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CARLOS ROGÉRIO COSTA
PANORAMA DE UM ESTUDO SOBRE RAZÕES E PROPORÇÕES
EM TRÊS LIVROS DIDÁTICOS
MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA
PUC/SPSão Paulo
2005
CARLOS ROGÉRIO COSTA
PANORAMA DE UM ESTUDO SOBRE RAZÕES E PROPORÇÕES
EM TRÊS LIVROS DIDÁTICOS
Dissertação apresentada à BancaExaminadora da Pontifícia UniversidadeCatólica de São Paulo, como exigênciaparcial para a obtenção do título deMESTRE PROFISSIONAL EMENSINO DE MATEMÁTICA, soborientação da Profa. Dra. Barbara LutaifBianchini.
PUC/SPSão Paulo
2005
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos, a reprodução total ou parcialdesta dissertação por processos fotocopiadoras ou eletrônicos.Assinatura:________________Local ___________________data:____________
Banca Examinadora:
________________________________
________________________________
________________________________
AGRADECIMENTOS
A Deus, por ter me concedido esta oportunidade na vida.
À minha orientadora, professora Doutora Barbara Lutaif Bianchini, pela extrema
competência, paciência e dedicação na orientação desta dissertação.
À minha família pelo apoio e incentivo nas horas que mais precisei.
À professora Doutora Marlene Alves Dias pelas orientações e sugestões dadas na
qualificação e após a qualificação.
À professora Doutora Leila Zardo Puga pelas orientações e sugestões dadas na
qualificação e após a qualificação.
Aos alunos e professoras, membros do grupo de pesquisa G5, pelas observações
feitas na apresentação que fiz dessa dissertação, através de pôster, para o grupo.
À todas as pessoas que de forma direta ou indireta me ajudaram nessa pesquisa,
principalmente na busca dos documentos, em especial as bibliotecárias (Ângela e
Talita) da PUC – SP, Marquês de Paranaguá.
À CAPES por me conceder uma bolsa de estudos.
Ao corpo docente do Programa de Mestrado Profissional no Ensino de
Matemática, pois sem ele eu não teria chegado ao final.
À secretária do Programa de mestrado profissional no ensino de matemática,
senhora Vera, pela paciência, dedicação e preocupação para cada um de nós,
mestrando deste programa.
Em especial, à minha esposa Maria Aparecida Costa pela dedicação constante e
preocupação com minha saúde, principalmente nestes últimos três anos.
RESUMO
Essa dissertação analisou e comparou os conteúdos Razões e Proporções entre
três livros didáticos, os livros e a proposta curricular correspondente à década de
sua publicação, classificou e comparou os exercícios propostos utilizando os
níveis de conhecimento esperado dos alunos segundo Aline Robert. Inicialmente,
dedicou-se a descrever os tópicos e classificar os exercícios propostos referentes
aos conteúdos Razões e Proporções nos três livros didáticos, para além da
descrição destes conteúdos nos documentos oficiais dos órgãos governamentais,
visto que os mesmos estão presentes no cotidiano dos alunos e o livro didático é
uma das principais fontes de pesquisa do professor. Logo após foi feita a análise
e comparação dessas descrições e análises com objetivo de responder às
seguintes questões: 1) A disponibilização dos conteúdos Razões e Proporções
nos livros didáticos está de acordo com o que é sugerido nos documentos dos
órgãos governamentais? 2) Houve modificações quanto ao modo de disponibilizar
estes conteúdos nos livros didáticos? 3) Os exercícios favorecem o trabalho do
professor quanto aos níveis de conhecimento esperado dos alunos segundo Aline
Robert?
O trabalho encerrou-se sugerindo novas pesquisas com esses conteúdos e/ou
outros conteúdos em outros tipos de documentos, depois de um panorama dos
conteúdos Razões e Proporções nos livros didáticos quanto aos assuntos
abordados nos tópicos supracitados com as seguintes conclusões: os livros
didáticos estão parcialmente agregados às sugestões dos documentos oficiais
dos órgãos governamentais da época foram publicados, houve modificações nos
modos de disponibilizar estes conteúdos, isto é, a parte teórica foi reduzida,
somente o livro dos anos 60/70 disponibiliza demonstrações e preocupação com
a relação entre geometria e álgebra, as listas de exercícios propostos favorecem
parcialmente o trabalho do professor, isto é, não há em todos tópicos exercícios
com os três níveis de conhecimento (técnico, mobilizável e disponível).
PALAVRAS-CHAVE: Razões e Proporções, livros didáticos, níveis de
conhecimento, comparação de conteúdos.
Abstract
That dissertation analyzed and it compared the contents Reasons and Proportions
among three didatic books, the books and the proposal course corresponding to
the decade of his/her publication, it classified and it compared the proposed
exercises using the levels of the students' expected knowledge according to Aline
Robert. Initially, it was devoted to describe the topics and to classify the proposed
exercises regarding the contents Reasons and Proportions in the three text books,
for besides the description of these contents in the official documents of the
governmental bodies, because the same ones are present in the students daily
students and the text book is one of the main sources of the teacher's research.
Therefore after it was made an analyse and comparison of those descriptions and
analyses with objective of answering to the following subjects: 1) are the
arrangement of the contents Reasons and Proportions in the text books in
agreement with the one what is suggested in the documents of the governmental
bodies? 2) were there modifications in the way of making the arrangement of
these contents in the text books? 3) do the exercises favor the teacher's work as
for the levels of the students' expected knowledge according to Aline Robert?
The work was closed suggesting new researches with those contents and/or other
contents in other types of documents, after a panorama of the contents Reasons
and Proportions in the text books as for the subjects approached in the foregoing
topics with the following conclusions: the didatic books are partially joined to the
suggestions of the official documents of the governmental bodies of the time were
published, there were modifications in the manners of making the arrangement of
these contents, that is, the theoretical part was reduced, only the book of the years
60/70 makes the arrangement of the demonstrations and concern with the
relationship between geometry and algebra, the lists of proposed exercises favor
the teacher's work partially, that is, there aren’t in all topics exercises with the
three knowledge levels (technician, mobilizável and available).
WORD-KEY: Reasons and Proportions, didatic books, knowledge levels,
comparison of contents.
SUMÁRIO
Introdução ......................................................................................................... 10
Capítulo 1 – Procedimentos metodológicos ...................................................... 1.1 Características gerais dos livros...............................................................
1618
Capítulo 2 – Justificativa ................................................................................... 24
Capítulo 3 – Grade e esquema para análise dos livros.....................................
3.1 Grade de análise.......................................................................................
3.1.1 Exemplo de funcionamento da grade em um exercício......................
3.2 Esquema dos conteúdos Razões e Proporções.......................................
34
35
36
38
Capítulo 4 – Descrição e classificação dos exercícios dos três livros...............
4.1 Do livro dos anos 60/70............................................................................
4.2 Do livro dos anos 80.................................................................................
4.3 Do livro dos anos 2000.............................................................................
39
39
67
90
Capítulo 5 - Documentos Oficiais dos Órgãos Governamentais 119
5.1 Projeto de um Guia Curricular(1972).................................................... 119
5.2 Proposta Curricular (1986)........................................................................ 121
5.3 Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) (1998).................................... 125
Capítulo 6 – Síntese da análise......................................................................... 129
6.1 Tabelas com resumo da classificação dos exercícios propostos............. 129
6.2 Gráficos..................................................................................................... 130
6.2.1 Variável nível de conhecimento exigido no enunciado do exercício... 130
6.2.2 Variável nível de conhecimento necessário para solucionar oexercício em relação às noções utilizadas........................................ 130
6.3 Esquemas dos conteúdos Razões e Proporções dos livros didáticos. 130
6.3.1 Esquema do livro dos anos 60 e 70..................................................... 131
6.3.2 Esquema do livro dos anos 80............................................................. 132
6.3.3 Esquema do livro dos anos 2000......................................................... 133
6.4 Análise e comparações............................................................................. 134
6.4.1 Análise dos esquemas dos livros e esquema padrão.......................... 134
6.4.2.Análise da classificação dos exercícios propostos.............................. 135
6.4.2 1 Análise da variável nível de conhecimento exigido no enunciadodo exercício.................................................................................... 135
6.4.2.2 Análise da variável nível de conhecimento necessário parasolucionar o exercício em relação às noções utilizadas............... 135
6.4.3 Comparação entre livros didáticos....................................................... 136
6.4.4 Comparação dos livros e respectivas propostas curriculares.............. 138
6.4.4.1 Comparação do esquema do livro dos anos 60 e 70 com oprojeto de um Guia Curricular (1972)............................................ 138
6.4.4.2 Comparação do esquema do livro dos anos 80 com o propostaCurricular (1986)............................................................................ 139
6.4.4.3 Comparação do esquema do livro dos anos 2000 com osParâmetros Curriculares Nacionais, PCN (1997) (1998)............... 140
Considerações finais.......................................................................................... 141
Referências Bibliográficas.................................................................................. 145
10
Introdução
Desde a implantação da educação escolar no Brasil, o ensino de
matemática tem passado, ao longo dos anos, por sucessivas reformas Estas
reformas nascem com a finalidade de melhorar a qualidade de ensino na tríade
aluno-professor-saber matemático. Segundo Fiorentini (1995, p.3):
O conceito de qualidade do ensino, na verdade, é relativo e modifica-sehistoricamente sofrendo determinações sócio-culturais e políticas. Emtermos mais específicos, varia de acordo com as concepçõesepistemológicas, axiológico1-teleológicas2 e didático-metodológicas da-queles que tentam produzir as inovações ou as transformações doensino.
A qualidade do ensino pode ser melhorada através dos livros didáticos,
sendo ele uma das principais fontes de pesquisa dos professores. Portanto, cabe
ao livro didático uma grande parcela de contribuição para produzir inovações e ou
transformações do ensino, sobretudo os livros de matemática, pois a matemática
está presente na maioria das atividades sócio-culturais do cidadão.
A história do ensino no Brasil nos mostra que a idéia de um currículo
nacional acompanha a evolução da educação, com maior ênfase na educação
fundamental, tratada como um direito do cidadão e um dever do estado. “Nesse
sentido, currículos nacionais, diretrizes gerais têm muito a ver com a questão
federativa, pois neles estão presentes a idéia e a prática de conteúdos gerais
válidos para toda uma nação” (CURY, 1996, p.2).
Vários documentos oficiais dos governos municipais, estaduais e federal, o
1. axiologia (cs), s. f. Teoria filosófica dos valores. (Do grego axia + logos.).2. teleologia , s. f. Doutrina que trata das causas finais; conjunto das especulações que seaplicam à noção de finalidade. (Do grego telos, teleos + logos).
11
projeto de um guia curricular de 1972, a proposta curricular de 1986 e os
Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) de 1997 e1998 fundamentaram as três
últimas reformas curriculares no estado de São Paulo, com propósito de
assessorar e servir de apoio para os professores em sua tarefa de elaboração do
plano de ensino de sua disciplina para cada série.
Além dos documentos referentes às reformas curriculares, tem-se o livro
didático. Ao se produzir inovações ou transformações no ensino da matemática, o
livro didático deveria ser inovado, sendo que ele na maioria das vezes é “[...] fonte
de referência com que conta o professor para firmar seus conhecimentos e dosar
a apresentação que fará em classe” (LIMA, 2001, p. 3).
De acordo com Valente “a dependência de um curso de matemática aos
livros didáticos, portanto, é algo que ocorreu desde as primeiras aulas que deram
origem à matemática hoje ensinada na escola básica [...]. Talvez seja possível
dizer que a matemática constitui-se na disciplina que mais tenha sua trajetória
histórica atrelada aos livros didáticos” (VALENTE, 2001, p. 2).
O livro didático nas décadas 60 e 70 foi a principal fonte de referência para
os professores de matemática. Nestas décadas, veiculava o Movimento
Matemática Moderna, “[...] o qual se notabilizou pela publicação de livros didáticos
e pela disseminação do ideário modernista para além das fronteiras norte-
americanas, atingindo o Brasil [...]” (D’AMBROSIO, KLINE, apud FIORENTINI,
1994, p. 13).
Segundo o Movimento de Reorientação Curricular (MRC, 1992, p. 7):
12
As mudanças preconizadas pela Matemática Moderna começaram achegar, com discreto apoio do Ministério da Educação e Cultura, quebuscava uma postura progressista. Foram constituídos grupos deestudos das novas propostas, como o Grupo de Estudos Ensino deMatemática (GEEM - São Paulo), Grupo de Estudos Matemática dePorto Alegre (GEMPA - Porto Alegre) e Grupo de Estudos e PesquisasEnsino de Matemática (GEPEM - Rio de Janeiro). Editaram-se traduçõesdos textos didáticos norte-americanos do School Mathematics StudyGroup (SMSG) e surgiram os primeiros livros didáticos brasileiros deMatemática Moderna. Após 1965, com a II Conferência Interamericanade Educação Matemática, realizada no Peru, a Matemática Modernadisseminou-se no Brasil.No entanto, para a maioria de nossos professores a MatemáticaModerna trouxe apenas mudanças superficiais no ensino. Aqui, não seinvestiu na formação de professores; os antigos vícios persistiram, sobum verniz diferente e aos tradicionais carroções algébricosacrescentaram-se operações com conjuntos e toda simbologia inerente.
Nos anos em que lecionei matemática para turmas de 6ª série, em escolas
estaduais, tive a oportunidade de observar as dificuldades dos alunos em
interpretar problemas, principalmente aqueles que envolviam grandezas
inversamente proporcionais.
No plano anual que elaborava no início do ano, eu embasava em conteúdos
e na ordem em que estavam dispostos nos livros didáticos, pois para mim e para
os colegas que faziam parte do corpo docente da mesma escola, o livro didático
era a única fonte de pesquisa.
O fato do conteúdo “equações do primeiro grau”, nestes três livros didáticos,
anteceder os conteúdos “Razões e Proporções”, pode até não ser ideal visto que
muitos problemas que envolvem os conteúdos “Razões e Proporções” nem
sempre envolvem conceitos algébricos. Por exemplo: Ricardo comprou 7 pães e
pagou R$ 1,05. Se comprasse 15 pães, quanto pagaria? Este problema pode ser
resolvido pela redução à unidade ou modelagem fracionária e não
necessariamente pela modelagem algébrica.
13
No dia em que esta hipótese foi lançada em uma das reuniões do grupo de
pesquisa “G5” da Pontifícia Universidade Católica – PUC-SP, que realiza
pesquisas sobre ensino de álgebra no ensino fundamental, médio e superior,
grupo que participo desde agosto de 2004, concordei de imediato, pois estes
problemas podem anteceder o conceito de equações do 1º grau e até mesmo
servir de base para introdução do valor desconhecido usando-se incógnitas para
resolução através da redução à unidade, equivalência de frações e outras
técnicas. Foi a partir desta data que surgiu a idéia de realizar uma análise em
livros didáticos e documentos oficiais que orientam os planos de cursos.
Analisar os conteúdos “Razões e Proporções” qualitativamente visando o
ensino fundamental é oportuno, pois segundo Richard Lesh, Merlyn J. Behr e
Thomas R. Post (AS IDÉIAS DA ÁLGEBRA, 1995, p. 90):
O raciocínio com proporções é uma forma de raciocínio matemático. Eleenvolve um senso de covariação, comparações múltiplas e a capacidadede armazenar e processar mentalmente várias informações. O raciocíniocom proporções está muito ligado à inferência e à predição e envolvemétodos de pensamento qualitativos e quantitativos. O fato de muitosaspectos de nosso mundo funcionarem de acordo com regras deproporcionalidade faz com que a faculdade de raciocinar com proporçõesseja extremamente útil na interpretação dos fenômenos do mundo real.
Diante de inúmeras reformas já realizadas com resultados, até então,
insatisfatórios, torna-se necessária uma reflexão sobre o que está obstruindo a
melhoria da qualidade na produção de conhecimentos para que se possa produzir
mais e melhores subsídios aos educadores de matemática, principalmente
através dos livros didáticos, considerando-os “como suporte material de práticas
escolares” (Munakata, 2003, p. 5).
Dentre as várias pesquisas já realizadas sobre os conteúdos “Razões e
Proporções” visando a tríade aluno-professor-saber matemático, ainda não foi
14
realizada uma pesquisa documental sobre como estes conteúdos estão
disponibilizados nos documentos oficiais gerados com base nas reformas
curriculares e nos livros didáticos.
Por isso, considerando-se o fato de que o livro didático é uma das principais
fontes de pesquisa para os professores e que o livro didático também deveria
acompanhar as reformas curriculares, fazer uma pesquisa documental, nestes
moldes, é de fundamental importância para a melhoria da qualidade do ensino.
Assim, surgem as questões de pesquisa neste trabalho que são:
1) A disponibilização dos conteúdos Razões e Proporções nos livros
didáticos está de acordo com o que é sugerido nos documentos dos órgãos
governamentais?
2) Houve modificações quanto ao modo de disponibilizar estes conteúdos
nos livros didáticos?
3) Os exercícios favorecem o trabalho do professor quanto aos níveis de
conhecimento esperados dos alunos segundo Aline Robert?
Para realizar esta análise documental dividi o trabalho em seis capítulos. O
capítulo 1 trata dos procedimentos metodológicos adotados. Logo em seguida, o
capítulo 2, justifica as escolhas dos conteúdos “Razões e Proporções” e dos três
livros didáticos. O capítulo 3, elabora uma grade de análise dos exercícios
propostos, que utiliza os três níveis de conhecimento esperados dos alunos que
Aline Robert destaca em seu artigo “Outils D’Analyse des Contenus
Mathématiques à Enseigner Au Lycée et à L’Université: II. Les Quatre Dimensions
D’Analyse dês Contenus à Enseigner. 4) Niveaux de mises em fonctionnement
dês connaissances par les élèves”. Essa grade foi elaborada com a finalidade de
15
analisar os exercícios propostos.
O capítulo 4 descreve a introdução dos tópicos, seções ou itens, os
exemplos e ou exercícios resolvidos. Também descreve e classifica alguns
exercícios propostos referentes aos conteúdos “Razões e Proporções”
considerados de maior importância.
O quinto capítulo disponibiliza as sugestões dos documentos oficiais
governamentais adotados no estado de São Paulo pelas escolas públicas, em
vigor, na época em que os livros considerados foram editados.
O sexto capítulo disponibiliza um resumo quantitativo de cada livro
observando a classificação dos exercícios propostos e realiza logo em seguida,
uma síntese da análise qualitativa deste resumo, a comparação dos livros
didáticos entre si e, de cada livro com a proposta curricular referente ao ano de
sua publicação.
Em seguida, concluo o trabalho apresentando comentários sobre a síntese
da análise realizada.
16
Capítulo 1 Procedimentos Metodológicos
Neste capítulo, apresento os procedimentos metodológicos utilizados na
análise dos livros didáticos com a finalidade de responder às questões:
1) A disponibilização dos conteúdos Razões e Proporções nos livros
didáticos está de acordo com o que é sugerido nos documentos dos órgãos
governamentais?
2) Houve modificações quanto ao modo de disponibilizar estes conteúdos
nos livros didáticos?
3) Os exercícios favorecem o trabalho do professor quanto aos níveis de
conhecimento esperados dos alunos segundo Aline Robert?
Para tanto, divido os estudos em 3 etapas. A primeira etapa compreende a
seleção de três livros didáticos para serem analisados, a procura dos documentos
curriculares que norteavam o plano de matemática de cada livro e a formulação
das hipóteses.
Em seguida, na 2ª etapa faço a seleção de variáveis por meio da
construção de uma grade que servirá para a investigação quanto aos níveis de
conhecimento exigidos do aluno (técnico, mobilizável e disponível) segundo Aline
Robert Também apresento um esquema para comparar os conteúdos “Razões e
Proporções” entre os livros didáticos e as respectivas propostas curriculares.
Na terceira etapa, apresento uma síntese analítica da classificação dos
exercícios propostos e a comparação entre os livros didáticos, bem como a
comparação dos mesmos com as respectivas propostas curriculares da época de
sua edição.
17
Com relação aos livros didáticos, pretendo analisar se os autores
atenderam às sugestões dos documentos norteadores dos planos de ensino.
Para realizar esta tarefa, descrevi os conteúdos Razões e Proporções, de
cada livro, em detalhes. O mesmo será feito em relação às sugestões das
propostas curriculares de cada época referente ao ano de edição dos livros, isto
é, procuraremos investigar nos livros como o assunto é introduzido, como os
exemplos são tratados, em que quantidade e quais as características das listas de
exercícios.
A escolha recaiu em três livros usados em escolas públicas. O primeiro
livro, dos anos 60/70, Matemática para escola Moderna, do autor Scipone Di
Pierro Neto, da editora IBEP, foi escolhido por ser um dos representantes do
Movimento Matemática Moderna no Brasil. Utilizei este livro como aluno, no curso
ginasial (E. E. de 1º grau Dr Carlos de Campos, Santo André, 1970 a 1973).
O segundo livro, dos anos 80, Matemática de Fernando Frotta foi escolhido
por ser um livro editado em 1987, um ano após da 1ª edição da Proposta
Curricular para o ensino de Matemática (1986), Ensino Fundamental, SE/SENP e
também por ter “carimbo” do PNLD, isto é, na capa consta o seguinte texto: “Este
livro foi escolhido pelos professores desta Escola. Foi adquirido pela FAE, em
Convênio com a Secretaria da Educação, para distribuição gratuita, através do
Programa Nacional do Livro Didático, em 1987”. O exemplar aqui utilizado
pertenceu ao Banco do livro da EEPSG Senador João Galeão Carvalhal.
O terceiro livro, Novo Matemática na Medida Certa foi escolhido por ser
18
uma edição reformada de um livro editado pela editora Scipione que eu usei
quando trabalhei no SESI (unidade Santo André, 2003, com turmas de 6ª série) e
também pelo fato dos autores Marília Centurión, José Jakubovic e Marcello Lellis
serem professores e assessores de ensino de matemática e autores de várias
obras didáticas e paradidáticas para ensino fundamental e médio.
Para alcançar o objetivo da pesquisa, que é a comparação dos conteúdos
Razões e Proporções nos três livros didáticos e em cada livro com os documentos
oficiais dos órgãos governamentais, inicio o trabalho com uma pré-análise,
apresentando características gerais dos livros e observando como os autores
introduzem o conceito. Verificarei se utilizam ou não exemplos, ilustrações
gráficas, se propõem ou não aplicações, se apresentam ou não exercícios
resolvidos e também que tipo de exercícios são propostos, etc.
Essa pré-análise dará origem à descrição detalhada das seções dos
conteúdos Razões e Proporções de cada livro, o que fornecerá subsídios para
que se proceda a comparação destes conteúdos entre os livros e entre cada livro
com sua respectiva proposta curricular.
Passo, a seguir, a fazer uma descrição dos livros analisados, destacando
as principais características de cada um.
1.1 Características gerais dos livros:
A obra, Matemática para Escola Moderna, curso ginasial é dividida em 4
volumes (1ª série, 2ª série, 3ª série e 4ªsérie), de um único autor, Scipione di
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Pierro Neto e foi editada pelo Instituto Brasileiro de Edições Pedagógicas (IBEP).
Para essa análise escolhi o volume 2, 2ª série. O livro da 2ª série é caracterizado
por conter na folha de rosto (anverso) o nome do autor e suas atividades
profissionais da época. Na página de apresentação do livro que sucede à página
de agradecimentos, lê-se o seguinte texto:
Esta Segunda Série apresenta aos colegas do Magistério, a continuaçãodo nosso trabalho para o Curso Ginasial.Do mesmo modo que no primeiro volume, procuramos reproduzir asexperiências do trabalho de todos os dias no Colégio de Aplicação daFaculdade de Filosofia Ciências e Letras da U.S.P. e no Colégio RioBranco.Preferimos uma seqüência, onde os Números Relativos representam aintrodução para os assuntos seguintes.Neste capítulo - Números Relativos - reproduzimos um trabalho queiniciamos em 1959, onde através da idéia o deslocamento é umaoperação, procuramos simplificar a notação que sempre envolveu umexcesso de parênteses e sinais, a complicar a vida de alunos eprofessores.Introduzimos um capítulo destinado à Geometria, onde a reta, o plano, eos ângulos são tratados elementarmente, respeitadas as necessidadesde rigor, já nesta altura.Todavia, este capítulo é reapresentado totalmente na terceira série;desse modo o critério do professor determinará a sua inclusão, ou não,na atual 2.a série ginasial, embora sejamos nós partidários de seu estudonesta série.O Trabalho Dirigido e o Material Didático encerram o livro, apresentandosugestões para serem ampliadas, e motivarem o ensino da Geometria.Esperamos ainda, que a colaboração dos colegas possa melhorar aspróximas edições.Assim,Benevolência pelos defeitos.Agradecimento antecipado pelas sugestões.
O AUTOR (p. 3)
O índice foi disposto nas últimas páginas, dividindo o livro em 8 capítulos:
Capítulo I – O conjunto dos números relativos; Capítulo II – Radiciação; Capítulo
III – Aplicações do Cálculo Literal; Capítulo IV – Igualdades; Capítulo V – As
Equações do Primeiro Grau; Capítulo VI – Razões e Proporções; Capítulo VII –
Noções Intuitivas de Geometria; Capítulo VIII – O Trabalho Dirigido e o Material
Didático.
Aos conteúdos Razões e Proporções, dividido em subseções, o autor
20
dedicou 83 páginas de 14 cm de largura por 21 cm de altura, com poucos
recursos visuais, utilizando somente figuras geométricas.
Algumas subseções são iniciadas por situações-problema para introdução
do conceito.
Definições e propriedades são apresentadas em linguagem escrita (em
caixas de texto) e são apresentados exercícios resolvidos como exemplos. A
propriedade fundamental das proporções é demonstrada. Há uma variedade de
exercícios em cada subseção, num total de 158 exercícios.
A obra, “Matemática”, curso de 1º grau, é dividida em 4 volumes (5ª série,
6ª série, 7ª série, 8ª série), tem um único autor, Fernando Frotta, 5ª edição,
editora Scipione. O livro escolhido para minha análise foi o da 6ª série. Este livro é
caracterizado por conter na folha de rosto (anverso) o nome do autor, título, série,
edição e editora.
