Métodos Quantitativos em Contabilidade 4 inferÃªncia.pdf · grandes (n 30) a distribuição de probabilidade da média amostral converge para uma distribuição normal com média

Prof. José Francisco Moreira Pessanha

[email protected]

Rio de Janeiro, 4 de setembro de 2012

Métodos Quantitativos em Contabilidade

Introdução

O propósito da inferência estatística consiste em fazer afirmações

sobre alguma característica de uma população baseando-se em

resultados de uma amostra da população.

A inferência estatística fornece procedimentos para extrair

conclusões sobre uma população a partir de dados amostrais

(MOORE,2005)

População

Conjunto formado por todos os elementos que compartilham

uma característica comum:

Exemplos:

População carioca

Conjunto dos domicílios cariocas

Conjunto de funcionários da Prefeitura

Conjunto de fornecedores da Prefeitura

População finita: se há um determinado número de

elementos (por exemplo, nº de domicílios em uma cidade)

População infinita: o tamanho da população é ilimitado.

Distribuição populacional Em cada elemento da população podemos observar um conjunto de

atributos, por exemplo:

o consumo de energia elétrica em uma unidade consumidora

o valor da fatura de energia elétrica de uma unidade consumidora

se o cliente é residencial ou não residencial

se o cliente é medido ou não é medido.

Em geral, os atributos não se distribuem com a mesma intensidade em

todos os elementos da população, mas, ao contrário, a distribuição da

intensidade dos atributos é desigual.

Para ilustrar, considere a seguinte população formada por 6 unidades

consumidoras e os respectivos consumos mensais em kWh.

Distribuição

populacional

Distribuição populacional

A distribuição populacional pode ser caracterizada minimamente por

meio de uma medida de posição e uma medida de dispersão.

Medida de posição (média): indica o valor típico da população.

Medida de dispersão (desvio-padrão): indica a variabilidade dos

elementos da população ao redor da média.

Quando calculadas com base em todos os elementos da população estas

medidas são denominadas por parâmetros populacionais.

população

1506

200180160140120100

média

16,34

6

15020015010022

padrãodesvio

kWh

kWh

Parâmetros populacionais Parâmetro populacional é uma função dos valores observados em todos os

elementos da população.

Considere uma população finita com N elementos, cada um apresentando um

valor xi (i=1,N) em uma determinada característica X de interesse.

Com base nos valores de todos os elementos da população calculam-se os

parâmetros populacionais, entre os quais destacam-se:

N

i

ixN 1

1

N

1i

ixN

N

i

ixN 1

22 1

N

i

ixN 1

21

Média populacional

N

i

ixN 1

1

Total populacional

Variância populacional Desvio-padrão populacional

Proporção N

P

Total de elementos da população com a característica de interesse, por

exemplo, total de clientes com consumo acima de 150 kWh e, neste caso,

P = proporção de clientes com consumo acima de 150 kWh.

Censo

Um censo é a inspeção de todos os elementos da população,

para extrair de cada um deles as informações de interesse.

Os valores exatos dos parâmetros populacionais são obtidos

por meio de um censo da população.

Problemas:

Censos podem ter custos proibitivos

Censos podem demandar muito tempo para serem

concluídos e, portanto, os resultados não são imediatos e

podem estar desatualizados.

Em uma população infinita é impossível examinar todos os

elementos da população.

Censo

O censo de uma grande população é uma operação

complexa que envolve um enorme contingente de

recenseadores.

O envolvimento de muita gente cria problemas na

coordenação e controle das operações do censo, o que

aumenta as chances de erros, denominados por erros não

amostrais

Erros não amostrais: entrevistas mau aplicadas ou não

realizadas, erros de medida, erros de digitação dos dados

coletados, enfim erros que não estão nos dados, mas no

sistema para obtê-los.

Logo, os censos não são necessariamente exatos.

Censo

Quando fazer um censo ?

Quando a população é pequena, por exemplo, a

população de uma localidade do interior do país.

Quando se exige precisão completa, como no

setor de faturamento de uma empresa de serviço

público em que todos os clientes são medidos.

Amostragem Consiste na seleção e análise de um subconjunto finito (amostra) dos

elementos da população sob estudo.

Objetivo: estimar os parâmetros da distribuição populacional, por exemplo, a

média populacional e a proporção de elementos portadores de determinada

característica, a partir das observações de uma amostra da população.

O fato de investigar apenas uma parcela da população torna as pesquisas por

amostragem mais econômicas e mais rápidas que os censos.

Muito empregada em controle de qualidade e testes destrutivos, situações em

que não faz sentido fazer um censo.

É a alternativa ao censo.

Pesquisas por amostragem envolvem um menor número de agentes na coleta

de dados, tornando possível treiná-los exaustivamente visando uniformizar os

métodos de coleta de dados e, conseqüentemente, reduzir significativamente o

erro não amostral.

Amostragem

A partir das respostas dos indivíduos amostrados queremos inferir a partir dos

dados amostrais alguma conclusão sobre a população mais ampla que a

amostra representa.

A inferência estatística fornece métodos para extrair conclusões sobre uma

população a partir de dados amostrais.

Em função da flutuação amostral não podemos ter certeza de que nossas

conclusões são corretas, pois uma amostra diferente poderia conduzir a

conclusões diferentes. A inferência estatística usa a linguagem da

probabilidade para expressar o grau de confiança das conclusões.

Estimação Seja x1, x2,..., xn os valores observados em uma amostra aleatória de

tamanho n (n < N) acerca de uma característica X.

Os valores observados na amostra podem ser inseridos nas seguintes

fórmulas matemáticas denominadas estimadores, cujos resultados

numéricos são as estatísticas amostrais, estimativas dos valores

desconhecidos dos parâmetros populacionais:

n

i

ixn

X1

1XNT

2

1

2

1

1

n

i

i Xxn

S 2

11

1

n

i

i Xxn

S

np

ˆ

Média amostral Estimador do total

Variância amostral Desvio-padrão amostral

Proporção Total de elementos da amostra com a característica de interesse.

Parâmetro, estimador e estimativa

Considere

Uma população

Uma variável aleatória X que a cada elemento da população associa um

valor numérico X().

A distribuição de probabilidade de X depende de uma constante (parâmetro)

cujo valor é desconhecido e desejamos estimar

Uma amostra aleatória de tamanho n é retirada da população e medidos

valores x1, x2,...,xn da variável X nos n elementos da amostra. Tais valores

formam o conjunto de dados.

Um estimador do parâmetro é uma função (X1, X2,...,Xn) que associa a cada

possível conjunto de dados (amostra) x1, x2,...,xn o resultado (x1, x2,...,xn) .

Trata-se, portanto de uma variável aleatória.

Cada possível valor numério de um estimador é uma estimativa de .

Exemplo – Pesquisa Eleitoral A população é o universo de eleitores da cidade

A cada eleitor uma variável aleatória X() vale 1, se o eleitor vota no

candidato A e X() vale 0, caso contrário.

O parâmetro é a proporção p populacional de eleitores que votariam em A.

Distribuição da variável aleatória X é Bernoulli(p)

Considere uma amostra aleatória de n eleitores

A amostra aleatória é o conjunto de variáveis aleatórias X1,X2,...,Xn, cada Xi

tem distrbuição Bernoulli(p). As variáveis aleatórias X1,X2,...,Xn são

independentes e identicamente distribuidas.

Conjunto de dados: valores observados x1, x2,...,xn em uma partciular amostra

aleatória de tamanho n, xi =1 se o i-ésimo eleitor da amostra vota em A e xi = 0

se o iésimo eletor da amostra não vota em A.

Estimador pontual de p é a função

Estimativa de p, é o resultado de em uma particular amostra

n

i

in Xn

XXp

1

11

,...,ˆ

nxxp ,...,ˆ 1

Distribuição amostral

População

Amostra 1

Amostra 2

Amostra 3

Amostra k

Parâmetro

1X

2X

3X

kX

População

Amostra 1

Amostra 2

Amostra 3

Amostra k

Parâmetro

1X

2X

3X

kX

Diferentes amostras extraídas da mesma população originam valores

distintos para uma estatística amostral.

A diferença entre a estimativa e o valor

do parâmetro populacional constitui o

erro amostral, uma componente

aleatória inerente ao próprio processo

de seleção da amostra.

Portanto, os estimadores são variáveis

aleatórias, já que seu valor não pode

ser predito com certeza antes da

amostra ter sido extraída.

Há uma flutuação aleatória das estatísticas amostrais, variando de uma

amostra para outra.


Distribuição amostral: distribuição de probabilidade de

uma estatística amostral quando consideramos todas as

possíveis amostras aleatórias de tamanho n extraídas de

uma população de Tamanho N (n<N).

A distribuição amostral descreve a variabilidade de uma

estatística e indica quão prováveis são os diversos valores

que ela pode assumir.

A capacidade de usar amostras para fazer inferências

sobre parâmetros populacionais depende do conhecimento

que temos sobre a distribuição amostral.

Todas as possíveis

amostras de

tamanho 2

extraídas da

população


0

1

2

3

110 120 130 140 150 160 170 180 190

Consumo mensal (kWh)

frequência

absolu

ta

população

Distribuição

da média

amostral

EXEMPLO

Lembre que a

média populacional

é =150 kWh


Simetria da distribuição da média amostral em torno da média

populacional ( =150 ).

Simetria implica na igualdade entre a média populacional e o valor

esperado da distribuição da média amostral (a média de todas as

médias das amostras de tamanho n=2).

0

1

2

3

110 120 130 140 150 160 170 180 190


frequência

absolu

ta

Quando esta igualdade é verificada o estimador é não tendencioso.

Portanto, a média amostral é um estimador não tendencioso da média

populacional .


0

1

2

3

110 120 130 140 150 160 170 180 190


fre

qu

ên

cia

ab

so

luta

A dispersão da distribuição amostral dos valores também é importante.

Quanto maior a concentração em torno de , menor é a magnitude do erro

amostral e, portanto, maior a precisão do estimador.

O grau de dispersão é medido pelo desvio-padrão da distribuição

amostral, denominado erro-padrão.

Quanto menor o erro-padrão, maior será a precisão dos resultados

obtidos.

Propriedades de um estimador

O esquema do tiro ao alvo ilustra bem os conceitos de estimador não

tendencioso e precisão com base apenas na dispersão das estimativas

(pontos) em torno do parâmetro populacional (alvo).

não tendencioso e preciso não tendencioso e impreciso

preciso e tendencioso impreciso e tendencioso

não tendencioso e preciso não tendencioso e impreciso

preciso e tendenciosopreciso e tendencioso impreciso e tendencioso

Propriedades da média e da variância amostrais

A média amostral é um estimador não tendencioso da média

populacional:

n

i

iXn

X

1

1 XE

A variância amostral é um estimador não tendencioso da variância

populacional:

n

i

i XXn

S

1

22

1

1 22 SE

Prova-se que e são variáveis aleatórias independentes X2S

Teorema Central do Limite

Nas situações práticas dispomos de apenas uma

única amostra de tamanho n da população

investigada.

Então como construir a distribuição da média

amostral com apenas uma amostra?

As distribuições amostrais são deduzidas

matematicamente e a forma da distribuição

depende do estimador adotado, do tamanho da

amostra e da distribuição original da

característica de interesse X na população.


No caso da média amostral, o Teorema do Limite Central

estabelece que, independentemente da distribuição populacional

da característica de interesse X, para amostras suficientemente

grandes (n30) a distribuição de probabilidade da média amostral

converge para uma distribuição normal com média e variância

2/n, à medida que aumenta o tamanho da amostra.

Se a amostra representar mais de 5% do tamanho da população

(n/Nx100% > 5%) a variância da distribuição da média amostral deve ser

corrigida pelo fator de correção finita:

nNX

2

,~

n grande (>30)

1,~

2

N

nN

nNX

n grande (>30)

Fator de correção finita

Teorema Central do Limite O resultado do Teorema do Limite Central pode ser melhor compreendido

pelos gráficos a seguir (Bussab & Morettin, 1987) que mostram como as

distribuições amostrais da média se aproximam da distribuição Normal, à

medida que o aumenta tamanho da amostra, a partir de diferentes

distribuições populacionais da característica X

Quando a distribuição populacional da característica X é normal, a distribuição da média

amostral é normal, independentemente do tamanho da amostra ser pequeno ou grande.


A aproximação à curva normal pode ser utilizada em outros

estimadores, tais como o estimador do total e o estimador de

proporção.

No caso do estimador de proporção a sua distribuição

amostral converge para uma normal com média igual a

proporção populacional p e variância igual a p(1-p)/n:

n

pppNp

1,~ˆ

1

1,~ˆ

N

nN

n

pppNp

Em populações finitas (n/N x 100% > 5%) a variância do

estimador deve ser corrigida pelo fator de correção finita:

Amostragem aleatória simples

Amostragem aleatória simples (AAS)

Consiste em selecionar aleatoriamente uma amostra de n elementos em

uma população com N elementos (n<N).

Os elementos são sorteados sem reposição e não importa a ordem de

seleção dos elementos.

Assim, o total de amostras de n elementos que podem ser obtidas de uma

população de tamanho N é:

Todos os elementos da população têm igual probabilidade de pertencer a

amostra. Portanto, todas as possíveis amostras de tamanho n são

equiprováveis.

A probabilidade de um elemento pertencer a amostra é dada pela razão

n/N, conhecida como fração de amostragem.

!!

!

nNn

N

n

N

Exemplo O número total de amostras possíveis de tamanho 3 de uma população

formada pelos oito primeiros números naturais {1,2,3,4,5,6,7,8} é 56:

5678

123

678

!5!3

!8

!38!3

!8

3

8

x

xx

xx

Seja X1 o primeiro elemento a ser sorteado.

P(X1=i1) = 1/8 para todo i1 = 1,2,3,4,5,6,7,8

Seja X2 o segundo elemento a ser sorteado

P(X2=i2 | X1=i1) = 1/7 , para todo i2 diferente de i1

Seja X3 o terceiro elemento a ser sorteado

P(X3=i3|X1=i1 . X2=i2) = 1/6, para todo i3 diferente de i1 e i2

Considere uma das possíveis amostras de três elementos: A={2,5,7}

A probabilidade de que tal amostra seja selecionada é

N =8

n =3

Aiii

iXiXiXP

321,,

332211 ,, Soma das probabilidades de todas

as permutações de 2,5 e 7

Exemplo O número de permutações dos elementos da amostra A = {2, 5, 7} é igual

a 6:

257 275 527 572 725 752

Cada uma das permutações tem probabilidade

(1/8) x (1/7) x (1/6)

Como há 6 permutações

A probabilidade de selecionar a amostra A={2, 5, 7} é

6 x (1/8) x (1/7) x (1/6) = 1/56

Evidentemente, qualquer outra amostra de tamanho 3 tem a mesma

probabilidade de 1/56 de ser selecionada.

Na AAS cada possível amostra de tamanho n tem igual probabilidade de

ser selecionada

Tamanho da amostra

Para dimensionarmos uma amostra devemos especificar duas constantes:

1) Máximo desvio ou erro tolerável (d) entre a média amostral e a média

populacional.

2) A probabilidade de que o máximo desvio ou erro entre a média

amostral e média populacional seja maior do que d.

Os valores das constantes e d devem ser pequenos, tal que

dXP

1dXP

Probabilidade de que o desvio entre a

média amostral e a média populacional

ultrapasse o máximo tolerável é igual a

Probabilidade de que o desvio entre a

média amostral e a média populacional

seja menor que máximo tolerável é igual

a 1-

Tamanho da amostra (população infinita)

1dXP

1dXdP

nNX

2

,~

Pelo Teorema Central do Limite

Admitindo população infinita

1222 n

d

n

X

n

dP

Dividindo a desigualde pelo desvio padrão

1

n

dz

n

dP

z~N(0,1)

Tamanho da amostra (população infinita)

1

n

dz

n

dP

1

21

21

zzzP

n

dz

2

1

2

21

d

z

n

21

z

Valor tabelado

1-0,5

probabilidade

Tamanho da amostra (população finita)

Pelo Teorema Central do Limite a distribuição

da média amostral é Normal.

Logo, a probabilidade de que o desvio entre a média populacional e a média

amostral seja menor do que e é 1-.

1

111

22222

zzzP

nN

nN

d

nN

nN

X

nN

nN

dP

XXX

1dXdPdXP

Tamanho da amostra

nN

nNdz X

2

21 1

Logo

2

21

22

2

21

2

1

zdN

zN

n

X

X

1,~

2

N

nN

nNX

Tamanho da amostra

222/1

2

222/1

1 X

X

zdN

Nzn

N = tamanho da população

d = margem de erro fixada

2X = variância da distribuição populacional

1- = nível de confiança, usualmente 95% ( = 5%)

z1- /2 = abscissa da distribuição normal que deixa uma

probabilidade 1-/2 a esquerda

2

222/1

d

zn X

No caso de populações grandes ou infinitas

podemos usar a seguinte fórmula:

222/1

2

222/1

1 X

X

StdN

NStn

No caso de populações finitas e com

variância populacional não conhecida

devemos usar a seguinte fórmula:

S2X = estimativa da variância da distribuição populacional

t1-/2 = abscissa da distribuição t que deixa uma probabilidade 1-/2 a esquerda

Tamanho da amostra Exemplo

Cliente Número EndereçoConsumo no mês anterior

(kWh)

10000001 301

10000002 204

10000003 303

10000004 205

10000005 191

10000006 391

10000007 349

10000008 274

10000009 285

10000010 394

10000011 274

10000012 392

10000013 309

10000014 180

10000015 290

10000016 356

10000017 199

10000018 474

10000019 392

10000020 226

10000021 521

10000022 178

10000023 242

10000024 206

10000025 348

10000026 109

10000027 414

10000028 223

10000029 316

10000030 280

A título de ilustração considere o cadastro

com todas as unidades consumidoras

residenciais de uma localidade. Uma

população com N=30 elementos. Qual o

tamanho da amostra para estimar o

consumo médio com 95% de confiança de

um erro máximo de 50 kWh?

Considere as seguintes premissas:

nível de

confiança de

95% (=5%)

z/2 =1,96

= -INV.NORMP(0,025)

Erro máximo admissível d = 50 kWh

Desvio-padrão populacional X = 94,04 kWh

10

04,9496,150130

3004,9496,1222

22

n

Tamanho da amostra

Cadastro de uma localidade com 30 clientes

Tamanho da amostra

N = tamanho da população

e = margem de erro fixada

p = proporção populacional

= nível de confiança 1%, 5% ou 10%

z1- /2 = abscissa da distribuição normal que deixa uma

probabilidade 1-/2 a esquerda

No caso de populações grandes ou infinitas

podemos usar a seguinte fórmula:

Note que o tamanho da amostra depende da proporção populacional, justamente

o parâmetro que queremos estimar por amostragem.

Podemos considerar estimativas obtidas em estudos anteriores, fazer uma

amostra piloto ou, na impossibilidade de obter tais estimativas, podemos fixar p

em 0,5, pois assim maximizamos o produto p(1-p) o que resulta em um maior

tamanho para a amostra,

ppzdN

Nppzn

11

1

22/1

2

22/1

2

22/1 1

d

ppzn

Tamanho da amostra para estimar uma proporção.

Amostragem aleatória simples (AAS) Exemplo do cálculo do tamanho da amostra para estimar proporções

Cliente Número EndereçoConsumo no mês anterior

(kWh)

10000001 301

10000002 204

10000003 303

10000004 205

10000005 191

10000006 391

10000007 349

10000008 274

10000009 285

10000010 394

10000011 274

10000012 392

10000013 309

10000014 180

10000015 290

10000016 356

10000017 199

10000018 474

10000019 392

10000020 226

10000021 521

10000022 178

10000023 242

10000024 206

10000025 348

10000026 109

10000027 414

10000028 223

10000029 316

10000030 280

Considere o cadastro com todas as

unidades consumidoras residenciais de

uma localidade. Uma população com N=30

elementos. Qual o tamanho da amostra para

estimar a proporção de clientes com ar

condicionado?

Considere as seguintes premissas:

nível de

confiança de

95% (=5%)

z/2 =1,96

= -INV.NORMP(0,025)

Erro máximo admissível d = 0,2

Desvio-padrão populacional X = 0,5 x 0,5

14

5,096,12,0130

305,096,1222

22

n

Tamanho da amostra


Amostragem aleatória simples (AAS)

Seleção da amostra

Requer um cadastro ou uma

lista em que sejam identificados

todos os elementos da

população alvo.

Por exemplo, o cadastro de

consumidores ou cadastro de

faturamento.

A seleção da amostra se dá

mediante a aplicação de um

procedimento de seleção

aleatória ao cadastro.


Cliente Número EndereçoConsumo do último ano

(kWh)

10000001 18.055

10000002 12.232

10000003 18.195

10000004 12.295

10000005 11.450

10000006 23.450

10000007 20.951

10000008 16.457

10000009 17.100

10000010 23.627

10000011 16.440

10000012 23.524

10000013 18.510

10000014 10.824

10000015 17.382

10000016 21.369

10000017 11.912

10000018 28.446

10000019 23.501

10000020 13.536

10000021 31.265

10000022 10.703

10000023 14.528

10000024 12.335

10000025 20.877

10000026 6.530

10000027 24.868

10000028 13.394

10000029 18.953

10000030 16.805

Amostragem aleatória simples (AAS) Seleção da amostra

Como fazer a seleção ?

Vamos selecionar uma amostra de

tamanho n=10, a partir do cadastro ao

lado, onde N=30.

Pode-se sortear 10 números aleatórios

entre 1 e 30 e selecionar os clientes

que ocupem as respectivas posições

no cadastro.

Use o comando =aletatórioentre(1;30)

no Excel e não considere os números

repetidos.

Números sorteados: 3, 14, 10, 20, 5, 1,

15, 23, 9, 6



(kWh)

10000001 18.055

10000002 12.232

10000003 18.195

10000004 12.295

10000005 11.450

10000006 23.450

10000007 20.951

10000008 16.457

10000009 17.100

10000010 23.627

10000011 16.440

10000012 23.524

10000013 18.510

10000014 10.824

10000015 17.382

10000016 21.369

10000017 11.912

10000018 28.446

10000019 23.501

10000020 13.536

10000021 31.265

10000022 10.703

10000023 14.528

10000024 12.335

10000025 20.877

10000026 6.530

10000027 24.868

10000028 13.394

10000029 18.953

10000030 16.805

Amostragem aleatória simples (AAS) Seleção da amostra

Outra opção consiste em atribuir

um nº aleatório entre 0 e 1 a cada

elemento do cadastro.

Use o comando ALEATÓRIO() do

Excel.

Copie a coluna de nº aleatórios e

cole como valor.

Em seguida, ordene os

elementos do cadastro na ordem

decrescente ou crescente do nº

aleatório.

Pegue os dez primeiros

elementos para formar a amostra

de tamanho n=10.



(kWh)Nº aleatório

10000030 18.055 0,98328

10000029 12.232 0,94652

10000021 18.195 0,92820

10000027 12.295 0,90521

10000026 11.450 0,87656

10000023 23.450 0,83263

10000010 20.951 0,69607

10000018 16.457 0,67584

10000019 17.100 0,65748

10000012 23.627 0,64982

10000008 16.440 0,62583

10000001 23.524 0,62388

10000016 18.510 0,59090

10000025 10.824 0,52914

10000024 17.382 0,49418

10000009 21.369 0,48493

10000007 11.912 0,44745

10000017 28.446 0,42220

10000003 23.501 0,36952

10000020 13.536 0,35411

10000011 31.265 0,35327

10000028 10.703 0,27673

10000004 14.528 0,23419

10000005 12.335 0,23057

10000006 20.877 0,21171

10000014 6.530 0,11484

10000013 24.868 0,11434

10000015 13.394 0,10176

10000022 18.953 0,04385

10000002 16.805 0,01997

Coluna de nº aleatórios já ordenados

Intervalo de confiança

Estimação por intervalo

Intervalo de confiança para a média

Como a média amostral segue uma distribuição normal com

média e variância 2/n, podemos esperar com 95% de

probabilidade que a média amostral seja diferente do valor

populacional por no máximo 1,96 desvios-padrão

%9596,196,1 XDPXXDPP

nNX

2

,~

nn

XDP

2




%9596,196,1 XDPXXDPXP

o intervalo tem uma probabilidade de 95%

de conter a média populacional.

Logo, há uma probabilidade de 5% do intervalo não conter a média, ou seja,

uma probabilidade de 5% de erro.

Substituíndo a média amostral por seu valor numérico, a expressão acima

deixa de ser uma probabilidade legítima e transforma-se no intervalo com 95%

de confiança de conter a média populacional:

XDPXXDPX 96,196,1

XDPXXDPX 96,1,96,1


Na hipótese de serem sorteadas todas as diferentes amostras de

tamanho n de uma população, em cada amostra podemos calcular um

intervalo com 95% de confiança centrado na média amostral, sendo que

somente 95% destes intervalos conterão a média populacional.

População

Amostra 1

Amostra 2

Amostra 3

Amostra k

Média Variância 2

nX

96,1

1

nX

96,1

2

nX

96,1

3

nX

k

96,1

1X

2X

3X

kX

Distribuição da média

amostral

População

Amostra 1

Amostra 2

Amostra 3

Amostra k

Média Variância 2

nX

96,1

1

nX

96,1

2

nX

96,1

3

nX

k

96,1

1X

2X

3X

kX

População

Amostra 1

Amostra 2

Amostra 3

Amostra k

Média Variância 2

nX

96,1

1

nX

96,1

2

nX

96,1

3

nX

k

96,1

1X

2X

3X

kX

Distribuição da média

amostral

A confiança informa com que frequência

o método irá produzir um intervalo que

contém o verdadeiro parâmetro

populacional, no caso a média.

No caso geral, os limites do intervalo com 1- confiança são determinados pela

seguinte fórmula:


n2zX

n2zX

onde

1- é o nível de confiança especificado, usualmente: 0,9 ; 0,95 e 0,99.

z(/2) são os valores tabelados da normal padronizada N(0,1) que deixam uma

probabilidade igual a /2 nas caudas da distribuição normal.

O termo é o erro máximo provável.

A magnitude do erro é determinada pelo nível de

confiança 1-, pelo desvio padrão populacional

e pelo tamanho da amostra n.

nz

2

maior o tamanho da amostra menor o erro, logo menor o comprimento

do intervalo e mais precisa a estimativa.

maior o erro, logo maior o

comprimento do intervalo

de confiança.

maior o nível de confiança (maior z(/2)) ou

maior o desvio padrão populacional.


Quando a população é finita e o tamanho da amostra constitui mais de 5% da

população (n/N x 100% > 5%), devemos aplicar o fator de correção finita na

fórmula da variância da distribuição amostral da média:

1N

nN

n2zX

1N

nN

n2zX

Todos os resultados anteriores também são válidos para pequenas amostras

(n30) desde que extraídas de populações normais com variância 2

conhecida.

VAR00001

50,0

45,0

40,0

35,0

30,0

25,0

20,0

15,0

10,0

40

30

20

10

0

Std. Dev = 7,65

Mean = 20,9

N = 50,00

Exemplo 1

A seguir são apresentadas os valores mensais

(em US$) pagos por 50 indivíduos selecionados

aleatoriamente usuários de provedores

comerciais de acesso à internet em agosto de

2000 nos EUA. Construa o intervalo de

confiança de 95% (=5%).

nzX

nzX

22

20 40 22 22 21 21 20 10 20 20

20 13 18 50 20 18 15 8 22 25

22 10 20 22 22 21 15 23 30 12

9 20 40 22 29 19 15 20 20 20

20 15 19 21 14 22 21 35 20 22

Amostra grande (n>30)

9,2050

1 50

1

i

iXX

4592,58150

1 50

1

22

i

i XXS

Use o comando Excel INV.NORMP(0,975)

para obter Z(2,5%) = 1,96

02,2378,18

Xi (i=1,50)

Histograma dos dados

amostrais sugere

distribuição populacional não

normal

Em uma amostra de 15 tubos de imagem, a vida útil média é de 8000

horas. Em geral, a vida útil de tubos de imagem é assumida como sendo

normal. Suponha que o desvio padrão da vida útil dos tubos de imagem

de TV para uma marca particular é conhecido como sendo 500 horas.

Construa o intervalo de confiança de 95% para a vida útil média.

Exemplo 2

n

zXn

zX

%5.2%5.2

Como o intervalo acima não contém o total de horas em um ano (8760

horas), é razoável admitir que a vida útil média de um tubo de imagem seja

menor que um ano.

15

50096,18000

15

50096,18000

04,825397,7746

z(/2) = z(2,5%)

Use o comando Excel

INV.NORMP(0,975) = Z(2,5%) = 1,96

Exemplo 3

Considere uma população, cuja característica de interesse X tenha distribuição

normal com variância 2 = 36. Desta população foi retirada uma amostra

aleatória (com reposição) de tamanho n=16 cuja média amostral é igual a 43.

Construa o intervalo de 90% de confiança da média populacional (amostra

pequena, mas extraída de uma população normalmente distribuída e com 2

conhecido).

%10

6

362

43X z(/2) = z(5%)

Use o comando Excel INV.NORMP(0,95) para obter

Z(5%) = 1,6449

n2zX

n2zX

n =16

Dados

46,4554,40

Intervalo com 90% de confiança de

conter a média populacional


Até o momento admitimos que a variância populacional é conhecida, uma

situação que não acontece na prática.

Em geral 2 não é conhecida e deve ser substituída por sua estimativa

amostral S2.

Em função desta modificação os valores críticos que definem a região de

rejeição, z(/2), passam a ser definidos pela tabela da distribuição t de

Student com n-1 graus de liberdade e não mais pela tabela da distribuição

N(0,1).

Assim, por exemplo, o valor crítico ao nível de significância de 10% é 1,75

(use o comando =INVT(0,1;15) no MS Exel ®), ligeiramente superior ao valor

crítico de 1,64 definido pela N(0,1).

O uso da distribuição t pressupõe que a população seja normalmente

distribuída.

Distribuição t


Para pequenas amostras (n 30) extraídas de uma população normalmente

distribuída com o estimador S2 no lugar de 2, pois 2 não é conhecido, tem-se

que:

n

StX

n

StX

22

22

1212

22

N

nN

n

StX

N

nN

n

StX

Para amostras aleatórias de uma população finita em que n/Nx100% > 5%

Neste caso deve-se substituir o z-score com distribuição normal pelo t-score ou

t(/2) com distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade:

12

~

nt

n

S

X Variável aleatória com distribuição t de

Student com n-1 graus de liberdade

Distribuição t

Distribuição populacional

Tamanho da amostra Estatística de teste

Normal Grande (n30) Conhecido Z

Normal Pequeno (n<30) Conhecido Z

Normal Grande (n30) Desconhecido t ou Z

Z é usado como uma aproximação de t

Normal Pequeno (n<30) Desconhecido t

Desconhecida Grande (n30) Conhecido Z

Teorema do Limite Central é invocado

Desconhecida Grande (n30) Desconhecido

t ou Z Teorema do Limite

Central é invocado e Z é usado como uma aproximação de t

Desconhecida Pequeno (n<30) Conhecido Nenhum

Desconhecida Pequeno (n<30) Desconhecido Nenhum


Quando utilizar t ou Z ou nenhum dos dois ?

Testes não paramétricos

ou Bootstrap

Assuma que estes valores são provenientes de uma população normalmente

distribuída e calcule o intervalo com 90% de confiança para o número médio de galões

necessários para percorrer as 100 milhas.

Intervalo de confiança:

Exemplo 4

Uma agência governamental deseja estimar as milhas por galão que um

determinado modelo de veículo é capaz de fazer.

Para isto a agência adquire um destes veículos, enche o tanque de

combustível e um motorista treinado dirige o carro por 100 milhas. Então o

veículo é reabastecido e o mesmo motorista dirige o carro por mais 100 milhas,

ao final do percurso o veículo é novamente reabastecido e assim segue o

experimento. A operação é realizada 10 vezes e o número de galões

necessários para reabastecer o tanque de combustível nestas 10 vezes é

apresentado a seguir:

4,78 4,42 3,94 4,15 4,90 3,92 3,94 4,68 4,32 4,23

n

StX

n

StX

22

22

Exemplo 4

Amostra Xi (i=1,10): 4,78 4,42 3,94 4,15 4,90 3,92 3,94 4,68 4,32 4,23

n=10 328,410

1 10

1

i

iXX 1303,0110

1 10

1

22

i

i XXS 8331,1%5 t

n

StX

n

StX

22

22

10

1303,08331,1328,4

10

1303,08331,1328,4

537,4119,4 Intervalo com 90% de confiança para o número

médio de galões necessários para percorrer 100

milhas

A partir deste resultado também podemos construir o Intervalo com 90% de confiança a

médio de milhas percorridas por galão de combustível

28,2404,22 100/4,119 100/4,537

Use o comando

Excel =INVT(0,1;9)

A vida útil média de uma amostra de 10 lâmpadas é 4000 horas, com

desvio padrão da amostra de 200 horas. Sabendo que a vida útil de uma

lâmpada é assumida como sendo aproximadamente normal, construa o

intervalo de confiança de 95% para a média da vida útil.

Exemplo 5

n

stX

n

stX %5.2%5.2 99

1) A vida útil da lâmpada é uma variável aleatória com distribuição normal

2) Amostra é pequena n = 10

3) Desvio padrão estimado a partir da amostra (s = 200)

Logo deve-se utilizar a distribuição t na definição do intervalo de

confiança para a média

10

2002622,24000

10

2002622,24000

2,41438,3856 =INVT(0.05,9)=2,2622

Assim, os limites do intervalo com 100(1-)% de confiança para a

proporção p são determinados conforme a seguir:

Intervalo de confiança para a proporção

n

ppzpp

n

ppzp

ˆ1ˆ

2ˆ

ˆ1ˆ

2ˆ

Em grandes amostras, a aproximação à curva normal pode ser utilizada

em outros estimadores, tal como o estimador de proporção, cuja

distribuição amostral converge para uma normal com média igual a


n

pppNp

1,~ˆ

Dados estimativa da proporção dos que votam no candidato A

tamanho da amostra

= 5% nível de significância

Exemplo 6

6,0ˆ p

Uma empresa de pesquisa eleitoral entrevistou por telefone 400 eleitores

registrados, perguntando-lhes se votariam no candidato A ou no candidato B.

Como resultado foi observado que 60% dos entrevistados responderam que

votariam no candidato A.

Deduza o erro padrão, a margem de erro e o intervalo de 95% de confiança para a

proporção dos que indicam preferência pelo candidato A.

0245,0

400

4,06,0ˆ1ˆ

n

ppsp

400n

048,00245,096,1%5,22 pp szsz

648,0552,02ˆ2ˆ pszppszp pp

Erro padrão =

Margem de erro =


A vista do intervalo de confiança resultante (55% , 65%) o candidato A pode sentir-se

razoavelmente seguro quanto a suas perspectivas em relação a eleição

Exemplo 7

Uma amostra aleatória de 625 donas-de-casa revela que 70% delas preferem

a marca X de detergente. Construa um intervalo com 90% de confiança para a

proporção de donas-de-casa que preferem X.

Intervalo de confiança para a proporção p

Dados:

n

ppzpp

n

ppzp

ˆ1ˆ

2ˆ

ˆ1ˆ

2ˆ

%10

625

7,0ˆ

n

p

625

7,017,06449,17,0

625

7,017,06449,17,0

p

Use o comando INV.NORMP(0,95) do Excel para obter

Z(5%) = 1,6449

73,067,0 p

Intervalos de confiança para a

diferença nas médias de duas

populações

Amostras independentes

Amostras independentes x Amostras emparelhadas

Amostras emparelhadas

Considere a tarefa de formular um experimento com a finalidade de avaliar dois tipos de

tênis em relação ao desgaste da sola: tênis Rosa (R) e tênis Verde (V).

A forma mais simples de elaborar o experimento é escolher, ao acaso, um grupo de

meninos e calçá-los com tênis R e calçar um outro grupo com o tênis V, Este tipo de

experimento é conhecido pelo nome de amostras independentes.

Uma estratégia com maior sensibilidade para detectar as diferenças entre R e V

consiste em escolher aleatoriamente para cada menino o pé no qual calçará o tênis R.

O outro pé calçará o tênis V. Esta classe de experimentos é conhecida pelo nome de

amostras dependentes ou emparelhadas.

http://www.midomenech.com.br/admin/arquivos/Emparelhados.pdf

http://www.midomenech.com.br/admin/arquivos/Emparelhados.pdf

Considere duas populações Normais com média 1 e 2 possivelmente

distintas e com a mesma variância 12= 2

2= 2 . Isto é

X ~ N(1,2)

Y ~ N(2,2)

Considere amostras aleatórias de X e Y (amostras independentes) e com

tamanhos m e n respectivamente, isto é

(x1,...,xm) e (y1,...,yn)

Todos os parâmetros são desconhecidos e o objetivo é construir

intervalos com 100(1-)% de confiança para a diferença das médias 1 - 2

Intervalo de confiança para a diferença nas médias de duas populações

1 - Caso de duas populações com variâncias iguais

(Amostras independentes)

A partir dos pressupostos assumidos sabemos que as distribuições

amostrais das médias amostrais são normais:

As médias amostrais são independentes então a diferença entre elas

também tem distribuição normal:

mNX

2

1,~

nNY

2

2 ,~

nmNYX

22

21 ,~

A partir dos resultados acima tem-se que:

1,0~

112

21 N

nm

YXZ




A variância 2 não é conhecida e pode ser estimada como

onde

2

11 2

2

2

12

nm

SnSmS pooled

m

i

i Xmxm

S1

222

11

1Variância amostral da amostra da população X

Variância amostral da amostra da população Y

Substituindo 2 por seu estimador tem-se que 2

pooledS

2

2

21 ~11

nm

pooled

t

nmS

YX


Distribuição t com m+n-2 graus de liberdade



n

i

i Ynyn

S1

222

21

1

1

21122

2

212 nm

pooled

nm t

nmS

YXtP

1

11

2

11

2

2

221

2

2nm

StYXnm

StYXP poolednmpoolednm

nmStYX

nmStYX poolednmpoolednm

11

2

11

2

2

221

2

2

Substituindo as estatísticas amostrais por seus valores numéricos, a expressão

acima deixa de ser uma probabilidade legítima e transforma-se no intervalo com

100(1-)% de confiança de conter a diferença entre as médias populacionais:

Para grandes amostras m+n >= 30 pode-se aproximar a distribuição t pela normal

padrão z. (t é aproximado por z)




Valores tabelados

De que maneira as empresas que vão à falência diferem daquelas que

continuam a operar?

Para responder a esta questão, um estudo comparou diversas características

de 68 empresas que estão em boa situação com 33 que faliram.

Uma das variáveis estudadas foi a razão entre o patrimônio e as dívidas

atuais. Grosso modo, trata-se do que a firma vale dividido pela quantia que ela

deve. As estatísticas amostrais são apresentadas a seguir:

Empresas bem sucedidas Empresas falidas

A estimativa da diferença da razão patrimônio/dívidas entre as firmas bem

sucedidas e aquelas que faliram é

Construa o intervalo de 95% confiança para a diferença das médias

6393,0

7256,1

1

1

S

X

4811,0

8236,0

2

2

S

X

902,08236,07256,121 XX

1 – Exemplo caso de duas populações com variâncias iguais



Vamos admitir populações com variâncias iguais.

Então, primeiro deve-se calcular a variância combinada

A margem de erro é

A diferença entre as bem sucedidas e falidas é em média 0,902 com margem de

erro de 0,2495 para uma confiança de 95%. Alternativamente, o intervalo com 95%

confiança para a diferença das médias é 0,902 0,2495 ou (0,6525 , 1,1515).

2495,033

1

68

13514,09842,1

11

2

2

99

nmSt pooled

3514,0

23368

4811,01336393,0168

2

11 222

2

2

12

nm

SnSmS pooled

O grau de liberdade da estatística t é m+n-2 = 68 + 33 – 2 = 99

Ao nível de confiança = 95%, o t(2,5%) é 1,9842. No Excel INVT(0,05;99) = 1, 9842

Como as amostras são grandes, então

poderíamos aproximar pela normal 1,96

1 – Exemplo caso de duas populações com variâncias iguais




distintas e com variâncias 12 e 2

2. Isto é

X ~ N(1,12)

Y ~ N(2,22)



(x1,...,xm) e (y1,...,yn)


intervalos com 100(1-)% de confiança para a diferença das médias 1 - 2


2 - Caso de duas populações com variâncias diferentes


A partir dos pressupostos assumidos sabemos que as distribuições

amostrais das médias amostrais são normais:

As médias amostrais são independentes então a diferença das médias

amostrais também tem distribuição normal:

mNX

2

11,~

nNY

2

22 ,~

nmNYX

2

2

2

121 ,~

A partir dos resultados acima tem-se que:

1,0~

2

2

2

1

21 N

nm

YXZ




A variância de cada população não é conhecida.

Substituindo as variâncias populacionais pelos respectivos estimadores,

obtém-se uma variável aleatória que não tem distribuição t

onde

Variância amostral da amostra da população X


Porém pode ser aproximada por uma distribuição t com v graus de

liberdade determinado por:

2

11

22

2

22

1

22

2

2

1

n

nS

m

mS

n

S

m

S

v


n

S

m

S

YX

2

2

2

1

21

Arredonde o resultado para cima



m

i

i Xmxm

S1

222

11

1

n

i

i Ynyn

S1

222

21

1


Onde v é determinado como:

2

11

22

2

22

1

22

2

2

1

n

nS

m

mS

n

S

m

S

v


n

S

m

StYX

n

S

m

StYX vv

2

2

2

121

2

2

2

1

22




Valores tabelados

De que maneira as empresas que vão à falência diferem daquelas que

continuam a operar?

Para responder a esta questão, um estudo comparou diversas características

de 68 empresas que estão em boa situação com 33 que faliram.

Uma das variáveis estudadas foi a razão entre o patrimônio e as dívidas

atuais. Grosso modo, trata-se do que a firma vale dividido pela quantia que ela

deve. As estatísticas amostrais são apresentadas a seguir:

Empresas bem sucedidas Empresas falidas

A estimativa da diferença da razão patrimônio/dívidas entre as firmas bem

sucedidas e aquelas que faliram é

Construa o intervalo de 95% confiança para a diferença das médias

6393,0

7256,1

1

1

S

X

4811,0

8236,0

2

2

S

X

902,08236,07256,121 XX

2 – Exemplo caso de duas populações com variâncias diferentes



Em amostras de tamanhos diferentes não é recomendável admitir a hipótese de

variâncias populacionais iguais, a menos que ambas as amostras sejam

realmente grandes, como neste caso.

Vamos construir o intervalo de confiança admitindo variâncias diferentes.

Então, primeiro deve-se calcular v, o nº de graus de liberdade da estatística t

850879,842

133

334811,0

168

686393,0

33

4811,0

68

6393,0

2

11

2222

222

22

2

22

1

22

2

2

1

n

nS

m

mS

n

S

m

S

v

Ao nível de confiança = 95% , o t(2,5%) é 1,9883. No Excel INVT(0,05;85) = 1, 9883

A margem de erro é

A diferença entre as bem sucedidas e falidas é em média 0,902 com margem de

erro de 0,2269 para uma confiança de 95%. Alternativamente, o intervalo com 95%

confiança para a diferença das médias é 0,902 0,2269 ou (0,6751 , 1,1289).

A título de ilustração, admitindo variâncias iguais o intervalo é (0,6525 ; 1,1515)

2269,033

4811,0

68

6393,09883,1

2

222

2

2

1

n

S

m

Stv

Como as amostras são grandes, então

poderíamos aproximar pela normal 1,96

2 – Exemplo caso de duas populações com variâncias diferentes



• Quando for necessário comparar, por exemplo, as vendas diárias

de duas filiais que operam com os mesmos produtos, ou os

resultados de um treinamento, confrontando o conhecimento antes

e depois do treinamento, os intervalos de confiança para a

diferenças das médias considerados até este momento não podem

ser aplicados, pois se referem a duas populações independentes.

• Agora, necessitamos analisar duas populações relacionadas, isto é,

duas populações dependentes.

• Neste caso, a variável de interesse será a diferença entre os pares

das duas amostras, no lugar das próprias amostras, que devem ter

o mesmo tamanho.



3- Caso de amostras emparelhadas

Considere duas populações Normais com média 1 e 2 possivelmente distintas e

com variâncias 12 e 2

2. Isto é

X1 ~ N(1,12) e X2 ~ N(2,2

2)

Considere amostras aleatórias de X1 e X2 (amostras dependentes ou

emparelhadas) com tamanhos idênticos (n), isto é

(x11,x21), (x12,x22),..., (x1i,x2i),..., (x1n,x2n) formam um conjunto de n observações

emparelhadas.

Em cada par amostrado pode-se calcular o desvio di=x1i-x2i para i=1,...,n

O valor esperado dos desvios é D = E(D) = E(X1-X2) = 1 - 2

Assim, o intervalo de confiança para a diferença entre 1 e 2 pode ser realizado

por meio do intervalo para a média dos desvios D .

n

Std

n

Std d

nDd

n

2

1

2

122

2

1

22

1

1dnd

nS

n

i

id

n

i

idn

d1

1onde e

são estatísticas amostrais Valores tabelados


3- Exemplo caso de amostras emparelhadas

Um fabricante de automóveis coleta dados do consumo de combustível para uma

amostra de n=10 carros em várias categorias de pesos, usando um tipo padrão de

gasolina com e sem determinado aditivo. Os motores foram ajustados para as

mesmas especificações antes de cada teste, e os mesmos motoristas foram

usados para as duas condições de gasolina (sem que o motorista em questão

soubesse qual gasolina estava sendo usada em cada teste particular). Dadas as

informações da amostra construa o intervalo com 95% de confiança para a

diferença do consumo médio com e sem aditivo.

7,110

1

i

id 31,110

1

2 i

id

17,010

7,1

10

1 10

1

i

idd

1134,09

102

10

1

2

2

dd

S i

i

d

Para um nível de confiança de 95% tem-se que t9(2,5%)= INVT(0,05;9) = 2,2622


3- Exemplo caso de amostras emparelhadas

O intervalo para a média dos desvios entre os pares de observações das

amostras emparelhadas é

10

1134,02622,217,0

10

1134,02622,217,0 D

9319,05919,0 D

Como o intervalo contém o zero não podemos afirmar que as médias dos

consumos com e sem aditivo na gasolina são diferentes.

Outros intervalos de confiança

Considere uma população Normal com média e variância 2

desconhecidas da qual foi extraída uma amostra de tamanho n.

A partir dos registros amostrais foi calculada a variância amostral:

Intervalo de confiança para a variância da Normal

2

1

2

1

1

m

i

i Xxm

S

A distribuição amostral de (n-1)S2/2 é qui-quadrado com n-1 graus de

liberdade ou seja 2n-1. Com base nesta distribuição podemos determinar

um intervalo com probabilidade 1- de conter a variância populacional 2.

1

2

)1(

21 2

12

22

1 nn

SnP

Substituindo a estatística amostra S2 por seu valor numérico, a expressão acima

deixa de ser uma probabilidade legítima e transforma-se no intervalo com 100(1-

)% de confiança de conter a variância da normal

1

21

)1(

2

)1(

2

1

22

2

1

2

nn

SnSnP

2

1

)1(

2

)1(

2

1

22

2

1

2

nn

SnSn

Valores tabelados

Intervalo de confiança para a razão de variâncias



2. Isto é

X ~ N(1,12)

Y ~ N(1,22)

Considere amostras aleatórias e independentes de X e Y e com tamanhos

m e n respectivamente, isto é

(x1,...,xm) e (y1,...,yn)


intervalos com 100(1-)% para a razão das variâncias


As estatísticas amostrais S12 e S2

2 são independentes e a distribuição

amostral de seus múltiplos é uma distribuição qui-quadrado

2

12

1

2

1 ~)1(

m

Sm

2

12

2

2

2 ~)1(

n

Sn

A razão das duas variáveis aleatórias acima segue uma distribuição F

)1;1(2

2

2

1

2

1

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

1 ~)1(

)1(

nm

n

m FS

S

S

S

n

m

Distribuição F com m-1 graus de

liberdade no numerador e n-1 graus

de liberdade no denominador


1

221 1,12

2

2

1

2

1

2

21,1 nmnm F

S

SFP

1

221

2

1

2

21,12

1

2

2

2

1

2

21,1

S

SF

S

SFP nmnm

Substituindo as estatísticas amostrais por seus valores numéricos, a

expressão acima deixa de ser uma probabilidade legítima e transforma-se no

intervalo com 100(1-)% de confiança de conter a razão das variâncias:

2

1

2

21,12

1

2

2

2

1

2

21,1

221

S

SF

S

SF nmnm

Com base nesta distribuição podemos determinar um intervalo com

probabilidade 1- de conter a razão das variâncias populacionais.

Exercício 1

Numa experiência agronômica pretende-se avaliar o crescimento total de uma

certa espécie de plantas (expresso em peso seco) relativamente a dois regimes de

fertilização A e B. Ao fim de determinado tempo procedeu-se a medições, tendo-se

obtido os seguintes resultados:

a) Numa experiência anterior (com um elevado numero de plantas da mesma

cultivar) relativa ao tratamento A, obteve-se uma variância de 0.42. Verifique se os

dados atuais são consistentes com esse valor. Comente, justificando, se haveria

alguma(s) hipótese(s) necessária(s) à resolução do problema.

b) Verifique se os dois regimes de fertilização A e B evidenciam diferenças

significativas no que respeita ao crescimento das plantas. Explicite as hipóteses

necessárias à resolução do problema

Exercício 1

(a resolução também pode ser encontrada na planilha exercícios.xlsx)

a) Admitindo populações normais, vamos resolver a questão por meio do

intervalo de confiança para a variância da população A.

Primeiro deve ser calculada a variância da amostra extraída de A

Na sequência, para um nível de confiança de 95%, devem ser determinados

os valores críticos da distribuição qui-quadrado que deixam 2,5% de

probabilidade na cauda esquerda e 2,5% na cauda direita.

valor crítico da cauda direita = 16,01. No Excel INV.QUI(0,025;7)

valor crítico da cauda esquerda = 1,69. No Excel INV.QUI(0,975;7)

O intervalo com 95% de confiança para variância de A é

como o intervalo de confiança contém o valor 0,42 não temos razão para

afirmar, com 95% de confiança, que os dados

8197,02 AS

3953,33538,069,1

8197,0)18(

01,16

8197,0)18(

21

)1(

2

)1( 22

2

1

22

2

1

2

nn

SnSn

b) Admite-se a hipótese de normalidade.

O pressuposto de igualdade das variâncias pode ser avaliado por meio do

intervalo de confiança para a razão das variâncias. Assim, primeiro são

calculadas as variâncias em cada amostra

Na sequência, para um nível de confiança de 95%, devem ser determinados os

valores críticos da distribuição F que deixam 2,5% de probabilidade na cauda

esquerda e 2,5% na cauda direita.

valor crítico da cauda direita = 4,99. No Excel INV.F(0,025;7;7)

valor crítico da cauda esquerda = 0,20. No Excel INV.F(0,975;7;7)

O intervalo com 95% de confiança para a razão das variâncias é

Como o intervalo contém o 1 não temos razão para afirmar que as variâncias são

diferentes. Portando, o pressuposto de variâncias iguais é plausível,

8197,02 AS 9346,02 BS

3804,41756,09346,0

8197,099,4

9346,0

8197,02,0

221

2

2

2

2

2

2

1,12

2

2

2

1,1

B

A

B

A

B

Anm

B

A

B

Anm

S

SF

S

SF

Exercício 1


b) As médias amostrais são

O intervalo de confiança para a diferença das médias onde se admite a

hipótese de populações normais com variâncias iguais é

onde

para um nível de confiança de 95% (=5%), o t crítico com 14 graus de

liberdade é 2,1448. (No Excel usar =INVT(0,05;14) )

O intervalo com 95% de confiança para a diferença das médias é

(-0,3168 ; 1,6899).

Como o intervalo contém o zero não podemos afirmar que as médias são

diferentes.

nmStXX

nmStXX poolednmBApoolednmBA

11

2

11

2

2

221

2

2

8772,0

288

9346,0188197,0182

pooledS

8033,5AX 1178,5BX

Exercício 1


Exercício 2

Pretende-se verificar se um dado tratamento aos metais tem algum

efeito na quantidade de metal removido numa certa operação.

Uma amostra aleatória de 100 peças foi introduzida num liquido

durante 24 horas sem ser feito o tratamento, obtendo-se uma média

de 12.2 mm de metal removido e um desvio padrão de 1.1 mm.

Uma segunda amostra de 200 peças foi primeiro tratada e depois

introduzida durante 24 horas no tal liquido, resultando uma média de

9.1 mm de metal removido com um desvio padrão de 0.9 mm.

Determine um intervalo de confiança a 98% para a diferença entre as

verdadeiras quantidades médias de metal removido sem tratamento e

com tratamento.

Reduzirá o tratamento a quantidade de metal removido?

Exercício 2

Teste de hipóteses

Teste de hipóteses para a média As estatísticas amostrais como médias e proporções fornecem estimativas

pontuais dos parâmetros populacionais, porém, em função da variabilidade

inerente à amostragem aleatória, as estatísticas amostrais e os parâmetros

populacionais raramente coincidem.

É justamente na discrepância entre a estatística amostral e a hipótese sobre o

valor de um parâmetro populacional que encontraremos evidências para validar

ou refutar a hipótese acerca do parâmetro.

Desvios pequenos podem ser atribuídos ao erro amostral, inerente ao processo

de amostragem, e neste caso é razoável admitir que a hipótese seja verdadeira,

isto é, que a amostra poderia ter sido extraída de uma população, cujo parâmetro

populacional assume o valor alegado pela hipótese.

Por sua vez, discrepâncias grandes sugerem que a variabilidade não se deve

apenas ao erro amostral, mas a inadequação da hipótese acerca do valor do

parâmetro, ou seja, a hipótese é falsa.

Seguindo esta lógica, os testes de hipóteses decidem pela aceitação

(variabilidade casual atribuída ao erro amostral) ou pela rejeição (variabilidade

real não atribuída apenas ao erro amostral) da hipótese sobre o valor do

parâmetro populacional.

Teste de hipóteses para a média

O teste compara duas hipóteses: a hipótese nula H0 e a hipótese alternativa H1.

Por exemplo, com base no valor da média amostral podemos avaliar a

plausibilidade da hipótese da média populacional ser igual a um determinado

valor 0. Assim, podemos formular as seguintes hipóteses acerca da média

populacional:

H0: =0

H1: 0

Note que a hipótese H0 é uma afirmação sobre o valor do parâmetro populacional,

enquanto H1 oferece uma alternativa à alegação feita na hipótese nula.

A hipótese alternativa H1: 0 é bilateral, pois abrange valores menores e

maiores que 0, mas em outras situações pode assumir outras especificações,

por exemplo, nos testes unilaterais: H1: >0 ou H1: <0.

Para realizar o teste é fundamental estabelecer a distribuição amostral do

estimador do parâmetro populacional correspondente às hipóteses. No caso da

média, sabemos pelo Teorema do Limite Central que a distribuição da média

amostral é normal com média igual a média populacional e variância 2/n.

O teste permite avaliar a evidência fornecida

pelos dados sobre alguma afirmação (expressa

na hipótese nula H0) relativa à população.

Uma grande discrepância entre e 0 indica

que o valor da média amostral situa-se nas

caudas da distribuição normal, ou seja, é

pouco provável que o valor observado da

média amostral provenha de uma população

com média igual a 0.

Este resultado sugere rejeitar H0: =0.


Se a hipótese nula é verdadeira, a média amostral segue distribuição

normal com média igual a 0. X

X

Um pequeno desvio entre e 0 sugere que a diferença é

casual e se deve apenas ao erro amostral e, portanto, 0 é

um valor plausível para a média populacional.

Resultado que sugere a aceitar H0: =0.

X

Distribuição da média amostral


0X desvio entre a média amostral e a (hipotética) média

populacional 0

n

X

2

0

desvio entre a média amostral e a (hipotética) média

populacional 0 expresso em número de erros-padrão n2

Dá uma idéia da magnitude do desvio (> 2 desvios é grande)

Não dá uma idéia da magnitude do desvio se pequeno ou grande

1,0~2

0 Nn

Xz

Teorema do limite central

nNX

2

0 ,~

z é normal com média

zero e desvio-padrão 1

Valores de z como

este são bastante

improváveis se H0 é

verdadeira

Valores de z como

este são bastante

prováveis se H0 é

verdadeira

Valores de z como

este são bastante

improváveis se H0 é

verdadeira

Valores de z como

este são bastante

prováveis se H0 é

verdadeira

Estatística

teste

probabilidade

1-

probabilidade

Teste de hipóteses para a média Podemos definir uma região com uma pequena probabilidade de

ocorrência nas caudas da distribuição amostral e rejeitar a hipótese nula

H0: =0 se o valor de z estiver nesta região.

A região de rejeição tem probabilidade /2 em cada cauda da distribuição.

Neste caso a hipótese alternativa é bilateral, H1: 0, logo grandes

desvios negativos ou positivos indicam que a hipótese nula não é

plausível.

A probabilidade é o nível de significância do teste e usualmente adota-

se o valor de 1%, 5% ou 10%.

-z(/2) e z(/2) são valores

tabelados em função do

nível de significância

(valores críticos)


A regra de decisão é muito simples

valor para a estatística

teste z fora do intervalo

[-z(/2), z(/2)]

Rejeita-se a hipótese H0: =0

valor para a estatística

teste z no intervalo

[-z(/2), z(/2)] Aceita-se a hipótese H0: =0

A decisão sobre aceitar ou rejeitar a validade da hipótese

nula baseia-se nos resultados de uma amostra, os quais

estão sujeitos à variabilidade inerente ao processo de

amostragem, logo a regra de decisão não está livre de erros e

decisões incorretas podem ser tomadas.


1) Se a média populacional é 0 (H0 é verdadeira), podemos

selecionar uma amostra que produza uma estatística teste

cujo valor esteja na região de rejeição.

Neste caso incorremos no erro tipo I: rejeitar uma hipótese

verdadeira.

2) Se a amostra selecionada é proveniente de uma população

com média diferente de 0, o valor da estatística teste pode

pertencer ao intervalo [-z(/2), z(/2)], a região de aceitação

da hipótese nula.

Neste caso, incorremos no erro tipo II: aceitar uma hipótese

falsa.

O importante é reconhecer que estamos tomando decisões em condições

de incerteza e, portanto, sujeitos a dois tipos de erro:

Erro tipo I : rejeitar H0 quando H0 é verdadeira

Erro tipo II : aceitar H0 quando H0 é falsa

Exemplo:

H0 réu é inocente (todos são inocentes até que se prove o contrário)

H1 réu é culpado


A probabilidade do erro tipo I é dada pelo nível de significância especificado para o teste

A probabilidade do erro tipo II é denotada por .

Estas probabilidades estão inversamente relacionadas.

A redução da probabilidade do erro tipo I aumenta o valor crítico z(/2), o que reduz a região de rejeição

da hipótese nula nas caudas da distribuição amostral e, portanto, aumenta a probabilidade do erro tipo II.

Enquanto a hipótese nula estipula um valor 0 para a média populacional, a hipótese alternativa admite

que a média pode ser qualquer valor desde que diferente de 0.

Assim, não há um único valor para a probabilidade , mas um conjunto de valores calculados para cada

um dos possíveis valores para a média populacional. Em função da dificuldade de calcular , o

procedimento usual em testes de hipóteses consiste em especificar uma pequena probabilidade de erro

tipo I (nível de significância) e ignorar o erro tipo II (STEVENSON, 1981).

Note que o erro tipo I só pode ocorrer quando a hipótese H0 é verdadeira e o erro tipo II só pode

acontecer quando a hipótese H0 é falsa.

Assim, quando rejeitamos H0 existe uma pequena probabilidade de estarmos cometendo o erro tipo I.

Porém, quando aceitamos H0 como verdadeira, a probabilidade de estarmos cometendo o erro tipo II

pode ser grande.

Por esta razão, HOFFMANN (1998) recomenda que quando o resultado de um teste de hipótese é

significativo, a conclusão deve ser escrita em termos de “rejeitar H0 ao nível de significância ”, porém

quando o resultado é não significativo, a conclusão deve ser escrita em termos de “não há razão para

rejeitar H0 ao nível de significância ”, mas não em termos de “aceitar H0”.


Exemplo 1: Um comprador de tijolos julga que a qualidade dos tijolos está deteriorando. Sabe-se pela experiência passada que a média de resistência ao esmagamento destes tijolos é de 400 libras com desvio padrão de 20 libras. Uma amostra de 100 tijolos deu uma média de 395 libras. Teste a hipótese de que a qualidade média não se alterou contra a alternativa de que se tenha deteriorado. (considere o nível de significância de 5%)

H0: μ = 400

Ha: μ ≠ 400

= 395 – 400 = -5 = -2,5

20/√100 2

Valor da variância é conhecido e a

amostra é grande (>30), então podemos aproximar

pela normal. Logo para significância de 5%, zc = 1,96

Valor calculado está localizado na região de rejeição de H0

CONCLUSÃO:

rejeitamos H0, isto é,

a resistência não é

maior que 400 libras.

zc = -1,96 zc = 1,96

Teste bilateral

Calculando o valor da estatística teste


Exemplo 2: Os registros dos últimos anos de um colégio atestam para os calouros

admitidos que a nota média 115 pontos (teste vocacional). Para testar a hipótese de

que a média de uma nova turma é a mesma, tirou-se, ao acaso, uma amostra de 50

notas, obtendo-se uma média 118 e um desvio padrão 20. Admita = 5%, para efetuar

o teste.

H0: = 115 (hipótese nula, com 0 =115)

versus

H1: 115 (hipótese alternativa)

Como é desconhecida, a estatística do teste é:

T = nS

X 0 =

5020

115118 = 1,06,

Para = 5% /2 o valor t/2 da tabela t-Student bicaudal com ( n– 1) = 49 graus de liberdade

é t/2 =.2,093.

Como |T| = 1,06 < 2,093, concluímos que não rejeitamos H0 , isto é, ao nível de 5% de

significância concluímos que a nova turma tem a mesma nota média no teste vocacional que

os do registro dos últimos anos.

Teste bilateral

Usamos a distribuição t, pois

a variância não é conhecida,

mas como a amostra é

grande (>30) poderíamos

aproximar pela normal.


Exemplo 3: Um trecho de uma rodovia, quando é utilizado o radar, são

verificadas em média 7 infrações diárias por excesso de velocidade. O

chefe da polícia acredita que este número pode ter aumentado. Para

verificar isso, o radar foi mantido por 10 dias consecutivos. Os resultados

foram:

8, 9, 5, 7, 8, 12, 6, 9, 6, 10

Os dados trazem evidências do amento das infrações? Use = 10%

H0: µ ≤ 7

Ha: µ > 7

Média amostral = 8+9+5+7+8+12+6+9+6+10 = 8

10

Não conhecendo σ, estimamos s, onde s = 2,1

A amostra é pequena (<30) com variância desconhecida,

logo devemos usar a distribuição t,

Estatística teste = = 1,5

Calculando valor crítico (tc) no Excel = INVT(0,10;9) = 1,83

t = 1,5 tc = 1,83

CONCLUSÃO: Ao nível de

significância de 10 % não

rejeitamos H0, o que implica que

o número de infrações não teve

um aumento significativo.

Teste unilateral com região de

rejeição no lado direito


Exemplo 4: Uma pesquisa feita em universidades mostrou que professores ganham em média de R$45.678. Um deles contestou a pesquisa e disse que a real média seria de R$48.000 com um desvio padrão de R$7.000. Foram analisados 81 professores para que ele chegasse a essa média amostral. O que o professor disse é válido? (nível de significância de 5%)

H0: μ ≥ 45.678

Ha: μ < 45.678

A amostra é grande (>30), logo podemos

Aproximar pela normal

= 48.000 – 45.678 = 2.322 = 2,98

7.000/√81 777,77

Calculando valor crítico no Excel

para 5%, zc = INV.NORMP(0,05) = -1,65

CONCLUSÃO: O professor está

correto (Não rejeitamos H0). O

salário é maior que R$ 45.678

considerando o nível de

significância de 5%.

zc = -1,65

Teste unilateral com

região de rejeição no

lado esquerdo


Teste de hipóteses para a proporção

Com base na distribuição amostral do estimador pode-se construir um

teste de hipóteses para a proporção populacional semelhante ao teste da

média:

Em grandes amostras, a aproximação à curva normal pode ser utilizada

em outros estimadores, tal como o estimador de proporção, cuja

distribuição amostral converge para uma normal com média igual a


n

pppNp

1,~ˆ

H0: p=p0

H1: pp0

Sob a hipótese nula a estatística teste tem distribuição normal padrão:

1,0~)1(

ˆ

00

0 Nnpp

pp

Estatística teste

Para um dado nível de significância a hipótese nula é rejeitada se o

valor absoluto da estatística teste for maior que o valor z(/2)

Exemplo 1: Um certo analgésico adotado em determinado hospital é eficaz em 70% dos

casos.

Um grupo de médicos chineses em visita a esse hospital afirma que a utilização de

acupuntura produz melhores resultados.

A direção do hospital resolve testar o método alternativo em 80 pacientes, com a

finalidade de adotá-lo em definitivo se ele apresentar eficiência satisfatória numa

proporção de casos maior que do anestésico atual.

Na amostra foi observado que em 85% dos casos o método de acupuntura apresenta a

eficiência satisfatória. Que decisão tomar ao nível de 5% de significância?

Trata-se de um teste sobre uma proporção p, onde p é a eficiência do método

alternativo.

H0 p=0,7

H1 p>0,7



85,0ˆ p

0512,0

80

3,07,01 00

n

ppS p

Proporção amostral

Erro padrão sob a

hipótese nula

Estatística teste 94,20512,0

7,085,0ˆ0

pS

ppz

Valor crítico para um nível de significância de 5% Zc = INV.NORMP(0,95) = 1,65

Como z > 1,65 concluímos pela rejeição da hipótese nula ao nível de significância de

5%, isto é, o método de acupuntura produz melhores resultados que o método

tradicional.

H0 p=0,7

H1 p>0,7

Teste unilateral com região

de rejeição no lado direito

1,65

Teste de hipóteses para a proporção Exemplo 2: Uma emissora de TV garante que em determinado horário sua audiência é

de 80%. Uma pesquisa realizada em 100 domicílios revela que 62 aparelhos estavam

ligados na emissora no horário indicado. Teste a hipótese da audiência ser a anunciada,

ao nível de significância de 5%.

Trata-se de um teste sobre uma proporção p, onde p é a audiência.

H0 p=0,8

H1 p<0,8 Teste unilateral com região de

rejeição no lado esquerdo

04,0

100

2,08,01 00

n

ppS p

Erro padrão sob a

hipótese nula

Estatística teste 5,404,0

8,062,0ˆ0

pS

ppz

62,0ˆ pProporção amostral

Valor crítico para um nível de significância de 5% Zc = INV.NORMP(0,05) = -1,65

-1,65

Como z < -1,65 concluímos pela rejeição da hipótese nula ao nível de significância de

5%, isto é, não poderemos aceitar a hipótese de uma audiência de 80%, tomando-se

por base os dados coletados em uma amostra de 100 indivíduos.

TESTES DE HIPÓTESES

COM DUAS AMOSTRAS

O teste de hipóteses da diferença das médias de duas populações é freqüentemente utilizado para determinar se é ou não razoável concluir que as médias de duas populações são diferentes. Por exemplo:

– Se o mesmo produto oferecido por dois fornecedores diferentes apresenta a

mesma quantidade de peças com defeitos.

– Determinar se o novo remédio para controle de diabetes é eficiente acompanhando dois grupos de pacientes, o primeiro grupo que recebeu o remédio e o outro que recebeu apenas placebo, produto com a mesma forma, porém sem o elemento ativo.

– O gerente de compras pode estar interessado em determinar se o mesmo produto oferecido por dois fornecedores diferentes apresenta o mesmo prazo real de entrega.

– Da mesma forma, o gerente de salários necessita conhecer se os salários da mesma categoria de trabalhadores têm o mesmo valor em duas cidades diferentes.

Teste de hipóteses para a diferença nas médias




2, Isto é

X ~ N(1,12)

Y ~ N(1,22)



(x1,...,xm) e (y1,...,yn)

Em cada amostra são calculadas a média e a variância ( ).

Todos os parâmetros são desconhecidos e desejamos testar a diferença

das médias:

H0 1 - 2 =

H1 1 - 2

2

2

2

1 ,,, SSYX

O critério de rejeição é semelhante ao utilizado

nos testes de hipóteses para a média

1 - Caso de duas amostras independentes


1.1 – Amostras independentes de duas populações com variâncias iguais

onde

2

11 2

2

2

12

nm

SnSmS pooled



Sob H0 a estatística teste tem distribuição t com m+n-2 graus de liberdade

2

2

~11

nm

pooled

t

nmS

YX

Variância combinada


distintas e com a mesma variância 12= 2

2= 2 .

Todos os parâmetros são desconhecidos e desejamos testar

H0 1 - 2 =

H1 1 - 2

m

i

i Xmxm

S1

222

11

1

n

i

i Ynyn

S1

222

21

1


Admitindo um nível de significância de 5%, teste a hipótese de que o

consumos médios sejam idênticos (=0)

Estatística teste sob H0

Deseja-se estimar a diferença no consumo de combustível (km/l) entre as

versões Caminhonete (C) e Sedan (S) de um determinado modelo de

automóvel. Por estudos já realizados anteriormente (e ainda válidos)

sabe-se que os consumos destes automóveis são normalmente

distribuídos e tem variâncias idênticas. Uma amostra de 30 caminhonetes

e 15 sedans foi analisada obtendo-se as seguintes estatísticas amostrais

para o consumo:

22 (km/l) 2012,23

km/l 1748,8

C

C

S

X

22 (km/l) 6108,38

km/l 8742,8

S

S

S

XCaminhonetes Sedan

H0 C - S = 0

H1 C - S 0

43

2

~

15

1

30

1

0t

S

YX

pooled

43

1429 222 SCpooled

SSS

1.1 – Exemplo amostras independentes de duas populações com variâncias iguais


Sob H0 a estatística teste tem distribuição t com 43 graus de liberdade.

Primeiro é calculado o valor da variância combinada.

2183,2843

6108,38142012,23292

pooledS

Após obtém-se o valor da estatística teste 4164,0

15

1

30

12183,28

8742,81748,8

O valor crítico ao nível de 5% (valor tabelado obtido pelo Excel) é

tcrítico = INVT(0,05,43) = 2,0167

Valor absoluto calculado (0,4164) < Valor crítico ao nível de 5% (2,0167),

logo não rejeitamos a hipótese nula (H0).

Conclusão: A um nível de 5% de significância não há evidências

amostrais que permitam rejeitar a hipótese de que os consumos médios

dos dois modelos sejam idênticos.

1.1 – Exemplo amostras independentes de duas populações com variâncias iguais


onde



Sob H0 a estatística teste tem distribuição t com v graus de liberdade



2.

