Regra de três simples - marciocesarrocha.files.wordpress.com · Web viewOs exemplos estão de forma de facilitar a compreensão dos conceitos e dos exercícios ... uma queda mais

Matemática Financeira

PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES


O que é melhor juros simples ou juros compostos?Pagar a vista ou comprar a prazo?Receber hoje R$ 1,00 é melhor que receber o mesmo valor daqui a um ano?

Podemos ver que, durante o prazo da operação, o valor do dinheiro envolvido numa transação financeira varia com o tempo. Em geral, todo empreendimento envolvendo dinheiro necessita de avaliações periódicas, antes de ser aceito e no decorrer do prazo até a data final do empreendimento. Portanto, necessitamos de procedimentos de avaliação do resultado de uma operação em qualquer data. A Matemática Comercial e Financeira é a disciplina dedicada ao estudo do comportamento do dinheiro em função do tempo.

O livro Matemática Financeira para Cursos de Graduação, tem como objetivo capacitar e atender as necessidades de conhecimentos e atualizações dos profissionais e de graduando de todas as áreas do conhecimento, proporcionando maior agilidade na tomada de decisão. Além de permitir ao profissional maior capacitação para o competitivo mercado de trabalho.

Uma advertência deve ser feita àqueles que pretendem estudar Matemática Financeira ou se dedicar a algum trabalho nessa área. São exigidos desses estudantes e profissionais análise atenta dos problemas que querem resolver, compreensão clara das operações financeiras ali envolvidas e familiaridade não só com a linguagem dos negócios, como também com fórmulas e calculadoras que utilizará. E tudo isso só se consegue com muito exercício, principalmente para aqueles que se lançam na área pela primeira vez.

Neste livro, antes do estudo dos tópicos da Matemática Financeira, serão relembradas algumas operações básicas da Matemática que facilitarão o uso das ferramentas em Operações Elementares da Matemática. Em seguida, abordaremos as Regras de Sociedade e Regra de Três Simples e Compostas. No terceiro tópico serão tratados os tópicos da Matemática Comercial. O tópico seguinte apresenta o conceito


Matemática Financeirade porcentagem, dos juros simples e descontos simples. Logo após, são tratados os juros compostos e descontos compostos. No sexto tópico, será apresentado o valor do dinheiro no tempo, através das anuidades e suas diversas classificações. Por fim, serão apresentadas as diversas modalidades de sistemas de amortização e Análise de Investimentos.

Os exemplos estão de forma de facilitar a compreensão dos conceitos e dos exercícios propostos, para que o estudante possa fixar e aplicar, os conceitos apresentados em novas situações.

A matemática financeira por muitas vezes é considerada matéria difícil porque as pessoas tentam usá-la sem método. Antes de se lançar de cabeça na resolução dos problemas lembre-se que existem passos a serem seguidos. Primeiro é necessária uma correta interpretação dos problemas, ver realmente o que ele quer que seja calculado; segundo organize os dados do problema, veja o que se tem e o que se quer calcular e quais são as ferramentas (fórmulas) que se tem disponível e, por fim, faça o desenvolvimento do raciocínio aplicando o método correto, sempre testando para ver se o resultado encontrado e condizente com os dados do problema.

Neste trabalho quase todos os exercícios estão resolvidos apenas com a utilização das fórmulas, somente os de Analise de Investimentos no calculo da Taxa Interna de Retorno é que serão resolvidos pela calculadora HP 12 C e pela planilha do Excel devido a sua complexidade na resolução pelas fórmulas.

Recomendamos o livro Matemática Financeira com a calculadora HP 12 C para que você possa ir se identificando com a utilização dessa calculadora que é uma das ferramentas de gestão financeira, moderna, eficiente e com condições de resolver a maioria dos problemas gerados no dia a dia do gestor de negócios financeiros.

Portanto prepare-se, já estamos no século XXI, e o mundo não acabou, pelo contrário, estamos mais vivos do que nunca. Entramos na era do “saber” fazer a diferença, aprender a fazer coisas novas, desaprender as velhas e reaprender novamente.


Matemática FinanceiraÍNDICE

INTRODUÇÃO.........................................................................................................06CAPITALIZAÇÃO FINANCEIRA COMPOSTA.........................................................07JUROS COMPOSTOS.......................................................................................................66MONTANTE COMPOSTO..................................................................................................66TAXAS EQUIVALENTES....................................................................................................72TAXA EFETIVA COMPOSTA...............................................................................................74DESCONTO COMPOSTO..................................................................................................75DESCONTO RACIONAL COMPOSTO....................................................................................75DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO..................................................................................76SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTO......................................................................80ANUIDADES OU RENDAS CERTAS......................................................................................81VALOR PRESENTE DE UMA ANUIDADE POSTECIPADA.............................................................83VALOR PRESENTE DE UMA ANUIDADE ANTECIPADA..............................................................87ANUIDADES DIFERIDAS OU COM CARÊNCIA.........................................................................90VALOR FUTURO DE UMA ANUIDADE POSTECIPADA...............................................................92VALOR FUTURO DE UMA ANUIDADE ANTECIPADA.................................................................95COEFICIENTE DE FINANCIAMENTO.....................................................................................97ANUIDADES PERPÉTUAS..................................................................................................99VALOR PRESENTE DE UMA ANUIDADE VARIÁVEL..................................................................100VALOR FUTURO DE UMA ANUIDADE VARIÁVEL.....................................................................101ANUIDADE EM QUE O PERÍODO DE TEMPO NÃO COINCIDE COM AQUELE QUE SE REFERE À TAXA....103SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO..............................................................................105SISTEMA DO MONTANTE.................................................................................................107SISTEMA DE JUROS ANTECIPADOS.....................................................................................108SISTEMA AMERICANO.....................................................................................................111SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS OU PRICE – SPC..........................................................112SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE – SAC...................................................................113SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO – SAM..........................................................................115SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES VARIÁVEIS.............................................................................116ANÁLISE DE INVESTIMENTOS..............................................................................120VALOR PRESENTE LIQUIDO – NPV.....................................................................................121TAXA INTERNA DE RETORNO – TIR....................................................................................125QUESTÕES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA PARA CONCURSOS PÚBLICOS....................................131REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS..........................................................................158



Matemática Financeira: Dentre várias definições, “é a ciência que estuda o dinheiro no tempo” (Lawrence Jeffrey Gitman). O conhecimento de matemática financeira é indispensável para compreender e operar nos mercados financeiro e de capitais, e atuar em administração financeira com baixo tempo e custo de decisão.

Ao longo da história, o homem notou uma possível relação entre o tempo e o dinheiro, ele percebeu que o dinheiro perdia valor de acordo com o tempo, dessa forma, a correção monetária deveria ser feita, aumentando o poder de compra do capital. A ideia de juros pode ser atribuída aos primeiros indícios de civilizações existentes, fatos históricos relatam que, na Babilônia, comerciantes emprestavam sementes aos agricultores que, ao colherem a plantação, pagavam as sementes emprestadas mais uma determinada parte da colheita.

As práticas financeiras eram utilizadas no intuito da acumulação de capital, as formas econômicas de movimentação dos capitais foram adaptadas de acordo com a evolução das sociedades. O escambo era utilizado porque não existia uma moeda de troca, o surgimento do dinheiro originou a criação de mecanismos controlados inicialmente por pessoas denominadas cambistas. Eles exerciam a profissão que hoje é atribuída aos banqueiros, sentados num banco, nos mercados, eles realizavam operações de empréstimo, que eram quitados acrescidos os juros e na organização de ordens de pagamentos para particulares. Dessa forma, os cambistas tinham seus lucros e comissões pelos serviços prestados.

A necessidade de organização desse tipo de comércio fez surgir os bancos, que dinamizaram a economia, eles tiveram papel importante nas negociações entre os povos que realizavam operações comerciais no Mar Mediterrâneo. Fenícios, Gregos, Egípcios e Romanos possuíam importante participação nos métodos bancários.

Foram os bancos que contribuíram para o aprimoramento das técnicas financeiras e surgimento dos juros compostos. Atualmente, a Matemática Financeira possui inúmeras aplicabilidades no cotidiano, englobando situações relacionadas ao ganho de capital, pagamentos antecipados e postecipados, porcentagem, financiamentos, descontos comerciais entre outros produtos do meio financeiro.

Qual o objetivo principal da matemática financeira?A matemática financeira busca, essencialmente, analisar a evolução do dinheiro

ao longo do tempo, determinando o valor das remunerações relativas ao seu tempo.


Matemática FinanceiraA Matemática Financeira é a parte da Matemática que tem por objetivo resolver

problemas relacionados às Finanças. Possui técnicas e fórmulas próprias que permitem estudar o comportamento do dinheiro em função do tempo, considerando algumas das características do mercado.

O conhecimento da Matemática Financeira permite o melhor uso dos conceitos da Administração Financeira, pois, através de suas técnicas, o indivíduo é capaz de tomar decisões mais seguras em relação aos investimentos. Não deve ser usada somente pelos chamados ‘financistas’ nas questões organizacionais, mas sim por todos os indivíduos em quaisquer situações em que uma decisão financeira deva ser tomada.



Quando uma determinada soma de dinheiro está aplicada a juros simples, os juros são sempre calculados sempre sobre o montante inicial. Quando uma soma está aplicada a juros compostos, os juros são calculados não apenas sobre o capital inicial, mas sobre este capital acrescido dos juros já vencidos.

Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sobre o principal acrescido dos juros acumulados até o período anterior. Neste regime de capitalização a taxa varia exponencialmente em função do tempo.

São objetos de estudo da capitalização financeira composta:> OS JUROS COMPOSTOS

> O MONTANTE COMPOSTO

> TAXAS EQUIVALENTES

> TAXA EFETIVA COMPOSTA

> O DESCONTO COMPOSTO

> DESCONTO RACIONAL COMPOSTO

> DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO


Matemática Financeira OS JUROS COMPOSTOS

A dedução da fórmula dos juros compostos é feita a partir da fórmula do montante composto que veremos a seguir, pois o juro do período nada mais é que o valor do montante FV menos o valor do principal PV.

Sendo PV o valor do principal, n o período de aplicação, i a taxa unitária e J o juro do período, temos:

J = PV [(1 + i)n – 1] ► Fórmula para calcular o Juro Composto

Exemplo 46: Calcular o juro composto de um capital de R$ 1.000,00, aplicado à taxa de 4% ao mês, durante 5 meses. Dados: ResoluçãoC = 1.000,00 J = PV [(1 + i)n – 1]n = 5 meses j = 1.000 [(1 + 0,04)5 – 1]i = 4% ao mês J = 1.000 [1,045 – 1]J = ? J = 1.000 [1,216653 – 1]

J = 1.000 . 0,216653J = 216,65

Logo o juro composto do período foi de R$ 216,65.A fórmula de juros compostos não é muito utilizada, pois a maioria dos

problemas quase sempre esta “pedindo” o montante composto. Tendo calculado o valor do montante basta fazer J = FV – PV

O MONTANTE COMPOSTO

O conceito de montante é o mesmo definido para capitalização simples, ou seja, é a soma do capital aplicado ou devido mais o valor dos juros correspondentes ao prazo da aplicação ou da divida.

A simbologia é a mesma já conhecida, ou seja, FV, o montante, PV, o capital inicial, n, o período e i, a taxa.

Da capitalização simples, sabemos que o rendimento se dá de forma linear ou proporcional. A base de cálculo é sempre o capital inicial. No regime composto de capitalização, dizemos que o rendimento se dá de forma exponencial. Os juros do período são calculados com base num capital, formando um montante, que será a nova base de cálculo para o período seguinte.

Chama-se período de capitalização o instante de tempo o qual a aplicação rende juros.


Matemática FinanceiraSendo o tempo de aplicação igual a 2 anos, por exemplo, e os juros

capitalizados mensalmente, teremos 24 períodos de capitalização; para uma capitalização bimestral, a quantidade de períodos será igual a 12; se a capitalização for semestral, será 4 , e assim sucessivamente.

A dedução da fórmula do montante para um único pagamento é pouco mais complexa que aquela já vista para a capitalização simples e para facilitar o entendimento, vamos admitir que defrontamos com o seguinte problema:

Exemplo 47: Na aplicação de R$ 1.000,00 durante 5 meses, à taxa de 2% a.m., temos, contada uma capitalização mensal, 5 períodos de capitalização, ou seja, a aplicação inicial vai render 5 vezes.

Observando o crescimento do capital a cada período de capitalização, temos:

Período CAPITAL MONTANTE

1º período:

R$ 1.000,00 . 1,02

= R$ 1.020,00

2º período:

R$ 1.020,00 1,02

= R$ 1.040,40

3º período:

R$ 1.040,40 1,02

= R$ 1.061,21

4º período:

R$ 1.061,21 1,02

= R$ 1.082,43

5º período:

R$ 1.082,43 1,02

= R$ 1.104,08

Portanto, o montante ao final dos 5 meses será R$ 1.104,08.

No cálculo, tivemos R$ 1.000 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02= R$ 1.000 (1,02)5 = R$ 1.000 1,10408 = R$ 1.104,08

Observamos o fator (1,02)5. Essa potência pode ser calculada com calculadoras científicas ou com auxílio das tabelas financeiras.


Matemática FinanceiraGeneralizando, o cálculo do montante a juros compostos será dado pela

expressão abaixo, na qual FV é o montante, PV o capital, i é a taxa de juros e n é a quantidade de capitalizações.

FV = PV (1 + i)n ► Fórmula para o cálculo do Montante Composto

► Fórmula para o cálculo do valor do tempo de aplicação

Existem outras fórmulas especificas para se calcular o valor do Capital (PV) e o valor da taxa (i) mas, para evitar um acumulo desnecessário de fórmulas e macetes, foi de propósito suprimido as mesmas, visto que elas são derivadas da fórmula principal.

Comparando o cálculo composto (exponencial) com o cálculo simples (linear), vemos no cálculo simples:

CAPITAL JUROS MONTANTER$ 1.000,00 0,02

= R$ 20,00 M = R$ 1.020,00

R$ 1.000,00 0,02

= R$ 20,00 M = R$ 1.040,00

R$ 1.000,00 0,02

= R$ 20,00 M = R$ 1.060,00

R$ 1.000,00 0,02

= R$ 20,00 M = R$ 1.080,00

R$ 1.000,00 0,02

= R$ 20,00 M = R$ 1.100,00

Portanto, o montante simples, ao final dos 5 meses será R$ 1.100,00.

Observamos que ao final do primeiro período de capitalização, os juros compostos e os juros simples, apresentam valores iguais. A partir daí, o rendimento composto passa a superar o simples.

Exemplo 48: Calcular o montante, ao final de um ano de aplicação, do capital R$ 600,00, à taxa composta de 4% ao mês.


Matemática FinanceiraResolução: A capitalização é mensal, portanto, no tempo de aplicação considerado teremos 12 capitalizações.

Dados: Solução:PV = 600,00n = 12i = 4% a m.FV = ?

FV = PV (1 + i)n

FV = 600 (1 + 0,04)12

FV = 600 (1,04)12

FV = 600 1,60103 FV = R$ 960,62

Exemplo 49: Determine o capital inicial que empregado a 75 dias para a taxa de 2,7% a.m. rendeu R$ 117,58.Dados: Solução:PV = ?n = 75 dias = 2,5 mesesi = 2,7% a m.FV = 117,58

FV = PV (1 + i)n

117,58 = PV ( 1 + 0,027)2,5

117,58 = PV ( 1,027)2,5

117,58 = PV 1,0689

PV = 110,00

Exemplo 50: Uma aplicação de R$ 240,00 à taxa de 2,8% a.m. rendeu R$ 248,77. Calcular o período para esse investimento.Dados: Solução:PV = 240,00n = ?i = 2,8% a m.FV = 248,77

FV = PV (1 + i)n

248,77 = 240( 1 + 0,028)n

248,77 = 240 (1,028)n

1,0365 = ( 1,028)n

log(1,0365) = log(1,028)n

log (1,0365)= n . log (1,028)0,0359 = n. 0,0276

n =

1,3 = 13/10 = 39/30 = 39 dias

Exemplo 51: Antônio foi a uma instituição financeira e aplicou R$ 280,00 por 45 dias obtendo ao final R$ 290,57. Calcular a taxa mensal de rendimento.


Matemática FinanceiraDados: Solução:PV = 280,00n = 45 dias ou 1,5 mêsi = ?FV = 290,57

FV = PV (1 + i)n

290,57 = 280(1 + i)1,5

1,02501 – 1 = i0,02501 = ii = 0,02501 (x 100)i = 2,504% a.m.

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO

1. Uma empresa aplicou o valor de R$ 780,00 numa conta que paga juros a uma taxa efetiva de 23% a.a., ano comercial, capitalizada diariamente, durante 35 dias. Calcule o montante. Resposta: R$ 795,85

2. O valor de R$ 440,00 foi aplicado a juros compostos, à taxa de 1,8% a.m., formando um montante de R$ 488,55. Quanto tempo ficou aplicado? Resposta: 6 meses

3. O valor de R$ 890,00 foi aplicado em RDB, à taxa efetiva de 19% a.a., ano comercial, durante 36 dias, capitalizado diariamente. Calcule o montante. Resposta: R$ 905,61

4. O valor de R$ 670,00 foi aplicado a juros compostos, à taxa efetiva de 1,7% a.m., capitalizado mensalmente, rendendo de juros R$ 75,07. Quanto tempo ficou aplicado? Resposta: 5 meses

5. Uma empresa aplicou um valor numa conta que paga juros composto a uma taxa efetiva de 23% a.a., ano comercial, capitalizada diariamente, durante 35 dias, que formou um montante de $ 780,00. Calcule o valor aplicado. Resposta: R$ 764,45

6. O valor de R$ 2.400,00 foi aplicado a juros compostos, à taxa efetiva de 12% a.s., capitalizado mensalmente, durante 2 anos. Calcule o valor dos juros. Resposta: R$ 1.376,44


Matemática Financeira7. O valor de R$ 1.280,00 foi aplicado a juros compostos, durante 3 anos e 2 meses,

rendendo de juros $ 1.420,00. Calcule a taxa de juros. Resposta: 0,273% ao mês

8. O valor de R$ 3.620,00 foi aplicado a juros compostos, à taxa efetiva de 2,3% a.m. formando um montante de R$ 4.130,35. Quanto tempo ficou aplicado? Resposta: 6 meses

9. O valor de R$ 1.940,00 foi aplicado a juros compostos, à taxa efetiva de 12% ao semestre, capitalizado mensalmente, durante 3 anos e 4 meses. Calcule o montante. Resposta: R$ 4.129,73

10.Qual o tempo necessário para que um capital aplicado a taxa de 2,6% ao mês duplique de valor? Resposta: 27 meses

11.O valor de R$ 1.940,00 foi aplicado a juros compostos, à taxa nominal de 12% a.s., capitalizado mensalmente, durante 1 ano e 8 meses. Calcule o montante. Resposta: R$ 2.830,49

12.Um valor aplicado a juros compostos, à taxa nominal de 18% a.a., capitalizada mensalmente, rendeu de juros R$ 1.460,00, após a aplicação durante 2 anos. Calcule o valor aplicado. Resposta: R$ 1.048,54

13.Qual a taxa necessária para que um capital aplicado durante um ano triplique de valor. Resposta: 9,58%

14.Que valor, aplicado a juros compostos à taxa efetiva de 4% a.m., rendeu de juros o valor de R$ 1.180,00, sabendo que ficou aplicado durante 9 meses? Resposta: R$ 829,05

15.Um capital de R$ 200.000,00 é aplicado a juros compostos de 10% ao ano. Calcule o juro acumulado após 4 anos. Resposta: R$ 92.820,00.

