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Profesor Joel Amauris Gelabert S. Nagua, Rep. Dom. Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 1 Índice. Ecuaciones lineales…………….......2 Factorización……………………………4 Evaluación………………………….…….6 Factorización……………………………7 Evaluación………………………………12 Productos y Cocientes Notables…………………………………13 Evaluación………………………………16 Inducción matemática……………...18 Evaluación………………………………26 La línea recta……………………...…....27 Distancia de un punto a una Recta………………………….………...…28 Funciones trigonométricas……...34 Funciones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos…..37 Resolución de triángulos rectángulos………………………….....43 Aplicaciones de la resolución de triángulos rectángulos……….…...45 Cálculo trigonométrico del área de un triángulo rectángulo………….46 Resolución de triángulos no rectángulos…………………………....47 Evaluación………………………….…49 Problemas resueltos sobre geometría analítica………….……50 Funciones cuadráticas y gráficos…………………………………56 Ecuaciones de segundo grado……………………………..…..…58 Resolución de problemas aplicando ecuaciones de 2do grado……………………………………61 Sistemas de ecuaciones lineales…………………………………62 Método de sustitución…………...66 Método de igualación…………….69 Sistemas de 3 ecuaciones y 3 variables……………………………72 Evaluación……………………………74 Angulo entre dos vectores…............75 Logaritmos naturales y ecuaciones logarítmicas…………….79 Ecuaciones exponenciales…………81 Identidades trigonométricas……...83 Demostración de identidades trigonométricas………………………...86 Traslaciones, Simetrías, Rotaciones y Homotecias…………………………….94 Progresiones aritméticas…….…….99 Resolución de problemas aplicando progresiones aritméticas……….....100 Evaluación……………………………….101 Binomio de Newton………………….102 Aplicaciones del binomio de Newton……………………………………105 Evaluación……………………………….108 Arcos y ángulos de la circunferencia………………………….109 Evaluación……………………………….113 Matrices y determinantes……..…..114 Operaciones con matrices…….…..116 Producto de matríces……………….117 Resolución de problemas aplicando matrices………………..….119 Determinante de una matriz cuadrada…………………………………120 Propiedades de los determinantes……………...………….121 Aplicación de los determinantes en la solución de sistemas de sistemas de ecuaciones lineales………………….122 Evaluación……………………………....124 Sucesiones……………………...……….125 Límite de una sucesión……………126 Derivada de funciones algebraicas……………………………..129 Derivada de funciones trigonométricas………………….…..131 Nociones de cálculo integral……135

Reflexiones matemáticas

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Profesor Joel Amauris Gelabert S. Nagua, Rep. Dom.

Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 1

Índice. Ecuaciones lineales…………….......…2 Factorización……………………………4 Evaluación………………………….…….6 Factorización……………………………7 Evaluación………………………………12 Productos y Cocientes Notables…………………………………13 Evaluación………………………………16 Inducción matemática……………...18 Evaluación………………………………26 La línea recta……………………...…....27 Distancia de un punto a una Recta………………………….………...…28 Funciones trigonométricas……...34 Funciones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos…..37 Resolución de triángulos rectángulos………………………….....43 Aplicaciones de la resolución de triángulos rectángulos……….…...45 Cálculo trigonométrico del área de un triángulo rectángulo………….46 Resolución de triángulos no rectángulos…………………………....47 Evaluación………………………….…49 Problemas resueltos sobre geometría analítica………….……50 Funciones cuadráticas y gráficos…………………………………56 Ecuaciones de segundo grado……………………………..…..…58 Resolución de problemas aplicando ecuaciones de 2do grado……………………………………61 Sistemas de ecuaciones lineales…………………………………62 Método de sustitución…………...66 Método de igualación…………….69 Sistemas de 3 ecuaciones y 3 variables……………………………72 Evaluación……………………………74

Angulo entre dos vectores…............75 Logaritmos naturales y ecuaciones logarítmicas…………….79 Ecuaciones exponenciales…………81 Identidades trigonométricas……...83 Demostración de identidades trigonométricas………………………...86 Traslaciones, Simetrías, Rotaciones y Homotecias…………………………….94 Progresiones aritméticas…….…….99 Resolución de problemas aplicando progresiones aritméticas……….....100 Evaluación……………………………….101 Binomio de Newton………………….102 Aplicaciones del binomio de Newton……………………………………105 Evaluación……………………………….108 Arcos y ángulos de la circunferencia………………………….109 Evaluación……………………………….113 Matrices y determinantes……..…..114 Operaciones con matrices…….…..116 Producto de matríces……………….117 Resolución de problemas aplicando matrices………………..….119 Determinante de una matriz cuadrada…………………………………120 Propiedades de los determinantes……………...………….121 Aplicación de los determinantes en la solución de sistemas de sistemas de ecuaciones lineales………………….122 Evaluación……………………………....124 Sucesiones……………………...……….125 Límite de una sucesión……………126 Derivada de funciones algebraicas……………………………..129 Derivada de funciones trigonométricas………………….…..131 Nociones de cálculo integral……135

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Ecuaciones Lineales.

Una ecuación lineal o de primer grado: Es una igualdad en la que aparecen relacionadas mediante las operaciones matemáticas básicas constantes y variables cuyos valores son desconocidos. Ejemplos:

1. 5x+8=48

2. 3m+6m−25=56

3. 4y+8y+50= 5y+99

4. 5x

4 +5= 15

Solución de una ecuación lineal.

Resolver una ecuación lineal es bastante sencillo y para ello debemos tener en cuenta las operaciones matemáticas básicas y sus operaciones inversas, así como también las propiedades del opuesto aditivo y del opuesto multiplicativo. Ejemplos: Halle el valor de x en las siguientes ecuaciones lineales.

1. 5x

4 +5=15

4( 5x

4 +5)= 4 (15)

5x+20=60

5x= 60 −20

5x

5 =

40

5

x = 8

2. 8m+4m−30=90

12m−30=90

12m= 90+30

12m=120

12m

12 =

120

12

m =10

En esta ecuación se puede utilizar tanto el procedimiento 1 como el procedimiento 2 porque si observamos bien ambos procesos son similares. En ambos se observa que se transpone la constante que se está sumando y luego se multiplica por 4 en ambos lados de la igualdad y luego se simplifica hasta obtener el resultado.

2. 5x

4 +5=15

5x

4 = 15− 5

4( 5x4

)= 4 (10)

5x =40

5x

5 =

40

5

x = 8

En el ejemplo que está

a mi izquierda se

redujeron los términos

semejantes, se

transpuso al otro lado

el −30 aplicando la

propiedad del opuesto

aditivo y luego se

dividió de ambos lados

por 12 para obtener el

valor de la variable m.

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3. Halle el valor de x

5x

3 +

3x

2 −

x

4 = 70

12 ( 5x

3 +

3x

2 −

x

4 ) =12(70)

60x

3 +

36x

2 −

12x

4 = 840

20x+18x −3x = 840

35x = 840

35x

35 =

840

35

x= 24

4. Halle el valor de y

4y+8y+50= 5y+99

12y+50= 5y+99

12y− 5y= 99 −50

7y = 49 7y

7 =

49

7

y = 7

5. Halle el valor de m

3m+6m−25=56 9m −25=56 9m= 56+25 9m= 81

9m

9 =

81

9

m=9

Para resolver esta ecuación buscamos un común denominador entre 3, 2 y 4, o sea un número que pueda dividirse exactamente entre 2, entre 3 y entre 4. Este común denominador o número es 12, luego multiplicamos ambos miembros de la igualdad por 12 y simplificamos los resultados reduciendo términos semejantes hasta obtener el valor de x.

En esta ecuación sumamos (4y) y (8y), luego se transponen el 50 hacia la derecha y el 5y hacia la izquierda, se reducen los términos semejantes y se divide para hallar el valor de y.

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Resolución de problemas aplicando ecuaciones lineales.

1. Halle 3 números consecutivos sabiendo que la suma de ellos es 87. Solución: Se a x el primer número. X+1 el segundo número

X+2 el tercer número Conforme a esto tendremos que:

x+x+1+x+2= 87 3x+3= 87 3x= 87−3 3x= 84

3x

3 =

84

3

x =28

Los números consecutivos buscados son: 28, 29 y 30 2. Problema 2.

Un grupo de palomas van volando y en el aire se encuentran con un Loro el cual les pregunta: ¿A dónde van mis 100 palomas? Por su parte las palomas respondieron: No, nosotras no somos 100, nosotras, mas una parte igual a nosotras, más la mitad de nosotras, más la cuarta parte de nosotras y tú completamos 100.

¿Con cuántas palomas se encontró el Loro?

Solución:

Sea m la cantidad de palomas.

Sea m

2 la mitad de ellas y

m

4 la cuarta parte

Luego:

m+ m+ m

2 +

m

4 +1= 100

2m+ m

2 +

m

4 = 100 −1

2m+ m

2 +

m

4 = 99

4(2m + m

2 +

m

4 )= 4(99)

8m + 4m

2 +

4m

4 =396

8m +2m + m=396

11m = 396

11m

11 =

396

11

m=36

Luego: x+1=28+1

x+1=29 x+2=28+2

x+2=30

Se realiza la suma m+m y se transpone el 1 hacia el otro lado de la igualdad aplicando la propiedad del opuesto aditivo. Se toma el 4 como común denominador y se multiplican ambos miembros de la igualdad por 4, luego simplificamos reduciendo términos

semejantes hasta llegar al cociente: 396

11 cuyo

resultado es la solución del problema.

Comprobación:

m+ m+ m

2 +

m

4 +1= 100

36+ 36+ 36

2 +

36

4 +1= 100

72+18+9+1=100

100=100

El Loro se encontró con 36 palomas.

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3. Halle 3 números pares consecutivos sabiendo que la suma de ellos es igual a 54. Solución:

Sea x el primer número.

x+2 el segundo número.

x+ 4 el tercer número.

Luego:

x+x+2+x+4=54

3x+6=54 3x = 54 −6 3x = 48

3x

3 =

48

3

x = 16

Los números buscados son: 16, 18 y 20.

4. Resuelve.

Si al tríplo de un número se le suma su duplo disminuido en 60, el resultado es igual a 190.

¿Cuál es el número?

Solución:

Si representamos por k el número, tendremos que:

3k+2k − 60=190

5k − 60=190

5k =190+60

5k= 150

5k

5 =

150

5

k =30

El número buscado es 30.

5. Un padre le dice a su hijo: dentro de 5 años mi edad será el doble de la tuya más 6 años.

Si dentro de los 5 años la suma de sus edades será 81 años. ¿Qué edad tendrá cada uno al transcurrir los 5 años? Solución: Sea y la edad actual del hijo. En 5 años tendrá y+5 años y la edad del padre será: 2(y+5)+6 o sea (2y+16) años. Luego: y+5+2y+16 = 81 3y+21 = 81 3y = 81 −21 3y = 60

3y

3 =

60

3

y = 20

Por tanto: x+2= 16+2 x+2= 18

x+2= 16+4 x+2= 20

¡Recuerda! Siempre debes practicar.

La edad del hijo será 25 años y la edad del padre será 56 años.

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Evaluación.

I. Seleccione la respuesta correcta.

1. El valor de x en la ecuación 7x−19=30 es igual a: A. 8 B. 5 C. 7

2. Si Juan le dice a Pedro: yo tengo el doble del dinero que tú tienes más $250 pesos y entre los dos tienen $1,750. ¿Qué cantidad de dinero tiene Juan? A. $500 B. $700 C. $1,250

3. ¿Cuál es el procedimiento correcto para resolver la ecuación 5m

4 + 8=33?

A. 5m

4 + 8=33 B. C.

5m

4 = 33 −8

5m

4 = 25

5m=4(25)

5m=100

5m

5 =

100

5

m=20

4. ¿Qué número tiene la peculiaridad de que si se le suma su triplo disminuido en 60 el resultado es él mismo incrementado en 30? A. 40 B. 30 C. 20

5. ¿Cuáles son los valores de m y a en las ecuaciones 4m+25=125 y 8a−24=40? A. m=8 y a=5 B. a=25 y m=8 C. m=25 y a=8

II. Resuelve las siguientes ecuaciones lineales.

1. 6k+26=10

2. 7m+25+3m=5m+225

3. 18𝑤

5 +10=2w+26

4. 8x+4x−100=20

5. 9y−4y+15=60

III. Resuelve los siguientes problemas aplicando ecuaciones.

1. Si al duplo de la edad de Marcos se suma su cuádruplo disminuido en 40 años, el resultado es su edad aumentada en 60 años. ¿Qué edad tiene Marcos?

2. Halle 4 números pares consecutivos sabiendo que la suma de ellos es igual a 132.

3. El precio de un producto es el triplo del precio del otro menos $55 pesos, si por ambos productos se pagó un total de $305 pesos. ¿Cuál es el precio de cada producto?

5m

4 + 8=33

5m

4 = 33+ 8

5m

4 = 41

5m=4(41)

5m=160 5m

5 =

160

5

m=32

5m

4 + 8=33

5m

4 = 33+ 8

4 ( 5m

4 )= 4(41)

5m=164

5m

5 =

164

5

m=32.8

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Factorización. Diferencia de cuadrados. Una diferencia de cuadrados es un binomio especial formado por dos términos que tienen raíces cuadradas exactas, separados por el signo de menos. Ejemplos.

1. 36x2- 64y2. 2. 100m4- 144n4 3. 81k2- 25w2.

Para factorizar una diferencia de cuadrados debemos buscar las raíces cuadradas de los dos términos que forman dicha diferencia de cuadrados y luego se expresa el producto de la suma de las raíces por la diferencia de las mismas. Ejemplos 1

Factorizar

49m2-100y2 buscamos la raíz cuadrada de cada término.

49m22 = 7m.

100y22 = 10y.

Luego los factores buscados son: (7m+10y) (7m-10y).

Ejemplo 2. Factorizar 36a4 – 64m4. Buscamos las raíces cuadradas de cada término.

36a42 =6a2

64m42 =8m2

y formamos dos binomios con estas raíces escribiendo en uno de ellos la suma de dichas raíces y en el otro la diferencia de las mismas.

Los factores buscados son: (6a2+8m2) (6a2 -8m2).

Ejemplo 3. Halle los factores de la siguiente diferencia de cuadrados. 81x4 – 144y4 Buscamos la raíz cuadrada de cada término

81x4 = 9x2

144y4 =12x2

Con estas raíces formamos dos binomios y expresamos el producto de dichos binomios escribiendo en uno la suma de las raíces y en el otro la diferencia de las mismas.

Luego los factores buscados son:

(9x2+12y2)(9x2-12y2)

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Factorice las siguientes diferencias de cuadrados. 1. 25x4 –16a4 2. 144m2 –169y2 3. 9x2 - 81y2 4. 169w6 –100z6

5. 16

25 m4 −

64

81 x4

6. 121 b8 – 36 y8

Trinomio de la forma x2± bx ±c

Para factorizar un trinomio de esta forma, formamos dos binomios, se busca la raíz cuadrada del término cuadrático y buscamos dos cantidades cuyo producto sea ± c y cuya suma algebraicamente sea ± bx. Ejemplos. 1. x2+6x+8 2. a2+9x+20 3. m2-12m+32 4. y2+5y-36 Hallar los factores de los siguientes trinomios 1. x2+7x-60 Buscamos dos números que multiplicados cuyo producto sea 60 y que sumados algebraicamente nos den 7. Estos números son 12 y -5 ya que (12) x (-5)=-60 y -5+12=7 Luego los factores buscados son: (x+12) (x-5) Ejemplo 2. Hallar los factores de m2+16m+28 Buscamos dos números cuyo producto sea 28 y que sumados den 16 Estos números son 14 y 2 ya que (14) x (2)=28 y 14+2=16, por tanto los factores son: (m+14) (m+2) Ejemplo 3. Hallar los factores de a2-8a-48 Se buscan dos números que multiplicados den -48 y que sumados den -8 Estos números son -12 y 4 ya que -12x4=-48 y -12+4=-8, por lo que los factores son: (a-12) (a+4). Factorizar los siguientes trinomios.

1. x2+10x+21 2. w2-5w+6 3. b2+15b+56 4. y2+7y-44 5. m2-10m+24

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Trinomio de la forma ax2+bx+c Dado el trinomio 5x2+8x+3

Hallar sus factores.

Se multiplica el trinomio por el coeficiente del término cuadrático 5(5x2)+5(8x)+5(3) Se escribe de la forma (5x)2+8(5x)+15 Se asume que a=5x y expresamos el trinomio en función de a a2+8a+15 Como se le dio la forma x2+bx+c, buscamos dos números que multiplicados den 15 y que sumados den 8, estos números son 3 y 5 (a+5)(a+3) y como a=5x, entonces

(5x+5)(5x+3)

𝟓𝐱+𝟓 (𝟓𝐱+𝟑)

𝟓 𝐱 𝟏 = (x+1) (5x+3)

Luego los factores buscados son (x+1) (5x+3)

Ejemplo 2.

Halle los factores del trinomio 7x2+10x+3

Solución

Multiplico el trinomio por el coeficiente del término cuadrático

7(7x2)+7(10x)+7(3)

Se escribe de la forma

(7x)2+10(7x)+21

Se asume que a=7x

a2+10a+21

Estas cantidades son 7 y 3 ya que 7x3=21 y 7+3=10 luego los factores son:

(a+7) (a+3) y como a=7x sustituyo a por 7x

(7x+7)(7x+3)

𝟕𝐱+𝟕 (𝟕𝐱+𝟑)

𝟕 𝐱 𝟏 = (x+1) (7x+3)

Luego los factores del trinomio 7x2+10x+21 son: (x+1) (7x+3)

Ejercicios propuestos Factorice los siguientes trinomios.

1. 8x2+15x+7

2. 4x2+9x+5

3. 9x2+6x-3

4. 5x2+14x+9

5. 7x2+12x+5

Como multiplique por 5, divido por 5 para volver el trinomio a su forma original.

Como este trinomio tiene la forma x2+bx+c buscamos dos cantidades cuyo producto sea 21 y cuya suma algebraica sea 10

Como multiplique por 7 se divido por 7 para que el trinomio vuelva a su forma original

Una forma de obtener un trinomio ax2+bx+c es combinando con operaciones de (+ o − ) una variable al cuadrado con su coeficiente numérico y una constante, de forma que el término medio sea la suma del coeficiente numérico de la variable cuadrada y la constante.

¿Cómo se obtiene un trinomio de la forma ax2+bx +c?

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Factorización de un trinomio cuadrado perfecto.

Un trinomio cuadrado perfecto es aquel trinomio en el cual el primer y el tercer término tienen raíz cuadrada exacta y el término medio es el doble del producto de las raíces de los otros dos Ejemplos.

1. 36x2+60xy+25y2

2. 100a2+140ab+49b2

3. 16m2+64mn+64n2

4. 81w2+180wk+100k2

Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto debemos dar los siguientes pasos:

1. Buscamos las raíces cuadradas del primer y el tercer termino

2. Verificamos que el término medio sea el doble de las raíces de los otros dos

términos.

Ejemplo 1.

Factorice siguiente trinomio cuadrado perfecto.

36x2+60xy+25y2

Solución:

Buscamos la raíz cuadrada del primer y tercer término

36x2 =6x

25y2 =5y

Verificamos que el término medio sea el doble del producto de las raíces

2(6x) (5y)=60xy como esto se cumple los factores buscados son:

(6x+5y)(6x+5y)

Ejemplo 2.

Halle los factores de la expresión 100a2+80ab+16b2

Solución:

Buscamos la raíz cuadrada del primer y el tercer termino

100a2 = 10a

16b2 = 4b

Se verifica que el término medio sea el doble del producto de las raíces

2(10a) (4b)= 80ab

Al verificarse esto, concluimos diciendo que los factores buscados son: (10a+4b) (10a+4b)

Factorice los siguientes trinomios cuadrados perfectos.

1. 36x2+60xy+25y2 2. 100a2+140ab+49b2 3. 16m2+64mn+64n2 4. 81w2+180wk+100k2 5. 144y2+120ym+100m2

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Factorización de una suma de cubos.

Una suma de cubos es un binomio en el cual sus términos tienen raíz cubica exacta. Ejemplos:

1. 27x3+64m3

2. 729 a3+125b3

3. 216x3+343y3

4. 512w3+8n3

¿Cómo factorizar una suma de cubos?

Para factorizar una suma de cubos, buscamos la raíz cúbica de las cantidades que la

forman y con ellas formamos un binomio, luego formamos un trinomio con el

cuadrado de la primera raíz menos la primera raíz por la segunda más el cuadrado

de la segunda raíz y se expresa el producto del binomio y del trinomio siendo

estos los factores buscados.

Ejemplos. Factorice la siguiente suma de cubos. 27x3+64m3

1. Buscamos las raíces cúbicas de 27x3 y 64m3

27x33=3x

64m33=4m

2. Formamos un binomio con las raíces

(3x+4m)

Luego formamos un trinomio con el cuadrado de la primera raíz menos el

producto de ambas más el cuadrado de la segunda raíz.

(9x2-12xm+16m2)

Luego los factores buscados son:

(3x+4m)(9x2-12xm+16m2)

Halle los factores de 125a3+729y3

125a33 = 5a

729y33 = 9y

Luego (5a+9y) (25a2-45ay+81y2) son los factores buscados.

Factorice 27

64 w3 +

343

8 m3

Buscamos las raíces cúbicas de ambos términos

27

64 w3

𝟑 =

3

4 w

343

8 m3

𝟑 =

7

2 m luego los factores buscados son:

( 3

4 w +

7

2 m) (

9

16 w2 -

21

8 wm+

49

4 m2)

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Evaluación.

Seleccione la respuesta correcta.

1. Los factores de la expresión 36x2 – 64m2 son:

A. (8x – 6m) (8x – 6m) B. (6x –8m) (6x+8m) C. (6x+8m)(6x+8m) 2. ¿Cuál de las siguientes expresiones no es un cuadrado perfecto?

A. 4x2+ 40xy+25y2 B. 36x4+120x2 y2+100y4 C. 16m2+ 32mn+8n2 3. ¿Cuáles son los factores del trinomio 100w2+80wk+16k2?

A. (10w+8k)(10w+8k) C. (10w+4k) (10w+4k) B. (10w −8m)(10w+4k)

4. ¿Cuáles son los factores de la expresión x2+ 15x+56? A. (x+8) (x+8) B. (x+7) (x+8) C. (x+8) (x+8)

5. Los factores de la expresión 343m3 + 729y3 son: A. (7m+9y)(49m2+72my+81y3) C. (7m+9y)(49m2+9y) B. (7m+9y)(49m2 −72my+81y2)

6. Si (4x – 5m) es un factor de 16x2 – 25m2 ¿Cuál es el otro?

A. (x+8) B. (8x – 6m) C. (4x+5m) Factorice las siguientes expresiones.

1. 64x2+ 80xy+25y2 2. x2+15x+54 3. 5x+12x+7

4. 27w3 +64a3 5. 81x2 −100y2 6. 49m2 −16w2 7. 4a2+72ab+81b2 8. 4k2+10k+6

9. 125x3 −729y3

10. a2+20a+9

Factorice y luego simplifique las siguientes expresiones.

1. 36x2+84xy +49y2

(6x+7y) =

2. 216m3+512k3

(36x2−48mk +64k2) =

3. 81w2−144a2

(9w−12a) =

4. 9x2+16x+7

(9x+7) =

5. 343w3+729y3

(7w+9y) =

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 13

Productos y Cocientes Notables.

Productos Notables.

Los productos notables son productos especiales en los que no es necesario multiplicar para obtener sus resultados ya que solo basta con aplicar ciertas reglas o patrones. Entre los productos notables tenemos:

Cuadrado de la suma de dos cantidades.

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más dos veces la primera cantidad por la segunda, mas el cuadrado de la segunda cantidad. Ejemplo 1. (x+y)2 = (x)2 +2(x) (y) + (y)2

(x+y)2 = x2 +2xy + y2

Ejemplo 2. (2m+5y)2 = (2m)2+2(2m) (5y)+ (5y)2

(2m+5y)2 = 4m2+20my)+ 25y2

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades. El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos dos veces la primera cantidad por la segunda, mas el cuadrado de la segunda cantidad. Ejemplo 1. (a−b)2 = (a)2 +2(a)(b) +(b)2

(a−b)2 = a2 +2ab + b2

Ejemplo 2. (2k−4m)2 = (2k)2 +2(2k)(4m) +(4m)2

(a−b)2 = 4k2 +16km + 16m2

Cubo de la suma de dos cantidades. El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad, mas 3 veces el cuadrado de la primera por la segunda cantidad, mas 3 veces la primera por el cuadrado de la segunda cantidad más el cubo de la segunda cantidad. Ejemplo 1.

(3x+2w)3 = (3x)3+ 3(3x)2(2w)+3(3x)(2w)2+(2w)3

(3x+2w)3 = 27x3+ 3(9x2)(2w)+(9x)(4w2)+8w3

(3x+2w)3 = 27x3+ 54x2 w+36xw2+8w3

Ejemplo 2. (5x+4y)3 = (5x)3+3(5x)2(4y)+3(5x)(4y)2 +(4y)3

(5x+4y)3 = 125x3+3(25x2)(4y)+3(5x)(16y2) +64y3

(5x+4y)3 = 125x3+300x2 y+240x y2 +64y3

Recuerda: Debes aprenderte la regla de cada producto notable.

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Cubo de la diferencia de dos cantidades. El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad, menos 3 veces el cuadrado de la primera por la segunda cantidad, mas 3 veces la primera por el cuadrado de la segunda cantidad menos el cubo de la segunda cantidad. Ejemplo 1.

(2k−4m)3 = (2k)3 −3(2k)2(4m) +3(2k)(4m)2 – (4m)3

(2k−4m)3 = 8k3 −3(4k2)(4m) +(6k)(16m2) – 64m3

(2k−4m)3 = 8k3 −48k2m +(96k m2 – 64m3

Ejemplo 2.

(8y−7k)3 = (8y)3 −3(8y)2(7k)+3(8y)(7k)2 –(7k)3

(8y−7k)3 = 512y3 −3(64y2)(7k)+(24y)(49k2) –343k3

(8y−7k)3 = 512y3 −1,344y2k+1,176yk2–343k3

Ejercicios Resueltos.

Halle el resultado de los siguientes productos notables.

1. (2b+6y)2 = (2b)2 +2(2b)(6y) + (6y)2

= 4b2 +24by + 36y2

2. (5x+10k)2 = (5x)2 + 2(5x)(10k)+ (10k)2

= 25x2 +100xk + 100k2

3. (6m−9w)3 = (6m)3 −3(6m)2(9w)+3(6m)(9w)2 –(9w)3

= 216m3 −3(36m)2(9w)+(18m)(81w2) –729w3

= 216m3 −972m2 w+1,458mw2 –729w3

4. (3a+5y)3 = (3a)3+3(3a)2(5y)+3(3a)(5y)2 +(5y)3

= 27a3+3(9a2)(5y)+(9a)(25y2) +125y3

= 27a3+135a2 y+225ay2 +125y3

5. ( 3

4 x −

2

5 y)2 = (

3

4 x)2 −2(

3

4 x) (

2

5 y)+ (

2

5 y)2

= 9

16 x2 −2(

6

20 x y)+

4

25 y2

= 9

16 x2 −

12

20 x y+

4

25 y2

6. (4m3 +2x2)2 = (4m3)2 +2(4m3)(2x2)+(2x2)2

= 16m6 +16m3 x2+4x4

Observa con detenimiento estos ejemplos

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Cocientes notables.

Al igual que en los productos notables, en los cocientes notables no es necesario dividir para obtener el resultado, ya que dicho resultado se puede obtener por simple inspección. Ejemplos: Diferencia de cuadrados

1. a2−b2

a−b =

a−b (a+b)

(a−b) = a+b

2. (25m2−100x2)

(5m−10x) =

5m−10x (5m+10x)

(5m−10x) = 5m+10x

Suma de cubos

3. x3+y3

(x+y) =

x+y (x2−xy +y2)

(x+y) = x2−xy+y2

4. y2+𝑦𝑘+𝑘2

(x3+y3) =

(y2+yk +k2)

y+k (y2+yk +k2) =

1

(y+k)

5. x3+y3

(x2−xy +y2) =

x+y (x2−xy +y2)

(x2−xy +y2) = x+y

Diferencia de cubos

6. x3−y3

(x2+xy +y2) =

x−y (x2+xy +y2)

(x2+xy +y2) = x−y

7. x3−y3

(x−y) =

x−y (x2+xy +y2)

(x−y) = x2+xy+y2

Trinomio de la forma x2+bx+c

8. (a2+10a+24)

(a+6) =

a+6 (a+4)

(a+6) = a+4

9. (x2+8x+15)

(x+5) =

x+5 (x+3)

(x+5) = x+3

Trinomio cuadrado perfecto

10. (a2+8a+16)

(a+4) =

a+4 (a+4)

(a+4) = a+4

11. (36m2+120mk +100k2)

(6m+10k) =

6m+10 (6m+10k)

(6m+10k) = 6m+10k

Trinomio de la forma ax2+bx +c

12. (4x2+12x+8)

(x+2) =

x+2 (4x+4)

(x+2) = 4x+4

13. (5k2+15k+10)

(5k+5) =

k+2 (5k+5)

(5k+5) = k+2

Observa estas reglas de los cocientes notables, porque te serán muy útiles cuando vayas a simplificar expresiones algebraicas.

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Evaluación. Explique las reglas de: 1. El cuadrado de la suma de dos cantidades. 2. El cubo de la suma de dos cantidades. 3. El cubo de la diferencia de dos cantidades. 4. El cuadrado de la diferencia de dos cantidades.

Halle el resultado de los siguientes productos notables.

1. (7x+8m)2 =

2. (9m−5y)3 =

3. (4k+3a)2 =

4. (8w+6m)3 =

5. (3y−10k)2 =

6. (2x2 +3y4)2 =

Coloca en la raya de la derecha el número que le corresponde en la columna de la izquierda.

1. (3m+2y)2

2. (7x+5k)3

3. 4x2 + 20xy+25y2

4. (2a+6y)3

5. 27x6 +54x4 +36x2 +8

6. 25w2 −20wz+4z2

Simplifique y luego desarrolle la potencia del binomio resultante.

1. 2x+4m 2 . 2x+4m 4

2x+4m 3 =

2. 3k+5y 3 . 3k+5y 4

3k+5y 5 =

3. 10a+8x 7

10a+8x 4 =

4. 5m+10k 2 . 6w+2y 4

25m2+100mk +100k2 6w+2y 2 =

5. 7x+9y 3 . 7x+9y 2

7x+9y 4 =

______ 4a2+24ay +36y2

______ (5w −2z)2

______ (3x2 +2)3

______ 9m2 +12my+4y2

______ 343x3 +735x2k+525xk2+125k3

______ (2x+5y)2

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Halle el resultado de los siguientes cocientes sin tener que realizar la división.

1. 16b2+40bm +25m2

(4b+5m) =

2. 144x4−81y4

(12x2+9y2) =

3. k2+15k+56

(k+8) =

4. 343w3+512a3

(7w +8a) =

5. y2−yz +z2

(y3+Z3) =

6. 729a3+64m3

(9a2+36am +16m 2) =

7. k2+15k+56

(k+8) =

8. 10x2+8x−2

(x+1) =

9. 64z2+96zk +36k2

(8z+6k) =

10. k2+15k+56

(k+8) =

11. 27b3−125a3

(3b−5a) =

12. 169n2−49p2

(13n2−7p2) =

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Inducción matemática.

La inducción matemática: Es un procedimiento o método de demostración que se utiliza para probar y/o demostrar que algunas operaciones o proposiciones se verifican para cualquier número natural, es decir, (∀n∈N). Principio de inducción matemática Si una propiedad p se cumple para un número natural k cualquiera, también se cumplirá para su sucesor k+1 y por consiguiente se cumplirá para cualquier número natural.

Pasos para probar una proposición por inducción matemática

1. Se prueba la proposición dada para n=1 2. Se prueba para n=k, lo cual se acepta como verdadero por ser la hipótesis

de la inducción. 3. Si la propiedad se cumple para n=1 y para n=k, entonces se prueba para

n=k+1.

Ejemplo 1.

Pruebe por inducción matemática que 3+7+11+………..+4n-1= n (2n+1)

Solución:

1. Para n=1

4(1)-1=1[2(1)+1]

4-1=1(3)

3=3

2. Para n=k

3+7+11+……..+4k-1=k (2k+1) hipótesis

3. Para n=k+1

3+7+11+……. +4k-1 +4(k+1)-1=k+1[2(k+1) +1]

k (2k+1)+4k+4-1=k+1(2k+2+1)

2k2+k+4k+3=2k2+2k+k+2k+2+1

2k2+5k+3=2k2+5k+3 L.Q.Q.D.

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Ejemplo 2. Pruebe por inducción que ∀n∈ N se cumple que 3+5+7+………+ (2n+1)=n(n+2) Solución:

1. Probamos que se cumple para n=1

2(1)+1=1(1+2)

3=3

2. Si se cumple para n=1, entonces debe cumplirse para n=k

3+5+7+…………+2k+1=k (k+2) hipótesis

3. Probamos para n=k+1

3+5+7+………..+2k+1+ 2(k+1) +1= (k+1) [(k+1) +2]

Como: 3+5+7+………..+2k+1 es igual a k (k+2) entonces:

k (k+2) +2k+2+1= (k+1)(k+3)

k2 +2k+2k+3= k2+3k+k+3

k2+4k+3= k2+4k+3 L.Q.Q.D.

Ejemplo 3

Probar por inducción matemática que: 1+3+5+……….+2n-1=n2 se cumple para cualquier numero natural. Solución:

1. Probamos la propiedad para n=1

2(1)-1= (1)2

2-1=1

1=1.

2. Probamos ahora para n=k

1+3+5+………..2k-1=k2 hipótesis

3. Se hace n=k+1 y se prueba la propiedad

1+3+5+……….+2k-1 + 2(k+1)-1= (k+1)2

Como: 1+3+5+……….+2k-1 = k2 tendremos que:

k2+2k+2-1=k2+2(k) (1)+ (1)2 Se desarrolla el cuadrado del binomio (k+1)2

k2+2k+1=k2+2k+1 L.Q.Q.D.

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Ejemplo 4. Pruebe por inducción que 5+9+13+…………+4n+1=n (2n+3) se cumple para cualquier numero natural. Solución:

1. Para n=1

4(1)+1=1[(2(1)+3]

4+1= 1(5)

5=5

2. Para n=k

5+9+13+………..+4k+1=k (2k+3) hipótesis inductiva

3. Para n=k+1

5+9+13+………+4k+1 + 4(k+1)+1= (k+1) [2(k+1)+3]

k (2k+3)+4k+4+1=(k+1)(2k+2+3)

2k2+3k+4k+5=k2+2k+3k+2k+2+3

2k2+7k+5= k2+7k+5 L.Q.Q.D.

Ejemplo 5. Pruebe aplicando el método de inducción matemática que

1.2+2.3+3.4+……..+n(n+1)= n n+1 (n+2)

3 se cumple para cualquier

numero natural.

Solución:

Paso 1.

Se hace la prueba para n=1

1(1+1)= 1 1+1 (1+2)

3

1(2)= 1 2 (3)

3

2= 6

3

2=2

Paso 2.

Ahora se hace n=k

1.2+2.3+3.4+……..+k (k+1)= k k+1 (k+2)

3 hipótesis inductiva

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Paso 3. Se hace n=k+1

1.2+2.3+3.4+……..+k (k+1) + (k+1) (k+1+1) = (k+1) k+1+1 (k+1+2)

3

La parte subrayada se sustituye por k k+1 (k+2)

3 por lo que:

k k+1 (k+2)

3 + (k+1) (k+2) =

(k+1) k+2 (k+3)

3

Se realiza la suma de las fracciones del lado izquierdo.

k k+1 k+2 +3 k+1 (k+2)

3 =

(k+1) k+2 (k+3)

3

Extrayendo (k+1) (k+2) como factor común del lado izquierdo, nos queda que:

k+1 k+2 k+3

3 =

(k+1) k+2 (k+3)

3 L.Q.Q.D.

Ejemplo 6.

Pruebe por inducción matemática que

1.3+2.4+3.5+………..+n(n+2)= n n+1 (2n+7)

6 se cumple para cualquier

numero natural.

Solución: Paso 1.

Verificamos si la proposición se cumple para n=1

1(1+2)= 1 1+1 [2(1)+7)]

6

1(3)= 1 2 (9)

6

3= 18

6

3=3 Paso 2. Al cumplirse para n=1, ahora se sustituye por n=k

1.3+2.4+3.5+………..+k (k+2)= k k+1 (2k+7)

6 hipótesis

Paso 3.

Se sustituye a n por k+1

1.3+2.4+3.5+………..+k (k+2) + (k+1) (k+1+2) = k+1 k+1+1 [2 k+1 +7]

6

La parte subrayada se sustituye por la expresión: k k+1 (2k+7)

6

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Por tanto:

k k+1 (2k+7)

6 + (k+1) (k+1+2) =

k+1 k+1+1 [2 k+1 +7]

6

k k+1 (2k+7)

6 + (k+1) (k+3) =

k+1 k+2 (2k+2+7)

6

Se realiza la suma de las fracciones del lado izquierdo.

k k+1 2k+7 +6 k+1 (k+3)

6 =

k+1 k+2 (2k+9)

6

Del lado izquierdo se extrae (k+1) como factor común

k+1 [k 2k+7 +6 k+3 ]

6 =

k+1 k+2 (2k+9)

6

Se multiplica k (2k+7) y 6(k+3)

(𝒌+𝟏) [(𝟐𝒌𝟐+𝟕𝒌+𝟔𝒌+𝟏𝟖)]

𝟔 =

(𝒌+𝟏)(𝒌+𝟐)(𝟐𝒌+𝟗)

𝟔

𝒌+𝟏 𝟐𝒌𝟐+𝟏𝟑𝒌+𝟏𝟖

𝟔 =

(𝒌+𝟏)(𝒌+𝟐)(𝟐𝒌+𝟗)

𝟔

Se toma el trinomio 2k2+13k+18 y lo factorizamos.

Este trinomio tiene la forma ax2+bx+c, por lo que:

2(2k2)+2(13k)+2(18)

(2k)2+13(2k)+36

Haciendo a=2k, se tiene que:

a2+13a+36

(a+9)(a+4), pero como a=2k

(2k+4)(2k+9)

2x1

(k+2)(2k+9)

Sustituyo estos factores en el lugar del trinomio 2k2+13k+18

(𝒌+𝟏) [(𝟐𝒌𝟐+𝟏𝟑𝒌+𝟏𝟖)]

𝟔 =

(𝒌+𝟏)(𝒌+𝟐)(𝟐𝒌+𝟗)

𝟔

k+1 k+2 2k+9 ]

6 =

k+1 k+2 (2k+9)

6 L.Q.Q.D.

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Ejemplo 7. Pruebe aplicando el método de inducción que

0.1+1.2+……+(n-1)n = n n−1 (n+1)

3 se cumple para cualquier numero natural.

Solución:

Paso 1.

Se sustituye n por 1.

(1-1)(1)= 1 1−1 (1+1)

3

(0)(1) = 1 0 (2)

3

0 = 0

3

0 = 0

Paso 2.

Se sustituye a n por k.

0.1+1.2+…….+ (k-1) k = k k−1 (k+1)

3 hipótesis inductiva.

Paso 3.

Se sustituye n por k+1

0.1+1.2+……. + (k-1) k + (k+1-1) (k+1) = (k+1) k+1−1 (k+1+1)

3

La parte subrayada se sustituye por k k−1 (k+1)

3

k k−1 (k+1)

3 +k (k+1) =

(k+1) k (k+2)

3

Se realiza la suma de las fracciones del lado izquierdo.

k k−1 k+1 +3k(k+1)

3 =

(k+1)k(k+2)

3

Se extrae k (k+1) como factor común

k k+1 [(k−1+3)]

3 =

k(k+1)(k+2)

3

Simplificando nos queda:

k k+1 (k+2)

3 =

k(k+1)(k+2)

3 L.Q.Q.D.

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Ejemplo 8.

Pruebe por inducción matemática que

1

1.5 +

1

5.9 +…….+

1

4n−3 (4n+1) =

n

4n+1 se cumple ∀n∈N.

Solución: Paso 1 Se sustituye n por 1

1

4 1 −3 (4(1)+1) =

1

4(1)+1

1

4−3 (4+1) =

1

4+1

1

5 =

1

5

Paso 2

Se sustituye n por k 1

1.5 +

1

5.9 +…….+

1

4k−3 (4k+1) =

k

4k+1 hipótesis inductiva

Paso 3.

Se sustituye n por k+1

1

1.5 +

1

5.9+……+

1

4k−3 (4k+1) +

1

4 k+1 −3 (4(k+1)+1) =

(k+1)

4(k+1)+1

La parte de la elipse se sustituye por k

4k+1

k

4k+1 +

1

4k+4−3 (4k+4+1) =

(k+1)

4k+4+1

k

(4k+1) +

1

4k+1 (4k+5) =

(k+1)

(4k+5)

Se realiza la suma de las fracciones del lado izquierdo.

k[ 4k+1 4k+5 +(4k+1)

(4k+1) 4k+1 (4k+5) =

(k+1)

(4k+5)

Se extrae (4k+1) como factor común y simplificamos.

(4k+1)[k 4k+5 +1]

(4k+1) 4k+1 (4k+5) =

(k+1)

(4k+5)

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 25

k 4k+5 +1

4k+1 (4k+5) =

(k+1)

(4k+5)

Se multiplica k por (4k+5)

4k2+5k+1

(4k+1)(4k+5) =

(k+1)

(4k+5)

Factorizamos el trinomio 4k2+5k+1

Como tiene la forma ax2+bx+c, se procede del siguiente modo.

4(4k2)+4(5k)+4(1)

(4k)2+5(4k)+4

Hacemos a=4k

a2+5a+4

(a+4)(a+1)

Y como a=4k,

Entonces:

(4k+4)(4k+1)

4x1

(k+1)(4k+1)

k+1 (4k+1)

4k+1 (4k+5) =

(k+1)

(4k+5) simplificamos eliminando (4k+1)

k+1

(4k+5) =

(k+1)

(4k+5) L.Q.Q.D.

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 26

Ejercicios propuestos.

Pruebe por el método de inducción matemática que las siguientes proposiciones se cumplen para cualquier número natural.

1) 12+22+32+………..+n2 = n n+1 (2n+1)

6

2) 13+23+33+…………+n3 = n2 n+1 2

4

3) 12+32+52+…………+(2n-1)2 = n 2n−1 (2n+1)

3

4) 1

1.3 +

1

3.5 +………….+

1

2n−1 (2n+1) =

n

2n+1

5) 2+6+10+…………..+ (4n-2)= 2n2

Sustituye a n por cualquier número natural y pruebe que An es divisible por b.

1. An=22n -1 b=3

2. An=n(2n2-3n+1) b=6

3. An=n3+5n b=6

4. An=n5-n b=5

5. An = 4n -1 b=3

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 27

LA LÍNEA RECTA.

Una línea recta es el lugar geométrico de los puntos tales que tomados dos puntos

diferentes cualesquiera P1(x1 , y1) y P2(x2 , y2) del lugar, el valor de la pendiente m

calculado por medio de la formula: m= y2−y1

x2−x1 resulta siempre constante.

Problemas resueltos.

Ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene pendiente dada. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P (3,4) y tiene pendiente m=5 Solución: y-y1= m(x-x1) y-4=5(x-3) y-4=5x-15 y-4-5x+15=0

y-5x+11=0 Ecuación buscada.

Hallar la ecuación de recta que pasa por el punto P (-5,2) y tiene un ángulo de inclinación 1350 Solución: Puesto que m= tan 𝜃 entonces: m= tan 1350 m= -1 y-y1= m(x-x1) y-2= -1[x-(-5)] y-2=-1(x+5) y-2= -x-5 y-2+x+5=0

y+x+3=0 Ecuación buscada.

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

Para hallar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos usamos la formula: y-y1=m(x-x1). Ejemplos:

Halle la ecuación de recta que pasa por los puntos A (2,4) y B (4,10) Solución:

y-4= 10−4

4−2 (x-2)

y-4= 6

2 (x-2)

y-4=3(x-2)

y-4=3x-6

y-4-3x+6=0

y-3x+2=0 Ecuación buscada.

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 28

Distancia de un punto a una recata

Para hallar la distancia de un punto a una recta usamos la formula:

d= Ax 1+By 1+C

A2+B2

1. Hallar la distancia de la recta 3x-4y+12=0 al punto P (4,-1)

Solución: 3x-4y-12=0 d

d= Ax 1+By 1+C

A2+B2

d= 3 4 −4(−1)+12

32+42

d= 12+4+12

9+16 =

28

25

d= 28

5

d= 5.6

La distancia del punto a la recta es 5.6 u.

• 1 2 3 4

-1

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2. Hallar la ecuación de la mediatriz (perpendicular a su punto medio) del segmento A (-2,1), B (3,-5). Solución:

1 2 3 -2 -1

-1

-2

-3

-4

-5

1

2

X

Y

Buscamos el punto medio del segmento AB.

Pm= (𝑥1+𝑥2)

2 ,

(𝑦1+𝑦2)

2

Pm= (−2+3)

2 ,

(1+ −5 )

2

Pm= 1

2 , −4

2 =

1

2 , -2

Buscamos la pendiente de AB.

m= (𝑦2−𝑦1)𝑥2−𝑥1

= −5−1

3−(−2) =

−5−13−(−2)

m= −6

3+2 = −

65

A

A

B

L1

L

Pm AB

Como la condición suficiente y necesaria para que dos

rectas L1 y L sean perpendiculares es que el producto de sus pendientes sea igual a -1, entonces tenemos que:

m L1 . m L = -1 luego despejando a m L nos queda que:

m L= −1

m L1 por lo que:

m L= −1

−6

5

m L= 5

6

Buscamos la ecuación de la mediatriz teniendo en cuenta que el punto medio

es 1

2 , -2 y que su

pendiente es: m L= 5

6

Como la ecuación de la

recta que pasa por dos

puntos es:

y-y1=m(x-x1)

Tenemos:

y-(-2)= −65 (x-

12

)

y+2= 5

6 (x-

12

)

6(y+2)= 5 (x- 12

)

6y+12= 5x- 52

Se multiplica todo por dos

2(6y+12)=2(5x)-2 (5

2 )

12y+24=10x-5

12y-10x+29=0

En conclusión, la ecuación de la mediatriz perpendicular al segmento AB siendo A (-2,1) y B (3,-5) es 12y-10x+29=0

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 30

A modo de comprobación realizaremos las siguientes operaciones.

1. Se calcula la longitud del segmento AB.

A (-2,1) y B (3,-5)

L= d AB= (x2- x1)2+(y2- y1)2

L= (3 − −2 )2 + −5 − 1 2

L= (3 + 2)2 + −6 2

L= 25 + 36 = 61

L= 7.8

2. Como el punto medio es 1

2 , -2 calcularemos la distancia de cada

extremo al punto medio.

d A Pm= (1

2− −2 )2 + −2 − 1 2

d A Pm= (1

2+ 2)2 + −3 2

d A Pm= ( 5

2 )2 + 9 =

25

4 + 9

d A Pm= 25+36

4 =

61

4 =

7.8

2

d A Pm= 3.9

Como la longitud del segmento AB es 7.8 y la d A Pm es igual a d B Pm se

concluye que 1

2 , -2 es el punto medio.

d B Pm= (1

2− 3)2 + −2 − (−5) 2

d B Pm= ( 1−6

2 )2 + −2 + 5 2

d B Pm= ( −5

2 )2 + 32 =

25

4 + 9

d B Pm= 25+36

4 =

61

4 =

7.8

2

d B Pm= 3.9

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 31

Halle las longitudes de los lados y los ángulos del paralelogramo cuyos vértices son: A (-2,1), B (1,5), C (10,7) y D (7,3). Solución:

1. Se calcula la distancia entre los vértice del paralelogramo.

d AB= (x2- x1)2+(y2- y1)2

d AB= 1 − −2 2 + 5 − 1 2

d AB= (1 + 2)2 + 4 2

d AB= 9 + 16 = 25

d AB= 5

d BC= (x2- x1)2+(y2- y1)2

d BC= (10 − 1)2 + 7 − 5 2

d BC= (9)2 + 2 2

d BC= 81 + 4 = 85

d BC= 85

Estos resultados muestran que los lados paralelos tienen la misma longitud

2. Se calcula ahora las medidas de los ángulos pero antes se calcularemos los valores de las pendientes.

m AB= 𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1

m AB= 5−1

1−(−2) =

4

1+2

m AB= 4

3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -2 -1

--

1

2

3

4

5

6

7 •

A

C

D

B

X

Y

d AD= (x2- x1)2+(y2- y1)2

d AD= 7 − −2 2 + 3 − 1 2

d AD= (7 + 2)2 + 2 2

d AD= 92 + 22 = 81 + 4

d AD= 85

d CD= (x2- x1)2+(y2- y1)2

d CD= (10 − 7)2 + 7 − 3 2

d CD= (3)2 + 4 2

d CD= 9 + 16 = 25

d CD= 5

m AD= 𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1

m AD= 3−1

7−(−2) =

2

7+2

m AD= 2

9

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 32

m BC= 𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1

m BC= 7−5

10−1 =

2

9

m BC= 2

9

Conclusión:

AB= 5 ∡A= 40.60

CD= 5 ∡B= 139.40

BC= 85 ∡C= 40.60

AD= 85 ∡D= 139.40

Se calcula la medida del ángulo A usando para esto la fórmula:

Tan ∡ A= 𝑚2−𝑚1

1+𝑚2.𝑚1

Para el ∡ A m2= m AB= 4

3 y m1= m AD=

2

9

Por lo que:

Tan ∡ A=

4

3 −

2

9

1+ 4

3

2

9

=

36−6

27

1+ 8

27

Tan ∡ A =

36−6

27

27+8

27 =

30

27

35

27 =

30

35

∡ A= Tan-1 30

35

∡ A= 40.60

Para el ∡ B m2= m BC= 2

9

y m1= m AB= 4

3

Por lo que:

Tan ∡ B=

2

9 −

4

3

1+ 2

9

4

3

Tan ∡ B=

6−36

27

1+ 8

27

=

−30

27

35

27

Tan ∡ B= −30

35

∡ B= Tan-1 −30

35

∡ B= -40.60 se calcula el suplemento del -40.60 luego:

∡ B= 139.40

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 33

Una recta pasa L1 pasa por los puntos A (3,2) y B (-4,-6) y otra recta L2 pasa por el punto C (-7,1) y el punto D cuya ordenada es -6.

