Programación Lineal - Modelos para la Toma de Decisiones 3 SEP 2008

[Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. Rubn Estrella, MBA Cavaliere 1 Ingeniero de Sistemas, Administrador, Matemtico, Telogo y Maestro

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Pontificia Universidad Catlica Madre y Maestra Recinto Santo Toms de Aquino

Facultad de Ciencias Sociales y Administrativas Departamento de Administracin de Empresas

MG-617-T Modelos para la Toma de Decisiones en honor a Carlos Dreyfus

PROGRAMA GENERAL

Ing. Rubn Daro Estrella Snchez, MBA Cavaliere dellordine al Merito della Repubblica Italiana

Ingeniero de Sistemas, Administrador, Matemtico, Telogo y Maestro [email protected] ;

[email protected] ; [email protected] www.atalayadecristo.org

SEPTIEMBRE, 2008 Modelos de Programacin Lineal.

o Mtodo Grfico. o Mtodo Simplex. o Mtodo PERT. o Diagrama de Gantt.

Proyecto Final Modelos de Programacin Lineal.

Bibliografa de Programacin Lineal.

o ANDERSON David, SWEENEY Dennis and WILLIAMS Thomas. Mtodos Cuantitativos para los Negocios. International Thomson Editores: Novena Edicin. 2004 - Sptima Edicin. 1999.

o ARREOLA RISA Jess S. And ARREOLA RISA Antonio. Programacin Lineal Una introduccin a la toma de decisiones cuantitativa. International Thomson Editores: Primera Edicin. 2003.

o HILLIER Frederick S., HILLIER Mark S. Mtodos Cuantitativos para Administracin. McGraw-Hill: Tercera Edicin, 2008.

o HAEUSLLER Ernest F. And PAUL Richard S. Matemticas para Administracin y Economa. Pearson Educacin Prentice Hall: Dcima edicin 2003.

o BONINI Charles, HASUMAN Warren and BIERMAN Harold. Anlisis Cuantitativo para Negocios. McGraw-Hill: Novena Edicin, 2000.

o BIERMAN Harold, BONINI Charles and HASUMAN Warren. Anlisis Cuantitativo para la Toma de Decisiones. McGraw-Hill: 1994.

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o LORA Ricardo and GRULLON Ramn. METODOS CUANTITATIVOS EN LA TOMA DE DECISIONES. Departamento Editorial de la Pontificia Universidad Catlica Madre y Maestra. Santiago de los Caballeros, Repblica Dominicana: Tercera Edicin, 1994.

o HILLIER Frederick and LIEBERMAN Gerald. Introduccin a la Investigacin de Operaciones. McGraw-Hill: Sexta Edicin. 1997.

o CHASE Richard and AQUILANO Nicholas. Direccin y Administracin de la Produccin y de las Operaciones. McGraw-Hill: Sexta Edicin. 1995.

o EPPEN G.D., GOULD F.J., SCHMIDT C.D., MOORE Jeffrey and WEATHERFORD Larry. Investigacin de Operaciones en la Ciencia Administrativa. Pearson Educacin Prentice Hall: Quinta edicin 2000.



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Modelos de Programacin Lineal.

La Programacin Lineal es una de la ms vieja y an una de las ms importantes herramientas de la investigacin de operaciones, se utiliza cuando un problema se puede describir utilizando ecuaciones y desigualdades que son todas lineales.

La Programacin Lineal (PL) es una tcnica matemtica de optimizacin. Por tcnica de optimizacin se entiende un mtodo que trata de maximizar o minimizar un objetivo; por ejemplo, maximizar las utilidades o minimizar los costos. La programacin lineal es un subconjunto de un rea ms extensa de procedimientos de optimizacin matemtica llamada Programacin Matemtica.

La Programacin Lineal trata la planeacin de las actividades para obtener un resultado optimo, esto es, el resultado que mejor alcance la meta especificada (segn el modelo matemtico) entre todas las alternativas de solucin.

La Programacin Lineal no da espacio para que haya incertidumbre en ninguna de las relaciones; no incluye ninguna probabilidad o variable aleatoria. Por consiguiente, el problema de maximizar la funcin objetivo, sujeta a las distintas restricciones, es conceptualmente simple. Cuando hay slo unas pocas variables, el sentido comn y algo de aritmtica pueden dar una solucin, y es que as se han resuelto esos problemas por generaciones. Sin embargo, como es frecuente, la intuicin es poco valida cuando el problema es ms complejo; ya que cuando el nmero de variables de decisin aumenta de tres o cuatro a cientos de miles, el problema desafa los procedimientos empricos. La programacin lineal ha hecho posible manejar de una manera ordenada, problemas con grandes cantidades de restricciones.

Esta tcnica tiene excepcional poder y aplicacin general. Es aplicable a una gran variedad de problemas organizacionales de los negocios modernos y puede manejarse como una rutina con la ayuda de los computadores actuales. Es una de las tcnicas cuantitativas que le ha dado a la gerencia elementos eficaces para abordar un conjunto de problemas que admitan slo soluciones parciales hasta hace pocos aos.



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En todo problema de programacin lineal hay que tomar ciertas decisiones. Estas se representan con variables de decisin xj que se utilizan en el modelo de programacin lineal. La estructura bsica de un problema de este tipo es maximizar o minimizar la funcin objetivo, satisfaciendo al mismo tiempo un grupo de condiciones restrictivas o restricciones (que limitan el grado en que se puede perseguir algn objetivo).

La funcin objetivo.

En un problema de programacin lineal, la funcin por maximizar o minimizar se llama funcin objetivo. Aunque por lo regular existe un numero infinito de soluciones para el sistema de restricciones (llamadas soluciones factibles o puntos factibles), la meta es encontrar una que sea una solucin ptima (esto es, una que d el valor mximo o mnimo de la funcin objetivo).

Restricciones estructurales y restricciones de no negatividad.

Las restricciones son limitaciones impuestas al grupo de decisiones permisibles. Algunos ejemplos especficos de tales restricciones son:

1. Un administrador de cartera tiene determinada cantidad de capital a su disposicin. Las decisiones estn limitadas por la cantidad de capital disponible y por las regulaciones gubernamentales.

2. Las decisiones del administrador de una planta estn limitadas por la capacidad de dicha planta y por la disponibilidad de recursos.

3. Los planes de una aerolnea para llevar a cabo la asignacin del personal y los vuelos estn restringidos por las necesidades de mantenimiento de los aviones y por la cantidad de empleados disponibles.

El Modelo de programacin lineal se ocupa de maximizar o minimizar una funcin objetivo lineal sujeta a dos tipos de restricciones:

1. Restricciones estructurales. 2. Restricciones de no negatividad.



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Las restricciones estructurales reflejan factores como la limitacin de recursos y otras situaciones que impone la situacin del problema.

Las restricciones de no negatividad garantizan que ninguna variable de decisin sea negativa.

El Mtodo Grfico

Este mtodo se fundamenta en la versin grfica que presentemos de todas las restricciones planteadas; las cuales se superpondrn una sobre otra, hasta llegar a limitar un rea, denominada rea factible.

El procedimiento ms funcional para la aplicacin de este mtodo es introducir una pequea modificacin en las restricciones, las cuales generalmente estn planteadas como inecuaciones, transformndolas en ecuaciones.

Ya convertidas las restricciones en ecuaciones para su grafica aplicamos el mtodo de los interceptos consistente en determinar los puntos donde la recta intercepta los ejes (X e Y).

Graficada la recta se sombrea la parte superior o inferior de esta dependiendo del tipo de inecuacin.

Si la restriccin tiene el signo se sombrea a la derecha y por encima de la lnea, pero si el signo es se subraya a la izquierda por debajo del grfico de la lnea recta. La regin que satisface de manera simultanea las restricciones ya sombreada se llama rea o regin factible, donde cada punto en esta regin representa una solucin factible. Aunque existe un numero infinito de soluciones factibles, debemos encontrar una que maximice o minimice la funcin objetivo.

La condicin de no negatividad hace que el grafico de la restriccin X1, X2 0, sea todo en el primer cuadrante.



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Caso I. Un fabricante esta tratando de decidir sobre las cantidades de produccin para dos artculos x1 y x2. Se dispone de 96 unidades de material y 72 horas de mano de obra. Cada producto x1 requiere 12 unidades de materiales y 6 horas de obra al mximo. Mientras que el producto x2 usara 8 unidades de material y 12 horas de mano de obra. El margen de beneficio es el mismo para ambos artculos US$5. El fabricante prometi construir por lo menos dos artculos del producto x1 Determinar la cantidad a producir y vender de cada artculo que garanticen mayores beneficios.

Funcin objetivo: Z = 5x1 + 5x2

Restricciones x1 y x2 0 (condicin de no negatividad) 12x1 + 8x2 96 6x1 + 12x2 72 x1 2

Maximice: Z = 5x1 + 5x2

1. Convertimos las restricciones en ecuaciones.

12x1 + 8x2 = 96 6x1 + 12x2 = 72 x1 = 2

2. Utilizamos el mtodo del intercepto determinamos los puntos que de las respectivas lneas rectas interceptan los ejes.

Para 12x1 + 8x2 = 96 a) Si x2 = 0 implica 12x1 + 8(0) = 96

12x1 = 96 x1 = 96/12 x1 = 8 (8,0)

b) Si x1= 0 implica 12(0) + 8x2 = 96 8x2 = 96

x2 = 96/8 x2 = 12 (0,12)



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Para 6x1 + 12x2 = 72

a) Si x2 = 0 implica 6x1 + 12(0) = 72 6x1 = 72

x1 = 72/6 x1 = 12 (12,0)

b) Si x1= 0 implica 6(0) + 12x2 = 72 12x2 = 72

x2 = 72/12 x2 = 6 (0,6)

Para x2 = 2 (2,0)

3. Graficamos.


Para 12x1 + 8x2 = 96 (8,0) (0,12)

Para 6x1 + 12x2 = 72 (12,0) (0,6)

Para x2 = 2 (2,0)



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Esta rea factible tiene los siguientes vrtices (8,0), (6,3), (2,0) y (2,5). Es preciso aclarar que cualquier punto que caiga dentro del rea factible garantiza beneficios, pero son los puntos extremos o vrtices de la figura lo que garantizaran mximos beneficios.