16.Um certo capital é aplicado em regime de juros compostos à uma taxa anual de 12%. Depois de quanto tempo este capital estará triplicado? Resposta: 9,7 anos ou 9 anos e 9 meses

17.O valor de R$ 2.400,00 foi aplicado a juros compostos, à taxa efetiva de 12% a.s., capitalizado mensalmente, durante 2 anos. Calcule o valor dos juros. Resposta: R$ 1.376,45


Matemática Financeira18.O valor de R$ 1.280,00 foi aplicado a juros compostos, durante 3 anos e 2 meses,

rendendo de juros R$ 1.420,00. Calcule a taxa de juros. Resposta: 1,98% ao mês

19.O valor de R$ 2.400,00 foi aplicado a juros compostos, à taxa nominal de 12% a.s., capitalizado mensalmente, durante 2 anos. Calcule o valor dos juros. Resposta: R$ 1.460,25

20.Um valor aplicado a juros compostos, à taxa nominal de 18% a.a., capitalizada mensalmente, rendeu de juros R$ 1.460,00, após a aplicação durante 2 anos. Calcule o valor aplicado. Resposta: R$ 3.399,28

21.O valor de R$ 440,00 foi aplicado a juros compostos, à taxa de 1,8% a.m., rendendo de juros R$ 488,59. Quanto tempo ficou aplicado? Resposta: 3 anos, 5 meses e 26 dias

22.O valor de R$ 670,00 foi aplicado a juros compostos, à taxa efetiva de 1,7% a.m., capitalizado mensalmente, rendendo de juros R$ 75,07. Quanto tempo ficou aplicado? Resposta: 6 meses e 9 dias

TAXAS EQUIVALENTES COMPOSTAS

Certa taxa a um dado período será equivalente a outra taxa e seu respectivo período se ambas apresentarem o mesmo montante ou valor futuro.

Matematicamente:

FV = PV (1 + i1 )n1 e FV = PV (1 + i2)n2 Igualando os temos: PV (1 + i1)n1 = PV (1 + i2)n2 → (1 + i1)n1 = (1 + i2)n2

Simplificando ainda mais a fórmula podemos escrever que a taxa equivalente composta será dada por:

► Fórmula para calcular a Taxa Equivalente Composta

onde:Ti: Taxa Equivalente Compostai: taxa unitáriaQ: Tempo que eu quero T: Tempo que eu tenho


Matemática FinanceiraObs: Multiplicar o valor final por 100 para transforma a taxa unitária em porcentual.

Exemplo 52: Determinar as taxas equivalentes mensais para:a) 20% a.a.b) 5% a.b.

c) 12% a.s.d) 0,4% a.d.

Resoluçãoa) 20% ao ano b) 5% ao Bimestre c)12% ao Semestre d) 0,04% ao Dia


23.Certo capital é aplicado por um ano à taxa de 30% a.a.. Obter as seguintes taxas equivalentes:a) mensalb) trimestralc) semestrald) diária

Respostas: a) 2,21% a. m.; b) 6,77% a. t.; c) 14,01% a. s.; d) 0,072% a. d.

24.Qual a taxa anual equivalente a 2% a.m., no regime de juros compostos? Resposta: 26,82% ao mês

25.Qual a taxa mensal equivalente a 0,033173% a.d., no regime de juros compostos? Resposta: 1% ao mês

26.Determine a taxa anual equivalente a 0,2% a.d., no regime de juros composto. Resposta: 7,464% ao ano

27.Calcule a taxa semestral equivalente a 45% a.a., no regime de juros compostos. Resposta: 20,41% a. s.

TAXA EFETIVA COMPOSTA


Matemática FinanceiraÉ a taxa de rendimento que a operação financeira proporciona efetivamente.

Isto acontece em razão de existirem obrigações, taxas, impostos ou comissões que comprometem os rendimentos ou oneram os pagamentos de juros. Critérios diferentes para o cálculo de juros também fazem a taxa nominal diferir da taxa efetiva, como por exemplo, juros cobrados antecipadamente ou calculados sobre um total que na realidade é pago em parcelas.

Esses e outros artifícios às vezes são utilizados conscientemente para mascarar a taxa efetiva ou fazer os juros parecerem maiores ou menores conforme a conveniência.

Para calcular a taxa efetiva composta usamos a fórmula derivada do Montante Composto.

► Fórmula para calcular a Taxa Efetiva Composta

Exemplo 53: Uma instituição financeira faz empréstimos e cobra 2% ao mês de juros composto que devem ser pagos antecipadamente pelo tomador. Qual a taxa efetiva que o tomador pagou por um empréstimo de R$ 5.000,00 por três meses?

Logo a taxa efetiva foi de 2,127% ao mês. DESCONTO COMPOSTO

É o abatimento concedido sobre um título por seu resgate antecipado, ou a venda de um título antes do seu vencimento, observando os critérios da capitalização composta. Como no desconto simples temos duas formas de desconto composto:a) Desconto racional ou por dentro.b) Desconto comercial, bancário composto ou por fora.

O desconto composto pode ser definido como a soma dos descontos simples, considerando cada período na operação e calculando sempre as taxas sobre o valor nominal da operação. Exemplo de definição


Matemática FinanceiraSe um título qualquer é pago com 5 meses de antecedência, o desconto composto

seria calculado da seguinte forma:Leva-se em consideração o valor nominal do título na operação e calcula-se o valor P (valor atual) 1 mês antes do vencimento;Se pega o valor total encontrando e o torna como nominal e efetuam-se os cálculos com 2 meses antes do vencimento;Deste valor total encontrando e o torna como nominal e efetuam-se os cálculos com 3 meses antes do vencimento;Deste valor total encontrando e o torna como nominal e efetuam-se os cálculos com 4 meses antes do vencimento;Terminando então o período, se pega o valor total encontrando e o torna como nominal e efetuam-se os cálculos com 5 meses antes do vencimento; Desta forma, quando os descontos são as somas de vários períodos na operação

ele é chamado de desconto real. O desconto bancário é a soma dos descontos comerciais. DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO

Como o desconto comercial ou bancário simples, o desconto comercial ou bancário composto é calculado sobre o valor nominal do título.

As fórmulas para o cálculo do desconto comercial composto, relativo a um dado título de crédito, são obtidas pelas fórmulas do desconto comercial simples, aplicadas período a período. Chamamos de VA o valor atual comercial do título, n períodos antes de sua data de vencimento, temos:

VA = VN (1 – i)n ► Fórmula para o cálculo do Valor Atual

Dc = VN [1 – (1 – i)n] ► Fórmula para o cálculo do Desconto Comercial

► Fórmula para o cálculo do Valor Nominal

Exemplo 54: Calcular o valor atual de um título de $ 20.000 descontados um ano antes do vencimento a taxa de desconto bancário composto de 5% ao trimestre capitalizável trimestralmente.Dados: Solução:VN = 20.000,00n = 4

VA = VN (1 – i)n


Matemática Financeirai = 5% a t.VA = ?

VA = 20.000 (1 – 0,05)4

VA = 20.000 (0,95)4

VA = 20.000 0,814506VA = R$ 16.290,12

Exemplo 55: No exercício anterior qual foi o valor do desconto comercial composto?Fazendo D = VN – VA, temos:D = VN – VAD = 20.000 – 16.290,12D = R$ 3.709,88

DESCONTO RACIONAL COMPOSTO

Os Descontos Racionais Composto, relativos a um dado título de crédito, é a diferença entre o valor nominal e o valor atual deste, os quais são determinados com base no sistema de capitalização composta.

O valor do desconto é calculado sobre o valor atual, como também o é em desconto racional simples, divergindo apenas por agora considerarmos uma capitalização, ou seja, usarmos potenciação com em capitalização composta.

Como se trata de um Desconto Racional Composto, a fórmula para o valor atual pode ser obtida pela relação do montante composto.

VN = VA (1 + i)n ► Fórmula para o cálculo do Valor Nominal

Dc = VN [1 – (1 + i)-n] ► Fórmula para o cálculo do Desconto Racional

VA = VN (1 + i)-n ► Fórmula para o cálculo do Valor Atual

Exemplo 56: Encontrar o desconto Racional Composto, concedido no resgate de um título de R$ 50.000,00, recebido 2 meses antes de seu vencimento, à taxa de 2% ao mês.Dados: Solução:VN = 50.000,00n = 2i = 2% a t.VA = ?

Dr = VN [1 - (1 + i)-n]Dr = 50.000 [1 - (1 + 0,02)-2]Dr = 50.000 [1 - (1,02)-2]


Matemática FinanceiraDr = 50.000 [1 – 0,961169]Dr = 50.000 . 0,038831Dr = 1.941,56


28.Qual o Valor Atual de um título de R$ 100.000,00, 3 meses antes de seu vencimento, considerando-se a taxa composta de 4% ao mês, sob o critério do desconto comercial composto. Resposta: R$ 88.473,60

29.Qual o Valor Atual de um título de R$ 100.000,00 resgatado racionalmente a taxa composta de 4% ao mês, 3 meses antes do vencimento? Resposta: R$ 88.899,60

30.O valor de um título, descontado 6 meses antes de seu vencimento, reduziu-se de R$ 465,85 para R$ 350,00. Qual a taxa bimestral racional composta adotada nessa operação? Resposta: 10%

31.Por um título de R$ 10.000,00 paguei R$ 8.879,71. Qual o prazo de antecipação desse título, se o desconto racional composto deu-se a 2% ao mês? Resposta: 6 meses

32.Determine o Desconto Racional e Composto e o valor atual das hipóteses seguintes:Valor Nominal – em reais Taxa Prazo até o

vencimentoA 15 000,00 25% a ano 8 mesesB 3 000,00 20% a ano 150 diasC 5 000,00 32% a ano 25 diasd 6 000,00 28% a ano 9 meses e 15 dias

33.Determine o Desconto Comercial Composto e o valor atual das hipóteses seguintes:

Valor Nominal – em reais Taxa Prazo até o vencimento

A 12 500,00 37% a ano 25 diasB 18 000,00 35% a ano 45 diasC 20 000,00 28% a ano 3 mesesd 22 000,00 27% a ano 4 meses e 12 dias


Matemática Financeira34.Se o Desconto Comercial Composto for de R$ 1.125,00, qual será o valor nominal,

se a taxa considerada for de 27% ao ano e o prazo de antecedência 100 dias. Resposta: R$ 13.439,65

35.Por ter pago uma dívida de R$ 30.000,00, 4 meses antes de seu vencimento, uma pessoa obteve um desconto de R$ 2.284,65. Qual a taxa de desconto racional envolvida nessa operação? Resposta: 2% ao mês

36.Uma nota promissória foi descontada 4 meses antes de seu vencimento à taxa composta de 2,16% ao mês. Sabendo-se que o Valor Atual Comercial foi de R$ 18.266,67, qual seria seu valor nominal? Resposta: R$ 19.933,96

37.Uma empresa tomou emprestado de um banco a quantia de R$ 2.000,000,00 à taxa de juros composto de 1,2% ao mês, por 7 meses. No entanto, 15 dias antes da data prevista para o vencimento, a empresa decidiu liquidar a dívida. Qual o valor a ser pago, se nessa data o banco estava operando a 1,5% ao mês? Resposta: R$ 2.158.045,32

38.Uma empresa, possuidora de um título de R$ 40.000,00, com vencimento para 7 meses, deseja substituí-lo por outro, com vencimento para 5 meses. Qual será o valor do novo título, uma vez que a taxa adotada na operação é de 4% ao mês e o critério adotado, o do desconto racional composto? Resposta: R$ 36.982,24

39.Um título de R$ 35.000,00, com vencimento em 21/10/2009, foi descontado em 21/09/2009 em um banco que cobra 14% ao ano pelo critério do Desconto Racional Composto. Qual o valor recebido pelo título em 21/09/2009. Resposta: R$ 34.619,91

40.Calcular o desconto comercial de um compromisso no valor nominal de R$ 7.500,00, considerando-se a taxa de juros simples de 8,8 % ao ano e o prazo de antecipação do resgate como sendo de 50 dias. Que taxa de juros efetiva composta está sendo adotada? Resposta: 9,25% ao mês

41.O valor atual bancário de uma nota promissória descontada 3 meses antes de seu vencimento é de R$ 11.040,00. Qual será a taxa de juros efetiva, se a taxa de desconto simples for de 36% ao ano e a taxa administrativa for de 1,25%? Resposta: 3,67% ao mês


Matemática Financeira42.Um título a vencer em 90 dias, no valor de R$ 10.000,00, foi descontado por

R$ 9.375,00. Qual a taxa de desconto composto racional e qual a taxa efetiva composta? Resposta: 2,17% ao mês; 2,17% ao mês

43.Uma duplicata no valor de nominal de R$ 8.000,00 foi descontada 60 dias ante de seu vencimento a 24% ao ano. Qual é o desconto comercial composto? Qual a taxa efetiva? Resposta: R$ 316,80; 2,04% ao mês



Nas aplicações financeiras o capital pode ser pago ou recebido de uma só vez ou através de uma sucessão de pagamento ou de recebimentos. Quando o objetivo é constituir um capital em uma data futura, tem-se um processo de Capitalização, quando se quer pagar uma dívida, tem-se um processo de Amortização.

São exemplos de Série Uniformes de Pagamentos:

> VALOR PRESENTE DE UMA ANUIDADE POSTECIPADA

> VALOR PRESENTE DE UMA ANUIDADES ANTECIPADAS

> ANUIDADES DIFERIDAS OU COM CARÊNCIA

> VALOR FUTURO DE UMA ANUIDADE POSTECIPADA

> VALOR FUTURO DE UMA ANUIDADE ANTECIPADA

> COEFICIENTE DE FINANCIAMENTOS

> ANUIDADES PERPÉTUAS

> VALOR PRESENTE DE UMA ANUIDADE VARIÁVEL

> VALOR FUTURO DE UMA ANUIDADE VARIÁVEL

> ANUIDADE EM QUE O PERÍODO DO TEMPO NÃO COINCIDE COM AQUELE QUE SE REFERE A TAXA


Matemática Financeira ANUIDADES OU RENDAS CERTAS

Anuidades ou rendas certas é o nome que se dá aos pagamentos sucessivos tanto em nível de financiamentos (Amortização) quanto de investimentos (Capitalização).Algumas definições importantes:

ANUIDADES: é cada pagamento feito em determinados intervalos de tempo (Ex: mensal, bimestral, anual, etc.).

INTERVALOS DE PAGAMENTO: intervalo de tempo decorrido entre dois pagamentos.

VALOR PRESENTE OU VALOR ATUAL: é a soma dos valores presentes de cada um dos pagamentos, calculados numa data focal dada, anterior às datas de disponibilidade desses pagamentos, com uma taxa também dada.

VALOR FUTURO OU MONTANTE: é a soma dos valores futuros de cada um dos pagamentos, calculados numa data focal dada, posterior às datas de disponibilidade desses pagamentos, com uma taxa também dada.

SEQUENCIA UNIFORME DE PAGAMENTOS: quando todos os pagamentos ou anuidades são iguais, os períodos e as taxas de juros também são iguais.

As Séries de Pagamento uniformes divide-se em: POSTECIPADAS: são aquelas cujo pagamento ocorre no fim do período. É a

sistemática normalmente adotada pelo mercado. Ex: Pagamento da fatura do cartão de crédito.

ANTECIPADAS: são aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no início do período. Exemplo: Compra em uma loja para pagamento em 4 prestações mensais, iguais, sendo uma de entrada.

DIFERIDAS: são aquelas séries de pagamento que se iniciam após decorrido um certo número de períodos sem pagamentos. Geralmente conhecido por “período de carência”. Exemplo: Financiamento pelo prazo de 6 meses, com carência de 2 meses, para pagamento em 4 parcelas mensais, iguais e consecutivas, a partir do terceiro mês?

ANUIDADES TEMPORÁIS: quando o número de intervalo de tempo é finito. ANUIDADES VARIÁVEIS: quando os intervalos de tempo não são iguais ou os

prestações diferem de valor. ANUIDADES PERPÉTUAS: quando o número de intervalos de tempo é infinito.

Classificação das Anuidades:


Matemática FinanceiraQuanto ao número de prestações:

Finitas: quando ocorrem em um período determinado de tempo; Infinitas: quando os pagamentos ou recebimentos duram infinitamente;

Quanto a periodicidade dos temos: Periódicas: quando os pagamentos ou recebimentos ocorrem em intervalo de

tempo constante. Não periódicas: quando os pagamentos ou recebimentos ocorrem em intervalos

de tempo irregulares.Quanto ao valor das prestações:

Uniformes: quando os pagamentos ou recebimentos são de valores iguais. Não Uniformes: quando os pagamentos ou recebimentos apresentam valores

distintos.As Série Uniformes que apresentam prestações iguais são bastante comuns em

operações comerciais como financiamentos de eletrodomésticos, financiamentos imobiliários etc..

Para facilitar a compreensão, as rendas costumam ser representado em diagramas, chamado de Fluxo de Caixa.

O Fluxo de Caixa serve para demonstrar graficamente as transações financeiras em um período de tempo. O tempo é representado por uma linha horizontal dividida pelo número de períodos relevantes para análise. As entradas ou recebimentos são representados por setas verticais apontadas para cima e as saídas ou pagamentos são representados por setas verticais apontadas para baixo.

100 300 200 700

300 200 300 480 700

Chamamos de VP o valor presente, que significa o valor que eu tenho na data focal 0; VF, valor futuro, que será igual ao valor que terei no final do fluxo, após juros, entradas e saídas. PMT é a prestação, ou as entradas e saídas durante o fluxo.

VALOR PRESENTE DE UMA ANUIDADE POSTECIPADA


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

FVPV

PMT

Matemática FinanceiraSeja um principal PV a ser pago em n termos iguais a PMT, imediatos,

postecipados e periódicos, submetidos a uma taxa i de juros composto, referida ao mesmo período de tempo.Representação gráfica do modelo:

O Objetivo é trazer todos os pagamentos ou prestações para o momento inicial.

