Raciocínio Lógico

Matemático e AnalíticoProfessor Cláudio Serra

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Aula 3 – Teoria das Probabilidades

ASPECTOS CONCEITUAIS

1. Experimentos aleatóriosConsidere os seguintes experimentos:* o aquecimento da água dentro de uma chaleira;* a queda livre de um corpo.Observe que, se conhecermos certas condições iniciais, poderíamos calcularqual a temperatura em que a água ferveria e a velocidade com que o corpoatingiria o solo. Os experimentos cujos resultados podem ser previstos antesde sua realização são denominados experimentos determinísticos.

Agora considere os experimentos:* lançamento de moeda e a observação da figura na face voltada para cima;* lançamento de um dado e a observação da face (número) voltada para cima;* o sorteio de uma loteria de números.Observe que esses experimentos estão sujeitos as acaso, uma vez que osresultados são imprevisíveis,mesmo que qualquer um desses experimentos fosse repetido, em condiçõessemelhantes, inúmeras vezes.Os experimentos cujos resultados são variados, não sendo possível a previsãodos mesmos, são denominados experimentos aleatórios (não-determinísticos).

Apesar de sujeito ao acaso, todo o experimento aleatório possui as seguintescaracterísticas:* pode ser repetido várias vezes (nas mesmas condições);* o conjunto de todos os resultados possíveis é conhecido;* não se pode prever o resultado.Uma vez que não podemos prever o resultado, procuraremos descobrir as possibilidadesde ocorrência de cada experimento aleatório. A Teoria das Probabilidades estuda aforma de estabelecer essas possibilidades.

2. Espaço AmostralO conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório édenominado espaço amostraldesse experimento. O espaço amostral de um experimento aleatório serárepresentado pela letra E e o seu número de elementos por n (E).Considere os seguintes experimentos aleatórios e seus respectivos espaçosamostrais:* Lançamento de um dado e a observação da face voltada para cima.E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n (E) = 6

Considere os seguintes experimentos aleatórios e seus respectivos espaçosamostrais:* Lançamento de um dado e a observação da face voltada para cima.E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n (E) = 6* Lançamento de uma moeda e observação da face voltada para cima.E = {K, C} , n (E) = 2 (K: cara e C: coroa)* Lançamento simultâneo de um dado e uma moeda e a observação das facesvoltadas para cima.

* Retirada de uma bola de uma urna que contém 7 bolasvermelhas e 3 brancas, idênticas, diferindo apenas pela cor.E = { V1, V2, V3, V4, V5, V6, V7, B1, B2, B3}n (E) = 10

3 - EventoUm evento de um experimento aleatório é qualquer subconjunto do espaçoamostral desse experimento.O números de elementos de um evento A será representado por n(A).A partir do lançamento de um dado e a observação da face voltada para cima,podemos descrever os seguintes eventos:* Evento A => a face observada é um nº par. A = {2, 4, 6}, n (A) = 3* Evento B => a face observada é um quadrado perfeito. B = {1, 4}, n (B) = 2* Evento C => a face observada é um número múltiplo de 5 C = {5}, n (C) = 1* Evento D => a face obtida é um número menor que 7. D = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(D) = 6 (evento certo)

* Evento F => a face obtida é um número maior que 6. F = { }, n (F) = zero (evento impossível)Importante!* Um evento certo é o próprio espaço amostral;* Um evento impossível é o subconjunto vazio do espaço amostral.

4 - ProbabilidadesConsideremos um experimento aleatório. Seja E o seu espaço amostralfinito e não-vazio, n(E) o número de elementos do espaço amostral, umevento A e n(A) o número de elementos do eventos A..A probabilidade do evento A ocorrer, é o número P(A), tal que:

Importante!* A definição de probabilidade só tem validade se todos os elementos de Etiverem as mesmas chances de ocorrer (espaço amostral equiprovável).* Quando A = E (evento certo), temos P (A) = 1.* Quando A = { } (evento impossível), temos P (A) = 0.* Como 0 < n(A) < n(E), temos 0 < P (A) < 1.* A probabilidade pode ser representada em porcentagem. Dessa forma,0% < P (A) < 100%.

* Podemos dizer que cada elemento de um evento A é um caso favorável à ocorrência deA. Uma vez que o espaço amostral E é o conjunto de todos os resultados possíveis para oexperimento, a probabilidade do evento A ocorrer também pode ser expressa pelarelação abaixo.

1) (CESPE) O código de acesso consiste em uma seqüência de três letras distintasdo alfabeto, gerada automaticamente pelo sistema e informada ao cliente. Paraefetuar transações a partir de um terminal de auto-atendimento, esse código deacesso é exigido do cliente pessoa física, conforme explicado a seguir.É apresentada ao cliente uma tela em que as 24 primeiras letras do alfabetoestão agrupadas em 6 conjuntos disjuntos de 4 letras cada. Para entrar com aprimeira letra do seu código de acesso, o cliente deve selecionar na telaapresentada o único conjunto de letras que a contém. Após essa escolha, umnovo agrupamento das 24 primeiras letras do alfabeto em 6 novos conjuntos émostrado ao cliente, que deve então selecionar o único conjunto que inclui asegunda letra do seu código.

