k, tqq

,

.

-

fi

fl

“ E

»

–

ź

x|k

E”

exp!

´λθnx|kpLkpx|k, tqq)ˇ

ˇ

ˇFk

ı

fi

fl

“ E

»

–exp

$

&

%

´ÿ

x|k

Lkpx|k, tqZnx|k

,

.

-

fi

fl

O resultado correspondente para rθnk`1 pode ser provado de forma análoga.

Teorema 3.5. Para cada k P N˚, existe quase certamente um processo estocástico θ8k que é nãodecrescente e contínuo a direita, tal que limnÑ8

rθnk ptq “ θ8k ptq q.c. para todo t P Dk, onde Dk é umconjunto determinístico, denso em p0,8q e enumerável.

Além disso, para todo t ą 0, θ8k ptq é q.c. finito e se fixarmos o meio aleatório tγkpx|kqu entãoErθ8k ptqs ă 8.

Demonstração. Vamos fixar as variáveis tγkpx|kq : x|k P Nk˚, k P Nu e provar o resultado para quasetodas as escolhas desse meio aleatório. Vamos denotar por Gk a σ-álgebra gerada por todos osProcessos de Poisson e variáveis exponenciais até a profundidade k.

Vamos adotar D1 “ Q X p0,8q. Para k ą 1, a Proposição 2.16 nos diz que o conjunto tt ě0 : PpXk´1ptq R Nk´1

˚ q “ 0u têm medida de Lebesgue total. Dessa forma esse conjunto é denso emp0,8q. Tomemos Dk um subconjunto denso enumerável desse conjunto.

Usando da definição em (3.7), podemos dividir as regiões onde rΞk`1 usa o meio aleatório nasubárvore de cada x|k, obtendo:

E”

rΞk`1ptqˇ

ˇ

ˇGk

ı

“ÿ

x|k

Lkpx|k, tqÿ

xk`1

W px|k`1qγk`1px|k`1q

“ÿ

x|k

Lkpx|k, tqW px|kq.


Reescrevendo a definição em (3.7), obtemos:

rΞnptq “ÿ

xnPN˚

Nn,xn ptqÿ

i“1

W pXn´1pσn,xni qxnqγnpXn´1pσ

n,xni qxnqT

n,xni

“ÿ

x|nPNn˚

Nn,xn ptqÿ

i“1

W px|nqγnpx|nqItXn´1pσn,xni q “ x|n´1uT

n,xni

“ÿ

x|nPNn˚

W px|nqLnpx|n,Ξnptqq

Finalmente, para n ą k:

E”

rθn`1k ptq

ˇ

ˇ

ˇGn

ı

“ E”

rΞn`1pθnk ptqq

ˇ

ˇ

ˇGn

ı

“ÿ

x|n

Lnpx|n, θnk ptqqW px|nq

“ rθnk ptq

Com isso mostramos que prθnk ptqqnąk é um martingal com relação à filtração pGnqn para cadat ě 0 fixo. Assim podemos novamente utilizar um teorema de convergência de martingais, como oTeorema 5.2.9 de Durrett [Dur10] para concluir que limnÑ8

rθnk ptq existe e é finito q.c. para cadat ě 0 fixado. Esse Teorema ainda nos diz que, quando o meio aleatório tγkpx|kqu está fixado, então:

Ep limnÑ8

rθnk ptqq ď lim infnÑ8

Eprθnk ptqq “ Eprθk`1k ptqq ă 8

Tomemos esses limites θ8k ptq :“ limnÑ8rθnk ptq para todo t P Dk. Já que cada rθnk é monótono,

então o limite será monótono também.Agora podemos definir θ8k ptq “ limsÑt` θ

8k psq para t R Dk, sendo que esse limite é tomado sobre

s P Dk.Para completar a prova, só temos que mostrar que θ8k é contínua à direita sobre Dk. Para um

t P Dk fixado, tome θ8k pt`q “ limsÑt` θ8k psq, esse limite existe q.c. por causa da monotonicidade.

No caso k “ 1, podemos calcular a transformada de Laplace de θ81 pt`q ´ θ81 ptq usando aProposição 3.4 e o fato de que θn1 têm incrementos estacionários (Proposição 2.17).

E rexp t´λ pθ81 pt`q ´ θ81 ptqqus

“ limsÑ0`

limnÑ8

E

«

exp

#

´sÿ

x1

hx|1

˜

ÿ

x2

hx|2

˜

¨ ¨ ¨ÿ

xn

hx|n pλW px|nqq ¨ ¨ ¨

¸¸+ff

“ limsÑ0`

E rexp t´sφpλqus “ 1.

As trocas entre limites e valores esperados podem ser justificadas ou pelo Teorema da Conver-gência Dominada ou o Teorema da Continuidade de transformadas de Laplace. Além disso, a funçãoaleatória φpλq é finita q.c. porque θn1 ptq é finito q.c. .

Com isso provamos que θ81 pt`q “ θ81 ptq q.c. para todo t P D1. Isso conclui a prova para o casok “ 1.

Para o caso k ą 1, note que nossa escolha de Dk garante que, com probabilidade 1, Xk´1ptq P

3.3 TRIVIALIDADE DOS RELÓGIOS LIMITE 21

Nk´1˚ para todo t P Dk.Dessa forma t pertence à um intervalo ra, bq tal que Xk´1psq “ x|k´1 para todo s P ra, bq. Assim

Lk´1py|k´1, sq é constante nesse intervalo para todo y|k´1 ‰ x|k´1. Utilizando a Proposição 3.3 e ocaso anterior, podemos concluir:

θ8k pt`q ´ θ8k ptq “ lim

sÑ0`limnÑ8

θnk pt` sq ´ θnk ptq

“ limsÑ0`

limnÑ8

ÿ

y|k´1

”

θny|k´1pLk´1py|k´1, t` sqq ´ θ

ny|k´1

pLk´1py|k´1, tqqı

“ limsÑ0`

limnÑ8

θnx|k´1pLk´1px|k´1, t` sqq ´ θ

nx|k´1

pLk´1px|k´1, tqq

“ limsÑ0`

θ8x|k´1pLk´1px|k´1, t` sqq ´ θ

8x|k´1

pLk´1px|k´1, tqq “ 0

3.3 Trivialidade dos Relógios Limite

O objetivo dessa seção é provar os Teoremas 3.6 e 3.7 abaixo, que dão condições sobre as quaiso relógio limite é ou não trivial.

Teorema 3.6 (Não Trivialidade). Suponha que:

8ÿ

k“1

1´ αk`1

1´ αkă 8, (3.12)

então, para todo k P N˚, θ8k é q.c. uma função estritamente crescente e limtÑ8 θ8k ptq “ 8.

Teorema 3.7 (Trivialidade). Suponha que:

8ÿ

k“1

p1´ αkq ă 8,8ÿ

k“1

1´ αk`1

1´ αk“ 8, (3.13)

então θ8k ptq “ 0 q.c. para todo t ě 0 e k P N˚.

Observação 3.8. Note que o casoř

kp1´αkq “ 8 não é coberto pelo Teorema 3.6 ou pelo Teorema3.7. Acreditamos que os relógios limites também são triviais nesse caso.

Nós vamos nos referir à condição (3.12) como condição de não trivialidade. Note que ela implicaque

ř

ip1´ αiq ă 8.

Os dois teoremas serão provados estudando o comportamento do exponente de Laplace de θ̃nk .Para tornar a notação dessa seção mais compacta, vamos definir, para n ě k e λ ě 0:

Znx|k :“

$

&

%

λW px|kq if k “ n,ř

xk`1hx|k`1

pZnx|k`1q caso contrário.

(3.14)

A função h usada aqui é a mesma usada ao calcular a transformada de Laplace de θ̃nk em (3.10).Vamos começar provando um resultado auxiliar que será útil na demonstração dos dois teoremas.

Lema 3.9. Suponha queř

i 1´ αi ă 8, entãoř

i1´αi`1

1´αiă 8 se e somente se

ř

ip1 ´ diq ă 8,onde:

di :“αiΓpαiqΓp1´ αiq

Γp1´ αi{αi`1q


Demonstração. Expandindo a definição de di e usando que Γp1` αq “ αΓpαq, podemos escrever:

Γ

ˆ

2´αiαi`1

˙

p1´ diqp1´ αiq

1´ αi`1

“1´ αi

1´ αi`1

„

Γ

ˆ

2´αiαi`1

˙

´ Γp2´ αiq

(3.15)

`Γp2´ αiq

1´ αi`1

„

1´ αi ´

ˆ

1´αiαi`1

˙

(3.16)

`Γp2´ αiq

1´ αi`1

ˆ

1´αiαi`1

˙

r1´ Γp1` αiqs (3.17)

Note que os três termos são positivos para i grande o suficiente, já que Γ é decrescente perto de1 e crescente perto de 2 e 0 ă αi ă αi{αi`1 ă 1.

Como Γ é diferenciável no intervalo r1, 2s, então (3.15) converge para zero quando i Ñ 8. Umcálculo direto nos mostra que (3.16) converge para 1 quando iÑ8.

Tome ai :“ (3.15)` (3.16) e bi :“ (3.17), podemos escrever:

b1i :“ bi1´ αi`1

1´ αi“αi`1 ´ αiαi`1

Γp2q ´ Γp1` αiq

1´ αi“

Γp2q ´ Γp1` αiq

αip1´ αiqrp1´ αiq ´ p1´ αi`1qs .

Portanto b1i é somável, já queř

ip1 ´ αiq ă 8 e pΓp2q ´ Γp1 ` αiqq{p1 ´ αiq converge para umaconstante quando iÑ8.

