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Matemática – PRFProfessor Marcelo Jardim

AULA 1:

RAZÃO-PROPORÇÃO-DIVISÃO PROPORCIONAL

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A razão entre dois números é o quociente do primeiro pelo segundo.Desta forma a razão entre os números a e b , nesta ordem, é oquociente

𝐚

𝐛,com b≠0.

01. A soma de dois números é 140 e a razão entre eles é3

4,determine-

os.

3

02. A diferença entre dois números é 69 e a razão entre eles é8

5,

determine-os.

03. Dois números estão entre si como 2 está para 3.Sabendo-se que odobro do menor,mais o triplo do maior é igual a 78,determine osnúmeros.

4

04. Na igualdade de razõesx

5=

y

7=

z

3, sabe-se que 2x- y + 3z = 36,

calcule x+y+z

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Duas grandezas são diretamente proporcionais ou simplesmenteproporcionais,quando multiplicando-se ou dividindo-se uma delas porum número,a outra ficará multiplicada ou dividida,respectivamente,poresse mesmo número.

EXEMPLO: velocidade de um veículo e a distância percorrida numintervalo de tempo fixado.

Tal propriedade faz com que a razão dos números correspondentes nasduas grandezas seja CONSTANTE ( coeficiente ou fator deproporcionalidade)

5

𝐱

𝐲=K ,onde:

x→valor da primeira grandeza

y→valor correspondente na segunda grandeza

K→coeficiente de proporcionalidade

Variação DIRETA é uma RETA

01. Dividir o número 100 em duas partes diretamente proporcionais a 2 e 3.

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02. Dividir o número 240 em três partes diretamente proporcionais a 1,4 e 7.

03.Dividir o número 36 em partes proporcionais a 14,21 e 28.

7

04. Determinar dois números x e y ,diretamente proporcionais a 8 e 3, sabendo-se que a diferença entre eles é 60.

05. Pedro e Paulo investiram R$12000,00 e R$15000,00,respectivamente,num negócio que proporcionou um lucro deR$7500,00.Quanto coube a cada um, se o lucro foi divididoproporcionalmente ao valor investido?

8

06. Um certo número de documentos foi distribuído entre três fiscais em partes proporcionais a 6,8 e 9,respectivamente.O primeiro fiscal recebeu 960 documentos.Qual o número de documentos distribuídos entre os três fiscais?

07. O lucro de uma empresa foi dividido entre seus 3 sócios, A,B e C,em partes proporcionais a 3,2 e 5, respectivamente.Sabendo que Arecebeu R$50000,00 a mais que B,determine quanto recebeu cadasócio.

9

08. Dois números x e y são proporcionais a 3 e 4,respectivamente.Sabendo que o triplo do primeiro,mais o dobro dosegundo é igual a 34,determine x e y.

09. Três números x,y e z são proporcionais a 2,3 e 4,respectivamente.Sabendo que 2x+3y-z=108, determine x,y e z.

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10. Dividir o número 116 em duas partes diretamente proporcionais a2 e 3 e ao mesmo tempo diretamente proporcionais a 4 e 7,respectivamente.

(CESPE) A quantia de R$ 61.600,00 deverá ser repartida entre os irmãosCarlos, Lúcia e Marcos e a parte que caberá a cada um deles deverá serdiretamente proporcional aos números 5, 4 e 2, respectivamente. Combase nessas informações, julgue os itens que se seguem.

11.O valor que caberá a Carlos é superior a R$ 30.000,00

12.O valor que Marcos deverá receber é superior a 1/5 do valor totalda quantia repartida.

13.Considere que, para uma nova quantia a ser dividida entre os trêsirmãos, Lúcia receba R$ 30.000,00 e seja mantida a mesma condição deproporcionalidade. Então a nova quantia a ser dividida é superior a R$80.000,00.

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(CESPE) Os acionistas A, B e C, possuem, respectivamente, 200, 500 e800 quotas de uma companhia e terão de dividir um prêmio deR$10.500,00 na proporção do número de quotas que cada um possui.Nesta situação, julgue os itens seguintes.

14.O acionista C receberá 4 vezes mais que o acionista A.

15.O acionista B receberá mais de2

3do total do prêmio.

16.O acionista B receberá menos de1

3do total do prêmio.

17.O acionista A receberá mais de R$1.500,00

18.Os acionistas A e B juntos receberão R$4.900,00

(CESPE) Considerando que uma empresa contratou profissionaiscom formação de nível fundamental, médio e superior em números que sãodiretamente proporcionais aos números 7, 5 e 3, respectivamente e supondoque o salário de um profissional de nível fundamental é R$ 1.000,00, o do denível médio é de R$ 2.000,00 e do de nível superior é de R$ 4.000,00 e que afolha salarial mensal da empresa com esses profissionais é de R$ 58.000,00,julgue os itens seguintes.

