Distribuição da Proporção Amostral

Uma Distribuição Amostral é uma distribuição de probabilidades que indica até que ponto uma estatística amostral tende a variar devido às flutuações casuais na amostragem (Variabilidade Amostral).

Distribuição Amostral da Proporção

Plano de amostragem

p - prop. populacional p - prop. amostral

População

p

Amostra

p

Exemplo

A população de um estudo é composta de 4

pessoas (N=4) e a variável de interesse é a

proporção de pessoas altas (altura > 1,75m).

N=4 X1=1,50m X2=1,60m

X3=1,70m X4=1,80m

Parâmetro

N=4 X1=1,50m X2=1,60m

X3=1,70m X4=1,80m

Proporção populacional: 1/4 = 0,25

Exemplo

Retira-se uma amostra aleatória simples com 2

elementos (n=2), com reposição.

Qual será a proporção amostral?

Qual é a distribuição de probabilidades da

proporção amostral?

ExemploAmostra

X1 X1X1 X2X1 X3X1 X4X2 X1X2 X2X2 X3X2 X4

AmostraX3 X1X3 X2X3 X3X3 X4X4 X1X4 X2X4 X3X4 X4

p0000,50000,5

p0000,50,50,50,51

ExemploAmostra

X1 X1X1 X2X1 X3X1 X4X2 X1X2 X2X2 X3X2 X4

AmostraX3 X1X3 X2X3 X3X3 X4X4 X1X4 X2X4 X3X4 X4

p0000,50000,5

p0000,50,50,50,51

-

ExemploAmostra

X1 X1X1 X2X1 X3X1 X4X2 X1X2 X2X2 X3X2 X4

AmostraX3 X1X3 X2X3 X3X3 X4X4 X1X4 X2X4 X3X4 X4

Total

Prob.1/161/161/161/161/161/161/161/16

Prob.1/161/161/161/161/161/161/161/16

1

9/166/161/16

1

P(p)p0

0,51

Total

Distribuição Amostral da Proporção (com reposição)

P(X=0) = P(p=0)= ( )20

(1/4)0.(3/4)(2-0) = 9/16

P(X=1)=P(p=0,5)= ( )21

(1/4)1.(3/4)(2-1) = 6/16

P(X=2) = P(p=1)= ( )22

(1/4)2.(3/4)(2-2) = 1/16

9/166/161/16

1

P(p)p0

0,51

Totalproporção =

número de pessoas altas

tamanho da amostra

Binomial (n=2 , p=1/4)

Valor esperado (média) e o desvio padrão da

distribuição amostral da proporção.

Distribuição Amostral da Proporção (com reposição)

p = E(p) = 0,25

p = raiz(0,09375) = 0,30619

Exercício

Retira-se uma amostra aleatória simples com 2

elementos (n=2), sem reposição.

Qual é a distribuição de probabilidades da

proporção amostral?

p0000,50,50,50,51

AmostraX3 X1X3 X2X3 X3X3 X4X4 X1X4 X2X4 X3X4 X4

Exercíciop

0000,50000,5

AmostraX1 X1X1 X2X1 X3X1 X4X2 X1X2 X2X2 X3X2 X4

Exercício

0,5

0,5

1

P(p)p

0

0,5

Total

valor esperado (média) e o desvio padrão da distribuição amostral da proporção.

p = E(p) = 0,25p = raiz(0,0625) = 0,25

0,5

0,5

1

P(p)p

0

0,5

Total

p = E(p) = 0,25p = raiz(0,0625) = 0,25

9/166/161/16

1

P(p)p0

0,51

Total

p = E(p) = 0,25p = raiz(0,09375) = 0,30619

população finita

população infinita oumuito grande ou

amostra com reposição

b)

=p n

p.(1-p)

=p N - 1N - n

n

p.(1-p)

Distribuição Amostral da ProporçãoCaracterísticas

= ppa)

c) A distribuição das proporções amostrais é binomial no caso de população infinita. Quando o tamanho da amostra for grande, esta distribuição pode ser aproximada por uma distribuição normal.

d) A distribuição das proporções amostrais é hipergeométrica no caso de população finita. Quando o tamanho da amostra for grande, esta distribuição pode ser aproximada por uma distribuição normal.

Distribuição Amostral da ProporçãoCaracterísticas

A curva normal segue uma v.a. Y com média μ = 12 × 0,5 = 6 e variância σ2 = 12 × 0,5 × 0,5 = 3.

O histograma representa uma v.a. X com distribuição binomial com n = 12 e p = 0,5

(a) Pr(X = k)(b) Pr(X ≤ k)(c) Pr(X < k)(d) Pr(X ≥ k)(e) Pr(X > k).

(a)

(b) (c)

(d) (e)Pr (Y< k-0,5)

n.p=100.0,1=10

n.p.(1-p)=100.0,1.0,8=9

p=(12+0,5)/100=0,125

=p n

p.(1-p)

= pp0,83

Solução alternativa

usando proporção

2. Em uma sondagem, perguntou-se a 1.002 membros de determinado sindicato se eles haviam votado na última eleição para a direção do sindicato e 701 responderam afirmativamente. Os registros oficiais obtidos depois da eleição mostram que 61% dos membros aptos a votar de fato votaram. Calcule a probabilidade de que, dentre 1.002 membros selecionados aleatoriamente, no mínimo 701 tenham votado, considerando que a verdadeira taxa de votantes seja de 61%. O que o resultado sugere?

n.p=1002.0,61

n.p.(1-p)=1002.0,61.0,39

Exercício

Um lote com 100 peças apresenta 20 com defeitos. Qual é a probabilidade de uma amostra aleatória simples com 20 elementos apresentar menos que 40% de pecas defeituosas?

N

np

p=20/100

Exercício

=p N - 1N - n

n

p.(1-p)

=p 99

80

20

0,2.0,8= 0,080403

Usar o

fator d

e corre

ção

Exercício

P0,2 0,4

P(p<0,4)

Exercício

Z 0,4 =

= 2,490,4 - 0,2

0,080403

Z0 2,49

0,993613

Exercício (para casa)Um banco informa que apenas 10% dos 5000 clientes possuem saldo médio acima de $500. Se uma amostra aleatória de 100 correntistas daquele banco for retirada, qual é a probabilidade de haver mais de 15 clientes na amostra com saldo acima de $500?

População finita : Resp = 0,046479 População infinita: Resp = 0,047460