UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA

Faculdade de Ciências e Tecnologia de Presidente Prudente

Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada e Computacional

PROPRIEDADES ESPECTRAISUNIFORMES PARA OPERADORES DE

SCHRÖDINGER COM POTENCIAISSTURMIANOS

Mariane PigossiOrientador: Prof. Dr. Roberto de Almeida Prado

Presidente Prudente, março de 2014

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA

Faculdade de Ciências e Tecnologia de Presidente Prudente

Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada e Computacional

PROPRIEDADES ESPECTRAISUNIFORMES PARA OPERADORES DE

SCHRÖDINGER COM POTENCIAISSTURMIANOS

Mariane PigossiOrientador: Prof. Dr. Roberto de Almeida Prado

Dissertação apresentada ao Programa dePós-Graduação em Matemática Aplicada eComputacional da Faculdade de Ciências eTecnologia da UNESP para obtenção do tí-tulo de Mestre em Matemática Aplicada eComputacional.

Presidente Prudente, março de 2014

FICHA CATALOGRÁFICA

Pigossi, Mariane.

P684p Propriedades espectrais uniformes para operadores de Schrödinger com potenciais Sturmianos / Mariane Pigossi. - Presidente Prudente : [s.n.], 2014

65 f. Orientador: Roberto de Almeida Prado Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista, Faculdade de

Ciências e Tecnologia Inclui bibliografia 1. Operadores de Schrödinger. 2. Teoria espectral de operadores. 3.

Potenciais Sturmianos. I. Prado, Roberto de Almeida. II. Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Ciências e Tecnologia. III. Título.

A Deus, por me sustentar com sua destra fiele a minha família, dedico!

Agradecimentos

Manifesto minha sincera gratidão a todas as pessoas que fizeram parte de minhahistória, marcando minha vida com boas recordações, em especial:

A Deus, primeiramente, por ser meu esconderijo e fortaleza, socorro bem presente nashoras de lutas e dificuldades.

A toda minha família pelo amor, compreensão e apoio que sempre me deram, princi-palmente em minha vida acadêmica.

Ao Prof. Dr. Roberto de Almeida Prado pela paciência, dedicação profissional eexcelente orientação, desde a graduação até agora, sempre me ajudando nas pesquisas ediscussões e pelo incentivo na continuação de minha carreira acadêmica.

Aos professores do PósMAC e do Departamento de Matemática, em especial ao Prof.Dr. Ronan Antonio dos Reis pela orientação nos anos iniciais da graduação.

Aos colegas que comigo formaram a terceira turma do PósMAC, de um modo especialas preciosas amigas Gabriela e Luciene pela amizade, paciência e pelas muitas orações;agradeço ainda ao José Vanterler e a Patrícia pela excelente companhia durante esses doisanos.

Aos funcionários da seção de Pós-Graduação pelo auxílio prestado, disposição e boavontade.

À FAPESP pelo apoio financeiro.

“Ó profundidade das riquezas,tanto da sabedoria como da ciência de Deus!

Quão insondáveis são os seus juízos,e quão inescrutáveis, os seus caminhos!

Quem, pois, compreendeu o intento do Senhor?Ou quem foi o seu conselheiro?

Ou quem lhe deu primeiro para que lhe seja recompensado?Porque Dele, e por Ele, e para Ele são todas as coisas.

A Ele, pois, a glória eternamente. Amém!”Romanos 11:33-36, Bíblia Sagrada

Sumário

Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1 Introdução 4

2 Preliminares 92.1 Propriedades dos potenciais Sturmianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Lema da partição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Matrizes de transferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4 Aplicação traço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.5 m-Funções de Weyl-Tichmarsh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.6 Medidas de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.7 α-Derivada superior de uma medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Ausência de Espectro Absolutamente Contínuo para Hλ,θ,β 303.1 Família ergódica de operadores de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2 Espectro com medida de Lebesgue zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4 Comportamento das Soluções 384.1 Limitação inferior das soluções e ausência de espectro pontual para Hλ,θ,β . 384.2 Limitação superior das soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5 Espectro α-Contínuo para Hλ,θ,β 545.1 Desigualdade de Jitomirskaya-Last . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.2 α-Continuidade para os modelos Sturmianos . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6 Considerações Finais 62

Referências 63

Resumo

O presente trabalho tem como objetivo estudar propriedades espectrais uniformesde operadores de Schrödinger discretos, unidimensionais, com potenciais Sturmianos.Baseando-se em trabalhos da literatura, demonstra-se que esses operadores possuem espec-tro puramente singular contínuo, suportado sobre um conjunto com medida de Lebesguezero. Mostra-se também que, em relação a medida de Hausdorff, os referidos operado-res com potenciais Sturmianos gerados por números de rotação de densidade limitada,possuem espectro puramente α-contínuo com α ∈ (0, 1).

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Abstract

The present work intends to study uniform spectral properties of discrete one-dimensio-nal Schrodinger operators with Sturmian potentials. Based on studies in the literature, itis shown that these operators have purely singular continuous spectrum supported on a setwith Lebesgue measure zero. It is also shown that, for Hausdorff measure, such operatorswith Sturmian potentials generated by rotation number of bounded density have purelyα-continuous spectrum with α ∈ (0, 1).

3

Capítulo

1Introdução

A teoria espectral de operadores de Schrödinger tem sido objeto de estudo de váriospesquisadores, por se tratar de um assunto importante e relevante para a área de Física-Matemática. A Mecânica Quântica utiliza a Análise Funcional como uma ferramentaessencial para o estudo da teoria espectral. Neste trabalho vamos estudar o tipo espec-tral de operadores de Schrödinger 1D com potenciais Sturmianos, sendo esses modelos deextrema importância na Física, pois representam estruturas quase-cristalinas unidimen-sionais (veja [24, 41]).

Consideremos uma rede unidimensional representada pelo conjunto dos números intei-ros Z e em cada vértice j ∈ Z colocamos um átomo nj que gera um potencial V (j) ∈ R.Na chamada aproximação tight binding, o Hamiltoniano de um elétron nesse ambiente édado por

(Hu)(n) = u(n+ 1) + u(n− 1) + V (n)u(n), u ∈ `2(Z). (1.1)

Matematicamente, este modelo é conhecido como o operador de Schrödinger discreto 1D.Nesse caso o Laplaciano dicreto é o operador diferença finita ∆ = −u(n+ 1)− u(n− 1),que é limitado. Neste modelo supõe-se que não há interações entre os elétrons e que osátomos estão fixos na rede. Supondo que o potencial V assume apenas um número finitode valores reais, temos que H é um operador limitado e auto-adjunto e, portanto, seuespectro é um conjunto compacto da reta (veja [16]).

Um caso que no últimos anos tem atraído grande interesse, tanto de físicos como dematemáticos, é o estudo de operadores do tipo (1.1) em que os potenciais V pertencema uma classe que fica entre os potenciais periódicos Vp (que induzem espectro absoluta-mente contínuo) e os potenciais aleatórios Va (que induzem espectro pontual) e, algumasvezes, são matematicamente modelados por sequências quase-periódicas. O estudo deoperadores da forma (1.1) com potenciais quase-periódicos teve especial motivação após adescoberta experimental de estruturas quase-cristalinas (que são estruturas em que os áto-mos não estão dispostos nem de maneira periódica, como num cristal, e nem de maneira

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5

aleatória, como num material amorfo). Um dos interesses nessas estruturas é investigaras propridades de difusão elétrica dos quase-cristais.

Matematicamente, o espectro do operador H, denotado por σ(H), é definido como ocomplementar do conjunto resolvente

ρ(H) = E ∈ C : (H − EI)−1 é um operador linear limitado.

Os valores de E para os quais a solução de Hu = Eu pertence ao espaço de Hilbert `2(Z),são os autovalores de H, e o fecho do conjunto de autovalores é chamado espectro pontualde H, denotado por σp(H). O restante do espectro é o espectro contínuo, denotado porσc(H), que pode ser decomposto em espectro absolutamente contínuo σac(H) e espectrosingular contínuo σsc(H), de acordo com a decomposição de Lebesgue da parte contínuada medida espectral de H (veja [17]). Na Física os níveis energéticos de um átomo ou deuma molécula são chamados de espectro.

O propósito deste trabalho é estudar em detalhes o espectro de operadores de Schrö-dinger com potenciais Sturmianos, que são gerados por rotações na circunferência S1.Mais precisamente, estudamos o espectro de cada operador de Schrödinger da família:

(Hλ,θ,βu)(n) = u(n+ 1) + u(n− 1) + λVθ,β(n)u(n), u ∈ `2(Z), (1.2)

com os potenciais Sturmianos

Vθ,β(n) = χ[1−θ,1)(nθ + β mod 1), (1.3)

em que θ ∈ (0, 1) é um número de rotação irracional, β ∈ [0, 1) é a fase, λ ∈ R \ 0 é aconstante de acoplamento e "mod 1" representa o resto da divisão de nθ + β por 1 ondeo quociente de tal divisão é um número inteiro (veja [34]).

A família de operadores de Schrödinger Hλ,θ,β, definidos por (1.2) com os potenciaisSturmianos (1.3), descreve um modelo padrão de quase-cristais unidimensionais e tem sidoestudada em vários artigos. Esta fornece uma generalização natural da família Fibonaccide operadores, que corresponde ao número de rotação θF = (

√5 − 1)/2, chamado razão

áurea. Esses operadores tem chamado a atenção, pois eles exibem espectro puramentesingular contínuo, suportado sobre um conjunto com medida de Lebesgue zero, paratodos os parâmetros λ, θ, β, além de possuirem propriedades espectrais notáveis. Taispropriedades são convenientemente estudadas no âmbito de operadores aleatórios. Paraisso, fixamos λ, θ e consideramos a família (em β) de operadores (Hλ,θ,β)β∈[0,1), a qualé uma família ergódica discreta. A demonstração de que o espectro desses operadoresé puramente singular contínuo está baseada nos trabalhos [1] e [11]. Estende-se umaaproximação usada por Süto [42] no caso Fibonacci, levando-se em conta propriedadesparticulares das sequências Sturmianas.

Obtém-se uma identificação completa do tipo espectral do modelo (1.2) com os po-tenciais Sturmianos (1.3), descrita no teorema abaixo (veja [11]).

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Teorema 1.1. Para todos os parâmetros λ, θ, β, o operador Hλ,θ,β definido por (1.2)-(1.3)tem espectro puramente singular contínuo, suportado sobre um conjunto com medida deLebesgue zero.

A demonstração do teorema acima segue da ausência dos espectros pontual e absolu-tamente contínuo, de acordo com a classificação espectral (veja [17]).

Para demonstrarmos a ausência do espectro absolutamente contínuo considera-se oexpoente de Lyapunov, que indica a taxa de crescimento exponencial da norma das ma-trizes de transferência. Mostra-se que o espectro de Hλ,θ,β coincide com o conjunto dasenergias onde o expoente de Lyapunov se anula. Devido a ergodicidade e minimalidadeda família (Hλ,θ,β)β∈[0,1), mostra-se, a partir de resultados importantes obtidos em [29]e [32], que o espectro de cada operador dessa família tem medida de Lebesgue zero e,consequentemente, a ausência do espectro absolutamente contínuo.

Para demonstrarmos a ausência do espectro pontual usa-se o formalismo das matrizesde transferência, uma ferramenta básica no estudo das propriedades espectrais de mo-delos unidimensionais desse tipo, em que o estudo das propriedades espectrais de Hλ,θ,β

recai no estudo de produtos de matrizes 2 × 2, chamadas matrizes de transferência. Apartir do traço dessas matrizes obtém-se um sistema dinâmico, denominado aplicaçãotraço. Utilizando um lema técnico, chamado lema da partição, e uma versão do Argu-mento de Gordon 2-blocos estima-se o crescimento das soluções da equação de autovaloresassociadas a energias do espectro.

Quando as propriedades "ausência de espectro pontual" e "espectro com medida deLebesgue zero" são obtidas para um modelo de Schrödinger com potencial aperiódicoassumindo um número finito de valores, resulta que o espectro deste operador é puramentesingular contínuo [12]. Os operadores de Schrödinger Hλ,θ,β definidos por (1.2), compotenciais Sturmianos (1.3), são exemplos em que ocorrem estas propriedades espectrais.

Rogers e Taylor [38, 39] desenvolveram uma teoria de decomposição de medidas Bo-relianas com relação às medidas de Hausdorff. Estas medidas são fundamentais na in-vestigação do tipo espectral, pois com elas podemos classificar conjuntos com medida deLebesgue zero. Em particular, para cada α ∈ [0, 1], uma medida Boreliana finita µ podeser decomposta de modo único como µ = µαc + µαs, sendo µαc uma medida α-contínua(isto é, µαc(S) = 0 para todo Boreliano S com medida de Hausdorff hα(S) = 0) e µαsuma medida α-singular (isto é, existe um Boreliano S com µαs(R \ S) = 0 e hα(S) = 0).Medidas α-contínuas são limites de medidas uniformemente α-Hölder, e este é um elomuito importante (veja Capítulo 2 - Seção 2.7).

Dizemos que uma medida Boreliana µ é uniformemente α-Hölder, para α ∈ [0, 1], seexiste uma constante C de forma que µ(I) ≤ C|I|α, para todo intervalo I com |I| < 1.Estamos interessados no caso em que µ representa medidas espectrais.

Apresentaremos a demonstração de que para os potenciais Sturmianos (1.3), com nú-meros de rotação de densidade limitada, existem cotas superiores e inferiores do tipoC1L

γ1 ≤ ‖u‖L ≤ C2Lγ2 , onde ‖u‖L denota a norma de u sobre um intervalo de compri-

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mento L ≥ 1, com L suficientemente grande, para todas as soluções u da equação deautovalores, com condições iniciais normalizadas (veja [8, 11]). Com estas estimativas épossível caracterizarmos, tomando α = 2γ1

γ1+γ2, o espectro α-contínuo de Hλ,θ,β (que, por

definição, é o espectro de Hλ,θ,β restrito ao subespaço `2(Z)αc = ψ : µψ é α− contínua).Para isso usaremos uma ferramenta importante, que será demonstrada na Seção 5.2, co-nhecida como desigualdade de Jitomirskaya-Last (veja [26]). Mais precisamente, seráapresentada a demonstração do seguinte resultado [11]:

Teorema 1.2. Seja θ um número irracional de densidade limitada. Então para todoλ 6= 0, existe α = α(λ, θ) > 0 tal que para todo β ∈ [0, 1) e toda φ ∈ `2(Z) de suportefinito, a medida espectral para o par (Hλ,θ,β, φ) é uniformente α-Hölder. Em particular,Hα,θ,β tem espectro puramente α-contínuo.

No Capítulo 2 introduzimos alguns conceitos preliminares para o nosso estudo sobreo modelo de Schrödinger com potenciais Sturmianos. Dividimos o mesmo em sete se-ções onde estudamos algumas propriedades desses potenciais, tais como a decomposiçãodo número irracional θ em frações continuadas, e então encontramos uma aproximaçãoracional pn

qnpara esses potenciais. Apresentamos também um lema muito importante cha-

mado lema da partição, que nos permite particionar a sequência Vθ,β em blocos sn ousn−1. Nas próximas seções definimos para o operador de Schrödinger discreto a equa-ção de autovalores e, a partir desta, obtemos as matrizes de transferência associadas aooperador. Considerando a limitação do traço das matrizes de transferência associadas aooperador com potencial Sturmiano, estudamos fórmulas recursivas para tais matrizes, afim de obter uma relação recursiva para seus traços e assim definimos um sistema dinâ-mico chamado aplicação traço, cujo estudo é importante tanto para exclusão do espectropontual, quanto na propriedade do espectro possuir medida de Lebesgue zero. Após isto,definimos as m-funções de Weyl-Tichmarsh, as medidas de Hausdorff e α-derivada supe-rior de uma medida, onde enunciamos um resultado que caracteriza os conjuntos onde asmedidas µαc, µαs estão concentradas.

No Capítulo 3 estudamos alguns conceitos básicos sobre a teoria ergódica de umafamília de operadores de Schrödinger. Devido a teoria de Kotani, é possível excluir oespectro absolutamente contínuo de operadores de Schrödinger com potenciais aperiódi-cos assumindo um número finito de valores. Aplicamos este resultado para os potenciaisSturmianos, os quais geram uma família de operadores de Schrödinger estritamente ergó-dica, em que o estudo espectral consiste em analisar somente o espectro pontual e singularcontínuo.

O Capítulo 4 consiste no estudo do comportamento das soluções da equação de autova-lores para os modelos Sturmianos. Obtemos estimativas do tipo C1L

γ1 ≤ ||u||L ≤ C2Lγ2 ,

com L ≥ 1 suficientemente grande, para energias no espectro e para todas as soluçõesu, com condições iniciais normalizadas, da correspondente equação de autovalores. Uti-lizando uma estimativa que implica na limitação inferior de tais soluções, obteremos aausência do espectro pontual dos operadores definidos em (1.2). Portanto, utilizando a

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ausência do espectro absolutamente contínuo (demonstrada no Capítulo 3) juntamentecom a ausência do espectro pontual, apresentamos a demonstração do Teorema 1.1.

Finalmente, no Capítulo 5 apresentamos a demonstração do Teorema 1.2. Para issoutilizamos as estimativas que obtivemos para o modelos Sturmianos no Capítulo 4 e adesigualdade de Jitomiskaya-Last, que será demonstrada na Seção 5.1.

Capítulo

2Preliminares

Neste capítulo discutiremos alguns resultados e definições preliminares que serão uti-lizados nos próximos capítulos. Tais resultados serão importantes nas demonstrações dosTeoremas 1.1 e 1.2.

2.1 Propriedades dos potenciais Sturmianos

Neta seção vamos tratar de algumas propriedades dos potenciais Sturmianos, bemcomo a expansão do número irracional θ em frações continuadas, sua aproximação racionale a decomposição do potencial em palavras canônicas, as quais obedecem algumas relaçõesrecursivas.

Dado o número de rotação θ ∈ (0, 1) irracional, temos a sua expansão em fraçõescontinuadas (veja [28, 31]):

θ =1

a1 + 1a2+ 1

a3+...

= [a1, a2, a3...]

com os an ∈ N unicamente determinados.As aproximações racionais pn

qnde θ satisfazem

p0 = 0, p1 = 1, pn = anpn−1 + pn−2, ∀n ≥ 2 (2.1)

q0 = 1, q1 = a1, qn = anqn−1 + qn−2, ∀n ≥ 2. (2.2)

O número θ é dito um número de densidade limitada se

d(θ) = lim supn→∞

1

n

n∑i=1

ai <∞. (2.3)

Observação: O conjunto dos números de densidade limitada possui medida de Lebesguezero (veja [31]).