19.O número de profissionais contratados por essa empresa foi inferior a 25.20.Com os salários dos profissionais de nível fundamental contratados, aempresa gastará uma quantia superior a R$ 16.000,00 por mês.21.O número de profissionais de nível médio contratados por essa empresa foisuperior a 8 e inferior a 12.

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(CESPE) Paulo e Marcos são irmãos. Sabe-se que Marcos nasceu 4 anos antesde Paulo e que os dois aniversariam no mesmo dia do ano. Nessas condições,julgue o item subsequente.22.Considere que, no dia em que Paulo completou 8 anos de idade, o pai delesdividiu R$ 300,00 entre os dois de modo que cada um deles tenha recebidouma quantia proporcional à sua idade. Nesse caso, Paulo recebeu R$ 120,00 eMarcos, R$ 180,00.

23.(CESPE) . Na formação de uma microempresa, os doissócios integralizaram os capitais de R$ 6.000,00 e R$ 9.000,00,respectivamente. Após 9 meses, esses sócios aceitaram outra pessoa nasociedade, que integralizou o capital de R$ 12.000,00. Ao final do 1.º ano, afirma apresentou um lucro de R$ 13.200,00, que foi dividido em partesproporcionais ao capital e tempo de integralização. Nesse caso, coube ao 3.ºsócio uma importância superior a R$ 2.000,00.

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A tabela abaixo mostra a participação em uma empresa, de três sócios,em tempo (a partir do inicio das atividades da empresa) e em capital inicialinvestido.

Ao completar um ano de funcionamento, o lucro de R$102.000,00 foi divididoentre eles.

Com base nas informações citadas julgue os itens abaixo:24.O sócio A recebeu absolutamente a metade do sócio B.25.A quantia relativa ao sócio A, é 75% menor que a do sócio B.

26.O sócio A recebeu1

17do lucro total.

Sócio Tempo de participação Capital inicial investido

A 3 meses R$ 10.000,00

B 6 meses R$ 20.000,00

c 12 meses R$ 30.000,00

(CESPE) Para se dividir uma fortuna, imaginou-se duas formas distintas. Naprimeira, a fortuna seria dividida na razão direta dos números 3, 5 e 7; nasegunda, na razão direta dos números 4, 9 e 12. Na segunda forma dedivisão, a segunda maior parte da fortuna ficaria aumentada em R$3.000,00em relação à segunda maior parte da primeira forma de divisão. Em facedessa situação, julgue os itens a seguir.

27.O valor da fortuna a ser divida é superior a R$110.000,00.28.A menor parte da fortuna corresponde à segunda forma de divisão éinferior R$16.000,00.29.Na segunda forma de divisão, a maior parte da fortuna é o triplo do valorcorrespondente à menor parte.30.Na primeira forma de divisão, a maior parte é inferior a R$50.000,00.

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GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando multiplicando-se oudividindo-se uma delas por um número,a outra ficará dividida oumultiplicada,respectivamente,pelo mesmo número.Tal propriedade faz com que o produto dos números correspondentes nas duasgrandezas seja CONSTANTE (coeficiente ou fator de proporcionalidade)X.Y=K

Variação INDIRETA é uma CURVA (HIPÉRBOLE)

EXEMPLO: velocidade de um veículo e tempo necessário parapercorrer uma certa distância fixada.

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01. Dividir o número 70 em partes inversamente proporcionais a 3 e 11.

02. Dividir o número 310 em partes inversamente proporcionais a 5, 3 e 2

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03.Dividir o número 380 em partes inversamente proporcionais a 2,5 e 4.

ATENÇÃO: Se uma sucessão numérica é simultaneamenteproporcional a duas outras sucessões, então será proporcionalaos PRODUTOS dos números correspondentes dos elementoscorrespondentes dessas duas sucessões.

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01. Dividindo-se o número 270 em 3 partes diretamente proporcionais aosnúmeros 2, 3 e 5 e também diretamente proporcionais aos números 4, 3 e2, respectivamente, encontramos a maior parte igual a:

02. Dividindo-se o número 87 em partes diretamente proporcionais a 2 e 3 e ao mesmo tempo inversamente proporcionais a 5 e 7, encontramos para maior parte:

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03. Dividindo-se o número 690 em três partes diretamente proporcionaisaos números 1, 2 e 3 e inversamente proporcionais aos úmeros 2, 3 e 4,respectivamente a menor parte vale:

04. Dividindo-se 105 em três partes que são, ao mesmo tempo,diretamente proporcionais a 3, 2 e 5 e inversamente proporcionais a 5, 3 e6, respectivamente, a menor dessas partes vale: