Raul Sena Ferreira Estatística para gestoresperiodicos.anhembi.br/arquivos/ebooks/439252.pdf · bilísticas que explicam a frequência da ocorrência de eventos, tanto em experimentos

Estatística para gestores

Raul Sena Ferreira

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Raul Sena Ferreira

São PauloRede Internacional de Universidades Laureate

2015


© Copyright 2015 da Laureate. É permitida a reprodução total ou parcial, desde que sejam respeitados os direitos do Autor, conforme determinam a Lei n.º 9.610/98 (Lei do Direito Autoral) e a Constituição Federal, art. 5º, inc. XXVII e XXVIII, “a” e “b”.

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)(Sistema de Bibliotecas da UNIFACS Universidade Salvador - Laureate International Universities)

FERREIRA, Raul Sena

Estatística para gestores / Raul Sena Ferreira. – São Paulo: Laureate International Universities, 2015.

90 p.ISBN 978-85-69801-27-6

1. Matemática básica. 2. Gráficos estatísticos. 3. Amostragem. I. Título.

Sumário

07

Apresentação ................................................................................................................11

CAPÍTULO 1 – Matemática Básica ..................................................................................13

Introdução ....................................................................................................................13

1.1 Números e operações elementares .............................................................................13

1.1.1 Números naturais ............................................................................................14

1.1.2 Números inteiros .............................................................................................15

1.1.3 Números racionais ..........................................................................................16

1.1.4 Números irracionais ........................................................................................16

1.1.5 Números reais ................................................................................................16

1.1.6 Porcentagem ...................................................................................................17

1.2 Razão e proporção ...................................................................................................19

1.2.1 Razão ............................................................................................................19

1.2.2 Proporção ......................................................................................................20

1.3 Regras de três ..........................................................................................................22

1.3.1 Regra de três simples .......................................................................................22

1.3.2 Regra de três simples inversa ............................................................................22

1.3.3 Regra de três composta ....................................................................................24

Síntese ..........................................................................................................................27

Referências Bibliográficas ................................................................................................28

CAPÍTULO 2 – Aspectos da Estatística .............................................................................29

Introdução ....................................................................................................................29

2.1 Gráficos ..................................................................................................................29

2.1.1 Noções sobre gráficos .....................................................................................29

2.1.2 Tabela de frequência .......................................................................................30

2.1.3 Histograma .....................................................................................................30

2.1.4 Temporal ou sequencial ...................................................................................31

2.1.5 Probabilidade .................................................................................................32

08 Laureate- International Universities

2.1.6 Pizza ..............................................................................................................33

2.1.7 Dispersão .......................................................................................................33

2.1.8 Boxplot ..........................................................................................................34

2.2 Distribuição de frequência .........................................................................................35

2.2.1 Utilização dos dados de frequência absoluta ou relativa ......................................36

2.3 Medidas de tendência central e de dispersão ..............................................................39

2.3.1 Média, mediana e moda ..................................................................................39

2.3.2 Quartis ..........................................................................................................40

2.3.3 Decis .............................................................................................................41

2.3.4 Percentis .........................................................................................................41

2.3.5 Desvio padrão ................................................................................................42

2.4 Amostragem ............................................................................................................43

2.4.1 Amostragens não aleatórias ..............................................................................43

2.4.2 Amostragem aleatória simples ..........................................................................44

2.4.3 Amostragem sistemática ...................................................................................44

2.4.4 Amostragem estratificada .................................................................................44

2.4.5 Amostragem de voluntários ..............................................................................45

2.4.6 Amostragem por bola de neve ..........................................................................45

2.4.7 Amostragem por cotas .....................................................................................45

2.4.8 Amostragem por escolha racional .....................................................................45

2.4.9 Amostragem acidental .....................................................................................46

2.4.10 Amostragem com reposição ............................................................................46

2.4.11 Amostragem sem reposição ............................................................................46

2.5 Correlação e regressão linear ....................................................................................46

2.5.1 Correlação .....................................................................................................47

2.5.2 Regressão linear ..............................................................................................47

Síntese ..........................................................................................................................51


CAPÍTULO 3 – Amostragem e o Processo Produtivo ...........................................................53

Introdução ....................................................................................................................53

3.1 Técnicas de amostragem ...........................................................................................53

3.1.1 Processo produtivo ..........................................................................................53

09

3.1.2 Técnicas de amostragem ..................................................................................55

3.2 Interpretação dos dados ...........................................................................................62

3.2.1 Exercícios de estatística aplicada e sua interpretação dos dados ...........................62

Síntese ..........................................................................................................................68


CAPÍTULO 4 – Probabilidade .........................................................................................71

Introdução ....................................................................................................................71

4.1 Distribuição discreta .................................................................................................71

4.1.1 Distribuição de probabilidade ...........................................................................71

4.1.2 Variável aleatória discreta ................................................................................72

4.1.3 Distribuição discreta e seus diferentes tipos ........................................................72

4.1.4 Distribuição uniforme .......................................................................................73

4.1.5 Distribuição binominal e distribuição de Bernoulli ...............................................75

4.1.6 Distribuição de Poisson ....................................................................................76

4.1.7 Função hipergeométrica ...................................................................................78

4.2 Distribuição contínua ................................................................................................78

4.2.1 O que é a distribuição contínua? ......................................................................78

4.2.2 Distribuição normal .........................................................................................79

4.2.3 Distribuição gama ...........................................................................................80

4.2.4 Distribuição exponencial ..................................................................................80

4.2.5 Distribuição de extremos ou Gumbel .................................................................81

4.2.6 Exemplos de distribuição contínua e discreta ......................................................82

Síntese ..........................................................................................................................87


Minicurrículo do autor ....................................................................................................89


1111

ApresentaçãoApresentação

Como um gestor pode obter dados sobre uma determinada população, sobre a sua produção ou indicadores para um planejamento? A resposta tem a ver com a análise sistemática de uma determinada realidade. Os recursos estatísticos são uma ferramenta essencial no trabalho do gestor e permitem mensurar qualquer tipo de demanda que tenham a ver com as teorias proba-bilísticas que explicam a frequência da ocorrência de eventos, tanto em experimentos observa-cionais quanto em estudos modelos, a aleatoriedade e a incerteza, em que é possível estimar ou possibilitar a previsão de fenômenos futuros.

Neste material, veremos inicialmente os conceitos da matemática básica usando raciocínio ló-gico e capacidade crítica – entre estes conceitos, devemos descrever e solucionar questões ma-temáticas utilizando o cálculo algébrico; apontar as relações entre grandezas que apresentam proporção entre si, analisando que a razão entre elas é constante; e identificaremos as questões matemáticas que envolvam quatro valores analisando onde três deles são conhecidos.

Em seguida, abordaremos os principais aspectos da estatística, ou seja, os métodos inferenciais, permitindo tirar conclusões que transcendam os dados obtidos inicialmente. Para isso, defini-remos os fenômenos estatísticos analisando diversas séries gráficas; iremos descrever como os dados estatísticos resultantes das variáveis quantitativas podem ser descritos analisando séries gráficas; iremos observar uma distribuição de frequência e sua representação gráfica analisando o comportamento do fenômeno em estudo; destacaremos como um controle de processo produ-tivo é realizado analisando uma abordagem estatística simples que permitirá distinguir as causas comuns das causas especiais de variação; e vamos compreender uma análise simultânea de duas ou mais variáveis, analisando se existe alguma correlação significativa entre elas.

Mais adiante veremos mais sobre a amostragem, compreendendo como um controle de processo produtivo é realizado e analisando uma abordagem estatística simples, que permitirá distinguir as causas comuns das causas especiais de variação. Observaremos inclusive alguns exemplos solucionados para a sua melhor compreensão.

E para finalizar veremos o tema da probabilidade, quando buscamos entender a probabilidade pela análise das chances de ocorrer um resultado antes mesmo de o experimento ser realizado. Vamos compreender melhor as distribuições direta e contínua, com foco em modelos matemáti-cos e analisando a ocorrência de defeitos na fabricação de produtos, bem como as estimativas de processos produtivos.

Tenha desde já um bom estudo!

Capítulo 1

05

IntroduçãoEste capítulo visa a reforçar o conhecimento básico de matemática e, assim, prepará-lo para o estudo da estatística, ciência que usa a todo o momento conceitos deste capítulo inicial. Sendo assim, vamos começar relembrando algumas noções simples, porém importantes, da álgebra elementar, que é uma forma fundamental e relativamente básica da álgebra, ensinada a quem se presume ter pouco ou nenhum conhecimento formal de matemática ou aritmética. A maior dife-rença entre a álgebra e a aritmética é que, enquanto na aritmética se usam apenas os números e suas operações (como +, −, ×, ÷), na álgebra também se usam variáveis, tais como x e y ou a e b em vez de números.

Depois disso, faremos uma rápida revisão sobre números naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais e complexos, além de estudar noções de porcentagem. Assim, relembraremos as diversas operações algébricas que podem ser feitas com esses conjuntos de números. Em seguida, ve-remos alguns exemplos de razão e proporção – as relações entre grandezas que apresentam proporção entre si, analisando que a razão entre elas é constante. E, finalmente, abordaremos a regra de três, ou seja, as questões matemáticas que envolvam quatro valores, analisando onde três deles são conhecidos.

Tenha desde já um bom estudo!

1.1 Números e operações elementaresVocê lembra o que é uma variável? Trata-se de uma letra ou símbolo que é utilizada para re-presentar números com o objetivo de permitir generalizações em matemática, ajudando também a formular problemas para um caso geral ou ajudar a descobrir valores ocultos dentro de um problema. Vejamos um exemplo.

Raul possui 2 violões. Se ele vender cada um deles por R$ 850,00, quanto dinheiro ele terá?

Esse problema pode ser reformulado usando-se variáveis. Nesse caso, vamos chamar de variável x, que terá o valor que queremos encontrar, ou seja, o resultado da multiplicação da quantidade de violões pelo valor de venda:

x = 2 (850)

Ou, se quisermos, podemos transformar o preço em variável também:

y = 850 => x = 2y

E assim por diante.

Nesse caso, podemos chegar ao valor exato. Por isso, estamos usando o operador de igualdade =.

Contudo, também podemos utilizar desigualdades, como no caso a seguir.

Matemática Básica



Um par de sapatos custa R$ 150,00. Rafaela tem R$ 470,00. Quantos pares de sapato ela pode comprar?

Veja que, se fizermos uma simples divisão do montante sobre o valor dos sapatos, teremos o nú-mero máximo de pares de sapato possíveis para comprar (3 pares). No entanto, 3 (150) é menor que 470, ou seja, ainda sobrarão 20. Como não podemos comprar um pedaço de sapato, então os 20 continuarão sobrando e utilizaremos o operador de desigualdade <, >, <=, >=:

150x <= 450.

Assim, o valor do lado esquerdo da operação (150 x) não poderá ultrapassar o valor do lado direito (450), ou seja, 150 x só poderá ser menor ou igual a 450. Usamos a multiplicação aqui nos dois casos, porém existem outras operações e suas respectivas inversas, como:

• adição (x + y) e sua inversa, a subtração (x - y);

• multiplicação (x * y ou xy) e sua inversa, a divisão (x / y);

• exponenciação (xy ou x^y) e sua inversa, o logaritmo (log), usado para descobrirmos o expoente, ou seja, o y;

• radiciação (√x), usada para descobrirmos a base;

• módulo (x mod y), que é o resto da divisão de x por y.

Para treinar e relembrar as operações mencionadas anteriormente, bem como diversas outras operações que serão descritas neste material, acesse o link: <http://www.soma-tematica.com.br/soexercicios.php>.

NÃO DEIXE DE LER...

1.1.1 Números naturais

Como você pôde perceber, as variáveis são importantes em matemática e para a estatística, pois permitem comparar valores extraídos de algum contexto. Outro conceito essencial é a teoria dos conjuntos, cujos números e operações serão estudados a seguir. Um número natural é um número inteiro não negativo (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …), ou seja, -1 e -2143 não são números naturais. Os números naturais são usados geralmente para contagem ou ordenação. Para se referir ao conjunto de todos os números naturais, vamos usar o símbolo N (MACHADO, 2012). Este conjunto é infinito e contável por definição:

ℕ=0,1,2,3,4,5,6,7,...

Entre os números naturais, temos um conjunto especial de números naturais que são maiores do que 1 e são apenas divisíveis por 1 e por eles mesmos, conhecidos como números primos:

ℕ=2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,...

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Você conseguiria distinguir com rapidez se o número 113 é primo? Para saber se um determinado número é primo, deve-se dividi-lo pelos números primos (2, 3, 5, 7, 11, …), e assim sucessivamente até a e, caso não encontre um número primo que o divida, ele é considerado primo. Sendo assim, vamos analisá-lo: 113 não é par, logo, não é divisível por 2. Além disso, 1+1+3=5, logo, não é divisível por 3. Não termina em 0 nem em 5, logo, não é divisível por 5. 113/7 tem resto 1, logo, não é divisível por 7. 113/11 tem resto 3, logo, não é divisível por 11. Sendo assim, podemos dizer que 113 é um número primo.

NÓS QUEREMOS SABER!

Critérios de divisibilidade. No parágrafo anterior, foram usados alguns truques para saber se um determinado número é disível por outro. Por exemplo, 113 não é divisível por 3, pois 1+1+3=5 e não um múltiplo de 3. Esta é uma maneira “esperta” de saber se um número grande é ou não divisível por outro. Assim como fizemos para o número 3, podemos fazer para outros números também. Para mais detalhes, acesse o site Só Matemática no endereço: <http://www.somatematica.com.br/fundam/critdiv.php>.


1.1.2 Números inteiros

O conjunto dos números inteiros é expresso pela letra ℤ e é composto por todos os números naturais e números inteiros negativos:

ℤ=...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...

Graças aos números inteiros, podemos fazer cálculos de lucro, por exemplo, em que os positivos representam as vendas e os negativos representam as compras e, no final, se a soma de ambos der um resultado negativo, temos prejuízo, se der positivo, temos o lucro (MACHADO, 2012).

Existe número primo negativo? Se sim, o que caracteriza um número primo negativo? Para números inteiros, a definição de primo muda um pouco, pois temos agora números negativos também. Por exemplo, -3 é primo, pois pode ser dividido por ele mesmo e por -1, mas veja que ele também pode ser dividido por 3 e 1, que são os mesmos números, porém sem sinal. Dessa forma, sim, números primos podem ser negativos, porém, para números inteiros, eles devem admitir a divisão por quatro números, e não só dois, como era no caso dos números naturais, mas respeitando as condições anteriores.




1.1.3 Números racionais

Os números racionais nada mais são do que números que podem ser expressos na forma de frações. Por exemplo, se dividirmos uma pizza em 8 partes iguais, teremos em cada pedaço uma

fração de 1 pizza, ou seja, 1/8 ou ou 0,8. O conjunto dos números racionais é representado

pela letra ℚ. Os números racionais contêm os números inteiros, que, por sua vez, contêm os números naturais. A diferença é que eles também contêm números fracionários. Veja:

ℚ=..., ,-1,0, ,1,2,...

Graças aos números racionais, temos um conjunto especial de números, as dízimas periódicas, que são números que possuem um número infinito de repetições de outro conjunto de números. Todos eles, depois da vírgula, dividem-se em dízima simples e composta, exemplo:

Dízima simples: 3,6666666...

Dízima composta: 3,123312331233...

Confira no link: <http://www.matematiques.com.br/conteudo.php?id=200> uma ex-plicação sobre operações em conjuntos, assim como várias propriedades e operações importantes envolvendo os números naturais, inteiros, racionais, entre outros. Vale a pena conferir!


1.1.4 Números irracionais

Os números irracionais são números que se diferem dos racionais, pois não podem ser expressos por x/y, sendo x e y números racionais. Geralmente, são representados por símbolos como:

π (Pi Radiano) = 3,141592...

e (Número de Euler) = 2,718281...

φ (Número de Ouro) = 1,618033...

ou raízes de números primos:

√2 = 1,414213...

√3 = 1,732050...

√5 = 2,236067...

3√2 = 1,259921...

1.1.5 Números reais

Os números reais são representados pela letra ℝ e usados para representar uma quantidade con-tínua, ou seja, representar números que não podem ser contados, pois, entre um número e outro, existe um intervalo. Nesse intervalo, existem outros infinitos números, com intervalos entre eles, e

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assim sucessivamente. O conjunto dos números reais engloba todos outros conjuntos mostrados anteriormente (MARTINS; DOMINGUES, 2008).

ℝ=...,-3.1123..., ,-1,0, ,1,2, ,...

A figura abaixo mostra como são organizados os conjuntos e suas hierarquias:

C R Q Z N

I

Figura 1 – Teoria dos conjuntos e suas representações.

Fonte: Matimaquês, 2015.

Existem outros conjuntos além dos citados anteriormente? Existem muitos outros con-juntos, mas que serão omitidos por não serem necessários para o trabalho do gestor e para esta disciplina. Um exemplo é o conjunto dos números complexos. Caso você tenha se interessado em saber mais sobre a teoria dos conjuntos e suas operações, basta visitar um ótimo site dedicado ao estudo da matemática, o WikiLivros. Disponível em: <http://pt.wikibooks.org/wiki/Matem%C3%A1tica_elementar>.


1.1.6 Porcentagem

Você já deve ter notado, por exemplo, quando, em uma notícia sobre a economia do país divul-gada no noticiário, expressões matemáticas relacionadas com porcentagem são apresentadas. O termo por cento vem do latim per centum e significa “por cem”.

Assim, pode-se dizer que toda razão da forma a/b na qual o denominador b=100 é conhecida como taxa de porcentagem ou simplesmente porcentagem. Essa expressão é usada desde o sé-



culo XV e sempre esteve relacionada a operações comerciais (CRESPO, 2002), mas a origem do uso sem essa denominação se perde no tempo.

Figura 2 – Símbolo matemático da porcentagem, usado desde o século XV.

Fonte: Shutterstock, 2015.

Se escrevemos 20%, isso significa que, em cada 100 unidades de algo, reservam-se 20 unida-des. Se não tivermos 100 unidades, mas 80, por exemplo, 10% de 80 podem ser obtidos como o produto, isto é:

Produto = 10% . 80 = 10 / 100 . 80 = 800 / 100 = 8

Ou seja, para alcançar um índice de X por cento, escreve-se X% e, para calcular X% de um nú-mero Y, realizamos o produto:

Produto = X% . Y = X . Y / 100

Exemplo:

Em uma área de despacho de estoque, há 25 caixas etiquetadas, e 52% dessas caixas estão eti-quetadas com um número par, que devem ser despachadas. Quantas caixas têm a etiqueta com número par? Quantas caixas têm a etiqueta com número ímpar?

Par = 52% de 25 = 52%.25 = 52.25 / 100 = 13

Devem ser despachadas 13 caixas etiquetadas com número par e 12 caixas com número ímpar.

11

NÃO DEIXE DE VER...

Para finalizar, você pode aprender mais sobre porcentagem, juros simples e compostos e como calculá-los assistindo aos vídeos da OBMEP – Olimpíada Brasileira de Mate-mática das Escolas Públicas, no seguinte link: <http://matematica.obmep.org.br/index.php/modulo/ver?modulo=26>. Você encontrará uma grande quantidade de vídeos para auxiliar em seus estudos.

1.2 Razão e proporçãoEncontramos aplicações de razão e proporção em várias áreas, como a construção civil, eco-nomia, contabilidade e gestão – e é isso o que veremos mais a fundo neste tópico. A razão é a igualdade entre as proporções. Já as proporções possuem uma enorme aplicabilidade em situações-problema envolvendo informações comparativas. A seguir, um pouco mais sobre esses dois temas tão importantes e recorrentes em nosso cotidiano.

1.2.1 Razão

A palavra razão vem do latim ratio e significa divisão ou o quociente entre dois números, A e B, denotada por:

A razão entre 16 e 2 é 8, pois =8.

Podemos aplicar a razão em diversas situações. Uma delas pode ser vista no exemplo a seguir. Di-gamos que, em uma casa de sucos, a composição dos produtos é estabelecida da seguinte forma:

Líquido Segunda Domingo Feriados

Polpa de uva 3 6 8

Água 8 16 32

Suco 11 22 40

Tabela 1 – Exemplo de aplicação de razão.

Fonte: Elaborada pelo autor, 2015.

Na segunda-feira, o suco é preparado da seguinte forma: para cada 3 litros de polpa, colocam-se 8 litros de água, perfazendo o total de 11 litros de suco.

Aos domingos, para cada 6 litros de polpa, colocam-se 16 litros de água, gerando um total de 24 litros de suco.

Já nos feriados, para cada 8 litros de polpa, colocam-se 32 litros de água, transformando-se, assim, em 40 litros de suco.

Também existem as razões inversas, como, por exemplo:



Dizemos que são inversas, pois o produto das duas razões é igual a 1, isto é 3/5 x 5/3 = 1.

A razão inversa de é .

1.2.2 Proporção

A proporção é a igualdade entre duas razões. A proporção entre A/B e C/D é a igualdade:

Aqui, os números A e D são denominados extremos, enquanto os números B e C são os meios e valem a propriedade: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é:

A×D=B×C

Exemplo: vamos determinar o valor de X para que a razão X/4 esteja em proporção com 4/8.

Solução: deve-se montar a proporção da seguinte forma:

Aplicando a propriedade mostrada no parágrafo anterior, fazemos uma multiplicação cruzada:

X×8=4×4→8X=16→X= .

Sendo assim, chegamos a resposta final: X=2.

Para comprovar que esse cálculo está correto, basta substituir X pelo valor achado em nosso cálculo e verificar se haverá igualdade entre o lado direito e o lado esquerdo da operação:

Portanto, mostramos que X=2 está correto.

Outro exemplo um pouco mais elaborado é apresentado a seguir: “Em média, um automóvel percorre 80 km em 1 hora, 160 km em 2 horas e 240 km em 3 horas (Km=quilômetro, h=hora)” (BALIELO; SODRÉ, 2005, s.p.). Vamos construir uma tabela da situação:

Distância (km) Tempo (h)

80 1

160 2

240 3

Tabela 2 – Exemplo de aplicação de proporção.


Notamos que quando duplica o intervalo de tempo, duplica também a distância percorrida, e quando o intervalo de tempo é triplicado, a distância também é triplicada, ou seja, quando o intervalo de tempo aumenta, a distância percorrida também aumenta na mesma proporção.

Usando razões e proporções, podemos descrever essa situação de outro modo.

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a) Quando o intervalo de tempo aumenta de 1 h para 2 h, a distância percorrida varia de 80 km para 160 km, ou seja, o tempo varia na razão de ½, enquanto a distância percorrida varia na razão 80/160. Assim, temos que tais razões são iguais, isto é:

, ou seja, o lado esquerdo multiplicado por 80 faz com que fique igual ao lado direito.

b) Quando o intervalo de tempo varia de 2 h para 3 h, a distância percorrida varia de 160 km para 240 km. Nesse caso, o tempo varia na razão 2/3 e a distância percorrida na razão 160/240, e observamos que essas razões são iguais, isto é:

, mesmo ocorre aqui, multiplicando também por 80. (BALIELO; SODRÉ, 2005, s.p.).

Dessa forma, “concluímos que o tempo gasto e a distância percorrida, variam sempre na mesma razão e isto significa que a distância percorrida é diretamente proporcional ao tempo gasto para percorrê-la, se a velocidade média do automóvel se mantiver constante” (SOUSA, 2015, s.p.).

O artista e inventor Leonardo da Vinci também usava razões e proporções em seus estudos sobre o corpo humano. Os estudos geraram a obra conhecida como o Homem Vitruviano (feito por volta de 1490), como você pode observar na imagem a seguir. O redescobrimento das proporções matemáticas do corpo humano no século XV por Leonardo e os outros estudiosos é considerado uma das grandes realizações do Renas-cimento italiano.

VOCÊ O CONHECE?

Figura 3 – Homem vitruviano de da Vinci – razão e proporção.




1.3 Regras de trêsA regra de três é muito comum para se descobrir a relação entre quatro valores diferentes. Apli-ca-se em muitas situações do dia a dia, em problemas clássicos, como descobrir, por exemplo, quantos quilos têm 25 pacotes de um produto X se 300 pacotes do mesmo produto têm 5 mil quilos – veja que há três valores e o quarto queremos descobrir.

As regras de três subdividem-se em 3 tipos: as simples, que podem também ser chamadas de diretamente proporcionais, as simples inversamente proporcionais e as compostas. Os três tipos serão explicados a seguir.

1.3.1 Regra de três simples

Uma regra de três simples direta é uma forma de relacionar grandezas diretamente proporcio-nais. Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, ao se multiplicar o valor de uma delas por um número positivo, o valor da outra é multiplicado por esse mesmo número positivo (MAGALHÃES; LIMA, 2006).

Exemplo:

Uma torneira despeja 80 litros de água em 10 minutos. Então, quantos litros serão despejados em 30 minutos? Vamos construir uma tabela e verificar se as grandezas são diretamente ou in-versamente proporcionais:

Litros Minutos

80 10

x 30

Tabela 3 – Exemplo de regra de três.


As grandezas litros e minutos são diretamente proporcionais, já que, quanto mais tempo for uti-lizado, mais litros de água serão despejados. Assim:

→10x=80×30→10x=2400→x=

ou seja, x = 240 litros

1.3.2 Regra de três simples inversa

Uma regra de três simples inversa é uma forma de relacionar grandezas inversamente propor-cionais para obter uma proporção. Vale a pena lembrar que duas grandezas são inversamente proporcionais quando, ao se multiplicar o valor de uma delas por um número positivo, o valor da outra pode ser dividido por esse mesmo número positivo. Para manter a proporção, se uma grandeza aumenta, a outra grandeza tende a diminuir.

Um caso prático: um caminhão, a uma velocidade constante de 100 km/h, percorre um percurso em 5 horas. Se a velocidade fosse de 80 km/h, em quantas horas seria feito o mesmo percurso? Vamos repetir o mesmo procedimento no exemplo anterior:

15

Velocidade km/h Tempo(horas)

100 5

80 X

Tabela 4 – Exemplo de aplicação de regra de três simples inversa I.

Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.

Aqui as grandezas são inversamente proporcionais e, dessa forma, devemos inverter a coluna das velocidades:

Velocidade km/h

Tempo(horas)

80 5

100 X

Tabela 5 – Exemplo de aplicação de regra de três simples inversa II.


→ X=6,2 horas

Ou seja, desenvolvendo uma velocidade constante de 80 km/h, o caminhão faria o percurso em 6,2 horas.

Outro exemplo:

Utilizando copos descartáveis de 200 ml, Pedro consegue servir 15 pessoas. Se utilizar copos de 150 ml, quantas pessoas Pedro conseguirá servir com esse mesmo volume de bebida?

Note aqui a grandeza volume (V) e a grandeza pessoas (P). Quando o volume servido diminui, o número de pessoas que Pedro pode servir aumenta. Assim, você pode concluir que as duas grandezas são inversamente proporcionais e serão representadas com as setas em orientação in-vertida. Será necessário, portanto, que façamos a inversão de termos para deixá-las diretamente proporcionais:

V P

200 15

150 X

Tabela 6 – Exemplo de aplicação de regra de três simples inversa III.




Invertendo os termos:

V P

150 15

200 X

Tabela 7 – Exemplo de aplicação de regra de três simples inversa IV.


Vamos resolver o problema:

150x = 200 × 15→ x= x=20

Ou seja, com copos de 150 ml, Pedro poderá servir 20 pessoas.

1.3.3 Regra de três composta

Regra de três composta é um processo de relação de grandezas diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou uma mistura dessas situações. Uma regra de três é classificada como composta quando apresentar três ou mais grandezas.

Exemplo:

Em uma fábrica de calças, 8 funcionários produzem 20 calças em 5 dias. Quantas calças serão feitas por 4 funcionários em 16 dias?

Funcionários Calças Dias

8 20 5

4 X 16

Tabela 8 – Exemplo de aplicação de regra de três composta I.


Percebemos que:

• aumentando o número de funcionários, a produção de calças aumenta, portanto, a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão);

• aumentando o número de dias, a produção de calças aumenta, portanto, a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões.

Ao montar a proporção e resolver a equação, temos:

X = 32 calças

17

Outro exemplo:

Doze vendedores venderam 5 apartamentos em 30 dias, trabalhando 6 horas por dia. Calcule o número de horas por dia que deverão trabalhar 18 vendedores para vender 10 apartamentos em 20 dias, nessa proporção.

Vamos montar a nossa tabela:

Número de vendedores

Número de apartamentos Tempo (dias) Horas/dia

18 10 20 X

12 5 30 6

Tabela 9 – Exemplo de aplicação de regra de três composta II.


Agora, devemos identificar quais grandezas são diretamente proporcionais e quais são inversa-mente proporcionais. Sendo assim, chegamos às seguintes conclusões:

• as grandezas número de vendedores e horas/dia são inversamente proporcionais;

• as grandezas número de apartamentos e horas/dia são diretamente proporcionais;

• as grandezas tempo (dias) e horas/dia são inversamente proporcionais.

Baseando-nos nas informações extraídas, vamos montar nossos cálculos:

X = 12 horas/dia

Para você poder treinar, acesse o link <http://www.somatematica.com.br/soexercicios/regraTres.php>, que contém diversos exercícios de regras de três com gabaritos. Tente resolver todos os exercícios e conferi-los no fim para ver se a maneira como você tentou resolver foi correta.


Vejamos um exemplo prático de regra de três comum no cotidiano de gestores. Um gerente de logística de uma fábrica de empacotamento e distribuição de arroz precisa calcular os seus cus-tos de entrega aos clientes de uma determinada região. Ele sabe que, para descarregar 10 ca-minhões de entrega em 1 hora, precisará de 5 funcionários. Quantos funcionários ele precisaria dispor para descarregar 120 caminhões em 6 horas de trabalho?

Vamos estabelecer aqui uma tabela para ajudar na compreensão:



Tempo/horaNúmero de funcionários

Número de caminhões

1 5 10

6 x 120

Tabela 10 – Exemplo de aplicação de regra de três no caso.


As grandezas tempo e número de funcionários são inversamente proporcionais, sendo que o número de funcionários e o número de caminhões são diretamente proporcionais.

10 × x = 5 × 120

10x = 600

x = 600/10

x = 60

Valor a = 10 caminhões

Valor b = 5 funcionários

Valor c (o novo valor “a”) = 120 caminhões

Resultado: 60 homens

O gerente deve convocar, então, 60 homens para descarregar os 120 caminhões de entrega.

19

SínteseNeste capítulo, você pôde compreender muitos temas da matemática básica, importantes na compreensão e prática da estatística para gestores.

• Você pôde relembrar os conceitos básicos da álgebra elementar e suas operações.

• De início, reforçamos o conhecimento sobre teoria dos conjuntos e como esses conjuntos se relacionam entre si, bem como suas operações elementares.

• Você também estudou a relação entre grandezas, percebendo que possuem proporção entre si e a razão entre elas é constante.

• Outro ponto abordado foi a praticidade em aprendermos a aplicar as diferentes regras de três, simples, inversa e composta, resolvendo, assim, diversos problemas do cotidiano.

Síntese


ReferênciasBALIELO, D.; SODRÉ, U. Grandezas diretamente proporcionais. Disponível em: <http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/razoes/razoes-aplic.htm>. Acesso em: 8 jun. 2015.

CRESPO, A. A. Estatística fácil. São Paulo: Saraiva, 2002.

MACHADO, A. S. Matemática Machado: volume único. São Paulo: Atual, 2012.

MAGALHÃES, M. N.; LIMA, A. C. P. Noções de probabilidade e estatística. 7. ed. São Paulo: Edusp, 2006.

MARTINS, G. A.; DOMINGUES, O. Estatística geral e aplicada. 4. ed. São Paulo: Atlas, 2008.

MATIMAQUÊS. Teoria dos conjuntos. Disponível em: <http://www.matematiques.com.br/con-teudo.php?id=200>. Acesso em: 28 maio 2015.

MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. O. Estatística básica. 6. ed. São Paulo: Saraiva, 2010.

SOUSA, S. Razões e proporções. Disponível em: <http://pt.scribd.com/doc/34540796/Razo-es-e-proporcoes>. Acesso em: 8 jun. 2015.

Bibliográficas

Capítulo 2

29

IntroduçãoA Estatística, ciência que propõe o planejamento do experimento, a construção de modelos, a coleta, o processamento e a análise de dados e sua consequente transformação em informação, para postular, refutar ou validar hipóteses científicas sobre um fenômeno observável, é necessá-ria em quase todas as áreas do conhecimento, imprescindível inclusive nas atividades diárias de gestores de todos os segmentos produtivos.

Este capítulo visa a apresentar os métodos inferenciais permitindo tirar conclusões que transcendam os dados obtidos inicialmente. Ele se subdivide em cinco partes. A primeira mostrará como definir fenômenos estatísticos analisando diversas séries gráficas. Veremos, em seguida, como os dados estatísticos resultantes das variáveis quantitativas podem ser descritos analisando séries gráficas.

Depois, aprenderemos a identificar uma distribuição de frequência e a sua representação gráfi-ca, analisando o comportamento do fenômeno em estudo. Mais adiante, descreveremos como um controle de processo produtivo é realizado, analisando uma abordagem estatística simples, que permitirá distinguir as causas comuns de variação. E, finalmente, observaremos algumas técnicas usadas para definir uma análise simultânea de duas ou mais variáveis, analisando se existe alguma correlação significativa entre elas.

Desde já, tenha um bom estudo!

2.1 GráficosO gráfico é a expressão visual dos dados ou valores obtidos a partir de uma amostra, facilitando o entendimento e ajudando na descoberta de informações de valor. Gráficos costumam ser muito utilizados para facilitar a visualização e o entendimento dos mais diversos fenômenos. Veremos, agora, alguns fenômenos estatísticos, analisando diversas séries gráficas.

2.1.1 Noções sobre gráficos

O gráfico é uma representação com forma geométrica elaborada de modo exato, preciso e or-ganizado conforme o seu tipo. Antes de explicarmos os vários tipos de gráficos, é preciso saber qual o tipo de variável com a qual estamos interessados em trabalhar.

• Variáveisqualitativas: medem uma qualidade; podem ser ordinais, isto é, possuemumaordemnatural, como uma nota de um filme (péssimo, ruim, regular, bom ou ótimo); ou nominais, ou seja, quando nãoháumaordemnatural.

• Variáveis quantitativas: medem uma quantidade. Podem ser discretas, em que os possíveisvaloressãocontáveis, ou seja, o número de portas de um almoxarifado; ou contínuas, isto é, que podem ser observados quaisquer valoresdentrodeumintervalo, exemplo: o peso de um produto.

Agora que já conhecemos os tipos possíveis dos dados, vamos conhecer os gráficos que podem ser construídos com esses dados.

Aspectos da Estatística



2.1.2 Tabela de frequência

É um quadro que tem por objetivo organizar os dados em formato de tabela, separados por fre-quências. Veja o exemplo a seguir.

Uma prova de estatística foi aplicada para uma turma de gestores. 1 aluno tirou 1,8; outros 2 alunos tiraram 3,5 e 3,7, respectivamente. Outros 10 alunos tiraram entre 4 e 6. Outros 6 alunos tiraram entre 6 e 8. E os últimos 17 alunos tiraram entre 8 e 10.

Já possuímos os dados, porém temos de organizá-los. Para fazer isso, criaremos uma tabela de frequência e intervalos da classe.

Classe Intervalo Frequência Percentual

1 0 |-- 2 1 2,27%

2 2 |-- 4 2 5,55%

3 4 |-- 6 10 27,78%

4 6 |-- 8 6 17%

5 8 |-- 10 17 47,22%

Total 36 100%

Tabela 1 – Exemplo de tabela de frequência.


Frequência é o número de ocorrências de um determinado valor, ou seja, é a quantidade de vezes que o evento ocorre. A frequênciadevariáveis contínuas pode ser obtida, nesse caso, ao dividir o conjunto de valores de intervalos de classe e apontando a frequência dos valores de cada intervalo.

A tabela que retrata todos esses valores possui o nome de distribuição de frequência. Já as classes são os intervalos de variação de uma variável, em geral representadas por i, como em i = 1, 2, 3... k (nesse caso, k é o número total das classes). Dizemos que os limitesdasclassessão os extremos de cada uma. Dessa forma, a classe é representada por i, o seu limite superior é representado por Li e o inferior é representado por li. E o intervalo de classe é o tamanho do intervalo da classe propriamente dito, representado por h. O pontomédiodaclasse é o ponto que divide a classe em duas partes iguais.

Devemos destacar também os conceitos de amplitudetotal e amostral de uma distribuição. Am-plitude total é o intervalo total compreendido por todas as classes da distribuição, representada por AT. Já a amplitudeamostral é o intervalo entre o maior valor e o menor valor da amostra, representada por AA.

2.1.3 Histograma

Equivalente a uma tabela de frequência, ele possui, na sua escala horizontal, os valores de dados a serem apresentados, e na escala vertical, as suas frequências. É utilizado para dados contínuos. Veja um exemplo simples, usando a tabela do exemplo anterior:

31

Freq

uênc

ia

20 4 6 8 10

Notas

10

8

6

4

2

17

Histograma das notas de estatística

Figura 1 – Exemplo de histograma.


De modo prático, podemos dizer que o histograma pode ser aplicado, por exemplo, nos proces-sos da qualidade, em situações menos complexas de gerenciamento ou até mesmo de marketing, servindo para estabelecer a análise comparativa de dados históricos (MAGALHÃES, 2009).

2.1.4 Temporal ou sequencial

Mostra a evolução de uma variável ao longo do tempo. A seguir, apresentamos uma figura que ilustra o exemplo de uma tabela temporal de juros.

0,00%

2,00%

4,00%

6,00%

8,00%

10,00%

12,00%

14,00%

16,00%

18,00%

1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995Ano

Taxa

Figura 2 – Exemplo de gráfico que mostra a variável temporal ou sequencial.

Fonte: Martins, s.d.



Também é uma ferramenta muito difundida nos processos de qualidade ou planejamento das corporações. Por exemplo, se uma empresa possui a produção de 300 mil peças por mês, máxi-mo de defeitos constatados de 4,5% em outubro e mínimo de 1,0% ocorrido no mês de setembro, logo, possui uma média de ocorrência de 2,34%.

2.1.5 Probabilidade

Os gráficos de probabilidade são bons para visualizar a distribuição dos dados em uma amostra pequena, ao contrário do histograma, que é mais indicado para amostras maiores. Repare que, para montá-lo, basta que saibamos os valores das coordenadas nos eixos dos gráficos. Para facilitar, lembre-se de que os eixos funcionam da mesma forma como aprendemos na escola, só que no lugar de X e Y temos antes e depois.

Antes220

Dep

ois

220

200

180

160

140160 180 200140

Depois > Antes

Depois = Antes

Depois < Antes

Pressão Sistólica

Figura 3 – Exemplo de gráfico de probabilidade.

Fonte: Rodrigues, 2011.

Por exemplo, a Figura 3 mostra uma população de 12 pacientes que têm a pressão medida antes e depois de tê-la reduzida por um remédio. Veja que o primeiro ponto, da esquerda para direita, por exemplo, nada mais é que aproximadamente o ponto (157; 142).

33

2.1.6 Pizza

Os gráficos de pizza são recomendados quando as variáveis não possuem nomes extensos e a quantidade de variáveis é pequena. São gráficos usados rotineiramente na área financeira e social (MACHADO, 2012).

Qual seu sabor favorito?

Creme

Morango

Chocolate

Flocos

Outros

18%

11%

13%

18%

40%

Figura 4 – Exemplo de gráfico de pizza.

Fonte: Filho, 2015.

Esse exemplo ilustra um gráfico feito em cima de uma pesquisa em que, hipoteticamente, dese-java-se saber qual o sabor favorito dos consumidores em relação a um determinado produto.

2.1.7 Dispersão

A dispersão, comumente chamada de variabilidade ou espalhamento, mostra como se encontra uma distribuição, seja esticada ou reduzida (teórica ou que define uma amostra). A variância, o desvio padrão e a amplitude interquartil são exemplos de medidas de dispersão.

O diagrama de dispersão é um gráfico em que pontos no eixo X e Y são usados para representar simultaneamente os valores de duas variáveis quantitativas de um conjunto de dados.



5,00

4,50

4,00

3,50

3,00

2,50

2,0010/09 17/09 24/09 01/09 05/10

Figura 5 – Exemplo de gráfico de dispersão.

Fonte: Filho, 2015.

É um recurso muito usado no marketing, por exemplo, na relação de causa e efeito, pois é veri-ficado se há uma possível relação entre as causas, isto é, a relação e a intensidade. Apesar de ser um pouco complexo para gestores iniciantes, possui a vantagem de se obter a identificação do possível relacionamento entre variáveis consideradas em uma análise.

2.1.8 Boxplot

O boxplot, também conhecido como diagrama da caixa, é um gráfico utilizado para avaliar a distribuição dos dados. O boxplot é formado pelo primeiro e terceiro quartil e pela mediana. A parte inferior vai do quartil inferior até o limite inferior; a parte superior vai do quartil superior até o limite superior.

35

Com

prim

ento

do

Pino

12,8

12,7

12,6

12,5

12,4

12,3

12,2

12,1

12,0

Terceiro quartil

Mediana

Primeiro quartil

Figura 6 – Exemplo de gráfico boxplot.

Fonte: Rieper, 2012.

Qualquer ponto fora desses limites é considerado valor anormal ou comumente chamado de outlier. A Figura 6 apresenta um exemplo de um gráfico boxplot, que serve para a tabulação de qualquer tipo de pesquisa. No meio corporativo, serve para estabelecer valores de gestão de risco ou gastos pessoais, por exemplo.

Quais os tipos de gráficos comumente usados em uma análise técnica? Temos uma infinidade de gráficos e medidas. Alguns dos gráficos mais usados em uma análise voltada para negócios são o sequencial, o gráfico de pizza e o boxplot, mas há outras ferramentas gráficas para você utilizar no seu dia a dia enquanto gestor. Acompanhe o artigo Tudo sobre gráficos e análise técnica de Wawrzeniak (2014) neste link e saiba mais: <http://blog.bussoladoinvestidor.com.br/graficos-de-analise-tecnica/>.


2.2 Distribuição de frequênciaNeste tópico, descreveremos como os dados estatísticos resultantes das variáveis quantitativas, que você pôde conferir anteriormente, podem ser descritos, analisando-se séries gráficas. A distribuição de frequência é uma série de valores que uma ou várias variáveis formam em uma amostra. Cada registro em uma tabela contém a frequência, ou seja, a contagem das ocorrên-cias de determinados valores dentro de um grupo ou um intervalo, e, assim, essa tabela resume a distribuição dos valores da amostra.



2.2.1 Utilização dos dados de frequência absoluta ou relativa

Utilizar dados de frequência tabulados costuma ser mais fácil do que utilizar dados brutos. A partir dessas tabelas, podemos calcular média, mediana, variância, desvio padrão, entre outros.

Várias hipóteses na estatística costumam se basear na avaliação das semelhanças e também das diferenças entre as distribuições de frequência. A distribuição de frequência, por sua vez, é dito ser enviesada, ou seja, tendenciosa, quando a sua mediana e sua média são desiguais.

Uma frequência de uma variável pode ser absoluta ou relativa e, quando o conjunto consiste de um grande número de dados, costumamos colocar estes em uma tabela de distribuição de frequ-ência ou tabela de frequência, em que os dados são divididos em classes, contando-se a frequ-ência de cada uma das classes. Uma tabela de frequência é uma arrumação dos dados com suas respectivas frequências, e a tabela servirá de base para as representações gráficas que seguirão.

A primeira coisa que devemos fazer para construir uma tabela de frequência é escolher as classes que irão compô-la, pois, quando se está usando variáveis discretas, ou seja, variáveis que são contáveis, devemos juntar duas ou mais classes em uma só.

Além da distribuição de frequência por intervalo de classe, há outros tipos possíveis? Além da distribuição de frequência por intervalo de classes, como vimos anteriormente, poderíamos trabalhar com a distribuiçãodefrequênciaporvalor, ou seja, aquela que é utilizada para dados de uma variável qualitativa ou discreta – consideram-se os distintos valores de uma categoria, por exemplo, e o número de frequência que cada valor apresenta nos dados. Observe a diferença entre os dois tipos de distribuição de frequência: se a frequência por valor considera distintos valores de uma categoria, a frequência por intervalo de classes considera a frequência de cada classe.


Por exemplo, quando queremos mapear quantas mil unidades de um determinado produto foram vendidas em determinadas cidades, as classes serão: 1, 2, ..., n, sendo n é o maior número de produtos vendidos naquelas cidades. Se a classe 1 e 2 for muito frequente, devemos uni-las, ou seja, as classes passariam a ser: 1-2.No entanto, quando estamos lidando com variáveis contínu-as, ou seja, aquelas que contêm um intervalo por vezes muito grande ou infinito entre um número e outro, as classes deverão ser escolhidas aleatoriamente. Além disso, se você não souber como devem ser as classes, por exemplo, poderá utilizar a fórmula de Sturges:

k = 1 + 3,3 ×log10(n)

Já que k refere-se ao total de classes da variável e não existe precisamente uma fórmula para o cálculo de número de classes, e n é o tamanho da amostra (número total de dados), podemos usar essa fórmula ou, ainda, a raiz simples de n:

k ≈ raiz (n)

Considerando também o que vimos no tópico 2.1.2, sugerimos o seguinte exemplo (INFORMÁ-TICA MÉDICA – UFPR, 2003):

Estes são os nossos dados brutos do experimento: 45, 44, 42, 42, 41, 43, 43, 45, 41, 50, 46, 50, 54, 60, 54, 52, 58, 57, 58, 60, 51. Ao definirmos em rol (amplitude total da amostra), teríamos:

37

Dados Frequência

41 2

42 2

43 2

44 1

45 2

46 1

50 2

51 1

52 1

54 2

57 1

58 1

60 2

Total 20

Tabela 2 – Exemplo de tabela de frequência.

Fonte: Adaptada de Informática Médica, 2003.

A amplitude amostral é definida por: 60 - 41 = 19. Para achar quantas classes devem ter usado, por exemplo, a fórmula de Sturges, temos:

K = 1 + 3,33 log n

K = 1+3,33 log 20

K = 1 + 3,33(1,30)

K = 5,33

Entre alguns especialistas, há a regra de se usar entre 5 e 20 classes na distribuição da frequên-cia. Logo, K=5nesse caso. Agora também podemos descobrir a amplitude do intervalo de clas-ses, dividindo a amplitude amostral (19) pelo número de classes que obtivemos (5), e o resultado será 3,8. Devemos, contudo, arredondar esse resultado para 4 para haver maior adequação no experimento.

No nosso exemplo:

• o menor número da amostra é 41;

• o número de classes é 5;

• a amplitude do intervalo de cada classe é 4;

• a primeira classe será 41 + 4 = 45;

• logo, temos: 41 | -------- 45, e assim por diante, sendo que o primeiro número da classe é o último do apresentado na classe anterior (como você verá na tabela adiante).



Vale ressaltar que, quanto mais classes existirem em nossa análise estatística, maior o erro intro-duzido nela. As classes devem ser mutuamente exclusivas, ou seja, a escolha de uma classe exclui a outra, para que não haja dúvida na localização do dado.

Os centros de classe e suas respectivas frequências são usados nos cálculos das estatísticas des-critivas e fornecem os elementos necessários para a confecção de vários gráficos, entre eles o histograma.

Citamos anteriormente que a frequência pode ser absoluta ou relativa, em que a frequência ab-soluta basicamente é o número de vezes que um determinado elemento aparece na amostra ou o número de elementos que pertencem a uma classe, e a frequência relativa é a percentagem do valor dos dados em relação ao total da amostra.

Vamos imaginar que a nossa amostra foi retirada de uma população de pessoas do sexo mascu-lino e feminino, aleatoriamente, e, de posse desses dados, queremos saber quanto mede cada indivíduo e descobrir as frequências associadas a essa amostra.

Depois de coletados os dados, temos a seguinte tabela:

ClassesFrequênciaabsoluta

Frequênciarelativa

1,65|---- 1,75 2 2/24

1,75|---- 1,85 10 10/24

1,85|---- 1,95 11 11/24

1,95|---- 2,05 1 1/24

Tabela 3 – Exemplo de tabela de frequência absoluta e relativa.


Olhando a tabela, percebemos que frequência absoluta é a quantidade de vezes que cada intervalo de altura foi registrado. Já a frequência relativa é dada pelo número de vezes que a classe foi registrada dividido pela quantidade de registros. Ou seja, a frequência absoluta é tida exatamente pela quantidade de vezes que determinado evento ocorreu, não sendo possível uma análise de comparação. Para ampliar ainda mais a significância dos dados, podemos recorrer à frequência relativa, pois esta é feita por meio de dados percentuais, definidos como a razão entre a frequência absoluta e o número total de observações.

Uma boa lista de exercícios resolvidos, passo a passo, sobre frequências relativas e absolutas pode ser encontrada na página do Departamento de Informática e Estatística (INE) da Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC) neste link: <http://www.inf.ufsc.br/~humber/Economia/parte1/lista3.pdf>. Vale a pena tentar fazer e depois con-ferir a solução e a forma como foi resolvido.


39

2.3 Medidas de tendência central e de dispersãoVeremos, agora, como é possível identificar uma distribuição de frequência e sua representação gráfica, analisando o comportamento do fenômeno em estudo. São comuns na estatística da administração e nas pesquisas aplicadas, de preferência quantitativas.

2.3.1 Média, mediana e moda

As variáveis quantitativas permitem cálculos de média, mediana, moda, quartis, decis, percentis, variância e desvio padrão. A média, a moda e a mediana são as chamadas medidas de tendên-cia central.

A média é o somatório de todos os elementos divididos pela quantidade de elementos somados.

Exemplos:

Média escolar = (Nota 1 + Nota 2 + Nota3 + Nota 4) / 4

Média de custos internos = (Mês 1 + Mês 2 + Mês 3 + Mês 4) / 4

A mediana é o elemento do meio em uma distribuição.

Veja este exemplo hipotético:

Idade dos jogadores do time titular do Vasco em ordem crescente = 17, 17, 18, 20, 22, 23, 24, 25, 28, 30, 33. Logo, a mediana = 23.

Observação: veja que a mediana é o exato número do meio em uma sequência ou conjunto de números. Se você procura a mediana em uma sequência que possui quantidade ímpar de núme-ros, como no exemplo, o processo é bem fácil, mas, para achar a mediana em uma sequência que possui uma quantidade par de números, é algo que deve exigir a sua atenção. Uma sugestão é que você classifique o conjunto de números do menor para o maior, mesmo que estiverem mis-turados. Ache o número do meio: no caso ímpar, há a mesma quantidade para a direita e para a esquerda e o número do meio é sempre ímpar.

Veja, no entanto, que, em uma sequência par de números, haverá dois elementos exatamente no meio, e não apenas um, como vimos no exemplo anterior. No conjunto 3, 4, 3, 1, se reorgani-zarmos, teremos 1, 2, 3, 4. Assim, 2 + 3 = 5. E 5 ÷ 2 = 2 ½ . A fórmula para achar a média de dois números é a soma desses números dividido por 2. Perceba que, diferentemente da sequência ímpar, a mediana de uma sequência par de números não precisa necessariamente ser um dos elementos do conjunto.

A moda é o elemento que mais aparece em uma distribuição. Se pegarmos o exemplo anterior, veremos que a idade que mais se repete é 17. Sendo assim: moda = 17.

Veja, a seguir, um histograma contendo a média, moda e mediana para facilitar a compreensão:



Media ModaMediana

Moda MediaMedianaModa

MediaMediana

Figura 7 – Exemplo de moda, média e mediana.

Fonte: Adaptada de Castro, s.d.

Você já conseguiu obter alguma dessas variáveis no seu cotidiano? Quando a amostra é grande, fica difícil ou até impossível verificar a olho nu a moda e calcular a média e mediana. Para isso, podem ser usados os softwares Excel ou SPSS. Para quem tem noções de programação, uma ótima ferramenta é o Matlab ou o uso da linguagem R.


2.3.2 Quartis

Os quartis, o decis e o percentis são uma extensão do conceito de mediana. Os quartis são re-presentados por Q1, Q2 e Q3, em que Q1 é o primeiro quartil, Q2 o segundo quartil e Q3 o terceiro quartil, sendo o valor de Q2 a mediana.

Exemplo:

Para calcular os quartis da seguinte série: {1, 1, 1, 3, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 10, 13}, precisaremos calcular o quartil 2 = mediana = (6+6) ÷ 2 = 6.

Veja que a mediana, ou o elemento do meio, é dado pelo número 6 e 6. Com base nessa infor-mação, veremos que o quartil 1 será a mediana da parte mais à esquerda da mediana da série original: {1, 1, 1, 3, 5, 6}.

Como a quantidade de números nessa parte é par, então, efetuamos o cálculo dos dois elemen-tos do meio, assim como fizemos no cálculo de Q2, assim Q1 = (1+3) ÷ 2 = 2.

Para calcular o quartil 3, faremos o mesmo que foi feito para o cálculo de Q1, só que, dessa vez, consideraremos a série mais a direita de Q2, ou seja, será a mediana de: {6, 7, 8, 9, 10, 13}. Desta forma temos que Q3 = (8+9) ÷ 2 = 8,5.

Veja ainda este exemplo apresentado por Machado (2012, s.p.):

Uma empresa produziu 500, 200 e 200 unidades de determinado produto em Janeiro, Fevereiro e Março respectivamente. Qual foi a média de produção trimestral?

Resposta: Antes de sair calculando, devemos saber o que está sendo pedido. Neste caso, queremos uma média tal que, se a produção mensal da empresa fosse sempre igual a M, a

41

produção trimestral seria a mesma. Pois bem, a produção trimestral foi de 500 + 200 + 200 = 900 unidades. Se em todos os meses a produção fosse igual a M, a média trimestral seria 3M, assim, 3M = 900, de onde vem que M = 900/3 = 300. Logo, a média procurada é a aritmética. (MACHADO, 2012, s.p.).

2.3.3 Decis

São valores que dividem os dados em dez partes iguais e são representados por D1, D2, D3, D4, …, D9. Assim, pode-se dizer que precisamos de 9 decis para dividirmos uma série em 10 partes iguais. Portanto, o quinto decil equivale à mediana. A definição dos decis é bem próxima dos quartis, mas possui alteração da porcentagem de valores, que ficam além do decil que se quer calcular.

Para definir a classe em que está o decis, usamos

em que k é o número de ordem do decil a ser calculado. É importante dizer que o quinto decil divide o conjunto em duas partes iguais. Logo, o quinto decil é igual ao segundo quartil e, con-sequentemente, é igual à mediana. É importante ressaltar também que é preciso de 9 decis para dividirmos uma série em 10 partes iguais.

Exemplo de Silva (s.d.):

Calcule o 3º decil da tabela a seguir com classes:

ClassesFrequência

=fiFrequênciaacumulada

50|------- 54 4 4

54|------- 58 9 13

58|------- 62 11 24

62|------- 66 8 32

66|------- 70 5 37

70|------- 74 3 40

total 40

Tabela 4 – Cálculo do 3o decil.

Fonte: Adaptada de Silva, s.d.

k= 3 em que 3. E fi / 10 = 3x40/10 = 12. Este resultado corresponde à 2ª classe.

D3 = 54 + [(12 - 4) x 4] / 9 = 54 + 3,55 = 57,55.

2.3.4 Percentis

São os valores que dividem os dados em 100 partes iguais e são representados por P1, P2, P3, P4, …, P99. O 50º percentil corresponde à mediana.



2.3.5 Desvio padrão

Geralmente, é a medida de dispersão mais empregada em uma amostra, pois leva em conside-ração o total dos valores da(s) variável(is) que se quer estudar. O desvio padrão baseia-se nos desvios em torno da média e a sua fórmula é dada por:

A raiz quadrada da média dos quadrados dos desvios (variância), geralmente representada por σ.

Exemplo:

Para calcular o desvio padrão da população representada por {- 4, -3, -2, 3, 5}, temos:

Figura 8 – Base do cálculo do desvio padrão.


Em que o Xi são os valores das variáveis, o “X barra” é a média, na terceira coluna é o resultado do cálculo do valor atual – média e na quarta coluna é o resultado do cálculo do valor atual – média, ao quadrado.

Seja N o número de variáveis, então, sabemos que N = 5, a soma dos quadrados dos desvios é 62,8 e a média da soma dos quadrados dos desvios é 62,8 / 5 = 12,56. Com isso, temos o valor da variância, que é 12,56, e a raiz quadrada da variância é o desvio padrão, ou seja, 3,54.

Na sequência, podemos ver um histograma mostrando os desvios padrões de uma amostra e o quanto cada desvio padrão abrange em porcentagem:

43

-3σ -2σ -σ -σx 2σ 3σ

99,74%

95,44%

68,26%

Figura 9 – Cálculo do desvio padrão.


No gráfico, µ é a média, σ é o desvio-padrão, x valor de uma variável e 2σ significa que é o se-gundo desvio padrão, ou dois desvios padrões, para mais ou para menos e assim sucessivamen-te. Note que 3 desvios padrões, para mais ou para menos, representam quase toda a distribuição (99,74%). O desvio padrão serve para indicar o quão dispersos os dados estão, ou seja, quanto mais dispersos, maior o desvio padrão.

Além dessas frequências, temos a frequênciaacumuladadireta, que é a soma das frequências absolutas, começando pelo menor valor, e frequênciaacumuladainversa, que nada mais é do que a subtração das frequências absolutas começando pelo valor total.

2.4 AmostragemVeremos agora a amostragem, em que descreveremos como um controle de processo produtivo é realizado analisando uma abordagem estatística simples, que permita distinguir as causas co-muns das causas especiais de variação.

As amostragens podem ser probabilísticas, quando os elementos têm a mesma probabilidade de serem selecionados em uma amostra, e as nãoprobabilísticas, quando os elementos são escolhidos de acordo com o julgamento e a vontade do pesquisador. As amostragens se subdivi-dem ainda em quantitativas e qualitativas, como veremos em seguida.

2.4.1 Amostragens não aleatórias

Vejamos primeiramente as amostras quantitativas. Iniciamos com as amostragens não aleatórias. São amostras cuja formação é feita de um processo de seleção não aleatório, em que os elemen-tos ou grupo de elementos possuem a mesma probabilidade de inclusão na amostra; os elemen-



tos também devem ser calculáveis e diferentes de zero. Refere-se a um procedimento de escolha segundo critérios objetivos e previamente determinados. Logo, têm-se como resultado elementos escolhidos da população que deixam de ser aleatórios, por seguirem critérios definidos. São as amostras retiradas, por exemplo, em pesquisas de marketing de opinião.

2.4.2 Amostragem aleatória simples

São amostras (n) em que todos os elementos de uma mesma população (N) possuem probabili-dade conhecida de serem selecionados. Talvez seja a mais comum entre as técnicas de amostra-gem. Em uma pesquisa científica, por exemplo, podem-se estabelecer as amostras por sorteio. Para isso, é preciso fazer primeiro uma lista dos elementos da população, numerados de acordo com a quantidade de elementos, para então serem sorteados. É importante dizer que todo núme-ro tem a mesma probabilidade de ser sorteado e não há repetições.

Vejamos um caso sobre amostragem aleatória simples: um gerente recebeu 30 orçamentos di-ferentes em uma licitação para determinados maquinários que precisa adquirir. Pretende-se co-nhecer o custo médio de modelos similares de equipamentos das mesmas empresas. Os valores populacionais consistem nos seguintes preços unitários (em dólares/mil): 250, 200, 350, 210, 220, 240, 250, 300, 380, 240, 200, 200, 250, 200, 190, 250, 230, 240, 280, 240, 240, 220, 280, 260, 230, 250, 220, 270, 250, 230.

O gerente precisa extrair uma amostra aleatória simples de tamanho 10 dessa população por meio de sorteio. Ele coloca os valores descritos em pequenos papéis dentro de uma urna. Ao sortear a amostra n = 10, obteve o seguinte resultado: n = (200, 240, 220, 280, 230, 240, 210, 200, 250, 270).

Note que não é nem um pouco prático esse método e, para isso, o gerente poderia utilizar uma tabela de Excel, por exemplo, com valores aleatórios, e obter os mesmos resultados – o software possui o recurso de amostragem automática com números aleatórios. Veja como é possível realizar esse procedimento acessando este link: <http://pt.wikihow.com/Criar-Uma--Amostra-Aleat%C3%B3ria-no-Excel>.

2.4.3 Amostragem sistemática

Possui a vantagem de ser simples e flexível. Nesse caso, a probabilidade se estabelece por meio da aleatorização da primeira unidade amostral. Ou seja, coleta-se um elemento escolhido ao acaso dentro de uma população, por exemplo, um nome a cada dez nomes de uma lista, etc. Os critérios de escolha são previamente estabelecidos e aplicados de forma sistemática. Esse méto-do possui o objetivo de cobrir toda uma população para se obter um modelo sistemático simples e uniforme. As pesquisas aplicadas quanto à conhecida “boca de urna”, em períodos eleitorais, por exemplo, utilizam esse tipo de amostragem. As pesquisas quanto à preferência de um produto no local de comercialização é outro exemplo de aplicação no mundo corporativo.

Exemplo:

Se uma empresa produz diariamente camisas de alfaiataria, pode-se, a cada 200 peças produ-zidas, extrair uma para pertencer a uma amostra da produção de um dia.

2.4.4 Amostragem estratificada

Nesse tipo de amostragem, divide-se, ou seja, estratifica-se a população em um certo número de subpopulações, em que estas não contenham elementos que apareçam em mais de uma subpo-pulação, e então, extrai-se uma amostra de cada subpopulação. Esse tipo de amostragem costu-

45

ma ser usado quando vários métodos diferentes de coleta de dados são aplicados em diferentes partes de uma população – como na verificação da preferência sobre um produto, por exemplo.

Exemplo:

Sabendo o número de pessoas que vivem em São Paulo – SP, devem-se dividir as casas em níveis socioeconômicos e depois selecionar domicílios em cada nível de modo aleatório (como, por exemplo, de alta renda, de baixa renda, renda intermediária, etc.). É importante ressaltar que os estratos (ou subgrupos) devem ser homogêneos, ou seja, para que haja a menor variabilidade.

2.4.5 Amostragem de voluntários

Trata-se de amostras cujos próprios elementos da população se voluntariam para participar da pesquisa.

Exemplo:

Para se estimar o grau auditivo entre os colaboradores de uma empresa metalúrgica – segmento em que há incidência de perda auditiva em longos períodos de trabalho – pode-se, por exemplo, solicitar voluntários de diferentes setores para conferir se há o problema na empresa, mesmo entre aqueles que não trabalham diretamente em ambiente de ruído. Pode-se, com isso, planejar ações de prevenção.

2.4.6 Amostragem por bola de neve

Escolhem-se voluntários e estes indicam outras pessoas com o mesmo perfil para responder à pesquisa; estas, por sua vez, indicam outras pessoas, e assim sucessivamente, formando redes de referência.

Exemplo:

Em pesquisas de satisfação entre os consumidores de um produto pela internet, pode-se, por exemplo, solicitar que outras pessoas sejam consultadas sobre o mesmo produto, sugerindo mui-tas vezes a experimentação dele.

2.4.7 Amostragem por cotas

Esta amostra não probabilística busca usar a mesma proporção de elementos referentes a cada estrato da população. Além disso, na amostragem por cotas, os elementos da amostra não são selecionados aleatoriamente.

Exemplo:

Uma empresa de pesquisas aplicadas deseja saber sobre a audiência de um canal de televisão, e não apenas isso, mas sobre a audiência de um jornal local no horário do meio-dia. São entre-vistadas 500 pessoas residentes no bairro X, de modo que, de cada 100 pessoas entrevistadas, 50 são donas de casa, 40 são trabalhadores e 10, crianças de menos de 16 anos. Dentro desse julgamento, o entrevistador pode escolher os entrevistados que prefere.

2.4.8 Amostragem por escolha racional

É quando o pesquisador busca na população uma parte dela que interessa, ou seja, os partici-pantes são escolhidos por terem uma ou mais características específicas.



Exemplo:

Em uma pesquisa sobre o produto produzido por uma empresa automobilística, por exemplo, quer-se saber a opinião de consumidores do gênero feminino, na faixa etária de 21 a 40 anos apenas – pois este será o público-alvo de uma campanha de marketing.

2.4.9 Amostragem acidental

É um método muito usado em pesquisas de opinião em grandes cidades, em que os entrevistados são acidentalmente escolhidos pelo pesquisador, sem uma estratégia predefinida.

Exemplo:

Uma rádio quer saber dos moradores de uma cidade qual a sua opinião sobre a segurança pú-blica na região. O pesquisador pode sair a campo e perguntar aleatoriamente para as pessoas, sem descriminação de perfil.

2.4.10 Amostragem com reposição

Vimos a maioria dos tipos de amostragens quantitativas e veremos agora alguns outros tipos de amostragens, as qualitativas. Iniciamos pela amostragem com reposição, ou seja, aquela em que cada membro da população pode ser escolhido mais de uma vez.

Exemplo:

Esse tipo de amostragem é muito comum nos contextos corporativos e industriais, em que a mesma população (por exemplo, a de colaboradores) pode apontar diferentes nuances sobre os mais diversos problemas. As pesquisas de concorrência, por exemplo, também podem usar cada membro em diferentes contextos.

2.4.11 Amostragem sem reposição

É a amostragem em que cada membro não pode ser escolhido mais de uma vez.

Exemplo:

Em uma fábrica de tecido, na testagem de qualidade, as amostras numeradas em uma pesquisa devem ser mensuradas apenas uma vez, ainda mais quando contrapostas as amostras de tipo de diferentes de tecido, com ou sem erros, etc., integrantes de um total.

2.5 Correlação e regressão linearNeste tópico, observaremos a análise simultânea de duas ou mais variáveis, analisando se existe alguma correlação significativa entre elas. Geralmente, o objetivo de uma pesquisa é estabelecer relações entre uma ou mais variáveis em termos de outras, prevendo ou estimando, por exemplo, as futuras vendas de um produto em função do seu preço, ou o avanço de certa doença em re-lação a uma região, ou ainda a despesa de uma família com gastos pessoais em função de sua renda, e assim sucessivamente. Nem sempre, porém, as relações entre variáveis são perceptíveis, e as correlações amostrais costumam ser usadas para resolver esse problema, ou seja, medem o grau de associação entre duas variáveis aleatórias.

47

O ideal é que pudéssemos prever algo exatamente em função de outra coisa, mas isso é uma tarefa bem difícil. Na maioria dos casos, estimamos, ou seja, conseguimos dizer quais valores são esperados como resultado da análise. Por exemplo, não podemos prever com exatidão qual será o cargo que mais pagará daqui a 10 ou 15 anos, porém, com base em dados históricos, podemos prever o salário médio de todos os principais cargos e estimar o seu salário para os próximos 10 ou 15 anos.

No exemplo anterior, poderíamos considerar variáveis como salário atual do cargo e salário de anos anteriores de um grupo de pessoas que atuam nessa profissão, aumento de vagas e procura do curso por novos alunos; em toda essa investigação, procuramos encontrar alguma relação entre as variáveis de cada um desses pares e qual o grau dessa relação.

A análise de correlação dá um número que resume o grau de relacionamento entre duas vari-áveis aleatórias X e Y, enquanto a análise de regressão nos dá uma equação matemática que descreve esse relacionamento.

2.5.1 Correlação

Para o estudo do comportamento de duas variáveis, podemos usar os diagramas de dispersão, que vimos anteriormente, e o coeficiente de correlação, que resumidamente é um valor numérico para o grau de associação entre essas variáveis. Existem vários tipos de associação possíveis, o mais simples e usual é o modelo linear. O termo correlação indica o quão os valores de uma variável estão relacionados com os da outra.

O livro de estatística aplicada para gestão empresarial foi produzido pelo professor Adriano Leal Bruni, chamado Estatística aplicada à gestão empresarial (2013), que aborda os conceitos ensinados neste material e vai mais a fundo. É um ótimo material que servirá como bibliografia complementar contendo conceitos e exercícios.


2.5.2 Regressão linear

No diagrama de dispersão, sabemos que duas variáveis são representadas usando-se coorde-nadas x e y, em que cada coordenada é representada por um ponto. Os pontos, por sua vez, nos darão uma ideia se existe ou não correlação entre essas duas variáveis. A determinação da correlação entre duas variáveis no diagrama de dispersão é imprecisa e depende da experiência de quem observa.

Um modo de resolver a questão é usar o coeficiente de correlação ou coeficiente de correlação de Pearson, proposto por Karl Pearson, um importante matemático britânico. Esse coeficiente apontará o grau de intensidade da correlação entre duas variáveis e o sentido dessa correlação, ou seja, sentido positivo ou negativo.



Karl Pearson (1857-1936) é um dos teóricos clássicos da estatística moderna. Além dos estudos estatísticos na matemática, atuou em áreas como biologia, epidemiologia, antropometria, medicina e história social. Teve especial destaque correlação, regressão linear e classificação das distribuições.

VOCÊ O CONHECE?

A regressão linear simples refere-se a uma forma de estabelecer uma equação matemática linear, ou seja, uma reta, que defina o relacionamento entre duas variáveis. Logo, os valores do eixo y são descobertos com base em valores dados no eixo x, em que a variável y é chamada de variável dependente, e a variável x, de variável independente. Trata-se de traçar uma reta, que minimiza o quadro das distâncias de todos os pontos em relação a ela, ou seja, que consiga passar por cima do máximo de pontos que forem encontrados no gráfico, como podemos ver na figura a seguir:

35

30

25

20

15

10

5

020 4 6 8 10 12 14 16

Tempo (hs)

Popu

laçã

o (U

FC)

Figura 10 – Exemplo de regressão linear.

Fonte: Lima, 2011.

Esse tipo de análise relaciona uma variável dependente com outras variáveis explicativa, cuja fórmula para isso é E (Y/Xi) = f (Xi). Quando a curva de regressão assume uma reta entre as variáveis (daí surge o termo linear), temos a seguinte fórmula: E(Y/XI) = β1 + β2 Xi. Em geral, o modelo mais conhecido de equação de regressão linear básico é:

Sendo que:

• - variável explicada (dependente); é o valor que queremos atingir;

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• α- constante que representa a interceptação da reta com o eixo vertical;

• β - representa o declive (coeficiente angular) da reta;

• - variável explicativa (independente), representa o fator explicativo na equação;

• - variável que inclui todos os fatores residuais e os possíveis erros de medição.

Como exemplo, citamos Peixoto (2007): um pesquisador destacou uma amostra de observações acerca da despesa mensal em bens e em serviços culturais (Y) e o rendimento mensal per capita (X) de 14 famílias.

Devemos escrever a equação da reta de regressão.

Seguem algumas informações necessárias (PEIXOTO, 2007):

m^ = (média de xy – média de x vezes a média de y)/média de x^2- A média de x elevada ao quadrado. Este é o coeficiente angular.

b^= média de y- m^ vezes a média de x => este é o intercepto.

Tabela 5 – Cálculo da regressão linear.

Fonte: Adaptada de Peixoto, 2007.



M^= 8335,71429 – (27,07143 x 207,85714)/ 70364,28571 – (207,85714)2

M^= 0,0997

b^= 27,07143– (0,0997x 207,85714)

b^ = 6,3412

Logo, conforme Peixoto (2007), a equação da reta de regressão é: y = 0,0997x + 6,3412.


Uma lista de exercícios sobre correlação e regressão linear produzido pelo IME/Uni-camp pode ser encontrada acessando o seguinte link <http://www.ime.unicamp.br/~hlachos/ExerciciosRegre.doc>. Os exercícios contêm gabarito e é explicado como resolvê-los.

51

SínteseNeste capítulo, você pôde compreender:

• as principais técnicas de distribuição de frequência; fizemos, para isso, um estudo de conhecimento, construção e análise dos principais gráficos estatísticos;

• como calcular as principais medidas de limite central e dispersão – quartis, decis, moda, mediana, média e as suas relações na estatística, em específico, nas noções desta disciplina para os gestores;

• diferentes técnicas de amostragem e suas respectivas características, bem como a sua aplicação em distintos contextos corporativos;

• e, por fim, a abordagem dos cálculos e do uso da correlação (que é o valor numérico para o grau de associação entre essas variáveis) e regressão linear (uma equação matemática linear que defina o relacionamento entre duas variáveis).

Síntese


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Bibliográficas

Capítulo 3

53

IntroduçãoComo o controle do processo produtivo pode ser amplamente beneficiado pelo uso dos recursos estatísticos? A estatística fornece distintas metodologias capazes de otimizar o desenvolvimento de processos em empresas e em muitos outros contextos. Neste capítulo, veremos como um controle de processo produtivo é realizado por meio de uma abordagem estatística simples, que permitirá distinguir as causas comuns das causas especiais de variação.

Veremos o conceito de amostragem para a retirada das mesmas, o que garantirá, tanto quanto possível, o acaso na escolha. Isso é muito importante, pois garante à amostra sua representa-tividade dentro da população estudada. Em seguida, faremos alguns exercícios para aplicação empregando os conceitos de amostragem.

Tenha desde já um ótimo estudo!

3.1 Técnicas de amostragemPara compreender melhor o que são as técnicas de amostragem empregadas em diferentes de-mandas por gestores de todos os segmentos, o que é o nosso foco neste tópico, veremos também um pouco sobre o processo produtivo e as tarefas referentes a esse ciclo.

3.1.1 Processo produtivo

O processo produtivo é uma sequência de execução de tarefas a serem desenvolvidas por um grupo de colaboradores na produção de um produto ou serviço. Possui grande importância para uma empresa e, por isso, existem diversos controles rigorosos que visam a manter a qualidade dos produtos envolvidos nesse processo.

É tarefa do gestor tentar atingir um objetivo por meio de planejamento, organização, direção e controle, o que é constituído basicamente de funções como codificação de materiais, planeja-mento agregado, programação da produção, planejamento de projetos, avaliação da produtivi-dade e administração da qualidade, utilizando diferentes ferramentas e metodologias para isso. Quando são estabelecidos os objetivos, a empresa se planeja para executar ações que a farão alcançar esses objetivos (PEINADO; GRAEML, 2007).

As tarefas a serem executadas são, então, delegadas às pessoas capacitadas com função de controlar, verificar e avaliar os resultados finais do processo. O controle do processo produtivo é necessário para que os níveis de qualidade exigidos pela empresa e por seus respectivos consu-midores sejam atingidos (MARQUES, 2013).

O exemplo a seguir ilustra o processo produtivo de uma fábrica de revestimentos cerâmicos com as suas respectivas fases de produção:

Amostragem e o Processo Produtivo



Esmaltação

Prensagem/Secagem

Mat. Base e esmaltada

AtomizaçãoExpedição

Escolha

Queima

Estocagem de Barbotina

Moagem

Recepção e Pesagem

Clientes

Figura 1 – Exemplo de processo produtivo I.

Fonte: Biazin; Godoy, 2000.

Mesmo não sendo da área e não conhecendo os processos em sua essência ou os seus detalhes, podemos entender como criar um fluxo de ações para nossa empresa apenas olhando o modelo da Figura 1. Outro exemplo é mostrado a seguir – veja que o foco é diferente, mas a metodolo-gia é a mesma:

Entrega no cliente

Despacho do veículo

Análise dos pedidos de

vendas

Suporte SAC (0800)

Início

Fim

Retorno dos veículos para

UO/CD

Faturamento

Roteirização

Carregamento

Escolha do veículo

Formação da carga

Envio das rotas para o armazém

Figura 2 – Exemplo de processo produtivo II.

Fonte: Enomoto; Lima, 2007.

55

Podemos perceber que o processo produtivo e suas ações seguem uma determinada ordem de acontecimentos e os resultados devem ser medidos e analisados. Essa análise pode ser feita usando-se estatística, tanto para visualizar melhor os dados por meio de gráficos quanto para analisar os resultados de suas distribuições e suas medidas de frequência. A estatística também poderá ser usada para tentar prever quais os melhores resultados possíveis a se atingir e quais os resultados, aproximadamente, que serão atingidos, baseando-se no histórico das ações toma-das. No próximo item, veremos como será possível fazer isso.

Para conhecer os tipos produtivos mais comuns, leia o artigo de Jonathan Saidelles (2013), O que são processos produtivos? O artigo está disponível neste link: <http://www.administradores.com.br/producao-academica/o-que-sao-processos-produti-vos/5815/>.


3.1.2 Técnicas de amostragem

Veremos agora como um controle de processo produtivo é realizado, analisando uma aborda-gem estatística simples de retirada de amostras que garanta, tanto quanto possível, o acaso na escolha. Já vimos, no capítulo anterior, os diversos tipos de amostragem e também vimos que elas podem ser aleatórias (coletadas ao acaso) ou não aleatórias. O desafio é saber como, quando e onde usar essas técnicas em nosso processo produtivo.

A vantagem da amostragem é que esta permite que a empresa reduza seu custo, pois, em vez de colher os dados de todos os indivíduos nos processos existentes, colhe-se apenas uma fração da população, reduzindo tempo para coleta dos dados, utilizando menos mão de obra e proporcio-nando maior rapidez na depuração e na investigação dos dados.

Um exemplo prático: imagine que você é um gestor de uma empresa de desenvolvimento de sistemas. Um processo produtivo imaginável poderia ser:

1. levantamento das necessidades do cliente;

2. escolha das tecnologias a serem empregadas;

3. criação das tarefas;

4. delimitação dos prazos;

5. desenvolvimento do sistema;

6. entrega do produto;

7. manutenção e suporte.

Podemos supor que a empresa fabrica esse software (sistema computacional) há vários anos. Diante desse cenário, o gestor quer saber quanto tempo em média o time vai gastar para desen-volver esse software para um novo cliente.

Existem diversas abordagens e uma delas seria pegar uma amostragem do tempo gasto no desen-volvimento de todos os softwares da empresa e calcular a média e o desvio padrão. Outra técnica poderia ser pegar uma amostra de uma parte mais recente do histórico de tempo gasto e tentar



prever quanto tempo gastaria nos dias de hoje. Outra forma poderia ser por meio da amostragem de cada parte do processo, individualmente. Podemos perceber que a amostragem não precisa ser necessariamente retirada de um conjunto de pessoas, mas de um conjunto de processos.

Para populações grandes, podemos obter bons resultados utilizando amostras que representem uma pequena fração dessa população. Na prática, as empresas necessitam que os resultados sejam obtidos o mais rápido possível. Portanto, com a amostragem, você pode analisar os da-dos e entendê-los mais rapidamente do que em uma contagem completa (TAVARES, 2011). A velocidade, conforme já discutimos, também é importante, pois, se o resultado de uma pesquisa for conhecido muito tempo depois, provavelmente os problemas não serão os mesmos que você pretendia resolver.

No caso de pesquisas de mercado, em que há a necessidade de equipamentos e um grande grupo de especialistas que apliquem as pesquisas, censo completo torna-se impraticável, e resta a escolha de obter as informações por meio de uma amostra. Portanto, com um número reduzido de entrevistadores, por exemplo, o treinamento a ser aplicado é de qualidade superior ao treina-mento aplicado em um grupo maior de entrevistadores. A última vantagem a ser citada aqui é a maior exatidão dos resultados (TAVARES, 2011).

Segundo Tavares (2011, p. 29), em virtude de se poder empregar pessoal de melhor qualidade e intensivamente treinado e por se tornar “exequível a supervisão mais cuidadosa do campo de trabalho e do processamento de dados”, favorecendo uma redução no volume de trabalho, “uma amostragem ‘pode’, na realidade, proporcionar resultados mais exatos do que o censo” (TAVARES, 2011, p. 29).

Assim, as amostras devem apresentar uma característica importante, que corresponde à repre-sentatividade de uma população muito maior (TAVARES, 2011). Podemos denominar o processo de dividir uma população em subpopulações como estratificação, em que cada subpopulação é um grupo de unidades de amostragem com características semelhantes.

Em que situações você precisou fazer uso da estatística em seu trabalho, vida pessoal ou meio acadêmico? A estatística pode ser empregada na rotina pessoal – como, por exemplo, no controle de gastos mensais e no gerenciamento de finanças pessoais. Na prática profissional, independentemente de sua função, ela pode otimizar a busca de melhores resultados, precisão de orçamento ou custos, e auxiliar em diversas atividades cotidianas do trabalho e da produção. No meio acadêmico, são comuns os estudos estatísticos na coleta e apresentação de dados tabulados, que ilustrem uma determi-nada questão de pesquisa científica. Veja como a estatística é mais próxima de suas atividades do que aparentemente se percebe.


Antes de passar para o próximo tópico, em que teremos vários exercícios, devemos relembrar al-gumas noções de amostragem. Para facilitar, vamos ilustrar os principais conceitos na sequência.

1. Amostra é uma fração representativa da população:

57

População

Amostra

Figura 3 – Amostra é uma representação de uma população.


2. A população e a amostra contêm algumas características em comum, como média, variância e desvio padrão. Para a população, essas características são parâmetros; já para a amostra, são estatísticas, ou seja, uma unidade de amostragem corresponde a um indivíduo de uma população ou amostra:

População e amostra:

População: N

σ2 = variânciaμ = média

Amostra: n

s2 = variância= média

Unidade da amostragem

Parâ

met

ros

Esta

tíst

icas

Figura 4 – Exemplo de população e amostra.

Fonte: Santos et al., 2007.

É importante ressaltar as diferenças entre o cálculo para a variância da população e para o ta-manho da amostra. A fórmula da estimativa da variância é:



A variância populacional pode ser calculada pela seguinte fórmula:

Já a variância de uma amostra {x1,...,xn} de n elementos é definida pela soma ao quadrado dos desvios dos elementos em relação à sua média dividido por (n-1). Pode ser tida com a seguinte fórmula:

A variância da população (σ2 - variância populacional) e a variância da amostra (s2 - variância amostral) são, obviamente, duas coisas distintas: calculamos a população quando queremos observar todos os dados ou elementos que compõem o universo; no caso da amostra, aplica-se a apenas certa série de uma amostra de um conjunto maior.

3. Uma população pode ser considerada finita ou infinita. Se, em um experimento, a população é finita, ou seja, quando o número de elementos de um grupo não é muito grande, a coleta e a análise das informações devem abordar todos os indivíduos do grupo, que, por padrão, é um valor dentro da margem de 100.000 pessoas. Por exemplo, as condições de empresas de prestação de serviços na cidade do Rio de Janeiro – nesse caso, veremos que o número de empresas na cidade é considerado finito. Mas, se é infinita, ou seja, quando o número de elementos é muito elevado, praticamente incontável, refere-se a uma população que ultrapasse a margem de 100.000 pessoas. Por exemplo, a população da cidade do Rio de Janeiro.

Para calcularmos a amostra levando em conta se a população é finita ou infinita, devemos fazer:

Se infinita: n= (∂².p.q) / e²

Se finita: n= (∂².p.q .N) / e².(N-1)+∂².p.q

Para compreender melhor:

• n = amostra;

• N = universo;

• ∂ = nível de confiança;

• p = proporção populacional de indivíduos da categoria que se estuda;

• q = proporção populacional de indivíduos da categoria que não estamos interessados em estudar.

4. Intervalo de confiança (IC): é um intervalo estimado de um parâmetro de interesse de uma população. Não é preciso estimar o parâmetro por um único valor, pois é dado um intervalo de estimativas prováveis. O quanto essas estimativas são prováveis será determinado pelo coeficiente de confiança (1 - α) para α ∈ (0, 1). O gestor pode utilizar os intervalos de confiança quando há a necessidade de indicar a confiabilidade de uma

59

estimativa. Logo, se, em um experimento, todas as estimativas forem iguais, uma pesquisa que resulte em um IC pequeno é mais confiável do que uma que resulte em um IC maior (PORTAL ACTION, s.d.).

5. Margem de erro (e): é o desvio do resultado da amostra em relação ao que poderia ser obtido junto à população representada. Quanto mais homogênea a população, menor o erro amostral e vice-versa. O erro acontece devido a problemas operacionais ou equívocos na seleção dos entrevistados. O erro pode ser não amostral (quando há incorreção de registro dos dados ou instrumentos com defeitos) ou amostral (diferença entre o resultado amostral e o resultado populacional).

6. Nível de confiança (∂): é a probabilidade de que o valor apresentado esteja correto. Um bom valor aceitável, por exemplo, gira em torno de 95%.

7. Em uma população ou amostra, o primeiro, segundo e terceiro desvios padrões compreendem praticamente a totalidade dessa amostra ou população. Esta é uma premissa empírica usada quando os dados são normalmente distribuídos e possuem a forma de sino. Veja que, aproximadamente, 68% das medidas (dados) estarão dentro de um desvio padrão da média, 95% cairão dentro de dois desvios padrões, e 97,7% (ou quase 100%) ficam dentro de três desvios padrões.

-3s -2s -1s 1s 2s 3s

99,7%

95%

68%x

Figura 5 – Exemplo de desvio padrão.

Fonte: Bertollo, s.d.

Veja que, nesse modelo de distribuição de probabilidades de variáveis aleatórias contínuas, o aspecto é simétrico e a área sob a curva é igual à unidade, abarcando praticamente 100% da população do evento. E a probabilidade de ocorrer um valor maior que a média é igual à probabilidade de ocorrer valor menor do que a média, ou seja, ambas as probabilidades são iguais a 0,5 ou 50%. Isso porque a curva é simétrica em torno da média e cada metade da curva representa 50% de probabilidade.

A curva normal tem como parâmetros μ (média) e σ (desvio padrão). Ela apresenta também dois pontos de inflexão, ou seja, os pontos onde a curva muda de direção, que correspondem aos valores de x = μ + σ e x = μ - σ.

8. Na amostragem aleatória simples, cada elemento da população tem uma probabilidade de seleção idêntica.



9. Na amostragem aleatória estratificada, segue o mesmo conceito de estratificação (subgrupos), em que todos os elementos possuem as mesmas chances de serem incluídos na amostra:

População

Amostra

70%

10%

20%70%

10%

20%

Figura 6 – Exemplo de amostra aleatória.

Fonte: Adaptado de MBI, 2015.

10. Amostragem sistemática: trata-se de um processo de amostragem probabilístico não aleatório, em que apenas a primeira unidade amostral é adquirida de modo aleatório, sendo este um critério de probabilidade.

Exemplo: Uma escola com 100 alunos: 59 meninas e 41 meninos. Queremos uma amostra de 10 alunos.

6 4

10 alunos

Figura 7 – Exemplo de amostragem sistemática.

Fonte: Neves, s.d.

61

11. A estatística pode ser descritiva ou indutiva. A primeira tem por objetivo descrever e estudar a amostra; já a segunda visa a tirar conclusões para a população:

População Amostra

Características amostrais

Estudo da amostra:- tabelas- grá�cos- medidas

Características populacionais

Produção de dados

Estatística indutiva

Figura 8 – Exemplo de estatística descritiva e indutiva.

Fonte: Adaptado de Alea, 2015.

12. Amostragem por conveniência: trata-se da amostra que é formada obedecendo a algum tipo de conveniência de quem produz a amostra ou de quem participa desta ou de ambos.

13. Por último, um lembrete sobre as duas classes principais de amostragem – probabilística e não probabilística:

Probabilística

Não-Probabilística

Aleatória

Sistemática

Estrati�cada

Cluster

Área

Multinível

numerar a população

cada n intervalo

estrato mutuamente exclusivo

amostras de grupos

amostras de grupos

multiníveis

"está a jeito"

escolha assente em critérios

subcategorias da população

a que parece melhor

Conveniência

Criteriosa

Quota

Julgamento

Figura 9 – Amostragem probabilística e não probabilística.

Fonte: Adaptado de Sociedade Portuguesa de Inovação, s.d.



O livro Estatística aplicada à administração e à economia, de Sweeney, Williams e An-derson (2013) é uma ótima obra prática para a consulta de gestores e profissionais que pretendem utilizar a estatística para otimizar a produtividade de uma empresa.


3.2 Interpretação dos dadosPraticar é uma ótima forma de o gestor compreender melhor o funcionamento dos recursos estatísticos em suas demandas produtivas. Neste tópico, veremos alguns exemplos e exercícios resolvidos que ilustram de forma prática o uso dos conhecimentos estatísticos na rotina adminis-trativa e gerencial.

3.2.1 Exercícios de estatística aplicada e sua interpretação dos dados

Vejamos alguns exemplos sugeridos por Pommer (2013). O autor propõe, inicialmente, o seguin-te exercício, que solucionaremos:

Em uma indústria, são produzidos 4 produtos, cuja produção diária está indicada na tabela a se-guir. O controle de qualidade, como é de praxe, escolhe algumas peças para análise, correspon-dendo a 0,01% da produção diária de cada produto. Precisamos obter o número de elementos da amostra de cada produto, considerando a amostragem proporcional estratificada.

Produto Produçãodiária Amostra

1 41.000 ?

2 26.000 ?

3 29.000 ?

4 47.000 ?

Total ? ?

Tabela 1 – Exemplo de amostragem estratificada aplicada à produção I.

Fonte: Adaptada de Pommer, 2015.

Fazendo uso da amostragem proporcional estratificada, notamos que 0,01% de 143. 000 não coincidem com o tamanho da amostra.

63

Produto Produçãodiária Amostra

1 41.000 4

2 26.000 3

3 29.000 3

4 47.000 5

Total 14.3000 15

Tabela 2 – Exemplo de amostragem estratificada aplicada à produção II.



O cinema possui muitos exemplares de filmes que utilizam os conhecimentos matemáti-cos como pano de fundo para as tramas. Com a estatística não é diferente. É o exemplo do filme Quebrando a Banca (2008), em que um grupo de estudantes, auxiliados por um brilhante professor de estatística – no caso, interpretado pelo ator Kevin Spacey –, aplica um golpe nos cassinos de Las Vegas, utilizando técnicas de contagem de cartas no jogo de 21.

Vejamos um novo exemplo: uma pequena empresa familiar é dividida em quatro setores – pro-dução, administração, atendimento e suporte técnico. Criamos um quadro ilustrativo que repre-senta o número de colaboradores dos dois sexos. Precisamos obter o número de elementos da amostra de cada setor, para um total amostral de 10 colaboradores. Vamos considerar aqui a amostragem proporcional estratificada:

Empresa Númerodecolaboradores Amostra

Setor 1 30

Setor 2 26

Setor 3 24

Setor 27

Total

Tabela 3 – Exemplo de amostragem estratificada aplicada I.




Vejamos como podemos obter o número de elementos da amostra de cada dos setores (em destaque):

EmpresaNúmerode

colaboradoresAmostra

Setor 1 30 300/107=2,80=3

Setor 2 26 260/107=2,43=2

Setor 3 24 240/107=2,24=2

Setor 4 27 270/107=2,52=3

Total 107 10

Tabela 4 – Exemplo de amostragem estratificada aplicada II.


A pesquisa de opinião é um recurso muito usado pelas empresas para avaliar o produto, o po-sicionamento no mercado ou até mesmo avaliar as opiniões dos eleitores. É um método comum nas pesquisas de marketing. Pommer (2013) propõe, nesse sentido, o seguinte exercício: uma empresa de bebidas resolveu realizar uma pesquisa de opinião em diferentes capitais brasileiras por meio de técnicas de amostragem.

Os entrevistados serão pessoas entre 18 e 60 anos, como você pode observar no quadro a se-guir, e discriminados em função do sexo. Teremos que obter o número de elementos da amostra de cada capital, sendo que se deseja entrevistar mil consumidores do produto. Novamente, va-mos considerar a amostragem proporcional estratificada:

Capitaisselecionadas

Consumidoresmasculinos

Consumidoresfemininos

AMOSTRA


AMOSTRA


A 800 900

B 620 580

C 710 750

D 930 1.100

E 1.500 1.750

F 2.500 2.400

Total

Tabela 5 – Exemplo de amostragem estratificada aplicada em pesquisas de opinião.


65

Vejamos o número de amostra de cada capital para a interpretação do caso:

Capitais Consumidoresmasculinos


AMOSTRA


AMOSTRA


A 800 900 800x486/7.060=55900x514/7.480=62

(61,84)

B 620 580 620x486/7.060=43580xx514/7.480=

40(39,86)

C 710 750 710x486/7.060=49750x514/7.480=

52(51,54)

D 930 1.100 930x486/7.060=641.100x514/7.480=

76(75,59)

E 1.500 1.750 1.500x486/7.060=1031.750x514/7.480=

120(120,25)

F 2.500 2.400 2.500x486/7.060=1722.400x514/7.480=

164*(164,92)

Total 7.060 7.480 486 514

Tabela 6 – Exemplo de amostragem estratificada aplicada em pesquisas de opinião – resolução.


Analisemos os números obtidos:

7.060 + 7.480 = 14.540 → 7.060.000 / 14.540 = 485,56 = 486 consumidores masculinos.

7.480.000 / 14.540 = 514,44 = 514 consumidores femininos

1.000 consumidores.

Observe a soma dos elementos da amostra: nota-se que a amostra feminina possui 515 con-sumidores. Como a amostra deve possuir 514 consumidores, é preciso corrigir esse problema que surge devido às aproximações. Na verdade, não existe método. Sugerimos seguir o lema “retire do elemento com maior quantidade (mais rico) ou acrescente para o elemento com menor quantidade (mais pobre)”, conforme Pommer (2013, p. 18). Nesse caso, foi ajustado de 165 para 164.



Gottfried Achenwall (1719-1772), um jurista e historiador alemão, é considerado um dos precursores da estatística. Foi ele quem desenvolveu a Statistik, e mesmo que não tenha muito a ver com a estatística moderna, pois focava mais na descrição das carac-terísticas sócio-político-econômicas dos diferentes estados, os seus estudos desencadea-ram a busca pelos recursos estatísticos, aplicado em diferentes contextos posteriormente.

VOCÊ O CONHECE?

Veremos outro exemplo adaptado de Pommer (2013): para saber sobre o estado nutricional dos colaboradores de uma empresa que dispõe de refeitório, decidiu-se complementar os dados an-tropométricos com alguns exames laboratoriais. Para não exigir que os colaboradores fizessem esses exames, decidiu-se estratificar a população por nível por turno de trabalho (1º turno e 2º turno) e por setor (produção e outros setores), buscando os voluntários em cada nível.

Observe a tabela a seguir e busque afirmar qual deve ser a cota a ser amostrada em cada estra-to, considerando que se deseja uma amostra de 200 colaboradores.

Nívelporturnodetrabalho

Setor

Produção Outrossetores

1º turno 48% 14%

2º turno 26% 12%

Tabela 7 – Exemplo de amostragem estratificada com base em dados da população.


Vejamos os resultados e o desenvolvimento:

48%+14%+26%+12%=100%

48%de200=0,48x200=96alunos

14%de200=0,14x200=28alunos

26%de200=0,26x200=52alunos

12%de200=0,12x200=24alunos

100%de200=1x200=200alunos

Assim, teremos a seguinte tabela de resultados:

Nívelporturnodetrabalho

Setor

Produção Outrossetores

1º turno 48% (96 colaboradores) 14% (28 colaboradores)

2º turno 26% (52 colaboradores) 12% (24 colaboradores)

Tabela 8 – Exemplo de amostragem estratificada com base em dados da população – solução.


67

Vamos observar agora um exemplo de amostragem sistemática. Pommer (2013) destaca o se-guinte exemplo: uma empresa produz uma população de mil peças diárias em sua linha de produção. O setor de controle de qualidade precisa escolher para a análise uma a cada cem peças produzidas. Como o gestor deve proceder para escolher uma amostra sistemática para o controle de qualidade?

Se, em cada cem peças, uma é tomada como amostra, ao final do dia serão analisadas dez peças, pois a produção diária é de mil peças.

• N = população diária = 1.000 peças.

• n = tamanho da amostra = 10 peças.

• Intervalo =

O gestor deve escolher um número aleatoriamente, por sorteio ou pela tabela de números ale-atórios (ou seja, por amostragem aleatória simples) entre 1 e 100, que definiremos como k. Por exemplo, obteve-se por sorteio k = 25. A amostra sistemática, com dez elementos, será compos-ta pelas seguintes peças: 25ª, 125ª, 225ª, 325ª, 425ª, 525ª, 625ª, 725ª, 825ª e 925ª.

É importante lembrar que, na amostragem sistemática, deve-se, conforme Pommer (2013):

• conhecer N = população total;

• conhecer n = tamanho da amostra;

• calcular I = N/n, como sendo o intervalo constante (regular) entre as posições que serão retiradas as amostras;

• obter, por método aleatório, um número k situado entre 1 e I. A seguir, obtenha uma sequência de elementos efetuando a adição de k com I (progressão aritmética de razão I e a 1 = k): (k, k + I; k + 2I; k + 3I: ...).


SínteseEste capítulo foi dividido em duas partes, e você pôde compreender:

• primeiramente, que o processo produtivo e o significado de suas fases é de grande importância para contextualizar os recursos estatísticos e as suas necessidades de uso;

• que o conceito de amostragem é amplo e útil para ser utilizado em qualquer área da vida, inclusive na gestão – em todos os setores produtivos, podem-se obter resultados estatísticos, como ocorre, por exemplo, no controle de qualidade, nas pesquisas de recursos humanos e nas pesquisas de marketing, como vimos nos exemplos;

• que os cálculos da amostragem podem variar se a população é finita ou infinita; nesse caso, o cálculo é conhecido por cálculo amostral;

• os tipos mais importantes de amostragem e onde são aplicados, de maneira ilustrativa, passando em seguida para exercícios práticos de interpretação dos dados retirados de uma amostra;

• que as técnicas de amostragem podem otimizar a produção, poupar trabalho, tempo e dinheiro em uma situação real de uma empresa.

Síntese

69

ReferênciasACÇÃO LOCAL DE ESTATÍSTICA APLICADA. Introdução à estatística: estatística descritiva e estatística indutiva. Disponível em: <http://www.alea.pt/Html/nocoes/html/cap2_4_2.html>. Acesso em: 15 jun. 2015.

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TAVARES, M. Estatísticaaplicadaàadministração. Florianópolis: Departamento de Ciências da Administração/UFSC, UAB, 2011.

Capítulo 4

71

IntroduçãoVocê sabia que é possível mensurar os resultados antes mesmo de eles serem obtidos? Em esta-tísticas, damos a isso o nome de probabilidade, o que é um verdadeiro trunfo no cotidiano do gestor de qualquer segmento.

Este capítulo visa a abordar a probabilidade, analisando as chances de ocorrer um resultado, antes mesmo de o experimento ser realizado. Na probabilidade, encontramos as distribuições de probabilidades, as quais, por sua vez, descrevem a chance que uma variável pode assumir ao longo de um espaço de valores.

Veremos como utilizar esses modelos matemáticos analisando a ocorrência de defeitos na fabri-cação de produtos e, em seguida, identificaremos modelos matemáticos analisando estimativas de processos produtivos.

Tenha um bom estudo!

4.1 Distribuição discretaA probabilidade distribui-se de modo discreto e contínuo. Neste tópico, analisaremos como ocorre a distribuição da probabilidade e veremos como utilizar esses modelos matemáticos ana-lisando a ocorrência de defeitos na fabricação de produtos.

4.1.1 Distribuição de probabilidade

Você sabe qual a função da distribuição da probabilidade? O seu objetivo situa-se nos valores de uma variável e sua imagem; trata-se de as probabilidades dessa variável assumirem cada valor do domínio sempre restrito ao intervalo entre 0 e 1.

A distribuição de probabilidades é expressa por um histograma de probabilidades, ou seja, uma escala vertical que representa as probabilidades. Dessa forma, o uso de funções de distribuição de probabilidade é bastante comum nos experimentos estatísticos.

É importante lembrar que (IAG-USP, 2010):

1. a soma de todos os valores de uma distribuição de probabilidades deve ser igual a

Σ P(X) = 1

em que x toma todos os valores possíveis;

2. a probabilidade de ocorrência de um evento deve ser para todo x:

0 ≤ P (x) ≤ 1

Probabilidade



4.1.2 Variável aleatória discreta

O gestor, por exemplo, pode obter o valor esperado de uma variável aleatória discreta, que é conhecido como esperança. Trata-se do valor médio dos resultados. Assim, a média de uma variável aleatória discreta é igual ao seu valor esperado.

Uma variável aleatória é uma variável quantitativa, ou seja, o seu valor depende de fatores ale-atórios. E uma variável aleatória é uma função que associa elementos de um espaço amostral a valores numéricos. Trata-se de mensurar a partir de um parâmetro que gere um valor diferente para cada medida (BARBETTA; REIS; BORNIA, 2004).

Como dissemos antes, as variáveis aleatórias podem ser discretas ou contínuas. A variável ale-atória discreta é aquela que sugere valores que podem ser contados, isto é, aquela para a qual um conjunto X é um conjunto finito ou infinito enumerável (CRESPO, 2002).

Um exemplo de variável aleatória discreta infinita seria a quantidade de pessoas que chegam a um shopping: sabemos que virão pessoas infinitamente, porém, nunca chegará a metade ou uma fração de uma pessoa. Apesar de o resultado a princípio não ser sempre completamente conhecido, ele é considerado em estatística como sendo discritível.

Você provavelmente já jogou dados. E mesmo que não tenha jogado, sabe que possui seis lados expressos em números. Qual seria a probabilidade de resultados conside-rando um parâmetro que gere um novo resultado a cada jogada? Esse exemplo é bem simples e retrata bem a questão da variável aleatória: ao jogar o dado, você poderá obter qualquer número de 1 a 6. Trata-se de um conjunto finito, com números inteiros entre 1 e 6: X={1,2,3,4,5,6}. Considerando a fórmula apresentada anteriormente, temos, para esse exemplo:


ΣP (x) = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1

As variáveis aleatórias contínuas são aquelas que apresentam qualquer valor numérico em um determinado intervalo ou sequência de intervalos (BARBETTA; REIS; BORNIA, 2004). É a variável para a qual o conjunto X é um conjunto infinito não enumerável, em que a variável assume valo-res dentro de intervalos de números reais, por exemplo, alturas de prédios ou a de uma refeição (BARBETTA; REIS; BORNIA, 2004).

Nos próximos itens, veremos com mais detalhes as distribuições discretas e contínuas, trazendo e analisando os vários tipos de distribuições, tanto discretas quanto contínuas, visualizando alguns gráficos.

4.1.3 Distribuição discreta e seus diferentes tipos

Como mostramos anteriormente, a distribuição discreta descreve quantidades aleatórias que po-dem assumir valores particulares e esses valores são finitos. Existem várias distribuições discretas, porém as principais são:

• distribuição uniforme discreta;

• distribuição binomial;

73

• distribuição de Poisson;

• distribuição hipergeométrica.

A figura a seguir representa um histograma, por exemplo, baseado em uma distribuição discre-ta – no experimento, preocupou-se em saber o número de ovos colocados por 250 insetos ao longo de suas vidas:

16

14

12

10

8

6

4

2

010 a 12 a 14 a 16 a 18 a 20 a 22 a 24 a 26 a 28 a 30 a 32 a 34 a 36 a 38 a 40 a 42 a 44 a11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

Número de Ovos

Freq

uênc

ia R

elat

iva

(%)

Figura 1 – Exemplo de distribuição discreta.

Fonte: Laboratório de Estatística e Geoinformação – UFPR, 2015.

Uma obra que recomendamos a todos os gestores de diferentes áreas de atuação é o livro Noções de probabilidade e estatística, de Magalhães e Lima (2009). Trata-se de uma obra de estatística básica, muito renomada, com ampla experiência no ensino de estatística. Vale a pena conferir!


4.1.4 Distribuição uniforme

É a mais simples e não faz uso de parâmetros. Para entender rapidamente como se dá essa dis-tribuição, vamos trazer novamente o exemplo do jogo de dado: os possíveis valores são 1, 2, 3, 4, 5 e 6, e a cada vez que o dado é jogado, a probabilidade de cada valor é 1/6, ou seja, o conjunto de resultados é um conjunto com um número finito de resultados com chances idênticas de acontecer.

É por meio deste modelo que calculamos a densidade de probabilidade de distribuição uniforme:



Sendo que valores entre a e b são igualmente prováveis.

Para estabelecer a variância, tem-se:

Vejamos um caso baseado no exemplo de Fiocruz (s. d.): em uma empresa moveleira, o gerente de produção precisa calcular a probabilidade de um arranhão em um móvel ser no máximo igual a “7” de comprimento e a probabilidade desse arranhão estar entre “4 e 8”. Ele deve calcular também o valor esperado e a variância da distribuição. Considere que todos os arranhões entre 1” e 11” são igualmente prováveis. Representando o problema em gráficos, temos:

Área=0.60

f(x)

1’’ 7’’ 11’’

1/(b-a)

a b x

Figura 2 – Exemplo de distribuição uniforme I.

Fonte: Fiocruz, s. d.

75

Temos também:

Figura 3 – Probabilidade de arranhões na empresa moveleira.

P(X ≤ 7)0.60

F(x)

a=1’’ 7’’ b=11’’ x

Figura 3 – Probabilidade de arranhões na empresa moveleira.


A solução encontrada pelo gestor foi a seguinte, conforme Fiocruz (s/. d.):

P(X ≤ 7) = F(7) = = 0,6011 - 17 - 1

Var(X) = = 8,33 polegadas2

12(11 - 1)2

E(X) = = 61+112

P(4 ≤ x ≤ 8) = F(8) - F(7) = 11 - 1(8 - 1) - (4 - 1) = 0,40

SD(X) = 8,33 = 2,89”

Figura 4 – Solução encontrada pelo gestor.


4.1.5 Distribuição binominal e distribuição de Bernoulli

Se lançarmos uma moeda em vez de um dado, teremos dois resultados possíveis. O aspecto desse experimento aleatório é que ele terá somente dois resultados (DOANE; SEWARD, 2008). Se você tirar uma carta de um baralho, por exemplo, em que o interesse está apenas na cor (preta ou vermelha) da carta sorteada, o experimento pode ser considerado o mesmo.

Um experimento de Bernoulli é um experimento aleatório com apenas dois resultados possíveis, sucesso ou fracasso, sendo assim, a distribuição de Bernoulli é a distribuição de uma variável aleatória X associada a um experimento de Bernoulli, em que se define X = 1 se ocorre sucesso e X = 0 se ocorre fracasso (DOANE; SEWARD, 2008).



Jakob Bernoulli (1654-1705) foi um matemático suíço que se destacou e ainda é re-ferência em áreas como a geometria analítica, a teoria das probabilidades (que nos interessa neste material) e o cálculo de variações. A distribuição de Bernoulli recebeu esse nome em sua homenagem e refere-se à distribuição discreta de espaço amostral {0, 1}, cujo valor é 1 com a probabilidade de sucesso p e valor 0, com a probabilidade de falha q=1- p.

VOCÊ O CONHECE?

Vejamos um exemplo de distribuição binomial (HERNANDEZ, s. d.): se usarmos o mesmo exem-plo do baralho citado anteriormente e retirarmos uma carta de um baralho de 52 cartas, qual a probabilidade de a carta retirada ser ou um ás ou uma carta de copas? Vejamos a fórmula e sua solução:

P(ÁS U Copas) = P(ÁS) + P(Copas) - P(ÁS n Copas) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52.

Há ainda um tipo de distribuição chamada de condicional, quando A e B são dois eventos e a probabilidade de B ocorrer e de A ter ocorrido é definida por: P (B/A). Podemos ilustrar esses eventos interdependentes com a seguinte fórmula:

P(AeB)=P(A)xP(B/A)

Assim, seguindo o exemplo das cartas de baralho, conforme Hernandez (s. d.), se duas cartas são retiradas de um baralho sem haver reposição, qual a probabilidade de ambas serem do naipe de copas?

P (Copas1 e Copas2) = P(Copas1) x P(Copas2/Copas1) = 13/52 x 12/51 = 0,0588 = 5,88 %

P(Copas1) = 13/52

P(Copas2/Copas1) = 12/51

Mas se a primeira carta retirada fosse inserida novamente no baralho, o experimento seria do tipo com reposição e seria um evento independente. O seu resultaria seria o seguinte (HERNAN-DEZ, s. d.):

P(Copas1) x P(Copas2) = 13/52 x 13/52 = 0,625 = 6,25 %.

4.1.6 Distribuição de Poisson

Você viu que a distribuição binomial pode ser usada para descobrir a probabilidade de um nú-mero indicado de sucessos em n tentativas. Já na distribuição de Poisson, é possível encontrar a probabilidade de um número designado de sucessos por unidade de intervalo (BALESTRASSI; PAIVA, 2007).

77


No link a seguir, você poderá observar problemas de distribuição de Poisson com os seus respectivos resultados e com bastante variedade de experimentos. Disponível em: <http://www.portalaction.com.br/probabilidades/52-distribuicao-de-poisson>.

É importante ressaltar que as demais condições exigidas na aplicação da distribuição binomial são também exigidas na distribuição de Poisson, ou seja, é preciso que haja apenas dois resul-tados mutuamente exclusivos e os eventos precisam ser independentes. Assim, o número médio de sucessos por unidade de intervalo deve permanecer constante (BALESTRASSI; PAIVA, 2007).

Figura 5 – Os métodos de distribuição da probabilidade são eficientes na rotina do gestor.


Considerando as premissas da distribuição de Poisson, em que contexto esse recurso estatístico poderia ser usado? Podemos citar alguns exemplos: em um servidor web, que recebe e envia as mensagens de sua conta de e-mail, é possível descobrir o número de mensagens que chegam em um intervalo de uma hora, por exemplo. Em uma em-presa petroquímica, é possível determinar o número de componentes com defeito em determinado volume da substância que está sendo produzida. Outro exemplo ainda refere-se ao controle de qualidade de uma indústria têxtil – é possível saber o número de defeitos em um metro de fio ali produzido. Veja que é comum o gestor se deparar com a necessidade de uso da distribuição de Poisson na sua rotina administrativa.




4.1.7 Função hipergeométrica

A função hipergeométrica de probabilidade é muito utilizada no cálculo da probabilidade em que em uma amostra aleatória de n elementos, selecionados e sem substituição, obtêm-se k elementos, sendo estes tidos como sucesso e n - k elementos tidos como fracasso (ANDERSON; SWEENEY; WILLIAMS, 2007).

Para entender melhor, considere que o conjunto N possui todos os elementos que se quer ana-lisar e R é o conjunto de elementos que obtiveram sucesso naquela população. Sendo assim, precisamos obter k sucessos a partir dos r sucessos na população e n - k fracassos a partir dos N - r fracassos.

Lembrando que, na estatística, se sabemos a probabilidade p de sucesso de algo ocorrer naquela população, poderemos saber a possibilidade de algo não ocorrer (fracasso) apenas calculando 1 - p. O valor 1 é usado aqui, pois a soma da probabilidade deve ser igual a 1. A função hiper-geométrica de probabilidade aponta f (x), em que f (x) é uma função, a probabilidade de se obter x sucessos em uma amostra de tamanho n, e em que os ensaios não são independentes e a pro-babilidade de sucesso muda de ensaio para ensaio (ANDERSON; SWEENEY; WILLIAMS, 2007).

Uma obra interessante para a consulta do futuro gestor é o livro Estatística aplicada à Administração, de Stevenson (2001). Trata-se de um manual bastante completo que traz exemplos de aplicação de cada recurso estatístico e os seus benefícios na rotina das empresas.


4.2 Distribuição contínuaVeremos agora o que é e quais os benefícios da distribuição contínua para a rotina no gestor. Buscaremos compreender os modelos matemáticos, analisando estimativas de processos produ-tivos, por meio de exemplos práticos.

4.2.1 O que é a distribuição contínua?

A distribuição contínua é aquela em que há quantidades aleatórias contínuas que podem indicar um número infinito de valores, por exemplo, a temperatura, a pressão de um equipamento ou da atmosfera, precipitação de chuva ou qualquer elemento medido em uma escala contínua. Trata-se de uma variável aleatória contínua (REBOITA, 2005). Vejamos as principais distribuições contínuas:

• normal;

• gama;

• exponencial;

• valores extremos.

Na figura a seguir, podemos ver um exemplo de distribuição contínua – que ilustra uma curva normal, como veremos na sequência:

79

0e+0

01e

+04

2e+0

43e

+04

f(x)

4e+0

45e

+04

6e+0

4

2000 3000 4000 5000

Figura 6 – Exemplo de distribuição contínua em gráfico.

Fonte: Laboratório de Estatística e Geoinformação – UFPR, 2015.

4.2.2 Distribuição normal

Uma variável aleatória contínua tem uma distribuição normal se a sua distribuição é simétrica e apresenta forma de um sino – como você pôde observar na Figura 6. Quando uma distribuição é contínua, o gráfico de distribuição é uma linha contínua (PORTNOI, 2007). Note que não vemos, nesse caso, as barras de um histograma, mas apenas as frequências de eventos e ocorrências de cada valor de x em intervalos infinitesimais, formando uma curva de densidade de probabilidade, como na figura a seguir:

µ X

Figura 7 – Exemplo de distribuição normal em gráfico.


Nota-se que:

• as suas médias, medianas e modas são iguais;

• possui a forma de sino e é simétrica;

• a área total sobre a curva é de 100%.



Outra obra que indicamos àquelas pessoas que atuam diretamente com Administração, Economia e Ciências Contábeis é o livro de Martins (2011), Estatística geral e aplicada. A obra traz diversos assuntos de estatística, tanto básica quanto avançada.


4.2.3 Distribuição gama

Refere-se a um tipo de distribuição exponencial, sendo que a distribuição gama, assim como a distribuição normal, tem muita relevância para as teorias estatísticas e metodologias aplicadas dessa área.

A densidade da probabilidade da distribuição gama pode ser representada da seguinte maneira:

f (x) = λr

Γ(r)x y-1e -λx

f (x) = 0

para x≥0

para x<0

Figura 8 – A estatística auxilia o gestor no planejamento da produção e de outras etapas do processo administrativo.


A soma de variáveis exponenciais independentes tem distribuição gama e torna-se adequada em particular à aqueles relativos às precipitações meteorológicas, expectativas de lucro e contenções de despesas e aos estudos envolvendo tempos de vida de elementos, por exemplo.

4.2.4 Distribuição exponencial

Este tipo é aplicado nos casos em que queremos analisar o espaço ou intervalo de acontecimen-tos de um evento, por exemplo, na produção metalúrgica, um fio de cobre apresenta uma taxa de 2 falhas por metro. Qual a probabilidade de apresentar, em um metro, 4 falhas?

81

A distribuição exponencial está atrelada à distribuição de Poisson, já que se propõe a observar inversamente o experimento, ou seja, um intervalo ou espaço para ocorrência de um evento (PORTNOI, 2007). No exemplo do fio de cobre, poderíamos utilizar a distribuição exponencial para saber qual a probabilidade de ocorrer uma falha em 0,5 metros, se ele possui uma taxa de 2 falhas por metro?

A figura a seguir mostra um gráfico de distribuição exponencial e ilustra em duas partes o que foi descrito anteriormente, em que uma distribuição é inversa da outra:

0 1 2 3 4 5

x

0.5

1.0F(x)

(a)

0 1 2 3 4 5

x

0.5

1.0

1.5F(x)

(b)

Figura 9 – Exemplo gráfico de distribuição exponencial.

Fonte: Adaptado de MSPC, 2015.

A função densidade de probabilidade para uma distribuição exponencial é expressa por:

para t ≥ 0

para t < 0

4.2.5 Distribuição de extremos ou Gumbel

Quando queremos encontrar valores máximos, ou seja, a máxima precipitação, o máximo vento, o máximo pico de vazão, o máximo de produção, etc., usamos a distribuição de Gumbel dos va-



lores extremos, que é bastante empregada por órgãos públicos para medir vazão de água em um rio, achar a máxima enchente em lugares onde os índices pluviométricos são constantemente ca-talogados, mas não existe uma equação de chuva intensa, por exemplo. No contexto corporativo, podemos observar as máximas de gastos de um setor ou índices máximos de falhas, por exemplo.

Na figura a seguir, é mostrado um exemplo do gráfico aplicado em uma situação de chuva má-xima anual (medida em mm):

55

50

45

40

35

30

25

200 100 200 300 400

Período de retorno (anos)

GEVGumbel

Chuv

a m

áxim

a an

ual (

mm

)

500 600 700 800 900 1000

Valores de Chuvas Máximas para diferentes valores deperíodo e Retorno obtidos das distribuições GEV e Gumbelcom duração de 10 min.

Figura 10 – Exemplo gráfico de distribuição de extremos ou Gumbel.

Fonte: Adaptado de Quadros, 2011.


Você conhece alguma ferramenta ou software para que uma pessoa possa fazer cálcu-los estatísticos de forma mais simplificada e prática? A nossa sugestão refere-se ao Ex-cel e se trata de um site produzido e mantido por Bertolo (2015), com vários materiais de como resolver cálculos usando as distribuições aqui explicadas, porém com o auxílio da calculadora HP-12C, que costuma ser bastante utilizada na área de matemática financeira. Disponível em: <http://www.bertolo.pro.br/FinEst/Estatistica/index.html>.

4.2.6 Exemplos de distribuição contínua e discreta

Veremos agora alguns exemplos resolvidos de distribuição contínua e distribuição discreta.

• Exemplo1–Distribuiçãouniforme (PORTAL ACTION, s. d.)

83

Uma empresa de telefonia precisa verificar a ocorrência de panes em qualquer ponto de uma rede telefônica de 7 km. Essa ocorrência foi modelada por uma distribuição uniforme no inter-valo [0, 7]. Dessa forma, qual é a probabilidade de que uma pane ocorra nos primeiros 800 metros? E qual a probabilidade de que ocorra nos 3 km centrais da rede?

A função densidade da distribuição uniforme é

E zero, no caso contrário. Dessa forma, a probabilidade de ocorrência de pane nos primeiros 800 metros é

E a probabilidade de ocorrência de uma pane nos 3 km centrais da rede é

• Exemplo2–Distribuiçãoexponencial (FIOCRUZ, s. d.)

Em uma empresa de engenharia industrial de alimentos, para decidir quando os reparos na maquinaria são necessários, foi preciso coletar amostras dos itens produzidos. Até então, foram coletadas 16 latas de cerveja a fim de determinar se o número de latas cheias de forma incom-pleta é grande. Cada hora, uma amostra de 100 latas é tirada da linha de produção, sendo seus volumes precisamente medidos. Teremos que considerar X o número de latas incompletas e π a probabilidade de existir lata incompleta. A política da empresa é:

• parar a produção e ajustar a máquina, se X>6;

• continuar o processo se X≤6.

Veja que isso interfere bastante na produtividade e no orçamento da produção. Vamos verificar se as seguintes exigências foram atendidas:

• pode haver, no máximo, 5% de chance de parar o processo, se π =0.03;

• deve haver, no máximo, 15% de chance de continuar o processo, se π =0.10.

Observação:

Usaremos a fórmula em que distribuição binomial cumulativa pode ser aproximada pela distri-buição normal cumulativa, por meio da seguinte equação:

em que Φ (phi) = coeficiente de correlação entre duas variáveis qualitativas e dicotômicas.

π (pi) = probabilidade de haver uma lata incompleta.



Solução do problema:

Referente ao primeiro item a ser verificado, pode-se concluir que foi satisfeito.

Podemos observar também que o segundo item mencionado do problema também está adequado.

• Exemplo3(FIOCRUZ, s. d.)

Considerando os gastos com logística de uma empresa, vamos calcular a probabilidade de que o tempo entre chegadas sucessivas de carros na cabine de pedágio da ponte Rio-Niterói seja menor ou igual a 6 segundos (0.1 minuto), sabendo que a taxa média do processo é igual a 5 carros por minuto (FIOCRUZ, s. d.).

Solução:

Observe este resultado no gráfico:

Área=P(T≤0.1)=0.3935

0,1t (tempo entreas chegadas)

Figura 11 – Solução do problema sobre distribuição exponencial II.

Fonte: Adaptado de Fiocruz, s. d.

85

Ou ainda:

F(t)

F(t)=1-e-λt1.0

0.1

P(T≤0.1)=0.3935

t (tempo entreas chegadas)

Figura 12 – Solução do problema sobre distribuição exponencial III.

Fonte: Adaptado de Fiocruz, s. d.

• Exemplo4–Distribuiçãogama (FIOCRUZ, s. d.)

Vamos calcular a probabilidade de passado um minuto no máximo, quando dois carros tenham chegado a uma cabine de pedágio, considerando que λ=5 carros por minuto.

Solução:

No caso de r=2:

No caso de λ=5, tem-se:


Um segmento que proporciona reflexões sobre estatística de modo básico e inicial são os esportes. O filme Moneyball: o homem que mudou o jogo (2012) retrata o uso da es-tatística para melhorar o desempenho dos atletas de beisebol, o emprego dos recursos e orçamento e comenta como é utilizada a estatística da probabilidade para a previsão de vitórias na temporada.



Neste capítulo, você pôde aprender:

• que a distribuição de probabilidades é expressa por um histograma de probabilidades;

• o que são e quais os principais tipos de distribuições existentes na estatística, como a distribuição contínua e a distribuição discreta e as suas variantes. Estas são constantemente utilizadas na rotina dos gestores de todos os segmentos;

• que a distribuição discreta descreve quantidades aleatórias, que podem assumir valores particulares, e esses valores são finitos;

• que a distribuição contínua é usada quando há quantidades aleatórias contínuas que podem indicar um número infinito de valores;

• que há vários tipos de variáveis aleatórias encontradas nessas distribuições. Vimos que as distribuições discretas e contínuas se subdividem em várias outras e aprendemos como calculá-las e onde usá-las, também vimos os gráficos gerados por essas distribuições;

• alguns exercícios para solidificar o conteúdo visto, identificando e praticando o uso dessas distribuições;

• há outros tipos de distribuições discretas e contínuas na busca da probabilidade que o aluno poderá observar nas referências e indicações apresentadas, sendo as que estudamos aqui as mais comuns.

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SínteseANDERSON, D. R.; SWEENEY, D. J.; WILLIAMS, T. A. Estatísticaaplicadaàadministraçãoeeconomia. 2. ed. São Paulo: Cengage Leraning, 2007.

BALESTRASSI. P. P.; PAIVA, A. P. Estatísticaaplicada. Notas compiladas. Itajubá: Universidade Federal de Itajubá, 2007. Disponível em: <http://www.pedro.unifei.edu.br/download/estatistica.pdf>. Acesso em: 21 jul. 2015.

BARBETTA, P. A.; REIS, M. M.; BORNIA, A. C. Estatísticaparacursosdeengenhariaein-formática. São Paulo: Atlas, 2004.

BERTOLO, P. EstatísticanoExcel. Disponível em: <http://www.bertolo.pro.br/FinEst/Estatistica/index.html>. Acesso em: 21 jul. 2015.

CRESPO, A. A. Estatísticafácil. São Paulo: Saraiva, 2002.

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HERNANDEZ, M. F. G. Probabilidade. Disponível em: <http://www.ft.unicamp.br/~marlih/Gerais/PROBABILIDADE.doc>. Acesso em: 21 jul. 2015.

INSTITUTO DE ASTRONOMIA GEOFÍSICA E CIÊNCIA ATMOSFÉRICA DA USP. Distribuiçõesde probabilidade. São Paulo: IAG/USP, 2010. Disponível em: <http://www.dca.iag.usp.br/www/material/morales/Climatologia1/Aula_4_Distribui%E7%F5esdeProbabilidade_08-08-2010.pdf>. Acesso em: 21 jul. 2015.

LABORATÓRIO DE ESTATÍSTICA E GEOINFORMAÇÃO DA UFPR. Distribuiçãonormal. Curiti-ba: UFPR, 2012. Disponível em: <http://leg.ufpr.br/~silvia/CE055/node44.html>. Acesso em: 21 jul. 2015.



MARTINS, G. A. Estatísticageraleaplicada. São Paulo: Atlas, 2011.

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PORTNOI, M. Probabilidade: distribuição exponencial. Delaware: University of Delaware, 2007. Disponível em: <http://www.eecis.udel.edu/~portnoi/classroom/prob_estatistica/2007_1/lectu-re_slides/aula12.pdf>. Acesso em: 21 jul. 2015.

Síntese


ReferênciasQUADROS, L. E. et al. Distribuição de frequência e temporal de chuvas intensas. ActaScientia-rumAgronomy, Maringá, v. 33, n. 3, p. 401-410, 2011. Disponível em: <http://www.scielo.br/pdf/asagr/v33n3/v33n3a03.pdf>. Acesso em: 21 jul. 2015.

REBOITA, M. S. IntroduçãoàEstatísticaaplicadaàClimatologia: Parte II – distribuição de probabilidades. São Paulo: Universidade de São Paulo, 2005. Disponível em: <ftp://r225-pw--quarai.ibys.com.br/nariane/texto_geral_introducao.pdf>. Acesso em: 21 jul. 2015.

STEVENSON, W. J. Estatísticaaplicadaàadministração. São Paulo: Harbra, 2001.

Bibliográficas

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Minicurrículodo autor

Raul Sena Ferreira está fazendo mestrado em Engenharia de Sistemas e Computação, pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ). Graduado em Ciência da Computação pela Uni-versidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ). Assistente de Pesquisa no Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada (IPEA). Desenvolvedor de Sistemas na Fundação COPPETEC – UFRJ. Tem experiência na área de desenvolvimento de software. Tem interesse por mineração de dados, aprendizado de máquina, computação aplicada em biomedicina, Estatística aplicada à compu-tação e big data.

Fonte:FERREIRA, Raul Sena. Estatística para gestores. São Paulo: Laureate International Universities, 2015. E-book.

Documents

Raul Sena Ferreira Estatística para gestoresperiodicos.anhembi.br/arquivos/ebooks/439252.pdf · bilísticas que explicam a frequência da ocorrência de eventos, tanto em experimentos