Hallar la abscisa del punto D sabiendo que L1 es perpendicular a L2. Solución:

Se busca la pendiente de la recta AB

m AB= 𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1

m AB= −6−2

−4−3 =

−8

−7

m AB= 8

7

Como tenemos la pendiente de L2 entonces:

m CD= 𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1 despejando a x2 tenemos que:

−7

8 =

𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1

x2-x1(-7) = (-6-1) -7x2+7(-7)= 8(-7) -7x2-49= -56 -7x2 = -56+49

−7𝑥2

−7 =

−7

−7

X2 = 1 la abscisa del punto D es igual a 1, por lo que: D= (1,-6)

1 2 3 4 5 6 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

1

2

3

4

-5

-6

• •

C

D

X

-4

-3

-2

-1

-7

A

B

Como la condición suficiente y necesaria para que dos rectas sean perpendiculares es que el producto de sus pendientes sea -1, tenemos: (m AB) (m CD)= -1

m CD= −1

m AB =

−18

7

m CD= −7

8

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 34

Funciones Trigonométricas. Una función trigonométrica es una relación o cociente entre las longitudes de dos de los lados o catetos de un triangulo rectángulo. Estas funciones se clasifican en: • Seno. • Cotangente. • Coseno. • Secante. • Tangente. • Cosecante. Definición de las funciones Trigonométricas. Seno: Es la razón que existe entre el cateto opuesto y la hipotenusa. Coseno: Es la razón que existe entre el cateto adyacente y la hipotenusa. Tangente: Es la razón que existe entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente. Cotangente: Es la razón que existe entre el cateto adyacente al ángulo y el cateto opuesto. Secante: Es la razón que existe entre la hipotenusa y el cateto adyacente. Cosecante: Es la razón que existe entre la hipotenusa el cateto opuesto.

Funciones Trigonométricas de ángulos notables.

Funciones de 300.

B A

C

1 1

𝟏

𝟐

𝟏

𝟐

D 600 600

H

Para calcular los valores de las funciones de 300 hacemos referencia en el triangulo equilátero de la izquierda, teniendo en cuenta, que con el fin de conseguir nuestro propósito usaremos el triangulo rectángulo DBC.

30

o

D

C

B 600

300 1

𝟏

𝟐

Al tomar el triángulo rectángulo DBC podemos observar que no tenemos la longitud del lado CD. Por lo cual aplicaremos el Teorema de Pitágoras para calcularlo. Solución:

CD= BC2 − DB2

CD= 𝟏 𝟐 − 𝟏

𝟐 𝟐

CD= 𝟏−𝟏

𝟒 =

𝟒−𝟏

𝟒 =

𝟑

𝟒

CD= 𝟑

𝟐

𝟑

𝟐

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 35

Como ya conocemos las longitudes de los 3 lados del triángulo podemos proceder a calcular las funciones trigonométricas de 300 y 600. Funciones Trigonométricas de 300.

1. Sen 300 = 𝐂𝐚𝐭 𝐎𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐨

𝐇𝐢𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐮𝐬𝐚 =

𝟏

𝟐

1 =

𝟏

𝟐

2. Cos 300 = 𝐂𝐚𝐭 𝐀𝐝𝐲𝐚𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞

𝐇𝐢𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐮𝐬𝐚 =

𝟑

𝟐

𝟏 =

𝟑

𝟐

3. Tan 300 = 𝐂𝐚𝐭 𝐎𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐨

𝐂𝐚𝐭 𝐀𝐲𝐚𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞 =

𝟏

𝟐

𝟑

𝟐

= 𝟏

𝟐 ÷

𝟑

𝟐 =

𝟐

𝟐 𝟑 ×

𝟑

𝟑 =

𝟐 𝟑

𝟐(𝟑) =

𝟑

𝟑

4. Cot 300 = 𝐂𝐚𝐭 𝐀𝐲𝐚𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞

𝐂𝐚𝐭 𝐎𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐨 =

𝟑

𝟐𝟏

𝟐

= 𝟑

𝟐 ÷

𝟏

𝟐 =

𝟐 𝟑

𝟐 = 𝟑

5. Sec 300 = 𝐇𝐢𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐮𝐬𝐚

𝐂𝐚𝐭 𝐀𝐲𝐚𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞 =

𝟏

𝟑

𝟐

= 𝟐

𝟑 ×

𝟑

𝟑 =

𝟐 𝟑

𝟗 =

𝟐 𝟑

𝟑

6. Cosc 300 = 𝐂𝐚𝐭 𝐎𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐨

𝐇𝐢𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐮𝐬𝐚 =

𝟏𝟏

𝟐

= 𝟐

𝟏 = 2

Funciones Trigonométricas de 600.

1. Sen 600 = 𝐂𝐚𝐭 𝐎𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐨

𝐇𝐢𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐮𝐬𝐚 =

𝟑

𝟐

1 =

𝟑

𝟐

2. Cos 600 = 𝐂𝐚𝐭 𝐀𝐝𝐲𝐚𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞

𝐇𝐢𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐮𝐬𝐚 =

𝟏

𝟐

1 =

𝟏

𝟐

3. Tan 600 = 𝐂𝐚𝐭 𝐎𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐨

𝐂𝐚𝐭 𝐀𝐲𝐚𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞 =

𝟑

𝟐𝟏𝟐

= 𝟑

𝟐 ÷

𝟏

𝟐 =

𝟐 𝟑

𝟐 = 3

4. Cot 600 = 𝐂𝐚𝐭 𝐀𝐲𝐚𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞

𝐂𝐚𝐭 𝐎𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐨 =

𝟏

𝟐

𝟑𝟐

= 𝟏

𝟐 ÷

𝟑

𝟐 =

𝟐

𝟐 𝟑 ×

𝟑

𝟑 =

𝟐 𝟑

𝟐(𝟑) =

𝟑

𝟑

5. Sec 600 = 𝐇𝐢𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐮𝐬𝐚

𝐂𝐚𝐭 𝐀𝐲𝐚𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞 =

1𝟏𝟐

= 𝟐

𝟏 =2

6. Cosc 600 = 𝐂𝐚𝐭 𝐎𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐨

𝐇𝐢𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐮𝐬𝐚 =

1

𝟑𝟐

= 𝟐

3 ×

𝟑

𝟑 =

𝟐 𝟑

9 =

𝟐 𝟑

𝟑

Se racionaliza el denominador para eliminar el radical.

Se racionaliza el denominador para eliminar el radical.

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 36

Funciones de 450.

Consideremos el triangulo rectángulo:

Conocidos las longitudes de los 3 lados, procederemos a calcular el valor de las funciones de 450.

1. Sen 450 = 𝐂𝐚𝐭 𝐎𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐨

𝐇𝐢𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐮𝐬𝐚 =

𝟐

𝟐 𝟐 =

𝟐

𝟐 𝟐 x

𝟐

𝟐 =

𝟐 𝟐

𝟐 𝟒 =

𝟐

𝟐

2. Cos 450 = 𝐂𝐚𝐭 𝐀𝐝𝐲𝐚𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞

𝐇𝐢𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐮𝐬𝐚 =

𝟐

𝟐 𝟐 =

𝟐

𝟐 𝟐 x

𝟐

𝟐 =

𝟐 𝟐

𝟐 𝟒 =

𝟐

𝟐

3. Tan 450 = 𝐂𝐚𝐭 𝐎𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐨

𝐂𝐚𝐭 𝐀𝐲𝐚𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞 =

𝟐

𝟐 = 1

4. Cot 450 = 𝐂𝐚𝐭 𝐀𝐲𝐚𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞

𝐂𝐚𝐭 𝐎𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐨 =

𝟐

𝟐 = 1

5. Sec 450 = 𝐇𝐢𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐮𝐬𝐚

𝐂𝐚𝐭 𝐀𝐲𝐚𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞 =

𝟐 𝟐

𝟐 = 𝟐

6. Cosc 450 = 𝐂𝐚𝐭 𝐎𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐨

𝐇𝐢𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐮𝐬𝐚 =

𝟐 𝟐

𝟐 = 𝟐

C

B A 450

450

900

2

2

Como se observa, en este triángulo no se conoce la longitud de la hipotenusa (BC). Procederemos entonces a aplicar el teorema de Pitágoras para calcular el lado BC. Solución:

BC= AB2 + AC2

BC= 22 + 22

BC= 4 + 4 = 8

BC= 4x2 =2 2

BC=2 𝟐

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 37

Funciones Trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos.

Formulas:

1. Sen (w+k)=Sen w.Cos k+Cos w.Sen k

2. Cos (w+k)=Cos w.Cos k−Sen w.Sen k

3. Tan (w+k)= Tang w+Tang k

1−Tang w.Tang k

4. Sen (w−k)=Sen w.Cos k−Cos w.Sen k

5. Cos (w−k)=Cos w.Cos k+Sen w.Sen k

6. Tan (w−k)= Tang w−Tang k

1+Tang w.Tang k

Funciones del ángulo duplo.

Si en Sen (w+k)=Sen w.Cos k+Cos w.Sen k, hacemos k=w, entonces: Sen (w+w)=Sen w.Cos w+Cos w.Sen w. Lo cual nos indica que:

1. Sen 2w = 2Cos w.Sen w. De igual forma se procede con el coseno.

En Cos (w+k)=Cos w.Cos k−Sen w.Sen k, hacemos k= w, luego: Cos (w+w)=Cos w.Cos w−Sen w.Sen w

2. Cos 2w = Cos2 w−Sen2 w

Tan (w+k)= Tang w+Tang k

1−Tang w.Tang k

Tan (w+w)= Tang w+Tang w

1−Tang w.Tang w

3. Tan 2w = 𝟐 𝐓𝐚𝐧𝐠 𝐰

𝟏−𝐓𝐚𝐧𝐠𝟐 𝐰

En resumen las formulas básicas del ángulo duplo son:

1. Sen 2w = 2Cos w.Sen w.

2. Cos 2w = Cos2 w−Sen2 w

3. Tan 2w = 𝟐 𝐓𝐚𝐧𝐠 𝐰

𝟏−𝐓𝐚𝐧𝐠𝟐 𝐰

Pero: Cos2 w = 1−Sen2 w Sen2 w = 1−Cos2 w Por lo que: Cos 2w = 1−Sen2 w−Sen2 w Cos 2w = 1−2Sen2 w.

O también:

Cos 2w = 2Cos2 w −1

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 38

Funciones del ángulo triplo.

1. Sen 3w = Sen (w+2w) Sen 3w = Sen w.Cos 2w+Cos w.Sen 2w Sen 3w = Sen w. (1−2Sen2 w)+Cos w (2Sen w. Cos w)

Sen 3w = Sen w −2Sen3 w+2Sen w.Cos2 w

Sen 3w = Sen w −2Sen3 w+2Sen w (1−Sen2 w)

Sen 3w = Sen w −2Sen3 w+2Sen w −2Sen3 w

Sen 3w = 3 Sen w −4Sen3 w

2. Cos 3w = Cos (w+2w) Cos 3w =Cos w.Cos 2k−Sen w.Sen 2k Cos 3w =Cos w (2Cos2 w −1)−Sen w (2Sen w. Cos w)

Cos 3w =2Cos3 w –Cos w −2Sen2 w. Cos w

Cos 3w =2Cos3 w –Cos w − (1−Cos2 w) 2Cos w

Cos 3w =Cos w +2Cos3 w – (2Cos w−2Cos3 w)

Cos 3w =2Cos3 w –Cos w −2Cos w+2Cos3 w

Cos 3w = 4Cos3 w –3Cos w

3. Tang 3w = Tang (w+2w)

Tang 3w = Tang w+Tang 2w

1−Tang w.Tang 2w

Tang 3w = Tang w+

2Tang w

1−Tan g2w

1−Tang w.2Tang w

1−Tang 2w

Tang 3w = Tang w−Tang 3 w +2Tang w

1−Tan g2w

1− 2Tang 2 w

1−Tang 2w

Tang 3w = 3Tang w−Tang 3 w

1−Tan g2w

1−Tang 2 w−2Tang 2 w

1−Tang 2w

Tang 3w = 𝟑𝐓𝐚𝐧𝐠 𝐰−𝐓𝐚𝐧𝐠𝟑𝐰

𝟏−𝟑𝐓𝐚𝐧𝐠𝟐𝐰

Se eliminan los denominadores comunes 1−Tang2 w

Se sustituye Tan 2w por 𝟐 𝐓𝐚𝐧𝐠 𝐰

𝟏−𝐓𝐚𝐧𝐠𝟐 𝐰 y

efectuamos las operaciones indicadas.

En este caso se sustituyen Cos 2w por 1−2Sen2 w y sen 2w por 2Sen w. Cos w y se efectúan las operaciones correspondientes.

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 39

Funciones del ángulo mitad.

Puesto que Cos 2w = 1−2Sen2 w y si w = k

2 entonces:

1−2Sen2 k

2 = Cos 2

𝐤

𝟐

−2Sen2 k

2 = Cos k−1

2Sen2 k

2 = 1−Cos k

Sen2 k

2 =

1−Cos k

2

1. Sen 𝐤

𝟐 = ±

𝟏−𝐂𝐨𝐬 𝐤

𝟐

Para el Coseno del ángulo mitad, usamos:

2Cos2 w −1= Cos 2w y d igual forma w = k

2 entonces:

2Cos2 k

2 −1= Cos 2

𝐤

𝟐

2Cos2 k

2 = Cos k+1

2Cos2 k

2 = Cos k+1

cos2 k

2 =

Cos k+1

2

2. Cos 𝐤

𝟐 = ±

𝐂𝐨𝐬 𝐤+𝟏

𝟐

Tang k

2 =

± 𝟏−𝐂𝐨𝐬 𝐤

𝟐

± 𝐂𝐨𝐬 𝐤+𝟏

𝟐

Tang k

2 = ±

𝟏−𝐂𝐨𝐬 𝐤

𝟐𝟏+𝐂𝐨𝐬 𝐤

𝟐

3. Tang 𝐤

𝟐 = ±

𝟏−𝐂𝐨𝐬 𝐤

𝟏+𝐜𝐨𝐬 𝐤

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 40

Ejercicios Resueltos.

Si w =450 y k=600 halle:

1. Sen 1050 Solución: Sen (w+k)=Sen w.Cos k+Cos w.Sen k

Sen (450+600)=Sen 450. Cos 600+Cos 450. Sen 600

Sen 1050 = 2

2

1

2 +

2

2

3

2

Sen 1050 = 2

4 +

6

4

Sen 1050 = 𝟐+ 𝟔

𝟒

2. Cos 150 Solución: Cos (w−k)=Cos w.Cos k+Sen w.Sen k

Cos (600−450)=Cos 600. Cos 450+Sen 600. Sen 450

Cos 150 = 1

2

2

2 +

3

2

2

2

Cos 150 = 2

4 +

6

4

Cos 150 = 𝟐+ 𝟔

𝟒

3. Tan 1050 Solución:

Tan (w+k)= Tang w+Tang k

1−Tang w.Tang k

Tan (600+450)= Tang 600+Tang 450

1−Tang 600 .Tang 450

Tan 1050 = 3+1

1− 3 (1)

Tan 1050 = 3+1

1− 3

Tan 1050 = 3+1

1− 3 x

3+1

1+ 3

Tan 1050 = 9+ 3+ 3+1

1 2− 3 2 =

4+2 3

1−3

Tan 1050 = 4+2 3

−2

Tang 1050 = −2− 𝟑

En este caso sustituimos Tang 600 y Tang 450 por sus respectivos valores y se realizan las operaciones correspondientes.

Se racionaliza el denominador para eliminar el radical y luego simplificamos.

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 41

4. Cos 1350. Solución: Cos 1350 = Cos 3(450)

Cos 1350 = 4Cos3 450 –3Cos 450

Cos 1350 = 4 2

2

3

− 3 2

2

Cos 1350 = 4 2 2 ( 2 )

2x2x2 −

3 2

2

Cos 1350 =4 4 2

8 −

3 2

2

Cos 1350 =8 2

8 −

3 2

2

Cos 1350 = 2 −3 2

2 =

2 2−3 2

2

Cos 1350 = − 𝟐

𝟐

5. Hale Tang 300 Solución:

Tan 300 = 600

2

Tang k

2 = ±

1−Cos k

1+cos k

Tang 600

2 =

1−Cos 600

1+cos 600

Tang 300 = 1−

1

2

1+12

= 2−1

22+1

2

= 𝟏

𝟐𝟑𝟐

= 𝟏

𝟑

Tang 300 = 1

3 x

3

3 =

3

9

Tang 300 = 𝟑

𝟑

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 42

6. Tan 1200 Solución: Tang 1200 = Tang 2(600)

Tan 2w = 2 Tang w

1−Tang 2 w

Tan 2(600) = 2 Tang 600

1−Tang 2 600

Tan 1200 = 2 3

1− 3 2

Tan 1200 = 2 3

1−3 =

2 3

−2

Tan 1200 = − 𝟑

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 43

Resolución de triángulos rectángulos.

Resolver el siguiente triangulo rectángulo.

A

1. Se calcula el ángulo A.

La m ∡ A=900-m ∡ B.

La m ∡ A=900-420

La m ∡ A= 480

2. Sen 420 = b

c

b= c sen 420 b= 12 cm (0.669)

b= 8.03cm

3. El longitud del lado a se puede calcular aplicando el teorema de Pitágoras o

la función coseno.

a= c2 − b2

a= (12cm)2 − (8.03cm)2

a= 144cm2 − 64.48cm2

a= 79.52cm2 a= 8.92cm

4. Ahora buscamos el perímetro

P= a+b+c

P=8.92cm+8.03cm+12cm

P= 28.95cm 5. Por último se calcula el área.

A= bxh

2

A= 8.92cm (8.03)

2

A= 71.63cm2

2

A= 35.82cm2

420

C=12cm

C B a

b

900

En este triangulo se conocen la hipotenusa, uno de

sus ángulos agudos y su ángulo recto.

Se aplica este procedimiento para calcular el

ángulo A porque la suma de los ángulos ∡ B y

∡ A es igual a 900.

El cateto b es opuesto al ángulo de 420 y el

seno es igual a la longitud del cateto opuesto

entre la longitud de la hipotenusa.

Se despeja a b aplicando la operación inversa

de la división por lo que: b= c sen 420

Se eleva 12 al cuadrado y al resultado se

le resta el cuadrado de 8.03 y luego

buscamos la raíz cuadrada del resultado

de la resta.

Como el triangulo es rectángulo su área se determina multiplicando la longitud de su base por la longitud de su altura y dividiendo el resultado entre dos.

Es decir: A= bxh

2

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 44

Resolución de triángulos rectángulos.

Resolver el siguiente triangulo rectángulo.

A

1. Se aplica el teorema de Pitágoras para hallar la longitud de c.

C= a2 + b2

C= (8 cm)2 + (12 cm)2 C= 64 cm2 + 144 cm2

C= 208 cm2 C=14.42 cm

2. Se aplica la función tangente para hallar uno de los ángulos agudos.

Tan ∡ B= b

a

Tan ∡ B= 12

8

Tan ∡ B= 1.5

∡ B= Tan-1 1.5

∡ B= 56.30

3. Buscamos ahora el ángulo C

Como en todo triangulo se cumple que: ∡ A+∡ B+∡ C=1800, entonces: ∡ C=900- ∡ B ∡ C=900-56.30 ∡ C= 33.70

4. Se busca el perímetro P=a+b+c P= 8 cm+12 cm+14.42 cm P= 34.42 cm

5. Calculamos el área.

A= 1

2 b.h

A= 1

2 (8cm) (12cm)

A= 1

2 (96cm2)

A= 48 cm2

C=?

C B a= 8 cm

b=12 cm

900

En este triangulo se conocen las longitudes de los dos catetos, lo cual nos indica que se podemos aplicar el teorema de Pitágoras para calcular la longitud de la hipotenusa.

Se sustituyen a y b por 8 y 12 respectivamente, se elevan cada uno al cuadrado, se suman estos resultados y se busca la raíz cuadrada.

Se aplicó la función tangente para hallar el ángulo B porque tangente es igual a la longitud del cateto

opuesto que para el ∡ B es b sobre la longitud del cateto adyacente que es a.

En resumen c =14.42 cm

∡ B =56.30

∡ C=33.70 El P=34.42 cm A= 48 cm2

a

b c

A B

C

x

Por Pitágoras c2= a2+b2

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 45

Aplicaciones de la resolución de triángulos rectángulos.

Solución:

Cos 680= 2.4 m

C despejando a C tendremos que:

C= 2.4 m

cos 680

C= 2.4 m

0.37

C= 6.5 metros.

Sen 680= a

C

a= c (Sen 680)

a= 6.5 m (0.93)

a= 6.05 metros

En conclusión:

1. La longitud de la escalera es 6.5 metros. 2. El tope del la escalera está a 6.05 metros.

Una escalera está apoyada contra un poste de luz formando con el suelo un ángulo de 680. Si la distancia del pie de la escalera a la base de la pared es 2.4 metros. ¿cuál es la longitud de la escalera?

¿A qué altura está su tope?

680 900

2.4 m

Altu

ra

C a

Para resolver este problema podemos usar la función

Coseno ya que Cos= cateto adyacente

hipotenusa y si tomamos

como referencia el ángulo de 680, entonces tendremos:

Para responder la segunda pregunta podemos aplicar la función seno porque ya tenemos la longitud de C.

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 46

q= 12cm

Cálculo trigonométrico del área de un triángulo.

El área A de un triángulo es la mitad del producto de la longitud de su base y de la longitud de su altura.

1. A= 1

2 (b.h) Según el triángulo ABC

Ejemplo 1.

Calcule el área del triángulo PQR.

Ejemplo 2.

Calcule el área del triángulo ABC

A B

A

B

C

a c

b 900

h

Sen A= h

c y Sen C=

ha luego:

h= c sen A y h= a sen B, si se sustituyen los valores de h en 1, tendremos que:

A= 1

2 bc sen A

A= 1

2 ba sen C

Q P

R

r = 9cm

480

Solución:

A= 1

2 (qr) sen P

A= 1

2 (12 cm) (9 cm) sen 480

A= 1

2 (108 cm2) (0.74)

A= (54 cm2) (0.74)

A= 39.76 cm2

580

b= 14 cm

C

a= 16 cm

Solución:

A= 1

2 (ba) sen C

A= 1

2 (14 cm) (16 cm) sen 580

A= 1

2 (224 cm2) (0.85)

A= (112 cm2) (0.85)

A= 95.2 cm2

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 47

Resolución de triángulos no rectángulos.

Resolver un triangulo es calcular la longitud de sus tres lados, las medidas de sus tres ángulos, su perímetro y su área. Caso 1.

Dado un triangulo con sus tres lados hallar los demás elementos.

C

b=12cm a=9cm

A B c= 15cm Para resolver este triangulo debemos aplicar la ley del coseno para calcular la longitud del lado que falta y la medida de los otros ángulos. Solución:

Se calculan las medidas de los ángulos.

Cos B= a2+c2−b2

2ac Cos A =

b2+c2−a2

2bc Cos C =

b2+a2−c2

2ba

B= cos -1 92+152−122

2 9 (15) A= cos -1

122+152−92

2 12 (15) C= cos -1

122+92−152

2 12 (9)

B= cos -1 81+225−144

270 A= cos -1

144+225−81

360 C= cos -1

144+81−225

216

B= cos -1 162

270 A= cos -1

288

360 C= cos -1

0

216

B= cos -1 0.6 A= cos -1 0.8 C= cos -1 0

B= 530 7’ 48’’ A= 360 52’ 11’’ C= 900

La medida del ángulo C se pudo haber calculado también aplicando el teorema fundamental sobre la suma de las medidas de los ángulos interiores de cualquier triangulo.

Se calcula el perímetro. Se calcula el área aplicando la formula de Herón.

P= a+b+c A= s s − a s − b (s − c)

P= 9cm+12cm+15cm A= 18 18 − 9 18 − 12 (18 − 15)

P= 36cm A= 18 9 6 (3)

S es el semiperímetro A= 2916

S = 𝑝

2 A= 54cm2

S = 36cm

2

S = 18cm

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 48

Caso 2. Otro ejemplo de resolución de triángulos no rectángulos es aquel en el que se nos dan las longitudes de dos lados y un ángulo para que calculemos el lado que falta, los tres ángulos, el perímetro y el área. Ejemplo.

Resolver el siguiente triangulo.

b=14cm a=?

c= 16cm

Como sabemos la ley del coseno establece que Cos A = b2+c2−a2

2bc en este caso

vamos a despejar la variable a de la fórmula del coseno.

I. Calculamos el lado a

2bc.cos A= b2+c2-a2 conociendo los 3 lados se procede a calcular los a2 = b2+c2-2bc.cosA ángulos que faltan.

a= b2 + c2 − 2bc. cosA II. Calculamos la medida del ángulo B

a = 142 + 162 − 2 14 16 cos 56 Cos B= a2+c2−b2

2ac

a = 196 + 256 − 448(0.56) B= cos -1 (14.18)2+162−142

2 14.18 (16)

a = 452 − 250.88 B= cos -1 201.07+256−196

453.76

a = 201.12 B= cos -1 261.07

453.76

a = 14.18cm B= cos -1 0.57

III. calculamos el ángulo C. B= 550 14’ 59’’

C= 1800- (A+B) V. Calculamos el área

C= 1800-1110 14’ 59’’ A= s s − a s − b (s − c)

C= 680 45’ 01’’ A= 22.09 22.09 − 14.18 22.09 − 14 (22.09 − 16)

IV. calculamos el perímetro A= 22.09 7.91 8.09 (6.09)

P= a+b+c A= 8608.708

P= 14.18cm+14cm+16cm A= 92.78cm2 P= 44.18cm

S = p

2

S = 22.09cm.