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Com as notações acima, valem as seguintes propriedades (cujas demonstrações podemser encontradas em [31]): ∣∣∣∣θ − pn

qn

∣∣∣∣ ≤ 1

qnqn+1

, (2.4)

‖kθ‖ ≥ ‖qnθ‖ , ∀k ∈ [1, ...qn+1[, (2.5)

onde ‖x‖ = infn∈Z |x+ n| é a distância de x a Z.Defina as palavras sn sobre o alfabeto A = 0, 1 por

s−1 = 1, s0 = 0, s1 = sa1−10 s−1, sn = sann−1sn−2, n ≥ 2. (2.6)

Em particular, a palavra sn tem comprimento qn para cada n ≥ 0. Por definição, paracada n ≥ 2, sn−1 é um prefixo de sn e |sn| → ∞. Portanto, o seguinte limite (à direita)existe,

cθ = limn→∞

sn. (2.7)

A relação entre cθ e a sequência Vθ,0 é dada pela proposição a seguir, que é umaconsequência direta de (2.7) e do fato que sn = Vθ,0(1)...Vθ,0(qn), n ≥ 1.

Proposição 2.1. Vθ,0 restrito a 1, 2, 3, ... coincide com cθ.

Proposição 2.2. Para cada n ≥ 2, snsn+1 = sn+1san−1n−1 sn−2sn−1.

Demonstração. Segue diretamente da relação (2.6). De fato,

snsn+1 = snsan+1n sn−1 = san+1

n snsn−1 = san+1n sann−1sn−2sn−1

= sn+1san−1n−1 sn−2sn−1.

Devido a relação acima, a palavra snsn+1 tem sn+1 como prefixo.

Definição 2.3. Uma palavra w = w1 . . . wn é conjugada de uma palavra v = v1 . . . vn separa algum i ∈ 1, ..., n, temos que

w1 . . . wn = vi . . . vnv1 . . . vi−1,

isto é, se w é obtido de v por uma permutação cíclica de seus símbolos.

Lema 2.4. Seja Vθ,0(n) = χ[1−θ,1)(nθ mod 1). Então

i) Vθ,0(n) = [(n+ 1)θ]− [nθ], ∀n ∈ Z, n 6= −1, em que [·] denota a parte inteira.

ii) Vθ,0(qn + k) = Vθ,0(k), 1 ≤ k < qn+1 − 1.

iii) Vθ,0(−n) = Vθ,0(n− 1), n ≥ 2.

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Demonstração. i) Vθ,0(n) = 1⇔ nθ−[nθ] ∈ [1−θ, 1)⇔ ∃m ∈ N;m+1−θ ≤ nθ ≤ m+1

com nθ < m+ 1 < nθ + θ, isto é, m = [nθ]. Por outro lado,

[(n+ 1) θ]− [nθ] =

0

1,

pois 0 ≤ [(n + 1)θ] − [nθ] ≤ (n + 1)θ − [nθ] = nθ + θ < 2, onde · denota a partefracionária. Por fim temos,

[(n+ 1)θ]− [nθ] = 1⇔ ∃m ∈ N;m+ 1− θ ≤ nθ ≤ m+ 1,

sendo m = [nθ].

ii) Temos que qnθ − pn = (−1)n ‖qnθ‖ e ‖mθ‖ > ‖qnθ‖ ∀m < qn+1,m 6= qn. Logo,usando i) segue que

Vθ,0(qn + k) = [(qn + k + 1)θ]− [(qn + k)θ] = [(k + 1)θ + qnθ − pn]− [kθ + qnθ − pn]

= [(k + 1)θ]− [kθ] = Vθ,0(k).

iii) Por i) segue que

Vθ,0(−n) = [(−n+ 1)θ]− [−nθ] = [θ − nθ] + [nθ] = [nθ]− [(n− 1)θ] = Vθ,0(n− 1).

Devido a simetria no potencial dada no Lema 2.4 iii) podemos trabalhar com n ≥ 1

em Vθ,0(n).

2.2 Lema da partição

Nesta seção abordaremos o conceito de n-partição de uma sequência assumindo valores0 ou 1. Demonstraremos que cada sequência (Vθ,β(k))k∈Z possui uma única n-partição paratodo n ∈ N0 = 0, 1, 2, .... Para detalhes veja [13].

Notemos que as palavras sn definidas em (2.6) podem ser relacionadas com as sequên-cias Vθ,β da seguinte forma: para cada par (n, θ), cada sequência Vθ,β pode ser particionadaem blocos da forma sn ou sn−1 para todo n ∈ N0.

Definição 2.5. Seja n ∈ N0 dado. Uma (n, θ)-partição de uma função f : Z → 0, 1 éum sequência de pares (Ij, zj), j ∈ Z, tal que

i) os conjuntos Ij = dj, dj + 1, ..., dj+1 − 1 ⊂ Z particionam Z;

ii) 1 ∈ I0;

iii) cada bloco zj ∈ sn, sn−1;

iv) a restrição de f a Ij é zj. Isto é, fdjfdj+1 · · · fdj+1−1 = zj.

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Vamos omitir a dependência de θ, se for claro a qual θ nos referimos. Em particular,escrevemos n-partição em vez de (n, θ)-partição.

Como s0 = 0 e s−1 = 1, cada f : Z → 0, 1 admite uma 0-partição. Será defundamental importância para nossa análise do problema de autovalores para Hλ,θ,β quepara as sequências Vθ,β existe uma única n-partição para todo n ∈ N0. Nesse contextointroduzimos o próximo lema.

Lema 2.6. Para cada n ∈ N0 e β ∈ [0, 1), existe uma única n-partição de Vθ,β.

Demonstração. Seja θ = [a1, a2, · · · ] a expansão em frações continuadas de θ.Vamos mostrar primeiramente que existe uma única n-partição de Vθ,0.Existência: Vamos mostrar que existem n-partições de (Vθ,0(k))k≥1. De fato, por (2.6),

(2.7) e pela Proposição 2.1, é claro que existe uma n-partição de Vθ,β(k)k≥1 para todo n.Unicidade: Segue por indução. Como s0 = 0 e s−1 = 1, a unicidade é clara para n = 0.

Se n = 1 e a1 = 1, s1 = s−1 = 1 e s0 = 0. Assim a unicidade também é clara. Se n = 1 ea1 > 1 temos que s1 = 0a1−11 e s0 = 0. Portanto as posições deles determinam as posiçõesdos blocos s1 de forma única. Agora assumimos a unicidade para n ∈ N, n ≥ 2. Seja uma(n + 1)-partição de Vθ,0. Substituindo sn+1 na (n + 1)-partição por san+1

n sn−1 de acordocom a (2.6) e mantendo sn obtemos a n-partição de Vθ,0. Por construção, as posições desn−1 na n-partição determina as posições de sn+1 na (n+ 1)-partição. Como a n-partiçãoé única, as posições dos blocos sn+1 na (n + 1)-partição também é única. Além disso,todos os blocos na (n+ 1)-partição são da forma sn+1 ou sn, assim toda (n+ 1)-partiçãoé unicamente determinada.

Fixe β ∈ [0, 1). Como θ é irracional, existe uma sequência (nk)k∈N, nk ∈ N, tal quea sequência (T nkVθ,0)k∈N converge para Vθ,β quando k → ∞, na topologia produto sobre0, 1Z. Devido a primeira parte da demonstração, segue que (T nkVθ,0) admite uma únican-partição para todo n ∈ N0. Para usar isso e concluir a demonstração, introduzimos aseguinte notação de convergência:

Seja fk, k ∈ N e f funções para as quais existem únicas n-partições denotadas por(Ikj , z

kj ) e (Ij, zj), respectivamente. Dizemos que fk converge para f no n-sentido, quando

k →∞, se para todo C > 0, existe um k0 de modo que para k ≥ k0,

(Ikj , zkj ) = (Ij, zj) ∀Ij ⊂ (−C,C).

Claramente, obtemos o resultado se mostrarmos a seguinte afirmação:Afirmação. Para cada n existe uma única n-partição de Vθ,β e a sequência (T nkVθ,0)k∈N0

converge para Vθ,β no n-sentido, quando k →∞.De fato, demonstremos a afirmação por indução. Para isso, consideremos dois casos.Caso 1. a1 = 1. Como s−1 = s1 = 1 e s0 = 0, os casos n = 0 e n = 1 são imediatos.Suponha a afirmação verdadeira para n ≥ 1 fixado. Seja (Ij, zj) uma n-partição deVθ,β. Por (2.6) a existência de uma (n + 1)-partição de Vθ,β seguirá se mostrarmos queà esquerda de cada bloco da forma sn−1 na n-partição de Vθ,β, existe pelo menos an+1

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blocos sn. Isto é, temos que mostrar que zj = sn−1 para j ∈ Z implica que zk = sn parak = j − an+1, · · · , j − 1. Como T nkVθ,0 admite uma única n-partição para cada n ∈ N0,existem pelo menos an+1 blocos sn à esquerda de cada bloco sn−1 na n-partição de T nkVθ,0.Como T nkVθ,0 converge para Vθ,β no n sentido, a afirmação é verdadeira para Vθ,β. Istogarante a existência de uma (n + 1)-partição de Vθ,β. A unicidade da (n + 1)-partiçãosegue da unicidade da n-partição como em i). Como os blocos sn+1 na (n+1)-partição deVθ,β surgem de blocos da forma san+1

n sn−1 na n-partição de Vθβ, então a convergência deT nkVθ,0 para Vθ,β no n sentido implica na convergência no (n+ 1)-sentido. Isto demonstraa afirmação no Caso 1.Caso 2. a1 > 1. Como s−1 = 1 e s0 = 0, o caso n = 0 é imediato. Fixemos n ≥ 0. Sen > 0 podemos continuar exatamente como no Caso 1. Se n = 0, continuamos como noCaso 1 após substituir an+1 = a1 por a1 − 1 ≥ 1. Isto demonstra o Caso 2.

A propriedade de decomposição dos potenciais Sturmianos em palavras canônicas édada pelo seguinte lema. Para mais detalhes veja [13].

Lema 2.7. (Lema da partição). Para todo n ∈ N0 e todo β ∈ [0, 1), existe uma únican-partição (Ij, zj) de Vθ,β. Além disso, se zj = sn−1, então zj−1 = zj+1 = sn. Se zj = sn,então existe um intervalo I = d, d + 1, ..., d + l − 1 ⊂ Z contendo j e de comprimentol ∈ an+1, an+1 + 1 tal que zi = sn para todo i ∈ I e zd−1 = zd+l = sn−1.

Demonstração. Pela parte da existência do Lema 2.6, existe uma (n + 1)-partição deVθ,β. Pela parte da unicidade do Lema 2.6 e da fórmula sn+1 = san+1

n sn−1, todos os blocosda forma sn−1 na n-partição de Vθ,β surgem de blocos da forma sn+1 na (n+ 1)-partição.Isto mostra que não existe j ∈ Z com znj = znj+1 = sn−1 e que existem pelo menos an+1

blocos da forma sn entre dois blocos da forma sn−1. Existem no máximo an+1 + 1 detais blocos, pois não existem dois blocos adjacentes da forma sn na (n+ 1)-partição. Istodemonstra o lema.

2.3 Matrizes de transferência

Sejam Hλ,θ,β os operadores de Schrödinger definidos por (1.2) com os potenciais Stur-mianos (1.3). Considere a correspondente equação de autovalores

(Hλ,θ,β − E)u = 0. (2.8)

Algumas ferramentas mais utilizadas na teoria de operadores de Schrödinger unidimen-sionais são resultados que estabelecem uma ligação entre o comportamento de soluçõesde (2.8) e propriedades espectrais dos operadores Hλ,θ,β.

Se u é solução de (2.8), temos

u(n+ 1) + u(n− 1) + λVθ,β(n)u(n) = Eu(n). (2.9)

14

Escrevendo (2.9) na forma matricial, temos, para n ≥ 1,(u (n+ 1)

u (n)

)=

(E − λVθ,β (n) −1

1 0

)(u (n)

u (n− 1)

). (2.10)

Iterando a equação (2.10), obtemos(u (n+ 1)

u (n)

)=

(E − λVθ,β (n) −1

1 0

)· · ·

(E − λVθ,β (1) −1

1 0

)(u (1)

u (0)

).

Escrevendo

T (λ,E, Vθ,β(n)) :=

(E − λVθ,β(n) −1

1 0

)

e

U(n+ 1) :=

(u (n+ 1)

u (n)

)

segue queU (n+ 1) = T (λ,E, Vθ,β(n)) · · ·T (λ,E, Vθ,β(1))U (1) , n ≥ 1.

Observe que det T (λ,E, Vθ,β(n)) = 1 para todo n.

Definição 2.8. Fixados a constante de acoplamento λ e a energia E, então para cadaw = w1 · · ·wn ∈ An definimos a matriz de transferência M(λ,E,w) por

M(λ,E,w) := T (λ,E,wn) · · ·T (λ,E,w1).

Se u é solução de (2.8), temos

U(n+ 1) = M(λ,E, Vθ,β(1) · · ·Vθ,β(n))U(1).

Definimos o expoente de Lyapunov γ(E) = γ(E, λ) por

γ(E) := limn→∞

1

nln ‖M(λ,E, Vθ,β(1) · · ·Vθ,β(n))‖ .

Esse limite existe β ` − qtp, em que ` é a medida de Lebesgue, e independe de β (veja[3, 6, 19]). Note que γ(E) ≥ 0, pois ‖M(λ,E, Vθ,β(1) · · ·Vθ,β(n))‖ ≥ 1 (veja [3]).

Teorema 2.9. (Osceledec) Suponha T (λ,E, V (n))n∈N uma sequência de matrizes reais2× 2 satisfazendo

i) limn→∞1n

ln ‖T (λ,E, V (n))‖ = 0;

ii) detT (λ,E, V (n)) = 1.

15

Se γ := limn→∞1n

ln ‖T (λ,E, V (n)) · · ·T (λ,E, V (1))‖ > 0 então existe um subespaçounidimensional U ⊂ R2 tal que

limn→∞

1

nln ‖T (λ,E, V (n)) · · ·T (λ,E, V (1))u‖ = −γ, ∀u ∈ U

e

limn→∞

1

nln ‖T (λ,E, V (n)) · · ·T (λ,E, V (1))u‖ = γ, ∀u /∈ U.

A demonstração deste resultado pode ser encontrada em [6]. Assim, no caso do ex-poente de Lyapunov positivo, temos uma compreensão completa do comportamento as-sintótico das soluções no infinito.

Para β = 0, θ ∈ (0, 1), λ ∈ R \ 0 e E ∈ R, introduzimos as notações

Mn := M(λ,E, Vθ,0(1) · · ·Vθ,0(qn)) = T (λ,E, Vθ,0(qn)) · · ·T (λ,E, Vθ,0(1)), n ≥ 1

e

M0 :=

(E −1

1 0

). (2.11)

Usando o fato que sn = Vθ,0(1) · · ·Vθ,0(qn), o Lema 2.4 (ii) e a definição (2.6) obtemoso seguinte resultado:

Proposição 2.10. Mn+1 = Mn−1Man+1n , ∀n ≥ 1.

É importante ressaltar que a Proposição 2.10 não vale para β 6= 0. Usando a definição

M−1 =

(1 −λ0 1

),

a Proposição 2.10 pode ser estendida para o caso n = 0.Consideremos o operador de Schrödinger H : `2(Z)→ `2(Z) definido por

(Hu)(n) = u(n+ 1) + u(n− 1) + V (n)u(n), (2.12)

em que o potencial V : Z→ R é uma sequência limitada de números reais, e a correspon-dente equação de autovalores

Hu = Eu. (2.13)

Fixado E ∈ R, sejam u±1,ϕ,E e u±2,ϕ,E soluções de (2.13), definidas em Z± (Z+ = 1, 2, 3, ...e Z− = ...,−2,−1, 0), com condições inicias:

u±1,ϕ,E(0) = −senϕ u±2,ϕ,E(0) = cosϕ

u±1,ϕ,E(1) = cosϕ u±2,ϕ,E(1) = senϕ, ϕ ∈

(−π2,π

2

]. (2.14)

16

Observação: Como (2.13) é uma equação a diferença finita de 2a ordem, o espaço dassoluções tem dimensão 2 e portanto, para cada ϕ ∈ (−π/2, π/2], u±1,ϕ,E e u±2,ϕ,E comcondições iniciais (2.14) geram todas as soluções de (2.13). Variando ϕ no intervalo(−π/2, π/2], obtém-se todas as soluções u da equação (2.13) (com normalização |u(0)|2 +

|u(1)|2 = 1).Analogamente ao que foi feito acima, obtemos as matrizes de transferência para o

operador (2.12) com potencial arbitrário.

Definição 2.11. O Wronskiano entre duas soluções u e v de (2.13) é

W [u, v](n) = u(n+ 1)v(n)− u(n)v(n+ 1), n ∈ Z.

Observação:

i) Da definição de M(λ,E, V (n)) obtemos

W [u±1,ϕ,E, u±2,ϕ,E](n) = det (M(λ,E, V (n))) = 1, ∀n ∈ Z±.

ii) No máximo uma das soluções u±1,ϕ,E ou u±2,ϕ,E pertence a `2(Z±), pois

1 =∣∣W [u±1,ϕ,E, u

±2,ϕ,E](n)

∣∣ =

∣∣∣∣∣⟨(

u±1,ϕ,E(n+ 1)

u±1,ϕ,E(n)

),

(u±2,ϕ,E(n)

−u±2,ϕ,E(n+ 1)

)⟩∣∣∣∣∣≤

∥∥∥∥∥(u±1,ϕ,E(n+ 1)

u±1,ϕ,E(n)

)∥∥∥∥∥ .∥∥∥∥∥(

u±2,ϕ,E(n)

u±2,ϕ,E(n+ 1)

)∥∥∥∥∥ ,com ∥∥∥∥∥

(u±j,ϕ,E(n+ 1)

u±j,ϕ,E(n)

)∥∥∥∥∥2

=∣∣u±j,ϕ,E(n+ 1)

∣∣2 +∣∣u±j,ϕ,E(n)

∣∣2 , j = 1, 2.

Para qualquer função u : Z+ → C, denotemos por ‖u‖L a norma de u sobre umintervalo de comprimento L, isto é,

‖u‖L ≡

[L]∑n=1

|u(n)|2 + (L− [L])|u([L] + 1)|2 1

2

, (2.15)

em que [L] denota a parte inteira de L. Analogamente, para funções u : Z− → C, definimos

‖u‖L ≡

[L]−1∑n=0

|u(−n)|2 + (L− [L])|u(−[L])|2 1

2

. (2.16)

Dados um operador H da forma (2.12) e E ∈ R, sejam u±1,ϕ,E e u±2,ϕ,E as soluções de(2.13), definidas em Z±, satisfazendo (2.14). Agora, dado ε > 0, definimos os comprimen-

17

tos L±ϕ (ε) ∈ (0,∞), via a igualdade

∥∥u±1,ϕ,E∥∥L±ϕ (ε)

∥∥u±2,ϕ,E∥∥L±ϕ (ε)=

1

2ε. (2.17)

Observação: Como W [u+1,ϕ,E, u

+2,ϕ,E] = 1, no máximo uma das soluções u+

1,ϕ,E ou u+2,ϕ,E

pertencem a `2(Z+) e, portanto, o lado esquerdo de (2.17) é uma função contínua de L+ϕ ,

monotonamente crescente, que é menor ou igual a 1 para L+ϕ = 1 e tende a infinito quando

L+ϕ → ∞. Por outro lado, 1

2εé função contínua de ε, monotonamente decrescente, que

tende a infinito quando ε → 0. Assim, a função L+ϕ (ε) está bem definida por (2.17) e

L+ϕ (ε) → ∞ para ε → 0. Analogamente, a função L−ϕ (ε) está bem definida por (2.17) e

L−ϕ (ε)→∞ para ε→ 0.

2.4 Aplicação traço

Nesta seção vamos estudar fórmulas recursivas para os traços das matrizes de trans-ferência, a fim de obter um sistema dinâmico chamado aplicação traço, cujo estudo seráimportante tanto para a exclusão do espectro pontual, quanto na propriedade do espec-tro possuir medida de Lebesgue zero. No caso Sturmiano, a limitação do traço podeser investigada através do estudo desse sistema dinâmico, o qual é induzido por estrutu-ras repetitivas do correspondente potencial. Essas estruturas estão presentes nesse caso,podendo ser exibida usando a expansão em frações continuadas do número de rotaçãoirracional associado ao potencial (ver [1]).

Lema 2.12. Para cada matriz M2×2 com detM = 1 e para todo a ∈ N tem-se:

i) Ma = Sa−1(ξ)M − Sa−2(ξ)I com ξ = trM e Sa(ξ) os polinômios de Chebyshev:

Sa(ξ) = Sa−1(ξ)ξ − Sa−2(ξ), S1(ξ) = ξ, S0(ξ) = 1, S−1(ξ) = 0. (2.18)

Usando a relação recursiva, segue que a quantidade SaSa−2 − S2a−1 é independente

de a, isto é,SaSa−2 − S2

a−1 = const. = S1S−1 − S20 = −1. (2.19)

ii) Se |ξ| = |trM | > 2 então

Sa(ξ) = (sgn ξ)ash(a+ 1)θ

shθ, ∀a ≥ 1,

com θ > 0 em que ξ = ±2chθ = ±(eθ + e−θ

), shθ =

(eθ − e−θ

)/2 e sgn denota a

função sinal. Além disso, Sa(ξ) < |ξ|a.Se |ξ| = 2 então Sa(ξ) = (sgn ξ)a(a+ 1), ∀a ≥ 1;se |ξ| < 2, ξ = 2cosθ com θ ∈ (0, π), então

Sa(ξ) =sen(a+ 1)θ

senθ, ∀a ≥ 1.

18

Neste caso, Sa(ξ) < a+ 1.

Demonstração. Veja [1].

A proposição a seguir nos dá uma importante fórmula recursiva para os traços das ma-trizes de transferência, a partir da qual definimos um sistema dinâmico chamado aplicaçãotraço, dado por:

ξn : R→ R

E 7→ ξn(E) := trMn(E)

em que n ≥ 1, o qual será importante em nosso estudo espectral. Denotemos ξn(E) porξn.

Proposição 2.13. Para todo n ≥ 1 seja ξn := trMn. Se |ξn−1| > 2 então

ξn+1 = ξnSan+1−1(ξn)San(ξn−1)

San−1(ξn−1)− ξn−1San+1−2(ξn)− ξn−2

San+1−1(ξn)

San−1(ξn−1). (2.20)

Observação: Na proposição acima assumimos |ξn−1| > 2 para termos San−1(ξn−1) 6= 0,enquanto que no caso San−1(ξn−1) = 0 usando o Lema 2.12 temosMan

n−1 = −San−2(ξn−1)I =

San(ξn−1)I = ±I, isto é, ξn = ±ξn−2, e é possível encontrar uma relação entre ξn+1 eξn−2, ξn−3.

Demonstração. (Proposição 2.13). Pela Proposição 2.10 e Lema 2.12 temos

Mn+1 = Mn−1Man+1n = Mn−1MnSan+1−1(ξn)−Mn−1San−1−2(ξn), (2.21)

Mn = Mn−2Mann−1 = Mn−2Mn−1San−1(ξn−1)−Mn−2San−2(ξn−1), (2.22)

MnMn−1 = Mn−2Man+1

n−1 = Mn−2Mn−1San(ξn−1)−Mn−2San−1(ξn−1). (2.23)

De (2.22)

Mn−2Mn−1 =Mn +Mn−2San−2(ξn−1)

San−1(ξn−1). (2.24)

De (2.23) e (2.24)

MnMn−1 =Mn +Mn−2San−2(ξn−1)

San−1(ξn−1)San(ξn−1)−Mn−2San−1(ξn−1). (2.25)

Tomando o traço de (2.21) e usando (2.25),

trMn+1 = ξn+1 =

[San(ξn−1)

ξn + ξn−2San−2(ξn−1)

San−1

− ξn−2San−1(ξn−1)

]San+1−1(ξn)

− ξn−1San+1−2(ξn) = ξnSan+1−1(ξn)San(ξn−1)

San+1−1(ξn−1)

+ ξn−2San+1−1(ξn)

[San−2(ξn−1)

San−1(ξn−1)San(ξn−1)− San−1(ξn−1)

]− ξn−1San+1−2(ξn)

19

e por (2.19)San−2(ξn−1)San(ξn−1)

San−1(ξn−1)− San−1(ξn−1) =

−1

San−1(ξn−1). (2.26)

Assim, substituindo (2.26) na fórmula do traço de Mn+1 obtemos o resultado desejado.

O próximo resultado estabelece que os traços ξn satisfazem uma relação invarianteem n.

Proposição 2.14. Seja ξn∞n=1 a sequência gerada por (2.20) com

ξ−1 = 2, ξ0 = E, ξ1 = Sa1−1(E)(E − λ)− Sa1−2(E)2.

Então a quantidade

In := ξ2n+1 + ξ2

n + [tr(MnMn+1)]2 − ξn+1ξn tr[MnMn+1]

é constante em n e In = λ2 + 4.

Demonstração. Usando a relação

tr(AB) = tr(A)tr(B)− tr(AB−1) (2.27)

que vale para matrizes 2× 2 com detA = detB = 1, podemos mostrar o seguinte:

In = tr(M−1

n+1M−1n Mn+1Mn

)+ 2.

De fato, usando (2.27) três vezes temos

tr(M−1

n+1M−1n Mn+1Mn

)= [tr(Mn+1Mn)]2 − tr(M2

nM2n+1)

= [tr(Mn+1Mn)]2 − tr(Mn)tr(MnM2n+1)− trM2

n+1

= [tr(Mn+1Mn)]2 + trM2n+1 − tr(Mn)[tr(MnMn+1)tr(Mn+1)− tr(Mn)]

= [tr(Mn+1Mn)]2 + [trMn+1]2 + [trMn]2 − tr(Mn)tr(MnMn+1)tr(Mn+1)− 2.

Além disso, a relação recursiva nos dá

tr(M−1n+1M

−1n Mn+1Mn) = tr(Mn+1MnM

−1n+1M

−1n )

= tr(Mn−1Man+1+1n (Man+1

n )−1M−1n−1Mn) = tr(Mn−1MnM

−1n−1M

−1n ) = In−1 − 2.

Assim In = In−1 = I0. Mostremos agora que I0 = λ2 + 4.

20

De fato, I0 = ξ21 + ξ2

0 + [tr(M0M1)]2 − ξ1ξ0tr[M0M1]. Por definição (2.11) de M0,ξ0 = trM0 = E. Temos que

M1 = M−1M0 =

(E − λ −1

1 0

),

e então ξ1 = E − λ.Se a1 = 1,

M0M1 =

(E(E − λ)− 1 −E

E − λ −1

).

Assim,

I0 = (E − λ)2 + E2 + [E(E − λ)− 2]2 − (E − λ)E[E(E − λ)− 2]

= (E − λ)2 + E2 − 2E(E − λ) + 4 = [(E − λ)− E]2 + 4 = λ2 + 4.

Se a1 > 1,

M1 =

(E − λ −1

1 0

)(E −1

1 0

)a1−1

e ξ1 = trM1 = Sa1−1(E)(E − λ)− Sa1−2(E)2. Temos ainda que

M0M1 =

(E −1

1 0

)(E − λ −1

1 0

)(E −1

1 0

).

Usando o Lema 2.12 obtemos que

M0M1 = Sa1−2(E)

(E2(E − λ)−−2E −E(E − λ) + 1

E(E − λ)− 1 −(E − λ)

)

−Sa1−3

(E(E − λ)− 1 −E

E − λ −1

).

Assim,

tr(M0M1) = Sa1−2(E)[E2(E − λ)− 2E − (E − λ)]− Sa1−3(E)[E(E − λ)− 1].

21

Portanto,

I0 = ξ21 + ξ2

0 + [tr(M0M1)]2 − ξ0ξ1tr[M0M1]

= S2a1−1(E)(E − λ)2 − 4(E − λ)Sa1−1(E)Sa1−2(E)

+ 4S2a1−2(E) + E2 + S2

a1−2(E)[E2(E − λ)− 2E − (E − λ)]2

− 2Sa1−2(E)[E2(E − λ)− 2E − (E − λ)]Sa1−3(E)[E(E − λ)− 2]

+ S2a1−3(E)[E(E − λ)− 2]2 − E[(E(E − λ)− 2)Sa1−2(E)− (E − λ)Sa1−3(E)]

[Sa1−2(E)(E2(E − λ)− 2E)− Sa1−2(E)(E − λ)− Sa1−3(E)(E − λ)− 2)]

= S2a1−2(E)(E − λ)2 − 4(E − λ)Sa1−1(E)(Sa1−3(E)E − Sa1−4(E))

+ 4S2a1−2(E) + E2 + Sa1−2(E)2[E2(E − λ)− 2E − (E − λ)2]

− 2Sa1−2(E)[E2(E − λ)− 2E − (E − λ)](Sa1−4(E)E − Sa1−5(E))[E(E − λ)− 2]

+ Sa1−3(E)2[E(E − λ)− 2]2 − E[(E(E − λ)− 2)Sa1−2(E)− (E − λ)Sa1−3(E)]

[Sa1−2(E)(E2(E − λ)− 2E)− Sa1−2(E)(E − λ)− Sa1−3(E)(E − λ)− 2)].

Usando o fato que SaSa−2 − S2a−1 = −1 (Lema 2.12) obtemos que I0 = λ2 + 4.

Como o espectro independe de β (veja Lema 3.7) podemos então considerar o casoβ = 0, para o qual temos todas as relações recursivas sobre os traços das matrizes de trans-ferência, como foi mostrado anteriormente. Assim, obteremos uma condição necessária esuficiente para que o traço de Mn fique limitado.

Proposição 2.15. Seja ξn∞n=1 a sequência gerada por (2.20) com

ξ−1 = 2, ξ0 = E, ξ1 = Sa1−1(E)(E − λ)− Sa1−2(E)2.

Então ξn é não-limitada se, e somente se, existe N ≥ 0 tal que

|ξN−1| ≤ 2, |ξN | > 2, |ξN+1| > 2. (2.28)

Este N é único, |ξn+2| > |ξn+1||ξn|2

> 2 para todo n ≥ N e existe C > 1 tal que |ξn|2> Cqn .

Se ξn é limitada, então |ξn| < 2 +√

8 + λ2.

Demonstração. Supondo (2.28) verdadeiro para algum N ≥ 0, então por (2.20) e pelarelação ∣∣∣∣ SaN+1

(ξN)

SaN+1−1(ξN)

∣∣∣∣ =sh(aN+1 + 1)θNsh(aN+1)θN

= chθN +chaN+1θNshaN+1θN

shθN ,

22

temos

|ξN+2| ≥ |ξN+1||SaN+1−1(ξN+1)|[

1

2|ξn|+

chaN+1θNshaN+1θN

shθN

]−

−|ξN ||SaN+2−2(ξN+1) + |ξN−1|

∣∣∣∣SaN+2−1(ξN+1)

SaN+1−1(ξN)

∣∣∣∣=

1

2|ξN+1||ξN |

shaN+2θN+1

shθN+1

+ ξN+1shaN+2θN+1chaN+1θNshθN

shθN+1shaN+1θN−

− |ξN |sh(aN+2 − 1)θN+1

shθN+1

− |ξN−1|SaN+2−1(ξN+1)

SaN+1−1(ξN)

= |ξN |chaN+2θN+1 + |ξN |sh(aN+2 − 1)θN+1

shθN+1

− |ξN+1|shaN+2θN+1chaN+1θNshθN+1shaN+1θN

−

|ξN |sh(aN+2 − 1)θN+1

shθN+1

− |ξN−1|

∣∣∣∣∣SaN+2−1(ξN+1)

SaN+1−1(ξN)

∣∣∣∣∣≥ |ξN ||chaN+2θN+1| ≥

|ξN ||ξN+1|2

, (2.29)

pois o cosseno hiperbólico é crescente,

chθN+1shaN+2θN+1

shθN+1

= chaN+2θN+1 +sh(aN+2 − 1)θN+1

shθN+1

e2chθN

sh(aN+2 − 1)θN+1

shθN+1

+ 2chθN+1sh(aN+2)θN+1chaN+1θNshθN

shθN+1shaN+1θN>

2chθNsh(aN+2 − 1)θN+1

shθN+1

+ 2shaN+2θN+1shθNshθN+1shaN+1θN

.

De (2.29) por indução para todo n > N temos

|ξn+2| ≥ |ξn||chan+2θn+1| >|ξn||ξn+1|

2

o que implica|ξn+2|

2>|ξn|2

(|ξn+1|

2

)an+2

.

Daí, |ξn|/2 > Cqn com C > 1. Para n = N , |ξn−1| ≤ 2 < |ξn|, |ξn+1| < |ξn+2| < ....Claramente essas desigualdades não valem para outros valores de n.

Se (2.28) não vale para N ≥ 0, isto significa que:

se |ξn| > 2 então |ξn−1| ≤ 2 e |ξn+1| ≤ 2. (2.30)

Caso contrário, obtém-se (2.28) para N ≤ n; de fato, |ξ−1| = 2, seja n0 = minn ∈ N;n ≥0, |ξn| > 2. Isto implica |ξn0−1| ≤ 2 e por oposição de (2.28), |ξn0+1| ≤ 2 e portanto paran1 = minn ∈ N;n > n0 + 1; |ξn| > 2, n2,.... Este argumento mostra que a oposição de(2.28) implica (2.30). Devemos agora distinguir entre duas possibilidades:

i) vale (2.30) e |tr(MnMn−1)| ≤ 2;

23

ii) vale (2.30) e |tr(MnMn−1)| ≥ 2.

No caso i) usando a Proposição (2.14),

In−1 = ξ2n + ξ2

n−1 + [tr(MnMn−1)]2 − ξnξn−1tr(MnMn−1) = λ2 + 4 ≥ ξ2n − 4|ξn|

o que implica |ξn| ≤ 2 +√

8 + λ2.Caso ii) é impossível, pois (2.21), (2.30) e |tr(MnMn−1)| ≥ 2 implica: se ξn = ±2chθn,θn > 0, e usando que sh(θn + θm) ≥ shθn + shθm, obtemos

|ξn+1| = |trMn+1| ≥ 2shaN+1θNshθN

− 2sh(aN+1 − 1)θN

shθN≥ 2,

em contradição com (2.30).

2.5 m-Funções de Weyl-Tichmarsh

Nesta seção introduzimos as m-funções de Weyl-Tichmarsh e, utilizando o teoremaespectral, obtemos uma caracterização das mesmas através da função de Green, a qual éo núcleo do operador resolvente. Para referências veja [5, 11, 27].

Para z = E + iε considere a equação

Hu = zu. (2.31)

Se ε > 0 então z /∈ σ(H) e, portanto, o expoente de Lyapunov γ(z) > 0 pelo argumento deCombes-Thomas, que pode ser encontrado em [5]. Daí, pelo Teorema 2.9 existem soluçõesu±z 6= 0 de (2.31) de forma que

|u±z (±n)| ≤ ce−γ(z)n,

para todo n ∈ Z+ e para alguma constante c <∞. Isto implica que

∞∑n=0

|u±z (±n)|2 ≤ c2

∞∑n=0

(e−2γ(z)

)n= c2 e2γ(z)

e2γ(z) − 1<∞.

Como o Wrosnkiano de soluções é constante, temos que u±z são as únicas soluções de(2.31) que estão em `2(Z±).

Sejam u±1,ϕ,z e u±2,ϕ,z soluções de (2.31), definidas em Z±, com condições iniciais (2.14).

Como (2.31) é uma equação a diferença finita de 2a ordem, o espaço das soluções temdimensão 2 e, portanto, u±i,ϕ,zi=1,2 forma uma base para este espaço em Z±. Assim, assoluções u±z são escritas de modo único como

u±z = [u±z (0)cosϕ+ u±z (1)senϕ]u±2,ϕ,z + [−u±z (0)senϕ+ u±z (1)cosϕ]u±1,ϕ,z.

24

Sejam u±ϕ,z ≡ u±z com normalizações u±z (0)cosϕ+ u±z (1)senϕ = 1. Portanto,

u±ϕ,z = u±2,ϕ,z + [−u±z (0)senϕ+ u±z (1)cosϕ]u±1,ϕ,z e u±z (0) = 1.

Definição 2.16. Para z = E + iε no semi-plano superior (ε > 0), as m-funções deWeyl-Titchmarsh à direita e à esquerda são definidas unicamente por

u±ϕ,z = u±2,ϕ,z ∓m±ϕ (z)u±1,ϕ,z.

Quando ϕ = 0, usaremos a notação m± = m±0 . Segue diretamente da Definição 2.16que

m±(z) = ∓u±z (1). (2.32)

As funções m± e m±ϕ se relacionam da seguinte forma:

m±(z)(2.32)= ∓ u

±z (1)

u±z (0)= ∓

u±ϕ,z(1)

u±ϕ,z(0)

(def 2.16)=

m±ϕ (z)cosϕ∓ senϕcosϕ±m±ϕ (z)senϕ

. (2.33)

Denotemos por H± os operadores da forma (2.12) restritos a `2(Z±).

Definição 2.17. As funções de Green para o operador H+ são definidas por

G+ϕ (n,m, z) =

u+1,ϕ,z(n)u+

ϕ,z(m)

W [u+ϕ,z, u

+1,ϕ,z]

, n ≤ m

u+1,ϕ,z(m)u+

ϕ,z(n)

W [u+ϕ,z, u

+1,ϕ,z]

, m ≤ n

com m,n ∈ Z+.

Para cada ϕ ∈ (−π/2, π/2], tem-se que G+ϕ (n,m, z) é o núcleo do operador (H+−z)−1,

isto é,

[(H+ − z)−1ψ](n) =∞∑m=1

G+ϕ (n,m, z)ψ(m), ∀ψ ∈ `2(Z+). (2.34)

De fato, para cada ϕ ∈ (−π/2, π/2] tomando

uϕ(n, z) =∞∑m=1

G+ϕ (n,m, z)ψ(m)

usando a Definição 2.17 temos

uϕ(n, z) =∞∑m=1

u+1,ϕ,z(m)u+

ϕ,z(n)

W [u+ϕ,z, u

+1,ϕ,z]

ψ(m) +∞∑

m=n+1

u+1,ϕ,z(n)u+

ϕ,z(m)

W [u+ϕ,z, u

+1,φ,z]

ψ(m).

