Reflexões sobre as dificuldades no processo ensino e aprendizagem de ...ccse.uepa.br/downloads/tcc/2009/pacheco_2009.pdf · Este trabalho de pesquisa foi elaborado com objetivo de

Universidade do Estado do Pará Centro de Ciências Sociais e da Educação Curso de Licenciatura em Matemática

EDIR ASSUNÇÃO PACHECO

Reflexões sobre as dificuldades no processo ensino e

aprendizagem de Álgebra: equação do 1º grau

Belém - Pará

2009




Belém - Pará

2009

Trabalho apresentado à Banca examinadora da

Universidade do Estado do Pará, como exigência

parcial para obtenção de grau de LICENCIADO

PLENO EM MATEMÁTICA, sob orientação da

Professora Msc. Acylena Coelho Costa.

Dados internacionais de publicação na catalogação (CIP)

Reflexões sobre as dificuldades no processo de ensino e aprendizagem de Álgebra. Edir Assunção Pacheco. Orientadora: Profª. Msc. Acylena Coelho Costa.__ 2009. Trabalho de Conclusão de Curso de (Graduação) – Universidade do Estado do Pará, Belém, 2009.

Palavras chave: Álgebra, Equação do 1° grau, Categorias de erros.

______________________________________________________________________




Data da aprovação:

Banca examinadora

___________________________________ - Orientadora

Professora Acylena Coelho Costa

Msc. em Educação Matemática – PUC-SP

Universidade do Estado do Pará

___________________________________

Prof° (a)

Eliane Alves de Oliveira


___________________________________

Prof° (a)

José Messildo Viana Nunes


Trabalho apresentado à Banca examinadora da

Universidade do Estado do Pará, como exigência

parcial para obtenção de grau de LICENCIADO

PLENO EM MATEMÁTICA, sob orientação da

Professora Msc. Acylena Coelho Costa.

AGRADECIMENTOS

A Deus primeiramente por me conceder a capacidade física e mental

para poder realizar este trabalho.

A minha querida orientadora e mentora, professora Msc. Acylena Coelho

Costa, por sua compreensão, dedicação, paciência e interesse.

À minha mãe, Lucinda Assunção Pacheco, por sua dedicação, carinho e

apoio.

À minha irmã, Marcilene Assunção Pacheco, por todo seu apoio, carinho

e, por sempre acreditar em minha capacidade de superação.

Aos meus tios, Ubirajara Melo Castelo Branco e Aurora Melo Castelo

Branco, pela confiança e incentivo ao meu empenho e determinação aos

estudos.

Aos meus amigos, Andreson Costa e Diego Lima, pela ajuda, força e

empenho para a realização deste trabalho.

RESUMO

PACHECO, Edir Assunção. Reflexões sobre as dificuldades no processo

ensino e aprendizagem de Álgebra: equação do 1º grau. 2009. 59f.

Trabalho de Conclusão do Curso (Licenciatura Plena em Matemática) –

Universidade do Estado do Pará, Belém, 2009.

Este trabalho de pesquisa foi elaborado com objetivo de verificar o

desempenho dos alunos da 8ª série do ensino fundamental ao resolverem

equação do 1º grau. O instrumento de coleta de dados foi um questionário, o

qual foi aplicado para 36 alunos da rede pública e particular do município de

Belém. Pela freqüência de erros presentes nos protocolos dos sujeitos

investigados os dados coletados foram organizados em categorias, as quais

foram escolhidas com base no trabalho de Freitas (2002). Os resultados

encontrados revelam que grande parte dos sujeitos investigados apresentou

dificuldades na resolução das equações aplicadas, tais como: realizar

operações algébricas corretamente, efetuar adequadamente as regras de

sinais e ignorar o sinal de igual durante os procedimentos de resolução da

equação.

Palavras Chaves: Álgebra, Equação do 1° grau, Categorias de erros.

ABSTRACT

PACHECO, Edir Assunção. Reflections on the difficulties teaching and

learning process of Algebra . 2009. 59pp. Curse Conclusion Work (Full

Licenciatura in Mathematics) – University of the State of Pará, Belém, 2009.

This research work was elaborated with objective of identifying the students' of

the 8th series main difficulties of the fundamental teaching to the they reveal

equation of the 1st degree. The instrument of collection of data was a

questionary, which was applied for 36 pupils of the public and particular net of

the city of Belém. By the frequency of errors gifts in the protocols of the

investigated citizens the collected data had been organized in categories, which

had been chosen on the basis of the work of Freitas (2002). The joined results

disclose that great part of the investigated citizens presented difficulties in the

resolution of the applied equations, such as: to carry through algebric

operations correctly, to effect the rules of signals adequately and to ignore the

signal of equation during the procedures of resolution of the equation.

Key – words: Algebra, equation of the 1° degree and teaching-learning.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1: Resposta do sujeito A4 .................................................................... 26

Figura 2: Resposta do sujeito A23 .................................................................. 26









Figura 11: Resposta do sujeito A29 ................................................................ 31

LISTA DE TABELAS

TABELA 01: Faixa etária dos sujeitos investigados.

TABELA 02: Sexo dos sujeitos investigados.

TABELA 03: Tipo de escola em que os sujeitos estudaram.

TABELA 04: Série em que o sujeito estudou pela primeira vez equação do 1°

grau.

TABELA 05: Dificuldades dos sujeitos com o conteúdo envolvendo a equação

do 1° grau.

TABELA 06: Abordagem do professor de Matemática sobre o conteúdo

envolvendo equação do 1° grau.

TABELA 07: Desempenho geral dos alunos ao resolverem questões


TABELA 08: Quantidade de erros por categorias.

TABELA 09: Erros cometidos entre as instituições com base nas categorias.

