PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSAS DE INICIAÇÃO À

DOCÊNCIA

PROJETO UFCG NA EDUCAÇÃO BÁSICA:

“OLHARES – DIÁLOGOS – INTERAÇÕES”

SUBPROJETO PIBID/MATEMÁTICA – CAMPINA GRANDE

Campina Grande, novembro – 2011

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE

Centro de Ciências e Tecnologia - CCT

Unidade Acadêmica de Matemática e Estatística - UAME

EQUIPE: BOLSISTAS PIBID

Dhiego Vieira do Amaral

Maria Wedna Gomes Pereira

Poliana Franque de Oliveira

Priscila Silva de Souza

Rene Brito de Maria

Roberta Laryssa Araújo de Andrade

Tiêgo dos Santos Freitas

ORIENTADOR

Severino Horácio da Silva

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CONSTRUINDO E JOGANDO COM OS POLIEDROS

INTRODUÇÃO

Vivemos em uma época onde o processo de ensino aprendizagem está marcado

por diversos problemas, passando desde a infraestrutura das escolas à aprendizagem dos

alunos.

Vivenciamos os constantes avanços do meio tecnológico e estamos inseridos em

uma sociedade onde precisamos possuir um conhecimento muito além do que é

oferecido pelas escolas; diante desse cenário, onde não sabemos que competências e

conhecimentos são necessários, ficamos refém do ensino tradicional e desmotivador.

A Matemática enquanto ciência faz-se presente na quantificação do real e no

desenvolvimento das técnicas de cálculos com os números e com as grandezas. Mas o

conhecimento dessa área vai mais além “criando sistemas abstratos, ideais, que

organizam, inter-relacionam e revelam fenômenos do espaço, do movimento, das

formas e dos números, associados quase sempre a fenômenos do mundo físico”, (veja

[2], p. 25).

Infelizmente, muitos professores, do Ensino Fundamental ao Ensino Superior,

não privilegiam o ensino de geometria; esse problema presente em todos os níveis de

escolaridade precisa ser combatido, dado a importância do conhecimento geométrico

em nosso cotidiano. Além disso, o ensino desse conteúdo na educação básica, e até

mesmo no ensino superior, é marcado por problemas como a falta de motivação de

professores e alunos e a não valorização de materiais concretos, o que pode dificultar o

processo de ensino-aprendizagem nessa área de conhecimento.

Os PCN evidenciam essa importância ao afirmar que:

Os conceitos geométricos constituem parte importante do currículo de

Matemática no ensino fundamental, porque, por meio deles, o aluno

desenvolve um tipo especial de pensamento que lhe permite compreender,

descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vive, (veja

[2], p.51).

Portanto, faz-se preciso um ensino de matemática voltado para a nossa realidade,

para as necessidades da sociedade na qual estamos inseridos. A escola precisa formar

cidadãos que saibam conviver em sociedade, preparados para o mercado de trabalho e

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para prosseguir com seus estudos ao término do Ensino Fundamental e do Ensino

Médio.

O ensino de geometria em matemática precisa possuir a mesma importância que

possui o ensino de aritmética e da álgebra, dada a importância do conhecimento

geométrico em nosso cotidiano.

Entre os diversos caminhos para se “fazer Matemática” em sala de aula, os PCN

indicam o recurso aos jogos como uma das ferramentas para auxiliar o professor no

desenvolvimento de sua prática docente, ajudando os alunos no entendimento de temas

trabalhados nos jogos, dinamizando o ensino, e facilitando a apropriação de conceitos,

regras, operações e procedimentos dos conteúdos matemáticos presentes nos jogos.

O jogo passa a ser visto como um agente cognitivo que auxilia o aluno a agir

livremente sobre suas ações e decisões, fazendo com que ele desenvolva,

além do conhecimento matemático, também a linguagem, pois em muitos

momentos será instigado/a a posicionar-se criticamente frente a algumas

situações, (veja [7]).

Diante do exposto, pretendemos neste minicurso trabalhar sobre Poliedros, tanto

de forma teórica quanto de forma prática; incluindo a confecção de poliedros e

utilização de um jogo que pode ser trabalhado em sala de aula para auxiliar na fixação

desse conteúdo.

Neste trabalho adotamos definições e propriedades dadas em [1] e [8] e

ilustrações dadas em [1], [5], [6], [9] e [10]. Além disso, baseados em [3] e [4],

apresentamos, em anexo, um manual de confecção de alguns poliedros e um manual de

uso do jogo sobre poliedros.

POLIEDROS

A palavra poliedro é formada por duas palavras gregas: polys que significa

várias (dando origem ao prefixo poli) e hédrai que significa faces (dando origem ao

sufixo edro).

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Poliedro é um sólido fechado limitado por regiões poligonais planas, das quais

duas quaisquer delas nunca estão no mesmo plano, nem tem ponto interior em comum

e, cada lado de uma região poligonal não seja comum a mais de duas regiões.

O conjunto das regiões poligonais que limitam o poliedro é chamada de

superfície poliédrica.

Segue abaixo algumas figuras que representam poliedros:

Figura 1: poliedros.

ELEMENTOS DE UM POLIEDRO

Os elementos dos poliedros são as faces, as arestas e os vértices.

Figura 2: elementos de um poliedro.

Os elementos de um poliedro são definidos da seguinte forma:

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i) As regiões que limitam o sólido são denominadas faces;

ii) A intersecção de duas ou mais faces dá origem a uma aresta;

iii) A intersecção de três ou mais arestas dá origem aos vértices

do poliedro.

CLASSIFICAÇÃO DOS POLIEDROS

POLIEDROS CONVEXOS

Poliedro convexo é o sólido cujo plano de cada face divide o espaço de tal modo

que deixa no mesmo semi-espaço todas as outras faces, (veja Figura 3).

Figura 3: Poliedro convexo.

POLIEDRO NÃO CONVEXO

Um Poliedro não convexo é um sólido que pode ser dividido em duas ou mais

partes por um plano que contenha uma de suas faces, (veja Figura 4).

Figura 4: poliedro não convexo.

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POLIEDROS EULLERIANOS

Os Poliedros Eullerianos são aqueles que satisfazem ao Teorema de Euller,

V-A+F = 2,

onde V é o número de vértices, A é o número de arestas e F é o número de faces do

poliedro.

Observação: Todo poliedro convexo é eulleriano, mas nem todo poliedro eulleriano

é convexo.

Exemplo: o poliedro acima (Figura 4) não é convexo, mas satisfaz o Teorema de Euller,

vejamos:

V = 12, A = 18 e F = 8

Daí,

V – A + F = 12 - 18 + 8 = 2.

POLIEDROS REGULARES

Um poliedro convexo é regular quando todas as faces são regiões poligonais

regulares congruentes entre si e em todos os vértices concorrem o mesmo número de

aresta. Caso contrário o poliedro é irregular, ou não regular.

Teorema de Euller-Descartes. Existem apenas cinco poliedros regulares: o

tetraedro, o hexaedro, o octaedro, o dodecaedro e o icosaedro.

Figura 5: Poliedros regulares

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Tabela 1: número de faces, vértices e arestas dos 5 poliedros regulares

Poliedro Faces (F) Vértices (V) Arestas (A)

Tetraedro 4 4 6

Hexaedro 6 8 12

Octaedro 8 6 12

Dodecaedro 12 20 30

Icosaedro 20 12 30

PLANIFICAÇÃO DOS POLIEDROS REGULARES

Figura 6: planificações dos poliedros regulares1.

PIRÂMIDE

Dada uma região poligonal convexa R contida em um plano α e um ponto V, não

pertencente a α, tracemos todos os possíveis segmentos de reta que têm uma

extremidade em V e a outra num ponto do polígono. A reunião desses segmentos é um

sólido chamado pirâmide.