Exemplo 57: João comprou um DVD, que irá pagar em 4 prestações mensais de R$ 50,24 sem entrada. A taxa de juros composto cobrada é de 2% ao mês. Qual o preço do DVD a vista? Resolução: Calcular o preço do DVD à vista corresponde à soma dos valores atuais das prestações na data focal zero, ou seja, é trazer o valor das prestações para o dia de hoje, o seu valor atual. Veja o Fluxo de Caixa.

Para calcular o valor presente devemos pensar no valor do dinheiro no tempo. Qual será o valor de uma prestação de R$ 50,24, quatro meses antes do seu vencimento? Qual será o seu valor hoje?

Para determinar o valor na data focal zero, utilizamos a fórmula do Juro Composto FV = PV (1 + i)n, onde o FV é o valor da prestação a ser paga e o PV é o valor dessa prestação hoje.


PV

0 1 2 3 4 5 6 n – 1 ... ... ... n

PMT PMT PMT PMT PMT PMT ... ... ... ... ...

PV0 1 2 3 4

50,24 50,24 50,24 50,24

Matemática Financeira1ª Prestação 2ª Prestação 3ª Prestação 4ª Prestação

O preço a vista do DVD será a soma dos valores atuais de cada prestação, ou seja: R$ 49,25 + R$ 48,28 + R$ 47,35 + R$ 46,42 = R$ 191,30.

Mas e se fossem 36 prestações? Teríamos que calcular uma por uma?

FÓRMULA DO MODELO BÁSICO DE ANUIDADE POSTECIPADAS

A soma dos valores presentes é obtida pela soma dos termos de uma

progressão geométrica com as seguintes característica: ; e

. Substituindo-se os valores respectivos na fórmula da soma da P. G.

temos:

► Fórmula para calcular o valor presente de uma Anuidade Postecipada

ii

PVPMT n

11 ► Fórmula para o cálculo da prestação de uma Anuidade Postecipada

onde:PV = Preço a vista PMT =

Prestaçãon = número de período i = taxa unitária

Exemplo 58: Nas Casas Enairam uma televisão de plasma custa R$ 6.999,00 a vista, mas pode ser financiada em até 12 vezes sem entrada á taxa de 1% ao mês. Qual o valor das prestações?



01,001,11

999.601,0

01,011999.6

11

12

12

PMT

PMT

ii

PVPMT n

Exemplo 59: Um computador AMD Semprom, 128 MB + CDRW + HD 60 GB + monitor de 15” é vendido nas Casas Enairam em 10 prestações mensais sem entrada de R$ 189,90. Se a taxa de juros cobrada pela loja é de 1,5% ao mês, qual o valor á vista do computador?

015,0015,11.90,189

015,0015,011.90,189

)1(1.

10

10

PV

PV

iiPMTPV

n

29,751.1222185,9.90,189

015,01383333,0.90,189

015,0861667,01.90,189

PVPV

PV

PV

3. Qual é a taxa mensal de um financiamento de R$ 13.500,00 a ser pago em 12 prestações de

R$ 1.800,00?

Solução

VP = 13.500,00 R = 1.800,00 n =12

VP = R ani 13.500 = 1.800 a12i a12i = 13 5001 800

..

= 7,5

Consultando as Tabelas de ani = 12, encontraremos a128 = 7,536078 e a129 = 7,160725.

O valor que procuramos está entre estes dois valores. Vamos, então, montar a interpolação linear

8% ..........7,536078

i ..........7,5 i -8 =

9% ..........7,160725

ou i = 8,096%


Matemática FinanceiraEXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO

44.Calcular o valor atual de uma anuidade periódica postecipada de R$ 1.000,00, nas hipóteses seguintes:a) Prazo de 24 meses a 2% ao mês - Resposta: R$ 52,87b) Prazo de 12 meses a taxa de 3% ao mês - Resposta: R$ 100,46c) Prazo de 36 meses a taxa de 2,5% ao mês - Resposta: R$ 42,45d) Prazo de 8 trimestre a taxa de 10% ao trimestre - Resposta: R$ 187,44e) Prazo de 5 semestre a taxa de 4% ao semestre. - Resposta: R$ 224,62f) Prazo de 9 bimestre a taxa de 3,8% ao bimestres. - Resposta: R$ 133,27

45.Uma pessoa contrai um empréstimo a ser pago em 25 prestações mensais postecipadas de R$ 200,00 no fim de cada mês. Se a taxa cobrada pela financeira é de 2,5% ao mês, qual é o valor do empréstimo? Resposta: R$ 3.684,88

46.Uma loja vende um televisor por R$ 780,00 à vista ou em 5 pagamentos postecipados, à taxa de 1,8% ao mês. Qual o valor de cada prestação? Resposta: R$ 164,52

47.Um empréstimo de R$ 20.000,00 é pago em 23 prestações mensais postecipadas de R$ 900,00. Qual o valor da taxa cobrada? Resposta: 0,29% am

48.Um automóvel, cujo preço à vista é R$ 25.000,00, é vendido com 35% de entrada mais 24 prestações postecipadas à taxa de 0,5% am. Qual o valor de cada prestação? Resposta: R$ 720,21

49.Um Banco emprestou para uma Empresa o valor de R$ 200,00, pelo prazo de 120 dias, para ser liquidado em 4 prestações mensais, iguais e consecutivas de R$ 60,00. Calcule a taxa mensal dessa operação? Resposta: 7,71%

50.Um telefone celular Ericson é vendido a vista por R$ 1,749,00 ou em suaves prestações de R$ 87,31. Sabe-se que a taxa cobrada pelas Casas Enairam é de 1,5% ao mês. Qual o número de prestações? Resposta: 24 meses

51.Uma calculadora financeira Aurora é vendida nas Lojas Enairam à vista por R$ 149,90 ou em 6 prestações mensais, sem entrada de R$ 26,76. Determine a taxa de juros cobrada pela loja. Resposta: 2%

52.O Sr. Pedro efetuou um empréstimo no valor de R$ 3.545,95, para pagamento em 4 vezes sem entrada, a uma taxa de juros de 5% a. m. Qual o valor das prestações? Resposta: R$ 1.000,00


Matemática Financeira53.Quantas prestações mensais de R$ 500,00 serão necessárias para se pagar uma

dívida de R$ 2.800,72 à taxa de 2% a.m.. Resposta: 6 prestações

54.Um automóvel, cujo preço à vista é R$ 25.000,00, é vendido com 35% de entrada mais 24 prestações postecipadas à taxa de 0,5% am. Qual o valor de cada prestação? Resposta: R$ 720,21

55.Quantas prestações mensais de R$ 400,00 serão necessárias para se pagar uma dívida de R$ 6.664,73 à taxa de 3,4% a.m.. Resposta: 25 prestações

VALOR PRESENTE DE UMA ANUIDADE ANTECIPADA

Ocorrem quando o primeiro pagamento é efetuado na entrada. Sendo o valor da entrada igual ao valor da prestação.

Comparando-se os diagramas de renda imediata com o de renda antecipada, a única diferença é que o primeiro termo, na renda postecipada, ocorre no fim do 1º período, enquanto na antecipada, o 1º pagamento ocorre no instante zero.

Caso o 1º pagamento da série antecipada ocorresse no final do 1º período, automaticamente a série antecipada seria transformada em imediata (postecipada).

Para “empurrar” o 1º termo para o final do instante 1 (e os demais para o final dos respectivos períodos), basta que multipliquemos a série de pagamentos por (1 + i)n , “deslocando” o gráfico para a direita por um período. Como resultado desta “transformação”, a série de pagamentos antecipados passa a ser uma renda postecipada.

Portanto, para encontrarmos o valor das rendas antecipadas, basta multiplicarmos o valor encontrado para as rendas postecipads por (1 + i).

FÓRMULA DO MODELO BÁSICO DE ANUIDADES ANTECIPADAS


PV

0 1 2 3 4 5 6 n – 1 ... ... n

PMT PMT PMT PMT PMT PMT ... ... ... ... ...

Matemática FinanceiraNo caso da renda antecipada, como a primeira prestação é paga na assinatura

do contrato (data zero), seu valor atual (valor presente) é obtido capitalizando um período de juros no valor presente da renda imediata, isso é:

► Fórmula para calcular o valor presente de uma Anuidade Antecipada

► Fórmula para o cálculo da prestação de uma Anuidade Antecipada

Exemplo 60: Comprei uma geladeira de última geração nas Lojas Enairam em 18 pagamentos de R$ 130,72, sendo o primeiro pagamento no ato da compra. Se a taxa cobrada pela loja é de 2% ao mês, qual o preço à vista da geladeira.

Exemplo 61: As Lojas Brasileiras esta vendendo um aparelho de ar condicionado à vista por R$ 1.799,00 ou em 15 prestações fixas, sendo a primeira no ato da compra. Qual o valor das prestações se a taxa cobrada pela loja é de 1,3% ao mês.



Matemática Financeira56.Calcular o valor atual de uma anuidade periódica postecipada de R$ 1.000,00, nas

hipóteses seguintes:a) Prazo de 24 meses a 2% ao mês - Resposta: R$ 51,83b) Prazo de 12 meses a taxa de 3% ao mês - Resposta: R$ 97,53c) Prazo de 36 meses a taxa de 2,5% ao mês - Resposta: R$ 41,41d) Prazo de 8 trimestre a taxa de 10% ao trimestre - Resposta: R$ 170,40e) Prazo de 5 semestre a taxa de 4% ao semestre. - Resposta: R$ 215,98

57.Uma câmera digital está custando à vista R$ 799,00 nas Lojas Brasileiras ou em suaves prestações de R$ 85,36 à taxa de 1,5% ao mês, sendo a primeira no ato da compra. Em quantas prestações a loja está vendendo a câmera digital? Resposta: 10 prestações

58.Dona Maria fez um financiamento de R$ 5.000,00 por 12 meses, à taxa de 1,5% ao mês no Banco Falidos S.A.. Calcule o valor das prestações, considerando-se que ela pagou uma de entrada. Resposta: R$ 451,62

59.Comprei um produto nas Lojas Enairam em 12 pagamentos de R$ 45,78, sendo o primeiro pagamento no ato da compra. Se a taxa cobrada pela loja é de 2,5% ao mês, qual o preço à vista desse produto. Resposta: R$ 481,34

60.Quantas prestações bimestrais antecipadas de R$ 600,00 são necessárias para pagar uma dívida de R$ 2.884,64, à taxa de 2%a.b.? Resposta: 5 prestações

61.Quantas prestações mensais antecipadas de R$ 400,00 serão necessárias para se pagar uma dívida de R$ 6.664,73 à taxa de 3,4% a.m.. Resposta: 24 prestações

62.Um apartamento é vendido à vista por R$ 100.000, mas pode ser vendido a prazo em 19 prestações mensais, iguais, vencendo a 1ª no ato da compra. Sabendo que a taxa de juros é de 2% a.m., qual o valor da Prestação? Resposta: R$ 6.253,11

63.Uma geladeira da marca Groenlândia custa à vista R$ 2.500,00, mas pode ser paga em 10 suaves prestações de R$ 278,68, sendo a primeira no ato da compra. Qual a taxa de juros cobrada pela loja. Resposta: 2,5%

64.Uma loja de decorações anuncia a venda de um objeto de arte por R$ 600,00 a vista ou em 1 + 8 vezes de R$ 80,00. Qual a taxa de juros cobrada pela loja? Resposta: 4,85%

65.Calcular a prestação de uma mercadoria vendida a vista por R$ 1.260,00 nas hipóteses seguintes:


PMT PMT PMT PMT PMT PMT ...

Matemática Financeiraa) 1 + 7 vezes a taxa de 5% ao mês – Resposta: R$ 185,66b) 1 + 10 vezes a taxa de 4,5% ao mês – Resposta: R$ 141,37c) 1 + 5 vezes a taxa de 3,2% ao mês – Resposta: 226,87

ANUIDADES DIFERIDAS OU COM CARÊNCIA

Quando houver um prazo maior que um período entre a data do recebimento do financiamento e a data de pagamento da primeira prestação.

FÓRMULA DO MODELO BÁSICO DE ANUIDADES DIFERIDAS

Para apurar o valor das prestações postecipadas de um financiamento com carência, pode-se utilizar o seguinte critério: Capitaliza-se o saldo devedor (valor do empréstimo), usando-se a taxa contratada, até o período imediatamente anterior ao primeiro pagamento, ou seja: FV = PV (1 + i)n.

A importância encontrada será a base para o cálculo do valor das prestações conforme o modelo básico de anuidades postecipadas. Ficando assim:

. As duas fórmulas podem ser compostas em apenas uma,

fazendo FV = PV (1 + i)n e substituindo esse valor na fórmula do PMT fica:

► Fórmula para o cálculo da Prestação de uma Anuidade Diferida

Para calcular o valor presente de uma Anuidade Diferida usamos a mesma fórmula.

onde:PMT = Prestação PV = Preço a vista ou valor financiadoc = Tempo de carência i = Taxa unitária


PV

0 1 2 3 4 5 6 n – 1 ... ... ... n

Carência

Matemática Financeiran = Tempo ou quantidade de prestaçõesExemplo 62: Uma financeira emprestou a quantia de R$ 720,00, pelo prazo de um ano, para recebimento em 8 prestações mensais, iguais e consecutivas, sendo que a primeira deverá vencer no final do quinto mês e que a taxa cobrada é de 6,5% ao mês, determine o valor das prestações?


66.Uma empresa anuncia que está vendendo suas mercadorias em 10 prestações mensais, com a primeira paga 60 dias após a compra, a uma taxa de juros de 6% a.m. Se cada prestação é de $ 670,00, qual o valor da mercadoria a vista? Resposta: R$ 4.652,13

67.Um terreno é vendido a prazo em 6 prestações mensais de R$ 12.000,00 cada uma, vencendo a primeira 3 meses após a compra. Se a taxa de juros é de 3% ao mês, qual é o preço a vista do terreno? Resposta: R$ 61.274,67

68.O preço a vista de um carro é de R$ 76.000,00. No entanto, há um plano de venda a prazo, no qual a financeira associada à revendedora exige 30% de entrada, financiando o saldo em 24 prestações mensais e iguais, com 3 meses de carência. Qual é o valor de cada prestação sabendo que a taxa de juros é de 3,87% ao mês? Resposta: R$ 3.858,33

69.Um conjunto de dormitórios é anunciado por 10 prestações mensais de R$ 200,00 cada uma, vencendo a primeira daqui a 4 meses. Se a taxa de juros é de 3,5% ao mês, qual o preço a vista deste conjunto? Resposta: R$ 1.500,22

70.Um aparelho de som é vendido por R$ 239,00 à vista. A prazo, ele é vendido em 6 prestações mensais e iguais, sendo dado ao cliente 3 meses de carência. Determine o valor das prestações sabendo que a taxa é de 3,8% ao mês. Resposta: R$ 50,66

VALOR FUTURO DE UMA ANUIDADE POSTECIPADA



Seja uma capitalização em que são aplicadas n parcelas iguais, periódicas e postecipadas, a uma taxa de juros i. O problema é determinar o montante FV na data focal n que resulta deste processo de capitalização.

Como o valor futuro de uma renda é a soma dos valores futuros de cada um dos seus termos, temos a seguinte representação.

Para encontrarmos o valor futuro de uma série de pagamentos ou recebimentos iguais de forma composta, observemos o seguinte processo:

Sobre o primeiro depósito são calculados os juros do primeiro mês, soma-se o segundo depósito e calcula-se mais um mês de juros, e assim sucessivamente até o último depósito, que simplesmente será somado, pois sobre esse último não há rendimentos. O montante FV é calculado exatamente nesta data logo após o último deposito fazendo a soma de todos os montantes obtidos.

Exemplo 63: Uma pessoa fez 4 depósitos de R$ 500,00 mensalmente em um banco. Sabendo que ela está ganhando 2% ao mês, qual o montante que ele possui após o ultimo depósito?

Para determinar o valor futuro, utilizamos a fórmula do Juro Composto FV = PV (1 + i)n, onde o PV é o valor da aplicação e o FV é o valor futuro dessa aplicação.


1 2 3 4

500

0

500500500

FV

0 1 2 3 4 5 6 n – 1 ... ... n

PMT PMT PMT PMT PMT

Matemática Financeira1ª Prestação 2ª Prestação 3ª Prestação 4ª Prestação

O montante será a soma dos valores do FV de cada depósito, ou seja: R$ 530,60 + R$ 520,20 + R$ 510 + R$ 500 = R$ 2.060,80.

Mas e se fossem 30 depósitos? Teríamos que calcular um por um?

FÓRMULA DO VALOR FUTURO DE UMA ANUIDADE POSTECIPADA

A soma dos valores futuros é obtida pela soma dos termos de uma progressão

geométrica com as seguintes característica: ; e .

Substituindo-se os valores respectivos na fórmula da soma da P. G.

temos:

► Fórmula para o cálculo do Valor Futuro de uma Anuidade Postecipada

Resolução do mesmo problema pela Fórmula.

Para o cálculo da prestação ou mensalidade utilizamos a mesma fórmula.Exemplo 63: Uma pessoa deseja comprar um carro por R$ 40.000,00 a vista, daqui a 12 meses. Admitindo-se que ela vá poupar uma certa quantia mensal que será aplicada em poupança a 0,9% ao mês de juros composto, determine qual o valor que deve ser poupado e depositado mensalmente.




71.Uma pessoa deposita mensalmente o valor de $ 250,00 numa conta que paga juros de 1% a.m. Quanto terá 5 meses após o décimo primeiro depósito? Resposta: R$ 3.039,21

72.Você deseja comprar um equipamento de som daqui um ano. Qual deverá ser o valor de cada depósito que você deverá fazer no final de cada mês, em uma poupança que paga 0,65% am, sabendo-se que o valor estimado desse equipamento será de R$ 1.500,00? Resposta: R$ 120,59

73.Se uma pessoa quiser formar uma poupança de R$ 7.000,00 em 30 meses e dispõe de R$ 200,00 para depositar no final de cada mês, ela deverá procurar um investimento que paga qual taxa mensal? Resposta: 1,04% am

74.Quanto tempo depois do décimo depósito mensal de $ 230,00 uma pessoa terá o saldo de $ 2.479,22, recebendo juros de 1% a.m.? Resposta: 11 meses

75.Tacia Shano pretende comprar uma moto CBX 900. Sabe-se que a moto custa hoje R$ 34.000,00 e ela pretende comprar essa moto nos próximos 24 meses. Qual o valor que ela deverá depositar mensalmente no Banco Paçocred que remunera a taxa de 2% ao mês sabendo que neste período a moto sofre um aumento de 1,5% ao mês? Resposta: R$ 1.597,63

VALOR FUTURO DE UMA ANUIDADE ANTECIPADA

A renda é dita antecipada quando o vencimento do primeiro termo se dá na data zero. Como neste caso, o depósito é feito no inicio do período, ao final deste período ela já estará dando origem a um montante. Assim, o valor futuro de uma renda antecipada é obtido capitalizando um período de juros no valor inicialmente


Matemática Financeiraobtido. Como o valor futuro de uma renda antecipada é a soma dos valores futuros de cada um dos seus termos, temos a seguinte representação.

Exemplo 64: Uma pessoa fez 4 depósitos de R$ 500,00 mensalmente em um banco, sendo o primeiro na abertura da conta. Sabendo que ela está ganhando 2% ao mês, qual o montante que ele possui após 4 meses?

Para determinar o valor futuro, utilizamos a fórmula do Juro Composto FV = PV (1 + i)n, onde o PV é o valor da aplicação e o FV é o valor futuro dessa aplicação.

1ª Prestação 2ª Prestação 3ª Prestação 4ª Prestação

O montante será a soma dos valores do FV de cada depósito, ou seja: R$ 541,21 + R$ 530,60 + R$ 520,20 + R$ 510 = R$ 2.102,02.

Mas e se fossem 30 depósitos? Teríamos que calcular um por um?

FÓRMULA DO VALOR FUTURO DE UMA ANUIDADE ANTECIPADA

A soma dos valores futuros é obtida pela soma dos termos de uma progressão

geométrica com as seguintes característica: ; e .


500 500 500 500

0 1 2 3 4

FV

0 1 2 3 4 5 6 n – 1 ... ... n

PMT PMT PMT PMT PMT

Matemática FinanceiraSubstituindo-se os valores respectivos na fórmula da soma da P. G.

Deste modo, a fórmula que nos permite calcular o valor futuro de uma renda antecipada é dada por:

► Fórmula para o cálculo do Valor Futuro de uma Anuidade Antecipada

Resolução do mesmo problema pela Fórmula.

Para o cálculo da prestação ou mensalidade utilizamos a mesma fórmula.


76.Qual é o montante de uma renda de 12 termos mensais de R$ 600,00,à taxa de 4%a.m.? Resposta: R$ 9.376,10

77.Uma pessoa depositou mensalmente o valor de R$35,00 e, um mês após o décimo quinto depósito, teve o saldo de $ 569,00. Calcule a taxa de juros. Resposta: 1%

78.Quanto deverá depositar mensalmente uma pessoa que pretende ter o valor de R$ 875,46, um mês após o oitavo depósito, sabendo que recebe juros de 2% a.m.? Resposta: R$ 100,00

COEFICIENTE DE FINANCIAMENTOS

É muito comum quando compramos à prestação, ou fazemos qualquer tipo de financiamento, surgir um fator financeiro constante que, ao multiplicar-se pelo valor presente do financiamento, apura as prestações. É comum também nas lojas de eletrodomésticos os vendedores já terem prontos os coeficiente de financiamentos repassados pela gerencia ou pela financeira e utilizam esses coeficientes para calcular


Matemática Financeirao valor das prestações de cada produto na loja. Então: Financiamento x Coeficiente Financeiro = Valor de cada prestação

Ele é muito utilizado no CDC – Crédito Direto ao Consumidor, no Arrendamento Mercantil (Leasing), financiamento de veículos e de eletrodomésticos.

Como os gerentes e as financeiras chegam a esses coeficientes de financiamentos?

O coeficiente financeiro nada mais é do que o inverso do fator do valor presente. Para se calcular devemos atribuir valor 1 ao PV nas fórmulas do cálculo do valor presente tanto para anuidades postecipada, antecipada e diferida.

Exemplo 65: Construir o coeficiente de financiamento de um contrato envolvendo 15 prestações mensais, iguais e sucessivas, sem entrada, a uma taxa de juros de 3,5% a.m.

Esse fator de juros deverá ser utilizado em qualquer mercadoria a ser vendida na condição acima, ou seja, em 15 vezes com parcelas postecipadas com um juro de 3,5% ao mês. Portanto para calcular o valor da prestação de um fogão cujo preço a vista é de R$ 800,00 em 15 parcelas uniformes postecipadas basta multiplicar o valor do fogão pelo coeficiente financeiro, assim: 800,00 X 0,086825 = R$ 69,46. Esse é o valor de cada parcela.

O exemplo anterior trata-se de parcelas postecipadas, porém podemos utilizar a mesma situação para parcelas antecipadas e diferidas:Exemplo 66: As lojas Enairam estão vendendo todos os seus produtos em 10 parcelas fixas, sendo uma no ato da compra. Qual será o coeficiente multiplicador para uma taxa de 3,4% ao mês?



Portanto todos os produtos da loja devem ser multiplicados por 0,115702.

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

79.Qual o coeficiente financeiro para uma mercadoria que será vendido em 24 parcelas uniformes postecipadas com uma taxa de juros mensal 5 %? E se considerarmos parcelas antecipadas? Resposta: 0,06902 e 0,072471

80.Qual o coeficiente financeiro para produtos que serão vendidos em parcelas antecipadas uniformes com uma taxa de juros de 4% ao mês nas seguintes condições?a) 10 parcelas – Resposta: 0,118549b) 12 parcelas – Resposta: 0,102454c) 15 parcelas – Resposta: 0,086482d) 24 parcelas – Resposta: 0,063064

81.Calcule a taxa de juros cobrada por uma financeira que está oferecendo recursos para pagamento em 36 parcelas mensais, iguais e postecipadas, sendo que o coeficiente (multiplicador fixo) de cada uma das prestações é de 0,076715? Resposta: 7%

82.Qual o coeficiente financeiro para produtos que serão vendidos em parcelas uniformes diferidas com uma taxa de juros de 2,8% ao mês nas seguintes condições?a) 10 parcelas com 6 meses de carência – Resposta: 0,136948b) 12 parcelas com 4 meses de carência – Resposta: 0,110860

ANUIDADES PERPÉTUAS


Matemática FinanceiraSão aquelas de duração ilimitada onde o número de termos é infinito. È muito

importante para fazer uma rápida avaliação de imóvel e determinar o valor do aluguel do mesmo, bem como para cálculos de aposentadorias.

Sendo PV um principal a ser pago em infinitos termos iguais a PMT, postecipados, a uma taxa de juros i, temos que:

► Fórmula para calcular o valor atual de uma Anuidade Perpétua

Exemplo 67: Se uma imóvel está rendendo um aluguel de R$ 550,00 por mês e se a taxa da melhor aplicação no mercado é de 2,7% ao mês, qual séria o valor do imóvel alugado?


83.A imobiliária PT Saudações está colocando um apartamento para alugá-lo. Qual será o valor do aluguel se o preço do apartamento é R$ 85.000,00 e a melhor taxa do mercado é de 1,9% ao mês? Resposta: R$ 1.615,00

84.Durante 10 anos um investidor pretende depositar mensalmente uma certa quantia para, após o término dos depósitos, ter uma renda perpétua de R$ 2,000,00 por mês. Considere a convenção de fim de período e juros de 1 % ao mês. Calcule:a) Qual o valor que proporcionará essa renda mensal? Resposta: R$ 200.000,00b) Qual o valor que deve ser depositado mensalmente? Resposta: R$ 869,42

85.Uma pessoa pretende se aposentar e “viver de juros”. Quanto deve ter depositado para receber R$ 1.800,00 mensalmente, sabendo que o investimento feito paga juros de 1,6% a. m.. Resposta: R$ 112.500,00

86.Se o valor venal de um ponto de comercio for de R$ 100.000,00 e seu proprietário deseja alugá-lo por R$ 3.000,00, qual será a taxa corrente do mercado: Resposta: 3%

VALOR PRESENTE DE UMA ANUIDADE VARIÁVEL


Matemática FinanceiraSão anuidades cujos termos não são iguais entre si podendo os períodos ser

periódicos ou não periódicos. Graficamente temos a seguinte situação:

300 200 300 480 700

CÁLCULO DO VALOR PRESENTE DE UMA ANUIDADE VARIÁVEL

Sua resolução é feita calculando-se o valor atual como sendo a soma dos valores atuais de cada um dos seus termos. Para isso basta utilizar a fórmula do

montante composto

Exemplo 68: Um imóvel foi comprado para ser pago em 5 prestações conforme os seguintes valores e períodos expressos no fluxo de caixa. Sendo a taxa de juros para aplicações financeira corrente no mercado de 1,5% ao mês, determine preço do imóvel a vista.

3000 2000 4300 6700 9000

1ª Prestação 2ª Prestação 3ª Prestação 4ª Prestação 5ª Prestação

O preço do imóvel será a soma dos valores atuais de cada um dos termos, ou seja: 2.955,66 + 1.912,63 + 4.051,39 + 6.036,87 + 7.775,00 = R$ 22.731,55.

VALOR FUTURO DE UMA ANUIDADE VARIÁVEL


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

FVPV

PMT

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Matemática FinanceiraSua resolução é feita calculando-se o valor futuro como sendo a soma dos

valores futuros de cada um dos seus termos. Para isso basta utilizar a fórmula do montante composto FV = PV (1 +i)n

1. Exemplo 69: Calcule o valor Futuro apresentado nos seguintes fluxo de caixa sendo a taxa de 3,1% ao mês.

100 300 200 700

1º Depósito 2º Depósito 3º Depósito 4º Depósito

O preço do imóvel será a soma dos valores atuais de cada um dos termos, ou seja: R$ 135,70 + R$ 383,00 + R$ 232,98 + R$ 700,00 + = R$ 1.451,68

Importante: Também é possível calcular o valor futuro pela capitalização do valor atual.


87.Em uma instituição que paga 2,5% ao mês foram feitos 6 depósitos mensais, que pela ordem cronológica foram: R$ 300,00; R$ 100,00; R$ 50,00; R$ 500,00; R$ 200,00; R$ 400,00. Qual é o montante após o último depósito sendo o primeiro no ato da abertura da conta? Resposta: R$ 1.674,80

88.Um terreno foi comprado para ser pago em 5 prestações trimestrais, com os seguintes valores: 1º trimestre: R$ 20.000,00; 2º trimestre: R$ 5.000,00; 3º trimestre: R$ 10.000,00; 4º trimestre: R$ 3.000,00 e 5º trimestre R$ 30.000,00. Sendo a taxa de juros para aplicação financeira vigente no mercado de 2,5% ao mês, qual o valor do terreno a vista? Resposta: R$ 53.835,49

89.Calcule o valor atual apresentado nos seguintes fluxo de caixa sendo a taxa de 1,9% ao mês.

300 200 600 480 700 900


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Matemática Financeiraa)

Resposta: R$ 2.814,00

1.300 1.200 1.400 1.480 1.700 1.900

b)


90.Calcule o valor Futuro apresentado nos seguintes fluxo de caixa sendo a taxa de 4% ao mês.

100 300 200 300 480 700

a)

Resposta:R$ 2.486,89 500 1.300 1.200 800 1.400 1.480 1.700 1.900

b)


ANUIDADES EM QUE O PERÍODO DOS TERMOS NÃO COINCIDE COM AQUELE QUE SE REFERE À TAXA

Quando o período dos termos não coincidirem com o período a que se refere a taxa, desde que os termos sejam constantes e periódicos, calcula-se a taxa equivalente ao período dos termos, ou transforma o período na mesma unidade da taxa, e calcula-se segundo o modelo básico.

Exemplo 70: Um aparelho de som é vendido em 5 prestações de R$ 200,00 a serem pagas a cada 2 meses. Sendo a taxa de juros de 3% ao mês, qual o valor do aparelho a vista?

Primeiramente temos que calcular a taxa equivalente bimestral.

Em seguida calcularmos o valor atual segundo o modelo básico.


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17


0404,00404,11.200

0404,00404,011.200

)1(1.

5

5

PV

PV

iiPMTPV

n

36,889446824,4.200

0404,0179652,0.200

0404,0820348,01.200

PVPV

PV

PV


91.Uma financeira publica em um jornal que existem várias opções de financiamentos, entre elas a que, um valor de R$ 50.000,00, à taxa mensal de 2% pode ser financiado em 18 prestações mensais ou 6 prestações trimestrais. Determine o valor das prestações mensais e trimestrais. Resposta: R$ 3.335,10 e R$ 10.206,75

92.Uma loja anuncia a venda de um televisor por R$ 1.560,00 a vista. Um cliente está disposto a comprá-lo por R$ 560,00 de entrada, mais 12 prestações mensais. De quanto serão as prestações, se a taxa de juros cobrada pela loja for de 50% ao ano? Resposta: R$ 103,10

93.Um caminhão é vendido por R$ 300.000,00 a vista ou por R$ 100.000,00 de entrada sendo o saldo financiado. Sabendo que a taxa de juros da concessionária é de 45%% ao ano, de quanto serão as prestações caso o cliente opte por alguns dos planos abaixo:a) 24 prestações mensais – Resposta: R$ 11.994,45b) 8 prestações trimestrais – Resposta: R$ 37.126,82c) 4 prestações semestrais – Resposta: R$ 77.867,55

94.Uma bicicleta foi vendida em 4 prestações bimestrais de R$ 100,00 sendo a primeira na compra. Se a taxa de mercado é de 3% ao mês, qual o preço a vista? Resposta: R$ 351,90



A necessidade de recursos obriga àqueles que querem fazer investimentos a tomarem empréstimos e assumirem dívidas que são pagas com juros de formas que variam de acordo com contratos estabelecidos entre as partes interessadas.

Existem muitas maneiras de se pagar esses dívidas, e são conhecidas com Sistema de Amortizações de Financiamentos e Empréstimos entre as mais conhecidas se destacam:

> SISTEMA DO MONTANTE

> SISTEMA DE JUROS ANTECIPADOS

> SISTEMA AMERICANO

> SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS OU PRICE

> SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE

> SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO

> SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES VARIÁVEIS


Matemática FinanceiraAs formas de pagamento dos empréstimos são chamadas sistemas de

amortização.Sistemas desenvolvidos, basicamente, para o estabelecimento de formas de

amortizações de operações de empréstimos e financiamentos de longo prazo, envolvendo desembolsos e reembolsos periódicos de principal e juros.

Principais sistemas utilizados no mercado e respectiva característica preponderante: SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO DO MONTANTE: Os juros e o capital são quitados no final

da operação. Podem ser, de acordo com o contrato, no sistema de juros simples ou no sistema de juros composto.

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO DE JUROS ANTECIPADOS: Por esse sistema, o tomador do empréstimo paga os juros decorrentes da operação, na hora do empréstimo, devendo quitar somente o capital no final da operação.

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO - SAA: Os juros são pagos periodicamente e o principal é quitado no final da operação.

Ex.: Títulos da dívida pública, debêntures, etc. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS (TABELA PRICE) - SPC: A dívida é quitada

através de prestações iguais, periódicas e sucessivas.Ex.: Amplamente utilizado no Brasil: CDC (crédito direto ao consumidor), vendas a prazo divulgadas pelas grandes redes de varejo. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE – SAC: Amortizações periódicas, sucessivas e

decrescentes em P.A. de uma dívida, onde a prestação incorpora principal mais encargos.

Ex.: Sistema Financeiro de Habitação. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO – SAM: Por esse sistema, os pagamentos são

média aritmética dos pagamentos dos sistemas Price e SAC.Em nosso estudo vamos nos concentrar nestas formas de amortização, as mais difundidas pelo mercado.

Definição BásicaOs Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos tratam,

primordialmente, da forma pela qual o principal e os encargos financeiros são restituídos (pagos) pelo devedor (mutuário) ao credor do capital (mutuante).Características: Basicamente desenvolvidos para operações de empréstimos e financiamentos de

longo prazo, envolvendo amortizações periódicas do principal e encargos financeiros (juros da operação);


Matemática Financeira Utiliza exclusivamente o critério de juros compostos, incidindo os juros sobre o

saldo devedor apurado em período imediatamente anterior; Cada sistema de amortização obedece a uma certa padronização, tanto nos

desembolsos, quanto nos reembolsos; Podem ter ou não carência, sendo que, no período de carência, normalmente são

pagos os juros;Terminologia adotada:Encargos Financeiros – juros da operação que podem ser pré-fixados ou pós-fixados, constituindo-se custo para o devedor e retorno para o credor;Amortização – pagamento do capital emprestado, realizado através das prestações periódicas, mensais, bimestrais, trimestrais, etc.;Saldo Devedor – Representa o valor do principal da dívida, em um determinado momento, após a dedução das amortizações já efetuadas pelo mutuário;Prestação – Amortização mais encargos financeiros devidos em determinado período de tempo.Carência - é o período que vai da data da concessão do empréstimo até a data em que será paga a primeira prestação.Em todos os demonstrativos devem constar:

Nº Prestações Juros Amortizações Saldo Devedor i %PV

1 PMT J = PV . i. A1 = PMT - J Sd1 = PV – A1 i2 PMT J = Sd1 . i. A2 = PMT - J Sd2 = Sd1 – A2 i3 PMT J = Sd2 . i. A3 = PMT - J Sd3 = Sd2 – A3 i... ... ... ... ... ...

OBS: A tabela acima se refere aos valores do sistema Francês de amortização.

SISTEMA DO MONTANTE

Por esse sistema, o devedor paga no final do prazo, o montante da divida, ou seja, o valor emprestado mais os juros decorrentes do período.

Conforme o contrato pode ser calculado no regime de juros simples ou de juros compostos.

Para se calcular o valor desse pagamento final, basta calcular o montante correspondente conforme o caso. O valor da dívida será o valor presente PV e o pagamento final será o valor futuro FV, calculado sobre a taxa i contratada por n períodos.

Se o contrato prevê juros simples, tem-se: FV = PV (1 + i.n).


Matemática FinanceiraSe o contrato prevê juros compostos, tem-se: FV = PV (1 + i)n.

Exemplo 71: Um empréstimo de R$ 20.000,00 deve ser pago após 8 meses com juros de 4,2% ao mês. Calcule o pagamento final:

a) Se o empréstimo foi feito no regime de juros simples.FV = PV (1 + i.n)FV = 20.000 (1 + 0,042. 8)FV = 20.000 (1 + 0,336)FV = 20.000 . 1,336FV = 26.720,00

b) Se o empréstimo foi feito no regime de juros compostos.FV = PV (1 + i)n FV = 20.000 (1 + 0,042)8 FV = 20.000 (1,042)8 FV = 20.000 . 1,389766FV = 27.795,32

SISTEMA DE JUROS ANTECIPADOS

Por esse sistema, o devedor paga no ato da liberação do empréstimo o total dos juros decorrentes da operação, pagando no final do período apenas o valor solicitado do empréstimo.