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO ....................................................................................... 9

1.1. Estrutura do Trabalho .................................................................... 10

2. TRAJETÓRIA DA PESQUISA ............................................................... 11

2.1. Objetivo da Pesquisa ..................................................................... 11

2.1.1. Objetivo Geral ....................................................................... 11

2.1.2. Objetivo Específico ............................................................... 12

2.1.3. Questão Norteadora ............................................................. 12

3. ÁLGEBRA E SUAS DIFICULDADES NO PROCESSO ENSINO E

APRENDIZAGEM: REFLEXÕES TEÓRICAS ........................................... 13

4. PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS ADOTADOS .......................... 18

4.1. Elaboração do questionário ............................................................ 18

4.2. Aplicação dos questionários ........................................................... 19

4.3. Categorias de erros para análise dos resultados............................ 20

5. ANÁLISE DOS RESULTADOS ENCONTRADOS ................................. 21

5.1. Análise Quantitativa dos Resultados Alcançados ........................... 21

5.2. Análise Qualitativa dos Resultados Alcançados ............................. 25

5.3. Análise dos erros por categoria ...................................................... 25

6. CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................... 34

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................... 36

APÊNDICES ............................................................................................. i

1. INTRODUÇÃO

As dificuldades apresentadas pelos estudantes no que se refere à

compreensão do conhecimento matemático parece ser um consenso entre os

educadores. Mas, vale destacar que a apresentação dos conteúdos desta

disciplina é feita de forma descontextualizada, sendo, portanto, pouco

significativa para os estudantes, os quais muitas vezes não conseguem fazer a

conexão entre o conhecimento matemático estudado em sala de aula e

algumas de suas ações na vida cotidiana.

Cruz (1998), apud Santos (2001, p.19) aponta que as pesquisas em

Educação Matemática nascem de duas necessidades:

(...) em primeiro lugar, a de melhorar a qualidade de ensino e da aprendizagem da Matemática, tendo assim um sentido pragmático; em segundo lugar, para explicar os fenômenos presentes no ensino e na aprendizagem da Matemática, portanto com características de campo de pesquisa com a tendência de ter um paradigma próprio.

Ao longo dos séculos e superando muitas dificuldades, os matemáticos

foram lentamente aprendendo a substituir as palavras por letras e por

pequenos sinais: =, +, -, :, etc., surgindo assim as noções da Álgebra – as

equações expressas totalmente em símbolos como as conhecemos hoje: a

Álgebra simbólica (TELLES, 2004). Hoje a Álgebra tem muitas aplicações se

mostrando muito útil como estratégia de resolução de problemas, mas assim

como os outros campos da Matemática, a sua aprendizagem apresenta

dificuldades.

Muitas dessas dificuldades giram em torno da maneira com que este

conteúdo é ministrado, na maioria das vezes de forma inadequada

ocasionando uma má assimilação deste conteúdo por parte do alunado. Além

disso, o conteúdo por ser introduzido nas séries iniciais, em que o aluno ainda

está habituado a desenvolver atividades apenas com números, ou seja, a

aritmética em si, não conseguindo lidar talvez com a introdução das letras nas

operações matemáticas. Segundo Usiskin (1995, p.9), “consideramos que os

alunos estão estudando álgebra quando encontram variáveis pela primeira

vez”.

Diante do exposto, decidimos por realizar uma investigação que buscará

diagnosticar por meio de uma pesquisa bibliográfica e de um trabalho de

campo em escolas públicas e particulares, as principais dificuldades no ensino

e aprendizagem da Álgebra. Nosso objetivo fora identificar os erros cometidos

com maior freqüência por alunos da 8ª série do ensino fundamental na

resolução de equações do 1° grau, analisando posteriormente os

procedimentos adotados por estes sujeitos na resolução de tais equações.

1.1. ESTRUTURA DO TRABALHO

O presente trabalho encontra-se estruturado da seguinte maneira:

a) Na seção 1 descrevemos uma breve apresentação sobre nosso

estudo, bem como a estrutura do presente trabalho;

b) Na seção 2 apresentamos a trajetória desenvolvida em nossa

pesquisa, os objetivos estabelecidos e a questão norteadora.

c) Na seção 3 registramos algumas pesquisadas já realizadas no

âmbito da Educação Matemática, sobre o conteúdo de álgebra,

especificamente equação do 1º grau e suas principais dificuldades no

processo ensino e aprendizagem.

d) Na seção 4 destacamos os procedimentos metodológicos adotados

em nossa pesquisa, a saber: elaboração do instrumento de coleta de

dados, aplicação do instrumento investigativo e escolha da categoria

de erros para análise dos resultados encontrados.

e) Na seção 5 realizamos a análise dos resultados obtidos em nossa

pesquisa, a qual foi conduzida por alguns estudiosos, tais como:

FREITAS (2002), RIBEIRO (2002), BOOTH (1995) e KIERAN (2002)

f) Na seção 6 apresentamos as considerações finais acerca deste

trabalho.

2. TRAJETÓRIA DA PESQUISA

Esse estudo foi iniciado por meio de um levantamento bibliográfico

acerca de pesquisas já realizadas, tais como: Booth (1995), Kieran (1995),

Usiskin (1995), Freitas (2002) e Ribeiro (2002).

Após esse levantamento bibliográfico decidimos pela escolha do

instrumento de coleta de dados. Para uma investigação a respeito das

dificuldades encontradas pelos alunos da 8ª série do ensino fundamental, com

relação ao ensino da álgebra; em particular; o conteúdo relacionado às

equações do 1° grau, em seguida foi elaborado e aplicado um questionário

(APÊNDICE I), contendo questões envolvendo equações do 1° grau.