25

Aplicando H+ na expressão e fazendo alguns cálculos, vem que

H+uϕ(n, z) = zuϕ(n, z) + ψ(n)

donde segue o resultado.Tomando ψ = e1 = (1, 0, ...) em (2.34) obtemos

[(H+ − z)e1](n) =∞∑m=1

G+ϕ (n,m, z)e1(m) = G+

ϕ (n, 1, z).

Consideremos, em `2(Z+), a medida espectral µ+ ≡ µe1 associada a e1 (que é vetor cíclicopara H+). Pelo teorema espectral temos∫

dµ+(t)

t− z= 〈(H+ − z)−1e1, e1〉

= G+ϕ (1, 1, z)

(def 2.17)=

u+1,ϕ,z(1)u+

ϕ,z(1)

u+ϕ,z(1)u+

1,ϕ,z(0)− u+ϕ,z(0)u+

1,ϕ,z(1)

(def 2.16)= − cosϕsenϕ+m+

ϕ (z) cos2 ϕ. (2.35)

No caso particular, ϕ = 0 temos

m+(z) =

∫dµ+(t)

t− z.

Analogamente em Z−, tem-se∫dµ−(t)

t− z= 〈(H− − z)−1e0, e0〉 = cosϕsenϕ+m−ϕ (z) cos2 ϕ

em que µ− ≡ µe0 é a medida espectral associada ao vetor e0 = (..., 0, 0, 1) (que é cíclicopara o operador H−).

Consideremos agora o espaço `2(Z). Vamos descrever as funções Gϕ e m(z).

Definição 2.18. As funções de Green para o operador H são definidas por

Gϕ(n,m, z) =

u−ϕ,z(n)u+ϕ,z(m)

W [u+ϕ,z, u

−ϕ,z]

, n ≤ m

u−ϕ,z(m)u+ϕ,z(n)

W [u+ϕ,z, u

−ϕ,z]

, m ≤ n

com n,m ∈ Z.

26

Mostra-se de modo análogo a (2.34) que, para cada ϕ ∈ (−π/2, π/2], Gϕ(n,m, z) é onúcleo do operador resolvente (H − z)−1, isto é,

[(H − z)−1ψ](n) =∞∑

m=−∞

Gϕ(n,m, z)ψ(m), ∀ψ ∈ `2(Z).

A m-função m(z) na reta toda é dada através do traço de uma matriz M(z) quesatisfaz (veja [11]):

[a b

]M(z)

[a

b

]= 〈aδ0 + bδ1, (H − z)−1(aδ0 + δ1)〉. (2.36)

Desenvolvendo o lado esquerdo de (2.36) temos

〈aδ0 + bδ1, (H − z)−1(aδ0 + δ1)〉 =∑m∈Z

(aδ0 + bδ1)(m)(aGϕ(m, 0, z) + bGϕ(m, 1, z)))

= a2Gϕ(0, 0, z) + abGϕ(0, 1, z) + baGϕ(1, 0, z)

+ b2Gϕ(1, 1, z)

= a2

(u−ϕ,z(0)u+

ϕ,z(0)

W [u+ϕ,z, u

−ϕ,z]

)+ ab

(u−ϕ,z(0)u+

ϕ,z(1)

W [u+ϕ,z, u

−ϕ,z]

)+ ba

(u−ϕ,z(0)u+

ϕ,z(0)

W [u+ϕ,z, u

−ϕ,z]

)+ b2

(u−ϕ,z(1)u+

ϕ,z(1)

W [u+ϕ,z, u

−ϕ,z]

)= a2[(cosϕ+m+

φ (z)senϕ)(cosϕ−m−ϕ (z)senϕ)]

+ ab[(cosϕ−m−ϕ (z)senϕ)(senϕ−m+ϕ (z)cosϕ)]

+ ba[(cosϕ−m−ϕ (z)senϕ)(senϕ−m+ϕ (z)cosϕ)]

+ b2[(senϕ−m+ϕ (z)cosϕ)(senϕ+m−ϕ (z)cosϕ)].

Escolhendo ϕ = 0 obtemos

〈aδ0 + bδ1, (H − z)−1(aδ0 + δ1)〉 =a2 − abm+(z)− bam+(z)− b2m+(z)m−(z)

−m+(z)−m−(z).

Por outro lado, desenvolvendo o lado direito de (2.36) obtemos

[a b

] [ m11 m12

m21 m22

][a

b

]= a2m11 + abm12 + bam21 + b2m22.

Assim,

M(z) =1

−m+(z)−m−(z)

[1 −m+(z)

−m+(z) −m+(z)m−(z)

].

27

Definimos a m-função m(z) = tr(M(z)) (veja [5]), ou seja,

m(z) =m+(z)m−(z)− 1

m+(z) +m−(z). (2.37)

Em `2(Z) a medida espectral é µ = µ+ + µ−, em que µ+ = µe1 , µ− = µe0 e o par devetores e0, e1 é cíclico para o operador H. Pelo teorema espectral temos

m(z) =

∫dµ(t)

t− z,

ou seja, a m-função é a transformada de Borel da medida espectral µ.

2.6 Medidas de Hausdorff

Nesta seção vamos apresentar a definição de medida de Hausdorff α-dimensional. Parareferências veja [18, 37].

Definição 2.19. Para qualquer subconjunto S ⊆ R e α ∈ [0, 1], a medida de Hausdorffα-dimensional, hα, é dada por

hα(S) = limδ→0

(inf

δ−coberturas

∞∑i=1

|Ii|α)

sendo a δ-cobertura uma cobertura de S por uma coleção enumerável de intervalos Ii∞i=1,S ⊂ ∪∞i=1, com |Ii| < δ (|I| denota o comprimento do intervalo I). A restrição de hα aosBorelianos é chamada de medida de Hausdorff α-dimensional.

Observação:

i) O limite acima existe para qualquer S ⊂ R.

ii) h1 coincide com a medida de Lebesgue e h0 é a medida contagem.

iii) hα pode ser definida também para α < 0 ou α > 1. Para α < 0, hα(S) =∞, ∀S 6= ∅e para α > 1, hα(R) = 0. Assim, não existe interesse maior em tais α’s.

iv) Para α < 1, hα não é σ-finita.

v) Seja α < t (α, t ∈ R, α ≥ 0). Suponha que S ⊂ ∪∞i=1Ii, com |Ii| < δ. Temos:

∞∑i=1

|Ii|α =∞∑i=1

|Ii|α−t|Ii|t > δα−t∞∑i=1

|Ii|t.

Assim, se ht(S) > 0 ⇒ hs(S) ≥ limδ→0

δα−tht(S) = ∞ ⇒ hα(S) = ∞. Analogamente

mostra-se que hα(S) <∞⇒ ht(S) = 0. Portanto, para qualquer ∅ 6= S ⊂ R, existe

28

um único valor dimH S ∈ [0, 1] (chamado de dimensão de Hausdorff de S) em que

hα(S) =

0 se α > dimH S

∞ se α < dimH S.

hdimH S(S) pode ser zero, finito ou infinito.

Definição 2.20. Seja µ uma medida em R definida sobre os Borelianos.

i) µ é chamada α-contínua se µ(S) = 0 para todo Boreliano S com hα(S) = 0.

ii) µ é chamada α-singular se existe um Boreliano S com µ(R \ S) = 0 e hα(S) = 0.

2.7 α-Derivada superior de uma medida

Nesta seção introduzimos a α-derivada superior de uma medida Boreliana finita eapresentamos um resultado, devido a Rogers e Taylor, que caracteriza conjuntos em queas medidas α-contínua e α-singular estão concentradas. Para referências veja [37, 38, 39].

Definição 2.21. Sejam µ uma medida Boreliana finita em R, α ∈ [0, 1] e I0 ⊂ R intervalocom |I0| = 1. Para cada x ∈ I0, definimos a α-derivada superior de µ em x por

Dαµ(x) = lim

ε→0supx∈I|I|<ε

µ(I)

|I|α

em que o supremo é feito sobre todos os sub-intervalos I de I0, com I aberto relativo aI0, x ∈ I e |I| < ε.

Rogers e Taylor [38, 39] desenvolveram uma teoria de decomposição de medidas emrelação às medidas de Hausdorff. Podemos decompor de modo único

µ = µαc + µαs

sendo µαc uma medida α-contínua e µαs uma medida α-singular.Apresentaremos a seguir um resultado (devido à Rogers e Taylor [38]) que caracteriza

conjuntos em que µαc e µαs estão concentradas.

Teorema 2.22. Suponha que α ∈ [0, 1] e que µ é uma medida Boreliana finita em R.Sejam

Tα0 = x ∈ R : Dαµ(x) = 0,

Tα1 = x ∈ R : 0 < Dαµ(x) <∞ e

Tα∞ = x ∈ R : Dαµ(x) =∞.

Então

29

i) Tα0 , Tα1 e Tα∞ são conjuntos de Borel;

ii) µαc = µ|Tα0 ∪Tα1≡ µ((Tα0 ∪ Tα1 ) ∩ ·) e µαs = µ|Tα∞ ≡ µ(Tα∞ ∩ ·).

Corolário 2.23. Sejam µ uma medida Boreliana finita em R e α ∈ [0, 1]. Se Dαµ(E) = ∞

µ− qtp então µ é α-singular e se Dαµ(E) <∞ µ− qtp então µ é α-contínua.

Demonstração. Segue diretamente do Teorema 2.22.

Definição 2.24. Uma medida Boreliana µ em R é uniformemente α-Hölder (UαH),0 ≤ α ≤ 1, se existe 0 < C < ∞ de forma que µ(I) ≤ C|I|α, para todo intervalo I com|I| < 1.

Vamos terminar esta seção comentando sobre uma decomposição adequada do espaço`2(Z). Para cada ψ ∈ `2(Z) denotemos por µψ a medida espectral para o par (H,ψ), emque H é auto-adjunto. Definimos os seguintes subespaços:

`2(Z)αc ≡ ψ : µψ é α− contínua (subespaço α-contínuo),

`2(Z)αs ≡ ψ : µψ é α− singular (subespaço α-singular).

Temos que `2(Z)αc e `2(Z)αs são subespaços fechados, mutuamente ortogonais, inva-riantes por H e `2(Z) = `2(Z)αc ⊕ `2(Z)αc. Além disso,

`2(Z)UαH ≡ ψ : µψ é UαH

é um subespaço vetorial e `2(Z)UαH = `2(Z)αc.

Definição 2.25. Os espectros α-contínuo (σαc(H)) e α-singular (σαs(H)) do operador Hsão definidos como sendo o espectro da restrição de H aos correspondentes subespaços.

Com esta definição, temos σ(H) = σαc(H) ∪ σαs(H).

Capítulo

3Ausência de Espectro Absolutamente

Contínuo para Hλ,θ,β

Neste capítulo vamos obter um resultado fundamental para classificação espectral dosoperadores de Schrödinger com potenciais Sturmianos, que é mostrar que o espectro dessesoperadores tem medida de Lebesgue zero e, consequentemente, a ausência do espectroabsolutamente contínuo. Para isso, estudaremos alguns conceitos básicos sobre a teoriaergódica de uma família de operadores de Schrödinger e devido a teoria de Kotani, épossível excluir o espectro absolutamente contínuo de operadores de Schrödinger compotenciais quase-periódicos que assumem um número finito de valores.

3.1 Família ergódica de operadores de Schrödinger

Nesta seção vamos apresentar definições e resultados básicos para uma família ergódicade operadores de Schrödinger, os quais são extremamente importantes para o desenvolvi-mento desse trabalho. Em particular, a teoria de Kotani é essencial nos resultados sobrea ausência do espectro absolutamente contínuo e na propriedade sobre o espectro commedida de Lebesgue zero, do modelo em estudo (veja [1, 14]).

Vamos realizar um breve estudo sobre a construção de uma família ergódica de ope-radores de Schrödinger associados aos potencias Sturmianos Vθ,β, que são gerados porrotações na circunferência S1. Para mais detalhes ver [12, 44].

Definição 3.1. Sejam Ω um espaço métrico compacto e T : Ω→ Ω um homeomorfismo.

i) O par (Ω, T ) é chamado um sistema dinâmico topológico.

ii) Dado ω ∈ Ω, o conjunto O(ω) = T nω : n ∈ Z é chamado a órbita de ω.

iii) SejaB a σ-álgebra de Borel de Ω. Uma medida de probabilidade µ é dita estacionáriase µ(T (B)) = µ(B), para cada B ∈ B.

30

31

iv) Um conjunto de Borel B é chamado invariante se T (B) = B.

v) Uma medida estacionária é chamada ergódica se todo conjunto invariante tem me-dida 0 ou 1.

Definição 3.2. Um sistema dinâmico topológico (Ω, T ) é dito:

1. Minimal se a órbita de cada ω ∈ Ω é densa em Ω.

2. Unicamente ergódico se existe uma única medida ergódica.

3. Estritamente ergódico se for minimal e unicamente ergódico.

É um fato bem conhecido que se existe uma única medida estacionária, então a medidaé necessariamente ergódica.

Definição 3.3. Uma família ergódica de operadores de Schrödinger (Hω)ω∈Ω é chamadaminimal se para cada par ω1, ω2 ∈ Ω a sequência Vω1 é o limite pontual de transladadosde Vω2 .

Observação: A minimalidade da família ergódica (Hω)ω∈Ω segue da minimalidade dosistema dinâmico (Ω, T ).

Definição 3.4. Dados um sistema dinâmico topológico (Ω, T ), uma medida ergódica µe uma função mensurável g : Ω → R, define-se para cada ω ∈ Ω uma sequência infinitabilateral Vω : Z→ R por Vω(n) = g(T nω). Esta sequência gera o operador de Schrödingerdiscreto unidimensional Hω sobre `2(Z), o qual atua sobre cada u ∈ `2(Z) por

(Hωu)(n) = u(n+ 1) + u(n− 1) + Vω(n)u(n).

A família (Hω)ω∈Ω é chamada uma família ergódica de operadores de Schrödinger.

Com as definições em mente, estamos aptos para mostrar que a família de operadoresde Schrödinger Sturmianos (Hλ,θ,β)β∈[0,1) é ergódica e minimal.

Exemplo 3.5. Seja Ω = S1 (circunferência unitária), o qual é um conjunto compacto epode ser representado (identificado) pelo intervalo [0, 1). Definimos a aplicação Tθ : S1 ←por

Tθβ = β + θ (mod 1).

Para cada θ ∈ (0, 1) irracional, temos que não existem órbitas periódicas e que a órbita dequalquer ponto é densa em S1. Além disso, é bem conhecido que a medida de Lebesguesobre S1 é unicamente estacionária [10], logo o sistema é unicamente ergódico. Como todaórbita é densa, temos que o sistema é minimal. Portanto, (Ω, Tθ) é estritamente ergódico(veja [12, 44]).

Definimos a função mensurável g : Ω → R como g(β) = χ[1−θ,1)(β), e daí obtemos ospotenciais

Vθ,β(n) = g(T nβ) = χ1−θ,1)(nθ + β mod 1).

32

Assim, concluímos que (Hλ,θ,β)β∈[0,1) é uma família ergódica e minimal de operadores deSchrödinger.

Outra possibilidade de obter uma família de tais potenciais é considerar a sequênciaVθ,0(n) = χ[1−θ,1)(nθ mod 1), n ∈ N. Definindo o hull Ω = Ωθ por

Ωθ = ω ∈ 0, 1Z : ω = limT niVθ,0, ni →∞,

onde T : 0, 1Z → 0, 1Z, Tu(n) = u(n+ 1) denota o shift sobre 0, 1Z e Ωθ ⊂ 0, 1Z

é um conjunto compacto, temos que o sistema dinâmico (Ωθ, T ) é estritamente ergódico,com uma única medida ergódica µ dada sobre conjuntos cilindros pela frequência dasrespectivas palavras [20]. Relembremos que a σ-álgebra de Borel é gerada pelos conjuntoscilíndricos

[b0...bl−1][m,m+l−1] = ω ∈ Ω : ωm+i = bi, 0 ≤ i ≤ l − 1,

m ∈ Z, l ≥ 1, bi ∈ 0, 1, 0 ≤ i ≤ l − 1. Temos que a única medida ergódica de Borel µsobre Ω satisfaz

µ([b0...bl−1][m,m+l−1]) = d(b0...bl−1),

onde d(b0...bl−1) é a frequência da palavra b0...bl−1 em Vθ,0, isto é,

d(b0...bl−1) = limn→∞

1

n] j ≤ n : Vθ,0(j) · · ·Vθ,0(j + l − 1) = b0...bl−1

a qual é sempre estritamente positiva. A função g, que gera os potenciais neste caso, édada por g(ω) = f(ω0), onde f(0) = 0 e f(1) = 1.

Temos que ambas as maneiras de se obter os potenciais de (Hω)ω∈Ω correspondentesaos parâmetros λ, θ, β induz à famílias de operadores de Schrödinger ergódicas e minimais.

Uma relação entre os conjuntos Ωθ e Vθ,β : β ∈ [0, 1) pode ser encontrada em [12].

3.2 Espectro com medida de Lebesgue zero

A ausência uniforme do espectro absolutamente contínuo e espectro com medida deLebesgue zero foram demonstrados para todos os parâmetros nos modelos Sturmianos [1].

Os resultados que serão discutidos a partir de agora são de fundamental importân-cia para a demonstração do Teorema 3.14. Como o espectro de Hλ,θ,β independe de β(Lema 3.7) vamos denotá-lo por

∑.

Teorema 3.6. Seja (Hω)ω∈Ω uma família ergódica e minimal de operadores de Schrödin-ger. Então σ(Hω) =

∑e σac(Hω) =

∑ac, para todo ω ∈ Ω.

A demonstração de que o espectro independe de ω ∈ Ω pode ser encontrada em[36]. Last e Simon [32] demonstraram que o espectro absolutamente contínuo é o mesmopara todos os membros de uma família ergódica e minimal de operadores de Schrödinger.

33

Consequentemente, podemos escolher qualquer membro dessa família para estudarmos oespectro ou o espectro absolutamente contínuo, o que torna mais fácil o estudo espectral.

Agora vamos estender para potenciais contínuos à direita, o resultado bem conhecidode Hamiltonianos quase-periódicos sobre a independência de β, para todo β ∈ [0, 1), doespectro (veja [36]).

Lema 3.7. Para quaisquer β1, β2 ∈ [0, 1) tem-se que σ(Hλ,θ,β1) = σ(Hλ,θ,β2).

Demonstração. Como Hλ,θ,β1+nθ = T−1n Hλ,θ,β1Tn, onde Tn é a translação por n em

`2(Z), então para qualquer n ∈ Z

σ(Hλ,θ,β1+nθ) = σ(Hλ,θ,β1). (3.1)

O potencial é pontualmente contínuo à direita em β, ou seja,

limh→0+

Vθ,β+h(n) = Vθ,β(n).