Maximice: Z = 5x1 + 5x2

En el punto (8,0) implica Z = 5(8) + 5(0) = $40




El mayor valor es $45 lo que implica que habr que vender 6 unidades del producto x1 y 3 producto x2. Si pretendemos obtener los mayores beneficios.



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Caso II. Un comprador est tratando de seleccionar la combinacin ms barata de dos alimentos, que debe cumplir con ciertas necesidades diarias de vitaminas. Los requerimientos vitamnicos son por lo menos 40 unidades de vitaminas W, 50 unidades de vitamina X y 49 de unidades vitaminas Y, cada onza de alimento A proporciona 4 unidades de vitamina W, 10 unidades de vitamina X y unidades de vitamina Y, cada onza de alimento B proporciona 10 unidades de W, 5 unidades de X y 7 unidades de unidades Y. El alimento A cuesta 5 centavos/onza y el alimento B 8 centavos/onza.

Requerimiento Alimento A Alimento B Vitamnico Mn.

Vitamina W 4unids/onza 10unids/onza 40 Vitamina X 10unids/onza 5unids/onza 50 Vitamina Y 7unids/onza 7unids/onza 49

Costo 5cents/onza 8cents/onza

Determinar la combinacin que disminuir los costos:

Funcin Objetivo: Minimizar C = 5A + 8B

Restricciones:

A, B 0 4A + 10B 40 10A + 5B 50 7A + 7B 49

1. Convertimos las restricciones en ecuaciones.

4A + 10B = 40 10A + 5B = 50 7A + 7B = 49



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2. Utilizamos el mtodo del intercepto determinamos los puntos que de las respectivas lneas rectas interceptan los ejes. Para 4A + 10B = 40

a) Si B

= 0 implica 4A + 10(0) = 40 4A = 40

A = 40/4 A = 10 (10,0)

b) Si A = 0 implica 4(0) + 10B = 40 10B = 40

B = 40/10 B = 4 (0,4)

Para 10A + 5B = 50 a) Si B

= 0 implica 10A + 5(0) = 50 10A = 50

A = 50/10 A = 5 (5,0)

b) Si A = 0 implica 10(0) + 5B = 50 5B = 50

B = 50/5 B = 10 (0,10)

Para 7A + 7B = 49 a) Si B

= 0 implica 7A + 7(0) = 49 7A = 49

A = 49/7 A = 7 (7,0)

b) Si A = 0 implica 7(0) + 7B = 49 7B = 49

B = 49/7 B = 7



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(0,7) 3. Graficamos.


Para 4A + 10B = 40 (10,0) (0,4)

Para 10A + 5B = 50 (5,0) (0,10)

Para 7A + 7B = 49 (7,0) (0,7)

Minimizar C = 5A + 8B a) En el punto (10,0) implica C = 5(10) + 8(0) = $50 b) En el punto (4.2,2.5) implica C = 5(4.2) + 8(2.5) = $41 a) En el punto (2.2,5) implica C = 5(2.2) + 8(5) = $51 a) En el punto (0,10) implica C = 5(0) + 8(10) = $80

Regin Factible



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El menor costo a que se podra comprar es a $41, pero esto implicara 4.2 onzas del producto A y 2.5 onzas del producto B y se mantendra el nivel vitamnico. Caso III. Una empresa fabrica dos productos, los cuales deben procesarse en los departamentos 1 y 2. En la tabla se resumen las necesidades de horas de trabajo por unidad de cada producto en uno y otro departamento. Tambin se incluyen las capacidades de horas de trabajo semanales en ambos departamento y los mrgenes respectivos de utilidad que se obtienen con los dos productos. El problema consiste en determinar el nmero de unidades que hay que fabricar de cada producto, con el objeto de maximizar la aportacin total a los costos fijos y a las utilidades.

Capacidad de Producto A Producto B Trabajo semanal

Departamento 1 3h/unidad 3h/unidad 120h Departamento 2 4h/unidad 6h/unidad 260h

Margen de utilidad $5/unidad $6/unidad

Si se supone que x1 y x2 son el nmero de unidades fabricadas y vendidas, respectivamente, de los productos A y B, entonces puede calcularse la aportacin a las utilidades totales sumando las contribuciones de ambos productos. La que hace cada uno se obtiene al multiplicar el margen de utilidad por unidad por el nmero de unidades producidas y vendidas. Si z se define como la aportacin a los costos y utilidades totales, se tendr:

Z = 5x1 + 6x2

Las restricciones vienen dada de la siguiente forma:

3x1 + 2x2 120 departamento 1 4x1 + 6x2 260 departamento 2

El modelo de programacin lineal que representa el problema se formula as:

Maximice Z = 5x1 + 6x2 Sujeta a 3x1 + 2x2 120

4x1 + 6x2 260 x1 0



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x2 0 4. Convertimos las restricciones en ecuaciones.

Inecuaciones o Desigualdades lineales 3x1 + 2x2 120 departamento 1 4x1 + 6x2 260 departamento 2

Ecuaciones o Igualdades lineales 3x1 + 2x2 = 120 departamento 1 4x1 + 6x2 = 260 departamento 2

5. Utilizamos el mtodo del intercepto determinamos los puntos que de las respectivas lneas rectas interceptan los ejes.


3x1 = 120 x1 = 120/3 x1 = 40 (40,0)

b) Si x1= 0 implica 3(0) + 2x2 = 120 2x2 = 120

x2 = 120/2 x2 = 60 (0,60)


4x1 = 260 x1 = 260/4 x1 = 65 (65,0)

b) Si x1= 0 implica 4(0) + 6x2 = 260 6x2 = 260

x2 = 260/6 x2 = 43.33 (0,43.33)



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6. Graficamos.


Para 3x1 + 2x2 = 120 (40,0) (0,60)

Para 4x1 + 6x2 = 260 (65,0) (0,43.33)

7. Ya que la funcin objetivo Z = 5x1 + 6x2, es equivalente a:

6/6x2 = -5/6 x1 + Z/6

x2 = -5/6 x1 + Z/6

Define una familia de rectas paralelas, cada una con pendiente de 5/6 e interseccin de y (0, Z/6).

4x1+6x2260

3x1+2x2120



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La pendiente de la funcin objetivo es 5/6, y no recibe el influjo del valor de Z. Se determina exclusivamente por los coeficientes de las dos variables de la funcin objetivo. La interseccin con el eje x2 est definida por (0,Z/6). Desde ella se advierte que, al cambiar el valor de z, lo mismo sucede con la interseccin con el eje x2. Si Z aumenta el valor, tambin lo hace la interseccin con el eje x2, lo cual significa que la lnea de utilidades iguales se desplaza hacia arriba y hacia la derecha. Si quisiramos maximizar las utilidades, tendramos que desplazar la lnea de utilidades lo ms afuera posible, sin dejar de tocar un punto dentro del rea de las soluciones factibles.

Una vez definida el rea factible usted puede tratar de encontrar la solucin ptima, identificando combinaciones de los dos productos que generen un nivel de utilidad previamente establecido, por ejemplo:

a) 5x1 + 6x2 = $120 b) 5x1 + 6x2 = $180 c) 5x1 + 6x2 = $240

8. A partir de la figura anterior vemos que el punto o vrtice A del rea factible pertenece a las rectas:

3x1 + 2x2 = 120 departamento 1 4x1 + 6x2 = 260 departamento 2

Sus coordenadas pueden hallarse resolviendo el sistema anterior. Por igualacin: x1 = 120 - 2x2 3

x1 = 260 - 6x2 4

120 - 2x2 = 260 - 6x2 3 4

480 - 8x2 = 780 - 18x2 - 8x2 = 300 - 18x2 10x2 = 300 x2 = 30



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3x1 + 2(30) = 120 3x1 = 60 x1 = 60/3

x1 = 20 Por eliminacin:

3x1 + 2x2 = 120 (-4) 4x1 + 6x2 = 260 (3)

-12x1 - 8x2 = -480 departamento 1 12x1 +18x2 = 780 departamento 2

10x2 = 300 x2 = 30 3x1 + 2(30) = 120

3x1 = 60 x1 = 60/3

x1 = 20

Al deslizarse hacia fuera, el ltimo punto que debe tocarse es A. Este punto se encuentra en la lnea de utilidades de $280 cuando se fabrican 20 y 30 unidades, respectivamente, de los productos A y B.



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Ejercicios Propuestos. Optimice cada situacin basado en el modelo grfico e interprete los resultados.

Caso I. Una compaa produce dos tipos de artculos, manuales y elctricos. Cada uno requiere para su fabricacin del uso de tres maquinas, A, B y C. La tabla siguiente da la informacin relacionada con la fabricacin de estos artculos. Cada artculo manual requiere del uso de la maquina A durante 2 horas, de la maquina B por 1 hora y de la maquina C otra hora. Un articulo elctrico requiere 1 hora de la maquina A, 2 horas de la maquina B y 1 hora de la maquina C. Adems, supongamos que el numero mximo de horas disponibles por mes para el uso de las maquinas A, B y C es de 180, 160 y 100, respectivamente. La utilidad por cada artculo manual es de $4 y por cada artculo elctrico es de $6. Si la compaa vende todos los artculos que puede producir, cuntos artculos de cada tipo debe producir con el fin de maximizar la utilidad mensual?