Os questionários Foram aplicados para 36 alunos do ensino

fundamental. Cada questionário continha algumas perguntas destinadas aos

alunos em seu próprio ambiente escolar, como: faixa etária, sexo, abordagem

utilizada pelo professor para ministrar o conteúdo e em qual série eles tiveram

os primeiros contatos com o assunto e o tipo de escola na qual estudam. A

outra parte do questionário continha 5 equações do 1° grau. Estes

questionários foram aplicados em uma escola pública e uma escola particular

do município de Belém. Vale ressaltar a diferença existente no ensino das

escolas investigadas, as condições de trabalho, o desempenho dos alunos e o

empenho dos professores.

2.1. OBJETIVO DA PESQUISA

2.1.1 OBJETIVO GERAL

Esse trabalho de pesquisa visa contribuir com o ensino de equações do

1º grau para tanto nos propusemos a identificar os erros cometidos com maior

freqüência por alunos da 8ª série do ensino fundamental na resolução de

equações do 1° grau, analisando posteriormente os procedimentos adotados

por estes sujeitos na resolução de tais equações.

2.1.2. OBJETIVO ESPECÍFICO

Verificar quais as principais dificuldades dos alunos na resolução de

questões envolvendo o conteúdo de equações do 1º grau.

2.1. QUESTÃO NORTEADORA

O desenvolvimento dessa pesquisa ocorreu mediante o seguinte

questionamento:

Qual o desempenho de alunos da 8ª serie do ensino fundamental em

uma escola pública e um particular do município de Belém ao

resolverem questões que envolvam equação do 1° grau?

Na seção a seguir prosseguiremos relatando acerca de pesquisas

desenvolvidas na área da Educação Matemática que apontam dificuldades no

processo ensino e aprendizagem da Álgebra. Tais pesquisas servirão de

suporte no momento de analisarmos os resultados encontrados em nossa

pesquisa.

3. ÁLGEBRA E SUAS DIFICULDADES NO PROCESSO ENSINO E

APRENDIZAGEM: REFLEXÕES TEÓRICAS

No âmbito educacional brasileiro o modelo de ensino que ainda vigora é

o modelo tradicional de ensino, o qual é apontado por muitos estudiosos como

o grande vilão pela crise no processo ensino e aprendizagem em diversas

etapas da escolaridade.

No entanto, as dificuldades existentes no ensino e aprendizagem não

são conseqüência apenas desse modelo tradicional. Muitos estudiosos

apontam a Matemática como uma das responsáveis por tais dificuldades. “A

crise do ensino da matemática se destaca no fracasso geral da educação (...)”

(IMENES, 1990, p. 21).

A matemática é uma ciência abstrata e de difícil entendimento. Isso se

dá muitas das vezes pela maneira como seus conteúdos são ministrados, ou

seja, a metodologia utilizada pelo professor, que vem tradicionalmente

veiculada na prática pedagógica, nos diferentes níveis de ensino, focalizando

incessantemente a memorização e repetição de fórmulas, como modo único de

aplicação dos conceitos matemáticos.

Esse mesmo cenário ocorre no processo de ensino e aprendizagem dos

conteúdos algébricos. Segundo Mac Lane e Garret Birkhoff (1967), apud

Usiskin (1995):

A álgebra começa como arte de manipular somas, produtos e potências de números. As regras para essas manipulações valem para todos os números, de modo que as manipulações podem ser levadas a efeito com letras que representam números. Revela-se então que as mesmas regras valem para diferentes espécies de números [...] e que as regras inclusive se aplicam as coisas [...] que de maneira nenhuma são números. Um sistema algébrico consiste em um conjunto de elementos de qualquer tipo sobre as quais operam funções como adição e a multiplicação, contanto que essas operações satisfaçam regras básicas. (p.1)

A álgebra muitas vezes é chamada de “aritmética generalizada”. Essa

expressão sugere que as operações aritméticas são generalizações das

expressões envolvendo variáveis. Assim, expressões como x+3 ou 2y+z são

consideradas no mesmo sentido de, por exemplo, 5+3 ou 2 x 7 + 8,uma vez

que x y z representam números (KIERAN,1992).

Na estrutura curricular do Ensino Fundamental, o estudo da Álgebra é

fundamental. É a partir da apropriação dos seus conceitos que podemos fazer

abstrações e generalizações e isso em um grau maior que o realizado no

estudo da Aritmética. É importante a compreensão da linguagem algébrica na

tradução de problemas reais para a linguagem matemática, a fim de resolvê-

los. É interessante lembrar que muito tempo foi necessário para que

chegássemos à álgebra simbólica utilizada atualmente. De acordo com esta

idéia, Schoen (1995) destaca que:

(...) o desenvolvimento histórico do simbolismo algébrico começou com um período de álgebra verbal ou retórica, que durou pelo menos três milênios. Ao período retórico surgiu-se um outro, de mais um milênio, em que o discurso algébrico caminhou gradualmente da fase retórica para a simbólica (p.138).

Então, é necessário que o trabalho de conceitos e procedimentos

algébricos também seja gradual, passando por uma fundamentação verbal, a

fim de que estes sejam apropriados pelo aluno de forma efetiva.

Por sua vez, Lins e Gimenes (1997) afirmam que a Álgebra consiste em

um conjunto de ações para os quais é possível produzir significado em termos

de números e operações. Mas, no entanto percebe-se que o trabalho com o

estudo algébrico não vai muito adiante de manipulações de símbolos que na

maioria das vezes não possuem nenhum significado, sendo o seu estudo

desenvolvido de forma mecânica.

