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Algarismos SignificativosPropagação de Erros ou Desvios
• Qual destas medidas está correta? Qual apresenta algarismos com significado?
• O instrumento de medida não garante precisão de milímetros (0,1 cm), muito menos de décimos de milímetros (0,01 cm).
• Então, 0,3 cm é um valor duvidoso, mas pode ser estimado por um ser humano, mas 0,05 cm não pode ser estimado com a escala da figura.
L1 = 1,35 cm; L2 = 1,3 cm; L3 = 1,30 cm L4 = 1,4 cm; L5 = 1,7 cm.
• Nesta escala, centésimos de centímetros, ou décimos de milímetros(0,01 cm = 0,1 mm) são os primeiros algarismos duvidosos, e poristo passam a ser significativos
• comprimento do palito é L6 = 1,34 cm, mas 1,36 também seria umaboa leitura.
• Os algarismos significativos são todos os algarismos corretos e oprimeiro algarismo duvidoso.
• vamos assumir que se não soubermos qual é aincerteza da medida, assumiremos como sendo iguala metade do menor intervalo de medida doinstrumento.
• de modo que poderíamos escrever
• L4 = (1,4 ± 0,5) cm,
• e para o instrumento mais preciso:
• L7 = (1,35 ± 0,05) cm.
Zero a direita é algarismo significativo, maszero a esquerda não é algarismo significativo.
• Média aritmética: Se n número dados, cada númerodenotado por xi, onde i = 1, ..., n, a média aritmética é asoma dos valores xi's divididos por n, ou
• Desvio médio: Se desejamos determinar a precisão deum conjunto de dados, primeiramente devemosentender o que é desvio da média, ΔXi, de uma medidaxi:
i med iX x x
1
n
i
i
x
xn
• quando calculamos a soma dos desvios da média,obtemos o valor zero. Isto faz muito sentido porque amédia está situada em uma posição que separa oconjunto de dados “ao meio”.
• É bastante simples: digamos que se tenha o conjunto(2,4). A média é 3, e a medida 2 está uma unidadeabaixo da média (seu desvio é -1) enquanto que amedida 4 está uma unidade acima da média (seudesvio é +1). A soma dos desvios é zero (tente mostrarque este resultado sempre é verdadeiro).
• Uma vez que a soma dos desvios é nula, amaneira de obtermos o desvio médio é tomarmosa média dos módulos dos desvios:
• Com o média dos módulos dos desvios em mãospoderemos expressar a grandeza X de um modobastante interessante:
i
i
med
X
Xn
med medX X X
• A variância é calculada subtraindo o valorobservado do valor médio. Essa diferença équanto um valor observado se distância do valormédio. Observe o exemplo a seguir:
2
2
1
med i
i
X x
N
2) Observe as notas de três competidores em uma prova de manobras radicais com skates.
Competidor A: 7,0 – 5,0 – 3,0
Competidor B: 5,0 – 4,0 – 6,0
Competidor C: 4,0 – 4,0 – 7,0
Ao calcular a média das notas dos três competidores iremos obter média cinco para todos, impossibilitando a nossa análise sobre a regularidade dos competidores.Partindo dessa ideia, precisamos adotar uma medida que apresente a variação dessas notas no intuito de não comprometer a análise.
Competidor A:
Competidor B:
Competidor C:
2 2 2
25 7 5 5 5 3
2,03 1
A
2 2 2
25 5 5 4 5 6
1,03 1
B
2 2 2
25 4 5 4 5 7
3,03 1
C
• O desvio padrão, S, é estatisticamente mais significativo que odesvio médio de uma amostra.
• Para um conjunto de N dados, a variância, σ2 é definida como:
2
2
1
med i
i
X x
N
• O Desvio padrão é obtido através da Raiz quadrada da Variância. Utilizando ainda o mesmo exemplo podemos obter o seguinte:
Competidor A
√2,0 = 1,41
Competidor B
√ 1,0 = 1,0
Competidor C
√3,0 = 1,73
-> Logo Podemos notar que o competidor B possui uma melhor regularidade nas notas.
2
1
med i
i
X x
N
2
1
med i
i
m
X x
N NN
Sabemos agora determinar a partir de n observações odesvio padrão de uma medida, isto é, sabemos estimar apartir da análise de n observações o erro que teríamos,com uma dada probabilidade, caso houvéssemos realizadouma única determinação.
Entretanto, tendo realizado n determinações omelhor valor disponível é a sua média (xmed), e portantoestaremos mais interessados em estimar o erro em xmed.
Note que, quanto maior o número
de observações n, menor será o
desvio padrão da média e
portanto, maior a precisão do
resultado. Este é um princípio
fundamental da estatística.
Quando a medição de uma grandeza R de interesse é feitade maneira indireta, sendo esta grandeza obtida a partirde medidas de n grandezas primárias {a1, a2, a3, ..., ak, ...,an}, o cálculo de R é feito a partir de uma funçãoconhecida das grandezas primárias.
Estas grandezas são tambémdenominadas grandezas de entrada,enquanto a grandeza R édenominada grandeza de saída.
Exemplo:
Cálculo da Densidade
Grandezas de entrada: massa e volume
Grandeza de saída: densidade
Fazendo um desenvolvimento matemático apropriado,temos uma expressão para o cálculo da incerteza padrãoda grandeza de saída
1 2
22 222 2
1 2
...na a aR
n
R R R
a a a
Esta expressão para a incerteza padrão da grandeza desaída, também chamada de incerteza padrãocombinada, é utilizada quando as grandezas deentrada {a1, a2, a3, ..., ak, ..., an} são medidas repetidasvezes, gerando valores médios e desvios padrão dasmédias
ka
ka
Consideremos o caso em que se deseja calcular a incertezapadrão propagada no valor de uma grandeza de saída R,com relação funcional do tipo R = a + b.
Sendo as incertezas padrão de a e b, e respectivamente.
Sendo a forma final para grandeza combinada e sua
incerteza padrão combinada escrita como:
a b
2 222
22
aR b
aR b
R R
a b
22
aR bR a b
Referências
• Referências Bibliográficas
1. Domiciano, J. B., Juraltis K. R., “Introdução ao
laboratório de Física Experimental”, EDUEL, 2009.
2. Vuolo, J. H. – “Fundamentos da Teoria de Erros” –
Ed. Edgard Blücher , São Paulo, 1992.
3. http://www.uel.br/cce/fisica/docentes/dari/d3_material10_6ce2c61b.pdf