B A

C

560

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 49

Evaluación. Seleccione la respuesta correcta.

1. La pendiente de la recta que pasa por los puntos A (3, − 1) y B (5, 9) es igual a: A. 3 B. 5 C. 2

2. Si la pendiente de una recta es 2 y esta pasa por el punto (4, 2) y por otro punto cuya ordenada es 6 ¿Cuál la abscisa del otro punto? A. 4 B. 3 C. 5

3. La ecuación de la recta que pasa por el punto (3, 2) y tiene pendiente m=2 es igual a: A. 4y+3x =0 B. y = 3x −7 C. 2y = 4x+8

4. ¿Cuál es la distancia del punto (3, 4) a la recta 8x+6y −5=0? A. 5 B. 4.5 C. 3.5

5. Si dos lados consecutivos de un triángulo miden 12cm y 15cm respectivamente y el ángulo entre ellos es 480. ¿Cuál es el área de ese triángulo? A. 66. 6 cm2 B. 58.5 cm2 C. 78.4 cm2

Resuelve.

1. Si los vértices de un triángulo son los puntos A (2, 1), B (6, 1) y C (3,5) calcule: La longitud de los lados del triángulo. La medida de cada uno de sus ángulos. El perímetro y el área del triángulo. ¿Qué clase de triángulo es? (De acuerdo a sus lados y de acuerdo a sus ángulos)

1 2 3 4 5 6 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

1

2

3

4

-5

X

-4

-3

-2

-1

5

6

8

7

Refuerza tus

conocimientos

poniendo en

práctica lo que

aprendiste.

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 50

Problemas resueltos sobre geometría analítica.

Los vértices de un triangulo son los puntos P1 (1,-2), P2 (4,-2) y P3 (4,2). Determinar la longitud de sus lados, calcular la longitud de su hipotenusa y su área

Datos: 1. D p1p2 = (4 − 1)2 + (−2 − (−2))2

P1 (1,-2) D p1p2 = (3)2 + (−2 + 2)2

P2 (4,-2) D p1p2 = 9 + (0)2

P3 (4, 2) D p1p2 = 9 D p1p2 = 3

2. D p2p3 = (4 − 4)2 + (2 − (−2))2 3. D p1p3 = (4 − 1)2 + (2 − (−2))2

D p2p3 = (0)2 + (2 + 2)2 D p1p3 = (3)2 + (2 + 2)2

D p2p3 = 0 + (4)2 D p1p3 = 9 + 16

D p2p3 = 16 D p1p3 = 25

D p2p3 = 4 D p1p3= 5

4. 5. Hip= 32 + 42

Hip= 9 + 16 Hip= 25 Hip= 5

1 2 3 4 5 6 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

1

2

3

4

-5

X

-3

-4

-2

-1

5

6

8

7

A= 𝑏𝑥ℎ

2

A= 3x4

2 =

12

2

A= 6 u2

Solución:

P3

P2 P1

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 51

Dos de los vértices de un triángulo equilátero son los puntos P1 (-1,1) y P2 (3,1). Hallar las coordenadas del tercer vértice. Solución:

1. D p1p2 = (3 − (−1))2 + (1 − 1)2

D p1p2 = (4)2 + (0)2

D p1p2 = 16

D p1p2 = 4

2. Puesto que el triángulo es equilátero se tiene

D p1p2 = 𝑥 − (−1 )2 + 𝑦 − 1 2

4 = 𝑥 + 1 )2 + 𝑦 − 1 2 elevando al cuadrado ambos miembros

(4)2 = ( 𝑥 + 1 )2 + 𝑦 − 1 2 )2

16 = (x+1)2 + (y-1)2

16= x2+2x+1+y2-2y+1 A

3. D p1p2= 𝑥 − 3 )2 + 𝑦 − 1 2

4 = 𝑥 − 3 )2 + 𝑦 − 1 2 elevando al cuadrado ambos miembros

16= x2 -6x+9+y2-2y+1 B

Formamos un sistema de ecuaciones con las ecuaciones A y B.

16= x2+2x+1+y2-2y+1

16= x2 -6x+9+y2-2y+1

1 2 3 4 5 6 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

1

2

3

4

-5

X

-3

-4

-2

-1

5

6

8

7

P3

P2 P1

Datos:

P1 (-1,1)

P2 (3,1)

P3 (x, y)

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 52

Multiplico la ecuación 1 por -1.

-x2-2x-1-y2+2y-1= -16 resolvemos el sistema por reducción

x2- 6x+9+y2-2y+1=16

- 8x+8=0

x= −8

−8

x = 1 Buscamos el valor de y. x2+2x+1+y2-2y+1=16

(1)2+2(1)+1+ y2-2y+1=16

1+2+ y2-2y+1=16

5+ y2-2y=16

y2-2y-11=0.

Resolvemos esta ecuación por la formula general.

y = −b± b2−4ac

2a

y= −(−2)± (−2)2−4 1 (−11)

2(1)

y= 2± 4+44

2 y1=

2+4 3

2

y= 2± 48

2 y1= 1+2 3

y= 2± 16x3

2 y2=

2−4 3

2

y= 2±4 3

2 y2=1-2 3

Las coordenadas del tercer punto del triángulo son: (1, 4.5)

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 53

Calcule la longitud de los lados, los ángulos, el perímetro y el área del triangulo cuyos vértices son los puntos: A (2,3), B (8,3) y C (5,7) ¿Qué clase de triangulo es? (Dos soluciones)

Se aplica la formula de distancia entre dos puntos para calcular la longitud de los lados.

1. d AB = x2 − x1 2 + y2 − y1 2 3. d AC = 5 − 2 2 + 7 − 3 2

d AB = 8 − 2 2 + 3 − 3 2 d AC = 32 + 42

d AB = 62 + 02 = 36 d AC = 9 + 16 = 25

d AB = 6 d AC = 5

2. d BC = 8 − 5 2 + 7 − 3 2

d BC = 32 + 42

d BC = 9 + 16 = 25

d BC = 5

Solución:

Datos:

A (2,3)

B (8,3)

C (5,7)

1 2 3 4 5 6 7 8 -5 -4 -3 -2 -1

1

2

3

4

-5

X

-3

-4

-2

-1

5

6

8

7

B A

C •

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 54

Estos resultados nos indican que el triangulo es isósceles, ya que dos de sus lados tienen la misma medida. Para calcular las medidas de los ángulos se aplica la ley del coseno.

Para tal fin hacemos: d BC = a, d AC = b y d AB = c.

Cos A = b2+c2−a2

2bc Cos B =

a2+c2−b2

2ac

Cos A = 52+62−52

2 5 (6) Cos B =

52+62−52

2 5 (6)

Cos A = 25+36−25

60 Cos B =

25+25−36

60

Cos A = 36

60 Cos B =

36

60

Cos A = 0.6 Cos B = 0.28

A= Cos-1 0.6 B= Cos-1 0.6

A= 53.130 B= 53.130

Como en cualquier triangulo la suma de las medidas de los ángulos interiores es igual a 1800 Tenemos que: C= 1800-53.130-53.130

C= 76.740

Para calcular el área usamos la formula de Herón.

A= s s − a s − b (s − c)

Pero primero se busca el semi-perímetro

P= a+b+c

2

P= 6+5+5

2 =

16

2

P= 8 Ahora se calcula el área.

A= s s − a s − b (s − c)

A= 8 8 − 6 8 − 5 (8 − 5)

A= 8 2 3 (3)

A= 144

A = 12 u2

En resumen las longitudes de los lados son: 6cm, 5cm y 5cm Los ángulos miden 53.130, 53.130 y 74.740

El perímetro es igual a 16 El área es igual 12 u2

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 55

Segunda solución:

El problema anterior se puede resolver también aplicando el concepto de pendiente de una recta que pasa por dos puntos. Recordemos además que la pendiente es igual a la tangente del ángulo de inclinación de la recta, es decir: m= tan 𝜃. El teorema 5 del capítulo I de la geometría analítica de Lehmann establece que:

Un ángulo especificado θ formado por dos rectas está dado por:

Tan θ = m2−m1

1+m2.m1

Resolvamos ahora el problema recordando que A=(2,3), B=(8,3) y C=(5,7) Se buscan m1 y m2 teniendo en cuenta que los ángulos giran contrario a las manecillas del reloj para poder identificar para un ángulo dado quien es m1 y quien es m2. Para el ángulo A: Para el ángulo B:

m1= y2−y1

x2−x1 m2=

y2−y1

x2−x1 m1=

y2−y1

x2−x1 m2=

y2−y1

x2−x1

m1= 3−3

8−2 =

0

6 m2=

7−3

5−2 =

4

3 m1=

3−7

8−5 =

0

6 m2=

3−3

8−2 =

4

3

m1= 0 m2= 4

3 m1=

−4

3 m2= 0

Como ya tenemos las pendientes de las rectas que determinan el ángulo A y al ángulo B, entonces:

Tan A = m2−m1

1+m2.m1 Tan B =

m2−m1

1+m2.m1

A = tan-1 m2−m1

1+m2.m1 B = tan-1

m2−m1

1+m2.m1

A = tan-1

4

3 −0

1+ 43

(0) B = tan-1

0+4

3

1+ 0 4

3

A = tan-1

4

3

1 B = tan-1

4

3

1

A= tan-1 4

3 B= tan-1

4

3

A= 53.130 B= 53.130

Como ya tenemos las medidas de los ángulos A y B se aplica el teorema fundamental sobre la suma de las medidas de los ángulos interiores de cualquier triangulo el cual establece que: ∡A+∡B+∡C=1800 por lo que: ∡C=1800- ∡A+∡B

∡C=1800-106.260

∡C=76.740

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 56

Funciones cuadráticas.

Una función cuadrática: Es aquella que contiene una o todas sus variables elevadas al cuadrado. Ejemplo 1:

y= 3x2+2x-1

y= 2x2+1.

El gráfico de una función cuadrática da como resultado una línea curva llamada parábola. Se debe tener en cuenta que: Si el coeficiente del término cuadrático es negativo la curva abre hacia arriba. Si el coeficiente del término cuadrático es positivo la curva abre hacia abajo.

Represente gráficamente la función: y= x2+1

Solución:

1 2 3 4 5 6 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

1

2

3

4

-5

X

-4

-3

-2

-1

5

6

8

7

x -2 -1 0 1 2 y 5 2 1 2 5

y= (-2)2+1= 4+1=5 y= (-1)2+1= 1+1=2 y= (0)2+1= 0+1=1 y= (1)2+1= 1+1=2 y= (2)2+1= 4+1=5

Para representar gráficamente esta función, se le asignan los valores: -2,-1,0,1,2 a la variable independiente que es x y luego se sustituyen en la ecuación de la función que es y = x2+1 para hallar los valores de y.

Al tener todos los valores de y completamos la tabla de variación y luego cada par ordenado se representa en el plano

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 57

Recuerda:

Ejemplo 2. Represente gráficamente la función

y= -x2-1

Solución:

Asignamos valores a la variable x.

x -2 -1 0 1 2 y -5 -2 -1 -2 -5

Se sustituyen los valores de x para buscar los valores de y. y= -(-2)2-1= -4-1= -5 y= -(-1)2-1= -1-1= -2 y= -(0)2-1= 0-1= -1 y= -(1)2-1= -1-1= -2 y= -(2)2-1= -4-1= -5

1 2 3 4 5 6 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

1

2

3

4

-5 •

X

-4

-3

-2

-1

5

La abscisa del punto A=1,

ordenada de A=3, abscisa del

punto B=4 y ordenada de B=3.

m AB= 𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1

m AB= 1−3

4−1 =

−2

3

𝜃= Tan-1 m AB

𝜃= Tan-1 −2

3

𝜃= 146.30

A (1,3)

B (4,1)

1 2 3 4

3

2

1

-1

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 58

Ecuaciones de segundo grado Una ecuación de segundo grado es aquella ecuación en la cual el mayor exponente de la variable o las variables que en ella aparece es 2. Su forma general es ax2±bx±c=0. Este tipo de ecuaciones pueden resolverse por la fórmula general para resolver

ecuaciones cuadráticas 𝐱 =−𝐛± 𝐛𝟐−𝟒𝐚𝐜

𝟐𝐚, por factorización o por tanteo.

Discriminante de una ecuación de 2do grado.

El discriminante de una ecuación de segundo grado (∆) nos permite determinar el

tipo de raíces que tiene dicha ecuación y su fórmula es: ∆= b2-4ac Propiedades del determinante.

1. Si el ∆ es menor que cero las raíces son complejas y conjugadas.

2. Si el ∆ es igual a cero las raíces son reales e iguales.

3. Si el ∆ es mayor que cero las raíces son reales y distintas.

Ejemplo.

Resolver la siguiente ecuación por la formula general.

3x2+ 8x-3=0

Solución:

x =−b± b2−4ac

2a Aplicamos la formula general

x =−8± 82−4 3 (−3)

2(3) Se sustituyen las variables por sus valores y

Se multiplica 8x8 y -4(3) (-3)

x =−8± 64+36

6 Sumamos 64 y 36

x =−8± 100

6 Se busca la raíz cuadrada de 100

x =−8±10

6

x =−8+10

6

x =2

6 =

1

3 se simplifica

2

6

x =−8−10

6 =

−18

6 se divide -18 entre 6 para que de -3

x = -3

El conjunto solución de esta ecuación es [ 1

3 , -3]

Calculemos el discriminante de la ecuación 3x2+8x-3=0. Solución:

∆= b2-4ac

∆= 82-4(3)(-3) ∆= 64+36 ∆= 100 Aquí observamos que ∆>0 lo que indica que las raíces de esta ecuación son reales y distintas.

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 59

Resolvamos ahora la misma ecuación por factorización

3x2+ 8x-3=0, como esta ecuación tiene la forma del trinomio ax2+bx+c apliquemos entonces el procedimiento para factorizarlo. Multiplico todo por 3 3(3x2)+3(8x)+3(-3)=0 (3x)2+8(3x)-9=0 Hacemos a=3x a2+8a-9=0 Factorizamos este trinomio y obtenemos los factores (a+9)(a-1)=0 (3x+9)(3x-1)=0 como ya habíamos dicho a=3x, ahora sustituimos a por 3x

3x+9 (3x−1)

3 = 0 como multipliqué por 3, divido por 3 para que el trinomio

vuelva a su forma original y al simplificar nos queda (x+3)(3x-1)= 0 x+3=0 cada binomio se iguala a 0. x=0-3 x= -3 3x-1=0 3x=0+1 3x

3 =

1

3

x = 1

3

Como se observa al resolver la ecuación por la formula general y por factorización el conjunto solución es el mismo. Para resolver esta ecuación por tanteo solo debemos sustituir a x por cantidades cualesquiera hasta encontrar una que satisfaga la igualdad. Por ejemplo Si sustituimos a x por 3, tendremos 3(3)2- 8(3)-3=0 3(9)- 24-3=0 27 – 27 =0 0=0 como se observa al sustituir a x por 3 la igualdad se cumple.

De igual manera se cumplirá si se sustituye a x por 1

3

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 60

Ejemplo 2.

Resuelve la siguiente ecuación por la formula general.

5x2+7x-6=0

x =−b± b2−4ac

2a

x =−7± 72−4 5 (−6)

2(5)

x =−7± 49+120

10

x =−7± 169

10

x =−7±13

10

x1= −7+13

10 =

6

10 =

3

5

x2= −7−13

10 =

−20

10 = −20

Las raíces o soluciones de la ecuación son: 3

5 y −20

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 61

Resolución de problemas aplicando ecuaciones cuadráticas.

Dos obreros tardan 12 horas en hacer un trabajo. ¿Cuánto tardaran en realizar el mismo trabajo pero haciéndolo por separado, si uno tarda 5 horas más que el otro? Solución: Sea x el número de horas que emplea el primer obrero en realizar el trabajo.

En una hora hará 1

x del total del trabajo

El segundo obrero empleará (x+5) horas y en una hora hará 1

x+5 del total del

trabajo. Entre los dos tardan 12 horas en completar el trabajo, por lo que en una hora

harán 1

12 del total del trabajo.

Luego:

1

x +

1

x+5 =

1

12 es la ecuación que nos dará la solución del problema.

Se resuelve esta ecuación

x(x+5)

x +

x(x+5)

x+5 =

x(x+5)

12

x+5+ x = x(x+5)

12

12(x+5+x)= x(x+5)12

12

24x+60 = x2+5x

x2+5x-24x-60= 0 x2-19x-60= 0 Resolvemos esta ecuación por la formula general

𝐱 =−𝐛± 𝐛𝟐−𝟒𝐚𝐜

𝟐𝐚

x =−(−19)± 192−4 1 (−60)

2(1)

x =19± 361+240

2

x =19± 601

2

x =19±24.5

2

x1 =19+24.5

2 =

43.5

2 = 21.75

x2 =19−24.5

2 =

− 5.5

2 = − 2.75

Como se observa el primer obrero tarda

21.75 horas o 21. 75x60

100 = 21.

4,500

100

21. 45, es decir 21 horas y 45 minutos. Como el segundo obrero tarda 5 horas más que el primero, el tiempo que le toma hacer el trabajo es 26.75 horas o 26 horas y 45 minutos. En conclusión:

El primer obrero tarda 21 horas y 45 minutos El segundo obrero tarda 26 horas y 45 minutos

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 62

Sistemas de ecuaciones lineales con 2 y 3 variables. Un sistema de ecuaciones lineales es la asociación de dos o más ecuaciones cada una con dos o más variables relacionadas mediante las operaciones de suma, resta, multiplicación y/o división. Ejemplo. 4a+ 5m=42

3a +2m=28 Para hallar la solución de este tipo de sistemas de ecuaciones, podemos usar varios métodos y el tipo de solución nos dirá que tipo de sistema de ecuaciones es. Si el sistema tiene al menos una solución, es compatible. Si el sistema tiene solución única, es compatible determinado. Si el sistema tiene infinitas soluciones, es compatible indeterminado. Si el sistema no tiene solución, es incompatible.

Entre los métodos algebraicos utilizados para resolver sistemas de ecuaciones lineales tenemos: Método de reducción o suma.

Método de sustitución.

Método de igualación.

Método de Reducción o Suma.

Este método consiste en escribir una ecuación debajo de la otra, teniendo en cuenta que los coeficientes numéricos de la misma variable en ambas ecuaciones deben ser iguales y de signos opuestos. Ejemplos. Resuelve por el método de reducción o suma. 5x+4y=37

Como se observa en este sistema, los coeficientes de y 3x-4y= 3 en ambas ecuaciones son iguales y de signos contrario. Escribimos ambas ecuaciones una debajo de la otra y eliminamos la variable y.

I. 5x+4y =37

3x- 4y =3

8x

8 =

40

8

x = 5

ll. se sustituye x por su valor (5) en cualquiera de las dos ecuaciones y buscamos el valor de y. 5(5)+4y=37 25+4y=37 4y=37- 25

4y

4 =

12

4

y = 3

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 63

Ejemplo 2.

Resuelve por reducción.

6m+4x=32 Como se observa, los coeficientes de m son -6m+3x= -18 iguales y de signos opuestos. I. Escribimos una ecuación debajo de la otra y eliminamos la variable m.

6m+4x =32

-6m+3x =-18

7x

7 =

14

7

x = 2 II. sustituyo a x por su valor para buscar a m. 6m + 4(2) =32 6m +8 = 32 6m=32- 8

6m

6 =

24

6

m= 4. Ejemplo 3. Resuelve por reducción el siguiente sistema.

4a + 7y =43

3a + 2y =16

Aquí observamos que los coeficientes de las variables no son opuestos aditivos por tanto no pueden eliminarse de manera directa. En este caso multiplicamos ambas ecuaciones por cantidades convenientes para convertir los coeficientes de una misma variable en opuestos aditivos. Por ejemplo, si multiplico la ecuación 1 por 3 y la ecuación 2 por -4 se igualan los coeficientes de a y podemos simplificar nuestro sistema.

1. 3(4a +7y)=3(43) 2. -4(3a+2y)=-4(16) 12a +21 y=129 -12a-8y=-64

Sumo el resultado de 1 y 2 y simplifico para buscar el valor de de y. 12 a+21y=129 -12 a-8y= -64

13y

13 =

65

13

y = 5

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 64

Se toma una de las ecuaciones y se sustituye a y por su valor para buscar el valor de a.

4a+7(5)=43 4a +35 =43 4a=43-35

4a

4 =

8

4

a= 2

Ejemplo 4. Resuelve por reducción el siguiente sistema de ecuaciones. 3w-5m=3 7w+8m=66 Para resolver este sistema por reducción debemos convertir los coeficientes numéricos de una misma variable en opuestos aditivos y una opción es multiplicar la ecuación 1 por 8 y la ecuación 2 por 5.

I. 1. 8(3w-5m)=8(3) 2. 5(7w+8m)=5(66) 24w-40m=24 35w+40m=330.

II. Se suman los resultados de 1 y 2 24w-40m=24 35w+40m=330

159w

59 =

354

59

w = 6

III. Sustituyo a w por su valor para buscar a m. 3(6)-5m=3 18-5m=3 -5m=3-18 −𝟓𝐦

−𝟓 =

−𝟏𝟓

−𝟓

m= 3

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 65

Ejercicios propuestos. 9x+3y= 51 2a+10b=108

4x-3y=14 4a+6b=76 3a+5m=66 5m+3a=33 6a+2m=60 3m-3a=15 2x-7y=-22 7k+8w=86

4x+7y=40 2 k+3w=26

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 66

Método de sustitución Este método consiste en tomar cualquiera de las dos ecuaciones y despejar en ella una de las dos variables, luego sustituirla por su valor en la otra ecuación y efectuar las operaciones de lugar hasta reducir el sistema a una ecuación lineal que al ser resuelta nos dará el valor de la primera variable, luego con la variable hallada sustituimos este valor en una de las ecuaciones para obtener el valor de la segunda variable. Ejemplos 1. Resuelve por sustitución. 8a +3y=38 4a +5y=26. Se despeja la variable y.

8a+3y=38

3y

3 =

38−8a

3

y = 38−8a

3

Se sustituye la variable y por su valor en la otra ecuación

4a+5 38−8a

3 =26 se multiplica el 5 por 38 y por 8a.

4a+ 190-40a =26 se multiplica el 3 por 4a y por 26.

3 3(4a) + 190-40a=3(26) 12a+190-40a=78 se suman algebraicamente 12a y - 40a -28a=78-190 se transpone el 190.

−28 m

−28 =

−112

−28

a= 4

Se sustituye la variable a por su valor para hallar el valor y.

y = 38−8(4)

3

y= 38−32

3 =

6

3

y= 2

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 67

Ejemplo 2. Resuelve por sustitución. 3m+6x=30 5m+7x=47

Se despeja la variable m. 3m+6x=30

3m

3 =

30−6x

3

m= 30−6x

3

Se sustituye la variable m por su valor en la otra ecuación.

5 30−6x

3 +7x =47 se multiplica el 5 por 30 y por 6x.

150−30x

3 +7x=47

150 -30x +3(7x)=3(47) se multiplica 3 por 7x y por 47. 150-30x+21x=141 -9x=141-150 se restan -30 y 21 y se transpone el 150.

−9x

−9 =

−9

−9

x = 1 Buscamos el valor de m sustituyendo a x por su valor.

m= 30−6(1)

3

m= 30−6

3 =

24

3

m= 8

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 68

Ejemplo 3. Resolver por sustitución. 7w-4a =43 3w+ 6a =57

Despejo a w en la ecuación 1.

7w-4a=43

7w

7 =

43+4a

3

w = 43+4a

7

Sustituyo a w por su valor en la otra ecuación 2.

3 43+4a

7 +6a=57 el 3 se multiplica por 43y por 4a

129+12a

7 +6a =57

129+12a+7(6a)=7(57) multiplicamos el 7 por 6 a y por 57 129+12a+42a=399 54a=399−129 se suman 12a y 42a y se transpone el 129.

54a

54 =

270

54

a= 5 Sustituyo a a por su valor y busco el valor

w = 43+4(5)

7 =

43+20

7

w = 63

7

w = 9

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Ejercicios propuestos. Resuelve por sustitución los siguientes sistemas de ecuaciones.

4a+7y=43 3a+5m=66

3a+2y=16 6a+2m=60

5a+2y= 60

3a-2y=20

7w+8k=86 6m+4x=32

2w+3k=26 -6m+3x=-18

Método de igualación. Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de igualación debemos

despejar en las dos ecuaciones la misma variable, igualar estos resultados y

resolver las operaciones indicadas hasta hallar el valor de una de las variables,

luego sustituimos la variable hallada por su valor en cualquiera de las expresiones

que resultaron en la primera operación para hallar el valor de otra variable.

Ejemplo 1.

8m+5x=34

4m+3x=18

I. Despejo ecuación la variable m en cada ecuación.

1. 8m+5x=34 se transpone el 5x y se divide por 8.

8m

8 =

34−5x

8

m= 34−5𝑥

8

2. 4m+3x=18 se transpone el 3x y se divide por 4.

4m

4 =

18−3x

4

m= 18−3𝑥

4

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 70

II. Se igualan los resultados de 1 y 2.

34−5𝑥

8 =

18−3𝑥

4 se realizan los productos 4(34-5x) y 8(18-3x)

136-20x=144-24x. Se transponen -24x y 136 -20x+24x=144-136

4x

4 =

8

2

x=2

III. Sustituyendo a x por su valor buscamos a m.

m= 18−3(2)

4 =

18−6

4

m= 12

4

m=3

Ejemplo 2.