Esta forma de ensino tem sido limitadora, na qual o papel do aluno se

restringe a memorização de regras já que não propicia relação dos

procedimentos algébricos com situações reais. De acordo com os Parâmetros

Curriculares Nacionais - PCN‟s:

(...) para que a aprendizagem possa ser significativa é preciso que os conteúdos sejam analisados e abordados de modo a formarem uma rede de significados. Se a premissa de que compreender é apreender o significado, e de que para apreender o significado de algum objeto ou acontecimento é preciso vê-lo em suas relações com outros objetos ou acontecimentos, é possível dizer a idéia de conhecer assemelha-se a idéia de tecer uma teia. (BRASIL, 1998, p. 75)

Entende-se que o papel do professor é fundamental, pois é dele que

partem as tarefas que propiciam ao aluno estabelecer relações, ou seja,

produzir significado para aquele estudo. É do professor que partem as

intervenções, a fim de explorar situações em sala de aula que podem ser muito

proveitosas para a construção do conhecimento.

Por isso, inúmeras dificuldades apresentadas pelos alunos estão

diretamente relacionadas às abordagens do ensino de álgebra elementar

assumidas e trabalhadas pelos professores de matemática em sala de aula. Ou

seja, as dificuldades dos alunos giram em torno do ensino e da aprendizagem

proposta pela maioria dos professores, que de uma forma manipuladora

consegue mecanizar o estudo da álgebra. De acordo com Oliveira (2002), a

mecanização ocorre pelo fato de que,

quando se deparam com letras não usuais para representar incógnitas, isto lhes causa estranhamento, como se as relações entre as quantidades estivessem comprometidas. Há uma escravização às letras x, y, z como as únicas possíveis de estarem presentes enquanto incógnitas de uma equação (p.36).

Ou seja, os alunos não absorvem ou recebem a informação de que

existem variáveis e incógnitas que podem ser utilizadas para formulação de

qualquer equação, sem alteração do resultado. Caso o professor variasse as

suas aplicações, provavelmente o aluno se tornaria mais flexível e capaz de

resolver toda e qualquer equação que apresente como incógnita, letras

distintas, por exemplo: a, b, n, ...

Percebe-se que o aluno tem uma grande dificuldade em compreender os

procedimentos que fazem parte do estudo algébrico. Existem erros que se

repetem e persistem de um ano para outro. Estes conceitos que envolvem a

Álgebra são enfatizados a partir da 6ª e 7ª série do Ensino Fundamental.

Então, é importante que o aluno consiga apropriar-se deles para que possa

aplicá-los nas mais diversas situações.

Além disso, outro fator influente na apropriação do conceito algébrico

está a sua relação com a aritmética. Para Oliveira (2002), algumas barreiras se

configuram na Álgebra pelo fato do aluno trazer para o contexto algébrico,

dificuldades herdadas do aprendizado no contexto aritmético ou por

estenderem para o estudo algébrico, procedimentos aritméticos que não

procedem.

Uma dificuldade herdada no contexto aritmético, que se estende para o

algébrico é o uso de parênteses, os alunos tendem a pensar que é a seqüência

que determina a ordem que se deve resolver uma expressão. Como exemplo

de procedimento aritmético que não procede no contexto algébrico é a

justaposição que em Álgebra indica uma multiplicação, como mn, estaríamos

indicando a multiplicação de m por n, ou seja m x n. Já esta multiplicação, a

partir da justaposição, não se aplica ao contexto numérico no qual 23 não que

dizer 2 x 3. Grande parte da simbologia utilizada no contexto algébrico, já foi,

anteriormente utilizada no estudo da Aritmética, e em alguns casos, com

significados diferentes. Um erro bastante comum entre os alunos é de

simplificar uma expressão como 2a + 5b para 7ab. Percebe-se que o aluno não

aceita 2a + 5b como resposta válida, existindo a dificuldade em “aceitar a

ausência de fechamento” (COLLINS, 1975 apud BOOTH, 1995, p. 27).

Outra grande diferença entre Álgebra e Aritmética está no uso de letras

para indicar valores. “A letra m, por exemplo, pode-se ser utilizada em

aritmética para representar „metros‟, mas não para representar o número de

metros, como em álgebra.” (BOOTH, 1995, p.30).

Em seu trabalho, Ribeiro (2002) afirma que,

o professor de matemática deverá repensar sua metodologia para ensinar álgebra de modo a garantir que seus alunos saibam

expressar generalizações de relações e as propriedades das operações aritméticas por meio de escritas algébricas (p.26)

Mais um ponto complicador no uso das letras é a sua equivocada

interpretação, muitas vezes referidas como variáveis ou incógnitas, sem

diferenças, o que é incorreto. Para Usiskin (1995), muitas vezes se associa o

estudo de álgebra com o estudo de variáveis, que não está correto já que nem

sempre representações feitas por letras estão associadas à idéia de variação.

Para que a aprendizagem de Álgebra seja efetiva, é vital que o aluno

tenha a compreensão da idéia de variável. Segundo Klüsener (2001, p. 186):

“O uso de variáveis tende a confundir-se com o simples uso das letras x, y, z ...

manipulando-as naturalmente, sem chegar a valorar a sua complexidade, nem

os seus múltiplos significados”. A autora acredita que para que se adquira o

conceito de variável supõe-se a conjunção de dois processos: a generalização

e a simbolização. O primeiro é o que permite a passagem de situações

concretas para algo comum a todas elas, e o segundo é expressar de forma

abreviada essa característica comum em todas as situações.

Sobre o conceito de variável, Freitas (2002) considera que,

Outro aspecto que tem sido ressaltado no ensino da álgebra escolar diz respeito ao conceito de variável. Em particular, no processo de resolução em equações algébricas do tipo ax + b = cx + d, deve-se operar com a variável tanto da esquerda para a direita para a esquerda e nesse caso a igualdade é vista como uma equivalência dos termos e não mais como o prenúncio de um resultado numérico (p.7)

Diante disso, existem inúmeras pesquisas e trabalhos realizados em

Educação Matemática sobre o ensino e aprendizagem da Álgebra e, em sua

grande maioria, esses estudos não apresentam reflexões acerca da dificuldade

em definir a álgebra, mas sim, referências sobre a dificuldade dos alunos na

compreensão desta área da matemática. Muitas vezes ainda, a álgebra é

caracterizada ou considerada, como estudo de manipulações rotinizadas, e tem

contribuído para muitos insucessos, fortalecendo a idéia de que a matemática é

algo abstrato, mecanizado e descontextualizado do mundo fora da escola.