Conforme o contrato pode ser calculado no regime de juros simples ou de juros compostos.

Para se calcular o valor dos juros pagos antecipadamente, utilizamos:Se o contrato prevê juros simples, tem-se: J = PV . i . n.

Se o contrato prevê juros compostos, tem-se: J = FV – PVSe os juros são pagos antecipadamente, o valor liberado não coincide com o valor

solicitado pelo devedor, portanto cabe ao tomador do empréstimo solicitar um valor maior, o que faz com que a taxa efetiva seja diferente da taxa nominal contratada.

É interessante neste caso calcular o valor efetivamente liberado VL. Chamando de VL o valor efetivamente liberado e de PV o pagamento final e supondo que o empréstimo foi feito à taxa i pelo prazo de n períodos, o valor liberado será:

VL = PV (1 – i . n) ► Fórmula para calcular o valor liberado a juros simples.

VL = PV [2 – (1 + i)n] ► Fórmula para calcular o valor liberado a juros composto.


Matemática FinanceiraPara calcular a taxa efetiva paga pelo devedor, basta usar as fórmulas do monte de

juros simples e de juros compostos. Considere o PV como sendo o valor liberado e o Fv como o valor do empréstimo contratado, temos:

nVLPV

ie1

► Fórmula para calcular a Taxa Efetiva Simples

1nVLPVie

► Fórmula para calcular a Taxa Efetiva Composta

Na prática, essas fórmulas não são necessárias, pois podemos calcular os juros do período e calcular o valor liberado fazendo VL = PV – J

Exemplo 72: Um empréstimo de R$ 20.000,00 deve ser pago após 8 meses com juros de 4,2% ao mês. Calcule:

a) Os juros simples pago antecipadamente;J = PV . i . nJ = 20.000 . 0,042 . 8J = 6.720,00

b) O valor liberado no sistema de juros simples;VL = PV (1 – i . n) VL = PV - JVL = 20.000 (1 – 0,042 . 8) VL = 20.000 – 6.720VL = 20.000 (1 – 0,336) VL = 13.280,00VL = 20.000 . 0,664VL = 13.280,00c) A taxa efetiva simples;

d) Os juros compostos pagos antecipadamente;FV = PV (1 + i)n FV = 20.000 (1 + 0,042)8 FV = 20.000 (1,042)8 FV = 20.000 . 1,389766FV = 27.795,32

Fazendo J = FV – PV fica:


Matemática FinanceiraJ = Fv – PVJ = 27.795,32 – 20.000J = 7.795,32

e) O valor liberado no sistema de juros composto;VL = PV [2 – (1 + i)n] VL = PV - JVL = 20.000[2 – (1 + 0,042)8] VL = 20.000 – 1.795,32VL = 20.000[2 – (1,042)8] VL = 12.204,68VL = 20.000[2- 1,389766]VL = 20.000 . 0,610234VL = 12.204,68

f) A taxa efetiva composta

%36,6

100063685,01063685,1

1638716,1

168,204.12

000.20

1

8

8

iexie

ieie

ie

VLPVie n

SISTEMA AMERICANO

Por esse sistema, o devedor paga os juros periodicamente, podendo ser mensal, bimestral, anual, ou qualquer outro período combinado em contrato.

No final do prazo é pago, além dos juros do período, o valor emprestado.Por esse sistema não há diferença entre os regimes de juros simples ou juros

compostos, pois como os juros são pagos periodicamente o saldo devedor é sempre o mesmo.

Para calcular o valor dos juros do período utilizamos a fórmula dos juros simples J = PV . i . n, sendo que o período é sempre igual a um.

Exemplo 73: Um empréstimo de R$ 12.350,00 deve ser pago após 10 meses com juros de 2,87% ao mês. Qual será o desembolso mensal se o devedor optou em pagar pelo sistema Americano.


Matemática FinanceiraJ = PV . i . nJ = 12.350 . 0,0287 . 1J = 354,45


95.Um empréstimo de R$ 50.000,00, deve ser pago em 4 meses, com juros de 1% ao mês. Determine:

a) O Capital e juros simples pagos no final; Resposta: R$ 52.000,00b) O Capital e juros compostos pagos no final; Resposta: R$ 52.030,20c) Os Juros pagos mensalmente; Resposta: R$ 500,00d) Os Juros simples pagos antecipadamente; Resposta: R$ 2.000,00e) Os Juros compostos pagos antecipadamente; Resposta: R$ 2.030,20

96.Uma financiadora cobra juros compostos antecipados de 1,5% ao mês nos empréstimos que concede. Se uma empresa precisa de R$ 30.000,00 por três meses, quanto deve solicitar para que, pagando os juros, receba a quantia de que necessita? Resposta: R$ 31.435,95

97.O Banco Falidus S.A. está operando com uma taxa composta de 2,6% ao mês para empréstimos cujo pagamento dos juros é antecipado. Determine a taxa efetivamente paga pelo devedor quando faz um empréstimo de R$ 45.000,00 pelo prazo de 6 meses? Resposta: 3,08%

98.Precisando de dinheiro, fui penhorar minhas jóias, numa casa de penhor que as avaliou em R$ 19.000,00. Os juros de praxe são calculados no sistema de juros simples, à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de 6 meses e retidos antecipadamente.a) Quanto recebi em dinheiro na data da penhora? Resposta: R$ 15.580,00b) Quanto devo pagar no final, ao retirar as jóias? Resposta: R$ 19.000,00c) Qual a taxa efetiva de juros simples cobrados na penhora? Resposta: 3,65%

99.Um cliente fez um empréstimo de R$ 16.800,00 no Banco Falidus S.A. que opera a taxa de juros simples de 5,4% ao mês. Qual será o montante a ser pago se o prazo estipulado no contrato for de um ano? Resposta: R$ 10.886,40

100. Uma financiadora cobra juros simples antecipados de 0,05% ao dia nos empréstimos que concede. Se uma empresa precisa de R$ 30.000,00 por sete meses, quanto deve solicitar para que, pagando os juros, receba a quantia de que necessita? Resposta: R$ 33.519,55


Matemática Financeira SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS OU PRICE - SPC

Nos sistema Francês, o valor da prestação é constante, sendo que cada prestação é composta de uma parcela de juros e uma parcela de amortização. O valor dos juros decresce com o tempo e o valor da amortização aumenta, logo juros e amortização nesses sistemas são inversamente proporcionais. As prestações podem ser mensais, bimestrais, semestrais, anuais, etc. A planilha de amortização é uma tabela na qual são apresentados os juros, amortizações e saldos a cada período.

Para elaboração da planilha devemos seguir o seguinte roteiro.Nº Prestações Juros Amortizações Saldo Devedor i %0 PV1 PMT J = PV . i. A1 = PMT - J Sd1 = PV – A1 i2 PMT J = Sd1 . i. A2 = PMT - J Sd2 = Sd1 – A2 i3 PMT J = Sd2 . i. A3 = PMT - J Sd3 = Sd2 – A3 i... ... ... ... ... ...

Suponha que o empréstimo PV, feita à taxa i para ser pago em n prestações pelo sistema Francês, a prestação PMT serão calculadas como se fossem os termos de uma anuidade postecipada.

ii

PVPMT n

11 ► Fórmula para calcular o pagamento de uma amortização no sistema Francês

Exemplo 74: Elaborar a planilha pelo sistema francês de amortização, de um empréstimo de R$ 120.000,00 a ser amortizado em 6 pagamentos a uma taxa de 2% a.m. .

Calculo do valor da prestação.


Matemática Financeira Preenchimento da Tabela Price.Nº Prestação Juros Amortização Saldo Devedor Taxa

0 120.000,00 2%1 21.423,10 2.400,00 19.023,10 100,976,90 2%2 21.423,10 2.019,54 19.403,56 81.573,34 2%3 21.423,10 1.631,47 19.791,63 61.781,71 2%4 21.423,10 1.235,63 20.187,47 41.594,24 2%5 21.423,10 831,88 20.591,22 21.003,02 2%6 21.423,10 420,06 21.003,04 - 0,02

No final do período o saldo devedor deve ser zero ou muito próximo de zero.

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE – SAC

Neste sistema, o devedor paga o empréstimo em prestações que incluem em cada uma delas, uma amortização constante mais juros sobre o saldo devedor. Enquanto no sistema Francês as prestações são constantes, por esse sistema as amortizações é que são iguais.

Neste sistema, o devedor paga o empréstimo em prestações que incluem em cada uma delas, uma amortização constante mais juros sobre o saldo devedor.

Para elaboração da planilha devemos seguir o seguinte roteiro.Nº Pagamentos Juros Amortizações Saldo Devedor taxa0 PV1 Pg1 = A + J1 J1 = PV . i. A1 Sd1 = PV – A1 i%2 Pg2 = A + J2 J2 = Sd1 . i. A2 Sd2 = Sd1 – A2 i%3 Pg3 = A + J3 J3 = Sd2 . i. A3 Sd3 = Sd2 – A3 i%... ... ... ... ... ...

Como o número n de amortizações iguais devem saldar a dívida PV, para calcular cada uma, basta dividir o total do empréstimo pelo numero de prestações.

nPVA ► Fórmula para calcular o valor da Amortização no sistema SAC

Exemplo 75: Elaborar a planilha pelo sistema SAC de amortização, de um empréstimo de R$ 120.000,00 a ser amortizado em 6 pagamentos a uma taxa de 2% a.m. .


Matemática Financeira Calculo do valor da Amortização.

Preenchimento da Tabela SAC.Nº Prestação Juros Amortização Saldo Devedor Taxa0 --- --- --- 120.000 2%1 22.400 2.400 20.000 100.000 2%2 22.000 2.000 20.000 80.000 2%3 21.600 1.600 20.000 60.000 2%4 21.200 1.200 20.000 40.000 2%5 20.800 800 20.000 20.000 2%6 20.400 400 20.000 0


Matemática Financeira SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO – SAM

Neste sistema, o devedor paga o empréstimo em prestações, tais que cada uma delas é média aritmética entre os valores encontrados para as prestações do Sistema Francês e do Sistema de Amortização Constante.

Este sistema foi desenvolvido originalmente para as operações de financiamento do Sistema Financeiro de Habitação (SFH), em razão de apresentar uma queda mais acentuada no saldo devedor, o que reduz as chances de haver resíduos no final do contrato. Considerando que as prestações no Sistema SAC são decrescentes e no Sistema Price são constantes, a prestação do Sistema SAM também apresenta tendência decrescente, com parcelas de amortização crescentes, de onde sua denominação Sistema de Amortização Crescente - Sacre.

Para elaboração da planilha devemos seguir o seguinte roteiro.

Nº Pagamentos Juros Amortizações Saldo Devedor taxa0 PV1

21

1PPMT

Pg

J1 = PV . i. A1= Pg1 - J Sd1 = PV – A1 i%

2 J2 = Sd1 . i. A2= Pg2 – J Sd2 = Sd1 – A2 i%

3 J3 = Sd2 . i. A3= Pg3 - J Sd3 = Sd2 – A3 i%

... ... ... ... ... ...

Exemplo 75: Elaborar a planilha pelo sistema SAM de amortização, de um empréstimo de R$ 120.000,00 a ser amortizado em 6 pagamentos a uma taxa de 2% a.m. . Calculo do valor dos pagamentos.

55,911.212

10,823.432

400.2210,423.212 111

11

PgPgPg

PPMTPg

55,711.212

10,423.432

000.2210,423.212 222

22

PgPgPg

PPMTPg

Preenchimento da Tabela SAC.


Matemática FinanceiraNº Prestação Juros Amortização Saldo Devedor Taxa0 --- --- --- 120.000,00 2%1 21.911,55 2.400,00 19.511,55 100.488,45 2%2 21.711,55 2.009,76 19.701,78 80.786,66 2%3 21.511,55 1.615,73 19.895,81 60.890,85 2%4 21.311,55 1.212,81 20.093,73 40.797,11 2%5 21.111,55 815,94 20.295,60 20.501,50 2%6 20.911,55 410,03 20.501,50 0

SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES VARIÁVEIS - SAV

Neste sistema, a devolução do principal é feita em parcelas desiguais, podendo eventualmente envolver parcelas intermediárias. São sistemas não convencionais adotados pelos bancos e adequados a determinadas situações ou características do mercado e/ou clientes, em que as parcelas de amortização são previamente fixadas sem nenhum critério em particular, mas de comum acordo entre as partes. Nestes casos, a parcela de juros é calculada sempre sobre os saldos devedores do financiamento. Na montagem da planilha, cada prestação deve englobar as amortizações previstas e os juros incorridos no período.

EXEMPLO 76. Suponha um empréstimo de R$ 30.000,00 em que se acordou previamente o seguinte esquema de amortização: O devedor poderia pagar 1,8% ao mês sobre o saldo devedor sem se preocupar com a quantidade de período.

Primeiramente, calcula-se todas as amortizações para todos os períodos e depois os juros

incorridos em cada período, incidentes sobre o saldo devedor. O valor das prestações é obtido pela

soma das parcelas de amortização e de juros.

Nº Prestação Juros Amortização Saldo Devedor Taxa0 --- --- --- 30.000,00 1,8%1 4.540,00 540,00 4.000,00 26.000,00 1,8%2 2.968,00 468,00 2.500,00 23.500,00 1,8%3 5.423,00 423,00 5.000,00 18.500,00 1,8%4 3.833,00 333,00 3.500,00 15.000,00 1,8%5 5.270,00 270,00 5.000,00 10.000,00 1,8%6 7.180,00 180,00 7.000,00 3.000,00 1,8%7 3.054,00 54,00 3.000,00 0



Matemática Financeira101. Elabore as planilhas de amortização de um financiamento de R$ 75.000,00

emprestado à taxa de 6,75% a.m. para pagamento em 6 prestações postecipadas mensais, nos sistemas Price, S.A.C e S.A.M

Tabela Price (sistema Francês)Nº Prestação Juros Amortização. Saldo Devedor0 75.0001 15.613,45 5.062,5 10.550,95 64.449,052 15.613,45 4.350.31 11.263,14 53.185,913 15.613,45 3.590,05 12.023,40 41.162,514 15.613,45 2.778,47 12.834,98 28.327,535 15.613,45 1.912,11 1.3701.34 14.626,196 15.613,45 987,27 14.626,18 00

Tabela SAC (Sistema de Amortização Constante) Nº Prestação Juros Amortização. Saldo Devedor0123456

Tabela SAM (Sistema Amortização Misto)Nº Prestação Juros Amortização. Saldo Devedor0123456102. Um empréstimo de R$ 100.000,00, deve ser pago em 5 meses, com juros de 2%

ao mês. Descreva os pagamentos nos seguintes casos.a) O Capital e juros simples pagos no final;b) Capital e juros compostos pagos no final;


Matemática Financeirac) Pelo sistema americano, qual o juro pago mensalmente?d) Pelo sistema de juros simples pagos antecipadamente determine os juros pagos

no ato do empréstimo e o valor liberado;e) Pelo sistema de juros composto pagos antecipadamente determine os juros

pagos no ato do empréstimo e o valor liberado;f) Cinco prestações pelo sistema Price ( SPC)

Nº. PAGAMENTOS JUROS AMORTIZAÇÃO SALDO DEVEDOR012345

g) Cinco prestações pelo sistema SACNº. PAGAMENTOS JUROS AMORTIZAÇÃO SALDO DEVEDOR012345

h) Cinco prestações pelo sistema SAMNº. PAGAMENTOS JUROS AMORTIZAÇÃO SALDO DEVEDOR012345

i) Cinco prestações pelo Sistema Amortizações VariáveisNº. PAGAMENTOS JUROS AMORTIZAÇÃO SALDO DEVEDOR012345

103. Um empréstimo de R$ 25.000,00 deve ser pago, com juros de 8% ao mês, em 20 parcelas mensais pelo SAC. Calcule os dois primeiros e os dois últimos pagamentos e faça um demonstrativo com apenas esses períodos.

104. Um empréstimo de R$ 10.000,00, deve ser pago em 8 meses, com juros de 2% ao mês. Elabore uma planilha de pagamentos pelo sistema de amortizações variáveis.


Matemática Financeira105. Elabore uma planilha de pagamentos de um empréstimo de R$ 20.000,00 a taxa

de 3,3% ao mês por 12 meses pelo sistema Americano.

106. Quando contrairmos uma dívida, devemos saldá-la por meio do pagamento do principal e juros contratados. Atualmente, existem diversos critérios para amortização de dividas. Contudo, devido a sua maior utilização prática, destacamos o Sistema Francês de Amortização. Com relação a esse sistema podemos destacar:a) Por esse sistema, o devedor paga os juros periodicamente e o valor emprestado

é pago no final do prazo;b) Por esse sistema, o devedor paga o empréstimo em prestações iguais

imediatas, incluindo, em cada uma, uma amortização parcial do empréstimo e os juros sobre o saldo devedor;

c) Por esse sistema, o devedor paga o empréstimo em prestações que incluem, cada uma, uma parcela constante de amortização e os juros sobre o saldo devedor;

d) Por esse sistema, o devedor paga o empréstimo em prestações, tais que cada uma delas é a média aritmética entre os valores encontrados para as prestações do sistema price e do sac;

e) Por esse sistema, o devedor paga o empréstimo em parcelas iguais e periódicas que incluem juros antecipados e amortizações imediatas.

Resposta: b



Quando uma empresa ou uma pessoa deseja investir em um projeto, ela tem paralelamente outras opções, como por exemplo, a própria atividade produtiva, ou o mercado financeiro. Chamamos de custo de oportunidade de uma empresa ou pessoa, o retorno certo que ela teria sem investir em novos projetos. Um investimento será viável se seu retorno for maior que o de qualquer outro tipo de aplicação, quando empregada a mesma quantia. Para sabermos isto basta montar um fluxo com o investimento efetuado e as receitas e economias esperadas, além da taxa mínima de retorno desejada (deverá ser maior que seu custo de oportunidade).

Existem vários métodos de análise de investimento. Contudo, em função de serem os mais utilizados pelo mercado, iremos enfocar dois:> O Valor Presente Líquido – VPL (Net Present Value);> A Taxa Interna de Retorno – TIR (Internal Rate Return).


Matemática Financeira Fluxo de Caixa É o principal objetivo do Matemática Financeira. O fluxo de caixa de um investimento, empréstimo ou financiamento, ou mesmo de

uma empresa, é o nome dado ao conjunto das entradas e saídas do dinheiro ao longo do tempo.

A matemática financeira, portanto, nos permite comparar fluxos de caixas distintos para identificarmos a melhor alternativa de empréstimo, investimento ou financiamento.

Ao fazermos uma pesquisa de preços, por exemplo, para aquisição de uma televisão, encontramos diversas alternativas de pagamento nas várias lojas pesquisadas:

Somente a vista Sem entrada + 2, + 3, + 4 prestações... E assim por diante. Onde deverei comprar? Somente poderemos dizer qual é a melhor opção de compra, se analisarmos cada

fluxo de caixa e transformarmos cada proposta em seu valor equivalente à vista. A matemática financeira dá as “ferramentas” básicas que nos permitem comparar

diferentes alternativas de investimento de um mesmo período. Existem vários métodos de análise de investimento. Contudo, em função de serem

os mais utilizados pelo mercado, iremos enfocar dois: O Valor Presente Líquido – VPL (Net Present Value); A Taxa Interna de Retorno – TIR (Internal Rate Return).

VALOR PRESENTE LÍQUIDO (NPV)

O método do valor presente líquido consiste na comparação de todas as entradas e saídas de dinheiro de um fluxo de caixa na data focal 0 (zero). O valor atual de determinado projeto será calculado descontando-se todos os valores futuros do fluxo de caixa, empregando-se determinada taxa de juros (taxa de atratividade).» Se o valor encontrado do VPL for zero, significa que a taxa i de renda do investidor é igual à taxa de atratividade (ia).» E o valor encontrado do VPL for maior que zero, significa que os fluxos de caixa futuros trazidos e somados a valor presente superam o investimento inicial. A taxa do investimento é maior que a taxa de atratividade.» E o valor encontrado do VPL for menor que zero, significa que os fluxos de caixa futuros trazidos e somados a valor presente não superam o investimento inicial. A taxa do investimento é menor que a taxa de atratividade.


Matemática Financeira Resumo Se o VPL for maior que zero, o projeto deve ser aceito. VPL > 0 i > ia Se o VPL for igual a zero, torna-se indiferente aceitar ou não o projeto. VPL = 0 i = ia Se o VPL for menor que zero, o projeto não deve ser aceito. VPL < 0 i < ia

Para calcular o Valor Presente Liquido devemos proceder como no cálculo do valor presente para anuidades variáveis. Sua resolução é feita calculando-se o valor atual como sendo a soma dos valores atuais de cada um dos seus termos, descontando-se o valor principal PV. Para isso basta utilizar.

► Fórmula para o Valor Presente Líquido.

EXEMPLO 76. Um investimento de R$ 6.000,00 gerou entradas de caixa da seguinte forma: R$ 1.200,00 após 30 dias, R$ 2.000,00 após 60 dias e R$ 3.700,00 após 150 dias. Calcular o NPV do projeto considerando um custo de oportunidade de 6% ao mês.

Fluxo de Caixa

1ª Entrada 2ª Entrada 3ª Entrada


PV

0 1 2 3 4 5

1.200 2.000 3.700


NPV = 1.132,07 + 1.778,00 + 2.764,85 – 6.000,00NPV = 5.674,92 – 6.000NPV = - 325,07Conclusão: O projeto não foi aceito.


107. Um investimento de R$ 1.200,00 gerou entradas de caixa da seguinte forma: R$ 630,00 após 30 dias, R$ 270,00 após 60 dias R$ 510,00 após 90 dias. Calcular o NPV do projeto considerando um custo de oportunidade de 5% ao mês.Resposta: R$ 85,46 → Projeto aceito

108. Numa época em que a taxa de mercado é de 6,2% ao mês, qual é o melhor retorno para uma aplicação de R$ 50.000,00:a) Receber R$ 70.000,00 no final de seis meses; - Resposta: - 1.207,73b) Receber duas parcelas trimestrais de R$ 33.000,00; - Resposta: + 553,25c) Receber três parcelas bimestrais de R$ 21.000,00; - Resposta: - 223,70d) Receber seis parcelas mensais de R$ 10.000,00; - Resposta: - 113,42

109. A Comercial Tiro Liro gostaria de analisar a possibilidade de investimento em um novo caminhão de entrega. Sabe-se que o veículo custará R$ 40.000,00 e deverá gerar fluxos de caixa anuais de R$ 8.000,00 durante 10 anos. Após o horizonte analisado, estima-se que o bem representa um valor residual igual a R$ 4.000,00. O custo de capital da empresa é de 12% ao ano. Construa um diagrama do fluxo de caixa e determine o Valor Presente Líquido. É viável a compra do caminhão? Resposta: - 38.804,89

110. Uma empresa esta estudando a compra de um equipamento e para isso está analisando dois tipos de proposta. A proposta A tem vida útil de dois anos, custa R$ 150.000,00 e dá um lucro mensal de R$ 12.000,00. A proposta B tem vida útil de 3 anos, um custo de R$ 180.000,00 e dá um lucro de R$ 14.000,00 por mês.


Matemática FinanceiraAmbas tem valor residual nulo. Qual equipamento deve ser comprado se a taxa de atratividade é de 5% ao mês? Resposta: A = R$ 21.913,96 e B = R$ 60.574,71

111. Determine a viabilidade ou não do seguinte fluxo a uma taxa de 10% a.a.

Período

Investimentos Receitas

0 -1000 01 -500 8002 8003 10004 15005 -200 1800

Resposta: + 2.703,19

112. A uma taxa de desconto de 8% a.a, qual é o melhor projeto, do ponto de vista financeiro,

utilizando o critério do valor atual, se os fluxos de caixa são os seguintes:

Ano Projeto A Projeto B0 -80 -2001 +120 +1002 +200 +1203 +1504 +2005 +1506 +120

Resposta: Projeto A= + R$ 534,59 e Projeto B = + R$ 439,26113. Um investidor pretende comprar um apartamento na cidade de Siqueira Campos

por R$ 80.000,00 e gostaria de obter um retorno de 13% ao ano. No primeiro ano ele terá um prejuízo de R$ 5.000,00, no segundo e quarto ano terá lucro de R$ 4.500,00 e no terceiro ano terá lucro de R$ 5.500,00. Ele espera conservar o apartamento por 5 anos e vendê-lo por R$ 130.000,00. Determine o Valor Presente Líquido para determinar se o investimento renderá os 13% desejados.

114. Considere um projeto hipotético de 2 anos de duração, cujo investimento inicial seja de US$ 100,000, no ano 0, e as previsões de resultados líquidos nos anos de 1 e 2 são, respectivamente, de US$ 120,000 e US$ 150,000. Estude a viabilidade do projeto pelo VPL, utilizando, para isso, uma taxa de retorno exigida (TMA) de 10% ao ano. Resposta: + 133.057,85


Matemática Financeira115. Á taxa de juros de 2,3% ao mês, qual o melhor modo de uma gráfica atualizar

suas copiadoras: Comprar novas máquinas a vista no valor de R$ 9.458,00, arcar com um contrato

de manutenção de R$ 50,00 por mês e após 5 anos de uso revendê-las como sucata ao fabricante por R$ 950,00.

Alugá-las por R$ 320,00 com pagamento no final de cada mês e despesas de manutenção por conta do locador.

116. Uma fábrica custa R$ 800.000,00. Espera-se um lucro de R$ 170.000,00 após custos industriais, ao longo de 10 anos. Se a o custo de oportunidade de capital for 14% ao ano, qual é o valor atual líquido da fábrica? Resposta: + 86.739,65

TAXA INTERNA DE RETORNO ( TIR ) - TRADICIONAL

A taxa interna de retorno (TIR) ou Internal Rate of Return (IRR) é uma das formas mais sofisticadas de se avaliar propostas de investimentos de capital. Ela representa a taxa de desconto que se iguala, num único momento, os fluxos de entrada com os de saída de caixa. Em outras palavras, é a taxa que produz um VPL igual a zero.

Será atrativo o investimento cuja taxa interna de retorno é maior que ou igual à taxa de atratividade do investidor.

Se vários investimentos são comparados, o melhor é o que tem a maior taxa de retorno.Se forem analisados empréstimos, o melhor é que tem a menor taxa interna de retorno. TIR ia: projeto atrativo TIR < ia: projeto duvidoso

O método da taxa interna de retorno consiste em calcular a taxa que anula o valor presente líquido do fluxo de caixa do investimento analisado.

► Fórmula para se determinar a TIR:

Vamos utilizar um exemplo para descrever como a TIR é calculada.

EXEMPLO 77. Suponha que a empresa WYS necessita investir R$ 30.000.000,00 para obter fluxos futuros de R$ 11.000.000,00, R$ 12.100.000,00 e R$ 13.310.000 ao longo de três anos. Vejamos agora como seria calculada a TIR.

Visualizando as operações da empresa teríamos a seguinte equação.



Para que seja calculada a TIR devemos considerar que VP seja igual a zero. Se VP for igual a zero a única resposta seria 0,1. Concluímos a taxa interna de retorno do projeto é de 10% ao ano. Se Substituirmos i por 0,1. Teremos que VP = -30.000.000 + 10.000.000 + 10.000.000 + 10.000.000. O VP portanto será igual a zero.Utilização da TIR Fizemos o cálculo da TIR e encontrarmos 10%. Mas o que isso quer dizer? Quer dizer que a taxa de 10% esse projeto é economicamente indiferente pois não trará lucro nem prejuízo. O uso da TIR deve servir para comparações com a taxa de juros do mercado. O que aconteceria se a taxa de juros do mercado fosse de 6% ? Substituindo 6% na equação acima acharíamos um VP de 2.321.648 (-30.000.000 + 10.377.358 + 10.768.957 + 11.175.333). Agora vamos supor que a taxa de juros do mercado seja de 15%. Substituindo 15% na equação acima acharíamos um VP de -2.533.903 (-30.000.000 + 9.565.217 + 9.149.338 + 8.751.541). Através de nossos cálculos chegamos a seguinte conclusão: Quanto maior for a taxa de retorno maior, maior será o nº de possibilidades de um investimento ser lucrativo. No exemplo a taxa de juros é de 10%. Isso quer dizer que o projeto será lucrativo a qualquer taxa menor que 10%. Se a taxa de juros fosse de 20% as possibilidades de lucros seriam duas vezes maior pois o projeto seria lucrativo a qualquer taxa de juros desde que esta não ultrapassasse 20%.

É bastante difícil calcular manualmente por meio de fórmulas matemáticas o valor da TIR, quase sempre é por meio de tentativa e erro. Existem dois meios eletrônicos para se conseguir isso: Pela Calculadora Financeira HP 12 C ou por meio da Planilha Eletrônica Excel.

Por isso vamos fazer uso desses meios para facilitar e diminuir o trabalho.Passos para calcular a TIR na calculadora HP 12 C

CHS G CF0 Armazena o fluxo de caixa na data zero

G CFj Armazena o fluxo de caixa na data j (valores entre 1 e 20)

G Nj Armazena o número de fluxo de caixa repetido

i Informa o custo do capital (taxa)

F NPV Calcula o valor presente líquido de um fluxo de caixa

F IRR Calcula a Taxa Interna de Retorno


Matemática FinanceiraEXEMPLO 78. Com base no fluxo abaixo e considerando uma taxa mínima de atratividade de 6,5% ao mês, determine, através do método da taxa interna de retorno, se o investimento é vantajoso.

300.000 550.000 __________________________ 25 131700.000OBS: Os ingressos ocorrem no 25º e 131º dias, portanto, fluxo com intervalos diários.

F REG700.000 CHS G CF0

0 G CFj

24 G CFj

300.000 G CFj

0 G CFj

99 G CFj

0 G CFj

6 G CFj

550.000F IRR

TIR: 0,2141 ao dia ou calculando a taxa equivalente composta = 6,63% ao mês.Resposta: Como a taxa interna de retorno (IRR) calculada, 6,63% ao mês, é superior à taxa mínima de atratividade (6,5% ao mês), conclui-se que o investimento é vantajoso.

Passos para calcular a TIR na Planilha Eletrônica do Excel. Digitar os valores na planilha do Excel Selecionar a função fx → Financeira → Tir Selecione no Box dos valores os fluxos que se deseja calcular a TIR No Box estimativa coloque a taxa de atratividade esperada para o projeto. Ok. O Resultado aparece.EXEMPLO 79. Calcule a TIR do fluxo de caixa a seguir. Se a empresa apresentasse um custo de capital igual a 15% ao ano, o projeto deveria ser aceito. Qual seria seu VPL?

Ano 0 1 2 3 4 5 6 7Fluxo Caixa

- 30.000 8.000 12.000 7.000 5.000 3.000 7.000 4.000

Resolução no Excel



Figura 01: Aplicação da Função TIR no Excel Figura 02: Aplicação da Função TIR no Excel

Figura 03: Aplicação da Função TIR no Excel

A TIR encontrada foi igual a 14,36%, inferior a taxa de atratividade, sendo neste caso o projeto rejeitado.

Seu VPL séria negativo igual a – R$ 486,80, confirmando o resultado de recusa obtido na TIR.


117. Um investidor aplicou um capital de R$ 65.000,00 e recebeu rendimentos parcelados sendo: R$ 16.000,00 no terceiro mês, R$ 16.000,00 no quarto, R$ 20.000,00 no sexto mês e R$ 49.000,00 no nono. Faça um diagrama de fluxo de caixa e calcule a taxa interna de retorno desse investimento. Resposta: 12,08%


Matemática Financeira118. Calcule a TIR do fluxo de caixa a seguir. Se a empresa apresentasse um custo

de capital igual a 20% ao ano, o projeto deveria ser aceito. Qual seria seu VPL?Ano 0 1 2 3 4 5 6 7Fluxo Caixa

- 50.000 10.000 11.000 6.000 9.000 5.000 10.000 12.000

Resposta: 6,09%

119. Um associado da ACEQ negociou um veículo no valor de R$ 41.000,00, para recebimento no prazo de 7 meses, nas seguintes condições. 1º pagamento: R$ 30.000,00, a 90 dias 2º pagamento: R$ 8.000,00, a 120 dias 3º pagamento: R$ 8.000,00, a 150 dias 4º pagamento: R$ 10.000,00, a 180 dias 5º pagamento: R$ 5.000,00, a 210 diasCom base nesses elementos e considerando uma taxa mínima de atratividade de

9,5% ao mês, determine se a venda foi vantajosa? Resposta: Como a TIR = 12,3%, significa que a venda foi vantajosa.

120. O Sr. José tenciona se aposentar nos próximos anos;- Pretende comprar um táxi = R$ 15.000,00- Pretende colocar uma Placa Comercial = R$ 10.000,00- Pretende contratar um motorista para trabalhar nos próximos 5 anos = R$

6.000,00 por ano- Estima-se Despesas = R$ 6.000,00 para o 1º ano e acréscimo de R$ 1.000,00

nos próximos anos- Estima-se que o Faturamento anual será de R$ 24.000,00

Ao final o Sr. José pretende vender a Placa pelo mesmo valor de aquisição e o veículo por um valor residual de 40%

O Sr. José mantinha o seu dinheiro na Caderneta de Poupança e lhe rendia 8% ao ano livre da inflação e de qualquer outro tipo de risco, e que aceitaria esse novo projeto se o mesmo lhe rendesse pelo menos 15% ao ano. Faça um diagrama de fluxo de caixa e encontre a Taxa Interna de Retorno do investimento.

FLUXO DE CAIXA DO INVESTIMENTOAno

Investimento Receitas

Despesas c/ Veículos

Salários Motorista

Fluxo de Caixa Líquido

0 - 25.000 -25.000


Matemática Financeira1 24.000 -6.000 -6.000 12.0002 24.000 -7.000 -6.000 11.0003 24.000 -8.000 -6.000 10.0004 24.000 -9.000 -6.000 9.0005 16.000 24.000 -10.000 -6.000 24.000

Resposta: 41,98%

121. Um empresário está avaliando um investimento em uma nova unidade de negócios. O valor a ser investido no momento zero atinge $1.000.000,00, prevendo-se os seguintes fluxos de caixa ao final dos próximos 4 anos: $150.000,00, $200.000,00, $900.000,00 e $1.100.000,00. Admitindo que o empresário tenha definido em 20% ao ano a taxa de desconto dos fluxos esperados de caixa, determinar o VPL. Resposta: 31,05% ou R$ 262.667,18

Fluxo de Caixa

122. Determine os VPL dos projetos de investimento representado pelos fluxos de caixas abaixo, para uma taxa de atratividade de 15% a.a., e escolha o melhor projeto. Resposta: VPL de A = R$ 171,59. VPL de B = R$ 114,10Projeto A Projeto B

ANO Fluxo Caixa ANO Fluxo Caixa0 100 0 -501 -50 1 -502 150 2 1003 -50 3 1504 150 4 150


$150.000,00 $200.000,00 $900.000,00 $1.100.000,00

1 2 3 4 (anos)$1.000.000,00

Matemática FinanceiraQUESTÕES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA PARA CONCURSOS PÚBLICOS

1. Calcular a taxa que foi aplicada a um capital de $ 4.000, durante 3 anos, sabendo-se que se um capital de R$ 10.000 fosse aplicado durante o mesmo tempo, a juros simples de 5% a.a., renderia mais $ 600 que o primeiro. A taxa é de:a) 8,0% a.a. b) 7,5% a.a. c) 7,1% a.a. d) 6,9% a.a. e) 6,2% a.a.