A apresentação do livro está na página que sucede a página que identifica
os profissionais que participaram na elaboração da obra e tem o seguinte texto:
Escrevi esta coleção de livros de Matemática procurando, antes de maisnada, respeitar a inteligência dos leitores alunos.Em cada item dos capítulos, a teoria é apresentada de forma sucinta,evitando prolongamentos desnecessários. No entanto, essa teoriaprocura fugir de receitas prontas, fazendo com que, aos poucos, o alunochegue às conclusões mais importantes. Os exemplos apresentados nateoria servem apenas como apoio para as "descobertas" que fará nomomento em que estiver resolvendo os exercícios.Com os exercícios complementares, terá oportunidade, não só de fixaras idéias já vistas anteriormente, como também de efetuar novas"descobertas". Algumas vezes eles constituirão verdadeiro desafio parao aluno.Os exercícios comuns e complementares aparecem em grande número.Acredito que, com a resolução de muitos, o aluno conseguirá fixarconceitos, elaborar idéias novas e desenvolver técnicas importantes paraa Matemática.
21
Os testes, que aparecem ao fim de cada capítulo, são, em geral, bemdiferentes dos demais exercícios. Esses testes pretendem averiguar atéque ponto o aluno é capaz de generalizar e relacionar idéias.A linguagem adotada nos textos dos livros procura ser comunicativa eclara, evitando formalismos desnecessários.Sempre que possível, procuro ilustrar os conceitos com fatos ligados aocotidiano do aluno, evitando as abstrações pouco motivadoras.A apresentação dos capítulos obedece à ordem que me pareceu melhor,dentro das limitações que o programa do 1º grau impõe.Para finalizar, espero que esta coleção propicie o desenvolvimento dacriatividade dos alunos da forma mais agradável possível, contando,para isto, com a imprescindível colaboração dos professores.
O Autor. (p. 03)
O livro é composto de 7 capítulos: Capítulo 1 – Números inteiros; Capítulo
2 – Números Racionais; Capítulo 3 – Equações e Problemas do 1º grau; Capítulo
4 – Inequações do 1º grau; Capítulo 5 – Sistemas de Equações do 1º grau a duas
Incógnitas; Capítulo 6 – Razões e Proporções; Capítulo 7 – Geometria.
Do mesmo modo dos outros conteúdos, Razões e Proporções são
divididos em subseções. O autor dedicou 27 páginas tamanho A4 (numeradas de
159 a 186), sem recursos visuais ou figuras geométricas.
Algumas subseções são introduzidas por meio de situações problemas
para apresentar o conceito. As propriedades e definições são descritas de forma
algébrica e transcritas na linguagem escrita por meio de caixas de texto.
Em todos tópicos o autor disponibiliza duas listas de exercícios, com os
títulos “Exercícios” e “Exercícios Complementares” num total de 165 exercícios.
Na página 215, o autor apresenta as respostas para os exercícios
complementares. Os números e destaques principais nos textos são feitos na cor
vermelha.
A obra “Novo Matemática na Medida Certa”, ensino fundamental, está
22
dividida em 4 volumes (5ª série, 6ª série, 7ª série, 8ªsérie), tem como autores:
Marília Centurión, José Jakubovic e Marcello Lellis, 8ª edição, editora Scipione. O
livro da 6ª série contém na folha de rosto (anverso) os nomes dos autores e suas
atividades profissionais.
A apresentação do livro sucede a página de identidade do livro e
agradecimentos, e tem os seguintes dizeres:
Você conhece gente que joga vôlei muito bem ou toca guitarraespetacularmente. Como é que esse pessoal se torna tão bom?Em geral, é porque gosta do que faz e se dedica a isso.O gosto lembra prazer e alegria. A dedicação sugere treino epersistência.Essas duas qualidades se complementam: o gosto leva à dedicação e adedicação aprimora o gosto.Pois bem, com gosto e dedicação, você será bom também emmatemática.Por isso, escrevemos um livro que mistura atração e repetição, novidadee rotina, invenção e imitação, brincadeira e obrigação. Um livro paraadoçar o gosto e orientar a dedicação.Se você não tiver o gosto, tente se dedicar mesmo assim, pois amatemática é muito importante na vida e no trabalho de todo mundo.O ideal, contudo, é que haja gosto e dedicação. Assim, com a ajuda deseu professor, você será competente e feliz com a matemática.
Os autores. (p. 03)
A página que antecede ao sumário foi destinada para instruções de como
usar o livro e esclarece que o mesmo é dividido em capítulos e estes são
divididos nos seguintes tópicos: Teoria; Atividades; Pensando em casa; Desafios
e Surpresas; Ação.
No sumário a divisão do livro é feita em 7 capítulos: Capítulo 1 – Números
Inteiros; Capítulo 2 – Números Racionais; Capítulo 3 – Equações; Capítulo 4 –
Razões, proporções e porcentagens; Capítulo 5 – Geometria; Capítulo 6 –
Medidas; Capítulo 7 – Gráficos e estatística.
Aos conteúdos Razões, proporções e porcentagens, os autores reservaram
23
40 páginas tamanho A4 (numeradas de 152 a 192), com muitas fotografias e
desenhos em cada seção.
Os conteúdos referentes aos itens acima são introduzidos por meio de
situações-problema para se apresentar o conceito. Exemplos são dados com
nome de Aplicação e a propriedade fundamental das proporções é apresentada e
demonstrada na forma algébrica.
Na seção “Ação” de cada tópico, atividades em grupos são propostas,
sempre de forma contextualizada e/ou sugerindo que os alunos façam trabalhos
de aplicação do conceito estudado.
As seções “Atividades” e “Pensando em casa” são compostas de 126
exercícios. Destes, 110 são em forma de situações-problema envolvendo textos
tais como: “Uma locomotiva de 15 m de comprimento foi desenhada com 50 cm.
Qual é a escala do desenho?” (p. 159), os quais serão analisados quanto ao nível
de conhecimento exigido do aluno (segundo Aline Robert).
24
Capítulo 2 Justificativa
Nos anos em que trabalhei com turmas de sexta série do ensino
fundamental observei que o aluno apresentava muita dificuldade em compreender
alguns conceitos referentes ao estudo de Razões e Proporções. A principal
dificuldade estava na interpretação e resolução de problemas que envolviam
grandezas inversamente proporcionais. Esta dificuldade talvez se deva à maneira
pela qual estes conceitos são disponibilizados ao aluno, pois a dificuldade diminui
quando o mesmo é solicitado a resolver problemas que envolvem grandezas
diretamente proporcionais.
Recentemente, no grupo de pesquisa (G5) de “Educação Algébrica” do
programa de estudos pós graduados da Pontifícia Universidade Católica PUC-
SP, cujo projeto desenvolvido neste grupo tem por objetivo responder à questão:
“Qual a álgebra a ser ensinada na formação do professor de matemática?”. Eu
como membro do subgrupo que estuda “números e operações”, tive o prazer de
ler e concordar com Richard Lesh, Merlyn J. Behr e Thomas R. Post, no livro, “As
Idéias da Álgebra” (1995, p.90), quando afirmam que “o fato de muitos aspectos
de nosso mundo funcionarem de acordo com regras de proporcionalidade faz com
que a faculdade de racionar com proporções seja extremamente útil na
interpretação dos fenômenos do mundo real”.
Um fato observado por (CARRAHER, apud FIORENTINI, 1995, p. 24) e
que concordo plenamente é que crianças que vivem situações de compra-venda,
“[...] organizam sua atividade de resolução de problemas em situações
25
extraclasse de acordo com os mesmos princípios lógico-matemáticos em que
precisam apoiar sua aprendizagem de matemática na sala de aula [...]”. Este fato
pode ser observado no dia-a-dia do professor e dos alunos, pois qual aluno, seja
ele de qualquer classe social, não vivenciou uma situação de compra na qual
precisa-se comprar mais que uma unidade de um determinado objeto?
Segundo Lins e Gimenes (1997, p. 52-54):
As situações de proporcionalidade como esquema instrumental utilizamquatro tipos de técnicas fundamentais: redução à unidade, modelagemproporcional, modelagem fracionária e modelagem algébrica. Podemosver os três primeiros no seguinte problema: "Se 6 balas custam 15moedas, quanto custam 10 balas?" A redução à unidade justifica queuma bala custa 2,5 moedas, e 10 custam 25. Num raciocínioproporcional, usa-se a teoria de proporções para identificar que 6 estápara 10 assim como 15 está para o desconhecido. Assim, sabe-se queisso é equivalente a 3 está para 5 como 15 está para o desconhecido, e1 está para 5, assim como 5 está para o desconhecido. A partir disso,vê-se que o desconhecido é 25. Mediante frações reduz-se o problemaanterior a uma equivalência na qual há um "termo desconhecido", quedeve ser 25.
Há ainda o fato que os conteúdos Razões e Proporções são conceitos que
estão estritamente relacionados a diversas representações fundamentais em
nosso sistema numérico (valor de lugar, frações, números decimais, logaritmos) e
que, gradualmente, tornaram-se parte da matemática tal como é ensinada hoje
nas escolas. “Eles ocupam lugar de destaque em discussões sobre cálculo
(razões de magnitudes infinitesimais, taxas de mudança de variáveis, derivadas),
teoria de probabilidades e estatística, análise combinatória e teoria dos números”
(CARRAHER, 2003, p. 76).
O conceito de proporcionalidade com o cotidiano, numa análise do ponto
de vista matemático é, segundo Barreto (2001, p. 11) um conceito:
muito importante por se constituir em pré-requisito para o entendimento
26
de outros conceitos, mesmo que implicitamente em alguns domínios.Essa forma de raciocinar em matemática, por meio de um pensamentoproporcional, é fundamental quando se compara duas razões, sendobem aplicada a situações de variação entre duas dimensões ou decomparações múltiplas.
Analisar tais conteúdos nos livros didáticos é uma forma de verificar se o
que foi exposto nas citações anteriores estão disponíveis nos livros didáticos, pois
o livro “é o elemento transversal no processo educacional e na realidade vivida
pelo profissional da educação, constituindo o principal recurso didático; é o
instrumento fundamental no processo da educação e na difusão da riqueza social
dos povos, e veículo de excelência da livre circulação de idéias” (BARBOSA,
2003, p. 61-62).
Sabemos também que as discussões relacionadas com a Educação
Matemática que acontecem no Brasil e em outros países indicam a necessidade
de adequar o trabalho escolar visando atender uma nova realidade, marcada pela
crescente presença da Matemática em diversos campos da atividade humana,
tais como: trabalho, habitat, a política etc. Essas discussões têm influenciado
análises e revisões nos currículos de Matemática no ensino fundamental.
Para compreender os rumos dessas novas propostas é importante estudar
a trajetória das reformas curriculares ocorridas nas últimas décadas e analisar,
mesmo que brevemente, o quadro atual do ensino de Matemática no Brasil.
Tais reformas iniciam-se na década em que o ensino de Matemática no
Brasil, assim como em outros países, foi influenciado por um movimento de
“renovação” que ficou conhecido como Matemática Moderna.
27
Esse movimento educacional nasceu inscrito numa política de
modernização econômica e foi posto na linha de frente do ensino por se
considerar que, juntamente com a área de Ciências, estabelecia uma via de
acesso privilegiada para o pensamento científico e tecnológico. Para tanto,
procurou-se aproximar a Matemática desenvolvida na escola da Matemática como
é vista pelos estudiosos e pesquisadores.
O ensino proposto fundamentava-se em grandes estruturas que organizam
o conhecimento matemático contemporâneo e enfatizava a teoria dos conjuntos,
as estruturas algébricas, a topologia etc. Esse movimento provocou, aqui no
Brasil e em outros países, amplas reformas no currículo de matemática.
“No Brasil, o Movimento Matemática Moderna, veiculado principalmente
pelos livros didáticos, teve grande influência, durante longo período [...].”
(BRASIL, 1998, p. 20)
No entanto Kazumi Munakata (2003, pp.1-2), faz o seguinte comentário
sobre os livros didáticos dessa época:
No Brasil o desprestígio dos livros didáticos foi sobre determinado pelaconjuntura do período militar, iniciado em 1964. Em meio à imposição dereformas educacionais, os livros didáticos foram identificados comosuporte da ideologia oficial. Do mesmo modo, as renovações editoriaisque então começaram a ser implementadas novas concepções dediagramação, de disposição dos textos, de utilização dos elementosgráficos e das ilustrações, introdução de várias modalidades deatividades etc. eram objetos de suspeição e houve quem denunciasse a"Disneylândia pedagógica" em que os livros didáticos haviam se tornado.Ilustrações, o uso das cores ou o emprego de linguagens alternativas,como história em quadrinhos seriam artifícios da indústria cultural paraatrair a nova clientela de uma rede escolar bruscamente expandida peladitadura, mas nesses livros, de acordo com um severo diagnóstico "emnome da 'modernidade' o conteúdo é restrito e empobrecido.
No ano 1980, o National Council of Teachers of Mathematics - NCTM, dos
28
Estados Unidos, disponibilizou sugestões para o ensino de Matemática no
documento "Agenda para Ação". Nesse documento a resolução de problemas foi
considerada como o item principal no ensino da Matemática nos anos 80. Além
disso, a compreensão da relevância de aspectos sociais, antropológicos,
lingüísticos, além dos cognitivos, na aprendizagem da Matemática, imprimiu
novos rumos às discussões curriculares.
Uma análise das propostas curriculares oficiais, realizada em 1995 pela
fundação Carlos Chagas, mostrou a marca dessa influência em algumas das
propostas curriculares estaduais e municipais, mesmo as que foram elaboradas
recentemente: “[...], os currículos dividem-se em duas grandes famílias: os que
estão impregnados pela teoria dos conjuntos e os que a eliminaram ou reduziram
ao mínimo” (BRASIL, 1998, p. 21).
Contudo, um aspecto não mudou, pois as propostas curriculares mais
recentes são ainda bastante desconhecidas por parte considerável dos
professores que, por sua vez, não têm uma clara visão dos problemas que
motivaram as reformas. O que se observa é que idéias ricas e inovadoras,
veiculadas por essas propostas, não chegam a eles ou são incorporadas
superficialmente ou, ainda, recebem interpretações inadequadas, sem provocar
mudanças desejáveis, principalmente nos livros didáticos.
Assim, por exemplo, a abordagem de conceitos, idéias e métodos sob aperspectiva de resolução de problemas ainda bastante desconhecida dagrande maioria quando é incorporada, aparece como um item isolado,desenvolvido paralelamente como aplicação da aprendizagem, a partirde listagens de problemas cuja resolução depende basicamente daescolha de técnicas ou formas de resolução memorizadas pelos alunos.(BRASIL, 1998, p. 22).
29
Do mesmo modo, nem sempre são observadas com maior freqüência
sugestões para que os conteúdos sejam veículos para a aprendizagem de idéias
fundamentais tais como as de proporcionalidade, equivalência, etc. e que devam
ser selecionados levando em conta sua importância e potencialidade, quer para
instrumentação para a vida, em particular para o trabalho, quer para o
desenvolvimento da forma de pensar.
Quanto à organização dos conteúdos, de modo geral, observa-se uma
forma excessiva de preocupação com a idéia de pré-requisito, cujo único critério é
a estrutura lógica da Matemática. “Nessa visão, a aprendizagem ocorre como se
os conteúdos se articulassem na forma de uma corrente, cada conteúdo sendo
um pré-requisito para o que vai sucedê-lo” (BRASIL, 1998, p. 22).
Outra observação pertinente refere-se aos termos escolares, isto é, muitas
vezes os conteúdos matemáticos são tratados isoladamente e são apresentados
e/ou exauridos num único momento. Quando acontece de serem retomados
geralmente num mesmo nível de aprofundamento e apoiando-se nos mesmos
recursos, assumem apenas a perspectiva de serem utilizados como ferramentas
para a aprendizagem de novas noções. “De modo geral, parece não se levar em
conta que, para o aluno consolidar e ampliar um conceito, é fundamental que ele
o veja em novas extensões, representações ou conexões com outros conceitos”
(BRASIL, 1998, p. 23). O livro didático é um documento que pode contemplar esta
tarefa.
Assim sendo, concluímos que em relação ao ensino de matemática há
30
problemas antigos e novos a serem enfrentados e resolvidos. Um deles refere-se
ao livro didático, com uma “tarefa que requer operacionalização efetiva das
intenções anunciadas nas diretrizes curriculares dos anos 80 e inicio dos anos 90,
e a inclusão de novos elementos na pauta de discussões e que este documento
procura contemplar” (BRASIL, 1998, p. 24).
Segundo Pires (2004, p. 25), “é possível verificar, através da história, que
os conteúdos sofrem modificações, explicáveis pela transformação social e
cultural dos públicos escolares motivadora de uma adaptação da disciplina que
seja possível o ensino”.
Ao realizar a análise dos processos de ensino e de aprendizagem da
realidade escolar e das mudanças ocorridas, o historiador depara-se com
componentes da disciplina que a caracterizam como tal. Dentre esses diversos
componentes, Chervel (1990) coloca o conteúdo de conhecimento como sendo
um dos mais importantes. A partir de seu estudo, pode-se descrever o conjunto
de conhecimentos trabalhados, os temas específicos e qual a lógica interna de
cada disciplina. Esse componente tem como fonte uma vasta documentação à
base de cursos manuscritos, manuais e periódicos pedagógicos. Este conjunto de
materiais, que compõe a fonte para a pesquisa dos conteúdos de conhecimento,
tem características próprias. Uma dessas características é que essa
documentação atende a uma determinada época, é voltada para uma disciplina
específica e indica os conteúdos e sua organização didático-pedagógica. Dentre
esses materiais, estão os livros didáticos, destacados por Chervel (1990) como
fonte de pesquisa de extrema importância.
31
Esses livros didáticos, numa determinada época, têm estruturas
semelhantes, utilizam uma mesma linha de conteúdos e de abordagens. A esse
conjunto de manuais pedagógicos, que tem em comum a terminologia adotada,
os conceitos ensinados e os tipos de exercícios, Chervel nomeia de "vulgata". Diz
o autor:
Todos os manuais ou quase todos dizem então a mesma coisa, ouquase isso. Os conceitos ensinados, a terminologia adotada, a coleçãode rubricas e capítulos, a organização do corpus de conhecimentos,mesmo os exemplos utilizados ou os tipos de exercícios praticados sãoidênticos, com variações aproximadas. São apenas essas variações,aliás, que podem justificar a publicação de novos manuais e, de qualquermodo, não apresentam mais do que desvios mínimos: o problema doplágio é uma das constantes da edição escolar. (CHERVEL, 1990,p.203).
O conjunto de livros didáticos que caracteriza uma vulgata sofre
alterações, principalmente, após um período em que a disciplina passa por
modificações na estrutura de ensino, na abordagem ou nos conteúdos. Nesse
período, existem manuais que se estruturam de acordo com o antigo sistema e
outros que aderem ao mais moderno. Durante o período de modificações, no qual
coabitam diferentes manuais didáticos, cabe ao historiador verificar se algum
desses manuais foi capaz de inspirar novas produções didáticas, a ponto de gerar
uma nova vulgata. O manual que a inspirar e que for apropriado por outros livros
didáticos será o inovador.
Podemos, então, dizer que os livros que fazem parte da vulgata seguem as
idéias deste manual inovador, que se sobressaiu em relação a outros manuais
num período de transição. Isso fica claro no texto de Chervel (1990, p. 204):
Mas pouco a pouco, um manual mais audacioso, ou mais sistemático, oumais simples que os outros, destaca-se do conjunto, fixa os "novosmétodos", ganha gradualmente os setores mais recuados do território, ese impõe. É a ele que doravante se imita, é ao redor dele que seconstitui a nova vulgata.
32
Ainda tratando sobre a vulgata, temos:
A vulgata é característica de um período de calmaria numa disciplina.Nesse determinado momento, os exercícios propostos, as abordagensfeitas pelos autores, as provas e a seqüência de conteúdos ensinadosestão estabilizados, compondo todos os livros. (PIRES, 2004. p. 13).
Por isso a escolha dos livros aqui analisados fundamentou-se na escolha
de um livro das décadas de 60/70, 80/90 e no ano 2000. Para as décadas de
60/70 tomamos como referência o livro de Scipione di Pierro Neto, Matemática
para escola Moderna, pelo fato de ser um dos representantes da concepção
tecnicista1 do Movimento Matemática Moderna no Brasil, sendo este livro utilizado
por mim, como aluno no curso ginasial (Escola Estadual de 1º grau Dr Carlos de
Campos, Santo André, 1970 a 1973).
O livro, Matemática, de Fernando Frotta foi escolhido por ser um livro
editado em 1987, um ano após 1ª edição da Proposta Curricular para o ensino de
Matemática, Ensino fundamental, SE/SENP. A escolha também se apoiou no fato
de ter “carimbo” do PNLD, isto é, na capa consta o seguinte texto: “Este livro foi
escolhido pelos professores desta Escola. Foi adquirido pela FAE, em Convênio
com a Secretaria da Educação, para distribuição gratuita, através do Programa
Nacional do Livro Didático, em 1987”. O exemplar aqui utilizado no presente
trabalho pertenceu ao Banco do livro da EEPSG Senador João Galeão Carvalhal.
O livro Novo Matemática na Medida Certa foi escolhido por ser uma edição
reformada de um livro editado pela editora Scipione. Livro este adotado por
1 Concepção tecnicista: [...] prioriza objetivos que se restringem ao treino/desenvolvimento dehabilidades estritamente técnicas; os conteúdos, sob esse enfoque, aparecem dispostos empassos seqüenciais em forma de instrução programada onde o aluno deve realizar uma série deexercícios do tipo: ‘resolva os exercícios abaixo, seguindo o seguinte modelo...’(FIORENTINI,1995, p. 16).
33
muitas escolas nos anos 90, utilizado por mim em aulas ministradas para o ensino
fundamental (5ª à 8ª séries). Além disso, levamos em conta o fato de os autores
Marília Centurión, José Jakubovic e Marcello Lellis serem professores e
assessores de ensino de matemática, bem como autores de várias obras
didáticas e paradidáticas para os ensinos fundamental e médio.
34
Capítulo 3 Grade e esquema para análise dos livros
Neste capítulo defino a grade para realizar a análise dos exercícios
propostos nos três livros didáticos referentes aos conteúdos “Razões e
Proporções”. Também disponibilizo um esquema dos tópicos, seções e itens que
compõem os conteúdos Razões e Proporções para servir de base na comparação
dos livros com os documentos oficiais dos órgãos governamentais. O esquema de
cada livro será elaborado no próximo capítulo, “Descrição dos tópicos dos
conteúdos Razões e Proporções e análise dos exercícios propostos nos três livros
didáticos”.
Para realizar esta tarefa, elaborei uma grade de análise em função dos três
níveis de conhecimento esperados dos alunos segundo Aline Robert, pesquisado
por mim no artigo da própria autora e na monografia de Kelly Mitie Kamiya
(UNIFEO). São eles: nível técnico, nível mobilizável e nível disponível.
No nível técnico o aluno aplica de forma direta: teoremas, propriedades,
definições, fórmulas, etc.
No nível mobilizável o aluno conta com a indicação explícita do que fazer
para resolvê-los (neste nível, antes de aplicar o nível técnico, o aluno terá que
mobilizar seus conhecimentos já adquiridos até o momento).
No nível disponível o aluno não conta com indicação explícita do que fazer
para resolver o exercício, ele deverá disponibilizar seus conhecimentos,
planejando sua solução, fazendo relações e podendo aplicar até métodos não
35
previstos, isto é, o aluno vai procurar em sua bagagem de conhecimentos
anteriores aquele que melhor se aplica à situação. Espera-se que neste nível, o
aluno disponibilize organizações associadas ao desenvolvimento de um exercício,
isto é, planejar sua solução, aplicar as técnicas adequadas e voltar aos conceitos
utilizados para controlar o resultado encontrado.
3.1 Grade de análise
A finalidade desta grade é facilitar a análise dos exercícios propostos nos
três livros escolhidos para o estudo do tratamento dos conteúdos “Razões e
Proporções”. Esta análise será feita considerando os níveis de conhecimento
esperados dos alunos no ensino fundamental (6ª série). Para tanto, propõe-se a
estrutura abaixo para organizar a análise:
• Em função das tarefas usuais encontradas nos livros didáticos;
• Em função das variáveis destas tarefas, para as quais darei ênfase ao
nível de conhecimento pedido no enunciado e os diferentes níveis de
conhecimento de outras noções que devem ser utilizadas para a solução
dos exercícios propostos (KAMIYA, p. 80).
Para analisar os exercícios propostos consideram-se os diferentes níveis
de conhecimento esperados dos alunos, conforme as variáveis definidas abaixo:
• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício;
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas.
36
3.1.1. Exemplo de funcionamento da grade em um exercício
Divisão direta e inversamente proporcional
Modelo: Dividir N em partes diretamente proporcionais aos valores a, b, c, etc.
Deve-se, pois, encontrar x, y, z, ... tais que:
I) x y z e
II) a b c sejam diretamente proporcionais ou cz
by
ax == , donde
cbaN
cbazyx
cz
by
ax
++=
++++=== , donde
cbaa.Nx
cbaN
ax
++=⇒
++=
cbab.Ny
cbaN
by
++=⇒
++=
cbac.Nz
cbaN
cz
++=⇒
++=
Dois sócios compraram um automóvel, um entrou com R$ 12.000,00 e o
outro com R$ 8.000,00. Conseguiram vendê-lo com R$ 2.400,00 de lucro. Quanto
deve receber cada sócio de lucro?
Neste exercício em particular, as variáveis são as seguintes:
Analisando:
• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: disponível
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: disponível. Para utilizar o modelo acima tratado o
aluno deve dispor de situações de referencia a ele associadas. O próprio
aluno deve buscar no seu corpo de conhecimentos o modelo adequado
para aplicar ao problema. Pode ainda esperar que o aluno que disponha
de conhecimento de sociedade e seja capaz de aplicar um método
37
associado a esse conhecimento para resolver o problema. Em ambos os
casos, o trabalho a ser explicitado fica totalmente a cargo do aluno.
Considerações: Por que não classificar o enunciado como mobilizável ou
técnico? E quanto ao nível necessário para a solução do exercício?