O levantamento bibliográfico aqui realizado foi de grande relevância para

nossa pesquisa, pois o mesmo nos proporcionou subsídios importantes para as

análises dos resultados encontrados. Apresentaremos de forma detalhada na

próxima seção os procedimentos adotados para o desenvolvimento de nosso

trabalho.

4. PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS ADOTADOS

Para realização dessa pesquisa optamos pela abordagem qualitativa,

fazendo uso de alguns procedimentos quantitativos para sistematizar os

resultados encontrados.

4.1. Elaboração do questionário

O instrumento de coleta de dados utilizado nessa pesquisa foi um

questionário (APENDICE I), o qual foi elaborado com base em nossa vivência

em sala de aula e nos trabalhos desenvolvidos por Ribeiro (2002) e Freitas

(2002) objetivando diagnosticar os principais erros dos sujeitos investigados,

bem como os procedimentos adotados pelos mesmos na resolução de

equações do 1° grau.

As equações do 1° grau elaboradas para a realização dessa

investigação foram:

a) – 5x = 10

b) 1= 3x + 2x

c) 6x + 2x= -9

d) -7x – 4 = x

e) 8 – 4x = -3x

Nota-se que por se tratar de equações do 1° grau, elas mantém as

mesmas estruturas, no entanto, as incógnitas estão dispostas de maneira

diferente. Isso foi feito, com propósito de garantir a discussão no que se refere

aos procedimentos de resolução dos sujeitos investigados.

Destacaremos a seguir os objetivos estabelecidos no momento da

elaboração de cada equação presentes no questionário aplicado:

a) – 5x = 10

Objetivo: O intuito de utilizarmos esse tipo de equação foi verificar se os

alunos investigados iriam proceder com a troca de sinal do coeficiente de x ao

utilizarem o método da transposição de termos.

b) 1= 3x + 2x

Objetivo: Com essa equação pretendíamos analisar como os alunos operam

com o coeficiente no 2° membro.

c) 6x + 2x= -9

Objetivo: Ao elaborarmos essa equação foi nossa intenção analisar como os

alunos operam com os termos em x.

d) -7x – 4 = x

e) 8 – 4x = -3x

Objetivo: O objetivo de elaborarmos essas duas equações foi verificar como os

alunos procedem para isolar a incógnita x. Pretendíamos ainda, observar se

esses sujeitos realizam cálculos mentais para os valores dos termos em x ou

se utilizam a transposição de termos.

4.2. Aplicação dos questionários:

O instrumento de coleta de dados foi aplicado para turmas da manhã

das 8ª séries do ensino fundamental de duas escolas, uma pública e uma

particular, localizadas no município de Belém, no período de 17/11 a 21/11 de

2008.

O contato com os alunos ocorreu em sala de aula, na presença do

professor das turmas investigadas. Os alunos responderam ao questionário de

forma voluntária, num tempo de 30 minutos. Orientamos aos sujeitos a

responder o questionário de forma individual, solicitando aos mesmos que se

por acaso não resolvessem as questões, que pelo menos escrevessem as

dificuldades encontradas ao tentar resolvê-las.

Acreditamos que a metodologia utilizada para o desenvolvimento dessa

pesquisa foi de grande relevância para o tratamento dos resultados

encontrados, auxiliando-nos a compreender de certa forma como o ensino da

Álgebra, em particular a equação do 1° grau, acontece nas escolas públicas e

particulares do município de Belém.

4.3 Categorias de erros para análise dos resultados:

Após corrigirmos os questionários aplicados consideramos em nossa

pesquisa 5 categorias de erros, pelo fato desses erros surgirem com freqüência

nas anotações feitas pelos sujeitos investigados. Tais categorias tiveram como

base o trabalho de Freitas (2002) que analisou os tipos de erros cometidos por

alunos ao resolverem equações aritméticas (a.x = b) e algébricas (a.x + b = c.x

+ d).

Descreveremos a seguir as categorias de erros utilizadas para análise

nessa pesquisa em relação aos procedimentos utilizados pelos alunos ao

resolverem as equações do 1° grau aplicadas.

CATEGORIA 1: Alteração do sinal do termo independente:

ax = - b x = _b_ a

CATEGORIA 2: Transformação de ax = b em x = b - a

CATEGORIA 3: Trocar a posição do coeficiente de x pela do termo

independente na divisão:

ax = b x = _a_ b CATEGORIA 4: Efetuar a transposição de termos independentes sem alterar o

sinal:

ax + b = c ax = b + c

CATEGORIA 5: Efetuar a soma entre o coeficiente de x e o termo

independente: ax + b = cx em (a + b)x = c.x

CATEGORIA 6: outros tipos de erros.

5. ANÁLISE DOS RESULTADOS ENCONTRADOS.

Os resultados apurados a partir da aplicação do instrumento de coleta

de dados serão apresentados a seguir por meio de uma análise quantitativa

dos resultados obtidos nos protocolos dos sujeitos investigados em seguida

será feita uma análise qualitativa levando em consideração os tipos de erros,

com as categorias identificadas por erros cometidos por tais sujeitos ao

resolverem as equações do 1° grau.

5.1. Análise Quantitativa dos Resultados Alcançados

Ao corrigir os protocolos dos alunos investigados os resultados

encontrados foram analisados de forma quantitativa no que se refere ao

sucesso e fracasso dos sujeitos na resolução das questões, sendo os mesmos

organizados em tabelas.