Finalmente podemos escrever:

p1´ diqΓ

ˆ

2´αiαi`1

˙

“ ai1´ αi`1

1´ αi` b1i

Como ai Ñ 1 e Γp2 ´ αi{αi`1q Ñ 1 quando i Ñ 8 e b1i é somável, então concluímos queř

ip1´ diq ă 8 se e somente seř

i1´αi`1

1´αiă 8.

Demonstração do Teorema 3.7. Vamos provar apenas que θ81 ” 0. A extensão dessa prova para ocaso geral é direta.

Com base na Proposição 3.4 e (3.14), é suficiente provar que ZnH converge para 0 em probabili-dade quando nÑ8. Nós vamos mostrar que EpZnHq Ñ 0 quando nÑ8, um resultado ligeiramentemais forte. Para isso definimos:

ank “

$

&

%

EpZnx|kq if k ă n,

E´´

Znx|k

¯αk¯

if k “ n.

Usando a última afirmação da Proposição 3.1, junto com a Proposição 2.3, podemos calcu-lar ann “ λαnΓp1 ´ αn{αn`1q{Γp1 ´ αnq. Usando a Proposição 2.1, o Teorema de Campbell e a


desigualdade de Jensen, podemos escrever que para k ă n:

ank´1 “ E

«

ÿ

xk

γkpx|kqZnx|k

1` γkpx|kqZnx|k

ff

“

ż 8

0

x

1` x

E”

pZnx|kqαkı

ck

x1`αkdx

ď ckpankqαk

ż 8

0

1

xαkp1` xqdx

“ ckpankqαk

ż 1

0y1´αk´1p1´ yqαk´1dy

“ ckpankqαkΓp1´ αkqΓpαkq

“ pankqαkαkΓpαkqΓp1´ αkq

Γ´

1´ αkαk`1

¯ . (3.18)

Podemos calcular ann´1 de maneira análoga, mas usando o valor exato de ErpZnx|nqαns em vez de

uma estimativa obtida da desigualdade de Jensen, obtendo:

ann´1 “ annαnΓpαnqΓp1´ αnq

Γ´

1´ αnαn`1

¯ “ λαnαnΓpαnq (3.19)

Iterando sobre (3.18) e usando (3.19), obtemos:

an0 ďn´1ź

i“1

»

–

αiΓpαiqΓp1´ αiq

Γ´

1´ αiαi`1

¯

fi

fl

α1...αi´1

pann´1qα1...αn´1

“ pλαnαnΓpαnqqα1...αn´1

n´1ź

i“1

»

–


Γ´

1´ αiαi`1

¯

fi

fl

α1...αi´1

(3.20)

Note que λś

j αj ď maxtλ, 1u e que αnΓpαnq “ Γp1 ` αnq Ñ 1 quando n Ñ 8. Então, semostrarmos que o produto em (3.20) converge à zero quando n Ñ 8, vai seguir que an0

nÑ8ÝÝÝÑ 0.

Isso motiva a definição:

di :“αiΓpαiqΓp1´ αiq

Γ´

1´ αiαi`1

¯ , bi :“ rdisα1...αi´1 . (3.21)

Queremos mostrar queś8i“1 bi “ 0. Note que di, bi P p0, 1q, já que Γ é uma função decrescente

em p0, 1q e αΓpαq “ Γpα` 1q ă 1 para α P p0, 1q.Por hipótese,

ř

ip1´ αiq ă 8. Isso implica queś

i αi ą 0. Portanto:

ź

i

bi “ 0 ôÿ

i

log bi “ ´8 ôÿ

i

α1 . . . αi´1 log di “ ´8

ôÿ

i

log di “ ´8 ôź

i

di “ 0 ôÿ

i

p1´ diq “ `8.

Finalmente o Lema 3.9 garante queř

ip1´ diq “ 8 quandoř

i1´αi`1

1´αi“ 8.


Antes de provar o Teorema 3.6, vamos estabelecer um resultado auxiliar:

Lema 3.10. Tome tγi : i P N˚u as marcas de um Processo Pontual de Poisson com medidaintensidade µpdxq “ c

x1`αItx ą 0u, para algum c ą 0 e α P p0, 1q. Tome X :“

ř

iγi

1`γi. Então para

todo β P p0, 1q:

EpXβq ěcΓpαqΓp1´ αq

r1` cΓpαqΓp1´ αqs1´β

Demonstração. Tome φpθq :“ Epe´θXq a transformada de Laplace de X. Podemos calcular essaquantidade usando o Teorema de Campbell:

φpθq “ exp

"

´

ż 8

0p1´ e´θ

xx`1 q

c

x1`αdx

*

“ exp

"

ć

ż 1

0

1´ e´θy

y1`αp1´ yq1´αdy

*

“: exp tćψpθqu

A primeira derivada de ψ pode ser calculada e limitada por:

ψ1pθq “ limhÑ0

ψpθ ` hq ´ ψpθq

h

“ limhÑ0

ż 1

0

e´θy

y1`αp1´ yq1´α1´ e´hy

hdy

“

ż 1

0

e´θy

yαp1´ yq1´αdy

ě

ż 1

0

e´θ

yαp1´ yq1´αdy

“ e´θΓpαqΓp1´ αq,

justificamos a igualdade entre a segunda e terceira linha usando o Teorema de Convergência Domi-nada. Como 1´ e´x ď x, temos que:

ψpθq “

ż 1

0

1´ e´θy

y1`αp1´ yq1´αdy

ď θ

ż 1

0

1

yαp1´ yq1´αdy

“ θΓpαqΓp1´ αq

φpθq “ ećψpθq

ě ećθΓpαqΓp1´αq


Finalmente podemos aplicar a Proposição 2.2, concluindo:

EpXβq “ ´1

Γp1´ βq

ż 8

0θ´βφ1pθqdθ

“1

Γp1´ βq

ż 8

0θ´βcφpθqψ1pθqdθ

ěc

Γp1´ βq

ż 8

0θ´βećθΓpαqΓp1´αqe´θΓpαqΓp1´ αqdθ

“cΓpαqΓp1´ αq

r1` cΓpαqΓp1´ αqs1´β

Demonstração do Teorema 3.6. Vamos provar as afirmações do teorema apenas para θ81 . Podemosestender a prova para o caso geral usando o fato de que rθn1 “

rθnk`1 ˝ θk1 .

Definindo ank :“ E”

pZnx|kqαkı

, vamos mostrar que lim infnÑ8 an1 ą 0. Com as Proposições 3.4 e

2.1, podemos escrever:

E”

e´λrθn1 ptq

ı

“ E

«

exp

#

´tÿ

x1

γ1px|1qZnx|1

+ff

“ E

«

exp

#

´tÿ

x1

γ1px|1qpan1 q

1{α1

+ff

Se mostrarmos que lim infnÑ8 an1 ą 0, vai seguir da expressão acima que limtÑ8 θ

81 ptq “ 8 em

probabilidade. Já que θ81 é q.c. não decrescente, segue que limtÑ8 θ81 ptq “ 8 q.c. .

Para mostrar que lim infnÑ8 an1 ą 0, comecemos aplicando o Lema 3.10 e a Proposição 2.1,

obtendo que para k ď n:

ank´1 ěcka

nkΓpαkqΓp1´ αkq

“

1` ckankΓpαkqΓp1´ αkq

‰1´αk´1

“ank

αkΓpαkqΓp1´αkqΓp1´αk{αk`1q

”

1` ankαkΓpαkqΓp1´αkqΓp1´αk{αk`1q

ı1´αk´1(3.22)

Para trabalhar com o denominador, observemos (3.20). Apesar da definição de ank ser ligeira-mente diferente naquela prova, podemos utilizar a desigualdade de Jensen para obter:

ank :“ E”

pZnx|kqαkı

ď

´

E”

Znx|k

ı¯αk

ď

¨

˝pλαnαnΓpαnqqαk`1...αn´1

n´1ź

i“k`1

»

–


Γ´

1´ αiαi`1

¯

fi

fl

αk`1...αi´1˛

‚

αk

ď λαk...αn ď maxtλ, 1u

Tomando δ :“ maxtλ, 1u e usando essa última expressão no denominador de (3.22), obtemos:

ank´1 ě ank p1` δq´p1´αk´1q

αkΓpαkqΓp1´ αkq

Γp1´ αk{αk`1q. (3.23)

Já que 0 ă αi ă αi{αi`1 ă 1 e Γ é decrescente perto do zero, podemos iterar essa desigualdade


para obter:

ank ě λαnΓ´

1´ αnαn`1

¯

Γp1´ αnqp1` δq´

řn´1j“k p1´αjq

nź

j“k`1

αjΓpαjqΓp1´ αjq

Γ´

1´αjαj`1

¯

ě λαnp1` δq´řn´1j“k p1´αjq

nź

j“k`1

αjΓpαjqΓp1´ αjq

Γ´

1´αjαj`1

¯ . (3.24)

Note que os termos do produto ao final da última expressão são exatamente iguais à di, definidono Lema 3.9. Mostramos naquele lema que, sempre que

ř

i1´αi`1

1´αiă 8, vai valer que

ř

ip1´diq ă 8,o que implica que

ś

i di ą 0.Portanto concluímos que lim infnÑ8 a

nk ą 0. Para completar a prova, precisamos mostrar que

θ81 é q.c. estritamente crescente. Para isso vamos mostrar que limλÑ8 lim infnÑ8 ZnHpλq “ 8 em

probabilidade.Já que só estamos interessados em valores altos de λ, podemos supor que λ ą 1. Tomando uma

constante C ą 0 tal queś8i“1 di ą C e usando a definição de δ, podemos reescrever (3.24):

ankpλq ě Cλαnp1` λq´řn´1j“k p1´αjq

lim infnÑ8

ankpλq ě Cλp1` λq´ř8j“kp1´αjq.