ELEMENTOS DE UMA PIRÂMIDE

Figura 7: Pirâmide.

1 Para fazermos a confecção de um poliedro devemos, inicialmente, desenhar sua planificação

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Vértice: é o ponto V.

Base: é a região poligonal R;

Arestas da base: são os lados da região poligonal;

Arestas laterais: são os segmentos que tem uma extremidade em V e outra nos

vértices da região poligonal;

Faces laterais: é a reunião de todos os segmentos de reta que têm uma

extremidade no vértice da pirâmide e outra numa aresta da base.

As faces laterais de uma pirâmide são limitadas pelas arestas da pirâmide.

Altura: é a distância h do ponto V ao plano α.

CLASSIFICAÇÃO DAS PIRÂMIDES

As pirâmides podem ser classificadas de acordo com a região poligonal da base.

Assim temos:

Pirâmide triangular;

Pirâmide quadrangular;

Pirâmide pentagonal;

Pirâmide hexagonal;

Pirâmide heptagonal,

e assim sucessivamente.

PIRÂMIDE REGULAR

A pirâmide regular é aquela cuja base é uma região poligonal regular e cujas

arestas laterais são congruentes entre si.

Uma pirâmide regular tem as seguintes características:

A projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base é o centro da base;

As faces laterais são triângulos isósceles congruentes;

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O apótema da pirâmide regular é a altura de uma face lateral, relativa á aresta da

base.

PLANIFICAÇÃO DE UMA PIRÂMIDE HEXAGONAL

Figura 8: planificação de uma pirâmide.

PRISMAS

Dados dois planos paralelos e distintos, α e β, uma região poligonal convexa

R, contido em α e uma reta r que intercepta α e β. Definimos Prisma como sendo a

reunião de todos os segmentos de reta paralelos a r, com uma extremidade em R e

outra em β.

Figura 9: Prisma.

.

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ELEMENTOS DE UM PRISMA

Bases: são as regiões poligonais R e R’ (onde R’ é a região contida em

β obtida pela intersecção dos segmentos paralelos a r que tem uma

extremidade em R e outra em β).

Altura: é a distância h entre os planos α e β;

Arestas das bases: são os lados das regiões poligonais;

Arestas laterais: são os segmentos que ligam os vértices do polígono

R aos vértices correspondentes de R’;

Faces laterais: são os paralelogramos obtidos pelos segmentos que

tem uma extremidade e um ponto de um lado de R e outra no lado

correspondente de R’.

Figura 10: Prisma.

CLASSIFICAÇÃO DOS PRISMAS

Um prisma pode ser:

Oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases;

Reto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases;

Regular: quando é reto e suas bases são polígonos regulares.

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PLANIFICAÇÃO DE UM PRISMA TRIGULAR

Figura 11: planificação de um prisma.

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CONCLUSÃO

Com este minicurso esperamos ter contribuído em um melhor entendimento

sobre os Poliedros, bem como a sua construção e a utilização de um jogo para ser

trabalhado em sala de aula como uma ferramenta para ajudar o professor no

desenvolvimento do trabalho didático.

AGRADECIMENTOS

Agradecemos a CAPES pelo financiamento deste trabalho.

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BIBLIOGRAFIA

[1] Barbosa, V. E. , Maia, D. F., Silva, S. H. Notas de Geometria Espacial. Campina

Grande. Departamento de Matemática e Estatística da UFCG, 1998.

[2] Brasil. Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental. Terceiro e

quarto ciclos do ensino fundamental. Brasília. Secretaria do Ensino Fundamental, 1998.

[3] Construção do esqueleto do cubo e de seu dual. Disponível em

<http://www.uff.br/cdme/poliedros_platao_dual/aluno05.html>. Acesso em: 6 de setembro

de 2011.