De fato, basta tomar h > 0 suficientemente pequeno de modo que nθ + β, nθ + β + h ∈[1− θ, 1) ou nθ + β, nθ + β + h /∈ [1− θ, 1). Logo, para todo ψ ∈ `2(Z) tem-se

||Hλ,θ,β+hψ −Hλ,θ,βψ||2 = |λ|2∑n∈Z

|Vθ,β+h(n)− Vθ,β(n)|2|ψ(n)|2 h→0+−→ 0,

ou seja, o Hamiltoniano Hλ,θ,β é fortemente contínuo à direita em β. Além disso, seA e Am são operadores auto-adjuntos limitados sobre um espaço de Hilbert tais queA = s − limAm, então σ(A) ⊂ σ(Am) para algum m grande (ver [36], p. 290). Sendoθ irracional, existe (nk) ∈ Z tal que 0 ≤ β1 + nkθ − β2 → 0 quando k → ∞. Assim,σ(Hλ,θ,β2) ⊂ σ(Hλ,θ,β1+nkθ) para k grande e por (3.1)

σ(Hλ,θ,β2) ⊂ σ(Hλ,θ,β1).

Considere o conjunto B das energias em que a aplicação traço fica limitada:

B = E ∈ R : |yn| < Cλ, ∀n ≥ 1

onde yn = tr(M(λ,E, sn)) e a constante Cλ = 2 +√

8 + λ2 é dada pela Proposição 2.15.Nosso interesse agora é relacionar o conjunto B com o espectro σ(Hλ,θ,β) =

∑. Temos

o seguinte resultado:

Proposição 3.8.∑⊆ B.

Demonstração. Considere β = 0. Segue de um procedimento de aproximação forte que

⋃N∈N

Int

(⋂n≥N

E ∈ R : |tr(M(λ,E, sn))| > 2

)⊆ ρ(Hλ,θ,0). (3.2)

34

De fato, de modo análogo a [42] temos que ρn = E ∈ R : |tr(λ,E, sn)| > 2 = ρ(Hn)

onde Hn = Hn,λ,θ,0 são operadores periódicos de período qn, cujos valores do potencialsobre um período são dados por sn, e Hλ,θ,0 = s − limHn. Além disso, sabemos quese H e Hn são operadores auto-adjuntos limitados sobre um espaço de Hilbert tais queH = s− limHn, então σ(H) ⊂ σ(Hn) para algum n grande (ver [36], p. 290). Com isso,obtemos então (3.2).

Usando (3.2) e o fato de que Bc é um conjunto aberto [42] tal que

Bc = ∪∞n=N(∩∞k=nρk), N ≥ 0,

obtemos (veja [42]) as inclusões:

Bc ⊆⋃N∈N

Int(⋂n≥N

ρ(Hn)) ⊆ ρ(Hλ,θ,0).

Como consequência desta proposição, segue um importante resultado sobre a limita-ção uniforme do traço das matrizes de transferência para energias no espectro.

Denotamos

xn = ξn−1 = tr(M(λ,E, sn−1)), yn = ξn = tr(M(λ,E, sn)) e zn = tr(M(λ,E, snsn−1)).

Corolário 3.9. Para cada λ existe uma constante Cλ ∈ (1,∞) de modo que para todoirracional θ, todo E ∈

∑e todo n ∈ N temos

max|xn|, |yn|, |zn| ≤ Cλ, (3.3)

Demonstração. Se E ∈∑

então pela Proposição 3.8 existe uma constante Cλ tal que

|xn| = |tr(M(λ,E, sn−1))| ≤ Cλ e |yn| = |tr(M(λ,E, sn))| ≤ Cλ.

Vamos mostrar que |zn| ≤ Cλ para alguma constante Cλ. Usando o fato de que os traçossatisfazem o invariante de Fricke-Vogt:

x2n + y2

n + z2n − xnynzn = λ2 + 4

⇒ z2n − xnynzn + x2

n + y2n − λ2 − 4 = 0

⇒ zn =xnyn ±

√x2ny

2n − 4x2

n − 4y2n + 4λ2 + 16

2

⇒ |zn| ≤C2λ +

√C4λ + 4λ2 + 16

2= Cλ.

Tomando Cλ = maxCλ, Cλ segue o resultado.

35

SejaA = E ∈ R : γ(E) = 0.

A proposição seguinte mostra que para as energias em que a aplicação traço é limitada,o expoente de Lyapunov se anula.

Proposição 3.10. B ⊆ A.

Demonstração. Suponha que exista E ∈ B tal que γ(E) > 0. Considere λ, θ fixos eescolha β ∈ [0, 1) para o qual γ(E) existe. Pelo Teorema 2.9 existe uma solução u 6= 0 deHλ,θ,βu = Eu satisfazendo

‖U(m)‖ ≤ Ce−mγ(E) (3.4)

onde

U(m) =

(u(m+ 1)

u(m)

).

Agora, as palavras snsn ocorrem infinitas vezes em Vθ,β (veja [2, 13]). Como E ∈ B existeuma constante Cλ ≥ 1 tal que, para cada n ∈ N, tem-se

|tr(M(λ,E, sn))| ≤ Cλ (3.5)

em que sn = Vθ,0(1) · · ·Vθ,0(qn). Utilizando a Proposição 2.3 de [14] temos que sn ocorreem Vθ,β para todo β, como sendo Vθ,β(k) · · ·Vθ,β(k + qn) para k ≥ m0. Assim, podemosusar a limitação do traço da matriz de tansferência para todo β. Tomemos m0 tal que,para todo m ≥ m0 e todo k ∈ N, a solução u satisfaz

||U(m+ k)|| ≤ e−12γ(E)k||U(m)||. (3.6)

Escolhemos n de modo que e−12γ(E)|sn| < 1

2Cλ. Olhemos para uma ocorrência de snsn em

Vθ,β, isto é, snsn = Vθ,β(l + 1) · · ·Vθ,β(l + 2|sn|), tal que l ≥ m0. Segue do Teorema deCayley-Hamilton que

U(l + 2|sn|)− tr(M(λ,E, sn))U(l + |sn|) + U(l) = 0. (3.7)

De (3.5) e (3.7) obtemos

2Cλ max||U(l+2|sn|)||, ||U(l+|sn|)|| ≥ ||U(l+2|sn|)||+Cλ||U(l+|sn|)|| ≥ ||U(l)||. (3.8)

Substituindo (3.8) em (3.6) com l = m e k = |sn| ou k = 2|sn| obtém-se

||U(m+ k)|| ≤ e−12γ(E)k||U(m)|| ≤ e−

12γ(E)k2Cλ||U(m+ k)||.

Assim,||U(m+ k)||(1− e−

12γ(E)k2Cλ) ≤ 0

36

o que é um absurdo.

Observação: A inclusão acima pode ser demonstrada seguindo [1] ou combinando Lema 5

de [1] juntamente com o Teorema 1 de [14].

Proposição 3.11. A ⊆∑

.

Demonstração. Seja E ∈ ρ(Hλ,θ,β). Pelo argumento de Combes-Thomas [33] a funçãode Green Gλ,θ,β correspondente, solução da equação (Hλ,θ,β −E)Gλ,θ,β(n, k) = δn,k, decaiexponencialmente:

|Gλ,θ,β(n, k)| < Ce−a|n−k|, onde a = ln(c dist(E, σ(Hλ,θ,β)) + 1).

Isto implica que a solução da equação (Hλ,θ,β − E)φ = 0 com condições iniciais φ(0) = 1

e φ(−1) = 0 cresce exponencialmente com taxa estritamente positiva, pois o Wronskianoé constante. Por outro lado, temos que para β `− qtp

limn→∞

1

nln ‖M(λ,E, Vθ,β(1) · · ·Vθ,β(n))‖ = γ(E)

e|φ(n)|2 < |φ(n)|2 + |φ(n+ 1)|2 < ‖M(λ,E, Vθ,β(1) · · ·Vθ,β(n))‖2 .

Isto implica que γ(E) > 0.

Das proposições acima obtemos a seguinte consequência:

Corolário 3.12.∑

= A = B.

A seguir enunciamos um importante lema devido a Kotani, a partir do qual relacio-namos o expoente de Lyapunov com o espectro absolutamente contínuo [29].

Lema 3.13. (Kotani) Dado uma família ergódica de operadores de Schrödinger discretosunidimensionais com potenciais assumindo um número finito de valores, tem-se

`(E ∈ R : γ(E) = 0) = 0

onde γ(·) denota o expoente de Lyapunov e ` a medida de Lebesgue.

O Teorema 3.6 juntamente com o Lema 3.13 e o Corolário 3.12 permitem excluir oespectro absolutamente contínuo de Hλ,θ,β para todos os parâmetros λ, θ, β. Mais preci-samente temos o seguinte resultado:

Teorema 3.14. Para todos os parâmetros λ, θ, β, o operador Hλ,θ,β tem espectro absolu-tamente contínuo vazio, suportado sobre um conjunto com medida de Lebesgue zero.

37

Demonstração. Combinando o Corolário 3.12 com o Lema 3.13 obtemos que

`(σ(Hλ,θ,β)) = 0, β `− qtp.

Para λ, θ fixados, a família (Hλ,θ,β)β∈[0,1) é ergódica e minimal, logo pelo Teorema 3.6concluímos que

`(σ(Hλ,θ,β)) = 0, ∀ β ∈ [0, 1).

Como σac(Hλ,θ,β) ⊂ σ(Hλ,θ,β) implica que `(σac(Hλ,θ,β)) = 0, ou seja, σac(Hλ,θ,β) = ∅ paratodos os parâmetros λ, θ, β.

Assim, quando estudamos o tipo espectral de (Hλ,θ,β)β∈[0,1) precisamos apenas analisaro espectro pontual e o espectro singular contínuo de (Hλ,θ,β)β∈[0,1).

Capítulo

4Comportamento das Soluções

Neste capítulo aplicaremos a teoria desenvolvida no Capítulo 2 para estudar proprie-dades espectrais uniformes de operadores de Schrödinger da forma (1.1), especialmentecom potenciais Sturmianos. Mostraremos que os referidos operadores possuem espectropontual vazio para todos os parâmetros λ, θ, β e utilizando o Teorema 3.14 demonstrare-mos o Teorema 1.1. Apresentaremos também a demonstração de que para os potenciaisSturmianos, com números de rotação de densidade limitada, existem cotas superiores einferiores do tipo C1L

γ1 ≤ ‖u‖L ≤ C2Lγ2 , com L > 0 suficientemente grande, para todas

as soluções u com condições iniciais normalizadas (no sentido que |u(0)|2 + |u(1)|2 = 1) daequação de autovalores (2.8). Com estas estimativas é possível caracterizarmos, tomandoα = 2γ1

γ1+γ2, o espectro α-contínuo de Hλ,θ,β (veja Capítulo 5).

4.1 Limitação inferior das soluções e ausência de espec-

tro pontual para Hλ,θ,β

Estabeleceremos cotas inferiores na "metade da reta", para todas as soluções de (2.8),referentes aos potenciais Sturmianos com números de rotação de densidade limitada. Mos-traremos também que o espectro pontual deHλ,θ,β é vazio para todos os parâmetros λ, θ, β.Como o espectro pontual é o fecho do conjunto de seus autovalores, isto é, o fecho do con-junto das energias E ∈ R tais que u ∈ `2(Z) é solução da equação (2.8), tomaremoscomo base tal equação para nosso estudo neste capítulo. Além disso, apresentaremos ademonstração do Teorema 1.1, enunciado na introdução. Também será nosso objetivonesta seção apresentar a demonstração do seguinte resultado [11]:

Proposição 4.1. Suponha que a sequência (qn) associada ao número de rotação θ sa-tisfaça qn ≤ Cn

θ . Então, para todo λ existem γ1 > 0, C1 < ∞ tais que para todoE ∈ σ(Hλ,θ,β) e todo β ∈ [0, 1), qualquer solução u de (2.8) com condição inicial norma-

38

39

lizada satisfaz‖u‖L ≥ C1L

γ1

para L suficientemente grande.

Para demonstrarmos a Proposição 4.1 usaremos alguns lemas a seguir. Primeiramente,observemos que o comportamento de ‖u‖L pode ser investigado através de

‖U‖L =

[L]∑n=1

‖U(n)‖2 + (L− [L]) ‖U([L] + 1)‖2

1/2

em que L ∈ R, L ≥ 1, sendo

U(n) =

(u(n)

u(n− 1)

)e ‖U(n)‖2 = |u(n)|2 + |u(n− 1)|2,

pois 12‖U‖2

L ≤ ‖u‖2L ≤ ‖U‖

2L.

Utilizando a limitação uniforme dos traços, vamos obter estimativas sobre o cresci-mento de ‖U‖L para energias no espectro e soluções com condições iniciais normalizadasda correspondente equação de autovalores.

O próximo resultado é baseado em uma versão do argumento de Gordon 2-blocos.Mais precisamente, temos [11]:

Lema 4.2. Fixe λ, θ, β. Suponha que Vθ,β(j)...Vθ,β(j + 2k − 1) é conjugado de (sn−1)2,(sn)2 ou (snsn−1)2 para algum n ∈ N, l ≤ k e todo j ∈ 1, ..., l. Seja E ∈

∑. Então toda

solução u, com condição inicial normalizada, de (Hλ,θ,β − E)u = 0 satisfaz

‖U‖l+2k ≥ Dλ ‖U‖l

com Dλ =(

1 + 14C2

λ

) 12 , em que Cλ é dado pelo Corolário 3.9.

Demonstração. Considere algum j ∈ 1, ..., l. Por definição, temos

U(j + k) = M(λ,E, Vθ,β(j)...Vθ,β(j + k − 1))U(j)

e U(j + 2k) = M(λ,E, Vθ,β(j)...Vθ,β(j + 2k − 1))U(j).

Como, por hipótese, Vθ,β(j)...Vθ,β(j + 2k− 1) é conjugado de (sn)2, (sn−1)2 ou (sn−1sn)2,temos

U(j + 2k) = [M(λ,E, Vθ,β(j)...Vθ,β(j + k − 1)]2U(j).

Daí, aplicando o teorema de Cayley-Hamilton, vem

U(j + 2k)− tr[M(λ,E, Vθ,β(j)...Vθ,β(j + k − 1))]U(j + k) + U(j) = 0. (4.1)

40

Além disso, pelo Corolário 3.9,

|tr[M(λ,E, Vθ,β(j)...Vθ,β(j + k − 1))]| ≤ Cλ (4.2)

para Cλ > 1. De (4.1) e (4.2) obtemos

2Cλ max‖U(j + 2k)‖ , ‖U(j + k)‖ ≥ ‖U(j + 2k)‖+ Cλ ‖U(j + k)‖

≥ ‖U(j)‖

para todo 1 ≤ j ≤ l. Isto implica que

‖U(j + k)‖2 + ‖U(j + 2k)‖2 ≥ (max‖U(j + 2k)‖ , ‖U(j + k)‖)2

≥ 1

4C2λ

‖U(j)‖2

para todo 1 ≤ j ≤ l. Assim,

‖U‖2l+2k =

l+2k∑m=1

‖U(m)‖2

=l∑

m=1

‖U(m)‖2 +l+2k∑m=l+1

‖U(m)‖2

≥l∑

m=1

‖U(m)‖2 +l∑

m=1

(‖U(m+ k)‖2 + ‖U(m+ 2k)‖2)

≥l∑

m=1

‖U(m)‖2 +1

4C2λ

l∑m=1

‖U(m)‖2

=

(1 +

1

4C2λ

)‖U‖2

l .

Agora, usaremos os Lemas 2.7 e 4.2 para estimar o crescimento de ‖U‖L, com energiasno espectro e soluções da equação de autovalores (veja [11]).

Lema 4.3. Seja λ, θ, β arbitrários, E ∈∑

e u uma solução, com condição inicial nor-malizada, da equação de autovalores (2.8). Então para cada n ≥ 8, vale a desigualdade

‖U‖qn ≥ Dλ ‖U‖qn−8

onde Dλ =(

1 + 14C2

λ

) 12 .

Demonstração. Usaremos o Lema 2.7 e exibiremos quadrados nos potenciais, no sentidoque eles satisfazem as hipóteses do Lema 4.2. Para demonstrarmos o lema, mostraremosque

‖U‖2(qn+1+qn)+qn−1≥ Dλ ‖U‖qn−4

41

para todos λ, θ, β, todo E ∈ σ(Hλ,θ,β), todas soluções u da equação de autovalores e todon ≥ 4, pois qn+4 ≥ 2(qn+1 + qn) + qn−1.

Fixe λ, θ, β e n ≥ 4. Considere a n-partição de Vθ,β. Como queremos exibir quadradospara a origem, consideremos os seguintes casos:Caso 1. z0 = sn−1.Pelo Lema 2.7 z1 = sn. Como sn−1 é prefixo de sn e z2 ∈ sn, sn−1 então z2 = sn−1a,sendo a uma palavra apropriada. Por (2.6) e pela Proposição 2.2 temos

z0z1z2 = sn−1snsn−1a

= sn−1sann−1sn−2sn−1a

= sn−1sann−1sn−1s

an−2−1n−3 sn−4sn−3a

= sn−1s2n−1s

an−1n−1 s

an−2−1n−3 sn−4sn−3a.

Se an ≥ 2 então z0z1z2 = sn−1s2n−1sn−1s

an−2n−1 b = sn−1s

2n−1sn−4d, com palavras apropriadas

b, d. Se an = 1 entãoz0z1z2 = sn−1s

2n−1s

an−2−1n−3 sn−4sn−3a

e usando (2.6) obtemos (se an−2 = 1 ou an−2 ≥ 2) que z0z1z2 = sn−1s2n−1sn−4v com uma

palavra apropriada v. Portanto, aplicando o Lema 4.2 para l = qn−4 e k = qn−1 obtemos

‖U‖2(qn+1+qn)+qn−1≥ ‖U‖qn−4+2qn−1

Dλ ‖U‖qn−4.

Caso 2. z0 = sn e z1 = sn.Se z2 = sn−1 então pelo Lema 2.7, z3 = sn. Aplicando a Proposição 2.2 obtemos z0z1z2z3 =

sns2ns

an−1−1n−2 sn−3sn−2, e de (2.6) vem que

z0z1z2z3 = sns2nsn−3w,

com w palavra apropriada. Se z2 = sn então como sn−1 é um prefixo de sn e z3 ∈sn, sn−1 temos que z0z1z2z3 = sns

2nsn−1r com r palavra apropriada. Daí, por (2.6),

z0z1z2z3 = sns2nsn−3s, com uma palavra s. Portanto, aplicando o Lema 4.2 com l = qn−3

e k = qn obtemos

‖U‖2(qn+1+qn)+qn−1≥ ‖U‖qn−3+2qn

≥ Dλ ‖U‖qn−3≥ Dλ ‖U‖qn−4

.

Caso 3. z0 = sn e z1 = sn−1.Sejam z

′j os blocos da (n + 1)-partição de Vθ,β. Pela unicidade da n-partição temos

z′0 = sn+1. Consideremos os seguintes subcasos:Caso 3.1. z′n+1.Analogamente ao caso 2, isso implica que s′0s

′1 é seguido por sn+1sn−2 e daí aplicando o

42

Lema 4.2 com l = qn−2 e k = qn+1 obtemos

‖U‖2(qn+1+qn)+qn−1≥ ‖U‖qn−2+2qn+1

≥ Dλ ‖U‖qn−2≥ Dλ ‖U‖qn−4

.