2. Dois capitais estão entre si como 2 está para 3. Para que, em período de tempo igual, seja obtido o mesmo rendimento com juros simples, a taxa de aplicação do menor capital deve superar a do maior em:a) 20% b) 60% c) 40% d) 50% e) 70%

3. Calcular o juro em $ e o montante em $ de uma aplicação de R$ 1.000.000 durante 3 meses, à taxa de juros simples de 10% a.m.a) 300.000 e 1.330.000b) 300.000 e 1.300.000 c) 900,000 e 1.900.000 d) 1.300.000 e 330.000 e) NDA

4. Calcular os juros simples que um capital de R$ 10.000 rende em um ano e meio, se aplicado à taxa de 6% a.a. Os juros em $ serão de:a) 700 b) 1.000 c) 1.600 d) 600 e) 900

5. Duas pessoas fizeram aplicações em dinheiro na mesma data. Uma aplicou R$ 192.000 à taxa de juros simples de 25% ao ano e a outra aplicou R$ 240.000 à taxa de juros simples de 15% ao ano. Após quanto tempo os montantes das aplicações serão iguais?a) 48 meses b) 44 meses


Matemática Financeirac) 38 meses d) 24 meses e) 18 meses

6. Um produto é vendido por R$ 600.000 à vista ou com uma entrada de 22% e mais um pagamento de R$ 542.880 após 30 dias. Qual a taxa de juros simples mensal envolvida na operação?a) 5% b) 12% c) 15% d) 16% e) 20%

7. Em quanto tempo triplicará um capital aplicado à taxa de juros simples de 5% a.a.? a) 10 anosb) 20 anosc) 40 anosd) 60 anose) 80 anos

8. Três capitais são colocados a juros simples: o primeiro a 25 % a.a. durante 4 anos; o segundo a 24% a.a., durante 3 anos e 6 meses e o terceiro a 20% a.a. durante 2 anos e 4 meses. Juntos, renderam juros de R$ 27.591,80. Sabendo-se que o segundo capital é o dobro do primeiro, e que o terceiro é o triplo do segundo, o valor do terceiro capital será de:a) 30.210 b) 10.070c) 20.140d) 15.105e) 05.035

9. Um capital no valor de R$ 50 aplicado a juros simples a uma taxa de 3,6% a.a., atinge, em 20 dias, um montante de:a) 51,00 b) 51,20 c) 52,00 d) 53,60 e) 68,00


Matemática Financeira10. Se em 5 meses o capital de $ 250.000 rende R$ 200 .000 de juros simples à taxa

de 16% a.m., qual o tempo necessário para se ganhar os mesmos juros se a taxa fosse de 160% a.a.?a) 6 meses b) 7 meses c) 8 meses d) 9 meses e) 10 meses

11. Um fazendeiro possui um estoque de 1.000 sacas e, na expectativa de alta de preço do produto, recusa a oferta de vender este estoque por R$ 3.000 a saca. Três meses mais tarde, forçado pelas circunstâncias, vende o estoque por $ 2.400 a saca. Sabendo-se que a taxa de juros simples de mercado é de 5% a.m., calcule o prejuízo real do fazendeiro em $, na data da venda da mercadoria, utilizando o regime de capitalização simples.a) 1.050.000 b) 1.240.000 c) 1.300.000 d) 2.400,000 e) 3.000.000

12. Quanto se deve pagar por um título de valor nominal de R$ 700.000, que vence daqui a 4 meses, considerando o desconto racional simples a uma taxa de 36% a.a.?a) 700.000b) 625.000c) 600.000d) 525.000e) 500.000

13. O Sr. Haddad obteve um empréstimo de R$ 1.090.000.000 à taxa de juros simples de 12% a.a. Algum tempo depois encontrou um amigo que poderia lhe emprestar R$ 150.000.000 à taxa de juro simples de 11% a.a. Sendo assim, liquidou o empréstimo anterior e contraiu a nova dívida. Dezoito meses após ter contraído o primeiro empréstimo, saldou o segundo e observou que pagou, em juros, um total de R$ 22.500.000. Sendo assim, qual foi o prazo do primeiro empréstimo ?a) 3 meses b) 6 meses c) 9 meses d) 12 meses


Matemática Financeirae) 18 meses

14. A aplicação de um capital é feita à taxa anual simples de 60%, segundo dois processos para o cálculo de taxa de juros diários e o volume de juros. Pode-se afirmar que, nesses dois processos utilizados (o 1º usando juros comerciais e o 2º usando juros exatos):a) taxa de juros exata diária é de 11,1%b) a relação entre os juros totais obtidos pelos dois processos para um mesmo prazo de

aplicação é: juros exatos / juros ordinários = 73 / 72c) a taxa de juros diária exata é de 0,11% d) para um mesmo prazo total de aplicação, os juros ordinários são aproximadamente

1,4% superiores aos juros exatos.e) Todas as alternativas anteriores estão certas

15. Qual o capital que acrescido dos seus juros simples durante 3 meses resulta em R$ 1.300, e que acrescido aos seus juros simples durante 5 meses resulta em 1.500 ?a) 300 b) 500c) 800d) 1.000e) 1.200

16. Um determinado capital produz um montante em 3 meses de $ 1.360 e um montante em 5 meses de R$ 1.600. Qual a taxa simples aplicada sobre este capital?a) 10% a.m.b) 12% a.m. c) 14% a.m. d) 20% a.m. e) 30% a.m.

17. Uma pessoa conseguiu um empréstimo de R$ 20.000 para ser devolvido em 2 anos. Sabendo-se que a financiadora cobra taxa nominal composta de 24% a.a. com capitalização trimestral, o montante a ser pago no vencimento será de:a) 30.572b) 31.876 c) 37.018 d) 32.125 e) 32.572


Matemática Financeira18. José aplicou R$ 500.000 a juros compostos durante um ano, à taxa de 10% a.a.

Paulo aplicou R$ 450.000 a juros compostos durante um ano, à taxa de 18% a.a. Pode-se afirmar que:a) José obteve 19.000 de rendimento a mais do que Paulo; b) Paulo obteve 19.000 de rendimento a mais do que José; c) José obteve 31.000 de rendimento a mais do que Paulo; d) Paulo obteve 31.000 de rendimento a mais do que José; e) Ambos obtiveram os mesmos rendimentos.

19. Com referência à taxa de juros compostos de 10% a.a., pode-se dizer que o pagamento de R$ 100.000 feito daqui a um ano é equivalente financeiramente ao pagamento de:a) 89.000 na data atual b) 150.000 daqui a dois anos c) 146.410 daqui a cinco anos d) 82.640 na data atual e) NDA

20. Um investidor aplicou R$ 2.000.000 no dia 06-jan-xx, a uma taxa composta de 22,5% a.m. Esse capital terá um montante de $ 2.195.000:a) 5 dias após sua aplicaçãob) após 130 dias de aplicaçãoc) em 15-mai-xxd) em 19-jan-xxe) 52 dias após a aplicação

21. Um investidor depositou um quarto do seu capital à taxa de juros compostos de 24% a.a., capitalizados trimestralmente, e o restante a 30% a.a., capitalizados semestralmente. Ao final de três anos retirou um montante de R$ 331.192,29. Nessas condições, o capital empregado foi de aproximadamente:a) 146.798b) 202.612 c) 146.925 d) 146.985 e) 147.895

22. Uma nota promissória com valor de R$ 1.000.000 e vencimento daqui a três anos deve ser resgatada hoje. A uma taxa de Juros compostos de 10% a.a. o valor do resgate é $:a) 748.563b) 729.000


Matemática Financeirac) 750.000d) 751.314,80e) 700.000

23. Quanto se deve pagar por um título de valor nominal R$ 600.000, que vence daqui a 2 meses, considerando o desconto comercial simples a uma taxa de 24% a.a.?a) 600.000b) 576.000 c) 524.000 d) 500.000 e) NDA

24. Utilizando-se desconto racional, o valor que deverei pagar por um título com vencimento daqui a 6 meses, se o seu valor nominal for de R$ 29.500, e eu deseje ganhar 36% a.a., será de:a) 24.000b) 25.000 c) 27.500 d) 18.880 e) 24.190

25. O valor atual racional de um título é igual à metade de seu valor nominal. Calcular a taxa de desconto, sabendo-se que o pagamento desse título foi antecipado em 5 meses.a) 200% a.a. b) 20% a.m. c) 25% a.m. d) 28% a.m. e) 220% a.a.

26. O valor do desconto real ou racional composto de uma nota promissória, que vence em três anos, é de R$ 11.388,19. Admitindo-se que a taxa nominal de desconto utilizada na operação seja 24% a.a., com capitalização trimestral, o valor nominal do titulo será de:a) 22.420b) 22.500 c) 22.630 d) 22.907 e) NDA


Matemática Financeira27. O desconto racional composto de um título de R$ 50.000 foi de $ 12.698,22.

Sendo 5% a taxa de juros mensal cobrada, o prazo de antecipação foi de: a) 4 meses b) 5 meses c) 6 meses d) 7 meses e) 8 meses

28. Um título foi descontado 4 meses antes de seu vencimento à taxa composta de 26% a.a. Sabendo-se que o valor atual comercial foi de R$ 18.266,67, qual seria seu valor nominal ?a) 18.000b) 20.000c) 22.000d) 24.000 e) NDA

29. Uma financeira deseja obter, uma taxa de juros efetiva de 40% a.a. em uma operação de 3 meses. Nessas condições, a empresa deve cobrar a taxa de juros anual de desconto comercial simples de:a) 38,06% a.a. b) 37,05% a,a. c) 38,50% a.a. d) 36,36% a.a. e) NDA

30. Qual o valor pago pelo resgate de um título no valor de R$ 13.600 dois meses antes do vencimento, sabendo-se que a taxa de desconto comercial é de 3% a.m.?a) 903,76 b) 12.796,24 c) 6.938,88 d) 12.546,36 e) NDA

31. Qual o valor nominal de um título, sabendo-se que o desconto racional composto é de R$ 126.982,20, e que a taxa de desconto cobrada é 5% a.m., com uma antecipação de 6 meses?a) 428.000 b) 500.000 c) 550.000 d) 600.000


Matemática Financeirae) NDA

32. O preço de um produto à vista é R$ 106.617,33. Sabendo-se que foi vendido em prestações mensais e iguais de R$ 15.000, com a primeira prestação vencendo um mês após a compra, qual o número de prestações, se a taxa de juros compostas utilizada foi de 5% a.m.? a) 5b) 6c) 7d) 8e) 9

33. Uma aplicação é realizada no dia primeiro de um mês, rendendo uma taxa de 1% ao dia, com capitalização diária. Considerando que o referido mês possui 18 dias úteis, no fim do mês o montante será igual ao capital inicial aplicado mais R$:a) 20,32 b) 19,61 c) 19,20 d) 18,17 e) 18,00

34. Uma alternativa de investimento possui um fluxo de caixa com um desembolso de R$ 20.000 no inicio do primeiro ano, um desembolso de R$ 20.000 no fim do primeiro ano e dez entradas líquidas anuais e consecutivas de 10.000 a partir do fim do segundo ano, inclusive. A uma taxa de 18% a.a., obtenha o valor atual desse fluxo de caixa, no fim do primeiro ano.a) 24.940,86 b) 11.363,22 c) 05.830,21 d) 04.940,84 e) 01.340,86

35. Um equipamento é vendido em 6 prestações mensais iguais de R$ 6.000.000, vencendo a primeira um mês após a compra. Se o vendedor opera com uma taxa de juros de 3% a.m., qual o preço à vista do equipamento? a) 32.503.146b) 35.203.146 c) 35.503.146 d) 36.000.000 e) 36.503.146


Matemática Financeira36. Um equipamento é vendido por R$ 1.000.000 a vista ou em 8 prestações mensais

e iguais a R$ 161.036 cada, vencendo a primeira prestação um mês após a compra. Qual a taxa efetiva de juros compostos nesse financiamento?a) 3%b) 4%c) 5%d) 6%e) 7%

37. Qual o montante final de uma série de 10 pagamentos mensais iguais a R$ 100.000 cada um, à taxa de juros compostos de 8% a.m.?a) 1.331.000b) 1.448.656 c) 1.645.683 d) 1.753.607 e) 1.800.000

38. Qual será o montante final de uma aplicação de 5 pagamentos mensais de R$ 1.000.000, sendo a taxa composta de 3% a.m., após o último pagamento?a) 5.309.140 b) 5.340.410 c) 5.468.410 d) 5.680.410 e) 6.000.000

39. Uma peça é vendida em quatro prestações iguais de R$ 150.000 sendo que a primeira prestação é dada como entrada. Sabendo-se que a taxa de juros composto é de 3% a.m., qual o preço à vista dessa peça?a) 424.291,65 b) 574.291,65 c) 600.000,00 d) 598.671,65 e) 599.761,65

40. Um imóvel é vendido em quatro parcelas iguais a R$ 150.000.000, sendo que a primeira parcela vence um mês após a compra. Sabendo-se que a taxa de juros compostos é de 7% a.m., qual o valor à vista do imóvel ? a) 508.081.500b) 615.029.550c) 714.980.850d) 800.000.000


Matemática Financeirae) 900.000.000

41. O preço à vista de um equipamento é R$ 250.000. Uma pessoa o comprou com uma entrada de R$ 50.000 e o saldo financiado em 5 prestações mensais, iguais e consecutivas de R$ 48.779,14. Nessas condições, a taxa anual efetiva cobrada nesse financiamento foi de:a) 125,2% a.a.b) 151,8% a.a.c) 084,3% a.a.d) 101,2% a.a.e) 096,1% a.a.

42. Um capital de R$ 900.000, disponível em 40 dias, é equivalente a um outro capital, disponível em 100 dias, à taxa de 60% ao ano de desconto simples comercial. Qual o valor do outro capital?a) 1.008.000 b) 1.010.000 c) 1.240.000 d) 1.320.000e) NDA

43. Qual o valor do capital, disponível em 80 dias, equivalente a R$ 800.000, disponível em 60 dias à taxa de 50% a.a. de desconto simples comercial?a) 780.000b) 845.200 c) 825.000 d) 860.500e) NDA

44. Qual o valor do capital disponível em 120 dias, equivalente a R$ 600.000, disponível em 75 dias, à taxa de 80% a.a. de desconto simples racional?a) 680.200 b) 651.428 c) 705.800 d) 701.000e) NDA

45. Qual o valor do capital, vencível em 45 dias, equivalente a R$ 840.000, vencível em 30 dias, à taxa de 80% a.a. de desconto simples racional? a) 866.250b) 905.400


Matemática Financeirac) 868.400d) 890.500e) NDA

46. Um título de $ 1.000.000 com vencimento para 120 dias, deve ser substituído por outro título, com vencimento para 90 dias. Se a taxa de desconto simples comercial vigente é 85% ao ano, qual será o valor do novo titulo?a) 890.700 b) 945.200 c) 780.204 d) 910.503e) NDA

47. Um comerciante deve pagar, ao final de 60 dias, uma conta de R$ 900.000. Porém, ele somente poderá efetuar o pagamento ao final de 120 dias. Se a taxa de desconto simples comercial vigente é 100% ao ano, qual será o valor do novo pagamento?a) 1.025.000 b) 1.125.000 c) 1.240.000 d) 1.105.000e) NDA

48. Qual o valor do pagamento, ao final de 90 dias, capaz de substituir os seguintes pagamentos: R$ 1.820.000,00 ao final de 60 dias, e R$ 230.000,00 ao final de 120 dias, se a taxa de desconto simples comercial de mercado é 180% ao ano?a) 403.836,00b) 520.546,00c) 390.500,00d) 391.720,00e) NDA

49. Qual o valor do título, vencível em 30 dias, capaz de substituir os seguintes pagamentos: R$ 400.000,00 em 60 dias, R$ 600.000,00 em 75 dias, e R$ 500.000,00 em 80 dias, se a taxa de desconto simples bancária é de 50% ao ano?a) 1.520.400 b) 1.407.246 c) 1.380.560 d) 1.480.200e) NDA


Matemática Financeira50. Um comerciante deveria efetuar os seguintes pagamentos: R$ 400.000,00 em 60

dias, R$ 670.000,00 em 90 dias e R$ 300.000,00 em 120 dias. O comerciante pretende saldar seus débitos por meio de dois pagamentos iguais, o primeiro à vista e o segundo em 150 dias. Qual o valor de cada pagamento, se a taxa de desconto simples racional vigente é 60% ao ano? a) 764.580 b) 802.580 c) 746.234 d) 664.580e) NDA

51. A série de pagamentos: R$ 300.000,00 em 30 dias, R$ 600.000,00 em 90 dias e R$ 200.000,00 em 150 dias deverá ser substituída por uma outra com dois pagamentos iguais: o primeiro à vista e o segundo em 120 dias. Qual o valor de cada pagamento, se a taxa de desconto simples comercial vigente é 90% ao ano?a) 510.294,00b) 580.325,00c) 560.115,00d) 602.400,00e) NDA

52. O capital de R$ 700.000, vencível em 40 dias, é equivalente ao capital de $ 800.000 à taxa de 75% ao ano, com desconto simples comercial. Quando o capital de R$ 800.000 estará disponível?a) em 64 diasb) em 95 diasc) em 82 diasd) em 78 diase) em 90 dias

53. Os capitais de R$ 500.000 e de R$ 700.000, com vencimentos respectivos em 90 e 360 dias, são equivalentes. Qual a taxa de desconto simples racional vigente? a) 70,50% a.a.b) 72,45% a.a.c) 80,72% a.a.d) 61,54% a.a.e) 85,75% a.a.

54. O valor comercial de um título de R$ 800.000 é hoje de R$ 720.000. Daqui a 30 dias o valor atual comercial do mesmo título será de R$ 760.000. Qual a taxa de desconto simples comercial?


Matemática Financeiraa) 40% a.a.b) 52% a.a.c) 35% a.a.d) 60% a.a.e) 80% a.a.

55. Um título de R$ 900.000 foi descontado 45 dias antes de seu vencimento. Se o título tivesse sido descontado 9 dias antes, o valor do desconto teria sido R$ 250 maior. Calcular a taxa de desconto comercial simples aplicada. a) 75,0% a.a.b) 84,6% a.a.c) 89,5% a.a.d) 90,0% a.a.e) 100% a.a.

56. Um título descontado por dentro à taxa simples de 90% a.a. sofreu R$ 90.000 de desconto. Se o desconto tivesse sido comercial seu valor seria R$ 103.500. Qual o valor nominal do titulo?a) 820.000,00b) 710.000,00c) 690.000,00d) 580.400,00e) 900.000,00

57. Calcular a taxa de desconto comercial simples abatida de um titulo cujo valor atual é igual a quatro quintos do seu valor nominal. A antecipação do seu vencimento foi de 5 meses.a) 8,0% a.m.b) 4,0% a.m.c) 7,5% a.m.d) 3,5% a.m.e) 5,6% a.m.