[4] Costa, Ernesto. Poliedros de Canudos. Disponível em

<http://www.matinterativa.com.br/Artigos/PoliedrosCanudos.pdf >. Acesso em: 21 de

outubro de 2011.

[5] França, M. V. D. Poliedros convexos e poliedros regulares. Disponível em

<http://educacao.uol.com.br/matematica/poliedro.jhtm>. Acesso em: 6 de setembro de 2011.

[6] Lamas, R. C. P. Poliedros. Disponível em

<www.mat.ibilce.unesp.br/personal/rita/Poliedro.doc>. Acesso em: 2 de setembro de

2011.

[7] Lara, I. C. M.. Jogando com a Matemática na Educação Infantil e Séries Iniciais; 1.

Ed. São Paulo. Rêspel, 2005.

[8] Lima, E. L. A Matemática do Ensino Médio. Coleção do Professor de Matemática,

Rio de Janeiro. Sociedade Brasileira de Matemática, 2006.

[9] Poliedros com figuras ilustrativas. Disponível em

<http://www.brasilescola.com/matematica/poliedros.htm>. Acesso em: 2 de setembro de

2011.

[10] Rêgo, F. Geometria espacial métrica. Disponível em

<http://zacamat.blogspot.com/2010_08_29_archive.html>. Acesso em: 14 de outubro de

2011.

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ANEXO 12

Atividades de construção dos poliedros com Canudinhos

Este trabalho tem como objetivo estimular a capacidade de visualização e

representação geométrica de figuras espaciais nos alunos, através da construção de

poliedros com material concreto. Utilizaremos canudos de plástico para construirmos as

estruturas que irão representar as arestas dos poliedros. Constataremos que em

construções como a do octaedro sua estrutura se apresenta rígida, no entanto, para que

as faces do cubo permaneçam com uma estrutura rígida necessita-se que seja adicionada

na construção as suas diagonais.

Construção do octaedro regular

Separamos 12 pedaços de canudo de mesma cor e comprimento (8 cm) além de

dois metros de linha. Com a linha construímos quatro triângulos que vamos unindo dois

a dois. Então comece unindo dois triângulos pelos seus vértices. Veja o esquema

apresentado:

Figura 2 - Esquema da Construção do Octaedro (Parte I).

Agora vamos unir os quatro triângulos conforme esquema para construirmos o

octaedro regular.

2 Todas as figuras do anexo 1 foram retiradas de [4].

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Figura 3 - Esquema da Construção do Octaedro (Parte II).

Construção do cubo e suas diagonais

Serão necessários 12 pedaços de canudo de mesma cor medindo 11,32cm, seis

canudos de cor ou diâmetro menor do que o anterior e mais um canudo de cor diferente

da dos demais.

Vamos construir com os canudos da mesma cor um cubo de 11,32 cm de aresta.

Começamos passando o fio de linha por quatro canudos e passamos novamente a linha

no primeiro canudo para formar a primeira face do cubo. Depois vamos construir mais

um quadrado considerando um dos lados do quadrado e passamos a linha por mais três

canudos. Passamos a linha novamente num dos lados do primeiro quadrado e passamos

por mais três canudos formando outro quadrado. Passamos a linha na face do primeiro

quadrado e na face do quadrado formado e agora passamos a linha pelos dois canudos

restantes de modo a fechar o cubo. Veja como completá-lo.

Figura 5 - Esquema da Construção do Cubo.

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O desafio é tornar este cubo uma estrutura rígida que não se deforme e para isto

construiremos em cada face do poliedro uma diagonal. Para saber o comprimento de

cada diagonal podemos usar o teorema de Pitágoras. Em cada vértice do cubo que

determina uma diagonal chegam mais duas outras diagonais. Por último, construímos a

diagonal do cubo com o canudo de cor diferente dos demais.