Fixemos um k tal queř

iěkp1´ αiq ă 1. Da última expressão concluímos que para esse k valeque limλÑ8 lim infnÑ8 a

nkpλq “ 8.

Usando a Proposição 2.1, e tomando um M P N arbitrário, podemos escrever:

Znx|k´1“

ÿ

xk

γkpx|kqZnx|kpλq

1` γkpx|kqZnx|kpλq

D“

ÿ

xk

γkpx|kqpankpλqq

1{αk

1` γkpx|kqpankpλqq

1{αk

ě

Mÿ

xk“1

γkpx|kqpankpλqq

1{αk

1` γkpx|kqpankpλqq

1{αk

a.s.ÝÝÝÝÝÝÝÑnÑ8,λÑ8

M

Já queM pode ser tomando arbitrariamente grande, concluímos que limλÑ8 lim infnÑ8 Znx|k´1

pλq “

8 em probabilidade. Sabendo que Znx|k´2“

ř

xk´1hx|k´1

pZnx|k´1q, podemos usar argumentos análo-

gos para mostrar que limλÑ8 lim infnÑ8 Znx|k´2

“ 8 em probabilidade. Iterando concluímos que:

limλÑ8

lim infnÑ8

ZnHpλq “ 8 em probabilidade.

Capítulo 4

O Processo K em uma Árvore deProfundidade Infinita

Nesse capítulo vamos construir, sob certas condições, o Processo K em uma árvore de profun-didade infinita, e provar que ele é o limite dos Processos K em árvores de profundidade finita,estudados no Capítulo 2, quando a profundidade das árvores cresce para o infinito.

4.1 Definição do Processo

A Proposição 2.11 nos sugere uma maneira de definir o Processo K em uma árvore de profun-didade infinita, através dos relógios limites construídos e definidos no Capítulo 3.

Definição 4.1. O Processo K numa árvore com profundidade infinita é um processo estocástico emtempo contínuo Y “ pYkqkPN˚, tomando valores em sNN˚

˚ , onde:

Ykptq “

$

&

%

x if t PŤ8i“1

”

θ8k pσk,xi ´q, θ8k pσ

k,xi q

¯

8 caso contrário.(4.1)

Note que essa construção faz sentido mesmo no caso trivial, isso é, quando θ8k ptq “ 0 q.c. paratodo t ě 0. Porém nesse caso Ykptq “ 8 para todo t ě 0.

Após construir esse processo Y, é natural perguntar se ele seria o limite dos processos Xk

definidos no Capítulo 2. Vamos responder esse pergunta de maneira afirmativa com o Teorema4.15.

4.2 Convergência dos Relógios

Antes de podermos responder perguntas sobre a convergência dos Processos K, precisamosresponder perguntas sobre a convergência dos relógios. O resultado principal dessa seção é o Teorema4.5, que estabelece que θnk converge para θ8k quando nÑ8 em probabilidade de maneira uniformeem compactos.

Lema 4.1. Suponha que 1´αk`1

1´αkÑ 0 quando k Ñ 8, o que é verdade sob a condição de não

trivialidade (3.12), então:limkÑ8

E r|W px|kq ´ 1|αks “ 0 (4.2)

27

28 O PROCESSO K EM UMA ÁRVORE DE PROFUNDIDADE INFINITA 4.2

Demonstração. A Proposição 3.1 nos dá a transformada de Laplace de W px|kq. Com ela podemosaplicar a Proposição 1.1.12 de Samorodnitsky e Taqqu [ST94] para obter a função característica deof W px|kq ´ 1:

ϕkpuq :“ E”

eiupW px|kq´1qı

(4.3)

“ exp!

´|u|αk`1

”

cos´παk`1

2

¯

´ i sgnpuq sin´παk`1

2

¯ı

´ iu)

“ exp!

´|u|αk`1 cos´παk`1

2

¯

´ i”

u´ |u|αk`1 sgnpuq sin´παk`1

2

¯ı)

O Teorema 2.2 de Laue [Lau80] afirma que:

E r|W px|kq ´ 1|αks “1

cos`

παk2

˘ Re

„

αkΓp1´ αkq

ż 8

0

1´ ϕkpúq

u1`αkdu

.

Note que αkcosp

παk2 qΓp1´αkq

converge para 2π quando k Ñ 8. Assim resta provar que a parte real

da integral converge para zero. Fixemos um ε ą 0 arbitrário e podemos escrever:

Re

„ż 8

0

1´ ϕkpúq

u1`αkdu

“

ż 8

0

1

u1`αk

”

1´ exp!

úαk`1 cos´παk`1

2

¯)

cos´

u´ uαk`1 sin´παk`1

2

¯¯ı

du

“

ż ε

0

1

u1`αk

”

1´ exp!


2

¯)

cos´


2

¯¯ı

du (4.4)

`

ż 8

ε

1

u1`αk

”

1´ exp!


2

¯)

cos´


2

¯¯ı

du (4.5)

Para controlar (4.5), note que a função sendo integrada converge à zero quando k Ñ 8 epode ser limitada por 2{u1`αk ď 2{u3{2 para k grande o suficiente. Portanto, pelo o Teorema daConvergência Dominada, (4.5) converge para zero quando k Ñ8 para qualquer escolha de ε ą 0.

Para controlar (4.4), podemos usar que 1´ e´x ď x:

(4.4) ďż ε

0

1

u1`αk

”

uαk`1 cos´παk`1

2

¯

´ log cos´


2

¯¯ı

du

“

ż ε

0

1

u1`αkuαk`1 cos

´παk`1

2

¯

du´

ż ε

0

1

u1`αklog cos

´


2

¯¯

du

“εαk`1´αk

αk`1 ´ αkcos

´παk`1

2

¯

´

ż ε

0

1

u1`αklog cos

´


2

¯¯

du (4.6)

Por hipótese vale que 1´αk`1

1´αk

kÑ8ÝÝÝÑ 0 e é verdade que cospπx{2q{p1 ´ xq

xÑ1ÝÝÝÑ π

2 , com issopodemos reescrever o termo mais a esquerda em (4.6):

εαk`1´αk

αk`1 ´ αkcos

´παk`1

2

¯

“ εαk`1´αk1´ αk`1

αk`1 ´ αk

cos`παk`1

2

˘

1´ αk`1

“ εαk`1´αk

ˆ

1´ αk1´ αk`1

´ 1

˙´1 cos`παk`1

2

˘

1´ αk`1

kÑ8ÝÝÝÑ 0

Para controlar a integral em (4.6), vamos usar que existe um ε0 ą 0 tal que se |x| ă ε0 então´ log cosx ă x2. Isso pode ser provado calculando as duas primeiras derivadas dessa quantidade e

4.2 CONVERGÊNCIA DOS RELÓGIOS 29

usando que cosseno é uma função par. Dessa forma, para ε ą 0 pequeno o suficiente:

´

ż ε

0

1

u1`αklog cos

´


2

¯¯

du

ď

ż ε

0

1

u1`αk

´


2

¯¯2du

“

ż ε

0u1´αk ´ 2uαk`1´αk sin

´παk`1

2

¯

` u2αk`1´αk´1 sin2´παk`1

2

¯

du

“ε2´αk

2´ αk´ 2

εαk`1´αk`1

αk`1 ´ αk ` 1sin

´παk`1

2

¯

`ε2αk`1´αk

2αk`1 ´ αksin2

´παk`1

2

¯

kÑ8ÝÝÝÑ 0

Proposição 4.2 (Convergência finito dimensional). Seř

kp1 ´ αkq ă 8, então para todo t ą 0

fixado e k P N˚, θnk ptq converge em probabilidade para θ8k ptq quando nÑ8.

Demonstração. Vamos supor que 1´αk`1

1´αkÑ 0 quando k Ñ 8. Quando isso não for verdade, então

as condições do Teorema 3.7 serão válidas, e podemos utilizar um argumento análogo ao da provadaquele teorema para mostrar que θnk ptq

nÑ8ÝÝÝÑ 0 em probabilidade para todo t ą 0.

Vamos começar considerando o caso k “ 1. Tomando Zx|n “ |W px|nq´1| na prova da Proposição3.4, obtemos:

E”

exp!

´|θn1 ptq ´rθn1 ptq|

)ı

ě E

»

–exp

$

&

%

´ÿ

x|n

Lpx|n, θn1 ptqq |1´W px|nq|

,

.

-

fi

fl

“ E

«

exp

#

´tÿ

x1

hx|1

˜

ÿ

x2

hx|2

˜

¨ ¨ ¨ÿ

xn

hx|n p|W px|nq ´ 1|q ¨ ¨ ¨

¸¸+ff

.

(4.7)

Prosseguindo como no Teorema 3.7, definimos:

Znx|k :“

$

&

%

ř

xk`1hx|k`1

´

Znx|k`1

¯

se k ă n

|W px|nq ´ 1| se k “ nank :“

$

&

%

E”

Znx|k

ı

se k ă n

E r|W px|nq ´ 1|αns se k “ n.