Tabela – 01: Faixa etária dos sujeitos investigados

Anos Porcentagem ( % )

12 – 14 58,8

15 – 17 41,2

18 – 20 Nenhum

Mais de 20 Nenhum

Fonte: Pesquisa de Campo

Podemos notar que entre os alunos entrevistados, a maioria 58,8%,

possui faixa etária entre 12 a 14 anos, 41,2% possuem idade entre 15 a 17

anos.

Tabela – 02: Sexo dos sujeitos investigados

Sexo Porcentagem ( % )

Feminino 56

Masculino 44


Percebemos entre os alunos entrevistados que a maior parte, ou seja,

56% são do sexo feminino enquanto que 44% são do sexo masculino.

Tabela – 03: Tipo de escola em que os sujeitos estudam

Escola Percentagem (%)

Privada 49,6

Outras 0

Municipal 0

Federal 0

Estadual 50,4

Cooperativa 0

Conveniada 0


Foi observado que, 49,6% dos entrevistados são oriundos de instituições

privadas, 50,4% são de instituições estaduais de ensino, e nenhum outro aluno

freqüenta outro tipo de instituição.

Tabela – 04: Série em que o sujeito estudou pela primeira vez equação do 1°

grau.

Série ou Ano Percentagem (%)

6ª Série 44,8

7ªSérie 47,6

8ªsérie 7,6


Com relação em que série o aluno estudou o assunto envolvendo o

conteúdo equação do 1° grau, dentre os alunos entrevistados foi possível

identificarmos que, 44,8% viram o assunto na 6ª série do ensino fundamental,

47,6% viram o assunto na 7ª série do ensino fundamental e 7,6% viram o

assunto equação do 1° grau na 8ª série do ensino fundamental.

Tabela – 05: Dificuldades dos sujeitos com o conteúdo envolvendo a equação

do 1° grau.

Percentagem (%)

Sim 84

Não 16


Verificamos que, a maioria dos alunos entrevistados 84%, responderam

que sim, que tiveram dificuldades nos conteúdos envolvendo equação do 1°

grau e 16%, responderam que não tiveram dificuldades no que diz respeito a

este assunto.

Tabela – 06: Abordagem do professor de Matemática sobre o conteúdo


Abordagem Percentagem (%)

Partindo de definições, exemplos e exercícios. 95,2

Partindo de situações – problemas. 4,8

Modelando situações concretas. 0

Partindo de uma abordagem histórica. 0


Notamos que, grande parte dos alunos investigados, ou seja, 95,2%,

apontam que seus professores iniciam o assunto sobre equações do 1° grau

partindo da definição, com exemplos e posteriormente exercícios, 4,8%

notaram que seus professores iniciam o conteúdo partindo de situações –

problemas, e nenhum professor ministram sua aula modelando situações

concretas ou partindo de uma abordagem histórica.

Tabela – 07: Desempenho geral dos alunos ao resolverem questões


ITENS ACERTOS (%) ERROS (%) EM BRANCO (%)

A 28 66,4 5,6

B 44.8 52,4 2,8

C 50,4 46,8 2,8

D 22,4 74,8 2,8

E 47,6 49,6 2,8

Fonte: Pesquisa de campo

Foi verificado que grande parte dos alunos investigados apresentou

dificuldades na resolução das questões. Isto pode ter ocorrido pelo fato do

aluno não ter lembrado o assunto ou ter tido dificuldade no aprendizado do

mesmo, como mostra a maioria dos protocolos que foram analisados. Também

é possível inferir que dos 5 itens os itens A e D , foram os que apresentaram

um resultado ainda mais insatisfatório, havendo um alto índice de erros nas

suas resoluções.

5.2. Análise Qualitativa dos Resultados Alcançados

Para uma análise qualitativa dos dados obtidos, adotamos como

referência as categorias de erros usadas no trabalho de Freitas (2002) que

ressaltam os erros mais freqüentes cometidos pelos alunos, e que podem ser

justificados. Destacamos algumas questões resolvidas pelos alunos nos

protocolos de pesquisa (ver APÊNDICE II) que exemplificarão tais erros.

TABELA -08: Quantidade de erros por categorias

CATEGORIAS DE ERROS REALCIONADAS A

RESOLUÇÕES DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU

TOTAL DE ITENS PERCENTUAL

1. Alteração do sinal do termo independente:

ax = - b x = a/ b

11 15%

2. Transformação de ax = b em x = b – a 9 12%

3. Trocar a posição do coeficiente de x pela do

termo independente na divisão:

ax = b x = b / a

8 11%

4. Efetuar a transposição de termos

independentes sem alterar o sinal: ax + b = c

ax = b + c

2 3%

5. Efetuar a soma entre o coeficiente de x e o

termo independente: ax + b = cx em (a + b)x = c.x

6 8%

6. Outros tipos de erros 38 51%

TOTAL 74 100%


5.3. Análise dos erros por categoria:

CATEGORIA 1: Alteração do sinal do termo independente: ax = - b x = _b_

a

Ao analisarmos os protocolos de pesquisa, verificamos em 11 questões

(TABELA 8) este tipo de erro, pois, o mesmo está relacionado com a má

interpretação das equações e de seus elementos. Ou seja, procuramos

analisar nesta categoria por que o aluno altera o sinal tanto do termo

independente, como o do coeficiente de x. Este erro pode ser percebido na

resolução de alguns sujeitos investigados, como por exemplo, os sujeitos A4

(apêndice II), e A23 (apêndice II):


Figura 1: Resposta do aluno A4


Figura 2: Resposta do sujeito A23

Como podemos constatar nos exemplos das resoluções das equações

mencionadas acima, os erros cometidos pelos alunos se configuram na medida

em que os mesmos transpõem o coeficiente de x para o segundo membro,

nesse momento o estudante altera o sinal do coeficiente de x ou do termo

independente.