58. Uma empresa devedora de dois títulos de R$ 30.000, vencíveis em 3 e 4 meses, deseja resgatar a divida com um único pagamento no fim de 5 meses. Calcular o valor desse pagamento, empregando a taxa simples comercial de 1,5% ao mês. a) 72.328,50b) 65.482.73c) 61.459,50d) 94.600,00e) 77.000,00


Matemática Financeira59. Quanto sofrerá de desconto um título de R$ 700.000, 3 meses antes de seu

vencimento, se for descontado a 5% ao mês de desconto racional composto? a) 95.311,00b) 101.400,00c) 88.542,00d) 90.243,00e) 120.350,00

60. Uma nota promissória foi quitada 6 meses antes de seu vencimento à taxa de 4,5% ao mês de desconto composto. Sendo o valor nominal da promissória R$ 670.000, qual o valor $ do desconto concedido?a) 180.21,00b) 172.326,00c) 155.510,00d) 150.520,00e) 160.450,00

61. Em um título de valor nominal R$ 6.500, o desconto racional composto sofrido foi de R$ 835,63. Se a taxa de juros de mercado for de 3,5% ao mês, qual deverá ser o prazo da antecipação?a) 8 meses b) 4 meses c) 5 meses d) 6 mesese) 9 meses

62. Determinar o valor de um título, vencível em trinta dias, capaz de substituir R$ 400.000,00 vencível em 60 dias, R$ 300.000,00 vencível em 90 dias e R$ 1.000.000,00 vencível em 180 dias, à taxa de juros compostos de 6% ao mês.a) 1.391.756b) 1.245.500 c) 1.400.050 d) 1.300,000e) 1.560,230,00

63. Um capital no valor de R$ 50, aplicado a juros simples a uma taxa de 3,6% ao mês, atinge, em 20 dias, um montante de:a) 51b) 51,2c) 52d) 53,6


Matemática Financeirae) 68

64. A uma taxa de 25% por período, uma quantia de $ 100 no fim do período (t), mais uma quantia de R$ 200 no fim do período (t+2), são equivalentes, no fim do período (t+1), a uma quantia de:a) 406,2 b) 352,5 c) 325,0 d) 300,0 e) 285,0

65. Um "comercial paper" com valor de face de US$ 1.000.000 e vencimento daqui a três anos, deve ser resgatado hoje. A uma taxa de juros composto de 10 % ao ano e considerando o desconto racional, obtenha o valor de resgate, em US$: a) 751.314,80b) 750.000,00c) 748.573,00d) 729.000,00e) 700.000,00

66. Uma aplicação é realizada no primeiro dia de um mês, rendendo uma taxa de 1% ao dia útil, com capitalização diária. Considerando que o referido mês possui 18 dias úteis, no fim do mês o montante será o capital inicial aplicado mais:a) 20,324% b) 19,615% c) 19,196% d) 18,174% e) 18,000%

67. O pagamento de um empréstimo no valor de R$ 1.000 será efetuado por Intermédio de uma anuidade composta por seis prestações semestrais, a uma taxa de 15% ao semestre, sendo que a primeira prestação vencerá seis meses após o recebimento do empréstimo. O valor da referida prestação será:a) 1.000 / 6b) 1.000 / 2,31306c) 1.000 / 3,784482d) 1.000 / 8,753738e) 1.000 / 2,31306

68. Quanto devo depositar, mensalmente, para obter um montante de R$ 12.000 ao fim de um ano, sabendo-se que a taxa mensal de remuneração do capital é de 4%


Matemática Financeirae que o primeiro depósito é feito no fim do primeiro mês?a) 12,000 / 15,025805 b) 12.000 / (12 x 1,48) c) 12.000 / 9.385074 d) 12.000 / (12 x 1,601032) e) 12.000 / 12

69. Uma alternativa de investimento possui um fluxo de caixa com um desembolso de R$ 20.000 no início do primeiro ano, um desembolso de R$ 20.000 no fim do primeiro ano, e dez entradas liquidas anuais e consecutivas de R$ 10.000 a partir do fim do segundo ano, inclusive. A uma taxa de 18% a.a., obtenha o valor atual desse fluxo de caixa, no fim do primeiro ano.a) 24.940,86 b) 11.363,22 c) 05.830,21 d) 04.940,86 e) 01.340,86

70. O prazo de aplicação para que um capital, aplicado à taxa simples de 18% a.m., quadruplique o seu valor, é:a) 2 anos e 7 meses b) 1 ano, 7 meses e 25 dias c) 1 ano, 4 meses e 25 dias d) 1 ano e 6 meses e) NDA

71. Um capital foi aplicado a 75% a.a., juros simples, e, após 5 meses, acrescido de seus rendimentos, foi reaplicado a 81% a.a., juros simples. Ao final do nono mês de aplicação, o valor do capital acumulado era de R$ 1.000.125. Qual o valor do capital aplicado?a) 540.142,50 b) 385.200,00c) 610.194,30 d) 600.000,00e) NDA

72. Dois capitais, um de R$ 400.000 e outro de R$ 250.000, estiveram aplicados durante 3 anos. Calcular a taxa mensal a que esteve aplicado o segundo capital, sabendo-se que o primeiro o foi à taxa de 45,6% a.a., e rendeu R$ 259.200 a mais que o segundo.a) 38,4% a.m.


Matemática Financeirab) 18,5% a.m. c) 03,2% a.m. d) 28,8% a.m. e) NDA

73. Dois capitais estão entre si assim como 5 está para 7. Se o menor for aplicado a uma taxa 40% superior à do maior, esses capitais produzirão juros simples iguais, quando o prazo de aplicação do maior for:a) 15% superior ao do menor b) 25% superior ao do menor c) 30% superior ao do menor d) 05% superior ao do menor e) igual ao do menor

74. Qual é o capital que, acrescido dos seus juros simples produzidos em 270 dias, à taxa de 4,5% a.a., se eleva para R$ 450.715 ?a) 436.000b) 410.000 c) 458.400 d) 340.280 e) NDA

75. A que taxa simples mensal deveria estar aplicada a quantia de R$ 250.000 para que acumulasse em um ano, 4 meses e 18 dias, um montante de R$ 474.100 ?a) 25,2% b) 18,5%c) 15,6%d) 05,4% e) NDA

76. A uma taxa simples de 30% ao período, uma quantia de $ 50 no fim do período (t), e uma quantia de R$ 160,55 no fim do período (t+3), são equivalentes, no fim do período (t+2), a uma quantia de:a) 190,5 b) 196,6 c) 240,6 d) 250,4 e) NDA

77. Um investidor aplicou três oitavos do seu dinheiro a 2% a.m., juros simples, e o restante a 9% ao trimestre, nas mesmas condições. Calcular o seu capital, sabendo-se que após um ano recebeu R$ 151.200 de juros.


Matemática Financeiraa) 480.000b) 360.000 c) 410.600 d) 520.800 e) NDA

78. Utilizando-se desconto simples racional, o valor que deverei pagar por um titulo com vencimento daqui a 84 dias, se o seu valor nominal for de R$ 124.500, e eu desejar ganhar 54% ao ano, será de $:a) 132.184,50 b) 110.568,38 c) 142.615,70 d) 122.415,80 e) NDA

79. Um título, cujo resgate foi efetuado 145 dias antes do vencimento, foi negociado à taxa de 23% a.a. Qual era o valor nominal do título, uma vez que o valor atual racional simples recebido foi de R$ 192.195?a) 185.000b) 202.400 c) 210.000 d) 252.500 e) NDA

80. Determinar o valor nominal de uma letra de câmbio que, descontada "por fora" 3 meses e 10 dias antes de seu vencimento, à taxa simples de 10% a.m. produziu o desconto de R$ 4.000.a) 24.600b) 18.500 c) 20.080 d) 12.000 e) NDA

81. Um título de R$ 600.000 foi resgatado antes do seu vencimento por R$ 500.000. Calcular o tempo de antecipação do resgate, sabendo que a taxa de desconto comercial simples foi de 42% ao ano.a) 8 meses e 10 dias b) 4 meses e 26 dias c) 5 meses e 15 dias d) 7 meses e 05 dias e) NDA


Matemática Financeira82. O desconto comercial de um título, com vencimento em 06-set-xx, excede o

desconto racional em R$ 9.000, caso esse título seja resgatado em 18-jul-xx. Sabendo-se que a taxa de desconto é de 30% a.m., pode-se afirmar que o valor de face desse título é de:a) 45.000b) 48.600c) 54.000d) 65.000e) NDA

83. Calcular a taxa de desconto comercial simples de um título cujo valor atual é igual a sete oitavos de seu valor nominal, sabendo-se que a antecipação foi de 2 meses e meio.a) 5,0% a.m.b) 7,5% a.m.c) 4,5% a.m.d) 6,5% a.m.e) NDA

84. O valor atual de uma nota promissória é de R$ 180,000 tendo sido adotada a taxa de 20% a.a.. Se o desconto racional for de R$ 7.500 então o prazo de antecipação será de:a) 40 dias b) 50 dias c) 75 dias d) 80 dias e) NDA

85. O montante produzido por um capital de R$ 420.000 à taxa de juros compostos de 8% ao trimestre, durante 2 anos e meio, é de $:a) 850.400,00 b) 906.748,00 c) 945.020,00 d) 810.168,50 e) 895.420,00

86. Calcular o montante de uma aplicação de R$ 540.000 a juros compostos, aplicados à taxa de 4,5% ao mês, durante 3 anos e 8 meses.a) 2.850.200,00 b) 3.055.128,50


Matemática Financeirac) 3.542.748,82 d) 3.745.506,34 e) 2.956.432,50

87. O montante gerado por um capital de R$ 160.400, ao fim de 5 anos, com juros compostos de 40% a.a. capitalizados trimestralmente, é de: a) 1.079.090,84 b) 1.250.352,40 c) 1.512.028,32 d) 1.321.652,50 e) 1.411.715,78

88. Durante quanto tempo R$ 250.000 produzem R$ 148.462,10 de juros compostos a 24% a.a. capitalizados trimestralmente?a) 18 meses b) 20 meses c) 24 meses d) 26 meses e) 30 meses

89. O capital de R$ 340.000 foi aplicado a 5% a.m., juros compostos. Após 7 meses de aplicação a taxa de juros foi elevada para 8% a.m., juros compostos. Nestas condições, o valor do montante final, após 17 meses de aplicação, será de $: a) 1.320.460,08 b) 1.032.860,25 c) 1.125.600,18 d) 0.998.945,70 e) 1.245.712,70

90. O prazo para que uma aplicação de R$ 140.000 à taxa composta de 32% a.a., produza um montante de R$ 561.044,99 é de: a) 3 anos b) 4 anos e meio c) 3 anos e 5 meses d) 5 anos e) 50 meses

91. Coloquei R$ 780.000 aplicados a juros compostos de 8% a.m. e recebi R$ 1.559.223,12. Logo o meu dinheiro ficou aplicado durante:a) 3 anos b) 4 anos e meio c) 3 anos e 5 meses


Matemática Financeirad) 5 anose) 7 anos

92. Uma aplicação é realizada no dia primeiro de um mês, rendendo uma taxa composta de 3% ao dia útil, com capitalização diária. Considerando que o referido mês possui 19 dias úteis, no fim do mês o montante será o capital inicial aplicado mais $:a) 64,19b) 72,19c) 75,35d) 76,35e) 68,58

93. Considerando-se a convenção linear, o montante gerado por um capital de R$ 90.000 a 20% a.a. capitalizado semestralmente em 2 anos e 2 meses, desprezando-se os centavos, será de R$:a) 136.177b) 148.500c) 162.340d) 175.100 e) 158.345

94. A diferença entre os montantes calculados pela convenção linear e exponencial, a partir da aplicação de R$ 600.000 por 126 dias à taxa de 4% a.m. é, aproximadamente, de $: (Dado: 1,04 x 45 = 19,007875a) 42,35 b) 55,82 c) 70,19 d) 69,25 e) 81,40

95. Uma letra de câmbio no valor nominal de $ 131.769 foi resgatada 3 meses antes de seu vencimento. Qual foi o valor do resgate, se a taxa de juros compostos de mercado foi de 10% a.m.? (Considerar desconto racional)a) 99.000b) 78.600c) 98.150d) 92.730e) 95.300


Matemática Financeira96. Para um título no valor nominal de R$ 65.000, o desconto racional sofrido foi de

R$ 8.356,30. Se a taxa de juros compostos de mercado for de 3,5% ao mês, qual deverá ser o prazo da antecipação?a) 60 dias b) 45 dias c) 120 dias d) 70 dias e) 80 dias

97. Um equipamento está a venda por R$ 2.000.000 de entrada e R$ 3.000.000 após 7 meses. Um comprador propõe pagar R$ 5.000.000 como segunda parcela, o que somente será feito após 10 meses. Nestas condições, quanto deverá dar de entrada, se a taxa de juros compostos de mercado for de 4,5% a.m.?a) 850.425,80 b) 984.830,39 c) 902.100,00 d) 1.125.020,00 e) 915.632,70

98. Cláudio contraiu uma divida, comprometendo-se a saldá-la em dois pagamentos: o 1º de R$ 25.000 e o 2º, 6 meses após o 1º, de R$ 85.000. Não dispondo de dinheiro no vencimento da primeira parcela, Cláudio propôs o adiamento de sua divida, nas seguintes condições: faria um pagamento de R$ 60.000 daí a 2 meses e o saldo em 10 meses. Considerando-se uma taxa de juros compostos de 4 % a.a., qual o valor do saldo em $ ?a) 53.078b) 62.420 c) 58.030 d) 49.340 e) 50.385

99. O preço à vista de equipamento é de R$ 500.000. O vendedor facilita a transação, propondo o seguinte esquema: R$ 100.000 como entrada, mais duas parcelas semestrais de R$ 200.000 a 3% a.m. Quando será o último pagamento?a) 5 meses após a parcela 1b) 6 meses após a parcela 2c) 1 ano após a entradad) 8 meses após a parcela 2e) 18 meses após a parcela 1


Matemática Financeira100. Qual é o preço à vista de um equipamento cujas 1+11 prestações mensais,

iguais e sucessivas, à taxa de juros compostos de 10% ao mês, são de R$ 110.000,00?a) 785.540,15 b) 824.456,71 c) 800.100,20 d) 810.415,35 e) 850.513,80

101. Uma loja vende uma mercadoria por R$ 640.000 à vista ou financia em 8 meses, a juros compostos de 6% a.m. Se não for dada entrada alguma e a primeira prestação vencer após um mês, o valor da prestação mensal será de:a) 105.600,00 b) 098.546,35 c) 120.238,20 d) 103.063,00e) 110.418,30

102. Em quantas prestações trimestrais de R$ 185.500 poderei quitar uma dívida de R$ 1.641.928,95, se o financiamento foi feito à base de 8 % ao trimestre ?a) 16 b) 20 c) 15d) 18e) 22

103. Uma empresa comprou um equipamento cujo preço à vista era de R$ 1.389.970,05, pagando-o em 12 prestações mensais de R$ 175.000. Qual foi a taxa mensal de juros cobrada no financiamento?a) 3,5% b) 5,5% c) 7,0% d) 8,0% e) 9,0%

104. Uma amortização constante de 15 parcelas mensais de R$ 110.000 tem carência de 4 meses e taxa mensal de 4,5%. Qual é o valor do financiamento, na ocasião do contrato?a) 1.105.000,02b) 1.350.315,75c) 920.618,35


Matemática Financeirad) 890.500,00e) 990.634,48

105. A propaganda de uma loja de roupas anuncia: Compre tudo e pague em 12 meses. Leve hoje e só comece a pagar daqui a 3 meses. Se a taxa de financiamento é de 5% a.m., qual é o valor da prestação de um blusão de couro cujo preço à vista é de R$ 1.148?a) 150,77b) 130,25c) 142,80 d) 125,47 e) 148,33

106. Um terreno foi vendido por R$ 2.500.000 de entrada mais 24 prestações mensais de R$ 285.000. Qual é o preço à vista aproximado do terreno, se nestas operações for usual utilizar-se a Tabela Price com 26,6% a.a.? (26,6% / 12)% a.m.a) 8.550.000b) 6.920.400c) 7.760.471 d) 7.500.000e) 7.345.680

107. Qual será o capital acumulado de 8 parcelas mensais de R$ 250.000,00 aplicados à taxa de juros compostos de 10% a.m.? (aproximadamente)a) 2.280.850b) 2.858.972c) 2.480.750d) 2.900.000e) 2.790.500

108. Um Banco oferece a seus clientes uma poupança programada com prazo de 2 anos, à taxa de 10% a.m. Quanto deverá ser a quota mensal de um depositante para que ele acumule, ao final do período, um montante de R$ 2.141.655,10 ?a) 45.500b) 40.500c) 48.000d) 35.500e) 50.300

109. Quantos depósitos mensais de $ 360,00 uma pessoa deverá fazer para ter, 4 meses após o último depósito, o valor de $ 3.344,57, recebendo juros de 2% a.m.?


Matemática Financeiraa) 10b) 15c) 48d) 35e) 8

110. Calcule o valor pago de juros pela dívida assumida por uma pessoa que pagou 10 prestações mensais e iguais de R$ 500,00. Sabe-se que a taxa de juros é de 3% ao mês e, a carência é de seis meses.a) 1.428,04b) 2.178,04c) 142,50d) 3.875,25e) 7.984,56

111. Vinicius gostaria de comprar uma motocicleta. Após pesquisar, encontrou uma loja onde poderia comprá-la pr R$ 4.600,00 vista, ou em 1 + 7 vezes iguais. Sabendo-se que o custo de oportunidade do dinheiro é estimado em 3% ao mês, qual deveria ser o desconto percentual concedido pela loja para que ele não perdesse dinheiro, caso efetuasse o pagamento a vista.a) 428,04b) 442,59c) 142,50d) 875,25e) 984,56

112. Um empréstimo de R$ 400,00 deve ser pago em três parcelas mensais iguais a R$ 198,00, com a primeira vencendo 30 dias após a liberação dos recursos. Qual a taxa de juros compostos mensal, cobrada na operação.a) 14,04%b) 8,04%c) 21,04%d) 2,04%e) 20,04%


Matemática FinanceiraGABARITO

01. B02. C03. A04. E05. A06. D07. C08. A09. B10. A11. A12. B13. B14. B15. D16. B17. C18. A19. E20. D21. B22. D23. E24. B25. B26. E27. E28. E

29. C30. B31. E32. E33. B34. D35. A36. C37. B38. C39. B40. A41. D42. A43. C44. B45. A46. D47. B48. A49. B50. D51. A52. B53. D54. D55. D56. C

57. B58. C59. A60. C61. B62. A63. B64. E65. D66. B67. C68. A69. A70. C71. D72. C73. E74. A75. D76. E77. A78. B79. C80. D81. E82. C83. A84. C

85. B86. D87. A88. C89. B90. D91. A92. C93. A94. B95. A96. C97. B98. A99. B100. B101. D102. A103. C104. D105. C106. C107. B108. D109. E110. A111. B112. E


Matemática FinanceiraREFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BRUNI, Adriano Leal. Matemática Financeira: com HP 12 C e Excel. 2. ed. São Paulo: Atlas, 2003.

MARQUES, Paulo. Matemática Financeira: juros composto.http://www.algosobre.com.br/matematica-financeira/juros-compostos.htm l acessado em 18/07/2009

MATHIAS, Washinton Franco. GOMES, José Maria. Matemática Financeira. São Paulo: Atlas, 1982.

PARENTE, Eduardo Afonso de Medeiros. Matemática Comercial e Financeira. São Paulo: FTD, 1996.

SOUZA, Edison Andrade. Matemática Financeira, Capitalização Composta. http://www.algosobre.com.br/matematica-financeira/capitalizacao-composta.html. Acessado no dia 20/07/2009

TOSI, Armando José. Matemática Financeira com utilização do Excel 2000. 2. ed. São Paulo: Atlas, 2002.

VERAS, Lília Ladeira. Matemática Financeira: uso de calculadora financeira. 2. ed. São Paulo: Atlas, 1991.


http://www.algosobre.com.br/matematica-financeira/capitalizacao-composta.html

http://www.algosobre.com.br/matematica-financeira/juros-compostos.html

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