Razões e proporções

Razões e proporçõesRazões e proporções

Professor João GilbertoProfessor João Gilberto

Razões e proporçõesRazões e proporções1) O conceito de razão1) O conceito de razão

A razão entre dois números A razão entre dois números aa e e bb é o quociente é o quociente entre eles, o seja, o resultado da divisão entre entre eles, o seja, o resultado da divisão entre eles, onde o segundo é diferente de zero (b ≠ eles, onde o segundo é diferente de zero (b ≠ 0).0).

Esse quociente (razão) pode ser dado entre valores de uma mesma grandeza ou de grandezas diferentes.

aou a b

b

O número a é chamado de antecedente e o número b é chamado de conseqüente da razão.


2) Razão entre grandezas de mesma 2) Razão entre grandezas de mesma espécieespécie

Observação: Grandeza é tudo o que pode ser medido ou quantificado.

A razão entre duas grandezas de mesma espécie é o quociente dos números que expressam as medidas dessas grandezas numa mesma unidade.


2) Razão entre grandezas de mesma espécie2) Razão entre grandezas de mesma espécie

Exemplo:

1)Numa sala de 30 alunos, 28 são destros e 2 são canhotos. A razão entre o número de canhotos e o total de alunos é:

alunos canhotos2total de alunos30

Podemos perceber que nesta razão as duas grandezas utilizadas são iguais, ou seja, número de alunos.


3) Razão entre grandezas de espécies 3) Razão entre grandezas de espécies diferentesdiferentes

Lembre-se: Grandeza é tudo o que pode ser medido ou quantificado.

A razão entre duas grandezas de espécies diferentes não pode ser expressa por apenas um número, mas sim por um número acompanhado da unidade de medida correspondente.


3) Razão entre grandezas de espécies diferentes3) Razão entre grandezas de espécies diferentes

Alguns tipos de razões entre grandezas de espécies diferentes:Velocidade Média

distancia percorridaVm

tempo gasto

Densidade demográficaon de habitantes

densidade demograficaarea ocupada

Consumo Médio

distancia percorridaConsumo

combustivel consumido


Exemplo:

( )

( )

distancia km240tempo h2

Podemos perceber que nesta razão as duas grandezas utilizadas são diferentes, e neste caso específico, recebe o nome de velocidade.

/240

120km h2


2) Durante uma viagem, uma pessoa percorreu 240 km em duas horas. A razão entre a distância percorrida e o tempo gasto é dado por:


Exemplo:

Podemos perceber que nesta razão as duas grandezas utilizadas são diferentes, e neste caso específico, recebe o nome de consumo.

, /500

C C 12 5km40

Dividindo-se o número de quilômetros percorridos pelo número de litros de combustível consumidos, teremos o número de quilômetros percorridos pelo carro com um litro de combustível. Logo:

3) Um carro percorreu 500 km e gastou 40 l de combustível. Qual o consumo médio desse carro durante a viagem?



4) O conceito de proporção4) O conceito de proporção

Dizemos que duas razões são iguais quando expressam Dizemos que duas razões são iguais quando expressam quocientes iguais. Assim, podemos dizer que:quocientes iguais. Assim, podemos dizer que:

Proporção é uma igualdade entre duas razões.



De modo geral, podemos dizer que os números a, b, c, d, não-nulos, formam nessa ordem uma proporção quando

a c

b d

Os números a, b, c, d são os termos da proporção.

Os termos a e d são chamados de extremos da proporção.

Os termos b e c são chamados de meios da proporção.



Exemplo:

4 2

6 310 2

15 3

As razões são iguais, logo

Portanto, os números 4, 6, 10 e 15 formam, nessa ordem, uma proporção.

4 10

6 15

4) Verifique se os números 4, 6, 10 e 15, nessa ordem, são proporcionais


5) Propriedade fundamental das proporções5) Propriedade fundamental das proporções

Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.

Assim, temos de uma maneira geral que:

a ca d b c

b d

Razões e proporçõesRazões e proporções5) Propriedade fundamental das proporções5) Propriedade fundamental das proporções

Exemplo

Logo, podemos concluir que as razões na ordem dada, formam uma proporção.

5) Aplicando a propriedade fundamental das proporções, verifique se o

par de razões formam uma proporção.9 12

6 8

9 12

6 8 9 8 6 12 72 72


Exemplo:

6) Calcule o valor de x na proporção a seguir.