Lema 4.1 garante que ann Ñ 0 quando n Ñ 8. Seguindo a prova do Teorema 3.7, obtemos(3.18) e a primeira igualdade de (3.19), de onde obtemos que ank´1 ď ank para todo k ď n. Portantoank ď ann

nÑ8ÝÝÝÑ 0 para todo k ă n e ZnH Ñ 0 na norma L1 quando nÑ8. Aplicando o Teorema da

Convergência Dominada em (4.7), concluímos o caso k “ 1.Para o caso geral, usando a Proposição 3.3 e o resultado anterior, podemos escrever:

E”

e´|θnk`1ptq´

rθnk`1ptq|ı

ě E

»

–exp

$

&

%

´ÿ

x|k

ˇ

ˇ

ˇθnx|kpLpx|k, tqq ´

rθnx|kpLpx|k, tqqˇ

ˇ

ˇ

,

.

-

fi

fl

“ E

»

–exp

$

&

%

´ÿ

x|k

Lpx|k, tqZnx|k

,

.

-

fi

fl (4.8)


Como Lpx|k, tq é independente de Znx|k , então:

E

»

–

ÿ

x|k

Lpx|k, tqZnx|k

fi

fl “ÿ

x|k

E”

Lpx|k, tqZnx|k

ı

“ tanknÑ8ÝÝÝÑ 0.

Concluímos a prova aplicando o Teorema da Convergência Dominada em (4.8).

Lema 4.3. Quase certamente:supn

ÿ

x|n

sγnpx|nq ă 8 (4.9)

Demonstração. Tome An :“ tx|n P Nn˚ : sγnpx|nq ą 1u e mn :“ maxtsγnpx|nq : x|n P Nn˚u. Usando aProposição 3.1, sabemos que quase certamente:

W pHq “ limnÑ8

ÿ

x|nPNn˚

psγnpx|nqqαn`1 ě lim sup

nÑ8

ÿ

x|nPAn


nÑ8|An|

W pHq “ limnÑ8

ÿ

x|nPNn˚


nÑ8pmnq

αn`1 “ lim supnÑ8

mn

Como W pHq ă 8, então lim supn |An| ă 8 e lim supnmn ă 8 q.c. . Portanto:

ÿ

x|n

sγnpx|nq “ÿ

x|nPAn

sγnpx|nq `ÿ

x|n RAn

sγnpx|nq

ď mn|An| `ÿ

x|n RAn

psγnpx|nqqαn`1 .

Por causa do último comentário, a primeira parcela dessa soma é limitada q.c. por uma constante,enquanto que o lim sup da segunda é dominado por W pHq, o que termina a prova.

Lema 4.4. Se tγkpx|kq : k P N˚, x|k P Nk˚u são fixados eř

ip1 ´ αiq ă 8 então θ81 também é umsubordinador

Demonstração. Ao definir θ81 no Teorema 3.5, nós já mostramos que esse processo é não decrescentee contínuo a direita. Resta apenas mostrar que ele têm incrementos estacionários e independentes.

Da proposição 4.2, sabemos que θn1 converge pontualmente em probabilidade para θ81 quandon Ñ 8. Dessa forma, se tomarmos 0 “ t0 ă t1 ă . . . ă tm ă 8 e A1, . . . , Am borelianos tais queP pθ81 ptiq ´ θ81 pti´1q P BAiq “ 0. Então podemos usar o fato que θn1 são subordinadores, provado na

4.2 CONVERGÊNCIA DOS RELÓGIOS 31

Proposição 2.17, para calcular:

P

˜

mč

i“1

tθ81 ptiq ´ θ81 pti´1q P Aiu

¸

“ limnÑ8

P

˜

mč

i“1

tθn1 ptiq ´ θn1 pti´1q P Aiu

¸

“ limnÑ8

mź

i“1

P pθn1 ptiq ´ θn1 pti´1q P Aiq

“ limnÑ8

mź

i“1

P pθn1 pti ´ ti´1q P Aiq

“

mź

i“1

limnÑ8

P pθn1 pti ´ ti´1q P Aiq

“

mź

i“1

P pθ81 pti ´ ti´1q P Aiq

Teorema 4.5. Suponha queř

kp1 ´ αkq ă 8, então, para cada k P N˚, θnk ´ θ8k converge emdistribuição para a função identicamente nula na topologia de Skorohod quando nÑ8.

Observação 4.6. Esse é um resultado mais forte que simplesmente dizer que θnk converge emdistribuição para θ8k na topologia de Skorohod. Convergência na topologia de Skorohod para umafunção contínua é equivalente à convergência uniforme em compactos.

Demonstração do Teorema 4.5. Sob a condição de trivialidade (3.13), este teorema é um coroláriodireto da Proposição 4.2, junto com a observação de que cada θnk é uma função monótona nãodecrescente. Dessa maneira vamos supor a condição de não trivialidade (3.12).

Comecemos com o caso k “ 1. Fixemos o meio aleatório tγkpx|kq : k ě 1, x|k P Nk˚u e mostremosa convergência para quase todas essas escolhas.

Já que mostramos a convergência finito dimensional na Proposição 4.2, então o Teorema 7.8do Capítulo 3 de [EK86] afirma que se t|θn1 ´ θ81 |u é relativamente compacto, então teremos aconvergência em distribuição para a função identicamente nula.

A parte (b) do Teorema 8.6 do Capítulo 3 de [EK86] nos afirma que para mostrar compacidaderelativa é suficiente mostrar que, para 0 ă s ă δ e t ą 0:

E r|pθn1 pt` sq ´ θ81 pt` sqq ´ pθn1 ptq ´ θ81 ptqq||Fnt s ď 2δ supmPN

ÿ

x|m

sγmpx|mqδÑ0ÝÝÝÑa.s.

0, (4.10)

onde Fnt é a σ-álgebra gerada por tθn1 prq ´ θ81 prq : r ď tu.A convergência quase certa é uma consequência direta do Lema 4.3. Para provar a desigualdade,

tome Ft a σ-álgebra gerada pelas variáveis aleatórias tθn1 prq : r ď t, n P N˚u. Como Fnt Ď Ft,podemos escrever:

E r|pθn1 pt` sq ´ θ81 pt` sqq ´ pθn1 ptq ´ θ81 ptqq||Fnt s

ď E rθn1 pt` sq ´ θn1 ptq|Fnt s ` E rθ81 pt` sq ´ θ81 ptq|Fnt s

ď E rE rθn1 pt` sq ´ θn1 ptq|Fts|Fnt s ` E rE rθ81 pt` sq ´ θ81 ptq|Fts|Fnt s (4.11)

Note que θn1 pt ` sq ´ θn1 ptq só depende dos valores de θm1 prq para m ě n e r ď t através dosvalores de θn1 prq, r ď t. Então podemos usar a Proposição 2.17 para calcular o valor da primeira


parcela:

E rθn1 pt` sq ´ θn1 ptq|Fts “ E rθn1 psqs “ sÿ

x|n

γnpx|nq.

Já que θn1 ptq e θn1 pt ` sq convergem em probabilidade para θ81 ptq e θ81 pt ` sq respectivamente(Proposição 4.2), então podemos tomar uma sequência crescente pnmqm tal que essa convergênciaseja quase certa sobre essa sequência. Usando o Lema de Fatou, podemos concluir:

E rθ81 pt` sq ´ θ81 ptq|Fts ď lim infmÑ8

E rθnm1 pt` sq ´ θnm1 ptq|Fts ď lim infmÑ8

sÿ

x|nm

sγnmpx|nmq.

Aplicando os dois últimos resultados em (4.11) nos fornece (4.10) e completa a prova da con-vergência de θn1 ´ θ81 .

Para o caso geral, note que θnk`1´ θ8k`1 converge em probabilidade para a função identicamente

nula na topologia de Skorohod se e somente se para todo T ą 0:

sup0ďtďT

|θnk`1ptq ´ θ8k`1ptq|

PÝÝÝÑnÑ8

0 (4.12)

Para cada x|k P Nk˚ fixado, construa θ8x|k a partir de θ8k`1 de maneira análoga à feita na Definição3.2. Usando a Proposição 3.3 e o último caso, concluímos que θnx|k ´ θ

8x|k

converge para uma funçãoidenticamente nula em probabilidade na topologia de Skorohod quando nÑ8.

Tome V1 Ă V2 Ă . . .Nk˚ uma sequência de conjuntos de Nk˚ tais que

Ť8l“1 Vl “ Nk˚ e cada Vl é

finito. Para um ε ą 0 arbitrário, fixe um l tal que P´

ř

x|kRVlθ8x|kpLpx|k, T qq ą ε

¯

ă ε. Com essaescolha:

sup0ďtďT

|θnk`1ptq ´ θ8k`1ptq| “ sup

0ďtďT

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ÿ

x|k

θnx|kpLpx|k, tqq ´ θ8x|kpLpx|k, tqq

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ď sup0ďtďT

ÿ

x|kPVl

ˇ

ˇ

ˇθnx|kpLpx|k, tqq ´ θ

8x|kpLpx|k, tqq

ˇ

ˇ

ˇ`

ÿ

x|kRVl

θnx|kpLpx|k, T qq `ÿ

x|kRVl

θ8x|kpLpx|k, T qq

ď sup0ďtďT

ÿ

x|kPVl

ˇ

ˇ

ˇθnx|kptq ´ θ

8x|kptq

ˇ

ˇ

ˇ`

ÿ

x|kRVl

θnx|kpLpx|k, T qq `ÿ

x|kRVl

θ8x|kpLpx|k, T qq

A primeira parcela converge para 0 em probabilidade quando n Ñ 8 porque Vl é finito. Oterceiro termo é controlado pela nossa esolha de l. Usando um argumento análogo ao usado em(4.8), podemos mostrar que o segundo termo converge para o terceiro em probabilidade quandonÑ8.