Resolver por el método de igualación. 5a+2y=60

3a-2y=20

Se despeja la variable a en las dos ecuaciones.

5a+2y=60

5a

5 =

60−2𝑦

5 se transpone el 2y y se divide por 5

a= 60−2𝑦

5

3a-2y=20

3a

3 =

20+2𝑦

3 transponiendo el 2y y dividiendo por 3.

a= 20+2𝑦

3

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 71

Igualamos los valores de a.

60−2𝑦

5 =

20+2𝑦

3 efectuamos los productos: 3(60-2y) y 5(20+2y)

180-6y = 100+10y se transponen 10y y 180 -6y-10y=100-180

−16y

−16 =

−80

−16

y= 5 Sustituyo a y por su valor y busco ahora el valor de a.

a= 20+2(5)

3

a= 20+2(5)

3 =

30

3

a=10

EJERCICIOS PROPUESTOS

Resuelve por el método de igualación.

3a+7y=27

5a+2y= 16

− 8m+4y= −12 3m+2y =29

4a+7y=43

3a+2y=16 5a+2y=60

3a−2y=20

7w+8k=86

2w+3k=26

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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON 3 VARIABLES Y 3 ECUACIONES.

Son aquellos sistemas que están formados por 3 ecuaciones lineales y cada contiene 3 variables. Ejemplo.

3a+2b+4m=18 5a+6b-2m= 32 2a+4b+8m=28 Este tipo de sistemas de ecuaciones pueden resolverse por los mismos métodos que los sistemas con dos ecuaciones y dos variables. Resolvamos el sistema anterior por sustitución.

1. Despejamos la variable a en la primera ecuación.

3a+2b+4m=18

3a

3 =

18−4m−2b

3

a= 18−4m−2b

3

2. Sustituimos el valor de a en las otras dos ecuaciones.

5 18−4m−2b

3 +6b-2m=32 multiplicamos el 5 por 18,- 4m y por -2b

90−20m−10b

3 + 6b-2m=32 se multiplica el 3 por 6b, -2m y por 32

90-20m-10b+3(6b)-3(2m) =3(32)

90-20m-10b+18b-6m=96-90 simplificando y transponiendo el 90 nos queda

-26m+8b= 6 Tomamos ahora la 3ra ecuación y sustituimos a la variable a por su valor.

2 18−4m−2b

3 +4b+8m=28 se multiplica el 2 por 18, - 4m y por – 2b

36−8m−4b

3 +3(4b)+3(8m)= 3(28) se multiplica 3 por 4b, 8m y por 28

36-8m-4b+12b+24m=84 se simplifica y se transpone el 36

16m+6b=84-36 16m+8b= 48

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 73

Como puede observarse el sistema se ha reducido a otro que solo contiene 2 ecuaciones y dos variables, por lo podemos aplicar cualquiera de los métodos ya estudiados para resolverlo. -26m+8b=6

16m+8b=48

Multiplico la ecuación 1 por -1 y dejo la ecuación 2 igual para aplicar el método de reducción o suma. a) -1(-26m+8b) = -1(6) 26m-8b= -6

26m-8b= -6 16m+8b= 48 se cancelan -8b y 8b por ser opuestos aditivos. 42m = 42

42m

42 =

42

42

m = 1

Se despeja la variable b y se sustituye a m por su valor.

16m+8b=48

8b

8 =

48−16m

8

b = 48−16m

16

b = 48−16(1)

8

b = 48−16

8 =

32

8

b= 4

Sustituimos ahora a m y a b para buscar a a.

a= 18−4m−2b

3

a = 18−4(1)−2(4)

3 =

18−4−8

3

a= 6

3

a= 2

Los valores de las variables son: a=2, b=4 y m=1

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 74

Evaluación. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de reducción o suma. 4m+6y=22 1. 3m−6y=−36 2x−5k=5 2. 4x+5k=55 7w+2z=44 3. 5w+3z=44 Resuelve por el método de sustitución y por el método de Igualación.

4m+2y=16 1. 8m+5y=35 3x−5k =17 2. 6x+2k=58 5w+2z=32 3. 2w+7z=19 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones.

4m+6y+x =33 1. 2m+4y+6x =26 3m+6y+5x =35 2x−5k+4m=12 2. 5x+2k+7m=50 4x+5k+3m=39

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 75

ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES.

Para hallar el ángulo entre dos vectores debemos conocer el módulo de cada uno y su

producto escalar.

Para hallar el módulo aplicamos el teorema de Pitágoras y el producto escalar se obtiene

sumando algebraicamente los productos de las coordenadas correspondiente de uno y

de otro.

Ejemplo.

Hallar el ángulo entre los vectores A= (2,4,-3) y B= (5,3,1).

Solución:

Producto escalar.

A . B = 10+12-3

A . B = 19

Módulo de A Módulo de B

A = 22 + 42 + −3 2 B = 22 + 42 + −3 2

A = 4 + 16 + 9 B = 25 + 9 + 1

A = 29 B = 35

A = 5. 385 B = 5.916

Para buscar el ángulo debemos aplicar la formula cos -1

∅ = A . B

mod A . mod B despejando

a ∅ nos queda que:

∅ = cos -1

A . B

mod A x( mod B)

∅ = cos -1

19

5.385 (5.916)

∅ = cos -1

19

31.857

∅ = cos -1

0.596

∅ = 53.410

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 76

Si las coordenadas de dos vectores están dadas por los sistemas de ecuaciones

2x+4y+3z = 27 5m+3x+4y = 23

x+3y+4z = 25 y 3m+2x+6y = 26

4x+2y+5z = 27 4m+5x+2y = 47

Calcular el ángulo entre ellos.

Solución:

Se resuelven ambos sistemas de ecuaciones para hallar los valores de las variables que

lo forman, las cuales a su vez nos darán las coordenadas de dichos vectores.

En el primer sistema despejamos la variable x de la segunda ecuación

x+3y+3z = 25

x=25-3y- 4z

Sustituimos a x por su valor en las otras ecuaciones.

2(25-3y- 4z) +4y+3z =27 4(25-3y- 4z)+2y+5z = 27

50-6y-8z +4y+3z = 27 100-12y-16z +2y+5z =27

-2y-5z = 27-50 -10y-11z = 27-100

-2y-5z = -23 -10y-11z = -73

Formamos un nuevo sistema

-2y-5z = -23

-10y-11z = -73

Multiplico la ecuación 1 por -5 y la sumo con la ecuación 2.

-5(-2y- 5z) = -5(-23)

10y+25z = 115

-10y -11z = -73

14𝑧

14 =

42

14

z = 3

Sustituyo a z por su valor para buscar a y.

10y+25(3) = 115

10y+ 75= 115

10y = 115-75

10y = 40

10𝑦

10 =

40

10

y = 4

Buscamos a x sustituyendo a z e y.

x= 25 -3(4)- 4(3)

x= 25- 12- 12 Representando por A el vector, tenemos:

x = 1 A = (3, 4, 1)

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 77

Resolvemos ahora el segundo sistemas de ecuaciones.

5m+3x+4y = 49

3m+2x+6y = 30

4m+5x+2y = 47

Despejamos a m en la ecuación 1.

5m= 49-3x- 4y 5m

5 =

49−3x−4y

5

m= 49−3x−4y

5

Sustituyo a m por su valor en la ecuación 2.

3 49−3x−4y

5 + 2x+6y = 30 se multiplica el 3 por 49,-3x y por - 4y

147−9x−12y

5 + 2x+6y = 30 multiplico el 5 por 2x, por 6y y por 26

147- 9x-12y+10x+30y = 150 se reducen los términos semejantes.

x+18y =150-147

x+18y = 3 Sustituyo a m en la ecuación 3.

4 49−3x−4y

5 +5x + 2y = 47 multiplico el 4 por 49, por -3x y por - 4y

196−12x−16y

5 + 5x+2y = 47 multiplicamos el 5 por 5x, 2y y por 47

196-12x-16y+25x+10y = 235 13x- 6y = 235-196

13x- 6y = 39 x+18y = 3

Formamos el sistema

13x- 6y =39

Multiplico la ecuación 2 por 3.

3(13x- 6y) = 3(39) x+18y = 3 39x- 18y = 117 39x- 18y =117 40x = 120

40x

40 =

120

40

x = 3 Sustituyo a x por su valor para calcular a y. 3+18y = 3 18y =3-3

18𝑦

18 =

0

18

y = 0

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 78

Calculamos el valor de m.

m= 49−3(3)−4(0)

5

m= 49−9−0

5

m= 40

5

m= 8 Representando por B el vector B = (8, 3, 0) Para hallar el ángulo entre los vectores, primero se calcula el producto escalar A . B = (3x8)+ (4x3)+ (1x0) A . B = 24+12+0 A . B = 36 Ahora buscaremos el módulo de cada vector.

Módulo de A = 32 + 4 + 1 Módulo de B = 82 + 32 + 02

Módulo de A = 9 + 16 + 1 Módulo de B = 64 + 9 + 0

Módulo de A = 26 Módulo de B = 73 Módulo de A = 5.09 Módulo de B = 8.54 Habiendo calculado ya el producto escalar y los módulos de los vectores se procede a calcular el ángulo entre ellos.

∅ = cos -1

A . B

mod A ( mod B)

∅ = cos -1

36

5.09 ( 8.54)

∅ = cos -1

36

43.4686

∅ = cos -1

0.828

∅ = 34.10610

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 79

LOGARITMOS NATURALES.

Propiedades de los logaritmos.

1. El logaritmo de la base es igual a la unidad.

Log x x=1.

2. El logaritmo de la unidad es igual a cero.

Log x 1=0.

3. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los

factores.

Log x (A x B)= log x A + Log x B.

4. El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la

base.

Log x ay= y log x a.

5. El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad sub-radical

dividido entre el índice de la raíz

Log an = log a

n

6. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el

logaritmo del divisor.

Log A

B = log A – Log B.

7. Los números negativos no tienen logaritmo.

ECUACIONES LOGARÍTMICAS

Una ecuación logarítmica es aquella ecuación en la cual la variable está

afectada por la operación de logaritmación.

Ejemplos.

1. Log2 (x+2)3=6

2. Log3 (x+4)+Log3(x-4)=2

3. Log5 (x+64)-Log5 (x-8)=2

SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN LOGARÍTMICA

Para resolver una ecuación logarítmica debemos dar los siguientes pasos:

1. La ecuación dada se expresa como el logaritmo de una sola expresión.

2. Se expresa de la forma exponencial.

3. Se resuelve la ecuación resultante.

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 80

EJERCICIOS RESUELTOS.

Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas.

1. Log3 (x-4)+ log3 (x+4)=2

Expresamos la ecuación como el logaritmo de una sola expresión. Log3[(x-4) (x+4)]=2

(x-4)(x+4)=32 Expresamos la ecuación de la forma exponencial.

X2 +4 x-4x-16=9 Efectuamos el producto de (x-4) (x+4) y calculamos 32

x2 – 16= 9 Se transpone el -16

x2 = 9+16

x2 = 25 Se aplica radicación en ambos lados.

𝑥2 = 25 Se busca raíz cuadrada en ambos lados.

X = 5

2. Log4 (x2 +12x+35)-Log4 (x+7)=2 Expresamos la ecuación como el logaritmo de una sola expresión y factorizamos el denominador.

Log4 x+7 (x+5)

(x+7) =2

(x+5)=42 expresamos de la forma exponencial. X+5=16 x=16-5 se aplica la propiedad del opuesto aditivo y se transpone el 5

x = 11

3. Log4 (2x2+6x+12)2=3

(2x2+6x+12)2=43

(2x2+6x+12)2= 64

2x2 + 6x + 12 2 = 64

2x2+6x+12= 8

2x2+6x+12-8=0

2x2+6x+4=0 se factoriza este trinomio para hallar el valor de x

2(2x2)+2(6x)+2(4)=0 se multiplica todo el trinomio por el coeficiente del término cuadrático y el 6 por 2.

Hacemos a=2x a2+6a+8=0 Buscamos los factores de este trinomio.

(a+4)(a+2)=0

(2x+4)(2x+2)=0 Se sustituye a a por 2x

2x+4 (2x+2)

2 x 1 =0 Divido por 2 para volver el trinomio a su forma original

(x+2)(2x+2)=0 se iguala cada factor a cero

x+2=0 2x+2=0

x= -2 2x

2 =

−2

2

Los valores de x son: -2 y -1 x= -1

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 81

ECUACIONES EXPONENCIALES.

Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la cual la variable aparece como exponente. EJERCICIOS RESUELTOS.

1. 52X+3 =3,125

52x+3 =55 Igualamos las bases.

2x+3=5 Igualamos los exponentes.

2x=5-3 Resolvemos la ecuación 2x+3=5.

2x

2 =

2

2

x = 1

2. 162X-4 = 256 En este caso, escribimos 16 en función de 42 y 256 en función de 44

(42)2X-4 =44 Multiplicamos el exponente del 4 de la izquierda por 2x-4

44X-8 =44 para igualar las bases.

4x-8=4 Resolvemos la ecuación 4x-8=4.

4x=4+8

4x

4 =

12

4

x = 3

3. 644a+2 = 512a+8 Escribimos 64 Y 512 en función de 8

(82)4a+2 = (83)a+8 se multiplica 2(4a+2) y 3(a+8)

88a+4 = 83a+24 igualamos las bases iguales 8a +4=3a+24 igualamos los exponentes y se transponen 3ª y 4 8a-3a=24-4

5a

5 =

20

5

a = 4

4. (24a+2)(8a)=256

(24a+2)(23)a =28

(24a+2)(23a) =28

27a+2 = 28

7a+2=8 7a=8-2 7𝑎

7 =

6

7

a=0.857

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 82

5. 7292x+1= 81x+6 6. 92x-4 = 27-2x+2

(93)2x+1 = (92)x+6 (32)2x-4 = (33 )-2x+2

96x+3 = 92x+12 34x-8 = 3-6x+6

6x+3=2x+12 4x-8 = -6x+6

6x-2x=12-3 4x+6x = 6+8

4x=9 10x = 14 4x

4 =

9

4

10x

10 =

14

10

x = 2.25 x = 1.4

7. (4x+1)(162x-1)(8x+2)=256

[((22)x+1)((24)2x-1)(23)x+2]= 28

(22x+2)(28x-4)(23x+6)= 28

22x+8x+3x+6+2-4 = 28

2x+8x+3x+6+2-4 = 8

13x+4= 8

13x = 8-4

13x= 4

13x

13 =

4

13

x = 0.307

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 83

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS.

Una identidad trigonométrica es una igualdad problemática condicional que se verifica para cualquier valor de los ángulos que la forman.

Identidades trigonométricas primarias.

1. Sen x = 1

cosc x

2. Cos x = 1

sec x

3. Tan x = 1

cot x

Identidades trigonométricas inversas.

1. Cosc x = 1

sen x

2. Cot x = 1

tan x

3. Sec x = 1

cos x

Equivalencias por cociente.

1. Tan x = sen x

cos x 7. Tan2 x =

tan x

cot x 13. Cosc x =

sec x

tan x

2. Cot x = cos x

sen x 8. Cosc x =

cot x

cos x 14. Tan x =

sec x

cosc x

3. Sen x = cos x

cot x 9. Cot 2 x =

cot x

tan x 15. Sen2 x =

sen x

cosc x

4. Cos x = sen x

tan x 10. Cos x =

cot x

cosc x 16. Sec x =

cosc x

cot x

5. Sen x = tan x

sec x 11. Cos2 x =

cos x

sec x 17. Cosc2 x =

cosc x

sen x

6. Sec2 x = sec xcos x

12. Sec x = cosc x

cot x 18. Sec x =

tan x

sen x

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 84

Equivalencias por productos.

1. Tan x. cos x = sen x 7. Cosc x. cos x = cot x

2. Cot x. sen x = cos x 8. Cot2 x. tan x = cot x

3. Sen x. sec x = tan x 9. Cos x. cosc x = cot x

4. Sec2 x. cos x = sec x 10. Cos2 x. sec x = cos x

5. Tan2 x. cot x = tan x 11. Cosc2 x. sen x = cosc x

6. Sec x. cot x = cosc x 12. Cosc x. tan x = sec x

Toda función multiplicada por su inversa es igual a uno. Cualquier función dividida por su inversa es igual al cuadrado de dicha función.

Identidades pitagóricas. Son aquellas identidades trigonométricas que se obtienen mediante la aplicación del teorema de Pitágoras. En el triangulo ABC, a2+b2=c2 B

a c

C x A b

Además si hacemos referencia en el triangulo anterior se cumple que:

Sen x = a

c Cosc x =

c

a

Cos x = b

c Sec x =

c

b

Tan x = a

b cot x =

b

a

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 85

Elevando al cuadrado las funciones anteriores tenemos:

Sen2 x = a2

c2 Cosc2 x =

c2

a2

Cos2 x = b2

c2 Sec2 x =

c2

b2

Tan2 x = a2

b2 Cot2 x =

b2

a2

Tomamos ahora el teorema de Pitágoras a2+b2 =c2 y se divide por c2.

1. a2

c2 +

b2

c2 =

c2

c2 como se observa en los cuadrados de las funciones

Sen2 x = a2

c2 , cos2 x =

b2

c2 y

c2

c2 = 1 por lo que:

Sen2 x + cos2 x = 1

Se repite el procedimiento pero dividiendo ahora por b2

2. a2

b2 +

b2

b2 =

c2

b2 por lo que:

Tan2 x + 1= sec2

Por último se divide por a2 a2

a2 +

b2

a2 =

c2

a2 por lo que

1+cot2 x = cosc2 x En resumen las identidades trigonométricas pitagóricas primarias son

1. Sen2 x + cos2 x = 1

2. Tan2 x + 1= sec2

3. 1+cot2 x = cosc2 x

De las identidades anteriores se derivan:

1. Cos2 x = 1- sen2 x 2. Sen2 x = 1- cos2 x 3. Tan2 x = sec2 x – 1 4. Sec2 – tan2 x = 1 5. Cot2 x = cosc 2 x – 1 6. Cosc2 x – cot2 x = 1

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Las identidades anteriores se pueden escribirse también de la forma:

1. Cos x = 1 − sen2x

2. Sen x= 1 − cos2 x

3. Tan x = sec2 x − 1

4. sec2 x − tan2 x = 1

5. Cot x = cosc2 x − 1

6. cosc2x − cot2 x =1

Demostración de identidades trigonométricas.

1. Pruebe que:

Sen x. Tan x = sen x+tan x

cot x+cosc x

Solución: Se sustituye tan x por sen x

cos x y cot x por

sen x

cos x

Sen x. Tan x = Sen x+

Sen x

cos x

cos x

sen x+ cosc x

se realiza la suma de quebrados

Sen x. Tan x = sen x .cos x +sen x

cos xcos x +1

sen x

Sen x. Tan x =

sen x (cos x +1)

cos xcos x +1

sen x

Sen x. Tan x = sen x(cos x+1)

cos x ÷

cos x+1

sen x se realiza el producto cruzado

Sen x. Tan x = se n2x(cos x+1)

cos x(cos x+1) simplificando nos queda

se n2x

cos x

Sen x. Tan x = se n2x

cos x se expresa sen2 x como Sen x . Sen x

Sen x. Tan x = sen x. sen x

cos x Se sustituye

sen x

cos x por tan x

Sen x .Tan x = Sen x .Tan x L.Q.Q.D.

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 87

2. Pruebe que:

tan k−cot k

tan k−cot k = Cot k . Tan k

Solución:

Sustituimos tan k por sen k

cos k y cot k por

cos k

sen k

𝑠𝑒𝑛 𝑘

𝑐𝑜𝑠 𝑘 –

𝑐𝑜𝑠 𝑘

𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑠𝑒𝑛 𝑘 𝑐𝑜𝑠 𝑘

– 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑠𝑒𝑛 𝑘

= Cot k . Tan k

Se realiza la suma de quebrados en el numerador y en el denominador

sen k .sen k –cos k .co s k

cos k . sen k

sen k .sen k –cos k .co s k

cos k . sen k

= Cot k . Tan k

Simplificamos cancelando los numeradores de las dos fracciones.

cos k .sen k

sen k .cos k = Cot k . Tan k

Se escribe como

cos k

sen k .

sen k

cos k = Cot k . Tan k

Se sustituye cos k

sen k por cot k y

sen k

cos k por tan k

Cot k . Tan k = Cot k . Tan k L.Q.Q.D.

3. Demuestre que 1+sen k = cos k . 1+sen k

1−sen k

Solución:

Racionalizamos multiplicando por 1 + sen k

1+sen k = cos k . 1+sen k

1−sen k . 1+sen k

1+sen k

(1+sen k)(1+sen k)= (1+sen k)2 y (1- sen k)(1+sen k)= 1- sen2k

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 88

Se sustituyen estos resultados y la expresión toma la forma

1+sen k = cos k . 1+sen k 2

1−sen 2 k

1+sen k = cos k . 1+sen k

cos 2 k

1+sen k = cos k . 1+sen k

cos k

1+sen k = cos k (1+sen k)

cos k

1+sen k = 1+sen k L.Q.Q.D.

4. Pruebe que sec2 k = 1+Tan2 k

Solución:

Sec2 k = 1+ sen 2 𝑘

cos 2 k

Sec2 k = cos 2 𝑘+sen 2 𝑘

cos 2 k

Sec2 k =

1

cos 2 k

Sec2 k = sec2 k L.Q.Q.D.

5. Demuestre que cosc2 k = 1+cot2 k

Cosc2 k = 1+ cos 2 𝑘

sen 2 k

Cosc2 k = sen 2 𝑘+cos 2 𝑘

sen 2 k

Cosc2 k = 1

sen 2 k

Cosc2 k = Cosc2 k L.Q.Q.D.

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6. Demuestre que sec k + Tan k = cos k

1−sen k

Solución:

1

cos k +

sen k

cos k =

cos k

1−sen k

cos k+cos k .sen k

cos 2 k =

cos k

1−sen k

cos k (1+sen k)

1−sen 2 k =

cos k

1−sen k

cos k (1+sen k)

1+sen k (1−sen k) =

cos k

1−sen k

cos k

1−sen k =

cos k

1−sen k L.Q.S.Q.D.

Otra forma.

Sec k + Tan k = cos k

1−sen k x

1+sen k

1+sen k

Sec k + Tan k = cos k+cos k.sen k

1−sen 2 k

Sec k + Tan k = cos k+cos k.sen k

cos 2k

Sec k + Tan k = cos k

cos 2 k +

cos k.sen k

cos 2 k

Sec k + Tan k = cos k

cos k.cos k +

cos k.sen k

cos k.cos k

Sec k + Tan k = 1

cos k +

sen k

cos k pero

1

cos k = sec k y

sen k

cos k = tan k

Sec k + Tan k = Sec k + Tang k L.Q.S.Q.D.

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 90

7. Pruebe que

Sec k- cos k = Tan k . Sen k

Solución:

Sec k- cos k = sen k

cos k Sen k

Sec k- cos k = sen 2 k

cos k

Sec k- cos k = 1−cos 2 k

cos k

Sec k- cos k = 1

cos k –

cos 2 𝑘

cos k

Sec k- cos k = 1

cos k –

cos 𝑘 .cos 𝑘

cos k

Sec k – cos k = sec k – cos k L.Q.S.Q.D.

8. Demuestre que Cos k = cosc k

tan k+cot k

Solución:

Cos k = cosc k

sen k

cos k+

cos k

sen k

Cos k = cosc k

sen 2 k+cos 2 k

cos k .sen k

Cos k = cosc k

1 cos k .sen k

1

cos k.sen k =

1

cos k x

1

sen k

Cos k = Cosc k ÷ 1

cos k x

1

sen k

Cos k = cosc k

sec k.cosc k

Cos k = 1

sec k pero

1

cos k = cos k

Cos k = Cos k L.Q.S.Q.D.

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 91

9. Demuestre que:

Cos k = cosc k−sen k

cot k

Solución:

Cos k =

1

sen k−sen k

cos k

sen k

se sustituye cosc k por 1

sen k y cot k por

cos k

sen k

Cos k =

1−sen 2 𝑘

sen kcos k

sen k

Cos k = cos 2 k

sen k ÷

cos k

sen k

Cos k = cos 2 𝑘 .sen 𝑘

sen k.cos k

Cos k = cos k.cos k

cos k

Cos k = Cos k L.Q.S.Q.D Otra forma de probar esta identidad es:

Cos k = Cosc k −

1

Cosc k

Cot k

Cos k = Cosc 2 k−1

Cosc k

Cot k pero Cosc2 k-1= Cot2 k por lo que:

Cos k = Cot 2 k

Cosc k

Cot k =

Cot 2 k

Cosc k ÷

Cos k= Cot 2 k

Cosc k.Cot k =

Cot k

Cosc k =

Cos k

Sen k ÷

1

Sen k

Cos k= Cos k .Sen k

Sen k

Cos k = Cos k L.Q.S.Q.D

Cot k

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 92

Pruebe que:

10. 1+cos k

1−cos k = Cosc k .Tan k

1+cos k

1−cos k .