A resposta desta questão está na definição dos níveis de conhecimento,
isto é: não é mobilizável, pois a ferramenta em questão não está explicitamente
solicitada; também não é nível técnico, pois o enunciado exige que o aluno
identifique o modelo aqui enunciado para aplicar as técnicas correspondentes.
Quanto ao nível conhecimento esperado na resolução, pode-se resolver este
problema de várias formas sem utilizar o modelo, pois não há indicação de todas
as noções a serem utilizadas o que deixa evidente tratar-se de uma tarefa em que
o nível esperado para sua solução é o disponível.
No item seguinte, temos o esquema de análise das seções e ou itens
usualmente encontrados em livros didáticos da 6ª série do ensino fundamental
(ver p. 39). Os esquemas dos tópicos dos conteúdos “Razões e Proporções” de
cada um dos livros didáticos, objetos de nosso trabalho disponibilizo no capítulo 6.
3.2 Esquema dos conteúdos Razões e Proporções
Considerações iniciais: Na seção “Grandezas” usualmente encontram-se as
grandezas do SI (sistema internacional de Unidades) padronizadas pela ABNT
(Associação Brasileira de Normas Técnicas). Quanto ao item “Razões cons-
tantes”, eu me refiro, por exemplo, à razão entre o comprimento de uma
circunferência e a medida do seu diâmetro, que é representada pelo número
conhecido pelo nome de pi, que é uma constante dentre outras constantes. No
item “Densidade Demog.”, Demog. é a abreviação de demográfica.
38
ESQUEMA DOS CONTEÚDOS RAZÕES E PROPORÇÕES
Grandezas
Quantidades Contínuas Unid. medidas Discretas
Razões
Proporções
ConceitoPropriedade fundamental
Especiais
Fraçãocentesimal
Definição
TaxaPorcentual
Porcentagem
Constantes
DivisãoProporcional
Números Grandezas
DiretamenteInversamenteProporcionais
Regra de Três
Simples Composta
JurosSimples
Definição CapitalTaxa
Tempo
OutrasPropriedades
Escala Médiaaritmética
Simples Ponderada
Densidade
Demog. CorpoQuarta
Proporc.
TerceiraProporc.
Termodesconhecido
39
Capítulo 4 Descrição e classificação nos três livros
Nesse capítulo, descreverei a introdução, exemplos, exercícios resolvidos e
escreverei/analisarei cada um dos exercícios propostos por mim selecionados dos
três livros. Para a análise destes exercícios propostos aplicaremos a grade de
análise definida no capítulo 3.
4.1 Livro das décadas 60/70
No livro da 2ª série ginasial, da coleção Matemática para escola Moderna,
editora IBEP, 1967, Scipione di Pierro Neto destinou o capítulo VI para os
conteúdos Razões e Proporções. O livro é composto de oito capítulos. O oitavo
capítulo, “O Trabalho Dirigido”, traz sugestões, para o aluno e para o professor,
assim descritas:
Apresentamos, a seguir, alguns modelos de Estudo Dirigido, ou TrabalhoDirigido. Servirão como exemplos para serem aplicados nas classes emque o professor disponha de horas suficientes e outros elementos paraprepará-los (Datilografia, mimeografia, etc.). São especialmenteadequados para desenvolver método ativo e possibilitam:a) Ao aluno:I) Participar ativamente de todas as etapas do aprendizado,experimentando e manipulando os entes que são os objetos daassimilação.II) Ativar e desenvolver grande potencial que representa a capacidadecriadora e descobridora do adolescente, formulando conclusões,inferindo leis, descobrindo propriedades.III) Interiorizar o conhecimento por ações efetivas – O aprendizado semação não é autêntico.b) Ao professor:1) Verificar e avaliar individualmente as etapas da assimilação.II) Atender às diferenças individuais.III) Dirigir o aprendizado antes e principalmente como mestre de umaequipe de trabalho.A aplicação do T.D. (trabalho dirigido) ou E.D. (estudo dirigido) como sequeira chamar, alcança resultados muito mais satisfatórios quando sepuder observar os seguintes requisitos:1º) Agrupar a classe em equipes de cinco ou seis alunos cada etrabalhar com três ou quatro equipes cada vez.
40
2º) Estabelecer um processo para determinar uma liderança em cadaequipe, fixando as responsabilidades.3º) Usar a correção do T.D. para encaminhar a lição do erro e àsconclusões que se pretende obter.Por outro lado, o T.D. pode ser preparado também para ser feito emcasa ou individualmente e, neste caso, deve conter instruções precisas etanto quanto possível suscintas para encaminhar a leitura do trabalho,A bem da verdade, deve-se dizer que em ambos os casos, a aplicaçãodo T.D. requer do professor o dispêndio de um tempo que ele ainda nãotem - salvo exceções raras - dentro das condições de trabalho que lhesão exigidas.Ainda assim, entendemos que devemos apresentar alguns exemplos deTrabalhos Dirigidos que, certamente, poderão ser muito aperfeiçoados eadequados às condições de trabalho de cada um.Insistimos que não são lições de Trabalho Dirigido o que apresentamos,mas simplesmente uma colaboração para ser ampliada.
(SCIPIONE, p.255-6).
O capítulo V, “As Equações do Primeiro Grau”, antecede ao capítulo objeto
do nosso estudo, e esse, por sua vez é sucedido pelo capítulo VII, “Noções
Intuitivas de Geometria”.
O desenvolvimento do conteúdo Razão inicia-se na página 149, tópico um,
e foi dividido em quatro partes, são elas: Razões entre grandezas; Termos de
uma Razão; Propriedade Fundamental das Razões e Exercícios.
Na primeira parte, “Razões entre grandezas”, ou seja, na introdução (item
93.), tem-se o seguinte problema introdutório: “Na sala de aula, consideremos a
medida da largura da porta (1m), a medida do comprimento da parede onde a
porta está (6m); a medida o comprimento do quadro negro (3m)”. O texto é
ilustrado com a figura abaixo:
(p.149)
41
A seguir, relaciona razão entre comprimentos seguido da mesma razão
igualada a uma outra razão estabelecida entre as letras a e b ou c e d. Na
seqüência apresenta outros exemplos envolvendo, além do comprimento, a área
e o volume, sem misturá-las no mesmo exemplo e faz as seguintes observações:
Observa-se facilmente que:1 - Comparamos grandezas da mesma espécie ou natureza.(comprimentos com comprimentos)(área com área)(volumes com volumes)2 - Essas grandezas estão sempre medidas numa mesma unidade.
(p.151)
Considerações: O autor utilizou um recurso gráfico e uma linguagem próxima do
cotidiano do aluno, ou seja, medir comprimentos.
Com base no que foi feito anteriormente, no item 94, “Definição”, tem-se
em uma caixa de texto, a seguinte definição: “Chama-se de razão de duas
grandezas da mesma espécie ao quociente indicado dos números que medem
essas grandezas numa mesma unidade” (p.151). Logo abaixo ele denomina a e b
como antecedente e conseqüente respectivamente e usando um outro retângulo
como caixa de texto ele disponibiliza o seguinte: “Duas razões são inversas
quando o antecedente de uma é igual ao conseqüente da outra”(p. 151).
No item 95, o autor introduz a “Propriedade fundamental das razões”
usando dois segmentos, a e b, desenhados paralelamente e divididos pela
mesma unidade. Neste momento o autor tem a preocupação de relacionar o novo
conhecimento com o cotidiano do aluno utilizando noção geométrica de segmento
associada a noção de medida. A seguir, os mesmos segmentos são divididos por
uma outra unidade menor, mas múltipla da anterior e, finalizando o item, antes de
descrever a propriedade algebricamente, uma igualdade relacionando as duas
razões é destacada em uma caixa de texto.
42
Considerações: Verifica-se a preocupação do autor em trabalhar conhecimentos
geométricos esperados dos alunos antes de introduzir a noção algebricamente,
isto é, nota-se aqui uma real articulação entre geometria e álgebra fazendo apelo
aos conhecimentos disponíveis da geometria para introduzir algebricamente a
propriedade fundamental das razões.
Por fim, em uma outra caixa de texto, tem-se a propriedade fundamental:
“Propriedade fundamental – Multiplicando-se ou dividindo-se os termos de uma
razão por um mesmo número, diferente de zero, obtém-se uma razão equivalente
à razão dada” (p.152).
No item 96, “Exemplos”, o autor apresenta alguns exemplos de como obter
razões equivalentes a uma outra dada, como obter razão na forma irredutível,
razão entre um número relativo e seu simétrico, de como obter uma incógnita
(antecedente ou conseqüente) tendo somente a razão (quociente). Todos os
exemplos estão demonstrados em detalhes.
No item 97, “Exercícios”, são propostos 22 exercícios semelhantes aos
exemplos. Os exercícios 24, 25 e 26 envolvem problemas geométricos, como por
exemplo, o de número 26, que tem o seguinte texto: “Um segmento de 21 cm de
comprimento é dividido em duas partes tais que estão na razão 3:4. Qual o
comprimento de cada parte?” (p. 156).
Analisando:• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: disponível.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: disponível. O aluno necessita mobilizar a noção de
segmento e articular com a propriedade de duas razões. Além disso, o
43
aluno deverá dispor de conhecimentos sobre equações para encontrar a
solução.
O exercício 23 envolve uma situação próxima do cotidiano do aluno. “Se
Olavo ganha NCr$ 0,80 por hora e seu pai ganha NCr$ 16,00 por jornada de 10
horas, então, qual a razão entre o que ganha Olavo e seu pai?”(p.156).
Analisando:
• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: mobilizável.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: mobilizável. O aluno precisa mobilizar seu
conhecimento de redução a unidade para depois aplicar a definição de
razão.
Além dos exercícios que envolvem situações-problema em geral,
associadas ao cotidiano, existem outros exercícios propostos, como por exemplo:
Determinar os valores das seguintes razões:
1) b) 0,4311 ÷
+ ;
Determinar o antecedente das seguintes razões, sabendo que:
11) o conseqüente é 23xx − e a razão é
313 + ;
Determinar o conseqüente das seguintes razões, sabendo que:15) o antecedente é (x + 1)2 e a razão é (x + 1);
16)o antecedente é 2xx + e a razão é
32 ;
Escrever razões equivalentes:
17) a 31
cuja soma dos termos seja 20.
(p. 155-156)
Analisando:
• Nível de conhecimento esperado nos enunciados dos exercícios: técnico.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar os exercícios em
44
relação às noções utilizadas: mobilizável. O aluno tem que mobilizar
operações com números racionais nas formas decimal e fracionária, os
conhecimentos com operações algébricas e aplicar a definição de razão.
Considerações: observo que o autor dedica o capítulo anterior a este ao estudo
das equações. Sendo assim, podemos supor que a noção de equações é
disponível para os alunos que seguem esse curso.
O 2º tópico “Proporções” é dividido em: Proporções, Propriedade
Fundamental, A Recíproca da Propriedade Fundamental, Termo Desconhecido,
Proporções Contínuas, Média Proporcional ou Geométrica, Quarta e Terceira
Proporcional e Exercícios.
O item 98, “Definição”, inicia com a seguinte definição “Chama-se
proporção à expressão de igualdade de duas razões” (p.158). Com base nesta
definição, uma proporção numérica é apresentada e, em seguida, os termos são
identificados, assim como os extremos e meios. No final deste item, tem-se a
seguinte afirmativa: “o produto dos meios é igual ao produto dos extremos”, com a
devida resolução numérica.
No item 99, “Propriedade fundamental das proporções”, o autor demonstra
a veracidade da afirmativa anterior com uso das letras a, b, c, d e a propriedade
das igualdades, assim como a lei do cancelamento da multiplicação. A seguir, em
destaque, numa caixa de texto, a propriedade fundamental das proporções é
apresentada em forma de texto: “Em toda proporção, o produto dos meios é igual
ao produto dos extremos” (p.159).
Considerações: É importante observar a preocupação do autor em passar da
45
linguagem natural para a resposta numérica que permite ao estudante criar as
imagens mentais antes de passar para a representação algébrica. Neste caso,
mesmo não sendo explicito o autor vislumbra a importância do trabalho sobre
representação.
Considerações sobre a prova da propriedade fundamental das proporções
estão num item especial, o item 100. Toda explicação da demonstração é feita de
modo detalhado como descrevo no que se segue: partiu da proporção: dc
ba =
com b ≠ 0 e d ≠ 0, aplicou a propriedade das igualdades, isto é, a.d = b.c,
observou que: “Dizemos que fizemos uma demonstração, onde o ponto de partida
(verdade inicial) é a HIPÓTESE e o que queremos é a TESE da propriedade” e
indicou em símbolos numa caixa de texto, igual a apresentada a seguir
b.ca.ddc
ba =⇒= , finalizando a demonstração. A última frase deste item tem
como objetivo apresentar uma introdução para a recíproca da propriedade
fundamental, descrita no próximo item, o 101.
O item 101, “Recíproca da propriedade fundamental”, apresenta de início o
seguinte enunciado em uma caixa de texto e sua demonstração no desfecho do
mesmo: “Se o produto, não nulo, de dois números for igual ao produto de outros
dois, então esses quatro números formam uma proporção, onde os fatores de um
produto são os meios (extremos) e os fatores do outro produto são os extremos
(meios)” (p.160). Ao final deste item, em outra caixa de texto, a propriedade está
também destacada em símbolos.
Considerações: Aqui, também é importante ressaltar a preocupação do autor em
escrever em matemática antes de apresentar uma fórmula correspondente. Essa
46
atividade tem sido cada vez mais salientada por pesquisadores, pois trata-se de
uma atividade importante e que conduz o aluno às práticas de produção, tão
necessária para seu desenvolvimento cientifico e cultural.
As formas de se representar uma proporção foram enunciadas e
demonstradas sob o item 102. “Aplicações da propriedade fundamental das
proporções e sua recíproca”, assim como os devidos exemplos das oito formas
diferentes de escrever uma proporção.
No item 103, “Termo desconhecido numa proporção”, em uma caixa de
texto tem-se: “Um extremo desconhecido é igual ao quociente entre o produto dos
meios e o extremo conhecido”. Em outra caixa de texto, tem-se: “Um meio
desconhecido é igual ao quociente entre os produtos dos extremos e o meio
conhecido” (p.163), as demonstrações foram apresentadas e um exemplo foi
colocado ao lado de cada demonstração.
A seguinte conclusão: “Quando os meios de uma proporção contínua são
desconhecidos, o seu valor comum é igual à raiz quadrada do produto da
proporção” (p. 164), foi declarada no item 104.
“Proporções contínuas”. Este item apresenta um exercício numérico como
introdução e logo a seguir, tem-se em uma caixa de texto, dentro dela em forma
de símbolos, a seguinte igualdade: a.bx = , onde x recebe o nome “média
proporcional”. Ao final deste item, em outra caixa de texto, tem-se: “Quando os
meios de uma proporção contínua são desconhecidos, o seu valor comum é igual
à raiz quadrada do produto dos extremos da proporção” (p. 164).
Do mesmo modo que nos itens anteriores, o item 105, “Média geométrica
47
ou proporcional de dois números”, teve seu desenrolar iniciando-se neste caso,
com uma sentença algébrica, um exemplo e a conclusão, também destacada em
uma caixa de texto, com os seguintes dizeres: “Numa proporção contínua, se o
termo repetido é desconhecido, ele é igual a um dos valores da média geométrica
proporcional dos extremos da proporção” (p.165). Na seqüência, o autor
apresenta dois exemplos. O segundo exemplo recai em raiz quadrada de número
negativo. A conclusão deste exemplo gerou a seguinte frase: “Não existe valor de
y no campo real” (p.166).
No item 106, “Quarta proporcional e terceira proporcional”, as letras x e y
são usadas como valores desconhecidos (incógnitas), nesta mesma ordem
respectivamente, uma para a quarta proporcional (x) e a outra para terceira
proporcional (y), assim descritas em símbolos:
a:b = c:x ou xc
ba = e a:b= b:y ou y
bba = . Para cada conceito, um
exemplo foi proposto e desenvolvido.
O item 107, “Exercícios”, compõe-se de 25 exercícios propostos, como porexemplo:
Verifique se as igualdades, escritas sob a forma de proporções, sãoverdadeiras ou falsas,
43
203
51
465
61
21
52
4155)
−÷=
−÷ ;
Calcule o valor de x nas seguintes proporções:
x213
413
831 9) ÷
−=
−÷ .
(p.167)
Analisando:• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: mobilizável.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
48
às noções utilizadas: mobilizável, o aluno aplicará o conceito de proporção
escrita na forma de igualdade entre razões e mobilizará seus
conhecimentos sobre operações com números racionais na forma
fracionária e noções de equação do 1º grau.
O 3º tópico, “Propriedades Gerais das Proporções” foi dividido em oito
itens, sendo eles: Da Soma dos Termos, Da Diferença dos Termos, Da Soma dos
Antecedentes e Conseqüentes, Da Diferença dos Antecedentes e Conseqüentes,
Do produto dos Antecedentes e Conseqüentes, Do Quadrado dos Antecedentes e
Conseqüentes, Do Quociente – Das Raízes, Exercícios.
O item 108, 1ª Propriedade – “Da Soma dos Termos”, na introdução há
uma caixa de texto com a seguinte definição: “Em toda proporção, a soma dos
dois primeiros termos está para o primeiro ou segundo termo, assim como a soma
dos dois últimos termos está para o terceiro ou quarto termo” (p.172).
A seguir, usando letras como símbolos algébricos, ele escreve a
propriedade acima em forma de proporção, descrevendo a hipótese, a tese e
também as devidas provas.
Os mesmos procedimentos foram aplicados para os itens: 109, 2ª
Propriedade – “Da diferença dos termos”, 110, 3ª Propriedade – “Da soma dos
antecedentes e conseqüentes”, 111, 4ª Propriedade – “Da diferença dos
antecedentes e conseqüentes”, 112, 5ª Propriedade – “Do produto dos
antecedentes e conseqüentes”, 113, 6ª Propriedade – “Dos quadrados dos
antecedentes e conseqüentes” e 114, 7ª Propriedade e 8ª Propriedade (estas
duas propriedades não tiveram nenhuma denominação especial). O autor as
49
apresentou conforme exemplo a seguir (cópia parcial da página do livro):
(p.176)
No item 115, “Exercícios Resolvidos”, três problemas foram resolvidos
como exemplos, sendo o primeiro com o seguinte enunciado: “A soma de dois
números é 84 e a razão entre eles é 43 . Determiná-los” (p.176). Na resolução
deste exercício, o autor denomina os números desconhecidos de x e y, escreve
um sistema de duas equações à duas incógnitas, aplica a propriedade da soma
dos termos e calcula o valor das incógnitas. Faz ainda a verificação; isto é
substitui os valores encontrados para as incógnitas x e y no sistema de equações
inicialmente obtido.
No item 116, “Exercícios”, trinta exercícios foram propostos. Os seis
primeiros tem o seguinte enunciado: “Dada a proporção dc
ba = , mostrar que
valem as relações seguintes, justificando cada uma das passagens efetuadas”
(p.179), como exemplo: o de número 6 é: 5d3b5d3b
5c3a5c3a
++=
−+ .
Analisando:• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: mobilizável.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: mobilizável. O aluno aplica a propriedade funda-
50
mental das proporções e mobiliza seus conhecimentos sobre algébricos.
Do exercício sete ao dezoito, o enunciado é o seguinte: “Determinar os
valores de x e y em cada uma das questões seguintes, utilizando na solução as
propriedades das proporções e a teoria das equações” (p.179).
Por exemplo, o de número 18 tem o seguinte sistema de duas equações
com duas incógnitas:
=
=
610
2y5x
94
3y2x
Analisando:
• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: mobilizável.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: mobilizável. É necessário que o aluno aplique a
propriedade fundamental das proporções, depois mobilize seus
conhecimentos das operações algébricas e resolva o sistema de duas
equações com duas incógnitas.
Para os demais exercícios exemplifico com o exercício 30, cópia abaixo:
(p.183)
51
Analisando:• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: mobilizável.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: mobilizável. O aluno aplica seu conhecimento sobre o
cálculo de volume do cubo e a definição de razão.
No exercício 19, o autor descreve a medida de dois retângulos e pede para
calcular a razão entre as áreas deles. A estrutura dos exercícios 20, 21, 22, 23,
24, 25, 26, 27, 28 e 29, é praticamente a mesma da figura 39 acima.
Na maioria destes exercícios são dadas as razões, a diferença entre suas
medidas e pede-se para encontrar o tamanho destas medidas. Por exemplo, o
exercício 22: “A razão entre as diagonais de um losango é 4/7 e a diferença das
diagonais é 15 dm. Determine as diagonais”.
Analisando:• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: disponível.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: disponível. O aluno necessita disponibilizar o
conhecimento de alguns elementos da geometria como diagonal e
reconhecer a figura geométrica losango, a seguir escrever um sistema
formado por duas equações à duas incógnitas e tendo antes que aplicar a
propriedade fundamental das proporções.
O quarto tópico – “Sucessões de Números Proporcionais” foi dividido em:
Diretamente proporcionais e Inversamente proporcionais. No item 117,
“Sucessões de números diretamente proporcionais”, o autor define o conjunto dos
números naturais sem o zero e um outro conjunto, conjunto m = 3n, escrevendo
52
logo a seguir uma relação de implicação, conforme tabela abaixo:
para:n = 1 ⇒ m = 3n = 2 ⇒ m = 6n = 3 ⇒ m = 9n = 4 ⇒ m = 12..................................................(p.185)
A partir daí, estabelece a razão entre cada elemento das duas sucessões e define
como coeficiente de proporcionalidade a constante 1/3. Agora, escreve a relação
tomando como primeiro elemento, os elementos da segunda sucessão, a
sucessão m, tomando o 3 como coeficiente de proporcionalidade. Por último, tem-
se um quadro de texto com a seguinte definição: “Duas sucessões a, b, c, d, ... e
a’, b’, c’, d’, ... são diretamente proporcionais quando a razão entre qualquer
elemento da primeira sucessão e o seu correspondente na segunda é uma
constante”. A constante k é denominada de coeficiente de proporcionalidade.
No item 118, “Exemplos”, tem-se dois exemplos. O primeiro é composto de
duas sucessões que após serem escritas na forma de razão e proporção são
igualadas à constante k, tem-se a conclusão de que elas são sucessões
diretamente proporcionais e o coeficiente k é definido. Já no segundo exemplo,
duas sucessões são dadas, sendo que dois dos termos da primeira sucessão são
letras x e y e têm a função de incógnita de sucessões diretamente proporcionais.
No item 119, “Sucessões de números inversamente proporcionais”, o autor
sintetizou a introdução escrevendo duas sucessões, a I e a II, mostrou a
proporcionalidade entre os números da primeira sucessão pelo inverso dos
números da segunda sucessão evidenciando que o produto dos termos da
primeira sucessão com os respectivos termos da outra sucessão é sempre o
53
mesmo, ou seja, o resultado do produto é o coeficiente de proporcionalidade. Na
caixa de texto deste item tem-se a seguinte generalização:
Duas sucessões a, b, c, d, ... e a’, b’, c’, d’, ... são inversamenteproporcionais, quando o produto entre qualquer elemento da primeirasucessão e o seu correspondente na segunda é sempre uma constantek. A constante k é o coeficiente de proporcionalidade inversa entre assucessões dadas. (p.187).
O item 120, “Exemplos” é composto de 2 deles. O primeiro exemplo
compõe-se de duas sucessões, na primeira sucessão um dos termos é a letra x e
outro a letra z, na segunda sucessão, também um dos termos é representado por
uma letra, o y. As letras nas sucessões têm o papel de incógnita, por isso elas
foram alternadas em cada sucessão com o propósito de formar a igualdade entre
o produto dos termos da primeira sucessão com seu respectivo par da outra
sucessão, para com isso poder determinar os valores de cada incógnita (x, y e z).
O exemplo dois é composto da generalização de dois conjuntos numéricos com o
valor do coeficiente k pré-definido. Os conjuntos são de valores para o par (x,y),
com cada valor de xi correspondendo com o respectivo yi de cada conjunto.
Para generalizar, o autor descreve um exemplo numérico fixando k = 1 e
para finalizar, o autor faz a seguinte observação: “Neste exemplo, escolhemos a
constante k = 1. Todavia, qualquer que seja o valor de k, existe um conjunto de
pares de valores (x, y) que obedece às condições do problema anterior” (p.189).
Considerações: Este tópico não tem a seção “Exercícios” (propostos).
O 5° tópico, “Divisão Em Partes Proporcionais”, é composto pelos
seguintes itens: Diretamente Proporcionais, Inversamente Proporcionais,
Diretamente e Inversamente Proporcionais e Exercícios.
54
O item 121, “Divisão em partes diretamente proporcionais”, tem como
ponto de partida o seguinte problema:
Um pai divide mensalmente a importância de NCr$ 36,00 entre seus trêsfilhos: Antônio, Berenice e Carlos, em partes diretamente proporcionaisàs notas que eles tiram em matemática naquele mês. Quanto deve cabera cada um no mês em que Antônio teve nota 5, Berenice teve nota 6 eCarlos teve nota 7?(p.121).
Esse problema foi resolvido e na solução o autor denominou x, y e z como
uma sucessão e a compôs com a outra sucessão, isto é, 5, 6 e 7. Logo a seguir,
as igualdades entre os termos das sucessões foram estabelecidas e com este
procedimento, sucessões diretamente proporcionais. Para calcular o valor das
incógnitas, o autor utilizou a propriedade da soma dos antecedentes e
conseqüentes de uma proporção, tomando o total de NCr$2 36,00 dividido pela
soma dos termos da segunda sucessão, que é 18, chegando na constante
k = NCr$ 2,00, donde este valor igualado a cada uma das razões
correspondentes, determina o valor que cada filho recebe, e são eles: NCr$
10,00, NCr$ 12,00 e NCr$ 14,00 respectivamente.