Observação 4.7. Utilizando de argumentos análogos, podemos provar o Teorema 4.5 com rθnk nolugar de θnk . A única mudança significativa na prova vem da igualdade Errθn1 ptqs “ tW pHq em (4.10).No entanto essa mudança acaba simplificando a demonstração.

4.3 PROPRIEDADES DO PROCESSO K EM UMA ÁRVORE DE PROFUNDIDADE INFINITA 33

4.3 Propriedades do Processo K em uma árvore de profundidadeinfinita

Corolário 4.8. Para cada j, k P N˚, j ă k vale que:

θ8j “ θ8k ˝ θk´1j q.c.

Demonstração. O Teorema 4.5 nos diz que θnj e θnk convergem em probabilidade uniformementeem compactos para θ8j e θ8k respectivamente. Tome uma sequência crescente pnmqm de modo quetenhamos convergência seja quase certa sobre essa sequência. Dessa forma, para todo T ą 0:

suptPr0,T s

ˇ

ˇ

ˇθ8j ptq ´ θ

8k

´

θk´1j ptq

¯ˇ

ˇ

ˇď sup

tPr0,T s

ˇ

ˇ

ˇθ8j ptq ´ θ

nmj ptq

ˇ

ˇ

ˇ` suptPr0,T s

ˇ

ˇ

ˇθnmk

´

θk´1j ptq

¯

´ θ8k

´

θk´1j ptq

¯ˇ

ˇ

ˇ

mÑ8ÝÝÝÝÑ

a.s.0

Corolário 4.9. Suponha queř

ip1´ αiq ă 8. Para qualquer k P N˚, quase certamente, se s ě 0 éum ponto de descontinuidade de θ8k , então s P tσ

k,xi : i, x P N˚u.

Demonstração. Com o Teorema 4.5, podemos tomar uma sequência crescente pnmqm tal que, paraqualquer T ą s fixado:

suptPr0,T s

|θnmk ptq ´ θ8k ptq|mÑ8ÝÝÝÝÑ

q.c.0.

Já que s é um ponto de descontinuidade de θ8k e essa é q.c. uma função não decrescente e contínuaa direita, então existe um ε ą 0 tal que θ8k psq´θ

8k ps´q ą ε, o que implica que θ8k psq´θ

8k ps´hq ą ε

para todo h P p0, sq.Para um h P p0, sq arbitrário:

θnmk psq ´ θnmk ps´ hq “ θnmk psq ´ θ8k psq

` θ8k psq ´ θ8k ps´ hq

` θ8k ps´ hq ´ θnmk ps´ hq.

A primeira e terceira parcelas dessa última equação convergem para zero q.c. , uniformementeem h, quando mÑ8. No entanto o segundo termo é sempre maior que ε. De onde concluímos queinfhPp0,sq θ

nmk psq´θnmk ps´hq ą ε{2 param grande o suficiente, então s é um ponto de descontinuidade

de θnmk .Finalmente podemos aplicar a Proposição 2.12 que afirma que s P tσk,xi : i, x P N˚u.

Corolário 4.10. Sob a suposição de não trivialidade (3.12), quase certamente, para cada k P N˚:

θ8k pR`q “ tt ě 0 : Ykptq “ 8u.

Demonstração. Tome t P θ8k pR`q e um s ě 0 tal que θ8k psq “ t. Vamos supor por absurdo queYkptq “ x ă 8.

Por definição, já que Ykptq “ x, existe i P N˚ tal que θ8k pσk,xi ´q ď t ă θ8k pσ

k,xi q.

Como t “ θ8k psq e θ8k é estritamente crescente (Teorema 3.6), então a desigualdade da direita

implica que s ă σk,xi , o que por sua vez implica que t “ θ8k psq ă θ8k pσk,xi ´q, contradizendo a


primeira desigualdade do último parágrafo. Portanto Ykptq “ 8.Agora vamos tomar t ą 0 qual que Ykptq “ 8. Tome s “ inf tr ą 0 : θ8k prq ą tu. Pela continui-

dade à direita de θ8k , concluímos que θ8k psq ě t. Vamos supor, por absurdo, que θ8k psq ą t. Peladefinição de s sabemos que θ8k ps´q ď t. Portanto θ8k ps´q ‰ θ8k psq.

Usando Corolário 4.9, temos que s “ σk,xi para algum i, x P N˚. Dessa maneira θ8k pσk,xi ´q ď

t ă θ8k pσk,xi q, o que implica que Ykptq “ x ă 8, contradizendo nossa escolha para t.

Corolário 4.11. Seř

ip1´ αiq ă 8, então:

tt ě 0 : Ykptq “ 8u Ď tt ě 0 : Yk`1ptq “ 8u,

quase certamente para todo k P N˚.

Demonstração. O Corolário 4.8 nos diz que, quase certamente:

θ8k pR`q “ tθ8k psq : s ě 0u “ tθ8k`1pΞkpsqq : s ě 0u Ď tθ8k`1psq : s ě 0u “ θk`1pR`q

Aplicando o Corolário 4.10 concluímos:

tt ě 0 : Ykptq “ 8u “ θ8k pR`q Ď θ8k`1pR`q “ tt ě 0 : Yk`1ptq “ 8u.

Corolário 4.12. Sob a condição de não trivialidade (3.12), o conjunto tt ě 0 : Ykptq “ 8u têmmedida de Lebesgue nula quase certamente para cada k P N˚.

Demonstração. Vamos mostrar que a seguinte igualdade é válida quase certamente para todo t ą 0:

θ8k ptq “8ÿ

x“1

Nk,xptqÿ

i“1

θ8k pσk,xi q ´ θ8k pσ

k,xi ´q. (4.13)

Com isso estamos mostrando que θ8k é uma função escada, dessa forma sua imagem tem medida deLebesgue nula. O resultado segue do Corolário 4.10.

Note que (4.13) não é uma consequência direta da convergência uniforme do Teorema 4.5. Épossível construir uma sequência de funções escada pfnq que convergem uniformemente para outrafunção f , em que todas tenham exatamente as mesmas descontinuidades mas f não é uma funçãoescada.

Para o resto da prova vamos fixar o meio aleatório tγkpx|kqu e provar o resultado para quasetodas as escolhas desse meio.

Já que θ8k é não decrescente e contínua a direita, então ela é a função de distribuição acumuladade uma medida. A expressão no lado direito de (4.13) pode ser interpretada como a soma sobrealguns pontos dessa medida. Como medidas são σ-aditivas podemos concluir que:

θ8k ptq ě8ÿ

x“1

Nk,xptqÿ

i“1


k,xi ´q.

Para mostrar a desigualdade inversa, usando a Observação 4.7, tome uma sequência crescentepnmqm tal que sobre ela rθnmk convirja quase certamente uniformemente em compactos para θ8k . Com

4.4 PROPRIEDADES DO PROCESSO K EM UMA ÁRVORE DE PROFUNDIDADE INFINITA 35

essa escolha, para qualquer N P N˚ fixado:

θ8k ptq “ limmÑ8

rθnmk ptq

“ limmÑ8

8ÿ

x“1

Nk,xptqÿ

i“1

rθnmk pσk,xi q ´ rθnmk pσk,xi ´q

ď lim supmÑ8

Nÿ

x“1

Nk,xptqÿ

i“1

rθnmk pσk,xi q ´ rθnmk pσk,xi ´q (4.14)

` lim supmÑ8

8ÿ

x“N`1

Nk,xptqÿ

i“1

rθnmk pσk,xi q ´ rθnmk pσk,xi ´q (4.15)

Note que (4.14) é igual à:

Nÿ

x“1

Nk,xptqÿ

i“1


k,xi ´q

NÑ8ÝÝÝÝÑ

q.c.

8ÿ

x“1

Nk,xptqÿ

i“1


k,xi ´q.

Para completar a prova, precisamos mostrar que (4.15) converge em probabilidade para zeroquando N Ñ 8. Com argumentos análogos aos usados no Teorema 3.5 podemos provar queprθnk pσ

k,xi q ´ rθnk pσ

k,xi ´qqn é um martingal. Dessa forma a sequência sobre a qual estamos tomando

o lim sup em (4.15) também é um martingal. Usando um Teorema de Convergência de Martingais[Dur10, Teorema 5.2.9], concluímos que o lim sup naquela expressão é de fato um limite.

Denotando (4.15) por KN e tomando Fk a σ-álgebra formada por toda a informação até o nívelk podemos usar o Lema de Fatou para obter:

ErKN s ď lim infmÑ8

E

»

–

8ÿ

x“N`1

Nk,xptqÿ

i“1


fi

fl

“ lim infmÑ8

8ÿ

x“N`1

E

»

–

Nk,xptqÿ

i“1

E”


ˇ

ˇ

ˇFk´1

ı

fi

fl

“ lim infmÑ8

8ÿ

x“N`1

E

»

–

Nk,xptqÿ

i“1

γkpXk´1pσk,xi qxqW pXk´1pσ

k,xi qxq

fi

fl

“

8ÿ

x“N`1

E

»

–

Nk,xptqÿ

i“1


k,xi qxq

fi

fl (4.16)

ď E

»

–

8ÿ

x“1

Nk,xptqÿ

i“1


k,xi qxq

fi

fl

“ E”

rΞkptqı

ă 8

Com isso obtemos que a soma em (4.16) é convergente e portanto converge para zero quandoN Ñ 8. Dessa forma KN converge para zero na métrica L1 e dessa forma também converge emprobabilidade.


4.4 Convergência do Processo K

Nosso objetivo nessa seção é provar um resultado de convergência dos Processos K em árvoresde profundidade finita (Xk) para o Processo K em uma árvore de profundidade infinita (Y) quandoprofundidade dessas árvores cresce.