Esse processo é repetido para a entrada da terceira letra do código de acesso docliente. A figura a seguir ilustra um exemplo de uma tela com um possívelagrupamento das 24 primeiras letras do alfabeto em 6 conjuntos.

Para um cliente do BB chamado Carlos, a probabilidade de que todas as letrasdo seu código de acesso sejam diferentes das letras que compõem o seu nome éinferior a 0,5.

2) (FCC) As cartas mostradas acima são embaralhadas e, dentre elas, duassão retiradas ao acaso e em conjunto.A probabilidade de que sejam extraídas cartas APENAS de copas é igual a:

a) 2/15 b) 1/20 c) 1/35 d) 1/45 e) 2/45

3) (NCE) Antônio e Bruno foram pescar num lago onde só havia trutas e carpas.Bruno pescou números iguais de trutas e carpas e, no total, Antônio pescou o triplo donúmero de peixes pescados por Bruno.Antônio pescou duas vezes mais trutas do que carpas.Todos os peixes pescados foram colocados num cesto e uma truta foi escolhida ao acaso.A probabilidade desta truta ter sido pescada por Antônio é igual a:

a) 45% b) 50% c) 60% d) 70% e) 80%

4) (CESPE) A tabela a seguir, relativa ao ano de 2010, mostra as populações dosquatro distritos que formam certa região administrativa do município de SãoPaulo.

Considerando-se a tabela apresentada, é correto afirmar que, se, em 2010,um habitante dessa região administrativa tivesse sido selecionado ao acaso,a chance de esse habitante ser morador do distrito Jardim Paulista seria

a) inferior a 21%. b) superior a 21% e inferior a 25%. c) superior a 25% e inferior a 29%. d) superior a 29% e inferior a 33% e) superior a 33%.

5)(CESPE) Para fiscalizar determinada entidade, um órgão de controle escolherá 12de seus servidores: 5 da secretaria de controle interno, 3 da secretaria de prevençãoda corrupção, 3 da corregedoria e 1 da ouvidoria. Os 12 servidores serãodistribuídos, por sorteio, nas equipes A, B e C; e cada equipe será composta por 4servidores. A equipe A será a primeira a ser formada, depois a equipe B e, porúltimo, a C. A respeito dessa situação, julgue o item subsequente.A probabilidade de um servidor que não for sorteado para integrar a equipe A sersorteado para integrar a equipe B é igual a 0,5.

6) (FCC) Um dado não convencional tem 4 faces equiprováveis e numeradas de 1à 4. A probabilidade de que a soma dos números obtidos em três lançamentosdesse dado seja maior do que 4 é igual aa) 3/4.b) 8/9.c) 15/16.d) 1/16.e) 7/8.

7) (CESGRANRIO) Em uma determinada agência bancária, para um cliente quechega entre 15 h e 16 h, a probabilidade de que o tempo de espera na fila paraser atendido seja menor ou igual a 15 min é de 80%.Considerando que quatro clientes tenham chegado na agência entre 15 h e 16h, qual a probabilidade de que exatamente três desses clientes esperem maisde 15 min na fila?a) 0,64%b) 2,56%c) 30,72%d) 6,67%e) 10,24%

8) (CONSULPLAN) João formou um baralho de 30 cartas numeradas de 1 a 5,cada número com cartas de 6 cores distintas. A probabilidade de se tirar aomesmo tempo deste baralho 3 cartas de mesmo número éa) 1/6.b) 1/30.c) 3/205.d) 5/203.

9) (FUNCAB) Uma investigadora e um escrivão às vezes viajam durante suas férias.Estando de férias, a probabilidade dela viajar para o Rio de Janeiro é de 0,54; de viajarpara a Bahia é de 0,32; a probabilidade viajar para o Rio de Janeiro e para a Bahia é 0,18.Estando ele de férias, a probabilidade dele viajar para São Paulo é de 0,51; de viajar paraMinas Gerais é de 0,38; a probabilidade de viajar para São Paulo e para Minas Gerais éde 0,16. Portanto, a probabilidade de, durante as férias deles, a investigadora não viajar(nem para o Rio de Janeiro e nem para a Bahia) e do escrivão viajar (para São Paulo ouviajar para Minas Gerais), é igual a:

a) 85.32% b) 49.64% c) 34,68% d) 23.36% e) 80.85%

10) (FUNCAB) Suponha que três lançamentos independentes de uma moedajusta sejam feitos em seguida. Qual a probabilidade de que ao menos umadelas seja cara?a) 1/4b) 1/8c) 7/8d) 2/3e) 1/2