No item 122, “Caso geral”, o autor usou o mesmo procedimento do
exemplo do item 121 e utilizou letras do alfabeto como símbolos conforme
podemos observar na seguinte caixa texto:
cbac.Nz ;cba
b.N y;cbaa.Nx
++=
++=
++=
O item 123, “Divisão em partes inversamente proporcionais”, foi
desenvolvido com base no seguinte problema:
Durante o primeiro semestre do ano letivo, Alice faltou duas vezes àsaulas; Benedito e Clóvis, que são seus irmãos, faltaram 4 e 6 vezes,respectivamente. Seu pai resolveu distribuir a importância de NCr$ 88,00em partes inversamente proporcionais às faltas que eles tiveram, pois
2 NCr$: lê-se cruzeiro novo (valor monetário utilizado no Brasil de 1965 até 1968).
55
eles não ficaram doentes e julgou, então, que as faltas não foram justas.Quanto deu a cada filho? (p.191).
Para solucionar este problema o autor usou as letras x, y e z,
respectivamente como incógnitas do problema, formando uma sucessão e logo a
seguir, uma outra sucessão com o número de faltas dos personagens do
problema, sendo disposta de acordo com a ordem do enunciado. Na continuidade
da resolução, tem-se a igualdade das razões formadas com as incógnitas e as
respectivas frações inversas do número de faltas de cada filho, no semestre. No
desenvolvimento do cálculo, os denominadores destas frações foram reduzidos
ao mínimo múltiplo comum entre eles e foi aplicado o conceito de divisão de
frações. Logo a seguir, foram divididas pelo múltiplo comum (no caso, o número
12) e a simplificação originou a seguinte igualdade: 2z
3y
6x == . A partir desta
igualdade, a propriedade da soma dos antecedentes e conseqüentes das
proporções foi aplicada e os valores calculados são respectivamente:
x = NCr$ 48,00, y = NCr$ 24,00 e z = NCr$ 16,00. Assim finalizou-se a resolução
deste problema. Uma observação sobre a simplificação do procedimento no
cálculo foi esclarecida e assim descrita: “Na prática, quando o problema atinge a
fase
122z
123y
126x == basta escrever:
2z
3y
6x == , o que equivale a dividir todos os
membros da igualdade por 12” (p.193).
O item 124, “Divisão direta e inversamente proporcionais”, do mesmo modo
que os itens anteriores, é iniciado com um problema. Este foi resolvido, passo a
passo, com os devidos procedimentos de cada etapa. Na solução o autor
descreveu as razões que são diretamente e inversamente proporcionais e
disponibilizou as sucessões formadas com os dados do problema. Resumiu as
56
razões aplicando os devidos conceitos de divisão em partes diretamente e
inversamente proporcionais, aplicou a propriedade da soma dos antecedentes e
conseqüentes, aplicou a propriedade fundamental das proporções e calculou os
valores das incógnitas na resolução do problema.
O item 125, “Exercícios”, é composto de vinte exercícios com as respostas
logo a seguir. Destes, apenas três envolvem situações-problema e os demais são
de aplicação direta da definição e propriedades. Por exemplo, o exercício 10
propõe: “Dividir o número 234 em partes inversamente proporcionais aos seus
algarismos 2, 3 e 4 (resposta: [108, 72, 54])” (p.194).
Analisando:
• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: mobilizável.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: disponível. O aluno poderá aplicar a definição de
sucessões e mobilizar seus conhecimentos de operações com racionais na
forma fracionária ou resolver uma equação.
Os exercícios que envolvem situações-problema são os de números: 16,
17 e 20. O de número 16 tem o texto que envolve a compra e a venda com lucro
de um automóvel por duas pessoas uma participou do negócio com valor
diferente da outra. Assim sendo, pede-se calcular o lucro de cada uma das
pessoas. O de número 17 tem enunciado semelhante ao de número 16. O de
número 20 tem o seguinte enunciado:
Um pai resolve dividir um pacote com 2620 gramas de balas, aos seusfilhos Frederico, Marcelo e Luis, em partes diretamente proporcionais àsnotas que tiraram este mês em Matemática e em partes inversamenteproporcionais às idades. (O menor chupa mais balas). Quantos gramasde bala deve receber cada um, sabendo que: Frederico tem 8 anos etirou nota 6; Marcelo tem 10 anos e tirou nota 6; Luis tem 12 anos e tirounota 10. [Frederico: 900, Marcelo: 720 e Luis: 1000] (p.196).
57
Analisando:
• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: mobilizável.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: mobilizável. É necessário aplicar o conceito da
divisão em partes direta e inversamente proporcionais e mobilizar as
noções com operações (números racionais) ou resolver uma equação.
No 6º tópico, “Grandezas Proporcionais”, os seguintes itens foram
desenvolvidos nessa ordem: Diretamente Proporcionais; Inversamente
Proporcionais; Regra de Três Simples; Regra de Três Composta e Exercícios.
No item 126, “Grandezas diretamente proporcionais”, como nos itens
anteriores, o autor introduziu o conceito por intermédio de um problema que
estava diretamente ligado às grandezas, comprimento e valor. Após a resolução
detalhada deste problema, uma caixa de texto foi disposta com a seguinte
definição: “Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando-
se uma delas, a outra aumenta na mesma razão da primeira” (p.199). A seguir um
exemplo referindo-se à velocidade média foi exposto juntamente com sua
solução.
O item 127, “Grandezas inversamente proporcionais”, tem como introdução
o seguinte problema:
De São Paulo a Campinas são 90 km (aproximadamente). Suponhamostrês veículos percorrendo essa distância.1°) Um ciclista, com 30 km/h de velocidade média;2°) Um caminhão, com 45 km/h de velocidade média;3°) Um ônibus, com 90 km/h de velocidade média. (p.199).
Esse problema serviu de base para o conceito envolvido neste item. Depois
de sua resolução, o autor apresentou a seguinte definição: “Duas grandezas são
58
inversamente proporcionais quando, aumentando-se uma delas a outra diminui na
mesma razão da primeira” (p.200).
No item 128, “Regra de três simples”, o conceito foi trabalhado a partir de
problemas envolvendo grandezas como: comprimento e valor; área e tempo;
velocidade e tempo. Por envolver razão, proporção e grandezas, o autor, além de
dispor grandezas de mesma espécie em colunas próprias, usou o esquema de
flechas como ferramenta na identificação das razões (grandezas), que são
diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais sempre em relação à
razão que contém a incógnita. Palavras do autor: “Solução pelo método das
proporções: Esquematizamos o problema, colocando numa mesma coluna as
grandezas de mesma espécie e numa mesma linha grandezas de espécies
diferentes, que se correspondem do problema” (p.200). Veja no quadro abaixo,
como ele representa a estrutura de todos os exemplos colocados neste item. No
exemplo: Luís Fernando comprou 50 m de arame e pagou NCr$ 2,50. Se
comprasse 120, quanto pagaria?
(p.200)
Uma lista de quinze problemas faz parte do item 129. “Exercícios”. Os
problemas propostos envolvem diversas grandezas e unidades de medidas, tais
como: comprimento, velocidade média, dias, perímetro, dinheiro, litros,
quilograma, metros, centímetros dentre outras. Os problemas 14 e 15 merecem
destaque, pois têm os seguintes enunciados e respectivas respostas:
59
14) A freqüência média diária dos alunos do colégio é 95:100, isto é, decada 100 alunos, comparecem diariamente 95. Nossa classe tem 40alunos. Qual a freqüência média diária da classe? (Admite-se que afreqüência da classe é a mesma que a freqüência média da escola).Resposta [38].
Analisando:
• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: disponível.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: disponível. O aluno deverá interpretar o enunciado do
problema, seus conhecimentos sobre razão e proporção e resolver a
proporção.
15) Na composição volumétrica de uma ração animal entra farelo narazão 60:100, milho na razão 25:100, farinha de ossos na razão 15:1000;o restante são outras substâncias. Em 1 m3 de ração estão contidos:I) X dm3 de farelo;II) Y dm3 de milho;III) Z dm3 de farinha de ossos;IV) W dm3 de outras substâncias.Determine X, Y, Z e W.Resp.: [X = 600 dm3, Y = 250 dm3; Z = 15 dm3; W = 135 dm3] (p.203).
Analisando:
• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: disponível.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: disponível. O aluno precisará interpretar
adequadamente o enunciado do problema empregar seus conhecimentos
sobre equações, números racionais fracionários, ou seja, a forma de
resolver não se restringe aos conhecimentos de proporção.
O item 130, “Regra de três composta”, foi apresentado de modo análogo ao
de regra de três simples. O autor restringiu os problemas introdutórios ao conceito
em apenas três grandezas de espécies diferentes. Num dos exemplos, as
grandezas envolvidas são: volume, velocidade e tempo, isto é, “18 teares tecem
360 metros de pano em 10 dias. Quantos dias serão necessários para se tecer
480 m de pano, usando 30 teares?”.
60
Na resolução deste problema, o autor descreveu os dados em duas linhas.
Na primeira linha os dados iniciais, na segunda linha os outros dados, colocando
ao dado desconhecido a letra x como incógnita, tendo o cuidado de colocar em
cada coluna as medidas de grandezas de mesma espécie.
Para solucionar o problema o autor disponibilizou a relação entre a
incógnita e as grandezas, de forma escrita e pelo método da proporção com o
auxílio de fechas, para indicar se as razões formam proporções direta ou
inversamente proporcionais. Logo a seguir, reescreveu as razões e calculou o
valor da incógnita. Por final, uma justificativa para o uso das flechas foi
apresentada. Outro exemplo pode-se observar na cópia abaixo:
(p.205)
61
Com uma lista com doze problemas, semelhantes aos exemplos dados no
texto, o autor compôs o item 131, “Exercícios”. O problema de número 1 envolve
as grandezas tempo, e as unidades de medidas: número de dias e número de
horas. O problema 2 tem o seguinte enunciado:
Os 2/3 de uma encomenda de pano foram tecidos em 12 dias por 18teares que funcionaram 6 horas por dia. Quantos dias e fração de 8horas por dia de trabalho, ocupando-se 16 teares, seriam necessáriospara completar a encomenda? Resposta [5d e 30 min] (p.206).
Analisando:
• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: disponível.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: disponível. O aluno poderá basear-se no modelo feito
na página 61 sobre regra de três composta. A seguir esquematizar o
problema organizando as diferentes grandezas (3) e calcular a resposta.
O 7º tópico. “Porcentagem”, é composto dos itens: Porcentagem e Juros
Simples. O item 132, “Taxas Centesimal e Milesimal”, foi descrito com exemplos
introdutórios deste tipo: “Um vendedor ganha 5 cruzeiros novos em cada 100
cruzeiros novos vendidos” (p.209). A partir daí, o autor descreve as razões
centesimais e apresenta mais exemplos incluindo também razões milesimais, tais
como: “Na minha cidade, em cada 1000 habitantes, 25 são estrangeiros” (p.209).
No item 133, “Principal e Porcentagem”, o autor descreve Principal e
Porcentagem usando a resolução de uma regra de três composta de um
problema introdutório com os seguintes dizeres: “Que comissão cabe ao vendedor
que vende NCr$ 1.200,00, sabendo-se que a taxa de comissão é 5%?”
Primeiro uma análise do problema foi feita, a seguir as variáveis foram
definidas conforme segue: Taxa centesimal: i %; Principal: C; Porcentagem; P. A
62
partir deste ponto, o autor esquematizou em sucessões formando proporções com
os dados do problema e demonstrou a fórmula: 100C.ip = . No final, após ter
disponibilizado a respostas, um comentário com um esquema de como resolver
sem o uso da fórmula foi descrito. Veja no quadro a seguir:
(p.212)
O item 134, “Taxa milesimal”, foi abordado do mesmo modo do item
anterior, só que aqui o denominador na fórmula é 1000, isto é, p = C.i/1000. No
item 135, “Exercícios”, quinze exercícios são propostos, sendo doze em forma de
problemas. Dentre os problemas, o de número 8, tem o seguinte texto:
Uma firma requer concordata e promete pagar suas dívidas em doisanos com 30% de desconto. Um credor deve receber NCr$2.400,00.Pergunta-se:I) Quanto receberá?Il) Quanto representará realmente o que receberá, sabendo-se que amoeda desvaloriza 10% cada 6 meses? Resp. [ (I) NCr$1.680,00; ( II)NCr$ 1.008,00] (p.214).
Analisando:• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: disponível.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: disponível. O aluno precisará interpretar o enunciado
para deduzir que precisará encontrar 30% de desconto de NCz$ 2.400,00,
63
e relacionar a resposta encontrada com a questão do exercício, ou seja,
subtrair o valor encontrado do principal. O aluno necessita conhecer o
significado de desvalorização de moeda (inflação) e a seguir, aplicar a
fórmula do valor atual. Não existe somente este método para solucionar
este exercício.
Considerações: o contexto deste problema não é familiar, isto é, a expressão
“firma em concordata” não costuma fazer parte do repertório dos educandos.
O item 136, “Juros Simples” é iniciado com a seguinte frase: “O problema
do cálculo de juros simples é novamente uma questão de regra de três composta”
(p.216). Logo a seguir, propõe um problema envolvendo juros simples que
permitiu chegar à fórmula 100tiCj ××= . No item 137, “Juros simples”, o subitem
montante, foi assim definido: “Montante é o total produzido por um capital mais o
juro que esse capital rendeu ao fim de um certo tempo” (p.217). Uma observação
logo a seguir tem os seguintes dizeres: “Quando o juro é calculado sobre um
montante então chama-se juro composto, ou juro sobre juro, que não será objeto
de nosso estudo” (p.217).
No item 138, “Juros simples”, tempo em meses e dias tem seu desfecho
com a fórmula de juros modificada, isto é, para o tempo em meses, o
denominador foi modificado de 100 para 1200, para o tempo em dias o
denominador foi modificado, de 100 para 36000. Isto quer dizer que:
1200 = 12 x100 (12 meses no ano); 36000 = 360 x 100 (360 dias no ano).
No item 139, “Fórmulas derivadas”, o autor partiu da fórmula fundamental,
isto é, a fórmula de juros, e para cada variável (capital, taxa e tempo)
64
disponibilizou a fórmula correspondente a cada uma delas. No item 140, “Resumo
de Formulário”, todas as fórmulas foram tabeladas em um quadro apresentado a
seguir (cópia parcial e reduzida):
(p.219)
No item 140/1, “Exemplos”, cinco exemplos foram detalhadamente
resolvidos. O primeiro exemplo tem o seguinte enunciado: “Calcular qual o tempo
necessário para que NCr$ 180,00 aplicado a 10% ao ano produza NCr$ 14,40 de
juros” (p. 220). Antes de resolvê-lo, o autor relacionou cada variável com os
valores disponíveis no problema. Depois, usando a fórmula para a incógnita
tempo, os valores foram distribuídos de acordo com as devidas variáveis e a
incógnita tempo (t), foi calculada de dois modos: o primeiro, usando tempo em
anos e segundo modo, em dias.
Os resultados são: 4/5 de anos e 288 dias. No entanto, nas duas soluções,
a resposta foi transformada para: 9 meses e 18 dias. Para os outros exemplos, as
incógnitas são: capital, tempo, comparação de melhor aplicação e montante, nos
problemas 2, 3, 4 e 5 respectivamente.
65
Obs: nomeio este item de 140/1 porque no livro há dois itens 141, portanto, deixo
esta numeração para o “juros simples pelos divisores fixos” devido a
disponibilização da cópia reduzida da página.
O item 141 foi abaixo reproduzido (cópia reduzida) para melhor
entendimento do mesmo.
(p. 224-225)
O item 142, “Exemplos”, é composto de três exemplos.
1º Que juros de mora deve-se cobrar de um título de NCr$ 1.200,00 quefoi pago com 20 dias de atraso?2º Que juro cabe a um cliente de um Banco que deixou depositadosNCr$ 360,00 durante 5 meses e 10 dias numa Conta Corrente popular(i = 6% a/a).3º Meu dinheiro esteve no Banco durante 4 meses e 15 dias e rendeuNCr$ 45,00 nesse tempo, numa Conta Corrente Comum (5% a/a).Quanto eu tinha depositado?(p. 225-226).
Todos eles têm solução esquematizada. Primeiro o autor relaciona cada
66
variável com o valor declarado no contexto, substitui os valores na fórmula
adequada e destaca em caixa de texto a resposta. As respostas destes exemplos
são: j = NCr$ 8,00 , j = NCr$ 9,60 e C = NCr$ 2.400,00 respectivamente.
O item 143, “Exercícios”, finaliza este item e também o capítulo, com 15
exercícios propostos. Deste total, os quatros primeiros são compostos de 5
subitens solicitando o cálculo da mesma variável. No primeiro, a incógnita é o
juro, no segundo, a taxa, no terceiro, o tempo de aplicação e no quarto, o valor do
capital. Do quinto ao décimo quinto, o exercício é descrito em forma de problema.
Por exemplo, o exercício 5: “Comprei ações de uma firma e ao fim de 15 meses
obtive com a venda das mesmas 9/6 do meu capital. Qual foi a taxa dos juros que
recebi?” (p.227). Todos os exercícios têm resposta.
Analisando:
• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: mobilizável.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: disponível. Antes de aplicar a fórmula, o aluno
precisa dispor do conhecimento de taxas e prazo, isto é, verificar se os
valores estão expressos na mesma unidade além de relacionar 9/6 como
coeficiente do capital.
Análise parcial: Neste livro o autor disponibiliza a teoria dos tópicos referentes
aos conteúdos Razões e Proporções iniciando-as por intermédio de situações-
problema com texto próximo do cotidiano do aluno, às vezes utilizando a
geometria como ponto de apoio para introduzir as técnicas algébricas de
resolução em alguns deles, assim como os conceitos de física. Nos exemplos e
exercícios resolvidos de cada tópico, o autor utilizou os três níveis de
67
conhecimento, segundo Aline Robert. Utilizou com maior freqüência o nível
técnico. Na resolução destes exemplos e ou exercícios resolvidos, ele utilizou
muito a modelagem proporcional e a modelagem algébrica (segundo Lins e
Gimenes). Quanto à redução a unidade, não registramos nenhuma vez o uso
desta técnica. A modelagem fracionária foi utilizada em alguns exemplos de nível
técnico, por exemplo, quando o enunciado do exercício pede para escrever razão
na forma irredutível. Em minha análise dos exercícios propostos, observei uma
freqüência expressiva do nível disponível seguida do nível mobilizável em relação
ao nível técnico na variável “Nível de conhecimento esperado no enunciado do
exercício”. Estes níveis também figuraram na variável “Nível de conhecimento
necessário para solucionar o exercício em relação às noções utilizadas” na
maioria dos exercícios selecionados, isto é, nesta variável o nível técnico não
figurou. Os textos das situações-problema envolvem na maioria deles, situações
próximas do conhecimento dos alunos, salvo algumas exceções já comentadas
anteriormente, por exemplo, o uso da expressão “firma em concordata”. Por ser
um livro escrito na década em que o tecnicismo predominava era esperado textos
não próximos do conhecimento dos alunos e o nível técnico nos exercícios
propostos com maior expressividade em relação aos outros dois, no entanto, esta
hipótese não foi confirmada.
4.2 Livro dos anos 80
No livro da 6ª série, da coleção Matemática, edição não consumível, 5ª
edição, editora Scipione, 1987, Fernando Frotta destinou o capítulo 6, para os
conteúdos “Razões e Proporções”. O livro é composto de sete capítulos. O
capítulo 5, que antecede ao capítulo 6, objeto de nosso estudo, traz o conteúdo
68
referente a “Sistemas de Equações do 1º grau a duas Incógnitas” e o capítulo que
o sucede é o de número 7 com conteúdos de geometria (ângulo, medida de
ângulo, operações com medidas de mistas, ângulos adjacentes, retas
perpendiculares, ângulos complementares, e ângulos suplementares).
O conteúdo “Razão” inicia-se na página 160, com o item 1, Razão entre
dois números. O autor introduz o conceito com o seguinte problema: “Numa
escola, estudam 180 alunos pela manhã, 60 alunos à tarde e 120 alunos à noite.
Logo, o total de alunos, que estudam na escola, é: 180 + 60 + 120 = 360” (p.160).
A partir daí, define razão estabelecendo as razões entre os alunos de cada
período e o total de alunos da escola.
Com outro subtítulo, que o autor denomina “Razões inversas”, faz analogia
usando as razões entre o número de alunos: da manhã pelo da noite e vice-versa.
Com isso conclui que o produto das duas razões encontradas é igual a 1, por isso
elas são inversas entre si.
Na seção Exercícios, 5 deles são propostos, o primeiro está em forma de
problema e os demais pedem que determine, calcule, etc. Por exemplo:
“2. Determine a razão entre os seguintes números: a) 80 e 48 ....” (p. 161)
Analisando:
• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: técnico
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: mobilizável. O aluno deve aplicar a definição de
razão e mobilizar seu conhecimento de redução de fração para a forma
irredutível.
69
3. Dada a razão 5/6, calcule a soma do triplo do seu conseqüente com o dobro do
seu antecedente”.
Analisando:• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: mobilizável.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: mobilizável. O aluno precisa conhecer o conceito de
múltiplos, distinguir o antecedente e conseqüente, somar os valores
encontrados para o antecedente e o conseqüente.
A seguir, do mesmo modo, ele disponibiliza mais 6 exercícios
complementares, sendo o primeiro também em forma de problema e tem o
seguinte texto:
6. Aurélio tem 144 bolinhas verdes, 120 bolinhas azuis e 96 bolinhasvermelhas. Determine as seguintes razões: a) entre o número debolinhas verdes e o número total de bolinhas; b) entre o número total debolinhas e o número de bolinhas vermelhas; c) entre o número debolinhas vermelhas e o número de bolinhas azuis
(p.161).
Analisando:
• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: mobilizável.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: mobilizável. O aluno deverá escrever a razão, depois
de adicionar o número de bolinhas verdes, azuis e vermelhas.
O 2º tópico, “Razão entre duas grandezas”, está divido em duas partes. A
primeira parte, “Razão entre duas grandezas de mesma espécie” é descrita do
seguinte modo:
Considere uma quadra de basquete, cujo comprimento é 28m e cujalargura é 14m. A razão entre o comprimento da quadra e a largura damesma é dada pelo quociente:
70
21428
14m28m
quadra da larguraquadra da ocompriment ===
Observe então que a razão entre duas grandezas da mesma espécie é oquociente dos números que medem essas grandezas, quando essasgrandezas são grandezas medidas com uma mesma unidade (p.162).
A segunda parte, “Razão entre duas grandezas de espécie diferentes”, é
descrita do mesmo modo que a primeira parte, dispondo o seguinte problema:
Considere que um automóvel, ao realizar uma viagem, percorre 195 kmem 3 horas. A razão entre o espaço percorrido pelo automóvel e o tempogasto no percurso, que é chamada de velocidade média do automóvel, édada pelo quociente:
65km/hh
km3
1953h
195kmpercurso no gasto tempo
percorrido espaço===
Observe então que a razão entre duas grandezas de espécies diferentesé formada pelo quociente dos números que medem essas grandezas,acompanhado do quociente das unidades em que as grandezas sãomedidas (p.162).
A seguir, na seção exercícios, 9 problemas são propostos, sendo que 6 são
exercícios complementares. Os problemas propõem nos enunciados que se
estabeleça razão entre: alturas de pessoas, uso de escalas, velocidade média,
razão entre salários de duas pessoas e densidade média. Por exemplo, o de
número 12: “A altura de Sr. Alcides é 1,80 m e a altura do seu filho é 1,20 m. Qual
é a razão entre a altura do Sr Alcides e a do filho?” (p. 162).
Analisando:
• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: técnico.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: técnico. Aplicar a definição de razão.
O conteúdo “Proporções” está disponível no 3º tópico, página 163,
iniciando com um problema que envolve a comparação da velocidade média de
dois automóveis, escritas na forma de razão (espaço percorrido/tempo gasto no
percurso). Após descrever as igualdades entre as duas razões com os devidos
71
números representativos do quociente entre o espaço percorrido e o tempo gasto
no percurso, o autor generaliza a igualdade usando as letras a,b,c,d no lugar dos
números anteriores, e antes de estabelecer a igualdade, descrevendo com
palavras, numa caixa de texto, os seguintes dizeres: “Se a, b, c e d são números
racionais não nulos, dizemos que eles formam, nessa ordem, uma proporção
quando a razão entre a e b é igual entre c e d” (p.164).
Num item, não numerado, denominado pelo autor de “Extremos e meios de
uma proporção”, ele descreve a igualdade entre as duas razões, denominando a
e d de extremos e b e c de meios.
Na seção “Exercícios”, o autor disponibiliza algumas razões, duas em cada
item, e solicita a verificação se as mesmas formam ou não formam uma
proporção. Em um outro, solicita para escrever como se lê e o último é para
indicar os meios e extremos de cada proporção. Na seção, “Exercícios
complementares”, exercícios com as mesmas características do propostos são
disponibilizados. Por exemplo: 26 “Indique os meios e os extremos de cada
proporção seguinte:
a) 1 : 9 = 9 : 81 b) 1210
65 = c) 7 : 8 = 21 : 24”.
Analisando:• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: técnico.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: técnico. Requer que o aluno simplesmente reconheça
quem são os meios e os extremos de uma proporção.
O 4º tópico, “Propriedade fundamental das proporções”, depois de mostrar
72
a igualdade ad = cb , a partir de dc
ba = , o autor expressa a igualdade com as
seguintes palavras em destaque (negrito) dentro de uma caixa de texto: “Em toda
proporção o produto dos extremos é igual ao produto dos meios”, em
seguida, fornece alguns exemplos numéricos, tais como: 4.52.10 pois 104
52 == .
Na seção, “Exercícios”, o autor sugere que seja usada a propriedade
fundamental e que verifique se a proporção é verdadeira ou falsa; que calcule o
valor do termo desconhecido e que resolva dois problemas. O de número 29 é:
“Um terreno de 8 m de frente por 25 m de fundo é representado num desenho
com 16 cm de frente. Com que medida o fundo do terreno é representado no
referido desenho?” (p.166).
Analisando:
• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: disponível.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: técnico. Basta o aluno aplicar a definição de
proporções e a propriedade fundamental.
O de número 30 é assim descrito: “Um automóvel realiza um percurso de
325 km em 5 horas. Que percurso realizará em 7 horas, mantendo a mesma
velocidade média do primeiro percurso?” (p.166).
Analisando:
• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: disponível.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: disponível. O aluno precisará saber o conceito de
73
velocidade média, escrever a proporção e aplicar a propriedade
fundamental para calcular o valor desconhecido.