Artculo Artculo Horas Manual Elctrico Disponibles

Mquina A 2 1 180 Mquina B 1 2 160 Mquina C 1 1 100

Utilidad/unidad $4 $6

Caso II. Un agricultor va a comprar fertilizante que contienen tres nutrientes: A, B y C. Los mnimos necesarios son 160 unidades de A, 200 unidades de B y 80 unidades de C. Existen dos marcas muy aceptadas de fertilizantes en el mercado. Crece Rpido cuesta $8 una bolsa, contiene 3 unidades de A, 5 unidades de B y 1 unidad de C. Crece Fcil cuesta $6 cada bolsa, y contiene 2 unidades de cada nutriente. Si el cultivador desea minimizar el costo mientras se satisfacen los requerimientos de nutrimentos, cuntas bolsas de cada marca debe comprar? La informacin se resume como sigue:

Crece Crece Unidades Rpido Fcil Requeridas

Nutriente A 3 unidades 2 unidades 160 Nutriente B 5 unidades 2 unidades 200 Nutriente C 1 unidad 2 unidades 80 Costo/bolsa $8 $6



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Caso III. Resuelva por el Mtodo Grfico:

Maximizar 5000E + 4000F (Mxima contribucin a las ganancias) E + F 5 (Requisito de Produccin Mnima) 10E + 15F 150 (Capacidad en el Departamento A) 20E + 10F 160 (Capacidad en el Departamento B) 30E + 10F 135 (Horas de trabajo empleadas en las pruebas) E, F 0 (Condicin de no negatividad)

Caso IV. Construye el diagrama de red para el siguiente listado de actividades que permitira el traslado de una oficina del sector financiero.

Predecesores Actividad Descripcin Inmediatos

A Seleccionar sitio de oficinas - B Crear plan organizacional y financiero - C Determinar requerimiento de personal B D Disear la instalacin A,B E Construir el interior D F Seleccionar al personal que se va a transferir C G Contratar nuevos empleados F H Trasladar registros, personal clave, etc. F I Hacer arreglos financieros con instituciones B J Capacitar nuevo personal H,E,G



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MODELOS LINEALES

Ejercicios Propuestos. Construya los modelos, represente grficamente cada situacin e interprete los resultados.

Caso I. El costo de preparacin de una lnea de produccin es de US$3,000, en el que se incurre independientemente del nmero de unidades que finalmente se produzcan. Adems, los costos de mano de obra y material variables son de US$2 por cada unidad producida. Representa Grficamente. CT = 3000 + 2x

Caso II. Eastman Publishing Company est considerando la publicacin de un libro de texto, de tipo de bolsillo, sobre la aplicacin, sobre la aplicacin de hojas de clculos en los negocios. El costo fijo de preparacin del manuscrito, el diseo del libro y la puesta en marcha de la produccin se estima en US$80,000 dlares. Los costos variables de produccin y materiales se estiman igual a US$3 dlares por libro. La demanda durante la vigencia del libro se estima en 4,000 ejemplares. El editor planea vender el libro a las libreras de colegios y universidades a US$20 dlares cada uno.

a. Cul es el punto de equilibrio?

CF = 80,000 Cu=3 Pu=20

B = I CT = 0 20x = 80,000 + 3x 17x = 80,000 x = 80,000/17 = 4,706

b. Qu utilidad o prdida se puede prever, con una demanda de 4,000 ejemplares?

B = I CT B = 20x (80,000 + 3x) B = 17(4,000) 80,000 B = 68,000 80,000 B = -12,000



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c. Con una demanda de 4,000 ejemplares, cul es el precio mnimo por ejemplar que debe cobrar el editor para llegar a punto de equilibrio?

Q = CF / (Pu Cu) 4000 = 80,000 / (Pu 3) 4000 (Pu 3) = 80,000 4000Pu 12,000 = 80,000 4000Pu = 80,000 + 12,000 Pu = 92,000/4000 = 23

d. Si el editor piensa que el precio por ejemplar pudiera incrementar hasta US$25.95 dlares sin afectar la demanda prevista de 4,000 ejemplares, qu accin recomendara usted? Qu utilidad o prdida se podra prever?

B = 25.95x (80,000 + 3x) B = 22.95x 80,000 B = 22.95(4,000) 80,000 B = 11,800 e. Represente grficamente.

Caso III. Estn en marcha planes preliminares para la construccin de un nuevo estadio de bisbol. Los funcionarios de la ciudad han cuestionado el nmero y rentabilidad de los palcos corporativos de lujo planeados para el piso superior del estadio. Los palcos pueden ser adquiridos por empresas e individuos seleccionados, a US$100,000 dlares cada uno. El costo fijo de construccin del rea en el piso superior se estima en US$1,500,000 dlares, con un costo variable de US$50,000 dlares por cada palco construido.

a. Cul ser el punto de equilibrio para los palcos de lujo del nuevo estadio?

Pu = 100,000 CF = 1,500,000 Cu = 50,000 I = CT 100,000x = 1,500,000 + 50,000x 50,000x = 1,500,000 x = 1,500,000/50,000 = 30 palcos



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b. Dibujos preliminares del estadio muestran que hay espacio disponible para la construccin de hasta 50 palcos de lujo. Los promotores indican que hay compradores detectados y que si se construyen, se venderan los 50. Cul es su recomendacin respecto a la Construccin de los palcos de lujo? Qu utilidad se puede esperar?

B = I CT B = 100,000(50) (1,500,000 + 50,000(50)) B = 5,000,000 4,000,000 = 1,000,000

Caso IV. Un grupo de ingenieros quiere formar una compaa para producir detectores de humo. Han ideado un diseo y estiman que los costos variables por unidad, incluyendo material, mano de obra y costos de mercadotecnia, son de US$22.50 dlares. Los costos fijos relacionados con la formacin, operacin y direccin de la compaa y la compra de equipo y maquinaria dan en total US$250,000 dlares. Estiman que el precio de venta ser de US$30 dlares por detector.

a) Determine el nmero de detectores de humo que han de venderse para que la empresa alcance el equilibrio en el negocio.

Cu = 22.5 CF = 250,000 Pu = 30 Q = CF / (Pu Cu) Q = 250,000 / (30 22.5) Q = 250,000 / 7.5 Q = 33,333.33

b) Los datos preliminares de mercadotecnia indican que la empresa vender aproximadamente 30,000 detectores de humo a lo largo de la vida del proyecto, si le pone un precio de US$30 cada uno. Determine las utilidades esperadas en este nivel de produccin.

B = I CT B = 30x (250,000 22.5x) B = 30(30,000) (250,000 22.5(30,000) B = 900,000 925,000 B = - 25,000



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Caso V. Una empresa agrcola tiene tres granjas que se utilizarn el ao entrante. Cada una est dotada de caractersticas especiales que la hacen adecuada slo para un tipo de cultivo. La siguiente tabla contiene el cultivo seleccionado para cada granja, el costo anual de plantar 1 acre, el ingreso que es espera obtener por acre y los costos fijos de la administracin de las granjas. Adems de esos costos fijos, la corporacin en conjunto tiene costo fijos anuales de US$75,000. Determine la funcin de utilidad para la operacin de las tres granjas.

Granja Cultivo Costo/acre Ingreso/acre Costo Fijo 1 Soya 900 1,300 150,000 2 Maz 1,100 1,650 175,000 3 Papas 750 1,200 125,000

I (x1,x2,x3) = 1,300x1 + 1,650x2 + 1,200x3

CT (x1,x2,x3) = (900x1 + 150,000 + 1,100x2 + 175,000 + 750x3 + 125,000) + 75,000

U = I CT = 1,300x1 + 1,650x2 + 1,200x3 (900x1 + 150,000 + 1,100x2 + 175,000 + 750x3 + 125,000 + 75,000)

U = 400x1 + 550x2 + 450x3 525,000

Caso VI. Una empresa vende un solo producto a US$65 dlares por unidad. Los costos variables por unidad son de US$20 dlares por concepto de materiales y de US$27.50 por concepto de mano de obra. Los costos fijos anuales ascienden a US$100,000. Formule la funcin de utilidad expresada en trmino de unidades producidas y vendidas. Qu utilidad se gana si las ventas anuales son de 20,000 unidades? Pu = 65 Cu = 20 + 27.5 = 47.5 CF = 100,000 U = I CT U = 65x (100,000 47.5x) U = 17.5x 100,000 U = 17.5(20,000) 100,000 U = 350,000 100,000 U = 250,000



23

Caso VII. Dos puntos sobre una funcin lineal de demanda son (US$20 dlares, 60,000 unidades) y ($30 dlares, 47,500 unidades).

a) Determine la funcin de la demanda.

m = tg = y2 y1 = 20 - 30 = -10/12,500 x2 x1 60,000 47,500

m = -1/1250

m (x x1) = (y y1)

-1/1,250 (x 60,000)

= (y

20)

-1 (x 60,000)

= 1,250 (y

20)

-x + 60,000 = 1,250y 25,000

(-1) -x 1,250y + 85,000 = 0

x + 1,250y 85,000 = 0

b) Determine que precio originar una demanda de 65,000 unidades.

x + 1,250y 85,000 = 0

65,000 + 1,250y 85,000 = 0 1,250y 20,000 = 0 1,250y = 20,000 y = 20,000 / 1,250 y = 16

c) Interprete la pendiente de la funcin. d) Grafique la funcin.



24

Caso VIII. Dos puntos sobre la funcin lineal de la oferta son (US$6 dlares, 28,000 unidades) y (US$7.5 dlares, 37,000).

a) Determine la funcin de la oferta.

m = tg = y2 y1 = 6 - 7.5 = -1.5/-9,000 x2 x1 28,000 37,000

m = 1.5/9,000 = 1/6,000

m (x x1) = (y y1)

1/6,000 (x 28,000)

= (y

6)

x 28,000 = 6,000 (y - 6) x 28,000 = 6,000y 36,000

x - 6,000y + 8,000 = 0

b) Qu precio har que los proveedores ofrezcan 135,000 unidades a la venta?

x - 6,000y + 8,000 = 0

135,000 6,000y + 8,000 = 0 143,000 6,000y = 0 -6,000y = -143,000 y = -143,000/-6,000 y = 23.83

c) Interprete la pendiente de la funcin. d) Interprete la interseccin con el eje x. e) Grafique la funcin.



25

Caso IX. Una compaa ha analizado sus ventas y ha determinado que sus clientes compran 20% ms de sus productos por cada US$2 de reduccin en el precio unitario. Cuando el precio es US$12 la compaa vende 500 unidades.

a) Formule el modelo de demanda. Y X Pu=12 D=500 unidades Pu=12 - 2 = 10 20% ms de D=500+(0.20*500) = 600 Pu=10 D=600

m = tg = y2 y1 = 12 - 10 = 2/-100 x2 x1 500 600

m = -2/100 = -1/50 m (x x1) = (y y1)

-1/50 (x 500)

= (y

12)

-1(x 500)

= 50 (y

12)

-x + 500 = 50y 600

-x 50y + 1,100 = 0

x + 50y 1,100 = 0

b) Cul sera la mayor cantidad a demandar?

x + 50y 1,100 = 0

x + 50(0) 1,100 = 0

x = 1,100

c) Cul sera el mayor precio a pagar por el artculo?

x + 50y 1,100 = 0

(0)+ 50y 1,100 = 0



26

50y 1,100 = 0 y = 1,100/50 = 22 d) Cul sera el precio si la cantidad demandada asciende a 600 unidades?

x + 50y 1,100 = 0

600 + 50y 1,100 = 0

50y 500 = 0

50y = 500

y = 10

e) Cul ser la demanda si el precio del producto es US$8?

x + 50y 1,100 = 0

x + 50(8) 1,100 = 0

x + 400 1,100 = 0

x 700 = 0

x = 700

Caso X. Una compaa pretende entregar 5,000 artculos mensualmente a un precio de US$5 por unidad. Si el precio tiene una disminucin de un 30%, la compaa slo se compromete a entregar un 40% de la oferta anterior.

a) Formule el modelo de la oferta.

Y X Pu=5 D=5,000 unidades

Pu= 5 (5 * 0.30) = 3.5 D = 5,000 * 0.4 = 2,000 Pu=3.5 D=2,000



27

m = tg = y2 y1 = 5 - 3.5 = 1.5/3,000 x2 x1 5,000 2,000

m = 1/2000 m (x x1) = (y y1)

1/2000 (x 5,000) = (y 5)

x 5,000 = 2,000 (y 5)

x 5,000 = 2,000y 10,000

x 5,000 2,000y + 10,000 = 0

x 2000y + 5,000 = 0

b) Cul sera la menor oferta?

x 2000y + 5,000 = 0

x 2000(0) + 5,000 = 0

x = -5,000

c) Cul sera la oferta si el precio es US$7?

x 2000y + 5,000 = 0

x 2,000(7) + 5,000 = 0

x 14,000 + 5,000 = 0

x 9,000 = 0

x = 9,000

d) Cul ser el precio si se solicitan 6,000 unidades del producto?

x 2000y + 5,000 = 0



28

6000 2,000y + 5,000 = 0 11,000 2,000y = 0 -2,000y = - 11,000 y = -11,000/-2,000 = 5.5

Caso XI. Los siguientes modelos representan la oferta y la demanda de un determinado producto. Determine grfica y analticamente el mercado de equilibrio. O x + y = 5 D 2x y = 5.5

y = 5 x

- y = 5.5 2x y = 2x 5.5

5 x = 2x 5.5 - x 2x = - 5.5 5 -3x = -10.5 x = 3.5

3.5 + y = 5 y = 5 3.5

y = 1.5

Caso XII. Una compaa fabrica dos productos diferentes. Para la semana entrante dispone de 120 horas de trabajo destinadas a la elaboracin de ambos productos. Puede asignar horas de trabajo a la fabricacin de ambos productos. Adems, como los dos tipos de produccin aportan buenas ganancias, a la direccin le interesa utilizar las 120 horas durante la semana. Cada unidad del producto A requiere 3 horas de trabajo de elaboracin, y cada unidad del producto B requiere 2.5 horas.

a) Defnase una ecuacin que establezca que las horas totales de trabajo dedicadas a la produccin x unidades del producto A y y unidades del producto B son 120.

3x + 2.5y = 120 b) Cuntas unidades del producto A pueden fabricarse si se elaboran 30

unidades del producto B?



29

3x + 2.5y = 120 3x + 2.5(30) = 120 3x + 75 = 120 3x = 120 75 3x = 45 x = 15 unidades del producto A

c) Si la gerencia decide producir slo un artculo, cul ser la cantidad mxima que puede fabricarse del producto A? Y cul ser la cantidad mxima que puede fabricarse del producto B?

3x + 2.5y = 120 3x + 2.5(0) = 120 3x = 120 x = 40 unidades del producto A

3(0) + 2.5y = 120 2.5y = 120 y = 120/2.5 y = 48 unidades del producto B

Caso XIII. La Cruz Roja Internacional est haciendo planes para transportar por avin alimentos y suministros mdicos a Iraq. En la tabla adjunta se incluyen los cuatro suministros que urgen y sus respectivos volmenes por caja o recipiente. El primer avin que se enviar a la zona tiene una capacidad de volumen de 6000 pies cbicos. Determine la ecuacin cuyo conjunto solucin contenga todas las posibles combinaciones de los cuatro suministros que llenarn el avin en toda su capacidad. Suministro Volumen/Caja, ft3 Sangre 20 Equipo mdico 30 Alimentos 8 Agua 6 Volumen de sangre + Volumen de Equipo Medico + Volumen de Alimentos + Volumen de agua = 6,000 pies cbicos Cajas

X1 = Numero de recipientes de sangre X2 = Numero de contenedores de equipo medico X3 = Numero de cajas de alimentos X4 = Numero de recipientes de agua

20x1 + 30x2 + 8x3 + 6x4 = 6,000

Total



30

pies3 cajas Volumen Sangre x1 20 40 800

Equipo M. x2 30 65 1950 Alimentos x3 5 350 1750

Agua x4 6 250 1500 6000 Caso XIV. Una compaa nacional est iniciando una campaa publicitaria por medio de la televisin, la radio y la prensa. El objetivo es lograr que 10 millones de personas vean los anuncios. La experiencia revela que, por cada 1000 dlares asignados a la publicidad por televisin, radio y prensa, la publicidad llegar a 25,000, 18,000 y 15,000 personas, respectivamente. Las decisiones que han de adoptarse se refieren a cunto dinero se asignar a cada forma de publicidad, a fin de llegar a 10 millones de personas. Determine el modelo (ecuacin) cuyo conjunto solucin especifique todas las asignaciones de publicidad que den por resultado la obtencin de esta meta.

25,000x1 + 18,000x2 + 15,000x3 = 10,000,000

Inversion

Alcance por Publicidad Alcance en

USD 1000 en miles Personas TV x1 25,000 250 6,250,000

RADIO x2 18,000 150 2,700,000 PRENSA x3 15,000 70 1,050,000

Personas 10,000,000

Caso XV. Una empresa que elabora un solo producto quiere determinar la funcin que expresa el costo total anual y en funcin de la cantidad de unidades producidas. Los contadores indican que los gastos cada ao son de US$50,000 dlares. Tambin han estimado que los costos de materias primas por cada unidad producida ascienden a UD$5.50 y que los costos de mano de obra son de US$1.50 en el departamento de montaje, $0.75 en el cuarto de acabado y US$1.25 en el departamento de empaque y embarque.

CF = 50,000 Cu1 = 5.50 materia prima Cu2 = 1.50 mano de obra de montaje Cu3 = 0.75 mano de obra de acabado Cu4 = 1.25 de empaque y embarque Cu = 9



31

CT = 50,000 + (5.50x + 1.50x +0.75x + 1.25x) CT = 50,000 + 9x

Caso XVI. Una agencia de alquiler de automviles compra nuevas unidades cada ao para rentarlas. Los automviles nuevos cuestan US$12,000 dlares. Se emplean tres aos y luego se venden en US$2,500 dlares. El dueo de la agencia estima que los costos variables de operacin de los automviles, sin contar la gasolina, son de US$0.25 por milla. Los automviles se alquilan en US$0.40 por milla (sin incluir gasolina).

a) Formule la funcin de ingreso total relacionada con el alquiler de los automviles por millas.

Pu = 0.40/milla

I = 0.40x

b) Formule el modelo de costo total asociada al alquiler de un automvil por millas.

Cu = 0.25/milla CT = 12,000 + 0.25x

c) Formule la ecuacin de utilidad.

U = I CT

U = 0.40x (12,000 + 0.25x)

U = 0.15x 12,000

Punto de Equilibrio:

0.40x = 12,000 + 0.25x 0.40x 0.25 x = 12,000 0.15x = 12,000 x = 80,000



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d) Cul ser la utilidad si el vehculo se renta por 60,000 millas durante el perodo de los tres aos?

U = 0.15x 12,000

U = 0.15(60,000) 12,000 = - 3,000

e) Si los contadores aplican la depreciacin en lnea recta, determine la funcin que describa el valor en libros de V en funcin de la edad del automvil t.

Depreciacin = Valor depreciable Valor residual = C - R Vida til n

Depreciacin = Valor depreciable Valor residual = C R = 12,000-2,500 Vida til n 3 D = 3,166.67

Valor en libros V(t) = Valor depreciable Depreciacin(tiempo) = C D(t)

Valor en libros V(t) = 12,000 3,166.67(t)

Calendario de Depreciacin en lnea recta

Automovil (al costo original de adquisicin) 12,000.00 12,000.00 12,000.00

Menos: Depreciacin acumulada (la parte del costo original que ya se ha cargado en forma 3,166.67 6,333.33 9,500.00de un gasto)

Valor neto en libros 8,833.33 5,666.67 2,500.00

Caso XVII. Una gasolinera vende gasolina regular y de primera calidad sin plomo. El precio por galn es de US$1.80 para la gasolina regular y de US$2.00 para la de primera calidad sin plomo. El costo por galn que cobra el proveedor es de US$1.66 y US$1.88, respectivamente.



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a) Formule la funcin de ingreso obtenido para cada tipo de gasolina y para ambas.

I = Pu * x I1 = 1.80x1 I2 = 2.00x2

IT = 1.80x1 + 2x2

b) Formule la funcin de costo para cada tipo de gasolina y para ambas.

CV = Cu * x

C1 = 1.66x1 C2 = 1.88x2

CT = 1.66x1 + 1.88x2

c) Formule la funcin de utilidad total.

U = I CT

U = 1.80x1 + 2x2 (1.66x1 + 1.88x2)

U = 0.14x1 + 0.12x2

d) Cul es la utilidad esperada si la estacin vende 200,000 galones de gasolina regular y 80,000 galones de gasolina de primera calidad sin plomo?

U = 0.14x1 + 0.12x2 U = 0.14(200,000) + 0.12(80,000) U = 28,000 + 9,600 U = 37,600

Caso XVIII. Decisin sobre la renta de computadora o la contratacin de una empresa de servicio computacionales. Un numero grupo mdico se compone de 20 mdicos de tiempo completo. En el momento actual, los empleados preparan manualmente las facturas de los



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pacientes. Debido al enorme volumen de facturas, el gerente administrativo piensa que ha llegado el momento de hacer la transicin de la facturacin manual a la computarizada. Estn estudindose dos opciones:

1) el grupo mdico puede alquilar la computadora y los programas y hacer l mismo la facturacin (la opcin de hacer) o

2) puede contratar a una empresa de servicios computacionales que se encargue de efectuar la facturacin (contratar). Los costos de una y alternativas depende de la cantidad de facturas. La oferta ms baja presentada por una empresa de servicios computacionales originar una cuota de US$3,000 dlares anuales ms US$0.95 por factura procesada. Con ayuda de un experto en computacin, el gerente administrativo estim que el grupo puede rentar un pequeo sistema de cmputo para negocios, junto con los programas necesarios, a un costo de US$15,000 por ao. Se estima en US$0.65 por factura los costos variables de realizar la facturacin de este modo.

Servicios de Facturacin = S(x) = 3,000 + 0.95x

Alquilar y Facturar = A(x) = 15,000 + 0.65x

3,000 + 0.95x = 15,000 + 0.65x

0.30x = 12,000

x = 12,000/0.3

x = 40,000

Si el nmero esperado de facturas de pacientes por ao rebasa las 40,000, la opcin de alquilar es ms barata. Si se espera que el nmero de facturas sea menor que 40,000, la opcin de contratar los servicios cuesta menos.

Caso XIX. Una firma est diseando una campaa publicitaria por televisin. Los costos de desarrollo (costos fijos) son US$150,000 dlares y la firma pagar US$15,000 dlares por minutos en cada spot de televisin. La firma estima que, por cada minuto de publicidad, se obtendr un aumento de US$70,000 en



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las ventas. De esta cifra, US$47,500 se absorben para cubrir el costo variable de producir los artculos y US$15,000 sirven para pagar el minuto de publicidad. El resto es la contribucin al costo fijo y a la utilidad.

a) Cuntos minutos de publicidad se necesitan para recuperar los costos de desarrollo de la campaa publicitaria?

Costos de Desarrollo CF = 150,000 CV= Cu * x = 15,000x

CT = 150,000 + 15,000x

Aumento de Venta en: I = Pu * x = (70,000-47,500)x = 22,500x

Q = CF / (Pu Cu) Q = 150,000 / (22,500 15,000) Q = 150,000 / 7,500 Q = 20 minutos

b) Si la compaa se sirve de 15 spots de 1 minuto de duracin, determine el ingreso total, los costos totales (produccin y publicidad) y la utilidad ( o prdida) total que resultan de la campaa.

I = 22,500x I = 22,500 * 15 = 337,500 CT = 150,000 + 15,000(15) = 375,000 U = I CT = 337,500 375,000 = -37,500

Caso XX. La maquinaria que compra un fabricante por US$20,000 dlares se deprecia linealmente de manera que su valor comercial al cabo de 10 aos es US$1,000 dlares.

a) Exprese el valor de la maquinaria como una funcin de su antigedad y dibuje la grfica.

Depreciacin = Valor depreciable Valor residual = C R = 20,000 1,000 Vida til n 10

D = 1,900

Valor en libros V(t) = Valor depreciable Depreciacin(tiempo) = C D(t)



36

Valor en libros V(t) = 20,000 1,900(t)

b) Calcule el valor de la maquinaria al cabo de 4 aos.

Valor en libros V(t) = 20,000 1,900(t) Valor en libros V(t) = 20,000 1,900(4) = 20,000 7,600 = 12,400

c) Cunto se despreciar por completo la maquinaria? El fabricante puede no esperar tanto tiempo para disponer de la maquinaria. Analice los aspectos que el fabricante puede considerar para decidir cundo venderla.

Caso XXI. Encuentre las incgnitas para cada uno de los siguientes casos independientes:

PRECIO DE COSTO TOTAL DE MARGEN DE COSTOS VENTA POR VARIABLE UNIDADES CONTRIBUCION FIJOS UTILIDAD

CASO UNIDAD POR UNIDAD VENDIDAS TOTAL TOTALES NETA 1 10 6 100,000 400,000 330,000 70,000 2 20 15 20,000 100,000 89,000 11,000 3 30 20 70,000 700,000 688,000 12,000 4 10 8 80,000 160,000 110,000 50,000 5 25 19 120,000 720,000 640,000 80,000

Caso XXII. Si los modelos de la oferta y la demanda son respectivamente:

Oferta => p = 1 q + 8 300

Demanda => p = - 1 q + 12 180

a) Determinar el precio y la cantidad de equilibrio.

1/300q + 8 = - 1/180q + 12



37

1/300q + 1/180q = 12 8

480/54,000 q = 4 480q = 216,000 q = 450

p = (450/180) + 8 p = 9.5

b) Representar grficamente. Indique el punto de equilibrio, cuando hay excedente y cuando hay escasez.

c) Por qu se llama punto de equilibrio?

Caso XXIII. La Compaa RL & RG, S.A. se dedica a la produccin y venta de neveras. Los costos fijos son $24,500 y el precio de venta de las utilidades producidas es de $250. De los datos de produccin se conoce que el costo variable/unidad es de $180. Si se espera que esos valores permanezcan constantes durante el ao y siendo la capacidad de la planta de 1,000 unidades por ao, se desea determinar:

a) El punto de equilibrio de la compaa en unidades, dinero y % de capacidad de produccin.

CF = $24,500 Pu = $250 Cu = $180 Capacidad/ao = 1,000 unidades

P.E.(q) = CF / (Pu Cu) = 24,500/(250-180) = 350 unidades Comprobacin: CT = 24,500 + 180* 350 = $87,500 I = 250 * 350 = $87,500

P.E.($) = P.E.(q) * Pu = 350 * 250 = $87,500 P.E.($) = CF /RMC = 24,500 /[(250-180)/250] = 24,500/0.28 = $87,500

P.E.(%) = P.E.(q) * 100 / Capacidad P.E.(%) = 350 * 100 / 1000 = 35%



38

Con la utilizacin del 35% de la capacidad de produccin cubre todos sus gastos. La importancia de conocer este punto es que si la compaa opera por debajo de ese punto tendr prdidas; si opera por encima, tendr ganancias.

b) Beneficios que resultan para los niveles de produccin y venta de 300, 350 y 500 unidades.

B = I CT = Pu * q (CF + Cu * q) B = (Pu *q) [(Pu Cu)/Pu] CF B= I * RMC CF

B(300) = (250 * 300 * 0.28) 24,500 = - $3,500 B(350) = (250 * 350 * 0.28) 24,500 = $0 B(500) = (250 * 500 * 0.28) 24,500 = $10,500

Caso XXIV. La empresa CADESA produce el artculo AD12, a un costo unitario de $10 y lo vende a $15 la unidad. Los costos fijos de la empresa son de $18,000 al ao. La capacidad de la empresa es de 60,000 artculos por ao.

a) Cul es el punto de equilibrio de la empresa en unidades, dinero y % de capacidad de produccin?

Cu = $10 Pu = $15 CF = $18,000 Capacidad = 60,000 artculos/ao

P.E.(q) = CF / (Pu Cu) = 18,000/(15-10) = 3,600 artculos Comprobacin: CT = 18,000 + (10 * 3,600) = $54,000 I = 15 * 3,600 = $54,000

P.E.($) = P.E.(q) * Pu = 3,600 * 15 = $54,000 P.E.($) = CF /RMC = 18,000/[(15-10)/15] = 18,000/0.3333 = $54,000

P.E.(%) = P.E.(q) * 100 / Capacidad P.E.(%) = 3,600 * 100 / 60,000 = 6%

b) Cules sern los beneficios cuando la empresa trabaje a un 80% de capacidad?



39

0.80 * 60,000 artculos = 48,000 artculos

B(q) = [q * (Pu Cu)] CF B(48,000) = [48,000 * (15-10)] 18,000 = $222,000

Caso XXV. Un fabricante de artculos para el hogar est produciendo actualmente mesas, lmparas, y sillas. En la tabla siguiente aparecen los datos del caso:

Precio Costo % Valor Producto Unitario Unitario ventas ($)

Mesas 70 50 40 Lmparas 50 40 25 Sillas 40 30 35

Capacidad de ventas $1,800,000. Costo fijos $250,000.