Caso 3.2. z′1 = sn.Segue do Lema 2.7 que z′2 = sn+1. Novamente consideremos dois subcasos.Caso 3.2.1. z′3 = sn.Este caso ocorre somente se an+2 = 1. Pelo Lema 2.7, z′4 = sn+1. Como sn é um prefixode sn+1 e z′5 ∈ sn, sn+1, por (2.6) temos

z′

0z′

1z′

2z′

3z′

4z′

5 = sn+1(snsn+1)2snw′= sn+1(snsn+1)2sn−1s

an−1n−1 sn−2w

′

com uma palavra apropriada w′ . Aplicando o Lema 4.2 com l = qn−1 e k = qn + qn+1

obtemos‖U‖qn−1+2(qn+qn+1) ≥ Dλ ‖U‖qn−1

≥ Dλ ‖U‖qn−4.

Caso 3.2.2. z′3 = sn+1.Considere as consequências deste caso particular para os blocos na n-partição. Temos

z0z1 · · · z2an+1+4 = snsn−1snsan+1n sn−1s

an+1n sn−1.

Como sn é um prefixo de sn+1, este bloco deve ser seguido por sn. Portanto, temos asequência de blocos

snsn−1snsan+1n sn−1s

an+1n sn−1sn. (4.3)

Usando a Proposição 2.2 podemos reescrever (4.3) como

snsn−1snsan+1n sn−1s

an+1n sns

an−1−1n−2 sn−3sn−2,

o qual pode ser interpretado como

snsn−1snsan+1n sn−1sns

an+1n s

an−1−1n−2 sn−3sn−2.

Observe que sn−1snsan+1n é conjugado de snsn+1 = sns

an+1n sn−1. Assim, aplicando o

Lema 4.2 com l = qn−3 e k = qn + qn+1 obtemos

‖U‖2(qn+1qn)+qn−1≥ ‖U‖qn−3+2(qn+qn−1) ≥ Dλ ‖U‖qn−3

≥ Dλ ‖U‖qn−4.

Como os casos 1, 2 e 3 cobrem todas as possíveis escolhas de z0, z1, o lema está demons-trado.

Em particular, o Lema 4.3 permite excluir os autovalores do espectro de Hλ,θ,β, paratodos os parâmetros λ, θ, β. Mais precisamente, temos

43

Corolário 4.4. Para todos os parâmetros λ, θ, β, o operador Hλ,θ,β tem espectro pontualvazio.

Demonstração. Sejam λ, θ, β arbitrários, E ∈∑

e u uma solução, com condição inicialnormalizada, de (Hλ,θ,β − E)u = 0. Então pelo Lema 4.3 temos

‖U‖q8n ≥ Dλ ‖U‖q8n−8≥ . . . ≥ Dn

λ ‖U‖q0 = Dnλ ‖U‖1 = Dn

λ , ∀n ≥ 1.

Isto implica que

‖U‖2`2 ≥ ‖U‖

2q8n≥ D2n

λ , ∀n ≥ 1 com Dλ ≥ 1.

Fazendo n→∞ obtemos

‖U‖2`2 =

∞∑m=1

‖U(m)‖2 =∞.

Assim, para todos os parâmetros λ, θ, β, não existe solução u em `2. Portanto, para todosos parâmetros λ, θ, β, o operador Hλ,θ,β tem espectro pontual vazio.

Demonstração. (Teorema 1.1). Segue diretamente do Teorema 3.14 e Corolário 4.4.

Agora vamos estimar o crescimento da sequência (qn) quando θ é de densidade limitada,mostrando que esses números satisfazem a hipótese da Proposição 4.1.

Lema 4.5. Suponha que θ seja um número de densidade limitada. Então existe umaconstante Cθ de forma que qn ≤ Cn

θ .

Demonstração. Comparando a sequência (qn) com a sequência (rn) gerada pela recursão

rn+1 = 2an+1rn

com condição inicial r1 = 2a1, temos que qn ≤ rn e

rn =n∏i=1

2ai. (4.4)

Por hipótese, θ é um número de densidade limitada, logo existe uma constante Bθ tal que1n

∑ni=1 2ai ≤ Bθ. Daí, por (4.4) obtemos

ln(qn)1/n ≤ ln(rn)1/n =1

n

n∑i=1

ln(2ai) ≤ Bθ,

o que implica que qn ≤ (eBθ)n. Portanto, existe uma constante Cθ = eBθ tal que

qn ≤ Cnθ .

44

Embora (qn) cresça exponencialmente com n, o próximo resultado mostra que a sub-sequência ‖U‖q8n cresce pelo menos polinomialmente em n.

Lema 4.6. Suponha que a sequência (qn) associada a θ satisfaça qn ≤ Cnθ . Então, para

todo λ, existe γ = γ(λ, θ) > 0 tal que

‖U‖q8n ≥ qγ8n

para qualquer solução u de (Hλ,θ,β − E)u = 0, com condição inicial normalizada, corres-pondente a E ∈ σ(Hλ,θ,β).

Demonstração. Pelo Lema 4.3 temos

‖U‖q8n ≥ Dλ ‖U‖q8n−8≥ ... ≥ Dλ ‖U‖q0 = Dn

λ , ∀n ≥ 1,

com Dλ > 1. Escolha γ > 0 de modo que C8γθ ≤ Dλ. Assim,

‖U‖q8nqγ8n

hip.

≥ Dnλ

C8nγθ

=

(Dλ

C8γθ

)n≥ 1,

o que implica que ‖U‖q8n ≥ qγ8n.

Vamos estimar a quantidade ‖U‖L para L suficientemente grande, fazendo a interpo-lação para os L′s não-inteiros.

Demonstração. (Proposição 4.1). Devido ao Lema 4.6, para todo λ existe γ =

γ(λ, θ) > 0 tal que ‖U‖q8n ≥ qγ8n , para qualquer solução u de (Hλ,θ,β − E)u = 0, comcondição inicial normalizada, correspondente a E ∈ σ(Hλ,θ,β). Por hipótese, existe 1 <

Cθ,1 < ∞ tal que q8n ≤ Cnθ,1 e sabemos que existe 1 < Cθ,2 < ∞ tal que q8n ≥ Cn

θ,2.

Escolha ε ∈(

lnCθ,1−lnCθ,2lnCθ,1

γ, γ). Seja γ1 ≡ γ − ε. Temos

γ − lnCθ,1 − lnCθ,2lnCθ,1

γ > γ − ε > 0.

Daí,γ lnCθ,1 − γ lnCθ,1 + γ lnCθ,2 > γ1 lnCθ,1 e γ1 > 0,

o que implicalnCγ1

θ,1 − lnCγθ,2 < 0.

Logo,Cγ1θ,1

Cγθ,2

< 1.

Escolha n ∈ N tal que (Cγ1θ,1

Cγθ,2

)n

≤ 1

Cγ1θ,1

45

e tome L suficientemente grande de modo que q8n ≤ L < q8(n+1). Assim,

‖U‖L ≥ ‖U‖q8n ≥ qγ8n ≥ Cnγθ,2 ≥ C

(n+1)γ1θ,1 ≥ qγ18(n+1) ≥ Lγ1 .

Portanto existe C1 = 1√2tal que

‖u‖L ≥ C1 ‖U‖L ≥ C1Lγ1

para qualquer solução u, com condição inicial normalizada, de (Hλ,θ,β − E)u = 0, com L

suficientemente grande.

4.2 Limitação superior das soluções

Nesta seção apresentaremos uma limitação superior, polinomial em L, para as soluçõesu com condições iniciais normalizadas. Para mais detalhes veja referências [22, 23]. Maisprecisamente, nosso objetivo é mostrar o seguinte resultado:

Proposição 4.7. Seja θ um número de densidade limitada. Então para todo λ 6= 0,existem γ2 > 0, C2 <∞, tais que para cada E ∈ σ(Hλ,θ,β) e cada β ∈ [0, 1), toda soluçãou de (2.8), com condição inicial normalizada, satisfaz

‖u‖L ≤ C2Lγ2 ∀L ≥ 1.

Para demonstrarmos a Proposição 4.7 seguiremos o seguinte caminho: estimaremos anorma das matrizes de transferênciaM(m) = M(λ,E, Vθ,0(1) · · ·Vθ,0(m)), as quais podemser escritas como um produto de matrizes M εi

i , onde m =∑N

i=0 εiqi, com εi inteiro. Atécnica usada estabelece uma relação entre as triplas (Mn,Mn+1, Zn+1 = MnMn+1) e(Mn−1,Mn, Zn = Mn−1,Mn) escrita na forma matricial (Lema 4.8 e Lema 4.9):

I

Mn+1

Mn

Zn+1

= Bn

I

Mn

Mn−1

Zn

,

assim existem matrizes D(n, k) satisfazendoI

Mn+k+1

Mn+k

Zn+k+1

= D(n, k)

I

Mn+1

Mn

Zn+1

.

Como os coeficientes dessas matrizes são funções polinomiais de yi = trMi e zi =

trZi = tr(Mi−1Mi), usando a Proposição 3.9 obtemos a limitação uniforme dos traços.

46

Avaliando os coeficientes de D(n, k) (Lema 4.11) implica (Corolário 4.12) a existência deuma constante J tal que

||Mn|| ≤ J∑ni=1 ai ,

||Zn|| ≤ J∑ni=1 ai .

Por indução, obtemos||M ε0

0 · · ·MεNN || ≤ K

∑Ni=0 εiL

∑Ni=0 ai ,

e, consequentemente, ||M(m)|| ≤ Cmγ, sendo θ um número de densidade limitada.Vamos começar relacionando as triplas (Mn,Mn+1, Zn+1) e (Mn−1,Mn, Zn) através de

Bn ∈ SL(4,R).

Lema 4.8. Para cada inteiro n, a matriz Bn ∈ SL(4,R) definida porI

Mn+1

Mn

Zn+1

= Bn

I

Mn

Mn−1

Zn

é

Bn =

1 0 0 0

0 0 −San+1−2 San+1−1

0 1 0 0

yn−1 − San+1 − znSan+1−2 yn+1 −San+1−3 San+1−2

,

onde Sk(yn) são os polinômios de Chebyshev (ver Lema 2.12). Note que S−k(yn) =

−Sk−2(yn). Para simplificarmos a notação omitiremos a dependência de yn dos Sk.

Demonstração. Temos que

Mn+1 = Mn−1Man+1n = Mn−1San+1−1Mn − San+1−2Mn−1

= San+1−1Zn − San+1−2Mn−1 ,

Zn+1 = MnMn+1 = Mn(M−1n+1)−1 = Mn(yn+11−M−1

n+1)

= yn+1Mn −Mn(Mn−1Man+1n )−1

= yn+1Mn − (M−1n )an+1−1M−1

n−1

= yn+1Mn − San+1−2Z−1n + San+1−3(yn−11−Mn−1)

= (yn−1San+1−3 − znSan+1−2)1 + yn+1Mn − San+1−3Mn−1 + San+1−2Zn.

Além disso, Bn ∈ SL(4,R) pois detBn = S2an+1−2 − San+1−1San+1−3 = 1.

47

Definimos D(n, k), para cada par de inteiros k e n, por

D(n, 0) = I se n ≥ 0 e

D(n, k + 1) = Bn+k+1D(n, k) se k ≥ 0, n ≥ 0,

com D(n, k) matriz 4× 4. Assim, o Lema 4.8 implicaI

Mn+k+1

Mn+k

Zn+k

= D(n, k)

I

Mn+1

Mn

Zn+1

.

Seja D(n, k)i,j os coeficientes da i-ésima linha e j-ésima coluna de D(n, k).

Lema 4.9. Para cada par de inteiros n e k, tem-se

D(n, k + 1)1j = δ1j, (4.5)

D(n, k + 1)2j = −San+k+2−2D(n, k)3j + San+k+2−1D(n, k)4j, (4.6)

D(n, k + 1)3j = D(n, k)2j, (4.7)

D(n, k + 1)4j = (yn+kSan+k+2−3 − zn+k+1San+k+2−2)D(n, k)1j

+ yn+k+2D(n, k)2j − San+k+2−3D(n, k)3j

+ San+k+2−2D(n, k)4j. (4.8)

Demonstração. Segue diretamente de D(n, k + 1) = Bn+k+1D(n, k).

O próximo resultado nos dá uma fórmula para os coeficientes da matriz D(n, k).

Corolário 4.10. Se k ≥ 1, n ≥ 0, j ∈ 1, 2, 3, 4, então

D(n, k + 1)2j = −San+k+2−2D(n, k − 1)2j + San+k+2−1D(n, k)4j, (4.9)

D(n, k + 1)4j = (yn+kSan+k+2−3 − zn+k+1San+k+2−2)δ1j

+ yn+k+2D(n, k)2j − San+k+2−3D(n, k)3j

+ San+k+2−2D(n, k)4j. (4.10)

Utilizando o Corolário 4.10 limitaremos superiormente o módulo dos coeficientes deD(n, k) através de:

Lema 4.11. Se E ∈ σ(H), então

|D(n, k)ij| ≤ K

n+k+1∑p=n+2

ap, i ∈ 1, 2, j ∈ 1, 2, 3, 4,

com K = 4 max(2, sup |yn|, sup |zn|).

48

Demonstração. Pela Proposição 3.9, sup|yn|, |zn| <∞. Seja c = max2, sup |yn|, sup |zn|.Pelo Lema 2.12 temos que |Sa(y)| ≤ |y|a+1, a > 0, y ∈ R. Mostremos por indução sobre k.De fato, para k = 1:

D(n, 1) = Bn+1,

|D(n, 1)2j| ≤∣∣San+2−2

∣∣+∣∣San+2−1

∣∣ ≤ can+2−1 + can+2 ≤ Kan+2 ,

|D(n, 1)4j| ≤∣∣ynSan+2−3

∣∣+∣∣zn+1San+2−2

∣∣+ |yn+2|+∣∣San+2−3

∣∣+∣∣San+2−2

∣∣≤ Kan+2

((can+2−1 + can+2 + c+ can+2−2 + can+2−1)

1

Kan+2

)≤ Kan+2

(can+2

Kan+2

)(1

c+ 1 +

1

can+2−1+

1

c2+

1

c

)≤ Kan+2 ,

pois K ≥ 4c e c ≥ 2. Assumimos o lema para l ∈ 1, ..., k. Usando o Corolário 4.9obtemos que

|D(n, k + 1)2j| ≤ can+k+2−1 |D(n, k − 1)2j|+ can+k+2 |D(n, k)4j|

≤ K

n+k+1∑l=n+2

al(can+k+2−1

Kan+k+1+ can+k+2

)≤ K

n+k+1∑l=n+2

alKan+k+2 .

Analogamente obtemos para |D(n, k + 1)4j|.

Obteremos a existência de uma constante J que limita as normas Mn e Zn.

Corolário 4.12. Se E ∈ σ(H), então

‖Mn‖ ≤ J

n∑i=1

ai, (4.11)

‖Zn‖ ≤ J

n∑i=1

ai, (4.12)

com J = max(K, 4||M1||, 4||M0||, 4||Z1||, 4).

Demonstração. De I

Mn+1

Mn

Zn+1

= D(0, n)

I

M1

M0

Z1

,

49

obtemos

‖Mn+1‖ = D(0, n)21I +D(0, n)22M1 +D(0, n)23M0 +D(0, n)24Z1

≤4∑j=1

|D(0, n)2j|max (‖M1‖ , ‖M0‖ , I, ‖Z1‖)

≤ 4K

n+1∑i=2

aimax (‖M1‖ , ‖M0‖ , I, ‖Z1‖)

≤ J

n+1∑i=2

aiJ = J

n+1∑i=2

ai+1≤ J

n+1∑i=1

ai,

com J = max(K, 4||M1||, 4||M0||, 4||Z1||). Segue analogamente (4.12).

Agora limitaremos as normas dos produtos de matrizes MnMn+k e MnZn+k.

Corolário 4.13. Se E ∈ σ(H), então para n ≥ 0 e k ≥ 1 tem-se

‖MnMn+k‖ ≤ L

n+1∑i=1

aiK

n+k∑i=n+2

ai,

‖MnZn+k‖ ≤ L

n+1∑i=1

aiK

n+k∑i=n+2

ai,

com L = J(4 + 2c).

Demonstração. Temos que

MnMn+k = Mn[D(n, k − 1)21I +D(n, k − 1)22Mn+1 +D(n, k − 1)23Mn

+D(n, k − 1)24Zn+1]

= D(n, k − 1)21Mn +D(n, k − 1)22Zn+1 +D(n, k − 1)23(ynMn − 1)

+D(n, k − 1)24(ynZn+1 −Mn+1)

= −D(n, k − 1)231−D(n, k − 1)24Mn+1 + [D(n, k − 1)21

+ynD(n, k − 1)23]Mn + [D(n, k − 1)22 + ynD(n, k − 1)24]Zn+1. (4.13)

Segue que

‖MnMn+k‖ ≤ K

n+k∑i=n+2

ai

(1 + J

n+1∑i=1

ai+ (1 + c)J

n∑i=1

ai+ (1 + c)J

n+1∑i=1

ai

)

≤ K

n+k∑i=n+2

aiL

n+1∑i=1

ai

+

(J

L

)n+1∑i=1

ai(J−n+1∑i=1

ai+ 1 + (1 + c)Jan+1(1 + c)

)

≤ K

n+k∑i=n+2

aiL

n+1∑i=1

ai+

(J

L

)n+1∑i=1

ai

(4 + 2c)

≤ K

n+k∑i=n+2

aiL

n+1∑i=1

ai.

50

O mesmo argumento segue para estimar ||MnZn+k||.

Por indução obteremos uma limitação superior para o produto de matrizesMn1 · · ·Mnk .

Lema 4.14. Sejam E ∈ σ(H) e k ≥ 2. Para qualquer conjunto finito de inteiros cres-centes ni, tem-se

‖Mn1 · · ·Mnk‖ ≤ L

n1+1∑i=1

aiK

nk∑i=n1+2

ai

,∥∥Mn1 · · ·Mnk−1Znk∥∥ ≤ L

n1+1∑i=1

aiK

nk∑i=n1+2

ai

Demonstração. A demonstração será feita por indução, e a segunda desigualdade édemonstrada de modo análogo a primeira. Para k = 2, pelo Corolário 4.13 temos

‖Mn1Mn2‖ =∥∥Mn1Mn1+(n2−n1)

∥∥ ≤ L

n1+1∑i=1

aiK

n2∑i=n1+2

ai

,

‖Mn1Zn2‖ ≤ L

n1+1∑i=1

aiK

nk∑i=n1+2

ai

.

Assumimos que o lema vale para l ∈ 1, ..., k. Vamos estimar∥∥Mn1 · · ·MnkMnk+1

∥∥.Usando (4.13), MnkMnk+1

é linearizado em (I,Mnk ,Mnk+1, Znk+1

) e obtemos

∥∥Mn1 · · ·Mnk+1

∥∥ ≤ D23

∥∥Mn1 · · ·Mnk−1

∥∥+D24

∥∥Mn1 · · ·Mnk−1Mnk+1

∥∥+ (D21 + ynkD23) ‖Mn1 · · ·Mnk‖

+ (D22 + ynkD24)∥∥Mn1 · · ·Mnk−1

Znk∥∥ ,

onde Dij = D(nk, nk+1 − nk − 1)ij;

∥∥Mn1 · · ·Mnk+1

∥∥ ≤ 4(1 + c)K

nk+1∑i=nk+2

ai

max∥∥Mn1 · · ·Mnk−1

∥∥ ,∥∥Mn1 · · ·Mnk−1Mnk+1

∥∥ , ‖Mn1 · · ·Mnk‖ ,∥∥Mn1 · · ·Mnk−1

Znk∥∥

≤ 4(1 + c)K

nk+1∑i=nk+2

ai

K

nk∑i=nk+2

ai

L

n1+1∑i=1

ai

≤ K

nk+1∑i=nk+2

ai

K

nk∑i=nk+2

ai

L

n1+1∑i=1

ai.