Na seção, “Exercícios Complementares”, exercícios semelhantes são
solicitados, por exemplo, o de número 31 cujo enunciado tem o seguinte texto:
“Usando a propriedade fundamental, verifique se cada proporção seguinte é
verdadeira ou falsa: 1000125
8-1 c) 3
1:421:6 b) 8
9910a)
−==
−=− ” (p.166).
Analisando:
• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: técnico.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: técnico. Aplicação da propriedade fundamental das
proporções e depois decidir se a sentença é falsa ou verdadeira.
Já o de número 32, solicita que se calcule o termo desconhecido (x) nas
proporções. Dos problemas, o de número 36 tem o seguinte enunciado: “Um
trabalhador recebeu Cz$ 19.000,00 em 5 meses de trabalho. Quanto deverá
receber em 1 ano de trabalho, se mantiver o mesmo salário?” (p.166).
Analisando:
• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: disponível.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: disponível. O aluno precisa saber o que significa
salário médio e depois poderá resolver pela propriedade fundamental das
proporções.
74
No 5º tópico, “Quarta proporcional e terceira proporcional”, o autor
conceitua quarta e terceira proporcional, nesta ordem e exemplifica: “Na
proporção 32
64 = , o quarto termo, 3 , é quarta proporcional dos três primeiros, 4, 6
e 2” (p.167). Nas seções Exercícios e Exercícios complementares, propõe
exercícios com os seguintes enunciados: “Calcule a quarta proporcional dos
números .... e calcule a terceira proporcional dos números.... Por exemplo:
“39. Calcule a quarta proporcional dos números –16, –36 e –12” (p.167).
Analisando:
• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: técnico.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: técnico. O aluno precisa escrever a proporção e
aplicar a propriedade fundamental das proporções.
No 6º tópico, “Outras propriedades das proporções”, as propriedades de
soma ou diferença dos termos comparadas com eles mesmos são descritas
literalmente e exemplificadas. São elas:
1ª propriedadeEm toda proporção, a soma dos dois primeiros termos está para oprimeiro (ou para o segundo) assim como a soma dos dois últimostermos está para o terceiro (ou para o quarto).Utilizando símbolos matemáticos, temos:
ddc
bba
cdc
aba
dc
ba
+=+
+=+
⇒=
2ª propriedadeEm toda proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para oprimeiro (ou para o segundo) assim como a diferença dos dois últimostermos está para o terceiro (ou para o quarto).Utilizando símbolos matemáticos, temos:
ddc
bba
cdc
aba
dc
ba
−=−
−=−
⇒=
75
3ª propriedadeEm toda proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dosconseqüentes assim como cada antecedente está para o seuconseqüente.Utilizando símbolos matemáticos, temos:
dc
dbca
ba
dbca
dc
ba
=++
=++
⇒=
4ª propriedadeEm toda proporção, em que os conseqüentes são diferentes entre si, adiferença dos antecedentes está para a diferença dos conseqüentesassim como cada antecedente está para o seu. conseqüenteUtilizando símbolos matemáticos, temos:
dc
dbca
ba
dbca
dc
ba
=−−
=−−
⇒=
(p. 168-170)
Um dos exemplos é: “Observe o seguinte: da proporção 46
23 = decorre
23
4263 =
−− , ou seja,
23
23 =
−− , ou ainda,
46
4263 =
−− , ou seja,
46
23 =
−− ” (p.170).
Logo em seguida, nas seções “Exercícios” e “Exercícios Complementares”,
exercícios tal como:
“55. Determine m e n na proporção 24n
72m = , sabendo que m – n = 6” (p.170).
Analisando:• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: disponível.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: disponível. O aluno poderá resolver aplicando a
propriedade adequada ou de outra forma sem ser esta.
Alguns problemas fazem parte dos 15 exercícios disponibilizados, como
por exemplo: “O sr. Osório é 45 cm mais alto do que seu filho e a razão entre
suas alturas é 4/3. Qual é a altura de cada um?” (p.171).
76
Analisando:• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: disponível.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: mobilizável. O aluno precisa relacionar as alturas,
identificando que uma delas é 45 cm maior, em seguida escrever uma
proporção entre as alturas e a razão dada 4/3 e finalmente aplicar a
propriedade fundamental das proporções.
No 7º tópico, “Grandezas e números diretamente proporcionais”, encontra-
se na introdução ao conceito, uma consideração sobre a razão entre o espaço
percorrido e o tempo gasto no percurso Com esta razão, o autor estabelece
igualdade entre ela e seu dobro, triplo etc. Logo a seguir, generaliza o conceito de
grandezas diretamente proporcionais numa caixa de texto com as seguintes
frases: “Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando-se
uma delas, a outra aumenta na mesma razão da primeira” (p.172).
Usando os mesmos valores, o autor, após escrever novamente as razões,
coloca-as em forma de sucessão, partindo logo a seguir para uma forma geral
literalmente. Em uma caixa texto escreve: “a, b, c, d, e, ... são números
diretamente proporcionais a a’, b’, c’, d’, e’, ... quando:
......e'e
d'd
c'c
b'b
a'a ===== ” (p.172).
Conservando o mesmo critério empregado nos itens anteriores, nas seções
Exercícios e Exercícios complementares, ele disponibiliza uma série de 12
problemas, sendo um deles com o seguinte enunciado: “74. Reparta 240 em
partes diretamente proporcionais a 2, 3, 5 e 10” (p.173).
77
Analisando:• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: mobilizável.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: mobilizável. O aluno aplica a definição de sucessões
mobilizando seus conhecimentos de incógnitas e das propriedades das
proporções.
Para o 8º tópico, “Grandezas e números inversamente proporcionais”, o
autor descreve o conceito do mesmo modo que no item anterior e o introduz com
o seguinte texto:
Quando um automóvel percorre um certo espaço num determinadotempo, definimos velocidade média da seguinte forma:
média velocidadepercurso no gasto tempo
percorrido espaço= , ou seja:
espaço percorrido = velocidade média X tempo gasto no percurso.(p.173)
Logo em seguida, um exemplo com números é disposto do mesmo modo.
Na caixa de texto, para conceituar este item, disponibilizou o seguinte
texto: “Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando-se
uma delas, a outra diminui na mesma razão da primeira” (p.174).
Quanto à caixa de texto da sucessão numérica, esta tem os seguintes
dizeres: “a, b, c, d, e, .... são números inversamente proporcionais a a’, b’, c’, d’,
e’, .... quando axa’= bxb’= cxc’= dxd’= exe’= ..., ou seja,
....
e'1e
d'1d
c'1c
b'1b
a'1a ===== .(p.174).
Na seção “Exercícios” e “Exercícios Complementares”, 11 problemas são
78
propostos. Os de números 77 e 81 envolvem velocidade média e tempo. Os
demais exercícios destas seções têm enunciados tais como: “79. Divida o número
81 em partes inversamente proporcionais a 4 e 5” (p.174).
Analisando:• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: mobilizável.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: mobilizável. O aluno precisa aplicar a definição de
divisão de grandezas inversamente proporcionais e mobilizar seus
conhecimentos sobre operações com números racionais escritos na forma
de fracionária.
O problema 87 tem o seguinte enunciado:
A Federação de Futebol resolveu distribuir um total de Cz$ 44 000,00para premiar os 3 jogadores mais disciplinados do campeonato. Oprêmio para cada jogador foi inversamente proporcional ao número deexpulsões que ele teve no campeonato. Foram premiados os jogadores:Djalma, com uma única expulsão, Ademir com duas expulsões e Cláudiocom três expulsões. Qual o prêmio que cada jogador recebeu?
(p.175).
Analisando:• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: disponível.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: disponível. O aluno poderá escrever os dados
conforme modelo anterior, mobilizar seus conhecimentos com operações
de números racionais fracionários e resolver o solicitado.
O 9º tópico, “Regra de três simples”, foi introduzido com o seguinte
problema: “Um automóvel percorre 160 km em 2 horas. Mantendo a mesma
velocidade média, quantos quilômetros percorrerá em 5 horas?” (p.175).
79
Um outro problema é resolvido como exemplo, e também envolve
velocidade média, para exemplificar as grandezas inversamente proporcionais. O
enunciado do problema tem em seu enredo: velocidade média e o tempo gasto
para um certo percurso. A pergunta é a seguinte: se aumentar a velocidade
média, quantas horas serão gastas para percorrer o mesma distância?
Continuando neste item, o autor descreve a resolução dos dois problemas
anteriores em uma seção que denominou “regra prática”. Nela, ele mostra o uso
de flechas como artifício para a interpretação de problemas em geral, usando os
dois exemplos dados. Um é da forma de problema que envolve grandezas
inversamente proporcionais. Para resolvê-lo, o autor usou fechas como um
recurso para comparar as grandezas, comentando que as flechas são
discordantes e logo a seguir, inverteu a razão que tem como conseqüente a
incógnita x, aplicou a propriedade fundamental das proporções e calculou a
resposta.
Nas seções “Exercícios” e “Exercícios Complementares”, quinze problemas
são propostos, os de números 88 à 102. Nos exercícios de números: 88, 89, 94,
95 e 102, velocidade média e tempo são comuns em seus textos.
Nos problemas 90 e 96, o autor usou um texto sobre pontos feitos por um
jogador e número de partidas de basquete. Os problemas de números 91 e 98
envolvem como variáveis, o número de homens e dias trabalhados. Os problemas
de números 92 e 100 envolvem número de torneiras e tempo em minutos. “Se 12
bastões de cola custam Cz$ 102,00, quanto custarão 31 bastões?” (p.177), assim
configura-se o texto do problema 93.
80
Analisando:
• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: disponível.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: mobilizável. O aluno precisa mobilizar o conceito de
regra de três com grandezas diretamente proporcionais e resolver uma
equação.
O problema 97 compõe-se das medidas dimensões de um terreno em
metros sendo comparadas com as dimensões no desenho (em centímetros). O
problema 99 tem o seguinte texto: “Um relógio adianta 40 segundos em 3 dias.
Quantos minutos adiantará em 27 dias?” (p.178).
Analisando:• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: disponível.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: disponível. Depois do aluno aplicar o conceito de
regra de três simples com grandezas diretamente proporcionais e precisará
disponibilizar seu conhecimento de converter segundos em minutos para
resolver o exercício.
O problema 101 tem o enunciado seguinte:
“Um jornaleiro pagou Cz$ 225,00 por 50 exemplares de determinado jornal. Com
Cz$ 382,50, quantos exemplares o jornaleiro poderia comprar?” (p.178).
Analisando:• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: disponível.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: disponível. O aluno precisará aplicar o conceito de
81
regra de três simples para grandezas diretamente proporcionais e resolver
uma equação. Este problema pode ser resolvido reduzindo-se o número de
jornais a uma unidade.
O 10º tópico, “Proporção com mais de duas razões”, foi introduzido por
meio de um problema, cuja solução foi feita em etapas e com representação
geométrica. O enunciado e solução do exemplo podem ser observados a seguir:
Um terreno de 8 m de frente por 30m de fundo custa Cz$ 12000,00. Nomesmo loteamento, quanto custará um terreno de 16m de frente por 90m de fundo?Vamos representar o terreno menor através do seguinte desenho:
Resolvemos o nosso problema em duas etapas.1ª etapa: Mantendo a medida 30m de fundo, vejamos quanto custará umterreno intermediário de 16 m de frente. É fácil ver que este terreno éformado por dois terrenos de 8m por 30m. Então o preço do terreno é odobro do preço do terreno menor, ou seja, 2 . Cz$ 12 000,00 = Cz$24 000,00.Observe que, mantendo a medida de fundo constante, os preços são
diretamente proporcionais às medidas de frente: 882
12000120002 ⋅=⋅
2ª etapa: mantendo agora a medida 2 8m = 16 m de frente, vejamosquanto custará o terreno maior, de 90m de fundo. É fácil ver que estenovo terreno é formado por três terrenos de 16m por 30m. Então o preçodo terreno maior é o triplo do preço do terreno intermediário, ou seja, 3.2.Cz$ 12 000,00 = 6.Cz$ 12 000,00 = Cz$ 72 000,00.Observe que, mantendo a medida de frente constante, os preços são
diretamente proporcionais às medidas de fundo: 30303
1200021200023 ⋅=
⋅⋅⋅ .
Veja agora o esquema que relaciona os terrenos maior e menor:
30303
fundo
8
82frente
12000
120006preço
menor terrenomaior terreno ⋅⋅⋅=
Observe que neste último caso, em nenhuma das três grandezas foimantida constante, temos as seguintes conclusões: - Os preços não são diretamente proporcionais às medidas de frente; - Os preços não são diretamente proporcionais às medidas de fundo; - Os preços são diretamente proporcionais aos produtos das medidas
de frente pelas medidas de fundo: 308
3038212000120006
⋅⋅⋅⋅=⋅ .
(p.178-180)
82
Após estas conclusões, a seguinte propriedade foi então enunciada: “Se, fixando
C, A é diretamente proporcional a B e se fixando B, A é diretamente proporcional
a C, então A é diretamente proporcional ao produto de B por C” (p.180).
Nas seções “Exercícios” e “Exercícios Complementares”, têm-se os
problemas de números 103 ao 111. Os problemas 103, 107 e 108 têm enunciados
semelhantes ao do exemplo dado na introdução do tópico. Os problemas 104 e
109 envolvem as variáveis dimensões e valor de um tecido. Os problemas 105,
106, 110 e 111 têm enunciados semelhantes. O enunciado do problema 110 é o
seguinte:
“Um automóvel percorre um espaço de 750 km. Quanto percorrerá, se dobrarmos
a sua velocidade média e reduzirmos à terça parte o tempo de percurso?” (p.181).
Analisando:• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: disponível.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: disponível. O aluno poderá utilizar seu
conhecimentos sobre espaço, velocidade média, múltiplos e submúltiplos e
de grandezas inversamente proporcionais.
No tópico 11, “Regra de três composta”, o autor complementa a introdução
feita no tópico anterior, “Proporção com mais de duas razões”, descrevendo uma
regra prática para facilitar a resolução de problemas. Por exemplo:
1º problema:Um operário ganha Cz$ 600,00 trabalhando 10 h por dia durante 15 dias.Quanto ganharia, se trabalhasse 8 h por dia durante 20 dias?Vamos chamar de x o valor desconhecido.De maneira semelhante à usada na regra de três simples, temos: quantia horas por dia dias1ª situação 600,00 10 152ª situação x 8 20
83
Agora colocamos uma flecha em qualquer sentido (por exemplo, parabaixo), ao lado da coluna que contém o x.Mantendo o número de dias fixo, a quantia recebida pelo operário serádiretamente proporcional ao número de horas, que ele trabalha por dia;colocamos então, na 2ª coluna, uma flecha concordante com a primeira.Mantendo o número de horas por dia fixo, a quantia recebida pelooperário será diretamente proporcional ao número de dias trabalhados;colocamos então, na 3ª coluna, uma flecha concordante com a primeira.Teremos então:
Quantia horas por dia dias1ª situação 600,00 10 152ª situação X 8 20
Em seguida, montamos uma produção igualando a razão, que contém x,com o produto das outras razões, mantendo a disposição dos números;teremos:
2015
810
x600,00 ⋅=
E, finalmente, resolvendo a proporção, encontramos:
22015
810
x600,00 ⋅=
15x = 600,00.8.215x = 9600,00
159600,00x =
x = 640,00Logo, se trabalhasse 8 h por dia, durante 20 dias, o operário ganhariaCz$ 640,00 (p. 182).
O segundo exemplo foi resolvido usando-se a mesma regra, no entanto
houve a necessidade de inverter uma das razões, pois a flecha correspondente a
esta razão é discordante daquela que contém a incógnita.
Nas seções “Exercícios” e “Exercícios Complementares”, 9 exercícios em
forma de problema foram propostos. Os de números 112, 113, 116 e 120 têm
como variáveis: operários, horas trabalhadas por dia e número de dias.
Os problemas de números 115 e 119 envolvem as mesmas variáveis, gato
e rato, isto é, o enunciado do 115 é: “Um gato e meio come um rato e meio em
um minuto e meio. Em quanto tempo um gato come dois ratos?” (p.183).
Analisando:
• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: disponível.
84
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: disponível. O aluno precisa dispor de seu
conhecimento de abstração para poder organizar os dados do problema e
aplicar o conceito de proporções com mais de duas razões.
considerações: O enunciado com texto fora da realidade, ou seja, “um gato e
meio”, “um rato e meio” não correspondem a situações possíveis de serem
vivenciadas.
O problema 114 tem os seguintes dizeres: “Para revestir um muro de 16 m
de comprimento e 2,5 m de altura, usamos 84 kg de reboco. Quantos quilos de
reboco devemos usar para revestir um outro muro de 25 m de comprimento e 2 m
de altura? (p.183).
Analisando:
• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: disponível.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: mobilizável. O aluno deverá resolver este exercício
aplicando conceito de regra de três composta e resolver uma equação.
O tópico 12, “Porcentagem”, inicia-se com a seguinte definição: “Uma
fração em que o denominador é 100 chama-se porcentagem” (p.184). Um
exemplo é dado na forma de fração centesimal, na forma de taxa porcentual, na
forma de número decimal e como se lê o número escrito na forma de taxa
porcentual. O exemplo é:
Uma fração em que o denominador é 100 chama-se porcentagem. Umafração. Por exemplo, como 100
37 , é uma porcentagem e pode também
ser indicada por 37%, que se lê trinta e sete por cento
85
Observe que:
0,3737%10037 ==
A forma de representação 10037 chama-se fração decimal.
A forma de representação 37% chama-se taxa porcentual.A forma de representação 0,37 chama-se numeral decimal (p.184).
Nas seções “Exercícios” e “Exercícios Complementares”, 30 exercícios são
propostos, sendo que 16 deles envolvem situações-problema. Por exemplo, o de
número 134, enuncia-se: “Em março, João pagou 40% de uma dívida, em abril
pagou 25% da mesma dívida e ainda ficou devendo Cz$ 280,00. Qual era o valor
total da dívida de João?” (p.185).
Analisando:• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: disponível.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: disponível. O aluno poderá resolver este problema
por métodos não previstos, por exemplo, subtrair de 100% a soma das
porcentagens já pagas, dividir 280 por esta porcentagem e o resultado
multiplicar por 100, obtendo com estas operações a solução esperada e
sempre aplicando o conceito de porcentagem.
Os enunciados dos exercícios de números 121, 122, 123, 124, 125, 135,
136, 137, 138 e 139 solicitam a transformação em taxa porcentual ou fração
centesimal ou numeral decimal. Os demais são semelhantes ao problema de
número 134, anteriormente descrito.
O autor encera este capítulo com o tópico 13, “Juros Simples”, iniciando-o
com o problema abaixo, que foi resolvido detalhadamente, com objetivo de
86
deduzir a fórmula do juros simples j = c.i.t.
Quando pedimos emprestado a um banco a quantia de Cz$ 50.000,00 àtaxa de 9% ao mês, depois de 1 mês, devemos devolver ao banco osCz$ 50.000,00 acrescidos de um “aluguel”, que pagamos ao banco pornos ter emprestado o dinheiro. Este “aluguel” é calculado pela taxa de9% de Cz$ 50.000,00, ou seja:
1009
.50000,00 = 4500,00
Portanto, devemos pagar de “aluguel” ao banco Cz$ 4500,00.A quantia solicitada ao banco, Cz$ 50000,00 no nosso caso, é chamadade capital, e representada pela letra c.A taxa que o banco cobra, 9% ao mês no nosso caso, é representadapela letra i.E o “aluguel” pago ao banco, Cz$ 4.500,00 no nosso caso, é chamadode juros simples, e representado pela letra j.Então, como você pode observar, depois de 1 mês, o juro simples écalculados através da fórmula:
j = i . cou, usando a propriedade comutativa da multiplicação, j = c . i.Observe agora que se mantivermos o capital de Cz$ 50.000,00 à taxa de9% ao mês, mas dobrarmos o tempo de “aluguel” para 2 meses,evidentemente os juros simples dobrarão: j = c . i . 2.Da mesma maneira, se mantivermos o capital de Cz$ 50.000,00 à taxade 9% ao mês, mas triplicarmos o tempo inicial de “aluguel” para 3meses, evidentemente os juros simples iniciais triplicarão: j = c . i . 3.E ainda, se mantivermos o capital de Cz$ 50.000,00 à taxa de 9% aomês, mas estendermos o tempo de “aluguel” para 1 ano (ou seja, 12meses), evidentemente os juros simples iniciais ficarão multiplicados por12: j = c . i . 12.De uma maneira geral, um certo capital c, emprestado á taxa i, duranteum tempo t, acarreta juros simples j, assim: j = c . i . t .Observação: Na fórmula anterior, i é uma taxa porcentual que se refere aum período de tempo, que deve estar na mesma unidade que t. Noúltimo exemplo, em que i = 9% ao mês, usamos na fórmula t = 12 mesese não t = 1 ano (p.186).
Os exercícios propostos têm enunciados semelhantes ao do exemplo
acima. No entanto, o que muda em cada um deles é a incógnita, isto é, nos de
números 151, 152, 153, 157, 158, 159, 160 e 161, é o valor do juro simples a
incógnita, já nos de números 154 e 163, a incógnita é o prazo. Nos de números
155 e 164, a incógnita é a taxa porcentual e, os de números 156 e 165, a
incógnita é o capital. O problema 162 tem o seguinte enunciado:
“Pedi emprestado Cz$ 80.000,00 a um banco, à taxa de 7,5% ao mês. Ao
fim de 15 meses, quanto devolvi ao banco?” (p.187).
87
Analisando:
• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: mobilizável.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: mobilizável. O aluno precisa verificar se a taxa e o
tempo estão expressos na mesma unidade de medida, decidir se usará a
taxa de juros na forma decimal ou fracionária, substituir os valores na
fórmula e calcular o resultado dos juros para, logo em seguida, somar este
valor ao capital inicial e obter o valor a ser devolvido ao banco.
Na seção “Revisão”, 18 exercícios envolvendo todos os itens sobre os
conteúdos razão e proporção são propostos. O enunciado do exercício 166
apresenta uma escala, a medida de um segmento e pede o tamanho real. O de
número 167 fornece o tamanho de um segmento, a escala e pede o tamanho no
desenho. Os exercícios 168 e 169 têm a velocidade média, tempo e espaço em
seus textos. Os exercícios 170 e 171 pedem para determinar o valor de x numa
proporção.
O exercício 172 apresenta 4 proporções e pede para dizer qual delas é
contínua.
O exercício 173 tem como objetivo indicar qual afirmativa é falsa, dada a
proporção dc
ba = , com b ≠ 0 e d ≠ 0. Os exercícios 174, 175, 176 envolvem o
conceito de sucessões direta ou inversamente proporcionais. Disponibilizamos
cópia da página do livro que contém os exercícios de número 178 ao 183 na
página a seguir:
88
(p.189)
Analisando:• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício 178:
disponível.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: disponível. Ao interpretar o problema, o aluno
disponibilizará o conceito de grandezas inversamente proporcionais. Daí
então, ele poderá resolver o problema de várias formas, ou seja, aplicar
métodos não previstos, como por exemplo, multiplicar 3h por 60 km/h
encontrando com esta operação a distância da viagem, logo a seguir dividir
este valor por 80 km/h obtendo o tempo gasto na viagem e por fim calcular
a diferença deste valor com as 3 horas previstas inicialmente para então
89
finalmente responder as duas perguntas.
Analisando:• Nível de conhecimento esperado nos enunciados dos exercícios 179, 180
e 183: mobilizável.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar os exercícios em
relação às noções utilizadas: mobilizável. O aluno deverá escrever a razão
correspondente à figura e mobilizar seu conhecimento do conceito de
porcentagem para encontrar a resposta dos exercícios.
Analisando:• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício 181 e 182:
técnico.
• Níveis de conhecimento necessários para solucionar o exercício em
relação às noções utilizadas: técnico. O aluno aplica diretamente o
conceito de porcentagem.
Análise Parcial: Este livro apresenta pouquíssimos exemplos e nenhum exercício
resolvido. A teoria dos assuntos referentes aos conteúdos Razões e Proporções é
feita, na maioria das vezes, por intermédio de situações-problema que são
resolvidas em detalhes servindo de modelo para a seção “Exercícios”. Esta seção
acredito ser reservada para o trabalho do professor em sala de aula, pois não há
respostas para os exercícios que apresenta. Já a seção “Exercícios
Complementares” parece reservada para a tarefa de casa, isto é, exercícios
propostos para o aluno, pois as respostas estão nas páginas 215-216. Não há
demonstrações de propriedades e nem pede que se faça demonstrações nos
exercícios. Quanto à variável “Nível de conhecimento esperado no enunciado do
exercício”, o nível disponível foi o mais freqüente, seguido pelo nível técnico. O
90
nível mobilizável e técnico tem igual figuração, já o nível disponível tem uma
expressiva figuração. Na variável “Nível de conhecimento necessário para
solucionar o exercício em relação às noções utilizadas”, o mobilizável aparece
com freqüência superior aos outros níveis, havendo equilíbrio entre os níveis
técnico e disponível.
4.3 Livro dos anos 2000
No livro da 6ª série, da coleção Matemática na Medida Certa, editora
Scipione, 8ª edição, 2003, os autores Marília Centurión, José Jakubovic e Marcelo
Lellis sistematizam o livro em sete capítulos. O capítulo 3, “Equações”, antecede e
o capítulo 5, “Geometria”, sucede o capítulo 4, “Razões, proporções e
porcentagens”.
O conteúdo “Razões” inicia-se na página 152, parágrafo 1, com o seguinte
texto: “Vamos estudar uma maneira de comparar quantidades. Logo você verá
que esse é um dos assuntos da matemática mais utilizados na vida diária”. Para
desenvolver o conceito, eles criaram a seguinte situação-problema: “Imagine esta
situação: você tem R$ 18,00 e eu tenho R$ 6,00. Podemos comparar essas
quantias com uma divisão: 18:6 = 3”. A partir daí, fazem comentários sobre essas
quantidades sempre usando o conceito de razão como fator de interpretação.
Depois da exploração numérica, tem-se a seguinte definição: “Dados dois
números, a e b, com b diferente de zero, a razão de a para b é o quociente da
divisão a:b”(p.152). Tem-se a seguir as três maneiras de se escrever a razão
entre dois números.
Em destaque numa caixa de texto, vem a seção “Você sabia?” com o
91
seguinte texto: “A palavra razão vem de ratio, que em latim significa divisão. Daí
vêm, por exemplo, as palavras rateio (de um prêmio) e racional. Número racional
é o que se pode representar por uma divisão de inteiros” (p.152).
Com o subtítulo, “Razões Inversas”, outro texto é apresentado: “Ao
escrevermos uma razão, devemos prestar atenção na ordem em que a
comparação é feita. Por exemplo: Tio Patinhas tem 4,5 milhões de dólares e seu
principal concorrente só tem 3 milhões de dólares” (p.153) originam duas razões,
uma usando o valor da fortuna do tio Patinhas como antecedente e o valor da
fortuna do seu concorrente como conseqüente, a outra usando o valor da fortuna
do concorrente como antecedente e o valor da fortuna do tio Patinhas como
conseqüente.
A solução é então disponibilizada, as razões são comparadas e definidas
como razões inversas. Logo a seguir, o seguinte texto encerra este item: “Uma
razão é a razão inversa de outra quando o produto das duas dá 1” (p.153).
Outro item, com o título: “Aplicação das razões” é desenvolvido utilizando-
se situações-problema como exemplo:Márcia decidiu: a razão entre suas horas de estudos e as de descansoserá de 2/5! Aí, ela estudou 3 horas sem parar. Quantas horas poderá,então, descansar?Vamos chamar de x essas horas de descanso. Sabemos que a razãoentre o tempo de estudo e o de descanso é de 2/5. Isso significa que:
5
2
x
3 : Assim
5
2
descanso de tempo
estudo de tempo==
Agora, temos uma equação na incógnita x. Para resolve-la, vamos usara multiplicação em cruz:
532x52
x3
⋅=⇒= Portanto, 2x = 15 Então, x = 7,5
Então, Márcia poderá descansar 7 horas e meia (p.153).
Na página seguinte tem-se cópia da seção “Atividades”:
92
(p.154-155)
Analisando:
• Nível de conhecimento esperado nos enunciados dos exercícios 1, 2, 7 e
9: técnico.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar os exercícios em
relação às noções utilizadas: mobilizável. O aluno aplica o conceito de
razão e mobiliza seus conhecimentos de simplificar e converter números
racionais (fração para decimal). No 9, descobrindo a razão entre as
massas e os valores, uma subtração define o sabão mais barato.
Analisando:• Nível de conhecimento esperado nos enunciados dos exercícios 3, 4, 6 e
93
8: mobilizável.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar os exercícios em
relação às noções utilizadas: mobilizável. O aluno deve aplicar a definição
de razão e mobilizar seus conhecimentos de acordo com o exemplo dado
anteriormente.
Analisando:
• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício 5: disponível.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: disponível. O aluno poderá aplicar o conceito de
igualdade entre razões, pois existem outras formas de resolve-lo.
Na seção “Pensando em casa”, tem-se 7 problemas contextualizados, por
exemplo o de número 16, (cópia disponível a seguir):
(p. 156)
Analisando:
94
• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: disponível.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: mobilizável. Para a solução deste exercício o aluno
deverá mobilizar seu conhecimento do conceito de taxa e aplicar a
definição de razão.
Na seção “Desafios e surpresas”, o seguinte desafio foi lançado: “A razão
entre os números a e b é 1,6. Também na forma decimal, escreva a razão entre b
e a” (p.156).
Analisando:
• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: mobilizável.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: mobilizável. O aluno escreve a igualdade entre a
razão de a para b e iguala ao número 1,6, a seguir mobiliza seus
conhecimentos de números racionais e equações e resolve o desafio.
No 2º tópico, com o título “Escalas”, os autores disponibilizaram uma
gravura com a figura de um desenhista debruçado em sua prancha de desenho e
ao lado uma planta de um escritório. Logo abaixo o texto: “Para retratar o
escritório sem distorções, a planta é feita cuidadosamente. Nesse caso, todos os
comprimentos reais foram divididos por 400” (p.157). Depois, o desenho foi feito
com as medidas obtidas nessas divisões que serviram de argumentos para a
definição de escala. Na generalização do conceito, o texto teve os seguintes
dizeres: “Na escala 1:n, tem-se: n1
real .compdesenho no rimentocomp = ” (p.157). A seguir
dois exemplos com resolução nos quais estão indicados com os produtos dos
meios e dos extremos Por exemplo: “ n1
real comp.desenho no ocompriment =
95
n1
2004:então = . Portanto, n = 50. A escala é 1:50” (p.158).
Na seção de Atividades, seis problemas são propostos com soluções
semelhantes aos exemplos dados. O problema 17 tem o seguinte texto: “A planta
de uma casa está na escala 1 : 50. Um comprimento de 8 cm na planta
corresponde a quantos metros na realidade?” (p.158). O desenho da planta da
casa vem logo após o texto.
(p. 158)
No problema 18, são fornecidos o comprimento de um terreno e o
comprimento correspondente na planta e pede-se para calcular a escala. No
problema 19, é apresentada a escala do desenho e pede-se para identificar se é
um gato ou uma onça e o comprimento do animal. No problema 20, são
disponibilizados o comprimento de uma sala, a escala do desenho e pede-se para
calcular a medida da sala no desenho. O problema 21 tem o seguinte enunciado:
“Um menino tem 1,60 m de altura. Vou desenhá-lo na escala 1:10. No desenho, a
altura dele terá quantos centímetros” (p. 158).
Analisando:• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: mobilizável.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: mobilizável. A aluno precisa mobilizar seu
conhecimento de igualdade entre razões aplicar o conceito de escala.
96
Na seção “Pensando em casa”, mais seis problemas são propostos. Por
exemplo, o problema 27 está assim enunciado:
A frente de uma casa tem 10 m de comprimento e 3 m de altura. Voudesenha-la em uma folha do mesmo tamanho que a folha deste livro.a) Se eu usar a escala 1 : 20, o desenho caberá na folha?b) E se eu usar a escala 1 : 10?
(p.159)
Analisando:• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: mobilizável.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: mobilizável. O aluno deve medir os comprimentos da
folha e daí decidir como fazer os cálculos para obter a resposta. Por
exemplo, ele pode medir a largura da folha do livro e multiplicar este valor
por 20 e 10, converter para metros. Com esta atitude, ele terá a resposta
para os dois itens.
O 3º tópico, “Proporções”, foi assim introduzido (figuras abaixo):
(p.160)
Relacionando as duas razões entre o comprimento e a altura do cavalo, é
determinada a diferença entre o quociente das duas razões e concluem que
97
fazendo assim provoca-se uma desproporção. A seguir, propõe como deveriam
ter sido feitos os cálculos. A conclusão “quando os desenhos são proporcionais,
as razões são iguais” é disponibilizada e a definição de proporção é dada na
seqüência com o seguinte texto: “Proporção é uma igualdade entre duas razões.
Lê-se a proporção dc
ba = deste modo: a está para b assim como c está para, ou
então, a e b são proporcionais a c e d ” (p.161).
Na página seguinte, dois exemplos numéricos antecedem à propriedade
fundamental das proporções, assim descrita:
Considere a proporção: dc
ba =
Nela, podemos usar a multiplicação em cruz:
dc
ba
= Assim: ad = bc
Como essa propriedade é uma característica de qualquer proporção,podemos utilizá-la para verificar se certos números formam ou não umaproporção (p.162).
Dois exemplos numéricos são dados precedendo a seção “Aplicação das
proporções”. Nesta seção, um problema utilizando litros de álcool e litros de
gasolina é resolvido como exemplo. O texto é assim descrito: “Uma indústria
prepara combustível, utilizando álcool e gasolina em quantidades proporcionais a
3 e 7. Com 3600 litros de álcool, quantos litros de gasolina devem ser
misturados?” (p.162).
Nas seções “Atividades” e “Pensando em casa”, dezessete exercícios são
propostos, sendo 8 deles em forma de problema envolvendo geometria e contexto
do cotidiano. Por exemplo, o de número 33, tem o seguinte enunciado: “Para
fazer um refresco de caju, misturamos suco concentrado e água, na proporção de
98
2 para 5. Então, com quantos copos de água devem ser misturados em 3 copos
de suco concentrado?” (p.163).
Analisando:• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: disponível.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: mobilizável. O aluno deve aplicar a definição de
proporção. Mobilizar a propriedade fundamental das proporções e
adicionar a quantidade de concentrado para obter o novo denominador.
Na seção “Desafios e surpresas”, um problema do livro de Malba Tahan é
proposto. Malba Tahan é o pseudônimo de um professor de matemática
brasileiro, autor de livros interessantes, cheios de problemas surpreendentes. A
idéia deste problema vem de um de seus livros:
No deserto, um matemático e seu amigo socorrem um viajante quemorria de fome. O matemático tem 5 pães e o amigo tem 3. Eles juntamos pães, dividem em três partes iguais e cada um come 8/3 atéchegarem em uma cidade.O viajante era, na verdade, um rico príncipe. Para recompensar seussalvadores, deu 5 barras de ouro ao matemático e 3 barras de ouro aoamigo do matemático, dizendo:- Essas recompensas são proporcionais ao que vocês me deram.- Então, o senhor se enganou, disse o matemático. Essas recompensassão proporcionais ao que tínhamos, e não ao que lhe demos.O matemático tem razão. O amigo dele tinha 3 pães e comeu 8/3, e issoé quase 3. Ou seja, ele não deu quase nada ao príncipe! Se asrecompensas fossem proporcionais ao que o matemático e o amigoderam ao príncipe, quanto cada um deles receberia? (p.165).
Na página seguinte (do livro), na seção “Ação sobre Razões e Proporções”,
uma atividade em dupla é solicitada. Esta atividade envolve recortes de revistas
ou fotos, com os quais os alunos terão, depois de colar num papel quadriculado,
reproduzí-las em tamanho maior.
No tópico 4, “Grandezas direta e inversamente proporcionais”, figuras
geométricas, isto é, cubos representando reservatórios de água, complementam a
99
figura de um menino manipulado uma torneira e o seguinte texto descreve a
situação: “Abre-se uma torneira e ela começa a encher o reservatório mostrado
nas figuras. De tempos em tempos, mede-se a altura da água” (p.167). Os dados
são colocados em uma tabela e usados como exemplo numérico para o
desenvolvimento do conceito de grandezas diretamente proporcionais. Já para as
grandezas inversamente proporcionais, foi usado “prêmio da loteria esportiva”
como variável e o problema tem o seguinte texto: “Dessa vez, o prêmio da loteria
esportiva será de R$ 1.200.000,00. Ele será dividido pelo número de acertadores”
(p.168).
No exemplo 1, as grandezas tempo e comprimento fizeram parte do
problema. Nele, um reservatório está sendo abastecido por uma torneira e a
altura da água é medida a cada 15 minutos. Portanto as razões entre os tempos
são igualadas às razões entre as alturas, respectivamente, dos cubos
representativos do reservatório depois de cada intervalo de 15 minutos de modo
que a simplificação das duas razões gerem uma mesma razão.
A solução do problema foi descrita de forma detalhada e, ao final, há a
seguinte consideração: “Há situações em que grandezas variam sempre na
mesma razão. Neste caso, as grandezas são diretamente proporcionais” (p.167).
No exemplo 2, números de ganhadores e rateio de loteria esportiva são
relacionados em uma tabela formando sucessões inversamente proporcionais,
pois a razão entre os números de ganhadores e o rateio da loteria esportiva indica
que aumentando o número de ganhadores, diminui o valor que cada um receberá.
Esta situação foi pormenorizada em detalhes e, ao final, há a seguinte
100
consideração: “Há situações em que duas grandezas variam sempre uma na
razão inversa da outra. Neste caso, as grandezas são inversamente
proporcionais” (p.169).
Nas seções “Atividades” e “Pensando em casa”, 13 problemas são
propostos. Por exemplo: no problema 47, há o seguinte texto: “O tempo
necessário para encher um tanque de água é direta ou inversamente proporcional
à vazão da torneira?” (p.170).
Analisando:• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: técnico.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: técnico. O aluno só precisa saber o conceito de
grandezas inversamente proporcionais.
O problema 48 apresenta uma tabela com número de pintores e tempo em
dias e três perguntas dissertativas são solicitadas em relação às razões que são
formadas com o dados disponíveis. (p.170). No problema de número 49, o
contexto relaciona duas grandezas, A e B, uma tabela com os valores 12 e 300,
36 e 100, 48 e 75, respectivamente, e a pergunta é: “As grandezas A e B são
direta ou inversamente proporcionais? Justifique sua resposta” (p.170).
O problema 50 tem o seguinte enunciado:
Suponha que todas pessoas tenham apenas notas de R$ 10,00.a) Alice tem o dobro de notas de Bruna. Terá também o dobro dodinheiro?b) Bruna tem o triplo de notas de Carla. Terá também o triplo dodinheiro?c) Nessa situação, a quantia que cada pessoa tem é direta ouinversamente proporcional ao número de notas (p.171).
101
Analisando:• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: mobilizável.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: mobilizável. Basta o aluno mobilizar seu conheci-
mento de múltiplos e o conceito de grandezas diretamente proporcionais.
Ainda neste item, na seção “Pensando em casa”, tem-se o problema 53
(cópia reduzida a seguir):
(p.171)
Analisando:
• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: disponível.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: disponível. O aluno precisará ler os dados do
problema, mobilizar seus conhecimentos e aplicar o conceito de grandezas
diretamente proporcionais, pois a tabela dá indicação da resposta.
O 5º tópico, “Regra de três simples”, tem como introdução a seguinte
situação-problema para “grandezas diretamente proporcionais”:
Imaginando uma máquina que produz parafusos, podemos supor que,duplicando-se o tempo de funcionamento da máquina, duplicará aprodução de parafusos; triplicando-se o tempo, triplicará a produção, etc.Portanto, a produção da máquina é diretamente proporcional ao tempodo seu funcionamento (p.173).
102
A seguir, uma tabela com as variáveis tempo (horas) e produção (peças) é
fornecida. Ao lado, a seguinte igualdade é estabelecida: 10060
53 = . Estes dados
estão dispostos na tabela, sendo a primeira razão referente às horas e a segunda,
referente à produção das peças.
Para as “grandezas inversamente proporcionais”, a situação-problema é a
seguinte:
Imagine agora que a fábrica deva produzir uma certa quantidade deparafusos. Podemos supor que, duplicando o número de máquinas, afábrica produzirá a quantidade desejada na metade do tempo; triplicandoo número de máquinas, isso será em um terço do tempo. Portanto, otempo de produção é inversamente proporcional ao número demáquinas (p.173).
A seguir, uma tabela com as variáveis, número de máquinas e tempo em
horas é fornecida. A primeira linha indica o par 2 e 180 e a segunda, o par 4 e 90.
Logo abaixo, um comentário é feito sobre o motivo de não se pode formar uma
proporção do modo como os valores estão expostos. A partir daí, após a
justificativa, os valores da segunda coluna foram invertidos e a proporção foi
assim descrita: 18090
42 = .
Dando continuidade ao desenvolvimento desse parágrafo, os autores
inseriram o item “Problemas de regra de três” e nele dispuseram dois exemplos.
O primeiro exemplo exibe uma foto de uma empresa eletrometalúrgica em junho
de 2001 mostrando trabalhadores exercendo suas funções.
Outro problema é assim composto: “Em 5 horas, uma máquina produz 120
peças. Quantas peças ela produzirá em 8 horas?” (p.174). A solução é indicada
103
na seqüência. Nela, os autores organizaram uma tabela contendo três linhas e
duas colunas. A primeira coluna foi reservada para a grandeza tempo (horas) e a
segunda para produção (peças) Os dados do problema foram distribuídos de
forma adequada e a letra x foi usada como incógnita. Antes de formar a proporção
entre as razões das duas variáveis, o seguinte comentário foi feito: “Nesse caso,
se duplicarmos o tempo, a produção duplicará; se triplicarmos o tempo, a
produção triplicará. As duas grandezas são diretamente proporcionais” (p.174). A
seguir, a proporção foi descrita de forma detalhada, foi resolvida e a resposta “em
8 horas, a máquina produzirá 192 peças”, finalizou este exemplo.
O exemplo 2 tem como variáveis velocidade (km/h) e tempo (horas) no
seguinte texto “Numa velocidade média de 80 km/h, fiz uma viagem em 14 horas.
Se a velocidade fosse de 70 km/h, em quanto tempo eu faria essa viagem?”
(p.175) Há uma foto de um automóvel na rodovia Régis Bittencourt, em janeiro de
1993 acompanhando o problema. Os autores organizaram uma tabela com os
dados do problema e o comentário “Nesse caso, se duplicarmos a velocidade, o
tempo cairá para a metade. Se triplicarmos a velocidade, o tempo cairá para a
terça parte. As duas grandezas são inversamente proporcionais” (p.175). Com
este comentário, conclui-se que uma das colunas deveria ser invertida.
O problema foi solucionado em detalhes com relação às operações
realizadas e a resposta apresentada foi: “A viagem seria feita em 16 horas”. As
seguintes frases: “Nos problemas com grandezas proporcionais, organizamos os
dados numa tabela. Nessa tabela, geralmente conhecemos três valores, e
procuramos descobrir o quarto. Por isso, esse tipo de problema é conhecido como
problema de regra de três” (p.175) e finalizam a parte teórica desta unidade.
104
Nas seções “Atividades” e “Pensando em casa”, os autores
disponibilizaram 21 problemas com uma foto ou figura ilustrando cada um deles.
Na seção “Atividades”, o problema 58 solicita o cálculo mental da distância que
uma pessoa percorreu, sendo que esta pessoa usou o dobro da velocidade em
seu carro que uma outra pessoa usou em outro veiculo (p.176).
O problema 61 tem o seguinte texto:
Responda:a) Usando ladrilhos de mesmo tamanho, vou ladrilhar uma parede. O
número de ladrilhos necessários é direta ou inversamenteproporcional à área da parede?
b) Vou percorrer uma distância dando passos de mesmo tamanho. Onúmero de passos que darei é direta ou inversamente proporcionalao comprimento dos meus passos?
c) Alguns pedreiros vão construir um muro. O tempo da construção édireta ou inversamente proporcionar ao número de pedreiros?(p.176).
Analisando:• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: mobilizável.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: mobilizável. Basta o aluno mobilizar seu
conhecimento de superfície, para imaginar a quantidade de ladrilhos e
aplicar o conceito de grandezas direta ou inversamente proporcionais.
O problema 63 tem o seguinte texto: “Meu relógio está maluco: em 3 minutos
reais ele marca 5 minutos. Eu disse a minha mãe que, pelo meu relógio, estudei
45 minutos. Na verdade, quanto tempo estudei?” (p.176).
Analisando:
• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: disponível.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: mobilizável. Basta o aluno aplicar a definição de
105
proporção e mobilizar seu conhecimento de grandezas diretamente
proporcionais.
O problema 64 foi elaborado com o seguinte texto: “A carga máxima de um
elevador é esta: 7 adultos de 80 kg cada um. Essa carga máxima é de quantos
adolescentes de 56 kg cada?” (p.177).
Analisando:• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: disponível.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: mobilizável. Basta o aluno aplicar a definição de
proporção e mobilizar seu conhecimento de grandezas diretamente
proporcionais.
No problema 65, os autores disponibilizam uma foto da linha de produção
robotizada em São Bernardo do Campo, SP (1996), logo abaixo o texto: “Em uma
fábrica de automóveis, 8 robôs idênticos fazem um certo serviço em 24 horas. Em
quanto tempo 6 desses mesmos robôs fariam o mesmo serviço?” (p.177).
Analisando:• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: disponível.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: mobilizável. Basta o aluno aplicar a definição de
proporção e mobilizar seu conhecimento de grandezas inversamente
proporcionais.
O problema 66 é composto das seguintes perguntas: “a) Tirei 6,0 em uma
106
prova que valia 8 pontos. Qual seria minha nota se a prova valesse 10?; b) Uma
prova, de nota máxima, tinha 15 questões de igual valor. Eu acertei só 9
questões. Que nota tirei?” (p.177).
Analisando:• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: disponível.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: mobilizável. Basta o aluno aplicar a definição de
proporção e mobilizar seu conhecimento de grandezas diretamente
proporcionais.
Problema 71 “Com 100 kg de trigo, fabricam-se 65 kg de farinha. Com
quantos quilogramas de trigo são fabricados 260 kg de farinha?” (p.178).
Classificando:
• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: disponível.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: disponível. O aluno pode aplicar a definição de
proporção, disponibilizar seu conhecimento de grandezas diretamente
proporcionais ou reduzir à unidade para solucionar este problema.
Na lista dos problemas da seção “Pensando em casa”, há problemas (do
73 ao 78) com textos semelhantes aos da seção atividades. Por exemplo: “75. Fiz
uma viagem a uma velocidade média de 80 km/h, em 4 dias. Em quanto tempo
(dado em dias, horas e minutos) eu faria essa viagem se minha velocidade média
fosse de 100 km/h?” (p.179).
107
Analisando:• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: disponível.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: mobilizável. O aluno deverá mobilizar seu
conhecimento de grandezas inversamente proporcionais e a seguir dispor
os dados do problema na forma de proporção invertendo uma das razões e
depois calcular o valor que torna a proporção verdadeira.
O 6º tópico, “Regra de três composta”, inicia-se com o seguinte exemplo:
“Quarenta operários, em 6 dias, trabalhando 4 horas por dia, conseguem terminar
um serviço. Quantos operários farão o mesmo serviço em 12 dias, se eles
trabalharem 8 horas por dia?” (p.180). A solução deste problema foi descrita
abaixo. Esta descrição faz parte da seção “Recapitulando” do livro:
Veja o que fizemos nesse exemplo. Duas mudanças eram conhecidas: ado número de dias, que passou de 6 para 12, e a do número de horaspor dia de trabalho, que passou de 4 para 8. Elas provocam umaalteração no número de operários necessários para fazer o serviço, quepassa de 40 para y. Na primeira parte, não levamos em conta amudança do número de dias. Assim, temos uma regra de três simples,escrevemos a proporção e calculamos o novo número x de operários.Então, chegamos a uma situação intermediária.Na segunda parte, bastou considerar a mudança que faltava. Assim,obtemos novamente uma regra de três simples, escrevemos a proporçãoe calculamos y, obtendo a resposta do problema. (p. 181-182).
O exemplo 2 foi solucionado com os mesmos procedimentos do exemplo 1.
Seu texto tem os seguintes dizeres: “Em 3 horas, 2 torneiras despejam 2100 litros
de água. Então, em quantas horas 5 dessas torneiras despejam 7000 litros de
água?” (p.182). A resposta é: 5 torneiras despejam 7000 litros em 4 horas.
Na seção “Atividades”, seis problemas são propostos, por exemplo o de
número 79 o seguinte texto e figura:
108
Considere a seguinte situação inicial: certo número de robôs, traba-lhando determinado número de horas por dia, faz um serviço em 60 dias.Responda mentalmente:a) O dobro do número de robôs (da situação inicial), trabalhando omesmo número de horas por dia (da situação inicial), faria o serviço emquantos dias?b) O mesmo número de robôs (da situação inicial), trabalhando o triplodo número de horas por dia (da situação inicial), faria o serviço emquantos dias?c) O dobro do número de robôs (da situação inicial), trabalhando o triplodo número de horas por dia (da situação inicial), faria o serviço emquanto tempo?
(p. 183).
Analisando:
• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: disponível.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: mobilizável. A aluno precisará mobilizar seus conhe-
cimentos de múltiplos, interpretar o exercício e aplicar o conceito de gran-
dezas direta ou inversamente proporcionais e seguir encontrar a resposta.
O problema 80 tem como grandezas velocidade, distância e tempo e as
perguntas são semelhantes às do problema anterior. No problema 81 número de
dias, número de horas por dia e número de peças fazem parte do texto. O
problema 82 envolve números de banhos, tempo no chuveiro e litros de água
gastos por dois irmãos, um deles com apelido de Cascão. O problema 83 tem o
seguinte texto:
Dois carregadores levam caixas de um armazém para outro. Um delesleva 3 caixas por vez e demora 2 minutos em cada viagem. O outro,mais forte e mais vagaroso, leva 7 caixas por vez e demora 5 minutospor viagem. Enquanto o mais fraco leva 180 caixas, quantas leva ooutro? (p.183).
109
Analisando:• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: disponível.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: disponível. O aluno poderá encontrar a resposta
aplicando métodos não previstos, pois não há indicação das noções que
serão utilizadas. O aluno pode, por exemplo, resolver assim: dividir 3 por 2
e 7 por 5. Com este procedimento, encontra-se o número de caixa por
minuto que cada um carrega. Em seguida, encontra-se o quociente entre o
primeiro e o segundo quocientes das divisões anteriores, multiplica-se este
quociente por 180 e obtém-se a resposta esperada.
O problema 84 propõe:
No parque de diversões, os alunos de minha escola formaram fila parasubir a montanha russa. Em cada carrinho iam 5 alunos e as partidasocorriam de 40 em 40 segundos. A fila acabou em 12 minutos. Calculeem quanto tempo a fila acabaria se em cada carrinho fossem 6 alunos eas partidas ocorressem de 28 em 28 segundos (p.184).
Analisando:
• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: disponível.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: disponível. O aluno ao ler o problema poderá colocar
os dados em três colunas aplicando a definição de regra de três composta,
a seguir disponibilizar o conhecimento de grandezas direta ou
inversamente proporcionais, estabelecer a proporção entre as razões e
resolver o problema.
Na seção “Pensando em casa”, mais cinco problemas com textos
semelhantes aos da seção “Atividades” são propostos.
110
Na seção “Desafios e surpresas”, dois problemas foram disponibilizados
um deles tem o seguinte enunciado:
D&S3 [...] uma engrenagem tem 28 dentes e a outra, 22. Quando aengrenagem maior dá x voltas, ela faz a menor girar y voltas, no sentidocontrário.a) Calcule x, quando y = 7.b) Os números de voltas x e y das engrenagens maior e menor são
diretamente proporcionais? São inversamente proporcionais a 28 e12? Justifique a sua resposta. (p.184).
Analisando:• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: disponível.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: disponível. O aluno precisará disponibilizar seus
conhecimentos de sobre incógnitas e grandezas direta ou inversamente
proporcionais, aplicar a definição de proporção e fazer os cálculos para
responder a questão b.
Na seção denominada “Ação sobre regra de três”, tem-se as seguintes
experiências:
Experiências com a bicicleta1 ª parteInicialmente, formam-se grupos de 3 alunos.Cada grupo faz um canudo de papel e, nele, prende um pedaço de linhade 50 cm. A linha é totalmente enrolada no canudo e, em seguida, épuxada da forma que você vê na figura.
O grupo anota a medida de voltas que ele dá enquanto a linha sedesenrola.Repete-se a operação com canudos de outros diâmetros. Por exemplo,com o dobro da medida inicial, um terço dela, etc. Que relação existeentre o diâmetro e o número de voltas que o canudo dá?
111
O diâmetro e o número de voltas são diretamente proporcionais?Inversamente? Nada disso? Cada grupo deve se pronunciar sobre aquestão...2ª parteOs grupos desfazem-se e a ação passa a ser feita pela classe, comorientação do professor.Será necessária uma bicicleta de 10 marchas ou mais.Com a corrente assentada no maior dos pinhões da roda traseira, osalunos devem medir (e anotar) a distância que a bicicleta percorredurante uma volta completa do pedal.A seguir, mexendo apenas no comando de ajuste dos pinhões traseiros,assenta-se a corrente no segundo maior pinhão. Novamente, os alunosmedem quanto a bicicleta anda com uma pedalada completa.
Repetem-se as experiências com os outros pinhões traseiros, exceto omenor.Será que a classe descobre uma relação entre as distâncias percorridase os números de dentes dos pinhões traseiros? Calcule que distância abicicleta percorrerá quando a corrente estiver assentada no menorpinhão traseiro.Depois, faça a experiência para confirmar a distância encontrada.E agora, mudando o ajuste dianteiro da corrente, que distância abicicleta percorrerá? A classe deve tentar responder a todas essasperguntas. (p.186-7)
O tópico 7, “Porcentagem”, inicia-se com a seguinte estorinha:
Vou contar como comecei a gostar de matemática. Foi quando ossorvetes aumentaram de R$ 2,00 para R$ 2,70 e meu pai aumentouminha mesada de R$ 25,00 para R$ 32,00.
Eu não fiquei satisfeito com o aumento da mesada. Achei que,relativamente à minha mesada, o sorvete tinha aumentado mais! Masnão tinha muita certeza disso.
112
Foi aí que minha irmã me ajudou. Ela me explicou que, para compararaumentos em preços diferentes, as pessoas costumam transformartodos os preços para 100, usando as proporções.Se o preço de um sorvete passou de 2 para 2,70, o preço de cinqüentasorvetes passou de 100 para 50.2,70 = 135. No preço do sorvete houveum aumento de 35 em cada 100.Minha irmã explicou que esse aumento de 35 em 100 é chamado detrinta e cinco por cento (35%), e que isso era uma porcentagem.Aí eu fui pensar no aumento da mesada. Se ela passou de 25 para 32,quatro mesadas passaram de 100 para 4. 32 = 128. Na mesada, houveaumento de 28 em 100, isto é, um aumento de vinte e oito por cento.Então, eu tinha razão. O sorvete tinha aumentado 0,70 em 2, o quecorresponde a 35 em 100, ou seja, 35%.A mesada tinha aumentado 7 em 25, o que corresponde a 28 em 100, ouseja, 28%.O sorvete tinha aumentado mais que a mesada.Quando entendi isso, expliquei a meu pai. Acho que ele gostou daexplicação, porque aumentou minha mesada na hora para R$ 37,50! (Eisso representa 50% de aumento).Eu passei a gostar de matemática porque ela me foi útil e tambémporque percebi que ela explica muitas coisas.” (p.188)
Concluindo este raciocínio, os autores definem porcentagem como sendo
qualquer razão a/b, na qual o número b é igual a 100. Um exemplo é dado, 27% =
27/100.
Na seção, “Primeiros cálculos com porcentagem”, as formas de escrever
porcentagem são expostas e o cálculo é demonstrado.
Nas seções “Atividades” e “Pensando em casa”, 16 exercícios são
propostos. Exponho 3 exemplos que representam os níveis de conhecimentos
exigidos em todos exercícios destas seções. O de número 91 tem o seguinte
enunciado:
Eis algumas porcentagens escritas com números decimais:2% = 0,02 20% = 0,20 = 0,2Escreva com números decimais:a) 3% b) 30% c) 99% d) 100% (p. 190)
Analisando:
• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: técnico.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
113
às noções utilizadas: técnico. É necessário só seguir os exemplos.
O exercício 94 tem o seguinte texto: “O bar ‘Não Existe’ deu um lucro de
R$ 8.400,00. Eu sou um dos donos do bar e recebo 35% dos lucros. Quanto vou
receber?” (p. 191).
Analisando:• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: disponível.
• Níveis de conhecimento necessários para solucionar o exercício em
relação às noções utilizadas: mobilizável. O aluno precisa ter conhecimento
do que é lucro e aplicar a definição de porcentagem sobre o valor
R$ 8.400,00 para encontrar a resposta esperada.
O exemplo a seguir é da seção “Pensando em casa” “104. A papelaria
‘Bom e Barato’ está fazendo uma promoção. O apontador, que antes custava
R$ 0,15, passou a custar R$ 0,12, De quantos por cento foi o desconto?” (p.191).
Analisando:
• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: disponível.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: disponível. O aluno poderá calcular a diferença entre
os dois preços para depois calcular a razão entre esta diferença e o valor
inicial, depois multiplicar por 100 para encontrar o percentual esperado.
Não é o único modo de resolver.
Encerrando o capítulo, os autores incluíram o 8º tópico, “Cálculos com
porcentagens”. A introdução é formada por dois exemplos. O primeiro, tem o
seguinte enunciado: “42% de um valor é 3045. Qual é o valor?” (p.192). Para
114
solucionar este problema foram usadas três formas “diferentes”. Na primeira
forma, o exercício foi resolvido empregando regra de três simples. Na segunda
forma, o valor percentual foi escrito na forma de fração e na terceira, usou-se o
percentual na forma decimal. Enfim, o valor é 7250.
O segundo exemplo tem o seguinte enunciado: “2125 é quanto por cento
de 2500?” (p.193). A resolução deste exemplo também se deu de três formas: na
primeira forma usou-se uma regra de três, na segunda escreveu-se x% na forma
fracionária e na terceira dividiu-se 2125 por 2500. A resposta obtida foi 85%.
Nas seções “Atividades” e “Pensando em casa”, 21 exercícios são
propostos, 16 deles são em forma de problemas. Disponibilizaremos 3 exemplos
para representar todos os exercícios destas seções.
O exercício 107 tem o seguinte enunciado:
“Em cada caso, são dados dois números. O primeiro é uma certa porcentagem do
segundo. Calcule essa porcentagem a) 4200 e 7000 b) 340 e 1000 c) 78 e
2600 d) 3240 e 4500” (p. 193).
Analisando:
• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: técnico.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: mobilizável. O aluno precisa mobilizar seu
conhecimento de razão e aplicar o cálculo de porcentagem.
O exercício 115 tem o seguinte enunciado: “Pelo regulamento da escola,
115
eu serei reprovado se faltar em mais de 25% das aulas de educação física.
Haverá 96 aulas de educação física durante o ano. Qual é o número máximo de
faltas que posso ter?” (p.194).
Analisando:• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: disponível.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: mobilizável. Neste problema o aluno necessita da
noção de porcentagem e relacionar a porcentagem de presenças com o
total de aulas dadas no ano.
Da seção “Pensando em casa”, escolhemos o seguinte problema:
122. Em razão do excesso de tráfego e da poluição do ar causada porautomóveis, a prefeitura de São Paulo tem promovido um rodízio. Nassegundas-feiras não circulam carros com placas de final 1 e 2; nasterças-feiras, não circulam carros com placas de final 3 e 4 e assim pordiante, até sexta-feira. Supondo que a cidade tenha 5 milhões deautomóveis e que 90% dos proprietários respeitem o rodízio, quantosveículos, no máximo, espera-se que circulem em cada dia útil? (Atenção:é preciso ler com cuidado e decidir sobre alguns fatos que o enunciadonão explica) (p.195).
Analisando:• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: disponível.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: disponível. O aluno, ao interpretar o problema, poderá
decidir resolvê-lo por métodos não previstos, pois não há indicação de
todas as noções a serem utilizadas. Por exemplo, se a cidade tem 5
milhões de automóveis e a cada dia dois finais de placa não circulam,
então 80% poderiam circular, ou seja, 4 milhões circulariam e 1 milhão não
circulariam. No entanto, só 90% respeitam, então 10% não respeitam o
rodízio, sendo assim, 10% de 1 milhão é 100 mil, então os 4 milhões
116
liberados com os 100 mil não liberados, espera-se que circulem 4,1
milhões de automóveis. Resposta do livro: circulam 3,6 milhões de carros.
A seção “Pensando em casa” contém os exercícios 125 e 126 (abaixo,
cópia em tamanho reduzido).
(p.196)
Analisando: nº 125
• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: disponível.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: disponível. O aluno precisa disponibilizar sua
capacidade de interpretação, seus conhecimentos sobre parte e todo, etc.
Portanto não há indicação de todas as noções que serão utilizadas para
solucionar o problema.
117
Analisando: nº 126
• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: disponível.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: mobilizável. Para o aluno calcular o percentual, antes
deverá efetuar a diferença entre os valores.
Na seção “Desafios e surpresas” que finaliza os conteúdos “Razões e
Proporções”, dois problemas foram propostos. São eles:
D&S5. Tenho R$ 40,00 e 35% do que tenho correspondem a 20% doque tem meu irmão. Quanto ele tem?D&S6. Você tem 12 anos e eu tenho 16.a) A sua idade é quanto por cento da minha?b) Daqui a 4 anos, qual será a resposta da pergunta anterior?c) Há 11 anos, qual era a resposta?d) Daqui a quantos anos a resposta será 90%?
Analisando: D&S5
• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: disponível.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: mobilizável. O aluno deverá aplicar o conceito de
porcentagem, mobilizar seus conhecimentos de igualdades para resolver
este problema.
Analisando: D&S6
• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: mobilizável.
• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação
às noções utilizadas: mobilizável. Antes de calcular o percentual o aluno
deverá: no item b, adicionar em cada uma das idades o número 4; no item
c, subtrair de cada idade o número 11, no item d ele deverá mobilizar seus
conhecimentos sobre equações do 1º grau. No item a, o nível exigido é
somente o mobilizável.
118
Análise Parcial: Neste livro os autores disponibilizaram muitas situações-
problema para introduzir a parte teórica dos assuntos referentes aos conteúdos
Razões e Proporções, isto é, em muitos deles, o texto vincula o leitor como sujeito
da situação envolvida. O uso de recursos visuais tais como fotos, gravuras,
gráficos, dentre outros, fazem com que o livro seja mais apresentável. Além deste
fato, os autores disponibilizaram também os significado de algumas palavras
raízes de alguns conceitos, por exemplo: “A palavra razão vem de ratio, que em
latim significa divisão. Daí vêm, por exemplo, as palavras rateio (de um prêmio) e
racional. Número racional é o que se pode representar por uma divisão de
inteiros” (p. 152). Nas seções que comportam os exercícios propostos há sempre,
pelo menos, um exercício, que antecede a teoria do próximo assunto a ser
trabalhado. Além dos exercícios propostos, os autores incluíram experiências
para serem realizadas em grupo.
Quanto aos níveis de conhecimento envolvidos nas variáveis da análise
dos exercícios propostos temos o nível disponível para a variável “Nível de
conhecimento esperado no enunciado do exercício” na maioria dos exercícios. Já
para a variável “Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em
relação às noções utilizadas”, o nível mobilizável figurou na maioria dos
exercícios.
119
Capítulo 5 Sugestões dos Documentos Oficias dos Orgãos Governamentais
Neste item descrevo as sugestões quanto aos conteúdos “Razões e
Proporções” propostas nos documentos oficiais dos órgãos governamentais,
sendo eles: projeto de um Guia Curricular (1972); Proposta Curricular (1986) e
Parâmetros Curriculares Nacionais (1997 e 1998).
5.1 Projeto de um Guia Curricular (1972)
Este documento representa o guia curricular de 1975. Vamos somente
descrever e dar destaque a trechos que julgamos relevantes para nosso trabalho.
A introdução começa com o seguinte parágrafo:
Ao tentar empreender a árdua tarefa de organizar um programapara determinada matéria, uma questão inicial deve ser colocada:“Quais as diretrizes que devem nortear a sua elaboração?” Comrelação à matemática o problema se torna um pouco maiscomplexo. Outras questões devem ser respondidas. Entre elasduas se destacam:1ª ) Qual o método a ser utilizado? Axiomático ou intuitivo?2ª ) Qual a orientação a ser dada? Clássica ou moderna? (p. 5)
No desfecho do texto, os autores deixam claro que parte desta tarefa é de
responsabilidade do professor na realização do seu plano de curso. No entanto,
aconselham que o tratamento axiomático não é de bom tom e comentam que “[...]
devemos procurar obter os conceitos com base na ação do aluno, na
manipulação de instrumentos e materiais didáticos adequados, em situações tão
próximas do concreto e da experiência do aluno, quanto seja possível” (p. 5).
Antes de responder a segunda pergunta, os autores fazem um comentário
sobre o movimento da matemática moderna e parecem certos de que “[...] o
movimento que levou a uma orientação moderna no ensino da matemática é
120
irreversível, no sentido de um maior dinamismo na aprendizagem da mesma, em
contraste com a maneira estática com ela era apresentada” (p. 5-6).
Na página 17, sob o item de número 4, tem-se o esquema de conteúdo,
assim descrito:
4. Esquema de Conteúdo
Gráfico de distribuição pelas 8 séries, por unidades.
4.1. Esquemas de conteúdo por temas e por séries.
4.1.2 – Tema II: Campos numéricos
Conteúdo 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª Observações
3. Números racionais (Q) [...] passamos dos inteiros para osracionais, [...]
a. Números racionaisabsolutos X X X
b. Números racionais.Estrutura de Q X
Na página 55, encontramos no item “Estrutura de Q”, dentre outros
conteúdos, os conteúdos “Razões e Proporções”, assim descritos na tabela
abaixo:
Conteúdo Objetivos ObservaçõesRazão eproporçãoGrandezasproporcionais
. Relacionar uma razão entre a e b (b≠0) comoquociente entre esses dois números racionais.. Saber o que é uma proporção.. Aplicar a propriedade fundamental das proporçõespara calcular o termo desconhecido de umaproporção.. Saber resolver grandezas direta ou inversamenteproporcionais.. Saber resolver problemas que envolvem grande-zas proporcionais, aplicando os conhecimentosanteriormente adquiridos (juros, porcentagem etc.)
Relacionar proporção comigualdades de númerosracionais
5.2 Proposta Curricular (1986)
Vamos nos limitar tão somente a apresentar e transcrever alguns trechos
121
que julgamos relevantes. No capítulo 6, faremos as devidas análises
comparativas com o livro didático referente a essa proposta.
O item “Os conteúdos e Abordagem” inicia-se com o seguinte parágrafo:
Uma lista de conteúdos não é suficiente para caracterizar uma propostacurricular. No caso da Matemática, ao longo de diversas reformas, tallista tem variado relativamente pouco. Considerando apenas os grandestemas geradores, os assuntos tratados são, essencialmente, dois:Números e Geometria. Tais assuntos, no entanto, podem serdesenvolvidos de modos significativamente em diferentes propostas e éatravés dessas abordagens que se pode caracterizá-las. (p. 4)
No quarto parágrafo tem-se um “resumo” de como tratar esses grandes
temas geradores. Transcrevo-o a seguir:
De modo geral, em Matemática, o conteúdo a ser ensinado é um veículopara o desenvolvimento de uma série de idéias fundamentais,convenientemente articuladas, tendo em vista as grandes metas que sãoa instrumentação para a vida e o desenvolvimento do raciocínio. Taisidéias fundamentais, como são, por exemplo, as de proporcionalidade,equivalência e semelhança, têm como suporte, muitas vezes, mais deum assunto da lista de conteúdos. Elas, no entanto, é que sãofundamentais e não os assuntos em si. Esta distinção é essencial, sendoum fato patente a possibilidade de constituição de propostassignificativamente distintas a partir da mesma lista de conteúdos. (p. 4)
Na estruturação desta indicação, há três quadros que resumem as
sugestões em cada ciclo, sendo que:
- Quadro 1 – Destaque, em cada ciclo, de tópicos relevantes dos grandestemas: Número, Geometria e Medidas;- Quadro 2 – Sugestão de integração desses tópicos revelando diferentesníveis de abordagem de um mesmo tema;- Quadro 3 – Indicação pormenorizada dos mesmos conteúdos comcomentários técnicos e algumas sugestões de natureza metodológica,em que um tema é apresentado inicialmente em seus aspectos básicos eretomado posteriormente em um ou mais momentos.No seu conjunto, estes três quadros procuram configurar o tratamentodinâmico que se deseja imprimir ao ensino de matemática.(p. 6)
Descrevo somente os tópicos referentes aos conteúdos “Razões e
Proporções” de cada quadro.
122
QUADRO 1NÚMEROS GEOMETRIA MEDIDAS- Números inteiros - Áreas e perímetros - Medidas de ângulos- Números racionais - Congruência - Áreas e perímetros- Cálculo literal - Semelhança- Equações e Inequações - Proporcionalidade- Números irracionais/reais
CICLOFINAL(6ª, 7ª e 8ªSÉRIES)
- Proporcionalidade
QUADRO 2NÚMEROS GEOMETRIA MEDIDAS
Números inteiros Noções decircunferência e ângulo
Medidas de ângulos
Números racionais: Extensão esistematizaçãoCálculo literalEquações e Inequações do 1ºgrau com duas incógnitasSistemas de duas equações do1º grau com duas incógnitas- Proporcionalidade Aplicação de áreas e
perímetros em figurasplanas
Relação entre asmedidas de áreas eperímetros
Noções de Estatística A noção de congruênciaCongruência detriângulosA noção de semelhança
Números irracionais Semelhança detriângulos
Medida de distanciasinacessíveis
Números Reais Segmentosincomensuráveis
Sistemas dos campos numéricos
CICLOFINAL(6ª, 7ª e8ªSÉRIES)
Equações e problemas do 2ºgrau
QUADRO 3PROPORCIONALIDADE
- A noção de proporcionalidade é uma idéia defundamental importância do conteúdo matemáticoque se ensina no 1º grau. Ela é de larga aplicaçãonão só em outros temas do conteúdo matemáticode 1º grau, como, por exemplo, a semelhança,mas também em outras áreas do conhecimento:Geografia, Química, Física, Economia, MatemáticaFinanceira, Estatística, etc. Muitos tópicos quedeveriam ser tratados de forma vinculada àProporcionalidade, têm sido trabalhados de formaisolada uns dos outros, dificultando suaaprendizagem e síntese por parte dos alunos.Além disso, tantos outros tópicos irrelevantesassociados a uma terminologia desnecessária eque por razões históricas se tornou habitual, têmsido desnecessariamente enfatizados no trabalhocom esse tema.Ao introduzir este tema, fala-se, por exemplo emrazões ao invés de frações em proporções, ao
123
invés de equivalência de frações em antecedentee conseqüente, meios e extremos, ao invés denumerador e denominador; usa-se a notaçãoa: b : : c: d ao invés de
dc
ba = . Na verdade, é muito
mais significativo começar a tratar de tais assuntosa partir do que já foi trabalhado com o alunoassegurando as idéias que ele vem elaborando aodo 1º grau.
A noção de interdependência entre duas oumais grandezas e a noção de variável.Grandezas direta ou inversamenteproporcionais: representação gráfica eanalítica desse tipo de interdependência.
Observações iniciais devem ser efetuadas peloestudante com o objetivo de verificar o aspectoqualitativo da variação de duas grandezas: ambascrescem? decrescem? ou não? Numa segundafase, deve-se enfatizar o aspecto quantitativodessa variação; é quando o aluno deve ser levadoa estabelecer relações entre os valores dasgrandezas em jogo.Este trabalho deve caminhar para as relações queexprimem quociente ou produto constantes.Estabelece assim uma lei para cada situaçãoobservada. Por exemplo:(preço total de certo número de objetos) ÷(númerode objetos) = 25Um trabalho de aperfeiçoamento dessa língua-gem vai sendo feito aos poucos, motivado porquestões de comunicação e economia na escrita,chegando a exprimir aquela lei por: y = 25x, ondey representa o preço dos objetos e x a quantidadedeles (deve ser adotado o mesmo procedimentopara grandezas inversamente proporcionais).Outro aspecto a ser trabalhado é o darepresentação gráfica da variação de duasgrandezas (gráfico cartesiano), com o objetivo devisualizar o comportamento dessa, variação. Astabelas também são ferramentas úteis tanto para“arrumar" os dados obtidos com a variação degrandezas quanto para garantir uma melhorvisualização do comportamento de uma emrelação a outra.
Grandezas não proporcionais- o objetivo desse estudo é simplesmente fazer ocontraponto com grandezas que variamdiretamente (ou inversamente) umas em funçãodas outras. Por exemplo: propor aos alunos quediscutam a variação que sofre a área de umquadrado, quando seu lado varia.Ao discutir uma questão desse tipo, o alunodeverá ser incentivado a perceber que:- a área do quadrado não é diretamenteproporcional à medida de seu lado, neminversamente.- a área do quadrado é diretamente proporcionalao quadrado da medida do lado do mesmo.A etapa seguinte deverá levar o aluno a observargrandezas que variam segundo leis do tipo
124
y = kx + b.Outro exemplo: o taxímetro que determina o valorde uma corrida de táxi, pela cidade, funciona deacordo com as seguintes regras: 1ª) a bandeirada vale Cz$ 6,00 (inicio decorrida); 2ª) o quilômetro rodado vale Cz$ 2,40; 3ª) o "minuto parado" vale, Cz$ 0,20.a) Calcular o valor da corrida quando o táxi roda10 km, sem parar:b) Calcular o valor da corrida para 0,1,2,3,4 e 5quilômetros rodados, sem parar " e, monte atabela:
c) Faça um gráfico cartesiano com esses dados.d) Chamando de “x" a quilometragem rodada e “y”o valor da corrida, escreva uma fórmula paracalcular y em função da quilometragem rodada,quando o táxi roda sem parar.Após os alunos terem respondido a pergunta b,deve-se fazer um levantamento dos processosque usaram para fazer o cálculo do custo dacorrida, em cada caso, a fim de evidenciar que ototal a ser pago é composto de duas parcelas: ada bandeirada (que e fixa para qualquer corrida) ea do preço dos quilômetros rodados (que variaproporcionalmente à quilometragem).Tal discus-são vai subsidiar: a solução dá pergunta d.A discussão e resolução desse problema deverãolevar o aluno a perceber que a 3ª regra doproblema não foi utilizada, visto que o táxi semprefaz corridas sem paradas.E se o táxi fizesse paradas durante as corridas?
Grandezas que variam proporcionalmenteao quadrado de outras: representaçãográfica e analítica deste tipo deinterdependência
- Retomando o problema “Como é que a área doquadrado varia com a medida de seu lado?”.Trabalhar essa questão, inicialmente, com variasaplicações numéricas, para só depois levar oaluno a inferir que se área de y e a medida do ladode x, a lei que mostra a dependência entre elas éy = x2. O gráfico e sua interpretação sãoelementos úteis para a análise de tal variação.
Razões e proporções: aplicações emproblemas que envolvem a noção deproporcionalidade.
- Após todo o trabalho feito com a variação degrandezas, esse é um momento propício paraexplicitar o conceito de razão, já explorado ante-riormente, sem a nomenclatura pertinente em:
km Cz$
012345
125
- Matemática: conceito de número racional,medidas, variação de duas grandezas,porcentagem;- Geografia: escalas, densidade demográfica;- Ciências: densidade volumétrica, velocidademédia.O estudo das proporções toma, neste momento,um caráter autônomo, uma vez que ele jáapareceu diluído em equivalência de frações e emgrandezas direta e inversamente proporcionais.A partir da justificação da propriedade funda-mental das proporções, as outras propriedadespoderão ser tratadas como uma decorrência danecessidade de resolver problemas.Ao encararmos a regra de três como uma técnicapara resolução de problemas, não podemos deixarde lado seu processo de construção. É por esteprocesso que fica justificada a propriedade: seuma grandeza é proporcional a várias outras,então ela é proporcional ao produto dessas outras.Os problemas que envolvem juros simples sãoaplicações bastante significativas nesse momento.
(p. 99-100)
5.3 Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) (1997) (1998)
Vamos nos limitar tão somente a apresentar e transcrever alguns trechos
que julgamos relevantes. No capítulo 6, faremos as devidas análises
comparativas entre o livro do ano 2000 e os PCN.
No livro PCN (1997), na seção “seleção de conteúdos”, os autores chamam
a atenção do professor quanto à inclusão de idéias ou procedimentos
matemáticos, como proporcionalidade, pois o conceito de proporcionalidade está
presente na resolução de problemas multiplicativos, nos estudos de porcentagem,
de semelhança de figuras, na matemática financeira, na análise de tabelas,
gráficos e funções desde ciclos iniciais. Finalizam esta seção com o seguinte
parágrafo:
Embora nas séries iniciais já se possa desenvolver uma pré-álgebra, éespecialmente nas séries finais de ensino fundamental que os trabalhosalgébricos serão ampliados; trabalhando com situações-problema, oaluno reconhecerá diferentes funções da álgebra (como modelizar,resolver problemas aritmeticamente insolúveis, demonstrar),
126
representando problemas por meio de equações (identificandoparâmetros, variáveis e incógnitas) e conhecendo a ‘sintaxe’ (regras pararesolução) de uma equação. (BRASIL, 1997, p. 55)
A “seleção de conteúdos” do PCN (1998) inicia com o seguinte parágrafo:
Atualmente, há consenso a fim de que os currículos de Matemática parao ensino fundamental devam contemplar o estudo dos números e dasoperações (no campo da Aritmética e da Álgebra), o estudo do espaço edas formas (no campo da Geometria) e o estudo das grandezas e dasmedidas (que permite interligações entre os campos da Aritmética, daÁlgebra, e da Geometria e de outros campos do conhecimento). Umolhar mais atento para nossa sociedade mostra a necessidade deacrescentar a esses conteúdos aqueles que permitam ao cidadão "tratar"as informações que recebe cotidianamente, aprendendo a lidar comdados estatísticos, tabelas e gráficos, a raciocinar utilizando idéiasrelativas à probabilidade e à combinatória. (BRASIL, 1998, p. 49).