Para fazer isso, precisamos definir uma topologia no espaço de estados. Para uma coordenadafixa vamos usar uma compactificação de sN˚. Especificamente, munimos sN˚ com a métrica ρ0:

ρ0px, yq :“

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1

x´

1

y

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

, x, y P sN˚,

sob a convenção de que 18“ 0. Para sNN˚

˚ , adotamos a métrica ρ:

ρpx|8, y|8q :“8ÿ

k“1

ρ0pxk, ykq

2k.

Dois pontos, x|8 e y|8, estão próximos nessa métrica se eles estão próximos num número finitode coordenadas. O que acontece em coordenadas “grandes” influencia pouco.

Queremos estender a métrica ρ paraŤ8k“1

sNk˚. Faremos isso adicionando um novo símbolo ζpara cada coordenada e definindo ρ0pζ, xq :“ Itx “ ζu. Depois estendemos ρ ao “inserir ζ ao final”de x|k. Isso é, para j ď k ď 8:

ρpx|j , y|kq :“

jÿ

i“1

ρ0pxi, yiq

2i`

kÿ

i“j`1

ρ0pζ, yiq

2i,

ρpy|k, x|jq :“ ρpx|j , y|kq.

Proposição 4.13. ρ assim definida é uma métrica completa sobre sNN˚˚ Y

Ť8k“1

sNk˚ e gera umatopologia separável.

Demonstração. Omitiremos a prova de que ρ é uma métrica.Tomemos D :“

Ť8k“1

sNk˚, um conjunto enumerável. Para mostrar a separabilidade vamos mos-trar que D é denso.

Tome y um ponto do espaço e ε ą 0 arbitrários. Vamos mostrar que D X Bpy, εq ‰ H, ondeBpy, εq “ tx : ρpx, yq ă εu é a bola aberta, centrada em y de raio ε.

Se y P D a afirmação é evidente, então vamos assumir que y P sNN˚˚ . Fixe n tal que

ř8i“n`1

12iă ε,

tome x “ py1, y2, . . . , ynq P D e note que:

ρpx, yq “nÿ

i“0

ρ0pxi, yiq

2i`

ÿ

iąn

ρ0pζ, yiq

2i“

ÿ

iąn

1

2iă ε.

Dessa forma x P D XBpy, εq e portanto essa intersecção não pode ser vazia.Para mostrar que a métrica é completa, tome x1, x2, . . . uma sequência ρ-Cauchy de pontos do

espaço, queremos mostrar que ela é convergente. Vamos cometer um abuso de notação e denotar ospontos do espaço como x P psN˚ Y tζuqN˚ .

Fixe uma coordenada k, vamos mostrar primeiro que existe um xk P sN˚Ytζu tal que limnÑ8 ρ0pxk, xnkq “

0. Para isso quebremos em dois casos:

4.4 CONVERGÊNCIA DO PROCESSO K 37

1. Caso limnÑ8 ρ0pxnk ,8q “ 0. Nesse caso tomamos xk “ 8 e temos a propriedade desejada.

2. Caso contrário existe um N P N˚ e uma sequência crescente pnmqm tal que xnmk ď N paratodo m. Aqui convencionamos que ζ ă“ N para todo N P N˚.

Afirmamos que existe um m0 tal que xnmk é constante para m ą m0. Para provar isso, porabsurdo, vamos supor que para todo m0 existem m1,m2 ą m0 tais que xnm1

k ‰ xnm2k . Fixando

um ε ă p 1N ´

1N´1q

12k

teremos que:

ρpxnm1 , xnm2 q ěρ0px

nm1k , x

nm2k q

2kě

ˆ

1

N´

1

N ´ 1

˙

1

2ką ε.

Isso contraria o fato que a sequência x1, x2, . . . é ρ-Cauchy. Vamos definir dessa forma xkcomo sendo esse valor constante que a sequência xnmk eventualmente assume. Afirmamos quelimnÑ8 ρ0pxk, x

nkq “ 0.

Se isso não for verdade, então existe um ε ą 0 e uma subsequência crescente pn1mqm tal queρ0pxk, x

n1mk q ą ε. Mas se isso for verdade, então para todo n0 podemos tomar n1, n2 ą n0,

onde n1 é um elemento da primeira sequência tal que xn1k “ xk e n2 é da segunda sequência.

Dessa forma:ρpxn1 , xn2q ě

ρ0pxn1k , x

n2k q

2ką

ε

2k.

Novamente isso contraria o fato de x1, x2, . . . ser uma sequência ρ-Cauchy, o que completa aprova desse caso.

Agora tomemos x “ px1, x2, . . .q como dados por esse argumento. Note que se xk “ ζ paraalgum k, isso implica que xnk “ ζ para n suficientemente grande. Para tais valores de n vai valerque xnj “ ζ para j ą k e portanto xj “ ζ. Assim x é um ponto válido do espaço.

Fixado um ε ą 0, sabemos que existe um nk tal que ρ0pxnk , xkq ă ε{2 para todo n ą nk.

Tomemos k0 tal queř

iąk012iă ε{2 e n0 “ maxpn1, . . . , nk0q. Com essas escolhas, sabemos que

para n ą n0:

ρpxn, xq “k0ÿ

i“0

ρ0pxnk , xkq

2i`

ÿ

iąk0

ρ0pxnk , xkq

2i

“ε

2

k0ÿ

i“0

1

2i`

ÿ

iąk0

1

2iă ε

Dessa forma provamos que xn converge para x quando nÑ8.

Proposição 4.14. O Processo K em uma árvore de profundidade infinita, Y, quandoř

ip1´αiq ă

8, é quase certamente um processo càdlàg em relação à métrica ρ.

Demonstração. No caso trivial, isso é, quando (3.13) é válido, então Yk é constante e igual à 8 paratodo k, dessa forma esse processo é trivialmente càdlàg. Dessa forma vamos assumir a condição denão trivialidade (3.12) para o resto da demonstração.

Fixemos uma realização do processo, vamos mostrar primeiro que cada coordenada de Y re-presenta uma função càdlàg com relação à métrica ρ0. Isso é equivalente a mostrar que para todo


T ą 0 e ε ą 0, existem 0 “ t0 ă t1 . . . ă tr “ T tais que wkrti´1, tiq ă ε, onde wkpAq “sups,tPA ρ0pYkpsq, Ykptqq.

Fixe um M P N˚ tal que 1M`1 ă ε e tome t0, t1, . . . , tr uma ordenação do conjunto:

´!

θ8k pσk,xi ´q, θ8k pσ

k,xi q : i P N˚, x ďM

)

X r0, T s¯

Y t0, T u.

Note que isso é possível pois esse conjunto é finito. Para um par de pontos ti´1, ti consecutivosdesse conjunto temos duas possibilidades:

• Caso ti´1 “ θ8k pσk,xi ´q para algum i, x P N˚. Como θ8k é estritamente crescente, temos que

ti “ θ8k pσk,xi q ou ti “ T ă θ8k pσ

k,xi q.

Nos dois casos Ykptq “ x para todo t P rti´1, tiq. Dessa forma wkrti´1, tiq “ 0.

• Caso o primeiro caso não seja verdade, então Ykptq ąM para todo t P rti´1, tiq. Dessa forma:

wkrti´1, tiq ď supx,yPsN˚

ρ0px, yq “1

M ` 1ă ε

Portanto concluímos que cada Yk é uma função càdlàg. Agora queremos provar que Y tambémé. Para isso, analogamente ao que fizemos anteriormente, vamos mostrar que para todo T ą 0 eε ą 0 fixados arbitrariamente existem 0 “ t0 ă t1 ă t2 ă . . . ă tr “ T tais que wrti´1, tiq ă ε paratodo i “ 1, 2, . . . , r, onde wpAq “ sups,tPA ρpYptq,Ypsqq.

Fixe N P N˚ tal queř

iąN12i“ 1

2Nă ε

2 . E para cada k ď N tome 0 “ tk0 ă tk1 ă . . . ă tkrk “ T

tais que wkrtki´1, tki q ă

ε2 . Finalmente defina 0 “ t0 ă t1 ă . . . ă tr “ T uma ordenação de todos os

tki para k ď N , i ď rk.Para todo k ď N e i “ 1, 2, . . . , r, note que o intervalo rti´1, tiq está contido em rtki1´1, t

ki1q para

algum i1. Dessa forma wkrti´1, tiq ď wkrtki1´1, t

ki1q ă ε{2.

Portanto podemos concluir:

wrti´1, tiq ďNÿ

k“1

1

2kwkrti´1, tiq `

ÿ

kąN

1

2kwkrti´1, tiq

ďε

2

Nÿ

k“1

1

2k`

ÿ

kąN

1

2ksupx,yPsN˚

ρ0px, yq

ďε

2`

ÿ

kąN

1

2kď ε

Teorema 4.15. Sob a condição de não trivialidade (3.12). Vale que XkkÑ8ÝÝÝÑ Y em probabilidade

na topologia de Skorohod usando ρ.

Demonstração. Tome qualquer sequência crescente pbnq de números naturais. Vamos mostrar queessa sequência contem uma sub-sequência pknqn sobre a qual Xkn converge em probabilidade paraY quando nÑ8. Isso implica que Xk converge em probabilidade para Y.

Teorema 4.5 garante que para cada j existe uma sub-sequência panq de pbnq tal que θanj ´ θ8jconverge quase certamente na norma uniforme. Usando o método da diagonal de Cantor, podemosmostrar que existe uma sub-sequência pknq de pbnq tal que θknj ´θ

8j converge quase certamente para

todo j. Fixe uma tal sub-sequência. É sobre ela que vamos mostrar a convergência.