Isso ocorre pelo fato dos alunos não compreenderem o “jogo de sinais”,

e também por interpretações errôneas na passagem de um membro para o

outro, por exemplo, achar que na divisão e multiplicação os sinais também

devem sofrer alteração, assim constatando a mecanização do processo de

ensino e aprendizagem.

CATEGORIA 2: Transformação de ax = b em x = b – a

Nota-se através dos resultados alcançados, que 9 questões (TABELA 8)

apresentaram o erro relacionado a esta categoria, ou seja, os alunos não

possuem a capacidade de fazer a distinção entre as operações, em vez de

passar dividindo, muitos passam somando ou subtraindo para o outro lado da

igualdade. Esta dificuldade foi também percebida por Kieran (1995, p.107) ao

evidenciar que “um erro cometido por alguns alunos do grupo da Álgebra foi a

supergeneralização do procedimento de transposição do segundo para o

primeiro membro ao lidarem com equações com duas incógnitas no primeiro

membro. Eles começavam com o termo do segundo membro e transpunham

do segundo para o primeiro membro.” Destacamos uma resolução que

caracteriza esta categoria, o caso do sujeito A2 (apêndice II):



No exemplo acima percebemos que o erro cometido pelo sujeito A2,

mostra que ele não interpretou o número 8 como multiplicador da variável x,

dessa forma transpondo os mesmos para o segundo membro realizando a

alteração do sinal.

CATEGORIA 3: Trocar a posição do coeficiente de x pela do termo


ax = b x = _a_

b

Diante da análise dos protocolos investigados percebemos que este erro

foi comum em 8 questões (TABELA 8) resolvidas pelos sujeitos investigados.

Isso se deve talvez pelo fato do aluno não ter absorvido o conteúdo ministrado

pelo professor, ou por apresentar dificuldades em compreender o estudo dos

conjuntos numéricos e a dificuldade na resolução de operações com frações.

Segundo Booth (1995),

alguns alunos acham que a divisão, como a adição, é comutativa. Outros

não vêem necessidade de distinguir as duas formas, acreditando que o

maior número sempre deverá ser dividido pelo menor. Isso parece decorrer

da recomendação bem-intencionada feita pelo professor de matemática,

no início do aprendizado da divisão, e da própria experiência dos alunos,

pois, todos os problemas de divisão encontrados em aritmética elementar,

de fato, exigem que o número maior seja dividido pelo menor. (p.29-30)

Compartilhando das idéias de Booth (1995), foi possível verificar as

dificuldades que os estudantes encontraram nesta categoria, como por

exemplo, os sujeitos A24 (apêndice II) e A26 (apêndice II):





Nesses exemplos, ficam evidentes que esses alunos entendem o

método de resolução de uma equação do 1º grau do tipo, muda de lado, muda

a operação, no entanto, parece que não entendem a posição dos valores.

CATEGORIA 4: Efetuar a transposição de termos independentes sem alterar o

sinal: ax + b = c ax = b + c

De posse dos protocolos de pesquisa, podemos observar que poucos

sujeitos cometeram este tipo de erro, apenas 2 questões (TABELA 8) foram

encontradas. Nesta categoria de erro o aluno ao fazer a transposição do termo

independente de um membro da igualdade para o outro, ele não muda o sinal

do termo, abandonando a idéia comumente utilizada por ele, a de que “quando

passa para o outro membro passa com o sinal trocado”, e que é sempre

aplicada em situações adversas. Este erro pode-se constatar na resposta do

sujeito A3 (apêndice II):



Neste exemplo fica claro que o aluno A3 ao fazer a transposição do

termo independente do primeiro membro para o segundo, ele não mudou o

sinal deste termo.

CATEGORIA 5: Efetuar a soma entre o coeficiente de x e o termo

independente: ax + b = cx em (a + b)x = c.x

Conforme os resultados obtidos, verificamos que 6 itens (TABELA 8)

apresentaram esta dificuldade. Isso se deve talvez pelo fato de que alguns

alunos possuem a idéia de que a letra tem sempre que ficar no primeiro

membro e ser positiva, porque muitos professores manipulam o aluno com

essa informação. Outro problema é operacionar letras com números, já que

eles não sabem identificar a diferença. Ao constatarmos tal erro, identificamos

nas idéias de Booth (1995) que,

uma das diferenças mais flagrantes entre a aritmética e a álgebra é, obviamente, a utilização, nesta última, de letras para indicar valores. As letras também aparecem em aritmética, mas de maneira bastante diferente (...). Nesse caso, as dificuldades que o aluno tem em álgebra não são tanto de álgebra propriamente dita mas de problemas em aritmética que não foram corrigidos (p.33)

Esta dificuldade foi encontrada nos protocolos de pesquisa dos sujeitos

A3 (apêndice II) e A11 (apêndice II) que foram destacados:





Pelas respostas apresentadas podemos observar que os alunos A3

(apêndice II) e A11 (apêndice II), efetuaram a operação entre os termos

semelhantes corretamente, porém, cometeram equívocos em relação ao sinal

na transposição do termo independente do segundo para o primeiro membro e

principalmente ao somar o termo independente com o coeficiente de x, neste

caso podemos dizer que o aluno não diferencia os termos algébricos.

CATEGORIA 6: Outros tipos de erros.

Identificamos como outros tipos de erros, 38 itens (TABELA 8) de

situações em que o aluno não conseguiu encontrar a solução, cometendo

alguns erros que não se enquadram em nossa classificação das categorias

anteriores, por exemplo a resolução do sujeito A33 (apêndice II) que utilizou-se

da fórmula de Bháskara para encontrar a solução e os sujeitos A1 (apêndice II)

e A29 (apêndice II) que não conseguiram também encontrar uma solução,

como apresentado a seguir.







Como podemos observar nas figuras dos sujeitos A33 (apêndice II), A1

(apêndice II) e A29 (apêndice II) que as resoluções apresentadas pelos

mesmos, são totalmentes inadequadas para se resolver uma equação do 1º

grau. O sujeito A33 (apêndice II) utilizou uma ferramenta que serve apenas

para resolver uma equação do 2º grau que é a fórmula de Bhaskára, talvez

este erro tenho ocorrido pelo fato do não saber diferenciar os conteúdos, já o

sujeito A1 (apêndice II) simplesmente não tentou resolver a equação,

colocando dois valores numéricos aleatórios, isso ocorreu devido à falta de

conhecimento de conteúdo por parte do aluno e o por último o sujeito A29

(apêndice II) além de ter feito a operação errada, multiplicou em vez subtrair

as partes literais da equação e também eliminou a igualdade da mesma. Esta

dificuldade pode ter sido ocasionada também pela ausência de conhecimento

do conteúdo.

Para finalizarmos nossa análise faremos um breve comparativo

quantitativo e qualitativo dos resultados encontrados nos protocolos de

pesquisa, entre as instituições pública e particular.

TABELA -09: Erros cometidos entre as instituições com base nas categorias.

Escolas particulares Escolas públicas

CATEGORIAS Total CATEGORIAS Total

1. Alteração do sinal do termo

independente: ax = - b x = a/

b

6 1. Alteração do sinal do termo

independente: ax = - b x = a/

b

5

2. Transformação de ax = b em

x = b – a

3 Transformação de ax = b em x

= b – a

6

3. Trocar a posição do

coeficiente de x pela do termo


ax = b x = b / a

3 3. Trocar a posição do

coeficiente de x pela do termo


ax = b x = b / a

6

4. Efetuar a transposição de

termos independentes sem

alterar o sinal: ax + b = c ax

= b + c

1 4. Efetuar a transposição de

termos independentes sem

alterar o sinal: ax + b = c ax

= b + c

1

5. Efetuar a soma entre o

coeficiente de x e o termo

independente: ax + b = cx em (a

+ b)x = c.x

2 5. Efetuar a soma entre o

coeficiente de x e o termo

independente: ax + b = cx em (a

+ b)x = c.x

4

6. Outros tipos de erros 7 6. Outros tipos de erros 31


Como se pôde verificar na tabela (2) os erros cometidos pelos alunos de

escolas públicas são mais presentes comparados com os erros cometidos

pelos alunos das escolas particulares, sendo 53 itens classificados nestas

categorias de erros cometidos pelos alunos da instituição pública e menos da

metade, ou seja, 22 itens considerados com erros cometidos pelos alunos da

instituição particular. Esta disparidade pode ter ocorrido, além das justificativas

apresentadas anteriormente, talvez pela falta de estrutura das escolas

públicas, falta de incentivo aos alunos, falta de preparo e motivação de alguns

professores, entre outros.

6. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Buscamos por meio das análises das amostras dos questionários,

aplicados aos alunos da 8ª série do ensino fundamental, explicitar as principais

dificuldades encontradas pelos mesmos no que diz respeito ao ensino-

aprendizagem de álgebra em particular equação do 1º grau.

Com relação aos resultados gerais da pesquisa que correspondem às

resoluções das cinco equações do 1º grau, podemos concluir que tivemos

entre acertos, erros e em branco, um pequeno número de questões em branco

e a grande maioria das resoluções das equações, foi resolvida de maneira

inadequada, ocasionando assim grandes quantidades de erros por parte dos

sujeitos investigados.

Diante disso, podemos fazer algumas indicações pedagógicas para um

trabalho que venha a superar as dificuldades e suas origens, pressupõe em

nosso entendimento, o desenvolvimento de atividades de ensino na tripla

dimensão: indivíduo, pequenos grupos e grupo-classe. Naquelas trabalhar-se-

iam: 1) o conceito de correspondência que na visão de Graça (1997), é o

germe do pensamento da equivalência e não está imediatamente no número;

2) os termos envolvidos nas operações de adição, subtração, multiplicação e

divisão, tanto na aritmética como na álgebra, bem como seus significados; 3) o

conceito de unidade como um número; 4) o pensamento de variação e de uma

representação matemática relativizando a um campo de variação 5) as

regularidades e generalizações como possibilitadoras do pensamento

algébrico.

A visão estática de número; a aritmética centrada quase que

exclusivamente em exercícios e exemplos com número físico, sem que exista

um trabalho com expressões que indicam variação quantitativa; expressões

abertas que não são definidas por uma igualdade entre números tornam

inacessível à compreensão do aluno a natureza da variável. Atividades que

solicitam a análise de variações e sua representação em linguagens

elaboradas pelo aluno podem contribuir para a diminuição das dificuldades e

para o entendimento de variável e respectiva representação algébrica.

Desse modo, procuramos contribuir para uma perspectiva de mudança

no atual modelo de ensino, fazendo esta relação entre a prática pedagógica e

as dificuldades em álgebra de modo a ampliar nossa contribuição para o ensino

da álgebra elementar. Consideramos também que o desenvolvimento deste

trabalho colaborou sensivelmente para nosso crescimento pessoal, profissional

e acadêmico.

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Dados Internacionais de catalogação na publicação

Biblioteca do Centro de Ciências Sociais e Educação da UEPA

Pacheco, Edir Assunção

Reflexões sobre as dificuldades no processo ensino e aprendizagem de Álgebra:

equação do 1º grau/ Edir Assunção Pacheco; orientação de Acylena Coelho Costa.

Belém, 2009.

Trabalho de Conclusão de Curso ( Licenciatura Plena em Matemática ) –

Universidade do Estado do Pará, Belém, 2009.

1. Álgebra 2. Equação do 1º Grau 3. Matemática – Estudo e ensino I. Título.

CDD: 21 ed. 512

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