Por indução obteremos uma limitação superior para a norma do produto de matrizesM ε0

0 · · ·MεNN .

Lema 4.15. Sejam E ∈ σ(H) e N ≥ 2. Para qualquer conjunto finito de inteiros εi,tem-se

‖M ε00 · · ·M

εNN ‖ ≤ K

N∑i=0

εiL

N+1∑i=1

ai.

51

Demonstração. ReescrevaM ε00 · · ·M

εNN = M

εn1n1 · · ·M

εnknk , onde todos os εni são diferentes

de zero. Faremos a demonstração por indução em k. De fato, para k = 1:

‖Mn1‖ ≤ L

n1+1∑i=1

ai,∥∥M ε1

n1

∥∥ ≤ cεn1 ‖Mn1‖+ cεn1−1

≤ cε1L

n1+1∑i=1

ai+ cεn1−1

≤ Kεn1L

n1+1∑i=1

ai.

Assumimos o lema para l ∈ 1, · · · , n e mostremos recursivamente em p que

∥∥M εn1n1 · · ·M

εnpnp Mnp+1 · · ·Mnk+1

∥∥ ≤ K

p∑j=1

εnjL

nk+1+1∑i=1

ai. (4.14)

Note que∑p

j=1 εnj =∑np

j=1 εj. Para p = 1,

∥∥M ε1n1Mn2 · · ·Mnk+1

∥∥ ≤ cεn1∥∥Mn1 · · ·Mnk+1

∥∥+ cεn1−1∥∥Mn2 · · ·Mnk+1

∥∥≤ cεn1L

n1+1∑i=1

aiK

nk+1∑i=n1+2

ai

+ cεn1−1L

n2+2∑i=1

aiK

nk+1∑i=n2+2

ai

≤ Kεn1L

nk+1∑i=1

aiK

nk+1∑i=n1+2

ai

.

Assumindo (4.14), mostremos agora para p = k + 1:∥∥∥M ε1n1· · ·M εnp

np Mεnp+1np+1 Mnp+2 · · ·Mnk+1

∥∥∥ ≤ cεnp+1

∥∥M εn1n1 · · ·M

εnpnp Mnp+1 · · ·Mnk+1

∥∥+ cεnp+1−1

∥∥M εn1n1 · · ·M

εnpnp Mnp+1 · · ·Mnk+1

∥∥≤ cεnp+1K

p∑j=1

εnjL

nk+1+1∑i=1

ai

+ cεnp+1−1K

p∑i=1

εnjL

nk+1+1∑i=1

ai

≤ Kεnp+1K

p∑i=1

εnjL

nk+1+1∑i=1

ai.

Considerando m =∑N

i=0 εiqi onde εi são inteiros, mostraremos que M(m) pode serescrito como um produto de matrizesM ε0

0 · · ·MεNN e então, usando o Lema 4.15, obteremos

uma limitação superior para tal produto.

Teorema 4.16. Para qualquer inteiro m decomposto como m =∑N

i=0 εiqi tem-se

1. M(m) = M ε00 · · ·M

εNN ;

2. ||M(m)|| ≤ K∑Ni=0 εiL

∑N+1i=1 ai.

52

Demonstração. Segue do Lema 2.4 ii) que v(k + qn) = v(k), se 1 ≤ k ≤ qn+1 − 1. Daí,

M(m) = M

(N∑i=0

εiqi

)

= T

(N−1∑i=0

εiqi + εNqN

)· · ·T (εNqN + 1)T (εNqN) · · ·T (1)

= T

(N−1∑i=0

εiqi

)· · ·T (1) [T (εNqN) · · ·T (1)] ,

T (εNqN) · · ·T (1) = T ((εN − 1)qN + qN) · · ·T ((εN − 1)qN + 1) · · ·T (1)

= T ((εN − 1)qN) · · ·T (1) · · ·T ((εN − 1)qN) · · ·T (1) = M εNN .

Assim, M(m) = M ε00 · · ·M

εNN .

O item 2 segue diretamente do Lema 4.15.

Apresentamos agora um lema que será de fundamental importância para demonstrar-mos a limitação superior da norma das matrizes de transferência M(m) e, consequente-mente, a limitação das soluções da equação (2.8).

Lema 4.17. Seja N definido por qN ≤ m < qN+1. Então temos a expansão (necessaria-mente única)

m =N∑i=0

εiqi

onde

εN =

[m

qN

]( 6= 0), εi =

[(m−

N∑j=i+1

εjqj

)/qi

]∈ 1, · · · , ai+1, 1 ≤ i ≤ N − 1.

Demonstração. Faremos a demonstração por indução em N . Se q0 = 1 ≤ m < q1 = a1

então m = ε0q0 = ε0 onde 1 ≤ ε0 < a1. Assumimos que o lema vale para m < qN+1. SeqN+1 ≤ m < qN+2 e εN+1 =

[m

qN+1

], então

m− εN+1qN+1 < qN+1 e (m− εN+1qN+1) =N∑i=0

εiqi.

Além disso,

εN+1 =

[m

qN+1

]≤[qN+2

qN+1

]=

[aN+2 +

qN−2

qN+1

]= aN+2.

Considerando o número de rotação θ de densidade limitada, estimaremos a norma damatriz M(m) utilizando o Teorema 4.16 e o Lema 4.17.

Corolário 4.18. Se θ é um número de densidade limitada, então

||M(m)|| ≤ Cmγ

53

onde γ = 4d(θ) logL/ log 2 e C = L4d(θ).

Demonstração. Pelo Teorema 4.16 tem-se ||M(m)|| ≤ K∑Ni=0 εiL

∑N+1i=1 ai . Sabemos que

m ≥ qN ≥(√

2)N−1

(veja [28]), então 2 logmlog 2

+ 1 ≥ N . Pelo Lema 4.17 temos que

N∑i=0

εi ≤N∑i=0

ai

e

‖M(m)‖ ≤(L2)( 2 logm

log 2+2)

[ 1N+1 ]

N+1∑i=1

ai

≤ L4d(θ) logm

log 2+4d(θ) = Cmγ,

onde γ = 4d(θ) logL/ log 2 e C = L4d(θ).

Agora estamos preparados para demonstrar que toda solução da equação (2.8), comcondição inicial normalizada, tem um limite superior polinomial em L.

Demonstração. (Proposição 4.7). Pela relação(u(m+ 1)

u(m)

)= M(m)

(u(1)

u(0)

),

implica que |u(m)| ≤ ||M(m)||max (|u(1)|, |u(0)|). Como ||M(m)|| ≤ Cmγ obtemos|u(m)| ≤ Wmγ, onde W = C max(|u(1)|, |u(0)|). Daí, temos que ||U(m)||2 = |u(m)|2 +

|u(m− 1)|2 ≤ 2W 2m2γ. Assim,

||U ||2L ≤ 2W 2L2γ+1 + 2W 222γL2γ ≤ 22γ+2W 2L2γ+1.

Portanto, existem γ2 = γ + 1/2 e C2 = 2γ+1W tais que

||u||L ≤ ||U ||L ≤ C2Lγ2 , ∀L ≥ 1.

Observe que demonstramos o resultado para as soluções da equação (2.8) correspon-dentes a β = 0. Devido a continuidade à direita em β do potencial, das matrizes detransferência e a continuidade da norma L, obtemos que para cada β ∈ [0, 1), toda solu-ção u de (2.8), com condição inicial normalizada, satisfaz

||u||L ≤ C2Lγ2 , ∀L ≥ 1.

Capítulo

5Espectro α-Contínuo para Hλ,θ,β

Neste capítulo estabeleceremos a continuidade do espectro de operadores H do tipo(2.12), através de cotas inferiores e superiores da forma C1(E)Lγ1 ≤ ||u||L ≤ C2(E)Lγ2 ,para todas as soluções u de (2.13), com condições iniciais normalizadas, e com L ≥ 1 sufi-cientemente grande. Utilizando essas cotas obtidas no Capítulo 4, para os potenciais Stur-mianos com números de rotação de densidade limitada, demonstraremos o Teorema 1.2.Para mais detalhes veja referências [11, 26, 27].

5.1 Desigualdade de Jitomirskaya-Last

Nesta seção consideraremos o operador H+ (H restrito a `2(Z+)) definido por (2.12),a correspondente equação de autovalores (2.13) e as soluções u+

1,ϕ,E e u+2,ϕ,E, definidas

em Z+, satisfazendo as condições iniciais (2.14). Apresentaremos uma relação, devido àJitomirskaya-Last, envolvendo as m-funções à direita e as soluções u+

1,ϕ,E, u+2,ϕ,E de (2.13).

Essa teoria pode ser desenvolvida de modo analogo em Z−.Para z = E+iε (ε > 0), sejam u+

ϕ,z as soluções à direita da equação (2.31) que estão em`2(Z+) e m+

ϕ (z) as correspondentes m-funções à direita, de acordo com a Definição 2.16.Assim, vale a seguinte relação:

Lema 5.1. Im(m+ϕ (z)) = ε

∞∑n=1

|u+ϕ,z(n)|2.

Demonstração. Como u+ϕ,z é solução de (2.31) temos

u+ϕ,z(n+ 1) + u+

ϕ,z(n− 1) + V (n)u+ϕ,z(n) = zu+

ϕ,z(n).

Multiplicando ambos os lados da igualdade por u+ϕ,z(n) obtemos

u+ϕ,z(n)u+

ϕ,z(n+ 1) + u+ϕ,z(n)u+

ϕ,z(n− 1) + |u+ϕ,z(n)|2V (n) = z|u+

ϕ,z(n)|2.

54

55

Tomando as partes imaginárias de ambos os lados e lembrando que V (n) ∈ R segue que

Im(u+ϕ,z(n)u+

ϕ,z(n+ 1) + u+ϕ,z(n)u+

ϕ,z(n− 1))

= ε|u+ϕ,z(n)|2.

Somando ambos os lados de 1 a ∞ vem que

∞∑n=1

Im(u+ϕ,z(1)u+

ϕ,z(0) + u+ϕ,z(n)u+

ϕ,z(n+ 1) + u+ϕ,z(n+ 1)u+

ϕ,z(n))

= ε

∞∑n=1

|u+ϕ,z(n)|2.

Daí,

∞∑n=1

Im(u+ϕ,z(1)u+

ϕ,z(0) + u+ϕ,z(n)u+

ϕ,z(n+ 1) + u+ϕ,z(n)u+

ϕ,z(n+ 1))

= ε

∞∑n=1

|u+ϕ,z(n)|2

o que implica

Im(u+ϕ,z(1)u+

ϕ,z(0))

= ε

∞∑n=1

|u+ϕ,z(n)|2.

Pela Definição 2.16 e por (2.14) obtemos

Im((senϕ−m+

ϕ cosϕ)(cosϕ+m+ϕsenϕ)

)= ε

∞∑n=1

|u+ϕ,z(n)|2

do qual segue que

Im(cos2ϕ

(−m+

ϕ (z))

+ sen2ϕ m+ϕ (z)

)= ε

∞∑n=1

|u+ϕ,z(n)|2

e assim,

Im(m+ϕ (z)

)= ε

∞∑n=1

|u+ϕ,z(n)|2.

O próximo resultado relaciona as soluções das equações (2.13) e (2.31), e chamaremosesta relação de fórmula de variação dos parâmetros para o caso discreto.

Lema 5.2. Para qualquer n ∈ Z+, u+ϕ,z satisfaz a equação

u+ϕ,z(n) = u+

2,ϕ,E(n)−m+ϕ (z)u+

1,ϕ,E(n)− iεu+2,ϕ,E(n)

n∑k=1

u+1,ϕ,E(k)u+

ϕ,z(k)

+ iεu+1,ϕ,E(n)

n∑k=1

u+2,ϕ,E(k)u+

ϕ,z(k) (5.1)

com u+1,ϕ,E e u+

2,ϕ,E soluções de H+u = Eu satisfazendo (2.14).

Demonstração. Seja w+ϕ (n) o lado direito de (5.1) para n ∈ Z+ e seja w+

ϕ (0) = cosϕ +

m+ϕ (z)senϕ. Usando o fato que u+

1,ϕ,E, u+2,ϕ,E são soluções de (2.13) e a constância do

56

Wronskiano (W [u+1,ϕ,E, u

+2,ϕ,E](n) = 1, ∀n ∈ Z+), verifica-se que w+

ϕ (n)∞n=0 satisfaz

w+ϕ (n+ 1) = −w+

ϕ (n− 1) + (E − V (n))w+ϕ (n) + iεu+

ϕ,z(n) (5.2)

para qualquer n ∈ Z+. Agora, u+ϕ,z é solução de (2.31), logo

u+ϕ,z(n+ 1) = −u+

ϕ,z(n− 1) + (E + iε− V (n))u+ϕ,z(n) (5.3)

para qualquer n ∈ Z+. Observe que, pela Definição 2.16 e por (2.14),

w+ϕ (0) = cosϕ+m+

ϕ (z)senϕ = u+ϕ,z(0),

w+ϕ (1) = senϕ−m+

ϕ (z)cosϕ = u+ϕ,z(1).

Suponhamos, por indução, que w+ϕ (k) = u+

ϕ,z(k), ∀k ≤ n. De (5.2) e (5.3) obtemos quew+ϕ (n+ 1) = u+

ϕ,z(n+ 1). Portanto, w+ϕ (n) = u+

ϕ,z(n), ∀n ≥ 0.

A desigualdade a seguir relaciona as m-funções à direita m+ϕ (z) com as soluções u+

1,ϕ,E

e u+2,ϕ,E (linearmente independentes) de H+u = Eu.

Teorema 5.3. (desigualdade Jitomirkaya-Last) Seja H+ definido por (2.12), e sejamE ∈ R, ε > 0 dados. Então, vale a desigualdade

5−√

24∣∣m+ϕ (E + iε)

∣∣ < ||u+1,ϕ,E||L+

ϕ (ε)

||u+2,ϕ,E||L+

ϕ (ε)

<5 +√

24∣∣m+ϕ (E + iε)

∣∣ . (5.4)

Demonstração. De (5.1) segue que

|u+ϕ,z(n)| ≥ |u+

2,ϕ,E(n)−m+ϕ (z)u+

1,ϕ,E(n)| − ε(|u+2,ϕ,E(n)|

n∑k=1

|u+1,ϕ,E(k)||u+

ϕ,z(k)|

+ |u+1,ϕ,E(n)|

n∑k=1

|u+2,ϕ,E(k)||u+

ϕ,z(k)|)

≥ |u+2,ϕ,E(n)−m+

ϕ (z)u+1,ϕ,E(n)| − ε(|u+

2,ϕ,E(n)|||u+1,ϕ,E||n||u

+ϕ,z||n

+ |u+1,ϕ,E(n)|||u+

2,ϕ,E||n||u+ϕ,z||n)

≥ |u+2,ϕ,E(n)−m+

ϕ (z)u+1,ϕ,E(n)| − ε(|u+

2,ϕ,E(n)|||u+1,ϕ,E||L+

ϕ||u+

ϕ,z||L+ϕ

+ |u+1,ϕ,E(n)|||u+

2,ϕ,E||L+ϕ||u+

ϕ,z||L+ϕ

)

para 1 ≤ n ≤ L+ϕ . Usando a norma || · ||L resulta

||u+ϕ,z||L+

ϕ≥ ||u+

2,ϕ,E −m+ϕ (z)u+

1,ϕ,E||L+ϕ− 2ε||u+

2,ϕ,E||L+ϕ||u+

1,ϕ,E||L+ϕ||u+

ϕ,z||L+ϕ

para qualquer L+ϕ > 1.

57

Considerando L+ϕ = L+

ϕ (ε), o que implica 2ε||u+2,ϕ,E||L+

ϕ||u+

1,ϕ,E||L+ϕ

= 1 (por (2.17)),obtemos

2||u+ϕ,z||L+

ϕ (ε) ≥ ||u+2,ϕ,E −m

+ϕ (z)u+

1,ϕ,E||L+ϕ (ε). (5.5)

Pelo Lema 5.1 e por (5.5) temos

4Im(m+ϕ (z))

ε= 4

∞∑n=1

|u+ϕ,z(n)|2

> 4||u+ϕ,z||2L+

ϕ (ε)

≥ ||u+2,ϕ,E −m

+ϕ (z)u+

1,ϕ,E||2L+ϕ (ε)

≥ ||u+2,ϕ,E||L+

ϕ (ε) + |m+ϕ (z)|2||u+

1,ϕ,E||2L+ϕ (ε)

−2|m+ϕ (z)|||u+

2,ϕ,E||L+ϕ (ε)||u

+1,ϕ,E||L+

ϕ (ε). (5.6)

Temos por (2.17) que 2ε||u+2,ϕ,E||L+

ϕ||u+

1,ϕ,E||L+ϕ

= 1, e multiplicando ambos os lados de(5.6) por 2ε, vem que

8Im(m+ϕ (z)) >

||u+2,ϕ,E||L+

ϕ (ε)

||u+1,ϕ,E||L+

ϕ (ε)

+ |m+ϕ (z)|2

||u+1,ϕ,E||L+

ϕ (ε)

||u+2,ϕ,E||L+

ϕ (ε)

− 2|m+ϕ (z)|,

o que implica

|m+ϕ (z)|2

||u+1,ϕ,E||L+

ϕ (ε)

||u+2,ϕ,E||L+

ϕ (ε)

+||u+

2,ϕ,E||L+ϕ (ε)

||u+1,ϕ,E||L+

ϕ (ε)

− 10|m+ϕ (z)| < 0. (5.7)

Resolvendo (5.7) como uma inequação quadrática na variável |m+ϕ (z)| obtemos

(5−√

24)||u+

2,ϕ,E||L+ϕ (ε)

||u+1,ϕ,E||L+

ϕ (ε)

< |m+ϕ (z)| < (5 +

√24)||u+

2,ϕ,E||L+ϕ (ε)

||u+1,ϕ,E||L+

ϕ (ε)

e, portanto,5−√

24

|m+ϕ (z)|

<||u+

1,ϕ,E||L+ϕ (ε)

||u+2,ϕ,E||L+

ϕ (ε)

<5 +√

24

|m+ϕ (z)|

.

5.2 α-Continuidade para os modelos Sturmianos

Nesta seção caracterizaremos o espectro α-contínuo do operador H do tipo (2.12)através de cotas superiores e inferiores da forma C1(E)Lγ1 ≤ ||u||L ≤ C2(E)Lγ2 , paratodas as soluções u com condições iniciais normalizadas (no sentido que |u(0)|2 + |u(1)|2 =

1) de (2.13), e com L ≥ 1 suficientemente grande, tomando α = 2γ1γ1+γ2

. Aplicaremos talresultado para os modelos Sturmianos, utilizando as limitações superiores e inferiores dassoluções de (2.8) obtidas no Capítulo 4.