1+cos k

1+cos k = Cosc k .Tan k

(1+cos k)2

1−co s2 k = Cosc k .Tan k

1+cos k

se n2k = Cosc k .Tan k

1+cos k

sen k = Cosc k .Tan k

1

sen k .

cos k

sen k = Cosc k .Tan k

Cos k .Tan k = Cosc k .Tan k L.Q.Q.D

11. Tan k−cos k

se n3 k =

Sec k

1+Cos k

Sen k

Cos k –Sen k

se n3 k =

Sec k

1+Cos k

Sen k−Cos k .Sen k

Cos k

Sen k .Sen2 k =

Sec k

1+Cos k

Sen k (1−Cosk )

Cos k ÷

Sen k .Sen2k

1 =

Sec k

1+Cos k

Sen k (1−Cosk )

Sen k .Se n2k (Cos k) =

Sec k

1+Cos k

(1−Cosk )

Se n2k (Cos k) =

Sec k

1+Cos k

(1−Cosk )

1−Co s2k .Cos k =

Sec k

1+Cos k

(1−Cosk )

1−Cos k (1+Cos k) Cos k =

Sec k

1+Cos k

1

(1+Cos k) Cos k =

Sec k

1+Cos k Aquí

1

(1+Cos k) Cos k =

1

Cos k .

1

1+Cos k

Luego: 𝑆𝑒𝑐 𝑘

1+𝐶𝑜𝑠 𝑘 =

𝑆𝑒𝑐 𝑘

1+𝐶𝑜𝑠 𝑘 L.Q.Q.D

Para probar esta identidad se racionaliza multiplicando la fracción original por el conjugado del denominador lo que da como resultado (1+cos 𝑘)2

1−𝑐𝑜𝑠2 𝑘, lo que

simplificado es igual a: 1+cos 𝑘

𝑠𝑒𝑛 𝑘 ya que

1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝑘= 𝑠𝑒𝑛2 𝑘 y luego sustituimos

Cosc x por 1

𝑆𝑒𝑛 𝑘 y

Tan x por Cos 𝑘

𝑆𝑒𝑛 𝑘

Y Como 1

Cos k = Sec k, tendremos que:

Sec k . 1

1+Cos k =

Sec k

1+Cos k

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 93

12. Cos2 x = Sen2 x.Cos2 x + Cos4 x

Cos2 x = (1−Cos2 x) Cos2 x + Cos4 x

Cos2 x = Cos2 x −Cos4 x + Cos4 x

Cos2 x = Cos2 x

Otra forma Cos2 x = Sen2 x.Cos2 x + Cos4 x

Cos2 x = Sen2 x.Cos2 x + (Cos2 x)2 Cos2 x = Sen2 x.Cos2 x + (1−Sen2 x)2 Cos2 x = Sen2 x.Cos2 x +1−2Sen2 x+Sen4 Cos2 x = Sen2 x (1−Sen2 x)+1−2Sen2 x+Sen4 Cos2 x = Sen2 x −Sen4 x+1−2Sen2 x+Sen4 Cos2 x = 1−Sen2 x

Cos2 x = Cos2 x

13. 1

Cos k −

Cos k

1+Sen k = Tang k

1+Sen k−Co s2k

Cos k (1+Sen k) = Tang k

1+Sen k−(1−Se n2k)

Cos k (1+Sen k) = Tang k

1+Sen k−1+Se n2k

Cos k (1+Sen k) = Tang k

1+Sen k−1+Se n2k

Cos k (1+Sen k) = Tang k

Sen k+Se n2k

Cos k (1+Sen k) = Tang k

Sen k (1+Sen k)

Cos k (1+Sen k) = Tang k

Sen k

Cos k = Tang k pero

Sen k

Cos k = Tang k por lo que:

Tang k = Tang k

14. Se n2k+Co s2k

Tang k + Cot k =2 Cot k

1

Tang k + Cot k =2 Cot k

1

Tan k + Cot k = 2 Cot k pero

1

Tan k + Cot k =

1+1

Tan k =

2

Tan k

2

Tan k =2 Cot k y como

2

Tan k = 2÷

Sen k

Cos k =

2 Cos k

Sen k = 2 Cot k

Luego:

2 Cot k =2 Cot k L.Q.Q.D

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 94

Traslaciones, Simetrías, Rotaciones y Homotecias.

Traslaciones: Una traslación es una transformación geométrica que transforma al punto P (x, y) en el punto P (x , y ) mediante la ley: T (x+k, y+z). Ejemplo: ¿Cuáles serán las coordenadas del triángulo cuyos vértices son los puntos A (1,1) B (7,5) y C (3,6) si se le aplica la ley de traslación: T (x, y)= (x+3, y+6) Solución:

, ,

,

A = (1+3, 1+6)= (4, 7)

B = (7+3, 5+6)= (10, 11)

C = (3+3, 6+6)= (6, 12)

,

,

,

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -2 -1

1

2

3

4

• •

X

-3

-2

-1

5

6

8

7 •

9

10

11

12 •

Y

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 95

Rotaciones. Una rotación es una transformación isométrica que transforma al punto P (x, y) en el punto P (x , y ) mediante la ley o regla: R: (x, y)= (x cos 𝜃 − y sen 𝜃, x sen 𝜃+y cos 𝜃) Ejemplo: Aplique una rotación de 900 grados al triangulo cuyos vértices son los puntos A (1,2), B (5,2) y C (3,5).

Solución:

, ,

A = (1cos 900 – 2 sen 900, 1 sen 900 +2 cos 900)

A = [1(0)−2(1), 1(1)+2(0)]= (0−2, 1+0) = (−2, 1)

B = (5 cos 900 – 2 sen 900, 5 sen 900 +2 cos 900)

B = [5(0)−2(1), 5(1)+2(0)]= (0−2, 5+0)= (−2, 5)

C = (3 cos 900 – 5 sen 900, 3 sen 900 +5 cos 900)

C = [3(0)−5(1), 3(1)+5(0)]= (0−5, 3+0)= (−5, 3)

,

,

,

,

,

,

1 2 3 4 5 6 7 8 -5 -4 -3 -2 -1

1

2

3

4

• •

X

-3

-2

-1

5

6

8

7

9

-5

-4

Y

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 96

Simetrías. Una simetría es una transformación geométrica que conserva la forma y el tamaño de una figura, pero no conserva, en general su orientación. Existen dos tipos de simetrías en el plano: la simetría central y la simetría axial. La simetría axial puede ser con relación al eje x y con relación al eje y. Una simetría central equivale a un giro o rotación de 1800 y en ella cambian de signo las dos coordenadas. Por otro lado en la simetría axial con relación al eje x solo cambia de signo la ordenada (y), mientras que en la simetría axial con relación al eje y cambian de signo la abscisa. Ejemplo: Aplique una simetría axial con relación al eje x y con relación al eje y a los vértices del triángulo cuyos puntos son: A (1,2), B (5,2) y C (3,5). Solución: Eje x

Como se dijo anteriormente, en la simetría axial con relación al eje x cambia de signo la ordenada, tendremos que: A = (x, −y)= (1, −2) B = (x, −y)= (5, −2) C = (x, −y)= (3, −5)

,

,

,

1 2 3 4 5 6 7 8 -5 -4 -3 -2 -1

1

2

3

4

X

-3

-2

-1

5

6

8

7

9

-5

-4

En la simetría axial con relación al eje y cambia de signo la abscisa, por lo que: A = (−x, y)= (−1, 2) B = (−x, y)= (−5, 2) C = (−x, y)= (−3, 5)

,

,

,

Y

Eje y

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 97

Homotecias. Las homotecias son transformaciones geométricas que transforman al punto Q en Q de tal forma que el cociente OQ/OQ es siempre constante, si O es un punto cualquiera del plano. Las homotecias nos permiten aumentar o disminuir una figura en el plano.

Ejemplo:

Obtenga la imagen del triangulo ABC cuyos puntos son A (1,1), B (5,1) y C (3,5)

aplicando la ley de homotecia H (0, 3)

Solución:

, ,

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -4 -3 -2 -1

1

2

3

4

-1

5

6

8

7

9

10

11

12

13

14

15

A = (3(1), 3(1))= (3, 3)

B = (3(5), 3(1))= (15, 1)

C = (3(3), 3(5))= (9, 15)

,

,

,

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 98

Resumen. Al triángulo cuyos puntos son A (1,1), B (5,1) y C (3,4) aplique: Una traslación definida por: T (x, y)=(x+6, y+3) Una rotación de 900 Una simetría axial con relación al eje x

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -6 -5 -4 -3 -2 -1

1

2

3

4

X

-3

-2

-1

5

6

8

7

9

10

11

12

Y

-6

-5

-4

Traslación T (x, y)=(x+6, y+3) A = (1+6, 1+3)= (7, 4)

B = (5+6, 1+3)= (11, 4)

C = (3+6, 4+3)= (9, 7)

,

,

,

Rotación

A = [1(cos 900)−1(sen 900), 1(sen 900)+1(cos 900)] = (1(0)−1(1), 1(1)+1(0)) = (0−1, 1+0) = (−1, 1) B = [5(cos 900)−1(sen 900), 5(sen 900)+1(cos 900)] = (5(0)−1(1), 5(1)+1(0)) = (0−1, 5+0) = (−1, 5) C = [3(cos 900)−4(sen 900), 3(sen 900)+4(cos 900)] = (3(0)−4(1), 3(1)+4(0)) = (0−4, 3+0) = (−4, 3)

,

,

,

Simetría A = (x, −y)= (1, −1) B = (x, −y)= (5, −1)

C = (x, −y)= (3, −4)

, , ,

Traslación

Simetría

Rotación a 900

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 99

Progresiones aritméticas. Una progresión aritmética es aquella progresión en la cual cada término después del primero se obtiene sumándole una constante al término anterior. Ejemplos.

a. 3, 6, 9, 12, 15, 18,………. b. 2, 9, 16, 23, 30,………… c. 1, 5, 9, 13, 17, 21,……..

Término n-ésimo de una progresión aritmética

Para hallar el término n-ésimo de una progresión aritmética usamos la fórmula

An= a1+(n-1) d, donde a1 es el primer término, n es la cantidad de términos que

tiene la progresión y d es la constante que se suma a cada término después del

primero.

Ejercicios resueltos

1. Halle el término número 126 de la P. A. 3,6,9,12,15,18,……….

Datos: Solución:

a1= 3 An= 3+(126-1)3 d= 3 An= 3+(125)3 n=126 An=3+375 An= 378

2. Halle el término número 324 de la P. A. 2,9,16,23,30,…….

Datos: Solución:

a1=2 An= 2+(324-1)7 d=7 An= 2+(323)7

n=324 An=2+2,261 An= 2,263

3. Halle el término número 138 de una P. A. de 138 términos si la diferencia

entre sus términos es igual a 4 y el primero es 8.

Datos: Solución:

a1= 8 An= 8+(138-1)4 d= 4 An= 8+(137)4

n= 138 An= 8+548 An= 556

4. Hallar el término número 89 de la P. A. 4,10,14,18,……..

Datos: Solución:

a1= 4 An= 4+(89-1)6 d= 6 An= 4+(88)6 n= 89 An= 4+528 An= 532

Profesor Joel Amauris Gelabert S. Nagua, Rep. Dom.

Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 100

Resolución de problemas aplicando progresiones aritméticas

1. Juan inicia un plan de ahorros con 500 pesos y por cada día transcurrido ahorra 300 pesos más que el día anterior. ¿Cuánto tendrá que ahorrar los 31 días? Datos: Solución:

a1= 500 An= 500+(31-1)300 d= 300 An= 500+(30)300 n= 31 An= 500+ 9,000 An= 9,500

A los 31 días Juan tendrá que ahorrar $ 9,500 pesos.

Suma de los términos de una P. A.

Para hallar la suma de los términos de una P. A. usamos la fórmula

Sn = n(a1+an )

2 o Sn =

n[2a1+ n−1 d]2

Ejemplos.

1. Halle la suma de los primeros 150 términos de la P. A. 4,12,20,28,……..

Datos: Solución:

a1= 4 Sn = n[2a1+ n−1 d]

2

d=8

n=150 Sn = 150[2(4)+ 149−1 8]

2

Sn = 150[8+ 149 8]

2

Sn = 150[8+1,192]

2

Sn = 150[1,200]

2 =

180,0002

Sn = 90,000

2. ¿Cuánto tendrá Pedro ahorrado en 29 días si empezó ahorrando 800 pesos y por cada día transcurrido ahorró 400 pesos más que el día anterior? En este problema a1= 800, n= 29 y d= 400

Solución:

Sn = n[2a1+ n−1 d]

2

Sn = 29[2(800)+ 29−1 400]

2 se multiplica 2x800 y se resta 29-1

Sn = 29[1,600+ 28 400]

2 se multiplica 28x400 y se suma el resultado a 1,600

Sn = 29[1,600+11,200]

2

Sn = 29[12,800]

2 =

371,2002

se multiplica 29x12,800 y se divide entre 2

Sn = 185,600

Pedro tendrá ahorrado $ 185,600 pesos.

Profesor Joel Amauris Gelabert S. Nagua, Rep. Dom.

Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 101

Evaluación. Calcule el término número 258 de las siguientes progresiones aritméticas.

1. 3, 8, 13, 18, 23,………. 2. 4, 10, 16, 22, 28,……… 3. 6, 9, 12, 15, 18, 21,……. 4. 7, 15, 23, 31, 39,……… 5. 9, 4,−1,−6, −11,−16,……….

Calcule la suma de los primeros 170 términos de las siguientes progresiones aritméticas.

1. 5, 12, 19, 26, 33,………….. 2. 2, 11, 20, 29, 38,…………. 3. 10, 15, 20, 25, 30,………. 4. 1, 7, 13, 19, 25,………….. 5. 3, 10, 17, 24, 31,…………

Resuelve los siguientes problemas.

1. ¿Cuál es el primer término de una progresión aritmética de 30 términos si el último es 90 y la diferencia común entre sus términos es 3?

2. ¿Cuál es la diferencia común entre los términos de una P. A. de 21 términos si el primero es 3 y el último es 63?

Resuelve los siguientes problemas aplicando progresiones aritméticas.

1. José empezó ahorrando $425 pesos y por cada día transcurrido ahorró $275 pesos más que el día anterior. ¿Cuánto tendrá que ahorrar el día 34?

2. Marcos decide iniciar un plan de ahorro diario con $800 pesos y al día siguiente ahorra $975 pesos. Si cada ahorro supera al anterior en $175 pesos. ¿Cuánto tendrá ahorrado a los 45 días?

3. Pedro empezó sacando 20 huevos de su gallinero, si por cada día transcurrido saca 5 huevos más que el día anterior ¿Cuántos huevos sacará a los 28 días? ¿Cuántos huevos habrá sacado Pedro de su gallinero en total?

Profesor Joel Amauris Gelabert S. Nagua, Rep. Dom.

Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 102

Binomio De Newton. El teorema del binomio es una fórmula que proporciona el desarrollo de la potencia n-ésima de n (siendo n, entero positivo) de un binomio. De acuerdo con el teorema, es posible expandir la potencia (x + y)n en una suma que implica términos de la forma axb yc, donde los exponentes b y c son números naturales con b+c = n y el coeficiente a de cada término es un número entero positivo que depende de n y b. Cuando un exponente es cero, la correspondiente potencia es usualmente omitida del término. Por ejemplo

(x+y)4 = x4+ 4x3y+6x2y2 +4xy3 + y4

El coeficiente a en el término de xb yc es conocido como el coeficiente binomial

𝑛𝑏 o 𝑛

𝑐 ya que los dos tienen el mismo valor.

Usando la fórmula para calcular el valor de 𝑛𝑘 que también es representado

ocasionalmente como Cn,k , el teorema establece que: (x+y) = para n ≥ 1

El coeficiente xn k yk en el desarrollo de (x+y) es 𝑛𝑘 el cual representa el

número de formas de escoger k elementos de un conjunto de n elementos.

Donde 𝑛𝑘 recibe el nombre de coeficiente binomial y representa el número de

formas de escoger k elementos a partir de un conjunto con n elementos. Usualmente el teorema del binomio se expresa de la siguiente manera:

(x+y) = xn k yk = Ejemplo 1. Aplique la fórmula del binomio de newton y halle el resultado de:

(2x2+4m)6 Solución: (x+y) =

= 60 (2x2)6 + 6

1 (2x2)6 (4m)+ 6

2 (2x2)6 (4m)2 + 6

3 (2x2)6 (4m)3

+ 64 (2x2)6 (4m)4 + 6

5 (2x2)6 (4m)5 + 6

6 (2x2)6 (4m)6

= 60 (2x2)6 + 6

1 (2x2)5 (4m)+ 6

2 (2x2)4 (4m)2 + 6

3 (2x2)3 (4m)3 + 6

4 (2x2)2

(4m)4 + 65 (2x) (4m)5 + 6

6 (2x2)0 (4m)6

= 60 (64x12)+ 6

1 (32x10) (4m)+ 6

2 (16x8) (16m2) + 6

3 (8x6) (64m3) + 6

4

(4x4) (256m4) + 65 (2x) (1,024m5)+ 6

6 (1) (4,096m6)

n Ʃ k=0

n!

k! n−k ! xn k yk

− n

k=0

n n

Ʃ

n!

k! n−k !

xn

k yk

n!

k! n−k ! xn k yk

n Ʃ

n

k=0

− 𝑛0 xn+ 𝑛

1 xn y + 𝑛

2 xn y2 +….+ 𝑛

𝑛−1 xyn + 𝑛

𝑛 y −1

−2

−1

𝑛𝑘

n

−1

−2

−3

−4

−6

−5

n

Profesor Joel Amauris Gelabert S. Nagua, Rep. Dom.

Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 103

Se calculan los valores de los coeficientes numéricos.

1. 60 =

6!

0! 6−0 ! =

6x5x4x3x2x1

1x6x5x4x3x2x1 =1

2. 61 =

6!

1! 6−1 ! =

6x5x4x3x2x1

1x5x4x3x2x1 =

720

120 =6

3. 62 =

6!

2! 6−2 ! =

6x5x4x3x2x1

2x1x4x3x2x1 =

720

48 =15

4. 63 =

6!

3! 6−3 ! =

6x5x4x3x2x1

3x2x1x3x2x1 =

720

36 =20

5. 64 =

6!

4! 6−4 ! =

6x5x4x3x2x1

4x3x2x1x2x1 =

720

24 =30

6. 65 =

6!

5! 6−5 ! =

6x5x4x3x2x1

5x4x3x2x1x1 =

720

120 =6

7. 66 =

6!

6! 6−6 ! =

6x5x4x3x2x1

6x5x4x3x2x1x1 =

720

720 =1

Luego se sustituyen estos valores en desarrollo del binomio.

= 1(64x12)+6(32x10) (4m)+ 15(16x8) (16m2) + 20(8x6) (64m3) + 30(4x4) (256m4) + 6(2x) (1,024m5) + 1(1) (4,096m6)

= 64x12+768x10m+ 3,840x8 m2+10,240x6m3 + 30,720x4m4 + 12,288xm5 + 4,096m6

Ahora bien si queremos un término determinado del desarrollo de la potencia de un binomio sin tener que desarrollarlo, podemos usar las siguientes fórmulas:

Tk = nk−1

x y para (a+b)n

Tk = ( ) n

k−1 x y para (a−b)n

A través del triángulo de pascal podemos obtener también los coeficientes numéricos de los términos del desarrollo de la n-ésima potencia de un binomio.

n−k+1 k−1

−1 k−1 n−k+1

k−1

k−1

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 104

Triángulo de Pascal desarrollado hasta la fila número 13.

Con él se pueden obtener los coeficientes del desarrollo de (x+y)0 hasta (x+y)12 Ejemplo 1.

Halle el término número 8 del desarrollo del binomio (x3+2y2)9 Solución:

Tk = nk−1

x y

T8 = 98−1

(x3) (2y2)

T8 = 97 (x3)2 (2y2)7

T8 = 9!

7! 9−7 ! (x6) (128y14) =

9x8x7x6x5x4x3x2x1

7x6x5x4x3x2x1x1x2x1 (128 x6 y14)

T8 = 362,880

10,080 (128y14 x6) =36 (128 x6 y14)

Ejemplo 2.

Halle el 6to término del desarrollo del binomio (3m2+5x4)8 Solución:

Tk = nk−1

xn-k+1 y k-1

Tk = 86−1

(3m2)8-6+1 (5x4)6-1

Tk = 85 (3m2)3 (5x4)5

Tk = 8!

5! 8−5 ! (27m6) (625x20)=

8x7x6x5x4x3x2x1

5x4x3x2x1x3x2x1 (16,875m6 x20)

Tk = 40,320

720 (16,875m6 x20) =56 (16,875m6 x20)

Tk = 945,000m6 x20

n−k+1 k−1

9−8+1 8−1

T8 = 4,608 x6 y14

1 1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1

1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 105

Halle el desarrollo del binomio (x+y)6 aplicando la fórmula del binomio de Newton. Solución:

(x+y)6 = n!

k! n−k ! xn-k yk

(x+y)6 = 60 (x)6 + 6

1 (x)5 (y)+ 6

2 (x)4 (y)2 + 6

3 (x)3 (y)3 + 6

4 (x)2 (y)4

+ 65 (x) (y)5 + 6

6 (x)0 (y)6

= 6!

0! 6−0 ! x6 +

6!

0! 6−0 ! x5 y +

6!

0! 6−0 ! x4 y2+

6!

0! 6−0 ! x3 y3+

6!

0! 6−0 ! x2 y4

+ 6!

0! 6−0 ! x y5 +

6!

0! 6−0 ! x0 y6

= 6!

6! x6 +

6!

5! x5 y +

6!

2!x4! x4 y2+

6!

3!x3! x3 y3+

6!

4!x2! x2 y4

+ 6!

5! x y5 +

6!

6! x0 y6

= x6 +6x5 y +15x4 y2 +20x3 y3+ 15x2 y4 +6xy5 + y6

Aplicaciones del binomio de Newton. Una de las aplicaciones que tiene el desarrollo del binomio de Newton es que puede utilizarse para calcular valores aproximados de raíces, teniendo en cuenta que:

(x + y)n = x + y 1

n

En este caso el desarrollo del binomio de Newton toma la forma:

(1+y) = 1+ 1

n y+

1−n

n2(2!) y2 +

1−n (1−2n)

n3(3!) y3 +

1−n 1−2n (1−3n)

n4(4!) y4

+ 1−n 1−2n (1−3n)

n5(5!) y5 +

1−n 1−2n 1−3n (1−4n)

n6(6!) y6

+ 1−n 1−2n 1−3n 1−4n (1−5n)

n7(7!) y7 +

1−n 1−2n 1−3n 1−4n 1−5n (1−6n)

n8(8!) y8

+ 1−n 1−2n 1−3n 1−4n 1−5n 1−6n (1−7n)

n9(9!) y9 +……………….

Ʃ

k=0

n

1

n

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 106

Ejemplo 1

Halle la raíz cuadrada aproximada de 30 Solución:

25 + 5 = 25(1 +5

25) = 5 (1+ ) = 5 1 +

1

5

1

2

5 1 +1

5

1

2 = 5 (1+

1

n y+

1−n

n2(2!) y2 +

1−n (1−2n)

n3(3!) y3

=5 (1+ 1

2 (

1

5)+

1−2

22 (2x1) (

1

5)2 +

1−2 (1−2 2 )

23(3x2x1) (

1

5)3+

1−2 (1−2 2 )(1−3 2 )

24(4x3x2x1) (

1

5)4

=5 (1+ 1

10 +

−1

4 (2) (

1

25) +

3

8(6) (

1

125)+

−15

16(24) (

1

625)

=5 (1+ 0.1+ −1

200 +

3

6,000 +

−15

240,000 )

≈ 5 (1+ 0.1− 0.005+0.0005−0.0000625)

≈ 5(1.0954375)

≈ 5.4771875

Ejemplo 2.

Halle el valor aproximado de 20 aplicando la fórmula del binomio de Newton. Solución:

20 = 16 (1 +1

4) = 4 1 +

1

4

1

2

4 1 +1

4

1

2= 4[1+

1

2 (

1

4)+

1−2

22(2!) (

1

4)2 +

1−2 (1−2(2))

23(3!) (

1

4)3

+ 1−2 (1−2 2 )(1−3 2 )

24(4!) (

1

4)4

4 1 +1

4

1

2= 4[1+

1

8 +

−1

4 (2x1) (

1

16) +

−1 (1−4)

8 (3x2x1) (

1

64) +

1−2 (1−2 2 )(1−3 2 )

16 (4x3x2x1) (

1

256) ]

4 1 +1

4

1

2= 4[1+

1

8 −

1

128 +

3

3,072 −

15

98,304 ]

4 1 +1

4

1

2= 4[1+ 0.125 – 0.0078125 + 0.0009765625– 0.0001525878]

4 1 +1

4

1

2 ≈ 4 (1.11801)

4 1 +1

4

1

2 ≈ 4.47204

+ 1−n 1−2n (1−3n)

n4(4!) y4 +

1−n 1−2n (1−3n)

n4(4!) y5)

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 107

Desarrollo del binomio de Newton cuando n es racional. Cuando n es racional el desarrollo del binomio de Newton toma la forma:

𝑥 + 𝑦 𝑛

𝑚 = 𝑥𝑛

𝑚 + 𝑛

𝑚 𝑥

𝑛−𝑚

𝑚 y + 𝑛(𝑛−𝑚)

𝑚2(2!) 𝑥

𝑛−2𝑚

𝑚 y2 + 𝑛 𝑛−𝑚 (𝑛−2𝑚)

𝑚3(3!) 𝑥

𝑛−3𝑚

𝑚 y3

+ 𝑛 𝑛−𝑚 𝑛−2𝑚 (𝑛−3𝑚)

𝑚4(4!) 𝑥

𝑛−4𝑚

𝑚 y4 + 𝑛 𝑛−𝑚 𝑛−2𝑚 𝑛−3𝑚 (𝑛−4𝑚)

𝑚5(5!) 𝑥

𝑛−5𝑚

𝑚 y5

+ 𝑛 𝑛−𝑚 𝑛−2𝑚 𝑛−3𝑚 𝑛−4𝑚 (𝑛−5𝑚)

𝑚6(6!) 𝑥

𝑛−6𝑚

𝑚 y6 +……………………

Ejemplo 1.

Obtenga los primeros 6 términos del desarrollo del binomio 2𝑥 + 𝑦 3

2 Solución:

2𝑥 + 𝑦 3

2 = (2𝑥)3

2 + 3

2 (2𝑥)

3−2

2 y + 3(3−2)

22(2!) (2𝑥)

3−2(2)

2 y2

+ 3 3−2 (3−2 2 )

23(3!) (2𝑥)

3−3(2)

2 y3 + 3 3−2 (3−2 2 )(3−3(2))

24(4!) (2𝑥)

3−4(2)

2 y4

+ 3 3−2 (3−2[2]) 2−3 2 (3−4[2])

25(5!) (2𝑥)

3−5(2)

2 y5

2𝑥 + 𝑦 3

2 = 23𝑥3

2 + 3

2 2 𝑥

1

2 y + 3

4(2𝑥1) 2−1 𝑥

−1

2 y2 + −3

8(3𝑥2𝑥1) 2−3 𝑥

−3

2 y3

+ 9

16(4𝑥3𝑥2𝑥1) 2−5 𝑥

−5

2 y4 + −60

25(5!) 2−7 𝑥

−7

2 y5

2𝑥 + 𝑦 3

2 = 23𝑥3

2 + 3 2

2 𝑥

1

2 y + 3

8

1

2

1

x y2 −

3

48

1

8 y3 +

9

384

1

32

1

x5 y4

+ −60

3,840

1

128

1

x7 y5

2𝑥 + 𝑦 3

2 = 8 𝑥3

2 + 3 2

2 𝑥

1

2 y + 3

8

1

2𝑥 y2 −

3

48

1

8 y3 +

9

384

1

32𝑥5 y4

− 60

3,840

1

128𝑥7 y5

2𝑥 + 𝑦 3

2 = 4x2 𝑥3

2 + 3 2

2 𝑥

1

2 y + 3

8 2𝑥 y2 −

1

16 4x2 y3 +

3

128 16𝑥2𝑥5 y4

− 1

64 64𝑥2𝑥7 y5

2𝑥 + 𝑦 3

2 = 2 2 𝑥3

2 + 3 2

2 𝑥

1

2 y + 3

8 2𝑥 y2 −

1

32 2 y3 +

3

512 2𝑥5 y4 −

1

512 2𝑥7 y5

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 108

Evaluación: Aplique la fórmula del binomio de Newton y halle el desarrollo de los siguientes binomios.

1. 2x + 3a 5

2. 4m + 2y 6 3. 5k + a2 7 4. 3y + 2m4 8 5. x + y 9

Halle el 4to término del desarrollo de los siguientes binomios.

1. (2m2+5y)5

2. (2x4+y3)7

3. (4x2+3y4)6

4. (8a+2k)5

5. (3w2 – 2y3)6

De acuerdo al triángulo de Pascal ¿Cuáles son los coeficientes numéricos para los siguientes binomios?

1. (x+y)10 2. (m+k)9 3. (a+b)12

Halle la raíz cuadrada aproximada de las siguientes cantidades, aplicando la fórmula del binomio de Newton.

1. 28 2. 40 3. 56 4. 80

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 109

ARCOS Y ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

Recordemos que: Una circunferencia: es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia a otro punto fijo de ese plano llamado centro es siempre la misma. La distancia entre ambos puntos es el radio de la circunferencia. Arco de circunferencia: es una sección o parte de una circunferencia determinada por dos o más puntos consecutivos de la misma. Medida en grados de una circunferencia La medida en grados de una circunferencia es igual a 3600 Líneas y puntos notables de la circunferencia.

Las líneas y puntos notables de la circunferencia son: el radio, la secante, la tangente, el diámetro, la cuerda y el centro. Ángulos en la circunferencia.

Angulo inscrito: es aquel ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y su medida es igual a la mitad de la medida del arco interceptado Angulo central: es aquel ángulo que tiene su vértice en el centro de la

circunferencia y su medida es igual a la medida del arco interceptado.

Angulo formado por dos rectas secantes que se cortan en el interior de una circunferencia. Si el ángulo no es central su medida será la semi-suma de las medidas del arco interceptado y la del arco opuesto. Angulo formado por dos rectas secantes que se cortan en el exterior de una circunferencia. Si el ángulo no es central su medida será la semi-diferencia o semi-resta de las medidas del arco interceptado y la del arco opuesto. Arco interceptado por un ángulo: El arco interceptado por un ángulo es espacio comprendido entre los dos rayos o rectas que determinan dicho ángulo. Ejemplo: 1

2 3 X B

D

En esta figura los ángulos inscritos son el ∡1 y el ∡2 por sus vértices son puntos

de la circunferencia, mientras que los ángulos ∡3 y ∡x son centrales por su vértice esta en el centro de la circunferencia.

En este caso la m ∡1= 1

2 CD, la m ∡2=

1

2 AB (por ser ángulos inscritos)

La m ∡3= m AC y la m ∡x = m AB (por ser ángulos centrales)

A

C

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 110

Resolución de problemas.

En la siguiente figura la medida del arco AC es 580 y la medida del arco BD es 1240 calcule las medidas de los demás arcos y las medidas de los ángulos numerados. Nota: BC es diámetro. A

Solución: 3

Datos: C 2 1 B

m AC=580 4

m BD= 1240 D

m AC+m AB=1800 m CD+m BD=1800

m AB= 1800-m AC m CD= 1800-m BD

m AB= 1800-580 m CD= 1800-1240

m AB= 1220 m CD= 560

m ∡1= 1

2 AC m ∡3=

1

2 BD

m ∡1= 1

2 (580) m ∡3=

1

2 (1240)

m ∡1= 290 m ∡3= 620

m ∡2= 1

2 (CD+AB) m ∡5=

1

2 CD

m ∡2= 1

2 (560+1220) m ∡1=

1

2 (560)

m ∡2= 1

2 (1780) m ∡1= 280

m ∡2= 890

m ∡4= 1

2 AB

m ∡4= 1

2 (1220)

m ∡1= 610

5

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 111

Calcule la medida del arco BC y las medidas de los ángulos ∡ 3 y ∡ 1 sabiendo que

la m ∡ 2 = 500, la m AB= 1000 y la m CD= 200.

C

A 3 1

Solución: Datos: 2. m AB+ m BC+ m CD+ m AD= 3600 m ∡ 2 = 850 880+m BC+300+1400= 3600 m CD= 300. BC+2480= 3600 m AB= 880 BC= 3600-2580 BC= 1020

1. m ∡ 2 = 1

2 m (AD+CD)

AD= 2 m m ∡ 2 -BC. AD= 2(850)-300 AD=1700-300 AD= 1400

3. la m ∡ 3 = 1

2 m (BC+CD)

m ∡ 3 = 1

2 (1020+300 )

m ∡ 3 = 1

2 (1320)

m ∡ 3 = 660

4. la m ∡ 1 = 1

2 m (AB-CD)

m ∡ 1 = 1

2 (880-300)

m ∡ 1 = 1

2 (580)

m ∡ 1 = 290

D

2

B

Como el ángulo 2 es inscrito su medida es igual a

m ∡ 2 = 1

2 m (AD+CD), por lo que, despejando a AD

nos queda que AD= 2 m m ∡ 2 -BC.

Para buscar la medida del ángulo 1 observamos que el arco que intercepta es AB y que el arco opuesto a AB es CD por lo que:

m ∡ 1 = 1

2 m (AB-CD).

Los arcos se restan porque el ángulo se formó fuera de la circunferencia.

Buscamos la medida del arco AD

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 112

Observa la siguiente figura y calcule las medidas de los arcos y las medidas de los ángulos sabiendo que la m AB = 3 m BD, la m AC= 4 m BD+200 y la m CD= 2 m BD+100

Solución:

La m AB+ m AC+ m CD+ m BD= 3600 3m BD+4m BD+200+2m BD+100 + m BD= 3600

10 m BD+300 = 3600

10 m BD=3600-300

10 m BD= 3300

10 m BD

10 =

330

10

m BD= 330

m AB = 3m BD

m AB = 3(330)

m AB = 990

m AC= 4m BD+200

m AC= 4(330)+200 m AC= 1520

m CD= 2m BD+100

m CD= 2(330)+100

m CD= 760

A

C

B

D 3

2

1 4

Datos:

m BD= m BD

m AB = 3m BD

m AC= 4m BD+200

m CD= 2m BD+100

Los ángulos inscritos

son: el ∡ 2 y el ∡ 3 por

lo que su medida será:

m ∡ 2= 1

2 m (BD+CD)

m ∡ 2= 1

2 (330+760)

m ∡ 2= 54.50

m ∡ 3= 1

2 m (BD+AB)

m ∡ 3= 1

2 m (330+990)

m ∡ 3= 660

La medida del ángulo 1 es:

m ∡ 1= 1

2 m (AC-BD)

m ∡ 1= 1

2 m (1520-330)

m ∡ 1= 59.5

La suma de las medidas del

ángulo 1 y del ángulo 4 es igual a

1800 o sea que

m ∡ 1+m ∡ 4=1800 lo que

implica que:

m ∡ 4= 1800-m ∡ 1

m ∡ 4= 1800- 59.50

m ∡ 4= 120.50

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 113

Evaluación. Seleccione la respuesta correcta.

1. Es aquel ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia.

A. Inscrito B. Central C. Conjugado

2. La medida de un ángulo inscrito que intercepta un arco de 680 es igual a

A. 340 B. 680 C. 320

3. Es aquel ángulo que tiene su vértice en un punto de la circunferencia.

A. Central B. Interior C. Inscrito

4. ¿Cuál es la medida de un arco si el ángulo inscrito que lo intercepta mide 580?

A. 1000 B. 580 C. 1160

5. Si en una circunferencia, dos rectas secantes se cortan en su exterior formando un ángulo que mide 460 y el arco opuesto mide 280 ¿Cuánto mide el otro arco interceptado por el ángulo? A. 1250 B. 1200 C. 1300 6. Es la línea de la circunferencia que equivale a dos veces la longitud de radio. A. Secante B. Diámetro C. Cuerda. 7. Si en una semi-circunferencia formada por dos arcos el mayor excede en 300 al menor ¿Cuánto mide el arco mayor?

A. 850 B. 750 C. 1050

8. Si la medida de un ángulo inscrito es 560 ¿Cuál es la medida del arco interceptado por dicho ángulo?

A. 840 B. 980 C. 1120

II. En la siguiente figura la medida de AF es igual a 4 veces la medida de BC+100, la medida de DF es igual a 2 veces la medida de BC+60, la medida de DB es igual a 3 veces la medida de BC+90 y la medida de AC es igual a 2 veces la medida de BC+50. Calcule la medida de los arcos y la medida de los ángulos numerados.

6 3

4

1 5

7

8

11

2

D A

B C

F

10

9

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 114

Matrices y determinantes.

Una matríz: Es un ordenamiento de números dispuestos en filas y columnas. Ejemplos.

A= 3 71 2

B= 0 38 14 5

C= 1 8 4−6 0 52 −3 3

Las matrices se representan por letras mayúsculas de nuestro alfabeto.

Orden de una matriz. El orden de una matriz nos indica la cantidad de filas y columnas que tiene dicha matriz. Posición o lugar de un elemento dentro de una matriz.

La posición o lugar de un elemento dentro de una matriz nos indica la fila y la columna en la que se ubica dicho elemento. Ejemplos:

En la matriz C= 1 8 4−6 0 52 −3 3

vamos a identificar cada uno de sus elementos.

a11= 1 elemento que está en la fila 1 columna 1

a12= 2 elemento que está en la fila 1 columna 2 a13= 4 elemento que está en la fila 1 columna 3 a21= -6 elemento que está en la fila 2 columna 1 a22= 0 elemento que está en la fila 2 columna 2 a23= 5 elemento que está en la fila 2 columna 3 a31= 2 elemento que está en la fila 3 columna 1 a32= -3 elemento que está en la fila 3 columna 2 a33= 3 elemento que está en la fila 3 columna 3 Orden de una matriz. El orden de una matriz es el producto indicado de la cantidad de filas por la cantidad de columnas.

N= 1 4 00 5 103 2 1

El orden de la matriz N es 3x3 porque tiene 3 filas y 3 columnas.

A= 2 54 01 3

El orden de la matriz A es 3x2 porque tiene 3 filas y dos columnas.

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 115

Clasificación de las matrices.

Matriz cuadrada: Es aquella matriz que tiene igual número de filas y de columnas. Ejemplo:

M= 3 8 05 6 −22 4 9

Esta matriz es cuadrada porque tiene 3 filas y 3 columnas

Matriz traspuesta: Es aquella matriz que se obtiene al intercambiar las filas por columnas y las columnas por filas. Ejemplo.

M= 3 8 05 6 −22 4 9

MT= 3 5 28 6 40 −2 9

Como se observa, para obtener la traspuesta de la matriz M se intercambiaron las filas por las columnas. Matriz triangular: Es aquella matriz en la que todos los elementos por encima o por debajo de la diagonal principal son ceros. Debemos tener en cuenta que esta matriz puede ser triangular superior si los ceros están por debajo de la diagonal principal y triangular inferior si los ceros están por encima de la diagonal principal. Ejemplo.

K= 3 4 00 6 10 0 9

Q= 3 0 00 6 02 7 9

triangular inferior

R= 3 4 0 0 6 1 0 0 9

triangular superior

Matriz diagonal: Es aquella matriz en la que todos los elementos por encima y por debajo de la diagonal son ceros. Ejemplo.

N= 3 0 0 0 6 0 0 0 9

Matriz identidad: Es aquella matriz en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a la unidad Ejemplo.

C= 1 0 0 0 1 0 0 0 1

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 116

Matriz escalar: Es aquella matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales. Ejemplo.

D= 2 0 0 0 2 0 0 0 2

Matriz nula: Es aquella matriz en la que todos sus elementos son iguales a cero. Ejemplo.

E= 0 0 0 0 0 0 0 0 0

OPERACIONES CON MATRICES.

Suma de matrices.

Para sumar dos matrices solo debemos sumar los elementos correspondientes de cada una, es decir los elementos que están en la misma posición. Ejemplos:

Si A= 3 5 28 6 40 −2 9

y B= 1 4 00 5 103 2 1

Halle A+B

A+B= 3 + 1, 5 + 4, 2 + 08 + 0, 6 + 5, 4 + 100 + 3, −2 + 2, 9 + 1

A+B= 4 9 28 11 143 0 10

Si M= 4 5 28 7 93 0 10

y K= 1 9 63 1 48 10 7

Halle M+K

M+K=

4 + 1, 5 + 9, 2 + 68 + 3, 7 + 1, 9 + 43 + 8, 0 + 10, 10 + 7

M+K= 5 14 8

11 8 1311 10 17

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 117

Producto de un escalar y una matriz. Para multiplicar un escalar por una matriz se debe multiplicar dicho escalar por cada uno de los elementos de esa matriz. Ejemplos.

Halle 5A si A= 1 9 63 1 48 10 7

5A= 5 1 9 63 1 48 10 7

= 5 45 30

15 5 2040 50 35

Como se observa cada elemento de A ha sido multiplicado por 5

Halle 4M si M= 3 5 28 6 40 −2 9

4M= 4 3 5 28 6 40 −2 9

= 12 20 832 24 160 −8 36

PRODUCTO DE MATRICES.

Para multiplicar dos matrices se procede a multiplicar las filas de la primera por cada una de las columnas de la segunda teniendo en cuenta que las matrices a multiplicar sean del mismo orden o que la cantidad de columnas de la primera sea igual a la cantidad de filas de la segunda. Ejemplos.

Si A= 1 2 53 6 10 2 4

y B= 1 3 13 4 20 5 3

Halle: AxB

AxB= 1x1 + 2x3 + 5x0, 1x3 + 2x4 + 5x5, 1x1 + 2x2 + 5x33x1 + 6x3 + 1x0, 3x3 + 6x4 + 1x5, 3x1 + 6x2 + 1x30x1 + 2x3 + 4x0, 0x3 + 2x4 + 4x5, 0x1 + 2x2 + 4x3

AxB= 1 + 6 + 0 3 + 8 + 25 1 + 4 + 15

3 + 18 + 0 9 + 24 + 5 3 + 12 + 30 + 6 + 0 0 + 8 + 20 0 + 4 + 12

AxB= 7 36 20

21 38 186 28 16

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 118

Si B= 3 1 45 0 2

y C = 1 2 53 0 10 4 6

halle su producto.

En este caso es posible obtener el producto porque la cantidad de columnas de la primera es igual a la cantidad de filas de la segunda. Solución:

BxC= 3 1 45 0 2

x 1 2 53 0 10 4 6

BxC= 3x1 + 1x3 + 4x0, 3x2 + 1x0 + 4x4, 3x5 + 1x1 + 4x65x1 + 0x3 + 2x0, 5x2 + 0x0 + 2x4, 5x5 + 0x1 + 2x6

BxC= 3 + 3 + 0, 6 + 0 + 16, 15 + 1 + 245 + 0 + 0, 10 + 0 + 8, 25 + 0 + 12

BxC= 6 22 405 18 37

Si Q= 4 5 3 0−2 10

y R= 2 −54 1

Halle QxR

QxR= 4x2 + 5x4, 4x −5 + 5x13x2 + 0x4, 3 −5 + 0x1

−2x2 + 10x4, −2 −5 + 10x1

QxR= 8 + 20, −20 + 56 + 0, −15 + 0

−4 + 40, 10 + 10

QxR= 28 −156 −15

36 20

En resumen el producto de dos matrices es posible:

Si las matrices son del mismo orden. Si la cantidad de columnas de la primera es igual a la cantidad de filas de la

segunda.

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 119

Problemas que se resuelven aplicando matrices.

Una empresa tiene tres fábricas F1, F2 y F3 en las que se fabrican diariamente tres

tipos diferentes de productos, A, B y C, como se indica a continuación: F1: 200 unidades de A, 140 de B y 100 de C.

F2: 150 unidades de A, 100 de B y 150 de C.

F3: 100 unidades de A, 80 de B y 70 de C.

Cada unidad de A que se vende proporciona un beneficio de 90 pesos, por cada unidad de B se obtienen 80 pesos de beneficio y por cada una de C 60 pesos. Sabiendo que la empresa vende toda la producción diaria, obtén matricialmente el beneficio diario obtenido con cada una de las tres fábricas. Solución: A B C F1 200 140 100

F2 150 100 150

F3 100 80 70

A B C F1 200 140 100 90 18,000+11,200+6,000

F2 150 100 150 x 80 = 13,500+8,000+9,000

F3 100 80 70 60 9,000+6,400+4,200

F1 35,200

= F2 30,500

F3 19,600

Estos resultados muestran que:

La fábrica 1 obtiene $35,200 pesos diarios de beneficio. La fábrica 2 obtiene $30,500 pesos diarios de beneficio. La fábrica 3 obtiene $19,600 pesos diarios de beneficio.

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 120

Determinante de una matriz cuadrada.

El determinante de una matriz cuadrada es un número asociado al desarrollo de dicha matriz. Uno de los métodos utilizados para calcular el determinante de una matriz cuadrada es el método de Zarrus el cual consiste en agregar a la matriz dada las dos primeras filas o las dos primeras columnas. El procedimiento consiste en restar a la sumatoria de los productos de los elementos que forman las diagonales principales la sumatoria de los productos de los elementos que forman las diagonales secundarias cuando la matriz es de orden 3x3. Si la matriz es de orden 2x2 se le resta al producto de los elementos de la diagonal principal el producto de los elementos de la diagonal secundaria. Ejemplos:

Halle el determinante de la siguiente matriz.

A= 4 37 6

Solución: Det A= (4x6)-(7x3) Det A= 24-21

Det A= 3.

Halle el determinante de la matriz B= 3 2 45 6 11 0 8

Solución:

Det B= 3 2 4 3 25 6 1 5 61 0 8 1 0

se repiten las dos primeras columnas.

Det B= (3x6x8)+(2x1x1)+(4x5x0)-[(1x6x4)+(0x1x3)+(8x5x2)] Det B= 144+2+0-(24+0+80) Det B= 146-104 Det B= 42.

Halle el determinante de la matriz K= 3 4 20 9 101 −2 5

3 4 2

Det K= 0 9 101 −2 53 4 2

En este caso se repitieron las dos primeras filas.

0 9 10 Det K = 135+0+40-(18-60+0) Det K= 175-(-42)=175+42

Det K= 217.

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 121

Propiedades de los determinantes.

1. El determinante de una matriz cuadrada es cero si dicha matriz tiene dos filas o dos columnas iguales. Demostración:

A= 2 4 21 3 14 5 4

Det A= 2 4 2 2 41 3 1 1 34 5 4 4 5

Det A= (24+16+10)-(24+10+16) Det A= 50-50 Det A= 0

2. El determinante de una matriz cuadrada es cero si tiene una fila o una columna de ceros. Demostración:

B= 3 0 04 5 01 2 0

Det B= 3 0 0 3 04 5 0 4 01 2 0 1 0

Det B= (0+0+0)-(0+0+0) Det B= 0-0 Det B= 0

3. Si en una matriz cuadrada una columna o una fila se multiplica o se divide por un número diferente de cero el determinante de la matriz queda multiplicado o dividido por dicho número. Demostración:

Q= 3 4 11 2 30 5 8

Det Q = 3 4 1 3 41 2 3 1 20 5 8 0 5

= 48+0+5-(0+45+32)= 53-77

Det Q= -24

Tomamos la matriz Q y

calculamos su determinante

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 122

Q= 3x3 4 13x1 2 33x0 5 8

= 9 4 13 2 30 5 8

Det Q= 9 4 1 9 43 2 3 3 20 5 8 0 5

= 144+0+15-(0+135+96)= 159-231

Det Q= -72

Aplicación de los determinantes en solución de sistemas de ecuaciones lineales. Una de las aplicaciónes de los determinantes, es su uso para hallar la solución a sistemas de ecuaciones lineales. Cuando se quiera hallar la solución de un sistema de ecuaciones lineales, se forma el cociente de dos matrices, en donde el numerador será la matriz que se forma sustituyendo los coeficientes de la variable que se va a buscar por los términos independientes y cuyo denominador sea la matriz que se forma con los elementos del sistema, luego se calculan los determinantes de ambas matrices y su cociente será el valor de la variable. Ejemplo: Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones aplicando determinantes.

Solución:

x=

26 440 6

3 45 6

=

156−160

18−20 =

−4

−2 = 2

x= 2

y =

3 265 40

3 45 6

=

120−130

18−20 =

−10

−2 = 5

y = 5

Se multiplica la primera columna por

3 y calculamos el determinante de la

matriz resultante

Como se observa el determinante de la matriz Q

es igual a -24 y si multiplicamos la primera

columna de Q por 3 y calculamos el

determinante nos da -72 con lo cual queda

demostrada la propiedad, ya que (3) (-24)= -72

3x+4m=26

5x+6m=40

Se calcula el determinante de la

matriz que está en el numerador

y de la matriz que está en el

denominador y luego se dividen

dichos determinantes.

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 123

Ejemplo 2.

Halle los valores de a y m en el siguiente sistema de ecuaciones.

m =

29 724 4

2 73 4

=

116−168

8−21 =

−52

−13 = 4

x = 4

Ejemplo 3.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones aplicando determinantes.

x=

22 5 1 22 530 6 2 30 642 8 4 42 8

3 5 1 3 54 6 2 4 62 8 4 2 8

= 528+420+240−(252+352+600)

72+20+32−(12+48+80) =

1,188−1,204

124−140 =

−16

−16

x = 1

y =

3 22 1 3 224 30 2 4 302 42 4 2 42

3 5 1 3 54 6 2 4 62 8 4 2 8

= 360+88+168−(60+252+352)

72+20+32−(12+48+80) =

616−664

124−140 =

−48

−16

y = 3

m =

3 5 22 3 54 6 30 4 62 8 42 2 8

3 5 1 3 54 6 2 4 62 8 4 2 8

= 756+300+704−(264+720+840)

72+20+32−(12+48+80) =

1,760−1,840

124−140 =

−80

−16

m = 5

2m+7a =29

3m+ 4a =24

Solución:

a =

29 724 4

2 73 4

=

116−168

8−21 =

−52

−13 = 4

a = 4

1. 2.

3x+5y+m= 22

Escriba aquí la ecuación.

2m= 10 4x+6y+2m= 30

2x+8y+4m= 42

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 124

Evaluación del tema. Seleccione la respuesta correcta.

1. El determinante de la matriz A= 5 4 3 5

es igual a:

A. 8 B. 10 C. 13

2. El resultado de 5D si D= 1 82 04 3

es igual a

A. 4 40

10 020 12

B. 5 40

10 020 15

C. 10 4015 020 8

3. Si una matriz cuadrada tiene dos filas o dos columnas iguales su determinante es igual a: A. 0 B. 1 C. -1

4. El resultado de AxB si A= 2 1 05 0 4

y B= 3 2 50 4 11 6 0

es igual a

A. 8 21 0

10 0 15 B.

9 12 1015 20 14

C. 6 8 11

19 34 25

5. El determinante de la matriz E= 6 0 71 9 25 3 8

es igual a:

A. 24 B. -32 C. 102

Dadas las matrices:

K= 9 1 43 8 60 2 5

G= 4 −2 17 3 51 0 10

y B= 2 0 65 1 10−3 2 9

Halle:

1. K+B= 6. KxG=

2. AxG= 7. GxB=

3. G+B= 8. Det B=

4. Det K= 9. AxK=

5. Det G= 10. 8K=

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando determinantes.

3m+5x+2y = 31

4m+2x+4y =26

5m+3x+6y= 37

8x+4y = 52

3x+2y = 21

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 125

Sucesiones. Una sucesión es una función que asigna a un número natural n, un número real cualquiera an la cual tiene como dominio el conjunto de los números naturales. Es un conjunto de términos formados mediante una regla o ley. Término general de una sucesión.

El término general de una sucesión es una fórmula que genera los términos de dicha sucesión al hacer sustituciones sucesivas de los elementos del conjunto de los números naturales. Ejemplo:

Hallar los primeros 10 términos de la sucesión cuyo término general es

Sn= 2n2+1

Solución:

S1=2(1)2+1=2(1)+1=3

S2=2(2)2+1=2(4)+1=9

S3=2(3)2+1=2(9)+1=18

S4=2(4)2+1=2(16)+1=33

S5=2(5)2+1=2(25)+1=51

S6=2(6)2+1=2(36)+1=73

S7=2(7)2+1=2(49)+1=99

S8=2(8)2+1=2(64)+1=129

S9=2(9)2+1=2(81)+1=163

S10=2(10)2+1=2(100)+1=201

Las sucesiones pueden ser finitas e infinitas.

Sucesión finita: Es aquella sucesión que tiene un conjunto finito o determinado de términos Ejemplo:

Sn= 2[(-1)n+1] para n ≤ 5

Sucesión infinita:

Es aquella sucesión que tiene un conjunto indeterminado de términos.

Ejemplo:

Sn= nn

Ejercicios resueltos.

Halle los primeros 8 términos de las sucesiones cuyos términos generales son:

Sn= n3-2n2+2

S1= (1)3-2(1)2+2=1-2+2=1

S2= (2)3-2(2)2+2= 8-2(4)+2=2

S3= (3)3-2(3)2+2=27-2(9)+2=11

S4= (4)3-2(4)2+2=64-2(16)+2=34

S5= (5)3-2(5)2+2=125-2(25)+2=77

S6= (6)3-2(6)2+2=216-2(36)+2=146

S7= (7)3-2(7)2+2=343-2(49)+2=247

S8= (8)3-2(8)2+2=512-2(64)+2=386

Sn= 1, 2, 11, 34, 77, 146, 247, 386

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 126

Sn= 𝑛2+3𝑛

𝑛+1

S1= 𝑛2+3𝑛

𝑛+1 =

12+3(1)

1+1 =

1+3

2 =

4

2 =2

S2= 𝑛2+3𝑛

𝑛+1 =

22+3(2)

2+1 =

4+6

3 =

10

3

S3= 𝑛2+3𝑛

𝑛+1 =

32+3(3)

3+1 =

9+9

4 =

18

4 =

9

2

S4= 𝑛2+3𝑛

𝑛+1 =

42+3(4)

4+1 =

16+12

5 =

28

5

S5= 𝑛2+3𝑛

𝑛+1 =

52+3(5)

5+1 =

25+15

6 =

40

6 =

20

3

S6= 𝑛2+3𝑛

𝑛+1 =

62+3(6)

6+1 =

36+18

7 =

54

7

S7= 𝑛2+3𝑛

𝑛+1 =

72+3(7)

7+1 =

49+21

8 =

70

8 =

35

4

S8= 𝑛2+3𝑛

𝑛+1 =

82+3(8)

8+1 =

64+24

9 =

88

9

Sn= 2, 10

3,

9

2,

28

5,

20

3,

54

7,

35

4,

88

9

Límite de una sucesión.

Calcule los siguientes límites

1. an= 6𝑛2+5𝑛+9

2𝑛2+3𝑛+1

Lim an= Lim 6𝑛2+5𝑛+9

2𝑛2+3𝑛+1 = Lim

6𝑛2

𝑛2 +

5𝑛

𝑛2+ 9

𝑛2

2𝑛2

𝑛2 + 3𝑛

𝑛2 + 1

𝑛2

Lim 6 + Lim

5

n + Lim

9

n 2

Lim 2 +Lim 3

n +Lim

1

n 2 =

6+0+0

2+0+0 =

6

2

Lim an= 3

Para calcular este límite

se divide el numerador y

el denominador por la

mayor potencia de n que

es n2 teniendo en cuenta

que mientras más

grande sea el valor de n

las fracciones

5

𝑛 ,

9

𝑛2 y

1

𝑛2 se

aproximaran a cero.

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 127

2. Lim 6𝑛2+5𝑛+9

2𝑛2+3𝑛+1 = Lim

𝑛2

𝑛3 − 3𝑛

𝑛3 +1

𝑛3

𝑛3

𝑛3 + 𝑛

𝑛3 + 4

𝑛3

Lim

1𝑛

− 3

𝑛2 +1

𝑛3

1+ 1

𝑛2 + 4

𝑛3

= Lim

1

n –Lim

3

n2 +Lim 1

n3

Lim 1 +Lim 1

n2 +Lim 4

n 3

Lim 6𝑛2+5𝑛+9

2𝑛2+3𝑛+1 =

0−0+0

1+0+0 =

0

1

Lim 6𝑛2+5𝑛+9

2𝑛2+3𝑛+1 = 0

3. Lim 𝑛3−𝑛2

2𝑛3+𝑛2+1 = Lim

𝑛3

𝑛3 – 𝑛2

𝑛3

2𝑛3

𝑛3 + 𝑛2

𝑛3 + 1

𝑛3

Lim 1−

1

𝑛

2 + 1𝑛

+ 1

𝑛3

= Lim 1 −Lim

1n

Lim 2 +Lim 1

n +Lim

1

n3 =

1−0

2+0 +0

Lim 𝑛3−𝑛2

2𝑛3+𝑛2+1 =

1

2

4. Lim 𝑛3+2𝑛2+3𝑛+1

𝑛2+2𝑛+3 = Lim

𝑛3

𝑛3 + 2𝑛2

𝑛3 + 3𝑛

𝑛3 + 1

𝑛3

𝑛2

𝑛3 + 2𝑛

𝑛3 +3

𝑛3

Lim 1 +

2

𝑛 +

3

𝑛2 +1

𝑛3

1

𝑛 +

2

𝑛2 + 3

𝑛3 =

Lim 1 +Lim 2n +Lim

3

n 2 +Lim 1

n 3

Lim 1

n +Lim

2

n 2 +Lim 3

n 3

Lim 𝑛3+2𝑛2+3𝑛+1

𝑛2+2𝑛+3 =

1+0 +0 +0

0 +0 +0 =

1

0

Lim 𝑛3+2𝑛2+3𝑛+1

𝑛2+2𝑛+3 = ∞

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 128

5. Calcule Lim 3𝑛2−5

𝑛2+4𝑛+1 = Lim

3𝑛2

𝑛2 − 5

𝑛2

𝑛2

𝑛2 + 4𝑛

𝑛2 + 1

𝑛2

Lim 3 −

5

𝑛2

1 + 4𝑛

+ 1

𝑛2

= Lim 3 −Lim

5

n2

Lim 1 +Lim 4

n +Lim

1

n 2 =

3−0

1+0 +0

Lim 3𝑛2−5

𝑛2+4𝑛+1 =

3

1 = 32 = 9

6. Lim 8𝑛+1

𝑛

8𝑛2+2𝑛+5

𝑛2−𝑛+6

3 =

8𝑛+1

𝑛

8𝑛2+2𝑛+5

𝑛2−𝑛+6

3

8𝑛

𝑛 +

1

n

𝑛

𝑛

8𝑛2

𝑛2 + 2𝑛

𝑛2 + 5

𝑛2

n 2

n 2 − n

n 2 + 6

n 2

3

= 8 +

1

n

1

8 + 2

𝑛 +

5

𝑛2

1 − 1

n +

6

n 2

3

= Lim 8 +Lim

1

n

1

Lim 8 +Lim 2

n +Lim

5

n 2

Lim 1 −Lim 1

n +Lim

6

n 2

3

= 8+0

1

8+0 +0

1−0+0

3 =

8

1

8

1

3= 8𝑥8

3 = 643 = 4

2 2

2 2

2 2

Lim

Lim Lim

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 129

Derivadas

Derivada de funciones algebraicas.

Derivada de una función:

La derivada de una función es el límite del cociente o razón entre el incremento de dicha función menos la función original y el incremento de la variable independiente cuando este tiende a cero.

𝑑

𝑑𝑥 f (x) = Lim

f x+∆x −f(x)

∆x

Reglas de la derivada.

La derivada de una constante es igual a cero.

𝑑

𝑑𝑥 (c)=0

La derivada de una variable con relación a ella misma es igual a 1.

𝑑

𝑑𝑥 (x)= 1

La derivada de una suma de funciones es igual a la suma de las derivadas de dichas funciones.

𝑑

𝑑𝑥 [f (x)+g(x)+h(x)]=

𝑑

𝑑𝑥 f (x)+

𝑑

𝑑𝑥 g (x)+

𝑑

𝑑𝑥 h(x)

La derivada de una constante por una función es igual a la constante por la derivada de dicha función.

𝑑

𝑑𝑥 c [f (x)]= c

𝑑

𝑑𝑥 f (x)

La derivada de un producto de funciones es igual a la primera función por la derivada de la segunda más la segunda función por la derivada de la primera.

𝑑

𝑑𝑥 [f (x).g(x)]= f (x)

𝑑

𝑑𝑥 g (x)+g (x)

𝑑

𝑑𝑥 f (x)

La derivada de la potencia de una función siendo el exponente constante es igual al producto del exponente por la función elevada al exponente disminuido en una unidad multiplicado esto por la derivada de la función.

𝑑

𝑑𝑥 [f (x)]n = n[f (x)n-1].

𝑑

𝑑𝑥 f (x)

Si f (x)= x entonces:

𝑑

𝑑𝑥 (x)n = n (x) n-1

La derivada de un cociente es igual al denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del denominador entre el cuadrado del numerador.

𝑑

𝑑𝑥 f(x)

g(x) =

g x 𝑑

𝑑𝑥 f x)−f (x

𝑑

𝑑𝑥 g (x)

g x 2

La derivada del cociente de una función y una constante es igual a la derivada de la función entre la constante.

∆𝒙 → 𝟎

𝑑

𝑑𝑥 f(x)

c =

𝑑

𝑑𝑥 f (x)

c

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 130

Hallar la derivada de las siguientes funciones. y=4x4+5x3

Solución:

𝑑𝑦

𝑑𝑥 (4x4+5x3)=4(4x3)+3(5x2)

𝑑𝑦

𝑑𝑥 (4x4+5x3)=16x3 +15x2

y = 8x5+10x4 -15

Solución:

𝑑𝑦

𝑑𝑥 (8x5+10x4-15)=5(8x4)+4(10x3 -0)

𝑑𝑦

𝑑𝑥 (8x5+10x4-15)= 40x4+40x3

Si f (x)= 2x3+5x2 y g (x)= 3x4+6x, halle 𝑑

𝑑𝑥 [f (x). g(x)]

𝑑

𝑑𝑥 [f (x). g(x)]= (2x3+5x2)

𝑑𝑑𝑥

(3x4+6x)+ (3x4+6x) 𝑑

𝑑𝑥 (2x3+5x2)

𝑑

𝑑𝑥 [f (x). g(x)]= (2x3+5x2)(12x3+6)+ (3x4+6x)(6x2+10x)

𝑑

𝑑𝑥 [f (x). g(x)]= 24x6+12x3+60x5+30x2+ 18x6+30x5+36x3+60x2

𝑑

𝑑𝑥 [f (x). g (x)]= 42x6+90x5+48x3+90x2

Si f (x)= 8x4-3x2 y g (x)= 2x2+5x, halle 𝑑

𝑑𝑥 f(x)

g(x)

𝑑

𝑑𝑥

f(x)

g(x) =

2x2+5x 𝑑

𝑑𝑥 8x4−3x2)−(8x4−3x2

𝑑

𝑑𝑥 (2x2+5x)

(2x2+5x)2

𝑑

𝑑𝑥

f(x)

g(x) =

2x2+5x 32x3−6x)−(8x4−3x2 (4x+5)

(2x2+5x)2

𝑑

𝑑𝑥

f(x)

g(x) =

64x5−12x3+160x4−30x2−32x5−40x4+12x3+15x2

(2x2+5x)2

𝑑

𝑑𝑥

f(x)

g(x) =

32x5+120x4−15x2

(2x2+5x)2

Recuerda: Si una mente ágil quieres tener, desarrolla el buen hábito por los estudios.

Profesor Joel Amauris Gelabert S. Nagua, Rep. Dom.

Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 131

Derivada de funciones trigonométricas.

1. d

dx (Sen x)= cos x

Demostración: d

dx (Sen x)= Lim

sen x+∆x −sen x

∆x

d

dx (Sen x)= Lim

sen x.sen ∆x+cos x.sen ∆x−sen x

∆x

d

dx (Sen x)= Lim

cos x.sen ∆x−(sen x )(1−cos ∆x)

∆x

d

dx (Sen x)=Lim cos x

sen ∆x

∆x − sen x

(1−cos ∆x)

∆x

d

dx (Sen x)= Cos x Lim

sen ∆x

∆x − sen x Lim

(1−cos ∆x)

∆x

𝑑

𝑑𝑥 (Sen x)= Cos x (1)- sen x (0)

𝑑

𝑑𝑥 (Sen x)= Cos x

Demostración:

2. d

dx (Cos x) = -Sen x

d

dx (Cos x) = Lim

cos x+∆x −cos x

∆x

d

dx (Cos x) = Lim

cos x.cos ∆x − sen x.sen ∆x−cos x

∆x

d

dx (Cos x) = Lim

− cos x+cos x.cos ∆x − sen x.sen ∆x

∆x

d

dx (Cos x) = − cos x Lim

(1−cos ∆x)

∆x − sen x Lim

(sen ∆x)

∆x

d

dx (Cos x) = − cos x (0) − sen x (1)

𝑑

𝑑𝑥 (Cos x) = − sen x

∆𝑥 0

∆𝑥

0

∆𝑥 0

∆𝑥 0

∆𝑥 0

∆𝑥 → 0

Debemos tener en cuenta que:

Lim 𝑠𝑒𝑛 ∆𝑥

∆𝑥 =1 y

Lim (1−cos ∆𝑥)

∆𝑥 = 0

∆𝑥 → 0

∆𝑥 → 0

∆𝑥 →

0

∆𝑥 →

0

∆𝑥 →

0

∆𝑥 → 0

∆𝑥 → 0

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 132

3. d

dx (Tan x)= Sec2 x

Demostración:

Tan x = sen x

cos x

d

dx (Tan x)=

cos xd

dx sen x −sen x

d

dx (cos x)

(cos x)

d

dx (Tan x)=

cos x cos x −sen x (−sen x)

cos 2 x

d

dx (Tan x)=

cos 2 x+se n2 x

cos 2 x

d

dx (Tan x)=

1

cos 2 x

d

dx (Tan x)= Sec2 x

4. d

dx (Cot x)=

cos x

sen x

Demostración:

Cot x= cos x

sen x

d

dx (Cot x)=

sen x d

dx cos x −cos x

d

dx (sen x)

(sen x)

d

dx (Cot x)=

sen x −sen x −cos x (cos x)

sen 2 x

d

dx (Cot x)=

−sen 2 x−cos 2 x

sen 2 x

d

dx (Cot x)=

−(1−cos 2 x)−cos 2 x

sen 2 x

d

dx (Cot x)=

−1+cos 2 x−cos 2 x

sen 2 x

𝑑

𝑑𝑥 (Cot x)=

−1

sen 2 𝑥

𝑑

𝑑𝑥 (Cot x)= −cosc2 x

2

2

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 133

5. 𝑑

𝑑𝑥 (sec x)= Sec x .Tan x

Demostración:

Sec x = tan x

sen x

d

dx (Sec x)=

sen x d

dx Tan x −Tan x

d

dx (Sen x)

(sen x)2

d

dx (Sec x)=

Sen x Sec 2x −Tan x ( Cos x)

sen 2 x

d

dx (Sec x)=

Sen x 1

Co s2 x −Sen x

sen 2 x

d

dx (Sec x)=

Sen x

Co s2 x −Sen x

sen 2 x

d

dx (Sec x)=

Sen x−Co s2 x(Senx )

Co s2 x

sen 2 x

d

dx (Sec x)=

Sen x (1−Co s2 x )

Co s2 x

sen 2 x

d

dx (Sec x)=

Sen x .Sen 2 x

Co s2 x

sen 2 x

d

dx (Sec x)=

Sen x.Se n2x

Cos 2 x ÷

Sen 2 x

1

d

dx (Sec x)=

Sen x.Se n2x

Cos 2 x.Se n2 x

d

dx (Sec x)=

1

Cos x .

Sen x

Cos x

𝑑

𝑑𝑥 (Sec x)= Sec x.Tan x

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 134

6. d

dx (Cosc x)= −Cosc x . Cotg x

Demostración:

Cosc x= Cot x

Cos x

d

dx (Cosc x)=

Cos x d

dx Cot x −Cot x

d

dx (Cos x)

(Cos x)2

d

dx (Cosc x)=

Cos x –Cos c2 x −Cot x (−Sen x)

Co s2x

d

dx (Cosc x)=

−Cos x 1

Se n2 x +

cos x

sen x (Sen x)

Co s2x

d

dx (Cosc x)=

−Cos x

Se n2 x + Cos x

Co s2x

d

dx (Cosc x)=

−Cos x +Se n 2 x .Cos x

Se n 2 x

Co s2x

d

dx (Cosc x)=

−Cos x (1−Se n2 x )

Se n 2 x

Co s2x

d

dx (Cosc x)=

−Cos x (Co s2 x)

Se n 2 x

Co s2x

d

dx (Cosc x)=

−Cos x.Cos2 x

Se n2 x ÷

Cos 2 x

1

d

dx (Cosc x)=

−Cos x.Cos2 x

Se n2 x.Cos2 x

d

dx (Cosc x)=

−Cos x

Se n2 x =

1

Sen x . −Cos x

Sen x

d

dx (Cosc x)= −Cosc x . Cotg x

Se sustituye Cosc x por 𝐶𝑜𝑡 𝑥

Cos 𝑥 y se aplica la regla

de la derivada de un

cociente, se buscan las

derivadas de la

cotangente y del coseno,

se efectúan los productos

correspondientes en el

numerador y luego se

reducen los términos

semejantes.

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 135

Nociones de cálculo integral.

Calcule el valor de las siguientes integrales.

1. ∫ 2x3-5x2-3x+4) dx

=2∫x3 dx-5∫x2 dx-3∫x dx +4∫dx

= 2 𝑥3+1

3+1 − 5

𝑥2+1

2+1 − 3

𝑥1+1

1+1 +4x

= 2 𝑥4

4 − 5

𝑥3

3 − 3

𝑥2

2 + 4x

= 𝑥4

2 −

5𝑥3

3 −

3𝑥2

2 + 4x

2. ∫ 2𝑎

𝑥 −

𝑏

𝑥2 + 3𝑐 𝑥23

2 dx

=∫2a𝑥− 1

2 dx -∫b𝑥−2 dx+∫ 3𝑐 𝑥

23

2 dx

= 2a∫𝑥− 1

2 dx - b∫𝑥−2 dx + 3c∫ 𝑥

23

2 dx

= 2a x−

12

+1

− 1

2 +1

− b x−2+1

−2+1 + 3c

x 23

+1

2

3 +1

= 2a x

12

1

2

− b x−1

−1 +

3c x 53

5

3

+ 𝑏

𝑥 +

9c x 53

5

3. ∫(𝑎4

3 − 𝑥2

3 )3 dx

∫ 𝑎4

3)3-3(𝑎4

3 )2 (𝑥2

3 )+3(𝑎4

3 ) (𝑥2

3 )2 -(𝑥2

3 )3] dx

∫ (𝑎12

3 -3 𝑎8

3 𝑥2

3 +3 𝑎4

3 𝑥4

3-𝑥6

3 ) dx

∫a4 dx-3∫𝑎8

3 𝑥

2

3 dx+3∫𝑎

4

3 𝑥

4

3 dx+∫x2 dx

= a4 x – 3a

83

x

23

+1

2

3 +1

+ 3 𝑎

43 𝑥

43 +1

43

+1 +

x 2+1

2 +1

= 4𝑎 𝑥

12 =

Recuerda: El cálculo integral es una herramienta importantísima de las matemáticas, es un soporte sin el cual no hubiera sido posible haber alcanzado todos los avances científicos y tecnológicos que han permitido el desarrollo de las distintas ciencias y/o áreas del conocimiento.

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 136

= a4 x– 3𝑎

83

x 53

53

+

3 𝑎 43 𝑥

73

7

3

+ x3

3

= a4 x– 9𝑎

83

x 53

5 +

9 𝑎 43 𝑥

73

7 +

x 3

3

4. ∫(𝑎2 + 𝑏2𝑥2) x dx

En esta integral hacemos: v = a2+b2 x2 y n= 2

3

Luego: 𝑑

𝑑𝑥 (v)=

𝑑

𝑑𝑥 (a2+b2 x2) =

𝑑

𝑑𝑥 (a2)+

𝑑

𝑑𝑥 (b2 x2)

0+ b2 𝑑

𝑑𝑥 (x2)= b2 (2x)= 2b2 x por lo que:

𝑑

𝑑𝑥 (v)= 2b2 x y esto a su vez es igual a:

1

2𝑏2 d (v)= x dx Por tanto:

1

2𝑏2 ∫V = 1

2𝑏2 𝑉

2

3 +1

= 1

2𝑏2 𝑉

53

53

= 3

10 𝑏2 (a2+b2 x2)

5. ∫(x −2x + 5 𝑥 −3) dx

∫x dx −2∫x dx + 5∫ x dx − 3∫dx

= 𝑥

32 +1

3

2 +1

– 2 𝑥

23 +1

2

3 +1

+ 5 𝑥

12

+1

12 +1

− 3x

= 𝑥

52

52

– 2 𝑥

53

53

+

5 𝑥 32

32

− 3x

= 2 𝑥

52

5 –

6 𝑥 53

5 +

10 𝑥 32

3 − 3x

2

3

2

3+1

5

3

3

2

2

3

2

3

3

2

2

3

1

2

Recuerda: Al igual que nuestros músculos se desarrollan cuando nos ejercitamos físicamente, así también se desarrolla nuestro cerebro cuando estudiamos y nos ejercitamos mentalmente.

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 137

6. ∫ 𝑥 ( 𝑎 − 𝑥 )2 dx

∫ x [ ( 𝑎 )2 −2( 𝑎 )( 𝑥 )+( 𝑥 )2 ] dx

∫ x (a −2 a x + x) dx

∫ax dx – 2a ∫x . x dx +∫x . x dx = a∫x dx – 2a∫x dx +∫x . x dx

= 𝑎 𝑥

12 +1

12

+1 –

2 𝑎 12 𝑥1+1

1+1 +

𝑥 32

+1

12 +1

= 𝑎 𝑥

32

3

2

– 2 𝑎

12 𝑥2

2 +

𝑥 52

52

= 2 𝑎 𝑥

32

3 –

𝑎 12 𝑥2

+

2 𝑥 52

5

7. ∫t ( 2𝑡2 + 3 ) dt

En esta integral hacemos: v= 2t2+3 y n= 1

2

Buscamos la derivada de v.

𝑑

𝑑𝑡 (v)= 4t, de aquí se deduce que:

d (v)= 4t dt por lo que:

1

4 d (v)= t dt, luego:

1

4 ∫v dv =

1

4

𝑉

12

+1 =

1

4 𝑉

3

2 =

1

4

(2𝑡2+3)3

2

= 2

4

(2𝑡2+3)

3 =

2 (2𝑡2+3)

12

= (2𝑡2+3)

6

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2+1

3

2 3

2

3

2

3

2

3

2

1

2

1

2

1

2

1

2

Recuerda que: x . x = x x . x = x

1

2

3

2

1

2

1

2

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Reflexiones Matemáticas Joel Amauris Gelabert 138

8. ∫xn ( 𝑎 + 𝑏𝑥𝑛 ) dx

V= a+b xn

𝑑

𝑑𝑥 (v)=

𝑑

𝑑𝑡 (a)+

𝑑

𝑑𝑡 (bxn)= 0+ nb x

𝑑

𝑑𝑥 (v)= nb x

1

𝑛𝑏 d (v)= x dx luego:

1

𝑛𝑏 ∫V dv =

1

𝑛𝑏

𝑉

12

+1 =

1

𝑛𝑏 𝑉

3

2

= 2

𝑛𝑏

(𝑎+𝑏𝑥𝑛 )

3

= 2 (𝑎+𝑏𝑥𝑛 )

3𝑛𝑏

−1

𝑛 −1

𝑛 −1

𝑛 −1

1

2

1

2+1

3

2

3

2

3

2