4.5 CONVERGÊNCIA DO PROCESSO K 39

Fixe uma realização do processo, vamos mostrar que para quase todas essas realizações e todoT ą 0, existe uma sequência pλnq de funções, onde λn : r0,8q Ñ r0,8q é uma função estritamentecrescente e Lipschitz contínua, que satisfaz:

limnÑ8

suptPr0,T s

ρ pXknptq,Ypλnptqqq “ 0 (4.17)

limnÑ8

suptPr0,T s

|λnptq ´ t| “ 0 (4.18)

O Teorema 5.3 do Chapter 3 de [EK86] garante que essas condições são suficientes para mostrarque Xkn converge para Y na topologia de Skorohod.

Vamos mostrar que, para todo ε ą 0, existe uma sequência pλnq que satisfaz (4.18) e que aquantidade em (4.17) é menor do que ε. Isso vai implicar que existe uma sequência pλnq que satisfaz(4.17) e (4.18).

Para um ε ą 0 arbitrariamente, tome N,M P N˚ tais queř

jěN12jă ε{2 e 1{pM ` 1q ă ε{2.

Suponha que n é grande o suficiente de modo que kn ą N .Para construir λn, para kn ą N , tome Sn :“ tθNj pσ

j,xi ´q, θ

Nj pσ

j,xi q : x ďM, j ă N, θknj pσ

j,xi ´q ď

T u. Defina λn tal que para todo s P Sn:

λnpθknN`1psqq “ θ8N`1psq.

Complete λn linearmente entre os pontos de Sn e a deixe evoluir linearmente com coeficienteangular 1 depois do último ponto. Note que, como Sn é finito e λn é linear por partes, então ela éLipschitz contínua.

O Teorema 3.6 garante que λn é estritamente crescente, então ela é uma candidata para distorçãotemporal. A Proposição 2.11 nos diz que a j-ésima coordenada, j ă N , de Xknptq é igual à x ďM

se e somente se:

t Pď

i“1

”

θknj pσj,xi ´q, θ

knj pσ

j,xi q

¯

“ď

i“1

”

θknN`1pθNj pσ

j,xi ´qq, θ

knN`1pθ

Nj pσ

j,xi qq

¯

ô

λnptq Pď

i“1

”

θ8N`1pθNj pσ

j,xi ´qq, θ

8N`1pθ

Nj pσ

j,xi qq

¯

“ď

i“1

”

θ8j pσj,xi ´q, θ

8N`1pσ

j,xi q

¯

.

Observe que usamos o Corolário 4.8 na última passagem. Com isso concluímos que, para qualquercoordenada j ă N :

suptPr0,T s

ρ0pXkn,jptq, Yjpλnptqqq ď1

M ` 1ăε

2

suptPr0,T s

ρpXknptq,Ypλnptqqq ăε

2`

ÿ

jěN

1

2jă ε.

Isso encerra a prova de (4.17). Para provar (4.18) tome T 1 ą 0 tal que θ8j pT1q ą T ` 1 para

todo j ă N e note que, para n grande o suficiente:

suptPr0,T s

|λnptq ´ t| “ maxsPSn

ˇ

ˇ

ˇθknN`1psq ´ θ

8N`1psq

ˇ

ˇ

ˇď sup

sPr0,T 1s

ˇ

ˇ

ˇθknN`1psq ´ θ

8N`1psq

ˇ

ˇ

ˇ

nÑ8ÝÝÝÑ 0.


4.5 Medida Empírica

Vamos assumir toda essa seção que o meio aleatório tγkpx|kq : k P N˚, x|k P Nk˚u está fixado.Todos os resultados dessa seção valem para quase todas as escolhas do meio aleatório.

Nessa seção iremos calcular a medida empírica assintótica do Processo K em árvores de profun-didade infinita, isso é, a proporção do tempo que o processo título passa em cilindros rx|ks “ ty|8 PsNN˚˚ : y|k “ x|ku. Provaremos que ela é dada por:

limtÑ8

1

t

ż 8

0I tYptq P rx|ksu dt

tÑ8ÝÝÝÑq.c.

sγkpx|kqE”

θ8x|kp1qı

E rθ81 p1qs. (4.19)

Note que provamos que essa quantidade é finita no Teorema 3.5. Vamos nos basear na seguinteconjectura:

Conjectura 4.1. O Processo K em uma árvore de profundidade infinita é fortemente Markoviano.

Pensamos que é possível mostrar esse resultado usando uma técnica análoga à empregada emFontes e Mathieu [FM08] e Fontes e Peixoto [FP13], onde os autores aproximam o processo título deseus artigos por processos que são markovianos, e provam que a propriedade de Markov sobreviveao limite.

Duas complicações aparecem ao tentar utilizar esse argumento. A primeira é que não temos umaprova de que os Processos K em árvores de profundidade finita são markovianos.

Uma segunda complicação é que o argumento usa de maneira forte que o processo limite tenhaa propriedade de Feller, algo que preferimos evitar nesse trabalho, já que não construímos umProcesso K iniciado em um estado y P sNN˚

˚ arbitrário.Dessa forma deixamos esse problema para um trabalho futuro, e vamos assumir a Conjectura

4.1 pelo restante da seção.

Definição 4.2. Vamos denotar as primeiras k coordenadas do processo Y por Y |k, isso é:

Y |k :“ pY1, . . . , Ykq

Proposição 4.16. Se T é uma variável aleatória positiva, independente do processo θ8x|k então:

E”

θ8x|kpT qı

“ E”

θ8x|kp1qı

EpT q

Demonstração. Vamos provar esse resultado para θ81 , a Proposição 3.3 estende essa prova para ocaso geral.

Fixe n,m P N˚ arbitrariamente, já que θ81 é um subordinador (Lema 4.4) então θ81 pn{mq tema mesma lei que a soma de n cópias independentes de θ81 p1{mq. Pelo mesmo argumento θ81 p1q tema mesma distribuição que a soma de m cópias independentes de θ81 p1{mq. Dessa forma:

E”

θ81

´ n

m

¯ı

“ nE„

θ81

ˆ

1

m

˙

“n

mE rθ81 p1qs

Para um t ą 0 real arbitrário, tome q, r números racionais tais que 0 ă q ă t ă r. Como um

4.5 MEDIDA EMPÍRICA 41

subordinador é monótono, então:

E rθ81 pqqs ď E rθ81 ptqs ď E rθ81 prqs

ô qE rθ81 p1qs ď E rθ81 ptqs ď rE rθ81 p1qs .

Já que q, r podem ser tomados arbitrariamente próximos de t então E rθ81 ptqs “ t rθ81 p1qs.Para completar a prova, denote por ν a medida de probabilidade associada com T . Como T éindependente de θ81 , concluímos que:

E rθ81 pT qs “ż

E rθ81 ptqs νpdtq

“ E rθ81 p1qsż

tνpdtq

“ E rθ81 p1qsEpT q

O próximo resultado nos diz que, para um t ě 0 fixado, a família tErθ8x|kptqs : k P N˚, x|k P Nk˚usatisfaz uma lei de composição análoga à observada na Proposição 3.2 para a família tW px|kq : k P

N˚, x|k P Nk˚u.

Proposição 4.17. Para quaisquer t ą 0 e x|k P Nk˚ fixados, seř

ip1´ αiq ă 8 então:

E”

θ8x|kptqı

“ÿ

xk`1

γk`1px|k`1qE”

θ8x|k`1ptq

ı

, (4.20)

E”

θ8x|kpσk`1,xk`1

1 ´q

ı

“ E”

θ8x|kp1qı

´ γk`1px|k`1qE”

θ8x|k`1p1q

ı

(4.21)

Demonstração. Vamos provar apenas o caso x|k “ H (k “ 0). Para mostrar (4.20) vamos aplicar oCorolário 4.8 para quebrar a contribuição cada possível primeira coordenada e depois apliquemosa Proposição 4.16:

E rθ81 ptqs “ E rθ82 pΞ1ptqqs

“ E

»

–θ82

¨

˝

ÿ

x1

N1,x1 ptqÿ

i“1

γ1px|1qT1,x1i

˛

‚

fi

fl

“ E

»

–

ÿ

x1

θ8x|1

¨

˝

N1,x1 ptqÿ

i“1

γ1px|1qT1,x1i

˛

‚

fi

fl

“ E

»

–

ÿ

x1

θ8x|1

¨

˝

N1,x1 ptqÿ

i“1

γ1px|1qT1,x1i

˛

‚

fi

fl

“ÿ

x1

E”

θ8x|1p1qı

E

»

–

N1,x1 ptqÿ

i“1

γ1px|1qT1,x1i

fi

fl

“ÿ

x1

E”

θ8x|1p1qı

tγ1px|1q

“ÿ

x1

E”

θ8x|1ptqı

γ1px|1q

Para provar (4.21), note que a distribuição de θ8x|k , até o instante σk`1,xk`1

i , é independente do


valor desse instante, com a restrição de que o processo não encontra nenhum ponto originário doProcesso de Poisson Nk`1,xk`1 . Isso seria equivalente a forçar γk`1px|k`1q “ 0.