Primeiramente mostraremos o seguinte resultado:

58

Teorema 5.4. Sejam σ(H) o espectro de H e µφ a medida espectral para o par (H,φ),com φ ∈ `2(Z). Suponha que existem constantes γ1, γ2 tais que, para cada E ∈ σ(H), todasolução u de (2.13), com condição inicial normalizada, satisfaz a estimativa

C1(E)Lγ1 ≤ ||u||L ≤ C2(E)Lγ2 (5.8)

para L ≥ 1 suficientemente grande e constantes C1(E), C2(E) > 0. Seja α = 2γ1γ1+γ2

. En-tão H tem espectro puramente α-contínuo, isto é, para qualquer φ ∈ `2, µφ é puramenteα-contínua. Além disso, se as constantes C1(E), C2(E) podem ser escolhidas independen-temente de E ∈ σ(H), então para qualquer φ ∈ `2 de suporte finito, µφ é uniformementeα-Hölder.

Para demonstrarmos o Teorema 5.4 seguiremos o seguinte caminho: com a estima-tiva (5.8) e por intermédio da desigualdade de Jitomirskaya-Last obteremos a estimativa|m+

ϕ (E+iε)| ≤ C3εα−1, ∀ϕ (veja Lema 5.5), em que m+

ϕ são as m-funções à direita, E ∈ Re C3 é uma constante positiva. Em seguida, relacionaremos m+

ϕ com a m-função m nareta toda, obtendo a estimativa |m(E + iε)| ≤ C3ε

α−1 (veja Teorema 5.6). Ainda mais,supondo que C1, C2 independem de E em (5.8), teremos pelo Lema 5.5 que C3 independede E e usando o fato que m é a transformada de Borel da medida espectral µ, demons-traremos que µ é UαH (veja Teorema 5.6). Por último, relacionaremos as medidas µ eµφ para qualquer φ ∈ `2(Z).

Vamos começar relacionando a estimativa (5.8) com as m-funções m+ϕ à direita.

Lema 5.5. Fixe E ∈ R. Suponha que toda solução de (2.13) com |u(0)|2 + |u(1)|2 = 1

satisfaz a estimativaC1L

γ1 ≤ ||u||L ≤ C2Lγ2

para L ≥ 1 suf. grande e C1, C2 > 0. Então

supϕ|m+

ϕ (E + iε)| ≤ C3εα−1 (5.9)

com α = 2γ1γ1+γ2

e 0 < C3 <∞.

Demonstração. Considerando as soluções u+1,ϕ,E e u+

2,ϕ,E de (H−E)u = 0 com condiçõesiniciais (2.14) e usando a hipótese temos

||u+1,ϕ,E||L

(||u+2,ϕ,E||L)

α2−α≥ C1L

γ1

(C2Lγ2)α

2−α=

C1

Cα

2−α2

Lγ1−γ2( α2−α ) =

C1

Cα

2−α2

> 0

∀ϕ ∈ (−π/2, π/2] e L ≥ 1 suficientemente grande.Pela desigualdade Jitomirskaya-Last temos que

5−√

24

21−αε1−α|m+ϕ (z)|

<

||u+1,ϕ,E||L

||u+2,ϕ,E||

α2−αL

2−α

<5 +√

24

21−αε1−α|m+ϕ (z)|

,

59

o que implicalim supε→0

ε1−α|m+ϕ (E + iε)| <∞, ∀ϕ ∈ (−π/2, π/2].

Assim, existe 0 < C3 <∞ com |m+ϕ (E + iε)| ≤ C3ε

α−1, ∀ϕ ∈ (−π/2, π/2]. Portanto,

supϕ|m+

ϕ (E + iε)| < C3εα−1

para algum 0 < C3 <∞.

Como o par de vetores e0, e1 é cíclico para H, consideramos a medida espectralµ = µe0 + µe1 . O próximo resultado relaciona as m-funções m+

ϕ à direita com a m-funçãom na reta toda.

Teorema 5.6. Suponha que a estimativa (5.8) valha para todo E ∈ σ(H) com C1, C2

independentes de E. Então, para qualquer função g : C+ → C+, C+ = x + iy, y > 0,tem-se ∣∣∣∣m+(E + iε)g(E + iε)− 1

m+(E + iε) + g(E + iε)

∣∣∣∣ ≤ C3εα−1 (5.10)

para todo ε > 0. Em particular, tomando g = m− obtém-se

|m(E + iε)| =∣∣∣∣m+(E + iε)m−(E + iε)− 1

m+(E + iε) +m−(E + iε)

∣∣∣∣ ≤ C3εα−1. (5.11)

Consequentemente, µ é uniformemente α-Hölder e, em particular, µ é α-contínua.

Demonstração. Fixe E ∈ σ(H) e ε > 0. Introduzindo novas variáveis z = e2iϕ eν = m+−i

m++i, temos

1 + νz

1− νz=

1 +(m+−im++i

)e2iϕ

1−(m+−1m++i

)e2iϕ

=eiϕ(e−iϕ + (m

+−im++i

)eiϕ)

eiϕ(e−iϕ −

(m+−im++i

)eiϕ)

=(cosϕ− isenϕ)(m+ + i) + (m+ − i)(cosϕ+ isenϕ)

(cosϕ− isenϕ)(m+ + i)− (m+ − i)(cosϕ+ isenϕ)

=senϕ+ cosϕ m+

i(cosϕ− senϕ m+)

= −im+ϕ .

Assim, podemos reescrever (5.9) como

sup|z|=1

∣∣∣∣1 + νz

1− νz

∣∣∣∣ ≤ C3εα−1.

Note que Im(m+) > 0 implica |ν| < 1 e, portanto, (1+νz)/(1−νz) define uma funçãoanalítica sobre z : |z| ≤ 1. O ponto z1 = g−i

g+iestá no interior do disco unitário (|z1| < 1)

pois Im(g) > 0.

60

Pelo princípio do módulo máximo temos

sup|z|≤1

∣∣∣∣1 + νz

1− νz

∣∣∣∣ = sup|z|=1

∣∣∣∣1 + νz

1− νz

∣∣∣∣ ≤ C3εα−1.

Usando esta desigualdade para o ponto z1 obtemos∣∣∣∣m+g − 1

m+ + g

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣1 + νz1

1− νz1

∣∣∣∣ ≤ C3εα−1,

e, portanto, a estimativa (5.10) está demonstrada. Em particular, tomando g = m− eusando (2.37) obtém-se (5.11). Além disso, como

m(E + iε) =

∫dµ(t)

t− (E + iε)

temos de (5.11)

µ((E − ε, E + ε)) =

∫ E+ε

E−ε

(t− E)2 + ε2

(t− E)2 + ε2dµ(t)

≤ 2ε

∫ E+ε

E−ε

ε

(t− E)2 + ε2dµ(t)

= 2εIm(m(E + iε))

≤ 2ε|m(E + iε)|

≤ 21−αC3(2ε)α

para todos E ∈ σ(H), ε > 0. Portanto, µ é UαH. Em particular

lim supε→0

µ(E − ε, E + ε)

(2ε)α<∞,

donde µ é α-contínua.

Agora estamos preparados para relacionar a estimativa (5.8) com o espectro α-contínuode H.Demonstração. (Teorema 5.4). Dado φ ∈ `2(Z) com suporte finito (i.e., φ é suportadaem −N, ..., N,N + 1) existem polinômios P0 e P1, ambos de grau ≤ N , em que φ =

P0(H)e0 + P1(H)e1 (veja [5]). Assim,

µφ = P0(E)µe0 + P1(E)µe1 ≤ f(E)µ, ∀E ∈ σ(H), (5.12)

com f(E) = maxP0(E), P1(E) e µ = µe0 + µe1 . Como σ(H) é compacto e f é con-tínua, segue que f é limitada em σ(H). Se C1, C2 são independentes de E, então peloTeorema 5.6, µ é UαH. Logo, existe 0 < k1 <∞ de forma que

µ((E − ε, E + ε)) ≤ k1(2ε)α,

61

para todo E ∈ σ(H). De (5.12) obtemos

µφ((E − ε, E + ε)) ≤ f(E)µ((E − ε, E + ε)) ≤ k1k2(2ε)α

para todo E ∈ σ(H) e algum 0 < k2 <∞. Portanto, µφ é UαH.Se C1, C2 dependem de E, então C3 também depende de E e neste caso, µ não é UαH.

Porém, concluímos que µ é α-contínua. Como µφ µ, segue que µφ é α-contínua.

Observação: O Teorema 5.4 é estabelecido na "metade da reta à direita" e, claramente,há uma versão análoga na "metade da reta à esquerda".

Agora aplicamos o Teorema 5.4 para os modelos Sturmianos, ou seja, apresentamos a

Demonstração. (Teorema 1.2). Por hipótese, θ é um número de densidade limitada,então para todo λ 6= 0, existem γ1, γ2 > 0, C1, C2 <∞, tais que para cada E ∈ σ(Hλ,θ,β) equalquer β ∈ [0, 1), toda solução u de (Hλ,θ,β−E)u = 0, com condição inicial normalizada,satisfaz (veja Proposições 4.1 e 4.7)

C1Lγ1 ≤ ||u||L ≤ C2L

γ2

com L ≥ 1 suficientemente grande e C1, C2 > 0 independentes de E. Seja α = 2γ1γ1+γ2

.Assim, pelo Teorema 5.4, para todo β ∈ [0, 1) e todo φ ∈ `2(Z) de suporte finito, amedida espectral para o par (Hλ,θ,β, φ) é uniformemente α-Hölder. Em particular, Hλ,θ,β

tem espectro puramente α-contínuo.

Capítulo

6Considerações Finais

Nesta dissertação estudamos o tipo espectral da família Hλ,θ,β de operadores de Schrö-dinger discretos, unidimensionais, com potenciais Sturmianos, e concluímos que possuemespectro puramente singular contínuo, suportado sobre um conjunto de medida de Lebes-gue zero, para todos os parâmetros λ, θ, β, sendo θ ∈ (0, 1) irracional.

Tendo em vista os resultados obtidos sobre a classificação espectral com relação amedida de Lebesgue, estudamos também a α-continuidade (α ∈ (0, 1)) do espectro decada operador de Schrödinger Hλ,θ,β, com θ de densidade limitada. Utilizando a teoriadesenvolvida por Jitomirskaya-Last e a decomposição de Rogers-Taylor (decomposição dasmedidas Borelianas em relação a medida de Hausdorff) investigamos o tipo espectral dessesoperadores em termos de estimativas sobre o comportamento de soluções das respectivasequações de autovalores. Com essas estimativas é possível caracterizar o espectro α-contínuo de cada operadorHλ,θ,β. Uma questão importante que também pode ser estudadaé estimar a dimensão de Hausdorff dimH σ(Hλ,θ,β) do espectro, que é uma questão muitoimportante, pois esta fornece informações bastante valiosas sobre a dinâmica do sistemaquântico associado.

Como trabalho futuro pode-se investigar a aplicação dos resultados estudados parauma nova classe de potenciais quase-periódicos. Considera-se uma "Thue-Morserização"de (2.6), ou seja,

s0 = 0, s1 = 1, ..., sn+1 = sann sn, n ≥ 1 (6.1)

(a barra em sn significa trocar 0 por 1 e 1 por 0 na palavra). Agora, se θ = (√

5− 1)/2,de (6.1) obtém-se o modelo Thue-Morse. A questão que surge é a possibilidade de seobter uma classificação espectral completa para os operadores de Schrödinger (1.2) compotenciais gerados por esta nova classe de sequências quase-periódicas (6.1).

62

Referências Bibliográficas

[1] BELLISSARD, J., IOCHUM, B., SCOPPOLA, E. and TESTARD, D.: SpectralProperties of One-Dimensional Quasicrystals, Commun. Math. Phys. 125, 527-543(1989).

[2] BERSTEL, J.: Recent Results in Sturmian Words, in Developments in LanguageTheory (J. Dassow and A. Salomaa, eds.), World Scientific, Singapore, 13-24 (1996).

[3] BOUGEROL, Ph. and LACROIX, J.: Products of Random Matrices with Applica-tions to Schrödinger operators (Boston, Stuttgart: Birkhäuser, 1985).

[4] BOVIER, A. and GHEZ, J.-M.: Spectral Properties of One-Dimensional SchrödingerOperators with Potentials Generated by Substitutions, Commun. Math. Phys. 158,45-66 (1993).

[5] CARMONA, R. and LACROIX, J.: Spectral Theory of Random Schrödinger Ope-rators (Boston: Birkhäuser, 1990).

[6] CYCON, H. L., FROESE, R., KIRSCH, W. and SIMON, B.: Schrödinger Operators,with Application to Quantum Mechanics and Global Geometry (Berlin: Springer,1987).

[7] DAMANIK, D.: Substitution Hamiltonians with Bounded Trace Map Orbits, J.Math. Anal. Appl. 249, 393-411 (2000).

[8] DAMANIK, D.: α-Continuity Properties of One-Dimensional Quasicrystals, Com-mun. Math. Phys. 192, 169-182 (1998).

[9] DAMANIK, D.: Singular Continuous Spectrum for the Period Doubling Hamiltonianon a Set of Full Measure, Commun. Math. Phys. 196, 477-483 (1998).

[10] DAMANIK, D.: Gordon-Type Arguments in the Spectral Theory of One-DimensionalQuasicrystals, Directions in Mathematical Quasicrystals, CRM Monogr. Ser. 13,Amer. Math. Soc., Providence, RI, 277-305 (2000).

[11] DAMANIK, D., KILLIP, R. and LENZ, D.: Uniform Spectral Properties of One-Dimensional Quasicrystals, III. α-Continuity, Commun. Math. Phys., 212, 191-204(2000).

63

64

[12] DAMANIK, D. and LENZ, D.: Half-line Eigenfunction Estimates and Purely Sin-gular Continuous Spectrum of Zero Lebesgue Measure, Forum Math. 16, 109-128(2004).

[13] DAMANIK, D. and LENZ, D.: Uniform Spectral Properties of One-DimensionalQuasicrystals, I. Absence of Eigenvalues, Commun. Math. Phys. 207, 687-696 (1999).

[14] DAMANIK, D. and LENZ, D.: Uniform Spectral Properties of One-DimensionalQuasicrystals, II. The Lyapunov Exponent, Lett. Math. Phys. 50, 245-257 (1999).

[15] DAMANIK, D. and LENZ, D.: Uniform Spectral Properties of One-DimensionalQuasicrystals, IV. Quasi-Sturmian Potentials, J. Anal. Math. 90, 115-139 (2003).

[16] DE OLIVEIRA, C. R.: Introdução à Análise Funcional, Projeto Euclides (Rio deJaneiro: IMPA, 2010).

[17] DE OLIVEIRA, C. R.: Intermediate Spectral Theory and Quantum Dynamics, Pro-gress in Mathematical Physics, v. 54 (Basel: Birkhaüser, 2008).

[18] FALCONER, K.: The Geometry of Fractal Sets (Cambridge: Cambridge U. Press,1985).

[19] FURSTENBERG, H. and KESTEN H.: Products of Random Matrices, Ann. Math.Stat. 31, 457-469 (1960).

[20] HOF, A.: Some Remarks on Discrete Aperiodic Schrödinger Operators, J. Stat. Phys.72, 1353-1374 (1993).

[21] HOFFMAN, K. e KUNZE R.: Álgebra Linear (São Paulo: Editora da USP, 1971).

[22] IOCHUM, B., RAYMOND, L. and TESTARD, D.: Resistance of One-DimensionalQuasicrystals, Physica A 187, 353-368 (1992).

[23] IOCHUM, B. and TESTARD, D.: Power Law Growth for the Resistance in theFibonacci Model, J. Stat. Phys. 65, 715-723 (1991).

[24] JANOT, CH. and DUBOIS, J. M.: Editors: Quasicrystalline Materials. Grenoble21-25 march 1988 (Singapore: World Scientific, 1988).

[25] JITOMIRKAYA, S. and LAST, Y.: Dimensional Hausdorff Properties of SingularContinuous Spectra, Phys. Rev. Lett. 76, 1765-1769 (1996).

[26] JITOMIRSKAYA, S. and LAST, Y.: Power-Law Subordinacy and Singular Spectra,I. Half Line Operators, Acta Math. 183, 171-189 (1999).

[27] JITOMIRSKAYA, S. and LAST, Y.: Power-Law Subordinacy and Spectra Singular,II. Line Operators, Commun. Math. Phys. 211, 643-658 (2000).

65

[28] KHINCHIN, A.Ya.: Continued Fractions (Mineola: Dover Publications, 1997).

[29] KOTANI, S.: Jacobi Matrices with Random Potentials Taking Finitely Many Values,Rev. Math. Phys. 1, 129-133 (1989).

[30] KREYSZIG, E.: Introductory Funcional Analysis With Aplications (New York: JohnWiley and Sons, 1978).

[31] LANG, S.: Introduction to Diophantine Approximations (New York: Addison-Wesley, 1966).

[32] LAST, Y. and SIMON, B.: Eigenfunctions, Transfer Matrices, and Absolutely Con-tinuous Spectrum of One-Dimensional Schrödinger Operators, Invent. Math. 135,329-367 (1999).

[33] MARTINELLI, F. and SCOPPOLA, E.: Introduction to the Mathematical Theoryof Anderson Localization, Rivista del Nuovo Cimento 10 (1987).

[34] MORSE, M. and HEDLUND, G.A.: Symbolic dynamics. II: Sturmian trajectories,Am. J. Math. 62, 1-42 (1940).

[35] OSCELEDEC, V.: A Multiplicative Ergodic Theorem. Lyapunov CharacteristicNumbers for Dynamical Systems, Trans. Moscow Math. Soc. 19, 197-231 (1968).

[36] REED, M. and SIMON B.: Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. I: Func-tional Analysis (New York: Academic Press, 1972).

[37] ROGERS, C.A.: Hausdorff Measures (London: Cambridge Univ. Press, 1970).

[38] ROGERS, C.A. and TAYLOR, S.J.: The Analysis of Additive Set Functions inEuclidean Space, Acta Math. 101, 273-302 (1959).

[39] ROGERS, C.A. and TAYLOR, S.J.: Additive Set Functions in Euclidean Space, ActaMath. 109, 207-240 (1963).

[40] ROYDEN, H. L.: Real Analysis (New York: Macmillan, 1988).

[41] STEINHARDT, P.J. and OSTLUND, S.: The Physics of Quasicrystals (Singapore:World Scientific, 1987).

[42] SÜTO, A.: The Spectrum of a Quasiperiodic Schrödinger Operator, Commun. Math.Phys. 111, 409-415 (1987).

[43] SÜTO, A.: Singular Continuous Spectrum on a Cantor Set of Zero Lebesgue Measurefor the Fibonacci Hamiltonian, J. Stat. Phys. 56, 525-531 (1989).

[44] WALTERS, P.: An Introduction to Ergodic Theory, Graduate Texts in Mathemati-cas, v. 79 (New York: Springer, 1982).