Todos os parâmetros são desconhecidos e desejamos testar

H0 1 - 2 =

H1 1 - 2

2

11

22

2

22

1

22

2

2

1

n

nS

m

mS

n

S

m

S

v

vt

n

S

m

S

YX~

2

2

2

1


1.2 – Amostras independentes de duas populações com variâncias diferentes

m

i

i Xmxm

S1

222

11

1

n

i

i Ynyn

S1

222

21

1


Admitindo um nível de significância de 5%, teste a hipótese de igualdade

das médias (=0)


Deseja-se estimar a diferença no consumo de combustível (km/l) entre as

versões Caminhonete (C) e Sedan (S) de um determinado modelo de

automóvel. Por estudos já realizados anteriormente (e ainda válidos)

sabe-se que os consumos destes automóveis são normalmente

distribuídos. Uma amostra de 30 caminhonetes e 15 sedans foi analisada

obtendo-se as seguintes estatísticas amostrais para o consumo:

2

115

15

130

30

15302222

222

SC

SC

SS

SS

vv

SC

SC tSS

XX~

1530

0

22

22 (km/l) 2012,23

km/l 1748,8

C

C

S

X

22 (km/l) 6108,38

km/l 8742,8

S

S

S

XCaminhonetes Sedan

H0 C - S = 0

H1 C - S 0

onde

1.2 – Exemplo amostras independentes de duas populações com variâncias diferentes


Exemplo para o caso de duas populações com variâncias diferentes

O valor crítico ao nível de 5% (valor tabelado obtido pelo Excel) para uma

distribuição t com v graus de liberdade é:

tcrítico = INVT(0,05,23) = 2,0687

O valor calculado da estatística teste (tcalc) é

232

115

156108,38

130

302012,23

15

6108,38

30

2012,23

22

2

v

3823,0

15

6108,38

30

2012,23

8742,81748,8

calct

O nº de graus de liberdade v

Valor absoluto calculado (0,3823) < Valor crítico ao nível de 5% (2,0687),

logo não rejeitamos a hipótese nula (H0).

Conclusão: A um nível de 5% de significância não há evidências

amostrais que permitam rejeitar a hipótese de médias idênticas.



(teste para igualdade de proporções)

Valor crítico ao nível de 5% = zc = INV.NORMP(0,025) = 1,96


Uma amostra de 50 residências em uma comunidade mostra que 10 delas

estão assistindo, pela TV, a um especial sobre a economia nacional. Em

uma segunda comunidade, 15 de uma amostra aleatória de 50 residências

estão assistindo ao especial na TV. Teste a hipótese de que a proporção

geral de espectadores nas duas comunidades não têm diferença, usando

um nível de significância de 5%.

H0: p1 - p2 = 0

H1: p1 - p2 0

O teste pode ser conduzido como o teste para avaliar a

diferença nas médias para amostras independentes.

)1,0(~)ˆ1(ˆ)ˆ1(ˆ

0ˆˆ

2

22

1

11

21 N

n

pp

n

pp

ppz

Valor calculado para a estatística teste = z = -1,16

Conclusão: Como valor absoluto de z é menor que o valor crítico,

decidimos não rejeitar a hipótese nula.

3,050/15ˆ

2,050/10ˆ

2

1

p

p

50

50

2

1

n

n




Em virtude dos protestes feitos sobre as más condições de trabalho em

certas fábricas de roupas dos EUA, em 1998 uma comissão conjunta do

governo e da indústria recomendou que as empresas que monitoram os

padrõe apropriados de produção tenham a permissão de utilizar uma

etiqueta “No Sweat” em seus produtos. Será que a presença dessas

etiquetas influencia o comportamento dos consumidores?

Uma pesquisa feita com residentes dos EUA e com idade acima de 18

anos perguntou-lhes que chance haveria de eles comprarem uma roupa

com a etiqueta “No Sweat”. Assim, cada entrevistado foi classificado

como um “valorizador da etiqueta” ou “não valorizador da etiqueta”. As

proporções amostrais por sexo são apresentadas na tabela abaixo:

Teste a hipótese de que as proporções dos que valorizam a etiqueta é a

mesma entre os homens e as mulheres. Use = 5%.




Valor crítico ao nível de 5% = zc = INV.NORMP(0,025) = 1,96


Hipóteses

H0: pM - pH = 0

H1: pM - pH 0

O teste pode ser conduzido como o teste para avaliar a

diferença nas médias para amostras independentes.

)1,0(~)ˆ1(ˆ)ˆ1(ˆ

0ˆˆN

n

pp

n

pp

ppz

H

HH

M

MM

HM

Valor calculado para a estatística teste = z = 3,4181

Conclusão: Como valor absoluto de z é menor que o valor crítico,

decidimos rejeitar a hipótese nula. Ao nível de significância de 5% as

proporções de mulheres e homens que valorizam a etiqueta são

diferentes.

108,0ˆ

213,0ˆ

H

M

p

p

251

296

H

M

n

n


• Quando for necessário comparar, por exemplo, as vendas diárias

de duas filiais que operam com os mesmos produtos, ou os

resultados de um treinamento, confrontando o conhecimento antes

e depois do treinamento, os procedimentos de teste de hipóteses

para diferença das médias utilizados até este momento não podem

ser aplicados, pois se referem a duas populações independentes.

• Agora, necessitamos analisar duas populações relacionadas, isto é,

duas populações dependentes.

• Neste caso, a variável de interesse será a diferença entre os pares

das duas amostras, no lugar das próprias amostras, que devem ter

o mesmo tamanho.

3- Caso com amostras emparelhadas



2. Isto é

X1 ~ N(1,12) e X2 ~ N(2,2

2)

Considere amostras aleatórias de X1 e X2 (amostras dependentes ou

emparelhadas) com tamanhos idênticos (n), isto é

(x11,x21), (x12,x22),..., (x1i,x2i),..., (x1n,x2n) formam um conjunto de n

observações emparelhadas.

Em cada par amostrado pode-se calcular o desvio di=x1i-x2i para i=1,...,n

O valor esperado dos desvios é D = E(D) = E(X1-X2) = 1 - 2

Assim, o teste da diferença entre 1 e 2 pode ser realizado por meio do

teste t com as hipóteses


H0 D = 0

H1 D 0

• Como premissa, a população das diferenças tem distribuição

aproximadamente normal e a amostra das diferenças é extraída

aleatoriamente da população das diferenças.

• Assim a estatística teste sob H0 tem distribuição t com n-1 graus de

liberdade

12

~0

n

d

t

n

S

d

• O teste segue o mesmo funcionamento do teste t para a média,

ou seja, a hipótese nula é rejeitada ao nível de significância

se o valor absoluto da estatística teste é maior que o valor

tabelado para a tn-1(/2).


3- Caso com amostras emparelhadas

2

1

22

1

1dnd

nS

n

i

id

n

i

idn

d1

1e onde


3 - Exemplo caso com amostras emparelhadas

Um fabricante de automóveis coleta dados do consumo de combustível para uma

amostra de n=10 carros em várias categorias de pesos, usando um tipo padrão de

gasolina com e sem determinado aditivo. Os motores foram ajustados para as

mesmas especificações antes de cada teste, e os mesmos motoristas foram

usados para as duas condições de gasolina (sem que o motorista em questão

soubesse qual gasolina estava sendo usada em cada teste particular). Dadas as

informações da amostra teste ao nível de significância de 5% a hipótese de que

não há diferença entre o consumo médio obtido com e sem aditivo.

7,110

1

i

id 31,110

1

2 i

id

17,010

7,1

10

1 10

1

i

idd

1134,09

102

10

1

2

2

dd

S i

i

d

Para um nível de significância de 5% tem-se que t9(2,5%)= INVT(0,05;9) = 2,2622


3 - Exemplo caso com amostras emparelhadas

O valor calculado da estatística teste é

59,1101134,0

17,0

Como o valor calculado da estatística teste (1,59) é maior que o valor crítico (2,262),

então podemos concluir pela não rejeição da hipótese nula, ou seja, não há diferenças

entre o consumo obtido com e sem o aditivo.

12

~0

n

d

t

n

S

d

t calculado =

Teste de igualdade de variâncias

• Freqüentemente, é necessário verificar se é ou não razoável

concluir que as variâncias das duas populações são

diferentes.

• O teste F é um teste de hipóteses utilizado para verificar se

as variâncias de duas populações com distribuição normal

são diferentes, ou para verificar qual das duas populações

com distribuição normal têm mais variabilidade.

• De outra maneira, conhecidas duas amostras com qualquer

tamanho, o teste F dá condições para determinar se as duas

amostras pertencem à mesma população.




2, Isto é

X ~ N(1,12)

Y ~ N(1,22)



(x1,...,xm) e (y1,...,yn)

Em cada amostra são calculadas a média e o desvio-padrão ( ).

Todos os parâmetros são desconhecidos e desejamos testar a igualdade

das variâncias:

2

2

2

1 ,,, SSYX

alternativamente

A estatística teste é a razão das variâncias amostrais

Sob H0 a estatística teste tem distribuição F com m+1 graus de liberdade

no numerador e n-1 graus de liberdade no denominador:


1;12

2

2

1 ~ nmFS

S

Comparando o F calculado (Fcalc) com o F crítico (Fc), se Fcalc>Fc, então a

hipótese nula deve ser rejeitada

1;1 nmF

A maior variância amostral entra no numerador

A menor variância amostral entra no denominador

Teste de igualdade de variâncias Exemplo

Deseja-se verificar se há diferenças no consumo de combustível entre as versões

Caminhonete (C) e Sedan (S) de um determinado modelo de automóvel. Por

estudos anteriores sabe-se que os consumos destes são normalmente

distribuidos e, num processo onde foram coletadoas 30 iobservações para a

Caminhonete e 15 observações para o Sedan, obteve-se respectivamente

variâncias de 23,2012 (km/l)2 e 38,6108 (km/l)2. Teste a hipótese de que as

variâncias para os consumos dos dois modelos sejam idênticas, ao nível de

significância de 5%.

6642,12012,23

6108,382

2

C

S

S

S

Como a amostra do Sedan apresentou a maior variância amostral, a

estatística teste tem distribuição F com 14 graus de liberdade no

numerador e 29 graus de liberdade no denominador:

29,142

2

~ FS

S

C

S

O valor calculado da estatística teste é

Ao nível de significância de 5% o valor crítico (obtido pelo Excel) é:

Fc = INVF(0,05;14;29) = 2,05

Conclusão: Ao nível de 5% de significância não podemos rejeitar a hipótese de

que as variâncias dos consumos dos dois modelos sejam idênticas, sendo as

diferenças encontradas explicadas por variações estatísticas no processo de

amostragem.

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Métodos Quantitativos em Contabilidade 4 inferÃªncia.pdf · grandes (n 30) a distribuição de probabilidade da média amostral converge para uma distribuição normal com média