Construção da Pirâmide

Precisaremos de 6 pedaços de canudos da mesma cor medindo 8 cm e mais 6

pedaços de canudos de outra cor e medindo 5 cm. Vamos fazer o primeiro triângulo

com dois canudos laterais e um para a base. Sendo a base o pedaço do canudo que mede

5 cm e os outros dois lados o pedaço de canudo que mede 8 cm.

Figura 3 - Esquema da Construção da Pirâmide (Parte I).

Continue com uma após a outra, até formar todas as faces laterais. Passe o fio de

cima no primeiro canudo, fechando a pirâmide.

Figura 3 - Esquema da Construção da Pirâmide (Parte II).

Ficam dois fios em baixo. Colocar o último tubo e passar o fio nos tubos da base

para dar o nó.

Figura 3 - Esquema da Construção da Pirâmide (Parte III).

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Construção do Prisma

Serão necessários 10 pedaços de canudos da mesma cor medindo 7 cm e 5

pedaços de canudos de outra cor medindo 10 cm. Forma a primeira face lateral, onde a

base será o pedaço do canudo que mede 7 cm e a altura o pedaço que mede 10 cm.

Figura 3 - Esquema da Construção do Prisma (Parte I).

Seguir, formando as outras faces laterais, até a penúltima. Na penúltima face,

fazer os fios saírem para baixo, para fazer a base.

Figura 3 - Esquema da Construção do Prisma (Parte II).

Passar um dos fios ao redor e colocar o último tubo da base. Agora vamos subir

para fazer a outra base.

Figura 3 - Esquema da Construção do Prisma (Parte III).

Sobe o fio, passa no último tubo, contorna a base superior, estica e dá um nó.

Figura 3 - Esquema da Construção do Prisma (Parte IV).

O prisma não ficará rígido, mas para que ele se torne uma estrutura rígida

coloca-se as diagonais das faces laterais, as quais podem ser calculadas usando o

Teorema de Pitágoras.

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ANEXO 2 – JOGO DOS POLIEDROS

Organizado por: Neide Pessoa e adaptado pelos bolsistas do

PIBID/Matemática/UFCG/ Campina Grande

Competências e

habilidades:

Identificar em uma situação-problema as informações ou variáveis

relevantes e elaborar possíveis estratégias para resolvê-la;

compreender e emitir julgamento próprio sobre as informações

relativas à Matemática; expressar-se com clareza, utilizando a

linguagem matemática.

Ler, articular e interpretar símbolos e códigos em diferentes

linguagens e representações, especificamente aqui as representações e

linguagem geométricas.

Conteúdo: Geometria espacial: poliedros

Série

recomendada: 2º ano do Ensino Médio

Organização da

sala: Em quartetos

Material: Baralho com 40 cartas.

Objetivos:

Identificar propriedades e representações de sólidos

geométricos

Desenvolver a percepção espacial.

Identificar um sólido geométrico como uma figura espacial e

classificar os sólidos em poliedros.

Regras:

O objetivo deste jogo é formar famílias de 4 cartas. Cada

família é formada pelo nome do sólido geométrico, figura do

sólido, a planificação do sólido e uma carta das propriedades.

Ao todo existem 10 famílias.

Embaralham-se as cartas e coloca-se o baralho virado para

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baixo.

Um dos jogadores tira uma das cartas do baralho e coloca-a

em cima da mesa com a face virada para cima.

Seguidamente o outro jogador procede do mesmo modo.

Se a carta que sai a um dos jogadores pertence à família de

uma das cartas já viradas, deve colocá-la sobre ela.

Se um dos jogadores colocar uma carta na família errada perde

a vez de jogar e essa carta é colocada no fim do baralho.

O jogo termina quando todas as famílias estiverem formadas.

Pontuação:

Sempre que um dos jogadores coloque uma das cartas em

cima de outra ganha um ponto.

Se um dos jogadores completa uma das famílias ganha 4

pontos.

Ganha o jogo quem tiver maior pontuação, após acabarem

todas as cartas do baralho.