6 9

x 12

72

x9

9 x 6 12

x 8


Exemplo:

7) Calcule o valor de x na proporção a seguir.

4x 3 15

2x 3 9

9 4x 3 15 2x 3

36x 27 30x 45

36x 30x 45 27

72

6x 72 x6

x 12

Razões e proporçõesRazões e proporções6) Propriedades das proporções6) Propriedades das proporções

1ª) Em toda proporção, a soma dos dois primeiros termos

está para o primeiro termo assim como a soma dos dois

últimos termos está para o terceiro.

a c

seb d

a b c d

a c


2ª) Em toda proporção, a soma dos dois primeiros termos

está para o segundo termo assim como a soma dos dois

últimos termos está para o quarto.

a c

seb d

a b c d

b d


3ª) Em toda proporção, a diferença dos dois primeiros

termos está para o primeiro termo assim como a diferença

dos dois últimos termos está para o terceiro.

a c

seb d

a b c d

a c


4ª) Em toda proporção, a diferença dos dois primeiros

termos está para o segundo termo assim como a diferença

dos dois últimos termos está para o quarto.

a c

seb d

a b c d

b d


5ª) Em toda proporção, a soma dos antecedentes está para

a soma dos conseqüentes assim como qualquer

antecedente está para o seu conseqüente.

a c

seb d

a c a

b d b

a c c

eb d d

Razões e proporçõesRazões e proporções6) Propriedade das proporções6) Propriedade das proporções

6ª) Em toda proporção, a diferença dos antecedentes está

para a diferença dos conseqüentes assim como qualquer

antecedente está para o seu conseqüente.

a c

seb d

a c c

eb d d

a c a

b d b


Exemplo:

8) A razão entre as idades atuais de dois irmãos é 5/3. Calcule a idade

de cada um deles, sabendo que a soma de suas idades e 32 anos.

Resolução: 1º modo

Vamos indicar as idades por x e y e assim obtemos o sistema:

x 5

y 3

x y 32


Resolução:

Podemos notar que a primeira equação é uma proporção, na qual aplicaremos

a propriedade fundamental das proporções e obteremos uma outra equação.

x 5

y 3

x y 32

3x 5y 0

x y 32

E assim, encontramos o sistema equivalente a seguir.

3x 5y 3x 5y 0


3x 5y 0

x y 32 5

Resolvendo o sistema temos:

Somando as duas equações encontramos a equação

8x 160

Substituindo x por 20 em qualquer equação nos dá que y = 12.

Portanto as idades dos irmão são 20 e 12. anos.

160

x8

x 20


Exemplo:

8) A razão entre as idades atuais de dois irmãos é 5/3. Calcule a idade

de cada um deles, sabendo que a soma de suas idades e 32 anos.

Resolução: 2º modo

Vamos indicar as idades por x e y e assim obtemos o sistema:

x 5

y 3

x y 32


Resolução:

Podemos notar que a primeira equação é uma proporção, na qual aplicaremos

a 1ª propriedade das proporções que vimos anteriormente.

x 5

y 3

x y 32

Sabemos que x + y = 32 logo, fazendo a substituição na equação I, temos:

x y 5 3

x 5x y 32

x y 5 3

x 5

32 8

x 5


Agora, aplicando a propriedade fundamental das proporções na equação I,

temos:

Assim, ao voltarmos na equação II e trocarmos x por 20, temos:

32 8

x 5

x y 32

Portanto as idades dos irmão são 20 e 12. anos.

8x 160 x 20

20 y 32 y 32 20 y 12


Exemplo:

9) Resolva o sistema

Resolução:

Vamos utilizar agora a 5ª propriedade anteriormente vista, ou seja:

x y

3 5x y 40

x y

3 5x y 40

x y x

3 5 3

Razões e proporçõesRazões e proporções6) Propriedades das proporções6) Propriedades das proporçõesResolução:

De acordo com a equação II, sabemos que x + y = 40. Assim vamos substituir x

+ y por 40 na equação I e em seguida aplicarmos a propriedade fundamental

das proporções.

x y x

3 5 3

Com isso, ao voltarmos na equação II e trocarmos x por 15, temos:

x y 40

Portanto, a solução deste sistema é o par ordenado (15, 25).

40 x

8 3 x 15

15 y 40 y 40 15 y 25

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