A la empresa le interesa conocer el punto de equilibrio y los beneficios a un nivel de produccin del 75% de su capacidad.

% de contribucin de cada producto ser igual a:

[(Pu Cu)/Pu] * (% participacin en ventas)

RMC * (% participacin en ventas)

P.E.($) = CF/ del % de contribucin de cada producto

En este caso la contribucin est expresada en porcentaje, por lo tanto, podemos usar la frmula del punto de equilibrio con la contribucin en %.



40


% Mesas = [(70-50)/70)] * 0.40 = 0.1143 % Lmparas = [(50-40)/50)] * 0.25 = 0.0500 % Sillas = [(40-30)/40)] * 0.35 = 0.0875

del % de contribucin de cada producto = 0.1143+0.0500+0.0875 = 0.2518

P.E.($) = 250,000/0.2518 = $992,851.47

Beneficios a un nivel de produccin del 75% de su capacidad.

I = 0.75 * $1,800,000 = $1,350,000

B = I * RMC CF B = 1,350,000 * 0.2518 250,000 = $89,930 Caso XXVI. Una empresa produce bicicletas y velocpedos. Los costos fijos de la empresa son de $60,000 al ao, la capacidad total anual es de $250,000 en ventas. La participacin de cada producto es la siguiente:

Precio Costo % Valor Producto Unitario Unitario ventas ($)

Bicicleta 120 70 60 Velocpedo 50 25 40

A la empresa le interesa conocer el punto de equilibrio y el beneficio cuando est trabajando a un 70% de su capacidad.

% de contribucin de cada producto ser igual a:


RMC * (% participacin en ventas)


En este caso la contribucin est expresada en porcentaje, por lo tanto, podemos usar la frmula del punto de equilibrio con la contribucin en %.




41

% Bicicleta = [(120-70)/120)] * 0.60 = 0.25 % Velocpedo = [(50-25)/50)] * 0.40 = 0.20

del % de contribucin de cada producto = 0.25+0.20 = 0.45


P.E.($) = 60,000/0.45 = $133,333.33

Beneficios a un nivel de produccin del 70% de su capacidad.

I = 0.70 * $250,000 = $175,000

B = I * RMC CF B = (175,000 * 0.45) 60,000 = $18,750

Caso XXVII. La compaa TERDAS presenta el siguiente Estado de Ingreso Presupuestado:

Estado de Ingresos Ventas 100,000

Menos Costos y Gastos Variables 65,000 Margen de Contribucin 35,000 Menos: Costos Fijos 20,000 Ingresos Netos 15,000 Se desea conocer el punto de equilibrio, los beneficios para unas ventas de $120,000 y el nivel de ventas necesario para lograr el beneficio proyectado de $25,000. RMC = [(Pu Cu) /Pu] = (Pu/Pu) (Cu/Pu) RMC = 1 - (Cu/Pu) RMC = 1 - (Costos Variables/Valor de Ventas) Ventas para un nivel de beneficio = (CF + B)/RMC B = RMC * Ventas - CF a) RMC = 1 - (65,000/100,000) = 0.35 P.E.($) = CF/RMC = 20,000/0.35 = $ 57,142.86 b)



42

B = RMC * Ventas - CF B = 0.35 * 120,000 20,000 = $22,000 c) Ventas para un nivel de beneficio = (CF + B)/RMC Ventas para un nivel de beneficio = (20,000 + 25,000) / 0.35 = $128,571.42 La exactitud de esos resultados se puede comprobar con un estado de ingreso para ese nivel de ventas. Suponemos que los costos variables mantienen una proporcin constante de las ventas.

Estado de Ingresos Ventas 128,571.42 Menos Costos y Gastos Variables 83,571.42 Margen de Contribucin 45,000.00 Menos: Costos Fijos 20,000.00 Ingresos Netos 25,000.00 Caso XXVIII. Una fabrica de alimentos para animales presenta las siguientes informaciones:

Alimento para Precio Costo

% ventas ($)

Gallinas 30 15 40 Vacas 40 16 20

Puercos 36 16 25 Perros 32 12 15

Costos fijos de $80,000 al ao y capacidad de $200,000 de ventas al ao. a) Hallar el punto de equilibrio en dinero y en % de capacidad de la

fbrica. b) Determinar cual es el ingreso total cuanto se estn vendiendo 1,200

unidades de alimentos.

% de contribucin de cada producto ser igual a: [(Pu Cu)/Pu] * (% participacin en ventas) RMC * (% participacin en ventas) P.E.($) = CF/ del % de contribucin de cada producto En este caso la contribucin est expresada en porcentaje, por lo tanto, podemos usar la frmula del punto de equilibrio con la contribucin en %.



43

[(Pu Cu)/Pu] * (% participacin en ventas) % Gallinas = [(30-15)/30)] * 0.40 = 0.2000 % Vacas = [(40-16)/40)] * 0.20 = 0.1200 % Puercos = [(36-16)/36)] * 0.25 = 0.1389 % Perros = [(32-12)/32)] * 0.15 = 0.0938 del % de contribucin de c/producto = 0.20+0.12+0.1389+0.0938= 0.5527 P.E.( $) = CF/ del % de contribucin de cada producto P.E.($) = 80,000/0.5527 = $144,743.98 P.E. (%) = 144,743.98/200,000 =0.7237 = 72.37%

Alimento para P.E($) % ventas ($) Ventas Precio Unidades

Gallinas 144,743.98 40 57,897.59 30 1,930 Vacas 144,743.98 20 28,948.80 40 724

Puercos 144,743.98 25 36,186.00 36 1,005 Perros 144,743.98 15 21,711.60 32 678

100 144,743.98 4,337

Alimento para Precio Costo

% ventas ($)

Gallinas 30 15 40 Vacas 40 16 20

Puercos 36 16 25 Perros 32 12 15

Costos fijos de $80,000 al ao y capacidad de $200,000 de ventas al ao.

En este caso debemos determinar la contribucin promedio por unidad. (Pu Cu) * (% participacin en ventas) Contribucin Unitaria de Gallina = (30-15) * 0.40 = $6/unidad Contribucin Unitaria de Vaca = (40-16) * 0.20 = $4.8/unidad Contribucin Unitaria de Puerco = (36-16) * 0.25 = $5/unidad Contribucin Unitaria de Perro = (32-12) * 0.15 = $3/unidad (Pu Cu) * (% participacin en ventas) = 6+4.8+5+3= $18.8/unidad

En funcin de unidades el punto de equilibrio viene dado: P.E.(q) = CF/Contribucin promedio por unidad P.E.(q) = 80,000/18.8=4,256 unidades



44

P.E.($) = P.E.(q) * pu

P.E.(q) = P.E.($)/pu = $144,743.98/33.8 = 4,283 unidades

b. Determinar cual es el ingreso total cuanto se estn vendiendo 1,200 unidades de alimentos.

Precio de Gallina = 30 * 0.40 = $12/unidad Precio de Vaca = 40 * 0.20 = $8/unidad Precio de Puerco = 36 * 0.25 = $9/unidad Precio de Perro = 32 * 0.15 = $4.8/unidad I = 1,200 * 33.8 = $40,560

Alimento para

Gallinas 1200 0.4 480 30 14400 Vacas 1200 0.2 240 40 9600

Puercos 1200 0.25 300 36 10800 Perros 1200 0.15 180 32 5760

40560 Ejercicios Propuestos. Construya los modelos, represente grficamente cada situacin e interprete los resultados. Caso I. La funcin de demanda de un producto particular es:

q = f(p) = 500,000 3,000 p

donde q se expresa en unidades y p en dlares. Determine la funcin del ingreso total, I es una funcin de p o sea R = g(p).

A. Cul es la concavidad de la funcin? B. Cul es la interseccin con el eje x? C. Cul es el ingreso total con un precio de $20? D. Cuntas unidades sern demandadas a este precio? E. A qu precio se maximizar el ingreso total?

A.



45

I=500,000p - 3000p2

0.00

5,000,000.00

10,000,000.00

15,000,000.00

20,000,000.00

25,000,000.00

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Precios

Ingr

es

os

Serie1

I = p * q I = p * (500,000 3,000 p)

I = 500,000p - 3,000p

C. I = 500,000(20) - 3,000(20) I = 10,000,000 1,200,000 I = 8,800,000

D. q = f(p) = 500,000 3,000 p

q = f(20) = 500,000 3,000 (20)

q = f(20) = 500,000 60,000

q = f(20) = 440,000

E. I = 500,000p - 3,000p

x = -B = -500,000 = US$83.33 2A 2(-3,000)



46

Caso II. La funcin de oferta qs = f(p) para un producto es cuadrtica. Tres puntos que se encuentran en ella son (60, 2750), (70, 6000) y (80, 9750).

a) Determine el modelo de la oferta.