Nas recomendações dos PCN, os conteúdos estão dimensionados não só
em conceitos, mas também em procedimentos e atitudes.
Conceitos permitem interpretar fatos e dados e são generalizações úteisque permitem organizar a realidade, interpretá-la e predizê-la. Suaaprendizagem desenvolve-se de forma gradual e em diferentes níveis esupõe o estabelecimento de relações com conceitos anteriores. Nosterceiro e quarto ciclos alguns conceitos serão consolidados, uma vezque eles já vêm sendo trabalhados desde os ciclos anteriores, como oconceito de número racional. (BRASIL, 1998, p. 49).
No 1º ciclo, não há proposta para o trabalho usando o conceito de
proporcionalidade, no entanto, quando se sugere “Cálculos de multiplicação e
divisão por meio de estratégias pessoais” (BRASIL, 1997, p. 72), cabe ao
professor explorar este conceito nos problemas por ele selecionado. Já para o 2º
ciclo, por exemplo, na seção “Conteúdos Conceituais e Procedimentais”, tem-se:
“Exploração dos diferentes significados das frações em situações-problema:
parte-todo, quociente e razão; Reconhecimento do uso da porcentagem no
contexto diário” (BRASIL, 1997, p. 86).
Há a seguinte orientação didática no2º ciclo: “[...] uma terceira situação,
diferente das anteriores é aquela em que a fração é usada como uma espécie de
127
índice comparativo entre duas quantidades de uma grandeza, ou seja, quando é
interpretada como razão” (BRASIL, 1997, p.103).
No 2º ciclo é o inicio deste estudo, de números racionais, que será
consolidado nos dois ciclos finais.
Os procedimentos por sua vez estão direcionados à consecução de umameta e desempenham um papel importante, pois grande parte do que seaprende em Matemática são conteúdos relacionados a procedimentos.Os procedimentos não devem ser encarados apenas como aproximaçãometodológica para aquisição de um dado conceito, mas como conteúdosque possibilitem o desenvolvimento de capacidades relacionadas com osaber fazer, aplicáveis a distintas situações. Esse "saber fazer" implicaconstruir as estratégias e os procedimentos, compreendendo osconceitos e processos neles envolvidos. Nesse sentido, osprocedimentos não são esquecidos tão facilmente. Exemplos deprocedimentos: resolução de uma equação, traçar a mediatriz de umsegmento com régua e compasso, cálculo de porcentagens etc.As atitudes envolvem o componente afetivo - predisposição, interesse,motivação - que é fundamental no processo de ensino e aprendizagem.As atitudes têm a mesma importância que os conceitos e procedimentos,pois, de certa forma, funcionam como condições para que eles sedesenvolvam. Exemplos de atitudes: perseverança na busca de soluçõese valorização do trabalho coletivo, colaborando na interpretação desituações-problema, na elaboração de estratégias de resolução e na suavalidação. (BRASIL, 1998, p.49-50).
No item “Multiplicação e divisão: significados” da seção “Operações com
Números Naturais” tem-se as seguintes orientações:
Dentre as situações relacionadas à multiplicação e à divisão, a seremexploradas nestes dois ciclos, podem-se destacar, para efeito de análisee sem qualquer hierarquização, quatro grupos:[...]Num segundo grupo, estão as situações associadas à comparaçãoentre razões, que, portanto, envolvem a idéia de proporcionalidade.Os problemas que envolvem essa idéia são muito freqüentes nassituações cotidianas e, por isso, são mais bem compreendidos pelosalunos.Exemplos:- Marta vai comprar três pacotes de chocolate. Cada pacote custaR$ 8,00. Quanto ela vai pagar pelos três pacotes? (A idéia deproporcional idade está presente: 1 está para 8, assim como 3 está para24.)- Dois abacaxis custam R$ 2,50. Quanto pagarei por 4 desses abacaxis?(Situação em que o aluno deve perceber que comprará o dobro deabacaxis e deverá pagar se não houver desconto o dobro, R$ 5,00, nãosendo necessário achar o preço de um abacaxi para depois calcular o de4.)A partir dessas situações de proporcionalidade, é possível formularoutras que vão conferir significados à divisão, associadas às ações"repartir (igualmente)" e "determinar quanto cabe".Exemplos associados ao primeiro problema:
128
- Marta pagou R$ 24,00 por 3 pacotes de chocolate. Quanto custou cadapacote? (A quantia em dinheiro será repartida igualmente em 3 partes eo que se procura é o valor de uma parte.)- Marta gastou R$ 24,00 na compra de pacotes de chocolate quecustavam R$ 3,00 cada um. Quantos pacotes de chocolate elacomprou?(Procura-se verificar quantas vezes 3 cabe em 24, ou seja, identifica-sea quantidade de partes.) (BRASIL, 1997, p.110).
Pressupõe que para o aluno resolver um problema é necessário que ele
elabore um ou vários procedimentos de resolução tais como: realizar simulações,
fazer tentativas, formular hipóteses, comparar seus resultados com os de outros
alunos, validar seus procedimentos.
Os conteúdos selecionados aparecem organizados em blocos e por ciclos.
No entanto, relaciono somente os conceitos referentes a “Razões e Proporções”.
No item “Conteúdos propostos para o ensino de Matemática no terceiro
ciclo (5ª e 6ª séries)”, o nono parágrafo tem os seguintes dizeres:
O fato de que muitas situações da vida cotidiana funcionam de acordocom leis de proporcionalidade evidencia que o desenvolvimento doraciocínio proporcional é útil na interpretação de fenômenos do mundoreal. Assim, é desejável explorar no terceiro ciclo problemas que levemos alunos a fazer predições por meio de questões que envolvamaspectos qualitativos e quantitativos (O número encontrado deveria sermaior ou menor? Quanto maior? Essa resposta faz sentido?). Pararesolver esses problemas os alunos poderão construir procedimentosnão-convencionais, deixando para o quarto ciclo o estudo dosprocedimentos convencionais. (BRASIL, 1998, p. 67)
Portanto, no item “Conceitos e procedimentos”, no bloco “Números e
Operações”, tem-se os seguintes tópicos:
Reconhecimento de números racionais em diferentes contextos –cotidianos e históricos – e explorações de situações-problema em queindicam relação parte/todo, quociente, razão ou funcionam comooperador.Resolução de situações-problema que envolvam a idéia de propor-cionalidade, incluindo os cálculos com porcentagens, pelo uso deestratégias não convencionais. (BRASIL, 1998, p. 71).
129
Capítulo 6 Síntese da análise
Nesse capítulo, farei a análise dos conteúdos Razões e Proporções nos
três livros didáticos comparando os livros entre si e comparando-os com as
respectivas propostas curriculares. Para estruturar essa análise, elaborei uma
tabela e gráficos com o resumo da análise realizada no capítulo 4 (em percentual)
dos exercícios propostos quanto aos níveis de conhecimento esperado do aluno,
segundo os critérios de Aline Robert, assim como o esquema dos conteúdos
Razões e Proporções de cada um dos três livros didáticos com o propósito de
compará-los com o esquema disponível no capítulo 3 (p. 38). Também utilizarei
os comentários feitos ao final da descrição dos tópicos e as análises dos
exercícios propostos de cada livro.
6.1 Tabela resumo da classificação dos exercícios propostos
Nível de conhecimento
Variável Técnico Mobilizável Disponível
Época de
edição
do livro
7% 53% 40% 60/70
24% 24% 52% 80Nível de conhecimentoesperado no enunciadodo exercício 13% 21% 66% 2000
0% 47% 53% 60/70
24% 44% 32% 80
Nível de conhecimentonecessário para soluci-onar o exercício em re-lação as noçõesutilizadas 9% 60% 31% 2000
130
6.2 Gráficos
6.2.1 Variável – Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício
Nível de conhecimento esperado
24%13%
21%
40%
52%
66%
7%
24%
53%
0%10%20%30%40%50%60%70%
60/70 80 2000 Anos dos livros
técnicomobilizáveldisponível
6.2.2 Variável – Nível de conhecimento necessário para solucionar o
exercício em relação às noções utilizadas
Nível de conhecimento necessário
24%
9%
60%53%
32% 31%
0%
44%47%
0%10%20%30%40%50%60%70%
60/70 80 2000 Anos dos livros
técnicomobilizáveldisponível
6.3 Esquemas dos conteúdos Razões e Proporções dos livros didáticos
Nas próximas três páginas, disponibilizarei os esquemas dos tópicos dos
conteúdos Razões e Proporções de cada um dos três livros. Estes esquemas
serão comparados com o esquema disponível na página 38 deste trabalho.
131
6.3.1 Esquema do livro dos anos 60/70:
ESQUEMA DOS CONTEÚDOS RAZÕES E PROPORÇÕES
LIVRO DOS ANOS 60/70
Razões
Introduçãodefinição
Propriedadefundamental
Proporções
Aplicações
Recíprocada propriedade
fundamental
Termodesconhecido
numa proporção
ProporçõesContínuas
Médiageométrica Quarta e
terceiraproporc.
PropriedadesGerais dasProporções
Sucessõesde
númerosDivisões
em partes
DiretamenteInversamenteProporcionais
Grandezas
Regra de três
Simples
Composta Juros simples
DefiniçãoCapital,
Taxa e tempo
Porcentagem
Taxas
132
6.3.2 Esquema do livro dos anos 80:
ESQUEMA DOS CONTEÚDOS RAZÕES E PROPORÇÕES NO LIVRO
DOS ANOS 80
Razões
Entre doisnúmeros Entre duas
grandezas
Proporções
Quarta eterceira
proporcional.
OutrasPropriedades
das Proporções
Grandezase números
DiretamenteInversamenteProporcionais
Porcentagem
JurosSimples
Inversas
Da mesmaespécie
De espéciesdiferentes
Propriedadefundamental
Regra detrês
simples
Proporção commais de duas
razõesPropriedade
Regra de trêsComposta
133
6.3.3 Esquema do livro dos anos 2000:
ESQUEMA DOS CONTEÚDOS RAZÕES E PROPORÇÕES NO LIVRO
DOS ANOS 2000
Razões
Introduçãodefinição
Propriedadefundamental
Proporções
Aplicação
Aplicação
DiretamenteInversamenteProporcionais
Grandezas
Inversas Escalas
Regra de três
Simples Composta
PorcentagemCálculo
comPorcentagem
134
6.4 Análise e comparações
Essa análise qualitativa será feita embasada na tabela e nos gráficos (p.
129-130), nos esquemas dos conteúdos Razões e Proporções de cada livro
didático com o esquema inicialmente elaborado no terceiro capítulo (p. 38, 131, e
133), nas análises parciais de cada livro (p. 66, 89 e 118) e no capítulo 5,
“Sugestões dos documentos oficiais dos órgãos governamentais”.
Começo esta tarefa fazendo a análise dos livros. Numa segunda etapa,
farei a comparação entre os livros didáticos e, por último, farei a comparação dos
livros com as propostas curriculares vigentes na época de publicação de cada um
deles.
6.4.1 Análise dos esquemas dos livros e esquema padrão
Nessa seção, farei a análise comparativa entre os esquemas dos três livros
didáticos com o esquema padrão encontrado na maioria dos livros (p. 38).
Analisando os esquemas, pude observar que em nenhum dos três livros há
um tópico reservado para o estudo de “Grandezas”. Numa análise à parte, só
encontrei este tópico no livro de 5ª série da coleção dos livros dos anos 2000.
Quanto à divisão do conteúdo “Razões” não encontramos tópicos para
cada particularidade deste conteúdo, isto é, tópico para razões constantes,
especiais como: média aritmética, densidade, escala (sobre este item foi
encontrado um tópico exclusivo somente no livro dos anos 2000). No entanto, nos
135
exemplos e exercícios propostos eles estão presentes.
No conteúdo “Proporções”, há uma regularidade entre esquemas dos livros
e o esquema padrão, a não ser pelo fato do tópico “Juro Simples” não fazer parte
deste conteúdo no livro dos anos 2000.
Considerações: Observando o esquema padrão e os esquemas dos livros, notei
uma redução de tópicos entre os três livros.
6.4.2 Análise da classificação dos exercícios propostos
6.4.2.1 Análise da variável: Nível de conhecimento esperado no enunciado
do exercício
Analisando esta variável na tabela e nos gráficos, observei nos enunciados
dos exercícios propostos do livro dos anos 60/70 que o nível técnico apresenta
percentual inferior em relação aos outros níveis. O nível mobilizável é superior ao
disponível em 13%. Já no livro dos anos 80 há um empate entre os níveis técnico
e mobilizável e estes dois são 28% inferiores ao nível disponível. No livro dos
anos 2000, o nível disponível supera em 45% o nível mobilizável e este por sua
vez supera o nível técnico em 8%. Portanto nesta variável, o nível disponível
predominou nos livros dos anos 80 e no livro dos nos 2000, já no livro dos anos
60/70 quem predominou foi o nível mobilizável.
6.4.2.2 Analise da variável: Nível de conhecimento necessário para
solucionar o exercício em relação às noções utilizadas
Nesta variável, o nível técnico não figurou em nossa análise do livro dos
136
anos 60/70. Neste livro o nível disponível foi 6% superior ao nível mobilizável, ou
seja, uma pequena variação. No livro dos anos 80, o nível técnico foi inferior ao
nível disponível em 8%, este por sua vez foi 12% inferior ao nível mobilizável. No
livro dos anos 2000, o nível técnico foi 22% inferior ao nível disponível, este por
sua vez foi 29% inferior ao nível mobilizável. Portanto no livro dos anos 60/70, o
nível disponível predominou, no livro dos anos 80 o nível mobilizável foi o que
apresentou número maior em percentual, já no livro dos anos 2000, o nível
mobilizável teve expressiva predominância.
Considerações: Para mim o ideal seria que este percentual fosse o mesmo nos
três níveis das duas variáveis, isto é, que os exercícios fossem dosados de forma
a obter melhores resultados na relação aluno-saber.
6.4.3 Comparação entre livros didáticos
Passo agora a comparação dos livros didáticos com base nas análises e
comentários realizados.
Inicio a comparação pelas regularidades encontradas nos três livros:
• A maioria dos tópicos dos conteúdos Razões e Proporções nos três livros
didáticos iniciam por situações-problema.
• As seções “exercícios” dos três livros têm praticamente a mesma
quantidade de exercícios propostos.
• Os textos dos exercícios propostos estão próximos do conhecimento dos
alunos, salvo algumas exceções já mencionadas.
Apontando algumas irregularidades:
137
• Quanto aos textos das teorias dos tópicos, apesar dos três livros iniciá-las
por intermédio de situações-problema, no livro dos anos 2000 os autores
colocam o leitor como sujeito da problemática.
• Os recursos visuais foram utilizados com maior freqüência no livro dos
anos 2000, tais como: fotos, gráficos, gravuras, figuras geométricas e
outras figuras. No livro dos anos 60/70, as figuras geométricas foram bem
explorados. O livro dos anos 80 não apresenta nenhum destes recursos
visuais.
• Quanto à aplicação dos conceitos (habilidades de manuseio, por exemplo,
atividade solicitando a ampliação de figuras, dentre outras atividades), o
livro dos anos 2000 é o único que traz uma seção com essa preocupação,
a seção “Ação”. Os outros dois livros não apresentam nada semelhante.
• Considerando demonstrações, o livro dos anos 60/70 é mais se ocupou
deste quesito. Já os livros dos anos 2000 e dos anos 80, não
demonstraram a mesma preocupação.
Considerações: nestas comparações levei em consideração o ano de edição dos
livros. A tecnologia das décadas 60/70, por exemplo, era muito inferior em relação
à tecnologia atual (livro ano 2000), o que se reflete na qualidade dos recursos
gráficos das obras dos dois períodos, já na obra dos anos 80, a tecnologia dava
subsídios aos editores, no entanto não houve preocupação. A maior preocupação
com demonstrações, observado na obra dos anos 60/70 é devido ao tecnicismo
que vigorava nesta época.
Com relação aos esquemas, nenhum dos três livros tem um tópico
específico para o conteúdo “grandezas”.
138
Quanto à subdivisão do tema “Razões”, encontrei itens com nomes
diferentes, mas relativamente semelhantes quanto ao conteúdo. No entanto
nenhum deles traz subdivisões para os seguintes itens: razões constantes e
média aritmética (simples e ponderada).
Nos tópicos referentes ao conteúdo “Proporções” os nomes não são os
mesmos, mas trazem conceitos iguais, com a diferença no tratamento de cada
item. No livro dos anos 60/70, algumas propriedades são demonstradas. Outro
fato observável é a falta do item “Juros simples” no livro dos anos 2000.
As técnicas fundamentais utilizadas nas resoluções dos exemplos e ou
exercícios resolvidos (segundo Lins e Gimenes) nos três livros foram a
modelagem fracionária, a modelagem proporcional e a modelagem algébrica. A
redução à unidade não foi utilizada em nenhum dos livros.
6.4.4 Comparação dos livros didáticos e as respectivas propostas
curriculares
6.4.4.1 Comparação do esquema do livro dos anos 60/70 com o projeto de
um guia curricular (1972)
O projeto não especifica os tópicos necessários para os conteúdos Razões
e Proporções. No entanto, comparando o esquema do livro com a forma implícita
do projeto verifica-se uma coerência entre os dois documentos.
Considerações: este documento foi elaborado depois da publicação do livro, ou
seja, o livro já estava nas salas de aula.
139
6.4.4.2 Comparação do esquema do livro dos anos 80 com a proposta
curricular (1986)
Ao iniciar a comparação entre o livro dos anos 80 e a proposta curricular de
1986, tomarei com apoio a seguinte frase da proposta curricular: “Uma lista de
conteúdos não é suficiente para caracterizar uma proposta curricular” (p. 4).
Tendo como ponto de partida esta frase, a proposta curricular de 1986, a exemplo
do projeto do guia curricular de 1972 serve somente como ponto de apoio para o
professor. Portanto, não traz os tópicos referentes aos conteúdos Razões e
Proporções de forma explícita em itens próprios, cabe ao professor explicitá-los
nos planos disciplinares. No entanto, nas observações, tais assuntos são tratados
como sugestão de trabalho para o professor.
Quanto aos pontos de divergência entre esses dois documentos, encontrei
na proposta o tema “Grandezas não proporcionais”, por exemplo, com o cálculo
da área de um quadrado em relação ao aumento ou diminuição do tamanho do
lado. Esse assunto não consta no livro.
Outro ponto de divergência está na interdisciplinaridade com a geografia e
ciências, isto é, na geografia, a proposta sugere o desenvolvimento dos temas
escalas e densidade demográfica, já em ciências, sugere o trabalho coma
densidade volumétrica.
Também não encontramos no livro as sugestões da proposta quanto ao
uso das representações gráficas e tabelas, assim como a resolução de problemas
envolvendo o cálculo de uma corrida de táxi utilizando a variável y (valor da
corrida), em função de x (quilometro rodado), y = f(x) + b, por exemplo.
140
6.4.4.3 Comparação do esquema do livro dos anos 2000 com os Parâmetros
Curriculares Nacionais, PCN (1997)(1998)
Comparar o livro dos anos 2000 com os Parâmetros Curriculares Nacionais
PCN (1998) em relação aos parágrafos dos conteúdos Razões e Proporções não
é possível em termos explícitos, pois nos PCN, a exemplo dos dois outros
documentos, os conteúdos também não são divididos em tópicos. A preocupação
maior contida nos PCN está relacionada aos conceitos e procedimentos. A
principal preocupação é com as estratégias não convencionais para solucionar
situações-problema, propiciando ao aluno a construção de seu saber,
propriamente dito. e de seu “saber fazer”, validando as respostas encontradas.
Com isso, não encontramos muitas divergências no livro em relação aos PCN a
não ser na recomendação do uso da redução à unidade como técnica
fundamental na resolução dos conteúdos Razões e Proporções e a não inclusão
do tópico “Juros Simples” no livro.
141
Considerações Finais
Concluindo esse trabalho, apresento as respostas referentes às perguntas
iniciais desse trabalho embasado nas análises e comparações realizadas no
capítulo anterior.
Para apresentar a resposta da 3ª questão, este trabalho fundamentou-se
no critério de Aline Robert quanto aos níveis de conhecimento esperado dos
alunos nos exercícios propostos escolhidos dos três livros didáticos, analisando o
enunciado e as prováveis noções utilizadas pelo aluno na resolução destes.
Quando analisei os livros didáticos entre si e os livros com as respectivas
propostas curriculares da época em que foram publicados, verifiquei regula-
ridades na introdução dos tópicos, isto é, todos eles iniciam os tópicos com
situações-problema e os textos têm enunciados próximos dos alunos, salvo
algumas exceções. Este fato está relacionado com a preocupação em atender a
sugestão de trabalhar com situações-problema sugeridas nas propostas
curriculares.
Quanto às técnicas utilizadas nas resoluções dos exemplos e exercícios
resolvidos, verificamos que os três livros só apresentam a modelagem fracionária,
a modelagem proporcional e a modelagem algébrica. Em nenhum deles foi
observada a redução à unidade, item sugerido nas propostas.
Portanto, respondendo nossas questões iniciais, o livro dos anos 60/70,
142
visto como ferramenta de trabalho para o professor traz demonstrações de forma
a auxiliá-lo nas aulas, enquanto que os outros dois não têm esta função. O livro
dos anos 2000, seguindo as orientações dos Parâmetros Curriculares Nacionais,
utilizou-se de situações-problema para introduzir os assuntos dos conteúdos
Razões e Proporções, colocando o aluno como sujeito da ação.
Com o exposto anteriormente, verifica-se que os três livros didáticos dão
subsídio parcial aos professores, pois não estão plenamente elaborados com os
documentos oficiais dos órgãos governamentais, sendo estes documentos
apenas ponto de apoio, isto é, nestes documentos, tanto os livros quanto as
propostas, os autores deixam claro a responsabilidade do professor. Os livros
didáticos são apresentados em uma seqüência lógica, para o autor, cabe ao
professor efetuar análises finais como a proposta desse trabalho, quando
desejarem fazer mudanças ou desconsiderar uma noção ou outra. Na verdade,
seria interessante que o professor constituísse seu próprio curso e que os livros
didáticos servissem apenas como apoio para o aluno.
Observa-se que houve modificações quanto a disponibilização dos
conteúdos Razões e Proporções nos livros didáticos, isto é, no livro dos anos
60/70, as demonstrações são claramente estimuladas e é importante ressaltar a
preocupação do autor em escrever em matemática antes de apresentar uma
fórmula correspondente.
Essa atividade tem sido cada vez mais salientada por pesquisadores, pois
se trata de uma atividade importante e que conduz o aluno às práticas de
produção, tão necessária para seu desenvolvimento científico e cultural.
143
Também é importante observar a preocupação do autor em passar da
linguagem natural para a resposta numérica que permite ao estudante criar as
imagens mentais antes de passar para a representação algébrica. Neste caso,
mesmo não sendo explícito o autor vislumbra a importância do trabalho sobre
representação.
No entanto, a dificuldade apresentada pelos alunos dessa época pode
estar associada ao fato dos autores articularem constantemente geometria e
álgebra e utilizarem situações cotidianas nos exemplos e exercícios propostos.
Devemos observar que essas articulações assim como o trabalho com situações
cotidianas na maioria dos casos necessitam ser tratados em nível disponível.
Nos livros, dos anos 80 e dos anos 2000, as preocupações acima
mencionadas para o livro dos anos 60/70, foram substituídas pelas
recomendações da proposta de 1986 e dos PCN, respectivamente, quando
sugerem que o professor trabalhe mais com os alunos, incentivando-os a
construírem suas próprias estruturas para resolução de problemas. Portanto a
preocupação com demonstrações não faz parte destes livros
Há, no entanto, uma convergência entre os três livros, isto é, nas listas dos
exercícios propostos, os três níveis de conhecimento figuram, mas não de modo
necessário e suficiente em minha opinião. Portanto, os livros didáticos não devem
ser a única fonte de pesquisa para os professores de Matemática.
Cabe aos professores que ensinam matemática buscar subsídios que
levem ao desenvolvimento dos alunos, principalmente no campo de
144
conhecimento, utilizando teorias e/ou critérios, como o critério da Aline Robert
explorado por este trabalho, na análise dos exercícios propostos escolhidos de
cada um dos três livros, objetos deste trabalho, pois os alunos não passam pelas
etapas de planejamento e controle que em geral não são trabalhados e
explicitados no contrato didático. Cabe ao aluno encontrar seus próprios
planejamento e controle.
Portanto, para melhorar a qualidade de ensino, pesquisas com estes
conteúdos ou com outros conteúdos podem ser realizadas, não somente em livros
didáticos, mas também em outros referentes bibliográficos, como Internet,
revistas, disquetes, CD Rom, etc.
Termino esta dissertação desejando que o espírito de pesquisa tome conta
de todos os professores para que busquem sempre o seu crescimento intelectual.
Para mim, a educação traz a conscientização e, esta por sua vez, permite o
desenvolvimento pessoal e comunitário, pois ao realizar este trabalho muitas
coisas mudaram no meu modo de agir. Ao preparar minhas aulas, depois desta
pesquisa, tenho a preocupação em incluir nos exemplos e exercícios propostos,
os três níveis de conhecimento segundo Aline Robert.
Este mestrado para mim teve a mesma função de um fortificante para uma
pessoa debilitada. Cresci muito, mas muito mesmo, no meu conceito para comigo
mesmo. Faltou alguma coisa? Acho que sim, mas foi de minha parte, porque a
parte que cabia aos meus mestres foi muito maior do que eu esperava.
145
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