Parte 1 Pgina 1

PARTE 1

Nesta parte permitido o uso da calculadora.

1. Na figura seguinte esto representados os quatro primeiros termos de uma sequncia de

crculos brancos e cinzentos que segue a lei de formao sugerida.

1. termo 2. termo 3. termo 4. termo

1.1. Quantos crculos tem, no total, o 19. termo da sequncia?

1.2. O ltimo termo da sequncia tem 1333 crculos pretos.

Quantos termos tem a sequncia?

Apresenta os clculos que efetuares.

2. Na figura ao lado est representado o cubo [ABCDEFGH].

A pirmide [ABFC] tem por base o tringulo [ABF] e altura [BC].

2.1. Justifica que o volume da parte do cubo no ocupada pela

pirmide representa menos de 85% do volume do cubo.

2.2. Qual a posio relativa da reta AF relativamente ao plano GCD?

3. Ao longo do ano letivo a Ins realizou oito testes. Nos primeiros sete testes obteve uma mdia

de 72%. No ltimo teste obteve 88%.

A mdia final dos oito testes :

(A) 80% (B) 74% (C) 76% (D) 78%

PROVA MODELO 1

Prova Modelo 1 (parte 1)

Parte 1 Pgina 2

4. Na figura seguinte est representada uma ampulheta constituda por dois cones iguais e com

o mesmo vrtice C. A ampulheta est colocada dentro de um cilindro.

As bases dos cones coincidem com as bases do cilindro.

Sabe-se ainda que:

o raio da base de cada cone tem 1,5 cm de comprimento;

o cilindro tem 6 cm de altura.

4.1. Designa o volume do cilindro por V e o volume da ampulheta por V1.

4.1.1. Mostra que o valor exato do volume V do cilindro 13,5 cm3.

4.1.2. Mostra que o valor exato de V1 4,5.

4.1.3. Escreve a razo entre o volume da ampulheta e o volume do cilindro.

Apresenta o resultado na forma de frao irredutvel.

4.2. Foram colocados 12 cm3 de areia na ampulheta.

Sabendo-se que a areia vai fluir a partir de um cone para outro com um caudal de

240 cm3/h, qual o tempo medido pela ampulheta?

Prova Modelo 1 (parte 1)

Parte 1 Pgina 3

5. Na figura ao lado, tem-se:

[ABCD] um trapzio issceles, onde AD BC ;

os pontos E e F pertencem a [AB];

[DEFC] um retngulo;

1

2AE DE e 2CD DE ;

A rea do tringulo [CEF] 20,8 cm2.

5.1. Justifica que os tringulos [AED] e [ECD] so semelhantes.

5.2. A rea do trapzio [ABCD] igual a:

(A) 52 cm2 (B) 52,8 cm2 (C) 51,8 cm2 (D) 50,8 cm2

6. A distncia entre Pluto e a Terra 4,58 109 quilmetros. As ondas de rdio movem-se

velocidade da luz, ou seja, 300 105 km/s. Determina quanto tempo demora a transmitir

sinais de rdio a partir de Pluto para a Terra.

Apresenta a tua resposta em minutos e segundos com aproximao s unidades.

7. Qual das opes seguintes no a representao parcial de um polgono regular?

(A) (B)

(C) (D)

Prova Modelo 1 (parte 2)

Parte 2 Pgina 4

PARTE 2

Nesta parte no permitido o uso da calculadora.

8. Na figura ao lado esto representadas duas caixas, A e B.

A caixa A tem trs bolas amarelas numeradas de 1 a 3 e a

caixa B tem quatro bolas azuis numeradas de 1 a 4.

Realiza-se uma experincia aleatria que consiste em retirar uma bola de cada caixa e

determinar a soma dos nmeros sados, considerando-se que qualquer uma das bolas de uma

mesma caixa tem a mesma probabilidade de ser selecionada.

8.1. Quantas somas diferentes possvel obter?

Sugesto: Constri uma tabela de dupla entrada que indique o resultado desta experincia em funo

dos nmeros inscritos nas bolas retiradas das caixas.

8.2. Qual a probabilidade de a soma dos nmeros sados ser um nmero primo?

8.3. Juntaram-se as bolas da caixa A s bolas da caixa B.

Quantas bolas amarelas necessrio juntar a estas de modo que, retirando ao acaso

uma bola da caixa, a probabilidade de sair bola azul seja de 40%?

Mostra como chegaste tua resposta.

9. Nas tabelas seguintes esto representados alguns objetos e respetivas imagens de quatro

funes. Qual das tabelas pode ser obtida de uma funo afim?

(A) (B) (C) (D)

x y

5 9

6 8

7 11

x y

2 3

4 4

8 5

x y

6 9

8 6

10 3

x y

3 1

4 2

5 1

Prova Modelo 1 (parte 2)

Parte 2 Pgina 5

10. No referencial cartesiano da figura ao lado esto representadas

duas retas que se intersetam no ponto de coordenadas (3, 4).

Para que a figura seja a representao grfica do sistema

2x y a

x y b

, os valores de a e b so:

(A) a = 1 e b = 11 (B) a = 7 e b = 1 (C) a = 11 e b = 1 (D) a = 11 e b = 1

11. Na figura ao lado esto representados, no referencial

cartesiano, as funes f e g e o ponto P, de abcissa 4, que

pertence aos grficos das duas funes.

Sabe-se que o ponto O a origem do referencial, a funo f

uma funo quadrtica definida por 2

2

xf x e g uma

funo de proporcionalidade inversa.

11.1. Qual das expresses seguintes pode ser a expresso algbrica que representa a funo g?

(A) 4

x (B)

8

x (C)

12

x (D)

32

x

11.2. Designemos por Q a imagem do ponto P pela rotao de centro O e amplitude 270 (o ponto

Q no est representado na figura).

Determina a rea do tringulo [OQP].

Prova Modelo 1 (parte 2)

Parte 2 Pgina 6

12. Na figura ao lado est representada uma circunferncia.

Os pontos A, B, C e D pertencem circunferncia e o ponto E o

ponto de interseo dos segmentos de reta [AC] e [BD].

Sabe-se ainda que 44CBE e 86CED .

12.1. Justifica que o ponto E no pode ser o centro da circunferncia.

12.2. Determina a amplitude do ngulo ADB.

12.3. As retas BC e AD so paralelas? Justifica a tua resposta.

13. Sendo n um nmero natural, mostra que 2

1 1 1n n n representa um nmero par

maior do que 2.

14. Considera a equao 2 6 5 0x x .

14.1. Mostra que a equao dada equivalente equao 2

3 4x .

14.2. Resolve a equao dada sem recurso frmula resolvente.

15. Na figura ao lado, [ABCD] um retngulo.

Os pontos E e F pertencem ao lado [AB] e o ponto G

pertence ao lado [AD].

AE EF FB x e AG GD y

Mostra que a rea do retngulo [ABCD] o qudruplo da rea do quadriltero [EFDG].

Prova Modelo 1 (parte 2)

Parte 2 Pgina 7

16. Um quadriltero que tem diagonais perpendiculares e que no se bissetam um:

(A) retngulo (B) quadrado (C) losango (D) papagaio

17. A figura seguinte representa uma ilha e os pontos H e M os locais onde esto situados um

hotel e um museu, respetivamente.

Pretende-se construir um centro comercial de modo a verificar as seguintes condies:

Ficar situado a mais de 4 km do hotel e a menos de 8 km do museu.

Ficar mais prximo do hotel do que do museu.

Desenha a lpis, na figura, uma construo geomtrica rigorosa que te permita obter a parte

do mapa correspondente zona onde, de acordo com as condies anteriores, possvel

construir o centro comercial. Sombreia essa zona.

18. Sejam x e y dois nmeros naturais diferentes de 1.

Sabendo que 3 ya x , qual das expresses equivalente a

6

3

1y

y

x

x

?

(A) a (B) 1

a (C) 3a (D)

3

1

a

Solues Pgina 9

SOLUES

PARTE 1

1.1. 362 crculos

1.2. 37 termos

2.1. Vpirmide = 1 1

2 3 Vcubo =

1

6Vcubo

Logo, o volume da parte no ocupada pela pirmide 5

6 Vcubo e

50,83 83% 85%

6 .

Outro processo:

3cuboV a

Vpirmide =

2

312

3 6

a a

a

3 3 31 5

6 6a a a ;

3

3

5

56

6

a

a

5

0,83 0,856 , pelo que se demonstra o pretendido.

2.2. A reta AF paralela ao plano GCD.

3. (B)

4.1.1. Volume do cilindro = rea da base altura

rea da base = raio2

Assim, V1 = 2 1,5 6 13,5 .

4.1.2. Volume do cone = 1

3 rea da base altura; rea da base = raio2

Assim, V1 = 212 1,5 3 4,5

3 .

4.1.3. 11

3

V

V

4.2. Trs minutos

Solues Pgina 10

5.1. Os tringulos so semelhantes pelo critrio de LAL de semelhana de tringulos

90 e 2CD DE

EAD EDCDE AE

.

5.2. (A)

6. 2 minutos e 33 segundos

7. (D)

8.1. Seis

8.2. 7

12

8.3. Trs bolas amarelas

9. (D)

10. (C)

11.1. (D)

11.2. 40 u. a.

12.1. Como 2CED CBD , ento o ngulo CED no um ngulo ao centro e, portanto, E no o

centro da circunferncia.

12.2. 42

12.3. Como AB CD 84 e 88AB CD , ento as retas BC e AD no so paralelas.

13. 2 2 2 2 21 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2n n n n n n n n n n

2 1+ 2 = 4

A expresso 2n + 2, com n , representa os nmeros pares maiores ou iguais a 4.

14.1. 22 26 5 0 6 9 9 5 0 3 4x x x x x

14.2. 1 , 5S

15. A[ABCD] = 3x 2y = 6xy

[ ] [ ] [ ]

2 2 4 3

2 2 2 2EFDG AFD AEG

x y x y xy xy xyA A A

Solues Pgina 11

Como [ ]

[ ]

6 6 26 4

3 3 3

2 2

ABCD

EFDG

A xy

xyA , ento a rea do retngulo [ABCD] o qudruplo da

rea do quadriltero [EFDG].

16. (D)

17.

18. (B)