( p, q) (60, 2,750)

(70, 6,000) (80, 9,750)

q = f(p) q = ap + bp + c

Al sustituir las tres combinaciones de precio-cantidad en la ecuacin general cuadrtica se obtiene el sistema resultante de ecuaciones:

2,750 = a(60) + b(60) + c o 3,600a + 60b + c = 2,750 6,000 = a(70) + b(70) + c o 4,900a + 70b + c = 6,000 9,750 = a(80) + b(80) + c o 6,400a + 80b + c = 9,750

A B c y 3,600.00 60.00 1.00 2,750.00 4,900.00 70.00 1.00 6,000.00 6,400.00 80.00 1.00 9,750.00

A B c

2,750.00 60.00 1.00 6,000.00 70.00 1.00

a = 9,750.00 80.00 1.00 => numerador -5,000.00 3,600.00 60.00 1.00 => denominador -2,000.00 4,900.00 70.00 1.00 6,400.00 80.00 1.00 a= 2.50



47

a B c

3,600.00 2,750.00 1.00 4,900.00 6,000.00 1.00 b = 6,400.00 9,750.00 1.00 => numerador 0.00 3,600.00 60.00 1.00 => denominador -2,000.00 4,900.00 70.00 1.00 6,400.00 80.00 1.00 b= 0.00

a B c

3,600.00 60.00 2,750.00 4,900.00 70.00 6,000.00 c = 6,400.00 80.00 9,750.00 => numerador 12,500,000.00 3,600.00 60.00 1.00 => denominador -2,000.00 4,900.00 70.00 1.00 6,400.00 80.00 1.00 c= -6,250.00

q = f(p) = 2.5p - 6,250

b) Calcule e interprete la interseccin con el eje x.

c) Qu cantidad ofrecer a un precio de $75?

q = f(p) = 2.5p - 6,250

q = f(75) = 2.5(75) - 6,250= 7,812.50

Caso III. La funcin de la demanda qd = f(p) para un producto es cuadrtica. Tres puntos que se encuentran en ella son (5, 1600), (10, 900) y (20, 100). Determine el modelo correspondiente de la Demanda. Qu cantidad se demandar a un precio de mercado de $15?



48

Caso IV. Las funciones de demanda y oferta de un producto son: Oferta qs = p - 400 Demanda qd = p -40p + 2600 Determine el precio y cantidad de equilibrio del mercado.

qo = qd

p - 400 = p -40p + 2600

p - 400 - p +40p 2600 = 0

40p 3,000 = 0

p = 3,000 / 40

p = 75

Oferta qs = (75) - 400 = 5,225 Demanda qd = (75) - 40(75) + 2600 = 5,225

Caso V. Un agente de viajes est organizando una excursin a un conocido lugar de recreo. Ha cotizado un precio de $300 por persona, si rene a 100 o menos pasajeros. Por cada pasajero despus de los 100, el precio que se cobra a todos ellos disminuir en $2.50. Por ejemplo, si se inscriben en la excursin 101 pasajeros, cada uno pagar $297.50. Sea x el nmero de personas despus de 100.

a) Determine la funcin que exprese el precio por persona p en funcin de x, o sea p = f(x).

p = $300 si x 100

p = $300 2.5(x 100) si x > 100 p = 300 2.5x + 250 si x > 100



49

p = 550 2.5x si x > 100

b) Formule el modelo I = h(x), que exprese el ingreso total en boletos I en funcin de x.

p = $300 si x 100 I = 300x

p = $300 2.5(x 100) si x > 100 I = p * x I = [300 2.5(x 100)] * x I = 300x 2.5x(x 100) I = 300x 2.5x + 250x I = 550x 2.5x

c) Qu valor de x produce el mximo valor de I?

I = 550x 2.5x

x = -B = - 550 = 110 2A 2(-2.5)

d) Cul es el valor mximo de I?

I = 550x 2.5x I = 550(110) 2.5(110) I = 60,500 30,250 = 30,250

e) Con qu precio por boleto se obtiene un I mximo?

30,250 = 110p p = 30,250 / 110 p = 275

Caso VI. Un vendedor al por menor puede obtener un producto del fabricante a $50 cada uno. El vendedor ha estado vendiendo el producto a $80 cada unidad y, a este precio los consumidores han estado demandando 40 artculos al mes. El vendedor planea bajar el precio para estimular las ventas y estima que por cada $5 de reduccin en el precio se vendern 10 artculos ms cada mes.



50

a) Formule el modelo de beneficio en funcin del precio de venta.

pc = 50 pv = 80 40 artculos

Bu = pv 50

Por c/$5 menos se vendern 10 artculos ms

10/5 = 2 artculos por cada $1

q = 40 + 2 (80 pv) q = 40 + 160 2pv q = 200 2pv

B = Bu * q B = (pv 50) (200 2pv)

pv 50 200 2pv 200pv 10,000

-2pv + 100pv ==================

-2pv + 300pv 10,000

B= -2pv + 300pv - 10,000 b) Dibuje el grfico.



51

B = -2pv2 + 300pv - 10,000

0200400600800

100012001400

0 20 40 60 80 100 120

Precio de Venta

Ben

efic

io

Serie1

c) Estime el precio al que se obtendran mayores beneficios.

x = -B = - 300 = $75 2A 2(-2)

Caso VII. El costo de mantener una cuenta corriente en cierto banco es $12 por mes ms 10 centavos por cada cheque girado. Un banco de la competencia cobra $10 por mes ms 14 centavos por cheque girado. Halle el criterio para decidir cul banco ofrece el mejor negocio.

CT1 = 12 + 0.10x CT2 = 10 + 0.14x

12 + 0.10x = 10 + 0.14x



52

Caso VIII. A un editor le cuesta US$74,200 preparar un libro para publicacin (digitacin de texto, ilustracin, edicin, etc.) Los costos de impresin y encuadernacin son US$5.50 por ejemplar. El libro se vende a las libreras a US$19.50 cada ejemplar.

a) Elabore una tabla que muestre el costo de producir 2,000, 4,000, 6,000 y 8,000 ejemplares.

CT = 74,200 + 5.5x I = 19.5x

b) Elabore una tabla que muestre el ingreso de la venta de 2,000, 4,000, 6,000 y 8,000 ejemplares.

c) Escriba el modelo matemtico que represente el costo como una funcin del nmero de libros producidos.

d) Escriba el modelo matemtico que represente el ingreso como una funcin del nmero de libros vendidos.

e) Represente grficamente ambos modelos en el mismo eje de coordenada. f) Cundo el costo iguala el ingreso? g) Utilice la grfica para determinar cuntos libros deben publicarse para

producir un ingreso de por los menos US$85,000. Cunta utilidad deja este nmero de libros?

Caso IX. Durante el verano un grupo de estudiantes construye kayaks en un garaje adaptado para tal fin. El alquiler del garaje cuesta US$1,500 en el verano, y los materiales necesarios para construir un kayak cuesta US$125. Pueden venderse los kayaks a US$275 la unidad?

a) Cuntos kayaks deben vender los estudiantes para alcanzar el punto de equilibrio?

CT = 1,500 + 125x I = 275x

275x = 1,500 + 125x 150x 1,500 = 0 x = 1,500 / 150 = 10

b) Cuntos kayaks deben vender los estudiantes para obtener una utilidad e US$1,000?



53

B = I CT B = 275x (1,500 + 125x) B = 150x 1,500

150x 1,500 = 1,000 150x = 2,500 x = 2,500 / 150 = 16.67

Caso X. Un fabricante vende lmparas a US$30 por unidad. A este precio, los consumidores compran 3,000 lmparas al mes. El fabricante desea incrementar el precio y estima que por cada incremento de US$1 en el precio, se vendern 1,000 lmparas menos cada mes. El fabricante puede producir las lmparas a US$18 la lmpara. Exprese la utilidad mensual del fabricante como una funcin del precio al que se venden las lmparas. pu = 30 q = 3,000 pu = x - 30 1,000 lmparas menos Cu = 18

Bu = pu 18

q = 3000 - 1000 (Pu 30) q = 3000 1000pu + 30,000 q = 33,000 1000 pu

U = Bu * q U = (pu 18) (33,000 1000pu)

pu 18 33,000 1000pu 33,000 pu 594,000 -100pu + 18,000 pu =======================

-100pu + 51,000pu 594,000

U = -100pu + 51,000pu 594,000

Dibuje la grfica.



54

Y calcule el precio ptimo de venta. U = -100pu + 34,000pu 594,000

x = -B = - 34,000= $170 2A 2(-100)

Caso XI. Una librera puede pedir cierto libro a una editorial a un costo de US$ 3 el ejemplar. La librera ofrece el libro a US$15. A este precio, se venden 200 ejemplares. La librera planea bajar el precio para estimular las ventas y estima que por cada reduccin US$1 en el precio, se vendern 20 libros ms cada mes. Exprese la utilidad mensual de la librera por la venta de este libro como una funcin del precio de venta, dibuje la grfica y calcule el precio ptimo de venta. cu = 3 pu = 15 se venden 200

Bu = pu 3

q = 200 + 20 (15 - pu) q = 200 + 300 20pu q = 500 20pu

U = Bu * q

U = (pu 3) (500 20pu)

pu 3 500 20pu

500pu 1,500 -20pu + 60pu ==================

-20pu + 560pu 1,500

U = -20pu + 560pu 1,500

x = -B = - 560= $14 2A 2(-20)

Caso XII.



55

Los modelos de oferta y de demanda de cierto artculo son S(p) = p 10 y D(p)=5,600/p, respectivamente.

a) Halle el precio de equilibrio y el nmero correspondiente de unidades ofrecidas y demandadas.

b) Dibuje la curva de oferta y de demanda en el mismo conjunto de ejes. c) Dnde corta la curva de oferta el eje p? Explique la interpretacin

econmica de este punto. S(p) = p 10 D(p) = 5,600/p

P 10 = 5,600/p

P(P 10 5,600/p) = 0

p - 10p 5,600 = 0

S(80) = 80 10 = 70 D(80) = 5,600/80 = 70

p=80 p=-70

Caso XIII. Las funciones de la oferta y la demanda de cierto artculo son S(p)=4p+200 y D(p)=-3p+480, respectivamente. Halle el precio de equilibrio y el nmero correspondiente de unidades que se ofrecieron y se demandaron, y dibuje las curvas de oferta y de demanda en el mismo conjunto de ejes. S(p)=4p+200 D(p)=-3p+480

4p 200 = -3p + 480 4p 200 + 3p 480 = 0 7p 680 = 0

Caso XIV.



56

Cada unidad de cierto artculo cuesta p=35x+15 centavos cuando se producen x unidades del artculo. Si se venden todas las x unidades a este precio, exprese el ingreso derivado de las ventas como una funcin de x.

P = 35x + 15 Q = x I = p * q I = (35x + 15) * x I = 35x + 15x

x = -B = - 15= $2.14 2A 2(35)

Caso XV. La figura a continuacin contiene las localizaciones relativas de tres ciudades. Una gran organizacin para la conservacin de la salud desea construir una clnica satlite para dar servicio a las tres ciudades. La ubicacin de la clnica x deber ser tal que se minimice la suma de los cuadrados de las distancias entre la clnica y cada ciudad. Este criterio puede formularse as: 3 Minimice S = dj J=1

3 S= f(x) = (x - xj) J=1 Donde xj es la ubicacin de la ciudad j, y x es la de la clnica.

a) Determine la funcin distancia S = f(x). b) Determine la ubicacin que minimice a S.

Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3 ===========*===============*=========================================*================= MILLAS

0 20 50 120



57

Caso XVI. Un fabricante ha ideado un nuevo diseo para los paneles solares. Segn los estudios de mercadotecnia que se han realizado, la demanda anual de los paneles depender del precio al que se venden. La funcin de su demanda ha sido estimada as:

q = 100,000 200p

p= (100,000 q)/200 p = 500 0.005q

Los estudios de ingeniera indican que el costo total de la produccin de q paneles est representado muy bien por la funcin:

C = 150,000 + 100q + 0.003q

a) Determine el ingreso en funcin de las unidades vendidas I = f(q)

I = 500q 0.005q2

b) Formule la funcin de utilidad U = f(q) que exprese la utilidad anual en funcin del nmero de unidades q que se producen y venden.

U = -0.008q2 + 400q 150,000

c) Determine el punto de maximizacin de las utilidades.

-B/2 = -400/2(-0.008) = 25,000

d) Represente Grficamente la utilidad en funcin de las unidades producidas y vendidas.

X1 = 378,125 X2 = 49,621,875



58

Caso XVII. Un almacn vende un popular juego de computador a US$40 la unidad. A este precio, los jugadores han comprado 50 unidades al mes. El propietario del almacn desea aumentar el precio del juego y estima que por cada aumento de US$1 en el precio, se vendern 3 unidades menos cada mes. Si cada unidad cuesta al almacn US$25, a qu precio debera venderse el juego para maximizar la utilidad? Represente grficamente.

Pu = 40 => q = 50 Si Pu aumenta en 1 => q reduce en 3 Cu = 25 q = 50 3 (x-40) q = 50 3x + 120 = 170 3x bu = x 25 U = bu * q U = (x 25) * (170 3x)

170 3x x 25_________ 75x 4,250 -3x + 170x______ -3x + 245x 4,250

-b/2 = - 245/2(-3) = 40.83 x1 = 25 x2 = 56.67

Caso XVIII. Una compaa de televisin por cable ha averiguado que su rentabilidad depende de la tarifa mensual que cobra a sus clientes. Especficamente, la relacin que describe la utilidad anual U (en dlares) en funcin de la tarifa mensual de renta r (en dlares) es la siguiente:

U = - 50,000r + 2,500,000r 5,000,000

a) Determine la tarifa de renta mensual que d por resultado la utilidad mxima. 25

-b/2 = - 2,500,000/2(-50,000) = 25



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b) Cul es la utilidad mxima esperada? 26,250,000 c) Suponga que la comisin local de servicios ha impuesto a la compaa

la obligacin de no cobrar una tarifa mayor que $20. a. Cul tarifa produce la utilidad mxima a la compaa? b. Cul es el efecto que la decisin de la comisin tiene en la

rentabilidad de la empresa?

Caso XIX. Una librera puede pedir cierto libro a una editorial a un costo de US$ 3 el ejemplar. La librera ofrece el libro a US$15. A este precio, se venden 200 ejemplares. La librera planea bajar el precio para estimular las ventas y estima que por cada reduccin US$1 en el precio, se vendern 20 libros ms cada mes. Exprese la utilidad mensual de la librera por la venta de este libro como una funcin del precio de venta, dibuje la grfica y calcule el precio ptimo de venta. Cu = 3 Pu = 15 => q = 200 Por cada reduccin en el Pu en 1 => q aumenta en 20 Bu = x 3

q = 200 + 20 (15 x) q = 200 + 300 20x q = 500 20x

U = Bu * q U = (x 3) * (500 20x)

500 20x x 3__________ 60x - 1,500 - 20x + 500x______ - 20x + 560x 1,500

-b/2 = - 560/2(-20) = 14 x1 = 3 x2 = 25



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Caso XX. Una organizacin de caridad est planeando un tour por avin y una semana de vacaciones en el Caribe. Se trata de una actividad tendiente a recaudar fondos. Se ha contratado un paquete con una aerolnea comercial, y la organizacin pagar un costo fijo de US$10,000 ms US$300 por persona. Esta ltima cantidad cubre el costo del vuelo, los traslados, el hotel, las comidas y propinas. La organizacin proyecta cobrar el paquete a US$450 por persona.

a) Determine el nmero de personas necesarias para alcanzar el equilibrio en esta actividad.

I = 450x CT = 10,000 + 300x

I = CT 450X = 10,000 + 300x

150x = 10,000

x = 67 personas (66.67)

b) La meta de la organizacin es obtener una utilidad de US$10,000. Cuntas personas han de participar para poder conseguirla?

U = I CT U = 450x (10,000 300x) U = 150 x 10,000 10,000 = 150x 10,000 150x 10,000 = 10,000 150x = 20,000 x = 134 personas (133.33)



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Caso XXI. Un minorista puede obtener cmaras del fabricante a un costo de US$50 la unidad. El minorista vende las cmaras a US$80 cada una; a este precio, los consumidores compran 40 cmaras al mes. El minorista planea reducir el precio para estimular las ventas y estima que por cada reduccin de US$5 en el precio, se vendern 10 cmaras ms cada mes. Exprese la utilidad mensual del minorista proveniente de la venta de cmaras como una funcin del precio de venta. Dibuje la grfica y calcule el precio ptimo de venta. Cu = $50 Pu = $80 => q = 40 cmaras

Por cada $5 menos se vendern 10 cmaras ms 10/5 = 2 cmaras por $1 q = 40 + 2 (80 p) q = 40 + 160 2p q = 200 2p Bu = p - 50

U = B = Bu * q U = B = (p 50) * (200 2p)

U = B = -2p + 300p 10,000

p = 50 p = 200/2 = 100

p.m. = (50 + 100)/2 = 75

-b/2 = -300/2(-2) = -300/-4 = 75



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Caso XXII. La funcin de demanda de un producto es:

q = f(p) = 450,000 30p

donde q es la cantidad demandada y p indica el precio de venta en dlares. Determine la funcin del ingreso total.

a) Cul sera el margen de tolerancia en precio que soportara el producto para generar beneficio?

b) Qu precio corresponde al ingreso mximo? c) Cuntas unidades sern demandadas a este precio (b)? d) Cul es la concavidad de la funcin?

I = p * q I = p * (450,000 30p) I = 450,000p 30p

p = 0 p = -45,000 / -3 = 15,000 precio mximo = 7,500

Caso XXIII. Las funciones de oferta y demanda de un producto son: qs = 4p - 500 qd = 3p - 20p + 1000 Determine el precio y cantidad del equilibrio del Mercado.

4p - 500 = 3p - 20p + 1000 4p - 500 3p + 20p 1000 = 0

p + 20p 1500 = 0

X = - B B-4AC Frmula Cuadrtica 2A X = - 20 20-4(1)(-1,500) Frmula Cuadrtica



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2(1)

X = - 20 80 Frmula Cuadrtica 2(1) X1 = 30 X2 = -50 Caso XXIV. La funcin de demanda para un producto es p = 1,000 2q, donde p es el precio en dlares por unidad cuando q unidades son demandadas (por semana) por los consumidores. Encontrar el nivel de produccin que maximice el ingreso total del productor, y determinar ese ingreso.

I = p * q I = (1,000 2q) * q I = 1,000q 2q

Caso XXV. La I. M. Handy Corporation es un gran fabricante de computadoras. Y actualmente est planeando penetrar en el mercado de microcomputadoras. La empresa necesita ayuda para analizar este nuevo producto. Los ingenieros de manufactura estiman que los costos variables de produccin sern de $100 por unidad. Los costos fijos que se requieren para establecer la lnea de produccin se calculan en $2,500,000. Los investigadores de mercado realizaron algunos estudios preliminares y llegaron a la conclusin de que la funcin de la demanda para el nuevo producto ser aproximadamente lineal. Es decir, el nmero de unidades demandado, q, variar segn el precio, p, en forma lineal. Dos puntos de datos (p, q) que se utilizarn al definir esta funcin son (100 ; 26,000) y (500 ; 10,000).

La compaa solicita al lector lo siguiente: a) Formulacin de la funcin de la demanda q = f(p). b) Formulacin del ingreso total I = f(q). c) Formulacin de la funcin del costo total. d) Determinacin del nivel o niveles de equilibrio de la produccin. e) Una representacin grfica de las funciones de ingresos y costos que

muestre el punto o puntos de equilibrio. f) Determinacin del precio o precios que deben fijarse en el punto o

puntos de equilibrio.



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g) Una explicacin de por qu hay ms de un punto de equilibrio (en caso de que existan varios).

h) Formulacin de la funcin de las utilidades totales. i) Determinacin del nmero de unidades que deberan venderse a fin de

maximizar las utilidades totales. Cul es la utilidad esp

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Programación Lineal - Modelos para la Toma de Decisiones 3 SEP 2008