Se denotarmos por pθ8x|k uma versão de θ8x|k onde fazemos essa modificação, podemos utilizar oresultado anterior e a Proposição 4.16 para obter:

E”

θ8x|kpσk`1,xk`1

1 ´q

ı

“ E”

pθ8x|kpσk`1,xk`1

1 q

ı

“ Epσk`1,xk`1

1 qE”

pθ8x|kp1qı

“ÿ

y‰xk`1

γk`1px|kyqE”

θ8x|kyp1qı

“ E”

θ8x|kp1qı

´ γk`1px|k`1qE”

θ8x|k`1p1q

ı

Definição 4.3. Para um y|k P Nk˚ fixado, vamos denotar por Ui o instante da i-ésima entrada deY |k em y|k. Analogamente vamos chamar a i-ésima saída de Vi. Isso é, definimos V0 :“ 0 e parai “ 1, 2, . . .:

Ui :“ inf tt ą Vi´1 : Y |kptq “ y|ku (4.22a)

Vi :“ inf tt ą Ui : Y |kptq ‰ y|ku (4.22b)

Proposição 4.18. No caso não trivial, para todo i vale que:

YjpUiq “

$

&

%

yj se j ď k

8 caso contrário,YjpViq “

$

&

%

yj se j ă k

8 caso contrário.

Demonstração. Por construção, sabemos que Ui “ θ8k pσk,ykj ´q e Vi “ θ8k pσ

k,ykj q para algum j.

Dessa forma Vi pertence à imagem de θ8k , de onde o Corolário 4.10 nos afirma que YkpViq “ 8.Agora podemos aplicar o Corolário 4.11 para concluir que YjpViq “ 8 para todo j ě k.

A Proposição 2.15 nos diz que existe j1 tal que σk,ykj P rΞk´1pσk´1,yk´1

j1 ´q,Ξk´1pσk´1,yk´1

j1 qq,dessa forma temos que:

Ξk´1pσk´1,yk´1

j1 ´q ď σk,ykj ă Ξk´1pσk´1,yk´1

j1 q

ô θ8k´1pσk´1,yk´1

j1 ´q ď θ8k pσk,ykj q “ Vi ă θ8k´1pσ

k´1,yk´1

j1 q.

Dessa forma Vi pertence a um intervalo onde Yk´1 é constante e igual à yk´1. Como essesintervalos são encaixados (Proposição 2.15), então concluímos que YjpViq “ yj para todo j ă k.

Como Y é contínuo à direita (Proposição 4.14) então vale que YjpUiq “ yj para j ď k.Lembre que Ui “ θ8k pσ

k,ykj ´q e suponha, por absurdo, que Yk`1pUiq “ x ă 8. Nesse caso existe

um σk`1,xi1 tal que:

θ8k`1pσk`1,xi1 ´q ď Ui ă θ8k`1pσ

k`1,xi1 q

ô θ8k`1pσk`1,xi1 ´q ď θ8k pσ

k,ykj ´q ă θ8k`1pσ

k`1,xi1 q

ô θ8k`1pσk`1,xi1 ´q ď θ8k`1pΞkpσ

k,ykj ´qq ă θ8k`1pσ

k`1,xi1 q.

Como θ8k`1 é estritamente crescente, então a primeira desigualdade da última expressão implica

4.5 MEDIDA EMPÍRICA 43

que σk`1,xi1 ď Ξkpσ

k,ykj ´q. Por outro lado a segunda desigualdade implica que Ξkpσ

k,ykj ´q ă σk`1,x

i1 .Aqui encontramos uma contradição, de onde concluímos que Yk`1pUiq “ 8. Aplicando o Corolário4.11 concluiremos que YjpUiq “ 8 para todo j ą k.

O incremento Vi ´ Ui é o tempo que o processo Y passa em y|k na sua i-ésima visita. Ele éigual à θ8k pσ

k,ykj q ´ θ8k pσ

k,ykj ´q para algum j. Dessa forma EpVi ´ Uiq “ E

”

θ8y|k

´

γkpx|kqTk,yk1

¯ı

“

γkpy|kqEpθ8y|kp1qq.

Proposição 4.19. O incremento Ui`1 ´ Vi é o tempo entre visitas consecutivas à y|k. O seu valoresperado pode ser calculado como:

EpUi`1 ´ Viq “E pθ81 p1qqsγk´1py|k´1q

´ γkpy|kqE´

θ8y|kp1q¯

, (4.23)

sob a convenção de que sγ0py|0q :“ 1.

Demonstração. Vamos denotar por S1j , S

2j , . . . os intervalos entre visitas consecutivas à y|j . A pro-

priedade forte de Markov (Conjectura 4.1) nos diz que essas variáveis formam uma sequência i.i.d..Vamos denotar ainda por aj :“ EpS1

j q. Queremos calcular ak.No instante Vi o processo acabou de sair de y|k, isso é, Vi “ θ8k pσ

k,yki1 q para algum i1. Existe

um σk´1,yk´1

i2 tal que σk,yki1 P rΞk´1pσk´1,yk´1

i2 ´q,Ξk´1pσk´1,yk´1

i2 qq. Esse intervalo tem comprimentoγk´1py|k´1qT

k´1,yk´1

i2 . Por causa da falta de memória da distribuição exponencial, a lei de Ξk´1pσk´1,yk´1

i2 q´

σk,yki1 é a mesma que a lei do comprimento total do intervalo.Com probabilidade p “ γk´1py|k´1q{p1`γk´1py|k´1qq vamos observar σk,yki1`1 ă Ξk´1pσ

k´1,yk´1

i2 qq.Nesse caso o Processo K vai visitar y|k antes de sair de y|k´1.

Se isso não acontecer, vai levar um tempo com lei S1k´1 para que o Processo K visite y|k´1

novamente, nessa ocasião teremos uma probabilidade p de visitarmos y|k durante essa visita a y|k´1.Caso isso haja uma segunda falha então o processo esperará S2

k´1 para uma terceira tentativa eassim por diante.

Portanto o tempo entre visitas consecutivas a y|k que o processo passa fora de y|k´1 tem a mesmalei que

řMi“1 S

ik´1, ondeM é uma variável geométrica com probabilidade de sucesso p, independente

de Sik´1, i “ 1, 2, . . ..O tempo total passado em y|k´1, mas fora de y|k tem a mesma lei que θy|k´1

pσk,yk1 ´q. Dessaforma, usando a Proposição 4.17:

ak “ ak´11´ p

p` E

”

θy|k´1pσk,yk1 ´q

ı

“ak´1

γk´1py|k´1q` E

”

θ8y|k´1p1q

ı

´ γkpy|kqE”

θ8y|kp1qı

.

Dessa forma obtemos uma recorrência em k para ak, que podemos usar para provar (4.23) com umargumento de indução.

A propriedadade forte de Markov (Conjectura 4.1) nos diz que os incrementos das variáveispUi, Viq são independentes. Portanto podemos usar a lei forte dos grandes números para calcular a


proporção do tempo que o Processo K passa em um estado y|k:

πpy|kq :“ limnÑ8

ř8i“1 Vi ´ UiVn

q.c.“

E rVi ´ UisE rUi`1 ´ Uis

“E rVi ´ Uis

E rUi`1 ´ Vis ` E rVi ´ Uis

“

sγkpy|kqE”

θ8y|kp1qı

E rθ81 p1qs

Note que chegamos na mesma fórmula que anunciamos em (4.19). Podemos usar o teorema daconsistência de Kolmogorov para provar que essa função π define uma medida sobre a σ-álgebraproduto de NN˚

˚ . A Proposição 4.17 nos diz ainda que ela é uma medida de probabilidade.Na prova do Teorema 3.5, obtemos que:

E”

θ8x|kptqı

ď lim infnÑ8

E”

rθnx|kptqı

“ tW px|kq.

Não sabemos calcular E rθ81 ptqs. Mas não nos surpreenderíamos se a desigualdade da equaçãoanterior fosse de fato uma igualdade. Isso forneceria uma interpretação interessante para a proba-bilidade π em termos do meio aleatório tγkpx|kqu. Ela seria proporcional à sγkpy|kqW py|kq, divididapor um fator de normalização.

Capítulo 5

Conclusões

Nesse trabalho introduzimos o Processo K em uma árvore de profundidade infinita, demoscondições em que nossa construção resulta em um processo não trivial e, sob essas condições,provamos que ele é o limite dos Processos K em árvores de profundidade infinita, introduzidas porFontes et al. [FGG13], quando a altura das árvores cresce para o infinito.

Para um estudo futuro, podemos sugerir provar que o processo título é fortemente markoviano,como indicado na Seção 4.5.

Outra pergunta em aberto diz respeito à escolha das constantes ck feita em (2.1). O processolimite só existiu porque fizemos essa escolha particular. Podemos interpretar o Teorema 4.15 comouma espécie de limite de escala, com a escala definida indiretamente pela nossa escolha das cons-tantes.

Mais especificamente, quanto poderíamos relaxar a escolha dessas constantes e ainda assim obtero mesmo processo limite? Será que existe alguma escolha que resulte em outro processo limite?

Fontes et al. [FGG13] mostraram que, sob certas condições, o Processo K em árvores de pro-fundidade finita é limite de escala de modelos de armadilha estilo GREM, quando os volumes dasárvores crescem de uma maneira controlada. Como mostramos que o nosso processo título é limitede Processos K de profundidade finita, então podemos provar que o Processo K em árvores deprofundidade infinita também pode ser obtido como limite de modelos de armadilha estilo GREM.Porém para isso usamos um argumento abstrato que não nos dá critérios concretos sobre como ovolume de cada nível da árvore deve crescer em relação à velocidade de crescimento da altura daárvore. Encontrar tais condições seria outra pergunta para um trabalho futuro.

45

46 CONCLUSÕES 5.0

Bibliografia

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47

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arXiv:1208.5675

48 BIBLIOGRAFIA 5.0

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http://dx.doi.org/10.1143/JPSJ.69.3045

http://jpsj.ipap.jp/link?JPSJ/69/3045/

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